Momentum Sudut dan Benda Tegar
Transcript of Momentum Sudut dan Benda Tegar
MOMENTUM SUDUT DAN BENDA TEGAR
DISUSUN OLEH :
1. DINI BISMUTIKA2. MAY RAPIKA
3. MELINDA4. NOVIA SARI5. SUCI AMALIA
MOMENTUM SUDUT DALAM GERAK PLANET
MOMENTUM SUDUT BENDA TEGAR
GERAK MENGGELINDING
MOMENTUM SUDUT PARTIKEL TUNGGAL
BENDA TEGAR
GERAK SATELIT
MOMENTUM SUDUT SISTEM PARTIKEL
STATIKA BENDA TEGAR
GIROSKOPI
KEKEKALAN MOMENTUM PADA BENDA TEGAR
DINAMIKA BENDA TEGAR
MOMEN INERSIA BEBERAPA BENDA TEGAR
MOMENTUM SUDUT DALAM GERAK PLANET
Usaha untuk mempelajari sistem tata suryasecara ilmiah dirintis oleh orang-orang Yunani kuno. Deskripsi yang terperinci tentang kesimpulan yang diperoleh orang-orang Yunani ini diberikan oleh Ptolomeus pada abad kedua. Teori tentang sistem tata surya yang diberikan oleh Ptolomeus disebut sistem geosentrik.
Pada abad ke-enambelas Copernicus menyatakan bahwa deskripsi gerak benda-benda langit akan lebih sederhana jika dianggap bahwa matahari terletak pada pusat jagad. Teori ini disebut teori Copernicus, atau heliosentris. Dalam teori ini bumi adalah suatu planet yang berputar pada sumbunya dan bergerak mengelilingi matahari, dan planet-planet yang lain juga melakukan gerak serupa.
Adanya pertentangan antara dua teori tersebut membuat para mahasiwa astronomi berusaha untuk memperoleh data pengamatan yang lebih teliti. Data semacam ini dikumpulkan oleh Tycho Brahe (1546-1601) yang melakukan pengamatannya tanpa teleskop. Teleskop pertama kali dibuat oleh Galileo pada tahun 1609. data tentang gerak planet dari pengamatan Brahe dianalisa oleh Johannes Kepler (1571-1630) yaitu asisten Brahe, selama dua puluh tahun. Kepler menemukan adanya keteraturan dalam gerak planet-planet, keteraturan ini dinyatakan dalam tiga hukum Kepler untuk gerak planet.
Hukum keppler merupakan hukum – hukum yang menjelaskan tentang gerak planet.
Hukum I Keppler
Orbit planet berbentuk elips dimana matahari terletak pada salah satu titik fokusnya.
Aphelium
Jarak terjauh planet dari matahari
Perihelium
Jarak terdekat planet dari matahari
Hukum Keppler
Garis edar planet ( orbit ) lintasan yang dilalui planet saat mengitari matahari
Orbit Planet
• Jika waktu planet untuk berevolusi dari AB sama dengan waktu planet untuk berevolusi dari CD sama dengan waktu planet untuk berevolusi dari EF
• Maka luas AMB = luas CMD = luas EMF
• Sehingga kecepatan revolusi planet dari AB lebih besar kecepatan revolusi planet dari CD dan kecepatan revolusi planet dari CD lebih besar kecepatan revolusi planet dari EF.
• Semakin dekat matahari kecepatan revolusi planet semakin besar• Semakin jauh dari matahari kecepatan revolusi planet semakin
lambat.
Hukum II KepplerGaris yang menghubungkan planet ke matahari dalam waktu yang sama menempuh luasan yang sama
Hukum III Keppler Kuadrat kala revolusi planet sebanding dengan pangkat tiga
jarak rata – rata planet ke matahari
32
31
22
21
d
d
T
T
d1
d2
T1 = Periode revolusi planet 1T2 = Periode revolusi planet 2d1 = jarak rata – rata planet 1 ke mataharid2 = jarak rata – rata planet 2 ke matahari
Momentum Sudut Partikel Tunggal
momentum sudut sebuah partikel yang berputar terhadap sumbu putar didefenisikan sebagai hasil kali momentum linear partikel tersebut terhadap jarak partikel ke sumbu putarnya.
