MODEL PREDATOR-PREY LESLIE-GOWER DENGAN TINGKATAN USIA PADA PREDATOR

DAN FUNGSI RESPON BEDDINGTON-DEANGELIS

TESIS

Oleh

RIMA ANISSA PRATIWI NIM. 166090400111010

PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA BIDANG MINAT MATEMATIKA BIOLOGI

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG

2018

i

MODEL PREDATOR-PREY LESLIE-GOWER DENGAN TINGKATAN USIA PADA PREDATOR

DAN FUNGSI RESPON BEDDINGTON-DEANGELIS

TESIS

Untuk Memenuhi Persyaratan Memperoleh Gelar Magister dalam Bidang Matematika

Oleh

RIMA ANISSA PRATIWI NIM. 166090400111010

PROGRAM STUDI MAGISTER MATEMATIKA BIDANG MINAT MATEMATIKA BIOLOGI

JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS BRAWIJAYA MALANG

2018

ii

TESIS

MODEL PREDATOR-PREY LESLIE-GOWER DENGAN TINGKATAN USIA PADA PREDATOR

DAN FUNGSI RESPON BEDDINGTON-DEANGELIS

Oleh:

RIMA ANISSA PRATIWI NIM. 166090400111010

Telah dipertahankan di depan Komisi Penguji pada tanggal 27 Juli 2018 dan dinyatakan LULUS

Menyetujui, Komisi Pembimbing

Ketua

Anggota

Prof. Dr. Agus Suryanto, M.Sc NIP. 196908071994121001

Dra. Trisilowati, M.Sc., Ph.D. NIP. 196309261989032001

Mengetahui: Ketua Program Studi Magister Matematika

Dr. Noor Hidayat, M.Si. NIP. 196112041988021001

iii

IDENTITAS TIM PENGUJI

Judul Tesis :

MODEL PREDATOR-PREY LESLIE-GOWER DENGAN

TINGKATAN USIA PADA PREDATOR DAN FUNGSI

RESPON BEDDINGTON-DEANGELIS

Nama : RIMA ANISSA PRATIWI

NIM : 166090400111010

Program Studi : Magister Matematika

Bidang Minat : MATEMATIKA BIOLOGI

KOMISI PEMBIMBING

Ketua : Prof. Dr. Agus Suryanto, M.Sc.

Anggota : Dra. Trisilowati, M.Sc., Ph.D.

TIM DOSEN PENGUJI

Dosen Penguji 1 : Dr. Isnani Darti, M.Si.

Dosen Penguji 2 : Nur Shofianah, S.Si., M.Si., Ph.D.

Tanggal Ujian : 27 Juli 2018

SK. Penguji :

iv

PERNYATAAN ORISINALITAS

Saya menyatakan dengan sebenar-benarnya bahwa sepanjang

pengetahuan saya, di dalam naskah tesis ini tidak terdapat karya ilmiah yang

pernah diajukan oleh orang lain untuk memperoleh gelar akademik di suatu

perguruan tinggi dan tidak terdapat karya atau pendapat yang pernah ditulis atau

diterbitkan oleh orang lain, kecuali yang secara tertulis dikutip dalam naskah ini

dan disebutkan dalam sumber kutipan dan daftar pustaka.

Apabila ternyata di dalam naskah tesis ini dapat dibuktikan terdapat unsur-

unsur jiplakan, saya bersedia diproses sesuai dengan peraturan perundang-

undangan yang berlaku dan tesis dibatalkan.

Malang, 25 Juli 2018

MATERAI 6000

Rima Anissa Pratiwi NIM. 166090400111010

v

RIWAYAT HIDUP

Penulis, Rima Anissa Pratiwi lahir di Yogyakarta, pada tanggal 29 April 1993.

Penulis merupakan anak ketiga dari tiga bersaudara dari pasangan Gijanto dan

Ratna Kartina Yulianingsih. Penulis menyelesaikan pendidikan Taman Kanak-

kanak (TK) di TK Pertiwi XIII Irian Jaya pada tahun 1999 dan menyelesaikan

pendidikan sekolah dasar di Madrasah Ibtidayah Jendral Sudirman di Kota Malang

Jawa Timur pada tahun 2005. Tahun 2008 penulis lulus dari Madrasah

Tsanawiyah Negeri 1 Malang Jawa Timur. Tahun 2011 lulus dari Sekolah

Menegah Atas Negeri 8 Malang, Jawa Timur. Penulis menyelesaikan pendidikan

tingkat sarjana (S1) di Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu

Pengetahuan Alam (FMIPA) Universitas Negeri Malang pada tahun 2015. Pada

tahun 2016 penulis melanjutkan pendidikan tingkat Magister ( S2) pada Program

Studi Magister Matematika Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Universitas

