MIT Intro to Derivatives

8/4/2019 MIT Intro to Derivatives

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F i n a n c i a l D e r i v a t i v e s

1 8 . 0 9 5 : I A P M a t h e m a t i c s L e c t u r e S e r i e s 2 0 0 0

N o t e s f o r L e c t u r e 5

M a r t i n Z . B a z a n t

E - m a i l : b a z a n t @ m a t h . m i t . e d u , O c e : 2 - 3 6 3 B , P h o n e : 3 - 1 7 1 3

h t t p : / / w w w - m a t h . m i t . e d u /

b a z a n t / t e a c h / I A P 0 0 - n a n c e

0

y

x

K

0

longshort

K

0

x

0

digital

put call

(a) (b)y

F i g u r e 1 : P a y o s y ( x

) f o r d e r i v a t i v e s o n a n u n d e r l y i n g a s s e t x

w i t h s t r i k e p r i c e K

. ( a )

S h o r t a n d l o n g p o s i t i o n s i n a f o r w a r d c o n t r a c t . ( b ) L o n g p o s i t i o n s i n t h r e e d i e r e n t

k i n d s o f o p t i o n c o n t r a c t s .

1 I n t r o d u c t i o n

Ad e r i v a t i v e s e c u r i t y i s a n a n c i a l i n s t r u m e n t w h o s e v a l u e i s \ d e r i v e d " f r o m t h e v a l u e o f

o n e o r m o r e u n d e r l y i n g a s s e t s , w h i c h c o u l d b e c o m m o d i t i e s ( e . g . p o r k b e l l i e s ) , s t o c k s ( e . g .

s h a r e s o f A O L ) , f o r e i g n e x c h a n g e r a t e s ( e . g . t h e $ / y e n b u y i n g r a t e ) , i n t e r e s t r a t e s ( e . g . t h e

U S p r i m e l e n d i n g r a t e ) o r m o r e e x o t i c v a r i a b l e s ( e . g . t h e a v e r a g e s n o w f a l l i n A s p e n , C O ) 1 ] .

T h e s i m p l e s t d e r i v a t i v e i s a f o r w a r d c o n t r a c t ( o r i t s p u b l i c l y t r a d e d a l t e r - e g o , a f u t u r e s

c o n t r a c t ) o n a s t o c k o r c o m m o d i t y , w h i c h g i v e s t h e h o l d e r o f t h e l o n g p o s i t i o n ( t h e b u y e r

o f t h e c o n t r a c t ) t h e r i g h t t o p u r c h a s e t h e u n d e r l y i n g f r o m t h e h o l d e r o f t h e s h o r t p o s i t i o n

( t h e s e l l e r o f t h e c o n t r a c t ) f o r a x e d s t r i k e p r i c e a t a x e d t i m e i n t h e f u t u r e ( t h e m a t u r i t y

o f t h e c o n t r a c t ) . C l e a r l y , a s s h o w n i n F i g . 1 ( a ) , t h e v a l u e o f t h e l o n g p o s i t i o n i n a f o r w a r d

c o n t r a c t y ( x

) a t m a t u r i t y ( i g n o r i n g t r a n s a c t i o n c o s t s , t a x e s , e t c . ) i s

y ( x) =

x ; K( l o n g f o r w a r d ) ( 1 )

1


2/11

w h e r e x

i s t h e v a l u e o f t h e u n d e r l y i n g a n d K

i s t h e s t r i k e p r i c e

1

.

A n o p t i o n i s a m o r e s o p h i s t i c a t e d , h a r d e r t o p r i c e , v e r s i o n o f a f o r w a r d c o n t r a c t , i n w h i c h

t h e h o l d e r m a y c h o o s e w h e t h e r o r n o t t o e x e r c i s e t h e c o n t r a c t

2

. O f c o u r s e , t h e c o n t r a c t w i l l

b e e x e r c i s e d o n l y i f i t i s p r o t a b l e t o d o s o . H e n c e , a t m a t u r i t y t h e v a l u e o f a c a l l o p t i o n ,

w h i c h i s t h e r i g h t ( b u t n o t t h e o b l i g a t i o n ) t o b u y t h e u n d e r l y i n g x

a t t h e s t r i k e p r i c e K

, i s

y ( x) = m a x

f x ;K

0 g( l o n g c a l l ) ( 2 )

a s s h o w n i n F i g . 1 ( b ) , s i n c e t h e o p t i o n w i l l n o t b e e x e r c i s e d i f x < K . A p u t o p t i o n i s t h e

r i g h t t o s e l l t h e u n d e r l y i n g x

a t p r i c e K

a t m a t u r i t y

3

. T h e r e a r e m a n y o t h e r k i n d s o f o p t i o n s ,

s u c h a s t h e d i g i t a l o p t i o n w h i c h i s a p u r e b e t , i . e . t h e s h o r t p a y s t h e l o n g a x e d a m o u n t

i f x > K a n d v i c e v e r s a i f x < K . M a n y c o m p l e x d e r i v a t i v e c o n t r a c t s c a n b e e x p r e s s e d a s

l i n e a r c o m b i n a t i o n s o f p u t , c a l l , a n d d i g i t a l o p t i o n p o s i t i o n s

4

.

T h e d i c u l t y i n p r i c i n g d e r i v a t i v e s i s t h a t t h e y i n v o l v e r i s k , w h i c h i s a l s o t h e i r r a i s o n

d ' ^e t r e 2 ] . D e r i v a t i v e s e c u r i t i e s e x i s t s o t h a t i n v e s t o r s c a n e i t h e r h e d g e

, i . e . r e d u c e t h e i r

e x p o s u r e t o a c e r t a i n r i s k , o r s p e c u l a t e , i . e . b e t o n e x p e c t e d o u t c o m e s . F o r e x a m p l e , a

s h a r e h o l d e r o f a s t o c k w o r t h $ 1 0 0 c o u l d p u r c h a s e a p u t o p t i o n s t r u c k a t $ 5 0 t o i n s u r e a g a i n s t

l o s i n g m o r e t h a n h a l f o f h e r m o n e y . C o n v e r s e l y , a s p e c u l a t o r w h o e x p e c t s t h e s t o c k t o r i s e

c o u l d b u y a c a l l o p t i o n s t r u c k a t $ 1 0 0 . I n b o t h c a s e s , t h e c r u c i a l q u e s t i o n i s : W h a t i s a f a i r

p r i c e f o r t h e d e r i v a t i v e s e c u r i t y ?

