5 6 RELACIONES ENTRE F.SFUHRZOb Y DEFOJWACIONT.-» , CAP. 2

B I B U O G R A F I A

LOVE, A. E. H . : "A Treatise on the Mathemat ica l Theory of Elasticity", t.'1 ed., Dover Publications, Nueva York, 1949.

SOUTHWELL, R. V.: "An Introduction to the Theory of Elasticity" ed.. Oxford University Press, Nueva York, 1941.

TIMOSHENKO, S. P., y J. N. GOODIER : " T h e o r y of Elasticity" 2.a ed., Mc-Graw Hill Book Company, Inc., Nueva York, 1951.

WANG, C. T . : "Applied Elasticity", McGraw-Hill Book Company. Int. Nuevn York, 1953.

I

CAPITULO 3

ELEMENTOS DE LA TEORIA DE LA PLASTICIDAD

3-1. Introducción.—La teoría de la plasticidad trata del compor tamiento de los materiales en la zona de deformación y en la que la ley de Hooke ya no es válida. La descripción matemática de la defor-mación plástica de los materiales no está, de ningún modo, tan bien desarrollada como la descripción de la deformación elástica por medio de la teoría de la elasticidad. Por ejemplo, en la región plástica de deformación no existe ninguna relación sencilla entre tensiones y de-formaciones como ocurre en la deformación elástica. Además, la de-formación elástica depende solamente de los estados de tensión inicia-les y finales y es independiente de los estados intermedios, pero la deformación plástica depende no solamente de la carga final, sino tam-bién de los valores anteriores.

La teoría de la plasticidad está relacionada con diferentes tipos de problemas. Desde el punto de vista del diseño, la plasticidad está re-lacionada con la predicción de la carga máxima que se puede aplicar al cuerpo sin causar una fluencia excesiva. El criterio 1 de fluencia ha de expresarse en función de la tensión, de tal modo que sea válido para todos los estados de tensión. El proyectista está también relacio-nado con la deformación plástica en problemas en los que el cuerpo está intencionadamente sometido a tensiones superiores al límite elás-tico, dentro de la región plástica. Por ejemplo, la plasticidad ha de tenerse en cuenta en el diseño de diferentes procesos como en el auto-sunchado, el ajuste por contracción y en la velocidad excesiva de los discos de los rotores. La consideración de pequeñas deformaciones plásticas permite economías en la construcción de edificios al utilizar la teoría del diseño límite. En el t ratamiento matemático de la con-formación plástica de los metales se requiere el análisis de grandes deformaciones plásticas. Este aspecto de la plasticidad se tratará en la cuarta parte. Es muy difícil describir de un modo analítico muy rigu-roso el comportamiento de un metal en estas condiciones. Por consi-guiente, para obtener una solución matemática manejable, es preciso, normalmente, establecer ciertas hipótesis que simplifiquen el problema.

Otro aspecto de la plasticidad consiste en una mejor comprensión

1 La determinación de la carga límite entre los comportamientos elástico y plástico también se trata, generalmente, en la resistencia de materiales. Sin embargo, debido a que es preciso adoptar un criterio de fluencia en las teorías de la plasticidad, este tema se trata en el capítulo relativo a dicha disciplina.

i * . J Í M L *

da 1« deformación plástica de los metale-. El interés de •ItO Campo 1« centra en las imperfecciones de los só!i-;-;s cristalinos. En el comportamiento en la deformación son de gran importancia el efecto de las variables metalúrgicas, la es t ructura cristalina y las im-perfecciones de la red. Este aspecto de la plasticidad -,e trata en la segunda parte .

3 - 2 . C u r v a s d e f l u e n c i a . — L a curva tensión-deforr,-.ación obteni-da por carga uniaxial, como en el ensayo corriente de tracción, es de interés fundamenta l en la plast icidad cuando se utilizan como variables la tensión real cr y la deformación real e. La tensión real está dada por la carga dividida por el área de la sección transversal instantánea de la probeta. La deformación real se estudia en la sección siguiente.

