Mini Cur So Matlab

8/6/2019 Mini Cur So Matlab

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE UFCGCENTRO DE ENGENHARIA ELTRICA E INFORMTICA CEEIUNIDADE ACADMICA DE ENGENHARIA ELTRICA UAEE

PROGRAMA DE EDUCAO TUTORIAL PETTUTOR: EDMAR CANDEIA GURJO

MINI-CURSO:

ANLISE E SIMULAO DE CIRCUITOS

ELTRICOS NO AMBIENTEMATLAB1 Edio

AUTORES: Edson Porto da Silva (PET-Eltrica/UFCG)

Felipe Vigolvino Lopes (PET-Eltrica/UFCG)

Nustenil Segundo de M. L. Marinus (PET-Eltrica/UFCG)

Outubro de 2008


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---------------------------------------------------------------AULA 1

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1. APRESENTAOO MATLAB, ao contrrio do que muita gente pensa, um software

destinado a realizar clculos com matrizes (MATLAB = MATrix LABoratory) e no

uma linguagem de programao. O seu uso bastante abrangente, sendo utilizado em

vrios meios industriais e acadmicos, por permitir a realizao de aplicaes ao nvel

da anlise numrica, de anlise de dados, clculos matriciais, processamento de sinais,

construo de grficos, otimizao de funes, entre outras, abordando uma banda larga

de problemas cientficos e de engenharia.

O uso do MATLAB se torna bastante simples, pois os seus comandos so

bastante prximos da forma como escrevemos expresses algbricas, permitindo assim

a resoluo de problemas numricos em apenas uma frao do tempo que se gastaria

para escrever um programa semelhante numa linguagem de programao clssica.

1.1)AMBIENTE DO MATLABO prompt do MATLAB o padro >>. O prompt >> significa que o

MATLAB est esperando um comando do utilizador, sendo comumente chamando

de prompt de comando. Todos os comandos devem ser finalizados teclando-se

.

O comando mais importante do MATLAB o help, onde exibe todos os

comandos e smbolos sintticos disponveis. O comando help nome fornece informaes

sobre o comando nome. Como exemplo, faa:

>>help plotAperte e veja o que aparece.

2. INTRODUOComo foi dito anteriormente, o MATLAB trabalha com matrizes numricas,

podendo conter elementos complexos. Quando usamos apenas um escalar, estamos na

verdade usando uma matriz 1x1.


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2.1) SINTAXE

As duas principais terminaes do MATLAB so: a vrgula (,) e o ponto-e-

vrgula (;). Quando um comando terminado com vrgula seu resultado expresso na

tela e atribudo varivel do sistema ans (de answer, ou resposta), enquanto que, com aterminao ponto-e-vrgula o resultado do comando no expresso na tela. Quando a

terminao uma vrgula, esta pode ser suprimida. Para continuar um comando na outra

linha, basta usar a terminao trs pontos (...). Para fazer comentrios, usa-se o sinal de

por cento (%) no incio da linha.

EXEMPLO 1: Digite:

>>5 + 6,

>>5 + 6

>>5 + 6;

>>% 5 + 6

>>5+ ...

6

Para inicializar uma varivel, basta fazer, por exemplo, a = 5

OBS: O MATLAB faz distino entra maiscula e minscula.

Algumas regras devem ser seguidas para nomear variveis. Os nomes de

variveis devem ser nomes iniciados por letras e no podem conter espaos nem

caracteres de pontuao. Assim, modificando o exemplo 1:

EXEMPLO 2:

Digite:

>>A = 5;

>>B = 6

>>A + B,

>>A + B

>>A + B;

>>% A + B

>>A+ ...

B


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2.2) CONSTANTES

O MATLAB tambm possui vrias variveis predefinidas, algumas listadas

abaixo:

ans varivel usada para os resultados. pi nmero eps - menos nmero tal que, quando adicionado a 1, cria um nemro

maior que 1 no computador.

inf significa infinito NaN no um nmero, por exemplo, 0/0. i e j unidade imaginria (-1_) nargin nmero de argumentos de entrada de uma funo. nargout nmero de argumentos de sada de uma funo. realmin menor nmero que o computador pode armazenar. realmax maior nmero que o computador pode armazenar.

2.3) INFORMAES SOBRE A REA DE TRABALHO

Para listar as variveis existentes no espao de trabalho, basta usar o comando

who ou whos. O comando clear limpa o espao de trabalho, extinguindo todas asvariveis.

EXEMPLO 3:

Digite:

>>A = 8;

>>a = 6;

>>A

>>a>>who

>>clear

>>a

>>A

2.4) OPERAES BSICAS

Para realizar as quatro operaes bsicas da matemtica, usamos os smbolos+, -, * e / para soma, subtrao, multiplicao e diviso, respectivamente.


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Para se calcular um nmero elevado a outro, usa-se o smbolo ^. Assim para o

clculo da raiz quadrada podemos usar (nmero)^(1/2) ou apenas usar o comando

sqrt(nmero).

OBS:As expresses so avaliadas, primeiramente, da esquerda pra direita,

com a potncia tendo a mais alta prioridade, seguida pela multiplicao e diviso, que

tem igual precedncia, e por ltimo vem a adio e subtrao, que possuem o mesmo

peso. Para alterar essa ordem, usamos parnteses, sendo os mais internos avaliados

antes dos mais externos.

Parnteses tambm so teis para calcular expresses grandes e seu uso

incorreto pode gerar erros. Por exemplo,

>> 9^1/2 = 4.5

>> 9^(1/2) = 3

EXEMPLO 4:

Digite:

>> a = 5 + 7*(5+9) - (6+8)/(5-3)

>> b = 4 - (6 - (8/(9+7))*4) - sqrt(7+9) + (5+1)^(7+1) - 6^8

>> total = a+b

2.5) MATRIZES

Para criar uma varivel que armazena uma matriz, basta escrever os

elementos da matriz entre colchetes [...], sendo que os elementos de uma mesma linha

so separados por vrgulas ou por espaos e as linhas so separadas com o uso de ponto-

e-vrgula ou por quebra de linha. Por exemplo, para escrever a matriz:

A =

9

63

8

52

7

41

Fazemos :

>> A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]

Ou

>> A = [1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9]

Ou


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>> A = [1 2 3

4 5 6

7 8 9]

Para acessar qualquer elemento de uma matriz, fazemos

NomedaMatriz(linha,coluna). Por exemplo:

>>A(2,3) = 6

Para se ter os elementos de uma coluna da matriz, fazemos NomedaMatriz(: ,

coluna). Por exemplo:

A(:,2) =

8

52

Para se ter os elementos de uma linha da matriz, fazemos NomedaMatriz(linha

, :) Por exemplo:

A(2,:) = [ 4 5 6 ].

As operaes envolvendo matrizes so semelhantes s operaes com

escalares.

SOMA: A + B

SUBTRAO: A B

PRODUTO: A*B (Deve obedecer a regra do produto de matrizes)

TRANSPOSTA: A

MULTIPLICAO POR UM ESCALAR: n*A (n escalar) POTNCIA: A^k (k um escalar)

2.5.1) ADIO E SUBTRAO

A adio e subtrao de matrizes so indicadas, respectivamente, por "+" e "-".

As operaes so definidas somente se as matrizes possurem as mesmas dimenses.

EXEMPLO 5:

>> A = [ 1 2 3 ; 4 5 6 ; 7 8 9 ];>> B = [ 9 8 7 ; 6 5 4 ; 3 2 1 ];


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Como A e B tem as mesmas dimenses, a operao pode ser realizada.

>> Subtracao = A - B

Subtracao =

-8 -6 -4

-2 0 2

4 6 8

>> Soma = A + B

Soma =

10 10 10

10 10 10

10 10 10

As operaes de adio e subtrao tambm so definidas se um dos

operadores for um escalar, ou seja, uma matriz 1x1. Neste caso, o escalar adicionado

ou subtrado de todos os elementos do outro operador. Por exemplo:

>>x = [ -1 0 2];

>> y = x 1

y =

-2

-1

1

2.5.2) MULTIPLICAO

A multiplicao de matrizes indicada por "*". A multiplicao x*y definida

somente se a segunda dimenso de x for igual primeira dimenso de y. A

multiplicao:

>> x'* y

ans =4


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Naturalmente, um escalar pode multiplicar ou ser multiplicado por qualquer

matriz.

