Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions...

175
20:37 30 Oct 99 Methods of Geometry Solutions manual

Transcript of Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions...

Page 1: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

20:37 30 Oct 99

Methods of GeometrySolutions manual

Page 2: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

20:37 30 Oct 99

Methods ofGeometry

Solutions manual

James T. Smith

San Francisco State University

Page 3: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

20:37 30 Oct 99

� ���� �� ��� �� ����

Page 4: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

8:27 31 Oct 99

�������

���� ����� ������� � ��� ���� ��� ��� ������� ������� � ������� ��

������� ���� �������� �������� �� ����� � ��������� ���� �������� ��

��� �� ����������� �� ����� ��� ��� �� ������ �����

� ��� �� ���� �� �� ��� �� ���� � ��� ��� � ��� ��� ����������

�� ����� �� ������ ��� �������� �� ������� �� �������

� ��� �� ���� �� ���� ���� �� ��������� ���� �������� �� �������

� ���� � ����� � ����� ���� ��� �� ������� ���� ���� �������� ����

��� ���� �� ��������

� �� ������� ��� � ��� ������� �������� �� ����� �� ���� � ���

������ �������� ���������

������� �� ������ ������ �� ������� ��������� "��� ����� ���� �����#

������ ��� ��� ������� ������ � ��� �� ���� ���� ������� ������ �� �����#

�$������ ���� �� ���� ���� � �������� ������ �� � ���� � � �������

%��� ��� ������� ������������� ��� ����� ��� ��������� �������

�� ������� �������� ����� ���� ��� ���������� ��� ����������� ��

�������� ���� � ��&����� ��� �������� ����� �� ��� ��� ��� � ������

���� ����� �� �� ������� ���� ����� ���� ���������� �� ����� � ��� ��

���� ��������� ���� '���������� � ��� ��� ���� ���� �� ������ ��� ���

��� ��� ��� ��� ����������� ����� �������� �� �� ���� ����� ��������

��� ��� �� ��� ����� ��� ��� ��������� ������� ���� ���� ����� ���� ��

��������� ��������� ��� ���� ���� ���

'�� ����� � ������ �� �������� ��� ����� ��� ���������� ���� � �����

�������� �� ������� �� ��������� ����� ��������� ��� ����� �� �� ������#

����� (��� ���� �������� � ������� � �� ������� �� �������� � �������

�������� �������� ������ ��� ����� ��� ������ ��� ������� ������ ���

������� ������������� ���� ������ �������� ���� ��� ������� �� �����

�� ��� ����� �� ����� )������� ��� ��� ����� ����� � ����� ����� � �������

������ ��� � ��� ��� ����� ����� � ������ ���� �������

��� �������� �� ���� ����� ��� ��� ��� ��� ���� ����* "�� ���� � � ��

��� ������ � ������ �� ���� ������� � ������� ���� ����� ������� � � (���

���� ������� �� ���� ���� �������� �� �� � ��� ����� )� � �� ����� ��

������������ ��� �������� ��� �������� ������� ��������� ����������

���������� ��� ���� ��� ����*

Page 5: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���� �������

8:27 31 Oct 99

"���� �� � �� �������� ����� ������� � ���� ����������� � �����

��� �� ��� ����� +�� ������ ���� ��� ��� ��� �� �������������� � ����

��������� ���� ����� �� ����� �����

,���� ��� ���� ����� ��� �� ��� ������������ ��� �������� ���

����������� ��� ����� ������ ������������� �� ��� �������$���

-���� �� )����

Page 6: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

20:50 30 Oct 99

��������

Preface ���

4 Solutions to exercises on elementary geometry �

��� ������� � ��� � ��� � � � ��� ������ �

��� ������� ������ �� ������ ����� �

��� ������� � � ��� � � � ���� �������� ��

��� ������� � ����� � ��� ������� ����� ��

��� ������� � ��������� � � ���������� ������ ��

��� ������� � ���� � � ������� ��� � ��

��� ������� � ��� ��

�� ������� � ������ ��

��! ������� � ���� � � ������� ��� � ��

���" ������� � ���� ��� ������� ��

5.11 Solutions to exercises on tr iangleand circle geometry ��

6.11 Solutions to exercises on planeisometr ies and similar it ies !�

7.7 Solutions to exercises on three-dimensional isometr ies and similar it ies ���

8.5 Solutions to exercises on symmetry ���

Page 7: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ������ ��� � ��� ���� ������

��� ������ ���� ������

16:43 30 Oct 99

�������

�� ����� �� ���������

�� ����������

��������

������� � � � ���� ������ ������������ �������������� �� ����������

��������� ��� �� ������������ ����� ������� ������� �� ��� ����� �������

�� ���� ����� ������ �� ��� ������ ���������� ������ ������ � �� ����

��� ������ �� �� ���� ��� ����� �� ��� ������� ������ �� ����� �

��� � ������� ����� �� ����� ���������� ��������� ��� ���� �� ���

��� ������ ������ ��� ��� ����� �� ������� �� ������ ���� �� �� ���� ����

�� �� �� ���� ������ ����� �� ��������� ��� ������� ���� �� �������

���������� �������� � ������ ��� ��� �������� ������ �� �� ������������

���� ����������� ��� ��� ���� !�� ����� ��� ��� ������ � ���� ����� �� ���

�� � ��� ��� ������� �� ���� ���� �� � ������ "��� ������ ����� ��������

� ����� �������� ��� ������� � � ���������� �� �������� ������� ��� ���

���� ���������� ������� �� ��� �� ���� ��#���� � ��� ������� ��������

��� �������� ������� ������ ��� ��� �� ���������� ����������� ��� $��

���������� ���������

��� � ����� ��� ��������� �� ��� ������� ��� �� ������ !���� ���

��#���� �������� �� ������� $�� �� ����� ��� ����� ��� ������� ����������

�� ������� ����� �� ��� � $���� ��������� ���� �� ������� � ���� �������

��� ���� �� ������ ������%�� ���� &������ ��� ��� ��������� ��� ���

� ����������� ��� ��������� �������������� ��� ��� ��������������

$�� ���� �� ������� � ���� ����� � ��������� �������� ��� ������� �

Page 8: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

Concepts������ �� ����

����� ��������� �������

������������ �� ��� ��������� ����

�������������� ���������

����� �������� ���� ����

������%�� ������� ��� ��� �� � ������� �� �� ������ ������ ���� ���

������� �� ����������� ��� ���������� ��� ��� ���������

&��� � ����� �� ��� ������� �������� ������� ���� �������� !��

� ������

� " ����� '�(�) ������� ��� ����� ������ �� ������ *�*+

� " ����� '�)�* �������� ��� ������ ��( �������� �� &&� ��������

����������+ ���

� " ����� '�,�� ������ ��� ������� ��� ��� ������ �� � ����� ���-

������ �� ������ ��.'�

/���� ��������� �������� �� � $���0 ��� � ������

� ������������ ����� ��� ������ � ��� �� ������ '�.+

� ����������� ���������� ��� �������� ���� �� '�( ��� '�)+ ���

� &�������� ������������ �� ������ '�1�

����� ��� � �� �������� � ����� ����� 2�� ������� ��� ������ ����������

�� � �� �� ���������� /��� � �� � ������ ��� ����� ��������� ��� �����

�������� ��������� /���� ��� ��� ���� ��� ������ ���� � ���� �� ��� -

���� ��� ������ �� ��� ���� �� ��� � ����� �� ��� ������� "��� ����

��� ���������� ������� ������� 3����� ���������� �� ���� ��� ��� ��� ����

��� ��� ��� ��� ���� ���� ��� ��� ��� ��� �������

4��� ��� �������� ��� � �� � ������ &������� ���� ����� �� �����-

������ ������� 5���� ���� ���������� �� ����� ����� ������� ���� ����

��� �������� �� ������ ���������� ���������� /�������� �������� �����

�������0 ��� � ������ 6��� ���� � � ��� .'�.'�7 ���� ���� ��� �����

��� ���� ����� �� ���� �������� 2�� ��� ���� �� ���� ��� ��� � ����� ����

���� � ����� ���� ����� ��� ����� �������� ������� .'�.' � ���� ��� ���

� ��� .. 8 � ��� .9 � �� ���� ��� �� ��� ����������

4.1 Exercises on the incidence and ruler axioms

��� ��������� � ��� �� ������ ��. ������ ���� � ���� ���� �� "��������

��������� ��� ����� �� �� ����� ��� ���� ����������� �� ���� ��������

������ � ��� � ����� �� ��� ������ ��� ������������

Page 9: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ��������� �� ������� �� ����� ����� �

16:43 30 Oct 99

� ��� �( ���� ������� ���� ����� ��� ������ ����� �� �� ��� �����-

���������� ��������� ��� ����� �������� /�� ����� ��� ���� �

�� ���������� ��� ����� �� ������� ����������� ����� ��.�� ��� ������� ��.�'�

" ����� . � ����� ��������� ������� " ����� * �� ���� ��� �����

�� ������ �(� ����� ��� ��������� � ��� ��� � ����������� �� ����� �

� ��������;� ���� �� ���� ���� � ���;����� ��� �� ��� ������ 2��

��������� �� � ����� �� ���� ��� �( ��� ����� ��� ���� �� � ����-

����0 �. �� �( ���� � ����� �������� �� $�� ���� ������ � ��� ����� �����

���� ��� ��������� � ��� ����� ���� ����� ��� ���� ���� �����

�������� �� ��� ��� ������� � ��� �( � ��� ��������� ����� ���� ���

�� ������ ����< 4� � ���� ����� ����� � ����� � ��� � ��� ��

� � <

������ � ������������ ���� �������� �� ���� ����� � �� � � ���

���� =� �� �� �� > � ��� �� ����� ������ � ��� �. �� �' ��� ��������

� 0 ����� ���� ��� �� ������ �����

�� ��� �(� ��� �. �� �' ��� � ���� ����� �(� ��� ���� ������� �� ������

�( ���� �. �� �' ��� ��� ��������

� 0 ����� ����� � ����� � ��� � ��� �� � � �

��� �� ������ � ���� �. �� �' ��� � � ���������� � ��� ������� �(� �

�������� � ������� ��� ������������ ���� �������� � ������ '�.�.�

�� ����� ��

� ����� ����� � � �� ��� +

� ����� ���� =� �� > � =�� > � ��� = �� > +

� ��� ����� =� ��� > �

&�� ���� ��� ���� ������ ��� ��� ��������� � ��� � ���� �(�

������ ��� �������������� �

�������� � �������� � ������� ���� ������ � ����� ��� ���� ������

���� ������ ��� ��� ��������� � ����

������ "��� ���� ������� �� ������ ��� ���� ������ ������ �

Figure 4.1.1 !�����

����� ��� � ����� *

� �

Page 10: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

� �

Figure 4.1.2 !����� �����

��� � ����� '� ���� .

" ����� * ��� ' �� ) �������� ���������� ���� ��� ��������� � ���

��� ���������� 0 ?��� � ������ �� ���� ��� ������ !�� ���� � ��� �

������ ������ �� ���� � � ���� �� ��� ��� ��� ����� �� ��� ����� ������

� ���� ��� ����� � ���� �� ���� ��� � ���� �� ���� ������

�������� �� ��� �� ������� ��� ���� �������� �� ������ '�.�* ��� ����

������ ���� ����� ��� ���� ������ @���� ��������� � ��� ��� �� ������

����������< �������0 3��� ���� ����� ������ �������� ��� ���������

��� ��� ����� �� �* � ������� ����� ���� ��

��� � ������ ��� ���� �� � ����� � �� ������� ��� ��� ���� ������

� ����� ��� ����� ������ ���� ������ ��� ��� ��������� � ��� � ���� �*�

������ ���� !� ��� �� ���� ����� ���� ��� ��� ��� ��� � �����

� � �������� ���� = �" >� �. ���� ����� �� ���� ������� ���� ������

��� ���� ���� ��� ��� ����� ��� ������ � �' ��� ���� �� ��� ��

���� ��������� ��� ����� ������� ����� ���� ��� ������������ �� ��� ��

���� ��� ������������ �� ��� ��� ���� �� ��� ������ ��� ��� ����� ��

� ��� �* � ������� ����� ���� �� ���� �* ���� �� ��� �� ����� �� ����

���� �� ���� ����� ����� =� � �" > ��� =� � �" > ��� ������� ���

������������ ����� � � ��� "� � ��� �� ���� ��������� �� ��� �� ����

����� ���� ���� ������� � ����� �� ������ �������� �( ���� �� ��� ��

�����

���� #� ��� �� ���� ��� ��� ���� ����� ���� ��� ��� ��� ��� � �����

� � �������� ����� =�� �" >� ��� ���� ���� ��� ��� ����� ��� �����

� �. ��� ���� �� ��� �� ����� �* ���� ����� �� ����� ������� ���

������������ ����� �� � ��� " � �� ��� �' ���� ����� ���� ��� �� ���

��� ����� �������� �( ���� �� ��� �� ����� �

�������� �� ������� ������������� ������� ���� ������ ��� ���� ����

���������� $�� �� ������ ��� ��� ����� ���� ���������� $�� ����� ������

&�� ���� �� ������ ��� ��� ��������� � ��� � ���� �'� &���� �� ���������

��� ���� � � ������;��� ������ ����������;�� ����-����������

�������� ���������

������ ��� �� ���� ����� �� � ����������� �� " ���� ��� ���

���� ��� � ����� �� ��� ���� ����� $����� �� � �� ����� $ �� ��� 6������

���������7 3�� ��� ����� �� �� ���� ������� � ��� �����

Page 11: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ��������� �� ������� �� ����� ����� �

16:43 30 Oct 99

� A B9�9�9�9C � A B9�.�9�9C $ A B.�9�9�9C

A B9�9�.�9C

" A B9�9�9�.C

D���� =� �� �$ > ��� = �" �$ > ���� ���� � ����� ����� �� ������� �

�' ���� �� ��� �� ����� ��� ��� �� ������ ��� ��������� � ���� �

�������� �� �������� ������������� ���� ���� ������ ��� ��� ���������

� ��� � ���� ��� ��������0 3�� ��� �� �� � ������ �� ����� ��� ���

���� ��� ����� �� ��� ���� �� � ����� �� ��� ��$����� ��� ������� ��

��� �� ��� �������� ���� ��� ������

������ &���� ��� ��� ��� ���� ��� � ����� � ��� ��� � ����� % �

� �� ������ '�.&�.� "������ ��� ���� =� �� > �� =% �� �� > ��� ��� �����

=� �� �" > �� =% �� �� �" > �� ����� ����� =� �� � > ���������� ���

��� ���� =% �" > ��� =% � > ��� ��� ����� =% � �" > � �� ��� ������

��� =% � �" > �� =� �� � > ���� � ��� ����� ����� � � ��� ��� ��

�������� ����� ��� � �� ����� � � �� ������ '�.&�* ��� ������� ���

���� =% � > �� =% � �� > ��� ��� ����� =� �� � > ��� =% � �" > ��

=� �� � �� > ��� =% � �" �� > � ��� ��� ���� =� �� > � =� �� > � ���

=" �� > ��� ����� =� �� �" > ��� =� �� �" > � �

������� ���������� ���$��� ����� ���� ���� ���� � �� ���� �. ��� �*

���� ���� �� � ��� E���� ����� �� �� ������� ����F� ��� � ����� ���

������������ �� ��� �������� �����

��� ����� � ��� �� ������ ��* � ����� ������ ����� ���� ���� ���������

�� ��� ������� � ������ ���� �� ���� ���� ��� �� �� ����� �� ��� ����

��������� �� ��� �������� �� �� ���� ��� �� ��� ���� ���� ���������

��� ��� �� �� ���� ��� ��� ��� ��� ��� � �������������;� ����;��

�� ���� ������ " ����� G ����� ����� ��� ������ ����� ���� ����

������ �� ��� �� ��� ��� ����� � ����� ����� � ���� �� �������� � ���������

� �

� � �

Figure 4.1S.1����������� ��� � ����� )

� � �

Figure 4.1S.2!����� ����� ��� � ����� )

Page 12: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���� �� � ��"

� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

Concepts�������� ������ ����� �������� �� ���������

����� �� ����� �� ������ ��������

����������� ���� �� �����

����������� ���� �� �����

���������� �������

������ ����

!��������� �"������

�������� �� H���� � ���� ��� � ���� �� ��� ���� ������� � ��� � ���

� A I.� �� ���� ��� �������� � ������� � ������ �E� F A � 8 � E� F� ��� ���

����� � �� � � � ������� ����� ���������� �� ���� �� � � ��� ����

��� � � ���� ����� ��� ������� � ��� � ��� ���� � A I. ��� �E� F A

� 8 � E� F ��� ��� ��

������ �������� �� ��� ������ � � ��� ������� �E� F A � 8 � E� F �

�� ��� ��� � ���-��-��� ���� ��� �� �� ��� ���� ��� ��� ��������� ���

��� ����� � ��� �� �� ��E� F � �E F� A ���� E� F � E F� A � � ���� � � �����

?� ����� � � ��� ���� ��� � � ��� ��� � � ��� ����� �� � ���

�E� F A 9� !�� ��� ����� � �� � �

�E� F A �E� F � �E� F A ���E� F � �E� F� A ��� A �� E� F � E� F� �

�� ����� ��� ���� 8 �� � ��� ���� �� �#������ �E� F A �J E� F � E� FK

��� �&��� ����� � �A � �� � � !�� �����

�E� F A E� F � E� F

�E F A �J E F � E� FK

��� ��� ����� � ��� �� � � ����

E� F � E F A ��

A �J �E� F � �E FK

A �J E� F 8 E F � * E� FK �

���������� ��� � ��� 8 ��� �� ����� ��� ��� � A� �� A� � ��������

�� ��������� ���� ������ � ������� � A �. ��� ���� �E� F A

�� E� F 8 � E� F ��� ��� � � �

4.2 Exercises related to Pasch’s axiom

�� ������� ������ � A B C �� ����� ����������� ��� ��� �

������ ������ � � ������ � �������� ������ � � �� &������ �������� �

��������� ����� ����� ��� � � �"� ��� �"��� E�� ����� ��� ������

Page 13: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ��������� ���� �� ������� ���� �

16:43 30 Oct 99

�� ������ � � ���� ������ ������ �� ���� ������� ��� ��� ���������

��� ��� �� � ���� �������� ���� ������ �� �� ���� ���������� �� ��-

���� '���F

�������� �� &�� ���� � ��������� ����� � ��������� ����� �������� ������

��� �������� �� ��� �� �� ���� ���� ��� ��� ������������ ���� �����������

� ������ ��� ����� �� � �

������ ��� �������������� ������� ������� ��.9�.� �

@��� � ������� ����� ��� ��� ������ � ���� ���� �� ��� ��� � � .

������ ���� ������� ���� �� ������ ���� ��� ��������� � ����� ��

��� ������ ��������%� ���� �������� ����� �� �� ��� ����� ���������

" ����� ) ��������� �� ���� ���������� ��� ������ ���������� ����������

�#������ ���� ���� �� ��� ����� H��� � ���� ������ � ��� �� �� ����

��������� ������ �� ����� �������� ����� ����� ��� ������ 3�� ����� �

� �� �� ������� ���������� �� ���� ������ �� ������ ��. �� ���� ����

����� ������ ���� �� ��� ���������� ������ ��� D��� � ����

��� ��-���������� ��������%����� �� ��� ������ �� ������� ��������� �����

� ���� �� �������� ���� � ������� ����0 "��� �� ��������� �� �� �����

�� ������� ��� ��� ������ !�� �� � ������ �� ������ '�*�.�

�������� � &�� ���� � ������ �� � �� � �������� ���� �� ������� �������

������ ����� ����� � ���� � ������ ��� �� �� ��$���� ���������� /�� �� ����

� ��� ����� �� �� �������� �� ������ '�*�.� "��� �� ��� ����� � ��� �������-

���� �� � ������ ��� �� �� ��� �� � �� ��� �� �� �� L�� � � ��� ��� ���

�� ���������� &�� ���� � A � 8 � 8 . ��� ����� � C 9� ���������� �

� � ��������0 &������� ��� �� ���� ��� ��� ���������� ��� ���� ��� ���

���� ������� ��� �� ��������� ������� ��� ��� ��� ��� �8.� �����

!����� '�*�. �� ���� � A .*� 3�� ����� ���� � A (G�� ��

������ ���� ���� � �������� ��� ������� ��� �� � ������� ������

���� ������ �� ���� � 8 . ��$���� ������� ���� �� ���� ��� � ���������

�� ����� ��� � ��� � 8 . �� ���������� &���� ��� � A � ��� ���� �

�� � � ���

Figure 4.2.1 �������� ����

�� ������� �������

Page 14: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

� ������� ��� � � A � 8 � 8 . ���� � ���� ���� ����� �� � �#�������� �

� � � � � � � �� ���� �� ��� �� ���� �� �� ��������� � ������ � �� ��'� �

��� � ��������

�������� � " ��� � � ��� � C 9� � � ���������� �� ���� �� � � M��

��� ������� �� ������ ���� ����� �� � � ���� ������� � � 4� ����� ���

��� ����� � N� ����� � � �������< �������� 0 3�� ����� ������ �

� A (9(*����

������ M� ��� �������� ������� . 8 * 8 OO O 8 � A � � �E� 8 .F0�

� A ��

� A � 8 * A � 8 *� �

� A � 8 � A � 8 * 8 �� �

� A � 8 ' A � 8 * 8 � 8 '� �

� A � 8 * 8 � 8 OO O 8 ��

A * 8 E. 8 * 8 � 8 OO O 8 �F

A * 8 � � �E� 8 .F�

A * 8 � � � 8 � � � �� � �

� N� ��������� ' � � �������� ��� �

� ����� �� � � ������ ������ �� ������ � ��� �� � ��� ���� � B

� ��� ��� ����� � ��� �� � �

�������� �� �� �������� ������ �� ��� ��������� �� � ����� * ��� �� ����-

��< 4� ���� ��� � A .99< �������� 0 !�� � A .99 ��� ����� ����

*9. �� ������ ����������

������ !�� � A 9 ������ ��� �� ������ ���������+ ��� � A . �����

��� ������ �� �������� ��� (�� ���� � ��� ���� �� ����� ���� ���������

� � ���� ��� ����� �� ��� ����� �� � �� � � � ������� ���� ��� �� ��� ��

����� � ������� ��� ��� ����� � ������ $�� �� ��� � � ������� ��

� �� � � � ���� ���� ��� ����� �� � ��� �� ������� ���� ���� �� ����

������ �� �� �� ������ ��� � ����� ��� *� 8 . �� ������ ���������

� � �

� ������ �� ����� � ��� �� � � ������� ���� �� ��� ����������� ��

���� ����� � � ������ �� �� ���� �� ������� ��� ��� ������

�������� �� &�� ���� � ������ �� � �� ����� �� ������� ������� ������

���� ���� � ������ ��� �� �� ��$���� ���������� /�� �� ���� � ��� �����

�� �� "��� �� ��� ����� � ��� ����������� �� � ������ ��� �� �� ��� ��

��� �� �� �� L�� ) � ��� ��� �� �� ���������� 5����� ��� �����������

Page 15: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ��������� ���� �� ������� ���� �

16:43 30 Oct 99

������� ) A ) 8 � � .� ������� ) � �������� 0 3�� ����� ������� � � ��

) A .GG���

������ ����� ��� ������� �� � ����� *� �

�� ������� ������� ��� � ������� ���� ������ � �#�����

� �� � � � � ��������� � ������� � �)���� ��� ���0 �� ���� � ������� ���� �

� �#����� � � � � � � � ��� ���� � A ��� � � � A � ��� ��� ( �� � � ��� � �

�������� �� &����� � � � � � � � ��� ����� � � ���������� �� ������ � 0� �

����� ��� ����������� � �� � ��� ���� � A � 8 � ( 8 � ( 8 OO O 8� � � � � �

� ( ��� ��� ( � &�� �� �� ���� � ���������� ������� � �� ������ � 8 .��

��� ��� ���������� �#������ ��� ��� � A ��� � � � A � � ������� ��� � �

� ���� �� ������ �#������ ��� ��� ����������� �� � �

������ &�� ��� � ����� G �������� �

�������� �� M� ��� ������#�� ��� ��������� �� � ����� ) �� ���� � �������

���� � ���� ) ��� � C 9� � ������� �� � ����� (� �� ���� �� � � M��

�� �� ������ ���� ����� �� ) � ���� ������� ) � 4� ��� ��� ������� ���

) N) ����� � � �������< �������� 0 3�� ����� ���� ) A�� � ���

.))G(*�

������ ) A �� 8 �� 8 � 8 ��� �

) � ) A � � � 8 � � � 8 .��� �� � �

��� 8 ��� 8 � 8 *�� 8 � 8 A � � � 8 � � � 8 .� � � �

��� 8 E�� 8 *�F� 8 E� 8 � 8 F A � � � 8 � � � 8 .� � � �

�� A � � � A � �� �

�� 8 *� A � � � � A 9�

� 8 � 8 A . A � �

� A * ����� ) A ��

) A � � � 8 � � � 8 *�� �

) N) ��������� , � � �������� ��� �

�������� �� �� �������� �� ���� �� ��� ��������� �� � ����� ( ���

�� ������< 4����� ��� � A .99< ��������0 !�� � A .99 ��� �����

���� 119� �� ������ ����������

������ ���� ��� ��� �� �� ������ �� � � ���� � A � ��� � A� � ���

� 8 *� ��� ��� � � �������� " ����� )� ��� ��� � A � � � 8 �� �� ��

��� ������� ��������� ����� ����� � ��������� ��� ���������� ����-

����� ��� ��������� ������� &����� ������ ��� ���� �� ����� �� ������

� ����� �� ���� ���� ��������� � � � � � � � �� � � � � � � � � ��� ��� ���� � � �

Page 16: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ��������� ����� ��� ���� ��

��� ����� �� � !�� � "����# ��� !��� �� �������� !�� ���� �������

16:43 30 Oct 99

Concepts#���� ���$��� ���� �� ����

%�������� �������� �����

%�������� ��������

���� ���� � �� �� ��� ��������� ���� ��� ������� ��������� �� ��� ���

������� ��� ��������� �� $�� ���� ���������� ���� ��� ����� ��� �� �����

���������� ��� ��� ��������� ��� ������ ���� �� ���� ��� ���� ���������

����� ��� ����� ���� ��� ���������������� � ��� ������������ 3�� �����

���� ��� ��� #������ �� �� �������� ��� ����������� ����������

������������� ���� � ������ ��� �������� ��� ������#�� ��������

�� ��� ������ �� ���� ���� ������ ��� �� ����� �� ������� ��� �����

4.3 Exercises on congruence and perpendicularity

��� ���� �� � ����� �� ��� ������ ��� ����� ����������� �� ��� ������

�� ������ ��( ��� ��)� " ����� � ��� ' ��� � ������ ���� ��������+ ����

����� ��� ��� ����� ������ ������ �������� � ��� ������� �� ��������

��� � ��� ���������������� �� ����� ��������� 3�� ��� ���� � ����� (

��� ��� ����������� �� ��� ������� �������� ����� � �������� �� �� �

���� �������� ����������� �� ��������� �������0

&��� ������ ������ ����� �� ����� ���� ��� ���������� ���� �������

������ ������ � �� �������� � �� � ' #������� ��� ���� ��������

�� �������� $���� ������ ��� ����� � �� ������(� ���� �����)

��� ��������� � ����� ���� �� � �����-���������� ������ �� ��� ��������

���������� ������ ��������� �� ������ ��(� ������������� ���� ����������

�� ��� ���� ��#���� ��������� �� ������%������ ��� �������� ��� �����-

���������� � ������ " ����� G ��� , ��� ����-������ ��� ������ ��

����� ��� � �����-���������� ���������� ������ �� ����� �� �������

P�������� ��� � ����� �� ��� ��� �� ��� ������� ��������� �� ��� ���-

������� ������������������� ������ ���� ������� � ���� ��� ����� �����

�������� �� �� ������ '���.� + ��� , ��� ������� ����� �� ��� �����������

�� ������� ����� � ��� � � � � � ����� �� � �� ��� � � ��� � � �

����� �� � �� ��� � � ���� �+ A �, ��� �, A �+ � D���� ����

��+� � ��,� ��

Page 17: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

�� ��"

��

���

��� ��������� ������� �� ������������� � ��

16:43 30 Oct 99

Figure 4.3.1" ����� .

Figure 4.3.2" ����� *

������ 2� ��� &&& ���������� �������� ���+ � ���,� �

�������� � �� ������ '���*� � � � ����� �� � ����� � � ��� � � � �����

��� �� � � L��� � ��� ������������� �� � � !��� � ����� �A � ��

� � ���� ���� � � ���� � ��� ���

������ L�� � ��� ���� �� ��� ������������� ���� � �� � � ���

" � ��� ����� �� � �� ��� �� ��� � !��� ����� � �� ���

���� �� A � � ���� � B �� � � ��� B ���� A ���" � ��� �����Q

�������� ����� � ��� ����� ����� �� � �

��� ������ ����� �� � ����� * � ������ ��� ����� ������� ��� � �

�������� � ��� �� D���� ���� �� ����� + � ����� �� ��������� ����

������� � ��� � �� ���� � ���� �+ B �� �� �+ B �� �

��� � D���� ���� �� ����� + ��� ����� ���� � ���� �+ 8 �+ B

�� 8 �� �

������ ���� !� E&�� ������ '��&�.�F 2� ��� � ������ ����� ��������

���+� C ��� ��� ���+� C ��� � �� �� �� �+ ��� �� �� �+ � ����

� ��� ����� �������� ���+� ����� ��� ���+� ����� � ���� ����

����� ���#������� ������ ��� B ��� ��� ��� B ��� ; �������������R

���� #� E&�� ������ '��&�*�F L����� ����� � � � ���� �-+-� � ���

+� � A +�� ���� � � ��� �� ��� �������� �� ��+�� � ��� �+� B

���+� � �������� ��� ����� ������� �� �� �+� ��� ��+� � ��� ���

� �� B �� � 2� ��� �������� ���#������� �+ 8 �+ A �+ 8 � �+ A �� � B

�� 8 � �� B �� 8 �� � �

Page 18: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ��� ��� ���

��� ��� ������ ���

���

������ ���

��� ���

�� ��������� ����� ��� ���� ��

$�� !��� �! ������ � � � �"� �� %� &� '"��� (��� ) ��

16:43 30 Oct 99

� �

Figure 4.3S.1 " ����� �

�������� ���� .

� �

Figure 4.3S.2 " ����� �

�������� ���� *

�������� �� @������ ���� ��� �������� � ��� ����� ���� ��� ����� �� ���

�������� ��������� �� ����������� ����� � �� � ������ ��� ������0

�� �� ���� � ������ �� �� ���� � ������

�� �� ���� � ������ �� �� ���� � �������

������ ���� ��� ���� ����� ���������+ ����� �� �� ���� � �����

� ������ &���� ��� � ������� ��(�( ����� ��� �

2� ������� ��(�,� ��� ������������� � �� ��� ������� � � �������� ���

� ����� � ��� �� ��� � &���� � ��� � ������� ��(�( �����

�� ����� ���� �� �� ���� � ����� ���� ��� ����� ����� ���������� ����

��� ��� ��� �� ��� ��� � 2� ������� ��(�(� ��� ������������� �

�� ��� ������� � ��� �� ��� � 2� ������� ��(�,� � � �������� ���

��� ������������� ( �� ��� ������� � � � ( ��� �� ��� � ?��

��� ( ��� ������������� �� ������� � �� ��� � ����� A (

� ������� ��(�.� � � �

�������� �� H���� ���� �������� ����� � �� � � ���� � ����� + ��� ����

�+ 8 �+ 8 �+ 8 �+ � � ���� � ��� ��� �������� 0 ����� ������

������������� ���������� !�� � ������ �������

.� ��� ����� �� � �����

*� � �� ��� ���� �� ���� ������� � �

�� ���� � ����� #������������� ���

'� � �� ��� �������� �� ���� �

��� '��� ����� ���� ������ ��� � �������� ��� ����� � �� ������ '�*�.

��� ���������� + �� ������ ����������

������ ���� !� ?��� ��� ����� � ���� ���� �� ��� ����� �-�-�-� �

3�� ��� ����� ��� ����� + ��� ���� �-+-� � �� �� ���� ���� ��� ����

��� + � � ��� ���� �� ��� ����� �� �+ 8 �+ 8 �+ 8 �+ �

Page 19: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

������

��� ������ ���

��� ��� ���

���� �� � ��"

� �� ��� � ��� �"�

���� �� � ��"

��� ��������� ������� �� ������������� � ��

16:43 30 Oct 99

Figure 4.3S.3 " ����� (

�������� ��� E'F

���� #� �+ 8�+ 8�+ 8�+ A E�+ 8 �+ F 8 E�+ 8�+ F �� �� 8 �� � ���

�#������ $�� �� ��� �-+-� ��� �-+-� � ���� $�� �� ��� + A � �

���� - � ���� ��� E*F� � ���� + A �� �� �� �

���� .� E&�� ������ '��&���F &����� + ��� �� ��� ��� ��� �� ���

� � � ���� � ��� ����� ��+� � �

�+ 8 �+ 8 �+ 8 �+ A E�+ 8 �+ F 8 E�+ 8 �+ F

C E�+ 8 �+ F 8 E�� 8 ��F C �� 8 �� 8 ��

� � ����� * ��� ��� �������� ���#������� ��� ��� ����� ���� �� + ���

�� ��� ��� ��� �� ��� � � � &����� + ��� �� ��� ��� ���

�� ��� � � � ���� � ��� ����� ��+� � �

�+ 8 �+ 8 �+ 8 �+ A E�+ 8 �+ F 8 E�+ 8 �+ F

C E�� 8 ��F 8 E�+ 8 �+ F C �� 8 �� 8 �� �

!������� ������� ����� + �� ���� � ��� � 3����� ���� ����

�+ 8 �+ 8 �+ 8 �+ �� �� 8 �� 8 ��

� ���� ��� ��� ���� +� ��� �#������ $�� �� ��� + A �� �

�� ��������� ����� � A B C ��� � � A B C

��� ������ ������� �� ��� ����� ��� � � � � �� � ��� ��������� �� ���

������������ ����� ����� �� ��� �� � � ��� ������������ �������� �����

�� � ��� � � ���� ��� ��� ������� ��������� ����� ���������� � ���

�������� � � �#������ ������ ���� ������������ ����� ��� ��������

����� ���� ��� ��� �������

�������� �� D���� ���� �� B C � � ��������� ������ ����

���� 8 �� �" C ��"�� � �������� 0 3�� ��� ��� �� �������

��������� ��� ���� ����"�� ��� ���� B ��"�� �

������ �� ���� ����"��� ��� ����� � �������+ � ���� ���� B

��"�� � !��� ����� � ����� " ��� � � ���� ��� � A ��� � ��Q

Page 20: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

�� ��������� ����� ��� ���� ��

$�� ����! � !��� *�+����� ,��-�. ���� ������ /0�101�

16:43 30 Oct 99

Concepts#���� ������

���������� �� �������������

�������� �������� �� � ���� � A � �� ���� ��� AQ

��� � � ��� &�& � ���� � � A � �� 2� ��� �������� ���#������� � 8

" C"�� � " C"� � � A"� � � � A �"� �������� ��� ����� �������

�� �� " ��� �� �" � ��� ��� �� �" C �� ��"� ����� ���� 8

�� �" C ���� 8 �� ��" A ���� � 8 �� ��" A ��"��� �

�������� �� !��� ������� �� �� ��� � ��������� ���������� �#������

���� ����� ��� ���� ��������0 D����� ��� ��� ����� ���� �� ���������

����� ��� ��������� �� ����� ����� ���� �� ������������ �������� �����

���� �� �� ��� ��� ��� ��� ��� ����� ���� �� ���� ������ �� �� �#������<

��� ����� ��� ������� ����

������ ��� ������ �� ����� ��� ��� ���������� ����� ���� �

�� ���������� ��� ������ ������� �� ����� ���� ���� �� ������������

��������� ����� ��� � ���� �� ������������ ���� ��� ����������

����������� ���������� � ��� �������� � � �#������ ������ ����

������������ ���� ���� ��� ��� ������� ��� � ���� ���� ������ ����

���� �� ������������ ����� ���� ��� ��������� E����� ���� �� �����

���������� � �������� ��� ���� ���� �� �������� �����F�

�������� �� !��� ������� �� �� ��� �����-�� ����������� ����������

�#������ ���� ����� ��� ���� ��� �� ������%� ���� ����� ���� ��� ��������

���������� �������

������ ��� ������ �� ����� ��� ��� ���������� ����� ���� H� ��

��R H��� ����R �

4.4 Exercises involving the parallel axiom

" ���� ��� ��� ���� ��� � ����� �� ��� ������ ������ ���� �������� �����

2�� �� ���� ����� ������ ���� �� �� ����� ���� ������ �� ��� �������� � ����

��� ������� �� � ����� . � �� ���������� � ����� �� ��� ����� �����

������#��� " ����� * ���� �� ���� ���� �� ����� ����� �� ��� ��� �������

2�� ��� ��������� ��� ���� ����;��� �� ��� ������ ������� �� � �����

�� ��� ��� �� ���� ����� ������ ��� ���� ���� ������� ��� ���������

Page 21: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

��� ��������� � � �� �� �������� ���� ��

16:43 30 Oct 99

� ����� ��� �����-����������� ��� �������� ���� ��� � �����-����������

������ �� ��� ������ �� ������������� ��������� �� ������ ��G� � ����-

������ �������� �� ���������� � ��� ����� ��� ������ �� ����� ���

��� � ������ ����� ��� �� �������

�������� �� @���� ������ �� ������ '�'�. � ������< D���� ���� ���� ������

� ��������

������ � ��� ������� � �������� ����������� �� ��� ������

��������� �������� ��� ��� ����� �������� �

�������� � &����� / � � ����� ����� #���� ���� � ��� ��/�� A

.(� A��/�� � � ��� �� ������ '�'�*� @������ ���� ������������� ��

���� ���/ � �#����������

������ ��� ��� #����� ���� ���� ��� ��� ������ ��� �� ����� ���

������ 19�� 2� � �������� ������ ����/ A G(� A ����/ � 2� ���

������ �������� �������� �/ A �/ � 2� ��� &�& � ���� ���/ A ���/�Q

����� �/ A�/ ��� ���/ A ���/� ���� ��� ������ �� ���� �� �����Q

��� 2� ��� �������� �� �������� ���/� A ����/ A .,9�� G(�� �� A.9(�� ��� 2� ����� � ��������� ����/A 19�� ��A����/� 2� ��� ���������� �������� ���/� A .,9�� *E19�� ��F A *��� ����� ��� ����� ����������� �� ���

� B �9 .9( � � C G( �� C �/

�� C �/ *� C 19 � �

�� C 19 � C �9 �

���������� ��� ��������� � �A �9 � ����� ��� � � A �9 ��� ���� �����

�� ���/ ������ )9�� �

��� ���

��� ����

��� ���� ���

Figure 4.4.1" ����� .

Figure 4.4.2" ����� *

Page 22: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

� �� �

� �

Figure 4.4.3" ����� �� ���� . " ����� �� ���� *

� �

� �

Figure 4.4.4

�������� � ��� �� &����� �� �� ��� � ��� ����� ����������� �� �������

���� �� �� ��� ( � ��� �� ������ '�'��� M��� ���� ��� ��������� � ����

����� ���� ������ ��� ����� ���� ��� ����������� �� �� �� �� ���� ���������

��� � &����� � � � � � � � � ��� � ��� ����� ����������� �� �������

���� � � � � ( � ��� � � ��� �� ������ '�'�'� D���� ���� � ��� � ���

��������� 4� ��� ��� ������ ��� ��� ��� �� ����� ��� �������� ����

���� ��� ��������� � ���<

������ ���� !� � ����� �� ��� �� �� ��� ����������� ��� �� ��� �����

������

���� #� �� � ��� � �������� �� � ����� � � ���� � ��� �� ( ��� �

� ���� E.F� � � ��� � ��� ��������� ��� ��� �������� ��� �� � ���

� ��������� �� ��� ���� �� ���� ��� ��������� ���� � ��� � ��� ���������

����� ��������� � ��� ����������� �������� �

������ @��������% E.1'9� ������ ���*F ���� � � ��������� ��������

���� ��� ����� �� � ����� �� ���� *� ���� ���� �� ����� ���� ���-"��������

��������;��� ������ ��� ��� � ��������� ��� �������� � ��� � �� ���������

���� ����� ����� �� � � ������� �� ���� * ���� �� ���� ��� ����������

������ D���� ��� ���������� � ���� 3����� ���������� �� ���� ���� @�����-

���% ���� ���� ��� ����� ������ �� ���� $�� ��� ��������� � ����

�������� �� D���� ���� �� ����������� ���� ���� � ����� ��� ������

�������������� �������� 0 ��� ������� � ����� ���� ��� �� ���

#������������ � ��� � ��� �� ����� ����� ����� ��� ���� � �� ��

���� �� ��� ����� ���� ��� � �� ��� �� ��� ������

������ &����� ����� � ��� � �� ����������� ���� � ��� � �

�� ������ '�'&�.� ��� �������� ����� � � ��� � � ������� � ���

�� ���� � �� � � � ���� 0 � ��� � ��� � ���� � ��������� ������� �

Page 23: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ��������� �������� � �� �� ������� ����� ��

16:43 30 Oct 99

Concepts#���������� ���������� �� ������� ����

������������� ������������ ����������

%��������� ��� ������� �'� �������

Figure 4.4S.1" ����� ' �������

� � �

� � � �� � �

� �

�� �

� �

��� � �������� ( ��� � 0 � ����������� 0 �� ����� ��� " � ����

� ( ��� � � ��� ���� ���� �� ���� ��� �� ����� � ��� � � 3�� ���

����� ���� �� � � � � � 0 � "���� � � ������� � � � ���� � �� � � � �����

� � �������� ��� � ������� � � � ���� � � � ��� �������� �� � � 3�� ���

�� ���� �� ��� �� �� ����� ���� � � � ����� �� �������� � � �������

� � ���� �� ���� � � � � ��������� ���� ��� �� ������� ������������� ��� � ��������� �

�������� �� !�������� ��� ����� � �� �� ������� � ��� ��������������

�������� �� ������� ��G�.GS��G�*9 � ��� �������������� ���� ������ ���

� ������������ ����� ����� ��� ���� ������� �� ����� ��������0

�� ������� ����� �������

������������� � � � � � � � � � ��������������

����� ���� ��� ������������� ��

����������� ����

��������� � � � � � � � � � � � � � �

���� ��� �� ���� �� ��

����� ���� �� ����

���� � � � � � � � � � � � � � � �� ��� E��� ���� ���� ��F

#���� � � � � � � � � � � � � � � � �� �

������ ��� ������ �� ����� ��� ��� ���� �� �������� ������� �

4.5 Exercises on similarity and Pythagoras’ theorem

Page 24: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

.

�A

.

*

.

�8.

�A� N1

� N1A

E� 8 � F N�

E� 8 � F N�A�

.

�8.

�A

.

1

1

�81

�A

.

1

� 8 �8

� 8 �A

.

1

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

��� ������ ������� � ����� ���� �� ��������� ��� D��������� ����-

��� �� ������ ��� �� ������ '�) ������ ���� ���� � ����� ���� ���

D��������� �������� ��� ������#�� ������%��������� � ��� ���������

�� ��� ��� �� ��� ��������

" ����� . ���������� ������������� ��� ��������� �� ����� ����

��������� ��� �� ���� ������������ ��� ������� � A T E� 8 �F �� ��

��� �� � ��� � � ������ ����� ������� ���� ����� ��� ������

B � �� � �C ���� �� ������� ����0 � �� A� � � � ��� ������ ����

�� � ��� � � ��� ��� �� � ��� ���� B � � � � �C ���� � ������

����0 � N� A � N� � � � A �� � ����� � A � ��� ����� ���� �� ��

��� � � ��� ��� �� � ��� ���������� � ��� ������� �� ���� �� �

��� � 0

�������� �� ��� �� H���� � ��� � ��� � B � � �� ������ '�(�.� ��

���� � A *1 � ����� �������� ����� &�� ������������� ���� � B � B

� � &�� ���� �������� ���� B � � � ��C ���� � ��������� ����� � ����

� B � B � B � B � �

��� � L�� ���� � � �����%��� ��� �� �� ������ �� A � ���

�� A � � L�� ��� ���� �������� �� ��� �� ������� ��� ����������� �� ���

�������� ���� ��� ����� ���� �� ����� / ��� 2� &�� ���� /2 � ���

�������� ���� � �

������ ���� !� L� �� ��� ������ �� ��� ������ �� �� ��� ������

����� �������� � �� ������ '�(&�.� ����

. C �

� E.F

� �

Figure 4.5.1 �����������

��� �������� ����

� ! �

� �

� ! �

� �

Figure 4.5S.1" ����� . �������

Page 25: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� A*��

� 8 �

�A�

�A� 8 �

* ��

�� ��

�� ��

�� �/

�� /2

�� 2�

����� ��� � ���

� ���

��� �� ��� ����

� ���

��

��� ��������� �������� � �� �� ������� ����� ��

16:43 30 Oct 99

&���� � B � � ������ 1 ���� �� ��� ���� �� ��� �������� �� ��� ���

T� A 1 C � � � � � A *1 B � � E� 8 �F A � � ��� � B � B � B � � 3�� ��� ��� �

���� �������� ����

���� #� !��� ������ �� ������ � ��� � ������� �� ��� �����%��� �

���� �#������ E.F ����� �

�������� � ��� �� D���� ���� �� � �� � ��� ������� ������������ E���

��������� ��������F ������ ���

�� � ��� �������� �� � �� � ��� �������� �� �

�� � ��� �������� �� � �� � ��� �������� �� �

���� ��� �� �� � � � ������������� �� �� �� � � ��� ��������� ���

��� � A � �� ��

��� � D���� ���� �� � �� 2 ��� ������� ������ �� ���� �� ���� ���

����������

�� � ��� �������� �� � �� � ��� �������� �� �

�� � ��� �������� �� � /� � ��� �������� �� �

� � � ��� �������� �� � 2 � � ��� �������� �� �

��� � � � ����� ��� ���� ��� �� �� � � �������������� ���� � �/ �2 ��

� ��� � ��������������

���������� !� &����� �� ����� �� ���� ����� ��� ���������� 2� �������

��1�*� � A � ��� � A � � � � A � �� � � � � &���������

0 A � ��� ( A � � � 0 A ( �� 0 � ( � �� � � � ��� 0 � ( � ����

����� ��� � � �������������� ��� ����� ��� ������ ���� �� ��� �������-

���� ������

���� #� &�� ���� � � ��� �������� �� � �

�������� � ��������� �� ��� ����� ��� ���� �� � �������� ��� �������

������ �� ������ �������� �� ����������� �������� ��� ���� ���� ����

�� ��� �#��� ���� �� ��� ������ 5���� � ��� ��� �� �� �� �� ����

������ 3�� ����� ���� ����� ���� �� ��������� ����� ��� ��� &&&

����������� ����� ����������� ��� ������ ���� �� ���� �� ���������

���� ��� ����� �� ��������� ������ 2� ��� �� ��������� �������� ���

�������� ��� � ������� ���� ��� ��� ���� .� � � ��� � � ���� . ��� �� �� ��� ����� ��� ���� ������������ ���� �� �� ��� 1� 3����� ����

.N� A � N� A � N1 � � � A � ��� 1 A � �� �

@��� ����� ��� ��� �� ��� �< 3�� ��� ���� . 8 � C � A � � �����

� � � � . B 9� �� ����� ����� ���� � 8 � A � E. 8 �F C � A 1 � ��� � 8 1 A� �

Page 26: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

. I (

*��

.�)*

�9�)* �

(

� � 8 � � (

� � � � (

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

� E. 8 �F C . 8 � C .� � ��� ��� �� ���� ���� ��� ��������� ��� �����������

� � � � . �� �����

� ��� ��� �� ��� � ��� ���� . B � B � � E. 8 F� ��

������� ��.��.( �������� � ������ �� �����-�������� �������������

" ����� ' ���������� ��� ��� �� �� �� �� ��������� ������������ " ����� (

�� � ������� �����������0 �������� ��� ������������ �������� ������

���� ������ ���� �� ���� ������ �� ������� ,�

�������� �� ������� ����� �������� ���� ��� ��� � A �� � � A �� �

��������� A �� � ��� ����� ����� �� ��� �� �

��� �� H���� � A .9 ��� � A *9� ���� � ��� � ��� ��� � ��� � H���� � A *9 ��� A �9� ���� � � ��� � ��� ��� � ��� � H���� � A .9 ��� ��� A '9�� ���� � � � ��� ��� � ��� �� H���� � A *9 ��� ��� A '9�� ���� � � � ��� ��� � ��� �� H���� A �9 ��� ��� A '9�� ���� � � � � ��� ��� �

������ ���� !� A A .9 �� **��)

��� ��� A � N� A � � � ��� �� *)�(G��

��� A 19�� ��� �� )��'���

���� #� � A A .9 �� **��)

�� ��� A � N A � � � ��� �� ',�.1��

��� A 19�� ��� �� '.�,.��

���� -� � N� A ��� ��� � � A � N��� ��� �� ..�1*

� N A �� ��� � A � N�� ��� �� .(�()

��� A 19�� ��� A '9��

���� .� � N� A ��� ��� � � A � ��� ��� �� .)�G,

� N A �� ��� � A � N�� ��� �� *)�..

