METHOD OF PROOF

030513122 - Discrete Mathematics

Asst. Prof. Dr. Choopan Rattanapoka

ทำ��ไมต้�องพิ�สู จน์� (1)

“Mathematical proofs, like diamonds, are hard and clear, and will be touched with nothing but strict reasoning.”

-John Locke Mathematical proofs are, in a sense, the

only true knowledge we have They provide us with a guarantee as well

as an explanation (and hopefully some insight)

ทำ��ไมต้�องพิ�สู จน์� (2)

ก�รพิ�สู จน์�ทำ�งคณิ�ต้ศ�สูต้ร�ม�คว�มจ��เป็�น์ทำ�งด้��น์คอมพิ�วเต้อร� ควรจะพิย�ย�มพิ�สู จน์� algorithm

terminates sound, complete, optimal finds optimal solution

เพิ� อแสูด้งว"�ว�ธี�ด้$งกล่"�วม�ป็ระสู�ทำธี�ภ�พิม�กกว"�ว�ธี�อ� น์ๆ ก�รพิ�สู จน์�ค(ณิสูมบั$ต้�ของโครงสูร��งข�อม ล่ อ�จะน์��ทำ�ง

ไป็สู " algorithm ใหม"ทำ� ง"�ยแล่ะม�ป็ระสู�ทำธี�ภ�พิม�กกว"�เด้�ม

ค��ศ$พิทำ�ทำ� ควรร � Theorem เป็�น์ statement ทำ� สู�ม�รถแสูด้งได้�ว"�เป็�น์จร�ง

(จ�กก�รพิ�สู จน์�) Proof เป็�น์ชุ(ด้ของ statements ทำ� ใชุ�สู��หร$บัก�รสูร��งข�อโต้�

แย�ง Axioms หร�อ postulates เป็�น์ statements ทำ� ม�หล่$กฐ�น์ใน์

ต้$วม$น์เองว"�เป็�น์ จร�ง เสูมอ Lemma ค�อ theorem ทำ� ม�ป็ระโยชุน์�ใน์ก�รพิ�สู จน์� theorem

อ� น์ Corollary เป็�น์ theorem ทำ� สู�ม�รถอ��งได้�จ�ก theorem

ทำ� ผ่"�น์ก�รพิ�สู จน์�แล่�ว Proposition ม�คว�มสู��ค$ญน์�อยกว"� theorem Conjecture เป็�น์ statement ทำ� ไม"ทำร�บัค"�คว�มจร�ง Rules of inference เป็�น์ชุ"องทำ�งใน์ก�รห�ค"�สูร(ป็

Theorems: ต้$วอย"�ง Theorem

ก��หน์ด้ให� a, b, แล่ะc เป็�น์จ��น์วน์เต้3ม แล่�ว ถ�� a|b แล่ะ a|c แล่�ว a|(b+c) [ a | b หม�ยถ4ง a

ห�ร b ล่งต้$ว ] ถ�� a|b แล่�ว a|bc สู��หร$บั c ทำ� เป็�น์จ��น์วน์เต้3มทำ(กค"� ถ�� a|b แล่ะ b|c แล่�ว a|c

Corollary: ถ�� a, b, แล่ะ c เป็�น์จ��น์วน์เต้3มทำ� a|b แล่ะ a|c แล่�ว

a|mb+nc โด้ยทำ� m แล่ะ n เป็�น์จ��น์วน์จร�ง ล่องทำ��ด้ ว"�ได้� Corollary จ�ก Theorem ได้�ย$งไง

Proofs: ก�รพิ�สู จน์�ทำ$ วไป็ ข�อโต้�แย�ง (argument) จะถ�อว"� ถ กต้�อง(valid)

ถ��ทำ(กสูมม(ต้�ฐ�น์ (hypotheses) เป็�น์จร�ง, แล่�วข�อสูร(ป็ (conclusion) เป็�น์จร�งด้�วย

จ�กสูมม(ต้�ฐ�น์ p1, p2, …, pn, จะสู�ม�รถห�สูร(ป็ได้�เม� อ:

(p1 p2 … pn) q ป็กต้�ก�รพิ�สู จน์�จะทำ��เป็�น์ข$5น์ต้อน์ใน์ก�รพิ�สู จน์�

Theorem

Proofs: ต้$วอย"�ง ตั�วอย่�าง

พิ�จ�รณิ� theorem ทำ� ว"� ‘If x>0 and y>0, then x+y>0’

อะไรค�อ สูมม(ต้�ฐ�น์ (assumptions)? อะไรค�อ ข�อสูร(ป็ (conclusion) ?

