MS-2 Curs Camp Probabilitate I
-
Upload
todirica-laurentiu -
Category
Documents
-
view
228 -
download
4
description
Transcript of MS-2 Curs Camp Probabilitate I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Câmp de probabilitate – I
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Câmp finit de probabilitate – I
1 Evenimente
2 Operatii cu evenimente
3 Câmp finit de probabilitate
4 Conditionare si independenta
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Evenimente
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Teoria probabilitatilor studiaza legile dupa care evolueazafenomenele aleatoare. Cel mai simplu exemplu de fenomenaleator este dat de experinta care consta în aruncarea unui zaromogen pe o suprafata plana. Aceasta experienta se poaterepeta de un numar oarecare de ori. Fiecare repetare aexperientei se numeste proba.În experienta considerata se obtin urmatoarele cazuri posibile
E = {e1, e2, · · · , e6}
unde prin evenimentul elementar ei , i = 1, · · · , 6 întelegem cala o aruncare se obtine fata cu numarul i .Prin eveniment se întelege orice rezultat al unei experiente,rezultat despre care putem spune ca s-a realizat sau nu s-arealizat în cadrul experientei respective.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Evenimentul sigur este evenimentul care se produce cucertitudine la efectuarea oricarei probe si se noteaza E .
Evenimentul imposibil este evenimentul care nu se producela efectuarea unei probe si se noteaza ∅.
Evenimentul elementar este acel eveniment care are unsingur caz favorabil. Prin abuz de limbaj vom numi la fel sielementele multimii E .
Multimea tuturor evenimentelor legate de o experienta cu unnumar finit sau infinit de cazuri posibile se identifica cu familiatuturor submultimilor (partilor) multimii E , notata K = P(E). Încontextul analogiei dintre evenimente si multimi vom întelegeevenimentul sigur ca fiind multimea tuturor evenimentelorelementare, E , iar orice alt eveniment (compus) apare ca fiindsubmultime a lui E .
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Exemplu
La aruncarea simultana a doua zaruri sunt 36 de cazuri posibile
E = {(ei , ej ), i , j = 1, · · · , 6}.
"Obtinerea unei duble" are 6 cazuri favorabile
A1 = { (e1, e1), (e2, e2), (e3, e3), (e4, e4), (e5, e5), (e6, e6) },
iar evenimentul "suma punctelor egala cu 6" are 5 cazurifavorabile
A2 = { (e1, e5), (e2, e4), (e3, e3), (e4, e2), (e5, e1) }.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Exemplu
Daca trebuie sa transmitem 3 semnale diferite pe un canal, iartransmisia se poate face într-o ordine aleatoare, atunci avem 6!moduri, iar multimea E este multimea tuturor tripletelorordonate (permutari), care se pot forma cu elementele multimii{1, 2, 3}.Daca trebuie sa transmitem 3 semnale diferite pe 3 canale detransmisie în mod aleator, atunci avem 33 cazuri posibile
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Definitia 1.1
Daca A este un eveniment, A se numeste eveniment contrarsi este acel eveniment care se realizeaza atunci cândevenimentul A nu se produce.
A = E \ A = CEA.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Definitia 1.2
Fiind date doua evenimente A, B legate de o experienta,spunem ca A implica B si notam aceasta prin A ⊆ B, dacarealizarea lui A atrage dupa sine realizarea lui B.
Aceasta înseamna ca multimea cazurilor favorabile lui A esteinclusa în multimea cazurilor favorabile lui B.
Definitia 1.3
Doua evenimente A, B legate de o experienta se numescechivalente (coincid) si notam aceasta prin A = B, daca ele serealizeaza simultan, A ⊆ B si B ⊆ A.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Operatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Intersectia
Definitia 2.1
Date A si B doua evenimente, numim intersectia lor,evenimentul notat A ∩ B care se realizeaza atunci când A si Bse produc simultan.
A ∩ B = { e ∈ E ; e ∈ A si e ∈ B }.
Daca A ∩ B = ∅ atunci spunem ca evenimentele suntincompatibile. În acest caz realizarea simultana aevenimentelor A si B este imposibila.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Generalizare: (Ai )i∈I , I ⊆ N,⋂i∈I
Ai = { e ∈ E ; e ∈ Ai , i ∈ I }
se realizeaza atunci când toate evenimentele Ai se produc.
