ESCUELA SUPERIOR POLITECNICA DE CHIMBORAZO

FACULTAD DE INFORMTICA Y ELECTRNICAESCUELA DE INGENIERA ELECTRNICA EN TELECOMUNICACIONES Y REDES

MTODOS NUMRICOS

TEMA: METODO DE GAUSS SEIDEL PARA ECUACIONES LINEALES

DATOS INFORMATIVOS:Integrantes: Adriana Paca (422) Nataly Cruz (593) Fabricio Crdenas Doris vila Carlita Jarrn Johanna Panchi Edgar Granda Adriana Segura Oscar Inga Magaly Lpez (593) Alex Rea (674)

DOCENTE: DR. FRANKLIN CORONELSEMESTRE:FECHA DE ENTREGA: 23/06/2015

IntroduccinLa razn por la cual los mtodos iterativos son tiles en la disminucin de los errores de redondeo en sistemas, se debe a que un mtodo de aproximacin se puede continuar hasta que converja dentro de alguna tolerancia de error previamente especificada. De esta forma, el redondeo no es un problema, ya que se controla el nivel de error aceptable.

OBJETIVOS:Objetivo General Estudiar el mtodo interactivo de gauss seidel para la resolucin de un sistema de ecuaciones comprendiendo de mejor manera.Objetivos especficos Analizar las estrategias prcticas para encontrar la resolucin del sistema de ecuaciones. Aplicar el mtodo numrico para la resolucin de problemas.

MARCO TERICO. MTODO INTERACTIVO GAUSS SEIDELEl mtodo de Gauss-Seidel es muy semejante al mtodo de Jacobi. Mientras que en el de Jacobi se utiliza el valor de las incgnitas para determinar una nueva aproximacin, en el de Gauss-Seidel se va utilizando los valores de las incgnitas recin calculados en la misma iteracin, y no en la siguiente.El mtodo de Gauss-Seidel, es un mtodo iterativo y por lo mismo, resulta ser un mtodo bastante eficiente.Procedimiento para el mtodo gauss seidelA continuacin se presenta un sistema de ecuaciones:

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De la ecuacin 1 se despeja , de la ecuacin 2 despeja, , de la ecuacin n se despeja . Resolviendo lo anterior se obtiene el siguiente conjunto de ecuaciones:

Este ltimo conjunto de ecuaciones son las que forman las frmulas iterativas. Para comenzar el proceso iterativo, le se le asigna el valor de cero a las variables ; esto dar un primer valor para . Ms precisamente, se tiene que:

A continuacin, se sustituye este valor de en la ecuacin 2, y las variables siguen teniendo el valor de cero. Esto nos da el siguiente valor para :

Estos ltimos valores de y , se sustituyen en la ecuacin 3, mientras que siguen teniendo el valor de cero; y as sucesivamente hasta llegar a la ltima ecuacin. Todo este paso, darn una lista de primeros valores para las incgnitas, la cual conforma el primer paso en el proceso iterativo. Digamos que se tiene:

Se repite el proceso, pero ahora sustituyendo estos ltimos datos en vez de ceros como al inicio, se obtendr una segunda lista de valores para cada una de las incgnitas. Por lo tanto ahora se tiene:

En este momento, se puede calcular los errores aproximados relativos, respecto a cada una de las incgnitas. As, se tiene la lista de errores como sigue:

El proceso se vuelve a repetir hasta que:Donde es una cota suficiente prefijada.

Criterio de Convergencia para el mtodo de Gauss-SeidelEl mtodo de Gauss-Seidel surgio como una modificacin del mtodo de Jacobi que acelera la convergencia de ste.El mtodo de Gauss-Seidel recorta sustancialmente el nmero de iteraciones a realizar para obtener una cierta precisin en la solucin. Evidentemente los criterios de convergencia son similares a los de Jacobi. Este criterio no solo se aplica a las ecuaciones lineales que se resuelven con el mtodo de Gauss-Seidel sino tambin para el mtodo iterativo del punto fijo y el mtodo de jacobi. Por tanto, al aplicar este criterio sobre las ecuaciones de Gauss-Seidel y evaluando con respecto a cada una de las incgnitas, obtenemos la expresin siguiente:

El valor absoluto de las pendientes en la ecuacin, deben ser menor que la unidad para asegurar la convergencia. Es decir, el elemento diagonal debe ser mayor que el elemento fuera de la diagonal para cada regln de ecuaciones. La generalizacin del criterio anterior para un sistema de n ecuaciones es:

El mtodo de Gauss-Seidel est basado en el concepto de punto fijo, es decir ( xi = gi (x), i = 1.. n), para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Para garantizar la convergencia se debe de cumplir que el sistema tenga una diagonal dominante, es decir que se cumpla la desigualdad siguiente, si se cambi el orden de las ecuaciones esta puede divergir.