>> pi*x

ans =

-3.1416

0

6.2832

2.5.3) DIVISO

A diviso de matrizes requer especial ateno, pois existem dois smbolos para

diviso de matrizes no MATLAB "\" e "/". Se A uma matriz inversvel quadrada e b

um vetor coluna (ou linha) compatvel, ento A\b e b\A correspondem

respectivamente multiplicao esquerda e direita da matriz b pela inversa da matriz

A, ou inv(A)*b e b*inv(A), mas o resultado obtido diretamente:

X = A\b a soluo de A*X = b

X = b/A a soluo de X*A = b

2.5.4) POTENCIAO

A expresso A^p eleva A p-sima potncia e definida se A matriz

quadrada e p um escalar. Se p um inteiro maior do que um, a potenciao calculada

como mltiplas multiplicaes. Por exemplo,

>> A^3

ans =

279 360 306

684 873 684

738 900 441

2.6) OPERAES Elemento por elemento

O termo operaes com conjuntos utilizado quando as operaes aritmticas

so realizadas entre os elementos que ocupam as mesmas posies em cada matriz

(elemento por elemento). As operaes com conjuntos so efetuadas como as operaes

usuais, utilizando-se os mesmos caracteres ("*", "/", "\", "^" e " ") precedidos por um

ponto "." (".*", "./", ".\", ".^" e " . ").


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2.6.1) ADIO E SUBTRAO

Para a adio e a subtrao, as operaes com conjuntos e as operaes com

matrizes so iguais. Deste modo os caracteres "+" e "-" so empregues do mesmo modo

e considerando as mesmas restries de utilizao.

2.6.2) MULTIPLICAO E DIVISO

A multiplicao de conjuntos indicada por .* . Se A e B so matrizes com

as mesmas dimenses, ento A.*B indica um conjunto cujos elementos so

simplesmente o produto dos elementos individuais de A e B. Por exemplo, se:

>> x = [1 2 3]; y = [4 5 6];

>> z = x .* y

z =

4 10 18

As expresses A./B e A.\B formam um conjunto cujos elementos so

simplesmente os quocientes dos elementos individuais de A e B. Assim,

>> z = x.\ y

z =

4.0000 2.5000 2.0000

2.6.3) POTENCIAO

A potenciao de conjuntos indicada por .^. A seguir so mostrados

alguns exemplos utilizando os vetores x e y. A expresso:

>> z = x .^ y

z =

1 32 729A potenciao pode usar um escalar.

>> z = x.^2

z =

1 4 9

Ou, a base pode ser um escalar.

>> z = 2.^[x y]

z =2 4 8 16 32 64


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2.7) NMEROS COMPLEXOS

O MATLAB trabalha de forma eficiente com nmeros complexos. Como foi

citada anteriormente, a unidade imaginria representada por i ou j. Dessa forma, para

escrever um nmero complexo basta fazer:>> z= 3 + 4*i

ou

>> z= 3 +4*j

Este nmero complexo se encontra na forma retangular. Podemos tambm

representar na forma polar, da seguinte forma:

>> w= r * exp(i*theta)>> w = 5*exp(i*pi)

Onde r a magnitude etheta o ngulo.

Para se obter matrizes complexas, usamos as duas formas mostradas abaixo:

>> A= [1 2; 3 4]+i*[5 6;7 8]

e>> A= [1+5*i 2+6*i; 3+7*i 4+8*i]

Estas duas formas produzem o mesmo resultado.

Se i ou j forem usados como variveis, de forma que tenham seus valores

originais modificados, uma nova unidade complexa dever ser criada e utilizada de

maneira usual:

>>ii=sqrt(-1);

>> z = 3 + 4*ii

Para se obter o mdulo e o ngulo de um nmero complexo, basta usar as

funes abs(x) e angle(x), respectivamente.

Assim, para z = 3 + 4j, temos

>> z = 3 + 4j

>>abs(z) = 5

>>angle(z) = 0.9273

OBS: importante observar que o MATLAB s trabalha com radianos.

Para transformar para graus basta multiplicar o ngulo por 180/pi.


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3. MANIPULAO DE VETORES E MATRIZES

3.1) GERAO DE VETORES

3.1.1) Para gerar vetores, podemos usar o caractere :.

Podemos fazer:

>> x = 1:10

x =

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Percebemos que foi gerado um vetor com de 1 at 10, com incremento de uma unidade.

3.1.2)Podemos usar outros incrementos diferentes da unidade, fazendo:>> x = 1 : 2 : 10

ans =

1 3 5 7 9

Muitas vezes til usar incrementos negativos.

>> z = 6: -1: 1

z =

6 5 4 3 2 1

3.1.3)Com a funo linspace, podemos gerar vetores linearmente espaados.

>> linspace(1, 10, 5)

ans =

1.0000 3.2500 5.5000 7.7500 10.0000

Cria um vetor linearmente espaado de 1 a 10 com 5 elementos.

3.1.4)Outras funes teis so dadas abaixo:

logspace(x1, x2, k) cria um vetor com espaamento logaritmo de x1 at x2

com k elementos.

eye(n,m) gera uma matriz identidade nxm.

ones(n,m) gera uma matriz com elementos unitrio nxm.

zeros(n,m) gera uma matriz nxm com elementos nulos.


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rand(n,m) gera uma matriz nxm com elementos aleatrio com distribuio

uniforme entre 0 e 1.

4. FUNESO MATLAB tem diversas funes pr-definidas, onde a maioria pode ser

usada da mesma que seria escrita matematicamente. Algumas dessas funes so

listadas abaixo:

abs(x) - valor absoluto de x.

cos(x) cosseno de x.

acos(x) - arco cosseno de x.

sin(x) seno de x.asin(x) - arco seno de x.

tan(x) tangente de x.

atan(x) - arco tangente de x.

exp(x) - exponencial de x.

gcd(x,y) mximo divisor comum de x e y.

lcm(x,y) - mnimo mltiplo comum de x e y.

log(x) - logaritmo de x na base e.log10(x) - logaritmo de x na base 10.

rem(x,y) - resto da diviso de x por y.

sqrt(x) - raiz quadrada de x.

5. GRFICOSUma das principais ferramentas que o MATLAB proporciona a sua grande

facilidade para gerar grficos.

Abaixo, listamos algumas funes para manipulao de grficos. plot(x, y) gera um grfico linear. X o vetor que contm os pontos do eixo das

abscissas e y so os pontos do eixo das ordenadas.

semilogx (x,y) - gera um grfico em escala semi-logaritmica(eixo x). x o vetor

que contm os pontos do eixo das abscissas e y so os pontos do eixo das

ordenadas.


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semilogy (x,y) - gera um grfico em escala semi-logaritmica(eixo y). x o vetor

que contm os pontos do eixo das abscissas e y so os pontos do eixo das

ordenadas.

title(texto) dar ttulo ao grfico gerado.

xlabel(texto) nomeia o eixo x.

ylabel(texto) nomeia o eixo y.

grid cria linhas imaginrias no grfico gerado

legend(texto) cria uma legenda para o grfico.

Podemos tambm escolher a cor do grfico gerado, colocando mais um

argumento na funo que gerou o grfico (plot, semilogx, semilogy, etc).

Por exemplo,

plot (x, y, r) cria um grfico vermelho (o novo argumento r, de red =

vermelho).

Para gerar vrios grficos, adicionamos novos valores na funo que gerou o

grfico e escolhemos a cor de cada grfico.

Por exemplo,

plot(x1, y1, r, x2, y2, b, x3, y3, g) gera trs grficos (x1, y1), (x2, y2) e

(x3, y3) com cores vermelho, azul e verde, respectivamente.

Esses grficos so gerados na mesma janela (mesmo eixo), mas se quisermos gerar

grficos em janelas diferentes, comum se usar a funofigure (numero).

Por exemplo,

figure(1), plot(x1, y1)

figure(2), plot(x2, y2).

Assim, sero gerados dois grficos em janelas diferentes, ou seja, figura 1 (x1,y1) e

figura 2 (x2, y2).


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EXEMPLO 6:

>> t = 0 : pi/10 : 4*pi;

>> y = sin(t);

>> figure(1), plot(t,y,'r'), xlabel('Eixo x'), ylabel('Eixo Y'), grid, title('Funo Seno')

Fig. 1 Grfico plotado no exemplo 6

EXEMPLO 7:>> z = log(t)

>>figure(2),plot(t,z,'b'), xlabel('Eixo x'), ylabel('Eixo Y'), grid, title('Funo Logaritmo')



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EXEMPLO 8:

>> w = exp(t);

>>figure(3),plot(t,w,'g'),xlabel('Eixo x'),ylabel('Eixo Y'), grid, title('Funo Exponecial')


EXEMPLO 9:

>> plot(t, y, 'r',t,z,'b'), xlabel('Eixo x'), ylabel('Eixo Y'), grid, title('Funes: Seno elogaritmica'), legend('Seno', 'Logaritmo')



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---------------------------------------------------------------AULA 2

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6.CARACTERSTICAS DOS CONSTITUINTESBSICOS DOS CIRCUITOS ELTRICOS

Os elementos bsicos que constituem os circuitos eltricos so os resistores, os

indutores, os capacitores e as fontes de alimentao. Cada um desses elementos tem um

comportamento bem definido com relao a determinadas grandezas eltricas, ou

variao destas. Em outras palavras, cada um desses elementos tem uma caracterstica

prpria que relaciona, por exemplo, a corrente e a tenso em seus terminais.