T h e a n s w e r t o t h i s q u e s t i o n d e p e n d s o n t h e s t a t i s t i c s o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t , w h i c h a r e

g e n e r a l l y n o t k n o w n . N e v e r t h e l e s s , t h e \ r a t i o n a l " a p p r o a c h t o d e r i v a t i v e p r i c i n g , p i o n e e r e d b y

B a c h e l i e r a c e n t u r y a g o 3 ] , i s t o a s s u m e a c e r t a i n p r o b a b i l i t y l a w f o r t h e u n d e r l y i n g ( p e r h a p s

r e e c t i n g h i s t o r i c a l d a t a o r p e r s o n a l i n t u i t i o n ) a n d d e t e r m i n e f r o m i t a f a i r p r i c e o n w h i c h

a l l i n v e s t o r s w o u l d a g r e e , g i v e n t h e s a m e a s s u m p t i o n s . A l t h o u g h t h e r a t i o n a l - p r i c i n g c o n c e p t

i s u b i q u i t o u s t o d a y , t h e d e n i t i o n o f \ f a i r p r i c e " h a s e v o l v e d c o n s i d e r a b l y s i n c e 1 9 0 0 . I n

t h i s l e c t u r e , w e w i l l c o m p a r e a n d c o n t r a s t t h r e e m a j o r t h e o r i e s o f r a t i o n a l o p t i o n p r i c i n g d u e

t o B a c h e l i e r 3 ] , B l a c k - S c h o l e s - M e r t o n 4 , 5 , 6 ] , a n d B o u c h a u d - S o r n e t t e 7 ] , i n c h r o n o l o g i c a l

o r d e r .

2 P r i c i n g b y a F a i r - G a m e A r g u m e n t

I t i s c o m m o n t o a s s u m e t h a t t h e u n d e r l y i n g a s s e t f o l l o w s a \ M a r k o v p r o c e s s " , w h i c h m e a n s

t h a t t h e t r a n s i t i o n p r o b a b i l t y p (

x tj x

o

t

o

) t h a t t h e v a l u e i s x

a t t i m e t

, g i v e n t h a t i t i s x

o

a t t i m e t

o

< t , d e p e n d s o n l y o n ( x , t , x

o

, t

o

) a n d n o t u p o n o t h e r h i s t o r i c a l d a t a

5

. C o n s i d e r a

d e r i v a t i v e w i t h p a y o y ( x

) . A t r s t i t s e e m s v e r y r e a s o n a b l e t h a t t h e p r i c e w

B

( x

o

) a t t i m e t

o

1

T h e v a l u e o f t h e s h o r t p o s i t i o n i s K ; x

, r i g h t ?

2

AE u r o p e a n o p t i o n c a n o n l y b e e x e r c i s e d a t m a t u r i t y , b u t a n A m e r i c a n o p t i o n c a n b e e x e r c i s e d ( a t

t h e s a m e s t r i k e p r i c e ) a t a n y e a r l i e r t i m e a s w e l l . I n t h i s l e c t u r e , w e o n l y c o n s i d e r E u r o p e a n o p t i o n s , w h i c h

a r e m u c h e a s i e r t o p r i c e .

3

D o y o u s e e t h a t a l o n g f o r w a r d i s e q u i v a l e n t t o a l o n g c a l l p l u s a s h o r t p u t ? T h i s i s a n e x a m p l e o f p u t - c a l l

p a r i t y .

4

S e e P r o b l e m 1 .

5

I n t h i s l e c t u r e , w e w i l l o n l y c o n s i d e r a s i n g l e t i m e i n t e r v a l ( t

o

t ) a n d h e n c e a d o p t t h e s i m p l e r n o t a t i o n

p ( x j x

o

) .

2


3/11

b e g i v e n b y t h e e x p e c t e d p a y o a t m a t u r i t y

6

w

B

( x

o

) =h y ( x ) i

( 3 )

w h e r e

h y ( x )i

Z

y ( x ) p ( x j x

o

)d x ( 4 )

f o r t h e c a s e o f c o n t i n u o u s o u t c o m e s i n t h e i n t e r v a l ( a b ) o r

h yi

1

N

N

X

i = 1

p

i

y

i

( 5 )

f o r t h e m u l t i n o m i a l

7

c a s e o f N

d i s c r e t e o u t c o m e s x

i

. T h i s \ f a i r - g a m e " a p p r o a c h , w h i c h

a m o u n t s t o r e q u i r i n g t h a t t h e r e s h o u l d b e n o e x p e c t e d p r o t f r o m a f a i r l y p r i c e d o p t i o n s

p o s i t i o n , w a s r s t p r o p o s e d i n 1 9 0 0 b y B a c h e l i e r 3 ] . F o r e x a m p l e , t h e B a c h e l i e r p r i c e o f a

c a l l o p t i o n c

B

( x

o

) i n t h e c o n t i n u o u s c a s e i s g i v e n b y

c

B

( x

o

) =

Z

1

K

( x ; K ) p ( x j x

o

)d x : ( 6 )

A n i m p o r t a n t f e a t u r e o f B a c h e l i e r ' s t h e o r y i s t h a t i t i n v o l v e s r e s i d u a l r i s k : T h e o p t i o n

c o n t r a c t c a n l e a d t o n a n c i a l g a i n o r l o s s f o r e i t h e r p o s i t i o n . A c o n v e n i e n t m e a s u r e o f t h e

r e s i d u a l r i s k R

B

i s g i v e n b y t h e v a r i a n c e o f t h e p a y o

R

2

B

= h ( y; h

y i )

2

i = h y

2

i ; hy i

2

=

2

y

( 7 )

w h e r e

y

i s t h e v o l a t i l i t y ( o r s t a n d a r d d e v i a t i o n ) o f t h e p a y o .