Maka:
L = r.p
Vector L selalu tegak lurus dengan p dan r. besarnya ditentukan dengan L=p sin θ. r. dimana θ merupaan sudut antara p dan r, Karena θ=90⁰ maka diperoleh L=p.r.
Oleh karena p=m.v dan v=ω.r, dengan ω adalah kecepatan sudut maka besarnya momentum sudut terhadap sumbu putarnya, yaitu:
L=m.v.r
L=m.r2. ω => L=I. ω• • • Momentum sudut pada sebuah partikel
didefinisikan l = r x p, • dengan p = mv• Besarnya momentum sudut• l = r p sin • rumusan ini dapat diubah menjadi• l = r (p sin) = r
p
• atau l = p (r sin) = p r
• dimana p adalah : komponen p yang tegak lurus r dan
• r adalah : komponen r yang tegak lurus p
• Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila dideferensialkan doperoleh :
• dl/dt = d (r x p)/dt• dl/dt = (r x dp/dt) + (dr/dt x
p)• dl/dt = (r x F) + (v x mv) • diperoleh• dl/dt =
dp/dt= F• •
Momentum sudut pada sebuah partikel didefinisikan l = r x p, dengan p = mv
Besarnya momentum sudut l = r p sin rumusan ini dapat diubah menjadi :
l = r (p sin) = r p atau l = p (r sin) = p r dimana p adalah : komponen p yang tegak lurus r dan r adalah : komponen r yang tegak lurus p Dari definisi momentum sudut l = r x p, bila dideferensialkan doperoleh :
dl/dt = d (r x p)/dt
dl/dt = (r x dp/dt) + (dr/dt x p)
dl/dt = (r x F) + (v x mv)
diperoleh
dl/dt = dp/dt= F
Gerak Satelit atau Planet
• Gerak planet dan semua nggota tata surya mengikuti hukum grafitasi universal
• Hukum Grafitasi Universal.• Planet bumi dan planet yang
lainnya bergerak mengitari matahari karena pengaruh gaya grafitasi matahari.
• Gerak satelit mengelilingi planet disebabkan ada gaya grafitasi planet pada satelit.
• Planet bergerak mengelilingi matahari karena matahari memiliki massa lebih besar dari planet.
• Satelit mengelilingi planet karena planet memiliki massa lebih besar dari satelit.
Mp = massa planetMm = massa maahariR = jarak antara massaF = gaya tarik matahari
pada planet
F
R
• F = gaya tarik ( N ) • M1 = massa matahari (kg) • M2 = massa planet (kg)• R = jarak rata- rata matahari dengan planet ( m ) • G = konstanta grafitasi umum ( 6,67 . 10 – 11 N m2/kg2)
F = G 2
21.
R
MM F
R
Besar gaya tarik matahari pada planet adalah sebanding dengan besar massa masing-masing dan berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara pusat massa masing – masing.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-15
Momentum Sudut Sistem Partikel
Untuk gerak linear sistem partikel berlaku
Momentum kekal jika
Bagaimana dng Gerak Rotasi?
Fp
EXTddt
FEXT 0
L r p
r F Untuk Rotasi, Analog gaya F adalah Torsi
Analog momentum p adalah
momentum sudut
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-16
Untuk sistem partikel benda tegar, setiap partikel memiliki kecepatan sudut yang sama, maka momentum sudut total:
1 2 31
n
n ii
L l l l l l
,1 1
n ni
net i neti i
dL dl
dt dt
Perubahan momentum sudut sistem hanya disebabkan oleh torsi gaya luar saja.
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-17
i
j
k̂vrmmi
iiii
iiiii
i vrprL
Perhatikan sistem partikel benda tegar yg berotasi pd bidang x-y, sumbu rotasi z. Total momentum sudut adalah jumlah masing2 momentum sudut partikel:
r1
r3
r2
m2
m1
m3
v2
v1
v3
Arah L sejajar sumbu z
Gunakan vi = ri , diperoleh
IL
(krn ri dan vi tegak lurus)
Analog dng p = mv !!
krmLi
2
iiˆ
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-18
Vektor Momentum Sudut
DEFINISIMomentum sudut dari sebuah benda yang berotasi tehadap sumbu tetap adalah hasil kali dari momen inersia benda dengan kecepatan sudut terhadap sumbu rotasi tersebut.
