Méthodes «volumes finis» - HECE finis 11-12.pdf · 1 Méthodes «volumes ... introduction...

1

Méthodes « volumes finis »

.be

ArGEnCo – MS²F ‐ Hydrologie, Hydrodynamique Appliquée et Constructions Hydrauliques (HACH)

http://w

ww.hach.ulg.ac.

Méthodes « volumes finis » : introduction

Différences finies Eléments finis

• Discrétisation des équations sur grid structuré cartésien

• Méthode simple et rapide

• Discrétisation des équations intégrées sur des éléments

• Existence d’une solution faible

.be

Volumes finis

• Facilité de calcul des dérivées

• Pas de solution « faible »

• Pas de souplesse de maillage

faible

• Robustesse et souplesse (maillage quelconque) de la méthode

• Coûteuse en temps de calcul (inversion de matrices)


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ww.hach.ulg.ac. • Existence d’une solution faible

• Maillage quelconque

• Méthode explicite, calculs moins coûteux que EF

2

Méthodes « volumes finis » : introduction

• Principes de base :– Découpage du domaine en volumes de contrôle

– Intégration des équations sur chaque volume

.be

• Plusieurs familles de volumes finis


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ww.hach.ulg.ac.

Différentes approches : principalement deux familles de méthodes VF

• Formulation « node-centered »– inconnues aux sommets du

maillage

– volumes de contrôle à reconstruire

• Formulation « cell-centered »– volumes de contrôle

= cellules du maillage

– inconnues « à positionner adéquatement »

absence de recouvrement ou zone découverte

.be

– remaillage nécessaire

– risque de recouvrement

– absence de recouvrement ou zone découverte


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ww.hach.ulg.ac.

3

Principes de la méthode

• Soit un système de n équations transitoires mises sous forme conservative

• Intégration sur une surface de contrôle, théorème de Green :

s f gb

t x y

S

n dS dV

.be

• Valeur moyennée sur le volume pour s et b,

C l l hé

S n S S S

s f gdS dS b dS

t x y

x y

S S

s dS f n g n d b dSt

cns


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ww.hach.ulg.ac. • Calcul approché pour

• Exemple : discrétisation temporelle explicite – maillage structuré

1

S t x y cc

c

sf n g n S b

1

1

10

clnl l

cc

s sf y g x b

t S

cy

cx

S

xcnycn

Ordre de précision de la méthode : terme instationnaire

• Soit f à intégrer sur une surface S

l i l d i d

I fS

dS

.be

• Par Taylor, si P est le centre de gravité de S :

• Pour le terme instationnaire, second ordre de précision si on place les inconnues au CG

4f f ( )P

S

dS S O h


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Inconnue au centre de gravité

1 s s( ²)

PS

dS O hS t t

4

Ordre de précision de la méthode : terme convectif

• Formulation conservative

• Théorème de Green

x ydS n n d S

f g

f g

.be

• Problème du calcul des flux à l’interface

, ½i j

F

½i j

F ½i j

F

(i j)

ht

ht+1

y

S Sx y


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, ½i j

F

½,i jF ½,i jF(i,j)

qi-1/2 qi+1/2

i

Ordre de précision de la méthode : terme convectif

• Intégration du flux sur le contour– Utilisation de nG points de Gauss :

Nb pts de GaussMaillage 1 2

non-structuré 1er ordre 3ème ordre

structuré régulier 2ème ordre 4ème ordre

.be

• Calcul des flux– Ajout d’une erreur supplémentaire, due au calcul approximé des flux sur les

arêtes :Si flux calculé à l’ordre O(hn) erreur supplémentaire d’ordre O(hn-1)

,

1 1

f gc Gn n

x y p x y cp cc p

n n d f n g n


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ww.hach.ulg.ac.