B a c h e l i e r ' s t h e o r y a l s o h a s a v a r i a t i o n a l f o r m u l a t i o n . S u p p o s e w e d e n e r e s i d u a l r i s k f o r

a n a r b i t r a r y o p t i o n p r i c e w ( x

o

) a s t h e s t a n d a r d d e v i a t i o n R

B

o f t h e p a y o

R

2

B

= h ( y ; w )

2

i( 8 )

w h i c h i s a q u a d r a t i c f u n c t i o n o f w

. T h e B a c h e l i e r p r i c e w

B

i s o b t a i n e d b y s e t t i n g d R

2

B

= d w = 0 ,

w h i c h y i e l d s t h e m i n i m u m r e s i d u a l r i s k R

B

.

T h e g e o m e t r i c a l i n t e r p r e t a t i o n o f ( 3 ) i s e a s i e s t t o s e e i n t h e m u l t i n o m i a l c a s e ( 5 ) . T h e

B a c h e l i e r p r i c e w

B

i s a w e i g h t e d a v e r a g e o f t h e p o s s i b l e p a y o s y

i

, w i t h w e i g h t s g i v e n b y t h e

t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t i e s p

i

. T h i s c o r r e s p o n d s t o a \ b e s t t " h o r i z o n t a l l i n e g o i n g t h r o u g h t h e

( x

i

y

i

) p o i n t , w h i c h i s o p t i m a l i n t h e \ l e a s t - s q u a r e s " s e n s e o f m i n i m a l v a r i a n c e

2

y

.

A s i l l u s t r a t e d i n F i g . 2 , t h i s m e a n s t h a t t h e B a c h e l i e r p r i c e i s s e n s i t i v e t o p r o p e r t i e s o f t h e

u n d e r l y i n g p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n , s u c h a s i t s e x p e c t e d r e t u r n h x

i ;x

o

. T h i s m a k e s s e n s e .

F o r e x a m p l e , a n i n v e s t o r w h o e x p e c t s t h e u n d e r l y i n g v a l u e t o i n c r e a s e a t m a t u r i t y w o u l d

p a y m o r e f o r a n a t - t h e - m o n e y ( x

o

= K) c a l l o p t i o n , a n d t a k e m o r e r i s k , t h a n a n i n v e s t o r

w h o e x p e c t s t h e u n d e r l y i n g v a l u e t o d e c r e a s e . T h i s d e p e d e n c e o f t h e d e r i v a t i v e p r i c e o n t h e

e x p e c t e d r e t u r n o f t h e u n d e r l y i n g i s , h o w e v e r , ( r e m a r k a b l y ) n o t t r u e w h e n r i s k l e s s h e d g i n g i s

p o s s i b l e .

6

I n t h i s l e c t u r e , w e i g n o r e i n t e r s t - r a t e e e c t s , t a x e s , d i v i d e n d s , t r a n s a c t i o n c o s t s , e t c . , w h i c h a r e v e r y

i m p o r t a n t i n p r a c t i c e , b u t n o t f u n d a m e n t a l t o t h e t h e o r e t i c a l p r i c i n g p r o b l e m .

7

W e a d o p t t h e s h o r t h a n d n o t a t i o n p

i

p ( x

i

j x

o

) a n d y

i

= y ( x

i

) .

3


4/11

RB

*2

RB

*2

0

y

x

K0

(a)

0

y

x

K0

(b)

F i g u r e 2 : T h e B a c h e l i e r p r i c e ( g r a y c i r c l e ) f o r a n a t - t h e - m o n e y ( x

o

= K) c a l l

o p t i o n i n a m u l t i n o m i a l m o d e l w i t h o u t c o m e s ( x

i

y

i

) . T h e d e p e n d e n c e o f t h e p r i c e

a n d r e s i d u a l r i s k a r e s h o w n f o r u n d e r l y i n g p r o b a b i l i t y d i s t r i b u t i o n s f p

i

gw i t h ( a )

n e g a t i v e a n d ( b ) p o s i t i v e e x p e c t e d r e t u r n s .

3 P r i c i n g w i t h R i s k l e s s H e d g i n g

A l t h o u g h i t s e e m s q u i t e r e a s o n a b l e , t h e B a c h e l i e r p r i c e i s g e n e r a l l y n o t \ f a i r " . T o s e e t h i s ,

c o n s i d e r t h e c a s e o f a f o r w a r d o r f u t u r e s c o n t r a c t . T h e B a c h e l i e r p r i c e i s

f

B

= h x ; K i = h xi ;

K( 9 )

w i t h r e s i d u a l r i s k

R

2

B

= h ( x; h

x i )

2

i =

2

x

( 1 0 )

w h e r e

x

i s t h e v o l a t i l i t y o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t . T h e p r o b l e m w i t h B a c h e l i e r ' s t h e o r y i s t h a t

i t n e g l e c t s t h e p o s s i b i l i t y o f h e d g i n g ( i . e . r e d u c i n g ) r i s k b y c l e v e r l y t r a d i n g t h e u n d e r l y i n g

a s s e t a l o n g w i t h t h e d e r i v a t i v e . F o r e x a m p l e , a n i n v e s t o r w h o i s s h o r t a p o r k - b e l l y f u t u r e

( w i t h a n y s t r i k e p r i c e o r m a t u r i t y ) c a n p e r f e c t l y h e d g e h e r r i s k b y i m m e d i a t e l y b u y i n g a p i g .

I n t h a t c a s e , s h e w o u l d p a y t h e i n i t i a l p r i c e x

o

f o r t h e p i g a n d t h e n w o u l d p o s s e s s a p o r k

b e l l y a t m a t u r i t y t o d e l i v e r f o r a p r i c e K

, n o m a t t e r w h a t h a p p e n s t o t h e m a r k e t p r i c e x

o f

p o r k b e l l i e s ! I n o t h e r w o r d s , b y c o n s t r u c t i n g a r i s k l e s s h e d g e , t h e i n v e s t o r w i l l r e c e i v e a

g u a r a n t e e d p a y o o f K ; x

o

a t m a t u r i t y . T h e r e f o r e , t h e f a i r p r i c e f

f

( x

o

) f o r t h e l o n g p o s i t i o n

i n t h e f o r w a r d c o n t r a c t i s u n i q u e l y

8

g i v e n b y

f

f

= x

o

;K : ( 1 1 )

I n t h i s s i m p l e c a s e , t h e B a c h e l i e r p r i c e i s f a i r i f a n d o n l y i f t h e e x p e c t e d r e t u r n i s z e r o , h x i = x

o

.