Brawijaya.

vi

RINGKASAN

RIMA ANISSA PRATIWI, Program Studi Magister Matematika Jurusan Matematika, FMIPA Universitas Brawijaya, 2 Juli 2018. Model Predator-Prey Leslie-Gower dengan Tingkatan Usia pada Predator dan Fungsi Respon Beddington-DeAngelis. Ketua Komisi Pembimbing: Prof. Dr. Agus Suryanto, M. Sc., Anggota: Dra. Trisilowati, M.Sc., Ph.D. Dalam tesis ini dibahas tentang model predator-prey Leslie-Gower dengan tingkatan usia pada predator dan fungsi respon Beddington-DeAngelis. Analisis dinamik yang dilakukan dalam tesis ini meliputi penentuan titik kesetimbangan, kondisi eksistensi tiap titik kesetimbangan, kestabilan lokal tiap titik kesetimbangan, dan kemungkinan terjadinya bifurkasi Hopf di titik kesetimbangan interior. Berdasarkan hasil analisis, diperoleh empat titik kesetimbangan yaitu titik kesetimbangan trivial, titik kesetimbangan bebas predator, titik kesetimbangan kelangsungan hidup predator, dan titik kesetimbangan interior. Titik kesetimbangan trivial dan titik kesetimbangan bebas predator selalu eksis, sedangkan titik kesetimbangan kelangsungan hidup predator dan titik kesetimbangan interior eksis dengan syarat tertentu. Titik kesetimbangan trivial selalu bersifat tidak stabil, sedangkan ketiga titik kesetimbangan yang lainnya bersifat stabil asimtotik dengan syarat tertentu. Bifurkasi Hopf terjadi di sekitar titik kesetimbangan interior. Simulasi numerik yang dihasilkan menunjukkan kesesuaian dengan hasil yang diperoleh dari analisis.

vii

SUMMARY

RIMA ANISSA PRATIWI, Master Mathematics Study Program Mathematics Department Faculty of Natural Sciences University of Brawijaya, 2 Juli 2018. Leslie-Gower Predator-Prey Model with Stage Structure on Predator and Beddington-DeAngelis Functional Response. Supervisor: Prof. Dr. Agus Suryanto, M. Sc., Co-Supervisor: Dra. Trisilowati, M.Sc., Ph.D. In this thesis, predator-prey Leslie-Gower model with stage structure on predator

and Beddington-DeAngelis functional response is studied. The dynamical analysis

involves determining the equilibrium point, the existency conditions of each

equilibrium point, the local stability of each equilibrium point, and the possibility of

a Hopf bifurcation at the interior equilibrium point. Based on analysis result, there

are four equilibrium points, namely the trivial equilibrium point, the predator-free

equilibrium point, the survival of predator equilibrium point, and the interior

equilibrium point. The trivial equilibrium point and the predator-free equilibrium

point always exist, while the equilibrium point of predator survival and the

equilibrium point of the interior exist under certain conditions. The trivial equilibrium

point is always unstable, while the other three equilibrium points are asymptotically

stable with certain conditions. Hopf bifurcation takes place around the interior

equilibrium point. The results of numerical simulation support the results obtained

from the analysis.

viii

KATA PENGANTAR

Dengan mengucap puji syukur kehadirat Allah SWT karena hidayah dan

mukjizat-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis dengan judul “Model

Predator-Prey Leslie-Gower dengan Tingkatan Usia pada Predator dan

Fungsi Respon Beddington-Deangelis” sebagai salah satu syarat untuk

melakukan penelitian tesis dalam bidang Matematika. Sholawat dan salam

semoga senantiasa tercurah pada junjungan kita Nabi Muhammad SAW.

Keberhasilan penulis dalam menyelesaikan tesis ini tidak lepas dari

kerjasama dan dukungan dari banyak pihak. Oleh sebab itu, penulis mengucapkan

terima kasih kepada:

1. Rektor Universitas Brawijaya, Prof. Dr. Ir. Nuhfil Hanani A.R., MS.

2. Dekan FMIPA Universitas Brawijaya, Drs. Adi Susilo, M.Si., Ph.D.

3. Bapak Prof. Dr. Agus Suryanto, M.Sc. selaku Ketua Komisi Pembimbing

dan Ibu Dra. Trisilowati, M.Sc., Ph.D. selaku Anggota Komisi Pembimbing

atas waktu, saran, kesabaran, dan motivasi yang diberikan kepada penulis

sehingga tesis ini dapat terselesaikan dengan baik.

