Modelos Lluvia-escorrenta

Se caracterizan por utilizar explcitamente la precipitacin, bien como intensidad o en la forma de hieto-

grama, en la estimacin del caudal punta o el hidrograma de escorrenta directa

Precipitacin

Intensidad Constante y espacialmente uniformeme

Intensidad Variable y espacialmente uniforme

Intensidad Variable y espacialmente no uniforme

Mo

del

oM

o

Circulacin de flujos

HidrogramaUnitario

MtodoRacional

Mtodo Racional Aplicable a pequeas cuencas (< 1,5 km2)

Hidrograma Unitario Aplicable a cuencas pequeas y medianas

Cuencas sin datos de aforos Hidrogramas Unitarios sintticos

Cuencas con registros deeventos de avenidas

Caracterizacin del Hidrograma Unitario

Modelo de Nash

Avenidas simples

Avenidas mltiples

1. INTRODUCCIN

2. TIEMPO DE CONCENTRACIN

Para estimar el caudal punta de escorrenta en una cuenca es fundamental conocer el recorrido de la escorrenta

desde un punto a otro de la cuenca.

Existen dos conceptos diferentes que habr que considerar y evaluar en el anlisis de un problema de drenaje

a) tiempo de viaje tv b) tiempo de concentracin, tc.

Tiempo que tarda el agua en circular a travs

de cualquier porcin o tramo de la cuenca con

caractersticas similares

Tiempo que tarda el agua en viajar desde el punto

hidrolgicamente ms distante de la cuenca hasta

la salida de la misma

Flujo superficial en lmina

Flujo poco profundo

Flujo en canales en lmina libre

Los tiempos de viaje sern calculados para con-

diciones tales como:

Puede estar constituido por uno o ms segmentos

de tiempo de viaje

El tiempo de concentracin es de una importancia

fundamental en la seleccin de la tormenta de pro-

yecto que ha de ser representativa de la zona, y

debe ser descrita por su periodo de retorno, dura-

cin y distribucin temporal

a) Tiempo de viaje para flujo en lmina

t1 = tiempo de viaje en horas.

n = coeficiente de rugosidad de Manning (ver Tabla 1).

L = longitud horizontal del flujo en metros.

P2= precipitacin de 24 horas y 2 aos de periodo de retorno,

en mm.

S = pendiente media de la superficie del terreno en m/m.

Tipo de superficie Valor n

Superficies lisas

Hormign, asfalto, grava o suelo desnudo

suelo en barbecho (sin residuos)

Terreno cultivado

Cubierta de residuos 20%

Cubierta de residuos > 20%

Zonas verdes o csped

Pradera de csped corto

Csped denso(1)

Bermudagrass

Pasto natural

Monte o bosque(2)

Maleza ligera

Maleza densa

0,011

0,050

0,060

0,170

0,150

0,240

0,410

0,130

0,400

0,800

(1) Incluye especies como mezclas de csped nativo, bluegrass.

(2) En la seleccin de n hay que considerar la cubierta hasta una altura de 3 cm,

por ser sta la nica parte de la cubierta de la planta que obstruir el flujo en lmina.

Como flujo en lmina se especifica a la escorrenta que se mueve como una delgada pelcula, de unos 3 cm, sobre

una superficie plana. Para flujos de este tipo de hasta 90 m de longitud, el SCS utiliza la solucin de Manning

Tabla 1 Valores del n de Manning para el flujo superficial en lmina

4,05,0

2

8,0

1

0917,0

SP

Ln = t

Donde:

b) Tiempo de viaje para flujos concentrados poco profundos

V

L = t3600

2

t2 = tiempo de viaje en horas.

L = longitud del flujo en metros.

V = velocidad media del flujo en m/s.

0.01 0.1 1 10

Velocidad, ms-1

0.01

0.1

1

SCS, 1972, Hydrology handbookBosque con lecho spero y pradera de heno

Bosque y barbecho con rastrojos

Pradera con hierba corta

Suelo cultivado con surcos alineados

Suelo casi desnudo y sin labrar

Desage revestido con vegetacin

Superficie pavimentada y crcavas pequeas

Una vez recorrida la distancia de 90 metros la escorrenta superficial en flujo en lmina llega a convertirse en

flujo concentrado poco profundo

Este tipo de flujo, habitualmente, no sobrepasa

la longitud de 250 a 300 m antes de conectar a

un arroyo o colector

El tiempo de viaje ser

c) Tiempo de viaje para flujos en conductos abiertos

Tipo de superficie Valor de n

Tuberas lisas

Tubera de fundicin

Tubera de hormign

Tubera de arcilla

Superficies de lechada de cemento

Tubera de acero corrugado

Canales en suelo sin revestimiento

Excavados uniformes

Limpios, sin vegetacin

Con csped corto y pocas hierbas

Yerbajos densos hasta la altura del flujo

Matorral denso, en fase alta

Canales en roca

Lisos y uniformes

Rugosos e irregulares

0,012

0,015

0,014

0,013

0,032

0,022

0,027

0,080

0,100

0,033

0,040

Pueden ser cunetas, zanjas, canales revestidos de hormign o colectores circulares. Se considera como flujo canaliza-

do aquel que posea un calado superior a 15 cm

Tabla 2 Valores de n de Manning para distintas superficies

La expresin de Manning se aplica con el supuesto de

que el canal fluya completamente lleno. Esto significa

que es necesario tener informacin de campo que per-

mita conocer el calado y calcular el rea de la seccin

transversal del canal

V = velocidad del flujo en m/s.

n = coeficiente de rugosidad de Manning.

S0 = pendiente del canal o conducto en m/m.

R = radio hidrulico en m.

La velocidad del flujo se calcula mediante la frmula de Manning.

R n

S = V 32

210

V

Lt

360033

El tiempo de viaje del flujo en conducto abierto ser

Donde:

Siendo L la longitud del canal (m)

yB

y

B

z1

y 1z

1,00

m

ay

x

PARABLICA

TRIANGULAR

TRAPECIAL

RECTANGULAR

SECCIN REA PERMETRO MOJADO RADIO HIDRULICO ANCHURA

k = 4a 2

y = k x 2 S = 2 k y

B y0 0B + 2 y B 00B y

B + 2 y0

0( B + z y ) y B + 2 z y 00B + 2 y 1 + z

( B + z y ) y02

2B + 2 y 1 + z0

2 y 1 + z22

z y

2 1 + z 2 z y 2z y

S

6 K KS3

222l n ( S + 1 + S ) + S 1 + S

12 K 223 K l n ( S + 1 + S ) + S 1 + S

3S

CIRCULAR

DB

y

2 yD

2

8D 1

2 4D ( 1 - )

2D sen ( - sen ) ) D

sen )

ngulo central = 2 arc cos (1- )

0

0

z yz y

2y (1+ z +1)2

z y 2

yz

2 (1+ z +1)2

BORDILLO CALZADA

Tabla 3 Funciones de forma de las secciones tpicas de canales de drenaje

Mtodo y Fecha Frmula para Tc (min) Observaciones

Kirpich (1940)

L = Longitud del canal/zanja desde la

cabecera a la salida (m).

S = Pendiente media de la cuenca (m/m)

Desarrollada de datos del SCS para siete cuen-

cas rurales en Tennessee entre 0,4 y 45 ha con

canal bien definido y fuertes pendientes (3% a

10%). Para flujo superficial sobre superficies de

hormign o asfalto multiplicar Tc por 0,4. Para

canales de hormign multiplicar Tc por 0,2. No

ajustada para flujo sobre suelo desnudo o flujo

en cunetas de carreteras.

California (1946)

L = Longitud del curso del agua ms

largo (km)

H = Diferencia de elevacin entre la di-

visoria y la salida (m)

Esta frmula es esencialmente la ecuacin de

Kirpich. Desarrollada para pequeas cuencas de

montaa de California.

Federal Aviation Agency

(1970)

C = Coeficiente de escorrenta del

mtodo racional

L = Longitud del flujo superficial (m)

S = Pendiente superficial (%)

Desarrollada de datos de drenaje de pistas de

aterrizaje, por el Cuerpo de Ingenieros. El

mtodo se desarroll para su uso en problemas

de drenaje de pistas de aterrizaje pero ha sido

usado con frecuencia para flujo superficial en

cuencas urbanas.