T h e p r e c e d i n g a n a l y s i s s u g g e s t s t h a t w e c o n s i d e r t h e p o s s i b i l i t y o f h e d g i n g a l o n g o p t i o n s

p o s i t i o n b y s e l l i n g

u n i t s o f t h e u n d e r l y i n g , f o r a n e t i n i t i a l i n v e s t m e n t

u

o

= w ; x

o

:( 1 2 )

8

T h e e x i s t e n c e o f a u n i q u e p r i c e s h o u l d m a k e y o u w o n d e r w h y f u t u r e s e x c h a n g e s e x i s t a t a l l , s i n c e t h e

v a l u e o f a f u t u r e s p o s i t i o n a p p e a r s t o b e k n o w n w i t h c e r t a i n t y ! H o w e v e r , t h i s i s n o t t r u e w h e n i n t e r e s t - r a t e

u c t u a t i o n s , w h i c h a e c t t h e v a l u e o f a f u t u r e c a s h o w , a r e c o n s i d e r e d 1 ] .

4


5/11

A s s u m i n g a s t a t i c h e d g e ( x e d

) , t h e v a l u e o f t h e n e t i n v e s t m e n t a t m a t u r i t y i s

u = y ( x ) ; x : ( 1 3 )

T h e f a i r - g a m e c r i t e r i o n n o w r e q u i r e s

u

o

= h u i = h yi ;

h x i( 1 4 )

i n w h i c h c a s e t h e p r i c e o f t h e d e r i v a t i v e i s

w ( x

o

) =h y i + ( x

o

; hx i )

( 1 5 )

w h i c h i s a l i n e a r f u n c t i o n o f t h e u n d e r l y i n g - a s s e t v a l u e x

o

. N o t e t h a t t h e B a c h e l i e r p r i c e

w

B

= h y ii s a l w a y s f a i r w h e n t h e e x p e c t e d r e t u r n i s z e r o , b u t o t h e r w i s e , t h e p r i c i n g p r o b l e m

i s r e d u c e d t o n d i n g a n a p p r o p r i a t e h e d g e r a t i o

. T h e c o r r e c t i o n t o t h e B a c h e l i e r p r i c e i s

e q u a l t o t h e e x p e c t e d r e t u r n o n t h e h e d g i n g s t r a t e g y .

T h e r e i s a n o t h e r w a y t o v i e w ( 1 3 ) , w h i c h h a s p r o f o u n d p r a c t i c a l c o n s e q u e n c e s : R e a r r a n g i n g

t h e t e r m s , w e n d t h a t t h e d e r i v a t i v e p o s i t i o n i s e q u i v a l e n t ( a l b e i t , p e r h a p s o n l y i n s o m e

s t a t i s t i c a l s e n s e ) t o a r e p l i c a t i n g p o r t f o l i o c o n s i s t i n g o f a n a m o u n t u

o

i n c a s h a n d a n

a m o u n t

o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t

w = u

o

+ x

o

:( 1 6 )

W h e n e v e r a r i s k l e s s h e d g e i s p o s s i b l e , t h i s e q u i v a l e n c e i s e x a c t , a n d t h e r e i s n o d i e r e n c e

b e t w e e n t h e d e r i v a t i v e p o s i t i o n a n d t h e r e p l i c a t i n g p o r t f o l i o ! I n o t h e r w o r d s , i n s u c h c a s e s

t h e d e r i v a t i v e i s n o t a n i n d e p e n d e n t n a n c i a l i n s t r u m e n t , a s i t u a t i o n w h i c h e c o n o m i s t s r e f e r

t o a s a c o m p l e t e m a r k e t .

A r i s k l e s s h e d g e i s a l w a y s p o s s i b l e f o r a f o r w a r d c o n t r a c t b e c a u s e t h e p a y o f u n c t i o n i s

l i n e a r

9

. I n g e n e r a l , h o w e v e r , u

i s a r a n d o m v a r i a b l e d e p e n d e n t o n t h e r a n d o m v a r i a b l e x

t h r o u g h ( 1 3 ) , a n d t h e r e a l m a r k e t i s o f c o u r s e i n c o m p l e t e . N e v e r t h e l e s s , f o r c e r t a i n s p e c i a l

p r o b a b i l i t y l a w s , a r i s k l e s s h e d g e i s s t i l l p o s s i b l e s u c h t h a t u

i s n o n - r a n d o m , f o r a n y c h o i c e o f

y ( x) , w h i c h i m p l i e s a u n i q u e f a i r p r i c e f o r t h e d e r i v a t i v e s e c u r i t y .

T h i s p o w e r f u l i n s i g h t w a s r s t m a d e a n d a p p l i e d t o o p t i o n s p r i c i n g b y B l a c k a n d S c -

h o l e s 4 ] a n d M e r t o n 5 ] i n 1 9 7 3 . T h e i r i d e a s h a v e h a d a p r o f o u n d i m p a c t o n n a n c i a l t h e o r y

a n d p r a c t i c e , w h i c h r e c e n t l y l e d t o t h e i r s h a r i n g a N o b e l P r i z e i n E c o n o m i c s i n 1 9 9 7 . T h e

B l a c k - S c h o l e s - M e r t o n t h e o r y i n v o l v e s d y n a m i c h e d g i n g i n c o n t i n u o u s t i m e w i t h \ d i u s i v e "

u n d e r l y i n g d y n a m i c s ( s e e b e l o w ) . A m u c h s i m p l e r , b u t e q u i v a l e n t v e r s i o n o f t h e s a m e i d e a s ,

m o r e i n t h e s p i r i t o f t h i s l e c t u r e , w a s l a t e r g i v e n b y C o x , R o s s a n d I n g e r s o l l 6 ] i n 1 9 7 9 , w h o

c o n s i d e r e d a s t a t i c h e d g e w i t h b i n o m i a l p r o b a b i l i t i e s .