'a) (61

FlC. 3-1.—Curvas típicas tens ión-deformación para un n ida l dúcli

La finalidad de la presente sección 1 es describir las curvas tensión-deformación típicas de los metales reales y comparar las con las i urvas teóricas de fluencia de materiales ideales.

En la figura 3-1 a se muest ra la curva real tensión-deformación para un metal dllctil típico, como el aluminio. La ley de l íooke se cumple has ta un cierto límite elástico crQ. (El valor de cr,, dependerá de la exactitud con que se mida la deformación.) A partir de tr0 el metal se deforma plásticamente. La mayoría de los metales se cndureccn por deformación en esta zona plástica, de manera que los aumenios de aquella requieren valores de la tensión mayores que el l ímite elástico inicial (7o. Sin embargo, al cont rar io de lo que sucedía en la región elástica, la tensión y la deformación no están relacionadas por ninguna sencilla constante de proporcionalidad. Si se deforma el metal hasta el pun to A, cuando se retira 1« CBrgfl d isminuye inmedia tamente la de-formación total desde «i a «a en una cantidad o- F. i.a disminución

'Véase el capítulo 9 para una discusión mái completa del aspecto materna tico de la curva real tensión-deformaclán.

I I C J Í CURVAS DS H U I N C U

de deformación C)-«2 es la deformación eldstka rtcupémSm Sin em-bargo, no toda la deformación residual es deformación plástica per-manente. Dependiendo del metal y de la tempera tura , desaparecerá «MI el t iempo una pequeña cantidad de deformación plástica € i - « j . Esto se conoce como compor tamiento a n e l á s t i c o G e n e r a l m e n t e se despre-cia la deformación anelástica en las teorías matemát icas de la plasti-cidad.

En general, la curva tensiones-deformaciones, al cesar la carga des-pués de una deformación plástica, no será exactamente lineal y parale-la a su porción elástica (Fig. 3-1 b). Además, al volver a aplicar la carga, la línea se curva al aproximarse la tensión al valor inicial desde el que se ret i ró la carga. Con una pequeña deformación plástica adi-cional, la curva tensiones-deformaciones se t ransforma en una conti-nuación de lo que habr ía sido si no se hubiera in te r rumpido la carga. Este comportamiento , histéresis, resul tante de aplicar y re t i rar la carga después de la deformación plástica, se desprecia, generalmente, en las teorías de la plasticidad.

La curva real tensiones-deformaciones se denomina, f recuentemen-te, curva de fluencia, ya que proporciona la tensión necesaria para que el metal fluya plást icamente hacia cualquier deformación dada . Se han realizado muchos intentos para aplicar ecuaciones matemát icas a esta curva. La expresión más común es la s iguiente:

cr = /Ce" [3-1]

donde K es la tensión para e = l , 0 y n, el coeficiente de endurecimien-to por deformación, es la pendiente de la representación. logarítmica doble de la Ec. [3-1]. Esta ecuación solo es válida desde el comienzo de la fluencia plástica hasta la carga máxima a partir de la que se inicia la estricción local.

Incluso la expresión más sencilla, como la Ec. [3-1], puede resultar de una complej idad matemática considerable cuando se util iza con las ecuaciones de la teoría de la plasticidad. Por consiguiente, la práctica común en este campo es imaginar curvas de fluencia ideales que sim-plifiquen el cálculo matemát ico sin desviarse demasiado de la realidad física. La f igura 3-2 a muestra la curva de fluencia de un mater ia l rígido perfectamente plástico. Una probeta de tracción de este material ideal es comple tamente rígida (deformación elástica cero) hasta que la ten-sión axial es igual a o > Entonces, el material fluye plást icamente a una tensión de fluencia constante (endurecimiento por deformación nulo) . Este tipo de compor tamiento se aproxima al de un metal dúctil fuer-temente de formado en frío. La figura 3-2 b mues t ra la curva de fluencia de un material perfectamente plástico con una región elástica. A este compor tamien to se aproxima un material , como el acero ordinario al carbono, que posee un alargamiento grande en el límite elástico apa-

1 La anelasticidad se discute con más amplitud en el capítulo 8.

rente (véase Soc. 5-5). Un planteamiento más real es el llegar a la curva de fluencia por medio de dos lineas rectas que correspondan a

<r T a

í t (

le)*"

Fie. 3-2.—Curvas de fluencia plástica idealizadas, a) Material plástico ideal rígido, b) Material plástico ideal con región elástica, c) Material que endurece

por deformación.

las regiones elástica y plástica (Fig. 3-2 c). Este tipo de curva exige cálculos matemát icos más complicados.

