Michele Burrello- Fibonacci Anyons and Topological Quantum Computation

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Fibonacci Anyons and Topological Quantum Computation Michele Burrello SISSA Trieste, April 2009 Work done with: Haitan Xu, Giuseppe Mussardo, Xin Wan

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Fibonacci Anyons and Topological QuantumComputationMichele BurrelloSISSATrieste, April 2009Work done with: Haitan Xu, Giuseppe Mussardo, Xin WanContents1 Universal Quantum Computation2 Topological Quantum Computation, Anyons and Braid Group3 Non Abelian Anyons4 Fibonacci Anyons5 Quantum Compiling and Icosahedral HashingMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationUniversal Quantum ComputationQuantum Computation is considered to be one of the mainchallenges for nowadays physics and it is based on thepossibility of storing information in Qubits.Quantum Circuits are unitary operators that act on a Hilbertspace, generated by n qubits, whose states encode theinformation we want to process.In order to develop all the possible circuits we must be able toimplement every unitary operator in SU(N) (with N = 2n).DenitionA Universal Quantum Computer is a machine able to realize, at anyaccuracy, all the unitary operators in the space SU(N)Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationUniversal Quantum ComputationQuantum Computation is considered to be one of the mainchallenges for nowadays physics and it is based on thepossibility of storing information in Qubits.Quantum Circuits are unitary operators that act on a Hilbertspace, generated by n qubits, whose states encode theinformation we want to process.In order to develop all the possible circuits we must be able toimplement every unitary operator in SU(N) (with N = 2n).DenitionA Universal Quantum Computer is a machine able to realize, at anyaccuracy, all the unitary operators in the space SU(N)Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationUniversal Quantum ComputationQuantum Computation is considered to be one of the mainchallenges for nowadays physics and it is based on thepossibility of storing information in Qubits.Quantum Circuits are unitary operators that act on a Hilbertspace, generated by n qubits, whose states encode theinformation we want to process.In order to develop all the possible circuits we must be able toimplement every unitary operator in SU(N) (with N = 2n).DenitionA Universal Quantum Computer is a machine able to realize, at anyaccuracy, all the unitary operators in the space SU(N)Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationUniversal Quantum ComputationEvery unitary operator in the space of n qubits can be decomposed insingle-qubit gates (elements of U(2)) and Controlled NOT gates:Single Qubit rotation:[) U [) , U = ei(+n/2)Controlled NOT:[0) [0)[0) + [1) [0) + [1)[1) [1)[0) + [1) [0) +[1)tdtdCNOT =____1 0 0 00 1 0 00 0 0 10 0 1 0____CNOT is the key element in creatingEntanglementMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationSingle-Qubit GatesU(2) gates can be mapped, up to an unimportant phase, inSO(3) rotations.In order to realize, at any given accuracy, all the single-qubitgates, it is sufcient to have two rotations that generate a denseinnite subgroup of SU(2)Example:H = 12_1 11 1_, T =_ei8 00 ei8_Fibonacci braidings_ =512_:1 = ei 10_ei 71000 ei 710_, 2 = ei 10_ei 10 ii ei 10_Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationTopological Quantum Computation and AnyonsLocal errors, thermic noise and decoherence are the mainproblems in realizing a Quantum ComputerTopologyTopological properties areinsensitive to local perturbations!Anyons in 2 + 1 dimensionsBraid GroupMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationTopological Quantum Computation and AnyonsLocal errors, thermic noise and decoherence are the mainproblems in realizing a Quantum ComputerTopologyTopological properties areinsensitive to local perturbations!Anyons in 2 + 1 dimensionsBraid Group2 39 F2 39 F2 39 F2 3A02 39 E2 39 C2 39 C2 39 C2 39 D2 39 B????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 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local perturbations!Anyons in 2 + 1 dimensionsBraid Group2 39 F2 39 F2 39 F2 3A02 39 E2 39 C2 39 C2 39 C2 39 D2 39 B????????????????????????????????????????????????????????????????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 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? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?TimeMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationElementary Braidings (Generators of the Braid Group)Clockwise: Counterclockwise: 1Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationElementary Braidings (Generators of the Braid Group)Clockwise: Counterclockwise: 1Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationElementary Braidings (Generators of the Braid Group)Clockwise: Counterclockwise: 1Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationElementary Braidings (Generators of the Braid Group)Clockwise: Counterclockwise: 1Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBraid Group1 2 N N-1 .....1-12The World Lines in 2 + 1 D of N anyonsdescribe N-strand Braids.These trajectories are robust withrespect to local perturbations (Topologyis preserved).Braids of N strands form an innitegroup generated by:_i, 1i_ with i = 1, . . . , NWeaves are braids where only oneanyon moves around the othersIf 2= 1 we have fermions or bosons (Permutation Group)Fibonacci anyons: 10= 1Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBraid Group1 2 N N-1 .....1-12The World Lines in 2 + 1 D of N anyonsdescribe N-strand Braids.These trajectories are robust withrespect to local perturbations (Topologyis preserved).Braids of N strands form an innitegroup generated by:_i, 1i_ with i = 1, . . . , NWeaves are braids where only oneanyon moves around the othersIf 2= 1 we have fermions or bosons (Permutation Group)Fibonacci anyons: 10= 1Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBraid Group1 2 N N-1 .....1-12The World Lines in 2 + 1 D of N anyonsdescribe N-strand Braids.These trajectories are robust withrespect to local perturbations (Topologyis preserved).Braids of N strands form an innitegroup generated by:_i, 1i_ with i = 