Para uniformizar, de forma prtica, a anlise dos sistemas que so constitudos

por circuitos eltricos, busca-se as relaes lineares entre as grandezas de estudo e as

caractersticas dos componentes presentes.

Deve-se observar que a linearidade, por vezes, est restrita ao modelo anlise

que se segue. Desse modo, o comportamento real dos componentes pode no seguir

estritamente o modelo linear, passando este a ser apenas uma aproximao do que

realmente acontece no componente, ou circuito.

Nos itens a seguir, temos uma breve descrio dos elementos citados que

auxiliar o entendimento de como dos mtodos que podem ser usados na anlise de

circuitos com o MATLAB.

6.1) O RESISTOR

O resistor o componente mais simples de um circuito eltrico. Sua ltima

finalidade apenas a de dissipar potncia. A propriedade que quantifica a capacidade de

dissipao de potncia de um resistor denominada resistncia eltrica. A resistncia

eltrica, para cada resistor, uma constante que relaciona linearmente a tenso e a

corrente nos terminais do componente. Dessa forma, para um resistor, as grandezas

eltricas que se relacionam de forma linear so a tenso e corrente nos seus terminais.

Essa relao mais conhecida como Lei de Ohm e expressa como: iRV .= , onde V e

i so, respectivamente, a tenso e a corrente nos terminais do componente e R o valor

da sua resistncia, cuja unidade de medida o Ohm. A mesma relao se mantm entre


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os fasores de tenso V e corrente I para a anlise do regime permanente senoidal, no

domnio da freqncia: IV =R .

Figura 5 - Smbolos eltricos para o resistor

Fig. 6 - Relao linear entre V e i para um resistor com R = 20 Ohms.

6.2 ) O CAPACITOR

O capacitor o componente dos circuitos que tem a propriedade de acumular

energia em um campo eltrico. A capacidade que um dado capacitor tem para

armazenar energia quantificada por um atributo do mesmo denominado capacitncia

eltrica. A capacitncia uma constante que relaciona a carga acumulada pelo capacitor

e a tenso sobre seus terminais. Sua unidade de medida o faraday (F), onde 1 faraday

= 1 columb/1 volt.

Assim, para um capacitor de capacitncia C, tm-se as duas mais importantes

relaes:V

QC = e

dt

dVCi = . Portanto, no capacitor as grandezas que se relacionam de

forma linear so: a carga acumulada e a tenso nos terminais e, por conseqncia, a

corrente e a derivada da tenso com relao ao tempo. Para a anlise do regime


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permanente senoidal, no domnio da freqncia, temos a seguinte relao entre os

fasores tenso e corrente no capacitor: IV 1 =Cj

.

Fig. 7 - Smbolo eltrico do capacitor

Fig. 8 - Relao entre i e dV/dt para um capacitor com C = 10uF

6.3) O INDUTOR

De forma anloga ao capacitor, o indutor um outro elemento do circuito

capaz de armazenar energia em um campo. A diferena que o indutor armazena

energia em um campo magntico. O parmetro que descreve numericamente a

capacidade de um indutor armazenar energia denominado de indutncia, que tem o

henry como unidade de medida.

Dado um indutor de indutncia L, percorrido por uma corrente i, segue-se que

a tenso V entre os seus terminais ser dada por:

dt

diLV .= . A proporcionalidade entre a

tenso e a variao da corrente a relao linear mais importante de um indutor, do


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ponto de vista da anlise de circuitos. Para circuitos em regime permanente senoidal, no

domnio da freqncia, temos a seguinte relao entre os fasores tenso e corrente no

indutor: IV = Lj .

Fig. 9 - Smbolo eltrico do indutor

Fig. 10 - Relao entre V e di/dt para um indutor com L = 50mH

6.4) FONTES DE ALIMENTAO

As fontes de alimentao so as entidades presentes no circuito com a

finalidade de fornecer energia aos componentes passivos, por esse motivo recebem a

denominao de componentes ativos. As fontes podem ser classificadas de vrias

formas: fonte de corrente ou de tenso, DC ou AC, dependente ou independente.

O funcionamento de um circuito est diretamente relacionado com os tipos de

fonte nele presentes. Por conseguinte, a forma de anlise escolhida para um determinado

sistema tambm depende de quais tipos de fonte nele esto presentes. Por exemplo,

quando se quer avaliar o comportamento de regime de um sistema alimentado por

fontes senoidais, a representao fasorial das grandezas a mais adequada.


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7 FORMAS DE REPRESENTAO DOSCIRCUITOS NA LINGUAGEM DO MATLAB

A ferramenta que geralmente se usa para reproduzir os parmetros e as

equaes dos circuitos na linguagem do MATLAB o arquivo M-file. Um M-file

um arquivo de texto, salvo no computador com a terminao ".m", que contm um uma

seqncia de comandos que pode ser executada pelo MATLAB. Exemplificaremos a

seguir a melhor maneira de se passar os dados de circuito para um M-file.

7.1) UM CIRCUITO RESISTIVO COM ALIMENTAO DC

Observe o circuito resistivo simples mostrado na figura 7:

Fig. 11 - Exemplo de circuito resistivo

A partir desse circuito obtemos o seguinte sistema de equaes lineares, cujas

incgnitas so as correntes no circuito:

=

=

=++

0321

233223

21231)41(

iii

VViRiR

VViRiRR

Observe que as equaes foram escritas de forma literal. A vantagem de

escrever as equaes dos circuitos na forma literal que, mesmo que os valores dos

resistores e das fontes mudem, elas continuaro vlidas. Dessa forma, poupa-se trabalho


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se for necessrio analisar o desempenho do circuito para diversos valores dos

componentes. Em seguida, temos o mesmo sistema na notao matricial:

=

+

0

23 21

3

21

111

230 0341 VV VV

i

ii

RRRRR

Uma vez que as operaes no MATLAB so de caracterstica matricial, ao se

representar o sistema linear na forma de igualdade de matrizes BIA = , foi dado o

passo final para a representao do problema na linguagem do mesmo. Temos a seguir

o texto do cdigo presente no arquivo M-file gerado para anlise desse circuito:

A sada gerada pelo MATLAB nopromptde comando, ao se executar o M-

file com o cdigo mostrado anteriormente, mostrada no retngulo interno ao retngulo

com o trecho de cdigo.

7.2) UM CIRCUITO EM REGIME SENOIDAL

O conceito de fasor de extrema importncia na anlise de circuitos no regime

senoidal, j que a maioria das grandezas ter forma ( ) )cos(tg += tA , onde A a


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amplitude, a freqncia angular e a fase de g(t). O fasor G da grandeza g(t)

definido pela relao seguinte:

===+= AGeAGeeAtAtg jtjj }Re{)cos()(

Dessa forma, podemos entender um fasor como sendo um nmero complexo

que guarda informao sobre a amplitude e o ngulo de fase de uma grandeza senoidal.

Suponha agora que necessitamos encontrar o fasor da corrente que circula no

circuito a seguir, em regime senoidal.

Fig. 12 - Exemplo de circuito em regime senoidal

Novamente, seguimos passos semelhantes aos realizados no exemplo anterior.

Primeiramente determinamos as expresses literais, em termos de fasores, que o circuito

deve obedecer. So elas:

IV

IIXV

I1

IXV

010V

LL

cc

s

=

==

==

=

R

LjjCj

j

R

)(

VI

I)(VVVVV

s

sLcs

CL

CLR

jXjXR

jXjXR

+=

+=++=


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Deste modo, como o problema consiste em apenas determinar o fasor da

corrente no circuito, no M-file devem constar apenas os parmetros do circuito e a

ltima expresso para o fasor da corrente. Desse modo, temos a seguir o texto do cdigo

presente no M-file gerado para a resoluo desse problema:

Sada nopromptdo MATLAB:


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---------------------------------------------------------------AULA 3

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8 - ANLISE DE CIRCUITOS ELTRICOSCom o avano da tecnologia, sentiu-se a necessidade da realizao da anlise de

circuitos eltricos mais complexos. Em geral, so adotados mtodos apropriados para

anlise de circuitos os quais possibilitam, de forma simplificada, a obteno das

correntes e tenses verificadas ao longo do circuito.

Dentre estes mtodos, os mais conhecidos so o mtodo das tenses de n e o

mtodo das correntes de malha. Neste mini-curso sero explanados estes mtodos e, em

seguida, considerando as variaes possveis dos circuitos em questo, sero transcritos,para o prompt do MATLAB, os comandos necessrios para que seja possvel a

verificao das correntes e tenso de forma precisa atravs das potencialidades desta

ferramenta matemtica.