��� A 19�� ��� A '9��

���� 3� � N A �� ��� � � A �� ��� �� .1�*,

� N A �� ��� � � A �� ��� �� **�1,

��� A 19�� ��� A '9�� �

�������� �� !��� ��� ������ �� ��� �������� ����� ������ � ��� ����

�� � ������� ����������� ��� �� � ������� ����������� ��� ������ ����������

����� �� �� #���� ������� ��� � ������ �� ��� ����� �#���������

����� ��������0 �� ���� ������ ��� ����� ��� ������ ���� �� ���� ���-

����� ��������� ������ ���� ���� ���������� ���� ������ ��� �� ��

Page 27: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� �

� A�

� �

TA

T

T �� � A

.

* �

��� A�

� A�

� A

.

* �

T �

�� �

*

�� ��� � ��

� �

T

T ��

.

�� � � * �����

.

��� .91�'G� �

�����

��� ���

��

��� ��������� �������� � �� �� ������� ����� ��

16:43 30 Oct 99

����� �� ���� ��� ����� �������� ������ ��������� ��� ������ �� � ����

3�� ���� �������� ������ ���� ����� �� ��� ��������� ���� ����� ��������-

����� ��� ��� ���� ������ �� ������� ��� ������� �������� ������ E&��

��� ������� �� ������ ,�( ����� ��� �������

������ �� ������� ����������� ���� ��� ���� .� ���� ��� ���� �

�� ��� ������������� ���� � �� ����� ��� � ��� ��� ���� �� ��� ������-

������� ���� � �� ���� � ���� � A � � � ��� ��#����� ������ ��

� A ��� � 0

A � � � � A ����� � � �� G9�(*��� �

�� � #���� ������� ��� �#��������� ���������� ���� ��� ���� .� ���� ���

���� � �� ��� ������������� ���� ��� ��� � �� ��� ��� ��� ��� ����

�� ��� ������������� ���� � �� � �� ���� � ���� � A � � ����

� A � � � � �� A � � � D��������� �������� ��� ��#����� ������� �

� � A *��� � 0

" ����� ) � ��� ����� ��� ���� �� ������� ��� ����� �� ������ *�*�

��� �������� ���� ���� ����� ���� �� ��� �������;������� ����� �� *�*;

�� D��������� �������� ��� �������� ��� ��� ����� ���� �� ����

������ ������� ������� ������ ��G�

�������� �� ������� ���� ��� �� B ��� D���� ���� ��� ������ ��

�� ���� ��� ������������� ������ �� �� � ����� + �� ��� �������

��� �� ���� � � ��������� ��� ���� , ��� $ �� ��� �������������

���� + �� ��� ��� ������ ��� ����� ��� �������� ���� ������������

������ 2� ��� ��� �� �������� ��� ����� ������ � ���� ��

� ����� 4� ��� �� ������ '�(&�*� 2� ��� ����� �������� ��� B ����2� ��� � ������ ����� ��� �������� �� ��������

���4� A � � ��� 8 ��� C � ���� 8 ��� A .,9�� ���4�� �

*���4� C .,9��

���� ��4� � � ���� ��� � ���� �������� �� ��� ������������� ������

;���� ���� �� ��� ����� + �

Page 28: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

�����

��

��

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

Concepts+�������� ������������� �� ���������� ���������� �� �������

����

,,# ���������� ��

#����� ���$��� ������� �� ������ �� �������

-����� �� ������� ������� �� ���.���� �������

� � �

��

���

Figure 4.5S.2" ����� ) �������

!��� ��� ����� � � �� ��� ���� � �� A ��� 2� ��� &�& � ����

���4 A ����4 � � 4� A4�� ��� �� A �4��� � 2� ��� �������� ��Q Q

��� ����� ��������

��� 8 ��� B ��� 8 ��� 8 ��� A .,9���� B .,9�� �� A .,9�� ��4� �� A ���� �44� A4� � B �4

�� A �4 84� C *E4� F

4� B � � E�� F ��

��� 4 ��� ����� � ��� ��� �������� �� �� � 2� "������ ��������

� ���� + ��� �� ��� ��� �� ������� � �

&������ *�* ���� ���� �$ A ,� ��� $� A �,� �� , ��� $ ��� ���

�� ��� ���� ���� �� A �$ 8 $� A �, 8 ,� A �� ;�������������R �� ,

��� $ ��� ��� ������� ���� �� A �$ � $� A �, � ,� A �� ;������-

�������R �� , ��� �� �� $ ��� ������� ���� �� A�$ � $� A�, �,� B

�, 8 ,� A �� ;�������������R ��� $ ��� �� �� , ��� ������� �

4.6 Exercises on circles and spheres, part 1

��� ������ ��� ��� �������� ����� ��� ������� � ����� ��������� ������

��� ������ ���� ���� ��� ������� �� ����� &������ '�G ���'�, ������%�

����������� �� ���� ��� ������ �� ������ ���������� ���� ������ ���

Page 29: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�����

�� ���

��� ��������� ������� �� �������" ��� � ��

��� 23� ���- 3�"�� � ���4�� ��56� ��

16:43 30 Oct 99

������ &������ '�1 ������� � ����� �� ����� ��� �������� �������������

��� ����� �� � � ��� ��� ������ ���� �� ��������� ����� ��� ������

" ����� . �������� ��� ���� �� ����������� ���������� ��� ��������

���� ���� �� � ����� '�(�.� ��� �������� �� ������ �� ������ �������

������������� D���� � ��� 7��� �*9��

�������� �� H���� � B � � ������ ����� � �� � � ���� �-�-� � �� A

� � ��� �� A � � L�� � � ��� �������� �� � ��� � � ��� �����������

�� ��� ������������� �� ������� � ��� � ��������� ��� ��������

� � L�� / � ��� ���� �� ��� ������������� �� ������� � � �����

��� ������ ���������� � ����� � �� / ��� �� ���� ������ �� ������

� ��� �������� ���� �� � ��� � �

� ����� ��������� ����� ���

� ����� ���������� �����

D���� ��� ��������� ������� �� ��� ���#������� � B � B � B � B � �

������ !���� � �� ������ '�)&�.� ����� �� � ���� ��� ��������0 �� A

� � E�� 8 �� F A � � E� 8 �F A � � &������ ���� Q ����� � �� N�� A� �

�� N�� � ���� �� � N�� A �� N� � � �� A � � ������ ��/� Q ���� � �

/�N/�A��N�� ��� /�A/�E��N�� F A��E/�N�� F� ��������� ���/Q

���� � � /� N�� A �� N�� � ��� /� A E��F N�� A � N� A �E � N�F A� �

�E� N�F A � � ���#������ � B � �� ���� �� B � A /� � ���� � �#��������

�� �� C /� 0 ��������� �� �� ����� ���/ � ������ ���� ��� /� �

���#������ � B � �� ���� ��� � A /� �� ����� ��/� � ������ ���� ��

��������� � A��� ���#������ � B� �� ���� ��� � A�� �� ����� ��������

���� � ������ ���� �� ��������� � A�� � ���#������ � B � �� ����

� A �� � ������ ���� ��� ����� � A �� � �

� � �� �

Figure 4.6S.1" ����� . �������

�� �

Figure 4.6S.2 " ����� *

�������� ���� .

Page 30: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

���

��� ��� ��

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

�������� � ����� * ���� ���� ������� ��������� �� �� ��� �� �����

��������� �� ���� ��� ��� ����� �������� ��� �������� ���������� ������

���� �� ������ ��(� ����� ��� ������� ��� &�&� �&�� &&&� ��� &��

�������� �� � ����� ��������� ���� ������ �� �������� &&� ��������

?���������� � � ����� * ��� &&����� ��� ������� &������� �������

������ �� ��������� ��� ��� ����� ���� �� ��� ��������� �� ��� ����� ����

��� ��� ����� �� ����+ ������ ���� �� �������

�������� � &����� ��� ���� &&� ���� � ��� ���� 0 � A �� � � A

�� � ��� ��� � ��� �� &����� �� � � ��� �� ������ D���� ���� � C � ��� ���� ���

�������� ��� ��� ��� &&� ���� ��� ��������� �� ���� �

��� � &����� �� � ������ L�� � � ��� ������� ���� � �� �

&�� ���� � B � ��� � �� �� D���� ���� �� � A � �� � �� �� ���� ��� ��������

��� ��� ��� &&� ���� ��� ��������� �� ���� � &�� ���� �� � B � B

� � ���� ������ � �������� � ����������� ��� ���� ��� ���� ��� ���-

����� ��� ��� ��� &&� ���� ��� ��������� �� ���� �� �� � �

������ ���� !� �� � � ��� �� ������ ������� ��� ������ � �� ������

'�)&�* ��� ������ � ��� ����� � � &����� � B � � ���� � ���� ���

������ �� ��� ��� ����� ���� ����� � ��� �� ���� ��� ������� �������

� ���� ����� �� " ���� ��� ���� ������ � ���� ��� ����� ���� ���������� ���� ��� ����� ���� � ������ ��� ���� ��� ����� ������

&���� ���� � � ���� ���� ��� ������ ���� �� 2�� � ��� ��

� ����� �� A � ;�������������R

���������� � C �� &����� ���� �� � �� ��� ��� &&� ����0 � A

����� � A����� ��� ��� A����� � �� ������ '�)&��� ���� ��� ���� � ���

�� �� ��� ������������� �� ��� ������� � ��� ��� 2�����

�� ��� ��� ��� � ���� � ��� �� ��� ������ ��� ��������0 �-�-� ���

� �-��-� �� U���� �������� ���� ��� ���� �� � ��� ��������� �����

���� ���� ��������� ��������� ��� ���� A �� ���� �� ��� �� AQ

���� ��� �� A ����� U���� �������� ���� ��� ������� ��� ���������

� � �

� � �� �

Figure 4.6S.3 " ����� *

�������� ���� .� ���������

#$% &

Figure 4.6S.4 " ����� *

�������� ���� *

Page 31: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

������

��� ��

���

���

��

��� ��������� ������� �� �������" ��� � ��

16:43 30 Oct 99

����� ���� ���� ��������� ��������� ��� � ���� �� ��������� ���� �

�� A ��� �� �� ����� ���� �� A �� � �� A � �� � � � ��� A ��� �� 2� ���

&&& �������� ���� A ���� �� ��Q

���� #� �� � ������ L�� � � ��� ���� �� ��� ������������� �� �������

�� � ���� � A �� B ��� ������� ���� � �� ��� ����� ����� �� � ����

� �� � ��� � �� �� �� � A �� ���� � A� ��� �� ���� � �����; ���������-

����R ��� � B � �

�� � A �5 ���� � A � ��� �� � ������ L�� � � � ��� ���� �� ���

������������� �� ������� � �� 2� ��� &�� �������� ���� AQ

���� �� �� � � �� � A �� A � �� �� ����� � � A � � ��� ���� A ���� �� ��Q

� ��������

�� ��� � �� � � ��� ����� ������� ������ ��� ����� � � �� � ���

������ ��� ��� ���� � �� ��� ������������� �� ������� � ��� �����

� ��� � � 3�� ��� ����� ��� �������� �� ��� ����� ��������� �� ��� ����

. ������� �� �� ���� ��� �������� ��� ��� ��� &&� ���� � ���������

�� ���� �

!������� ������� ��� ��� � B � B � � � �� ������ '�)&�'� � ��� �����

� ��� � ������� � �������� � �� �� ������ � ��� ������� �����

�V� /�� �� ���� ��� ����� � ��� � � ��� ��� ����� ��� �� ��� ��� ��

� ������� � � 3�� ��� ����� ��� �������� �� ��� ����� ��������� ��

���� . �� �� ���� ��� �������� ��� ��� ��� &&� ���� � ��������� ��

���� �� ���V� � �

" ����� � ��� ' ��� �� ������ �� ������ ���� ����� ��� �� �������

��� �� � � � ������� ������ � ����� �� D��������� ��������

�������� � �� ������ '�)�.� ��� �6� ��� �7� ���� ������ � ���� �

�� ��� ��������� ��� ������ � ��� 2 �� ���� ����� � � �� �����

� A �� � ��� ������ ��� ������ / � ������� �� ��� ���� �� ��� ��� ���

���������� !��� �� ����� � �� ���� �� � �

Figure 4.6.1" ����� �

� �

Page 32: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

* *

* � .

*

* � � �

*

�� ��������� ����� ��� ���� ��

$�� ���� � � *���� �����"��8 ������� 9 ����� : ��� 9 ���� �� ��� ����

16:43 30 Oct 99

Figure 4.6.2W������

������ L�� 8 � ��� �������� �� � ���� ��8/ � ������ ���

��������� � � � ��� ��� � � � ��� � � ������

E� � �F A E � � �F 8 � � EVF� � � �

!������� ��8/ � ������ ��� ��� � � � ��� � ��� ��������� � � � 8� �

� � �����

� 8 E � � �F A E � � � 8 �F A E � � �F 8 * O � � �� 8 � �� � � � � � � � �

��� � A � � �� 8 � � @��� �#������ EVF ��� ������ � �

� � *�� 8 � A � � � 8 � � �� 8 � �� � � � � �

���� � � � A � � � � ����� � A � �� � � �� � �

�������� �� ��� �� �� ������ '�)�*� ������ � )�� ���� ��� #���� ��

���� � ��� ��� ������� ����� � � !��� � �� ���� �� � � �������� 0 � ��9�*9G� �

��� � &��� � ���� .� ��� ���� ����� ������ ����� � �� �� ���'

����� 0 � �� 9�*�*� �

������ ���� !� ��� #����� �������� ����� �� ���� ����� ��� ���

�������� �� �� #���� ��� ���� �� ��� �#������ '� 8 *� A � �����

� A � �� 9�*9G�� ���� #� � A � �� 9�*�*� � �

��� ������ �������� ��� �� � ����� �� ������� ��� ����� �� �������

�������� �� ���������� ��� ����� ����� �� ������� �� � ������� �����

�� ������ ��� ������ ������� ���� ������ ������� ��� ���� ��� ���

�� ������ '�)��� �� ���� ��� ������ � ������� ��� ��������� �� �� �� ����

�� ��� ������ � ��� � �� ��� ��������� ���� ��������0 ���� �������

��� ��� �� ������� ���� ���� ������ ���� 3�� ��� ���� �� �������

������� ��� ��������� �� ��� �������� �� ��� ������ ��� ������ ��

�� � ������ ���� ��� ����� �� ������� ��.��) ��� �����

Page 33: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ���

� �� ��

��� ��������� ������� �� �������" ��� � ��

16:43 30 Oct 99

� � �

� � �

� � �

��� . ��� * ��� �

��

� �

��� ' ��� (

Figure 4.6.3 " ����� (

������ ����� ! ��� #� ��� A � � E� � �F ��

���� -� ��� A � � E� � �F A � � � ��

���� .� ��� A � � � ��

���� 3� ��� A � � E� 8 � F � ��

�������� �� L��� ��� ��� ���������� ������� �� ��$���� ������

� ��� � �� � �� ��� � �� �� ������ '�)�'� L��� � ��������� ���-

���� �� �� ��� ��� ��� �������� ������� �������� ��� ����� �� � ���

� D���� ���� �� A �� A � � ��������0 ������ ����������� ��� ���-

��� ��� � ����� ��� ��� ����� �� ����� ������� (�1�*�

Figure 4.6.4" ����� )

� �

� �

��

Page 34: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ��������� ����� ��� ���� ��

2;"����� ��!�����+ �� ��� !������� ��� 4���" � �! ���+�"��� ���+��� �+���� ��

16:43 30 Oct 99

Concepts!��������� �������� �������

/���� �� �����

�������� �� ������� �� �������� ������

0��� �� ������ ������� �� ����

������ �� ��� � ������ ������� ��� ��������� ��� � ���� ���� �� A

�� � /������� ���� ���� �� � ����� + � ���� +� A +� ��� +� A +� �

� �� A �� � ?��

� A �� � 8 � �

A �� 8 � �

A �� � �� 8 � �

A �� � �� 8 � �

A �� � �� � 8 � � �

A �� � E�� � � � �� �F 8 � �

A �� 8 � �� � 8 � � � �� �

A �� 8 � � � �� �

A �� 8 � � �� ��

A �� 8 � � E� � ��F

A �� 8 � 8 � � � �

A �� 8 � 8 � � � �

A �� 8 �� � �

*� A *�� � �

4.7 Exercises on area

��� ������������� � ����� ����������� ��������� ������ ����������

���� ������� ������%��� ����� �� � ����� � �� ,� ��� ���� ������#��

��#����� ����� ��0 �������� � ����� ������ ���� ����� ���� ��� ��� ������

��� ��� ���� ������ ��������� �� ������ ��, ��� ��.'� ��� � ����� � ����

��� ��� �� ������� ���� ������������ ��� ��� ��� ��� ��� ������� ���

������� �� ������� ��� �������� �� � ��������� ������� �������� ���������

������ ��� ���� ���� ���������� ���� ��� ��� �������� �� � ���������� ������

� � ����� ����� ������ ���� �� ���� �� ��� ��� ��� ������������ ������

��� ��������� ������ �� �������� ��� � ����� ������� ����� �� �����������

���� ������ ���� �� ������� ,�

Page 35: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ���

��

�/

���

��� ��������� ���� ��

16:43 30 Oct 99

Figure 4.7.1" ����� .

!

"

Figure 4.7S.1" ����� * �������

�������� �� !����� '�G�. � �� ������ �����%��� ���� ��� � �

�� A � � �� A � � �� A A �� � ��� � ����� / �� � !��� � A� �

�/ � ���� ���� ���� ���� �#��� �����

������ L�� � � ��� �����%���� �������� ��� � � ��� ������� ����

� �� � ������� ��� ���� �� ���� �� �� �� ��� � � �� A � � � �� �

����� � A �� N � �����

���� ���� A � � �E� 8 � F ���� ���/ A � � ���� �

� �

&������ � � ���� ���� A ���� ���/� ��� ��� � A � � E� 8 � F N� � �� �

� � �

�������� � ������� � �������������� ������������� ������������� �����

D���� ���� ��� �� �� ��� #���� �� ����� ���� �#��� ��� #���� �� ���

���� �� ��� ����� �����

������ �������� ��� �� ��� ����� �������� ������������� ���� � ���

�������� �� ��������� � �� !����� '�G&�.� ������ � � ��� ������������

�������� �� ��� �������� U����� ��� ��������� �� ��� �� �������� � ��

�� ��� � ��� �� �� ��� ��������� ����� �� � ��#�� ��������� 5����� �

� ��� ������������ �������� �� ��� � ��#�� ����� ��� �� �������� ��������

� ���� E� � � F � &����� ��� ���� �� � ������ ��� �� �� ��� � ��#��� � �

���� ���� ������ � ��� � ���� ��� ����� ������� ���� ���� ���������

E� 8 � F � E� 8 F ��� ���� ��� E� 8 � � � F � E� 8 � � F ���� � � � � � � � � � � � � �

��� �� ��������� ���� ��� �#������ �� � �������� �

J���� �� �� ��������K 8 J���� �� ���� ����� ������� ����K� �

8 J���� �� ����� ����� ������� ����K�

A J���� �� ��� � ��#�� ����K�

Page 36: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ��������� ����� ��� ���� ��

��� ����� ����! ��� "� %" <��!��� ��� %�����+ �� �= ��� 7� ����6>�"�� ,��-5.

���� ?@���

$�� ������ � � �"� �� A� BC� ���D� ��� 7������� �� ��� ��#�� �� ����

16:43 30 Oct 99

J � � E� 8 FE� � � F K 8 J � � �E� 8 � � � F K 8 J � � �E� 8 � � F K� � � � � � � � � � � � � � � � �

A J � � �E� 8 FK �� �

" ���� ��� �� ��� #���� ����������� ��� ��� � ' �� ��� ��� �#��������

�#������

E� 8 F E� � � F 8 � E� 8 � � � F 8 � E� 8 � � F A � E� 8 F �� � � � � � � � � � � � �

" ����� ������ ���� ����� ������ � � � ��� ��������� �� ��� ��������

�#�������� �#������0

E� 8 � � � F 8 E� 8 � � F A E� 8 F �� � � � � � �

��� ��� ���� ����� ��� �� �������� � ������ �

�������� � M��� ������ '�G�*� ������� ��� ���� �� ��� ������� ���������

��� ����� .���

����� "������� #���� ����� �� ���� ��������� �#��������� ��������

��� ����� ��������� ������ ��������� /� ����� ����� �#��������� ��� �

����� �������� ��� �� ��� ���������� ��� �� ���� � � � ���� �� ��� ������

#����� ���� �� �

�������� �� �� ������ '�G��� ���� ���� �� �� ����� �#��������� �������� �

������� �� ��� ����� * �� .� !��� ��� ���� �� ��� ����� ����� ��������� �� ����

�� ��� ���� � �� ��� ����� ���� �������� 0 ��� ����� ������� 9�.'� ��

������ 5���� ��� ����� �������� � ��� �� ������ '�G&�*� �������

���� ��������� �������� ��� ��� ��� ����� ����� �� ���� ���� ��� �����

��������� � �� ���� � ��� ����� �� ��� ���� � � � �� ��� �������� ����������� �

Figure 4.7.2XY������ ����

Page 37: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� "� �� �

�" ���

��� ��������� ���� ��

16:43 30 Oct 99

Figure 4.7.3" ����� '

Figure 4.7S.2" ����� ' �������

�������� �� �� ������ '�G�'� ������ $��� ��� ������� �� � #���� ����������

�� �� ���� D���� ���� ��� #������������ �� ��� ������ � � #����� ���

��������� ��� ����� �� �� ���� �� ���� �� ��� ����� #����� !��� �� ��������

����� ��� � ������ �������� �� ���� ��� ����� ������ � � ���������� ���'

����� 0 ��� ���� ����������� �� ���� ������� ����� � ���������

������ ��� �������� #���� � ������� �� ����� ����� �������� ���-

������ �� ��� ���� ��� �� ������ '�G�'� !��� �� ���� ��������� ��� ������

#����� � ��� ����� � � �� A � �� �

3�� ��� ���� ��� ��������� � ��������� ��� �������� �� ��� ��������

������ � � ������ ( �� .� ��� ������� #���� ����� � �������������� ���

���� ��� ���������� � ( � � ����� ����� ������ ���������� �

�������� �� �� ������ '�G�(� ��� ������� �� � #���� ���� ��� $�����

�� ���� �������� �� ���� � (�� 0 � #������������ E�����F ��� �� ��$�-

���� ���� �� ��������� ����� !��� �� ����� �� ���� �� ��� ���� � �� ���

#����� �������� 0 ��� � ��� 9�*G� ��

������ � ��� �� ������ '�G&���� �������� �� � �����

� �� �������� � L�� � � ��� ���� �� ��� ������������� �� �������

� � � ���� �� A ��� !������� ���� Q � �� �� � � �� A � ��� A � ����� �

Figure 4.7.4" ����� (

Page 38: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� � � "�

� �

��

�� �

��

� N)

� N�

E�+ F�

E + F�����

���

�+

+

" �

+ � +�

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

Figure 4.7.5" ����� )0 ����

� � � �

�#�#

��#

��#

�� �#

� � � � �

Figure 4.7S.3" ����� ) �������

����� �� A � � � ��� �� A � � � � ?� ������ ���� + ���� ������ �

����������� + � ���� � + � Q � ""�� � + A *E �+ F ���

� � � A E �F A E + F 8 E �+ F A (E �+ F �� � � � � �

� E �+ F A � �� � ��� E + F A � � � ����� � � � � �

A A A � ��

E� �F A � � E��F A � � �E�� F 8 E�� F � A � � �E�� F 8 J*E�� FK �� � � � � � � � �

A � � �(E�� FK � A � � E � � �F A � �� �� � � � �

E�+ F A E� �F � E �+ F A � �� � � � �� � A � � �� � � � � � � �

A A � �

A � � ��

3����� �� ������ ����������� �� ��������� ��� ����� �� ��� ���� �� ���

�������� �� ������ '�G&��� ���� � �+ ��� ���� �� � 3�� ��� ���������

��� ���� � ������ &���� �+ N+ A � � � ��+ � �� ���� *� � &�����

� � � ��� � ��" ���� ��� ��� �������� ��� ��������� ��

��� � ���� ���� ��� ��� ���� (� � �������� � + � ��� � +�

���� �� ��� ��� ��� ��� ��������� &���� +� A *E+ F A

'E+ �F� � +� �� ���� .*� � !�� ��� ��� ������ ��+� �� ����

,� � ���� �� 8 *� 8 (� 8 .*� 8 ,� A �9� A � � � � ��� ���� �� �� " � ��� �

����� ���� � A � �� � � ��� ����� ���� � ���� ���� �� ��+� 0 *E,�F A� �

� � � � �� �

Page 39: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

* *

� �

��� ��������� ���� ��

���� ��� *���� ���� ��� !�� �����

16:43 30 Oct 99

Figure 4.7.6" ����� G " ����� ,

Figure 4.7.7

�������� �� ������� ��� ���� �� ��� ����� ������ �� ������ '�G�)� ������

� ����� �� ��� 6 �����7 ��� �� �� ������ ��� ����� .� ��� ���������

��� ������ ����

������ ��� ����� ���� � ���� ���� �� � ������ ��� ����� �� ��� ���

���� �� �� ������ ����� �������� ��� ��� �� ���� � #������ �� ���

���� �� � ������ ��� ����� � 0 � � � � 8 *E � � � F � � � � E� F A � � �� � � � � � �

�������� �� ������� ��� ���� �� ��� ����� ������ �� ������ '�G�G� ���

������ �� �� ���� �� ��� #���� � .� �������� 0 ��� � ����� � �������

�� � ����� �+ ��� ���� � ����� ������� 9��*�

������ E&�� ������ '�G&�'�F !���� " A � � ��� 9 A .� ��

�� 9" A �9�� ��� ��� �������� ������ �� ��9: � � ���9 A 19��* ��9� A �9�� ��� ���� �� ����� 9� � � �� �� ���� �� � ������ ��� ������

.� ���� � ��� � ��� ���� �� �9� � � �� �� ���� �� � ������� ��������� ���� �

����� .� ���� � � �� � ��������� �� � ����� �� ��� ���� � �� ��� ������

������ ����� ������ ��� ��� �4 � ��� � ��� � � �� &���� � A�

� �

9" � � � A � � � � � � ��� ���� �� ��� � � A � � E� F A � � E* � F �� � � � � �

��� ������ ���� �

Figure 4.7S.4" ����� , �������

$ �

��

% � �

Page 40: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

* � �

'8

.*�.

'�

�� ��������� ����� ��� ���� ��

��� �� ��D� ��# ��!!������ ������� #�" ��!��� � ���� ����� � �� ������ -�� ���� �-��

� ���� ��� � ����� ��� �! �� � ��# ���+ ������ ��+� E�

16:43 30 Oct 99

'E� 8 �F A ' A . � 8 � � � � 9��*� ��

��� ����� �� � �������� � ��� ����������� �� ��� �������� �� ��� ���

����� ��� ������ �� �� ������ "��� ������ � ��������� ������ � � ��� �����

�� ������ ������������ �� �������� � �� � � ��� ��� ������ �� ��� ��������� �

�� ���� � � ������ ���� �� ��� �������� �� � � ���������� ���� �� �����

������� ��� ������� ���������� � ����� ��� ����� ��� �� �������� ����

����������� ��� ��� ������� � ���������� ��� ��� �� ������ �� ������� ,� !��

��� ���� ���� ��������� �� ���� ��������� ������ � ����� ����� � �

�������� �� �� ��� ��� ��� � �� ����� � �� ��� �� ���� ��������� ����

�������� �� ��� �� � ��� �������� �� � ���� ��� ����� �� ��� ��������

�� � �� � < M��� � A *� ������ �� � ����� ���� ��� � ���� ��� �� �

�������� ����� ���� ��� ���� �������� 0 3��� �������� ����� ���

��� � �� ������� �������� ���� �������� ����� �� �����

��� � 5�� ��� �������� �� � ���� ����� �� ��� ����� �� ��� ��������

�� � �� � ��� ��� ����� �� ����� ������ ����< M��� � A *� ������� �

�� � ����� ���� ��� � ���� ��� � �������� ����� ���� ��� ������

��������0 3��� �������� ����� ��� ��� � �� ������� � ����� ����� �

��� � 5�� ��� �������� �� � ���� ����� �� ��� ����� �� ��� ��������

�� � �� � ��� ��� ����� �������� �� ������ ����< M��� � A � ���� �

�������� � ���� ��������� ������ �� � ����� ���� ��� � ���� ��� ��

�������� ����� ���� ��� ����

������ ����� ! ��� # ��� ������ ���� -� !�� �� � ������ �������

����� �#��������� �������� ���� ���� � ������ ����� + ��� � �������� ������

����� �������� ��� .*9� ����� ������ � ������ ����� � �

3�� ����� � ������ ���� ���� ��������� ��� �� ����������� ���������

�� ���� ��� ���� ��� ���� �� ����� �� 3�� ��� ���� � ������ ����������

�� ��� �������� �� � ��������� ������ � �� � ����� � � 3�� ��� ���� �������

���� ���� �� ��� ���������� ��� �� �������� ������ ��� ����� ��� �� ��

�������� �� ����� ��� ��� ��� �� �������� �������� ��� ������� ���

�#��������� ����� ��� �������� �� � ����� � ��� �� �� �� ��� �������

������ ��� �� ������� ����� � ��� �� �� �� ����������� ������ 4����

� ������ ����������0 � ����� � ��� �� ��� ������� �� � $�� �� ���

��� ����� �������� � �� � � �� � � �������� �� � � ���� ����� � ��

����� : ��� 9 �������� �� � ��� ���� : ��� �� � �� 9

��� ����

Page 41: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ��������� ���� ��

16:43 30 Oct 99

3�� ��� �� ��� �� ������ ��� ����� �� � ��������� � ��� �� �� ��� ���-

������� ����� �� � �

�������� ��� ��� �� &�� ���� ��� ����� ������� ��� ��� ������� �� ���

���������� � � �� �� �)�����

��� � &�� ���� ����� ������� ����� �� � ��� �� �� ���� �� ��� ��

��� �������� � �� ��� � &�� ���� � ����� � ��� �� ��� �������� �� � �� ��� ���� �� �

� �������� �� ��� ��������� ��� �� ��� �������� ����� ����� �� � �

��� �� !���� � ����������0 � �� � �� ����� �� � ����� � � ������ ���

�� � �� ����� ����� � �� � � �������� �� ��� �������� �� � � ��� �� ���

�������� ����� ����� �� � � D��� � ���� ���� ��� �������� �� � ���������

������ � �� � � ���� �� � � ?� �� ���� ��� ������� �� � �������

�� �� ����� ���� �� � �

��� �� � �� � �� ����� �� � � ������ ���� �� � �� �� �������� ������-

����;��� �� �� ����� �� � �� �� �� � � ;� ����� &�� ���� � � ������

�����5 ���� !� ������� � ������ �������� �� � �������� ����� � #����

����� � ������ ����� � ���������

���� #� � ������� ����� �� � ��� ��� �� ��� �������� � �� �� ���

��������� �� �� ��� �������� �� � � ���� ��� ����� 9 �������� �� � � ������ �

�� ��� ������������ ������� ���� ���� �� ��� ������ � ;�������������R

���� -� &����� � ����� �� ��� �������� �� �� ���� � � �������� ��

��� �������� � �� � ���� * ������ ��� �� �� ���� �� � � !��� � ��������� �

� ��� ���� � � �������� �� � ��� ��� ����� �� � ��� �������� �� � � �����

��� ����� �������� �� � ��� �������� �� � � ��� ��� � ����������� �� ����

� �� ���������� �� ������� ����� �������� ���� ��� ���������� �� ���������

���� .� &����� ��� ������� ��������� �� ���� �� �� ������� ���

����� � � � + �� ���� � �������� �� ��� �������� � ��� �� ��� ��������

����� ����� �� �� 2�� � ���� ��� ��� �� ��� ������� �� �� ����� ���

����� 9 �������� �� � ��� �� ����� �� � � ��� 9 ���� ��������� ��

����� �� � ;�������������R

���� 3� &����� � ��� ������ � � !��� � �������� � ��� ���� � ��

�������� �� � ��� ��� ����� �������� �� � ��� ������ � � !��� � ��������� � �

� ��� ���� � � �������� �� � ��� ��� ����� �������� �� � ��� ��������� � �

�� � ��� ������ � � �������� ����� ������ ����� � �������� � ��� ����� � �

� � �������� �� � ��� ��� ����� �������� �� � ��� �������� �� � ���� � � ��

������ � � ��

Page 42: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

Concepts!��������� �������

��������� �� ���������

1������ �� ������� �� �������� ���

�������� �� ������� �� ��������� ������

0��� �� ������ ����� ����

4.8 Exercises on volume

L��� ��� � ����� �� ��� ������� ������� � ����� . ��� * ����������

���� �� 0 �������� � ����� ������ ���� ����� ���� ��� ��� ������ ��� ���

������ ������ ��������� �� ������ ��.9 ��� ��.'� " ����� � ������� ���

����� ��� ��� ��� �������������� �� ������ ��.'0 ��� ������� ��� ��� ������

�� � ������ " ����� ' ������� ��� ������ ������� �� ���� �� � ������

" ����� ( � ���� �� ����� �������� ��� ������� �� �������� ��� �������

����� ��� ���� ��� ����� �� �������� ��� ����� �������� �� � �����

'�G�1 ��� '�G�.9�

�������� �� ���� � ����������;������ � �����;��� �� ��������

����������� ���� ���� ��� ��� �� �� � �� �������� ������ � ���� ����

�� ������������ ���� ��� �� �������� ����� ��� ��������� ���� ������� ����

��� �����%��� ��� �� ��� ������������ ���� �� ��� ���������� !���

�� ������ �� ���� �� ��� ���������� ���� � �� ��� ����� ��� ��� �������

� ����� ��� �� ������ ��������0 �� � �� �������� A *� ��'�(�) ����

��� ������ � G'�

������ L�� � � ��� ������� ����� ��� �� ������ &����� ���

����� ����� � �� ��� ����� � ����� ����� ��� ��� M� ��������

�� � ������ ���� ������� ���� ���� �� ����� ��������� M� � �� � ������

���� ����� �������� ���� � ���� �������� ��� � ���� �����%���� �������

��� ������� ��� ��� � ��� �� ��� ��� ����� ��� ���� ���������

��� ���� �� ���� ���� �������� � � � ���� �� ��� ������������ ����� ����������

� ��� ������ �� ���� ���� ���������� ������� � � � ���� �� ��� ���������-�

��� ����� ���������� �������� ?� ��������� � ���� ���������� ��������

���� �� ���� �� � ��� ��� � ���� ��� ������������ �������� � � � � ��

��� ����� ������ �� ��� ���� ���������� ������� � ��� � � � � � � ����� �

��� ����� ���� � �� ����� ���� �� ����� � � 2�� � � ��� ���� �� � ���������

��� ���� ��� ��� ������� �� ��� ������������ �� ����0

� A � � E� 8 �F � � � E�� 8 ��F �� �

���� ��� ����� ������ �� ��� ����� ���������� ������� � ' � � � � � � �� � ���� �

��������� �� ��� ������� ����� �� ������� ��� ��� � ��� ��

Page 43: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

*

�/

*

E�/ F� � E�/ F�

�� �/ �86 �����/

�86 ���

��� ��������� ���� ��

��� F����# �� � !�� ������� ����3����� ��� !�� � +������������ �! ��� ��+"�������

16:43 30 Oct 99

� �

� "

� !

& '

� �

� �

& "

' !

Figure 4.8.1 �������� ������ ��� � ����� *

��� ��� �� ���������� ����� ������ ��� � � � � � ��� ��� � � � � � ������� � � �

������ ��� ���� ��������� ����� ��� ����� ��������

� � E*�� 8 ��� 8 ��� 8 * ����F� � ��

�������� � ���� ������ ���� ��� �� ���� �� ������ '�,�.� � ���� ��� ����

� �� � ��� ���� �� ��� �������� #���� ���� ��� ��� ������ � � ����

� ����������;������ � �)���� �������; � ������� ����� ��� ������ ����

��� ������ �������� �������� ���� ��������� !��� �� ������� ������'

��0 5���� ��� �������� ���� ������ �������� �� �A.� ����� ����� ������

� ����� ������� 9�1(G�

������ L�� � ��� � � ��� ������ �� ��� #����� @��� ������

��� ��� ��� ��������� ��� #���� ��� �� �������� ����� �������������

�� � L�� � � ��� �������� �� �� ���� �� ��� #���� ��� ������ � �

��� / � ��� ����� #����� ����� ������ �� ���� �� A � � � � �/ A�

� � � ����� ��� ��� �������� �� �� �#��������� �������� ��� ���� � � ����

�/ A � � � ����� ��� ���� ��� �������� �� � #���� ��� ���� � � L���

� � ��� ���� �� ��� ������������� ���� � �� ��� ����� ������ � ���� �

���� �� � ����

�/ A �/ � �� A � � � � .��

�� A �� A A � N* �� � �

?� ������� ��� �����%��� ��/� ��� �� ������ �� ������ '�,&�.� L��

8 ��� 6 � ��� �������� �� ��� � � ���� � � L�� 2 �

��� ���� �� ��� ������������� �� ������� 8� ��� 7 � ��� �����������

�� ��� � ����

Page 44: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

. 8 *

E�7 F E86 F

�6

E�� F E86 F

*E�6 F

. 8 *

*�

* �

* �.

���

*���� � � A

� �

��

*

, �.

. 8 *

*�

* �

� �.

'� � � A

. 8 *

��

*

� �

, 8�

*

�� �

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

( ��

� �

Figure 4.8S.1" ����� * �������

�6 A � ��/ A � � �� �

86 A � � E�� 8 �/ F A � � � �� �

2� ���������� 82 N86 A �7 N�6 ���

82 A A A �

��� �������� � ������� �� ��� ������� ��� ��� 8 � ��� ��� ��

���� �� �� ����� �� ��� #����� ��� �� ���� � ��� �������� � ��� A� �

� N* � ����� ����� ������ � � �

& A �

��� ����� ����� ��� ����������� ����� �#��������� �� ���� ���� � � �� �

��� �������� 82 + ����� ����� ������ �

� A �

��� ����� ������ �� ��� �������� � ���

& 8 � A �� 9�1(G� � ��

�������� � � ����� ������� � ����� � ������ � ����� ��� ������ �

��� ����� � ���� �� ���������� /� ����� ������ �������� ��� ��������

� �������� ��� �������� � � M��� ���������� � ���� �� ���� ��� ������

�� ��� ������ ����� ��� �������� ��� ��� �� ��� ��������� � ��� ���

� ���� �� � ������� ����� ����� ��� ������ ������� ��� ��� �������� ���

���� �� ������ ��� ������� ��� ��� ������ �� ��� ������

������ ����������� �� ��� ������ ����� ��� �������� ��� ���������

��� �������� ����� �� ������� � ���� ��� �� ��� ��� ������ �����

Page 45: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� � � � �

��� ��������� ���� ��

16:43 30 Oct 99

���������� ������ ��� ����� � ��� � � ���� ���� ���� �� � ������

��� ��� � ��� ���� �� ��� ������������ ����������� ��� ��� ����� ����

��� ��� � ��� ��� ��� �������� ��� �� � ��� ��������� ����������

������ �� �������� � � � ������ �� ����� A ������ �� �����

������ �� ����� A *E������ �� �������� � ������ �� ����F

A *E� � � � � � � � � � �F A � � � � � �� � � � �

�������� �� ��� �� L�� 9 �� � B � � � ����� �� ������� � ���� � ������

��� ����� ��� ������ � ��� ����� � ���� �� ����� ��� ������ � ������

� ����� �� ��� @������ ���� �������� ���� � ������� ��� �� �������

�������� 0 �� � A . ��� � A � � � ��� ���� ������ � � ��� 9�)(��

��� � @������ ���� �������� ���� ��� ������ �� �������� �������

���� �� � ���� ��� ����� � � ������� ������� ��� ������ �� � ����� ����

����� .� �������� 0 ��� ����� ������ � � ��� 9�'G�

�����5 ���� !� M� ��� ������ �� � ����� � ����� ��� ����� ��

������� � ��� � 0

������ �� ��� �������� ����� ���� ����� � ��� ��#����� ������

A ������ �� ��� ������ �� ��� ���� ����� ���� �����

A ������ �� ��� ���� ��� ��� �

��� �������� ��� �� ����� �

� ������ �� ��� ���� ��� ��� �

��� �������� ��� �� ����� �

��#����� ������ A � � E� � �F � � � � � � 8 � � � � �� � � � �

A � � � � � � � � 8 � � � � �� � � � �

���� #� ��� ���� ����� �� �� ��� �� ������� �A � � ���� ��� �������

�� ��� �������� ����� � A .� ��� � �������� ��� ����� � A � � ��� ���������

( A *� � �� ������ �

*E � � � � � � � � 8 � � � � F 8 � � E*�F A � � � � � � �� � �� � � � � � � �

�������� �� �������� ��� ���� � �����-���������� ������ �� � �����

'�G�1 ��� '�G�.9� ��� ��� ������� ������ ���������� �� ��� �������� ���

������� �� � ���������� ������� ��� �� ���� ��� ����� �� �� �����-

���������� �����

������ D��� . �� � �� � ����� '�G�1 �� ������ ��� �� � ������ �� ���

#������ ������ ��� �������� �� ���������� ������ � ���� ����� ��

��� ����� �� ��� �������� �� ����������� ������ � �� � ��� ��� ������ �

�������� �� ������ ����� ��� ������ ���������� �� ��� ������� �� �

���������� ������ � ��� ��� � ���� ��� ��� ������� �� � ��������� ����

� ���� ��� ��� ������ ��� ��� ������� �� ����������� ��� ����������

Page 46: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ��

.

. 8 �

�� ��������� ����� ��� ���� ��

<��� @ � ����� ����� �G �! 4��D 1000 �! 2"���H � ������ ( ,��G�. ��5�) ���

16:43 30 Oct 99

Concepts��� 23�

#���������4 ���������� �� �

+��� ������� �� ������� ������ �� ������

�������� ���� ������� ��� �� ����� ���$��� ����

,������� ��������

������������ �� ����� �������� ��������

%����� �� �� ���������� ������ �������� �� �������� ��������

�� ����� � ��� ���� ��� � ������ �� ���� . �� � ����� '�G�.9 ����� �����

��� ���� �� ��� ����� � ��� ��� ;����������< � ��� ������ ��

;������< � ; ���<� �� �������� ��� ������ �� ���� * ��� � �� � ����� '�G�.9�

������ ��� ��� ������� �� ����������� ��� ���������� �� ��� �� � ���

���� � ���� ��� ��� ���� ���� ��� ������� ��� ���������� �� ����

� ��� ���� ��� ��� ������ �� ���� ' ��� ( �� � ����� '�G�.9 ��� ���������

�� ����� ��-���������� ������������ ��� ����� �� ��� ���� ����� ���

������� �� ��� ��� �� �� ��� ��-���������� ���� �

4.9 Exercises on circles and spheres, part 2

��� ������ ������� ��� �������%�� ��� ��� �� ������ ��� ������

" ����� . ��� � �� ������ �)�� �� ���� ��� ���� ���������� ��������

����� ��� ����� �� ��� ������������� ��������� L���� � ����� ��� ���

���������� ����� ������� �� � � ��� �������� �� �������� �������������

��� ��� � ����� ������ ���� ������������

�������� �� ��� �� ������� � ������� �������� ����/ ��� ���� .� &��

���� �� �������� ��� ���� �� ��� ����� � ��� ���� ���/ �

� �������������� L�� � A �� � M� ������ ��� ��������� �������� �� ��

����

� A �

������� ��� ����� �� � � !������� �� � ��� ���� �� ������� �� �)�� ��� � ������� � ������� ��������� �� ����� ��� ������� ��� ���

��� ������ &�� ���� ��� ��� ���� � ����� �������� ���� ������

��������� �� ����� �������

Page 47: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� A�

.A��

��A��

��A

.

. 8 �

(

��

�� �

��A

T

�A

. 8 (

'

�/��2 6/

��� ��������� ������� �� �������" ��� � ��

��� 3�� ��� ������� ���- ������� ��

16:43 30 Oct 99

� �

� ����� �

Figure 4.9S.1" ����� . �������� ���� . " ����� . �������� ���� *

� �

���

Figure 4.9S.2

������ ���� !� ������� ������ '�1&�.� ��� ���������������

������ � E� 8 .F A .� ���� � 8 � � . A 9� ����� � A � � ��. 8 �� L��� �

� � � ��� �������� �� � ����

�� �)� A � 9�,919�

���� #� ������� � ������� �������� ����/ ��� ������ � ��� �����

.� ��� ��� 2 � ��� �������� �� ���� � � �� ������ '�1&�*� !��� �����

6 �� ��� ���� �6 A .� � ���� � �� ���� �� ��� ������� �������

��� ������� ������� � �� / � ���� �2 A �� �)�� 2/ A �� �)�� �/ A

* �� �)�� 26 A . � �� �)�� ��� E6/ F A E2/ F 8 E26F A * � * ���)��� � �

��� ��� �� �� ���� � ������� �� ���� ��� ����� . �� ���� .� � ���

������ ����� � E6/ F 8 . A E�/ F � ���� � � * �� �)� A ' � ' �� �)�� 3��� � �

��� ������ ��� ���� ��� ����� �� �)� ���� ���� .� �

�� � ����� * ������ ����� ��� ���������� ����� ������� �� � � ����� ���

������� �� ������ ��.'� 3����� �� ���� �� ��� ��� ������� ��� ��������

���������� ��������� ��� ��������� #���� ����� ���� ��� ��� �������

� � ���������� � ��� ����� ��� " ����� �� � ��������� �� ���� ���

���� �� ������ �������� ��� � ����� � #���� ��������� �� � ��������� ����

��� �������� �� ��� ������ �� ��� ������

�������� � ������� ������� ������� ��� � ���� �� ������ � ����

� � ����� �� �� ��� ��������� �� � ��� � ������ ��� ����� .� �����

Page 48: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� �

*��

' � ��

* � ' � ��

� A*� �

*� �A

� �

� �A

�"���

�)9�� *�"

A.,9� ���

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

� � �� B � B � � �� � ������� � ��� � � !��� ������� ��� � ��� �� �

� � � � � ��

�� ���� �� � � M� ���� ������� �� ������� � ��� ��� ��� ����� ����� ��

� A � � �� � � � �� ��� � A )� .*� *'� ',� ��� 1)� @���� ��� ��������� � �� �

����� ������� �� � ��� �� �������� � �� ���������� �� �< ��� �

���������� ������ 4� �� ��� � � �� ��������� ���� ��� ����� � ��

��� .9 <��

������ !���� � A ��� � A * � !�������� �

� A � A �� ��

�������� ���� ������� ���������� �����

� � � �� ��

� �

� *�(1,9G)* *�(1,9G)*

) ��9999999 9�')'.9.)