Onda cinemtica (Morgali

y Linsley, 1965)

L = Longitud del flujo superficial (m)

n = Coeficiente rugosidad de Manning

i = Intensidad de lluvia (mm/h)

S = Pendiente media superficial (m/m)

Ecuacin de flujo superficial desarrollada del

anlisis de la onda cinemtica de escorrenta

superficial. El mtodo requiere iteraciones ya

que i y Tc son desconocidas; la superposicin de

curvas IDF da la solucin grfica directa de Tc.

Tiempo de retardo del SCS

(1975)

L = Longitud hidrulica del curso de

agua ms largo (m)

CN = Nmero de curva del SCS

S = Pendiente media de la cuenca (%)

Ecuacin desarrollada por el SCS de datos de

cuencas agrcolas. Ha sido adaptada para pe-

queas cuencas urbanas menores de 800 ha.

Generalmente buena donde el rea est com-

pletamente pavimentada. Para reas mixtas

tiende a sobreestimar. Se aplican factores de

ajuste para corregir en canales y reas imper-

meables. La ecuacin asume que Tc = 1,67 x

tiempo de retardo de la cuenca.

Diagrama de velocidad

media del SCS (1975)

L = Longitud trayecto-ria de flujo (m)

V = Velocidad media en m/s de la

El diagrama de flujo superficial de la Figura 6.1

del TR-55 de SCS muestra la velocidad media

en funcin de la pendiente del curso de agua y

la cubierta superficial.

333,05,01,126,3 SLC = Tc C

385,077,001947,0 0SL = Tc

385,0387075,060 HL = T c

Si

nL = Tc 3,04,0

6,06,099,6

5,0

7,08,0

1900

10007,258

S

CN L = Tc

VL =Tc LL60

1

Tabla 4. Frmulas del tiempo de concentracin

3. MTODO RACIONAL

Es uno de los mtodos ms usados en el clculo del caudal punta en pequeas cuencas y reas urbanas

Fu Kuichling quin primero estableci su uso, en 1888 en los Estados Unidos, para el diseo de sistemas

de alcantarillado urbano

Fundamentos del mtodo racional

1. El volumen de escorrenta es proporcional a la impermeabilidad de la cuenca.

Este efecto es tenido en cuenta por el coeficiente de escorrenta

2. El caudal punta tiene lugar cuando la lluvia tiene una duracin suficiente paraque el rea tributaria completa contribuya a la escorrenta

Este concepto es la base para definir el tiempo de concentracin de la cuenca, tc,

y emplearlo en la determinacin de la intensidad media de la lluvia.

3. El caudal punta es proporcional a la intensidad de lluvia

Este hecho constituye la base para la inclusin de la intensidad de lluvia en la

ecuacin del mtodo racional

360

A i C = Q

p

El coeficiente de escorrenta no vara durante la tormenta

La duracin de la tormenta es igual al tiempo de concentracin

La intensidad de lluvia es constante durante la duracin de la tormenta, y es

uniforme sobre el rea de drenaje considerada

El caudal punta calculado en el punto de diseo es funcin de la intensidad media

de lluvia durante un tiempo igual al tiempo de concentracin de la cuenca tributaria

a dicho punto.

El periodo de retorno del caudal punta calculado es el mismo que el de la tormenta

de proyecto

360

A i C = Q

p

Qp Caudal punta en m3/s para el periodo de retorno T aos

C Coeficiente de escorrenta, adimensional

i Intensidad media de lluvia en mm/h durante un periodo de tiempo igual al tiempo de concentracin dela cuenca y un periodo de retorno de T aos

A Area de la cuenca en ha

DESCRIPCION DEL AREACoeficiente

de escorrenta

* Comercial

Areas situadas en el centro de la ciudad

Areas circundantes

* Residencial

Zonas de viviendas unifami-lia-res

Unidades mltiples aisladas

Unidades mltiples unidas

* Residencial (suburbano)

* Areas de viviendas de aparta-mentos

* Industrial

Industria ligera

Industria pesada

* Parques, cementerios

* Campos de deportes

* Areas de vas frreas cerca-das

* Areas sin urbanizar

* Vas pblicas

Asfaltadas

De hormign

Embaldosadas

* Calzadas y acerados

* Tejados y cubiertas

* Zonas de csped: suelo areno-so

Llano: 2%

Medio: 2-7%

En pendiente: 7%

* Zonas de csped: suelos pesa-dos

Llano: 2%

Medio: 2-7%

En pendiente: 7%

0,70-0,95

0,50-0,70

0,30-0,50

0,40-0,60

0,60-0,75

0,25-0,40

0,50-0,70

0,50-0,80

0,60,0,90

0,10-0,25

0,20-0,35

0,20-0,40

0,10-0,30

0,70-0,95

0,80-0,95

0,70-0,85

0,75-0,85

0,75-0,95

0,05-0,10

0,10-0,15

0,15-0,20

0,13-0,17

0,18-0,22

0,25-0,35

Fuente: Viessman y col., 1989

Tabla 5 Valores del coeficiente de escorrenta para el diseocon periodos de retorno de 5 a 10 aos

Tabla 6 Coeficientes de escorrenta para uso en el mtodo racional

Tomado de Chow y col., 1988

DesarrolladaAsfltica 0,73 0,77 0,81 0,86 0,90 0,95 1,00

Hormign 0,75 0,80 0,83 0,88 0,92 0,97 1,00

Areas cubiertas de csped (prados, parques, etc.)

- Condiciones malas:

(cubierta de csped menor de 50% del rea)

Llana 0-2% 0,32 0,34 0,37 0,40 0,44 0,47 0,58

Media 2-7% 0,37 0,40 0,43 0,46 0,49 0,53 0,61

Pendiente, mayor 7% 0,40 0,43 0,45 0,49 0,52 0,55 0,62

- Condiciones medias:

(cubierta de csped entre el 50 y 75% del rea)

Llana 0-2% 0,25 0,28 0,30 0,34 0,37 0,41 0,53

Media 2-7% 0,33 0,36 0,38 0,42 0,45 0,49 0,58

Pendiente, mayor 7% 0,37 0,40 0,42 0,46 0,49 0,53 0,60

- Condiciones buenas:

(cubierta de csped mayor del 75% del rea)

Llana 0-2% 0,21 0,23 0,25 0,29 0,32 0,36 0,49

Media 2-7% 0,29 0,32 0,35 0,39 0,42 0,46 0,56

Pendiente, mayor 7% 0,34 0,37 0,40 0,44 0,47 0,51 0,58

No desarrolladaTierra cultivada

Llana 0-2% 0,31 0,34 0,36 0,40 0,43 0,47 0,57

Media 2-7% 0,35 0,38 0,41 0,44 0,48 0,51 0,60

Pendiente, mayor 7% 0,39 0,42 0,44 0,48 0,51 0,54 0,61

Pastos/pastizales

Llana 0-2% 0,25 0,28 0,30 0,34 0,37 0,41 0,53

Media 2-7% 0,33 0,36 0,38 0,42 0,45 0,49 0,58

Pendiente, mayor 7% 0,37 0,40 0,42 0,46 0,49 0,53 0,60

Bosque/montes

Llano 0-2% 0,22 0,25 0,28 0,31 0,35 0,39 0,48

Medio 2-7% 0,31 0,34 0,36 0,40 0,43 0,47 0,56

Pendiente, mayor 7% 0,35 0,39 0,41 0,45 0,48 0,52 0,58

Tipo de superficie

2 5 10 25 50 100 500

Periodo de retorno (aos)

A= 1.6 ha.

C= 0.4

t = 12 min.c

ct = 5 min.

C= 0.6

A= 1.2 ha.

C U E N C A - A

P

Q

SUBCUENCAS

2

1

3

A= 1.8 ha.