8.1) MTODO DAS TENSES DE N

O objetivo deste mtodo obter equaes que descrevam o comportamento das

tenses no circuito as quais so conhecidas como Equaes das tenses de n. Estasequaes co-relacionam as tenses dos ns dos circuitos possibilitando uma anlise

adequada no mesmo.

Para tanto, um procedimento simples deve ser seguido. Veja:

1. Desenhar o circuito de forma que os ramos no se cruzem facilitando assim a

assinalao dos ns essenciais as quais so os ns que possuem trs ou mais

elementos ligados;2. Escolher um dos trs ns essenciais como n de referncia. Embora qualquer

um dos ns essenciais possa ser escolhido como referncia, geralmente

existe um n mais indicado para tal funo;

3. Nomear as tenses nos ns essenciais assinalados;

4. Calcular as correntes que saem de cada um dos ns considerados em funo

das tenses dos ns do circuito;

5. Considerando a lei de Kirchhoff, igualar a zero a soma das correntes que

saem de cada n essencial;


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6. A partir do passo 5, so obtidas as equaes das tenses de n. Sendo assim,

tem-se um sistema linear em que as variveis so as tenses de n do

circuito. Portanto, basta resolver este sistema linear da forma que lhe for

mais conveniente.

8.2) MTODO DAS TENSES DE N + FONTES DEPENDENTES

Em vrios casos, so encontradas fontes dependentes nos circuitos eltricos.

Estas fontes possuem um comportamento que depende de valores assumidos por

grandezas como correntes ou tenses em diferentes pontos do circuito.

Muitas vezes, a primeira impresso que se tem a de que a existncia de fontes

dependentes complica por demais a soluo do circuito eltrico, porm, para tanto, basta

seguir o mesmo procedimento para o caso de circuito sem fontes dependentes e ento

adicionar as equaes impostas pela presena da fonte dependente s equaes das

tenses de n encontradas.

EXEMPLO 1 -Determinar as correntes aI, bI e cI .

Fig 13 - Circuito Usado para ilustrar o mtodo das tenses de n.

Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Figura 9.34 pg 298

( ) 2,216,102,01,1

021

10

6,10

1

21

211

jVjV

j

VVV

N

+=+

=+

++

0

5

20

5

21

2

2212=

+

+

+

xIV

j

V

j

VV

N

21

:

21

j

VVI

mas

x+

=

( )

( )

( )

+=

+

+

=++

0

2,216,10

6,08,45

12,01,1

:

06,08,45

:)2(

2

1

21

j

V

V

j

j

Assim

VjV

ndoSubstituin


27/63

SOLUO:

80,1640,681 jV = V

26682 jV = V

AjILogo

a 68,184,6:

=

AjIb 92,1144,1 =

AjIc 6,132,5 +=

No MATLAB:

8.3) MTODO DAS CORRENTES DE MALHA

Um outro mtodo bastante utilizado na anlise de circuitos eltricos oMtodo

das correntes de malha. A corrente de malha pode ser definida como sendo uma

corrente que existe apenas no permetro de uma nica malha. Sendo assim, percebe-se

que este mtodo se aplica apenas a circuitos em que as malhas no possuem outras

malhas em seu interior. Desta forma, ao longo da anlise por este mtodo, a lei de

Kirchhoff automaticamente satisfeita uma vez que em qualquer um dos ns docircuito, a corrente de malha que entra no n a mesma que sai.


28/63

Portanto, para solucionar circuitos atravs deste mtodo das correntes de malha,

deve-se seguir o seguinte procedimento:

1. Utilizar setas as quais indicaro o sentido das correntes de malha do circuito.

prefervel que se utilize o mesmo sentido para todas as malhas;

2. Calcular as tenses sobre os componentes da malha em anlise considerando

a corrente resultante nos ramos comuns a duas malhas e dando um sentido

preferencial para a corrente da malha em anlise;

3. Considerando a lei de Kirchhoff, igualar a zero a soma das tenses da malha

fechada em questo;

4. A partir do passo 3, so obtidas as equaes necessrias para anlise das

correntes de malha. Sendo assim, tem-se um sistema linear em que as

variveis so as correntes de malha do circuito. Portanto, basta resolver este

sistema linear da forma que lhe for mais conveniente.

8.4) MTODO DAS CORRENTES DE MALHA + FONTES

DEPENDENTES

Quando existem fontes dependentes no circuito em anlise, basta seguir o

mesmo procedimento para o caso de circuito sem fontes dependentes e ento adicionar

as equaes impostas pela presena da fonte dependente s equaes das correntes de

malha obtidas.

EXEMPLO 2 -Determinar as correntes de malha indicadas no circuito a seguir.

Fig 14 - Circuito Usado para ilustrar o mtodo das correntes de malha.

Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Fig. 9.36 pg. 299


29/63

( ) ( )( )( ) ( ) 15016121413

150161221

1

21

211

=

=++

IjIj

IIjIj

Malha

( )( ) ( ) 039311612

2

212 =+++

xIIjIIj

Malha

21

:III

mas

x =

( ) ( ) 013261627:)2(

21 =++ IjIj

malhadoSubstituin ( ) ( )

( ) ( )

=

++

0

150

13261627

16121413

:

2

1

I

I

jj

jj

Assim

SOLUO:

52261 jI = A

58242 jI = A

No MATLAB:

8.5) CIRCUITOS EQUIVALENTES DE THVENIN E NORTONEm diversos casos, durante a anlise dos circuitos eltricos, o objetivo obter o

comportamento em pontos especficos do circuito. Ao ligar um forno em casa, no

estamos preocupados com os efeitos sobre a tenso nas outras tomadas, ou seja, o nosso

interesse limita-se a um par de terminais.

A teoria sobre anlise de circuitos eltricos no domnio da freqncia apresenta

mtodos que facilitam bastante os procedimentos de soluo dos mesmos uma vez que

permitem uma fcil simplificao dos circuitos. Os circuitos equivalentes de Thvenin eNorton so circuitos simplificados que tm mesmo funcionamento do ponto de vista do


30/63

par de terminais de interesse. Desta forma, pode-se afirmar que qualquer circuito

eltrico composto por elementos lineares pode ser representados pelos seus respectivos

circuitos equivalentes de Thvenin e Norton.

Para determinar o circuito equivalente de Thvenin, deve-se seguir o seguinte

procedimento:

1. Calcular a tenso de circuito aberto ThV entre os terminais a e b de

interesse;

2. Colocar uma fonte de corrente de 1A entre os terminais a e b e em

seguida calcular a tenso sobre esta mesma fonte ccV , curto-circuitando as

fontes de tenso e abrindo os circuito nas fontes de corrente;

3. Calcular a resistncia de Thvenin atravs da expresso cccc

Th VV

Z 1

== ;

Assim, obtm-se o seguinte circuito equivalente de Thvenin:

Fig 15 Circuito equivalente de Thvenin


O circuito equivalente de Norton formado por uma fonte independente de

corrente NI em paralelo com uma resistncia NR . Considerando que este circuito

equivalente pode ser obtido a partir do circuito equivalente de Thvenin, deve-se seguiro seguinte procedimento para obteno do circuito de Norton:

1. Calcular o circuito equivalente de Thvenin segundo o procedimento

especificado anteriormente;

2. Realizar transformao da fonte de tenso para fonte de corrente. Veja que

neste caso, a resistncia de Thvenin igual resistncia de Norton.

Assim, obtm-se o circuito equivalente de Norton mostrado a seguir:


31/63

Fig 16 Circuito equivalente de Norton


EXEMPLO 3 -Determinar o circuito equivalente de Thvenin e em seguida, calcular

a corrente por um resistor de 1 inserido entre os terminais a e b.

Fig 17 Circuito para anlise de circuitos equivalentes

Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Fig 9.27 pg. 295 Exemplo 9.9

1a transformao(tenso - corrente): )(31,124 ParalelojZAjI +==

Paralelo das impedncias: ( ) ( ) +=+= 4,28,139//31 jjjZ

2a transformao de fonte(corrente-tenso): )(4,28,1,1236 SriejZVjV +==

Srie das impedncias: ( ) ( ) +=+++= 326,02,04,28,1 jjjZ

Assim:

( ) ( )[ ]Aj

jj

jI 08,156,1

191032

12360 +=

++

=

Calculando o circuito equivalente de Thvenin teramos:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) +=+=

=+==

84,263,232//1910

84,1812,3608,156,119101910 0jjjZ

VjjIjV

Th

Th

Ento, adicionando o resistor de 1 , teramos uma corrente de AjI 05,865,31 = .