.* ��.9(,*,( 9�.91().,

*' ��.�*)*,) 9�9*G9�.�

', ��.�1�(9* 9�99)G�)9

1) ��.'.9�*9 9�99.),*G

� � �

).'' ��.'.(1*( 9�999999'

�����= ��� ������ ��#����� �""" ��� �� �������� ����������� @���

����� ��������� � ������ ���� ����� ��� �������� ����� �� � � �� ����

� � �� ��� � A ).''� ��

�������� � ������� � ����� � ��� ������ � ��� ����� " � � �����

� ��� ������� � �������� � �� � ������ � ��� ������ � ��� �����

� � ��� ������������� �� � ������� � ���� � �� � ����� �� ��� ���

�� � ������� � � L�� + � ��� ����� �� � � 3�� ����� ���� ��� ������

� � �� ��� + ��� 6����� �� ��� ������ ������� � ��� �����7 ��� ����

����� �� ��� ������������� �� � �� *�� � �� 6����� ������� �� � �������

�� � �7 ��� ����� ������� ������ �� ��� ������� @��� ������� � � ��

��� ����� E� �����F ���� ��� ����� ������� � �� �<

������ L�� � A �� �+ � ����

� ������ �� ��� ����� �� ��� �������� E.,9��� � F N� � � ����� ��

���� 0 � A �9�� ��� ������ ����� " � � ��� �1(1 ����� � � � A

E� N �)9�F O*� " A � �� " �� *9G� ����� ��

Page 49: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

�� ��� A�� �

�� �� ��� A

�� � �� �

��

�� ��� A�� �

�� �� ��� A

�� � �� �

�� �

��� ��� ���

��� ��������� ������� �� �������" ��� � ��

16:43 30 Oct 99

�� � ����� ' ������ ��� ��� ��� �������� �� �������� �������������

" ����� , ��� ��� � ����� �� ������ (�.. ����� ��� � $��� ��������

!���� ������������������ � �������� �������� � ��������������

��� � ����� � �� �� � ����� � � �� ����������� ��� � ����� ������� ��

������ � � ��� �� ����� � ��� �� � ���� ������ ��������� ��� �

��������� � ����� ������ �� M��� �������� ��� ��� ���� ��� ������ ����

����� ���� ����� ���� ��� �������� �� � � ��� ����� ��� ���� ������ ��

�� E��������������;������� ����� �� � ������������ � ;���������

���� ����� ������� ��� �� ��� �� ����� ������ ��������� � � ������ ����

����� �����F ���� �� ������� �������� �� ��� ����� �������� �� ����

�� ��� ������ ��� ����� �� ���� ��� �� ����� ������ ���� ��� ���� �� ����

������� ������ �� ���� �������� �������� �� ��� ������ �� ���� ���

������� ��� ������ �� �� ����� ������ ��������� ���� ��� ��� ���� ����

����� ������ ���������� ��� ������ ������

������� ����� � � � � ��� � �� � ���� ������ �������� ��� � � 3��

��� ������ ��� ����� ����� ��� ����������� ����� ������ ��� �� ����

�� � ��� �������� ����� ������ � ��� ��� �� �� ��� ����� ����

��� ��� �� ���� ��� ��� ���� ���� ����� ��� ������ � ����� �� �������

���� ��� ���� ��� �������� ��� ��� ��� ��� �� �� ��� ����� �������� � �

E��� � �� ����� �� �� �� ���� ����� ��� ���������� 3�� ��� �� ����

�������� �������� �� ������ ���� ����F � �������� �������� ���� ��

� ����������0

��� ��� ���� A ��� � A ��� A ��� �

� � �

" ����� ' ������� �#������ ��� ���� ���������� �� � ���� ��������

�������� ��� ��� A 19��

�������� �� D���� ���� �� ��� ����� �������� ����� ��� �� � A �� ���

�������� � ����� ���� ���� �� � ����� '�(�' �� �� �� �� ���� ��� �����

�� ���� ���� �� �� ��� ����� ��� ��������� ��� ��������0 3�����

���� � ����� '���' ��������

������ 5����� ��� ������ ����� � � � !��� ��� ���� 2 �� ���

������������� �� ����� ��� ������� � ��� ��� ���� � �� ��� �������������

�� ������� 2 � 2� � ����� '���'� � !��� ��2� � ��� ���

����� A �2 N�� � !��� ���� � ��� ��� �� N� A �� � !��� ��2� � ���

��� �2 N� A �� � � ���� �#������ ������ ����� A �� � N�� � 3�� ���

������ ����� A �� � N �� ���������

Page 50: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� � 5 � �

*� �

*�"�" � A � �" A � � � � 8 � � �

�� ��������� ����� ��� ���� ��

��� 3�� ��� ������� ���- >������ ���

16:43 30 Oct 99

!��� ���� � ��� ��� �� A �� N� � !��� ���2 � ��� ��� �� N�2 A

�� � � !��� ��2� � ��� ��� �2 N� A �� � � ���� �#������ ������

�� � A �� � �� � EVF

!��� ��2� � ��� ��� ����� A �2 N�� � !��� ���� � ��� ��� �� N� A

�� � !��� ���2 � ��� ��� �2 N�2 A �� � � ���� �#������ ������

�� ��� A �� � �� � N �� � 3�� ��� ������ ����� A �� � �� � N ��

���������

!��� �#������ EVF ��� ��� ���� �#������ �������� �� ��� �������� ��

��� � ����� ��� ��� ����� ������ ��� ����� �� ��� ����� �� �������������

���� ���� �� ��� ��������� ��� �

" ����� ( �� G������� ���������� � ������ ��� ��� ������ ���� �� ���������

����� ��� ������ ?� � ������� ���� �� ��� ��� ������ ���+ ���

���� �������� ���� ��� ������ ������ �� ������� �� 3����� ������ ������

������� ���� ����� ���� ��� ������ ��� ��� ����� ���� ��� ������

2�� ������ ���� �� ���������� �������� ���� ��������� ���������� ��� ������

����� ��� ��� ������ � ������� ��������� ��� ���� �� �� ������ ���

� ��� �� ��������

�������� �� 3�� ��� 6������7 ��� ������ ���� �� � �������� �� ���� � �� ���

����� @������� ��� ������ ���� �� �� ����� � ��� ��� � ��� ���� �����

5����� ������� ��� ���� ������ ���� �� ���� �� ��� �� ����� � ���

�������� � �

������ ��� ����������� ���� ������ ���� � ��������� ��� ���� ������

*� � ��� � � � �� ��� � *� �� � ��� ������� ���� ������ ���� � ��������

����� ��� ����� " A ��� ��� ������ *� � � � �� ��� �

��������� ������� ���� �� �� ����� ������ ��� �������� �� � �������

��� ������ � ��� ����� � ���� ���� ���� ������ ���� ������� ���

��� � �� ��� �������� ���������� 6 ���7 ���� ����� ����� ������

� �� � ���� � ����� ������� ��� �� �� ��� ������ �� ��� ������������� �

���������� �������� ���� � � � � ���� ����� ����� �� ����� ���� �����

���� � ����� ������� ��� ��� � ��� ������ ���� � �� ��� ������ ����

�� ������� � �� � A � � �� � ����� � A '� � � �������� ��� ����� �� ���� � � �

�� ����� ������� ��� �������� � ��� ��� �� �� ������� ��������

�������� �� D����� ������ �������� ��� ��� �������� /��� ��� �� ���-

������� �� � ��� � ��� �� ��� ���������� �� ��� ������ �� �� �����

Page 51: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� � � E� � � F

�� � �

A�

� � �

�A

�. �

�. �

��� ��������� ������� �� �������" ��� � ��

�� : �G� : ���# ������� = �� : �G�� : ���# ��������

16:43 30 Oct 99

�� ������ �#��� ������ ��������� ���� ��� ������ ���� �� ��� �� ����-��

����� ����� ������� �� � ������ ��� �� ��� ������ ���� ������� ��� � �����

������ �� ��� ����� ��� � ��� � 8 � � ���� ��� ������ �� ��� ������

����� ��� �� ����� � � �� E� 8 �F � � �� � �� �� � ��� ����� � � �

'� � � 8 '� �� 8 � �� � � �� � ����� � �� '� � 8 '� � E� 8 � � �F � � �� � � � � � �

��������� %���� ��� ����� ���� ��� ��������� '� � � � � ����� ��

'� � � ��

�������� �� ��� �� 5����� � ������� ��� ��� ������ ���� �� � ��� �� � �����

��� ����� � ������ � � ����� �� ������� � B � ���� �� �������

��� � 5����� � ������� ��� ��� ������ ���� �� ��� ������ �� � �����

����� �� �������� ����� �� ������� � ��� � 8 � B � ���� �� �������

��� � ��� ���� �� @������� � ��������� �� � �������� ���� � ����

����� �������� '.�? ��� '(�? ��� ��������� .9'���@ ��� ...���@� @���� �� ����< 3�� ��� ���� ��� ����� � � ����� ��� �����

� A �1(1 ������

��� �� ��������� ��� ������������ ����� @������ �� ��� ����� ��

���� ��� ���� � ����� ��� ��� ������ ������ � @�������� �� ���

������ *� ������� @���� �� ����< @�� ����� ���� ���� ����� � �����

��� ��� �������� ������ �� � ��������� ���<

������ ���� !� ������� � ���� ��� ��� �� ��� ������ �� ��� ������

���� ��� ���� ��� �� ������ � � �� E� � � F� � 2� ��� ������� �� � ��-� � �

��� '�,�'� ��� ������ �� ��� ������ � �������� �� ��� ��� ���� �

� �� � � � � � 8 � �� � 8 � �� E� � � F � A � �� � E � � �F �� � � � � � � � � �

��� ����� �� ��� ������ �� � �� ���� �� ��� ����� �

��� ����� � ��� ��� � ��� ����� �� ��� ������ ���� �� ��� ��� ��� ���

������ � ��� ���� ���� ����� �

E'� � F A *� � � *� �� �� �

���� #� ��� ��#����� ���� � ��� ���������� �� ��� ���� �� ��� �� �������

� ��� � 8 � � � ��� J*� � � *� ��K � J*� � � *� � E� 8 �FK A *� �� �� �

���� -� "#������ � A � �� '.� ��� � 8 � A � �� '(� ��������� � A

� E�� '(�� �� '.�F � � @������� ���� �

Page 52: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

...��� � .9'���

�)9�

�� '.� � �� �G�

�� '(� � �� '.�

���

�)9�� '� � � A

���

19�� � � �

��� 8��� 8���

19�� � � � A T � '� � � 8 * � � ���

� � ��� A��� 8��� 8���

.,9�� . � � � �

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

Concepts%����������� ������� ������ ��������� ���� 6��� ��� �� ��� �� ���

#������ �������� ���� 6��

E*� � FE�� '(�� �� '.�F �� 1G�G(9 �� �� �

���� .� ��������� �

E@������� ����F �� .9��199 �� �O�

���� ���� ������ ������ � ��� ����� ��� ����� ���� � ����� � ����� ���

������� ����� ��������� ����� � ����� ��� �������� ��� �������� ��

�������� ��� ���������� �

�������� �� ������� � �������� ���� �� � ����� � ��� ������ �

��� ����� � � D���� ��� ��� ��� �������� ��� ����� �� �� �����

������ ���� ������ �� ���� ���� ������ ������ ������ ��� � ���� � ��� ���

���� ������� ��� �� � @���� �� ����� �� ���� �� ��� ��� �< 3�� ����

������ ��� � ��� � ���� ��������� &�� ���� ��� �� �� ��� ���� ��

���� ����� ���� � ���� ���� �� ��� ����� ��� ���� ��� ���� �� ��������

���� � 5����� � ������� ��� ��� ���� �� ��� �������� �������� �� ���� ��

� ��� ��� �� � �� ��� ������ �� �� ������ !������� ����� ���� .,9� B� B ('9�� ���� ���#������� ��������� ��� ����� �� ������� ��� �������

������ 2� � ������ �� ��� ����� ������ � ������ ������ �� � �����

��� ��� ������ ���� ��� �� �� ��� ����� ���� � ���� ��� ������ ��� ����

��� �������� ���������� ��� � ���� �� ����

����������

!������� .,9� B� B ('9� ����� ��� ���� ��� � ������� ��� �� ����

���� �� � ���������� �

4.10 Exercises on coordinate geometry

Page 53: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���� ��������� ����� � ���� �� ��

��� ������ $���� ��� �����# ,��5�. �� � ������� �����

16:43 30 Oct 99

" �����. �� ) ��������� � ������� ���������� �����-���������� ����������

��������� &������ ����� ������ �������� � ���� ��� �� �������� ������� ���

������ ������������ ������ �� ��� �������� ������� �� ������� �� 4����

����� ��� � ��� �� ��� �� ��� ����� � ���� ������� � �� �����

�������� �)����� �� �� ��� ����� �)���� �� ����� �������� �)�����

�� � � " ����� G ����� ��� ���� �� ����� ��������� !�� ��� ���� ���� ���

����� �� ��� ������ ��� �������� ������%�� �� ������� � ��� ������

���� �� ��� ���� �� ������ �#������� 3�� ��� ��� ��� �� ������ �

������� �������� �������� �� �� !�� ���� ���� �� ���� � ������ ��� �������

����� � ��� ������������ ������ �� ������ ��� ������� ������ � �����

�� ���������� ��� ����� �� �� ��� �������� ����

H�������� ��� ����������� ���������� ���� ��� ���� ������� ���� ������

������ ����������� ���$���� ���� ����� �� ������������ � ��� � ���-

�������� ��������� �������� � ���� ��� ��� � ���� ����� �� ������������

�� ����������� �� ��� ���������� ���� ���� ���� ���� �������� � ����

��� ��� �� ���� ��� �&��� ��� ��� ��� ��������� �� ���� ������ ���� ���

������ ������ ����������� ��� ����� "����� ������� ������ ���� ���

������ ���� ���� � ��� ��� �� �� ��� ��������� @���� ���� �������������

��������� ���� ���� ���� � ��� � ����� ��� ��������� ���������� ���

� ������� ����� ��� ��� ����� ����� �� ������ �� ��� ���������� �������

!������� ������� ���� ���� ��� ����� �� ����� ��� ������ ������������� ��

�� ������ ��� ��� �� ������� 3�� ���� � ��������� � ��� ��������� ����

��� ��� ������ ���� 4����� ���� ��� ������ �� ����������� ���� �����

������ ���� $������� �� ����������� �������� ������������� ���� ����� �����

������� �� ������ �� ��� ����� ���� ���������� ������ ������ �� ������������

���� ��� ����� ���� ���������� ��� ��� �� �� �� � ��� ������� �� ������������

���� ��� �� ��� ���� ��� ������ �������� ��� �� ����������� � �������

���� ���� ��� ��� � ��� ���� �� ������ �#������� ������ ���#�����

3�� ����� ����� ����� ��� ��� ����������� ������#�� ����� �� ��

������� � ��� ����������������� � ������ � �������� ��� ���������

� ���#�� �������� ��� ��� � ������ ���������� ���� ������� �� ���� ��

���������� M� ���� �� ��� ���� ����

&������� �� � ����� �� ������ ��� ������� ��� ��� �� ���� ����

���������� ������ ������� ��������� �� ������� ��� ����� ���������

��� �� ��� ����������� ������#�� $�� ���������� ��� ������� ���

����� �� �� ������ �� ������ (�)� ��� �� � ����� (�..��� ������ � �������

�� �� ���� �� ��������� ���� �����

�������� �� 5���� � �� ������ ���������� �������������� ��� ��� ��������

���� !�� ���� ��� ������ ��� ������ ���� ��� ��� ����� ��� ��� ��� �������

��������� ���������;�������������� ��������� ��� ���� ������������

Page 54: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ��

���

7 8 8�

8 7 8�

8 8 7�

�7 �7 �7 �7

���

7 8 8�

8 7 8�

8 8 7�

�7 �7 �7 �7

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

�� �������� ��� ��� ��� �� ����� ���� D������ �� � ����� �� ���� ����

�� �� ���� ��������� ������ ��� ������ ���� ������� ��� ����� ���

���(0 �&�� �������� � ���

.� ����� � ��� � � � � � � � � � � � � � ��� ������� � +

*� ����� � �A � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� +

�� ����� � �A ��� � � � � � � � � � � � ����� + �� ���

� ����� � C 9 + N� A � +

'� ����� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������� ���������+

(� ����� ������� ��������� � � � � � � � � ������� ��� ����� ���

����� �����+

)� ������������ ����� �� �" � � � � ����� + �� �������������

� "+ +

G� ���� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������� ��������+

,� ������������ ����� �� �" � � � � ����� � " �

��������0 � � ���� ������ ����� � ������� ��� ��� G� ��� ��� ���������

����� ���� ����� ��� � ����������� ����������� ����� ������� �� ���

�������������� ��� �������� � � ��� ��� �� ����������������� � ������

���� �� � �������+ ��������� ��� ����� ��� ����� ������� ���������

��� � ��������

�� � �������' +���� ������ ��� �� � � � ������� �� ����������� �����

����� �7 �� ���� �� ����� ������� � ��� ��� �� � � �� ������ ����' ��� �����

������ �� ������ .��� �� ��� ��� ���� 9� � � � � � � � : $��� ����� ����

���� �� �������'

��� �����' �� ��� ������ �� ������� �����4� ���(��� ������ � ��

���� � ���� ��� � � ; � $��� � ; ��� �� � � ' ���� ��$ � � �� ������� �

���� �� �������� ����� � �� � ' ���� � � � � ; 8 ��� ����� � ' %����

�������� �� ����� ���� �"������ ���� ��� �� ���(��� ��$ � � �� ������ �����

���� ��� ����� ����� ������� �� � � ���������� ���(��� ��$ � �� ������ �����

���� ��� � � ; � ��� ����� � ' ������ ��� ���� �"������ � � � � ; 8 ��� �

�������� �"������� �� ���< � � 9� � � � � � � � : ; � = �� ��� �� ���(����

�������� .��� �� ��� ���� ���� �� �������'

���� �' ��� ���� ������ �� ��� ����� �� �� ��� ������ $��� ��� ������

�� ��� ���� ���� ����$��� ��� ������� ��� ���� �� ������$��� ����� ��������

> � � � � � � � � ?� ������� � �

; � � � �; 8 ; 8'�

Page 55: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

���� ��������� ����� � ���� �� ��

16:43 30 Oct 99

������ 4��� ��� ������� ���������+ ��� ��� ������� � ������

.� M� ��� ������� ������� � A �� � � �*� M� ���������� �#������ + A 8 E� � F� ��� ��� ����� + �� �

�� M� + � �� E*F0 + A �+ � � A �E� � F� � A �� � ��� � A E� F��� AE� F� �

'� D���� �� �+ ��� ��������� $�� �� ��� � A �� + A 8 E� � F�

��� ��� ����� � � �� � �A � ��������� ��� � � �Z. ������ �����

�� ��������� ������ �� �� � ������� � � ���� ��� � �A ) ���� ��� �

� A E� � ) F NE � � ) F � ��� ����� ��� ��������� $�� �� ��� � A ) 8� � � � � �

E � � ) F� ���� ��� 0 �A �� �

(� H���� ������� ��������� �� �+ � ���� � � �� E'F� ���� �� � �� +

� ����� ��� ����� ��� � C .� � B 9� �� 9 B � B .�

)� 3�� ���� + � � A " � � � + A � � 8 " �

G� D���� �� �" �+ ��� �������� $�� �� ��� ��� J� � � "� + �K A 9� �

�� EGF�

,� &������� EGF � � ������ �#������ ��� ��� ����� + �� ����� � " � �

�������� � �������� � ����� . ��� ��� �������� ���� ���� ����

��������� ��� ������ �� ��� ��� ��� �� � ����� .�

���(0 �&�� �������� � ���

1� ���� � ��� � � � � � � � � � � � � � ������ � A � +

.9� ���� � �A � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������� ������������

��������� �� �����������+

..� ����������� ���� � �A � � � � � � ��� ����� � �� � +

.*� ����� � ��� �� ���� � � � � � � � ��� �������� �� � ������� � +

.�� ����� � ��� �� ���� � � � � � � � ��� ����� ������� � ��� � +

.'� ����������� �� ��������

���� � �A � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� ������ ������

������ 4��� ��� ������� ���������+ ��� ��� ������� � ������

1� M� ��� ���������� �#������ �� ���� ������� ����� �� �� � ���

+ � , �� � � M� E'F �� ��������� ������ �� �+ ��� �� �, ���

��������� �������

.9� !��� ������� ����� �� �� � ��� + �, �� � � ��� ���� �������� $��

�� ��� ����� � �� ����� � ��� � ��� ���� 8 E� � F� A

, 8 E+ � , F� � ���� E� � F� 8 E, � + F� A , � � ������� ��� � �

�Z* ������ ����� �� �� �� � �������� ���� � ��� � ��������� �� ����

�� EGF �� ��������� ������ �� �+ �, ��� ��������� �� �� ���� �

��� � ��� ���������

..� �������� ��� ��������� �� E.9F �� ���� ��� ������� �� ��� ������ �����

.*� �� � �� ���������� �#������ + A 8 "� � ���� ���� + A � 8 "� � ���

�������� �� � ������� � �

Page 56: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

.�� !��� ������� ����� �" �� � � ���� �� E,F �� ���� � ������ �#������

��� ��� ����� � " �

.'� �� � ��� � ��������� �� E..F �� ���� � A � �� � � !��� ����� �" �A� �� � ��� � � �� � � � � ���� ������� ����� �� �� � ��� ��� �����

" �� � � M� E,F �� ���� � ������ �#������ ��� ��� ����� � " � �

�������� � �������� � ����� . ��� * ��� ��� �������� ���� ����

���� ��������� ��� ������ �� ��� ��� ������� ����

���(0 �&�� �������� � ���

.(� ����� � ��� � � � � � � � � � � � � ������ � A � +

.)� ����� � �A � � � � � � � � � � � � � � � ������ ���� ��������+

.G� ����������� ����� � �A � � � � � ��� ���� � �� � +

.,� � ���� ��� � ����� � � � � � � � � � � ������ ������� ���������

������������ �� ��������+

.1� ���� � �����������

����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ����� � �� � +

*9� ����� � ��� �� ����� � � � � � � ��� ����� � � � ������� � +

*.� ���� � �������� �� ����� � � � � ��� ����� � � � ������� � �

������ 4��� ��� ������� ���������+ ��� ��� ������� � ������

.(� &����� � ��� � ���� ������ �#������ � + A � ��� � + A � � !���� �

������ �� ��� � � �� ������ ���� ���� � ��� � � ��������� ������

�� ��� �� � ��� ����� ��� �#��� $�� �� ��� ��� �� � � ��� � � � �

����� �������� �� ��� ������ M� ��� ������#�� �� E'F �� ��������� �����

.)� ��� ������ �#������ �� ������� ����� � �� E.(F ���� � *Z� ������

����� ��� ����� �������� �� ��� ���� �� � ��������

.G� �������� E.)F �� ���� ��� �������� � ����� �� ���� �� � ����������

��� � ������ ��������� ���������� �#������ ��� ��� �����������

�����

.,� D���� + ������ �� � ��� � ����� ����� ���������� ��� ������

�#������ + A � 8 � ��� � + A � � ���� �� � � 8 � � A � � ��-� � �

����� ��� � � ������ �#������ ��� � � �� �� �� �� �������� ���� � � ��

�� �� �� ���� ���� � ��� � ��� ������������ �� �� �� ���������� �����

������� ���������

.1� �������� E.,F �� ������� ��� ��������

*9� �� � �� ������ �#������ � + A � � ���� � �� �#������ � + A � ���� �

��� ����� � � �������� � A � � ��

*.� !��� � ����� � �� � ��� ����� E*9F� �

�������� �� �������� � ����� . �� � ��� ��� �������� ���� ���� ����

��������� ��� ������ �� ��� ��� ������� ����

Page 57: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��+

���� ��������� ����� � ���� �� ��

16:43 30 Oct 99

���(0 �&�� �������� � ���

**� ����������� ���� � �A � � � � � � ������ � � +*�� ����� � ��� �� ���� � � � � � � � ��� ���� ( � ������� � +

*'� ����� � �� ���� � �� � � � � � � � ��� ���� ( � ������� �

����� � �� � +

*(� �� ����������� ���� ���

����� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������� +*)� ����� � ��� ���� � � � � � � � � � ��� ����� � � ������� � +

*G� ����� � ��� ����� � � � � � � � � ��� ���� ( � ������� � +

*,� ����� � �A � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������� +*1� ���� ��� ����� � � �

��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ����� � � ������� � +�

�9� ����������� ���� � �A � � � � � � ��� ���� ( � � � +�.� ����������� ���� � � � � � � � � � ��� ���� ( � � � �

������ 4��� ��� ������� ���������+ ��� ��� ������� � ������

**� ����������� ���� ��� ���������� �#������ + A � 8 "� ��� + A 8

�� ��� ������������� $�� �� ��� " � � ���� " � A 9��

*�� &����� � �� ���������� �#������ + A 8 "�� M� E.�F �� ���� �

������ �#������ : + A � ��� ��� ����� ������� � ��� � � �� + A � �� (�

���� : + A � ��� + � � " � ���� " + A " �� ������� ��� ��� ��� � �

�#������ � � *Z� ������ ����� &���� �� ��� + � ���� ���� ����������

�#������ ��� ( A �

*'� &����� � ��� ( ���� ���������� �#������ + A 8 "� ��� + A 8

�� ��� � �� ������ �#������ : + A � � ���� � " �: � � " � A 9� �

��� : � A 9� ������� ���� �� �#������ � � *Z� ������ ���� ����

���� �� ��� � �

*(� �� ���� + A � 8 � �������� ����� : + A �� ���� ������� ��������������

$�� �� ��� � � ����� �������� �� : � M� ��� ������#�� �� E'F ��

��������� ������ ����� ��

*)� �� � �� ���������� �#������ + A 8"� � ���� � �� ������ �#������

" + A � ��� ��� ����� � � �������� � A " ��� �

*G� �� � �� ������ �#������ " + A � � ���� ( �� ���������� �#�������

+ A � 8 "� �

*,� D���� ��� �#������ " + A � ��� � + A � ��� ������������� $�� ��� �

��� " � A 9��

*1� !��� � ����� � �� � �� ��� �� � � M� E*GF �� ���� ��� ���� ( �

������� � ��� E.1F �� ���� A � �� � ��� " A ( �� � � M� E,F �� ����

� A � " �

�9� M� E..F �� ���� A � �� � � !��� ����� ��" �A �� � � � � D���� +

�� ( ��� ����� E� � F E+ � F A 9 A E" � F E+ � F� ������� ����� �

�#������ � � *Z� ������ ����� ���� ��� ��� ���� ��� + � " ���

��� ������� �� ���� �� � ��������� �� ��� ���������� �#������

��� ( �

Page 58: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

�.� &����� � ��� � ���� ���������� �#������ + A � 8 "� ��� + > ?

�� � ���� ( �������� � ��� � �� + A � 8 "� ��� , A 8 �� ���

��� ����� � ��� � � &���� + � , " �� ��� ����� ��� �����

�#������ " E"� � �� 8 � � F A 9 ��� � E"� � �� 8 � � F A 9�� �

������� ���� � � *Z* ������ ���� ��� ���� �� ��� � ��� � � �

�������� �� !��� ���������� ������� ��� ��� ������� �����

.� � ����� ��� � ����� '� � �������� ���� ��� ������

*� �� �������� ����� (� �� �������� ������

�� � ����� ��� � ������ )� �� ����������� �����

������ ���� !� ������� ����� � ��� ���� � ��� ���������� �#������

+ A 8 "� � !�� ��� ������� ���� � � ��� �� � � L�� + � ��� ����

�� ��� ������������� �� � ������� � � &���� " + � � � ��� ������������

� ����� ������ ��� �#������ 9 A " E+ � �F A " E 8 "� � �F � ������ �

� A " E� � F NE" "F � ��� ������� ���� � �� � � ���� �+ � � � A� �

� 8 "� � � � ��� ��� ����� �� � � ��� ������� ��� ����� ��� �����������

����� %��� ��� � � �� � �

���� #� ��� ������� ����� � ��� � ���� � � � � ����� � ��� ����

. �������0 � �� ���������� �#������ + A � 8 "� ��� ��� � � ��� ���

������� � ���� ���� � �� � �

���� -� ?� �� ����� ����� � �� ������ �#������ � + A � � L�� + ��

��� ���� �� ��� ������������� �� � ������� � � ���� + � � A �� ��� ���

����� � � ����� � A � E� 8 ��F A � � ? � �� � ��� � A E� � � � F NE� � F A� � � � �

E� � � � F N��� � ��� ������� ���� � �� � � ���� �+ � � � A ��� � A� �

�� ��� � A �� � � �� N�� � ��

���� .� ��� ������� ����� � ��� � ���� � � � ��� ���������� �#������

+ A � 8 "� � ����� � ��� ���� � ��������

���� 3� �� ����� � � � � ���� � �� ������ �#������ � + A � ��� ����

����� � � ��� ���� ��� ���������� �#������ + A �� �������� � ���

� �� ����� �� ��� �� ��� ���� � �� A � ��� � �� A � � ����� � A� �

� N E� � F A � N�� � ��� � A � N�� � � ��� ������� ����� � ��� � �� � �

��� � ��� A ��E� � �F� A �� ��� � �� A �� � �� N�� � ����� @� " ����� '� ��� E�.F ����� ������� ��� ��� ����������� + ���

, �� �� ����������� ���� ��� ����� ������ �������������� ��� �������

����� ��� ���� � �+ � , � � �

�������� �� ��� �� 4��� ��� ���� � ������ �#������ ��� � ����� � �� ������

����� � ���� �� ������ ���������� �#������<

��� � 4� �� ��� ���� ��� � ���� �� ������ ����� � ������ �#������

��� � <

�����5 ���� !� H���� ������ ���������� �#������ + A � 8 � 8 "�

��� � ����� � � ���� ������� ��� �#������ � A 9 ��� " � A 9 � �� �

Page 59: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� � �

��

��

� ���

��

��� �

��� �

9

9

���

��

.

9

���

��

9

.

�� ��

���� ��������� ����� � ���� �� ��

16:43 30 Oct 99

*Z� ������ ���� ��� ���� �� ��� � � ���� � + A � � � � ������ �#������� �

��� � �

���� #� H���� � ������ �#������ � + A � ��� � ����� � � ������

� �> 9� E��� � �> 9 ��� � �> 9 ��� ������� ���������F ��� �#������� � �

���� � � 8 � � 8 � � A 9� U����� ��� � � .Z� ������ ����� ��� � � � � �

�������� � ����� ��������������� ���

���� + A 8 � 8 � � �

�������� �� " ����� ���� � ����� . �� ) ��� �������� ���� ������ �� �����

��������� ��� ������ �� ���� ��-���������� �������� ��������

������ 4��� ��� ��� ����������� ���� 3�� ��� ����� ��� �������

������� �� ������� � ������

���(0

�&�� �������� � ���

.� ����� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � ��� ������� � +

*� ����� � �A � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� +

�� ����� � �A ��� � ����� � C 9� � ����� " �� ���

�"N� A � +

'� ����� ������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ������� ���������+

(� ����� ������� ��������� ������ � � � � ���� ��� ��� ����� ���

�����+

)� ������������ ����� �� �"� � � � � � ����� + �� �������������

� "+ +

G� ���� � ��� � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ � A � +

,� ���� � �A � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ������ ���� ��������+

1� ����������� ���� � �A � � � � � � � � � � ��� ����� � �� � +.9� ����� � ��� �� ���� � � � � � � � � � � � � ��� ���� �������� �� �

������� � +

..� ����������� ���� � �A � � � � � � � � � � ������ � � +

.*� ����� � ��� ���� � � � � � � � � � � � � � � ��� ���� ( � ������� � +

.�� � ����� ��� � ����� � � � � � � � � � � � � � � ��� ������� ����� ����+

.'� �������� ����� � � � � � � � � � � � � � � � � � ��� ������� ����� ����+

.(� ���������� �#������ ��� ���� � � � � � ������ �#������ ��� � +

.)� � ������ �#������ ��� ���� � � � � � � � ���������� �#������ ��� �� �

��� ��� � ����� �� ��� ������� ���������� �� ��������� ���������� ���

��� �������� �� � ������������ �������� � ����� ��� �� ��� �������� �� ��� ������

�� ��������� ����� �� ����� �� ������� ����� � ��� ������� ����< ���

Page 60: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� "�

"�

� "�

�� ��������� ����� ��� ���� ��

16:43 30 Oct 99

��� ��� � �������� ���� ����� �������� ������ ��� ��� ����� ����

�������� ����

�������� �� &����� �� ������� ���� �� � ����������� � � 5�� ����� �����

�������� �� � ��� ����� ����� �� ���� ����<

������ &����� ���� ��� �� ����������� � A � "� � ���

� ����� + �������� �� � � ���� + ��� ����� � ��� � ����� , ��������

�� � "� � ��� , ��� ����� ��� � ����� $ �������� �� � �����

� �� ����� � � � � ��� 1 ����� 9 ��� . ��� ����

+ A � E. � �F 8 ,� �

, A E. � �F 8 $�5

$ A "E. � 1 F 8 �1 �

���� �#������ ������

+ A �E. � �F 8 � E. � �F 8 $���A �E. � �F 8 E. � �F� 8 $��

A �E. � �F 8 E. � �F� 8 �"E. � 1F 8 �1� ��A �E. � �F 8 E. � �F� 8 "E. � 1F�� 8 �1�� �

&�� � A . � ��� � A E. � �FN�� ��� A . � 1� � ���� �� �� ��� ��� �����

9 ��� .� / ����0

�� A . � �

E. � �F� A E. � �F�

E. � �F A E. � 1F��

E. � �FE. � F A ��1

+ A ��� 8 E. � �F� 8 "E. � �F 8 �E. � �FE. � F

A ��� 8 E. � �F�� 8 �" 8 �E. � F�E. � �F �

��� + ��� ����� ����� �� 8 E. � �F ��� " 8 �E. � F �������� ��

��� � �

Page 61: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

17:26 30 Oct 99

Concepts�������� ������ �� ���� ������� ��� ������ �

���� ������ �������� ��� ������� ��������� �� ������� ��

����������

����������� �� ��� �� ��������

�� ������ ������ �� ��� �����

������� ������� ����� ���� ��� ���� ���� ���� �� ��� ��

������ �� � ���������� ������ ����� �� ��� ���� ��� ���

��������� ������ ���

����� � ���� ���� �����

������ �� ������� ������� ����

!���� ���� ������� �� ����� ����� �� ����� ��� ����

" ������ ��� � �����#� ����� �������

�������

����� �����

� �� ��������� ��

�������� ��� ������

��������

���� ������ ����� ������ ����� ��������� ������ �� ��� ������ ���� ��

��� ������� ������� ������� �������� ���� ������ ��� ������ �������

� ������ � �� �� ������� ����������� ��� ������ �������� ���� � ��������

�� ������ �� ������� ���������� ��������� ���� ��� ������� � ������

Page 62: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

���� ������ ���� �������� �� ������� ������� ���� ���� � ��� �������

���� ������� ��� ����� �� �� ���� �� ��� ��� ������ ���� ����� ��

������� ��������� �� ����� ������ !����� ��� ���� ��� �������������

��������� �� ��� � �� ������� � ��� ����� � �� ��� ������� ���� �

������� ����� "�� �� �� ����� ��������� ���� � ��� ������� ������

� ������ #$ ���� �������� ��� ���������� �� �������� � �����%���

������ � ��� ����� �� ����� ���� �� �� ��� �����

&�� ������� ��������� ' �� ( �������� ��� ������ �� ��������) ��� �����

�������� ��� �� ���� ����� ������� ��������� *� �� *# �������� ���

���������� �� ��� ����������� ���� � ������� + � # � �������

����� � ������ ���� ,��� ����� ���������� ��� ���- ����� ��� �����

��������� ����� �� ��� ������ ����������� ������� ��� ���� �����

��������� .����� ����� �� ���������� */ �� +*� ������ ��� ������ �������

��� �� �������� ������������ �������� ��� ������ ������� ���� ��

��������� ����� ���������� �� ��������� �� ��������

��������� � ������ #��0 �������� ��� �� ������� ����� ��������

���� -�� ��� ��� � ���� ������ �� ���������� .����� �����%��� ����

����������������� ��������+��� � ��1� ���� ������ ����� �����

� ������� ������2�� � ������ 3� 4����� ��������� � ��� ������

������ ���� � ���� ����� �����%���� 5��� �� ��� �������������

���������� � ��������� � � * �� ������� ������ �� ��� ���� ����

�������� �������� "�� ����� %���-�� ���� �� �� ���� ���� ����������

�������� .����� ������ �� ���� �� ��� � �� �������� �� ������ ��������

��%���� ������� ���������� ��� ����� �� ������ ��� ����� �� ���

��������� 6��� ������� �� �������� ��������� � ���������� ���

�������� ����� ������� ��� � ���� ���� ���� ���-� !����� ������

�� ��� �� �� ���� ��� ���� �� ��� ���������� � ��� ��� ��� ���������� �����

������ ����� ����� �� &��������� �������� ��� ����� �� ���� �������

7��������������������������� ������� 8��� �������� ������

��� ������� ��������� ������ ������� ��� ������� ���� ������� ����

Basic exercises

��� ����� ��� ��������� � ���� ������ ��������� ��� ���� ���� ����� ����

������� ����� ��� ��� ��������� �� ������� � ��� �� �� ��� �������

. �������� ������� �� �������� �� ��� ������� ���� ������� ��� �������

���� ������� ���� ���� � ��(� ����� ���� ��������� ������ ������ �������

� ��' � ��/� �������� � ����� �� ����� ������� ���������� �� � ������

���� �������� �� ���� �� �������� �� �� �������� ���������� �� ������ ��

�������� �� 3������ � ����� ���� ���� ���� �������� ������ �

������ ������� 3������ ��� �������� ����� � �������)

Page 63: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

$ $

$

$

$

+

$

$�����

�����

� � 0

� � �

�� � 0

0 � �

� � �

� � 0

0 � �

�� � 0

��

�� : �� �

��� : �

��

�� : �� �

��� : �

$ $

$

$

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

Figure 5.11.1�������� �

��

��� �

� ��

������� � � � � � � � � ������ � � � � � � � � � �

����������� � � � � ;��� ���� � � � � � � �

����������� � � � � ���������� � � � � � �

������ � � � � � � � !

,���� �� ����� � ������ ����� ���� ������ ���������� "���������) ���

;��� ���� �� � ����������

0�*'�

"�������� 4��� ���� � < � � ��� < +0�� ��� ��������� � <

*� < *� ���� � < �� =�������� �������� �� � < > �0?� ��� ����

��������� �� � < � � @� : � : �A < � � @+ : A� 4��� ��� ����������� �� � �

����� ������ �� ��� ������� �� ��� ���������� � < � � < � � @� : � A <�

> � � � � � ? � � < � � � < �� ��� ���������� �� ����� ������ �� ���� � �

������ �� ��� ����� ���� �� < � � ��� ������� �� � � �� ��� �� ���� ��

�� � �� �� � < � �� � < � �� � ��� �� � < � � �� < � � � �%���� � <� � � �

�� ������ � < � B� < � � @�� : A� ��� ������ ! < >� � �?� �%����� � <�

� @� � �A < � @� � �A ����� � < � B@� � �A < � � @+ � A � � < � B@� � �A <� � � ��

� � @� : A� ��� ��������� �������� � � � ����� ��� ���� ���� � � <�

��

>0� � ? � � < >� �0?� � ��� ���� �%������ �� �

< <

� < � < �

���� ��� � ��� ����� ����������� ��� ;��� ���� � � �� ������

< �

��� ������ � < �� � ���� ������ �� ��� �������� �%����� ������ ���

� < * � � ����� � < >�� * � ?��

>��00�0�*'?� C �������

������� � � � � � � � � � � � � � � � � > � � � � �?� �

����������� � � � � � � � � � � � � > � � � � �?� �

Page 64: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

$ $

$

$

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

����������� � � � � � � � � � � � � �

������ � � � � � � � � � ! � � � � � � > � � @�� : A� � � @�� : A?� �

������ � � � � � � � � � � � � � � � � � � @�� : A�

;��� ���� � � � � � � � � � � � � � >�� * � ?

���������� � � � � � � � � � � � � > 0�0? � �

�������� � ���� ���������� ������ ������ �� ����� ���������� ���

�������� ��� ��������� ������� ��� ���������� �� ������� �� � ����������

!�� �� �� �� ���� � ����� ������ ��������� ���� ���� ������ ��������

� ������� ���� �������� &�� ������� ��� ��������� ������ �����

�� ������ � ���� ��� ��� ���� �� ��� �������� �� �� ��� � ��� &�������

�������

��� ��� �������� ���� ��� ��� ����� ������� � ����� �������

C��� ����� ����� ������ ��������� ��� ��� ����� �������� ���� -�� ��� ���

�������� � ������ #��0� &�� � ������ ���� ������� 3����� ����

���� ������ ���� ��� ������� ���� � ������ �����*�

�������� � =���� ��� ���� ���������� ��������� � ����� ��������

��������� ���� ���� � ������ �����*�

"�������� ��� ���� �������� ��

�� < > � � � � � � � ?� �

� �

� � < > � � � � � � � ?� �

� �

� � < > � � @� : � A �0?�

� �

� ��� ����������� ��������� # � $ � � � �� ��� ����������� �����

��� � � � �%�����

# ) @� � � A : � < � : @ � � � A� �� � � �

* � � � *� � < � � �� � � �� �

$ ) * � � � *� � < � � �� � � �� �

� ) � < � � @� : � A ��

� �

� ��

� �

� �� �

Figure 5.11.2�������� *

Page 65: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� � ��

� � 0

D �� � ��

D �� � 0

� � ��

�� � *��

��

� � 0

� � ��

�� � ��

*� 0

0 � ��

� � ���

�� � ��

*��

�� *�� � �� ���

�� *�� � �� ���

* �� �� : �� � @�� : �� A

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

��� ���������� � < > �� �? �� # � $ E��� ������������ �� ��� �����

E�������� ��� ����� ��� �%������ ���� ����� ��������� *@� � � A� <� �

� � � � ����� �� �%������ �� � < � � @� : � A� ���������� � ���� � � )� � � �� � �

��� ���� ��������� ��������

��� ����� �������� � � � ��� ������ �� B� � �� B� � ����� � � �

��� ������� ���� � ������� � � � ��� � � � �%������ �

) � < @� B� A@� � � A ) � < @� B� A@� � � A �� � � � � � � �

����� ���������� < >� � �? �������� ��� �%���� @� B� A@� � � A <� � �

@� B� A@� � � A � ���� �@� � � A B� < 0� �� � < 0� ���������� ����� � � � � �

� ��� ������� ��� ������� � ) ��� �������� ��������

��� ����� � � � � � � ������� � � � � � � ������ �%������ � �

� ) <�

<

� � : @*� � � A � � � � < 0� � � � �

� ) � � : @*� � � A � � � � < 0� � � � � �

� ) <�

<

*� � : @� : � A � � @� : � A � < 0�� � � � � �

"� ������� ��1��*� ����� ���� ��� ����� ���� ������ ������� ��

������ �

��� < 0�

@��� ����� ��� �� ��� ��� �� ��� ����� ����A ����� ��� ����� �������� �

��� ��� ��������� ������� ������ ����� ����� �� ����� �������� ����

������ ��� ������� ��� ��� ������ �� ��� ��������� �� ��� �����������

!����� ��� �������� � ��� ������� � ��� �� �� ���� ������� ����

��������� �� ��� ��������� ������� �� ���� ���� ��� ������

Page 66: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�!�

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

������� �� ���� �� � ��� � �� � �� ������ ����������� ������� ������

17:26 30 Oct 99

Figure 5.11.3�������� +

�������� � =���� ��� ��� %��������� � ������ �����+� ������ ���� ���

����������� �� � ��� %����������� �� ��� ���� �� �������� �� �%����

"�������� ��� ������ �� ������� ���� � ��� ����� �� "� ��������

+�'��/� +�'��(� � ��� 4.4 �������� �������� ���� ������ �� ��� ����

������� � �� � ���� ����� ���� � � � .� ��� � ��� %������������ �

������ ��� ���� ���� �� �� �� ��� � � ���� ���� � ��� ������ ! � ����� �

���� ��� ���� � �� �� ��� ��������� � � �� ��� ����� ���� �

� $ ����� ��� � � � 8�� ��� �������� �� ������� � � ��� .4.�

�����ence theorem to show that the four segments are congruent.The diagonals of the quadrilateral of incenters are thus congruent, perpendicu-lar and bisect each other. Use the SAS theorem to show that it’s square. �1

��� ��� �������� �� ���������� ��� ������� F�� ��G

�������� �� ��� ������� ���� �� ����%�� ���� ������� �������� � �

� � � � ���� ��� ������������ � ����� % �< � � & �< � � � ' �< � � 4���

��� ��� ���� ���� �� �%&' �� ������ �� ����� �� ��� ������ ������� �

����� ������� �� ������� ���� ���� *�

� �

� ��

Figure 5.11S.1�������� # �������

Page 67: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

�(

��

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

Figure 5.11S.2�������� � �������

� � � ���

� ��

"�������� C ������ ����4��� ����� �� ������ �� ������ ��/���

�%'� < �%�� < �)( �� ������� ��/��� 5�������� ( < (' �� ���� H H

��� ��/�*� �

�������� �� 4��� ��� ����� � � � � � � � ( � ������� ��/�� �� ���

� ������ � ����� ��������� �� � E��� ��� ��� ����� �� � � � �� �

����� ����������� �� ������������ "���������) ,���� ���� ��� ����

� �� � � ( �������� I�

"�������� J�� * ����� ��� ����������� � � ������ ����4�*� ���

���(*< � � ��%( < ����(< ������ "� ��� ��������� ������ ����������

(* < �* � �� * ���� � ��� ����������� �������� �� � C� ������� ���

* �� ��� ������� ��� 3������ � � ( ��� � ��� ������ � ���� �������

� � ��� ���� �� � � ( �� ����������� �� ��� ���� ��� � � �

�������� 1 �� �� �� �� ��%������� ��� ������ ������ �������

��������� � ���� ������� �� ����� ��� ��� ��� ���� ��� ��� ������

��%����� � ��� ���� ���� ���������� �� ��� ��������

�������� � J�� � � � � � � �� ��� ������ �� ��� ����� �� ��� � � �

��� ���� ��������� � � 4��� ��� � � � > � : � : � > � ��

� � �

"�������� C ������ ��'��� �� : �� ? �� $ ��� ���

� �� : � �� ? � �� �

� �

4��������

� �� : � �� ? �� �

� �

� �� : � �� ? � �� �

� �

.���� ����� ����� ��%�������� ��� ���

� � @� : � : � A ? � : � : ��

� � �

� : � : � ? � � � �� � ��

Page 68: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

.���� ��� > �� � : � ���$ ��� ���

� > � � � : � � � ��� �

4��������

� > � � � : � � ��� �

� > � � � : � � � ��� �

.���� ����� ����� ��%�������� ��� ���

� : � : � > � � �� � �

Exercises on tetrahedra

5��� �� ��� ��� ��������� ������� ������� � ���� ������ ��� �����

�������� ����� !�� � ������ ���� �� ����� ���� � ��� ����� �

�������� '� ������ � � ��� ��������� 8�������� ��� ����� ��������

�������� ��������� ���� ���� � ��� ���� ��� ������� C ����� �����

���� � �������� /� ��� ���� ���� �������$ ��� ���� � ��� ��� �������

�� ��� ��������� ������� ����� ��� ��������� ���� ���� ������� ����

��������� �� ��� ���� ��� ������� ���� ��� �������� ������ ��� ���

������� ����� ��� ���� ��� ������ ������� �� ������2� ������� �����

�������� ������������ ��������(� ��� ��� � ��������� �� ����������

���� �������� C�� ������� ���� ������� ������ ��������� ����� � ���

����� �� ������� ��(�* � � �������� #�1�1�

�������� �� C��� � ����� ����� �������� ���� �� ��� ���� ����������

��� ���������� � ����� �������� � ������ ������� � ������ ����

8�� �������� � ������� � ���� �� ������� � �������� 7���� ���

������� �� ��������� �� ��� ��������� ��� �������� �� ��� ������ � ���

�������� �� ��� �����

"�������� ��� ����������� ��������� � ��� ��������� �������� ���

������������� ����$ ������ ��� ����� � ������� ���� ���� �����

��� ��������� ���� � ��� ������������ � �������� �� ��� ���������) ���

������ �� ��� ������������� � ��������� �������� ���������� �� ���

������ �� ��� ������� �� ��� �������� ���� ���� �� ��� ������� ����

E��� �������� �� ��� ���������E � � �� ��� �� ���� ��� ������ �� ����

�������� ���� ��� ������� �� ��� ��� ����� ������� �� ��� ����� �������

���� �������� �� �������� ������ �

�������� �� ���� �������� �������� ����� �������� �������� ��������

4��� ��� ������� ���� �� ��������� ���� ��������� ��� �����

����� ��� ������� �� �� �������� ��� ��� ������ &����� ��� ��� ����

��������� ������� ������ �������� � ��������������

Page 69: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� �

��(�

��(���)

��� ��)

���� �������� ��

� ����� ��� � � �� �� ����� �� ��� ����������� ��� � ���� ���� ! ��"#$ ������ #��

17:26 30 Oct 99

� ��

� �

� �

� � �

� ��

� �

� �

� � �

Figure 5.11.4 ��� ��������

���� �� &��� ������������ � ���� ���� �� ��) � � � �)���

� ��������� � �������� ��� �������� ���) � ��� �� �) � �

��������� �� ������ �����#� 4��� ��� ������� �������� ��� ��) �

����)�� � ��� ����� ��������� ���) � �� ���������� ���� ��

���� ���� �������������

���� � ���) �� ����� ������ �� ��� ���� �� � �� �� �������� 4���

��� ���) �� ������� �� � ��� �� ��� ���� ���� � ��� �����������

�� ��� �������� ���� ����

���� � 4��� ��� ��� ������� ���� �� ������� ��������� ��������

� ��� ����� ������������

���� �� 4��� ��� �� � ��� ���� �� ������� ���� �� ���������

��������� ��� ���� ��������

���� �� ��� ���������� �� ��� ���� ������� ���� �� ������� ���������

�� ����� ��� ����������� 4��� ��� ��� ����� ������������ �� ��� �����

���� �� �������� ����� �� ������� ��������� �������� � ��� �����������

"��������+���� , ��� -� ����� �� ������� ������ ��� ��� ����� ��� ��) ��

� �� �) �� ����� �� ���� ����� ��� ���� ����� ���������

+��� .� J�� ���) �� ������� ��������� ���� ��� ������)�� �

�� ��� ����������� �� ��� � �� �) � ������� ��� ������������ ���

����� ����������� ���� ��� � � � �� ���� � ������ �� � <

�� � < �) �� "� ��� @�A� � ��) � �� �� ��� ������� ��� ������� � �

4�������� ���� ��� � ��� ����� ������� �����

+��� /0 &�� ��� ������ 1� ��� ( ����� ��� ���������� �� ��� ��������

��� ���� ��� ������� ��� ������� 1� 4������ � ���� �

���� � ��� �� � ��) ��)�� �� �� � < ��)���)� � ����

�� ������ �� ��� ����������� �� � ����� �� ����� ����

�� �������� ���� �� ��� ����������� � ���� ����� ���) �� �����������

Page 70: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��(� ��(�

��)

��(�

��+ ��(� ��+ �+ �

��

�+ ��� ��)

!�2� �

!�2� �

�1�1

�1�1

1�1�

1�1�

1�1�

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

���� ����� ���� �� �������� C� ����� ��� �� ������� ���� ����� ���

����� ��� �� �������� ���� �� � �� �������� �� �� ��� ���� ���

+��� �� ���� � ��) � ��� � ���� � �)� �

�� � ����� ���� �� ����� ��� ��� �� ������� �� ���� ���� ���� �

���� + � < ��)���)� � ��� �� ��� ���������� ��

�+�� ������ � � � � ���� � � ��� ���

���� � ��� ����� ����������� �� � � �

�������� �� F�������� ��� �%������� �� ��� �������� ����� ����������

�� ��������� � )

@A ��� �������� �� ��� ���� �� � �� ���� � �����

@�A ������� ������ ���� �� �� ����� �� � �

@� A ��� ���� �� ��� ������ �� ��� ����� ���� �� �������� ����� ��

� �� �%���

"�������� J�� � �� � � ! �� ! ����� ��� �������� � �������� � � �

�� ��� ���� �������� �������� 1 �� 1 �� �

.����� @A� �� ��� ��� � � � ����� � ���� 2 � 4��� � � �

� ��� � � # � $ � � � �� �������� ! 2 ! � � ��� � �

������������ � � � ������� ! � ! �� ���� 11 1 � � � � �

11 1 ��� � ��� ! 2 ! � ��������� � � �������� � ���� � �� � � � �

��� ����� �� ������ � ���� �� �� ���� ���� ������ �������� �

7���� ��� ������ ���� �������� ��� � � # �� ���� ��� � �

�� ��� ����� ���� @A ������� @�A�

3������ @�A ��������� ������� @A� ��� ��� ���� �� �� ���� ��� @A

������� @�A� .����� @A� ���

1 2 < 2 1 2 1 < 1 2� �� �� � �� � � ��

1 2 < 2 1 2 1 < 1 2� �� �� � �� � � ��

1 1 : 1 1 < 1 2 : 2 1 : 1 2 : 2 1� � � � � �� �� � � �� �� �

< 1 2 : 2 1 : 1 2 : 2 1� �� �� � � �� �� �

< 1 1 : 1 1 �� � � �

4�������� ���� ��� �%��� 1 1 : 1 1 � ����� @A ������� @�A�� � � �

��� ��� ���� �� �� ���� ��� @�A ������� @A� 4������ � �������

� ���� + � ���� ��������� �� ��� �� ��� ���� ���� �� ��� � �

@1 �� 1 A � @1 �� 1 A � @1 �� 1 A � � @1 �� 1 A �� �� ��������� ;��� � � � � � � �

����� @�A� �� ���

@1 �� + A : @+ �� + A : @+ �� 1 A� ��� ��� ��� ��� �

: @1 �� + A : @+ �� + A : @+ �� 1 A� ��� ��� ��� ��� �

< @1 �� 1 A : @1 �� 1 A� � � �

< @1 �� 1 A : @1 �� 1 A� � � �

Page 71: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

1�1�

� ��� �

� � ��� �

� � ��) �

) � ���

� ��)

) ���

� ���

� �� �

��� �)� �

��

� ��� �

� � ��� �

� � ��) �

) � ���

� ��)

) ���

� ���

� �� �

� ��� �

� � ��� �

� � ��) �

) � ���

� �� %

% �� ��� �� %

% ���

� ��)

) ���

� ���

� �� �

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

< @1 �� + A : @+ �� + A : @+ : 1 A� ��� ��� ��� ��� �

: @1 �� + A : @+ �� + A : @+ �� 1 A �� ��� ��� ��� ��� �

4��� @1 �� + A < @+ : + A : @+ �� 1 A �� ��� ��� ��� ��� �

@+ �� + A : @+ �� 1 A : @1 �� + A��� ��� ��� � � ���

: @+ �� + A : @+ �� 1 A��� ��� ��� �

< @1 �� + A : @+ �� + A : @+ �� 1 A : @1 �� + A �� ��� ��� ��� ��� � � ���

5�������� @1 �� + A < @+ �� + A : @+ �� 1 A < @+ �� 1 A � ��� ��� ��� ��� ��� � ��� �

@+ �� + A : @+ �� 1 A : @+ �� + A : @+ �� 1 A��� ��� ��� � ��� ��� ��� �

< @1 �� + A : @1 �� + A �� ��� � ���

@+ �� 1 A : @+ �� 1 A < @1 �� + A : @1 �� + A ���� � ��� � � ��� � ���

"��

@+ �� 1 A < @+ �� 1 A @+ �� 1 A < @1 �� + A��� � ��� � ��� � � ���

@1 �� + A < @+ �� 1 A @1 �� + A < @1 �� + A �� ��� ��� � � ��� � ���

��

@+ �� 1 A : @1 �� + A < @+ �� 1 A : @1 �� + A��� � � ��� ��� � � ���

@+ �� 1 A : @1 �� + A : @1 �� + A : @+ �� 1 A < 0��� � � ��� � ��� ��� �

*@+ �� + A < 0���� ���

��������� + < + E��� ��� � � � ����� � ��� ��� �������� ��� � �

!�� � ������ ��� ����� ����� ������� ��� ��� ��� ����������

@�A ������� @A� �

Exercises on Menelaus’, Desargues’,Ceva’s, and Feuerbach’s theorems

��������� ���� ���� ����� ������ ��������� �� � �� �������� �� ����

������� ������� ���� �� ������� �������� �� ������ ����� � ������

������ .����� ������ �� ������� ���� ���� ������ �������� �0 ������

5������ ������� �� %����������� 3 ��� ������2� �� �� ���� �������

���� ���� �� ���� ��������I

�������� ��� .���� ����� �� ��� ���� � ������ ������� � ����� �� ��� ��������

�������� =���� ���

< ��

"�������� J�� % <��

� ���� ���� �� � ���

< < @��A@��A < �� �

Page 72: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ��� ���

� �� '

' ���

� �� %

% ���

� �� &

& �� �< �

��

���

��

���

��

��

��) ��� ��(

��� ��( ��� �() ���

�)�

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

%�&���� ���' ���(� � ���# ����� � ���� �� ���� ��)������� ������$ ��� �� � ������

� ��� ���� �������� �� �������� �� * ������ ����� �� )������� �������

17:26 30 Oct 99

��

� �

� � �

Figure 5.11.5�������� �0

�������� ��� . ���������� �� ��� ������� ����� ����� �� ��� �������

������� �� ����� ����� �������� �������� ������ �� ��� ������� ��� � ��� ���

���� �� ���� ������ � ����� �������� �������� ������ �� ������� �

�������� ����� �� ���� ������ 3������ ����� �������� ��� ��� �� �����

��� ������ ���������� ������ 4��� ��� ����� ����� ���������� ��

���� �� �������� ,�� ���� ����� ���������� ������I 3��������

�� ����� � ������ ���������� ������I

"�������� 8�� ���� �����)

� � � � � � � ������� ���� ������ � �� �� $� � �

� � � � � � � � ����� ����$� � �

% � � � � � � � � ������ ���������� ����� �� � � � $� �

& � � � � � � � � ������ ���������� ����� �� � � � $� �

' � � � � � � � � ������ ���������� ����� �� � � � �� �

��� % � & � � ' ��� � � < � � < � � � < � C� ����� �� ���

��� ���� ��� ������ ������ C� ��� ���� ����� �� ���� � ����� �� ���

�������� �������� � ���� 5������ ������� �� ���� )

< ���

��� ������� ���������� �� % � & � � ' �

C� ��� ���� �� ������� ��� ����� ���������� ������ � ��� ����� ��

������ ������ ��� ����� ������ �� ������� �� ��� ��� ���

���$ ��� ��� ��� ���� ���� � �� ����� "�� ����� ��������� ��

���������� ������ ���� ������� ��� � ����� ���� ��

�������� �� 3������ ����� ) �� �( �< � �� �� � ��� ���� ���� ��������

����� �������� �� ���� � 4������ ���� � � � ��

��������$ ��� ���� � �K� ���� � �K� �

���� � �K� 4��� ��� �K� �K� � �K �� ��������

Page 73: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�+3 ��"

��� �+3 ��� �3�

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

� �

��

� � � � �

Figure 5.11.6@� �� �A@� �� � A < @� �� � A �������� �#

�� @� �� + A < � �������� ��� *

��

��

� � � � �

Figure 5.11S.3

"�������� .���� F�������� ������� �� ���� � �)�( � �

�������� �� F�� ��� ���� � ������ ����+ � ������� ��� �����

����%����� �� ��� � ���� ���� �� ������ �� ����������� �� ��� ���� ����

4��� ���� ����������� ���� �� ����� ����� ������ �� ������ ����1�

��� �������� ��� ���� �� ��� ���� �� ��� ������ C����� ��� ������ ���

��������������F�������� ������� �� ���� ��� ���� �����%�� �� ���������

"�������� 7���� ��� ��������� ����� �������� ���� ��� ��������

��� �� F�������� ������� � ������ ��+�� ����� �� ��� ������ ���� &��

���� �� ��� ��� ���������� �� ���� ���� � � ��� �� ����� �

�������� ��� &����� �����1 ������� ��������� �������� ��� ����������

��������� �� ����� � ��� � � ������� �� �������� ����� J�� � �

+ �� ��� ����� � � ���� ��������� 0 � �� � ������ � ��� �<� ������� � � � ���� 3 �< � � � L��� � ����� � � � �

� � ��� � � � � � � �� ��� � � � �

���� �� 4��� ���

@� �� � A@� �� � A < @� �� � A �

���� �%���� �� ������ ������� ��� ��� ��� ��� ��� ���� � ���������

�� ���� ������ ������� �� � 3 �

���� � ;�� ������� ��� -�� F�������� ������� ��� �� ��� �%����

� ��� @�A� 3����� ���� 3 � �< 3 �� � � 3������� � � ������� ��

��� ��������� ���� 3� � ���� �� 3� 4��� ��� F�������� ������� �������

� < � ��

���� � 4�� � ��� @*A� ��� �� ������ ��� � �< � � ������� ��

������ 3� �< � � �� � �������� �� ������� �� ��� ��������� ����

3 � � � � ���� �� 3 � �

Page 74: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

��<�3

��<�+

��

�3� �+3 �

��% ���

%�+ �&� ��� �

��3� ��� � ��� �

� ��� �

� �� '

' ���

��'4

�'�4

��'�

�'��

��'4 � ��'�

�'�4 � �'��

��4�

�4��

� �� %

% ���

��4�

�4��

� �� &

& �� �

��4�

�4��

4%

�%

4&

�&

4'

�'

�4

4%

�&

�&

�'

'�

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

"�������5 +��� ,� ���3 H ���� � ��3+ H ���� � ��

C ������ �����1� ����� � � � �� ���� � ��� ��� ���� �� � � +�

���� ������� @� �� �A@� �� � A < @��A@�� A < @�+A@�� A < �� < @� �� � A�

!�� ������ ����- ��� ��� �������� ������� ���- ��� �������� � ��� �����

����� ����

+��� -� @4�� &����� ����4�+�A &�� ��� ���������� % �� � �

J�� $ < � � ��� ��� ���������� & �� $ � � .���� F��������

������� �� �+3% � ���& �� ��� � � ���� & ���� � � .����

F�������� ������� �� �%�3� � �&��� �� ��� � � ���� <

� �� � < � ��

+��� .� 4����� �� ��� @*A� �

C ��� �/(( ���- (���������� �� ��������� F��� M������ ������ ���

�� �������� ��������� ����� ������� ������� ������ ��� �� ������

����� � ��� ����� � �������� ��� � � � ��� �� ��� F��������

������� � � ��� �������� �������� �� ����� ��� ������� �� ��� ������

M� ����� ������ ��������� � ������� �� ��� ����� ������� ������

���� �� ����� �������� ���� ��� ��������� ������

�������� �� ���������� ����� �� �� ����� 3���� �������� � ������

�� ��� ��� ������ � ������ ��#� C �������� �1� ��� � ���� ��� ��� ������

�� ������ ���� ������ ��������

�������� ��� =���� ������� @�A �� 3���� ������� �� ��������� �����

�� ��� �� ��� ��� ������� ��� �-� �� ���� � ������ ��#��� 3 ���

����� ��� ������ �� ���� �� � �� �������� @��A �� @6�AI

"�������� < <

< < �

4��������

< < �

5��������� ��� ����� �� �������� �������� ��� ��� ������� �� ����� ��

���� ����� �������� � ��������� �� ����� �

�������� � � =���� ��� � ������ ��#���

: : < � < : �

Page 75: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

4%

�%

4&

�&

4'

�'

��4�

����

��4�

����

��4�

����

����

����

�����' ��&

�4

4%

*�

�%

�1

%�

�4

4%

*� : �1

�% : %�

*1

��

����

* � :�

7< � � :

�:�

���� �������� ��

+�� �� � �� ������ ��������������� ������� ���#��

17:26 30 Oct 99

Figure 5.11S.4�������� �1 ��������

��� *

��

��

� � �

"�������� 4% B�% �� ��� ���� �� ��� �������� �� ��4� � ���� �

���� ���� ��� ���� �� ����� ���� 4����� ������� ���� ��� ��� ����� ��������� ��

: : < : :

< < ��

�� ������ ��� ����� �%����� �������� � � ������� � � � � ������

����4�#� C� ��������� � � ����� * � 1� ��� ��*4 H

�%�4 � ��14 H �%�4 � ��

< < < < � �

�������� �' �� ������� �� ��� �� ������� ��'��� �� ����� ��� ��� ��

��� �� ��2� ��� �������� ����� �� �� � 7 ��� ��� ��� ���������

� ��������� ���E��� ��� ��� < � � @� : � : 7A ��

�������� ��� 4��� ��� �� ��'4 � ��%4 � � ��&4 � ������ ��#��

��� �%�� ���� ��� 4 �� ��� ������� �� ���� �

"�������� J�� � < ��'4 < ��%4 < ��&4 � � < �% B%� � � <�

�& B&� � � 7 < �' B'� � �� ��� �'�4 < � B7 � �%�4 < � B� � �

�&�4 < � B� � ��� ���% < �@���% A )

5��������� ���� ����� �� �7 B� � ��� ��� * �7 : � < ��7 : �7 : 7� � "� 3����

�������� ��7 < �� ��

�7 : � < � : 7� �

Page 76: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

��� �

%��

%� �

��� �

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

4��������

7� : 7 < � : ��

�� : � < � : �7 �

.���� ��� �������� ����� �%����� ������

�� : �7 : 7� : � : � : 7 < + : �� : �7 : 7� �

���� � : � : 7 < +�

,������ ���� �� ��������� ��� � ����� � � � � 7 � 4������ � > 7

E���� ���� ��� �� ����������� C� ���� � ��� �

��� � � > 7 � �

����� ��� + > � : � : 7 � C� 7 � �� ��� � � � � � > �� � ����� ���

� : � : 7 > +� ���� � > � > 7 � �� � < � � � 7 < � : $ � ����� 0 > >

� � 0 > $ � ��������� � < + � � � 7 < � : � $ � ��

� < � �7 < @� � A@� : � $A@� : $A �

.���� ���� ������ ��� �%���� ������ � $ : $ : $ < : $ � ����� � � �

� $ : $ : $��

*$� �

� $ : $��$� �

� : $��

� : 7 < * � : $��

+

� < + � @� : 7A��

0

E����������G ��������� 7��� � �� � < � < 7 < �� ��� ��� % � & � �

' �� ��� ���� �������� �� ���� � �

�������� ��� 8��� ������� � �����%��� ��������� � ������� ��� �

��#� �������� ��� ����� �� ������ �� ��� ��� �� ��� ����� �� �������

!�� �� ����� ��� ��� ����� �� ������ �� ������ �� ��� ��������

"�������� 7����� ���� �� ���� �� ������ � <�� � ��� �������

��� 7����� ��� ����� ����� ��������� ;�� ������ ��� ������� � � ��

� � � � � �� ������ � : � � ��� ���� % � ���� ���

< �

��� �������� � �� ��� �� ��� ����� ������ ������� ����� ��� ����

� %� �� ��� ����� �� ������ �� ��� ������ �� ������� ���� � � � 4��������

�� ���� � ��� ����� ��� ��������� �� �������� ���������� ��� ����� �� ������

�� ��� ��� �� ��� ����� �� ������ �� ��� ������ �� ��� ����� ��������

�������� ��� &���� ��� ����� �� &��������� ������� ���� � ������ ���0

�� ������ ��� ��� &������� ������ �� � ������ �� ���� ��������

�� ��� ����������

"�������� ;�� ������� �

Page 77: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� �� '

' ���

� ��'

�'

' ���

�'

�� ����'

�� �����

�� ��'��

�� �����

� �� %

% ���

�� ����%

�� �����

�� ��%��

�� �����

� �� &

& �� �

�� ����&

�� �����

�� ��&��

�� �����

�� ����'

�� ��'��

�� ����%

�� ��%��

�� ����&

�� ��&��

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

Plane trigonometry

4����� ��������� ���� ���� ����� �������� ��� ������� �� ���

����������� ������ � ������ +��+ � ������� � ���� ��� ��� ���

��������� ����� ���� �������� ���� �� ��� � �������� �������

������� ������ ������ �������� �������� ������� ��� ����� �� ���

���� ����- �� ������ ����� �������� *0 ������ ��� ����������� � ������

��� ���� 5������ ��������

�������� �� ,���� 5������ ������� � ����� �� ������������ �������

�� ���� ���'� �'��� ���%� �%��� ���&� � �&�� � ������ ��#���

M�� ������ ��� ���� ����� ���� ���������� � �������� �� ������� ��

��� ��� ��� �� ��� ������� �� ������� � �� ����I

"�������� 3����� �������� ������� &�� �������� ����� +� 1�

� % � ����� ��� ��� �� �+3� �� �� ��� �� ��� N+ � 1� % � 1 O � ;���

��� ���� � ���� � � ���� �� ��� ��� ��� ���� 3����� ����� �

��� ���� ���� �� ���� � ����� �� ��� �������� �������� ��� ���� ���

�������� ������� � ����� ����� "� ��� �� �� �����

< <

< < �

����� 5������ ������� ��

� �

��� ��� ��� �������� ������2� � ������� ������� ��� ��� ��� ��

��� ����������� ������ ������� ����� P������ ��������Q ���� ����

��� �� �������� ��� ������ ����@�A �� ���@�A �� ������ ��� ������

���� .4.� 444� 4.4� �� 44. ��� ��� ��� �� ������ ���� ����� ���

P��������Q ���� �� ��������� ���� ��� ������ ������ 44. �� ���������

���� �������� ��� ������ ��%����� !�� ��� ��������� ����� ��

��� ��� � �������� #�1�*�

�������� �� ���� �� F���� �������� ��� �������� ��� ������

��� ������ � ���� ������ �� ���� ���� .4. �� ��� � � <

Page 78: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ���

�� ���

� �� ���

�� ���

� �� ���

�� ���

1� �� ���

�� �0�

1� �� '��

�� �0�

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

�� � � ��� � 3������ � ���� ���� ���� ������ ��� �������� 0� >

��� � ��� > �/0�� � 0 > � � C� � ������� ������� �������I C� ���

� ��� ���� ����- �� � ��� ����� ��� ����� ���� �������� ���I F���

����� ���� �������� ��� ��� �� ����

��� � ���

��� 1� '��/�� (� �0��

���� � 4�� ������� ��� 444 �� � < ��� �� � � < ��� 5��� ����

���� ������ � �������� ����� ��� ������� 0 > � � � � � I ��� ���� ���

����� � ��� �� ����

� � �

'0 1� /*

'0 ��* /*

'0 ��+ /*

�#/ 1� /*

���� � 4�� ������� ��� 4.4 �� � � ��� � � � � 5��� ���� ����

������ � �������� ����� ��� ������� 0 > � � � � 0� > ��� > �/0�I��� ���� �������� � ��� �� ���

� ��� �

'0 �0� /*

"�������5 +��� ,� C� ��� ���� �� ����� ���

��� : ��� : ��� < �/0� ��� < �/0�� ��� � ���

<

� < � < �

R��� �� ���� ��� ������ ��� ������� ��� : ��� > �/0�� ���� ���

�� ������ ����� ����� ������ ��� ������� &�� ��� ����� �� ����

��� < �/0�� ���� '�� < �0�

� <��

'0 � <��

/*�

��� ����� ��� �� ����� ������ ��� : ��� < �(0� ? �/0��+��� -� C� ��� ���� �� ����� ���

� < � : � � *�� ��� ���� � �

Page 79: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� �� � � : � �

*��

� � : � �� � �

*��

� �� � � : � �

*��

� �� � � : � �

*��

'0�� 1�� : /*�

* �/* �'0

'0� : 1��� /*�

* �'0 �1�

� � : � �� *�� ��� ���

� � � : � � : � �

*��

� � � ��� ���

/*� : '0�� * �'0 �/* ��� �0�

/* � '0 ��� �0�

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

��� < ����� ��� < �����

��� < �/0�� ��� � ��� �

R��� �� ���� ��� ������ ��� �������� � > � : � � � > � : � � � � >

� : � � ��� ����� ������� ���� : � �� �%������ �� �

��@� : �A ) ���� �

��� �� � � � : ����*�� � ��� � �

�����

���������� ���� ������� ���������� �� ��� < �/0� �� �� ������ �� ���

������ ����� ������� ��� ����� ������� ���� : � �� �

��� : � ��

�%������ �� � � � ��� � ��� ��� @� � �A � � ��� �

��:��

���������� ���� ������� ���������� �� ��� < 0� �� �� ����� ������

�� ��� ������ ����� ������� &�� ��� ����� �� ����

��� < �������

#(�(�

��� < �������

'#�'�

��� < �/0�� ��� � �����

���#��

��� ����� � ����� �� ���� �� ����� ������ � � : � $ ��� �������

������ � ? � : � �

+��� .� C� ��� ���� �� ����� ���

� < �

��� ����� �� ���� ��������� �� � ������� ������� �� ��������

��� ��� -�� � � ��� � ��� ��� 444 ��������

��� < ����� < �����

��� < �/0�� ��� � ��� �

&�� ��� ���� �� ����

� <��

1��*�

��� < �������

���#�

��� < �/0�� ��� � �����

'#�1�� �

Page 80: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

�� ���

�� ���

� �� ���

�� ���

�� ���

� �� ���

�� ���

/0 �� �00�

(0

(0 �� ���

�� �00�

/0 �� /0�

/0

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

�������� � F���� �������� ��� �������� �� �������� ����� �� ���

������ ��� ������ � ���� ������ �� ���� ���� 44. �� � <

�� � � < �� � � ��� � .������� �� �������� #�1�* ����� �� � ���� ���

�������� ������� ���� ��� � ��� � � � < �� � 3������ � ���� ����

���� ������ ��� �������� 0 > � � � � 0� > ��� > �/0�� C� � �������

������� �������I C� ��� � ��� ���� ����- �� � ��� ����� ��� �����

���� �������� ���I F�������� ���� �������� ��� ��� �� ����

� � ���

/0 (0 �00�(0 /0 �00�/0 /0 /0�+0 10 +0�+0 10 */�*/ 10 */�

"�������0 C� �� �� ����� �� ������� �� ���� �� ��� ������ ���� �� � <

���� �� ��� ������ ����� � ��� �� ���� ������ � ? �� C ��� ����

������� ��� �� �������)

< ��� < ����

��� < �/0�� ��� � ���

< � < �

C� ��� ����� �� ���� ��� ���� ��������� ���� ��� ����� �������

�����

(0� ��� ���� E��� ������� ���� �� ��� @�A E����� ���

@� B�A �� �����

�� ��� � �� ������ ��� ������ ��� ����� ���� �� �����

������� ��� ? ���� �� ��� < �/0�� ��� � ��� ����� ����� ���

������� ����� ��� > 0�� &�� �� ��� @*A� ���� ��������� ������

��� < ������

1��

��� < �/0�� �00�� �����

�(�

� <��

+0�

&��� ���� �� ������� �� �� ����� C� ���� � ������� ��� �� �������

� �����

��� � ���� �� ���� �� ����� � ��� �������� ��������

��������� ���� ����� ��� �������� &�� �� ��� @+A ����

��� < ���� < /0�

Page 81: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

/0 �� *0�

�� /0�

�� � �

10�� +0�

�� ���

�� ���

� �� ���

� �� ���

�� ���

10 �� */�

+0

+0 �� ���

�� */�

��@� S � A

���@� S � A

�� � ��� � S ��� � �� �

��� � ��� � � �� � �� �

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

��� < �/0�� /0�� /0� < *0�

� <��

*/�

;�� ��� � < � �� ��� � C� � < � � ������� ��� �� �������) ��� < (0����� < (0�� ��� � � � < � F� ��� @#A �������� ���� ��������

��� < (0�

��� < (0� � +0� < 10�

� < � �*�

C� � ? � � ����� �� ������ ��� ��������� ;��� ����� ���

< �

;�� ��� � < ���� � �� ��� ��� < � > (0� �� ��� <� �

�/0�� � ? (0� ��

��� < �/0�� ��� � ���

� < �

F� ��� @�A �������� ���� �������� �

� < �����

��� < ���

'0� �� ��0���

�/0�� �� �

��� < �/0�� */�� �����

/*� �� #*�

� <��

1+ �� #+�

C� ��� ����� �� ���� ��� ���� ��������� ���� ��� ����� �������

��� > (0� ��� � > � �� ��� E��� ������� ���� �� ��� @1A E�����

��� @� B�A �� ��� ? �� � ��� ������ ��� ������ ����� ���� �

�������� � F����� ���������� ��� ������� ��� �@� S � A � �����

�� � � � � � � � ��� ������ ��� � *� � ����� �� � � � F�����

������ ��� � � � � � ����� �� �� � � ��� � ��� ������ ��%���� �

S ����

"�������0

�@� S � A < <

Page 82: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� � ��� �

��� � ��� ��

��� � �� �

��� � ��� �

��� � ��� �

��� � ��� �

�� �� � �� �

��� � ��� �

�� �

��� �S

�� �

��� �

��� �� �

��� �

�� �

��� �

� � S � �

���

� � � �

� � � � �

� � � � � �

* � �

� � ���

��D �

��� D�

�� D�

��� D�� * �

� : ��� �

*

�� �

� : ��� �

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

< <

<

� *� < <

��� < * �� � � � ��� � � � < � * � ��� � � �� � � �

<

< � � � � � ��

�������� �� 4��� ��� ��� � < 0� �� *� ��� ������� �������� 2 �� ������

� E����� ������6 ��������E���� ��� ��� �� � � ��� �� <

2 @��� �A � F����� ��� ��������� ������ 2 @ �A < * �2 @ �A � 2 @ �A � �� ��

,���� ��� ��� ������� ��� 2 �� 2 � �-���� ����� ������ � �������� ������ �

������ ���� ������� � ��������� ,�� ����� �� ��� ��� ��������

��-� ���� ��� �� ��I

"�������� F���� 2 @ �A < � � 2 @ �A < � ��� �� � � �� ���� �

2 @��� �A < ���@0�A � 2 @��� �A < ���@��A ��� �� � � ����� ��� �������� �

� ) ����8� � ���������� 2 �� ������ � ��� ��� 2 @��� �A <� � �

����� ��� ��� �

�� ���� ��� � < 0� �� ;�� ��� � �� ������ ? � � ������� � �� �����

��� �� ���� � ��� �������� ������ ����� ��� � �� ���� ���� &����� ��

��� ���

���@� : �A� : ���@� � �A�

< @��� �� ��� � � �� �� �� �A : @��� �� ��� � : �� �� �� �A

< * ��� �� ��� �

���@� : �A� < * ��� �� ��� � � ���@� � �A�

< *2 @��� �A ��� � � 2 @��� �A � ��

;�� ����� 2 @ �A < * �2 @ �A � 2 @ �A � �������� �� ������ � : �� �� ��

3������

���@� : �A� < 2 @ ��� �A � ��

Page 83: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

����

��2@��� � A

� � ��

< 2� @��� � A @��� � A � � ��

< �2� @7� A ���

< ����

�������

� � ��

< �� �� �� < �� �� $� < 0 �

��:

��:

� <

�<

�:

�:

��:

��:

� <� � �

�:� � �

�:� � �

�<

+� � *�

�<�

�<

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

���������� � �� ���� ��� � < � : �� "� ��������� ���� ���� ��� �� � <�

0� �� *� � � � � &�����

2 @ �A < * �2 @ �A � 2 @ �A� � �

< * � � ��

2 @ �A < * �2 @ �A � 2 @ �A < * �@*� � �A � �� � �

< #� � +��

2 @ �A < * �2 @ �A � 2 @ �A < * �@#� � +�A � @* � � �A� � �

� �

< /� � /� : �� �

2 @ �A < * �2 @ �A � 2 @ �A < * �@/� � /� : �A � @#� � +�A� � �

� � �

< �1� � *0� : �� �� �

. ���� ������� ���- � ���� �������� ����� ��� 2 �� ��� ��� �

�� ��� � ��� ��� � �� ����

&�� $ < 0� � � � � � � � ��� � < @ � � A� � � < ��� � � ��� 0 >� � �����

� > TT T > � > �� �� � ? TT T ? � � 5�������� 2 @ � A < ��� �� <� � � � � �� �

���@$ : � � A� < 0� 4��� 2 �� ������ � � �� �� � ���� � �����) ����

� � � � � � � � ��� ����� �� ��� ��������� 2 � ��� ������ ����� ����� �� � �

����� ������ ���� ������ � ������ ����� ��� 2 � &�� $ < �� � � � � � � � ��� < � � � 7 < ��� � ��� 0 > > TT T� � � �

> > � � �� 7 ? TT T ? 7 � 5�������� � � �� �

4��� 0 > > �� �� �< 0� �� 2 �@7 A < 0� ��� ���� ������ �� 2� � �

����� � 7 � � � � � 7 �� ��

!�� ����� �-� ������ ������ ���� �� � ����� �� ��� � ��� ���

�� ��� �� ��� ��� �� ������ ��� ��� ������� ��@*��A � ��������

� �� � � �

�������� �� J�� � � � � � � �� ��� ������ �� ���� $ � � � � ���� � �

������ � �����������$ � ��� ��$ � ��� �������������$ � �� � � �� ��� ������ �� ��� ��������� =���� ���� �

� � � � < �� � ��

� : � : � < #� : � � � : � � : � � < � �� � � � � � � � ��

"�������� "� �������� ��(�#� +�/�(� M����� ������� � ������� �������

Page 84: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�:

�:

<

*�:

*�:

*�<�

�<

� ����� <�

� � �

� � �

� � �<

��

��

< ��

� � �:

� � �:

� � ���

� @� � � A N @� � � A : @� � � A O : @� � � A @� � � A N� � @� � � A O

� @� � � A� : @� � � A @� � � A�

���

��� : � �� : ����

����� <

�����

� �����

� ���

� �

� � � : � � : � �

*��:� �

� � � : � �

*��:� � : � �

� � �

*��

� @� � � : � � : � � A : � @� �� � � : � � A : � @� � : � �

� � � A

*���

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

, ���� �� ��� �� �� ������ ������ -���� .�� /+�� �� ����0 ��� 1���� 2�������

/+�� �� ���'0 �

17:26 30 Oct 99

� : � : � � �� � �

<

�@� � �A@� � �A : �@� � �A@� � �A

: �@� � �A@� � �A � @� � �A@� � �A@� � �A< �

�@� � �A@� � �A@� � �A

<

<

< N� � �� : � � �� � �� : ��O < < #� �� �

"� ��� ����� �%���� �������� � ���� ��������

� � : � � : � � < < < < � � �� � � � � ��

�������� � =���� ��� ��� ��� �� ��� ������ �� ��� ������� �� ��� ����

�� ������ �%��� � ���� ��� ���� �� ��� ������ �� ��� ������������

"�������� 8�� ��� ����� ����� ���� ����� J�� � �� ��� ���

� � < ��� ��� : ��� ��� : ��� ���� "� ��� �� �� �������

� <

< �

���� ��� �������� ���� ��� ����� � �������� ����� �� ������

�� �� ��� �� ��� �� � ������ �� �� � : � � � < *@� � �A� !�� ��� %������

� � : *�� � � : � < � � @� � �A� � � � �

Page 85: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

#@� � � A @� � � A � *@� � � A : *���

*���

#� @� � � A @� � � A @� � � A

����

#��

����

����

���

����

��

��

��

� � �

%

D * �D / � + � �� � �0 � * �

���� �������� ��

��"�$ ������ 344�

17:26 30 Oct 99

< @� � : � : �A@� � � : �A < #@� � �A@� � �A

� ������� *��� � "� M����� ������ � �������� ������ � ��(�#�

� <

< � : < � : < � : #�

< � : < � : < � : < � : � �

�������� *' ����� ��� �� ��������� ���� ��������� ���� �������

�����* � ����� �� ���� � � � �� � � � �������� �� ��������� �� �

��� ��� �������� R ��� ,���� ������� ��� .��������� �� 4���

����� ���� ���� �����%�� ���� */0 5��� �� ��������� �� +�� .���� ��)�

��0 ��� .������ �������� 3������ =������ �������� �� ������

������ �� ������� ��� ����� �� ���� �� ����� ��� ��� � <

��� *�� +�� � � � � ��� ������ ������ ����� ��� �� ��� ����� ��������

��� ���� ���������� ���� ������� �����* �� ������� ���� � ��������

��� ������ ��� ��� ��������� �� ��� ��� �������

�������� �� ���� �� F����� ������� ������� ��� ���� � � � �� � ��� �

� ����- ���� ���� ���� ���������

���� � 4��� ��� ��� � ��� < * ��� : ��� � ����� : < � � @� : � A�

� � < � � @� � � A ��

���� � 4������ 0� > � > � > (0�� =���� ���

* ��� : ��� > ��� �

���� �� 3����� ���� @*A � @+A �� ���� ��� ��� 0� > � > � > � > (0��

��� > ��� > ��� �

���� �� 8�� � � � � � < �� � �� ��� � � � � ��� @#A� ���� ��� ����� ���� �

�������� � ��� @�A� �� ������� ����� ,���� ��� ������ ��������

�����I

"�������5 +��� ,� 8�� ��+0� < � � � ���+1� < � � @� : A @��� ��������� �

#�(��A� ��� =������� �������� � ��� ����� ��������� � ��� ���

������� �� ������

����� � � <��

0�(((1�'+*��

Page 86: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� : ����D�

*

��

�/0�

*�

��

�/0�

*�

*�

� � �

� � �

�� �� �

�� ����

<�� ���

�� ����

<�� ���

�� ����

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

5����� ���6$ ��� �� ���"�

17:26 30 Oct 99

��� � � � <��

0�((((�#+*'��

+��� -� 8�� ��� ��� ������ � ��������� ������� � ������

+��� .� &����� : ? � � 4����� �� ������� �����*� ��� > @� B�/0�A� �

@� B�/0�A� > �� � ����������

* ��� : ��� > * ���� ��� > *@��� :A < ����

> �� ���� < ���� < ��� �

+��� /� &��� � > � � ��� @+A ��� ���

��� � ��� > ��� �

����� ����� ��� > ��� � ��� ����� ��%����� �� ������ ���������

+��� �� ,��� ��� ��������� ������� � � � � � � � ��� @#A ������

0�0�'#��*(/��

� � ���� ��> ����> � � �� � ����

0�0�'#�*'(#�� � � �

4� ������

0�0�'#�* ���� ����� > �0 � ��

Spherical tr igonometry

���������������� ����������������� ��������� �� �������� �����������

���� � ��� ������ #�( ���������� &�� ������� ���� ������ �� ���

��������� ��-����� C ���� �������� ������ ��� ����� ��� ��� ��

������� ������� � ������ �� ��� ������ ��� ������� ���������

C�� ������� ������ ���� ������ �� ��������� �����) �������� ��������

������� C�� ��������� �� ���� ��� ������ ��� � �� ��� ��

����� ������� �� ������2� �� ���� � ����� �������� �������� �

�� ������ ������ ��� ���� ���� ���� �B�� ������ ����� ������ �����

��������� ������� ������ ��� ������� � 5���� "������� ����� ��� ���

����� ��������

�������� �� ���� �� =���� ��� �� �� ���� ��� �������� ������

���� )

Page 87: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ���'

�� �'��

�� ���%

�� �%��

�� ���&

�� �&��

�� ���'

�� �&��

�� ���%

�� �'��

�� ���&

�� �%��

�� ���&'

�� ��&'�

�� ���'%

�� ��'%�

�� ���%&

�� ��%&�

�� ���&'

�� ��%&�

�� ���'%

�� ��&'�

�� ���%&

�� ��'%�

���

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

���� � =���� 5������ ������� ��� �������� ���� ) C� % �& �' ��

����� � ��� ���� ������� ������ ����� ��� � � % �& �' ��� � � � �

���� ������� ���

< ��

"�������� +��� ,� J�� � �� ��� ����� �� ��� ������ � �� ��� ���

����������� �� ��� ������� � � � � J�� � � �� ��� ���� ��������

� � ��� ������� � ) �� ��� ���������� �� ���� ��� ���� ����������

��� ��� ����� �� 3������ �������� ������� ��)� � ��)� ������� ���� ��� ��) < (0�� "� �������� #�(�#� �� ��� �� ��� <

��� ��) < �� ��� �� ��� � ���� ������ ��� ��� �� �� ����$ ��� �����

��� ������� ���������

� �

+��� -� 8�� ��� �� �� ����� ��� P5����� �������Q ��

<

< < � T � T � < �� �

�������� */ �������� ���� %������� ��� ����� �-� ���� ��� ��� ��

����� ������ ���� ���� �� 5������ ������� ������ ��� P��������Q ���

� ��� ��� ���� ���� �������� �������� .�� ����� � ��� 5����� �������

�� ����� �� �� ����� ��� :� ����� �� �� � � ��� ���� C� �� ��������

�� �-� ���� ���������� ���������� � ��� ������I C� ����� �������

�� ���� ���� �� 5������ �������I C� ����� �������� ���� �� 3����

�������I

�������� *( �� ���� ������� � ������2���� =��� � � * ��%����

������ ������ ���� ��� ����� �� ������ ����� C ��� * ��� ������

�������� � ��� ��� ������� � ����������� �� � � ��� ����

������� ���� ���� ��� � ��� � ��� ��� ��������� ��� ��� ���

����� ���� �� ��� �������

�������� �� ���� �� 3������ �������� ������ ���� � ������

� ���� ����� � � ��� ����������� �� ��� ������� � ��������� � �

��� ������ �� ���� � ��� ��� ���� �� ��� � � $ ��� �� ��� F����

� � � � � ��������� 4��� ��� ��� � �� � � � ���� ����� ����

� � ���� ���� ���� �������� ���� �� � ����� ��� ����� ������ ��

���� � 4��� ��� ���� �� � ��� ��� ���� ������ �� ���� �� ��

���� � J�� ��� ��� � �� �� ��� ������� �� ��� ��� �� ��� ���� ������

�������� ��� � �� � � �� 4��� ���

Page 88: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��1 �

���� ��� ������� ��� ������� ��� ���

���� ��� ��� ���

��� � ���

���

���� ��� ����

���

������

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

�� < �/0�� ��� ���� < �/0�� �

� ������ ������ ������� ��� ��� ������� �� ��� ����� ��� � �����

���� � J�� �� �� � � �� ��� ������� �� ��� ��� �� ���� ��������

� � � � � � � 4��� ���

� > � : � ���: ��� > ��� : �/0�� > � : � ��� : ��� > ���: �/0�� > � : � ��� : ���> ��� : �/0��� : � : � > +10�

���� �� 3������ ��� �������� ������� � ���� ����� ) &�� ������

1 �� ��� �������� ������� ����� ���������� �� � ���� ������ ��

����� 1 �I F� ���� @�A �� @+A ��� �� ��� �-� �� �� ���� �� ����� �������

����������I ,�� �� ��� ��� �� �������� ������ ���� ����� � � ���

��� �������� ����� �� � ����� �� < � U � � ����I

"�������5 +��� ,� &��� ��� ��������� �� ��� � � � � ��

� � � � �� ��� � ��� ��� ���� �� ��� �

� � � � � � ��� � ��� ��� ���� �� ��� �

� � � � � � ��� � ��� ��� ���� �� ��� �

C� ��� ��� � �� ���� ����� ���� � � ��� � � � � ��

� � � � � � ����� �� ����� ���� � E����������G ;��� ���

��� ��� ��� � ��� �� F����

� < ��� ������

� �< ��� ����� ����

��� � � � � � � � � � � � � ��� � ��� ��� ���� �� � �

����� .� ���� � &����� ����4��� � � � � ��� � ��� ��� ���� �� ���

���� � ��� ��� ���� �� ������ C� ������� ��� � < @��A�� 4�������� � <

@� �A� � � < @��A��

+��� -� ��� ��� � ������� � ����� ������� �� � ��� &�����

����4�1 ������� ��� ��� ����� ������ �� ����$ � ������ ����4�'� ���� �������

J�� � < ����� � $ <

����� � �� ��� � � � $ � � J��

�K �� � ���� �� $ � ��� ��� ���� �� � ��� � � � � �K

�� � ���� �� � � ��� ��� ���� �� � ��� � � � ��� �K �

�K ��� � ��� ��� ����� �� � � $ � � �� � ��� ;��� �� ������

�� ��� ������� ��� ������ �� ��� � ���� �� � ��� � ��� �

���� �� � ��� � ���������� �� < ������ � <

(0� � ��� ���K < (0� � @���K��K � (0�A � ������ ����4�1� ��

(0� : ��� ���K < (0� : @(0� � ���K��KA � ������ ����4�'�

��� �� ����� �%��� �/0�� ��� � C� ����� � �� ������ ��� ��� � �-�

�K < �� � �K < � � � ��� ��� ��� ������� ;�� ���� �� �� ��� ����

Page 89: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

��

��

� �

Figure 5.11S.5 Figure 5.11S.6�������� *( �������� �������� *( ��������

=�� @�A) ��� ��� � =�� @*A) ���� ����� �

��

� ��

��

Figure 5.11S.7�������� *( ��������

��� @*A) ������ ����� �

����

��

��

������ �� ��� � < ��� < �/0�� ����� !�� � ������ ��� ������ �������

���������

+��� .� C�%������� � > � : �� � > � : �� � � > � : � �� �������������

�������� �������� ���������� .���� ���� �� ��� ���� ������)

��� : ��� < @�/0�� ��A : @�/0�� ��A< +10�� @�� : ��A > +10�� �� < +10�� @�/0�� ��� A �

� : � : � < @�/0�� ����A : @�/0�� ��� �A : @�/0�� ��� �A< �#0�� @���� : ���� : ��� �A > �#0�� �/0��

+��� /� ;�� ������� �

�������� �� =���� ��� ������ ��� ��� �������� ������ ���� ) C�

� � � � � � �� ��� ������� �� ��� ��� �� ���� �������� � � � � �

� � ���

��� � < ���� ���� : ��� ��� ��� ��� �

��� ��� < ���� ��� ��� ��� : �� ��� �� ��� ��� � �

"���������) =���� ��� ����� �%���� ������������� !�� �� ��� �� �������

��� ��� � < (0� ��������� &�� ��� ������ ���� �������� *(�

Page 90: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

������

��� ���

�+

��

�+

��

+�

��

+�

��

��� ���

���

������

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

"�������0 &�� ��� ���� + �� ��� ����������� �� � � ��� ���

� � ��� ������� +� .����� �� ������ �%�� �� ������ ��

$ ��� �������� ��� �� ��������� ����� ��� ��

�� ���� � �

���+� < ���� � ����� < �� .���� ��� ��� �� �� ������ �� ��+�

� ���� )

@�� A < @+� A : @+�A � *@+� A@+�A ��� ���� � � �

@�� A < @�� A : @��A � *@�� A@��A ��� � �� � � �

4������ ����� �%������ 4��� ����� ������

��� � < : ������

< ���� ���� : ��� ��� ��� ��� �

��� ����� ���� �� ��� �������� �� �� �������

;�� ������� �� �%�� �� ������ �� � �� ��� � < (0�� C� < �

��� ��� � < (0�� ��� < � � � ��� ����� ���� �� ��� �� ������ .�����

�< � &�� ��� ���� 3 �� ��� ����������� ���� � �� � C� 3 < +�

��� � < � < (0� � ��� ������� �%���� ������ .����� 3 �� +� &��

��� ���� � � �� ��� �+3� �� �������� ��� �3� � � ��

�3� � � 5��������

��� ��� ��� < �� ����� ��� ���+3< @+� B�� A@�� B+� A < �� B��

< ��� ����� < ��� ��

��� ������� �%�����

�� ����� ��� ����� ���� �� ��� ��� ���� ��� ����� ���� �� ��� ����

������)

���� ��� < ���@�/0�� ��A < �����

< ����� ����� : ���� ���� ��� ����< ���@�/0�� ��� A ���@�/0�� ��� A

: ��@�/0�� ��� A ��@�/0�� ��� A ���@�/0�� �A

< @���� ��� A@���� ��� A : �� ��� �� ��� @���� �A

< ��� ��� ��� ��� � �� ��� �� ��� ��� � � �

�������� �� C����� ��������� *� � ** ��� �������� �������� C�����

���������� �� 4.. � ... ��� ����

"�������� ;�� ������� �

�������� � ���� �� &��� ��� �������� ��� ��� ��� ����� �������

���� 4 &������ �� "������� � 3������������ .����� ��� ��� ����

�� ������ ���� ����� � < +(�( ������

Page 91: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

���� ;������� ;��������

4 &������ +'�#1� ; �**�*�� ,

"������� ##�*�� ; *1�0'� �

3����������� #+�++� 4 �'*�#0� �

M�� �� ��� ��� ��� ���� ����I

���� � &�� ��� ������ �� ��� ������ �� ������� �� ��� ��������

������ ������ �� ����� ������� F������� ��� ������ �� ������ ��� �����

� �� �� ��� �� ��� ������

"�������5 +��� ,� ,��� ��� ;���� =��� � � 4 &������ � "�������

���� �������� ������ ��"� ���� �������� ��� ������� � � � �

� � )

��� < �**�*�� : *1�0'� < �#/�+*�

� < (0�� ##�*�� < #��+��

� < (0�� +'�#1� < �*��#� �

"� ��� �������� �� �� �������

��� � < ��� � ���� : �� � ��� ��� ������0�0�+0

���

(+�0#������ ������ ���� " �� � < �� � B�/0�

��1#*/ ������

,��� � � 4 &������ � 3����������� ���� �������� ������ ��"�

���� �������� ��� ������� � � � � � � )

��� < +10�� @�**�*�� : �'*�#0�A < 1#����

� < (0� : #+�++� < �++�++�

� < (0� � +'�#1� < �*��#� �

��� � < ��� � ��� � : �� � �� � ��� ������0��'(�

���

�00�+*������ ������ ���� " �� � < �� � B�/0�

��1(+* ������

+��� -� ,��� � � "������� � 3����������� ���� �������� ������

���� ���� �������� ��� ������� � � � � � � )

