Model Matematic Levitatie
-
Upload
alexandra-botezatu -
Category
Documents
-
view
233 -
download
0
Transcript of Model Matematic Levitatie
8/6/2019 Model Matematic Levitatie
http://slidepdf.com/reader/full/model-matematic-levitatie 1/11
Modelul matematic
Scopul sistemului este de a regla curentul prin bobina astfel incat corpul sa fie
sustinut la o distanta fixa fata de capatul de jos al bobinei. Acest lucru este obtinut printr-
o comanda de tip PWM.
Modelul matematic este dat de relatiile:
dt
t di Lt i Rt v
t y
t i g M
dt
t yd M
)()(*)(
)(
)(*
)(2
2
2
+=
−=
(1)
unde:
- y(t) – pozitia bilei in metri
- M= 0.1 Kg este masa bilei
- g = 9.8 m/s2 este acceleratia gravitationala
- R = 50 Ω este rezistenta bobinei
- L = 0.5 H este inductanta bobinei
- v(t) – tensiunea la intrare
- i(t) – curentul din bobina
Pozitia bilei este determinata de un senzor de pozitie, un senzor Hall. Presupunem
ca bila se afla in echilibru intr-un punct dintre bobina si sol.
1
8/6/2019 Model Matematic Levitatie
http://slidepdf.com/reader/full/model-matematic-levitatie 2/11
In stare libera ecuatiile (1) devin:
)(1
)()(
)(
)()(
)()(
33
1
2
32
21
t v L
t x L
R
dt
t dx
t xM
t x g
dt
t dx
t xdt
t dx
∗+∗−=
∗−=
=
(2)
unde:
−=
−=
−=
b o b ind inc u r e n tu lu ie n s i t a t e at it x
m a g n e t i cc o r p u lu iv it e z ad t
t d yt x
m a g n e t i cc o r p u lu id e p la s a r e at yt x
i n t)()(
)()(
)()(
3
2
1
(3)
2
8/6/2019 Model Matematic Levitatie
http://slidepdf.com/reader/full/model-matematic-levitatie 3/11
Observam ca neliniaritatile apar datorita termenilor )(2
3 t x si)(
1
1 t xdin ecuatia
dt
t dx )(2 .
Prin liniarizarea modelului procesului din ecuatiile (2), presupunand ca bila este
localizata intr-o pozitie initiala )0(1 x = )0( y , putem gasi un sistem liniar prin
calcularea matricii Jacobian in jurul punctului )0( y .
Pentru un sistem neliniar de forma
=
=•
),(
),(
u xh y
u x f x, modelul liniarizat este dat de
∗+∗=
∗+∗=•
u D xC y
u B x A x(4)
unde
u
h D
x
hC
u
f B
x
f A
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
∂
∂=
(5)
Matricea Jacobian necesara liniarizarii sistemului o putem calcula in Matlab
utilizand urmatoarele comenzi:
f=sym(‘x2, g-x3^2/(M*x1), (-R*x3)/L+v/L’)
h=sym(‘x1, x2, x3’)
J=jacobian(f,h)
3
8/6/2019 Model Matematic Levitatie
http://slidepdf.com/reader/full/model-matematic-levitatie 4/11
Vom obtine:
−
∗
∗−
∗=
L
R
yM
x
yM
x J
00
)0(
20
)0(
0103
2
2
3(6)
Dar sistemul trebuie sa fie in echilibru deci acceleratia sa fie nula, 0)(2 =
dt
t dx,
vom obtine g yM x ∗∗= )0(23 (7)
Astfel reprezentarea liniara in spatiul starilor a sistemului cu suspensie magnetica
a unui corp magnetic este data de ecuatiile:
)(1
)()(
)()0(
2)()0(
)(
)()(
33
312
21
t v L
t x L
R
dt
t dx
t x yM
g t x
y
g
dt
t dx
t xdt
t dx
∗+∗−=
∗∗
∗−∗=
=
(8)
Vom scrie ecuatiile (8) sub forma matriciala:
u
L x
x
x
L
R
yM g
y g
x
x
x
∗
+
∗
−
∗∗−=
•
•
•
10
0
00
)0(20
)0(
010
3
2
1
3
2
1
4
8/6/2019 Model Matematic Levitatie
http://slidepdf.com/reader/full/model-matematic-levitatie 5/11
[ ]
∗=
3
2
1
001
x
x
x
y
Pentru urmatoarele calcule facute cu Matlab vom considera urmatoarele date
initiale:
%valori de intrare
M=0.1;
g=9.8;
R=50;
L=0.1;
y0=0.03;
%matricile sistemului
A=[0 1 0;
g/y0 0 -2*sqrt(g/(M*y0));
0 0 -R/L];
B=[0; 0; 1/L];
C=[1 0 0];
D=[0];
A =
0 1.0000 0326.6667 0 -114.3095
0 0 -500.0000
B =
5
8/6/2019 Model Matematic Levitatie
http://slidepdf.com/reader/full/model-matematic-levitatie 6/11
0
0
10
C =
1 0 0
D =
0
Functia de transfer
Vom determina functia de transfer a sistemului utilizand Matlab.
[num, den]=ss2tf(A,B,C,D,1)
num =
1.0e+003 *
0 0 0.0000 -1.1431
den =
1.0e+005 *
0.0000 0.0050 -0.0033 -1.6333
h1=tf(num,den)
Transfer function:
6
8/6/2019 Model Matematic Levitatie
http://slidepdf.com/reader/full/model-matematic-levitatie 7/11
1.29e-011 s - 1143
-----------------------------------
s^3 + 500 s^2 - 326.7 s - 1.633e005
Raspunsul la impuls
impulse(num,den)
Raspunsul la treapta unitara
7
8/6/2019 Model Matematic Levitatie
http://slidepdf.com/reader/full/model-matematic-levitatie 8/11
step(num,den)
Harta poli-zerouri in bucla deschisa
sys=ss(A,B,C,D)
a =
x1 x2 x3
x1 0 1 0
x2 326.7 0 -114.3x3 0 0 -500
b =
u1
8
8/6/2019 Model Matematic Levitatie
http://slidepdf.com/reader/full/model-matematic-levitatie 9/11
x1 0
x2 0
x3 10
c =
x1 x2 x3
y1 1 0 0
d =
u1
y1 0
Continuous-time model.
pzmap(sys)
9
8/6/2019 Model Matematic Levitatie
http://slidepdf.com/reader/full/model-matematic-levitatie 10/11
Sau:
poli=eig(A)
poli =
18.0739
-18.0739
-500.0000
Unul din polii sistemului este in jumatatea dreapta a planului ceea ce inseamna casistemul este instabil in bucla deschisa.
Locul radacinilor
rlocus(sys)
10
8/6/2019 Model Matematic Levitatie
http://slidepdf.com/reader/full/model-matematic-levitatie 11/11
Modelul Simulink pentru raspuns la treapta in bucla deschisa
Raspunsul sistemului vizualizat la osciloscop:
11