3-3. D e f o r m a c i ó n real .—La Ec. [1-1] describe eí concepto con-vencional de la deformación lineal unitaria, esto es, la variación de longitud referida a la longitud unitaria inicial

Esta definición es satisfactoria para deformaciones elásticas en (is que AL es muy pequeño. Sin embargo, en la deformación plástica las de-formaciones son grandes, y, durante el alargamiento, la distancia entre puntos varía considerablemente. Ludwik 1 expuso, por primera vez, la definición de deformación real o natural e, que evita esta dificultad En esta definición de deformación la variación de longitud esta refe-rida a la distancia entre puntos instantánea, en vez de a la distancia entre puntos inicial:

o bien

[3-3]

1 P . LUDWIK: "Elemente der technologischen Mechanik", Spr inger-Verlag n u n B„t-K., lono

La relación entre la deformación real y la deformación l ineal conven-cional se desprende de la Ec. [1 -1 ] :

[3-4]

Las dos medidas de la deformación proporcionan casi idént icos resul-tados hasta deformaciones de aproximadamente 0,1.

Debido a que el volumen permanece esencialmente constante du-rante la deformación plástica, la Ec. [3-3] se puede expresar en fun-ción de la longitud o de la sección:

Asimismo, debido a la constancia de volumen, la suma de las t res de-formaciones principales es igual a cero,

e, + €: + €, = 0 [3-6]

Esta relación no es válida para las deformaciones principales conven-cionales.

La ventaja de utilizar la deformación real se hace evidente con el consiguiente e jemplo: consideremos un cilindro uniforme que se alar-ga duplicando su longitud original. La deformación lineal es, entonces, e= (2 Io -Lo) /Lo = l,0, o una deformación del 100%. Para conseguir la misma deformación lineal negativa en compresión, habría que compri-mir el cilindro hasta un espesor igual a cero. Sin embargo, intuit iva-mente, se espera que la deformación producida al compr imir un cilin-dro hasta un valor igual a la mitad de su longitud inicial sea la misma, aunque de signo contrario, que la deformación producida al alargar el cilindro dos veces su longitud. Si se utiliza la deformación real se obtiene la equivalencia para los dos casos. Al alargar dos veces la longitud inicial e = l n (2¿ 0 /£ 0 ) = l n 2. Al comprimir un medio la lon-gitud inicial e = ln [ ( Io/2) /Z 0 ] = ln £ = - ln 2.

3-4. Criterios de f luenc ia en metales dúcti les .—El problema que se presenta al deducir las relaciones matemáticas , para la predicción de las condiciones en las que comienza la deformación plástica c u a n d o un material está somet ido a un es tado complejo de tensión, es un M* pecto importante en el campo de la plasticidad. En carga uniaxial« t i

e = -AL L-U

— 1

e + l = L

e = ln — = ln (e + 1 ]

pláitlea c a n t a t a en el límite elástico y ei de esperar que, en una situación de esfuerzos combinados , la fluencia esté relacionada con cierta combinación de las tensiones principales. Se puede expresar un criterio de fluencia en la fo rma general F(crh cr2, 0-3, K¡,...) = 0 ; pero, en la actualidad, n o existe ningún mé todo teórico para calcular la relación entre las componentes de las tensiones que correlacionan la fluencia en un estado de tens ión en tres dimensiones y la fluencia en un ensayo de tracción uniaxial . Los cri terios de fluencia son, por consiguiente, relaciones esencialmente empíricas. Actualmente , existen dos teorías generalmente acep tadas para predecir el comienzo de la fluencia en los metales dúctiles.