I n t h e b i n o m i a l m o d e l , t h e u n d e r l y i n g c a n a s s u m e o n l y t w o p o s s i b l e v a l u e s x

1

a n dx

2

a t

m a t u r i t y , w i t h p r o b a b i l i t i e s p

1

a n dp

2

= 1; p

1

, r e s p e c t i v e l y . A t m a t u r i t y , t h e h e d g e d p o r t f o l i o

( 1 3 ) h a s v a l u e

u =

(

y

1

; x

1

w i t h p r o b a b i l i t y p

1

y

2

; x

2

w i t h p r o b a b i l i t y p

2

( 1 7 )

N o t e t h a t t h e t w o r a n d o m o u t c o m e s c a n b e e q u a t e d b y c h o o s i n g

t o b e t h e r i s k l e s s h e d g e

r a t i o g i v e n b y

=

y

2

; y

1

x

2

; x

1

:( 1 8 )

9

S e e p r o b l e m 2 .

5


6/11

S i n c e t h e n a l v a l u e u

o f t h e p o r t f o l i o i s n o n r a n d o m , i t m u s t b e e q u a l t o t h e i n i t i a l v a l u e u

o

( i g n o r i n g i n t e r e s t - r a t e e e c t s ) b y t h e f a i r - g a m e a r g u m e n t

1 0

. T h e r e f o r e , f r o m ( 1 8 ) t h e u n i q u e

f a i r p r i c e o f t h e o p t i o n w

f

( x

o

) i s

w

f

( x

o

) =u

o

+ x

o

= u + x

o

= y

1

+ ( x

o

; x

1

) =

( x

2

; x

o

) y

1

+ (x

o

; x

1

) y

2

x

2

; x

1

:( 1 9 )

G e o m e t r i c a l l y , t h e f a i r p r i c e s i m p l y c o r r e s p o n d s t o a l i n e a r i n t e r p o l a t i o n b e t w e e n t h e

t w o p o i n t s f ( x

i

y

i

) g, a s s h o w n i n F i g . 3 . T h i s r e s u l t a l s o c o r r e s p o n d s t o a r i s k - n e u t r a l

v a l u a t i o n

1 1

: w

f

i s e q u a l t o t h e a v e r a g e p a y o w h e n p

1

i s a d j u s t e d s o t h a t h x i = x

o

. N o t e

t h a t t h e B a c h e l i e r p r i c e w i t h t h e b i n o m i a l m o d e l d e p e n d s o n p

1

, w h i l e t h e f a i r p r i c e ( 1 9 ) d o e s

n o t , e x c e p t i n t h e r i s k - n e u t r a l c a s e h x i = x

o

.

0

y

x

0 x x x

y

y

o

o1 2

1

2

risk-

neut

ral

Bachelier

F i g u r e 3 : T h e B a c h e l i e r ( g r a y c i r c l e , d a s h e d l i n e ) a n d r i s k - n e u t r a l ( g r a y s q u a r e , s o l i d

l i n e ) p r i c e s i n t h e b i n o m i a l m o d e l w i t h a n o n z e r o e x p e c t e d r e t u r n ( h x

i 6= x

o

) .

T h e B l a c k - S c h o l e s - M e r t o n d y n a m i c - h e d g i n g m o d e l c a n b e o b t a i n e d b y s u c c e s s i v e a p p l i -

c a t i o n s o f ( 1 9 ) o n a b i n a r y t r e e o fe q u a l

s p a c i n g x i n u n d e r l y i n g p r i c e a n d i n t i m e . I f

w e l e t w

(n

)

i

d e n o t e t h e o p t i o n p r i c e a t \ b a c k w a r d t i m e "

n

= t ;n a n d u n d e r l y i n g v a l u e

x

i

=i x , t h e n t h e r i s k - n e u t r a l p r i c i n g f o r m u l a ( 1 9 ) a p p l i e d t o e a c h \ b r a n c h " o r t h e t r e e t a k e s

t h e f o r m

w

(n + 1 )

i

=

1

2

( w

(n

)

i + 1

+ w

(n

)

i ;

1

) ( 2 0 )

w h i c h i s t o b e s o l v e d r e c u r s i v e l y ( b a c k w a r d i n t i m e ) s t a r t i n g w i t h t h e p a y o f u n c t i o n a t

m a t u r i t y w

( 0 )

i

= y

i

. R e w r i t i n g ( 2 0 ) a s

w

(n + 1 )

i

; w

(n

)

i

=

x

2

w

(n

)

i + 1

; 2 w

(n

)

i

+ w

(n

)

i ;

1

x

2

( 2 1 )

a n d t a k i n g t h e c o n t i n u u m l i m i t x! 0

!

0 w i t h x

2

= =

2

=2 h e l d c o n s t a n t , w e o b t a i n

t h e c e l e b r a t e d B l a c k - S c h o l e s e q u a t i o n

1 2

@ w

@

=

2

2

@

2

w

@ x

2

( 2 2 )

1 0

I n e c o n o m i c t e r m s , t h i s i s a m o u n t s t o r e q u i r i n g t h a t t h e r e b e n o a r b i t r a g e o p p o r t u n i t i e s , i n w h i c h a n

i n v e s t o r c o u l d m a k e a n o n z e r o , r i s k l e s s r e t u r n .

1 1

S e e P r o b l e m 3 .