1, . . . , NWeaves are braids where only oneanyon moves around the othersIf 2= 1 we have fermions or bosons (Permutation Group)Fibonacci anyons: 10= 1Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBraid Group1 2 N N-1 .....1-12The World Lines in 2 + 1 D of N anyonsdescribe N-strand Braids.These trajectories are robust withrespect to local perturbations (Topologyis preserved).Braids of N strands form an innitegroup generated by:_i, 1i_ with i = 1, . . . , NWeaves are braids where only oneanyon moves around the othersIf 2= 1 we have fermions or bosons (Permutation Group)Fibonacci anyons: 10= 1Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationYang Baxter BraidingAlgebra relationsFor non-adjacent operators:[i, k] = 0 if [i k[ 2Yang Baxter Relations:ii+1i = i+1ii+1Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationYang Baxter BraidingAlgebra relationsFor non-adjacent operators:[i, k] = 0 if [i k[ 2Yang Baxter Relations:ii+1i = i+1ii+1Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationYang Baxter BraidingAlgebra relationsFor non-adjacent operators:[i, k] = 0 if [i k[ 2Yang Baxter Relations:ii+1i = i+1ii+1Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBraid Group RepresentationsAbelian caseThe innite Braid Group can have both one-dimensional andhigher-dimensional representations:Abelian Anyons correspond to the one dimensional case (U(1)):i = eiAbelian Anyons on a torus imply a ground state degeneracy andso the possibility to store quantum information (Kitaevs ToricCode)They do not allow information processingIf = we have fermions, if = 0 we have bosonsExcitations of a Laughlin state of lling factor have = Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBraid Group RepresentationsNon-Abelian caseNon-Abelian Anyons correspond to higher dimensionalrepresentationsTheir braidings, in general, do not commuteWe can use in principle the elementray braidings to implement aUniversal Quantum Computation (Fibonacci anyons)Excitations of Moore-Read and Read-Rezayi states have nonabelian statisticsHow can we use Non-Abelian Anyons to encode and process Qubits?What is the physical meaning of the dimension of the representation?Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBraid Group RepresentationsNon-Abelian caseNon-Abelian Anyons correspond to higher dimensionalrepresentationsTheir braidings, in general, do not commuteWe can use in principle the elementray braidings to implement aUniversal Quantum Computation (Fibonacci anyons)Excitations of Moore-Read and Read-Rezayi states have nonabelian statisticsHow can we use Non-Abelian Anyons to encode and process Qubits?What is the physical meaning of the dimension of the representation?Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBraid Group RepresentationsNon-Abelian caseNon-Abelian Anyons correspond to higher dimensionalrepresentationsTheir braidings, in general, do not commuteWe can use in principle the elementray braidings to implement aUniversal Quantum Computation (Fibonacci anyons)Excitations of Moore-Read and Read-Rezayi states have nonabelian statisticsHow can we use Non-Abelian Anyons to encode and process Qubits?What is the physical meaning of the dimension of the representation?Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBraid Group RepresentationsNon-Abelian caseNon-Abelian Anyons correspond to higher dimensionalrepresentationsTheir braidings, in general, do not commuteWe can use in principle the elementray braidings to implement aUniversal Quantum Computation (Fibonacci anyons)Excitations of Moore-Read and Read-Rezayi states have nonabelian statisticsHow can we use Non-Abelian Anyons to encode and process Qubits?What is the physical meaning of the dimension of the representation?Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationQuantum Dimension and Non-Abelian AnyonsLets consider the simple case of spin 12 (Qubit):12 12 = 0 + 1 2 2 = 1 3A particle with spin 1/2 is described by a two-dimensional HilbertspaceWhen two of them fuse they give rise to a singlet or to a triplet.This is a Fusion RuleNon-Abelian anyons are characterized by non trivial fusion rules.Ising Anyons [/3]: = I +Fibonacci Anyons [/2,5]: = I +Non abelian anyons are characterized by Hilbert spaces ofdimension D greater than oneA set of N non abelian anyons can be found in DNorthogonalstates; so, they can encode N log2D qubitsMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationQuantum Dimension and Non-Abelian AnyonsLets consider the simple case of spin 12 (Qubit):12 12 = 0 + 1 2 2 = 1 3A particle with spin 1/2 is described by a two-dimensional HilbertspaceWhen two of them fuse they give rise to a singlet or to a triplet.This is a Fusion RuleNon-Abelian anyons are characterized by non trivial fusion rules.Ising Anyons [/3]: = I +Fibonacci Anyons [/2,5]: = I +Non abelian anyons are characterized by Hilbert spaces ofdimension D greater than oneA set of N non abelian anyons can be found in DNorthogonalstates; so, they can encode N log2D qubitsMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationQuantum Dimension and Non-Abelian AnyonsLets consider the simple case of spin 12 (Qubit):12 12 = 0 + 1 2 2 = 1 3A particle with spin 1/2 is described by a two-dimensional HilbertspaceWhen two of them fuse they give rise to a singlet or to a triplet.This is a Fusion RuleNon-Abelian anyons are characterized by non trivial fusion rules.Ising Anyons [/3]: = I +Fibonacci Anyons [/2,5]: = I +Non abelian anyons are characterized by Hilbert spaces ofdimension D greater than oneA set of N non abelian anyons can be found in DNorthogonalstates; so, they can encode N log2D qubitsMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationNon Abelian Anyons: main ingredientsTo describe a non-abelian anyonic model we need a theorycharacterized by the following elements:Fusion Rules: NcabAssociativity Rules:_Fabcd_xyBraiding Rules: RcabThese rules must have a coherent structure and must obey severalconstraints:Pentagon equation for the F matricesHexagon equation for both F and R matrices (Yang Baxter)Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationFusion RulesA non abelian anyonic model is dened starting from a nite set ofparticles (Superselection Sectors). These particles are linked by thefusion rules:ab =