Teoría de la tensión cizallante máxima (criterio de tensión).—La teoría de la máxima tensión cizallante, l lamada a veces criterio de fluencia de Tresca, Coulomb o Guest , establece que la fluencia apare-cerá cuando la máxima tensión cizallante alcance un valor crítico igual a la tensión cizallante de f luencia en un ensayo de tracción uniaxial. En la Ec. [2-15] la tensión de cizallamiento máxima estaba dada por

"máx (T-i-O-3

[3-7]

donde a ¡ es ,1a tensión principal algebraicamente mayor y cr3 la alge-braicamente menor .

En tracción uniaxial en = ero, cr2 = o-3 = 0, donde cr0 es el límite elás-tico en tracción simple. Por consiguiente, el l ímite elástico cizallante en tracción simple T0 es igual a un medio del l ímite elástico en tracción :

O"o To = - -

Sust i tuyendo estos valores en la ecuación para la tensión de ci alla-miento máxima, tenemos

_ 0-1 - 0-3 _ _ cr0

— 2 ~ T0 ~ cr, - 0-3 = 0-0

que a veces se expresa del modo s iguiente:

cr 1 — 0*3 — cr¡ — 0-3' = 2k

[3-8]

13-9]

M O ]

donde orí y cr¡ son los desviadores de las tensiones principales y k el límite elástico en cizallamiento puro, esto es, la tensión a partir de la cual tiene lugar la fluencia en tors ión, donde cr¡ = ~cr¡.

La teoría de la tensión de cizal lamiento máxima está en concordan-cia con los resul tados exper imenta les ; sus precisiones están ligeramen-

tf meñte 'pari loi mit«!«« dfctlîë»." más antigua y menos exacta. ^

Prager y Hodge 1 han señalado que en ciertos p r o b l t m t l é t . ticidad no son aplicables las Ecs. [3-9] o [3-10], ya que n o N M b t cuál de las t res tensiones principales es la mayor. En este caso se ha de utilizar la siguiente ecuación mucho más complicada:

4/23 - 27¡i2 - 36k2h2 + 96k<J2 - 64k6 = 0 [3-11]

¡2 y J¡ son las invariantes del desviador de tensiones (véase Sec. 2-14). Evidentemente, una relación tan compleja es de resolución muy enojo-sa. Por esta razón, en la mayor par te de los t raba jos teóricos se pre-fiere utilizar el criterio que se discute a continuación.

Teoría de Von Mises (criterio de energía).—El cri ter io que se ex-pone en la Ec. [3-12] ha proporcionado resul tados experimentales en cierto modo más apropiados:

o"o = —-=r [(o"i-o"2)2 + (cr2-cr3)2 + (o-}-<r¡)2]112 [3-12] </2

De acuerdo con este criterio, se producirá la fluencia cuando las di-ferencias entre las tensiones principales, expresadas por el segundo término de la ecuación, rebasen el límite elástico en tracción uniaxial cr0. Los t rabajos realizados en este campo están asociados con los nombres de Von Mises, Hencky, Maxwell y Huber . Von Mises propuso este cri terio en la forma invariante de la Ec. [3-13], ya que es mate-máticamente más sencilla que la forma invariante de la teoría de la tensión cizallante máxima dada por la Ec. [3-11]. Experimentos pos-teriores mos t ra ron que la Ec. [3-13] proporciona una mejor concor-dancia total con los datos combinados tensión-fluencia que la teoría de la tensión cizallante máxima:

h-k2 = 0 [3-13]

J2 es la segunda invariante del desviador de tensiones y A: el l ímite elástico en cizallamiento puro.

Se han realizado varios intentos para proporcionar un significado físico al cr i ter io de fluencia de Von Mises. Un concepto comúnmente aceptado es que este criterio expresa la energía de distorsión. Basán-dose en este concepto, la fluencia tendrá lugar cuando la energía de distorsión por unidad de volumen rebase la energía de distorsión po r unidad de volumen almacenada en una p robe ta deformada hasta el límite elástico en tracción o compresión uniaxial. La deducción de la

1 W . PRAGER y P. G. HODGE, Jr.: "Theory of Perfectly Plastic Solldl", pag. 23, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1951.