C= 0.5

t = 20 min.c

Localizacin: Crdoba capital

C U E N C A - B

vt = 2.0 min.Tiempo de viajeCOLECTOR

SE QUIERECOLECTOR QUE

DIMENSIONAR

Ejercicio 1

4. MODELOS DE SISTEMAS LINEALES

Se analiza la interaccin entre la lluvia y la escorrenta a escala de cuenca. Se estudia, en primer lugar, el

modelo conceptual que considera a la cuenca como un sistema lineal invariable en el tiempo conocido tam-

bin como mtodo del Hidrograma Unitario, y posteriormente el modelo conceptual de Nash

Concepto de embalse lineal

Embalse en el que la relacin entre el almacenamiento S y el caudal de salida Q es

kQ = S

Esta ecuacin junto con la de continuidad

dt

dS = Q-I

da la ecuacin diferencial lineal

dt

dQk = Q-I

Q ( t )

S ( t )

d Sd t

= I ( t ) - Q ( t )

Figura 2 Esquema de embalse lineal

x(t) y(t)

Entrada SalidaH

Sistema

y(t)=H[x(t)]

Figura 1 Esquema de sistema Black Box

(1)

(2)

(3)

I(t)

Propiedades de los sistemas lineales

La cuenca puede ser considerada como un sistema lineal invariable en el tiempo, en el que la entrada sera la

precipitacin efectiva y la salida el caudal de escorrenta directa.

La esencia de la linealidad de un sistema se resume en

tres principios bsicos (Dooge, 1973):

1. El de proporcionalidad que establece que si la en-trada x1(t) al sistema produce la salida y1(t), la entra-

da CC x1(t) producir la salida CC y1(t), siendo C una

constante.

2. El de superposicin o aditividad, que establece que si dos entradas individuales x1(t) y x2(t) producen,respectivamente, las salidas y1(t) e y2(t), la entrada x1(t)+x2(t) producir la salida y1(t)+y2(t).

P R E C I P I T A C I O N I ( t )

Divisoria de la cuenca la cuenca

Superficie de

sistemaLmites del

Caudal de salidaQ ( t )

Figura 3. La cuenca como sistema

Hx1(t) y1(t)

HCx1(t) Cy1(t)

Hx1(t) y1(t)

Hx2(t) y2(t)

Hx1(t)+x2(t) y1(t)+y2(t)

3. Invariable en el tiempo indica que sus parmetros no cambian con el mismo, es decir, la forma de la salidadepende nicamente de la entrada y no del tiempo en el que se aplica la misma. Por consiguiente si

x(t) y(t) para el sistema invariable en el tiempo x(t+ ) y(t+ )

siendo un tiempo positivo o negativo.

Funcin de respuesta a un impulso

Si el sistema recibe una entrada de cuanta unitaria, aplicada instantneamente en el tiempo , la respuesta del

sistema en un tiempo posterior, t, se describe por la funcin h(t- ), siendo t- el tiempo de retardo tiempo lag

desde que se aplica el impulso unitario (Figura 4a).

t

2

1

21 (b)

(a)2 h ( t - ) + h ( t - ) ) )

1 2

1Impulso unitario

t

h ( t - ) )

I (t)

Q (t)

Figura 4 Respuesta de un sistema lineal a entradas tipo impulso

Si se aplican dos impulsos instantneos en los tiempos 1 y 2 de cuanta dos unidades el primero y unitario el

segundo, la respuesta o salida del sistema sera 2h(t- 1)+h(t-22

2) (Figura 4b).

De la misma manera, una entrada continua al sistema, puede tratarse como una suma de impulsos de duracin

infinitesimal. As, si I(

,

) es la intensidad de lluvia efectiva en mm/h, y dd es el intervalo de tiempo infinitesimal,

medido en horas, I(

(

)

)

dd ser la altura de lluvia efectiva que entra al sistema en dicho intervalo de tiempo d

l,

d . Por

consiguiente, la respuesta del sistema en un tiempo posterior, t- , que resulta de dicha entrada ser I(

mp

)

mp

h(t- ) dd .

Figura 5 Relacin de convolucin en un escala de tiempo continuo

t

Q

I

h

d

t o

Hietograma de lluvia efectiva

I ( ) d)

h (t - ) )

HUI

t -

Hidrograma resultanteoriginado por el hieto-grama de lluvia efectiva

t

Q ( t )

Q ( t ) = I ( ) h ( t - ) d( ) h - ) dt

o

o

La respuesta a la funcin completa I( ), se obtendr

sumando las respuestas de todos los impulsos de du-

racin infinitesimal que constituyen la entrada I( ), es

decir la integral

0

0

)()(t

d-thI = tQ d))(

que se conoce como integral de convolucin, queda la salida o respuesta de un sistema lineal en una

escala de tiempo continuo.

(4)

Sistema lineal en tiempo discreto

En las aplicaciones prcticas, las salidas o resultados se requieren en intervalos de tiempo discretos, dado que

la entrada al sistema, el hietograma de lluvia efectiva, se da en intervalos de tiempo discretos t o como datos

pulso.

En cambio, los caudales de salida (escorrenta directa) se dan como datos instantneos a intervalos de tiempo

t

Q

i t tt

t

P i

P =i I ( ) d ) di t

t( i -1)

n

Un - i + 1

(a)

(b)

(c)

n t

Q =n < m

n P Ui n - i + 1

n < m

i = 1

Figura 6 Relacin de convolucin en una escala de tiempo discreto

La integral de convolucin discreta para un

sistema lineal, es ahora

UP = Q +i-nimn

=in 1

1

Pmn mm

En la que m es el nmero de pulsos del hie-

tograma, y Un-i+1 son las ordenadas de la res-

puesta a un pulso de volumen unitario.

El lmite superior n m indica que los trminos

han de sumarse para i 1,2,3,... n, siempre

que n m, y estando limitada la suma a i 1,2

,... m, cuando n>m.

(5)

m1 2 3

P1 P2

P3

P i

Entrada P i

(a)

Respuesta unitaria aplicadaal pulso P1

(b)

Respuesta unitaria aplicadaal pulso P2

Respuesta unitaria aplicadaal pulso P3

(c)

Cau

dal

(m

/ s)

3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 n

Salida Q =n P - Ui n - i + 1P i = 1

n < m

Se ilustra la aplicacin del mtodo para un hietograma de 3 pulsos

P1, P2 y P3 en intervalos de tiempo

pa

t, y un hidrograma unitario de

duracin3

t compuesto de 7 ordenadas U1,, U7

Ejemplo de convolucin discreta

El hidrograma resultante se obtiene mediante la aplicacin de la

relacin de convolucin discreta.

Al existir 3 pulsos de entrada, m 3 por lo que se tendr

UP = Q +i-ni3n

=in 1

1

Pi3n 33

que desarrollada da

Q1 P1 U1Q2 P1 U2 + P2 U1Q3 P1 U3 + P2 U2 + P3 U1Q4 P1 U4 + P2 U3 + P3 U2Q5 P1 U5 + P2 U4 + P3 U3Q6 P1 U6 + P2 U5 + P3 U4Q7 P1 U7 + P2 U6 + P3 U5Q8 P2 U7 + P3 U6Q9 P3 U7

Rama de crecidaRama de recesin

Punto de inflexinHIDROGRAMA DE

LLuvia efectiva

Curva de infiltracin

HIETOGRAMA

I (mm/h)

Q (m / s)3

t

t

PUNTA

Tiempo lag

CRESTA

Tiempo de recesin (t )rTiempo a la punta (t )p

Tiempo base (t )b

Tiempo de concentracin

c(t )

ESCORRENTIA

Definicin de trminos

5. TEORA DEL HIDROGRAMA UNITARIO (HU)

De acuerdo con los modelos de sistemas lineales, el HU es la funcin de respuesta a un pulso unitario de la

cuenca considerada como sistema lineal. Este supuesto permite la aplicacin de la teora del HU, propuesta

por Sherman en 1932, para la obtencin del hidrograma de salida

El mtodo del HU es el ms conocido y la tcnica ms usada, tanto en el anlisis del fenmeno lluvia-esco-

rrenta en la cuenca como en la prediccin de avenidas futuras originadas por posibles hietogramas de diseo.