cNcabc VaVb =

cNcabVcab dadb =

cNcabdcwhere Ncab = 0, 1 and Vcab = Vc are Hilbert spaces called fusionspaces: the anyon dimensions are related to these spaces.a is a non-abelian anyon if

cNcaa 2From the previous relations (Na = Ncab) it followsNa

d = da

dThe dimension of anyon a is the Perron Froebenius eigenvalue ofNa and d = (da, db, ..., dn) is an eigenvector.The total quantum dimension of the model is T =_

id2iMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationFusion RulesA non abelian anyonic model is dened starting from a nite set ofparticles (Superselection Sectors). These particles are linked by thefusion rules:ab =

cNcabc VaVb =

cNcabVcab dadb =

cNcabdcwhere Ncab = 0, 1 and Vcab = Vc are Hilbert spaces called fusionspaces: the anyon dimensions are related to these spaces.a is a non-abelian anyon if

cNcaa 2From the previous relations (Na = Ncab) it followsNa

d = da

dThe dimension of anyon a is the Perron Froebenius eigenvalue ofNa and d = (da, db, ..., dn) is an eigenvector.The total quantum dimension of the model is T =_

id2iMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationFusion RulesA non abelian anyonic model is dened starting from a nite set ofparticles (Superselection Sectors). These particles are linked by thefusion rules:ab =