แต้"ล่ะข$5น์ต้อน์ใน์ก�รพิ�สู จน์�จะต้�องเป็�น์จร�ง

Rules of Inference (กฎของก�รอน์(ม�น์) ก�รอน์(ม�น์ด้�วยว�ธี�ก�รให�เหต้(ผ่ล่จะต้�องม�ก�รต้รวจสูอบั

คว�มสูมเหต้(สูมผ่ล่ กฎของก�รอน์(ม�น์เชุ�งต้รรกศ�สูต้ร� ได้�แก" Modus Ponens (MP) Modus Tollens (MT) Disjunctive Syllogism (DS) Addition (Add) Simplification (Simp) Conjunction (Conj) Hypothetical Syllogism (HS)

Modus Ponens (MP)

Modus Ponens (-elimination)

P Q P Q

P Q P Q

T T T

T F F

F T T

F F T

Addition (Add)

Addition (-introduction)

หร�อ P P Q

P Q P Q

T T T

T F T

F T T

F F F

P Q P Q

T T T

T F T

F T T

F F F

Q P Q

Simplification (Simp)

Simplification (-elimination)

หร�อP Q P

P Q P Q

T T T

T F F

F T F

F F F

P Q P Q

T T T

T F F

F T F

F F F

P Q Q

ตั�วอย่�างการใช้ งาน Simplification จงพิ�สู จน์�ว"� ถ�� 0 < x < 10 แล่�ว x 0

1. 0 < x < 10 (0 < x) (x < 10)2. (x 0) (x < 10) (x 0) (1) Simp

3. (x 0) (x 0) (x = 0) (2) Add

4. (x 0) (x = 0) (x 0)

Conjunction (Conj)

Conjunction (-introduction)

PQ

P Q

P Q P Q

T T T

T F F

F T F

F F F

Modus Tollens (MT)

Modus Tollens (-elimination)

P Q Q P

P Q P Q Q P

T T T F F

T F F T F

F T T F T

F F T T T

ตั�วอย่�าง : ถ��ค(ณิเป็�น์น์$กศ4กษ� มจพิ

แล่�วค(ณิค�อล่ กพิระจอม สูมชุ�ยไม"ได้�เป็�น์ ล่ กพิระ

จอม ด้$งน์$5น์ สู�ม�รถสูร(ป็ได้�ว"�

สูมชุ�ยไม"เป็�น์เป็�น์ น์$กศ4กษ� มจพิ

Hypothetical syllogism (HS) Hypothetical syllogism (chain reasoning, chain

deduction)

P Q R P Q Q R P R

T T T T T T

T T F T F F

T F T F T T

T F F F T F

F T T T T T

F T F T F T

F F T T T T

F F F T T T

P QQ RP R

ตั�วอย่�าง : ถ��ค(ณิไม"ม�ง�น์ทำ�� ค(ณิจะ

ไม"ม�เง�น์ ถ��ค(ณิไม"ม�เง�น์ ค(ณิจะซื้�5อ

iphone ไม"ได้� ด้$งน์$5น์ สู�ม�รถสูร(ป็ได้�ว"�

ถ��ค(ณิไม"ม�ง�น์ทำ�� ค(ณิจะ ซื้�5อ iphone ไม"ได้�

Disjunctive syllogism (DS)

Disjunctive Syllogism (-elimination)

หร�อ P Q P Q

P Q P Q P

T T T F

T F T F

F T T T

F F F T

P Q Q P

P Q P Q Q

T T T F

T F T T

F T T F

F F F T

ตั�วอย่�าง : ทำ�องฟ้:�ม�สู�ฟ้:�

หร�อสู�เทำ� ต้อน์น์�5ทำ�องฟ้:�

ไม"ใชุ"สู�เทำ� ด้$งน์$5น์สู�ม�รถ

สูร(ป็ได้�ว"� ทำ�องฟ้:�ม�สู�ฟ้:�

Rules of Inference: Resolution For resolution, we have the following

tautology((p q) (p r)) (q r)