32/63

No MATLAB:

8.6) O PRINCPIO DA SUPERPOSIO

Ao longo deste material, foram vistos diversos tipos de circuitos. Dentre os

circuitos apresentados, possvel perceber que o nmero de fontes de tenso e/ou

corrente que alimentam os circuitos varia bastante. Num sistema eltrico de potncia,

por exemplo, existem vrios geradores atuando na alimentao das cargas, fato este que

evidencia a necessidade do engenheiro de conhecer os melhores caminhos para anlise

de um circuito com mais de uma fonte de alimentao.


33/63

Geralmente, a soluo de circuitos com mltipla alimentao torna-se bastante

complexa, fato este que evidencia a necessidade de mtodos que possam simplificar o

procedimento de anlise do circuito.

De acordo com James W. Nilson e Susan A. Riedel, 2003, segundo o princpio

da superposio, nos casos em que um sistema linear excitado ou alimentado por

mais de uma fonte de energia, a resposta total a soma das respostas a cada uma das

fontes agindo separadamente. Entretanto, em alguns casos o uso do princpio da

superposio pode dificultar a soluo do problema, de forma que mais indicado para

circuitos que possuem fontes independentes de tipos distintos (CA e CC).

EXEMPLO 4 - Determinar as correntes indicadas no circuito a seguir atravs do

princpio da superposio.

Fig 18 Princpio da superposio


Substituindo inicialmente a fonte de corrente por um circuito aberto, temos:

VV

VVV

30

04236

120

1

111

=

=+

++

Aii

Ai

Ai

Logo

56

30

103

30

156

30120

:

43

2

1

==

=

==

=

=

Substituindo agora a fonte de tenso por um curto-circuito, temos:

VV

VVLogo

VVV

Tambm

VVVV

24

12:

01222

:

0263

4

3

434

4333

=

=

=++

=

++


34/63

AV

i

AVV

i

AV

i

AV

i

Ento

64

24

4

62

2412

2

4

3

12

3

26

12

6

:

44

433

32

31

=

==

=+

=

=

=

==

==

=

Aiii

Aiii

Aiii

Aiii

165

1165

6410

17215

444

333

222

111

==

+

=

=+=

+

=

==

+

=

=+=

+

=

No MATLAB:

---------------------------------------------------------------AULA 4

---------------------------------------------------------------

9 - RESPOSTAS DOS CIRCUITOS RL E RC A UM

DEGRAUDidaticamente, circuitos RL e RC alimentados por fontes contnuas so bastante

utilizados em disciplinas que envolvem o estudo de circuitos eltricos. Sendo assim,

neste tpico, explicitaremos a anlise destes circuitos evidenciando seu comportamente

sempre visando uma implementao do modelo atravs do MATLAB.


35/63

Cada circuito eltrico tem um comportamento distinto quando submetido

aplicao brusca de uma tenso ou corrente. Este comportamento conhecido como

resposta a um degrau.

Neste caso, no exame da resposta dos circuitos RL e RC a um degrau, possvel

verificar o comportamento destes circuitos durante a fase em que a energia est sendo

armazenada no indutor ou capacitor.

Resposta de um Circuito RL a um degrau

Para este caso, a energia inicial do circuito expressa como um valor inicial da

corrente circulante pelo indutor, ou seja, ( )0i . Portanto, o objetivo desta anlise obter

expresses para a corrente no circuito e para as tenses entre os terminais do indutor

durante seu carregamento.

Ento temos:

Fig 19 Resposta a um degrau de um circuito RL


Logo:

dtR

Vi

L

Rdi

dtR

Vi

L

Rdt

dt

di

R

Vi

L

R

L

VRi

dt

di

dt

diLRiV

S

S

SS

S

=

=

=

+=

+=

( )

( )t

L

R

RVI

RVti

tdL

R

RVi

id

dtL

R

RVi

di

Assim

S

S

ti

I

t

S

S

=

=

=

0

0

ln

:

0

( )t

L

R

S

S

e

RVI

RVti

Logo

=

0

:

( )( )tLRSS e

R

VI

R

Vti

+= 0


36/63

Considerando ento que a tenso nos terminais do indutor dada por

dt

diLv = ( ) ( )tLRS e

R

VIL

Rv

= 0

As equaes acima demonstradas do suporte para as anlises do circuito

proposto. A seguir, exemplos de circuito RL alimentado por fonte CC resolvido

analiticamente e atravs do MATLAB.

Resposta de um Circuito RC a um degrau

Para o caso de um circuito RC, a energia inicial do circuito expressa como um

valor inicial da tenso sobre o capacitor, ou seja, ( )0V . Sendo assim, o objetivo desta

anlise obter expresses para a corrente no circuito e para as tenses entre os terminais

do capacitor durante seu carregamento.

Ento tomemos como exemplo:

Fig 20 Resposta a um degrau de um circuito RC


Logo:

( )

( )dtIRvRC

dv

IRvRCRC

v

C

I

dt

dvC

I

RC

v

dt

dv

IR

v

dt

dvC

SCC

SCCSC

SCC

SCC

.1

.1

=

==

=+

=+

( )

( ) ( )( )

tRCIRV

IRtv

tdRCIRv

dv

Assim

S

SC

ttv

VSC

C

1..ln

1

.

:

0

00

=

=

( ) ( )

( )

tRC

S

SC eIRV

IRtv

Ento1

0 .

.

:

=

( ) ( )t

RCSSC eIRVIRtv

1

0 ..

+=


37/63

Considerando ento que a corrente circulante pelo capacitor dada por

=dt

dvCi C ( ) ( ) =

tRC

S eIRVCRC

ti1

0 .1

( )t

RCS e

R

VIti

10

=

As equaes acima demonstradas do suporte para as anlises do circuito

proposto. A seguir, exemplos de circuito RC alimentado por fonte CC resolvido

analiticamente e atravs do MATLAB.

10 - RESPOSTA A NATURAL E A UM DEGRAU DE

UM CIRCUITO RLC SRIE E PARALELOA compreenso do funcionamento de circuitos RLC srie ou paralelo de

grande relevncia uma vez que, seu comportamento apresenta caractersticas semlhantes

a inmeros fenmenos abordados na engenharia eltrica. A resposta de circuitos deste

tipo apresentam oscilaes at entrarem em regime, oscilaes estas semelhantes aos

verificados em fenmenos de desligamento de transformadores, transitrios em sistemas

de potncia, controle de motores, entre outros.

As oscilaes verificadas nas respostas destes circuitos a um degrau podem ser

classificadas como:

1. Super-amortecidas2. Sub-amortecidas3. Criticamente amortecidasA forma assumida pela resposta do circuito RLC, seja ele paralelo ou srie,

depende dos valores da freqncia de Neper ( ), a qual reflete o efeito da resistncia

no circuito, e da freqncia angular de ressonncia ( 0 ). Assim, dependendo dos

valores destas freqncias, as solues destes circuitos variam, apresentando diferentes

comportamentos de amortecimento. Portanto, a seguir, apresentado um procedimento

simplificado para a obteno da soluo destes circuitos. Veja:

1. Verificar os valores de e de 0

2. Verificar as condies a seguir:

a. Se 202 > Superamortecido - A tenso ou corrente chega ao

valor final sem oscilaes;


38/63

b. Se 202

< Subamortercido - A tenso ou corrente oscila antes

de chegar ao valor final;

c. Se 202

= Criticamente amortecido - A tenso ou corrente

oscila antes de chegar ao valor final;

3. Dependendo da classificao do amortecimento a partir do tpico anterior,

utilizar as equaes apresentadas na Tabela 1 como resposta do sistema.

Amortecimento Equao da Resposta NaturalEquaes dos coeficientes -

Resposta Natural

Superamortecido ( ) tsts eAeAtx 21 21 += ( ) 210 AAx +=

Subamortecido ( ) ( ) tdd etBtBtx += sincos 21

( )

( )

220

21

1

:

0

0

=

+=

=

d

d

onde

BBdtdx

Bx

Criticamente

amortecido( ) ( ) teDtDtx += 21

( )

( ) 21

2

0

0

DDdt

dx

Dx

=

=

Amortecimento Equao da Resposta a um DegrauEquaes dos coeficientes

Resposta a um degrauSuperamortecido ( ) tstsf eAeAXtx

2121 ++= ( ) 210 AAXx f ++=

Subamortecido ( ) ( ) tddf etBtBXtx ++= sincos 21

( )

( )

220

21

1

:

0

0

=

+=

+=

d

d

f

onde

BBdt

dx

BXx

Criticamenteamortecido

( ) ( ) tf eDtDXtx

++= 21

( )

( ) 21

2

0

0

DDdt

dx

DXx f

=

+=

Equao caracterstica:

RLC srie e paralelo02 20

2=++ ss

Razes 20

221, =ss

Tabela 1 Equaes das respostas de um circuito RLC em paralelo ou em srie

Sendo assim, utilizando o procedimento descrito, possvel solucionar os

circuitos a seguir. No MATLAB, as curvas podem ser evidenciadas.