cNcabc VaVb =

cNcabVcab dadb =

cNcabdcwhere Ncab = 0, 1 and Vcab = Vc are Hilbert spaces called fusionspaces: the anyon dimensions are related to these spaces.a is a non-abelian anyon if

cNcaa 2From the previous relations (Na = Ncab) it followsNa

d = da

dThe dimension of anyon a is the Perron Froebenius eigenvalue ofNa and d = (da, db, ..., dn) is an eigenvector.The total quantum dimension of the model is T =_

id2iMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationFusion Rules: Ising AnyonsIsing fusion rules (/3) = 1 + , = , = 1Dimensions: d = 1 , d2 = 1 + 1 d =2In the base (1, , ): N =__0 0 10 0 11 1 0__The fusion rules N can be rapresented by Brattelli diagrams:1+ ... = 1 +1+ ... = 1+ ...1 = Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationIsing Anyons Chain ... 1, 1, 1, 112 1182 4482 48 2 3 4 5 6 7 8The total quantum dimension of the chain depends on Nn and is:D = dn =2nMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationFusion RuleCFT InterpretationAnyonic superselection sectors can be considered as primaryelds in a minimal conformal model.Fusion rules are linked to OPE:a(z1)b(z2) =

cNcabc(z2)(z1z2)a+bcMinimal models can be therefore mapped in anyonic model.Probabilistic InterpretationFusion rules and quantum dimensions are linked to theamplitude of the scattering processes:P (ab c) = NcabdcdadbWe can calculate the steady state distribution of an hypotheticalanyonic gas:pa = d2aT2Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationFusion RuleCFT InterpretationAnyonic superselection sectors can be considered as primaryelds in a minimal conformal model.Fusion rules are linked to OPE:a(z1)b(z2) =

cNcabc(z2)(z1z2)a+bcMinimal models can be therefore mapped in anyonic model.Probabilistic InterpretationFusion rules and quantum dimensions are linked to theamplitude of the scattering processes:P (ab c) = NcabdcdadbWe can calculate the steady state distribution of an hypotheticalanyonic gas:pa = d2aT2Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationAssociativity RulesF-MatricesFor an anyonic theory to be consistent the fusion rules N mustbe associative: xNxabNdxc =

yNdayNybcThese relations characterize the fusion process abc d in thefusion space Vdabc = Vd(ab)c = Vda(bc).The two descriptions of the space Vdabc correspond to differentorthogonal basesThere must be a unitary operator that relates these bases:a b c a b cd dFxyx y_Fabcd_xy is this transformation.Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationF Matricesa b c a b cd dFxyx yTopologically equivalent to:ab cdFxyxab cdyMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationF Matricesa b c a b cd dFxyx yTopologically equivalent to:Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationF Matricesa b c a b cd dFxyx yTopologically equivalent to:ab cdFxyxab cdyMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationF MatricesCFT connectionab cdFxyxab cdyThe mapping between minimal unitary models and anyonictheories allow to calculate F using the Dotsenko - Fadeev techniquefor 4-point correlation functions:(0)(1)(z)()) = I1(z) +I2(z) =

I

1(1 z) +

I

2(1 z)Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationF MatricesProbabilistic InterpretationF or1?The probability of fusing b and c in or 1 is dened by the F matrix.P( 1) = [(F ) 1[2P( ) = [(F ) [2From an analogous scheme it follows that:(Faaaa )11 = 1daMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationPentagon EquationTo be consistent there are two constraint that the F matrices mustsatisfy. The rst is known as Pentagon Equation.F FF FFabcda cbe edMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBraidings RabA couple of anyons a b can be in a superposition of states Vkabdened by the fusion rules:a(z1)b(z2) = c(z2)(z1z2)a+bc+ d(z2)(z1z2)a+bd+...1a bb aRabThe clockwise exchange Rab of a and b is a unitaryoperator that does not affect their total charge:Rab =_____Raab 0 0 00 Rbab 0 00 0 Rcab 00 0 0 ..._____where: (Rcab)2= e2i(a+bc)The representations of the braid generators i are given bycombinations of F and R as we will see later for Fibonacci anyons.Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationHexagon EquationThe second contraint that F and R matrices have to satisfy is theHexagon Equation which guarantees also YB relations.F FRFR= Rabca cbbMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationFibonacci AnyonsYang-Lee modelThe model is characterized by two sectors:the Vacuum 1 and the Fibonacci anyon .Fusion Rules: = 1 +1... +1 = 1... +These fusion rules correspond to:N =_0 11 1_ = d2d1 = 0 = d = 1 +52 Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrattelli diagramFibonacci chain ... 1, 1, 1, 1, 1, 1, Constraint: there cannot be two consecutive vacua 1.112 11 213 8 5 13 213 5 8 138 7 6 5 4 3 2Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationFibonacci F - MatrixThe unitary matrix F can be calculate from the pentagon equation:F FF FFabcda cbe edF11 = F1F1F11 +F2 = 1F 1, 1,The resulting matrix is:F =_ _ with = d1 = 1 52Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationEncoding QubitsOur aim is to encode qubits with Fibonacci anyonsTo do this we consider a system of 4 anyons whose total chargeis trivial: there are just two possible states (a) and we associatethem to the logic 0 and the logic 1