– Sur maillage régulier, l’erreur se réduit à O(hn)

O(h²) sur maillage quelconque, si – 2 points de Gauss

– Flux calculé au 3ème ordre

O(h²) sur maillage structuré, si– 1 point de Gauss

– Flux calculé au second ordre

5

Organisation typique d’un code volumes finis

Calcul des facteurs de pondérations pour les dérivées

Lecture des données et initialisations

.be Calcul des bilans

Evaluation des flux (FVS, FDS, …)

Reconstruction des inconnues aux bords

Evaluation du pas de temps

oucle sur le temps


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ww.hach.ulg.ac. Calcul des bilans

Mise à jour des inconnues aux nœuds

Bo

Reconstruction des variables détermine la précision des flux

• Reconstruction linéaire : valeur sur les arêtes = valeur au CG de l’élément voisin extrapolée linéairement

• Reconstruction constante : valeur sur les arêtes = valeur au centre de gravité de l’élément voisin

.be

Constante Linéaire

Sur maillage structuré régulier, on a O(h²) si :

– 1 point de Gauss

Sur maillage quelconque, on a O(h²) si :

– 2 points de Gauss


http://w

ww.hach.ulg.ac. – reconstruction linéaire

on a O(h) si :– 1 point de Gauss

– reconstruction linéaire


– reconstruction constante

– reconstruction quadratique

6

Reconstruction des variables détermine la précision des flux

• Reconstruction constante :

j ju r U r u r u r s

.be

• Reconstruction linéaire :

Sur maillage structuré régulier, on a O(h²) si :

– 1 point de Gauss

Sur maillage quelconque, on a O(h²) si :

– 2 points de Gauss

T 2j j j

ju r U r r u r u r u r s


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ww.hach.ulg.ac. – reconstruction linéaire


– reconstruction linéaire


– reconstruction constante

– reconstruction quadratique

Reconstruction des variables limitées

1 1 1 1min , , max , ,j j j j j j jU U U u x U U U x

Condition de monotonicité de Harten

.be

Tavec j j j j j

ju r U K r r K r r r u

min maxk j j k j jk kU U K r U U r


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0 0

j j j jk k

7

Reconstruction des variables limitées

0 0

min maxk j j k j jk kU U K r U U r

.be

minsi 0

maxsi 0

k jkj

j

k jk

jj

U UK r

K r

U UK r

K r


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ww.hach.ulg.ac.

1 si 0jK r

Exemples de limiteurs

Barth et Jespersen Vankatakrishnan

R i R R i Ri i

u vu u x y u

x y

.be

max

min

min 1, 0

min 1, si 0

1 0

i iR

R

i iR R

R

R

u u

u u

max

min

0

si 0

1 0

i iR

R

i iR R

R

R

u u

u u


http://w

ww.hach.ulg.ac.

mini RR

R

2

2

max

min

2

2

si 0

si 0

i iR

R

i iR

R

z zz

z z

u uz

u uz

8

Calcul des flux diffusifs

L’estimation des flux diffusifs requiert également la connaissance des gradients des inconnues aux bords

Schéma « diamond »

.be

Schéma « diamond »

bilan dans un volume de contrôle particulier, délimitépar deux centres de mailles voisines et deux nœudsdu maillage

S Q U


http://w

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BPCQ BPCQ

d d

RP

T

B C

Calcul des flux diffusifs

BPCQ BPCQ

d d

2 2 2 2

2 2 2 22 2 2 2 2C Q Q B P CB P

BC

y y y yx y

x x x x

.be

S Q U 2 2

2U T S RC B

BCx x x

4C U Q P T 4B Q S R P


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RP

T

B C

Q P

BCy y

9

Maillages multibloc.be

a b c

a' b' c'

Domain boundary


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ww.hach.ulg.ac.

Ghost point

Domain boundary

Fluxes evaluation

’

Calcul des flux aux arêtes

• Essentiel pour la stabilité du schéma

Né i é d idé l d i d d

1 1 1 1 1 1i i j j k k2 2 2 2 2 2i

u 1 1 1F F G G H H

t x y z

.be

• Nécessité de considérer le sens de propagation des ondes

iF+½


http://w

ww.hach.ulg.ac.

i i+1

10

Calcul des flux aux arêtes

• Importance d’une évaluation correcte

Soit une équation de convection pure 1D, avec le flux f = a u :

.be

Si a>0, il faut discrétiser par : et satisfaire : avec :

Si a<0, il faut discrétiser par : 1 0

u f0

t x

u u... 0a

t x

11 ... 0

n n n ni i i iu u u u

at x

0 1 a t

x

11 ... 0

n n n ni i i iu u u u

at


http://w

ww.hach.ulg.ac.