El HU de T horas de duracin, se define como el hidrograma de escorrenta directa originado por una lluvia

efectiva de 1 mm distribuida uniformemente sobre la cuenca, que cae a intensidad constante en un tiempo de

T horas

El concepto de HU lleva implcita la consideracin de la cuenca como un sistema lineal invariable en el tiempo.

Aunque este supuesto no es estrictamente cierto, se aplica en la prctica por la simplificacin que comporta

Los siguientes supuestos bsicos son inherentes al modelo

a) La lluvia efectiva tiene una intensidad constante dentro de la duracin efectiva y est uniformemente distri-buida sobre la cuenca.

b) La duracin de la escorrenta directa tiempo base del hidrograma de escorrenta directa que resultade una lluvia efectiva de una duracin dada, es constante.

c) Las ordenadas de todos los hidrogramas de escorrenta directa de un tiempo base comn son proporciona-les a la cantidad total de escorrenta directa representada por cada hidrograma.

d) Para una cuenca dada, el hidrograma resultante de una lluvia efectiva dada refleja las caractersticas inalte-rables de la cuenca.

c) los principios de proporcionalidad y superposicin

d) el principio de invarianza en el tiempo.

constituyen el fundamento

del modelo

Concepto y supuestos bsicos del HU

Las caractersticas geomorfolgicas de una cuenca --- topografa (pendientes, relieve, elevacin), distribucin

de las propiedades del suelo, estructura de la red de drenaje --- constituyen el control dominante en la determi-

acin de la forma de la respuesta unitaria de una cuenca.

Una lluvia efectiva unitaria de una determinada duracin siempre originar el mismo hidrograma de salida (HU)

6. DEDUCCIN DEL HIDROGRAMA UNITARIO

6.1. Cuencas aforadas

Modelos conceptuales linealesGeneralmente, los modelos conceptuales consideran las leyes fsicas en forma muy simplificada, Los mode-

los conceptuales del proceso lluvia-escorrenta se basan en la ecuacin de continuidad y la relacin almace-

namiento-descarga,

CUENCAS NO AFORADAS

Hidrogramas Unitarios Sintticos

Hidrograma Unitario Triangular

Hidrograma Unitario Adimensional

HIDROGRAMA UNITARIO

CUENCAS AFORADAS

Modelos conceptuales lineales

Modelo de Nash

Modelo de Nash

Representa la cuenca por una serie de n embalses lineales idnticos que tienen la misma constante de alma-

cenamiento

dt

dQK = Q-I

Caudal de salida Q1(t) Q/dQ K = dt 11K

Supone que el primer embalse recibe instantneamente un volumen

unitario de lluvia neta de toda la cuenca, descarga sobre el segundo,

ste sobre el tercero y as sucesivamente, teniendo lugar, as, los

efectos de almacenamiento y de difusin.

0)(1 0ttI

Q 1

Q 2

Q 3

Q n

n - 1Q

Q 1

Q n

Q 2

Q 3

La circulacin de este aporte unitario a travs de los n

embalses lineales permite la obtencin del HUI

QKS

QIdt

dS

De la ec. de continuidad y la relacin de almacena-

miento

Se obtiene

Primer embalse

La ecuacin anterior se reduce a

puesto que I(t) tiene lugar instantneamente que para t > 0, I 0

(6)

(7)

(8)

el volumen almacenado en el instante inicial es la unidad, S=1=KQ0, de donde

KQ 10 1

es el caudal que sale del primer embalse en el tiempo inicial t 0.

Integrando la ec. (8) se obtiene el caudal de salida Q1 del embalse en funcin del tiempo para t > 0.

Q/dQK= dt 11Q

Q

t

t u

Q

Q

t

t Q0

01lnln QQKQ K t

1

Q

Q

1

0KK

01QQe Kt Qt

Segundo embalse

La ecuacin diferencial (7), cuya solucin da el caudal de salida, ser dtdQKQQ 221 KQ

Sustituyendo en la expresin anterior el valor del aporte Q1, dado por (10) se tiene

22)1( dQKdtQeK Kt KQt

operarando y teniendo en cuenta que Q2' = dQ2/dt se llega a

KteKtQKQ tQ 22'2 11

que es una ecuacin diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes, cuya solucin general

ser la suma de la homognea y la particular. El resultado final de la suma de ambas (Ayuso, 1990) es

(9)

(10)

(11)

KteK

Q t

K

11

Tercer embalse

La ecuacin diferencial (43), cuya solucin da el caudal de salida, ser dtdQKQQ 332 KQ

Sustituyendo en la expresin anterior el valor del aporte Q2, dado por (12) se tiene

dtdQKQeKtKt

33

2 KQt

que tras operar y tener en cuenta que dtdQQ 3'

3 d se llega a

KteKtQKQ tt 33

'

31

que es una ecuacin diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes, cuya solucin se realiza

anlogamente a la de la expresin (11), resultando

(12)

(14)

(13)

Procediendo de manera anloga para los sucesivos embalses se llega a determinar para el n-simo, que

la descarga es (Ayuso, 1990)

Embalse n-esimo

KteK

tQ t

K 22

KteK

tQ t

3

2

32

et/KnK

= Q t/K-n

n

1)()(

1 1

n(e

K-n

t = Q t/K-

n

-n

n)!1(

1 Representa el HUI de la cuenca y

matemticamente es la funcin de

densidad de la distribucin gamma

Siendo (n) = (n-1)! la funcin gamma de n

n el nmero de embalses lineales de la cascada

K la constante de almacenamiento del embalse lineal

(15)

Los dos parmetros n y k del modelo pueden estimarse de un evento lluvia-escorrenta registrado en la

cuenca resolviendo el sistema de ecuaciones siguiente

KnS

M

S

M

I

I

Q

Qn

M 1010

I

I2

I

I

Q

Q

S

MKn2+Knn

S

M

S

M 10

20

20

11nM

(16)

Siendo10QM

20QMy los momentos de primer y segn-

do orden respecto al origen del Hidrograma de

escorrenta directa registrado

10IM

20IMy los momentos de primer y segn-

do orden respecto al origen del Hietograma de

precipitacin efectiva registrada

0 1

Tiempo ( h )

2 3 4 5 6 7 8 9 18 191716151413121110

325

300

275

250

225

200

175

150

125

100

75

50

25

0

Tiempo ( h )0 1 2 3 4

945

270

675540

2500

Lluv

ia (m

/s)

Cau

dal (

m /

s )

3

7501000

500

3

yi+1

yi

DTO i x i

Caudal (m

3/s

)In

tensid

ad

(m3/s

)

Y+Y

Y2+Y

3

t = X

1i+i

1i+ii

YYt

31 4 5 6 7 8 9 210 20191817161514131211102Tiempo ( h )

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Cau

dal (

m /

s )

3

Respuesta impulso a 1 mm. de lluvia

h ( t ) = ( t / n )1n - 1

e- t / k

n = 5,2807K = 1,2554

K (n)

1 mm

e)(t/K(n)K

1 = Q t/k-

1-n

n(n

HUI

t1 mm

HU de t horas

Q ( t )

Exceso delluvia

Tiempo

Tiempo

Tiempo

Q ( t )

g ( t )

h ( t )Impulso instantneo de 1 mm. de lluvia efectiva

h ( t )

t

g ( t ) - g ( t - t ) t )

t

t

a) Respuesta al impulsoinstantneo (HUI)

b) Respuesta a una entrada de paso unitario (hidrograma S)

c) Hidrograma unitario o respuesta a un impulso unitario

h ( t ) = ( ) tKK (n)

e (n)1 n - 1 - t / K

g ( t ) = h ( t )t

o

Q ( t ) = tt

1 g ( t ) - g ( t - t ) t ) [ ]

1

Obtencin del Hidrograma Unitario para una duracin de lluvia t

El HUI est dado por la funcin de densidad de

la distribucin Gamma, por lo que el hidrograma

S (Figura 26 b) ser la funcin de distribucin

acumulada. En consecuencia, el valor de la or-

denada g(t) ser

Figura 26. Deduccin del HU para una duracin t de lluvia efectiva, a partir del HUI

ttgtgt

Q(t) )(1

t)gt

t

tt

ttt

dttht

dtthdttht

1

)(1

00

dteKtnKt

Ktnt

tt

t

t nt

1

)(

11

dtet/KnK

1 = th = tg t/k-ntt

1

00

)()()( 1

Kh

n

La intensidad del exceso de lluvia ser I(t)=1/t, para 0 tt t y cero en otro caso.

g(t)-g(t-t) representa el rea encerrada por elHUI entre los tiempos t-t y t, y Q(t) representala pendiente del hidrograma S, entre dichos ins-

tantes de tiempo.