��� < �'*�#0� � *1�0'� < �#1�++�

� < (0� : #+�++� < �++�++�

� < (0�� ##�*�� < #��+��

��� � < ���� ��� � : ��� �� � ��� ������0�(�#�

���

��1�0/������ ������ ���� � �� � < �� � B�/0�

���0'/� ������

;�� ������� ��� �������� ������ ���" ) ���� ��� @�A�

���

�00�+*� ���

(+�0#� ���

��1�0/��

Page 92: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� � � ��� � ��� �

�� � �� �

��� : ��� : ��"

�/0�� � � � �

�00V

#�

��� : ��� : ��"

�/0�� �

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

"� ��� �������� �� �� �������

��� < �������

�*#�*��

4��������

�����

�**�(� ��"��

�10����

��� �� �� ���

�� ��� ���� ��

� +��1V�

��� ���� ������ ����� ���� "������� �� 3����������� ������� ��� "��-

4�� ����� �� !����� �������� ����� ��� 3��� 4� � ��� C��

� .��� ������� �� W���� ������� ����� =-���� ����� �� ;����

� ����� C��� ������� ��� "� �� "��� � ��� ����� �� 4����� �����

�� 6-��� ������� ��� ����� 4� � ��� .������ ������� ����� ��

3����� � ����� ������� ��� ��� 4� �� ;�� X����� 4���� C����

&��� 3����������� �� 4 &������� ��� ��� ���� ����� ����� ����

��� 3��- C���� � ������� ��� �%���� �� 3������� C����

7������ ���� 4 &������ �� "�������� ��� ��� ���� ����� ������

�� 3����� ���� 3��� ;�������� ����������� � "��� C���� ����

����� L����� � ��� ;������ 4�� � ��� �� ����� J�-Y����

� ,��� �� 7���� �

Analytic geometry

C ��� ������ #��0 ���������� ��� ���������� ���� -�� �� ����� �������

� ������� ����������� �� �� �������� �����%��� ��������� � ������

+� !�� ���� �-�� �� ���� ������ ����� ��������� ��� �� ��� �������� ��

���� ������� ������

�������� � 7������ ����� ����� �� � ��� ����� �� ������ ��1� � ������

����� �������� � ��������� ����� ��������� �� �������� �����

@���� �� ��� �� ��� �� ����� ��������) ���� ������� % � & � �� ���

������ ' ���� ��� % � ' < 0 < & � ' �A

"�������� ��� ��������� �������� �� ��-� #� �0� � �# � ��������� #��0��

� #��0�* � �� �������� #��0�1� ��� �� � �� ��������� � ��������

2��$ /� =���� +�3 �� �� ������� ��� � ��� ���N+3� O < 0�

Page 93: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ���

������

���

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

2��$ ,<� F������ ���� ���� �%����� % < �� : � � % < �� : ) ��

������ ��� � ��� � U � < 0�

2��$ ,/� L��� ���������� ���� � �� � ��� ������� � �� � �� ��� �

� ��� �%����� % < �� : � � % < �� : � � ��� ���N��% O <

���N��� O �� ���� �%���� ��� ��� ��� ������� � � �

�������� /0,<0=5 ���� ,� ��� ��� ���� �������� �%����� % <

�� : �� : � �� ���� �%���� ���N��% O < ���N��� O � �

�������� �� ����� � ������� ��� ���� -�� ��� ��� ������� �

�������� ++)

2��$ )

��6�� )�������� �� ����

�� ���� � � � � � � � � � � � � � � � � ����� ���$

*� ���� � � � � � � � � � � � � � � � ����� ������� ���$

+� ����� + �3 �� � ��� � � � � ������� + � 3 ��� � ��� ���

���� �� $

#� ����� + �3 ����� ���� � � � � � ������� + � 3 ��� � ��� ���

��� � ��� �� � ��� ���� �� � � ����� ���$

�� �������� ����� + �3 �� � � � � �� �� �+3� $

1� ������ ����� + �3 �� �" � � ������ �� ��������� +3�" �

������� ��� �� ��� ��� ��� ��� ���� ��� ���������� ���������

� � � � � ��� � �� � � ��� ��� ���� ������� �� ���� ��� ��� � ���

�� �����

������ �

��� �� ��� ������� ��� ��� ��� ����� ��� ����� ��������� � �� �

� ��� � �� � � ��� ��� ���� ������� �� ��� ��� ��� ��� � ��� � �

���� �� ��� ������� �� ���� ��

��� �� ������ � ��� � �� �� ��� ���� ���� �� ���� ��� ���� �� ����

��� �������� ! ��� ��� �������� ! ��"� ��� ���� ���� ���� ������

� � �� � � ��� ������ ���� � �� � �� �������� ������� ���

��� �� ������ � ��� � ������� ��� ��� �� �� ��� ���� ����

�� �� ���� �� ���� ��� ��� ! ��� ��� ��� ! ��"� ��� ���� ����

��� �� ����� � � � �#� � �$ � #� � �$� ��

��� �� "���� � � ���N+�3���"� O � ����� ������ + � �� " � ���

������ ���� + �� " �� ������ ������ ��� �

��� ��� ��� ��������� ������ ��� ������ ���� � �������� * �� �����

��� � �� �������� �� ���� ������ ��������� F�������� ������� �� �����

�� ���� �� 5������ �� 3����� ��� ������ �� ������ ������ ��������

�������� ���� ���� ����� �� ������� ��� ��������� ����� ������� ����

Page 94: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�%&

% �� 2

2 �� &<

� � �

��� ��� ���

" < �� : @� � � A�2 < �� : @� � � A �* < �� : @� � � A�

@ � �� * A @� �� " A @� �� 2 A

@* �� � A @" �� � A @2 �� � A<

� � �

� � �

� � �

��� � ��� � @� � � A�� @� � � A�� � ��� � @� � � A��

@� � � A �� � ��

��" ��2 ��*

�� @� � � A �� � ��� ����� @� � � A

�� � �� � �� � �� � ��� �� �

�� ��� � ��� � �� ��� @��� � ��� � �� A

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

���� � �������� ������ �� �������� ������$ ����� ���� ������ �

�������� �%����� � ������ ����� �-�� ��� ���� ���������

�������� �� =���� 5������ � 3���� �������� ��������� &����� ����

��� �� �� �������� ���� 2 < � % : @� � �A& � � � �< 0� ���

8�� ������� ��-� ���� �� �������� 5������ �������� � ��� ��� �������

� �������� � ������ ��1 �� ������ ��� ����� ����� �� �������

�� ����� ���� ��� ����� �����

"�������� 8�� ��� �������� ������ � ������ �����*� R����� ��� �%����

��� @% �� 2 AB@2 �� & A �� ����-�� ��� ���� �� ��� ������� � ����

����� ;�� ���� ����� �� � � � ����� �� ��� �������� ��������

� ������ ����� " �2�* �< � �� �� � ���� �� ���

��� ���� � � � � � �< 0� ��� 5������ �������� ��� �������� � ���

������ �%��� �� �� � ��� �� � : � : � � �� � �� � �� < �$ � " � 2 � �

* ��� � ��� ��� � ���

0 < ��� N" � *�2 � * O

< ���

< @� � � A � @� : � : � � �� � �� � �� � �A�� � �

��� ������ 5������ ��������

J��� � � � ��� � � � �%�����

� @� � �A� : @� � � �A � � � � @� � �A < 0� � � � �

� � � : @� � � : � �A � � � � � < 0� � � � � �

� � : @�� � �� : � A � � � @�� � �� : � A < 0�� � � � � � � �

�� ������� �������� ��� � ���

0 < ���

< �� @� � � A @� � � � � � � : �� : �� : �� � *���A �� � �� �

Page 95: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� < 6 � �

6 �� � � < 6

� �

6 �

� < � � �

� �� � � <

� � �

� �

7 < 6� � �

� � 6� � 7 < �

� � 6

� � 6

6� �

6 �� :

6 � �

6 ��

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

"�� 5������ ������� �%��� :� ��� � ���

� � � � � � � : �� : �� : �� � *��� < 0�

��� ������ 3���� �������� �

�������� � =���� F�������� ������� ���������

"�������� ��� �������� ��� � ������ ��+�� �� ������ ����� !�� �

������� ����� ��� ��� ������ ���� 3����� �� � �������� ������ ����

����� � � ���

�� < �� � � < 6� � � < �

��� ���� �2��� ����� � � 6 � � ;����

; < � : �@� � � A < � � : � �@� � � � � A

> < � : �@� � � A < � � : � �@�� � � � A

� < � : 7 @� � � A < �� : 7 �@� � � �� A

��� ���� ����� � � � � 7 � � � � � � � 7 �� ��� �������� �� �%����� �����

; < @� � � A� : � � < 6 @� � � �A� : � ��

> < @� � � A� : � � < @� � � �A� : � � ��

� < @� � 7 A� : 7 � < � @� � 7 �A� : 6 7 �� �

���� ; �%���� �����

N@� � �A � 6@� � � �AO� : N� � � �O� < 0�

C� �� �� ����� ����������� �� � � � ���� �2���� ��� �� �� � �

� ����� �� ���� �������� �� ��� ������ �� � � � ����� �� �������

���� � � ����� ���� ��� ���� !�� � ���� �������� ���� ��� > �

� �%������ � ���

� � � < 6 @� � � �A � < � �

� � � < @� � � �A � < � � �

� � 7 < � @� � 7 �A 7 < 6 7 ��

����� ��� �%����� �����

; < @� � � A� : �� <

Page 96: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� � �

� �� : �

� �

� ��

�� � 6

� � 6� : 6

� � �

� � 6�

> <@� � � A @6 � A

@6 � �A@ � � A;:

@� � A @� � 6 A

@6 � �A@ � � A�

@� � � A @6 � A

@6 � �A@ � � A:

@� � A @� � 6 A

@6 � �A@ � � A< � �

��� � � ����

��

��

� : ��

��

��

� : ��

��

��

� : ��

��

��

� : ��

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

����� ����8��

17:26 30 Oct 99

> < @� � � A� : �� <

� < @� � 7 A� : 7� <

@ 6 � A; < 6 @� � A� : @ 6 � �A�

@ � � A> < @� � � A� : � @ � �A�

@ � � 6 A� < � @� � 6 A� : 6 @� � �A�

@� � �A@6 � A; � @6 � �A@ � �A>

< @� � �A6@� � A� � @6 � �A�@ � �A�

< �@� � A@� � 6A�

���� ; � > � � � �� �������� @C� 6 < �� ��� � < � � < ; < � �

��� ������ ����� ������ C� < � � ��� � ����� �� �� ���A �

C �������� *� ��� ���-�� ������� ����� ������ �� ��� ���� ����������

��������� � ����� ��������� ��� �� ��� ��� ��������� �������� C�

������ ����� ����� �� ����� �������� ���� ������ ��� ������� ���

��� ������ �� ��� ��������� �� ��� ����������� ��� ������� �� ����� �����

���� ��� ��������� ��� ��� ��� ����� ������� �� ���� ���� �� � ����

������� ��� ������� ���������� &�� ���� ���- � �������� +/� ��� �����

���� ��� ��$��� ���� ��-�� ������ � ��� ����� C� �� ��� �� �����

��� ��� ����������� ��� ��� ������ J���� ��� �� ������ ��� �������

��� �� ������ ��������� �� ��� ������ !�� ��� �� -�� �����

���� ���� � ����� �� ��� ����� ������� ������������

�������� �� =���� ��� ��� ��������� ������� ��������� �� ��� ������

�� �������� *�

"�������� 8�� ��� �������� ������ � ������ �����*� &�����

��� ��� < � �� ��� <

��� ��� < �� ��� < �

Page 97: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� � ��� ���

�� ���

�� : ��

� : ��

��

� � ��� ���

�� ���

��

� : ��

� � ��

��

�� : ��

� : ��

��

�� � ��

� : ��

��

��

� � ��

� : �� ��

� : ��

� : �� ��

� : ��

�� � �� : ��

� : ��

� : ��

� : ��

�� � �� � ��

� : ��

� � ��

� : ��

� *�� �� � *��

� � * ��

� : ��

� ��

� : ��

� *�� �� � *��

� : * ��

� : ��

� ��

� : ��

� * ��

� @�� � �� A� �� : �� : ��

� : ��

� � ��

� : ��

�# ��

� @�� � �� A�

�� : �� : ��

� : ��

� � ��

� : ��

*

���! ��

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

;���� ��� ������ �� ��� �� � �� ��������� ��

� � � ��� < <�

�� � � ��� < � < � ��

���� ��� �� � �� ��������� ��� �%�����

� < @� � � A � < @� � � A �� �

�%���� ����� ����� �� ������ ��� � ����� ���

� < �

5������� ��� ��� � ������ �� ���� ������ ��

������ � ���������� ��� ������� ��� ���

;�� �������� ��� ��� � ������ ��

������ � ���������� ��� ��� � ������� ��� ���

� <

< �

��� �� � �� ��������� ���� � ���� ! < >� � �?� ;���� ��� �������

< � � � < >� ��� ?� �

< ! � � < >� � � � � ?�

< � � � < >� ��� ?� �

�� ��������

Page 98: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� � � �� @ � � �� A

��

� : ��

� � � : @ � � �� A�

�� � � �� @ � � �� A

��

� : ��

� � � : @ � � �� A�

�� � � �� @ � � �� A

��

� : ��

�� � � �� @ � � �� A

��

� : ��

��

� : ��

� ��

� : ��

�� : �� : ��

� � ��

� � ��

� � ��

*

� & ��

� ��

� & �

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

��� ����! <

��� ����! < �

�� ���� ��� ! ���� � ��� �� ��������� ��� ���� ������ ���

< �

4��������� ��� ��� ���� � ����� �� ���������� �� � ��� ����� �� �����

�� ��� �%����� ��� ��� �� � �� ���������� ����� � �������� ���

���� �� ��� �������� �%���� ��������� !����� ��� ��� ��� ������� �%����

�� �%������ ��

� @� � � A < : @� � � A �� �

"�� ����� � ��� �%������ ��

� < �

����� �� �������� ������� �

�������� �� ���� ��� �������� ���� ��� ������� ����� ����� ���

��� ������� �� ���� �� ������� ���� �� ��� &������� ������� C� ��������

������� ��-� &��������� ��������� ����� @�/**A� "�� ������ ��������

�� ������ ����� ������� �� ������ ��� ��������� ��������� ����� ��

&��������� ������� �� ����� ����� �����������

"���������) 8�� ��� �������� ������ � ������ �����*� ����

� < >� �0? � < >� �0? � < >0� � ?� � �

� > 0 � ? 0 � ? 0�� � �

8�� ��� ����� ���������� � ��� ��< � � ��� �� <

� ���� ����������� � ������ � � � �� � : � � � : � �� � � � � �

� � � �

���������� "� ��������� ������� � � � � ������ �� � � � � �� �

� � ��� �����2� ��� ���� �� �%��� ������ !�� � ���� �������� �������

� ���� ��������� ���� �� ���� � � � � �

&����� ������� ��� ������ � �� ���� � ��� ��������� �� ��� ������

! � � ��������� �� *� � +'� 4����� ��� ��� ����������� � �� ����

�� �� �� ��� �%����� ������� � ���� ������� 4��� ��� ����� ������

������� �� ������ �� ���� ���� ���� � � � ��� ����������� �� < � � ��� �

Page 99: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

@�� � �� A ��

�� � �� : � : �

� D ��� <� � ��� ���

�� ���<

� :��

��

<�� : �

���

�� : �

��@� � �� A

�� �

�� : ��

# �� ���<

#��

< ��

# ���

��� �

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

������ ������� ��� ��������� �� ��� ����������� �� �� ��� ����� �������

&������ ���� ��� &��������� ������ �� ������� �� ��� �%���� @!� �A <�

@� � ��A � &����� ������� ���� �%���� � �@� � � � � � � � �A < 0� ������

� � �

� �� ����� ������ ���������� ��������� !�� �� ��� ��� �����

������� �� ������� ��� ����������� �� � E��� ������� �������� ��

�1/ �����E� ������ ��� ������� �� 2����

"�������� �� ��� ��� ������ � �� ���� � ��� ��� ��� ��� ��� ��

�� � ����� ��� �������������)

� � @� � � A � < � T � � @� � � : � : �A� �

� � � � �

� < �

��� ������ ! < >� � � ? �� ��� ���� � ��� �� �������� ���� � < � �� � �

�� ��� � � ����� ������� ��� ���������� ������

���� ��� �%���� ��

� <

� ��� � ��� � < � � ����� ��� � < � )�

� < � :� �

.������� �� ��� �� �� ����� ��� ���� �� ��� ����� �� ���� �� ����

�� ��� ��� �� ��� ������ �� ��� �������� ��� �� ��� �������������

*� � ����������

� � < � �� < � � @*�A <� �

��� ���� �������� �� ���� ��

�� < > � � � � � � � ?� �

� �

� � < > � � � � � � � ?� �

� �

� � < > � � @� : � A� 0?��

� �

��� ����������� �������� �� ���� �� ��� ����� ������ �� �%����

� < � � @ � � � : � � � A < � � @� : � A� � � �

� � � �

Page 100: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� : ��

#

���� ����

# ��

+1��

� �� � � � � � � � �0��

� ��

�1@�� � �� � � � � A� @�� � � A�

/�� � � : � � � : /�� ��

�1@�� � �� : � : � A

�� ���� ���� � �� ��� � ��������

17:26 30 Oct 99

I

O�

r

R�

Figure 5.11S.8C������ ���� �������

��� ���� ������ ! �� �

� ���� � ���� �����

� > �� � !� � < �� � � �

� ��� ����������� � � < >� � � ? �� ��� ���� � ���� ��� �%�������� � � �

���� � � � � �� �� ��� � � ����� ��� �%����� �

N � � � � � O : N � � � � � O < N � � � � @� : � AO : N � � 0 O �� � � � � � � � � � �� � � � � � �

� ���

� < � < �� � � �

�� ����� ��� ������� � � � ���� ������ ! � �� � ���� � �

�� �� ������� ����� � � ������ ����4�/� ���� ������ ��������� �� ����

��� !� � < � � � � � ����� �� �%������ �� @!� �A < @� � � �A �� �

4��� � < � � ���� ����� ���

@ � � � A : @� � � A < @� � � �A� � � � �

� � �

@ � � � A � * � � : � < �* �� � : � �� � � � � � �

� � �

@ � � � A < * �@ � � � �A � @ � � � � A� � � � � � �

� � �

@ � � � A < @* � � � � � �A@ � � � �A �� � � � � � �

����� � � � � � � � � � � �� ���� �� ������ ��������� � � � �

Using algebra software, compute

(x � x ) = = � ,I O �

2

(2 r � y � R �) ( y � R �) = = � .O � O �

The numerators are homogeneous polynomials in x , x , y , a , and bA B C

with 31 and 14 terms. The desired equation � = � holds just in case

(Numerator of �) � (x � x + a + b) (x + b) (Numerator of �) = 0.B A A2

This polynomial has 4 × 3 × 14 = 168 terms. Use algebra software to verifythat it’s zero. �

Page 101: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���� �������� ��

17:26 30 Oct 99

!�� �� �� �� ������ �������� +/ � ��� ���) =���� ��� ��� ���������

�� �������� ���� �� ��� &������� ������� � ��������� ��� �������

&������� ���� �� ��� ��� ������

Page 102: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

19:34 30 Oct 99

Concepts������ �����

���� ���� ������� �� ���� � ������� � �� �������

��������� ���� ������� ��� ����������

�������� ��� ���� �������� ������

������� �� ������

����������� ������� ������� ��� ����������

�������� ���� ������

����� ��� ����� ������������� �������

�� ������ �������

����������������� ������

���������

�������

����� �����

�� ��������� ��

����� ����������

� ��� ������������

���� ����������� ���� �������������� ������ ������������ �� ��� �������

���� ����� ��������� � ���� ����� ��� ��� ������� �������� �� ��� ��������

���� � ������� ������� ��������� �� �� � � ������������ ���������

Page 103: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ����� ��� �� ��� ���� �

������� � �������� ���� � � ���� �������

19:34 30 Oct 99

���� �����! �����"#�� �����#��� ������� $������ �����#��� �����

� ��� ����������� � ��� �"#���� �� ����������� ���� �# ��� �� ��

��� ����#����� ��"#���� �� #�� ��� �������� ������� � ��� ����� ��� �����

�� ��������� ��� �������� �#���� �� ��� ���#��� ������� ��� ������

����� %#� ����� ����#����� ���� #����� � ������ ��� ��#�� ����#��

����� ����� �� ��� ����� � �� ��� ����#����� �� ��#������ ����� &���

� ��"#��� ���������� ���������� ����� �� � ������ �� ���� ����

'� �# ��� ���#���� ��� �����#�� #�� ��������� ���������

���� �������� ����� �� ���� ������ �� � ��� !������ ��������� ���

���� #�#�� �� �������� ����� ���#�� �� #��� ��������� ������������

����� ��� �� ��� #����� #��� �� ����� ������ �� �� ��� ����� �����������

���� !�������� ����������� ����� (������� )� ����� ��� �� ��� ���

�������� � ��� ��������� �����#�� ������ ��� ��#�� �� ��������� �#��

�#������ ����� � ��������� ���#�#�� � � ��������� ��� ������� ���

��� ���� ��#���� � ��#����� �� !������ � *����� + ������ ��� �����

�� ���������� � ����������� �� ����� ��������� ,��� �� ��� ���������

� ���� ������ � �� ������� � ����� -�#��� ��� ��� � ������ +�+�

Basic exercises

(�������� � � ������ ���� ������� ���������� ��� ��� �� ��������

���� � !����� �� .#�� ����� � !������ � /�� ������ �������� � ���

�� ��� ��� �# � � ��#� �#����� � � � ����� ���������� ��

�#�.������� � ��� �# � ��� � � � !����� �� ���� ��� �# � ���

���� ��� � �� � �� ���� ������� � � �# �#�� ������� ������

�� �� 0 �������� �#����� ����� ���������� �� �#�.������� �#� ��� �����

� �� �� ��#�� &�����! ��� ��#���������� ��� �������� � �# ���#��

�������� � �#����� ����� ����� � �!�� �� ��� � ��� �����

����� -�# ���� ��� ���� �� ��� �� ��� ��� ��"#���� ���������� ����

� �#��� ���� ���#��� � ����� ������ ��� �� ���� ���������

��� ��� �� �����! � ���� �!�������� �� �#� �#� ������� ��

��#���������� �� �� � ������ � ��� ��!�� ��� ��� � ����

������ �� !������ � � ��� ��� �#�� ����� �� #�������

�������� �� 1���� ��� ��� ����������� ����������� �� ��� � ����

�#�� �� � �� �� ����� ���������� �� ������������

�������� *������ ����������� ����������� � � � � '� �� 2

�� � ��� 3�� 43�� 4 2 3�� 43�� 4 2 � 3�� 4� 2 �� � 2 �� 2 � � �� ��� �

�� ������������ '� �� �� ������������ ��� ���� 2 � � ���� ��� 2 � 2���

� � ���� �� 2 �� 2 �� � ���

Page 104: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���� ������ ��

19:34 30 Oct 99

�������� � *������ �#����� � 0 � �� � � 0� � �� �� ��� �� 0� ���

��� �� 1���� ��� �� � � �� �#�.������� ��� � �#�� �� �#�.������� /��

������ ����� �� �� �#�.������� �#� � �� ������ �#�.������ �� �.�������

��� � 1���� ��� �� � � �� �.������� ��� � �#�� �� �.������� /��

������ ����� �� �� �.������� �#� � �� ������ �.������ �� �#�.�������

��� � 1���� ��� �� � � �� ��.������� ��� � �#�� �� �#�.������ �

� �.������� /�� ������ ����� � � �� ��.������� �#� ������ � ��

� ���

�������� *�#���������� �� �������� � ��!��� � � �

(�� �� ��� ���� �� �� � � �� �� �� ��� �������� � �

���������� � ���� ������� ��!�� �������� �

���� �� '� � � � � ��� � 2 � � 3�4 ��� ���� � � �

���#�� � � �� �#�.������� �� � 2 � 3 � 3�44 �

���� �� '� � � � � � � � �2 � � ��� � � 3� 4 �2� � � � �

� � 3� 4 ���#�� � � �� �.������� �� � 3 � 3� 44 �2� �

� 3 � 3� 44 � �� � 3� 4 �2 � 3� 4 �� � �

���� �� ���� ������� ������� ���� ���� 3�4 �

3 4� �

��������

� �

������

������

� �

(�������� ) �6 ������ ���� �#����� ���� ��#� ���� �#������

'� ���� ������ �� ���� ���� � ��� ���� �� ������ 7 �� + ���#�� ��

���� �#����� ��������� ����� �� ���������� �� ������������ � ��� �����

�#���� ������ ����� ���� �� ������� 8� ������ 7 �����#��� ����������

����#!� ����� �"#����� �������� ��� ���#��� � ����� ��������� ��#�� ���

��� ���������� � ��� ���� ������ ��� ����� �� ����� ����� #�� ������

*������ ��#�9#�� �������������� ����������� � �����������

�������� � *������ ����� � � ������ � � � ��� ���� �#����

� � �� : � ��� ��� �� ������� ����� � 2 �� )� &��� ��� ������

�������� �� �"#�����0

34 � �� ���������� 3�4 � � �� : � �� �.�������

3�4 � � �� : � �� ��.������� 3�4 � � �� : � �� �#�.�������

�������� '� � �� ���������� ��� 2 �� : � �� � �� �� � 2

� 3 � � 4 � �� � � �� : � �� ��.������; ��#� 34 ������� 3 �4� *���� ��

3 �4 ������� 3�4 � 3�4� *������� � �� � �� �� ���������� ��� � ������

* ����� ����� ������� ������� � � � �#�� ��� �� 2 �� 2 ! � ��� � � �

�� : � 2 �� : � � �� � � �� : � �� �� �.������� ��#� ���34 �������� �

���3�4� �� 3�4 ������� 34� � 34 �� 3�4 �� �"#������

/��� � �#����� � � �� : � �� �#�.������� ��� ��� " 2 � �� � �����

������ � �#�� ��� �� : � 2 # : � � ����� # �� ��� "�� ���#� ��� � � �

��� ������ ����� # � ��#� �� 2 # ��� ��� " � �� �$ 2 # � ����� $� �

�� ��� ����� ���� ���#�� � �� � � '� ������� ��� ��� � ��� $ 2� �

Page 105: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ����� ��� �� ��� ���� �

19:34 30 Oct 99

��� �$ 2 ��� # 2 �� �� ��� � �2 <� ���� � �� ���������� ��#� 3�4 �������

34� �� ��� ��� �"#������ ���� �

�������� �� ��� � 2 �� )� &��� ��� ��� �!� �� ���� �#����

� � �� : � ��� ��� �� ������ �� ����� ���� ���� �� ��� ������

����� '����� ���� �� � ��.������= �%%�����0 /���� ������� ��� �#����

� 0 � � �� �

�������� /�� " 2 � �� � ��� # �� ��� ���� ���� �������� � � ����

" �� ���� ��� �� 2 �3� # : >> > : � # 4 2 � �# : >> > : � �# ��� ���� � � � � � � �

���� � 2 ?� � � � � � � @� '� �# 2 >> > 2 �# 2 ! � ��� �� 2 ! ��� �� � �� � � �

� ��� �!� �� � ������� �� ! ����

&#����� �# �2 ! ��� ���� " � '� �# � � � � ��# �� ��� � ��� %� � �

����#!� ! � ��� � �# � � � � � � �# �� ��� � % � ���� �� ���� �� �� � � �

*������� � �� � �� ���� � % � ��� � 2 ��# 2 �3�# 4 ��� ���� ����� �

� � �� � ���� � ��� �!� �� � � ��� ��� ��� �!� �� ����� ��� ��� % �

&#����� ! � �# � � �# �� �������� ��� ���� & � " � '�� �

�# � � � � ��# �� ��� � ��� � ����#!� ! � ��� � �# � � � � � � �#� � � � � �

�� ��� � � � ���� �� ���� �� � *������� � �� � �� ���� � � � ���

� 2 ��# : �# 2 �3�# : # 4 ��� ���� ����� � � � �� � ���� �� � � �

��� �!� �� � � ��� ��� ��� �!� �� ����� ��� ��� � 3��� ����� ���

�� � 2 4�

&#����� ! ��# � � � � ��# �� ������ 3�� � 2 )4� '� � �� � �

����� ��� � 2 � �# : � �# : � �# 2 �3� # : � # : � # 4 ��� ���� ���� � � � � � � � � � � �

��� � � � � � � � �� � ���� � ��� �!� �� � � ��� ��� ��� �!� �� �� � �

�� ��� ����� �����

��� �!� �� � � �� :� ������� �� �� ������� �� ��� ���� � : �� �����

� ���� � ��� �!� �� �� &� ���� ��� ���� �� ���� ��� 3��� ����� ���

�� � 2 4� �� ��� ����� �����

�������! �� �������� )� � �� ��.������ ��� � 2 � ��� �!� �� ���

����� ���� �� ��� � 2 ) � ��� �!� �� ��� ����� ����� �

������� 7�7�) ����� ��� �# � �� ���!�� ��� ��!�#��

�� ���� ������� ; ��� #�"#���� �������� ������� 7� �A� � � ���

�# � �� ��� � �� �� � � ��� ����� ������� ��"#���� �# �� ��!��

���!�� � ����� ������ �� ��������� -�#�� ���� ��� #�"#���� �� �#

������ ���!�� � ���� �� �� �������� �� � ��� ��#�� ���� #��

�� ��� ��!������ ����� �� ������ ���������� ��� �� ��� ��� �� ��������

� ��� ��#�� �� �"#������ ���!�� ��� ����������� -�#��� ����#��

���� ����� � ����� ����������� � ������ A� ' �������� � �# � ��#�

��� ��� "#����� ��� ������� ������� ��!���� �� ������ � ������

)� � ��!��� �� ��� �� �� ����� ������ ��� ��������� ��� ������� ���

�� ���������

Page 106: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� ��

���� ������ ���

19:34 30 Oct 99

�������� �� &��� ��� �� � � � �� ��!���� �� ��� ��� ��!��� ���

������� ������ � �#�� ��� �B � C 2 �� *�#�� ����� �� ����'� �������

� �#�� ��� � B � C 2 � = *�#�� ����� �� ����� ��������=

�������� ��� � 2 � � 2 � ��� % �� ��� ��� �����! � �

! �� ��� �������� � ' �� ��� ��������#�� ��������� % ���� 7�7�

������� ������� � �#�� ��� ( 2 � 3�4 � � 2 � 3� 4 ; �������� � 2

� � �� � 2 � ��� ���� ��� " � �� � �� ������� �� � �� �������� '�

��� ����� � ����� ����� ��� � 2 � � ' ��� ������ ��� � 2 % �� ' � ������

���� ���� ������ �� " � � ��� � 2 � � � ' ��� ��� ���� ���( �� � �

�������!��; ��� � �� ��� ��� �#� ��#� ��� ������

'� � �� ������ ��� ��� � ��� � � ��� � � � � � � � � � ��� �

����� ���� ���������� ��� �� � ��� � � � ��� ��� �� �������� �����

�� ����� ��� /�� �� ������� � ��� � ��� � � ��� �� ��� ���

��� ������� �� �� � �� �� � ) � ) � ) �� � � D���� � �� ��� �#��� �

� � �� ������� �

�� ��� ��!��! �� ������ 7�) �# �� ��� �� ��� ��� �������� ��� ����

�� ���� �� ����� �� ���� � ������ ��� % � ��������! �� �� ���

����� ����� %� �� �# ����� ���� ���������� ���������� �� ��� �"#���

�� ������� � ��������� !���� (������� 7 ����� ��� ��� ����������

����� ��� ������� �#���� ������ � ����� -�# ��� ���������� ���#�#�

�� ���� ���� ��� �#����

�������� �� *������ ������ �#��� � ����� � � � �� � �

3&�� ��!#�� 7������4 &#����� ���� ! ���� � �

�! : !� �� �� : ��

��� ���� ���� � � � ��� % �� ��� �!�� �� � ! � ������ �����

* � + � % �#�� ��� *�!�+� 1���� ��� �*!� 2 �+!� � �%%��E

���� 0 D�� �������� � ���� ���� ����� ��� % � ���!� ! � &���

�� ������� ������� ������������ �#���� , � ��� ������ � �����!

< �#�� ��� ��� � � � � ���� � 2 ?� � � @ ���� � .#�� � ���� � �

� 2 , 3� 4 �� �

Figure 6.11.1(������� 7

� �

� � � �� �� ��

��

� � � �

Page 107: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

3�� � �� 4� : 3�� � �� 4

� 3�� � -� 4� : 3�� � -� 4

���

3��� 4� : 3��� 4

�-�

3�-� 4� : 3�-� 4

�(

����3� 4�

���3� 4

����3� 4

����3� 4

����3� 4 �

���3� 4

��� ����� ��� �� ��� ���� �

�� ������� � ��� �� ������� ������ ��� ��������� ��� �������� ���! �"#$ ��%�

���� "&'�

19:34 30 Oct 99

�������� ��� � . ?� � � @� � 2 ?- � - @� � ������� ��� �#����� � � �

�3� 4 2 �� : �� 2 : ��

��� < 2 � �3<4 ���� �3� 4 �� ����#� ��� � 2 <� ��� ������ �

�����*!� � �����+!�

2 : 2 <� �

��� ��� �������� ������ �# �� #�� �����"#� ���� ������ 7�) ��

������ /!��� �������� ������ �� ���!�� !������ ������� �

������ ��A�

�������� �� &��� ��� �� �� ���!��� ���� �������� � � � � / � ���

��!�� �� �#�� ���( � ��� ������ ���!�� �� ��� �������� ����������

�%%�����0 &��� ����� ��� ��� !��� � � ��� �������� � : / :

/� �� 2 3�� 4 ����� �

�������� ��� ��������� �3� 4 2/� :� : / �� �������� ��� �

� � � / ��� � ���� ��� �3� 4 �� ��� ��� �� ��������� ���!��

� � � ����� �������� !�� �� ���#�� ��� � � �����

����� ��!�� ��� ��!�� �� � ���� ������� �3� 4 2 3�� 4 ����� � �����

�� �����F�� ��� � �� ������� �� � ���� ��� ��� � �� ��� ���� �� ���

����#�� ����#!� � � &������ � � / �#�� �� ��� ���� �� ��� �����

����#���� ��

Classifying isometries

,��� ��������� #��� ���� ����! �� �# �� ������ ������� � ���

��� ������ ������� ���� ��� ������ �� �� �� ����� � ��� �� �����������

� ������� ��� �������� � ��� ��!����� ���#�0

0�� � ������

��������� ���

������� ������

������ ����� � !�� �������

!���� ��������� ��� � �������

(�������� A � G �� ��������� �#��� #�� ���� ����������� �� ����� ����

���������� �� ���������� � !�����

Page 108: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� �

�� �

���� ������ ���

19:34 30 Oct 99

�������� �� &��� ��� ������� � �� ��� �� � �� �� � 2 �� ��� ����

������� � �

�������� *���� � �� �� ���� $ ��� ����� ��� ��� �������

� �� ������� ���� ������ + �� ������ ���� !�� ������� �2

<�� ' ��� ����� ���� ��� � �� ��� ������� ���� ������ � �+� ' ��� �������

��� � �� ��� ������ ��#� ��� ��� ����� ���� !�� ������� � � ��

' ������ ���� � 2 �� � �

�������� �� &��� ��� ���� ��� ������� �� ��� ���������� �� ��� �����

������ �����������

�������� H������ � �������� �� ����������� �� ��� ���

����������� '� � �� !���� ��������� ���� ��� % � ��� � 2 � � ��� �����

������� � ���� ������ ������ �� %� ���������� � 2 � � ��� ���� �����

! � � � % � �� � 2 � � � 2 � � � ����� ' �� ��� ��������#�� ��� �

% ����#!� ! � �

�������� ��� 1���� ���#�� ���� ������� 7�G�) � ����#�! ��� ������ ��

���������� 7���+ � 7���A � � F�! ��� !��� ������ � ��� ����

������� ������ �����#� �������! �� �"#���� �� ������������

�%%�����0 %� ����#� ��#� ��� ��%�� �� ��� !�� ��������� -�# ����

��� �� !�� �������� ��� ��� ���#�� � ��� �������� '� �� �������� ����

������ 7�� �� ������ 7�G ���#�� �������� ���!��� �� !�� ��������

��� �������� ������ �� �� ��� �� ���������

�������� *������! ������ � �������� ������� ����������!

!��� ������ � ������ ���� � ��������� /�� ��� ������� �������

�������� !�� �� ���!��� �

(������� �� ������� ��� �����#� ���#�� ��� �# � #�� � ������

���� ��������� �� ��� ��� ��� �� !���� ����������

�������� ��� &��� ��� ��� ��� �� !���� ��������� � 0 � � � � �������

�� ��� �������� �� �� ��!���� �

�������� *���� � �� �#�� �������� ��� � ��� ���� *������� � ��

� �� ������ + � ��� % � $ ���� � % � ��� � 2 $ � � �+�

���� � % � � � 2 � : + � � $ �� ��� ������� �� � �

�������� �� *����#�� ���� ��!�#� �� ��� �� �������! ������� 7�G� �

�� ���� ��� �������� ���� �� ���� ��� �� ����� � ��� ����#� �����������

� ����� ��� ��!�� �� ��!�� �� ������ ������ �� ����� ������ ���� ���

�� �� ����� �����1�� ������ I�� ���������� ��� �������� ����� ����=

I�� ���������� ��� ����� ����� �� ���� �� ����� �� �����=

Page 109: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�!+

��

���

��

���

��

���

��� ����� ��� �� ��� ���� �

�� �(���� � � ��� �� ��)����� ��*+ ��#,$ �-� ��

19:34 30 Oct 99

��������

(���� #�� ��� 0��� ��� ��

3<4 � �� ����

3�4 � J ' 0 ' 2 % �� ' % K�

3 4 � ���� + �2 ! J ' 0 ' � K�

3 ��4 � ���� ��� )7<� �2 <�� �A<� ���� �

3 �4 � J ' 0 ! � ' K

3)4 � � ���� + �2 ! J % K� �

��� ����� ���� �� ���� 3<4 � ��� ����� ��� % � *��� 3�4 �� ��� ��

�������� ����� ����� ��� ����� ���� ������ ����� �� ������ 3 4 � 3)4

���� ����� ������ �

��� �����! ��������� #��� ���� ����! � ���� ���� ��� ��"#���

�# �� ������ ����#� ���������� ������! �� ��� ������ �������� �������

����� ����� ������ �� ����� �������� � ���� �����#���� � ������

��������� ��������� �� � � � *� �'�� �����2

�������� � � ��� + + > > >+ �� ����� ��� !� � � � � � � � ��� � � � � �

��� ���#��� �� ��� ����������! ������ !���� �� ��� ������ + ����

�� � � ���� ���#�� � ���#� + � 2 + � ���� ��#!� ��� �� � � � � � �

��� �� ����� ��� ��������� 3&�� ��!#�� 7���� ��� ������ ���� � 2 6�4

*������ ��������

� ���� �������

� ���� �������

� �

� ���� �������

� ��� � 2 �� ��� �� ������� ������ � ���� ����� + � !�� �������� �

� *����� ��� ������� � � � � > > >� � �� � � � � � � � �� �

�� � �

� �

� �� � �

� ��

� �� �

� �� �

� � �

�� �

Figure 6.11.2(������� �)

Page 110: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

���

��� �

��� ������ ���

���� ������ ���

19:34 30 Oct 99

�������� ��� ���������� � �� ��� � ����� � � �� ���� ������ ��#��

� ���� !�� ��������

� 2 3 : >> > : : 4 ��� )7<�� � � ��

2 3�A<�� � )7<�4 ��� )7<� 2 3�A<��4 ��� )7<�

���� �� <� �� � �� ���� �� �A<� �� ���� ���� ��#� � 2 � �� � �� ��� �

� 2 �� � �� ���� �

�������� ��� *����� ��� ���������� �� !���� ���������� ���� ��������#��

��� % � ' � ������� + � 3�

�������� ���� % � ' ���� � ���� !� ��� � 2 ! : � �+ � 4 2�

! � � �3 � � 5 2 ! : � �+ � � �3 � �� ��� �!45 �� ����!�� � ���� � �

!���� ���������� �� � 2 � � 2 � � � � � 2 � � 2 � � � � ���� � � � � �

� � 2 � � � � � � 2 � � � � � 2 � � � 2 � 2 � � � � � � � � �� ��

�������� ��� *����� ��� ����������� �� ��� ��������� ����� ��� �����

�������� ��� � ��� ������� ���� ������ ?�� @� � ���� �������

�������� *������ ��� ����� �������� ��� ' � ��� ���!� ! � ��� �����

* 2 ?�� <@� + 2 ?<� �@� � ��� 3 2 ?�� @� % ������� 7�+� � � 2

� � �� !���� ���������� &��� � 3! 4 23 � � 3* 4 2* :3� ��� ����� �

� �3 � � � 3* : * : 3 4 2 * : � �3 ��� � ��� ���� ��� ��� �� ������� � �

���� ��� ��� � 2 �� &��� � 3+ 4 2 �+ : 3 � � �� ������ 3 � + 2 * ��

&������ � � 2 � � �� !���� ���������� &��� � 3! 4 2 * � + ��

� 3* 4 2 * � + � ��� ����� � �* � + � � �* � + ��� � ��� ���� ���� �

��� �� ��������� ��� ��� � 2 ��� &��� � 3�+ 4 2 * � + � � �� �������

* � + � 3�+ 4 2 * � �

�������� ��� ��� �� -� � � ����� ��� ���� �����! ��� ��!�� ��������

�������� � � � � � ( �� ���( � ��� � � 6 � � 0 ����� ��� ���� ��

��� ����������! ����#���� &��� ��� � � 0 ��� � ��� ��� �� � 2

� � � � *����� � ���� � �

34 ��� 2 ��� 2 7<� 3�4 ��� 2 ��( 2 6��

3�4 ��� 2 ��� 2 6�� 3�4 ��� 2 )<� � ��( 2 G<��

�������� % ������� 7�+� � � 0 � � � � �� !���� ���������� � ���� �

- � � � �� �� 2 � � � 3�4 2 � � 3�4 2 � 3�4 � � � �������� ��� ���� � � � � �

������� � �� ���� � ��� ��� % � ,�������� � 2 � � � �� !������� � �

��������� ���� ��� ��� ���� �� � ��� ��� �!#���� 0 ���� � % � ����

���#�� ��������� ��� ��� ��� ������� 34 �� 3�4� ����� ������� �� 2

34 ��� 3�4

3�4 3�4 � �

Page 111: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��������

��������

��������

��

��� ����� ��� �� ��� ���� �

��*���� �(���� � ����� �� ������ ��� ��� �� ��( .���� �'/! �''��

19:34 30 Oct 99

Constructions

/������! ���� �������� ������ �� !������ � �#�� ��� ��� ����

������ �� �����#���! �����.����#��� ��#� ������� ���� ����� �������

�� ����!����!� � ��������� ' ���� (#������ ������F��� �� ���������

������ � ��#� �� .#�� ����� �����#������ ����� �� �� ��� ���� �

����� �� ����� ���� ���� �� ������ ���� ���#�� ��� ��� � ��!�� � ���

����������������� ��� ��� ���� ���������� �������� ���!� ����

�������� !������ ��� ��� ����� ������ (�� � �� ������ � ���������

������������ �������� �� ������������ �#� ��� ���������� � �������

����� �#��� ��#���� � ���� ������ ���� ���� ��!�� � ����� �� �� �# ����

��� �� ���� �����#�������������!����!����������� �����������

� ���� ��� � �

�������� ��� &#����� �# �� �� ���� ��� � ��� ��� ���� ��!��� �

���� ���� % � ' � � " �� �������� ����� �� ������ ��� � � � � ��!#��

7����)� 8�� �� �# ��� ��� ���� � � % � ����� �# �#�� ��=

�%%����� 0 �� ���� ������ ��#�� ������

�������� /�� � 2 � 3� 4 � � 2 � � 3� 4 � � � 2 � � � 3� 4 � �� � � � � � � � �

��� � �� ��� ���������� �� % ���� � /����� � ���� ������ % � � �

� ����#� ��! � B C 2 � L���� �� ���� ������ ' � ���� 4�

� ����#� ��! � B C 2 � ��� �� ���� ������ " � ���� 5�

� ����#� ��! � B C 2 � ��������� �� ���� ������ � � ��

�������� ��� *������ ������� ���� % �2 ' � ����� ����� �� 4 �

� 5� /�� ��������!��� ��� ��!��! � % � ���! � '� �#��

��� �� 4 � � 5 �� ��� �������� �� ��� ��!����� * ����� �� ����

�� �� �#�� ���= I�� �� % 2 ' �� % � '=

�������� ��� � �� ��� ���! ���� � '� ��� ���� �� ��� ����� ��!����

� ��� �� �� ��� ������ �� � 3� 4 � ����� �#�� ��� � � B'C � ��� ����� �

�� ��� ����� ��!���� � ��� �� �� ��� ������ �� � � 3� 4 � ����� �#��� �

Figure 6.11.3(������� �+

Page 112: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� �

���� ������ ���

19:34 30 Oct 99

��� � � � B'C � ��� ���� �� ��� ����� ��!��� �� ! 2 � � � 3� 4 � ������ � � �

�#�� ��� � " 2 � � � B'C� ��#� ! �#�� ��� � " %� &��� " � '� ������� � �

����� �� �#�� ��� #���� % 2 ' �� % � '� ' ���� ��������� ��� �������

� ��� �� " � ' ; �� " 2 ' � �# � ������ ���� ! � % � �

M�� �#� ���#��� �� �������� �+ ��"#��� ��� ��� ���� �� ����!#��=

1����� ��� *�#�� �# ����� �� �� ��� �� ����� ��� !�� ���� ����

#���� �� ��!��= 1����� ��� �# � �# �� �#��� ����� ����

����� !��� ���� ���� (������� �A ����� ���� ��������� � �����

�� 4� �5� * �# ����� �� �� ��� �� #���� �� �����= (��������

)6 � )� ������� ����� ��� !�� ���� �� ���� �����

�������� ��� *������ ��� ������� � ��� ��� ���� �� ��� % � /�� ����

� � % �#�� ��� �!��� ����#!� � �� ��� ������� ��� �"#� !��� ����

% � 8��� �#�� ����� �� �����= �%%�����0 H������ �� �� ��� �������

����� % � � � ��!#�� 7����6�

�������� *�� �� ������ � � ��� ����� � � � ��� �� 2 � B C � � � ���

��� ���������� �� % ���� �� ��� ��#� ����� �!��� �� � � ��� �

�������� �� *������ ��� ����� � � � � ��� ��� ���� �� ��� % �

/�� ����� ! � �� � 4 � % �#�� ��� ��!�� 2 ��4�� � �%�

%����� 0 *������ �������� �G�

�������� ��� �� ��� ������ ���� ����� � �!�� �� % � � � 2

� 3� 4� � ' �� ��� �!�� �� ����#!� �� ��� ���� � ��� ��� �����

�� � � 3������ �!�� �� � � � � � � �� �������4� ��� � ��

��� ���������� �� % � ' � �

�������� �� *������ ���� � � �������� ������� � � ����

��� ����� 4 � 5 � � �#�� ��� ��45 �� �"#������� D���

��� ������� � �� � � �� ���#��� ��������= 8��� ���#����

� ����� ��= �%%����� 0 $ ����� �1� ������� �#�� 4 ���=

Figure 6.11.4(������� �G

Page 113: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ����� ��� �� ��� ���� �

19:34 30 Oct 99

�������� 5 2 � 34 4 �� � 34 4 � ����� � �� ������ ��#� � ������

!�� ������� 7<�� ��#� 5 ���� � � � � B C �� � B C � (����

�� ��� ����� ������� ��#�� �������� ������ ���� �� �� � ��� ��� #����

�� ����������� �� ��� #���� �� ���#����� �

�������� � 9��� ���( ���� ��� ? G<�� ��� ����� ( � ( �� �

��� ��!� �������� ( � ����� � � � � ��� ��!�� �������� � �� �

� �#�� ��� � � ( ( �� ����!�� � ( ( 2 3� ( 4 �� � � � � � � �

�������� &����� ���� �� ������� �� ��� ��!� �������� � � � ����

(� �� ��� ���� �� ��� ��������#�� ���� �� �� ��� ��!� ��� � ��������� �

( � /�� ��� ���� (� � � �#�� ��� ��(��(� � ( �(� 2 3��(�4 �� � � � � � �

/�� ��� ���� �� �#�� ��� ����(�(� �� ����!��� ��� % �� ��� ���� � � � �

����#!� � � �� � /�� ��� ���������� � �� % ���� ��� ��!� ������ �

���� � � 1�� ' � � ����#!� � � /�� ��� ���������� � �� ' ���� ���� �

��!� �������� � � /��� � ��� ��� ���� ( � ( �� ��� ��������#���� �

�� � ����#!� � � � � �� �

�������� � *������ ���� � � ��� ������� � � � #����

� @ <� /�� ����� ( � � � � �#�� ��� (���� � �( N�� 2

� � 8��� ���#���� ��#�� ����� ��= M�������� � ��������� � �# ��

��� ��� � �� ����� � ��� ����� ���#��� �� ��������� �%%������ 0 $

����� �1� ������� �#�� ( ���= M�������! � �� ������#��; �# � ��

�� ���� ��� ����� � ����������! �� ������ ���#�� ���� �� ����� (

� � � � � ��� ������ �� �#� ���������� � �� ������!