Proprietati:
(i) A ∩ B = B ∩ A (comutativitate);
(ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativitate);
(iii) daca A ⊆ B atunci A ∩ B = A(evident A ∩ A = A, A ∩ E = A, A
⋂∅ = ∅);
(iv ) A ∩ A = ∅.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Generalizare: (Ai )i∈I , I ⊆ N,⋂i∈I
Ai = { e ∈ E ; e ∈ Ai , i ∈ I }
se realizeaza atunci când toate evenimentele Ai se produc.
Proprietati:
(i) A ∩ B = B ∩ A (comutativitate);
(ii) (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (asociativitate);
(iii) daca A ⊆ B atunci A ∩ B = A(evident A ∩ A = A, A ∩ E = A, A
⋂∅ = ∅);
(iv ) A ∩ A = ∅.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Reuniunea
Definitia 2.2
Date A si B doua evenimente, numim reuniunea lor,evenimentul notat A ∪ B care se realizeaza atunci când celputin unul dintre evenimentele A sau B se produce.
A ∪ B = { e ∈ E ; e ∈ A sau e ∈ B }.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Generalizare: (Ai )i∈I , I ⊆ N, evenimentul⋃i∈I
Ai = { e ∈ E ; ∃ i ∈ I, e ∈ Ai }
se realizeaza atunci când cel putin unul dintre evenimentele Aise realizeaza.
Proprietati:
(i) A ∪ B = B ∪ A (comutativitate);
(ii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (asociativitate);
(iii) daca A ⊆ B atunci A ∪ B = B(evident A ∪ A = A, A ∪ E = E , A ∪ ∅ = A);
(iv ) A ∪ A = E .
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Generalizare: (Ai )i∈I , I ⊆ N, evenimentul⋃i∈I
Ai = { e ∈ E ; ∃ i ∈ I, e ∈ Ai }
se realizeaza atunci când cel putin unul dintre evenimentele Aise realizeaza.
Proprietati:
(i) A ∪ B = B ∪ A (comutativitate);
(ii) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) (asociativitate);
(iii) daca A ⊆ B atunci A ∪ B = B(evident A ∪ A = A, A ∪ E = E , A ∪ ∅ = A);
(iv ) A ∪ A = E .
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
(i) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
(distributivitatea intersectiei fata de reuniune);
(ii) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(distributivitatea reuniunii fata de intersectie);
(iii) A ∩ B = A ∪ B; A ∪ B = A ∩ B
(relatiile lui de Morgan).
⋃i∈I
Ai =⋂i∈I
Ai si⋂i∈I
Ai =⋃i∈I
Ai .
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
(i) (A ∪ B) ∩ C = (A ∩ C) ∪ (B ∩ C)
(distributivitatea intersectiei fata de reuniune);
(ii) (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)
(distributivitatea reuniunii fata de intersectie);
(iii) A ∩ B = A ∪ B; A ∪ B = A ∩ B
(relatiile lui de Morgan).
⋃i∈I
Ai =⋂i∈I
Ai si⋂i∈I
Ai =⋃i∈I
Ai .
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Diferenta
Definitia 2.3
Se numeste diferenta evenimentelor A si B, evenimentul notatA \ B care se realizeaza atunci când se produce A si nu serealizeaza evenimentul B.
A \ B = { e ∈ E ; e ∈ A si e < B }.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Daca A, B, C, D ∈ K atunci au loc urmatoarele proprietati:
(i) A \ B = A ∩ B;(ii) A \ B = A \ (A ∩ B);(iii) A \ B = (A ∪ B) \ B;(iv ) (A \ B) ∩ (B \ A) = ∅;(v∗) A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) si (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅;(vi∗) A ∪ B = A ∪ [B \ (A ∩ B)] si A ∩ [B \ (A ∩ B)] = ∅;(vii) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);(viii) (A \ B) ∩ (C \ D) = (A ∩ C) \ (B ∪ D).