1 2

T h i s i s t h e c a s e o f z e r o i n t e r e s t r a t e r

= 0 , a n d \ n o r m a l " (

= 0 ) r a t h e r t h a n \ l o g n o r m a l " (

= 1 )

6


7/11

w i t h i n i t i a l ( o r r a t h e r , n a l ) c o n d i t i o n w (

x = 0 ) = y ( x

) . Y o u m a y r e c o g n i z e ( 2 2 ) a s

t h e c l a s s i c a l d i u s i o n e q u a t i o n f r o m p h y s i c s . T h e \ B l a c k - S c h o l e s m i r a c l e " i s t h a t i f t h e

u n d e r l y i n g o b e y s a c l a s s i c a l d i u s i o n p r o c e s s ( a \ r a n d o m w a l k " c o m p o s e d o f e q u a l b i n o m i a l

s t e p s ) , t h e n a r i s k l e s s h e d g e c a n b e c o n s t r u c t e d , a s i n t h e d i s c r e t e b i n o m i a l c a s e , a n d h e n c e

au n i q u e f a i r p r i c e c a n b e c a l c u l a t e d b y s o l v i n g ( 2 2 ) . N o t e t h a t a s i n t h e b i n o m i a l c a s e t h e

B l a c k - S c h o l e s p r i c e d o e s n o t d e p e n d o n t h e e x p e c t e d r a t e o f r e t u r n o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t

( o n l y o n t h e v o l a t i l i t y r a t e

) . T a k i n g t h e c o n t i n u u m l i m i t o f ( 1 8 ) , w e n d t h a t a t a r i s k l e s s

h e d g e c a n b e c o n s t r u c t e d d y n a m i c a l l y b y s e l l i n g a n a m o u n t

=

@ w

@ x

( 2 3 )

o f t h e u n d e r l y i n g a s s e t f o r e v e r y u n i t h e l d o f t h e d e r i v a t i v e .

A l t h o u g h r i s k - n e u t r a l v a l u a t i o n a n d t h e B l a c k - S c h o l e s e q u a t i o n w e r e i m m e n s e l y s u c c e s s f u l

i n t h e 1 9 7 0 s a n d 1 9 8 0 s , i t b e c a m e c l e a r a f t e r t h e s t o c k m a r k e t c r a s h o f 1 9 8 7 t h a t t h e o r y h a s

s e r i o u s t r o u b l e w i t h r a r e e v e n t s , w h i c h d o n o t t i n t o t h e G a u s s i a n d i u s i o n ( o r b i n o m i a l

t r e e ) f r a m e w o r k . I n f a c t , i t h a s b e e n d e t e r m i n e d t h a t e x c e s s i v e c o n d e n c e i n t h e B l a c k -

S c h o l e s - M e r t o n t h e o r y a t l e a s t e n h a n c e d t h e a m p l i t u d e o f t h e c r a s h , i f n o t c a u s e d i t 1 , 2 ] .

S p e c i c a l l y , t h e c u l p r i t s e e m s t o h a v e b e e n e q u a t i o n ( 2 3 ) , w h i c h l e d n e r v o u s i n v e s t o r s t o

q u i c k l y s e l l f a l l i n g s t o c k s i n t h e h o p e o f r e p l i c a t i n g p r o t e c t i v e p u t o p t i o n s v i a t h e B l a c k -

S c h o l e s - M e r t o n \ r i s k l e s s " h e d g i n g s t r a t e g y . U n f o r t u n a t e l y , w h e n t h e s t a t i s t i c a l a s s u m p t i o n s

o f t h e t h e o r y b e g a n t o b r e a k d o w n , t h i s s t r a t e g y o f p o r t f o l i o i n s u r a n c e m a y h a v e h a d a

n o n l i n e a r f e e d b a c k w i t h t h e m a r k e t t h a t a c t u a l l y c a u s e d s t o c k p r i c e s t o p l u m m e t e v e n f a s t e r !

4 P r i c i n g a n d H e d g i n g w i t h R e s i d u a l R i s k

A l t h o u g h i t i s s t i l l a s u b j e c t o f c o n t r o v e r s y i n t h e o r e t i c a l c i r c l e s ( b u t n o t o n W a l l S t r e e t ! ) ,

t h e B l a c k - S c h o l e s - M e r t o n t h e o r y i s m i s s i n g t h e r a t h e r i m p o r t a n t e l e m e n t o f p r i c i n g , w h i c h

i s p r e s e n t i n t h e o r i g i n a l B a c h e l i e r t h e o r y : n a m e l y , r e s i d u a l r i s k . R i s k l e s s h e d g e s o n l y e x i s t

i n c e r t a i n s p e c i a l c a s e s ( w h i c h a l b e i t , h a p p e n t o b e r e m a r k a b l y r o b u s t

1 3

) . A m o r e g e n e r a l

p r i c i n g t h e o r y m u s t s o m e h o w d e a l w i t h r e s i d u a l r i s k . U n f o r t u n a t e l y , i n s u c h a t h e o r y , t h e

o p t i o n p r i c e i s n o l o n g e r u n i q u e ( s e e b e l o w ) .

I n 1 9 9 4 , B o u c h a u d a n d S o r n e t t e 7 ] ( f o l l o w i n g s e v e r a l o t h e r s ) d e v i s e d a p r i c i n g t h e o r y

f o r r i s k y o p t i o n s t h a t g e n e r a l i z e s t h e B l a c k - S c h o l e s - M e r t o n t h e o r y b y n d i n g t h e o p t i m a l

h e d g e r a t i o

t h a t m i n i m i z e s , b u t n o t n e c e s s a r i l y e l i m i n a t e s , r i s k . H e r e w e a p p l y t h e

B o u c h a u d - S o r n e t t e i d e a s t o a s i n g l e s t a t i c h e d g e . A c o n v e n i e n t d e n i t i o n o f r i s k i s t h e v a r i a n c e

o f t h e h e d g e d p o s i t i o n ( 1 3 ) :

R

2

=

2

u

= h ( u; h

u i )

2

i :( 2 4 )

d y n a m i c s , w h i c h a r e b o t h g o o d a p p r o x i m a t i o n s n e a r m a t u r i t y . T h e o r i g i n a l B l a c k - S c h o l e s e q u a t i o n

@ w

@

=

2

2

x

2

@

2

w

@ x

2

+r x

@ w

@ x

;r w

i s a l s o e a s i l y d e r i v e d f r o m t h e b i n o m i a l m o d e l w i t h s o m e m i n o r m o d i c a t i o n s . I t c a n b e r e d u c e d t o t h e

d i u s i o n e q u a t i o n b y a s i m p l e c h a n g e o f v a r i a b l e s . ( C a n y o u s e e h o w ? )

1 3

T h a n k s i n p a r t t o t h e C e n t r a l L i m i t T h e o r e m , w h i c h e x p l a i n s w h y s i m p l e d i u s i o n p r o c e s s e s a r e s o

c o m m o n .