� ��� ���#��� �� ��� ��������

�������� ��� � �� ��� ������ �� �������� ���� ����� � � ����

� � ��� ( 2 �� 3�4� �� ( �#�� ��� � ���� � �� B C� ����� �������� �

�������� ������ ���� �� �� � ��; ��� #���� �� ����������� �� ��� #����

�� ���#����� &#����� � ��� ������ ! � � ; ��� 4 2

!3� � �4 : �� � '� � �� �#�#�� ��������� ��� � �� #�#�

���� ����� 4 � '�� ��� ��#�� �� �!�� �� ��� ��� ����� �����

�!��� �� � ; ��� �#��� ��#�� �� �!�� �� ����� ��� �����

������ �!���� 3����� �!��� �� �������� � ��!#�� 6�7�6�4 ' ����

��� ��� � �� ��� � ���� �#�#�� ��������� �

Exercises on equations

(�� �������� #��� ���� ����! �� ����������� ��� �"#��� ��2��:�

�� ���������� � 0 � � ��� ' ��������� 6 �� 7 ��� ������� �� �����

�� ��� ��� �"#������� ��� ��� ������ �� � � ��

Page 114: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

������ �����

���� ������

�����

�����

������� ����

����� �������

����

����

��

� ��

��

� ����

�� �� ��

��

� ��

� ��

� ��

���� ������ ���

19:34 30 Oct 99

�������� �� ��� ������� ��#� ��� ���� / 2 ?�� @ ��� �� ��� ���

� � � 2 < ��� ��� ��� � � � 2 ��� M������� ����� �"#����� ��#���� � � �

�� ��#� ������ ������

�������� ��� ����� ������ �� � �� �� ��� !��� ���� ��� ����� ��

��� ����� �� 2 � �� � ��� � ��A�6)6G� � 2 : �A<� ��� � ��

�7���7���� (�� ������ �� �"#��� � � �� 2 � � : � ��� �� ��#� ���

� ���� ������ � � &��� ��� ��� ��� ������ / 2 � / : � � �� � 2�

/ � � / � /�� ��� ������ �� �"#���� �

� � 2 � :

����� ��� �����

� � 2 � : � �

�������� �� *������ ���� � 2 ?� � � @ �2 ! � ��� ��� % � �

����#!� ! �

��� �� &��� ��� � �� ������

� 2 # � 7 � ����� 7 2 �� 2 ��

��� � *������ ��� ��� ' ����#!� ���� 4 � &��� ��� � 0�

� � � � �� �"#���

� � 2 �� : 74 �

��� � /�� �"#��� ��� ��� ��������� ����� ��� ��� ' ���� �"#�

��� � : � 2 )�� �

��� �� /�� �"#��� ��� ��� !���� ��������� ���� ��� ' �

������ ? ���@�

�������) ���� �� ��� ���#��� ��� ���� ��� �� ������ � ��� ���

��� 3 4�

���� �� �� 2 � : �� ��� ���� ���� � � ��� ������� $ 2 � � 3� : � �4 2�

� : � � �� ���� � ' � �� < 2 � 3$ � 4 4 2 � � : � � �� � � � 4 � ��� � � � � �

� 2 � � 3� � 4 4�

� � 2 � � �� 3� � 4 4���

Page 115: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� ��

� ��

� ��

� ��

� ���� ��

��

��

��

��

� ��

� ��

� ��

���� � ���� ��

���� � ���� ��

� ��

� ��

� ��

��

� �� ��

�� �� ��

��

��

� ��

� ��

� ��� � �

� ����

��

�� � �

� � �

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��� ����� ��� �� ��� ���� �

19:34 30 Oct 99

2 � � � : �

2 � � : �

2 � � : �

2 � � : �

2 �

���� �� ' ����� ����#!� 4 2 ?�� �@ � ' � ����� � 2

?�� @� ��#� � � 2 �>� : > 2 ���

7 2 2

� 2 # � � �7 2�

� �74 2 2�

� � 2 � : �

���� 8� ��� !���� ��������� �� ��� ���������� �� �� ��� ��������� ��

��� 3)4 � ��� ������� � ���� ������ ? ���@� �� ��� �"#��� ��

� � 2 � : : 2 � : � �

�������� �� *������ ����� � 2 ?�� <@� � 2 ? � <@� � ( 2 ?<� @�

� ��� ���� � � 0 �� ��� ����#��� �� ���( ����#!� � � ( �

�������! �� ������� ��A��� ���( E ���0�

��� �� /�� ��� �"#���� �� ��� �������� � 0 � � � � ��� ���

���( ��� ���0�

Page 116: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

��

��

� �

� �

� �������� ����������

����������� � ��������� �

34��� 2

��� :

���

��� 2 ��

��� :

���

3�4��� 2

��� :

��� : �

��� 2 ��

��� :

��� � �

3�4��� 2

��� �

���

��� 2 ��

��� �

���

3�4��� 2

��� �

��� : �

��� 2 ��

��� �

��� � �

���� ������ ���

19:34 30 Oct 99

��� � I���� ��� ����=

��� � (������ � � ���������� �� ���� �� �� �� �����0 ����������

�������� ������� !���� ���������� ������� � ���������

��� �� /�� ��� ��������

�%%�����0 ��� ������ �� �������� � ������ ��� � ���� ��� ���#���

�� � ���� �� ��� ���� �"#���� � ��� #����� -�#��!�� �� �� �����

��� ��� ��� 3�4� ��� ���� � 3)4� $� �# ��#�� ����� 3)4 ����� !���������� �

��� �� 3�4�

�������) ���� �� � �� �"#��� �� 2$� : + ��� ���� ����� $ �

������ + � H�!�� �"#���� � 2$� : + � � 2$� : + � � 0 2$( : +

� � ���� �� ��� ���� �"#���� � ��� ������ �� $ � � � &���� ����

�� ���

$ 2 + 2 �

���� �� ���$ 2 � � � � �� � �� ��� � � � �� ��� �"#�� �� ��� ���� � �� �

�� � 2 � � ��

���� �� (������ �

� � 2$� : � 2 � � ��

���������� � �� ��� ���������� �� 3�����4 ��� ������ ��#� ! ���� !��

���������)��� ��� ��� ��������� � ��� ��!�� � 2 � � ��� ��������� �

���� ����� ! � ���� � � � � 3���4 ��� ������� ���� �����

��� ?�� �@�

���� 8� �� ��� ��� ������� � � ����� �"#��� � 2$� : � �� !�� � 2

3# �$ 4 � 2 ?7�� @� ���

(������� + ��� �# �� ������ ��#� ������������ /����� ���� ���

��� ��� ����������� ��� �# ��� ��� ��� ����� � �� � ��� ������ ��������

���� ���������� D�� ����O ��� ��!�� �� ��� ���� �#� �� �# ����#��

���� ����������

�������� �� &��� ��� ����� ��� �������! � ����� �� �"#���� ���������

������� � � � ������ ���

Page 117: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

��

��

��

�� 2�

��� :

��� : �

�� 2 ��

��� :

��� � ��

��

��� :

��� 2 ��

��

����

��� 2 � �

�� 2�

��� �

���

�� 2 ��

��� �

��� �

��

��� �

��� 2 <

��

��� �

��� 2 < �

��� ����� ��� �� ��� ���� �

19:34 30 Oct 99

�������� *�� ����� ����������� � �� � � ����������� � ��� � ��

��� ������� ���� ������ ?����@� ���

� 2 � 2 �

-�# � ����� ��� �� 2 �� 2 # 0 ����� �� �����!�� �������� ��#�� �

� � � �� ����������� � �� �� � 2 � � � � 2 �� � *���#�� ��� � 2

� � ���� 2 �� �� ���� ��� � � � �� ��� � � � � �� ����

&��� � ����� ��� ���!� !� ���� ������ ��#� ! ���� !�� �������

� ��#� � �� ��� ����� � ������ � ������ 7�A� �� ��� 2 � � ���

�� 2 � � � � ���� � ��)��)�� % ������� 7�G�)� � �� ��� ������ �����

!�� ������� � *���#�� ��� ��������� � � � �� ��� ����� �� �

� �����! ��� �"#��� � 2 � 3� 4 0

��� ���

-�# !�� � 2 ?� � � �� � � @�� �

&��� � ����� ��� ���!�� ���� ��������� ����� ��� % ����#!� !� 1����

� � % �� �����0

��� ���

���� � ���� �� �"#���� �� ���#��� '�� ���#��� ������� �� �� �����

� 2 ?� � � @ �#�� ��� � 2 � � � ��#�� % �� ��� ��� ���� �"#��� � 2� � � �

��� ����� � 2 ?� � �@�

��� !���� ��������� � ��� ��� ���!� �� ! � 2 ?����@ � ��� ����

* 2 ?�� <@ �� * � 2 ? � � �� � �@� % �������� ��� �������� 4 2�

� � 3! : ! �4 2 ? � � �� � � @ � 5 2 � � 3* : * �4 2 ? � � �� � � @ ��� � ���� � � � ��

��� ' � ����� ��������� �� �"#��� � 2 4� : 53� � 4� -�# � �������

��� �� � 2 �� : 5 � /��� � � �� ������ 4 � � 4 2 � � �� � ��

������ �������������� ��#�������������#��� ��� ������Classifyingisometries ����!� �� ����� ���� �# ���� ���� ��� �� ���� ���� �����

�"#����� %#� ��� ��!�� �� ��� �������� � �

�������� �� *����� ��� ����������� �� ��� �� ������ ��#� ����

? � )@ � ��� ������� ���� ������ ?6� �@� � ���� �������

Page 118: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� �

� �

< ��

�� <

���� ������ ���

19:34 30 Oct 99

�������� ��� 2 �� � � �� ��� ������ ����#!� !�� ��#� ����

���!�� ��� � �� ��� ������� ���� ������ � 2 ? � )@� % ������� 7�G����

� 2 �� � 0 � � � 3� � � 4 : � �� ��� ������ ����#!� !�� ��#�� ���

� � ��� � �� ��� ������� ���� ������ + 2 ?6� �@� ���

�� 0 � � � 3� : + � � 4 : � �� 0 � � � 3� � � 4 : � : + �� �

% ������� 7�G�)� ��� ��� ���� ������� ����#!� !�� � ����� ������

� / �� ����� ��������� ����� �# � ����#�� � �����! ����

� �����0

2 � 3 : + � � 4 : � / 2 � 35 � � 4 : � : +� �

3� � # 4 2 � 3� � + 4 � �3� � # 4 / 2 � � � � � +� � � �

� ?� A7�6+� G�7A@ / 2 ?� A �6+� )6�7A@� �

�������� �� *����� ��� ����������� �� ��� �� ������ ��#� ����

? � )@ � ��� 6� ������ ��#� ���� ?�� 7@� � ���� �������

�������� ��� � 2 6� � � �� ��� ������� ���� ������ 4 2

?�� 7@� % ������� 7�G���� � 2 �� � 0 � � � 3� � 4 4 : 4 �� ��� ������� ���

����#!� !�� � ��#� 4 � *������ ��� ������ � � ��� �������� A

���#���� % ������� 7�G�)� ��� �����������

� 2 � � 0 � � � � 3� � 4 4 : � 34 � � 4 : �� � �

� 2 �� 0 � � 3� � � 4 : � 3� � 4 4 : 4� � �

�� ���� �� �������� ����� ������ � / �� ����� ��������� �����

�# � ����#�� � �����! ���� � �����0

2 � � 3 � 4 4 : � 34 � � 4 : �� � �

3� � � # 4 2 � � 4 : � 3� � 4 4 � �� � � � �

2 ?6�)+G � ��6 ��@

/ 2 � � 3/ � � 4 : � 3� � 4 4 : 4� � �

3� � � # 4/ 2 � � � : � 34 � � 4 � 4� � � � �

/ 2 ?6�6 ��� ��)+G @� �

�������� �� *����� ��� ����������� �� ��� �<� ������ ��#� ��� ���!�

� ��� ��������� ����� ��� ��� ���� �"#��� � : � 2 �� � ���� �������� �

�������� �� ��� ��� �"#��� �� ��� ���������� ��� �������� 6� ���

3 4� ���� � 2 ?�� �@ � 4 2 ?�� <@� !����! � � 2 ��

7 2 74 2 � � 2 �

H�������� � ��� � � �� 9 � � ������ � ��� � � � � � ��#���

�� ������� ����������� � � �� 2 �� � : � � '��� !���� ������������

��� �������� 5 2 � � 3� : ��4 � � 2 � � 34 9 4�4 ��� � ��� ���� L#����� �

Page 119: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ����� ��� �� ��� ���� �

19:34 30 Oct 99

��� ������� �������� ��� ��� �"#��� � 2 �3� �<�4 � : ��<G�A� ���� �

������ �� 5 � � 5 2 ?�<�<+G )� <�<G66 @�

�� �� ����������� � � �� 2 � �� : � � � '��� ��� !���� ��������� ��

���� ��� �������� 5 2 � � 3� : � �4 � � 2 � � 34 9 4 �4 ��� � ���� �

���� L#������ ������� �������� ��� ��� �"#��� � 2 �3� 6<�4 � :� �

<�G�G�� ��� ������ �� 5 � � 5 2 ?�<�<G66 � <�<+G )@� �

� !�������� ���������� � �������� ���� ����� �� ��!#�� �����

�� ����������! ��!#������ ��!�������� � ����� ����� -�# ��#��

��� ���� ������-� ������ �� ��� ����������-� �� ��� ������� ��� ��1'��

������� ����� ������� ���� #��� � � ��� !������ � &#����� ��� ��!#��

�� �������� � ����; ��� �� �� ��� ��!�� � ���� � ���� ���������

?� � � @ ������� �� ��� ����� � ���� �� ��������� ?� �� � �@ �������� � � �

�� ��� ������ ��������� ���� � �� ��������� �����,�� ����� ��� ���

��� �������� ��� ?� � � @ �� ?� �� � � @� &��� ����� ��!�� �'�� � ���� � � �

���� !�������� ���������� ������0 1���� �� ��!#�� � ��� ��� ����

�������! �������� ����� -�# ��#�� ��� �� ��� ����� ������������ ��

��� ��� ���� ��� ��'�1��� �� ����� �� ���� �� "��1� ��� &#����� �#

�� �� #�� ��� �������� � ����� �� ����� �������� ������ �� ����

�������� '��� #�#�� �� �� ��� ��� ������� � ��� �������� ��

��� ��� �����; ���� ��� �� ��� ������� ��������� ��� �# � ������

�"#��� ��� � � 8�� �� �# #�� ��� �� ��� �"#���� ��� �����

��� ����������! �������� ���� ?� � � @ � ?� �� � � @ �� ���� � =� � � �

3����� ����������� ���� �����#���� ���� ���!��� �������� ������

#��� ��� ����! Transforming coordinate systems � ������ 7�G�4 /�!#���

� � �#� ����� � �� ��������� � �"#���� ��� ����� ��� ��� �������

��� �� ����� � �� � � 8�� �� �# ������ �"#��� ��� ������ ��� � �� �� ��� � � � � �= (������� )� �������� ���� ������� �� ����� � �

�������� -�#��� ��� �� ������ ��� � ��� �� #�� ��� �"#��� �� � �

��� �� ��� ������� -�#��� ��� ��� ��� �# ������� �"#���� ��� ��������

��!#��� ������ � ������� ��� ��� ��!�� �"#���� �� ���� �� ��������

�"#�����

�������� �� &#����� ���� � ������ �� �#� �����*����� ��������

� ���� ���� ���!� ! � �#��� #��! #����� �� ����

0 ���!� ! � 2 ?)� @�

0 #�� ���� *� ��� ��� ����� ��� ������ ����� � ���� �� !� � ���

��� ����#!� ! � ���� ����� �� �

0 #�� ���� + � ��� ��� ����� ��� ������ ���� � ���� �� ! ��

� ���� � 2 ?� � � @ �� ��������� � � � � � ������� �� ���� ������ � � �

���� � �����

��� �� /�� ����#�� ��� � � � � � � ����� �� � � � �� � � �

Page 120: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

���2

�� <

< �

���3�6��4 ���3�6��4

��3�6��4 ���3�6��4

�� � )

�� �

��� 2 ��

��� �

��� :

��� 2 ��

��� :

��� :

�� 2 ��

���� �

���� : )

�� 2 ��

���� :

���� : �

� �

��� 2 ��

� ��� � � �� � :

��� 2 ��

� ��� � : �� � :

� � �

���� ������ ���

19:34 30 Oct 99

��� � /�� ��� �"#��� �� ��� #�� ������ ���� ����� ! � �����

�� ��� #����� �������� � ����0 � �#�� ��� � �� � �� �� � ��� � � ����� ��� �"#�����

��� � � 2 � �� ��� �"#��� �� ����� � � /�� ��� �"#��� ��� ��

� � ����� �� ��� #����� �������� � �����

��� �� � 2 ��� � � � 2 �� � ��� < �� � ? � �� �������� �"#�� �

���� ��� ������� � � /�� �������� �"#���� ��� � � ����� �� ���

#����� �������� � �����

�������) ���� �� ��� ������� � � � � ��� ��� ! �� * �� � + � ��

! � * 2 ?�� <@� � + 2 ?<� �@ �� � �� � ����� % �� ��� ����� ������ ��

���� ��� � � �� ��� ������ ���� !�� ������� �6�� ��#� ! �

��� ���

� � 2

���� �� �� ���� ��� #����� �"#��� ��� � �#�����#�� ����� ����������

��� � � � � ��� �"#��� � : � 2 �0 �# !�� � � : � � � �� � �� � � � � � �� � � �

� � : � 2 <��

���� �� ��� ��� �#�����#��� � � 2 � ����� ��� ������� #����� � ��

�"#���0 � � : � �� � : � � � �� � � +� � : �6 2 <�� � � � � �� �

���� 8� �� ������ ��� #����� �"#���� ��� ��� �������� �#�����#�� ���

!��� �������� �"#���� ��� ��� �"#���� ��� �� � �� 0 �# !��� �

Reflection calculus

M#��! ��� �G <� 9����� ������ ���������� ��� �� ����#��� �

������ ���������� �� ��� ��!#��� � ����� �� �"#���� ������! ��������

���� �� ���� � ��� ����������� ��� ����� ��� ��������� #��� ���� ����!

�����#�� ���� ������� -�# � ����� ���� � ���#���! �"#����

Page 121: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

������

��

��

��

��

��

2 ��

���

���

��

��

2 ��

���

���

���

���

��� ����� ��� �� ��� ���� �

19:34 30 Oct 99

������� ������� �� ��� �� ������ �� !"##$ ��� � � ��������%

� ����� � ���� �� &��� &�� '$ ���� ������ �� ��� ��� ������ ���

��� ��������� �� ������% ����� �������� ��� (�%�% �� !#�) ���� �

��������� � �� �������� �������% � ����� � ������ �� *�������

��� ������$ ������ � �������� ����� +���������� �� ���$ ���� ��������

�� �������������� � �� ������$ � � ������ �� ������������ �����%

'� !#�# �� ������ ,�������������� (� �� �� ���-% ����� �� ���

������ ��- � �� �������� �������$ ����������� ���� &������ �����-�$

��� �������� � ���� �� ������������ ����� ��� ������� �������%

'� !#))$ �������� � ��� .�/� ������ ������ �� �� ���������$ �� ��������

�� �� �������� ������� ���� ����� � ����� ��.�/� ��� ��� �����-��

.�/� ������� �������� �� ��� ������% ��� ��������� ��������� ���

�������� ��� ����� �����% ����� ����$ �� �������� ������$ � �

���- ������� ����- �� !#)0%

������! ����������� ��� �#��� ��������� � �������� ������ �!��

��� -�# ���� ��� �� #�� ��������� ��������� � -�# � ��� ���� ������

�,������ �������

�������� � &��� ��� ��� ����� ! � �� � 4 � ��� ����������

� � � �� ��� �#� ��#� ���� 5 2! � � :4 � � !�54 �� 3������� �

��!�����4 �������!���

�������� &��� ! � � 2 5 � 4 � !�54 �� 3������� ��!�����4

�������!��� �������� � � � � � �� �"#� � ������� 7�6��� � �

���� � � � 2 � � � � �

�������� � M������� ��� ��!#�� ������ � ����� � � � � ( � � : ���

����� � � � � � � 2 � � �%%����� 0 H��� ���� ��������� � � � � �

�������� ���� �"#��� �� �"#����� �� � � � 2 � � ��� �� � � � �� � � � �� � �� � �

3� � : 4 : 3� � : 4 : 3( � : 4 2 ! � �� � : � : ( 2 ): � � �� : 2

� � 3� :� :( 4� 8��� ��� ��!#�� ������� �� ���( � ��� ������� : ����

�� �� � ( �� ��������; ��������� �� ������� �� ����� ������� �����

� ����� P���!�Q� �

�������� �� *����#�� ���!� ���� !��� ��!� �������� $ ���

$ � '� �� #�"#�= 9�����F� �#� ���#��� �� ��� �� ��� !�� ���� �����

��!���

�������� M���� ��� ���!��� �������� � � �� � � � ��� � 2 � �

� � �� ��� ��� ��!� �� ������� $ � ��� � �� ������� �� �

Page 122: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

���3�� 4

��

��

��

��

������

����

���

� ���

���

���

���

��

�� �3�� 4

��

��

��

��

��

��

������

���

���

���

���

��

�� �3�� 4

���� ������ ���

19:34 30 Oct 99

���� � 2 $ � $ : $ � $ : $ � /#������ � 2 ��� � 2 � � � � � ���

< �� )� ��� ���!� �� #�"#�� ���� �����"#� !�����F�� �� ��������

��� !� ���� ��� #���� �� ������ !��� ���������� ��� �� ��!�

��������� �

�������� �� I�� � �# �����#�� "#�������� ���� !��� ��!�

��������= I�� �� �� #�"#�= 8�� ��#� ���!�= �%%����� 0 I��

��� �� ��!#�� �� ������ � ��� �������� �� ��� ��!�� �� "#��������=

$� ���!�=

�������� % �������� 6��� ��� ��!� �������� �� "#�������� ����

�������!��� *������� � �� ����� $ �� $ ���� �������!���� �

��� $ � $ 2 $ � $ � �� $ � $ : $ � $ 2 ! � ���� ����� � � � � � � �

� �� ������� ��

2 2 . � 2 � �

-�# � �#��� "#�������� � � � �� ����� ��!� �������� �� $ �� � �

$ � �����! � 2 ��� � 2 < �� �� ���

��� ��!� �������� $ �� $ �� ���!� � � � �� ����� � �

�"#��� $ �$ :$ �$ :$ �$ 2! � ���#�� � �� ������� �� ���� � � � �

�������

2 �

������#�� ��������� �� ��� ������ � *������� � �� ����� $ �� $ ����� �

��� �"#���� ��� �# � �#��� ���!� � � � �� ����� ��!��������� �

�� $ �� $ � ������! ���� � � �����! � 2 ���� ���

� 2 < �� 6� �

(�������� )6 � )� �� ������ ������ �� �������� �+ � �������� � ��

�������� �A� * �# ��!�� ��� ���!� � ���!� � ��� -��������

�����= -�# �� � ��� �#������ !�F�! ��� ������ ����� �� ����#��!

���� ��� �����O

� ���������� �� ��� ��������� ���#�#� � ���#��� ������ ���� �� ����

�#������� � ������ �G))� (�������� )7 �� )G �� �������� ���� ������

6 �� ��� �����

�������� �� *������ ����� � � 4 � ���� % � ' � � ��� �������

� 2 � � � � � D��� ��� ������� � ��� ����� � ���� �� � 2 �=� � �

�%%����� 0 /����� ������ � � � � � �� � �

�������� /�� ��� ���� ! � 5 �� ��� ��������#��� " � � ��

% � ' ����#!� � � ���

� � 2 � � � � 2 � �� � � � � ��

� � 2 � � � � 2 � � �� � � � � � � � �� � ��

Page 123: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ����� ��� �� ��� ���� �

19:34 30 Oct 99

����� �� !���� ���������� ���� ��� " � � � ������� 3! � � 4 �

35 � 4 4 � L��� � 2 � �� � �� �� � � 2 3� � 4 � ���� ������� ��� � ���

�"#����� �� " 2 � � 3! � � 4 2 � 35 � 4 4� ���� �� ����� �� � ��

�� ! � � � 4 � � 5 �� ������� � ! � � 2 4 � 5 � �

�������� �� 1���� ��� ����� �������� � ���� % � ' ��

�"#�����0

34 % � ' ;

3�4 ��� ��� ���� �� � � � � � � 2 � �#� � � � �2 � ;� � � � � �

3�4 ��� �� ���� �� � � � � � � 2 � �#� � � � �2 � �� � � � � �

�������� ���#�� % � ' � ������� ������ ���� � � ��� 4 �

5 �� ��� ����������� �� % � ' ���� ��� ��������#�� " �� % �

' ����#!� � � % ������� 7�6��� � � 2 � � � % �������� ) � � � � 2� � � � � �

� � � 2 � ��� ���� ���� ! � &��� � � 2 � �#� � �2 � � *������� �

34 ������� ������� 3�4� *���� � ������� 3�4 ������� ������� 3�4�

�� ����� ��� ������� 3�4 ������� ������� 34� ��#�� ��� 3�4 �����

� 34 ����� � ���#�� ���������� � �������� D��� ��� ��#������

� 2 � � ��#�� �� ������� ������ ���� !�� ������� � � � � �

������� 7�G�)� � � � 2 �� ��#�� �� ������� � ���� �F���� � �

������ + � �� ���� ������ ���� !�� ������� : �A<�� �������!� �

�� �� ��#�� �� � �� ���� ������ ���� !�� ������� � '� ��

������ �������� �������� ���� ��� ��#����� �� �� 2 � �#� �� �2

� = ��� �������� ��� ���� �� � 2 � �#� � �2 � � ����� �� ����� ����� �

��������� ��� ������� ��� ���� �� � <� �#� �N <���� )7<�� ����

� �A<� � �� 2 � ��� ���� ���� ! ; �#� ��� � ��#�� ��� �� ��

��� ������� � � � ����� �� ����������� ��� ��#������ ��� �����

��� �� ����������� �

�������� �� *������ ���� ���� � � - � � � � ��� �������

� 2 � � � � � � � � � � � � � � �� � � � � � � � � � � � � �

1���� ��� � �� ��� ������ �� � �� �� �� -� � � �� �������� �� ����

��������� ���!�� ���� ��!�#�� ��!�� � - � � � �%%����� 0 '���

�� �� ���� ��� ���������� ������� � 2 � � I�� ������� ���!���

������� ��� ��� % ����#!� ��� ���� �R � (R �� ��� ����#��� ������

���#�� �� - � � � I�� �� % � �= I�� ������� �� � 2 � � � =� � �

�������� '� � � - � � � �� ��������� ��� � 2 � ��� ���� ����

� � � ������� 7�6�+ �� 7���7� ����������

� 2 � � � � � � 2 � � � � 2 � � 2 � � 2 � �� � � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �

L����#�� ��� ���� ���!��� % �������7�+� � � �� !���� ���������

���� ��� % � ������ + ������ �� % 0 � 2 � � � �� 2 � � ��#��� � ��

� 2 � � ��� � � � � 2 � �� � �� ��� �� �� �

Page 124: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���� ������ ���

�� ������� �� � 1�� ���� 2��� ��� ��$ 3������ 4�� �� ���� �)�� ��� �� �1�������

� �� ���� � ���5 ���� 2�� ��� ���� � $ � $ ��� � $ �(���� 2�� �1������ ��6� � � 7 � ���� �

���� �� � � � � � 7 � ��� ��� ����*�8�� 2��� ���� � � �

19:34 30 Oct 99

� ��� 2 ��� �

� �� 2 ���� �

� � 2 � � �� �� �� �

% ������� 7�+��� ���� �"#��� ����� �� � �� �� � �� ������ �� +

���� ��� � � % � '��� �� �� ��� ��� � � % �� � �� �� ��� ���!�� ��

��������� � ����������

��� ���#��� �� ��������0 � ��� ����� ��!���� ���������� �������

� 2 � � % ��� ������ ��������� ���!#���� ������� � 2 � � *������� �

�� � 2 � � ��� ��� ���� �� ������ �������� �� ��� � � ��� ����� ���

��� ����� ��!��� ������� ��� ����� ���!�� �� ���������� �

�������� �� &��� ��� ��� ���� � � - � � � �

� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � 2 � �� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � ��

�������� ��� ���������� � 2 � � � � � 2 � � � �� !���� ������������ � � � � �

�� � 2 �� � � 2 �� �� ��������� ��������� �� 2 �� � �� ��� � 2� �� �

�� ' ���� �"#��� �#�����#�� ��� ��������� �� � � � ��� ��� ���������

�� � � � �� !�� ��� ������� ���#��� �

Exercises on the definitions of isometry and similarity

��� ��� ��� ��������� �� ������� ���� �#����� ��� �� ��� ���

�� ������ �#� ����� 3�����!� 4 ����� �������� �� ���������� ��

������������

�������� ��� &��� ��� �#���� � 0 � � � � ���� ��� ��� �� ������

��� ��������� ������ �� ������� � ��� ��� ���� ��� � �������� ���

� � � 2 � ��� �� � � � ���#�� ��� � �� �.������ � �#�.�������

�%%����� 0 /�� �#�.������� � !��� � �# �#�� ��� � �#�� ��� 2

��; ������ ��� ����� � � 4 � ������� ��� ���������� �� �� � �

� 4 ��

�������� � � 2 � ������� < 2 � � � 2 � � ���� � 2 ; ����������

� �� �.������� �� ����� ��� ���� �#�.������� ������ ���� � -�# �#��

��� ���� � �#�� ��� � � 2 � /����� ������ ������� ����� � �

4 � *������ ��� ������� � � � ���� ������ � � 4 � ���� � 2

�� � � 2 4�� &��� � : � ��4� 2 �4 � ��� ������� �������� � �� ��

��� ������ ������! � ������� ��� �#� �"#�� �4 �� ��� '� �������

�� �� ���������� � � ��� � �� � : � �4 � 2 �� : �4 2 � : � 2 �4 2

� �4 � � � � : 4 � 2 � : � � ����� �� � � � ���� ��� ������ � �

� 4� � ��� ��� ������ � ���� � �� ���� � � 2 � L�� �#����� �

Page 125: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ����� ��� �� ��� ���� �

������* ��� 9��6����6� �'! �'"$ �������(�

:� ����2�� ��� �� ���2� � �� ���� ������� ��� ���������; �� 2�� � ��� 2��� �� ������

���2�( ���$ ������� ��� �� )�� �� �� � ���������� ���� �2 �� ��������� ����� *��8 �� �$

)�� ���� �� �� �� ����� � 2��� �� ������� ������� *��8 ������$ )�� ����

� �����

��� �(�����$ <���� �"#$ ������ -��

19:34 30 Oct 99

� � ��� ��� ������� ����������� � � � � ��� ��� ������� � �� �

� �� ���� ������ � � � 4 � � ���� � � � ��� ��� �������

����������� � / � ���#�� � : � @ ��4� 2 �4 � %#� ��� ��� �������

��!�� � � � � � ��� ��� � � � ��� ���#�� � �� � 2 �� 2 � �� � � �

4�� � 2 4� 2 � ��� � 2 � � � ���������� ������ � � 2 � � � 2 / ��� � � �

� � 2 / � � � 2 � �� �

�������� ��� ��� � �� �������� #���� � � �� �#���� ���� ���

��� �� ������ �#�� ��� � � � 2 � 3� 4 ��� �� � � � 1���� ��� �

�� �������� ���� ���� �� �%%����� 0 D�� �������� 6<�

�������� ��� � �� �������� ���� ���� � � ��� � 2 �� �� ��

�#���� ���� ��� ��� �� ������ ��� ��������� �������� % �������� 6<�

� �� ������� � �� � 2 � �� �������� ���� ���� � � ���

'��� �������� �� ���� ��� ��������� �� ������� � �������� ���

�#����� �� ����� ��������� �#!!���� /�� ������� ������ �� ��� �������

�� ������� � ������ � ���� ��� ��� ������� � . � �� � ��

�� � � � 2 � �������� ��� � �� ������� �

Dilatations

� ���������� �� ��� ���������� � 0 � � �� �#�� ��� ��� ��!� %� 2�

� B % C �� ��� % �� ��� ������ �� �"#� �� %� ��� ��� ��#� ��������� ��

���� ������ ������� ��� ����� �� ��������� ����� �� � �.�� ���� �

���� ������F���� �� !������ � -�# ���#�� ����� ���� �����#� #��!�

����� ������� ���� � ���� -�#� ���#���� ���� ������� ����� �� ���

������� ������� ��� ������������ ������� 7��<�A� ���� #���� ��� ����� �

��� ����� ��"#���� � � ���� ' �#� ���#���� �� ��������� 6) �� 6�� �#���

�������� �� #�� ��� ���#��� � ��� �������! ����������

�������� �� 1���� ��� ��� �������� ���� ���������� !��#�� $�

��� ����#� � ��� �� ���������� � ����������� ��������� � ���� �������

����� �� �������� � ����� ��=

�������� ��� ��� �������� ���� !��#� ������� ���� ��� ��� ���

������� �� ;�� �� �"#������ ������ � ��� ��� �� �� ����� ���

������� !��#� ���#��� �� ��������� ��� �#��� ��������� �

�������� �#� � !���� ����������� � � ������� ������ ��� �#��� �

Page 126: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

�� ��

��� �

���

�������� �

���� ������ ���

19:34 30 Oct 99

�������� � � &��� ���

34 ��� �� ������� ���� ��� ������� �������� �� ��� ������ � �

3�4 �� � � � �� �������� � � 3� 4 2 � 3� 4 ��� ��� �������

����� � � ��� � 2 � �

�%%������0 /�� 34 ���� ����� ��� ������� � 0 � � � � ���� �������

�������� � � 4 ����� ���� ���� ��� � � ��� ������� ����� ��

��� ���� L��� ��� ��� ����#!� ������� �� ����� � ���� � ���

����� ���� �� ������

�������� &#����� � �24� �� 2 �� � 4� 24� ��� 5 �� ���� ��

������� ���� � � 4� � ������� ��� ���� % 2 � ' 2 � ���

%� 2 % ���#�� % � �� ������ �� �"#� �� % � � ���� � % � % ��

&������ � '� 2 ' � �� 5 � 5 � ��� � % � '� '� 5 � �2 5 � ��� % 2

' � � 5 ��#�� �� ������� ���� � � 4 � ����������O ��#� � �����

���� ���� 5 �������� ���� � � 4 � L�� �#����� � �� ���� ����

���� ���� � � 4 � ��� �!#��� �� ��� ������#� ��!��� ���� 4

� 5 ������� � 5 � � ������� ��� � ����� � � 1�� 34 �� �������

�� ����� 3 �4� ��� ��� � � �� ���������� ��������� �� ���� ��� ������ ����

�������� ��� &��� ��� ���� ������� � 0� ��� ����� �� �������

�� �������� �%%�����0 /�� � � 4 �#�� ��� ���4�4 �� "#������

���� ��� ���� ��� �� ��� �� �������!���

�������� &#����� � �� ������� �#� �� �������� ������� ����

� ��� ����� �� �2 � ; ����� % 2 � ��� �� ���� � % � % � � �� % � 2

% � &����� ���� 4 �� � % � �� ��� � �24 � � ����� ' 2 � ���

'� 2 �2 ' � 4� �2 4 � M���� " 2 � ��� 4 � ���� � " � "��

�� " 2 "�� '� " ���� ������ �� �"#� �� % � ��� �� �4 �4 ��#�� ��

3������ ��!�����4 �������!��� ������� �� ������� � �#�� ���

� 3� � 4 2 � � � 34 �4 2 4 � � ��� ������� �� ��#�� ��� �������

�������� � � 4 ; � �������� 6)� �� ��#�� �� ��� ������ � � ��#��

�� ��� ������� � � ����������O ���������� " �� ������ ������ ����

�"#� �� % � �� % " �� ���� ! � ��� ! 2 !� ���#�� ! � !� ����

��� � % 2 % � � � " 2 "�� �

�������� ��� 1���� ��� ���� ������� ����� �� ������� ��

��������� ������� �� ��� ���������� �� �������� �� ������ ����

��� ��� �#� ��#� ��� ������

�������� &#����� � 0 � � � � �� ������� �#� �� �������� %

�������� 66 �� �� ������� ! � &����� ���� � �2 ! � � ������� ���

�������� �� ������ � ���� ����� ! � ���� � 2 !� N!� �� �� ���

�� 2 � 3� 4 �� �� 2 � � 3� 4� ��� ��� ������� � � �� � � � �� ���� � �� �

���� �������� ! � � � �� ���� ��� ������ � ��#� � 2 � �� � � � �

Page 127: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

20:02 30 Oct 99

Concepts���������������� ���������

�����������

����������� �� �������� ���� ��� ���� ����������� ��� ���� �����

����� ����

����������� �� ������������ ������������� ��� ���������

���������� ���������� ��� ������������� ���� ����� ���������

������ �������� ��� ����� ����� �� ����������� ���� ����� ���������

���������� ��������

���������������� ��������

�������

��������

�� ������ � ��

����������� �����

� ������� ���

����������

���� ����� ����� ����� ��� ��������� ������� � ��� �������� ������

������� � ���� �������� ��� ����� ����� ��� �� ��� �������������� ����

������ �������� ������� ������ ������ ���� ��� ������� Commuting reflec-tions and half turns�Conjugacy exercises� ��Classifying isometries� �����

Page 128: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

���

���

��� �������� ��� �� ���������� � ������������

20:02 30 Oct 99

��� ��������� ������ �� � ��� ��������� ������ �������� �� ������

� ���� ������� �������� � ��� ��������������� ��� ����������

���������� �� ������� ��� ������ ��������� ����� ��������� �������

���� ��� ��� ���� ������ ���� � ����������� ��� ��������� ����

��� ������ Exercises on equations ��������� � � ���� ��� ��������� ��

�������� ��������� ��� ��!����� � ���� ��� ���� � ��� ��!����

������ ���������� � �������� ���������� �� ���� ����� � ������ �����

��� ����� � ���� ����� "���� �������� � ��� ������������ �������

�� ���� ���� #���� � ��������� $ �� % �� ���� ���� ��� ������

Reflection calculus ������ �������� �� ����� ���� ������ � ��� ������

� ���� ��� "���� ������ ��� ����� ����������� ���������� �

������� %�

General exercises

&�������� ' � ( ��� �� ������� ���� ������ ��� ������� ������ � ����

��������

�������� �� )��� ������ *�'�+, ��� � ������ ���� ��� ������

������� �� ��� ������ � ������ � , -������ ��� ��� � ������ %�.�*�

� ���� �� #�� � ���� � ������ ����� ������� �������� � ������

� � � � �� ��� ���� � ������ � �������� � � � / ������ *�'�(�

���� ��� � �� ������ &��� ��� � � � � � ���� ���

�� ��� ��� � � � � / ������ *�'�.� � �� ������ #���� � ���� ���

� � ���� ��� �� ��� ���� � � � �� � � � �

� � / ������ *�'�.� � �� ������ �

�������� � )��� ������ *�+�(, 0 ����� � ������� ���� � ��������

� ���� ��� � 1 � � � ��� ���� � �� ������������ � ��� ����� � � � �����

� ���� ��� ���� � ��� � �� ������ �, -������ ��� ��� � ������ *�+�'�

� ���� �� ����� ���� ��� ����� �� �������� ������ ��� �

� ����� ������ ���� �� ��������������� ������ ��� ��� ����� #�����

������ � �1 � � � �� � ������������ � � � �� � �� � � ��� �� 2� 3 �1�

� � 2� 3 �� � ��� � � ��� � � � ����� ������ � �1 � ���

� ���� � � ��� � ���� ������������ ��� �� 2� 3 �1 � � 2� 3 �� � ���� �

� � � ��� � � � �

�������� � )��� ������ *�$�', 0 �������� � ������� ���� � ������

� ���� ��� � 1 � � � 1 � � � �� �������� � ��� ���� � � � �����

�� � , -������ ��� ���� � ������� *�+�. �� *�+�+�

Page 129: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ��������� ���

20:02 30 Oct 99

� ���� �� ����� ���� � �� � ������ ��� � � ����� �������

���� �� ��������������� -� ��� ��� ����� ��� � � �� �� ���� ��������� �

������� � ��� ��� ����� �

&������� + �� ��� �������������� ���� � �������� %�''�4�

�������� �� ��� ���� � ������ � �� ��� �� �� � �� � 1 �� �� ���

������ � �

� ���� �� 0 ��� ������ � �� � ����� ���� ����� � �� ����

��������� � 5�� � �� ��� ����� ���� ����� � �� �� ���� ����������

� � � ��� � 1 �� � 6������ � �� �� ��� ������ ���� ��� ����� �

� � � �

&�������� $ �� % ������ �������� �� ���� ������ ������� ������

���� � ����������� ��������� ���� ��� ����� %�'' �������

Exercises on the definitions of isometry and similarity �� Dilatations� -�

���� ����� ���� � ������ �������� �� � � ����� ��� ������ � �����

�� ��� � ����� ��������

�������� �� #������� �� ���� �������������� ������ � ���������

%�''�+78%�''�+' ��� �������� � ������ �� ��������� �

� ���� �� ��� ���� � �������� %�''�+7 �� ����� � � 1 � � ������� 7 1

� �� � 1 ��� ���� � 1 � 9 �������� � �� ��������� � ���� ���� ����

����������� ������ � ��� �� "� ���� ��� � ��� � ���� ���� � � 1 ��

#����� ������ � ������� ���� � � � � �� � � ����� ������ � ��

��� �� �� ����� �������9 �� ��� ����� ��� �:�� ������� � � :

���� ��� ������ ��� ���� ��� ����� ���� ���� �� ; �� 1 � �� � ;

���� 1 ���� 1 �� � ����� ���� �� ����� 6����� ��� ������� ���� ������

� � � � �� � �� ����� � 1 ��� � 1��� � �� � 1 ��� � ����� ���������

�� � ����� ��� ��� � � ��� ��������� � � � ��� ��������� �������

���� ������ ��� �� �� �� �� ��� ���� ����� ����� ��� ���� �����

� ����� 2<���� ���� � ������=3 ���� � ���� � �� � � ��������� �

� ���� ��� � �� � �� ���� � � � �� ������� � ��� � � � ���� ����

� 1 � 2� 3 �

��� ���� � &������� %�''�+' �� ��� ����9 ��� ����� �� ����� � �����

�������� �

�������� � #������� �� ���� �������������� ����� � ���������

%�''�+.8%�''�+$ ����������

� ���� �� ��� ��������� %�''�+. � +$ �� ����� ������� ��� ����� ����

� ��������� �� �������� � ������� �

Page 130: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� �������� ��� �� ���������� � ������������

20:02 30 Oct 99

Commuting reflections and half turns

��� ������ � ���� ������ ���� ����� ��������� �� ���� ����

������:��� ������� ����������� ���������:���� ���� �� �� ��� ��

� ����� %�(� ���� ����� ��� �� �������� ���� � ��� ���� � ���� ��������

- �������������� ������ ����� ��� ��� � ��� � ������� �����������

���������� 0 ������� �������� � ����� ����������� ���� ����

������ ��� ������� ������ � ���� ������� ���������� � � ��� ������

� � ��� �������� - ����� ��� ���� � ���� ������� ��� ����������

� ���� ���� ������ /�� ��� ��������� � ��!���� ��� ��� �����������

�������� � ��� ��� �������� ���� � ����������� � �� ����������

�������� �� ��� ���� ��� ������� � � � �� ��� ��������� ��� �

��� �������� ���� ����� .2� � � 3 � �� ��� ��� ������ �����

� 1 � �

� ���� �� / ������ *�+�+� � 1 � � 2� ; � 2� 33 � � � 2� 3 1 .� � � ��� �

�� ��� � � �������� � � 2� 3 1 .� � � � ��

� � 2� 3 1 .� � � 2� 3 1 .� � 2.� � � 3 1 � ; .2� � � 3 �� � �

��� ��������� ������ ���� ��� .2� � � 3 1 .2� � � 3 :���� ���

� 1 � � �

�������� �� ��� ���� ��� �� ���� ��������� � �� � ������� �

���� ��� � ���� � � �� � ���� ���� � � �� ��� ���� ��� ���� ���� �

��� � � � ������ � �

� ���� �� 5�� � 1 ���� � � ���� � � 2� 3 1 � 2� 3 � -� � ��� � � ���� � �

� � ��� ������ ��� � 2� 3 � � ������ *�+�+9 �������� � � 2� 3 �1� � �

� 2� 3� ���� � � �1 � � � -� � � ��� � � ��� � 1 � � 1 � � � � � � � � � � � � �

������ *�+�(� ���� � � 1 � 1 � � � �� � � � �

�������� �� ��� ����

���� �� � ���� ��� � ������� ���� � ���� �������� � �� ��� �

� �� � ���� � � � � � � 9

���� � �� � ���� � � � ��� � � �� ��� �������� ����� ��� ����� �

������������ � � ������ � 9

���� � �� � � � � ��� � � �� ��� �������� ����� � �� � �� �

� ���� �� ��� � ���� � ���� ������ ������ � � ������ *�+�( �� ���

������������ � � � ��� � ���� � � � /�� ���� ����� ��� � � 1 � � �� � � � �

�������� ��� ��� ���� � ��� �������� � �� � ���� ��� � ������� �

�� �� � �� � ���� � � �� � ���� ���� � � �� ��� �������� � ���� �

���� � � � ������ ��

Page 131: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ��������� ���

20:02 30 Oct 99

� ���� �� 5�� � 1 ���� � � ���� � � 2� 3 1 � 2� 3 � -� � ��� � � ���� � �

� � ��� ������ ��� � 2� 3 � � ������ *�+�+9 �������� � � 2� 3 �1� � �

� 2� 3 � ���� � � �1 � � � -� � � ��� � � ��� � 1 � � 1 � �� � � � � � � � � �

� ������ *�+�(� ���� � � 1 � 1 � � � �� � � � �

�������� ��� ��� ���� ���� ���� � �� � ���� ������� ���� � ��� �

� ������ �� �� � �� � � � � �� � ���� ����� � � �� ��� ��������� �

����� ��� ��������� � � �� � �

� ���� �� 5�� � �� ��� ��� ������������ � � �� � � �� � 1

���� � � ���� � � 2� 3 1 � 2� 3 � -� � �� � ������������ � � � � ����� � �

� ��� � ��� � � ��� ������ ��� � 2� 3� � ������ *�+�+9 ���������

� � 2� 3 �1 � 2� 3 � ���� � � �1 � � � >� ������ � � � � � ���� �� � � � � � �

� ��� � � �� ������ ��� ����� � �� � ������ � ������������

� � �� � � ��� � � 1 � � � � 1 � � 1 � �� � � � � 1 � 1� � � � � � � � � � � � ���

� � � �� �

Conjugacy exercises

��� ������ ������� � ����������� ��������� ���� ��������� �

������� ������ ���� ���� ������ � ����� %�?� ���� ������� ��

������� �� ����������� ������� ������ ��� ������ �� �������� ���

%7� ������ ������������ ������ ������ ��������� ��� ������

������ ���� ����� ����� ��� ���� �� ���� � �������������� ��������

���� &������ ������ � ������� * ������ ��� ��� �������� ������

�������, ��� ������ ����� ��� ��� �� � ����� *�'� �� ������� *�.�$�

*�(�(� �� *�(�$� #������ ������� ���� ������ ������� ����� ���� ���

������ �� ����������� ��� ��� ������ ���� �� ����������

&������� '. ���� ����� ���� ��� ���� ���������� ��� ���� ���� �� ���

��������� ���� �������� ����� ������ ��������

�������� �� ��� ���� � � � 1 � �� � � � 1 � �� � � � �� � � � � � �� �� �

��� �� � ��� � � �� � ������ � � ������ �, 6����� �������=

� ���� �� � � � �� �� �� ������������ 0���� ��� ��� � ���������

%�?�4 � ��� ���� � 2� 3 �� ��� ��� ������� �������� � � � � �� ��� �����

������������ �� ��� ������� �������� ��� ��� � @ � A � 0� � ��� �� �

� ��� ��� � ��������� ���� ���� ���������� �� � � �

�������� �� B������� ��� ������ ����� � � ����� ���������

� ���� �� 0 ����� �������� �� � ������ 1 � � � � ����� ����� � �

� �� � ��� � ���� � � -�� ������� � � ������ � , � � � � ��

�� 1 � � � � � 1 � � � � � � � � � 1 � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � � � � � � �� �

Page 132: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� �������� ��� �� ���������� � ������������

20:02 30 Oct 99

����� �� �� �� ��� � � @� A� ��� ������� �� ���� � ����� ������������

����� .2� � � � �3 ��� ��� ���� ����� �� .2� � � 3 � ��� ����� � �

C������ � ����� �������� � 1 � � � ���� ����� .2� � � 3 ��� ���� �

���� ����� �� � �������� � ���� ����� ����� ��� � �������� � �����

� ���� ���� � @� A 1 � � ��� ��� �������� � ���� ���� � � 2� 3 1 � � ��

����� ��� ����� � ���� ��� ��� ������������ � � ������ � ����

���� �� � 2� 3 1 � � >� ��� � � �� � � � ���� � 2� 3 1 � � � 2� 3 1 � � ��

� @� A 1 � � -� ����� ���� � 1 �� � - ������ � �� � ������� ��� ���

� ���� ������ � � ��� � ��� ���� ������ � ��� !�� � � �����

� �� �" � ���� � � �

�������� ��� B������� ��� ������ ����� � � ���� ���������

� ���� �� 0 ���� �������� �� � ������ � 1 � � � � ����� ��� � �

� ���� ������ � ��� � � � � -�� ������� � � ������ � ��

��� 1 � � � � � 1 � � � � � � � � � 1 � � � �� � � � �� � � � �� � � � � � � � � � � � � � � �� �

����� � @ A � � @� A � � @� A �� � @ A �� � @� A ���� ������ � @ � A �

��� �������� ����� ����� � � @ A �� � @� A ���� ��� ���� ��������

�� ���� ����� � �� � � � ��� ������� �� � ���� �������� ����

��� ���� ���� ��������� �� ���� � � � C������ � ���� ��������

� 1 � � � ���� ��� ���� ���� ��������� �� � �������� � ���� ������ � �

����� ��� � �������� � ����� � ���� ���� � @� A 1 �� ��� ��� ��������

� ���� ���� � � @ � A �� ��� ��������� � 1 � �� � � �� ����� ��� �����

� ���� � ���� ���� �� � @ A 1 � �� �� � @� A 1 � � >� ��� � � �� � �

� ���� � @� A 1 � � � @ A 1 �� �� � @� A 1 � � -� ����� ���� ��� 1 � ���

- ������ � �� � ������� ��� � � � ���� ������ � � ��� � ��� � ����

������ � ��� �� �" ���� ����"��� �

�������� ��� B������� ��� ������ ����� � � ������

� ���� �� 0 ����� �� � ������ � 1 � � � � � ����� ���� � ��� � � �

� ��� � ����� � �� � � -�� ������� � � ������ � , � � � � ��

��� 1 � � � � � � 1 � � � � � � � � � � � �� � � � � �� � � � � �� � � � � � � �

1 � � � � �� � � � � �� � � � � �

����� �� �� �� ��� � � @� A �� � @� A� ��� ������� �� ���� � �����

���� ����� .2�� � � �3 ��� ��� ���� ����� �� .2� � � 3 � ��� ����� �

�� ��� �������� ����� ����� � � @� A �� � @� A ���� ��� ������������

�� ���� ����� � � �� � � � ��� ������ ���� ��� ���� ���� ����������

C������ � ����� � � � � � � ���� ��� ���� ���� ��������� ����� � �

����� .2� � � 3 ��� ��� ���� ����� �� � �������� � ���� ����� �����

��� � �������� � ����� � ���� ���� � @� A 1 � ��� ��� ��������

� ���� ���� � � 2� 3 1 � � ��� ��� ����� � ���� ��� ������������ �

������ � ���� ���� �� � 2� 3 1 � � #���� � ��� � �� ��� ������ � ���

Page 133: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

��� ��������� ���

20:02 30 Oct 99

�������� ����� � ���� ������ � �� � � ���� � �� � @� A 1 � � �� ���

� � � � � � � � ���� � 2� 3 1 � � � 2� 3 1 � � �� � @� A 1 � � -� ����� ����

� 1 �� � - ������ � �� � ������� ��� � � �� � � ��� � �����

�� ��� �� �" ���� ����"��# � !�� � ��! �� �" �����

� ���� � � � �

Classifying isometries

&������ � ���� �������� � ����� �������� ��� ������ �� � ������� �

� �������� �� � ������� ���� ��������� � ���� �������� �� �

������� � � ����� �� � ������� ���� ��������� �� � �����

�� � ������� � � �������� �� � ������� ������ D��� �����

���� � �� ������� ��� ���������� &�������� '% � '4 ���� � ���

��������� D��� ���� � ��������� ��� ��� ������ �������� ����

������ � �$� ������E

�������� � � D����� ��� ������� � � �������� �� � ���� ��������

��� ��� ��� ������E

� ���� �� #�� ������� ���� � �� � �� � ���� ������ � ����

���� ��� ������� �� � 1 � � � � #�� ��� ����� � �� � ������� � �

� �� � ������������ � � � ���� � 1 � � � � ��� � � � � ��� � �

���� � ��� ������������ ����� � � ������ *�+�.� � �� � �����

��������� 2 �� � � ��� ������3 -� � � � � �� ������� � �� ���������

� ���� �� � ���� ��������� �

�������� ��� D����� ��� ������� � � ����� �� � ���� ��������

��� ��� ��� ������E

� ���� �� #�� � ���� � �� ������� ����� �� � ������ � ���

� ���� ���� ��� ������� �� � 1 2� � 3� � -� � � � ��� � � � �� �� � �

���� ���� � ��� ������������ ����� �� � ������ *�+�. � ����

�� � ����� ��������� / ������ *�+�(� ���� ������ ��� � ����� ���

� � � ��� � ���� � � ��� �� � ����� ������������� - ���� ����

����� � ���� �� � ��������� / ������ *�+�( ���� ������� ���� � �� �

�� � ���� � ���� � � � �� � ���� ��� ������������ ����9 �

���� ���� ������ *�+�$ ���� ���� ���� � �� � ���� ��������� �

�������� ��� D����� ��� ������� � � �������� �� � ����� ���

��� ��� ������E

� ���� �� / ������ *�$�(� ��� ������� �� � ������ -� ���� �� �

�����:������ ������� ����� � � � �� � ���� � ��� ������������

���� ���� ���� �� � ��� �������� ��� � �� � ��� �� ��� � �� �

�� � �������� �� � � �� � ������ ��� ��� ��� ������ �� ������ �

Page 134: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

� � � ��

� ��� �

��� �������� ��� �� ���������� � ������������

20:02 30 Oct 99

������� �� ��� ����� � � � � 1 � � � /�� ��� ������� � � � �� � � � � �

�������� � �� � ������� ����� � ������ �� � ��������

� � ������� ��� � ���� �� ��� �������� � � � ���� ��� ������ � �������

������� ���� � � �

&�������� '% � '4 ��� ���� ��� � � ������� � ����������� � D��

� ��������� � ��� ������ ��� � ��� ������� �� ���� ��� �����

��������E C�� � ��� �������� ��� � ���� � ������ �������

��������:������ �, ��� ������� � �� ������� - �� �������

��� ��������� �� ������9 ��� ������ %�?�(� - ������ ������ � ���� �����

��� ������ ������� &������� '? ����������� ��� ��������

�������� ��� D�� � �� ������ ������E D����� ����� �������

� ���� ���� �� � ������E

� ���� �� -� ������ � �� � ���� ���� � �� � ������� ���

� 1 � �� � � � 1 � @�A � ������ *�(�$� ���� � 1 � � � ���� � � � ����

� �� ��� �������� ����� � � F������� ��� ���� � � �� � ����� � 1

� � ���� � � � �� � �� ��� �������� ����� � � ���� ������ ������

�� �� � �� ��� ���� ��� ���� ����� � ��� ��� ��� ���� ���� ����

������������ ����� - ��� ����� ���� � � �� � ����� ���� ��� ���

����� - ��� ����� � � �� ��� ���� ��� ���� ��� ��� ������������ �

��� �����

��� ������� � �� ������� ������ � �� � �� � ������

-� ���� �� � ��������:�� �������� ��� � �� � �� ��� ���� ���� ����

������� �������� ����� -� ���� �� � �����:�� �������� ��� � �� �

�� '7� ������ 2���� ��� ���� ����3 ���� ������� �������� ����� 2G����

��� ���� � ����� ������� �� � ���� ��� ���� ���� � ��� �����3 -� ����

�� ������:�� �������� ��� � �� � �� ��� ���� ���� ���� ��������

���� � �� � ���� � ��� ������������ ���� �

Exercises on equations

0� � ����������� ������������ ������ � ��� ���� � ���������

� ����� ������� ����� ��� �������� ��� ��� �������� � �������

���� ����� ������ ��� ������ � ���������� � ������ ��� �������� �������

� ��� ���� ��������� � � � ��� ������ ��� � ��������� ��� ���������

���� ���� ������ ������ ��� ���������� �������� - ��� ����� ��� �����

������� � ����������� �������� %�''�.$� � ������ �!����� �� ����

��������� �� ���� ���� � ����� � ��� �!����� � ����� ������ �� �����

�������� �� 6����� � ��� � 1 H � � � � � I �1� �� ��� ���� � �� � �

������ � � ��� ���� � ��� �������

Page 135: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

� � � �� ��

� ����

� � ��

� ��� � �� �� �

� � � � ��

� ��� � �� �� � �

� � ��

� ���� �� �� �

� ���� �� ��

��� �

'

� ��� � 2� �� 3

.

� ��� � 2� �� 3 �

.

� ��� �� �

.

� ��� �� �

.

� ��2�� � 3�

.

� ��2�� � 3�

�% ;.

� ��& � . % �

'

� ��& �

��� ��������� ���

20:02 30 Oct 99

������ � ��� �� �������� & 1 �� � >� ������ ��� ���� � �

���� � , � � � � ��� �!�����

� ���� �� � � 1 � ; � �� ��� ������ � ��� ������ ' 1

� � 2� ; � �3 1 � ; � � � ���� � � �� �

7 1 � 2' � �3 1 � � ; � � � � � � � �

>� ����� ��� ������ �������� 2� � 3� �� ��� ������ ������ �2� � 3 1

2�� 3� 1 &� � �� �������� 2� � 3� 1 &� � "� ��� ��� �������� ��

� � � ��� �������� � ��� ��������� �

�������� �� #�� � �!���� �� ��� ���� ��� � � � � ���� ��� ��� �

���� ���������� �!����� � 1 �� ; � � ������ � , J�� ��� ������ & 1

�� �������� � �������� .7�

� ���� �� ���� � � �� ��� ������ ' 1 � � 2� ; � �3 ���� � ��

� �� ��� � ���� ����

' 1 � ; ��

7 1 � 2� �' 3 1 � 2� � � � �� 3 1 � 2� � � 3 � �2� � 3

� 1

� � 1 .' � � 1 .� � � ; .��

1 .� � � ;

1 .� � � � ;

1 .� � � � ;

1 ; � �

Page 136: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

� �

�� � � � � � �

� � � �� � � �

� � � � � � ��

� � �

� �

� � � ��

��� �

��

��

��

��

��

��

��

��� �

� � �

� �

��

��

��

� � �

��

��

��

��

��

��

��

� �

��

��

� � �

��

��

��

��

��

��

��

� �

��

��

���

��

��

��

��

��

��

��

� �

��

��

���

��

��� �������� ��� �� ���������� � ������������

20:02 30 Oct 99

- ������ �� ���������� � ����� ����������� ���������� � ������

����������� ��� ����� �!������ ����� ����� ��� ������ ����������

J�� ������������ ������� �������� �������=

�������� � #�� �!����� ��

2�3 ��� �������� ����� ��� ���� � ���� �!����

( ; .( ; (( 1 +9� � �

2�3 ��� ����� �������� ���� ����� � �� ����� H(��.� � �I9�

2� 3 ��� ���� ��� ���� ��� ��� ������ ���� H'� '� .I ��

H.� '� 'I�

� ���� �# ���� )� � ������ ������ � � H'� '� 'I� �� � � � �����

� 1 H'� .� (I� ���� � � 1 'K' ; .K. ; (K( 1 '+�

���� *� ��� ����� �������� �� ��� ������� � � � ��� �������� ��

���� 2'3 �� ��� �������� � ���� ����� H(��.� � �I� � ��� �!���� ���

Page 137: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

+ 1 �

7 7 '

7 ' 7

' 7 7

, 1

(

.

(

�� ���

�����

��

� �

���

��

��

���

��

��

��

��

��

��

��

���

��

��

��

���

���

����� ��� �����

������ �� � ������

����� �� ��� ���� �

� �

��

��

��

��

��

��

��

��

��

������

������

������

��� ��������� ���

20:02 30 Oct 99

���� -� #��� ��� ����� � �������� .'� ��� �!���� �� �� 1 +� ; ,�

�����

� �

�������� � 6����� ��� ���� � � �������� ..� ��� ���������� ��

� � �� � ���� ��� ������� ����� �� ��� ��� � � � ������ � � #��

�!����� ��

2�3 ��� ����� � , � � � � ���� � ���� ���� � � ����

���������� �������� � ��� ������� ������9

2�3 ��� ���� �������� �� ��

������ �, ��� �!���� ��� ��� ��� � � 1 +� ; , �� ��� ������ +

�� ��� ����� , � #�� ��� ���� � � ����� � ����� ��� �������

�� ����� � �� ��� #�� ��� ��� �!����� � � 1 +� ; , �������

� � ���� � ������ ����� �!����� �� ��� ������ ������ � + �� ,� ���

���� ���

� ���� �# ���� )� #�� � �� �� �� ��� ���� �L �� �L ��

���� ���� ��L 1��L 1 '� ��� � 2� 3 1� �� � 2�L3 1 �L� 5�� � 1

H'� .� (I �� �L 1 � � � � ���� �L 1 '� . 1 � ; � ���� � ����

� 2. 3 1 . � 6����� ���� � 1 �L��L �� ��� /0 1 2�L � � 3 M �L� �

���� L � � �� /L 1 '� 5�� �L 1 � 2� 3 � ���� � 2�L3 1 �L� / �

�������� .7� �L 1 1� ; .&� � ����� 1 1 % � .& �� & 1 /L2/L3 � �����

�� ��� ������ � + �� , ��� �!����� � � 1 +� ; , ���� � 1 � � �L�

. � �� �L� � ���

Page 138: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

� � �

����� ������ ������

�� �� ������� ������

������� ������ ��� ���

� �

�����

������

�����

(� � �� (� � ��

(� � �� (� � �� �

(� � � �� � ��

(� � � �� � ��

(� � � �' � 7 �

��� �������� ��� �� ���������� � ������������

20:02 30 Oct 99

���� *� ���� �� ���� 2'3� ������ � 2. 3 1 .� � . � "� ���

� �

��� ���� �� ��������� ���� ���� ������ ��� � � ������� � ������

� ��������� � ���� ��� �!����� � ������ � ������ �

� ������ ��� ����� ��� ���� ������ � ��� ������������ ������9

� ��� � �!���� �� ��� �����:�� �� ��� �9

� ��� ��� �����:�� �� ��� �9

� ��� � �!���� �� ��� ����:�� �� ��� �:�� ������ � ����� �

������� � ������� �� � ��� ��� � ��������� ���� ����������

� ������� � ������������� � �� ��� � ��� ������� � ����� ����

� � ������ � , � � �� 1 +� ; , � #� � ������� ���� ���� � ���� ���

����� � ���� � 1 � � :���� ��� � 1 +� ; , � � 2% � + 3� 1 , � -� % � +

�� ���������� ������� ���� � ������ � � G��������� ������ ��� � ���� �

� �!������� � �� ����� � �� ������ ��� ������ ������ � �����

��� ��� ������ "� �����

� ������ � ��� ����� �!���� �!������� � 7 1 ' :������� �

������9

� ������ ��� � ���� � ����� ���!��� �!������ ���� �!������� � 7 1 7

:!�� ��� �� �����9

� ������ �� � �� ������� �!����� �� � ������� � ���� ���������

� ���� � �������� ���� �!���� � ( ; � ( ; � ( 1 � 9� � � � � �

� ������ �� � � ������� �!���� �� �� �!�����

����� N �� �� � O 1 N'� .� ( O : � �� ����� ���� � ����������

�!����� �� � ��� � �������,

� ��� ����� ���� � � � ������ � # �� ���� � ���� ���� �� ;�

���� � �1 � � ����

+2�� ; � 3 ; , 1 ��L ; � ��

Page 139: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�������

��� ��������� ���

� ������ � ������� ��� � �� � ���� �������

20:02 30 Oct 99

����� �L 1 +� �� �� 1 +� ; ,� ���� � ���� ��� ��� � � ������

� � � ��� � � � ������ � �� -� ����� ���� � � � � ���� � ����

�L �� � ������ �������� � �� /�� � ��������� ������ � � � �� ���� � ����

�L 1 P�� ��� ����� ���� � ����� ����� ���� �� � ��� ��� ������ �

���� ���� �L 1 P�� ���� ��� ����� � ����� +� 1 P� :���� ���

2+ P % 3� 1 � � ����� ��� ��� ���� � �� ����� � 1 � �� #� ���� ��

��� � �� � � ���� ��� � � �

� � � � 1 +� ; , � � 1 2+ � % 3� ; , 1 ��

�� ��� � � "� ���� ���� ��� � ����

2 % � + 3� ; �� 1 ,

� ����� ����� �!����� � ��� ����, � �� ��� ������ � � �

���� ������ �������� �� ����� ����� ������ ����� ������ ���

���� � ����� ���� #� ����� ������������ ���������� �� ��� ������

��� ������ �� ������ � ��� ��� ���� � � � ����� � , � � � � 1 +� ; ,

���� ��� ������� Q����� � ����� ���������� �� ���� ������� ��������

���� � ������� ���� � � ���� � �������� ���� ����� ��

� � � � 1 � 1 2� �3� � � ��

+� ; , � � 1 @+2+� ; , 3 ; , A � @+� ; , A

2+ � .+ ; % 3� 1 2 % � + 3,�

2 % � + 3 � 1 2 % � + 3, ��

"� �� ��� ��� ���� � � � ����� ���� ������� ����� � ����=

"� �� ����� � � ��������� � � +� ; , ���� ���� � � �������

++ 1 � % 9 ��� ������� ��� ��������� ������ � � � +� ; � , � � � �� �

����� ��������� ��� ������ � ����� � ����� �������� � ��� (��� ����

���� ���� ��������������� ������� ���� ����������� ����� ���������

"� �$� �� ���� � ���� �� ��� ��������� � ��� � � ���������

���� ������� �����������

"� � ��� ����� ���� ������ � � �������� � � ������� �����������

�� ��� ������� ����������� B ��� ��������� ���� �� � �= 6��� ����

������� ������ �� �� ��������� �������� "���� ���� ����� ������ �������

� ��� ������������ �������� � ������ ������� ��� ������� �����

� 1 7� D��� ���������� ������� ����������� ���� ���� ��� � 1 7 (������

� ���� ���� � ������ �� ���� � �� �� ���� ����� - ��������� ����

�� �� � �������� ������� -��� ������� ���� � ��� ����� � �������

�������� ���� ���� ���� ������ � ��� ������ ���� /�� �� ���������

������ ����� ������� � � �� ������ ������ ���� � �������� ������

��� �� ���� ���������� ����� ���� ����� �� �!�������

Page 140: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

��

��

��

��

��

��

��

��

��

���

��

��

��

���

��

���

��

��

���

���

��

���

��

��

����

���

����

��

����

�����

����

�����

���

����

����

���

�����

����

�% . (

. �( %

( % .

���

���

��� �������� ��� �� ���������� � ������������

20:02 30 Oct 99

�������� �� #� ������������� + ����� ���� ��� �!���� �� 1+� ������

� ������ � ��������� � , � � � �� �� ������� ���

2�3 2�3

2� 3 2�3 �

� ���� �# ���� )� 6��������� ++ 1 ++ 1 % �� ��� + 1 �' ���� ����

� �� � ����������� �� ������ :���� ��� � ��� � ���� ��������� �����

��� ������� ����� � ���� � 1 � � ����� ��� �!������� ����� �!����

( ; .( ; (( 1 7� � ��� ������� � � ��� ��� ���� ��� ���� � ����� � �

���� �!����� ���� ��� � 1 � ������ *� 6��������� ++ 1 % �� ��� + 1 ' ���� ���� � �� � �����

���� � ��� ������ ��� ����� ����� ��� ������� ����� � ����

� 1 �� ����� ��� �!������� � ���� ( ; � ( 1 7� ( ; � ( 1 7� � ���� � � ��� �

���� ��� �!���� � 1 ��� ����� � 1 H� � � � � � 'I� 5�� �� ��� ��������� �

�� � ��� ����� � 1 H*� 7� ''I �� ������������ � ��� ����� � � 1

H� � �� �� � �� �� � ��I �� �� ��� � 1 � � � � ���� � M � � �� � ���������� � ��� �

�������� � � � � ��� ���� ��������� �����2� � � 3 '*'�4���

���� -� 6��������� ++ 1 % � ��� + 1 �'� �� ���2+ � % 3 �1 7 ���� ����

� �� � ���� �������� ���� ����� � �� ���� �������9 ���� � �

��������� �� , � � ��� 1 + � �� � ����� ���� ��� ���� ���� �� � ���

����� ��� ���� ���������� ����� ��� ������� ����� � ���� � 1 ��� �����

��� �!������� � ���� ( ; � ( 1 7� ( ; � ( 1 7� � ��� ���� ��� �!���� � � ��� �

�� � 1 �� � ����� � 1 H� � �� � � 'I� 5�� �� ��� ������� �� � ����� �

����� �� ��� ���� � ���� �!���� �� 1 7� ���� ��� ''( ; $( � *( 1� � �

7� ��� ��� � 1 H*� 7� ''I ���� � � � � � 1 H� � �� �� � �� �� � ��I���� � ���

�� �� ���� 1 � � � � ���� � M � � �� � ������� �������� � � � � ����

���� ��������� �����2� � � 3 '*'�4���

���� 2� 6��������� ++ 1 +?% ���� ���� � + �� ������� C������ �

��� � + 1 ' �� 2 � +3 1 % � � ��� ���������� � � � +� �� ���� � � �

���� ��� ���� � ��� � ������ � � -�� ������� ��� ��� ������ � � 1

� +� � ����� ���� ������� ����� � ���� ����� ��� �!������� � ���

��� ( � � � ( 1 7� ( � � � ( 1 7� ���� � ��� �!���� � 1� � � �� �

� H � � � � � � 'I� ���� � �� ��� �������� '47� ����� ���� � ����� �

���� *� �

Page 141: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

����

��

���

����

��

����

����

����

�����

���

����

����

��

���

�����

����

�?$'4 �%$$ $.%

�*'7 ?+*7 �'7$$

�++? �'7?7 �?+4.

���

��� ��������� ���

20:02 30 Oct 99

�������� �� #� ������������� + �� ������ , ����� ���� ��� �!����

�� 1 +� ; , ������ � ������ � ��������� � , � � � �� �� ������� ���

2�3 ���� + �� �������� .+2�3� , 1 H � � � � � I9� ��

2�3 ���� + �� �������� .+2�3� , 1 H$� %� *I9

2� 3 ���� + �� �������� .+2�3� , 1 H � � � � � I9� ��

2�3 ���� + �� �������� .+2� 3� , 1 H � ��� � � �� �� � ���I9�� ���

2�3 + 1 , 1 H � ��� � � �� �� � ���I9�� ���

2� 3 + 1 , 1 H?%4� ++7��%'%I�

� ���� �# ���� )� 6��������� ++ 1 % �� ��� + 1 �' ���� ���� �

�� � ����� � ���� ��������� C������ �� �� ��� ������ � � � �� � ����

� ��� ��������� ����� ��� ������� ����� � ���� � 1 � � ����� ���

�!������� ����� �!���� ( ; .( ; (( 1 +� � ��� ������� � � ���� � �

��� ���� ��� ���� � ���� ���� �!����� ���� ��� � 1 � ������ *� 6��������� ++ 1 % �� ��� + 1 �' ���� ���� � �� � �����

� ���� ��������� C������ �� �� ��� �������� ���� ����� � 1

H � � � �� � I� � � �� � ����� �������� ���� ����� � �� � ��� ����� ��� �� �

� �� ���� � ��� �������� � � +� ; , � � �� � ����� ��� ��������

����� � ���� � 1 +� ; , � � �� ����� ��� �!������� ����� �!�����

( ; .( ; (( 1 '?� � ��� ����� � � �� ��� ���� ���� ���� �!������ � �

���� -� 6��������� ++ 1 % �� ��� + 1 ' ���� ���� � �� � ������

����� ��� ������� ����� � ���� � 1 � � ����� ��� �!������� � ����

( ; � ( 1 � � ( ; � ( 1 � � � � �� � ����� ���� ���� � ���� � � ��� �� �

�!���� � 1 �� ; � � ����� � 1 H� � �� � � 'I �� � 1 H � � � � 7I� 5���� � ��

������ ��� ������� �� � ��� ����� � 1 H*� 7� ''I �� ������������

� � � �� � ���� � � � � �� ������������ � ��� ��� ������ ����

� �� 3 �� ;�� �� �� 3�3� 1 � � � � ����� M�� �� � ����������������

� � � � ��� ���� ��������� �����2� � ��3 '*'�4���

���� 2� 6��������� ++ 1 % �� ��� + 1 �' ���� ���� � �� � �����

� ���� ��������� C������ ���2+ � % 3 �1 7� � � ��� ������ � ����

���9 ���� � ���� ��������� ����� � 1 � � ����� ��� ����� 3 1

H � ��� � � �� �� � ���I� ��� ���� � ������ � ��� ������� � �� , � � ����� � �� ��

-������� ��� �!���� � �� ������� ���� � ������ ������ �� ����

�� ��� ������� ����� � ���� � 1 ��� ����� ��� �!������� � ��

��� ( ; � ( 1 7� ( ; � ( 1 7� � � ��� �!���� � 1 �� � ����� � 1� � � ��� �

Page 142: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

���

��� �������� ��� �� ���������� � ������������

20:02 30 Oct 99

H� � �� � � 'I� 5�� �� ��� ������� �� � ��� ����� ��� �!���� �� 1�� �

�3 � ���� �� ''( ; $( � *( 1 ++� <���� � 1 H*� 7� ''I �� ������������� � �

� � � � � �� ������������ � ��� ��� ������ ���� 3 �� 4 � 3 ;

� � �� �� 4�4 � 1 � � � � ���� � M � � �� � ������� �������� � � � ��

��� ���� ��������� �����2� � � 3 '*'�4���

���� 5� 6��������� ++ 1 % � ��� + 1 '� �� + �1 % ���� ���� � �� �

����� ��� � � ��������� C������ ���2+ � % 3 1 7 ��� , �1 � � ����

����� ��� �������: � �� � � ������ 0 ��� � ���� ��� ���� �

���� � ����

��� � � � 1 � � � �

@+2+� ; , 3 ; , A � @+� ; , A 1 @+� 6 , A � �

2+ � .+ ; % 3� 1 2% � +3,�

2+ � % 3 � 1 �2+ � % 3, ��

����� ���� ������� ����� � ���� ����� ��� �!������� � ���� ( ��

� �� ( 1 � ��� � ( ; � �� ( 1 � � ��� � � � ��� ���������� �!����� ����� ��� ������� � �

� 1 �� ; 3 � ����� � 1 H � �� �� � �� � 'I �� 3 1 H � ��� �� � ��� � 7I� ��� ����� ������

)�� 3 ���� ��� ����� � ��� ����� � � �� � 1 3 � � 3 1 H� � ��� ����

� ��� �� � ���I� 5�� � ������ ��� ������� �������� ��� ����� � 1���� ��

H''� 7��*I �� ������������ � �� � � �� ������������ � ��� ��� ������

���� 3 �� 4 � 3 ; � � �� �� 4�4 � 1 � � � �� � ����� �

� M � � �� � ������� �������� � � � � ��� ���� ���������

�����2� � ����3 '**�'��� �

���� 7� 6��������� ++ 1 ?$$$ % ���� ���� � ����+ �� ������ �� � �

� �� � �������� ����� ���� ���� � 1 ?$$$� ����� ��� ����� � ����

� � 1 � ����� ��� ������ 3 1

H � �������� ����� �� � �������� ����� �� � �������� �����I���� �������� ������������ � ������������

H7�'7'��7�7+%��7�7%+I�

#� ���� � ��� ����� �� � 3 1 �2� � 3 3� ����� ���� ������� �����

� ���� ����� ��� �!������� � ����

( � � �� ( � � ��������� 1 7� � ����������

( ; � �� ( ; � ��������� 1 7�� ���� �� ������ �

���� ��� ���� � ��� �!���� � 1 �� ; � � �����

� 1 H � �� �� � �� � 'I H7�%(%��'*�*.*� 'I� ���

� 1 H � ��������� �� � ��������� � 7I H7�'+.��'�'4?� 7I����������� �� ������ �

5�� ������ ��� ������� �� � ��� ����� � 1 H''� 7��*I �� ������������

� � � � � �� ������������ � ��� ��� ������ ���� 3 �� 4 �

3 ; � � �� �� 4�4 � 1 � � � �� � ���� � M � � �� � ������� �������� �� �

� � � ��� ���� ��������� �����2� � � ��3 '**�'�� �� �

Page 143: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ��������� ���

20:02 30 Oct 99

Reflection calculus

R��� �� � �� �������� �������� ���� �������� ��������� � ������

�������� ������ ���� ��� ��� ������ ��������� ��������� ����

�������� � ����������� ���������:���� �� ��� ��������� �� ����

����� /������ � ��� ������� ������ � ����� ��������� ��� � � ������

�� ����� ���� ����������� ��� ���������� � �� �" ������ �����

��� � ��� �� �� ����� �������� ��� ����������� ������� ���

������� %�+�*� %�$�%� �� %�*�.� �� �������� %�''�(.� ����� ����� ������

�������� �� � ���� ��� ���������� �������� ��� ��� �������� �� �����

����� .%� .*� �� .?� ��� �������� �������� .4 �� � ������ � �����

*�$�. ���� ���� ��� �� �������� .?�

�������� � ��� ���� �� � ���� �� � � �� � � ��� �������

� � � �� ��� �������� ����� ��� � 1 � � � ; � � �� ���� �� �� � �

2������ ���������3 �������������

� ���� �� ���� �� � 2������ ���������3 ������������ �������

� �� 1 � � � � ��������� � � �� � � ��� �!��� � �������� *� ����� � �

� � � 1 � � �� � �

�������� �� ��� ���� ��� ������� � � ��� ��������� ����� �����

����� �� ����������� � ���� ����� �����,

2�3 ��� ��� ��� ������������ � � ����� ��� � � �

2�3 ����� ��������� ����� � ��� � � �

2�3 ��� ��� ������� �������������

0�� ��� ���� � ����

2�3 � �� ��� �������� ����� � ���� ������������ � � � ��

2�3 � �� ��� �������� ����� � ���� ������ � � ��

2�3 � �� ��� �������� ����� ��� ��������� � ��� ����� ������

� ���� �� #����� ������ ��� ����� ����� �� �� �� ��� ��� ����������

��� � � � �� �������� � �� ���� + � , � �� 8 � )�� 9 1 + � , ; 8

���� � 9 ��� � �� ��� ���� ������������ � � ������ 9 � ��� � �

� � � � ��

� � � 1 � � � � � � � 1 � � � � 1 � � 1 � �� � � � � � � � � � � � � � � �

>������� ����� ��������� ����� �� ������ � ��� + �9 ������

��� ���� � � � ������ + �� ��� ���������� � � : � �� � ���� � �

� � �� � ��� ���������� � � � ��� ��������� ����� � � � � �� ���

��� 2�����������3 ��������� � � ����� � � : � �� � � / ������

*�.�'� �� ��� ��� � ������ + � � � ��� ��������� � � � � �������

���� ��� 2�����������3 �������� � � � � 5�� � �� ��� ���� �����

����� � �� �� ���� ��� ��� ��� �� ����� ��� ���� � � �����

Page 144: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

��� 2� 3

��� �������� ��� �� ���������� � ������������

20:02 30 Oct 99

� ����� ���� � � /�� � 2� 3 1 � 2� 3 1 � 2� 3 �� ��� ���� � � � � �� �

�� ���� �� ��� ������ � ���� � 1 � �� �

������ ������ ��� ��� ������� ������������ �� ����� ��������� ��

� ��� � � ��� � � � 1 � � ������ *�+�+�� � � �

6������ � ������ � �� ������������ -� � 1 � ��� ��� ����� ����

� ��� ������������ ��� � ����� ��������� ����� � ���� � ������

� �1 �

-� � � � ��� � � �� � �������� � ���� � �1 � � / �������� '%�� � �

� 1 � � �� � ����� ��������� �� � 1 � � � ���� ���� ������������ � 1� � � �

� �� ��� ���� � � � � � 1 � 1 � � 1 � � � ��������� � � � � � � �� � � � � � �

-� � �� �� � ��� � � ��� � � �� � ����� � ���� �� ���� � 1� �

� � �� �� �� ������������ ���� � �������� ����� � ���� � � � ����

� � -� � 1 � � ��� � � 1 � 1 � � 1 � � � �� � � � � � �� � ���� � � � � �

���� � �

>� ������ � 1 � � ������ � ��� � � 9 ��� � 2� 3 1� �

� � 2� 3 1 � 2� 3 1 � 2� 3 � -� � 2� 3 1 � � ��� � 1 � �� � ���� � �� � �

� � ���� �� G��������� ��� ������ � � ���� �� - ������

����� � ���� � � � � 1 � � 1 � � � ��� ���� ��� ���� ��� ��� ����� � �

��������� � � ������ � � ��������� � � � � � � � � �� � ���� ���

#���� � � � � � ������� � �� ���� � � �� � � �������

� � 1 � �� ������������ �� �

�������� �� 0������ � ����� *�$�.� �� � ���� : �� � ��� ������

�� � � �� � ������ #��� � ��� ����� �� ���� ���� ������ � ���� �

�����,

� � � 1 � �� �� � �� � � � 9� �

� ���� � �������� �� �� � �� � � � 9

� ���� � ����� �� �� � �� � � � 9

� �� ���� � � ��������� ��� ��� ���� �� ��� ��� ������ ����������

��� � : �� � � �� ��� ���� ��������� �� � � � 9

� �� ���� � � ������ ��� ��� ����� �� � � � �

� ���� �� � 1 � � �� � ������ �� � 1 � �� �� � �� : 1 � �� �

-� : � � � ������ � ���� � � : � � 9 ���� � , �� 8 ��� ����������

� � ���� ����� ����� ��� � 1 � � � � 1 � � � / �������� * ������ ���� � � � �

�������� ���� ����� .2, � 8 3 �

G ��� ���� ���� �� � �� � �������� � � ��� :� 1 � @�A � / ���� ��

�������� ���������� � � 1 � 1 � � � � 1 � � ���� :� 1 : � ������ � � �� �

: � �� ���� � �� � �������� �� �� � �� : � �� �� � ���� ���� ��� �����

�� .2, � 8 3 � �� ����������

-� : �� � �� � ��� � � ���� � � � ��� ����� ������������ � : � �

������ � � ��� � 1 � � � � 1 � � � � ����� ���� ��� ��� � � : �� � � � � �

Page 145: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���� � �

��� ��������� ���

20:02 30 Oct 99

� � -�� ���� ��������� �� ����� ��� ������� � � � ��� �������� �����

����� � � �� �

-� : �� � ��� ����� ��� ���� � ��!�� ��� ������������ ���

� ���� ��������� ���� �� ���� , �� 8 � B��� � � �� ��� �����

��������� � � ���� : �� � � / ��� ��� � ����� *�$�.� � �� � �����

���� ���� � �� ����� .2, � 8 3 � �� ��� ���� ��������� �� ����� ���

������� � � � ��� �������� ����� ����� � � �� � ���� � �� �

����� �� �� � �� : �� � �� � ���� �� � ���� ���� ��� ���� �� ����

��������� ��� ��� ��� � �� ��������� �� ����������

#���� � �� � �� � � ��������� ��� ���� �� ���� ��������� ���� ���

���������� �� �� ���� � � ������ ��� ����� ��� ��� ���������� �

�������� �� ��� ���� ��� ������� � � ��� ���� ���� ���� �����

���� �� ����������� � ���� ����� �����,

2�3 ��� ���� ��� ������� ������������� �

2�3 ��� ���� � ���� �� ��������� �

2� 3 ��� ���� � ��� ������������ ��� " �

��� ��� ���� � ����

2�3 � 1 � �

2�3 � �� ��� ���� ��� ���� � ��� � �

2� 3 � �� ��� ���� ��� ���� � ��� � � " �

� ���� �� ������ ���� �� �� �� � ���������� ������������� ������

�� ��� � � �� ���� � � �� � ��� ����� ������ � ������������

� � �� � � ��� � � � 1 � � � � � 1 � � � 1 � � 1 � �� � � � � � � � � � � � �

>���� ������ � � � � �� ������ � ��� � � / �������� .4� � � ��� �

� �������� � ���� ����� � � �� � � 1 � � � ����� � 1 � @ �A� ����� � � � ��

� � � 1 � � -� � ���� �������� ��� � � � � ��� � ��� ���� ��������� � � �

� � � 1 � �� ��� ��� � � �� � 1 � 1 � � � � -� � ���� �������� � � � � � � � � ���

��� � � � � ��� � ��� ���� �������� � � � 1 � �� ��� ��� � � ����� � � �

� � 1 � � � � � � 1 � � � �� � � � 1 � � � 1 �� � � � � � � � � � � � � �

������ ������ ���� � � � � �� � ���� � ��� ������������ ���

" � / �������� .4� � � �� � ������ �� ������� � ��� � � " ���� ����� �

� � 1 � � � ���� � � � 1 � � ����� � ����� 2�3 � 2�3� � �� ��� ����� � � � � � � �

��� � � ���� ���� �� ����������

6������ � ������ � � � �� ������������ -� ���� ��� ������ � ���� � �

� � 1 � � �� � � � � � ��� ������� ������������ � �������� .4� -�� � �

� � � 1 � �� ��� ��� � � ��� � � 1 � � � -� � � � � ��� � ��������� � � � � � � �

.4� � � 1 � � �� � ��������� ���� � � � � G��������� � �������� .4�� � � �

� � 1 � � �� � ����� ��� � � ��������� �� ��� ���� " �� ������� � � �

������� � � � � � � � �� � � �

&������� (7 �� ��� �������������� ���� � �������� %�''�?�

Page 146: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� �������� ��� �� ���������� � ������������

20:02 30 Oct 99

�������� �� ��� ���� ���� ������ � �� ��� ������� � �� �����

������ ���������� ������ � , 6����� ��������� ��� ������ � ��� �

������ �

� ���� �� -� � �� � ����� �������� ���� ����� �� ��� � 1 � � �� ����

�������� � ���� ����� �������� � �� ��������� � 1 � � �� ��� ����� �

� �� � � � � � 1 � � � 1 � � � ����� � �� ��� ��� ������ �� � � � �

������������ � � �

-� � �� � ���� �������� ���� ����� � � ��� � 1 �� �� ��� ������

� ���� ���� ������������ � � � ��������� � 1 � � �� ��� ������ �

� � � � � � � 1 � � � 1 � � � ����� � 1 � �� � �� � � � �

-� � �� � ����� ���� ���� � � ��� � 1 �� �� ��� ����� � ���� ����

� �� ��� �������� ���� ����� �������� � � � ��� � 1 � � �� ���� �

����� �� � ������ � � �� � 1 � � �� ��� ����� � � � � � �� �

� 1 � � � � 1 � � � � 1 � � � ����� � �� � ��� ��� ���������� �� � � � � � � � � �

�� � ���� � � �

D���� � ��� '?.7� �� ���� '?(7� ��� ����������� ��������

��������:��� ���� ������ � ����� %�'':S������ ����� �������

�������� ������ �������������� !������� ������� )��B� ����

��� Q� /��� �������� ���� �������� �� � ���� ���� � ��������� �� ���

���������� � '?(+� -� ���� �� ���� �� ��� ����������� ����������

������ ������������9 �������������� ������� ��� ������� ���

����������� 0� ���� ��� � ������� ��������� ������� ���������

�� ��� ��������������� �������� ������� ��� ����� � ������� �����

������ ��������� ��� �� � ��� � ����� ����� ��� ���������� �

����� ���� �������� ������� 6��!���� � ��� � ������� ����

�������� ������� ����� ������ ��� ������ ���� � ����� � �������

��� �� ���� ����� &�������� (' �� (. ��� ���� ���/��� '?(+� ��� ���

����� ������� � ��� ����������� �������� �������� ��������� �

����� %�''�

�������� �� B������� ��� ������ ����� � ���� + � , � 8 � �� ; ��

����� � � � � � � 1 � � #�� � ������ ������ ���� ���� + �� � � � �

, � 8 � 9 � �� ; � ������ � , F��� ���� �������

� ���� �� ��� ����� ������ �� ������ � ��� ����������� ��������

%�''�((, ; ���� �� ��� ������ � �+,8 � -�� ��� �� ��� �����

-� + � 9 ��� �������� ��� � � � � � � � � 1 � ���� ��� ���� � � � � � �

������ ������ � ��� ������� ���� �� ����� T��������U -� + � 9 ���

������ ��� � �������� ��� ��� ������ ������ � ����� ���� �� �����

T��������U -� + � 9 ��� ������� ���� ��� ��������� +,89 ����

��� ������ ; � �

Page 147: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

���

��� ��������� ���

20:02 30 Oct 99

�������� � ���� �� J��� ���� ������ ���� � �� � ��

� � � � 1 �E� � � �

���� � J��� ���� ������ � ��� � �� ���� � �� �

�� � � � � � � 1 �E� � � � � �

���� � J��� ���� ������ � ��� � �� ���� � �� �

�� � � � � � � 1 �E� � � � � �

���� �� J��� ���� ������ ���� � �� � � ����� ����� ����

� �� � ���� ���� � � 1 � � E� � � �

���� �� J��� ���� ������ ���� � �� � � ����� ����� ����

� �� � ���� ���� � � � � 1 � � E� � � � � �

������ � , &������� .4 �� ��������

� ���� �# ���� )� ���� � 1 � � �� ���� ���� �!���� ���� �� �� � � �

�� � �� ��� ������ � � ���� ���� / �������� .4� ���� ������ ���� ���

� 1 � � � � � �

���� *� ��� �!���� ���� �� �� � �� � � 1 � � � 1 � � � 1� � �� � � � � � � � ��

� � � / ������ *�$�'� ���� ������ ���� ��� � 1 � � � � �1 �� �� � � ��

�� � � �

���� -� � 1 � � � �� ���� C������ � �1 � ���� � ���� �� ���� � � �

�������� � � � ���� ��� �!���� ���� �� �� � �� � 1 � �� ���� � �

��� � � ���� �� � � 1 � � � / �������� .4� � � �� � �������� ����� � � � � �

��� � � � � �� � ���� ���� ��� �������� ����� .2� � � 3 �� ��������

� � ��� ������������ � � �� �� �������� ��� �!���� ���� ���� ���

� 1 � � � � �1 � �� �� ������������ � ��� ��� �������� � � �

���� 2� / ��� ������� �� ���� 2(3� � �� � ����� ���� ���

� � � �

���� 5� � � � � �� � ����� �� � � �� � ��������� � � �� �� � � �

����� �� �� � �� � ��� ���� ��������� 7� � '47�� / �������� .4�

���� ������ ���� ��� � 1 � � � � �� �������� � � ��� ������������

� � � �

Page 148: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

���

20:48 30 Oct 99

Concepts�������� �� ����� ��� ��������� ��������

������� ������������ ���� �������� �����

������� � ������ ���� �����

������������

����� ������

���������

���������� ���� �����

��������� ���������� �����

��������� �����

� ������ ��������

������� ��� �� ������� ������� ��������

������� � ��������

�������

���� ����� ��

��������� ��

���� ����������� ���� ������������ ������ �� ������ ���� �� ��� �������

����� ����� ��� �� �� �������� ��� ������� ���� �� ������� �� ��� � ���

�� � ����� ��������� ����� � ����� �� ����� ��������� ����� �����

������� � ������ ������ ���������� ��� ��� � ����� �

Page 149: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ������

20:48 30 Oct 99

�������� ������� ������� � ��� ����� � ����� � ������ ��������

����� � ����� ������ � ��� ��� ��� ��� ������� � ���� ���� ���������

����� ����� ��� ������� ������� �� � ������� ������ ������ �� �

������� ����� ������ �� ������ ����� � ��� ������� ��������� ����

� ��� ��������� �������� ���� ���������� � ������ �������� �� �������

� ������ ���� �� �������� �� ������� �� ����� ��� ����� �� ��� �!������

� ���� ����� �� �� ��� ���������� ��� ��������� � ������ �������� ���������

����� � ��� ������ ����������� ������ ���� ��� � � ��� ������

General exercises

��� ����� ��� ��������� ������� �� �� "����� ���� �� ������� �� � �����

�� ���� ��� #�� �� �������� �� ������� �� ������ �������

������� ��� � ����� �� ������� �� ������� � ��� ����� � ���

�� � ����� ����� ��� ������ ��� ����� $��� � �����

�������� �� %����� &�'�( ����� ���� ��������� �"$����� )�����"� �����

� ��������� �� � ����� ������ ��� ����� ������* +���� ��� ��������

��� ���� ����� � ����� � ���*

��� ���� ,�� ���"��� �

�������� � %�� � ������"� ���� ������� �� ��������� � ����� �

�����"�� �� ����� � ������ &�'�(�

��� ���� ,�� ���"��� �

Exercises on polygons and polygonal symmetry

� ��������� - �� ' ����� ������ �������� ������� �� � ����� � �����

� � ��� ������� � ������ ��� ��� ������� ����� ����

��� ��������� ����� �� �� ��� ���� �� ����� ���"� � ���� ��"$���� �

���� ��� ����������� "����� ������ ��� ��� � ����� ������� ���

��� ��� ��������� ��������� ��� ���� �� ������ ��� �� ������ ���� �����

�� ������&�(� ��.� ��� ������� "����� ������� �� ������ ������

��� �� ���� ����� � ��� �� ��� ��� ����� ��������� � ������ -�

�������� � ������ ��� � ����� ������ �� ��� ������ � ������ &�'�/�

���� ��� 0 ��������� 1��"���� 1������� ������ +������� � ���

�������� �� ��� ����������� 2���� 0�����

��� ���� 34 � � � � � ��

3"4 � � � 3�4 � � � �� �

3�4 � � � 3�4 � � � � � �� �

Page 150: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� � ������ ���

���������� ��� ������ �

���� ���� ���� �

20:48 30 Oct 99

Figure 8.5.1 Figure 8.5.25�������� � ����� %��� � �������

34

3"4 3�4

3�4 3�4

������� ������� �

�������� �� +����� �������� 7�� � 8���. ������� ������� �� �����

� ����� ������� 2�� ��� ���� � ������� � ������ �� � ���� 5��

"��� ������� � ����� ���"���*

��� ���� ���������� ������ �� ����� �

�� � �

��� ����� ��� ���� ��� �� ������� ���� ����� �� ��� �� � ����� ������

"� ��������� ��������� �

�������� �� 0���� ������� � ������ � ������� ��� ���� %��

������� �� ������ �� ������ ���� � �� � � ����� ������� ���� �

Page 151: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ������

���������� ��� ������ �

20:48 30 Oct 99

� 9 /� -� :� ���� 8� �� �� � ���� � � �� �� +������ ����� ���������

�� ������ �� ����� ���. ��;