La discrétisation du flux doit tenir compte de l’état d’écoulement au voisinage de l’arête

t x

Incohérence d’une formulation non conservative

• Soit une équation de convection pure 1D ( a variable)

l i h d d diff fi i

u u, ... 0a x t

t x

.be

• Résolution méthode des différences finies :

n i i i 1i

a (u u )uSi a 0 i ... 0

1

1

1

ni

ni

ni

u

a

f

ni

ni

ni

u

a

f

1

1

1

ni

ni

ni

u

a

f


http://w

ww.hach.ulg.ac. i

i

i 1 i 1 i

i 1

t x "ce qui part de i

n'arrive pas en i+1"a (u u )u... 0

t x

11

Flux en formulation conservative


l i h d d diff fi i

u ( ) u u, ... 0

f ua x t

t x t x

.be


n ni i 1n

ii

f u f uuSi a 0 i 0

t x "ce qui part de i

1

1

1

ni

ni

ni

u

a

f

ni

ni

ni

u

a

f

1

1

1

ni

ni

ni

u

a

f


http://w

ww.hach.ulg.ac.

i

n ni 1 i

i 1

t x ce qui part de i

arrive en i+1"f u f uu0

t x

Non unicité des flux en formulation conservative


l i h d d diff fi i

u ua x, t 0

t x

u ( ) u u, ... 0

f ua x t

t x t x

.be


n ni i 1n n

i i 1

f u f uuSi a 0 et a 0 0

1

1

1

ni

ni

ni

u

a

f

ni

ni

ni

u

a

f

1

1

1

ni

ni

ni

u

a

f


http://w

ww.hach.ulg.ac.

Découplage !

i i 1i

n ni 2 i 1

i 1

Si a 0 et a 0 0t x "ce qui part de i

n'arrive pas en i+1"f u f uu0

t x

12

Unicité des flux forcée en volumes finis


l i h d d l fi i

u ( ) u u, ... 0

f ua x t

t x t x

.be

• Résolution méthode des volumes finis :

1

iF

iF 1

iF

1

1

ni

ni

u

a

ni

ni

u

a

1

1

ni

ni

u

a

iVF 1iVF

n n n ni i 1 b di 1/2 b di 1/2

uSi a 0 et a 0 x F F 0


http://w

ww.hach.ulg.ac.

jamais de découplage par unicité des flux de bord!

i i 1 bordi 1/2 bordi 1/2VFi

n nbords bordi 3/2 bordi 1/2

VFi 1

Si a 0 et a 0 x F F 0t "ce qui part de i

arrive en i+1"uConclusions sur a x F F 0

t

Méthodes de fractionnement

• Flux Difference Splitting

l i d bl d i h

• Flux Vector Splitting

f f s f s f f s ,s

.be

• Résolution d’un problème de Riemann en chaque arête

• Roe : résolution exacte d’un problème de Riemann linéaire

• Décomposition du flux en deux contributions

• La matrice convective ∂f+/∂s a des valeurs propres positives ou nulles

• La matrice convective ∂f -/∂s a des valeurs propres négatives ou nulles

O d l’i f


http://w

ww.hach.ulg.ac. On prend l’info

« du côté où elle arrive »i.e. respect du sens physique de

propagation des ondes

13

Mise sous forme quasi-linéaire et étude des caractéristiques

• Système d’équations linéaires

où la matrice jacobiennei

i jfA A u

0U f

t x

A 0

U U

t x

.be

où la matrice jacobienne

• Si A est diagonalisable avec des valeurs propres réelles (i.e. le système est hyperbolique)

i, jju

1

1 0

où

A K K


http://w

ww.hach.ulg.ac.