D E

/

/

& 1

/ /

Three Fibonacci anyons with total charge equal to 1 are enoughto encode a qubit (b)With different total charges we obtain non computational states(that must be avoided)Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationFibonacci BraidingsTo process a single qubit we must nd the operators thatdenes the braidings.From the Yang Lee model (or the hexagon equation) one ndsout the R matrix:R =_e45i00 e25i_In a Fibonacci chain, to nd the representations of s, we needto make a basis tranformation in order to apply the R - matrix:a b c F a cF R a ca cbb bMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationFibonacci Braidingsaa03 = 1 = R1=_e45i00 e25i_aa02 = F1F =_ei5ei25ei25 _aa01 = 3 = R1=_e45i00 e25i_Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationSingle-Qubit Gate CompilingBonesteel et al.To the purpose of Universal Quantum Computation we want toapproximate, at any give accuracy, any single-qubit gate using asgenerators the braidings 1 and 2For Fibonacci anyons the elementary braidings generate aninnite group, dense in SU(2)Ising anyons generate in the same way the nite octahedrongroup, so they cannot implement a universal computation23 2243 2243 2243 2223= iX0, 0031Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force searchBonesteel et al.121-22-222--Total weaves:BN = 3NExpected error:N = 13N/3Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force searchBonesteel et al.N = 1Total weaves:BN = 3NExpected error:N = 13N/3Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force searchBonesteel et al.N = 2Total weaves:BN = 3NExpected error:N = 13N/3Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force searchBonesteel et al.N = 3Total weaves:BN = 3NExpected error:N = 13N/3Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force searchBonesteel et al.N = 4Total weaves:BN = 3NExpected error:N = 13N/3Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force searchBonesteel et al.N = 5Total weaves:BN = 3NExpected error:N = 13N/3Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force searchBonesteel et al.N = 6Total weaves:BN = 3NExpected error:N = 13N/3Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force searchBonesteel et al.N = 7Total weaves:BN = 3NExpected error:N = 13N/3Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force searchBonesteel et al.N = 8Total weaves:BN = 3NExpected error:N = 13N/3Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force searchBonesteel et al.N = 9Total weaves:BN = 3NExpected error:N = 13N/3Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force searchBonesteel et al.N = 10Total weaves:BN = 3NExpected error:N = 13N/3Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force searchBonesteel et al.N = 11Total weaves:BN = 3NExpected error:N = 13N/3Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force Search with weavesUsing weaves we can approximate every single-qubit gate choosingthe best braid among the 3L/2possibilities.Example:Target Gate: Z =_1 00 1_L = 8 Z8 =_0, 31 + 0, 95i 00 0, 31 0, 95i_ 8 = 0, 31Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force Search with weavesUsing weaves we can approximate every single-qubit gate choosingthe best braid among the 3L/2possibilities.Example:Target Gate: Z =_1 00 1_L = 24 Z24 =_0, 0234 0, 9997i 0, 006 + 0, 002i0, 006 + 0, 002i 0, 0234 + 0, 9997i_ 24 = 0, 024Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force Search with weavesUsing weaves we can approximate every single-qubit gate choosingthe best braid among the 3L/2possibilities.Example:Target Gate: Z =_1 00 1_L = 32 Z32 =_0.004 0.99997i 0.004 0.003i0.004 0.003i 0.004 + 0.99997i_ 32 = 0, 007Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force Search with weavesUsing weaves we can approximate every single-qubit gate choosingthe best braid among the 3L/2possibilities.Example:Target Gate: Z =_1 00 1_L = 44 Z44 =_ i o_103_o_103_ i_ 44 = 0, 001Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationBrute Force SearchBrute Force search allows to nd the best weave of a givenlength L to approximate every target gate.The number of possible braids grows exponentially as 3L/2The accuracy grows exponentially as 3L/6The time required is exponential in the length!Calculations become cumbersome for L > 40...The solution given by the BF approach is the optimal one but it is veryslow to be obtained.We can search for alternative algorithms (example: Kitaev - Solovay).Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationIcosahedral Quantum HashingM.B., Haitan Xu, Giuseppe Mussardo, Xin Wan (2009)... yet among the better educated Classes it is known that no Circle is reallya Circle, but only a Polygon with a very large number of very small sidesE. A. Abbot, FlatLandThe brute force search is inefcient for long braids because itsamples the whole SU(2) space with almost equal weightTo get a faster algorithm we must enhance the sampling near thetarget gate we want to approximateIn this way we can get a much faster algorithm that nds goodapproximations for arbitrary SU(2) gates (but in general not theoptimal one)We will start from the icosahedral groupMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationIcosahedral GroupI = {g1, ..., g60}Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationIcosahedral Pseudo Group1 is a subgroup of SO(3) and can be mapped in a subgroup ofSU(2)Every rotation in this subgroup can be compiled with a Bruteforce algorithm in braids of length L = 8, 24, 44 : we obtain thepseudogroup 1 (L):X = eix/2 1 BFL=24 X 1 (24)X =1 (L) is a Pseudogroup characterized by errors: gi = gieiiMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationIcosahedral Pseudo GroupI = { g1, ..., g60}Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationIcosahedral Pseudo GroupThe pseudogroup is not a group and is characterized by errorsdepending on the choosen length in the representationOur algorithm exploits these error to create efcient samplings ofSU(2)GROUPClosure:gigj = gkPSEUDOGROUP1 is not closed: gi gj ,= gkIdentity is given by the rightchoice of rotations:gi1gi2...gingin+1 = 1We can span the vicinity of theidentity: gi1 gi2... gin gin+1 = eiHnwith:Hn =n+1

iiMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationPreprocessor: L = 8Thanks to these errors with the products of 3 elements of 1 (8) wespan all SU(2) with 0 = 0, 03:The preprocessor approximates the target T withT8,3= gp1(8) gp2(8) gp3(8)Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationMain ProcessorWe can sample with high precision the vicinity of the identity:For every n-plet of rotation in 1 we can nd gn+1 such that:gi1gi2...gingin+1 = 1Mapping it into 1(24) we obtain a ne rotation:R = gi1 gi2... gin gin+1 = eiHnwhere Hn is a random matrix.The distances of R from 1 are described according to the WignerDyson (GUE) distributionIf we have an average error (L) for 1(L) the average distance ofR isn + 1(L)The main processor chooses the best R to correct the result ofthe preprocessorMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationDistance distribution and random matrices 0 5 10 15 20 25 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 0 0.5 1 1.5 2 2.5P(d)d (distance/error)Brute Force L = 24Icosahedral L = 8Icosahedral L = 24Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationResultsMaximal Length = 120 gp1(8) gp2(8) gp3(8) gq1(24) gq2(24) gq3(24) gq4(24) 0 300 600 900 1200 1500 0 0.0005 0.001 0.0015 0.002 0.0025P(d)d (distance/error)Average error:7, 1 104Time required:less than a second!Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationResultsAdding a second main processor with L = 44 we have:Ltot 296 2, 5 105t 1sA BF calculations requires L 60 to have the same precision,but it would require a very long time...We can iterate our algorithm to nd new pseudogroups.Iterating p times we have:Ltot = 5pL00_ 60n/3n + 1_pMichele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum ComputationReferences

J. Preskill, Lecture notes on topological quantum computation

S. Trebst, A. W. Ludwig et al., A short introduction to Fibonaccianyon models, arXiv:0902.3275 (2009)

N. E. Bonesteel et al., Topological quantum compiling, Phys. Rev B75 (2007)

G. Mussardo, X. Wan et al., Topological quantum hashing withicosahedral group, arXiv:0903.1497 (2009)Michele Burrello Fibonacci Anyons and Topological Quantum Computation