metodo isoclinas
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2.5. Campo de Direcci´on y el M´etodo de las Isoclinas Consideremos la ec. dif. y0 = F(x, y), en un punto (a, b) tenemos y0 = F(a, b) podemos costruir una linea corta llamada elemento de linea con pendiente F(a, b). Si hacemos esto para un gran n´umero de puntos obtenemos una gr ´afica llamada campo de direcci´on de y0 = F(x, y). Si hacemos a m = F(x, y) con m = cte., entonces m = F(x, y) es una curva en la que cada punto tiene un elemento de linea con pendiente constante m. Este m´etodo se llama m´etodo de las isoclinas. A la isoclina le llamamos la pendiente. Ejemplo 23 Obtener el campo de direcciones y bosquejar las soluciones de dy dx = −x y . soluci´on: En el punto (1, 2), @y @x = −1 2 En el punto (3, 1), @y @x = −3 En el punto (−1, 1), @y @x = 1 Sea m = cte y −x y = m entonces −x = my =) 8< : y = −1 m x si m 6= 0 −x = 0 si m = 0 Si m = 1 =) y = −x entonces son las rectas de pendiente m = 1, ahora si m = 2 =) y = −1 2x entonces son las rectas de pendiente m = 2.
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25 Campo de Direcciacuteon y el Macuteetodo de las IsoclinasConsideremos la ec dif y0 = F(x y) en un punto (a b) tenemos y0 = F(a b)podemos costruir una linea corta llamada elemento de linea con pendienteF(a b) Si hacemos esto para un gran nacuteumero de puntos obtenemos una gracuteaficallamada campo de direcciacuteon de y0 = F(x y)Si hacemos a m = F(x y) con m = cte entonces m = F(x y) es una curva enla que cada punto tiene un elemento de linea con pendiente constante m Estemacuteetodo se llama macuteetodo de las isoclinasA la isoclina le llamamos la pendienteEjemplo 23 Obtener el campo de direcciones y bosquejar las soluciones dedy
dx = minusx
y soluciacuteon En el punto (1 2) y
x = minus12
En el punto (3 1) y
x = minus3En el punto (minus1 1) y
x = 1Sea m = cte y minusx
y = m entoncesminusx = my =)8lty = minus1
m x si m 6= 0minusx = 0 si m = 0Si m = 1 =) y = minusx entonces son las rectas de pendiente m = 1 ahora sim = 2 =) y = minus1
2x entonces son las rectas de pendiente m = 2
Figura 24 Campo de direccion
13 TRAYECTORIAS ISOCLINASDe_nici_on 11 Dada la ED y0 = f(x y) se llaman curvas de nivel o isoclinas a las obtenidasal imponer la condici_on y0 = k131 M_etodo de las isoclinasEl m_etodo de las isoclinas es una variante de las ideas antes descritas Los puntos del plano por los
que pasa una soluci_on con pendiente k son los puntos de la curva de ecuaci_on f(x y) = k (isoclinade pendiente k)Dibujando las distintas isoclinas se obtiene una representaci_on similar a la del campo de direccionesPuede tener inter_es identi_car la isoclina para la pendiente 0 pues las soluciones tendr_angeneralmente un m_aximo o un m__nimo al pasar por esta isoclinaEjemplo 1101 Representar las isoclinas de la ED y0 = x + y22 Representar el gr_a_co de contorno (curvas de nivel o isoclinas) de la super_cie z = x + y2