Gauss seidel con relajacinEl mtodo de Gauss-Seidel con relajacin, es bsicamente igual al mtodo Gauss-Seidel simple, con la diferencia de que est diseado para mejorar la convergencia por medio de un promedio ponderado de los resultados de la aproximacin anterior y actual, el cual est dado por la siguiente relacin:

Donde es un factor ponderado comprendido entre 0 y 2.Si =1 el resultado no es modificado, por lo tanto la ecuacin se transforma en la ecuacin para resolver por el mtodo Gauss-Siedel de manera convencional.Para valores de < 1 el mtodo es conocido como sub-relajacin, es utilizado para hacer que un sistema no convergente converja o apresure la convergencia al amortiguar las oscilaciones.Para valores de > 1 al mtodo se le llama sobre-relajacin, el cual se utiliza para que la convergencia se mueve en la direccin correcta hacia la solucin verdadera, pero con una velocidad demasiado lenta. Por lo tanto se pretende que con la ponderacin mejore la aproximacin al llevarla ms cerca de la verdadera.La eleccin de un valor de adecuado es de forma emprica, por lo general este mtodo no se utiliza para la solucin de un solo sistema de ecuaciones. Es ms usual cuando un sistema en estudio se debe resolver de manera repetitiva, una buena seleccin de es de vital importancia para el xito del mtodo.

EJEMPLOS Partiendo de (x = 1, y = 2, z = 0) aplique dos iteraciones del mtodo de Gauss-Seidel para resolver el sistema:

10 x + 0 y z = 1 4 x + 12 y 4 z = 84 x + 4 y + 10 z = 4 Solucin: Debemos primeramente despejar de la ecuacin la incgnita correspondiente.x = 0.10 + 0.00 y + 0.10 zy = 0.66 0.33 x + 0.33 zz = 0.40 0.40 x 0.40 y Aplicamos la primera iteracin partiendo de x0 = 1.00, y0 = 2.00, y z = 0.00:x1 = 0.10 + 0.00 (2.00) + 0.10 (0.00) = 0.1y1 = 0.66 0.33(0.10) + 0.33 (0.00) = 0.70z1 = 0.40 0.40(0.10) 0.40 (0.70) = 0.16Aplicamos la segunda iteracin partiendo de x1 = 0.10 y y1 = 0.70 y z1 = 0.16:x1 = 0.10 + 0.00 (0.70) + 0.10 (0.16) = 0.084y1 = 0.66 0.33(0.084) + 0.33 (0.16) = 0.748z1 = 0.40 0.40(0.084) 0.40 (0.748) = 0.134

sese el mtodo de Gauss-Seidel y resulvase el sistema, recurdese que la solucin real es x1 = 3, x2 = -2.5 y x3 = 7.

Solucin: En primer lugar se despejan cada una de las variables sobre la diagonal:

Suponiendo que x2=0 y x3 = 0, la ecuacin 1 puede usarse para calcular:

Este valor, junto con el de x3= 0, puede sustituirse en la ecuacin 2obteniendo:

La primera iteracin se completa sustituyendo los valores de x1 y x2 calculndose en l a ecuacin 3, obteniendo:

En la segunda iteracin, se repite el mismo proceso obteniendo:

El mtodo, por lo tanto, converge a la solucin real. Para mejorar las soluciones se deben aplicar algunas iteraciones mds. Sin embargo, en este problema, no se debera saber la respuesta a priori. Por consiguiente se va a estimar el error:

Emplee el mtodo de Gauss-Seidel con relajacin para resolver (=0.90 y a = 5%):

Si es necesario reordene las ecuaciones para que el sistema converja:Si lo pasamos al formato de una matriz y su vector de resultados, obtenemos lo siguiente: Verificando el criterio de convergencia mediante la siguiente ecuacin:

Resolviendo esta ecuacin para un sistema de 3 x 3 obtenemos lo siguiente:

Convergencia: Esto quiere decir que el elemento diagonal debe ser mayor al elemento fuera de la diagonal para cada fila. Por tanto reorganizamos el sistema de la siguiente forma

Por lo tanto se puede asegurar la convergencia con este arreglo.Las siguientes frmulas las utilizamos para encontrar X1, X2 y X3 en cada una de las iteraciones.

Para calcular el primer valor de X1, se asumirn X2 y X3 con valores cero. Entonces para X1,

Para calcular el valor de X2, se utilizar solamente el valor encontrado de X1, dado que a23 es cero.

Para calcular el valor de X3, se utilizar solamente el valor encontrado de X1, dado que a32 es cero.

Entonces en la primera iteracin

Para la segunda iteracin, en el clculo de X1 el valor de X2 y X3 sern los calculados en la primera iteracin, seguidamente se le aplicar la ponderacin con el factor . Entonces para X1,

Aplicando la ponderacin

Para X2 se utiliza solamente el valor de X1 de la segunda iteracin, dado que a23 es cero.