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Daca A, B, C, D ∈ K atunci au loc urmatoarele proprietati:
(i) A \ B = A ∩ B;(ii) A \ B = A \ (A ∩ B);(iii) A \ B = (A ∪ B) \ B;(iv ) (A \ B) ∩ (B \ A) = ∅;(v∗) A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) si (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅;(vi∗) A ∪ B = A ∪ [B \ (A ∩ B)] si A ∩ [B \ (A ∩ B)] = ∅;(vii) A ∩ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);(viii) (A \ B) ∩ (C \ D) = (A ∩ C) \ (B ∪ D).
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Exemplu
Daca A, B, C sunt 3 evenimente atunci:1. faptul ca toate trei se realizeaza se exprima prin A ∩ B ∩ C.2. cel putin unul se realizeaza înseamna A ∪ B ∪ C.3. A sau B se realizeaza si C nu are loc se exprima prin(A ∪ B) ∩ C.4. exact un eveniment se realizeaza înseamna(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C).
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Câmp finit de probabilitate
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Probabilitate în sens clasic
Definitia 3.1
Numim probabilitate în sens clasic functia
P : K→ [ 0, 1 ]
definita prin
P(A) =nr . cazurilor favorabile
nr . cazuri posibile=
kn
(3.1)
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Functia de probabilitate
Definitia 3.2
Numim probabilitate pe un câmp finit de evenimente (E ,K), ofunctie P : K→ [ 0, 1 ] care satisface axiomele:
P(A) ∈ [ 0, 1 ], ∀A ∈ K; (3.2)
P(E) = 1; (3.3)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B), ∀A, B ∈ K, A ∩ B = ∅. (3.4)
Tripletul (E ,K, P) se numeste câmp finit de probabilitate.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Formule de calcul într-un câmp de probabilitate
Propozitia 3.1
Fie (E ,K, P) un câmp de probabilitate. Au loc relatiile:
P(∅) = 0; (3.5)
P(A) = 1− P(A), ∀ A ∈ K; (3.6)
P
( n⋃i=1
Ai
)=
n∑i=1
P(Ai ), ∀ Ai ∈ K, Ai ∩ Aj = ∅, i , j (3.7)
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Probabilitatea unei diferente
Propozitie. Daca A, B ∈ K atunci:
P(A \ B) = P(A)− P(A ∩ B). (3.8)
Demonstratie. A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) cu (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅,aplicam axioma (3.4) si deducem
P(A) = P(A \ B) + P(A ∩ B)
Consecinta. Daca A, B ∈ K atunci:
A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
Demonstratie. Daca A ⊆ B, avem A = A ∩ B si atunciP(B \ A) = P(B)− P(A) iar P(B \ A) ≥ 0.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Probabilitatea unei diferente
Propozitie. Daca A, B ∈ K atunci:
P(A \ B) = P(A)− P(A ∩ B). (3.8)
Demonstratie. A = (A \ B) ∪ (A ∩ B) cu (A \ B) ∩ (A ∩ B) = ∅,aplicam axioma (3.4) si deducem
P(A) = P(A \ B) + P(A ∩ B)
Consecinta. Daca A, B ∈ K atunci:
A ⊆ B ⇒ P(A) ≤ P(B)
Demonstratie. Daca A ⊆ B, avem A = A ∩ B si atunciP(B \ A) = P(B)− P(A) iar P(B \ A) ≥ 0.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Probabilitatea unei reuniuni
Propozitie. Daca A, B ∈ K atunci:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B). (3.9)
Demonstratie. A ∪ B = A ∪ [B \ (A ∩ B)] cu A ∩ [B \ (A ∩ B)] = ∅.Din (3.4) si (3.8) rezulta:P(A∪B) = P(A) + P (B \ (A ∩ B)) = P(A) + P(B)−P(B ∩ (A∩B))= P(A) + P(B)− P(A ∩ B).Generalizare. Daca Ai ∈ K, i ∈ {1, 2, . . . , n} atunci:
P(n⋃
i=1
Ai ) =n∑
i=1
P(Ai )−∑
1≤i<j=n
P(Ai∩Aj )+∑
1≤i<j<k≤n