Clase Pr_actica 1 9Desarrollo de la soluci_on del ejemplo 110gtgt[xy]=meshgrid(00053-20052)gtgt z=x+y^2gtgt isoclinas=contour(xyz20)El resultado en pantalla es el que ofrece la figura 16
Fig 16 Ejemplo 110 Fig 17 Gr_a_co del ejemplo 111
Ejemplo 111 Representar las isoclinas de la ED y0 = x2 + y2Soluci_on paso a paso del ejemplo 111 (ver _g 17)gtgt[xy]=meshgrid(-40054)gtgtz=x^2+y^2gtgtisoclinas=contour(xyz20)Ejemplo 112(a) Representar las isoclinas de la ED y0 = 2x 1048576 y(b) gtQu_e tipo de curvas son dichas isoclinas(c) Representar las isoclinas correspondientes a k = 0 y k = 2(d) gtQu_e particularidad tiene la correspondiente a k = 2
Fig 18 Gr_a_co del ejemplo 112-a Fig 19 Gr_a_co del ejemplo 112-b
Ejemplo 113 Construir el campo de direccionesy las curvas de nivel de la EDy0 = sen(x) + yDesarrollo paso a paso de lasoluci_on del ejemplo 113 (_gura110)gtgtf=inline(sin(x)+yxy)gtgtpaso=05iz=-3der=3gtgt[xy]=meshgrid(izpasoderizpasoder)gtgt[nm]=size(x)dx=ones(nm)gtgtz=f(xy)dy=zgtgthold oncontour(xyz20)gtgtquiver(xydxdy)
Fig 110 Gr_a_co del ejemplo 113
que pasa una soluci_on con pendiente k son los puntos de la curva de ecuaci_on f(x y) = k (isoclinade pendiente k)Dibujando las distintas isoclinas se obtiene una representaci_on similar a la del campo de direccionesPuede tener inter_es identi_car la isoclina para la pendiente 0 pues las soluciones tendr_angeneralmente un m_aximo o un m__nimo al pasar por esta isoclinaEjemplo 1101 Representar las isoclinas de la ED y0 = x + y22 Representar el gr_a_co de contorno (curvas de nivel o isoclinas) de la super_cie z = x + y2
Clase Pr_actica 1 9Desarrollo de la soluci_on del ejemplo 110gtgt[xy]=meshgrid(00053-20052)gtgt z=x+y^2gtgt isoclinas=contour(xyz20)El resultado en pantalla es el que ofrece la figura 16
Fig 16 Ejemplo 110 Fig 17 Gr_a_co del ejemplo 111
Ejemplo 111 Representar las isoclinas de la ED y0 = x2 + y2Soluci_on paso a paso del ejemplo 111 (ver _g 17)gtgt[xy]=meshgrid(-40054)gtgtz=x^2+y^2gtgtisoclinas=contour(xyz20)Ejemplo 112(a) Representar las isoclinas de la ED y0 = 2x 1048576 y(b) gtQu_e tipo de curvas son dichas isoclinas(c) Representar las isoclinas correspondientes a k = 0 y k = 2(d) gtQu_e particularidad tiene la correspondiente a k = 2
Fig 18 Gr_a_co del ejemplo 112-a Fig 19 Gr_a_co del ejemplo 112-b
Ejemplo 113 Construir el campo de direccionesy las curvas de nivel de la EDy0 = sen(x) + yDesarrollo paso a paso de lasoluci_on del ejemplo 113 (_gura110)gtgtf=inline(sin(x)+yxy)gtgtpaso=05iz=-3der=3gtgt[xy]=meshgrid(izpasoderizpasoder)gtgt[nm]=size(x)dx=ones(nm)gtgtz=f(xy)dy=zgtgthold oncontour(xyz20)gtgtquiver(xydxdy)
Fig 110 Gr_a_co del ejemplo 113
Fig 18 Gr_a_co del ejemplo 112-a Fig 19 Gr_a_co del ejemplo 112-b
Ejemplo 113 Construir el campo de direccionesy las curvas de nivel de la EDy0 = sen(x) + yDesarrollo paso a paso de lasoluci_on del ejemplo 113 (_gura110)gtgtf=inline(sin(x)+yxy)gtgtpaso=05iz=-3der=3gtgt[xy]=meshgrid(izpasoderizpasoder)gtgt[nm]=size(x)dx=ones(nm)gtgtz=f(xy)dy=zgtgthold oncontour(xyz20)gtgtquiver(xydxdy)
Fig 110 Gr_a_co del ejemplo 113