Essentially, If we have two true disjunctions that have

mutually exclusive propositions Then we can conclude that the disjunction

of the two non-mutually exclusive propositions is true

Proofs: ต้$วอย"�งทำ� 1 ว�ธี�ทำ� ด้�ทำ� สู(ด้ใน์ก�รพิ�สู จน์�ให�ได้� ค�อ เห3น์ต้$วอย"�งก�ร

พิ�สู จน์�ให�ม�กทำ� สู(ด้ จงพิ�สู�จน� Theorem: The sum of two odd

integers is even ก��หน์ด้ให� m แล่ะ n เป็�น์เล่ขค� เล่ขค� x ค�อเล่ขทำ� เก�ด้จ�กสูมก�ร x = (2*k) + 1

สู��หร$บัทำ(กค"� k ใน์ Z ด้$งน์$5น์ m = (2k1 + 1) แล่ะ n = (2k2 + 1) เร� มก�รพิ�สู จน์�

m + n = (2k1 + 1) + (2k2 + 1)= 2k1 + 2k2 + 2

= 2(k1 + k2 + 1)

k1 + k2 + 1 เป็�น์จ��น์วน์เต้3ม ด้$งน์$5น์ 2 ค ณิก$บัต้$วเล่ขอะไรก3จะได้�เล่ขค "

Proofs: ต้$วอย"�งทำ� 2 ก��หน์ด้ statements ด้��น์ล่"�งให�เป็�น์จร�ง:

• (p q)• (r s)• (r p)

ก��หน์ด้ให� q เป็�น์เทำ3จ จงแสูด้งว"� s ต้�องเป็�น์จร�ง

1. (p q)assumption

2. (r s) assumption

3. (r p) assumption

4. q assumption

5. p (1),(4) MT

6. r (3),(5) DS

7. s (2),(6) MP

Fallacies (1)

ต้$วอย"�งทำ� ผ่�ด้ๆ ก3ม�ป็ระโยชุน์�เพิ� อให�เร�ร �ว"�ไม่�ควรจะทำ��อะไร

ข�อผ่�ด้พิล่�ด้ 3 อย"�งทำ� พิบัก$น์บั"อยคร$5งค�อ1. Fallacy of affirming the conclusion

(q (p q)) p2. Fallacy of denying the hypothesis

(p (p q)) q3. Circular reasoning ไป็ใชุ�ข�อสูร(ป็เป็�น์สูมม(ต้�ฐ�น์

ทำบัทำวน์ Rule of References อ�กน์�ด้ Affirming the antecedent: Modus ponens

(p (p q)) q Denying the consequent: Modus Tollens

(q (p q)) p Affirming the conclusion: Fallacy

(q (p q)) p Denying the hypothesis: Fallacy

(p (p q)) q

Fallacies (2)

บั�งคร$5งก�รพิ�สู จน์�ผ่�ด้ เก�ด้ข45น์ม�จ�กก�รใชุ�ต้$วด้��เน์�น์ก�รทำ� ผ่�ด้ ม�กกว"�ผ่�ด้ทำ� ต้รรก

พิ�จ�รณิ�ก�รพิ�สู จน์�ผ่�ด้ๆ ของ 2=1 ก��หน์ด้ให�

a = b a2 = ab เอ� a ไป็ค ณิทำ$5ง 2 ข��ง a2 + a2 – 2ab = ab + a2 – 2ab เอ� a2 – 2ab ไป็

บัวกทำ$5ง 2 ข��ง 2(a2 – ab) = (a2 – ab) แยกต้$วป็ระกอบั แล่ะรวม

term 2 = 1 เอ� (a2 – ab)

ห�รทำ$5ง 2 ข��ง ขั้��นตัอนไหนที่��ผิ�ดในการพิ�สู�จน�คร��งน�� ??