P(Ai∩Aj∩Ak )+
+ . . . + (−1)n−1P(n⋂
i=1
Ai ) (3.10)
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Probabilitatea unei reuniuni
Propozitie. Daca A, B ∈ K atunci:
P(A ∪ B) = P(A) + P(B)− P(A ∩ B). (3.9)
Demonstratie. A ∪ B = A ∪ [B \ (A ∩ B)] cu A ∩ [B \ (A ∩ B)] = ∅.Din (3.4) si (3.8) rezulta:P(A∪B) = P(A) + P (B \ (A ∩ B)) = P(A) + P(B)−P(B ∩ (A∩B))= P(A) + P(B)− P(A ∩ B).Generalizare. Daca Ai ∈ K, i ∈ {1, 2, . . . , n} atunci:
P(n⋃
i=1
Ai ) =n∑
i=1
P(Ai )−∑
1≤i<j=n
P(Ai∩Aj )+∑
1≤i<j<k≤n
P(Ai∩Aj∩Ak )+
+ . . . + (−1)n−1P(n⋂
i=1
Ai ) (3.10)
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Exemplu
Rezistorii circuitului din figura (1) Ri , i = 1, 4 functioneazaindependent si au aceleasi sanse de a se defecta. Sa secalculeze probabiliatea ca prin circuit sa circule curentul.
Figure:
A = (R1 ∪ R2 ∪ R3) ∩ R4 = (R1 ∩ R4) ∪ (R2 ∩ R4) ∪ (R3 ∩ R4).Numarul cazurilor posibile este 24 , deorece orice rezistorpoate fi în doua situatii, independent de celelalte. Doi rezistorifunctioneaza în 22 cazuri favorabile, trei rezistori în 2 cazurifavorabile, iar toate patru într-un singur caz.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Exemplu
Rezistorii circuitului din figura (1) Ri , i = 1, 4 functioneazaindependent si au aceleasi sanse de a se defecta. Sa secalculeze probabiliatea ca prin circuit sa circule curentul.
Figure:
A = (R1 ∪ R2 ∪ R3) ∩ R4 = (R1 ∩ R4) ∪ (R2 ∩ R4) ∪ (R3 ∩ R4).Numarul cazurilor posibile este 24 , deorece orice rezistorpoate fi în doua situatii, independent de celelalte. Doi rezistorifunctioneaza în 22 cazuri favorabile, trei rezistori în 2 cazurifavorabile, iar toate patru într-un singur caz.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Inegalitatea lui Boole.
Propozitie.Daca Ai ∈ K, i ∈ {1, 2, . . . , n} atunci are loc urmatoareainegalitate:
P
( n⋂i=1
Ai
)≥
n∑k=1
P(Ai )− (n − 1). (3.11)
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Exemplu
Un dispozitiv corespunde cerintelor daca satisface proprietatilea, b, c. Într-un lot de dispozitive 95% satisfac proprietatea a,90% dispozitive satisfac b iar 92% de dispozitive verificaproprietatea c. Sa se determine o limita inferioara aprobabilitatii ca, alegând la întâmplare un dispozitiv, acesta sacorespunda cerintelor.
P(A ∩ B ∩ C) ≥ P(A) + P(B) + P(C)− (3− 1)
= 0, 95 + 0, 90 + 0, 92− 2 = 0, 77.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Conditionare si independenta
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Probabilitate conditionata
Definitia 4.1
Daca A ∈ K, satisface P(A) , 0, atunci probabilitatea derealizare a evenimentului B în ipoteza ca evenimentul A s-arealizat, se numeste probabilitatea lui B, conditionata de A sieste definita prin:
P(B|A) = PA(B) =P(B ∩ A)
P(A). (4.1)
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Propozitia 4.1
Daca A ∈ K si P(A) , 0 atunci probabilitatea conditionata de Asatisface axiomele probabilitatii.
1) P(B|A) ∈ [ 0, 1 ], ∀ B ∈ K;
2) P(E |A) = 1;
3) P(B ∪ C|A) = P(B|A) + P(C|A), ∀ B, C ∈ K, B ∩ C = ∅.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Exemplu
O urna contine 6 bile albe si 4 bile negre. Extragem o bila siconstatam ca este alba. Mai extragem o bila. Cu ceprobabilitate a doua este tot alba? Vom considera situatiile:a. prima bila este repusa;b. prima bila nu este repusa.