Demikan juga dengan torsi (Hk II Newton untuk gerak rotasi):
IL
I
dt
dI
dt
Id
dt
Ld
)(
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-19
Jika tidak ada torsi luar, L kekal. Artinya bahwa hasil perkalian antara I dan w kekal
L I
L I L I
2i iI m r
Vektor Momentum Sudut
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB Benda Tegar
Benda Tegar adalah benda yang tidak mengalami perubahan bentuk meskipun dipengaruhi oleh suatu gaya.
Bab 6-20
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-21
Torsi – Momen gaya
Torsi didefenisikan sebagai hasil kali besarnya gaya dengan panjangnya lengan
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-22
Torsi – Momen gaya
Torsi berarah positif apabila gaya menghasilkan rotasi yang berlawanan dengan arah jarum jam.
Satuan SI dari Torsi: newton.m (N.m)
DEPARTMEN FISIKA ITB
Momentum Sudut Benda Tegar
Dalam dinamika, bila suatu benda berotasi terhadap sumbu inersia utamanya, maka momentum sudut total L sejajar dengan kecepatan sudut , yang selalu searah sumbu rotasi. Momentum sudut (L) adalah hasil kali momen kelembaman I dan kecepatan sudut . Sehingga dapat dirumuskan :
L = I .
Bab 6-23
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bagaimana persamaan tersebut diperoleh? Perhatikan gambar berikut. Momentum sudut terhadap titik 0 dari sebuah partikel dengan massa m yang bergerak dengan kecepatan V (memiliki momentum P = mv) didefinisikan dengan perkalian vektor,
L = R Patau L = R mV
L = mR V
Bab 6-24
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITBJadi momentum sudut adalah suatu vektor yang
tegak lurus terhadap bidang yang dibentuk oleh R dan v.
Dalam kejadian gerak melingkar dengan 0 sebagai pusat lingkaran, maka vektor R dan v saling tegak lurus.
V = R Sehingga L = m R v
L = m R RL = m R2 Arah L dam adalah sama, maka:
L = m R2 atau L = I
Bab 6-25
DEPARTMEN FISIKA ITBkarena = dθ
dt
maka : L = m R2 dθ
dt
L = I dθ
dt
Momentum sudut sebuah partikel, relatif terhadap titik tertentu adalah besaran vektor, dan secara vektor ditulis:
L = R P = m (R v)
Bab 6-26
DEPARTMEN FISIKA ITB Bila diturunkan, menjadi:
dL = dR x P R dP
dt dt dt
dL = (V x Mv) + (F x R)
dt
dL = 0 + F x R
dt
karena = F Rmaka = dL
dt
Bab 6-27
DEPARTMEN FISIKA ITB
Apabila suatu sistem mula-mula mempunyai memontum sudut total L, dan sistem mempunyai momentum sudut total akhir L’, setelah beberapa waktu, maka berlaku hukum kekekalan momentum sudut. Perhatikan seorang penari balet yang menari sambil berputar dalam dua keadaan yang berbeda. Pada keadaan pertama, penari merentangkan tangan mengalami putaran yang lambat, sedangkan pada keadaan kedua, penari bersedekap tangan roknya berkibar-kibar dengan putaran yang cepat.
Bab 6-28
DEPARTMEN FISIKA ITB momentum sudut total awal = momentul sudut
total akhir
L = L’
L1 + L2 = L1’ + L2’
Hukum Kekekalan momentum rotasi sebagai berikut.
I1 1 + I2 2 = I1’ 1’ + I2’ 2’
Bab 6-29
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Momen Inersia Beberapa Benda Tegar
Momen Inersia bagi suatu sistem partikel benda tegar didefenisikan sebagai
I = momen inersia benda tegar, menyatakan ukuran inersial sistem untuk berotasi terhadap sumbu putarnya
...222
211
2 rmrmrmIi
ii
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-31
Untuk benda yang mempunyai distribusi massa kontinu, momen inersianya diberikan dalam bentuk integral
dVρrdmrI 22
dm
x
y
z
dmrIrmI ii
i 22
dldrdrdV Dimana Elemen Volume
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-32
dimana rdr : perubahan radius, dθ : perubahan sudut, dl : perubahan ketebalan.