Aplicando la ponderacin

Para X3 se utiliza solamente el valor de X1 calculado en la segunda iteracin, dado que a32 es cero.

Aplicando la ponderacin

Entonces en la segunda iteracin

Una vez obtenidos estos resultados, se debe calcular el error aproximado porcentual para cada uno de los resultados, para ello utilizamos la siguiente frmula:Para X1,Para X2,Para X3,

Dado que en las tres incgnitas el error aproximado porcentual es mayor a un 5% se debe hacer una nueva iteracin. Se contina realizando el mismo procedimiento con los nuevos valores de X obtenidos hasta que los errores aproximados porcentuales en las tres incgnitas sean menores que el 5%.

El resultado de estas iteraciones siguiendo el mismo procedimiento, se presenta en la Tabla 7.Tabla 7: Resultados de las iteraciones por el mtodo de Gauss_Seidel con Relajacin con un =0.9 del ejemplo Iteracinx1x2x3a x1a x2a x3

00,000000,000000,00000

1-0,500006,000006,45833

22,303134,107897,50951121,71%46,06%14,00%

32,394233,857197,648793,81%6,50%1,82%

42,378273,842897,656730,67%0,37%0,10%

al sustituir estos valores en las ecuaciones originales para verificar los resultados obtenemos que:17 *(2,37827) 2 *(3,84289) 3 *(7,65673)= -1,98655-5 *(2,37827) + 21 *(3,84289) 2 *(7,65673)= 45,01271-5 *(2,37827) 5 *(3,84289)+ 22 *(7,65673)= 79,98941Al calcular los porcentajes de error de estos resultados se obtiene lo siguiente:

Aplicaciones del mtodoEL mtodo de Gauss Seidel tiene una amplia aplicacin para resolver problemas de ecuaciones lineales y cuando stos son de alguna manera ms fciles de computarizar a travs de algn programa como Excel o bien WINQSB.Esta es una de las tantas variaciones que tiene el Mtodo de Gauss (mtodo del pivote) y son muy aplicados en algunas reas como lo son Investigacin de Operaciones (Tcnicas de Optimacin) que son mtodos para encontrar soluciones ptimas a distintos tipos de problemas de transporte y asignacin por ejemplo.Tambin es muy utilizado para las reas de mecnica (fluidos y slidos) segn el tipo de experimento que estemos realizando y nos sirven en general para encontrar un valor aproximado de lo que sucede en nuestro proceso.El mtodo de Gauss-Seidel encuentra su mayor aplicacin dentro de la programacin ya que es fundamental para la operacin de mquinas CNC (Computerized Numeric controls) donde es ms sencillo generar modelos lineales para programar un proceso.EJERCICIOSUna compaa minera extrae mineral de dos minas, el cual contiene para la mina I el 1% de nquel y 2% de cobre, para la mina II el 2% de nquel y 5% de cobre. Qu cantidad de mineral se deber extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de nquel y 9 toneladas de cobre?

Solucin: Cul es el problema? Qu se busca? Queremos saber el nmero de toneladas de mineral que hay que extraer de cada mina, asignemos literales a esos nmeros. Sean x el nmero de toneladas que se extrae de la mina I, y el nmero de toneladas que se extrae de la mina II. Establezcamos ahora relaciones algebraicas entre las literales. Cunto se obtiene de nquel de la mina I? 0.01 xY de la mina II? 0.02 yEntonces la ecuacin queda: 0.01x + 0.02y =4Anlogamente para el cobre tenemos: 0.02x+0.05y = 9As, para saber cuntas toneladas hay que extraer de cada mina debemos resolver el sistema de dos ecuaciones lineales con dos incgnitas:

La matriz queda de la siguiente forma

Despejando las incgnitas

Tomando como primer valor inicial a y1 = 75, resolvemos para x1 para obtener posteriormente y2

Calculamos el error

Que an es mayor al 1% As que repetimos el proceso de iteracin las veces necesarias

Este proceso continua. Dndonos como resultado X=100 Y=200Que son las toneladas de material necesarias que se deben extraer de cada mina para obtener 4 toneladas de nquel y 9 toneladas de cobre

CONCLUSIONES:

El mtodo de Gauss seidel es ms eficiente que el mtodo de jacobi En mtodos numricos suele usarse el mtodo estudiado para estimar valores de un sistema de ecuaciones. Se logr tener el aprendizaje respectivo del procedimiento de como calcular el mtodo para un sistema de ecuaciones lineales.

RECOMENDACIONES:

Tener en cuenta cada concepto para poder interpretar si existe convergencia en el sistema de ecuaciones para aplicar el mtodo de gauss seidel. Al momento que se va a despejar las variables tener cuidado, porque necesariamente deben ser las variables de la diagonal del sistema.