4. Ibu Dr. Isnani Darti, M. Si. selaku dosen penguji I dan Ibu Nur Shofianah, S.Si.,

M.Si., Ph.D selaku dosen penguji II yang telah memberikan kritik dan saran

selama pengerjaan dan penyusunan tesis ini.

5. Bapak Dr. Noor Hidayat, M.Si., selaku Ketua program Studi Magister

Matematika FMIPA Universitas Brawijaya.

6. Bapak dan Ibu Dosen Jurusan Matematika FMIPA Universitas Brawijaya yang

telah memberikan ilmu kepada penulis, serta seluruh staf dan karyawan TU

Jurusan Matematika atas segala bantuannya.

ix

7. Kedua orang tuaku, Ibu Ratna Kartina Yulianingsih dan Bapak Gijanto serta

kakakku Adrianti Aga Prastiwi yang selalu memberikan dukungan, semangat,

dan doa yang tiada henti kepada penulis sampai tahap ini.

8. Sahabat-sahabat terbaikku, Antika, Anggi, Heni, Denira, yang selalu menjadi

penyemangat penulis, serta keluarga besar S2 Matematika Universitas

Brawijaya: Mbak Zulaikha, Mas Rio, Mbak Intan, Mbak Badria, Mbak Tyas,

Firman, Azizah, Bhidara, Lina, Fika atas kerjasama, dukungan, doa,

kebersamaan, dan semangat yang diberikan kepada penulis selama ini.

9. Teman-teman departemen Jodoh FKMP, Vela, Mbak Ika, Mbak Mirni, Mbak

Rita, Mas Eza, Mas Pam, Suhe, Mas Rizky, Mas Willy atas semangat yang

diberikan kepada penulis sehingga penulis tidak menyerah dalam pengerjaan

thesis ini.

10. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu yang telah

membantu dalam menyelesaikan thesis ini.

Penulis menyadari bahwa thesis ini jauh dari kata sempurna. Oleh karena

itu kritik dan saran senantiasa penulis harapkan demi kesempurnaan thesis ini.

Akhir kata semoga karya ini dapat berguna dan bermanfaat bagi semua

pihak untuk pengembangan ilmu pengetahuan di bidang Matematika. Penulis

mohon maaf sebesar-besarnya jika dalam proses pembuatan thesis ini penulis

melakukan kesalahan baik disengaja maupun tidak disengaja.

Malang, 25 Juli 2018

Rima Anissa Pratiwi NIM. 166090400111010

x

DAFTAR ISI Hal. HALAMAN JUDUL i HALAMAN PENGESAHAN ii HALAMAN IDENTITAS TIM PENGUJI iii PERNYATAAN ORISINALITAS iv RIWAYAT HIDUP PENULIS v RINGKASAN vi SUMMARY vii KATA PENGANTAR viii DAFTAR ISI x DAFTAR TABEL xii DAFTAR GAMBAR xiii BAB I PENDAHULUAN 1 1.1. Latar Belakang 1 1.2. Rumusan Masalah 4 1.3. Tujuan Penelitian 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA 6 2.1. Persamaan Diferensial 6 2.2. Persamaan Diferensial Biasa 6 2.3. Sistem Persamaan Diferensial 7 2.4. Sistem Dinamik 8 2.5. Sistem Otonomus 8 2.6. Titik Kesetimbangan 9 2.7. Kestabilan Titik Kesetimbangan 9 2.8. Sistem Otonomus Linear 10 2.9. Kriteria Routh-Hurwitz 11 2.10. Sistem Otonomus Nonlinear 12 2.11. Bifurkasi Hopf 14 2.12. Model Pertumbuhan Populasi 16 2.13. Model Populasi Predator-Prey Lotka-Volterra 17 2.14. Model Populasi Predator-Prey Leslie-Gower 18 2.15. Fungsi Respon 20 2.16. Model Predator-Prey dengan Tingkatan Usia

pada Predator 21

BAB III HASIL DAN PEMBAHASAN 24 3.1. Konstruksi Model Predator-Prey Leslie-Gower

dengan Tingkatan Usia pada Predator dengan Fungsi Respon Beddington-DeAngelis

24 3.2. Titik Kesetimbangan Model 26 3.3. Analisis Kestabilan Lokal Titik Kesetimbangan 29 3.3.1. Kestabilan Titik Kesetimbangan 𝐸0 30