39/63

EXEMPLO 5 -Determinar a expresso de ( )tiL paraR=400, sabendo que a energia

inicial do circuito zero e que em t=0s, uma fonte de corrente de I=24mA ligada ao

circuito.

Fig 21 Resposta a um degrau de um circuito RLC paralelo

Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplos 8.6, 8.7 e 8.8 pg. 256 e 257

Valor inicial de Li :

Energia inicial zero, ento .00 AiL =+

Valor inicial dedt

diL :

Energia inicial zero, ento ( ) .00 =+dt

diL

Verificando o tipo de amortecimento:

824

9

812

0

1025/105254002

10

2

1

/10162525

101

==

==

=

==

sradRC

sradLC

Ento, temos uma resposta do sistema superamortecida, pois 202

> .

Razes:

srads

srads

/80000103105

/2000010310544

2

441

==

=+=

Expresso:

( ) tstsfL eAeAIti 21 21 ++=

Mas:

( )( )

=

=

=+=

=++=

mAA

mAA

AsAsdt

diAAIi

L

fL

8

32

00

00

2

1

2211

21

Logo:

( ) stmAeeti ttL 0,832248000020000

+=


40/63

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2

x 10-3

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025Grfico do tempo versus corrente no indutor

Tempo(s)

Correntenoindutor(A)


41/63

11 - POTNCIA COMPLEXAExistem inmeros conceitos envolvidos no estudo de potncias em circuitos

senoidais, porm, no intuito de facilitar o entendimento desta anlise trataremos apenas

da potencia complexa a qual traz informaes suficientes sobre a potncia dos circuitoseltricos em anlise.

A potncia complexa, expressa em volt-ampre(VA), dada pela soma entra a

potncia ativa (unidade W) com a potncia reativa (unidade var) multiplicada porj.

jQPS +=

Uma das vantagens de se utilizar a potncia complexa nas anlises, que esta

permite uma anlise geomtrica, na qual originado o tringulo de potncia. Veja:

Fig 22 - Tringulo de potncia

Fonte: Wikipdia

A relao entre a potncia til do circuito (potncia ativa) e a potncia total do

circuito(potncia aparente) denominada fator de potncia. Sendo assim, o cosseno do

ngulo equivalente ao valor do fator de potncia do circuito em questo.

Ento, considerando que tratam-se de potencias em circuitos senoidais, ento as

potncias sero dadas por:

22

:

sincos

QPS

onde

SQSP

+=

=

=

Fasorialmente, teramos que a potncia aparente dada por:

= SS

Analiticamente, a potncia pode ser demonstrada a partir das expresses da

corrente e da tenso a seguir:


42/63


43/63

J temos conhecimento dos valores das correntes de malha do circuito. Perceba que as

correntes que passam pelas fontes de tenso so 1I e 2I respectivamente.

52261 jI = A

58242 jI = A

Assim, temos que:

( ) ( )

( ) ( )

VAS

OujS

jS

jS

IVS

oindepfonte

indepfonte

oindepfonte

oindepfonte

indepfonteindepfonte

56,1167,8720

78003900

52260150

52260150

_

_

_

*_

*1__

=

+=

+=

=

=

( ) ( )

( ) ( )

VAS

Ou

jS

jjS

jIIIMas

jIS

IVS

odepfonte

depfonte

depfonte

x

xdepfonte

depfontedepfonte

91,4056,15482

1014011700

58246239

62:

582439

_

_

_

21

*_

*2__

=

+=

=

==

=

=

Plotando os diagramas fasoriais no MATLAB, temos:


44/63

---------------------------------------------------------------AULA 5

---------------------------------------------------------------10 - RESOLUO DE CIRCUITOS NO AMBIENTE MATLAB

EXERCCIO 1 -Determinar as potncias associadas s trs fontes do circuito.

Fig 23 - Mtodo das tenses de n

Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exerccio 4.7 pg. 83

RESPOSTAS: WPWPWP AiV 80,144,150 5350 1 ===

EXERCCIO 2 - Determinar ( )tv para fontes de tvs sin100= V e tIs cos10= A,

sendo skrad/50= .

Fig 24 Mtodo das tenses de n

Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exerccio 9.17 pg 299

RESPOSTA: ( ) ottv 57,7150000cos62,31 = V

EXERCCIO 3 Determinar as potncia fornecidas pelas fontes de tenso.

Fig 25 - Mtodo das Correntes de Malha com fonte dependente


RESPOSTA:o

jI 95,307,29229 =+= A


45/63

EXERCCIO 4 - Determinar I atravs do mtodo das malhas.

Fig 26 - Mtodo das correntes de malha


RESPOSTA: ojI 95,307,29229 =+= A

EXERCCIO 5 -Determinar 0v atravs do mtodo da superposio.


Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplo 4.13 pg. 107

RESPOSTA: 240 =v V

EXERCCIO 6 - Em t=0s, a chave passa da posio a para a posio b.

Determinar plotar ( )ti e ( )tv em funo de t.

Fig 28 Respostado circuito RL

Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplo 7.5 pg.205 fig. 7.19


46/63


Determinar plotar ( )ti e ( )tvC em funo de t.


Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplo 7.7 pg.209 fig. 7.25

EXERCCIO 8 -Em t=0s, a fonte I=24mA ligada. Determinar a expresso de ( )tiL ,

para R=400, 500 e 625. Em seguida plot-la no MATLAB.


Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplos 8.6, 8.7 e 8.8 pg. 256 e 257

RESPOSTAS: ( ) ( ) stpmAeeti ttL 0/,832248000020000

+=

( ) ( ) stpmAeteti ttL 0/,24960000244000040000

=

( ) ( ) ( ) stpmAteteti ttL 0/,24000sin3224000cos24243200032000

=


47/63

UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE UFCGCENTRO DE ENGENHARIA ELTRICA E INFORMTICA CEEIUNIDADE ACADMICA DE ENGENHARIA ELTRICA UAEE

PROGRAMA DE EDUCAO TUTORIAL PET

TUTOR: EDMAR CANDEIA GURJO

MINI-CURSO:

ANLISE E SIMULAO DE CIRCUITOSELTRICOS NO AMBIENTEMATLAB

1 Edio

RESOLUO EXERCCIOS

AUTORES: Felipe Vigolvino Lopes (PET-Eltrica/UFCG)

Outubro de 2008


48/63


49/63

EXERCCIO 1 -Determinar as potncias associadas s trs fontes do circuito.

Fig 23 - Mtodo das tenses de n


clearclc%---------------------------------------------------------------- %MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%----------------------------------------------------------------

fprintf('\nEXERCCIO 1\n')Vf=50;If=5;R1=6;R2=8;R3=2;R4=4;%Sistema Linear - A.x = B:A = [((4/R1)+(1/R2)+(1/R3)) -(1/R3);-((3/R1)+(1/R3)) ((1/R3)+(1/R4))];B = [(4*Vf/R1);(If-(3*Vf/R1))];V=A\B;%Tenses:V1=V(1);V2=V(2);%Potncias:i1=((Vf-V1)/6);P50v=Vf*i1;P3i1=(V1-V2)*3*i1;P5A=V2*If;%Escrevendo as respostas:fprintf('Tenses:\n')fprintf('V1 = %.2fV\n',V1)fprintf('V2 = %.2fV\n',V2)fprintf('Potncias:\n')fprintf('P50V = %.2fW\n',P50v)fprintf('P3i1 = %.2fW\n',P3i1)fprintf('P5A = %.2fW\n',P5A)

RESPOSTAS: WPWPWP AiV 80,144,150 5350 1 ===


50/63

EXERCCIO 2 - Determinar ( )tv para fontes de tvs sin100= V e tIs cos10= A,

sendo skrad/50= .

Fig 24 Mtodo das tenses de n

Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel,

Exerccio 9.17 pg 299


fprintf('\nEXERCCIO 2\n')%Conversores de fase:rad=pi/180;graus=180/pi;%Fontes:tetaV=-90*rad;%(cos(a-90)=sin(a))tetaI=0*rad;Vf=100*(cos(tetaV)+sin(tetaV)*i);If=10*(cos(tetaI)+sin(tetaI)*i);%Componentes:R1=5;R2=20;L=100e-6;C=9e-6;%Freqncia Angular:w=50e3;%Operador s:s=w*i;%Expresso fasorial para V:V=((Vf/R2)+If)/((1/R1)+(1/R2)+(s*C)+(1/(s*L))); %Tenses:Vmod=abs(V);VfaseRad=angle(V);VfaseGraus=VfaseRad*graus;%Escrevendo as respostas:fprintf('Tenso V(t):\n')fprintf('v(t) = %.2fcos(%.3fwt %+.2f)V\n',Vmod,w,VfaseGraus)

dt=10e-7;tmax=1e-3;t=[0:dt:tmax];v=Vmod*cos((w.*t+VfaseRad));Vs=abs(Vf)*sin(w.*t);Is=abs(If)*cos(w.*t);plot(t,v,t,Vs,t,Is),gridtitle('grfico - Exerccio 2')xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Amplitudes')legend('Tenso v(t)','Fonte de tenso','Fonte de corrente')

RESPOSTA: ( ) ( )ottv 57,7150000cos62,31 = V


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EXERCCIO 3 Determinar as potncia fornecidas pelas fontes de tenso.