¡I !á tenitdn cizallante octaédrica (véase Sec. 3-7). La energía de deformación elástica total por unidad de volumen

(véase Sec. 2-15) se puede dividir en dos componentes: la energía de distorsión o de cambio de forma, U0', y la energía de variación de volumen, U0". La figura 3-3 mues t ra la resolución de la energía total en sus componentes . Esta figura i lustra el concepto, establecido en la sección 2-14, de que un es tado general de tensión en tres dimensiones se puede expresar en función de un componente de tensión esférico o hidrostático cr" y un desviador de tensiones o-'. Los experimentos han demost rado 1 que hasta valores bas tan te grandes de la presión hidros-tática un es tado de tensión h idrostá t ica no produce ningún efecto so-bre la fluencia. Por tanto, es válido suponer que sólo el desviador de tensiones puede producir distorsión. Por consiguiente, la energía de distorsión es tará basada en el desviador de tensiones. Este sólo repre-senta la energía asociada con el cambio de forma de la probeta y des-precia la energía asociada con los cambios de volumen.

La energía de distorsión se de te rmina calculando, primero, la e: or-gía de variación de volumen y res tando después este término d< la

? m-V:

az

A 3

¥ i l i f t _ «¡sur'

$ + *

'Os * y

°"m = c rt '= c rz' = 03*.

FIG. 3-3.—Resolución de tensión en h id ros t á t i c a y desviador de tensión.

energía total . Refi r iéndonos de nuevo a la figura 3-3, la energía por unidad de volumen, asociada con la variación de volumen, será

w w ^ r + w v ' + w v '

Tomando como referencia las def iniciones dadas en la sección 2-14 para el componente desviador de la deformación , y haciendo a,„ igual al componente hidrostático de la tensión, o tensión media, tenemos

Ut" = icrm (<?! + e2 + e}) = £crmA M 4 ]

1 P. W. BRIDCMAN: "Studies in Large Plastic Flow and Fracture". McC.raw-Hill Book Company, Inc., Nueva York, 1952.

Puesto que Uo' = Uo-Uo", la energía de distorsión se puede de t e rmina r utilizando la Ec. [2.60] para la energía de deformación tota l U<¡:

1 V 1 <Tm2 u o ' = -2£~ (cr\2 + cr*2 + 0 ' i2) + crio-i + o-ioril - - - —j— [3-16]

Sin embargo, puesto que cr,„= (cr, 4-cr2 + o-3) /3 y K = £ / [ 3 ( 1 - 2 v ) ] , la Ec. [3-16] se reduce a

t / í ' = 1 " á í " [ ( ( T l " f f 2 ) í + { c r 2 - a i ) Z + [3-17]

En un estado de tensión uniaxial <tI = o-0, a-2 = cr3 = 0 :

U{)' ^ o r [3-18] 3 E

Por consiguiente, el criterio de fluencia en la teoría de la energía de la distorsión se puede expresar

1 + V .2<r02 = - ! ~ ^ - [ ( a , - c r 2 ) 2 + (c r 2 -c r 3 ) 2 + { a ¡ - cr,)2]

6 E 6 E

= ~ [ ( c r , - 0 - 2 ) 2 + (a"2-OT3)2+ (CTj-CTi)2]1'2 [3-19] v/2

En un estado de cizallamiento puro, tal como se presenta en torsión, r =c r :

o-i=tro cr2 = O cr3 = - cr0

Por tanto , la energía de distorsión para este estado de tensión está dada por

r; / 1 + V , 1 + v , r í ->m £ / 0 ' = — - — 0 ^ = — = — r 2 [3-20]

Si en cualquier tipo de s is tema de tensiones comienza la fluencia cuan-do la energía de distorsión alcanza un valor crítico, se puede obtener

OIETETIt.—5

« n t i t í l i i unlixiat, y en cls«»«-miento puro, Igualando l u Ees. [3-18] y [3-20]:

l + v To 2 _ 1 + ^ 3 E 1

<ro¿

T 0 = CTQ = 0,577CT() V3

í 3-21]

De este modo, si la teoría de la energía de distorsión es un criterio de fluencia válido, el límite elástico en cizallamiento, de te rminado en un ensayo de torsión, debería ser 0,577 veces el límite elástico en trac-ción. Los da tos reales mues t ran que el límite elástico de cizallamiento se encuentra entre 0,5 y 0,6 del límite elástico en tracción, con una media próxima al valor pronost icado. Obsérvese que la teoría cié la tensión de cizallamiento máxima predice que T0 = 0,50fr0. Una de las razones para preferir el criterio de fluencia de la teoría de la energía de distorsión es que mues t ra una mejor concordancia para esto- dos tipos de ensayos.