3.3.2. Kestabilan Titik Kesetimbangan 𝐸1 30 3.3.3. Kestabilan Titik Kesetimbangan 𝐸2 31

3.3.4. Kestabilan Titik Kesetimbangan 𝐸3 32 3.4. Bifurkasi Hopf 34 3.5. Simulasi Numerik 41 3.5.1. Simulasi Numerik Kestabilan Titik

Kesetimbangan 𝐸1

42 3.5.2. Simulasi Numerik Kestabilan Titik

Kesetimbangan 𝐸2

42

xi

3.5.3. Simulasi Numerik Kestabilan Titik Kesetimbangan 𝐸3

44

BAB IV KESIMPULAN DAN SARAN 48 4.1. Kesimpulan 48 4.2. Saran 49 DAFTAR PUSTAKA 50 LAMPIRAN-LAMPIRAN 52

xii

DAFTAR TABEL

Hal

Tabel 3.1 Nilai Parameter 42

xiii

DAFTAR GAMBAR Hal Gambar 2.1 Bifurkasi Hopf supercritical 16

Gambar 2.2 Bifurkasi Hopf subcritical 16

Gambar 3.1 Potret fase untuk kestabilan dari titik kesetimbangan 𝐸1 43

Gambar 3.2 Potret fase untuk kestabilan titik 𝐸2 dengan 𝛼 = 1 44 Gambar 3.3 Potret fase untuk kestabilan titik kesetimbangan 𝐸3 dengan

𝛼 = 0.6

46

Gambar 3.4 Potret fase munculnya limit cycle pada sistem dengan 𝛼 =0.67

47

Gambar 3.5 Grafik solusi sistem (3.1) dengan 𝛼 = 0.67 47

1

BAB I

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Ekologi merupakan salah satu cabang ilmu pengetahuan alam yang sampai

sekarang masih sering dikembangkan oleh peneliti. Ekologi merupakan ilmu yang

mempelajari tentang perilaku hewan dan tumbuhan dengan habitatnya. Kata

ekologi berasal dari bahasa Yunani yaitu dari kata “oikos” yang berarti rumah atau

tempat tinggal, dan kata “logos” yang berarti ilmu pengetahuan. Dengan kata lain,

ekologi dapat diartikan sebagai ilmu pengetahuan yang mempelajari lingkungan

tempat tinggal suatu makhluk hidup. Secara umum, predator (pemangsa)

memengaruhi distribusi dan jumlah dari prey (mangsa) mereka, begitu pula

sebaliknya. Hal ini merupakan suatu hal yang penting dalam bidang ekologi.

Permasalahan ini dapat disebut sebagai predasi. Predasi atau pemangsaan

adalah konsumsi suatu organisme (prey) oleh organisme lain (predator), yang

mana prey masih hidup saat predator pertama kali menyerangnya (Smith,1990).

Model matematika dari predasi berbentuk persamaan diferensial dan dikenal

sebagai model predator-prey. Model tersebut merepresentasikan hubungan

antara predator dan prey pada suatu habitat untuk mempertahankan

kelangsungan hidup masing-masing. Salah satu model predator-prey yang paling

sederhana adalah model Lotka-Volterra. Model Lotka-Volterra ini ditemukan oleh

Alfred Lotka dan Vito Volterra pada tahun 1925-1926. Pada model ini prey tumbuh

secara eksponensial, sehingga model ini kurang realistis karena pertumbuhan

populasi tidak terbatas.

Pada tahun 1958, Leslie dan Gower mengajukan model predator-prey yang

mengasumsikan bahwa predator tumbuh mengikuti model pertumbuhan logistik

2

dengan kapasitas daya dukung lingkungan atau carrying capacity dari populasi

predator sebanding dengan jumlah populasi prey. Model tersebut kemudian

dikenal sebagai model predator-prey Leslie-Gower. Pada tahun 2003, Azis-Alaoui

dan Okiye memodifikasi model predator-prey Leslie-Gower dengan

menambahkan konstanta proteksi lingkungan untuk menjaga keberlangsungan

kehidupan predator. Dalam penelitian tersebut, laju pemangsaan yang digunakan

adalah fungsi respon Holling tipe II.