(17)

Ejercicio 2. Dados el hietograma de precipitacin efectiva (HPE) y el correspondiente hidrograma de escorrenta directa(HED), mostrados en la Figura, registrados en una cuenca de 243 km de superficie, determinar

a) Los valores de los parmetros n y K del modelo de Nash de embalses lineales en serie, para obtener el HUI.

b) El Hidrograma Unitario (HU) de 1,0 horas de duracin del exceso de lluvia.

c) El hidrograma de escorrenta directa producido por un hietograma de lluvia efectiva de 6 horas compuesto por

pulsos de una hora de 4, 12, 6, 10, 3 y 5 mm.

0 1

Tiempo ( h )

2 3 4 5 6 7 8 9 18 191716151413121110

325

300

275

250

225

200

175

150

125

100

75

50

25

0

305 300

280290

260

185

110

60

2510

210

150

105

65

40

2010 5

Tiempo ( h )0 1 2 3 4

14

4

108

5

0

10

15Llu

via

(mm

)

Cau

dal (

m /

s )

3

Hora Precipitacin(mm) (m3/s)

1 8 540

2 10 675

3 14 945

4 4 270

Solucin

a) Estimacin de los parmetros n y K.

hay que convertir la lluvia a unidades de m3/s, multiplicando por el rea de la cuenca y dividiendo por el incremento de

tiempo de cada pulso de lluvia, para que sea dimensionalmente homognea con la escorrenta

Un mm/h de lluvia efectiva equivale a /sm =s

m 33

5,673600

10243101 63 1210 3

0 1

Tiempo ( h )

2 3 4 5 6 7 8 9 18 191716151413121110

325

300

275

250

225

200

175

150

125

100

75

50

25

0

Tiempo ( h )0 1 2 3 4

945

270

675540

2500

Lluv

ia (m

/s)

Cau

dal (

m /

s )

3

7501000

500

3

yi+1

yi

DTO i x i

1

12

3 1

12

ii

iii

yy

yytx

t

1OQM2

OQM1

0IM2

0IM

HIDROGRAMA

ESCORRENTIA DIRECTA

HIETOGRAMA

PRECIPITACION EFECTIVA

AREA BRAZO MOMENTOS AREA BRAZO MOMENTOS

(m3/s h)DTO

(h)(m3/s h2) (m3/s h3)

(m3/s h) (h)

(m3/s h2) (m3/s h3)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

5,0

17,5

42,5

85,0

147,5

222,5

275,0

297,5

302,5

290,0

245,0

180,0

127,5

85,0

52,5

30,0

15,0

7,5

2,5

0,667

1,571

2,569

3,549

4,542

5,528

6,509

7,504

8,499

9,494

10,476

11,472

12,471

13,461

14,460

15,444

16,444

17,444

18,333

3,3

27,5

109,2

301,7

670,0

1.230,0

1.790,0

2.332,5

2.570,8

2.753,3

2.566,7

2.065,0

1.590,0

1.144,2

759,2

463,3

246,7

130,8

45,8

2,2

43,2

280,4

1.070,6

3.043,4

6.799,6

11.651,3

16.753,1

21.848,4

26.141,1

26.888,9

23.690,0

19.828,3

15.401,4

10.977,8

7.155,9

4.056,3

2.282,3

840,3

540

675

945

270

0,5

1,5

2,5

3,5

270,0

1.012,5

2.362,5

945,0

135,00

1.518,75

5.906,25

3.307,50

=2.430 =20.700 =198.754 =2.430 =4.590 =10.867,5

0 1

Tiempo ( h )

2 3 4 5 6 7 8 9 18 191716151413121110

325

300

275

250

225

200

175

150

125

100

75

50

25

0

Tiempo ( h )0 1 2 3 4

945

270

675540

2500

Lluv

ia (m

/s)

Cau

dal (

m /

s )

3

7501000

500

3

yi+1

yi

DTO i x i

KnS

M

S

M

I

I

Q

Qn

M 1010

I

I2

I

I

Q

Q

S

MKn2+Knn

S

M

S

M 10

20

20

11nM

Knhh/sm

h/sm

h/sm

h/sm =

S

M

S

M3

23

3

23

I

10I

Q

1OQ

nM

6296,6430.2

590.4

430.2

700.20

Sustituyendo este valor del producto nK y los valores de los momentos de segundo orden, en la segunda expresin, se obtiene

23198,77430.2

5,867.10

430.2

754.198h

h/sm

h/sm

h/sm

h/sm =

S

M

S

M3

33

3

33

I

2OI

Q

2OQ

7710M

Mediante la primera expresin se obtiene

Resultando, por consiguiente, la ecuacin en K

430.2

590.46296,626296,66296,63198,77

2

2

46 + K + =

que resuelta da

h = = K 2554,16296,6

3239,8

y como valor de n

2807,5

2554,1

6296,66296,6

5

1

66

Kn

Sustituyendo estos valores de n y K en la ecuacin del HUI se tiene

2554,12807,4)2554,1()2807,5(2554,1

1 tet/

= h(t) t

5(

96684,36!2807,4)2807,5( 345(Siendo

Las ordenadas del HUI vienen expresadas en h-1

31 4 5 6 7 8 9 210 20191817161514131211102Tiempo ( h )

11

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Cau

dal (

m /

s )

3

Respuesta impulso a 1 mm. de lluvia

h ( t ) = ( t / n )1n - 1

e- t / k

n = 5,2807K = 1,2554

K (n)

HUI HS HUTiempo

(h) (h-1) (m3/s) (h m3/s) (m3/s)

------- ---------------------------------------------------

0.0 .0000000 0.000 0.000 0.000

1.0 .0036699 0.248 0.124 0.124

2.0 .0321691 2.171 1.334 1.210

3.0 .0822907 5.555 5.197 3.863

4.0 .1271371 8.582 12.266 7.069

5.0 .1490046 10.058 21.586 9.320

6.0 .1466317 9.898 31.564 9.978

7.0 .1279025 8.633 40.829 9.265

8.0 .1021394 6.894 48.593 7.764

9.0 .0762478 5.147 54.613 6.020

10.0 .0539715 3.643 59.008 4.395

11.0 .0365945 2.470 62.065 3.057

12.0 .0239462 1.616 64.108 2.043

13.0 .0152090 1.027 65.429 1.321

14.0 .0094174 0.636 66.261 0.832

15.0 .0057049 0.385 66.771 0.510

16.0 .0033907 0.229 67.078 0.307

17.0 .0019818 0.134 67.259 0.181

18.0 .0011412 0.077 67.365 0.106

19.0 .0006485 0.044 67.426 0.061

20.0 .0003642 0.025 67.460 0.034

1 mm

El HUI es la respuesta de la cuenca a 1 mm de lluvia que cae

Instantneamente en toda el rea de la cuenca.