7


8/11

w h e r e u = y ;

x . S i n c e R

i s a q u a d r a t i c f u n c t i o n o f ,

R

2

=

2

y

; 2 ( hx y i ; h

xi h

y i) +

2

2

x

( 2 5 )

t h i s d e n i t i o n i s s o m e t i m e s c a l l e d q u a d r a t i c r i s k . S e t t i n g d R

2

= d = 0 y i e l d s t h e o p t i m a l

h e d g e r a t i o

=

hx y i ; h

xi h

y i

h x

2

i ; hx i

2

( 2 6 )

i n w h i c h c a s e t h e r e s i d u a l q u a d r a t i c r i s k R

c a n b e w r i t t e n a s

R

2

=

2

y

;

2

2

x

= R

2

B

;

2

2

x

:( 2 7 )

T h e a p p r o p r i a t e i n v e s t m e n t i n t h e h e d g e d p o s i t i o n u

o

i s a g a i n d e t e r m i n e d b y t h e f a i r - g a m e

a r g u m e n t

u

o

= h u i = h yi ;

h x i =

h x

2

i hy

i ; hx

i h x yi

h x

2

i ; hx i

2

( 2 8 )

w h i c h y i e l d s t h e B o u c h a u d - S o r n e t t e p r i c e

w

( x

o

) =u

o

( x

o

) +

( x

o

) x

o

:( 2 9 )

N o t e t h a t u

o

c o u l d a l s o b e d e t e r m i n e d b y m i n i m i z i n g R

w i t h r e s p e c t t o u

o

= h u i, i . e . s e t t i n g

d R

2

= d u

o

= 0 .

R*2

0

y

x

K0

(a)

0

y

x

K0

(b)

F i g u r e 4 : T h e B a c h e l i e r p r i c e ( g r a y c i r c l e , d a s h e d l i n e ) a n d B o u c h a u d - S o r n e t t e p r i c e

( g r a y s q u a r e , s o l i d l i n e ) f o r a n a t - t h e - m o n e y c a l l o p t i o n i n a m u l t i n o m i a l m o d e l . T h e

p r i c e a n d r e s i d u a l r i s k a r e s h o w n f o r c a s e s o f ( a ) n e g a t i v e a n d ( b ) p o s i t i v e e x p e c t e d

r e t u r n s .

T h e r e i s a n i n t e r e s t i n g p r o b a b i l i s t i c i n t e r p r e t a t i o n o f t h e B o u c h a u d - S o r n e t t e t h e o r y . I n

t e r m s o f t h e c o r r e l a t i o n c o e c i e n t o fx

a n dy

x y

=

h ( x; h

x i) (

y; h

y i ) i

x

y

( 3 0 )

t h e o p t i m a l h e d g e r a t i o c a n b e e x p r e s s e d a s

=

x y

y

x

( 3 1 )

8


9/11

a n d t h e r e s i d u a l r i s k a s

R

2

=

2

y

( 1;

x y

)

2

:( 3 2 )

N o w i t i s c l e a r t h a t w h a t i s m i s s i n g i n B a c h e l i e r ' s t h e o r y i s t h e e e c t o f c o r r e l a t i o n s b e t w e e n t h e

u n d e r l y i n g a s s e t a n d t h e d e r i v a t i v e p r i c e . I t i s p r e c i s e l y s u c h c o r r e l a t i o n s t h a t m a k e h e d g i n g

p o s s i b l e . T h e q u a l i t y o f t h e h e d g e , m e a s u r e d b y a r e d u c e d R

2

, i m p r o v e s a s

x y

i n c r e a s e s f r o m

0 ( t h e B a c h e l i e r l i m i t , R

=

y

) t o 1 ( t h e B l a c k - S c h o l e s - M e r t o n l i m i t , R

= 0 ) . W h e n e v e r t h e

p a y o f u n c t i o n i s l i n e a r ( e . g . f o r a f o r w a r d c o n t r a c t ) , a r i s k l e s s h e d g e e x i s t s , r e g a r d l e s s o f t h e

t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y l a w , b e c a u s e i n t h a t t r i v i a l c a s e t h e d e r i v a t i v e a n d t h e u n d e r l y i n g - a s s e t

v a l u e s a r e p e r f e c t l y c o r r e l a t e d a t m a t u r i t y . F o r a n y n o n l i n e a r p a y o f u n c t i o n , h o w e v e r , t h e r e

a r e n o n t r i v i a l c o r r e l a t i o n s 0 <

x y


10/11

r e p e a t e d a p p l i c a t i o n s o f t h e s t a t i c - h e d g e f o r m u l a e b a c k w a r d i n t i m e s t a r t i n g w i t h t h e k n o w n

p a y o f u n c t i o n y ( x

) a t m a t u r i t y w i l l g i v e t h e p r i c e w

(x t ) , o p t i m a l h e d g e r a t i o

(x t ) a n d

o p t i m a l c a s h i n v e s t m e n t u

o

(x t ) a t a n y e a r l i e r t i m e

t. F o r t h e

nt h b a c k w a r d - t i m e i n c r e m e n t

, t h e r e c u r s i o n i s ,

w

(n + 1 )

( x) =

w

(n

)

( x) ( 3 8 )

a n a l o g o u s t o ( 2 0 ) , w h e r e w

(n

)

( x) i s a l i n e a r t o f t h e l o c a l o p t i o n v a l u e a t b a c k w a r d t i m e

n

( w e i g h t e d b y t h e t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t i e s a s a b o v e )

w

(n

)

( x) =

h w

(n

)

i +

(n

)

( x; h

x i ) :( 3 9 )

T h i s r e c u r s i o n c a n b e s o l v e d n u m e r i c a l l y f o r a n y c h o i c e o f t r a n s i t i o n p r o b a b i l t y f u n c t i o n ( s )

a n d m e a s u r e ( s ) o f r i s k . A n a l y t i c a l l y , t h e B o u c h a u d - S o r n e t t e f o r m a l i s m c a n b e u s e d t o d e r i v e

p e r t u r b a t i v e c o r r e c t i o n s t o t h e B l a c k - S c h o l e s t h e o r y w h i c h a c c o u n t f o r r e s i d u a l r i s k w h e n

u c t u a t i o n s a r e n e a r l y d i u s i v e

1 6

.