A ="prima bila este alba" si B ="a doua bila este alba".Daca suntem în cazul a., faptul ca s-a produs A nu influenteaza
realizarea evenimentului B. Atunci P(B) =610
.
Daca suntem în situatia b., atunci A conditioneaza pe B si prin
urmare vorbim despre P(B|A) =59
.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Probabilitatea intersectiei
Daca A, B ∈ K atunci, din (4.1) deducem
P(A ∩ B) = P(A) · P(B|A), daca P(A) , 0; (4.2)
P(A ∩ B) = P(B) · P(A|B), daca P(B) , 0. (4.3)
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Evenimente independente
Definitia 4.2
Evenimentele A si B se numesc independente daca are loc
P(A ∩ B) = P(A) · P(B). (4.4)
Propozitia 4.2
Daca A, B ∈ K si P(A) · P(B) , 0, atunci urmatoarele afirmatiisunt echivalente:(i) A, B sunt independente;(ii) P(A|B) = P(A);(iii) P(B|A) = P(B).
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Evenimente independente
Propozitia 4.3
Fie A, B doua evenimente arbitrare. Urmatoarele afirmatii suntechivalente.(i) A, B sunt independente;(ii) A, B sunt independente;(iii) A, B sunt independente;(iv ) A, B sunt independente.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Probabilitatea unei intersectii–generalizare
P
( n⋂i=1
Ai
)=
= P(A1) ·P(A2|A1) ·P(A3|A1∩A2) . . . ·P(An|A1∩A2∩ . . .∩An−1).(4.5)
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Exemplu
Un lot de 100 de diode contine 5% rebuturi. Se face umatorulcontrol de calitate: se aleg (fara repunere) 5 diode si daca celputin una este defecta, lotul se respinge. Sa calculamprobabilitatea de a respinge lotul.
Ai ="la extragerea i se obtine o dioda rebut". Lotul este respins
daca se realizeaza evenimentul5⋃
i=1
Ai .
P
( 5⋃i=1
Ai
)= 1− P
5⋃i=1
Ai
= 1− P
( 5⋂i=1
Ai
)= 1− P(A1) · P(A2|A1) · P(A3|A1 ∩ A2) · P(A4|A1 ∩ A2 ∩ A3)·
P(A5|A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ A4) = = 1− 95100· 94
99· 93
98· 92
97· 91
96.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Definitia 4.3
Evenimentele Ai ∈ K, i ∈ {1, 2, . . . , n}, se numesc globalindependente daca pentru orice I ⊆ {1, 2, . . . , n} are loc
P
⋂i∈I
Ai
=∏i∈I
P(Ai ). (4.6)
Daca trei evenimente sunt independente doua câte doua nurezulta ca ele sunt independente în totalitatea lor (global).
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
Exemplul lui S. N. Bernstein
Consideram un tetraedru omogen cu fetele colorate astfel: ofata este alba, o fata este neagra, o fata este rosie iar a patrafata este colorata în toate cele trei culori.Aruncând tetraedrul pe o masa el se aseaza pe una din fete.Ne intereseaza probabilitatea aparitiei fiecarei culori siindependenta evenimentelor corespunzatoare.
Câmp finit de probabilitate – I
EvenimenteOperatii cu evenimente
Câmp finit de probabilitateConditionare si independenta
A1 evenimentul care consta în aparitia culorii albe,A2 evenimentul care consta în aparitia culorii negre,A3 evenimentul care consta în aparitia culorii rosii.
P(A1) = P(A2) = P(A3) =12
deoarece pentru fiecare culoare sunt patru cazuri posibile sidoua favorabile (fata cu culoarea respectiva si fata cu cele treiculori).
P(A1 ∩ A2) = P(A1 ∩ A3) = P(A2 ∩ A3) =14
,
P(A1 ∩ A2) = P(A1) · P(A2),
P(A1 ∩ A2 ∩ A3) =14, P(A1) · P(A2) · P(A3) =
18
.
Câmp finit de probabilitate – I