Por consiguiente, para convertir las ordenadas del HUI de h-1

a m3/s se tendr en cuenta el mm de lluvia sobre el rea de la

cuenca

smsmA

km

mkmA

mm

mmm

sh

33

2

26231

5,676,3

243

6,3

101013600

11

673

24

3

10A10136

31

Tabla 7. Valores del HUI y HU

Tabla 8. Datos registrados de los aguaceros*

Tiempohoras

Aguacero 1P Q

Aguacero 2P Q

Aguacero 3P Q

Aguacero 4P Q

mm m3/s mm m3/s mm m3/s mm m3/s

0

4

8

12

16

20

24

28

32

36

40

44

48

52

56

60

64

68

72

76

80

84

88

92

96

100

104

0

3,05

22,35

20,32

25,40

6,10

0,00

47,96

175,87

575,56

1438,91

2238,30

2238,30

1758,67

1311,01

911,31

591,55

399,70

223,83

127,90

63,95

31,98

15,99

0,00

0

9,14

21,34

23,37

1,02

3,05

6,10

0,00

15,99

79,94

367,72

831,37

1326,99

1406,93

1295,02

1119,15

975,26

751,43

591,55

447,66

319,76

223,83

143,89

79,94

47,96

31,98

15,99

0,00

0

3,05

12,19

0,00

7,99

27,18

78,34

241,29

409,29

380,51

278,19

217,44

177,47

145,49

116,71

95,93

73,54

55,96

38,37

25,58

17,59

7,99

3,20

0,00

0

5,08

1,02

8,13

2,03

18,29

11,18

3,05

21,34

3,05

13,21

0,00

23,98

79,94

127,90

151,88

175,87

431,67

799,39

1151,13

1358,97

1422,92

1350,98

1326,99

1334,99

1103,16

831,37

575,56

415,69

303,77

223,83

159,88

111,92

63,95

39,97

15,99

7,99

0,00

* Episodios de lluvia-escorrenta registrados en la cuenca del ro Potomac en Cumberland (Maryland). Tomados de Singh, 1976

APLICACIN DEL MODELO DE EMBALSES LINEALES DE NASH A UN CASO REAL

0 20 40 60 80 100

Tiempo, h

0

500

1000

1500

2000

2500

Caudal, m

/s

Observado

Calculado

0 20 40 60 80 100

Tiempo, h

30

20

10

0

Pre

cip

itaci

n,

mm

0 20 40 60 80 100

Tiempo, h

0

500

1000

1500

2000

2500

Caudal, m

/s

Observado

Calculado

0 20 40 60 80 100

30

20

10

0

Pre

cip

itaci

n,

mm

0 20 40 60 80 100

Tiempo, h

0

500

1000

1500

2000

2500

Caudal, m

/s

Observado

Calculado

0 20 40 60 80 100

30

20

10

0

Pre

cip

itaci

n,

mm

0 20 40 60 80 100

Tiempo, h

0

500

1000

1500

2000

2500

Caudal, m

/s

Observado

Calculado

0 20 40 60 80 100

Tiempo, h

30

20

10

0

Pre

cip

itaci

n,

mm

Aguacero 1 Aguacero 2

Aguacero 3 Aguacero 4

6.2. Cuencas no aforadas

Si se dispone de diversas cuencas aforadas en una regin se podra hacer

- Deducir el HU en cada una de las cuencas

- Correlacionar los diversos rasgos de estos hidrogramas (p.e., caudal punta, tiempo a la punta,

duracin) con caractersticas geomorfolgicas de la cuenca (p.e., rea, pendiente, etc.)

- Usar la ecuacin de regresin resultante para estimar los parmetros de un HU sinttico para

cuencas no aforadas

Muchas regresiones regionales de este tipo fueron deducidas por el SCS del USDA antes de proponer

un HU sinttico que sirviera para cuencas sin datos de aforos

Los hidrolgos del SCS tras analizar numerosos HU naturales de un gran nmero de cuencas que varia-

ban en tamao y localizacin geogrfica concluyeron que las caractersticas geomtricas de la mayora

de los HU deducidos de las cuencas estudiadas se asimilaban a tringulos con aproximadamente la mis-

ma distribucin temporal de los caudales.

Tal concepto llev a establecer que todos los HU se aproximan a tringulos

Cuando no se disponga de registros de eventos lluvia-escorrenta, pueden deducirse los hidrogramas

unitarios mediante los hidrogramas unitarios sintticos.

Un hidrograma unitario sinttico es un HU deducido de una frmula establecida sin necesidad de anali-

zar datos de lluvia y aforos para obtener el HU.

Deduccin de HU sintticos

El desarrollo de los hidrogramas unitarios sintticos se basa en el hecho de que si el volumen bajo el

hidrograma es conocido (volumen igual al rea de la cuenca multiplicado por un 1 mm de escorrenta),

el caudal punta puede calcularse suponiendo una determinada forma del HU. Asumiendo una forma

triangular, el volumen de escorrenta ser

mm = A

t q = V

bp1

2

6,3

V volumen de escorrenta igual al rea bajo

el Hidrograma triangular (1 mm)

qp caudal punta (m3/s/mm)

tb tiempo base del hidrograma unitario (h)

A rea de la cuenca (km)

Siendo:

De la ecuacin anterior se obtiene

t

A = q

bp

6,3

2

Hidrograma Unitario Sinttico Triangular

tb

qp

Tiempo

Caudal

tr

Exceso de lluvia = 1 mm

V = 1 mm

3

13

2

3600

2

/3600m

tqhshtsmqV

bpbp 33tbq1

2262

33

/102

/103600

kmmkmA

mmmmtqV

bp

10

103

(18)

(19)

(20)

(21)

El caudal punta se deduce sustituyendo tb/tp= 8/3 en la ecuacin (21), obtenindose

)(

)(208,0

)(667,2

)(

)(6,0

)(

)(2

2

113

kmcuencaladereaA

mmsmpuntacaudalqt

Aq

horasbasetiempottt

horasinconcentracdetiempot

horasretardodetiempott

horasefectivalluvialadeduracint

horaspuntalaatiempottt

t

pp

p

bpb

c

clag

r

plagr

p

r

ca0

ti2

ti

ti0

du

titlag2

t

11

tlag

tptb

tr

qp

1 mm

Escorrenta directa

Precipitacin efectiva

Hidrograma Unitario Sinttico del SCS

Es un hidrograma unitario adimensional desarrollado en base al anlisis de un gran nmero de HU naturales

en una amplia muestra de tamaos de cuencas y localizaciones geogrficas. Se ha aplicado a cuencas de ta-

mao medio en todo el mundo

Como HU emplea un hidrograma triangular en el que la relacin entre el tiempo base y el tiempo a la punta,

tb/tp = 8/3.

El tiempo a la punta ser t + t

= t lagr

p2

t

A =

t

A = q

ppp

208,0

386,3

2

tp8

(22)

(23)

Para cuencas menores de 8 km el tiempo de retardo tlag, se calcula mediante la siguiente ecuacin

S

-NC

L

=t

0.8

lag 5,0

7,0

9,7068

91000

4,25

,0

2525251010

tlag tiempo de retardo (h)

L longitud hidrulica medida a lo largo del curso principal (m)

NC nmero de curva

S pendiente media de la cuenca (tanto por ciento)

siendo

El uso de la ecuacin anterior est restringido a nmeros de curva dentro del intervalo 50 a 95.

Para cuencas mayores de 8 km2 en lugar de calcular el tiempo de retardo se calcula el tiempo de concen-

tracin por cualquiera de las frmulas empricas al efecto o por el mtodo del tiempo de viaje del SCS.

385,0

77,0

97,33SSS

Ltc

tc = tiempo de concentracin en minutos

L = longitud del cauce (km)

S = pendiente media de la cuenca (m/m)

Frmula de Kirpich siendo

Frmula de California

385,03

87075,060

0

00060H

Ltc

siendo

tc = tiempo de concentracin en minutos

L = longitud del cauce ms largo (km)

H = diferencia de elevacin entre la divisoria y la salida (m)

(24)

(26)

(25)

Volumen escorrenta = 1 mm

3/8 5/8

Hidrograma Unitario Adimensional del SCS

Una vez determinados tp y Qp se utiliza el HU adimensional de SCS de la Figura adjunta cuyas ordenadas a

Intervalos de 0,1 y 0,2 t/tp se dan en la Tabla 1. De esta forma se obtiene un HU adimensional que concuerda

ms con los observados en la naturaleza.