Model Lotka-Voltera dan model Leslie-Gower hanya memodelkan hubungan

antara predator dan prey saja tanpa memedulikan usia dari populasinya. Namun

dalam banyak kasus, usia dari populasi dapat memengaruhi hasil evolusi dari

populasi tersebut. Contohnya, Aiello dan Freeedman (1990) memperkenalkan

model satu spesies dengan tingkatan usia yang mana spesies tersebut dibagi

menjadi dua tingkat yaitu spesies muda dan spesies dewasa. Pada model ini,

mereka melibatkan konstanta waktu tunda untuk mendeskripsikan lamanya

perubahan populasi muda menjadi populasi dewasa. Wang dan Chen (1997)

memperkenalkan model dua spesies dengan tingkatan usia pada predator,

sehingga terdapat 3 populasi pada model ini yaitu populasi prey, populasi predator

muda dan populasi predator dewasa. Model ini membagi kelas predator menjadi

dua dengan asumsi terdapat waktu tunda dikarenakan kehamilan predator

dewasa, dan predator dewasa berasal dari predator muda yang berubah menjadi

predator dewasa. Huo, Wang, dan Chavez (2011) memperkenalkan model

predator-prey Leslie-Gower tiga tingkat dengan tingkatan usia pada populasi prey.

Pada model ini, terdapat 3 populasi yang diperhatikan yaitu populasi prey muda,

populasi prey dewasa dan populasi predator. Pada tahun 2014 dan 2017,

Khajanchi memperkenalkan model predator-prey Lotka-Volterra tiga tingkat dari

satu prey dan dua predator (predator muda dan predator dewasa). Khajanchi

3

mengasumsikan bahwa predator muda berasal dari hasil pemangsaan predator

dewasa terhadap prey. Pada penelitian ini diperoleh tiga titik kesetimbangan, yaitu

titik kesetimbangan trivial, titik kesetimbangan bebas predator, dan titik

kesetimbangan interior.

Salah satu faktor yang berpengaruh pada model predator-prey adalah fungsi

respon. Secara umum, fungsi respon adalah suatu fungsi yang mendeskripsikan

banyak prey yang dikonsumsi oleh predator per satuan waktu. Pada teori ekologi,

terdapat beberapa fungsi respon yang terkenal dalam memodelkan laju

pemangsaan antara predator dan prey. Beberapa di antaranya adalah fungsi

respon Holling tipe-I, Holling tipe-II, Holling tipe-III, Holling tipe-IV, dan Beddington

De-Angelis. Pada tahun 2014, Yu mempertimbangkan bahwa laju pemangsaan

yang digunakan seharusnya tidak hanya bergantung pada populasi prey, tetapi

juga bergantung pada populasi predator dan adanya koefisien proteksi lingkungan.

Hal ini mengakibatkan Yu (2014) menggunakan fungsi respon Beddington De-

Angelis.

Berdasarkan uraian di atas, pada penelitian ini dimodifikasi model predator-

prey Lotka-Volterra tiga tingkat milik Khajanchi (2014) dan (2017) dengan cara

mengubah model predator-prey Lotka-Volterra menjadi model predator-prey

Leslie-Gower dan fungsi respon yang digunakan adalah fungsi respon Beddington

De-Angelis. Perubahan model predator-prey Lotka Voltera menjadi model Leslie-

Gower dilakukan karena predator muda juga mempunyai laju kelahiran sendiri dan

tidak hanya berasal dari hasil pemangsaan dari predator seperti yang ada pada

model predator-prey Lotka-Voltera. Selanjutnya akan dilakukan analisis dinamik

pada model dengan menentukan titik kesetimbangan beserta syarat eksistensinya

dan dilakukan analisis kestabilan titik kesetimbangan. Kemudian akan dicari syarat

4

terjadinya bifurkasi Hopf dan dilakukan simulasi numerik untuk mengilustrasikan

hasil analisis.

1.2 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan pada sub bab sebelumnya,

maka rumusan masalah yang akan dibahas pada penelitian ini adalah:

1. Bagaimana konstruksi model predator-prey Leslie-Gower dengan

tingkatan usia pada predator dan fungsi respon Beddington De-Angelis??

2. Bagaimana titik kesetimbangan dan syarat eksistensi titik kesetimbangan

model predator-prey Leslie-Gower dengan tingkatan usia pada predator

dan fungsi respon Beddington De-Angelis?