dldrdrdV
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-33
Untuk lempengan benda dibawah ini, momen inersia dalam bentuk integral
dldrdrrI 2
Asumsi rapat massa ρ konstan
Kita dapat membaginya dalam 3 integral sbb:
LR
dldrdrrI0
2
00
2
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-34
Hasilnya adalah
LR
I
lr
I L
R
24
44
020
0
4
LRM 2
Massa dari lempengan tersebut
2
2
1MRI Momen Inersia benda
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-35
Dalil Sumbu Sejajar
Untuk benda tegar bermassa M yang berotasi terhadap sumbu putar sembarang yang berjarak h dari sumbu sejajar yang melalui titik pusat massanya (ICM diketahui), momen inersia benda dapat ditentukan dengan menggunakan:
Dalil Sumbu Sejajar2MhII cm
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-36
Momen Inersia:ℓ ℓ
ab
2
12
1mlI
2mRI
)(12
1 22 bamI
R
2
5
2mRI
2
2
1mRI
2
3
1mlI
R
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-37
Dinamika Benda Tegar
Mengikuti analog dari gerak translasi, maka kerja oleh momen gaya didefenisikan sbb:
21
22
2
1
2
12
1
2
1
IIdIdW
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-38
Energi Kinetik Rotasi
Suatu benda yang bergerak rotasi, maka energi kinetik akibat rotasi adalah
222
2
1
2
1 iiii rmrmK
2iirmI
2
2
1 IK
Dimana I adalah momen inersia,
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-39
Energi Kinetik Rotasi
Linear Rotasi
2
2
1 IK 2
2
1MvK
Massa
Kecepatan Linear
Momen Inersia
Kecepatan Sudut
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-40
Prinsip Kerja-Energi
Sehingga, teorema Kerja-Energi untuk gerak rotasi menjadi:
21
22
2
1
2
12
1
2
1
IIdIdW
2
2
1 IK rotasi rotasiKW dimana
Bila ,maka sehingga0 0W0 rotK Hukum Kekekalan En. Kinetik Rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-41
Menggelinding
Menggelinding adalah peristiwa translasi dan sekaligus rotasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-42
Gerak Menggelinding: rotasi dan translasi
s R Ban bergerak dengan laju ds/dt
com
dv R
dt
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-43
Gerak Menggelinding: rotasi dan translasi
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-44
Gerak Menggelinding: rotasi dan translasi
The kinetic energy of rolling
2 212
2 2 21 12 2
2 21 12 2
P P com
com
com com r t
K I I I MR
K I MR
K I Mv K K
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-45
Gerak Menggelinding Di Bidang Miring
R x
P
sf
gF
singF
cosgF
N Gunakan: torsi = I
sing PR F I
coma R
Maka:2 sin P comMR g I a
2P comI I MR
2
sin
1 /comcom
ga
I MR
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-46
Menggelinding
Total energi kinetik benda yang menggelinding sama dengan jumlah energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi.
20
20
2
1
2
1 ImvK
V0
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-47
Hukum Kekekalan Energi Mekanik Total Dengan Gerak Rotasi
GiroskopGiroskop adalah roda berat yang berputar pada jari-jarinya. Sebuah giroskop mekanis terdiri dari sebuah roda yang diletakkan pada sebuah bingkai. Roda ini berada di sebuah batang besi yang disebut dengan poros roda. Ketika giroskop digerakkan, maka ia akan bergerak mengitari poros tersebut. Poros tersebut terhubung dengan lingkaran-lingkaran yang disebut gimbal. Gimbal tersebut juga terhubung dengan gimbal lainnya pada dasar lempengan. Jadi saat piringan itu berputar, unit giroskop itu akan tetap menjaga posisinya saat pertama kali dia diputar.
torsi yang disebabkan oleh dua kekuatan yang berlawananFg dan –Fg menyebabkan perubahan momentum sudut L dalam arah yang torsi (karena torsi adalah turunanterhadap waktu dari momentum sudut). Hal ini menyebabkan bagian atas untuk presesi. Dalam sistem tertutup momentum sudut adalah konstan. Hukum konservasi ini secaramatematis berikut dari arah simetri kontinu ruang (tidak ada arah dalam ruang yang berbeda dari arah lain).