3 4 5�������� �"$����� � � ������ &�'�(�

3" 4 +���� ������ ��������� %�� ������ ������� ���� ����

�� ����� ���������

3� 4 ,���� "����� � ����� ����� � ������ � #�� .�� �� ��

�� ���� �����*

3� 4 7����� � � ������ &�'�-�

3� 4 <�� ����� %�� ������� ���=�� ����� ��� � ������ &�'�:�

3� 4 ������������; ����� � "��������

3� 4 >����� �� �� ��� ���� " ��������� 0 �������� �����

������ � ������ &�'�'� 3���� ���� "���� ���� ������ � �����

�������� � ���!����� ��""���4 #���� � ����� ������

������� �� � ��� ��������� ���� $� � ������ &�'�? ������"

����!�� ���"��* %�� ����� ������� ���� ������ ���������

3�4 %������� ������� �����"����

��� ���� 3 "4 1 ������ ��"���� ��� � � ����� � ��� 0�� ��

���� 2�0� ����� � +�� @�����A ����� ��� ��� ����� ������

3�4 %��� � ���� ��� ��� ������ ��� �� ��� �� ������ �

��� ���� ���� �

3�4 � � ������ ������ � ��������

���

Figure 8.5.3 Figure 8.5.40 ������� ����� =�� ����� ����

Page 152: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

����� �� ��

��� �� ��� ��

��� �� �� ��

�� �� ���� ��

��� � ������ ���

���������� ����� ��� �

����� ��� ������ ����� ����� �� �

20:48 30 Oct 99

Figure 8.5.5 Figure 8.5.6���� " ������ ����!�� $�� �

3� 4 ��� ���� �� "����� � ������ ������ ���� ������� "�� �������

�� ������� � � ��� ����� �������� ������ ����� ���� �� "��. ����

� ����� ������ � ��� BBB���� B B B ������ ���� ��� $� ��� �� ���� ���

� �� ������ � ������ ��� ������� ����� ����� �� ��� ��� �� �

� ����� � ��� "����� �� ��� �������� ����� �� � � ��� ������ �������

�� �� � � ��

�������� � %�� ��� ������� ��� ��� ������� �� � ����� ���� ������

� ��� ������

��� ���� � ��� � 9 ?C� �

� 9 C �� '� " ��� ��������� � ������ ?�&� �

�������� �� ���� �� %�� ����� � � � �� � ����� ��"����� �� �

� �����* � ��� ���� ���� ��"������ �� ���������� �� ��* ��� ��� �

�� ��$����*

���� � 0�� � ��� ( ��� � � � �� �

���� � 0�� � ��� ( ��� � � � �� �

���� �� 5�� � ��"������ �� � �� � �����*� ��

Page 153: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

��

��� ������

20:48 30 Oct 99

��� ���� � � �� � ����� �� ��"����� �� � �� � ����� �� �� � � �

�� �� � ������� � � � ��� ��� ������� $��� �� � ��"������ "�� � D��

� ��"������� � � � ������ ��� ������ ��"������� �� � ��

�������� �� 0������ ��� � �������� �� ������ ������ ��� �� � ��� �

����� � �������

���� �� 0��� ��� � �� ������ �� ��� ����� �� �� �������� #�� ��

��� �������� �� �� � ������ �� ���� ��� � ������*

���� � 0��� ��� � �� ������ �� ��� ������ ���� �� �� �������

� � �� ���� #�� �� � �� ���*

��� ���� ��� �� 2�� ��� 000 �������� ��������� �� ��� �������� ���

� ������� ��� ���� ��� � ������ �� ��� ���� ��� � ������� ��� ��� ��

����� "� ������E������� ��!��� ����"���

��� �� �� � �� ������� ��� ������ �� �"������ >��������� �������

���������� �������� � �� � � ��� ����� � �� ��� ������� ������� -�(-�?�

���� ���� ���������� ������� ���� 9����� ���� �� 9��� ���� �����F

�������� ���� ��� ������� � ������� ��� �� ����� �� ������� �� �

�� ���� �� � �� ���� � ����� "� ������E������� ��!��� �������� �

�������� �� ���� �� )���� ��� ���� �� ����� �� ������ ������ ��� ��

� � ����� ���; ���� �� ����� �� �� ������ %����� ���� ��� �� ��� ����

���� � ��� ����� ������ "� ����� ��������� ��� ������� ����� � ��

����� ��� ����� ��� ������ ������� � ��� ��"�� �� ������ ,��

�� ��� �� ����� ��� ���� ��������

���� � 7�� � "� ��� ��� �� ������ ������ ��� �� � � ��� ���������

)����� ����������E �������� ��� ��������E��� ������� � ����

������� ������ ��� �������� �� ��� ������ ���� ���� ���� ��� ��

�� ��� ��� ������������ � ������ -�&� ����� ���; ����� ���� �� �����

�� �� ������ � �� ���""� ���� ��� ��������� ����"�� ���������

�� ����� ��� " �������� �� �������� �� ���� �� ������� �������

�"$������� �� � �� �����E��� ��� ��� �������� ���� ��� � �������� �����

�� ���� ���E��� ���"��� �� �������� ������ ��� �� ��������� � "��.�

� ���������� ������� G ��� ������� ��� ������ � 0���� (H&'�

��� ���� ��� �� � ��� �� ���� ����� ���� ������G ������ � �������

���� � ������ ����� �� ��� �� ���� ���� ����� ����� ����

��� �� ���� �� � � >�� �� ����� ������ � �� ��� ������ �����

��� �� ,�� ���"��� �

Exercises on frieze groups

I�������� (C �� (/ ������ ��� ��������� �� ������� � ������

� ����� �������� ����� ������ ��� ��������� ����� ��� ����������

Page 154: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� � ������ ���

���� ���� ���� ������ ! �"�# ��$ ��� ������� $������ �� �����%� ��$ $����� �

20:48 30 Oct 99

���

���

� �

���

���

Figure 8.5.7%��� ������ ��������

"����� ��$��� � �������� �� ������ ������� � �������� ��� ���

�� �������� ��� ������"�� ������� ������� I������� (' �.� �� �� ������

������ ����������� ���� ���� ������ �� ��� �� � ������ &�/�

�������� ��� ������ ��� � ����� ������ �� ��� ������� � ������ &�'�J

���� ������ �������� �� ��� ������� � ����������� 2���� 0�����

��� ���� 34 B B B B B B 3� 4 B B B����B B B

3"4 B B B���� B B B 3�4 B B B B B B

3�4 B B B���� B B B �

�������� ��� +����� ������� ���������� ���� ������� ������� �� ��� ������

��� 7�� � 8���. ���"���� ���� ��� � ������ �� ����� � ��������

:� #���� ������� �� ��������� ��� ���� ��� ������ ��� ������� �� ���������

��������� * #���� ������ ������ ��� �� �����* + �� �������� �������

�� ����� ���� ������� ����� �� �������* #���� ����*

��� ����

� B B B���� B B B � B B B � � � � B B B � B B B���� B B B � B B B� � � � B B B � B B B���� B B B �

B B B���� B B B � B B B B B B � B B B���� B B B � B B B����B B B � B B B����B B B �

B B B����B B B � B B B����B B B�

� B B B���� B B B � B B B � � � � B B B � B B B���� B B B � B B B� � � � B B B � B B B���� B B B �

B B B���� B B B �

Page 155: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ������

20:48 30 Oct 99

� B B B���� B B B � B B B� � � � B B B � B B B ���� B B B � B B B B B B � B B B���� B B B �

B B B��������B B B � B B B����B B B �

� B B B���� B B B � B B B� � � � B B B � B B B B B B � B B B B B B � B B BB B B �

B B B���� B B B � B B B B B B � B B B B B B �

� B B B B B B � B B B� � � � B B B � B B B���� B B B �

� ��� BB B B B B ������ ����� ������� B B B����B B B � ��� ����� ��� ����

��� � � ����� �� � ��� �� ���� � �� ��� B B B %��� � �

� � �

� � B B B �

��� BB B���� B B B ���� �� B B B B B B � �

�������� �� 0���� ������� � ������ �������� +������ �����

��������� � ������ �� � ���. ��;

34 "����� ������ � ������� � ��� �� ���.�G

3"4 ������ ��������G

3� 4 ����������� ������� ������ "�������� � ������G

3�4 ������

%�� ������� ���������� �� ���� �������

��� ���� ,�� ���"���

�������� �� � ������ &�/� ������ ������ �� ��������� ��� ��$���

������� �� ������ ������� "� ����������������� "��� ��$����� )�����

���� ��� ����������� ������� ����� ���; �� ����� ��� ��� �� ����� ������

�������������� �������� � ����� ������ ����E����������� �������

�������� ���� ��� ������ �

��� ���� ��� BB B���� B B B � B B B B B B � � BB B B B B ������ ��

����������G ��� ����� ���������� � ��� �� ����� �������� ���

BB B���� B B B ������ ���� ����� �� ��������� ��� BB B���� B B B �

BB B���� B B B ������ �� ����������G ��� ���� � ���������� ���

B B B���� B B B ������ ���� ������� ��������� ��� �������� ���������

����� �� ����� ���� ����������� ������;

B B B���� B B B B B B���� B B B B B B���� B B B B B B���� B B B �

�� �"�� ����������� ���� BBB����BBB ����� �� BBB BBB ������

�� ���������� �� ��� ����� �� �"�� ����������� ����

BBB BBB ����� �� BBB B B B ����� �� ���� BBB���� B B B ����� ��

BBB����BBB ������������� ���������� �� ������������ ��� �����������

�������� ��� � ��"��� � �� ����� � ������ �� �� �� � ������ ��"�����

�� � ����� � � %�� ������� ����� � ���� ������� ����� �� �������

" ��� �������� �� ����� ������G ��� ����������� ������� �����

�� ������� " ��� �������� �� ��� ������ � ����� ���������� %��

Page 156: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� � ������ ���

��$������ �&&�%���� ��%�$��� ����$ �$ � %�������� ��� �'������ ��� �� �� %������ (���&�������

������ $������ ��$������$ �� )���� �� �� ��*�� ���+�!�� ������,�$ ���� ����� $��%��$

-����� ��� &���,� ����� ���� ��� ���$�.� �$� ��� $��� /��$���� �& ��%� ���%� �� ��%� ��0���

$� �� %�� � ���� �&&�%���� 1�� ��$ ����� �$ ����0�� %��$������ ������� ���� ��� ��������2

%��� ������� � 3 � ��� �4 � 5�� �� ��0� �� �$� �$ ��� �$ ����0� /��$����$ �� %��$$�&�

� �����%���� $��%����6&�� �'������ ������ �������

20:48 30 Oct 99

������� ���� � ���� � �����"�� ��� ��� �� ��� ��$��� ������ �� ������

������� #���� ��� ���������� ������� ����* #���� ��� �������

���� �������� ����� �� ���������*

��� ���� +������

7 ������� ������� � �

7 ������� ���� � �� � � � � � � �

7 ������� ����� �� � � "�� �� � � �

7 ��� ����� ��������� � ���� ��� � � ������ � � � �� �

5��� ���� ������� ����� >� ��� ������� ������ ��� ����������

�� �������� ������� �����

!����� ��� !����� ��� ��

!���� �� �" ������ ����

B B B���� B B B � � � � � �� � �

B B B���� B B B � � ��

B B B���� B B B �

B B B���� B B B � � � � � � � � � �� � � � �

B B B B B B � � � � � �� � �

B B B B B B � � ��

B B B���� B B B � �

�������� ��� 0��� ����� �� ���� ��$��� ������ �� ������� � J K

/ � �� ���� "� �����"�� �� ������ ������ ���� � ���� ����� �����������

!�������� )���� ���� ���� ��� ������� G �� �� .��� ��� !������� �

������ � �����"����

��� ���� 0�� ������ &�'0�(� �

Exercises on wallpaper groups

����� ���� ��������� �������� ������ ������ ��� ������� �� ��� ��������

���������� ������ ����� � � �� ���� ������� �� � ����� � �����

��� ��� �� �������� ��� ������"�� ����� ������� I������� /C ����������

��� ��"����� ����������� "����� ������� ������� �� ����� �� ��

��� ��� ���� ������ �� ������"� �� �� ������� ����� ����� ����

���� � ������� �� ������ �� ���� �� ����� ���� ���������

�� ��� �� ������ ������� �������

Page 157: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ������

��� �� 8����� �� �� ���0���� ��$������� $�������$ ������� �� �

" � # �$ �� 9������ ��$��� &��� :��� �� � " # ��� "% # ��� ;�� ��������$ ��� "�# ��

" < # � =�����$� ������ ��� �� ��$���$� &��� ;��$�� ��� ;��$�� >� �? ��* @�� ������

������$ ��� ����� %������������$ ������ ���$� ����� ��������$� ��� �%��$� �& �����

&��%��������� �� �%��$� ����� $���$ &��� A���� ����$ ������� ��� ����� @��$�

�������$ ��� ��$����� �� � ������� �� ����� ����� %����B

20:48 30 Oct 99

� ��$��� �

�������������� � ���������������� �

�������� � ��������� �� � ��� � � B B B���� B B B

���� � ���� ���� � ���� ���� � ����B B B���� B B B B B B���� B B B B B B���� B B B B B B���� B B B B B B B B B B B B B B B

� ; ���" ���% � ; ��� ��"��� ���%

� ; ���&� ��"��� ���% � ; ����'�� �� ��"��� ���*

Figure 8.5S.1I������� (' ��������

34 3 "4

Figure 8.5.8 ( part 1 of 3 )I����� ������� ������

Page 158: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� � ������ ���

20:48 30 Oct 99

3�4 3�4

3�4 3� 4

Figure 8.5.8 ( part 2 of 3 )I����� ������� ������

�������� � � ������ ��� � ����� ������ �� ��� �� ������� ������

� ������ &�'�&�

��� ���� 34 �(�� 3"4 �(�� 3� 4 �) 3�4 �* 3� 4 �*�

3� 4 �� 3� 4 �)� 3�4 �� 3 � 4 ��� 3 $ 4 ��� �

Page 159: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ������

20:48 30 Oct 99

3�4 3�4

3�4 3 $4

Figure 8.5.8 ( part 3 of 3 )I����� ������� ������

�������� ��� +������� ������� �� �� ������ �� ������� ������ ����

������� ������� �� ��� ������ �� ��������7��� 8���.� �� + ������ ���"����

Page 160: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

���� �

���

��

����

���

����

��� � ������ ���

20:48 30 Oct 99

2�� ��� � ������ �� ����� � �������� :� #�� �����"��� ��� ������������

������� ��� � �� ����� ����� �� ������� �������� � ��������� 2��

������ "��� � ��� �� ���� ������� �� ��!������ �� ��� ������ � �� �

"������� ������ � 3 ��� ������ ��� �� ������ �� ��� � �� ����� �����4

��� ���� �� ; ��� �� ; � � � �� ; ���

��� � � � � ���

��� � � � ���

�� ; � � � �) ; +������� ��� �)� ; � � �

� � � ������ &�-�/ � � � �

� � � ����� ���� ���� � � �

� � �

�( ; +������� ��� �(�� ; �(��;

������ &�-�(H

����� ���� ����

�* ; �*� ; �*�; � � � �� � � �� �

� �

� �� �

� �� �

�� ��

�� ; ��� ; � � � ��� ; ���

� � � � ���

� � � ���

��� ; � � ��� ; ����

� � ����

� � ����

� � ���� � �

�������� ��� 2�� ���� "��.�� ���������� ��� ��"�� � �������� �

��������� ����� �� ������� ������� �� ������� ������� � ���������

��� ������� �� ��� ������ �� ���������� � �������� (?� +������ �����

������ �� ������ �����

��� ���� ,�� ���"��� �

�������� ��� 0������ � � � �� ��� ������� �������� ��

������� ������ � � ������� ������� � � � � � � � � � 0���� � � �

��� � ������ ��� ����� �� �� �������� � � ��

� �� ��

�9 C�

Page 161: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

�����

��

�����

��� ������

C�� (�'���� ��� 8�$�� ��*!� $�%���� � * �

20:48 30 Oct 99

��� ���� ����� �������� ������ ��� ������� ����� �� � ��

�� ��� �� ������� � � � ����� ����� ������� � � + ���� ���

� � 9 G� �

��� ��� �� � �� �� ��� �� � � � ����� ����� � � + ���� ���

�� L �� 9 3 �� L +� 4� L 3 �� L +� 4� �� � � �

� � � �

0��� � � �� �!������ �� ��� ��� ���� �� ���� ������� ���� �!���

�!����� � 9 �� L +� � � 9 �� L +� � ��� ����� �� ����������� � � �

���� �!����� ����� ��� ������� ������� �

�������� �� +������ �(�� � ���( ������ � � � � 0��� ���

��� �� ���������� �� ��"����� �� ��� ������ %�� ����� ��� �� �������

����� ������ ���� ���� ������� � ����� ���; %�� �(�� ����� �����

���( ������ � ���� �����

��� ���� )����� ��� �� ���� ����� ������ ���� ��� �(�� ����� �

� ������ &�-�/C �� ��� ��� ���( ����� � ������ &�'0�/� 0��� �� �

���������� � ���� � ���� � ����� �� �� � ����� �� � � ���

��� ��� ���( � ����� ����� � �� �� ��"����� �� ��� �(�� �����

� �� � � ��� ��� ������� ������ �� ������ &�-�/( ����� ������ &�'0�- �

����� ��� �(�� ����� �� ��"����� �� ���( ������ �� ������� ���

� �� ���������� �� ��"����� �� � �

>� ��� ����� ���� �� ������ �� ������� ������ ��� ���� ������� ;

��� �� � ���� ���� ���� �� ���������� ����� �� ������ ������

����������� "����� ������� &�-�(( � &�-�(/ 3�� � ��4 � "�����

������� &�-�/H � &�-�/& 3 ��� � ���4 � ��

Figure 8.5S.2 I�������

���� ������ &�-�/C

Figure 8.5S.3 I�������

���� ������ &�-�/(

Page 162: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

-

��� � ������ ���

C�� C������%$ >�� ����? � (��$������ ���� C����� ����%�����$ ��� � ��� �� (����%�2��

��� ���$$ ����+��� � �� ���� ��%��� �������$ �& ���$� %������$

C������ "�� 4# ��%�������� ���$� $��%�&�%�����$ @�� ���� ������� �� ������ ������

��������� ����2��� �����$���� ��� ������� �& ��� �������� ���� ��$� � %��������

��&&����� $��%�&�%�����$ %���� �����%� � ����� ���� $��$ �� �%���$

20:48 30 Oct 99

�� ����� �������� �� ����� ����"�� �� ��� ������ ! @� ���� �

� ������� �A ������ , �� ��� � ����� ����� � �� ! �� ����������

�� ��"����� �� ��� � ����� ����� � �� ,� �� �������� &�'�/C "�����

���G ���� �����"�� ��� ��� ����� �� ���������� �� ��"����� �� ��� ������

�� ��� ��� ������� ��� �������� � ����� ����������� ��� � ���� ���

���� ��� ���� ��� � ���� � ������� ������� �� ��� ��� ������ �������

������ ���� ������� ������ ��� ��� ��������� �� ��������� ���

� ������������ ��� � ����� ���������� �� ������� �������

Exercises on polyhedra

1����� �� ��� "��� ����� ��� ���� �� ��� ����� �������� ��������

��������� �������� �� ���"��� 0��� ��� ��� ������ ��� ���� ����

��!���� ����"� � ������ ���� ����� ��� ���� ����� ���� ���������

� ����������� ��� ���� ��� ��� ������ ��� ������� ���� �� �� ������

����� �� ��� ��� ���� ��������� 5������� ������� ������ � �� ��������

������ ���� ��������� ��������

���.� ������ ���������� ��� ������� ����� ������ � ��� ���� ������

- ����� ���.� ����� ��� ��� ����� �� ����� ���"���E�������& -���&��

�� "���E���� ����� ��� �� � ��� ���� �� ���� �!������� ������� ����

����� ������� ����� �� - ������ +�� ��� �� �!������� ������ .

� � ������ &�'�H �� ��� � �������� 2�� ����� ������ ���������� ��

������� ��� . ���� ����� - L � � -�&J ������ � �� ����� ������

� � � � � � �� ��� �������� � � ��� ���� ��� �����/ ������� . ��

������

���

���

� ���

Figure 8.5.9 I!�������

������� ��� �������

������� �������

� ������ �� !��

�� �

Figure 8.5.10 I!�������������� ��� ��� ������

Page 163: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ������

C����%��� ���� ���$ �� ����������� �& ��� ����� �$ $����� �$$����� ��

20:48 30 Oct 99

����� ����� ���� ����� $��� ���� ����� �� ��������� ����� �����

2�� ��� �������� . � ������� �� �.� ���� ������ . � ���� �����

��.� � � � � � � � � #��� ����������� � �� ��� ����� ��� ����� ��

����/ #��� ����� ��. ��� ������� ���� ����� ����� �����������

�� ��� ����� ������ 2�� �� ���� ���.� ������� ����� ���� �������

� � ��� ������� � � � � � � � � 1.� ������� ���� ��� ��� �������

������� �� ������� � ������� ��� ������ ���� ������� . �� ���

�������� ��� �������� �����"�� ������ &�'�(C� �� ��� ��������

���� � ���� �� ��� ��� ������� 2�� ���� � �������� �"� ����

(� � ���� ��""�� "�� �� ���� ���� �� ��� ������ ������ �� ����"����

������ ��������� ���� �������� �"�� ��� �"� �.� ��� ����� ���� ��

���� � ������� "�� ����� �����"�� �������� ��� ��� �� ���������

�������"� � � ������

��� ������ �.� ����. �� �������� �!���� ������� �������

���� �""�� ����� ���� ��� ��� ���� ������ � �!���� ����� �� ��""��

"�� �� ��� ��������� � ��� #�� ����� ����������� ��������������

�� � �������"�� �� ��� �� ������� �� ��� ����� �� ��� �����������

�������� �� 1.�� ��������� ������������ �� ��� ��� ���� ���������

� ������ &�:�

��� ���� ,�� ���"��� �

�������� � )�����"� ��� �������� ������������ ������� �� �����"��

����;

34 �� ������ ������������� ��� ������ �� ��� �������� ������

3"4 �� ��"����� ��� ����������� �� ��� ��� $���� ��� ��������

���������

3� 4 �� ������ ������������ ��� ������ �� ��� �������� �����

3�4 �� ������ ���������� ���� ��� ������ �� ��� ��������

�����

3� 4 �� ������ ��������� ���� ��� ����������� �� ��� ���

$���� ��� �������� ���������

��� ���� 0�� ������ &�'0�:� �

� ������� ����� ��� ����� ��� ����� �� ����������� ���� �� ���

����� � ��� ��� �� �� ��� 0 � ���� �������� ���� ���� �� ����� �� 0

��� ��� ����� �� �� ��� ����� ����� ��� ����� 0 � %�� ������� ������

&�'�(( �� 0������� ����� �� ��"�� ���� ����� �� ��� ����� �� ���

0� ��� ������� �!��� �� ��� ���� �� 0G ��� ����� ��� ��� �� ��� ��������

���� I������ � 0������� ����� ��� ��� ����� ���� � ���� �������

Page 164: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� � ������ ���

20:48 30 Oct 99

��� ���

�� � ! ���� ���� ������� ���� ������

!�

� ��������

�� �� ! ������� ���� ���� ������� ���� ���� ������� !

������� ������� �� ��� ������� �������

�� ��� �� ��� ����������

� ���������

Figure 8.5S.4I������� // �������

��� ��� ��� � � ( ��� ��� ������ � ��������� �"����� �����

���������� ��� ��� ����� ��� ������

�������� � #� �� ��� ��� �� 0������� ������ ���������� �� �����1

��� ����* 1.�0������� ������ ��� ��� ������ ��� ����� ��"���������

����"�� ����������� �!������� ������� � ������ ������ �

��� ������ �!��� �������� � ��� ���������� �������� �������

������

��� ���� #��� ��� ��� ������������ ���� � � ���� ��� ����������

�������� �� ���� �� ���� �� ��� ���� ����� "� �"������� %����� &�'0�'

����� � ��� ������� �

�������� �� +������ ������ ��� �� � ���� � ������ )�����"� ���

���� �� ��� ����� ����� ���� "�� � � ��� ����������� �!�������

� ����� ��� ����� � ��������

��� ���� ��� ����� � ��� ���� �� ��� �� ��� �����G ��� � ����

�� ��������� ��� ��� �� ��� ������� �� ���������� ���� /� .����� �

Figure 8.5.11 0�������

����� �� ��"�

Page 165: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ������

20:48 30 Oct 99

��� #������ ��� #������

���������� �������

� � #������

��� ������ � �������

��� #������

��� ��� ������� � � #����

��� ������

��� �$���������

���������� �����

��� �$���������

���������� ���������

Figure 8.5S.5 ( part 1 of 2 )0������� ������; �������� &�'�/- �������

Page 166: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� � ������ ���

D�%��� >��4 ? ��!*� ��� E999� �����$����� �� ��

20:48 30 Oct 99

� � � �$���������

��������� ����� ��������� ���������

� % � �$���������

�&� �$����

��������� ���������� �����

� �� '������������ ���������

Figure 8.5S.5 ( part 2 of 2 )0������� ������; �������� &�'�/- �������

�������� �� ���� �� %������� ��� ��������� ���� ��� ������ &�: �����

Regular polyhedra� ������� ������ �������� � ����� �������� ��

��� ����� ���� ��������� M( � ��� ��� �� +����� �������� � �����

7���� ����� � ��� ����� �� � ��� ���� ��� �������� �� ������ ���������

� � %�� ��� ��������� �� ��� �������� �� ��� ���� �� � � � ���� ���

��� ���� ��� �������� �� ������ ����������� ����� ���; ������ ���

��� ���� ������ ��� ��� ����� �� ������� ��� �� ������ �����

E��� �������� :�H�( � ������ '�'�

���� � +����� ���� ����� ��� ������ ���������� ������ ����

I����������

��� ���� ��� �� >� ��� �� ��� �������� �� ������� � 9

K � � � � � � � �N� > ��� ����� ����� ������ � �

� 9 K � ( � � CN � 9 KC� � ( � N � 9 K( � � C� N�

Page 167: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

(

-�( L

-� C C�

-�( L

-

-�( L

-� C

3����

�4 3�

���

�4

�����

���

� � - L (

H

3����

�4 3�

���

�4

�����

���

/ 3 � (4

H

(

) )

* )

+ )

��� ������

20:48 30 Oct 99

����� 9 �� � L � � � ����� �� ��� �������� �� ��� ��������� ���� �

���� ���� ������� � � ,����"���� ��������� ���� �� �2��

� ����� ����� 2 9 KC� ��( L N � � 9 K�( L � C� N� ���� ��������

� � �� 9� �

9

���� �� �� ����. ��� � � 9 � � � ���� ������� �� ����� ����� �� � �

���� ��� ��� �������� �� ��� ��������� ���� �� �!������� ���� ���

������ ��� ���� � 9 K� � ( � � CN ����� ������ �� ��� ���� ���������

���� ���� � ��2� � ��� ������� �� ��� ����� ��

� 9 ��

���� �� �� ����. ��� � �� � �� ������ ���� ������� �� ����� ����� �

�� ���� ��� ��� �������� �� ��� ���� ��������� ���� ��� ���� �����

������ �� ������ ���� ��� ���� ��� �������� �� ����������� ���

�� ����� ����� �� ����� � � 9 � � � ��� ������ �� ��� ��� "������ �

� � � � � � � � ��� "����� � � � � � � � ��� � � � �

9 � 9 �

����� �� �!�� "����� / 3 � (4 � 3 � - L (4 9 L � ( 9 C� � ��� ���� �

�� ����� ������ �!��� � � � � � 9 ��� (C&�� �� � �� � �� �������� ��� �

������ ������ � ��� ���������� �� ������� �

�������� � )���� ��� ����� ����&��� � � ��������&��� 3 �� ������

��� ����� � ��� ������ 3 D� �� �� (� ��� ������ �� �� ��������� %��

��� ������ ��� ����� ������ ������ ��� ���� ����� )� ��� �������

$����� ������ ���� ��� ��� ������ ���������� �� ���� ��.� �������

������*

��� ���/ � ���� ����� ��� ������� �� G 4 ������G � ��� ����

�����G 5 ���� �������G � ! � � � � - ��� �������� �������

� ������� �� ����

�������� '�((�J� ��� ������ ���������� � ���� � � �� ��� � �����

4 �� ��� �������� ! � 0��� �4 9 3 � �! 9 � � �� ������� ��� 3 D� 9

-� %�� ��� ��"�� 3 9 � � � � � 9 � � �� �� 3 D� 9 �� �

%�� ��� ������ ��������� 3 9 � � � � � 9 � � � � <���� ������� �

��!5� ����� ! � 5 ��� � ��� ��� ���� �� ���� � � � � � ��

� ������� � � �� � ������� ������� ����� � 9 � � � � ���� 3 D� 9 �� �

������ ������ ����� �� �������� � 9 � � � D� -?� � - 9�

� � �D�� -?�� 2�� ���� ����� ��� �-?� � ��-?� �������� ���� ���������

:�H�( �� " �������� ���"� �������� 7���� ������ &�'0�? � ������

Page 168: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� � � �

) ) )

�� � � �

-

�� � � �

��� � ������ ���

20:48 30 Oct 99

�� � � �

� � �� ��

� � �

� � � �

� " �

"�

���

� �

Figure 8.5S.6 �� ���

������ ����������

����

� ��

�� �

� �

� � �

" �� �

" �

� �" �

Figure 8.5S.7 �� ���

������ ���������

����������� %����� ����� ��� /� L /� L /� 9 (&C� �� ��� � L � L � 9

HC�� ���� �545 � �� �������� � � ������� ������� �����

1 L 31 � � � �4 9 3� L -4 � 0���� ���� �!���� ��� ��� �������� ���� 1 � ���� � � �

� 9 1 � � �� ��� � � 3 9 � L - �� ��� 3 � � ���� �������� � � � � �

3 D� 9 � 32�� ���"� ������� �� ������� ��� �������4

� �!������� ������� ��� �� ��� ������ ��������� �� �������

� 9 � � � � �� � 9 � � � 9 � � � � - 9 � � � 9 � � � � 7���� ������� � � � �

&�'0�J � ������ ���������� %����� ����� ��� /� L /� L /� 9 (&C� ��

��� � L � L � 9 HC�� ���� �545 � �� ��������� ��� ����������

������"�� � ��� �������� ������ ��� �� �� ����� ��� 1 � � � �

3 � "�� ��� ��� ���� 3 D� 9 � � ����� �

������&��� 3 D�

<����� ��������� -

+�"�� ������ �������� (�J

<����� ����������� ��������� (�-

� ���� ������ ��� ���������� � ��������� �� �+����� ��

���������O �

�������� �� %�� ��� ������ ��� ������ ������� ��� ������� ���

"����� �$��� ����� 3 ������ ��� ���� �������� ��� "������ ������

�� �� �� "���� ���� $���� �������4

��� ���� %�� ��� ���������� ������� ����� ������ �4!5 3����

��� ����� �� �������� /?4 ���� ! � 5 �������� 4 ; ��� � �������

�� ��� ��� ������� � � �� ��� �� � � � � � ��� ��� � "����� �����

������� ��� ������� ������� ���; ��� � 9 � � � �� � 9 ����� � � JC�'-��� �

Page 169: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��

��

'

(' � -

?

��� ������

20:48 30 Oct 99

%�� ��� ��"�� ��� ������� ��� �� HC�� ��� ��������� ���� ��� �����

Regular polyhedra � ������ &�: ����� ��� ��� ������� ��� �� ��� ������

��� �� ���������� �� ��� �� ��� ���������� ���� ���� ����������

(CH�:J�� %�� ��� ���������� ��� ������� ��� � �� ������� "

��!5�!� � ������ &�'0�?� ��� ��������� ������"�� � ��� ������� ��

�������� /? �����

� 9 / ����� � D1 9 / ����� ((?�'J��

%�� ��� ��������� ��� ������� ��� � ��������� " ��!5!� � ������

&�'0�J� ��� ��������� ������"�� � ��� ������� �� �������� /? �����

� 9 / ����� � D1 9 / ����� (-&�(H�� �

�������� �� ��� ������ � ������ &�: ��� �������� ��� � �����

����� �� ��� ������ ��������� �� ������ ������� ������������

#�� �� ��� ����� ���*

��� ���� MHC� ���� ���������� ���� ��� $���� �������� �� ��������

������ �

�������� �� ���� �� I�� � ����� �� ��"� �������� ��� ���� ����

������������������������ ��� ���� ����� ������� � �������� ���������

"�$������� ���� ����� ����������� 7"�� ��� ��� � ������ ���

�������� ��� ��� ������� �������� � ��� ������"� ���� "�$�����

��������� �

���� � )�����"� � ����� ��� ��� � �������� �� ��"��

��� ���� ��� �� ����� �� /: ���������� H �� ����������� �� (' ����

"� ���� ���������� ���� ����� ��� ��������� & 9 : P / �� ����� ���

������� ���� "����� �������� ��������� ? 9 - P / ��� ������� ������

�� ����� ��� ������ �� �� ��� ��������� ����� ��� ��"��� ������ �

�������� �� )���� ��� ���� �� ����� �� ����� ��� ������ 0��� ���

��� ������� �� ����� ���� ���� + �� ����� ���� ���� �� ��� ��

��� ��� �����*

��� ���� I�� ��� 0 �� ����� ��� ����� ��������� ��� ����

, � ���� ��� �� �������� �� �� � ��� ��� ��� �� � , � ��� �������

�� �� � , � ���� ����� "����� ��� ��� ���� ��� ������� ���

�������� ��� ��� ���� � ����� � � ��� ������� �� �������� &�'�H� ���

���� �� � � �� ��!����� ����������� �� ��� ��� ��������� ��� ��� �����

���� �

Page 170: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� � ������ ���

20:48 30 Oct 99

���������� ,�������� -� �� �������� .�� ��� �� /01) �� ,���&��� ��

2���3 4� ������� �� 5����� ������ /0+67/0+) ��� �� ��� � �� �����8

� �� ��� ��� ������� �� /0++ � �� 5������ ������� 2� &������� ���

4����3 4� ������ ��� ��3'3 �� ��� 9��������� �� :���;�� �� /00/ ��� ���

������ � � ���������<� �������������� �� ��� ���� �� �� �����8

��� � ��� ���� ������� �� ��� � ��� .��� ���� �������� �&� ���

������ � ��������� � � ��� ���� ��� ���������3 � ������ ������ � � ��

������������� �� 4���� �� /0=) ��� ���� ����� �� /=6(3

�������� �� ����� ��� ��� ����������� ����� ������� ��� �����

���� � ��������� � ������ � " �����

34 /� �� -� 3"4 /� �� -"

3� 4 -" �� ? L � 3�4 -� �� ? L �

3� 4 ?� �� (/ L /� �� (/ L -� 3� 4 /� �� : L " �

��� ����

34 +��� ��� ��� ������� �� ��� ����� ������ /� � ������ ���� ���

������ � ���� ����� ������ "����� ����� �� � ���� ����� ����� �

��� �������

3"4 +��� ��� ��� ���� "����� ��� ����� ������ /� � ������ ���� ���

��� � ���� ����� ������ "����� ����� �� � ���� ����� ����� �� ���

����

3� 4 34 � ��� I������ �������� � � � L " �� � L " 9 / L � ��

3�4 3"4 � ��� I������ �������� � � � L � �� " L � 9 / L � ��

3� 4 3�4 � ��� 34� ?� �� (/ L /� �� (/ L -� �

3� 4 3� 4 � ��� 3"4� /� �� : L � � � �� : L " � ��

�������� � 0��� ��� ����������� ����� ������� ��� ���������

��� � ���� �� ��� ���� ����� �� ��� ������

��� ���� >��������� ������ ��� ��� ���� "����� ��� ���� �� ���

/� � ����� ���� ��� ��� � ���� ��� ������ ���� /� �� ?" � ��� �����

�� �������� -(� ��� - �� ��� �������� ����� ��� ���� ��� "������ � ��

-" �� ? L � � �

�������� � ���� �� 0��� ��� � ����������� ����� �������

��� ����� �� ����� ���� ������

���� � %�� ��� � �� ����� ���� ��� ����� ���� ����� � �����*

��� ���� ��� �� �� � 9 J � ��� ����� �� �������� -(� ��� " ����

/ � - �� ��� ��������� (: 9 /� �� -" �� ? L � 9 (-� ����� �� �������"���

��� �� %�� � K ? ������� � ��� ������ %�� ��� � � ?� ��� � 9

� � � G � ���� ����� "�� �� � ����� �� ������ � ������ %�� � 9 J�

Page 171: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ������

20:48 30 Oct 99

������� � ���� ��� ������ %�� ��� � N J� ��� � 9 � � 3� � -4� � � �����

����� "�� �� � ����� �� ������ � � - ������ ��� � �� �� ��� �������

���� ����� ��������� ����� ������� �� ���� ����� ��� ��� ��������

�"$��� �� ����� ����������� ����� ������� ��� ������ �� �

������ �

�������� �� � I����� ����"�� �� ��� �� ������ ������ � ��� �����

�� ������ ������ � ������� ��� ��� ��� �������� �� ��� ���

����� �� ��������� " ������ � ��� ����� �� ���������

������� " ������ � ������� %���I������ �������� ������ ���

� ������ � ������ ���� "� ����� 5��� �������� � �����

�� �����* 5�� �� ��� "�� ������ �� ��� ������ ��� ����* #���� ���

� ����� ����� �� ��� "��* )�� ��� 0������� ������

��� ���� 7�� " � " ����� ��� ��"��� �� ������ � �������� �

�� ��� " L " 9 " � ��� ����� �� �������� -(� Q���� ��� ����� ������� �

��� ��� "����� ����G ����� ��� /� 9 '" L ?" � ��� ����������� ������ �

����� ���� � ��� ������� +��� ��� ��� ������� �� ��� ����� ������

/� 9 -� � I�� ������ ���� � ����� �� ������ ���� �� � 9 '" � 0�����

����� ���� �!����� ���� I������ �� ��� " 9 (/� " 9 /C� " 9 -/� � 9 HC�� �

� � 9 ?C� ��� � �.� ��� "�� " ������� ������ ����������

�� �� � � ����� ������ %����� &�'0�& ����� 0������� ����� ����

��� "��� �

�������� �� %�� � ������"� � ����� �� �������� ���� ����� ����

��� ���� ������ ��������

��� ���� 2�� ��� ����� �� �������� -( � ��� � � � � � � ������ � �

��� ��"��� �� �������� ������ ���� -� :� � ' ������ I������ �������

����� � � � L & 9 /� ���� � 9 � L ?� Q���� ��� ���� ������ �����G �����

��� &B- 9 /� � ���� � 9 (/ � � 9 ?� Q���� ��� ������� ������

�����G ����� ��� -� L :� L '� 9 /� 9 /: / ���� �!���� �� ��������� � �

K� � � � � N 9 KC� ?� CN� K(� :� (N�� � � K/� /� /N� � K-� C� -N� ��� ����� ���

����"�� ������ ��������� ��� � ���� ��� ��� ����� � ��� ��������

Figure 8.5S.80������� ����� ���

I����� ����"��

Page 172: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�3

�� ��

�� �� ��

��� � ������ ���

@��$ ����������� ��$ $������ &��$�6�� ���$� �� �����6 F��$������� "���!# � ���� �������

����������� ��� 0�� ��� :������ "����# @���� ����%�����$ �����$$�� ������%�$ �&

A����� ��� ���%� $�%����� $%���� ���%���$ @�� ������ ������$ ����� ��� ���������

�� $����$� � ��$�����%� �� C����$� ����$

20:48 30 Oct 99

��� ������"� ��� �����E������� � � �� ����� ��� �������� ��.�

���� �� ���� ��� ����� ���� � 9 � 9 � 9 /� ���� ��� ������� � �

�������� 6�� � � 3 ��� ���� � 9 � ������ ����

��� � �� 3 � � �� ���� � ���� ���3 � �� 3 �

���.� ��.� ������ ��������� ���G ��� � ����� ����� �� � � �� �

� ��� ����� ������ ������ ���� ����� � ����� �� ����� �7����� �

�������� � 0��� ��� ������� � ����� ��������� ���� �� :�����

� �� -����� ���������

��� ���� �� ���� ��������� � �������� ��� :����� ������ 4 �����

"� �$��� �� ����� ���� '����� �������� 8 � � � 9 � � 2 � I�� �� ���

���� �48� � �4�9 � �492 � � �428 ����� ���� ��� ���� ��������

4 ���� ����� ��� �������� ���� ����� ����� ��� ����� ���� ����

�8�3 � ��9 � �92. � � �28: � �� 3 9 . �� 9 : � ��� 3 9 9

. 9: � ���� �� �� ����� ����� ����� ��� � ���� �� ��� ����� �� �����

�!����� ����� �.� 8 � � � 9 � � 2 :������ ���� 3 � � . � �

: ���� "� �������� ����� ����� ���� ���� ���� ��3 � �9. � �2.:�

� �8:3 � ��� �� �������� � ������ ���� ��������� �� �� ���������

��� �� ��� ���������� �������� �!��� �������E����� ��.�� �� ���

�!��� � ���� ���� "�� 3.: � �� ����� ��� �� ���� ������� �����

����� "� :������ �� � ���� ��� ����� ������� ��������� ��� '������

I�� �� ����� ����� "� ������� ���� ��� ����� � ���� 3 � � . � �

: � �� ��� ����� �.� ���� ����� ����� " ���� �� ��� ����� �

�������� �� 0��� ��� ����� ��������� � ���� ����� ��������� ���

:����� � ��� '������ ���� "� ������� ��.� ��������� &�&�����&���

� ������ &�'�(/� 0��� ��� ����� ����� �� ��������� ���� ����

������������

��� ���� I������ �������� � ���� ��� ������� ������ ,� :�����

������ 4 � "� ��������� " '����� ��������� %�� ���� ��� �$���

��� �� '����� �������� ����� ��� ����� ����"�� �������� ����

4 � ���� ��� �������� '����� �������� ����� ��� ����� :�����

����"��� ��� ��!����� ���� �� �������� ������ ����� ����� ���� "�

�������"����:����� ��������� 1.� ��� ����"���� �� ����� �!�������

������� � � ������ &�'0�&� ���� ��� ����� ������ $���� �����"� �� ���

����� ������� ��� ����� � � ,�� $�� ��� ��� ����"����

��������� �����"� � ��� ����� � � � � %��� ��� ��������

Page 173: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

�� �0

��� ������

��&&����� &��'��� ����$ ��� ����2$����� ����������� �& �'��%�$� �! ��

20:48 30 Oct 99

Figure 8.5.120����� ����������

� � �

%����� &�'0�H

@���A ������ ���

��������� �� ��� �� ����� ���� �� ���� ����� ���� "� ��� �� � � >�������

� ���� ����� ������ 0 $���� " ����� �� � � � � � � � � � �� � � � �

� � �� 0 ���� :����� � � � �� ����� @�����A �� ���� ������ ���������

���� ��� ��� ����� ��������� � ���� ��� ��� ���� �� �$��� :�����

��������� ������ ���������" '����� ��������� ��������� "� ��� @����A

������ ��������E��� ����� ������ ���E��� ��� ����� ����� $����

� � � � � � � 0 �

)� ��� ���� @����A ����� ��� ��������* ��� ����� �� ������ ���������

���� ��� ��� ����� �� ���� � ������ &�'0�H� ���� �� ����� ���� �����

� � �0 9 C� �� ��� ���� ���� �� 9 C � �0 N C� � ���� �� ��

���� �0 ���� ����� ��� ��� �� ; ��/ 3)����� �� ��� ����������

"����� ����� !������� �� ��������� � ��� ���� ���������4 ���������

�� ���� "� "�� �� ���� ��� ��� �� ��� ������� � ��

�������� ,�� ��� 5 � 6 "� ����� ��������� � ������� �������

������� ��5� � ��6�� � ������� ��������

3�5 4 L 35� 4 9 � 9 36� 4 L 36� 4 �� � � � �

%��� �5 96� ������� 5� 96�� ���� ���5 9 �6��� � ����� 9F

/����5 9 /��6�� 9����0� ��� ��� ��� @����A ��� �������� �������� � �

�������� �� ������ ��� � ����� ������ �� ��� ��"��������� ����"��

����������� ��� �������� � ������� &�:�/' � &�:�/?� � ��� 0�����

�����������

��� ���� +�"��������� ����"�� �����������

���������� �������� �!��� ����� � � � � � � ��

)��������� �������� ������� ����� � � � � � � ���

0����� ���������� � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � � �� �

Page 174: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� � ������ ���

>��* ? �� � $�%���� � � ��

20:48 30 Oct 99

����� .�� ��� ���� 1*> 3�3 �� ?����� ��� �� ���� ����� ����

�������3 ������ ����� ��� ���� �� &��. ��� ��������� � ����� .�

.�� �������� ��� �������� ������ � � ��� ����������3 ��� ��������� ���

������� ������ .�� ��� �� ?����� ������ ����@� ���� ��� �� �������

� ���� ���� ��� ��� ���3 ?��� � �����@ ��� ���� �� )== 3�3 ���� ��������

� ������� ����� ���� �������� � ?����� ��� ����� ����� � � �� ���

? ����� .�� � �� ������ ����� ��� ����� ���� )1> 3�3

9���� ����@� ���� ��� ��� ? ����� �� ��� ��� ����� ������� ��

� ��� � �������� ��� ��.A �� .�� ������� ��� ���� ����������3 ��� ���8

���� �� ����� ���������� ��� ������ .� ���� ��%� ��� ������ ��

������� ��������� � �� ���@� ����� ��� ���� ���� ���%� �3 ? ������8

���� .�� ��� ���������� � ������� ��� ��������� ?� ����� ��������

.� .�� � ��%� ������ � � ����@� .� �����3

����@� .������� ��� �� ��� �� �������� ��� ������� ��� ����

���������� � ��%� ������ � � .������ �������� ���� ��� �3 ���� �� ����

��$������ ��� ��������� ��� ����� ��� �������� ��� ����3 ���� .�� ��

������ � ��������� ��� � ��������� � ������� ��� �������� �� ���

.�&�3 ��� ���� ������� �� �� ��� ������� �� ���� �� .�� � ����

������ ��� .��� ��� ������� � ������ ������� ���������� �����

���� ��� ������� ��� ����� ��� ���� ���� ������ ����� � ���������

��� ������� ��������3

�� ���� .�� .������ ������ )+07)10 3�3 ������ ��� ������� �� ��� ���

����� ��������3 �� )+0 ��� )+/ 3�3 ���� ������� ����� �� �� ��� ��� �� ����8

��� ����� .���� ����������� .��� ���������� ����� � ��� ��� ��� �� �

����� ��� ����� ��� ����� ����� �� �����3 ?��� �������� ��� � �� �����

�� .�� ��������� ��� ���������� .�� ����� ���� ��� ������ ��� ����

��� ����� ?� �����3 ����@� ����� �� ���������� .��� ����� �����;�� ���

����� �� ������ ������� ����� �� ��� ���������� ������ � � ��� ����

.������� ��� � ��� ��������� �� .�& ���� ��� � ����� �� ��� ? �����3

����@� �������� ������� .�� ?������� .� ��� ��� ? ����� � ��� ���

.� � �� ��� :� ���3 ��� ? ����� �.���� ������� �� ������� � �����

�33 (*=3

�������� �� +������� ��� ����� ���� � � ����� ������ � �����

�� �� �� ������ &�:�-C� 0��� ��� �� �������� �����1 ��� ���� ���� � ��� � � � � � � � ����� �������� �� �� �

��� ���� %�� ����� ��� ����� ���� � � ����� ������ ��� ��������

&�'0�(C� ��� �������� @�����A ������ � �������� ��� ��� �����

��� ����� ���

�������� ��� +������� ��� ���� ���� � ����� ������ � � � � � � �� �

� � � � ������"�� � �"�� &�:�/���

Page 175: Methods of Geometry Solutions manualmath.sfsu.edu/smith/Publications/Solutions.pdfGeometry Solutions manual James T. Smith San Francisco State University 20:37 30 Oct 99 8:27 31 Oct

��� ������

20:48 30 Oct 99

Figure 8.5S.10 ��� �����

���� � � ����� �������

��� ���� %�� � � ��"� ���� 7 � �� ������ ������� � ��� ��

�������� ������� ����� %�� � � ��"� ���� �� ������ ������� � �����

�� �������� ������� ����� %�� � � ��"� ���� $ ������ ������� � ����

�� �������� ������� ����� %�� � � ��"� ���� � motifs centered on a pair��

of opposite vertical faces and �� motifs centered on the other two. �

�������� ��� 2�� ���� "��.�� ���������� ��� ��"�� � �������� ���������

������ � "������� � ��� ����"������ �� ��� ������� � ������

������� �� ��� �������� �� �������� � ����� ������ � �����"���

I��� ��� �������� � ��������� ( � /�

��� ���� ,�� ���"��� �