Este HU adimensional tiene un valor de tb/tp= 5.

t/tp q/qp

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

4,0

4,5

5,0

0,00

0,03

0,10

0,19

0,31

0,47

0,66

0,82

0,93

0,99

1,00

0,99

0,93

0,86

0,78

0,68

0,56

0,46

0,39

0,33

0,28

0,207

0,147

0,107

0,077

0,055

0,040

0,029

0,021

0,015

0,011

0,005

0,000

Tabla 9 Ordenadas del HU adimensional

0 1 2 3 4 5

t/tp

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

q/q

p

tlag

Punto de inflexin

se encuentra a 1,70 tp

tc

tp

0 1 2 3 4 5

t/tp

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

q/q

p

tb/tp=2,667

tc

tlag

Punto de inflexin

se situa a 1,70 tp

Hidrograma Hunitario Triangular

Hidrograma Hunitario Adimensional

Curva Volumen acumulado de escorrenta

Exceso de lluvia

t/tp q/qpVolumen(mm)

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

4,0

4,5

5,0

0,00

0,03

0,10

0,19

0,31

0,47

0,66

0,82

0,93

0,99

1,00

0,99

0,93

0,86

0,78

0,68

0,56

0,46

0,39

0,33

0,28

0,207

0,147

0,107

0,077

0,055

0,040

0,029

0,021

0,015

0,011

0,005

0,000

0,000

0,001

0,006

0,012

0,035

0,065

0,107

0,163

0,228

0,300

0,375

0,450

0,522

0,589

0,650

0,700

0,751

0,790

0,822

0,849

0,871

0,908

0,934

0,953

0,967

0,977

0,984

0,989

0,993

0,995

0,997

0,999

1,000

Tabla 10. Valores del HU adimensional

Usando las relaciones mostradas en el HU adimensional, puede establecerse la relacin entre tr (duracin

del exceso de lluvia que genera el HU) y tc (tiempo de concentracin de la cuenca)

pcr

prc

ttt

ttt

t

rt

6,02

7,1

cr

rc tt

tt 6,02

7,1 cr tt 2,015,0 0

cr tt 133,00

REA - A

REA - B

0,5

1,0

1,5

2,0

m /

s/m

m3

Tiempo (horas)

0,010 2 3 4 5 6 7 8 9

HU de 0,3 h

rea = 11,91 Km 2

T = 2,3 hc

pq = 1,619 m /s/mm

987654320 1Tiempo (horas)

HU de 0,8 h0,5

1,0

De 0 a 20 h

m /

s/m

m3

t = 0,3 h1 mm

1 mm

t =

t = 0,8 h

t = 0,3 ht =3

3t = 0,8 h

q = 0,619 m /s/mmp

cT = 6,0 h

2rea = 11,91 Km

(27)

1)(pt

tk

p

p et

tqtHU

k

tt

p

ppe

t

tqtHU

k

ttq

t1)(

Horn (1987) ajust el HU adimensional del SCS a una

expresin de la forma de la funcin de densidad de la

distribucin Pearson tipo III, dada por la expresin

Haan (1994) propone la siguiente relacin para el

mismo HU adimensional

0 1 2 3 4 5

t/tp

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

q/q

p

HU adimensional del SCS

siendo k = 3,5

siendo k = 3,77

(29)

(28)

titHUPtqm

ii tiP

m

iPPm

1)(1

m = n de pulsos de lluvia

t = Incremento de tiempo del pulso de lluvia

Convolucin

ttPttHUPtHUPtq tPtPP 2)( 321

La ordenada del hidrograma resultante en el tiempo t, para el caso de

un hietograma de preciptacin efectiva de tres pulsos de lluvia ser

Las ecuaciones de Horn o de Haan, que expresan el HU como una funcin continua, permiten obtener fcil-

mente, mediante la convolucin, el valor del hidrograma resultante para cualquier tiempo t, conocido el hieto-

grama de precipitacin efectiva

Generalizando, para un hietograma de m pulsos de

lluvia efectiva

Tiempo, t

Cau

dal q

tt

t

(30)

hT 5,00

titHUPtqm

ii tiP

m

iPPm

1)(1

5,05,0115,01)5,0(1

1

1

1HUPHUPtitHUPq

i

iHP011HPt1i

1

HPi

PP11

hT 11

5,01

5,01215,01111)1(

21

2

2

1

1

HUPHUP

HUPHUPtitHUPqi

i

HPHP

012HP011HPt1i2

HPi

PP11

hT 5,11

5,015,1

5,0135,15,0125,15,0115,11)5,1(

321

32

3

1

1

HUPHUPHUP

HUPHUPHUPtitHUPqi

i

HPHPHP

013HP012HP011HPt1i3

HPi

PP11

Tiempo, t

Cau

dal q

tt

t

ht 5,00t

Ejercicio 3. Calcular el HU sinttico del SCS, para una cuenca de 9,5 km cuya pendiente media es del 7,3 %,el nmero de curva es 69 y tiene una longitud del curso de agua principal de 3,56 km.

Solucin

min1,6915,1

3,79,7068

969

10004,253560

9,7068

91000

4,25

5,0

8,0

5,0

8,0

691

7

2525251010

2525251010

h

-

S

-NC

L

t

0.70.7

lag

htt

t lagr

p 28,1min6,761,692

15

217669

2

15tlag

t

2

tb= 2,667 tp = 2,667 1,28 h = 3,41 h

mmsmt

Aq

pp //54,1

28,1

5,9208,0208,0 31900

qp = 1,54 m3/s/mm tp = 1,28 h

t/tp q/qp t(h) q(m3/s/mm)

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,1

1,2

1,3

1,4

1,5

1,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,2

2,4

2,6

2,8

3,0

3,2

3,4

3,6

3,8

4,0

4,5

5,0

0,00

0,03

0,10

0,19

0,31

0,47

0,66

0,82

0,93

0,99

1,00

0,99

0,93

0,86

0,78

0,68

0,56

0,46

0,39

0,33

0,28

0,207

0,147

0,107

0,077

0,055

0,040

0,029

0,021

0,015

0,011

0,005

0,000

0,000

0,128

0,256

0,384

0,512

0,640

0,768

0,896

1,024

1,152

1,280

1,408

1,536

1,664

1,792

1,920

2,0482,176

2,304

2,432

2,560

2,816

3,072

3,328

3,584

3,840

4,096

4,352

4,608

4,864

5,120

5,760

6,400

0,000

0,046

0,154

0,293

0,477

0,724

1,016

1,263

1,432

1,525

1,540

1,525

1,432

1,324

1,201

1,047

0,862

0,708

0,601

0,508

0,431

0,319

0,226

0,165

0,119

0,085

0,062

0,045

0,032

0,023

0,017

0,008

0,000

min2,1156,0

1,69

6,011

0

69

0

lagc

tt min152,115133,0133,0 151100 cr tt

0 1 2 3 4 5 6 7

Tiempo (h)

0

0.5

1

1.5

2

Cau

dal

(m

3 s-

1 mm

-1)

1 mm

6. MODELO REA-TIEMPO

Se basa en el supuesto de traslacin El caudal en cualquier instante es funcin de las caracte

rsticas de traslacin de la cuenca

Tiene en cuentaEl retardo del hidrograma para alcanzar la salida, y

La no uniformidad espacial de la lluvia efectiva

No tiene en cuenta El efecto de almacenamiento en la cuenca

Re

sp

on

sa

ble

de

Figura a) Isocronas; b) histograma AT;c) diagrama AT; d) curva CAT

Tiempo de viaje

a1

a2a3

a4 a5 a6

a7

rea

d Ad t

ct

A (td)

d A

(a)

(b)

(c)

(d)

d

t c

t c

A (t)

El aumento de la base detiempo del hidrograma

La atenuacin de la punta

del hidrograma

Este modelo tiende a sobreestimar

la punta del hidrograma

La idea central de este mtodo es la de las curvas isocronas, o lneas traza-

das sobre la cuenca que unen puntos que tienen el mismo tiempo de viaje.

Estas lneas estn ms prximas en las zonas ms llanas, parte inferior de la

cuenca, mientras que se encuentran ms espaciadas en las zonas ms pen-

dientes, zona superior de la cuenca

El diagrama rea-tiempo (AT) indica la distribucin de los tiempos de viaje de

las diferentes zonas de la cuenca. Este diagrama representa el rea encerrada

por una isocrona frente al tiempo de viaje.