Fig 25 - Mtodo das Correntes de Malha com fonte dependente



fprintf('\nEXERCCIO 3\n')%FontesVf1=25;Vf2=10;%Componentes:R1=2;R2=5;R3=3;R4=1;

R5=14;%Sistema Linear: (A.x = B)A=[(R1+R2) (-R2) (-R1);(-R2) (R2+R3+R4) (-R3);(-R1) (2*R3) ((-2*R3)+R1+R5)];B=[(Vf1-Vf2);(Vf2);(0)];I=A\B;I1=I(1);I2=I(2);I3=I(3);%Potncias:Vphi=R3*(I2-I3);Vdep=(-3*Vphi);P25V=Vf1*I1;P10V=Vf2*(I2-I1);Pdep=Vdep*I3;%Escrevendo as respostas:fprintf('Potncias:\n')fprintf('P25V = %.2f W\n',P25V)fprintf('P10V = %.2f W\n',P10V)fprintf('Pdep = %.2f W\n',Pdep)

RESPOSTA: ojI 95,307,29229 =+= A


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EXERCCIO 4 - Determinar I atravs do mtodo das malhas.

Fig 26 - Mtodo das correntes de malha



fprintf('\nEXERCCIO 4\n')%Conversores:rad=pi/180;%FontesVfmod=33.8;VfFasegraus=0;VfFaseRad=VfFasegraus*rad;Vf=Vfmod*(cos(VfFaseRad)+sin(VfFaseRad)*i);%Componentes:R1=1;R2=3;R3=2;XL=2*i;XC=-5*i;%Sistema Linear: (A.x = B)A=[(R1+R2+XL+XC) -(R2+XC);((0.75*R3*XC)-(R2+XC)) (R2+R3+XC-(0.75*R3*XC))];B=[(Vf);(0)];I=A\B;I1=I(1);I2=I(2);%Escrevendo as respostas:fprintf('Corrente(Retangular):\n')fprintf('I = %.2f %+.2fA\n',real(I1),imag(I1))fprintf('Corrente(Polar):\n')fprintf('I = %.2f/_%+.2fA\n',abs(I1),angle(I1)*inv(rad))

RESPOSTA: ojI 95,307,29229 =+= A


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EXERCCIO 5 -Determinar 0v atravs do mtodo da superposio.


Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplo 4.13 pg. 107


fprintf('\nEXERCCIO 5\n')%FontesVf=10;If=5;%Componentes:R1=5;R2=20;R3=10;%Sistema Linear: (A.x = B)for caso=1:2

if caso==1A=[(inv(R1)+inv(R2)) (-0.4);(0) (inv(R3)+0.4)];B=[(0);(If)];V=A\B;v0(1)=V(1);vA(1)=V(2);

endif caso==2

A=[(inv(R1)+inv(R2)) (-0.4);(0) (1+(0.4*R3))];B=[(Vf/R1);(0)];V=A\B;v0(2)=V(1);vA(2)=V(2);

endend%Tenso:V0=sum(v0);VA=sum(vA);%Escrevendo as respostas:fprintf('Corrente:\n')fprintf('IA = %.2f A\n',(Vf-V0)/R1)fprintf('Tenses:\n')fprintf('V0 = %.2f V\n',V0)fprintf('VA = %.2f V\n',VA)

RESPOSTA: 240 =v V


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Determinar plotar ( )ti e ( )tvC em funo de t.


Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel,

Exemplo 7.7 pg.209 fig. 7.25

clearclc%---------------------------------------------------------------- %MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%---------------------------------------------------------------- fprintf('\nEXERCCIO 7\n')%Tempo:tmax=1;dt=10e-7;t=[0:dt:tmax];%FontesVs=90;Vf=40;R=400e3;R1=60;R2=20;C=0.5e-6;%Condies iniciais:V0=(R1/(R1+R2))*-Vf;%Divisor de tenso%Transformao de fonte(Tenso-Corrente):Is=Vs/R;%Corrente iL pelo indutor:vC=(Is*R)+(V0-(Is*R))*exp((-1/(R*C)).*t);%Tenso vL sobre o indutor(iC=C*dvC/dt):iC=C*((-1/(R*C))*(V0-(Is*R))*exp((-1/(R*C)).*t)); %Plotando:figure(1),plot(t,iC),gridlegend('Corrente iC(A)',0)xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Amplitude(A)')title('Grfico da corrente - no Capacitor')figure(2),plot(t,vC),gridlegend('Tenso vC(V)',0)xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Amplitude(V)')title('Grfico da tenso - no Capacitor')

RESPOSTAS:


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EXERCCIO 8 -Em t=0s, a fonte I=24mA ligada. Determinar a expresso de ( )tiL ,

para R=400, 500 e 625. Em seguida plot-la no MATLAB.


Fonte: Circuitos Eltricos, Nilsson e Riedel, Exemplos 8.6, 8.7 e 8.8 pg. 256 e 257clearclc%--------------------------------------%MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS

% ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%--------------------------------------fprintf('\nEXERCCIO 8\n')%Valores dos componentes e fontes:If=24e-3; %Fonte de correnteR=[400 625 500]; %ResistnciaC=25e-9; %CapacitnciaL=25e-3; %Indutncia

%Tempo mximo de simulao:tmax=0.4e-3;dt=10e-8;%Vetor tempo:

t=[0:dt:tmax];%Nmero de pontos:TAM=length(t);

%Criando vetores:iL=zeros(1,TAM);didt=zeros(1,TAM);

%Condies iniciais:iL(1)=0;didt(1)=0;

%Varificando tipo de resposta:w0=sqrt(1/(L*C));for k=1:3

alfa(k)=1/(2*R(k)*C);%Eq. Caracterstica:poly=[1 (2*alfa(k)) (w0^2)];S=roots(poly);s2(k)=S(1);%Usando -b-sqrt(delta)/2as1(k)=S(2);%Usando -b+sqrt(delta)/2a

%Identificao do tipo de amortecimento:alfaAux = (alfa(k)^2);w0Aux = (w0^2);if alfaAux > w0Aux

caso(k)=1;%Superamortecidoend


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if alfaAux < w0Auxcaso(k)=2;%Subamortecido

endif alfaAux == w0Aux

caso(k)=3;%Criticamente amortecidoend

endfor k=1:3

if caso(k)==1%Obtendo coeficientes:a=[1 1;s1(k) s2(k)];b=[(iL(1)-If);didt(1)];A=a\b;A1=A(1);A2=A(2);

%Simulao dos pontos:for tempo=1:TAM

iL(tempo)=(If+A1*exp(s1(k)*t(tempo))+A2*exp(s2(k)*t(tempo))); endiL1=iL;

endif caso(k)==2

%Obtendo coeficientes:wd=sqrt((w0^2)-(alfa(k)^2));a=[1 0;(-alfa(k)) wd];b=[(iL(1)-If);didt(1)];B=a\b;B1=B(1);B2=B(2);

%Simulao dos pontos:for tempo=1:TAMiL(tempo)=If+(B1*cos(wd*t(tempo))+B2*sin(wd*t(tempo)))*exp((-

alfa(k))*t(tempo));endiL2=iL;

endif caso(k)==3

%Obtendo coeficientes:a=[0 1;1 (-alfa(k))];b=[(iL(1)-If);didt(1)];D=a\b;D1=D(1);

D2=D(2);

%Simulao dos pontos:for tempo=1:TAMiL(tempo)=(If+(D1*t(tempo)*exp((-

alfa(k))*t(tempo)))+(D2*exp((-alfa(k))*t(tempo)))); endiL3=iL;

endend

%Escrevendo as respostas:fprintf('\nRazes - R=400ohm:\n')fprintf('s1 = %.3f\n',s1(1))fprintf('s2 = %.3f\n',s2(1))