ก�รพิ�สู จน์�แบับัม� Quantifiers

Rules of inference สู�ม�รถขย�ยไป็ใชุ�ง�น์ก$บั statement ทำ� ม� Quantifier ได้�

Universal Instantiation: ถ��ม�หล่$กฐ�น์ว"� xP(x) แล่ะ c UoD (universe of discourse), เร�สู�ม�รถสูร(ป็ได้�ว"� P(c) เป็�น์จร�ง

Universal Generalization: ถ��สู("มเล่�อก c ทำ� ซื้4 ง c UoD แล่ะแสูด้งได้�ว"� P(c) เป็�น์จร�งแล่�ว xP(x) จะเป็�น์จร�ง

Existential Instantiation: ถ��ม�หล่$กฐ�น์ว"� xP(x) เป็�น์จร�ง, เร�สู�ม�รถก��หน์ด้ค"�คงทำ� เชุ"น์ c โด้ยทำ� c UoD เร�ก3จะสู�ม�รถสูร(ป็ได้�ว"� P(c) เป็�น์จร�ง

Existential Generalization: ถ�� P(c) เป็�น์จร�งสู��หร$บั c ทำ� เจ�ะจง จะสู�ม�รถสูร(ป็ได้�ว"� xP(x) เป็�น์จร�ง

ต้$วอย"�ง: ก�รพิ�สู จน์�แบับัม� Quantifier

จงแสูด้งว"�เม� อร �ว"� “A car in the garage has an engine problem” แล่ะ “Every car in the garage has been sold” สู�ม�รถสูร(ป็ได้�ว"� “A car has been sold has an engine problem”

ก��หน์ด้ G(x): “x is in the garage” E(x): “x has an engine problem” S(x): “x has been sold” Universe of discourse ค�อ รถทำ$5งหมด้

ด้$งน์$5น์จะได้�สูมม(ต้�ฐ�น์ทำ� ว"�: x (G(x) E(x)) x (G(x) S(x))

ข�อสูร(ป็ทำ� ต้�องก�รค�อ x (S(x) E(x))

Proofs with Quantifiers: Example (2)1. x (G(x) E(x))

1st premise

2. (G(c) E(c))

(1) Existential Instantiation

3. G(c)

(2) Simp

4. x (G(x) S(x))

2nd premise

5. G(c) S(c)

(4) Universal Instantiation

6. S(c)

(3),(5) MP

7. E(c)

(2) Simp

8. S(c) E(c)

(6),(7) Conj

9. x (S(x) E(x))

(8) Existential generalization

ทำ��แบับัฝึ=กห$ด้ด้�วยก$น์ก"อน์พิ$กคร4 ง (1) จ�กข�อคว�มต้"อไป็น์�5 ม�ก�รใชุ� rule of inference อะไร

บั��ง Alice is a mathematics major. Therefore, Alice

is either a mathematics major or a computer science major.

Jerry is a mathematics major and a computer science major. Therefore, Jerry is a mathematics major.

If it is rainy, then the pool will be closed. It is rainy. Therefore, the pool is closed.

If it snows today, the university will close. The university is not closed today. Therefore, it did not snow today.

If I go swimming, then I will stay in the sun too long. If I stay in the sun too long, then I will sunburn. Therefore, if I go swimming, then I will sunburn.

ทำ��แบับัฝึ=กห$ด้ด้�วยก$น์ก"อน์พิ$กคร4 ง (2) จงห�ข$5น์ต้อน์ทำ� ผ่�ด้พิล่�ด้ระหว"�งก�รพิ�สู จน์�ว"� if ∃xP(x) ∨ ∃xQ(x) is true then ∃x(P(x) ∧ Q(x)) is true.

1. ∃xP(x) ∨∃xQ(x) Premise2. ∃xP(x) Simplification from

(1)3. P(c) Existential instantiation

from (2)4. ∃xQ(x) Simplification from (1)5. Q(c) Existential instantiation

from (4)6. P(c) ∧ Q(c) Conjunction from (3)

and (5)7. ∃x(P(x) ∧ Q(x)) Existential generalization

ว�ธี�ก�ร Proofs

Trivial proofs Vacuous proofs Direct proofs Proof by Contrapositive (indirect proof) Proof by Contradiction (indirect proof, aka

refutation) Proof by Cases (sometimes using WLOG) Proofs of equivalence Existence Proofs (Constructive &

Nonconstructive) Uniqueness Proofs

Trivial Proofs

ข�อสูร(ป็เป็�น์จร�งได้� โด้ยไม"จ��เป็�น์ต้�องม�สูมม(ต้�ฐ�น์ Trivial proof ใชุ�เม� อข�อสูร(ป็เป็�น์จร�งเสูมอ เชุ"น์ if q