S i n c e t h e r e i s g e n e r a l l y n o n z e r o r e s i d u a l r i s k , t h e p r i c e o f a n o p t i o n i s n o t u n i q u e , e v e n

i f e v e r y o n e a g r e e s u p o n t h e t r a n s i t i o n p r o b a b i l i t y a n d t h e a p p r o p r i a t e m e a s u r e o f r i s k . T h e

e m e r g i n g t h e o r y o f p r i c i n g r i s k y o p t i o n s ( o r m o r e p r e c i s e l y , r e a l o p t i o n s ! ) i n v o l v e s m a n y

f e a t u r e s c o n t r a r y t o t h e c l a s s i c a l B l a c k - S c h o l e s - M e r t o n p a r a d i g m 2 ] :

A r i s k l e s s h e d g e t y p i c a l l y d o e s n o t e x i s t , a n d n e i t h e r d o e s a u n i q u e \ r a t i o n a l " o p t i o n

p r i c e . ( I t i s t y p i c a l l y n o t p o s s i b l e t o n d a u n i q u e l i n e p a s s i n g t h r o u g h m o r e t h a n t w o

d a t a p o i n t s . )

O p t i o n p r i c e s t y p i c a l l y d e p e n d t h e e x p e c t e d r e t u r n a n d o t h e r a s p e c t s o f t h e u n d e r l y i n g

p r o b a b i l i t y l a w . ( T h e r e s u l t o f l i n e a r t t i n g d e p e n d s o n t h e w e i g h t s o f t h e d a t a p o i n t s . )

O p t i o n p r i c e s a n d a p p r o p r i a t e h e d g i n g s t r a t e g i e s d e p e n d o n t h e m a r k e t ' s p e r c e p t i o n o f

r e s i d u a l r i s k . ( T h e r e s u l t o f l i n e a r t t i n g d e p e n d s o n h o w o n e m e a s u r e s \ g o o d n e s s o f

t " . )

D e a l i n g w i t h t h e s e i s s u e s i s a m a j o r o n g o i n g c h a l l e n g e t o t h e o r e t i c a l m o d e l i n g 8 ] w h i c h h a s

f u e l e d a n e x o d u s o f p h y s i c i s t s a n d a p p l i e d m a t h e m a t i c i a n s t o W a l l S t r e e t i n t h e p a s t d e c a d e 9 ] .

R e f e r e n c e s

1 ] J . C . H u l l , O p t i o n s , F u t u r e s a n d O t h e r D e r i v a t i v e S e c u r i t i e s ( P r e n t i c e H a l l , N e w Y o r k ,

1 9 8 9 ) .

2 ] J . - P . B o u c h a u d a n d M . P o t t e r s , T h e o r y o f F i n a n c i a l R i s k , i n p r e p r a t i o n .

h t t p : / / w w w . s c i e n c e - f i n a n c e . f r / p u b l i c a t i o n s . h t m l

3 ] L . B a c h e l i e r , T h e o r i e d e l a S p e c u l a t i o n , G a b a y , P a r i s ( 1 9 0 0 ) .

4 ] F . B l a c k a n d M . S c h o l e s , \ T h e P r i c i n g o f O p t i o n s a n d C o r p o r a t e L i a b i l i t i e s , " J o u r n a l o f

P o l i t i c a l E c o n o m y 3

, 6 3 7 ( 1 9 7 3 ) .

1 6

S e e t h e A p p e n d i x f o r d e t a i l s , w h i c h a r e b e y o n d t h e s c o p e o f t h i s i n t r o d u c t o r y l e c t u r e . S i m i l a r i d e a s a r e

d e v e l o p e d i n R e f s . 2 ] a n d 7 ] .

1 0


11/11

5 ] R . C . M e r t o n , \ T h e o r y o f R a t i o n a l O p t i o n P r i c i n g , " B e l l J o u r n a l o f E c o n o m i c s a n d

M a n a g e m e n t S c i e n c e , 4

, 4 4 1 ( 1 9 7 3 ) .

6 ] J . C . C o x , S . A . R o s s a n d M . R u b i n s t e i n , \ O p t i o n P r i c i n g : A S i m p l i e d A p p r o a c h , "

J o u r n a l o f F i n a n c i a l E c o n o m i c s 7

, 2 2 9 ( 1 9 7 9 ) .

7 ] J . - P . B o u c h a u d a n d D . S o r n e t t e , \ T h e B l a c k - S c h o l e s O p t i o n P r i c i n g P r o b l e m i n M a t h -

e m a t i c a l F i n a n c e : G e n e r a l i z a t i o n s a n d E x t e n s i o n s f o r a L a r g e C l a s s o f S t o c h a s t i c P r o -

c e s s e s , " J o u r n a l d e P h y s i q u e I 4

, 8 6 3 ( 1 9 9 4 ) .

8 ] E . D e r m a n , \ T h e F u t u r e o f M o d e l i n g , " R i s k , D e c . ( 1 9 9 7 ) .

h t t p : / / w w w . g o l d m a n s a c h s . c o m / q s / d o c

9 ] J . D . F a r m e r , \ P h y s i c i s t s A t t e m p t t o S c a l e t h e I v o r y T o w e r s o f F i n a n c e , " C o m p u t i n g

i n S c i e n c e a n d E n g i n e e r i n g , N o v . - D e c . ( 1 9 9 9 ) .

h t t p : / / x x x . l a n l . g o v / a b s / a d a p - o r g / 9 9 1 2 0 0 2

1 1

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