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fprintf('Coeficientes:\n')fprintf('A1 = %.3f\n',A1)fprintf('A2 = %.3f\n',A2)fprintf('\nRazes - R=625ohm:\n')fprintf('s1 = %.3f\n',s1(2))fprintf('s2 = %.3f\n',s2(2))

fprintf('Coeficientes:\n')fprintf('B1 = %.3f\n',B1)fprintf('B2 = %.3f\n',B2)fprintf('wd = %.3f rad/s\n',wd)fprintf('alfa = %.3f rad/s\n',alfa(2))fprintf('\nRazes - R=500ohm:\n')fprintf('s1 = %.3f\n',s1(3))fprintf('s2 = %.3f\n',s2(3))fprintf('Coeficientes:\n')fprintf('D1 = %.3f\n',D1)fprintf('D2 = %.3f\n',D2)

%Plotar graficos:plot(t,iL1,t,iL2,t,iL3),gridlegend('Caso - R=400ohm','Caso - R=625ohm','Caso - R=500ohm',0)title('Grfico da corrente no indutor versus tempo')xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Corrente no indutor(A)')

FORMA ALTERNATIVA:

Trata-se de uma resoluo mais objetiva. Porm, para os usurios de menor

experincia, torna-se uma resoluo de compreenso mais difcil.

clearclc%--------------------------------------%MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS% ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%--------------------------------------fprintf('\nEXERCCIO 8\n')%Valores dos componentes e fontes:If=24e-3; R=[400 625 500]; C=25e-9; L=25e-3;%Tempo mximo de simulao:tmax=0.4e-3; dt=10e-8; t=[0:dt:tmax];%Condies iniciais:iL(1)=0; didt(1)=0;%Varificando tipo de resposta:w0=sqrt(1/(L*C));for k=1:3

alfa(k)=1/(2*R(k)*C);%Eq. Caracterstica:poly=[1 (2*alfa(k)) (w0^2)];S=roots(poly);s2(k)=S(1);%Usando -b-sqrt(delta)/2as1(k)=S(2);%Usando -b+sqrt(delta)/2a

%Identificao do tipo de amortecimento:alfaAux = (alfa(k)^2);w0Aux = (w0^2);if alfaAux > w0Aux


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%Superamortecidoa=[1 1;s1(k) s2(k)];b=[(iL(1)-If);didt(1)];A=a\b;A1=A(1);A2=A(2);

%Simulao dos pontos:iL1=(If+A1*exp(s1(k).*t)+A2*exp(s2(k).*t)); endif alfaAux < w0Aux

%Subamortecido%Obtendo coeficientes:

wd=sqrt((w0^2)-(alfa(k)^2));a=[1 0;(-alfa(k)) wd];b=[(iL(1)-If);didt(1)];B=a\b;B1=B(1);B2=B(2);%Simulao dos pontos:iL2=If+(B1.*cos(wd.*t)+B2.*sin(wd.*t)).*exp((-alfa(k)).*t);


%Criticamente amortecido%Obtendo coeficientes:

a=[0 1;1 (-alfa(k))];b=[(iL(1)-If);didt(1)];D=a\b;D1=D(1);D2=D(2);%Simulao dos pontos:iL3=(If+(D1.*t.*exp((-alfa(k)).*t))+(D2*exp((-alfa(k)).*t)));

endend%Escrevendo as respostas:fprintf('\nRazes\n')fprintf('R=400.00ohm: R=625.00ohm: R=500.00ohm:\n')fprintf('s1=%.2f s1=%.2f s1=%.3f\n',s1(1),s1(2),s1(3))fprintf('s2=%.2f s2=%.2f s2=%.3f\n',s2(1),s2(2),s2(3))fprintf('Coeficientes:\n')fprintf('A1 = %.2f B1 = %.2f D1 = %.2f\n',A1,B1,D1)fprintf('A2 = %.2f B2 = %.2f D2 = %.2f\n',A2,B2,D2)fprintf('Freqncias auxiliares:\n')fprintf(' wd = %.2f rad/s\n',wd)fprintf('alf= %.2f rad/s alf= %.2f rad/s alf= %.2frad/s\n',alfa(1),alfa(2),alfa(3))

%Plotar graficos:plot(t,iL1,t,iL2,t,iL3),grid

legend('Caso - R=400ohm','Caso - R=625ohm','Caso - R=500ohm',0)title('Grfico da corrente no indutor versus tempo')xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Corrente no indutor(A)')

3o MTODO COM ENTRADA DE DADOS

Neste caso, possvel entrar, atravs do prompt, com o valor da resistncia.

clearclc%--------------------------------------%MINI-CURSO DE SIMULAO DE CIRCUITOS% ELTRICOS NO AMBIENTE MATLAB%--------------------------------------fprintf('\nEXERCCIO 8\n')


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%Valores dos componentes e fontes:R = input('Valor da resistncia do circuito:\nR = ');If=24e-3; C=25e-9; L=25e-3;%Tempo mximo de simulao:tmax=0.4e-3; dt=10e-8; t=[0:dt:tmax];%Condies iniciais:

iL(1)=0; didt(1)=0;%Varificando tipo de resposta:w0=sqrt(1/(L*C));

alfa=1/(2*R*C);%Eq. Caracterstica:poly=[1 (2*alfa) (w0^2)];S=roots(poly);s2=S(1);%Usando -b-sqrt(delta)/2as1=S(2);%Usando -b+sqrt(delta)/2a

%Identificao do tipo de amortecimento:alfaAux = (alfa^2);

w0Aux = (w0^2);if alfaAux > w0Aux%Superamortecidofprintf('\nCaso: Superamortecido\n')fprintf('\nRazes - R=400ohm:\n')fprintf('s1 = %.3f\n',s1)fprintf('s2 = %.3f\n',s2)a=[1 1;s1 s2];b=[(iL(1)-If);didt(1)];A=a\b;A1=A(1);A2=A(2);%Simulao dos pontos:

iL=(If+A1*exp(s1.*t)+A2*exp(s2.*t)); endif alfaAux < w0Aux

%Subamortecidofprintf('\nCaso: Subamortecido\n')fprintf('s1 = %.3f\n',s1)fprintf('s2 = %.3f\n',s2)%Obtendo coeficientes:wd=sqrt((w0^2)-(alfa^2));a=[1 0;(-alfa) wd];b=[(iL(1)-If);didt(1)];B=a\b;B1=B(1);

B2=B(2);%Simulao dos pontos:iL=If+(B1.*cos(wd.*t)+B2.*sin(wd.*t)).*exp((-alfa).*t);


%Criticamente amortecidofprintf('\nCaso: Criticamente amortecido\n')fprintf('s1 = %.3f\n',s1)fprintf('s2 = %.3f\n',s2)%Obtendo coeficientes:a=[0 1;1 (-alfa)];b=[(iL(1)-If);didt(1)];D=a\b;D1=D(1);

D2=D(2);%Simulao dos pontos:


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iL=(If+(D1.*t.*exp((-alfa).*t))+(D2*exp((-alfa).*t))); end%Plotar graficos:plot(t,iL),gridtitle('Grfico da corrente no indutor versus tempo')xlabel('Tempo(s)'),ylabel('Corrente no indutor(A)')

RESPOSTAS:

( ) ( ) stpmAeeti ttL 0/,832248000020000

+=

( ) ( ) stpmAeteti ttL 0/,24960000244000040000

=

( ) ( ) ( ) stpmAteteti ttL 0/,24000sin3224000cos24243200032000

=

0 1 2 3 4

x 10-4

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

Tempo(s)

Correntenoindutor(A)

Grfico da corrente no indutor versus tempo

Caso - R=400ohm

Caso - R=625ohm

Caso - R=500ohm


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---------------------------------------------------------------REFERNCIAS

---------------------------------------------------------------

[1] Nilsson & Riedel, "Circuitos Eltricos", 6a edio, Ed. LTC Livros tcnicos e cientficos, 2003;

[2] Duane Hanselman & Bruce Littlefiled, MATLAB 6 - Curso

Completo, Ed. Prentice Hall, 2003;

[3] Mathworks Inc. Student Edition of MATLAB Version 5 for

Windows. Prentice Hall,Upper Saddle River,New Jersey, 1997;

[4] Hunt, B. R.; Lipsman, R. L.; Rosenberg, J. M.;A Guide To MATLAB

for Beginners and Experience Users. Cambridge, 1995.

[5] Gaspar, P. D.; Santo, A. E.; APONTAMENTOS DE MATLAB -

Introduo ao MATLAB. Universidade da Beira Interior, Editora

Abril 2002.

[6] Santos, R. J.. Introduo ao MATLAB.Universidade Federal de Minas

Gerais. 2005

[7] http://www.mathworks.com/

[8] http://pt.wikipedia.org/wiki/MATLAB

Esta apostila foi desenvolvida por alunos do PET Eltrica/UFCG:

Aula 1:

Autor: Nustenil Segundo de M. L. Marinus

Aula 2:

Mini Cur So Matlab

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