เป็�น์ true, แล่�ว pq เป็�น์ true ตั�วอย่�าง: จงพิ�สู จน์� ถ้ า x>0 แล้ ว (x+1)2 – 2x

x2

Vacuous Proofs

ถ��ร �ว"� สูมม(ต้�ฐ�น์ p เป็�น์เทำ3จ แล่�วสู�ม�รถสูร(ป็ได้�ว"� pq เป็�น์จร�งเสูมอ Vacuous proof เป็�น์ก�รพิ�สู จน์�ทำ� อย "บัน์ฐ�น์ข�อเทำ3จจร�ง

ทำ� ไม"ม�ค"�ใน์ขอบัเขต้ทำ� ก��หน์ด้ม�ทำ��ให�สูมม(ต้�ฐ�น์เป็�น์จร�งได้�

ตั�วอย่�าง: If x is a prime number divisible by 16, then x2

<0(บั�งคร$5งข�อสูร(ป็ทำ� ได้�ก3ฝึ>น์ก$บัหล่$กคว�มจร�ง)

Direct Proofs

ก�รพิ�สู จน์�ทำ� เห3น์ใน์ต้$วอย"�งม�ต้ล่อด้เป็�น์ direct proofs

ใน์ direct proof ต้�องม�ก�รก��หน์ด้สูมม(ต้�ฐ�น์ p ใชุ� rules of inference ใน์ก�รสูร(ป็ข�อม ล่เป็�น์ล่��ด้$บั เพิ� อจะแสูด้งให�ได้�ว"�ข�อสูร(ป็ q เป็�น์จร�ง

ตั�วอย่�าง: จงพิ�สู จน์�ว"�ถ�� n เป็�น์เล่ขค� แล่�ว n2 จะเป็�น์เล่ขค� ก��หน์ด้ n เป็�น์เล่ขค� สู�ม�รถแทำน์ได้�ด้�วย n = 2k + 1,

สู��หร$บัทำ(ก k ใน์ Z n2 = (2k + 1)2 = 4k2 + 2k + 1 = 2(2k2 + k)

+1 2 ค ณิก$บัอะไรก3ได้�เล่ขค " เม� อ + 1 ก3เป็�น์เล่ขค�

Proof by Contrapositive (Indirect proof)

ทำบัทำวน์คว�มจ��ว"� (pq) (q p) พิ�5น์ฐ�น์ของก�รพิ�สู จน์�แบับั Indirect proof ค�อ

ก��หน์ด้ให�ข�อสูร(ป็เป็�น์เทำ3จ (q เป็�น์จร�ง) จ�กน์$5น์ใชุ�กฎต้"�งๆ ต้�มล่��ด้$บั เพิ� อแสูด้งให�เห3น์ว"�สูมม(ต้�ฐ�น์เป็�น์เทำ3จ (p เป็�น์จร�ง)

ตั�วอย่�าง : จงพิ�สู จน์�ว"� ถ�� x3 <0 แล่�ว x<0

contrapositive ค�อ “if x0 แล่�ว x3 0” Proof

1. If x=0 x3=0 02. If x>0 x2>0 x3>0

Proof by Contrapositive: ต้$วอย"�ง

ตั�วอย่�าง: จงพิ�สู จน์�ว"� ถ�� “ 3n + 2 เป็�น์จ��น์วน์ค� , แล่�ว n เป็�น์จ��น์วน์ค� ” สู�ม�รถแป็ล่งป็ระโยคได้�เป็�น์

ถ�� n เป็�น์จ��น์วน์ค " แล่�ว 3n + 2 เป็�น์จ��น์วน์ค "

ก��หน์ด้ให� n เป็�น์จ��น์วน์ค " เล่ขค "สู�ม�รถแทำน์ได้�ด้�วย n = 2k , สู��หร$บัทำ(ก k ใน์ Z ด้$งน์$5น์ 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k+2 = 2(3k + 1) 2 ค ณิก$บัจ��น์วน์เต้3มใด้ๆ จะได้� เป็�น์เล่ขค "

ด้$งน์$5น์ป็ระโยค “ถ�� 3n + 2 เป็�น์จ��น์วน์ค� , แล่�ว n เป็�น์จ��น์วน์ค� ”เป็�น์จร�ง