3-5. Ensayos con tens iones combinadas .—Las condiciones de fluencia en estados de tensión dist intos de los de cargas uniaxiales y de torsión, se pueden estudiar convenientemente uti l izando tubos de paredes delgadas. Combinando la tracción axial con la torsión se ob-t ienen diversas combinaciones, desde tensión cizallante hasta normal, in termedias entre los valores obtenidos separadamente en tracción y torsión. En tracción axial y torsión combinadas las tensiones principa-les de la Ec. [2-7] son :

crx / ' O"/ < r , = T + (

« 4 c r 2 =0

O-x 1 CT3 = T - (

, 4

2 +

+ ~

112

1/2 3-22]

Por consiguiente, el criterio de fluencia para la teoría de tensión ci-zallante máxima está dada por

M cr0

[3-23]

y la teoría de fluencia por la energía de distorsión se expresa por

V ) 2 = l V lTa / Zi (To

3-24]

A m t o i M m t e t o M i l i t a n y m mp>». _ resultados experimentales1 concuerdan mejor con la teoría gfa de distorsión.

Otro tipo de ensayo con tensiones combinadas consiste en someter tubos de paredes delgadas a carga axial y a presión hidrostát ica inten-sa 2. Puesto que la tensión en la dirección radial es despreciable (0-3 = 0 en la superficie libre exter ior) , este ensayo proporciona un es-tado de tensión biaxial.

0.6

0,5

0,4

0.3

0.2

0,1

0

I I .1 1 --ene rgia ac di stors .ion

te ns¡<5 i ciz alian ;« m Ixim > " N ;

\ w

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 CTj/Ob

Fie. 3-4.—Comparación entre las teorías de la máxima tensión cizallante y la de la energía de distorsión (teoría de Von Mises).

En un es tado de tensión plana, la teoría de la fluencia por energía de distorsión se puede expresar matemát icamente por

«V + o v - c n o ^ o v [3-25]

que representa la ecuación de una elipse cuyo semieje mayor es s / l a ^ y el menor </2/3 o >

La representación que se ofrece en la figura 3-5 consti tuye un pro-cedimiento adecuado para comparar los criterios de fluencia en un estado de tensión en dos dimensiones. Obsérvese que la teoría de la tensión cizallante máxima y la de la energía de distorsión predicen el mismo l ímite elástico en condiciones de tensión uniaxial y en tensión biaxial equil ibrada (o-i = o-2). La mayor divergencia entre las dos teo-rías se presenta en es tados de cizallamiento puro ( < R I = - C T J ) . Ya se ha demostrado que en este estado de tensión la ley de la tensión cizallante predice un límite elástico que es un 15% más bajo que el valor dado por el cr i ter io de la energía de distorsión.

Un m é t o d o m u y sensible para diferenciar los dos criterios de fluen-cia es el adop tado por Lode, en el que se determina el efecto de la

1 G . I. TAYLOR y H . QUINNEV. Proc. Roy. Soc. (Londres) , vo l . 2 3 0 A , pági-n a s 3 2 3 - 3 6 2 , 1 9 3 1 .

2 W . LODE: Z. Physik, vol. 36, págs. 913-39, 1926.

J á i k Itl la fluencia. De acuerdo con la ley do i . i j . i máxima, no debería tener ningún efecto el valor de 1« tensión intermedia cr2. Por tanto, (cr,-cr J) /<r 0= 1. Ln la teoría de la energía de distorsión, para explicar la influencia de la tensión princi-

pal in termedia , Lode in t rodujo el parámetro fi, denominado pa-rámetro de tensiones de Lode:

teoría de la energía de distorsión

2CT2 - cr3 - EN

cr, - (X; [ 3-26]

Resolviendo esta ecuación res-pecto a cr2 y eliminando en la ecuación [3-12], tenemos

CTV-CT3

CT0 f 3 + ¡i 3-27]

teoría de la tensión cizallante máxima

Fie. 3-5.—Comparación de los criterios de fluencia plástica para tensión plana.