A veces, es ms conveniente usar la curva concentracin-rea-tiempo (CAT),

que es la derivada del diagrama AT

El intervalo de tiempo del hietograma de lluvia efectiva deber ser igual al intervalo de tiempo del histograma rea-

tiempo

Trazar las curvas isocronas: lneas trazadas sobre la cuenca que unen puntos que tienen el mismo tiempo de

viaje

Determinar el rea entre cada dos isocronas ai Aplicar la integral de convolucin discreta, donde Ii son los pulsos de intensidad de lluvia efectiva

a I =Q 1+i-ni

mn

1=i I i

mn mm

m = nmero de pulsos, de intensidad constante, de la lluvia efectiva (datos pulso del hietograma)

Procedimiento de aplicacin

an-i+1 = subreas comprendidas entre las isocronas

Donde

7. MODELO DE CLARK

Es una variante del mtodo rea-tiempo, ya que adems de

tener en cuenta el efecto de traslacin del modelo anterior,incorpora el efecto de almacenamiento de la cuenca circu-lando el hidrograma de salida, calculado por el mtodo rea-

tiempo, a travs de un hipottico embalse lineal situado a lasalida de la cuenca, que tiene un coeficiente de retardo, K,

equivalente al de la cuenca

Mtodo rea-tiempo

Mtodo de Clark

KQS KQ

(31)

El almacenamiento St en el tiempo t est linealmente relacionado al caudal de salida Qt en el tiempo t por la relacin

Q K = S tt

donde K = tiempo de retardo de la cuenca

En un embalse lineal

dt

dQK =

dt

dS = Q-I

tttt

Puesta en forma discreta, si Q2 y Q1 y I2 e I1 son los caudales de entrada y salida al final y principio del intervalo de

tiempo t

t

QQ K

QQ

II

t

QK

QQI 122121

22

Despejando Q2, nica incgnita, se obtiene

Q C II

C Q 0 1121

22

CII I

C

Siendotk

t C0

t

t

2

2

tK

tK = C

t

t

2

21

ecuacin que da el hidrograma de salida resolviendo para Q2 al final de cada intervalo de tiempo,

Si no se conoce el tiempo de retardo de la cuenca, el valor de K puede estimarse, estableciendo Qt = K dQ/dt

cuando el aporte es cero, a partir de la ecuacin (33), Esto ocurre aproximadamente en el punto de inflexin

de la rama de recesin del hidrograma cuando cesa el aporte al canal, Si se dispone de hidrogramas registra-

dos en la cuenca, el valor de K se estima como el cociente entre el caudal y la pendiente del hidrograma en

dicho punto,

(32)

(33)

(35)

(34)

(36)

Calcular el hidrograma de escorrenta originado por la lluvia efectiva especificada en el hietograma de la Tabla 4,8 mediante

el mtodo rea-tiempo, para la cuenca cuyas caractersticas y curvas isocronas se muestran en la Figura. Una vez obtenido

el hidrograma de salida aplicar el mtodo de Clark para calcular el hidrograma resultante.

Tiempo

(min)

Intensidad

(mm/h)

0-15

15-30

30-45

18,0

26,0

12,0

Ejercicio 4

Figura Isocronas de la cuenca

14%

17%

28%

23%

18%

t = 75 minc

60 min

45 min

30 min

15 min

Solucin:En primer lugar se procede a obtener el diagrama rea-tiempo (AT) calculando

las reas comprendidas entre cada dos isocronas, conociendo el porcentaje de

rea comprendida entre isocronas consecutivas

a1 = 0,18 x 6,5 = 1,170 km

a2 = 0,23 x 6,5 = 1,495 km

a3 = 0,28 x 6,5 = 1,820 km

a4 = 0,17 x 6,5 = 1,105 km

a5 = 0,14 x 6,5 = 0,910 km

Figura Diagrama AT y diagrama CAT

15 30 45 60 750

2.0

1.5

1.0

0.5

0

t (min)

1.49

5 1.82

0

1.10

5

1.17

0

rea

(km

)2

0.91

0

7.0

6.0

5.0

15 30 45 60 750

4.0

3.0

2.0

1.0

0

t (min)

rea

(km

)2

1.17

0

2.66

5

4.48

5

5.59

6.50

Para el desarrollo de los clculos debe establecerse la equivalencia de 1 mm/h de lluvia efectiva a m/s,

1 mm/h = 10-3 m/3600 s = 2,778 x 10-7 m/s

Aplicando la ecuacin (31) de la convolucin se obtiene el hidrograma de salida originado por el hietograma de lluvia efectiva

teniendo slo en cuenta los efectos de traslacin

a I = Q +i-ni

n

i=

n 1

3

1

I i

n

1

33

Q1 = I1a1Q2 = I1a2+I2a1Q3 = I1a3+I2a2+I3a1Q4 = I1a4+I2a3+I3a2Q5 = I1a5+I2a4+I3a3Q6 = I2a5+I3a4Q7 = I3a5

I1 = 18 x 2,78 x 10-7 m/s = 50,04 x 10-7 m/s

I2 = 26 x 2,78 x 10-7 m/s = 72,28 x 10-7 m/s

I3 = 12 x 2,78 x 10-7 m/s = 33,36 x 10-7 m/s

Q1 = 5,855 m3/s

Q2 = 15,938 m3/s

Q3 = 23,816 m3/s

Q4 = 23,677 m3/s

Q5 = 18,619 m3/s

Q6 = 10,267 m3/s

Q7 = 3,036 m3/s

15 30 45 60 75 90 105 150 1651351200

Mtodo

Mtodo deClark

rea-tiempo

t (min)

10

15

20

25

5

0

2Q

(m /

s)

El mtodo de Clark incorpora el efecto de almacenamiento en la cuenca circulando el hidrograma de salida, obtenido por el

mtodo de los isocronas, a travs de un hipottico embalse lineal situado a la salida de la cuenca con una constante de al-

macenamiento K igual al tiempo de retardo de la cuenca. El tiempo de retardo de la cuenca es td = 0,59 h.

Aplicando la ecuacin (35) se obtiene el hidrograma de salida. Se toma un valor de t =15 min, resultando los siguientes va-

lores de los coeficientes C0 y C1, dados por las expresiones (36).

C0 = (2 x 15)/(2 x 35 + 15) = 0,353

C1 = (2 x 35 -15)/(2 x 35 + 15) = 0,647

Procediendo a resolver la ecuacin (35) en la forma secuencial se obtiene el hidrograma de la Figura

Tiempo

(min)

Hidrograma

entrada

I(m3/s)

C1 Q1

Hidrograma

salida

Q2 (m3/s)

0

15

30

45

60

75

90

105

120

135

150

165

0

5,86

15,94

23,82

23,68

18,62

10,27

3,04

0

0

0

0

-

2,93

10,90

19,88

23,75

21,15

14,45

6,66

1,52

0

0

0

-

1,03

3,85

7,02

8,38

7,47

5,10

2,35

0,54

0

0

0

-

0

0,67

2,92

6,43

9,58

11,03

10,44

8,27

5,70

3,69

2,39

0

1,03

4,52

9,94

14,81

17,05

16,13

12,79

8,81

5,70

3,69

2,39

15 30 45 60 75 90 105 150 1651351200

Mtodo

Mtodo deClark

rea-tiempo

t (min)

10

15

20

25

5

0

2Q

(m /

s)

2

I+IC

210

2

I+I 21

Referencias

Ayuso, J.L., A. Pea y M.P Montesinos,1994. Estimacin del Hidrograma Unitario. Estudio comparitivo de cuatro mtodoslineales. Ingeniera del Agua Vol(1) N 2:21-32

Ayuso, J.L., 1990. Circulacin de Flujos. Mtodos usuales en el diseo de canales y embalse en cuencas pequeas. Mo-nografa N 179 Universidad de Crdoba.

Nash, J.E. y J.V. Sutcliffe, 1970. River flow forecasting through conceptual models I: A discussion of principles, Jornal ofHydrology Vol(10), 282-290.

Legates, D.R. y G.J. McCabe Jr., 1999. Evaluatingthe use of goddness-of-fit measures in hydrologic and hydroclimaticmodel validation. Water Resources Research, Vol(35) N1:233-241

Esbensen, K., T. Midtgaar, y S. Schnkopf, 1994. Multivariate analysis in practice. CAMO AS.