1

où

0

n

nK r r


• L’équation quasi-linéaire devient

• En multipliant par

1 0U U

K Kt x

1K

.be

En multipliant par

découplage des m équations :

K

1 1 1

1 1

0

0

U UK K K K

t x

K U K U


http://w

ww.hach.ulg.ac. 0

0

t x

W W

t x

14

• Décomposition en fonction des valeurs propres positives et négatives

Méthode de Fractionnement des flux

0W W

t x

.be • Pour l’équation de convection pure 1D

t x

1A K K 1A K K

1A K K

f A U

f A U

u ua 0 ; a 0


http://w

ww.hach.ulg.ac. Pour l équation de convection pure 1D a 0 ; a 0

t x

12

iia F au

Méthode « Flux difference splitting » : Méthode de Godunov

Algorithme en trois étapes :• Moyennage de : Solution constante sur le volume fini

• Faire évoluer cette solution « constante par partie » selon l’équation pour obtenir

S l ti i t l l fi i d

, nu x t , nu x t

1, nu x t

.be

• Solution au pas suivant = moyenne sur le volume fini de

, nu x t


http://w

ww.hach.ulg.ac.

x

Valeurs moyennées

xValeurs évoluées 1, nu x t , nu x t

15

Méthode de Godunov pour l’équation de convection pure 1D

E l i d l i à i


t

u ua 0 ; a 0

t x

.be

Evolution de = translation à vitesse a

x=at

, nu x t

, nu x t


http://w

ww.hach.ulg.ac.

x

Valeurs moyennées

xValeurs évoluées

, nu x t 1, nu x t

Moyennage de :


1, nu x t

1

2

12

1 1 1

1, , , 1 ,

i

i

x

n n i n i n

x

a t a tu x t u x t u x t u x t

x x x

.be x=at

, nu x t

1 1

2 2

1, , ,

i i

i n i n i n

F F

tu x t au x t au x t

x


http://w

ww.hach.ulg.ac.

x

Valeurs moyennées

x

, nu x tValeurs évoluées

, nu x t 1, nu x t

16

Méthode de Godunov pour un système d’équations hyperboliques quelconque


U UA 0

t x

.be

Comment faire évoluer ? , nu x t

t x

, nu x t


http://w

ww.hach.ulg.ac.

x

Valeurs moyennées

x

???? , nu x t

Méthode « Flux difference splitting » : Problème de Riemann

• Principe du problème de Riemann– Équation hyperbolique avec condition initiale quelconque

U UA 0 0

t x

.be

– Condition initiale = discontinuité

x

u0(x)

x=0

uL

uR

L0

R

t x

U si x 0U(x,0) U (x)

U si x 0


http://w

ww.hach.ulg.ac.

• La méthode de Godunov introduit donc un problème de Riemann à chaque frontière de Volume Fini

17


• N équations indépendantes :

1 11 0

w w

t x

.be

• Le long de , on a donc

• Solution : Propagation d’ondes à vitesse i

0n nn

w w

t x

i

dx

dt 0idw

dt


http://w

ww.hach.ulg.ac. Solution : Propagation d ondes à vitesse i

, ,0 initiali i i i iw x t w x t w x t


• Dans l’espace caractéristique :t

i

.be

• Le long de la ième caractéristique

n

x

1

initialw x t w x t


http://w

ww.hach.ulg.ac. • Le long de la ième caractéristique

i.e. le long de la droite , la quantité est constantei

dx

dt

,i i iw x t w x t

iw

18


• Comme

• L’inconnue des équations conservatives s’écrit

1W K U

U

U KW

.be

• La solution d’un problème hyperbolique est donc la superposition d’ondes simples propageant à vitesse i une

1

,n

i ii

U w x t r


http://w

ww.hach.ulg.ac. superposition d ondes simples propageant à vitesse i une

quantité wi


• Problème de Riemann pour l’équation de convection pure

L

u ua 0

t xu si x 0

u(x 0) u (x)