Proof by Contradiction

เพิ� อทำ� จะพิ�สู จน์�ว"� statement p เป็�น์ true จะต้�องก��หน์ด้ให� p เป็�น์เทำ3จก"อน์ จ�กน์$5น์อน์(ม�น์ต้�มข45น์ต้อน์เพิ� อให�เก�ด้ก�รข$ด้แย�งก$น์ของข�อ

สูร(ป็ ตั�วอย่�าง: จงพิ�สู จน์�ว"� ถ�� “ 3n + 2 เป็�น์จ��น์วน์ค� , แล่�ว n

เป็�น์จ��น์วน์ค� ” ใน์ก�รพิ�สู จน์�แบับั contradiction จะกล่$บัผ่ล่สูร(ป็แล่ะก��หน์ด้

ให� n เป็�น์จ��น์วน์ค " เม� อ n เป็�น์จ��น์วน์ค " หม�ยคว�มว"� n = 2k, , สู��หร$บัทำ(ก k ใ

น์ Z ด้$งน์$5น์ 3n + 2 = 3(2k) + 2 = 6k +2 = 2(3k + 1) ซื้�

งเป็�น์เล่ขค " จะเห3น์ว"� ม�ก�รข$ด้แย�งก$บัโจทำย�ทำ� บัอกว"� 3n + 2 เป็�น์เล่ขค� ด้$งน์$5น์จ4งสูร(ป็ได้�ว"� ถ�� “ 3n + 2 เป็�น์จ��น์วน์ค� , แล่�ว n เป็�น์

จ��น์วน์ค� เป็�น์” จร�ง

Proof by Cases

บั�งคร$5งจะง"�ยต้"อก�รพิ�สู จน์� theorem โด้ยก�ร แบั"งสู"วน์ของเป็�น์แต้"ล่ะ cases แล่ะพิ�สู จน์�แยกอ�สูระต้"อก$น์

ตั�วอย่�าง : ก��หน์ด้ n Z. พิ�สู จน์�ว"� 9n2+3n-2 เป็�น์เล่ขค " 9n2+3n-2 = (3n + 2)(3n - 1)1 . ถ�� (3n + 2) เป็�น์เล่ขค " เล่ขค "ค ณิก$บัอะไรก3ได้�ผ่ล่เป็�น์

เล่ขค "2. ถ�� (3n + 2) เป็�น์เล่ขค� (3n – 1) ก3จะเป็�น์เล่ขค " เล่ขค "

ค ณิก$บัอะไรก3ได้�ผ่ล่เป็�น์เล่ขค "3. ด้$งน์$5น์จ4งสูร(ป็ได้�ว"� 9n2+3n-2 เป็�น์เล่ขค "

Warm up ก"อน์ทำ��แบับัฝึ=กห$ด้ จงใชุ�ว�ธี� direct proof พิ�สู จน์�ว"� ผ่ล่บัวกของ“

เล่ขค� 2 ต้$วให�ผ่ล่เป็�น์เล่ขค "” จงแสูด้งว"� ถ�� “ n3 + 5 เป็�น์เล่ขค� แล่�ว n เป็�น์เล่ขค "”

ด้�วยว�ธี� proof by contraposition ด้�วยว�ธี� proof by contradiction

แบับัฝึ=กห$ด้ทำ��สู"ง จงใชุ� rules of inference เพิ� อแสูด้งว"�

ถ�� ∀x(P(x) →(Q(x) ∧ S(x))) แล่ะ ∀x(P(x) ∧ R(x)) เป็�น์จร�งแล่�ว ∀x(R(x) ∧ S(x)) เป็�น์จร�ง

จงพิ�สู จน์�ว"� “n เป็�น์เล่ขค� ก3ต้"อเม� อ 5n + 6 เป็�น์เล่ขค� ใน์”ขอบัเขต้ n เป็�น์จ��น์วน์เต้3มบัวก

ก��หน์ด้ให� x เป็�น์จ��น์วน์เต้3มค " จงพิ�สู จน์�ว"� 3x + 2 เป็�น์เล่ขค " x + 5 เป็�น์เล่ขค� x2 เป็�น์เล่ขค "

จงพิ�สู จน์�ว"� ถ�� 3n + 2 เป็�น์เล่ขค " แล่�ว n เป็�น์เล่ขค " ด้�วยว�ธี� proof by contraposition. proof by contradiction.