Turunan waktu dari momentum sudut disebut torsi:
(cross product kecepatan dan momentum adalah nol, karena vektor ini adalahsejajar.) Jadi memerlukan sistem yang akan "tertutup" di sini adalah secara matematis setara dengan nol torsi eksternal yang bekerja pada sistem:
di mana τe x t adalah setiap torsi diterapkan pada sistem partikel. Diasumsikan bahwa kekuatan interaksi internal taat hukum ketiga Newton tentang gerak dalam bentuk yang kuat, yaitu, bahwa kekuatan-kekuatan antara partikel adalah sama dan berlawanan dan bertindak di sepanjang garis antara partikel.Dalam orbit, momentum sudut didistribusikan antara putaran planet itu sendiri dan momentum sudut dari orbitnya
Dr. Linus Pasasa MS /Fisika Dasar I
DEPARTMEN FISIKA ITB
Bab 6-52
Suatu benda tegar dikatakan setimbang apabila memiliki percepatan translasi sama dengan nol dan percepatan sudut sama dengan nol.
Dalam keadaan setimbang, seluruh resultan gaya yang bekerja harus sama dengan nol, dan resultan torsi yang bekerja juga harus sama dengan nol:
SFx = 0 dan SFy = 0St = 0
Kesetimbangan Benda Tegar
Keseimbangan Partikel Syarat keseimbangan
partikel
0FS Syarat keseimbangan
gaya-gaya pada bidang xy
0xFS
0yFS
Keseimbangan Benda Tegar Momen gaya“ukuran efektivitas suatu gaya dalam menghasilkan rotasi benda mengelilingi sumbu putarnya”
Fdτ
= momen gaya (N m)F = gaya (N)d = lengan momen (m)
o Momen gaya searah jarum jam diberi tanda positif
o momen gaya berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif
Keseimbangan Benda Tegar Momen Kopel“merupakan pasangan dua buah gaya yang sejajar dan sama besar, namun arahnya berlawanan
FdM
= momen kopel (N m)F = gaya (N)d = jarak antara kedua
gaya (m)
o Momen kopel searah jarum jam diberi tanda positif
o momen kopel berlawanan arah jarum jam diberi tanda negatif
Keseimbangan Benda Tegar Koordinat Titik Tangkap Gaya Resultan
Jika sejumlah gaya bekerja pada bidang xy, maka setiap gaya tersebut dapat diuraikan atas komponen-komponenya
y
nnyR
y
nnyyyR
nnyyyRy
nyyyy
R
xFx
R
xFxFxFx
xFxFxFxR
...
...
...
2211
2211
21
x
nnxR
x
nnxxxR
nnxxxRy
nxxxx
R
xFy
R
xFxFxFy
yFyFyFyR
...
...
...
2211
2211
21
Syarat Keseimbangan Benda Tegar
Syarat keseimbangan benda tegar
0FS Syarat keseimbangan benda tegar Jika gaya-gaya
yang bekerja pada bidang xy
0S
0xFS
0yFS 0S
Titik Berat Setiap benda terdiri atas partikel-partikel
yang masing-masing memiliki berat. Resultan dari seluruh berat partikel disebut
gaya berat benda Titik tangkap gaya berat inilah yang
dinamakan titik berat
Menentukan titik berat dengan percobaan
Menentukan titik berat dengan perhitungan
n
nn
n
nn
W
xW
WWW
xWxWxWx
...
...
21
22110
n
nn
n
nn
W
yW
WWW
yWyWyWy
...
...
21
22110
titik berat benda pejal homogen
Jenis Keseimbangan Keseimbangan labil
Keseimbangan yang dialami benda dimana jika dipengaruhi oleh gaya atau gangguan kecil tidak akan segera kembali ke posisi semula
Jenis Keseimbangan Keseimbangan stabil
Keseimbangan yang dialami benda dimana jika dipengaruhi oleh gaya atau gangguan kecil akan segera kembali ke posisi semula
Jenis Keseimbangan Keseimbangan indeferen (netral)
Keseimbangan yang dialami benda dimana jika dipengaruhi oleh gaya atau gangguan tidak mengalami perubahan.
SELESAI