.be

– Condition initiale = discontinuité

– Propagation fonction de la célérité

– Séparation de l’espace-temps en 2 zones d’état constantu0(x) ut(x) t Courbe caractéristique

x-a.t=0

0R

u(x,0) u (x)u si x 0


http://w

ww.hach.ulg.ac.

xx=0

uL

uR

xd=a.t

uL

uR

x=0x

uL

uR

x-a.t<0

x-a.t>0

012

x

Li tF F U au

0

xU

t

19


• Problème de Riemann pour un système hyperbolique

L L

U U W WA 0 0 0

t x t x

U si x 0 W si x 0

.be

• Diagonalisation N équations de convectiont

1

L L0 0

R R

U si x 0 W si x 0U(x,0) U (x) W(x,0) W (x)

U si x 0 W si x 0

1 p,Rp,i 2

1 L

Si p 0 alors w w

Si p 0 alors w w


http://w

ww.hach.ulg.ac.

xw1L w2R

1 p,Lp,i 2Si p 0 alors w w



L L

U U W WA 0 0 0 0

t x t x

U si x 0 W si x 0

.be

• Espace-temps divisé en (m+1) zones par des caractéristiques transportant les « invariants de Riemann » Wi

• Inconnues constantes dans chaque zone, solution « auto-similaire »

• Solution = combinaison linéaire

des m ondes issues de la discontinuité

t

k m

k+1

L L0 0

R R


U si x 0 W si x 0

( , ) ( ), t 0x

U x t Ut


http://w

ww.hach.ulg.ac. des m ondes issues de la discontinuité

initiale.

x

1

UL UR0

( 0, ) ( ) (0), 0x

U x t U U tt

20



L L

U U W WA 0 0 0 0

t x t x

U si x 0 W si x 0

.be

• Solution =

t

1

k m

k+1

1

1

,

,0

n

i ii

n

i i ii

U w x t r

U w x t r

L L0 0

R R


U si x 0 W si x 0

( , ) ( ), t 0x

U x t Ut


http://w

ww.hach.ulg.ac.

xUL UR

1

, ,

: :

, ,p p

i

n n

i R i i L ix x

i it t

U w x t r w x t r

0( 0, ) ( ) (0), 0

xU x t U U t

t



, ,

: :

, ,p p

n n

i R i i L ix x

i it t

U w x t r w x t r

.be

, , , ,

: : : :

, ,

:

, , , ,

, ,

p p p p

L

p

n n n n

i R i i L i i L i i L ix x x x

i i i it t t t

U

n

L i R i L ix

it

U w x t r w x t r w x t r w x t r

U U w x t w x t r

, , , ,

: : : :

, , , ,n n n n

i R i i R i i L i i R ix x x x

i i i i

U w x t r w x t r w x t r w x t r


http://w

ww.hach.ulg.ac.

: : : :

, ,

:

, ,

p p p p

R

p

i i i it t t t

U

n

R i R i L ix

it

U U w x t w x t r

21

Problème de Riemann : Equations d’Euler

• Equations non-linéaires !!

• Décomposition en ondes possibles, mais très complexe

• Combinaison de trois types d’ondest

.be

t

Choc

Onde de contact

Onde d'expansion


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ww.hach.ulg.ac.

x!! Calcul analytique possible, mais très coûteux !!

Méthode « Flux difference splitting » : Flux de Godunov

• Flux de Godunov pour un système hyperbolique

Flux de la solution de Riemann à l’interface

012

xi t

F F U

.be

• En moyennant ces deux formulations :

, , , ,: 0 : 0

, , , ,: 0 : 0

p p

p p

n n

L Li R i L i i i R i L ii i

n n

R Ri R i L i i i R i L ii i

F U w w r F U w w r

F U w w r F U w w r


http://w

ww.hach.ulg.ac. • En moyennant ces deux formulations :

1 , ,2

1 1

2 2

n

L R i i R i L iii

F F U F U w w r

12

1 1Ex. 1 inc. :

2 2L R R LiF au au a u u

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