3. Bagaimana sifat kestabilan titik kesetimbangan dan syarat ada tidaknya

bifurkasi hopf pada model predator-prey Leslie-Gower dengan tingkatan

usia pada predator dan fungsi respon Beddington De-Angelis?

4. Bagaimana hasil simulasi numerik model predator-prey Leslie-Gower

dengan tingkatan usia pada predator dan fungsi respon Beddington De-

Angelis?

1.3 Tujuan Penelitian

Berdasarkan rumusan masalah di atas, adapun tujuan penelitian ini adalah:

1. Mengkonstruksi model predator-prey Leslie-Gower dengan tingkatan usia

pada predator dan fungsi respon Beddington De-Angelis.

2. Menentukan titik kesetimbangan dan syarat eksistensi titik kesetimbangan

model predator-prey Leslie-Gower dengan tingkatan usia pada predator

dan fungsi respon Beddington De-Angelis.

5

3. Menganalisis sifat kestabilan titik kesetimbangan dan syarat ada tidaknya

bifurkasi Hopf pada model predator-prey Leslie-Gower dengan tingkatan

usia pada predator dan fungsi respon Beddington De-Angelis.

4. Melakukan simulasi numerik dan menginterpretasikan model predator-prey

Leslie-Gower dengan tingkatan usia pada predator dan fungsi respon

Beddington De-Angelis.

50

DAFTAR PUSTAKA

Alligood, K. T., T. D. Sauer, dan J. A. Yorke. (2000). CHAOS: An Introduction to Dynamical Systems. Springer-Verlag. New York.

Aiello, W.G. dan H.I. Freedman. (1990). A Time-Delay Model of Single-Species Growth with Stage Structure. Mathematical Biosciences. 101: 139-153.

Aziz-Alaoui, M. A. dan M. D. Okiye. (2003). Boundedness and Global Stability for a Predator-Prey Model with Modified Leslie-Gower and Holling-type II schemes. Applied Mathemathics Letters. 16: 1069-1075.

Boyce, W.E., dan R. C. DiPrima, (2012). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems Ninth Edition. John Willey & Sons, Inc. USA.

Finizio, N. dan G. Ladas. (1982). And Introduction to Differential Equations. Wadsworth Inc. USA.

Huo, H.F., X. Wang, dan C.C. Chavez. (2011). Dynamics of a Stage-Structured Leslie-Gower Predator-Prey Model. Mathematical Problems in Engineering. Volume 2011, Article ID 149341.

Kartono. (1994). Penuntun Belajar Persamaan Diferensial. Andi Offset. Yogyakarta.

Khajanchi, S. (2014). Dynamic Behavior of a Beddington-DeAngelis type stage structured Predator-Prey Model. Applied Mathemathics and Computation. 244: 344-360.

Khajanchi, S. (2017). Modeling The Dynamics of Stage-Structure Predator-Prey System With Monod-Haldane Type Response Function. Applied Mathemathics and Computation. 302: 122-143.

Leslie, P. H. dan J.C. Gower. (1958). The Properties of a Stochastic Model for Two Competing Species. Biometrika, 45(3-4), 316–330.

Mattheij, R. dan J. Molenaar. (2002) Ordinary Differential Equations in Theory and Practice.Society for Industrial and Applied Mathematics. Philadelphiea.

Murray, J. D. (2002). Mathematical Biology: An Introduction, Third Edition. Springer-Verlag, Inc. Berlin.

Nielsen, Kaj L. (1966). Differential Equations. Barnes & Noble, Inc. New York.

Ruan, S. dan D. Xiao. (2001). Global Analysis in a Predator-Prey System with Nonmonotonic Functional Response. Society for Industrial and Applied Mathematics. 61(4):1445-1472.

Robinson, R.C. (2004). An Introduction to Dynamical Systems Condinuous and Discrete, International Edition. Pearson Education, Inc. New Jersey.

Smith, R.L. (1990). Ecology and Field Biology, Fourth Edition. HarperCollins Publishers, Inc. New York.

51

Suryanto, A. (2017). Metode Numerik untuk Persamaan Diferensial Biasa dan Aplikasinya dengan MATLAB. Universitas Negeri Malang. Malang.

Wang, W. dan L. Chen. (1997). A Predator-Prey System with Stage-Structure for Predator. Computers Math. Applic.,33(8): 83-91.

Yu, S. (2014). Global Stability of modified Leslie-Gower model with Beddington-DeAngelis Functional Response. Advance in Difference Equation. 84.