Los da tos experimentales se ajus-tan mucho mejor a la Ec. [3-27] que a la ecuación de la ( Misión cizallante máxima, indicando que la tensión principal intermedia afecta a la fluencia.

Otra contribución tie I.orie lia sido la introducción del parámetro de deformación v,

2Ae2 - Ae3 - Ae, v =

Ae, - A¿3

3-28]

donde Ae es un incremento finito de la deformación. La represen!ación gráfica de ¡jl f rente a v deberá ser una línea recta a 45' de los ejes, si el metal se comporta de acuerdo con las ecuaciones de plasticidad de Levy-Von Mises (Sec. 3-9). La mayor par te de los metales mues-tran cierta ligera pero sistemática desviación de la relación de Lode

=

3-6. T e n s i ó n cizallante octaédrica y d e f o r m a c i ó n de ci/alla-m i e n t o — L a s tensiones octaédricas son un conjunto particular de fun-ciones de tensión de importancia en la teoría de la plasticidad. Se trata de tensiones que actúan sobre las caras de un octaedro tridi-mensional que posee la propiedad geométrica de que las caras de los ; planos forman ángulos iguales con cada una de las t res direcciones principales de la tensión. En un cuerpo geométrico de esta naturaleza, \ el ángulo formado por la normal a una de sus caras y el eje^ principal f más próximo es de 54*44' y el coseno de este ángulo es l / \ / 3 . i

La tensión que actúa en cada cara del octaedro se puede resolver' en una tensión octaédrica normal, <roct, y una tensión cizallante octaé-drica, yod» que se encuentra en el plano octaédrico. La tensión octaédri-ca normal es igual al componente hidrostá t ico de la tensión total:

CT, + (Ti + CTi 0-„ct = j = O-

La tensión cizallante octaédrica -y,)C1 está dada por

T"oct: stier. ( o - j - e r j ^ + f o - j - o - , ) 2 ] " 2

[3-29]

[3-30]

Puesto que la tensión octaédrica normal es una tensión hidrostát ica, no puede producir fluencia en materiales sólidos. Por consiguiente, la tensión cizallante octaédrica es el componente responsable de la de-formación plástica. A este respecto es similar al desviador de ten-siones. Si se supone que una tensión cizallante octaédrica crítica de-termina la fluencia, se puede escribir el criterio de flujo plástico en la forma _

1 s/2 r u c t = T [ ( ° " i - o " ; ) 2 + {cr 1 - (T i ) 1 + (o- 2 -cr , ) 2 ] 1 , 2 = or0 3 3

bien

o v s'2

[ ( e r , - < R , ) - + ( C R 2 - ( t 3 ) - + ( O - 3 - O - ! ) 2 ] " 2 [3-31]

Puesto que la Ec. [3-31] es idéntica a la ecuación ya deducida para la teoría de la energía de distorsión, las dos teorías de fluencia dan los mismos resul tados. En cierto sentido, se puede considerar la teoría octaédrica como una teoría de tensiones que es equivalente a la teoría de la energía de distorsión. De acuerdo con esta teoría, la tensión ci-zallante octaédrica correspondiente a la fluencia en tensión uniaxial está dada por

T„t, = ~ o-o = 0,47lo-o [3-32]

Al igual que las tensiones, las deformaciones octaédricas están re-feridas al mismo octaedro tr idimensional . La deformación lineal octaé-drica está dada por

€] + €l + €3 r, „ 1 £0« = ; [ 3 - 3 3 J

La deformación cizallante octaédrica viene dada por

roc t= 2 / 3 [ ( e , -6 2 ) 2 - f ( e 2 - e 3 ) 2 - f (63-et) 2] 1 ' 2 [3-34]

' A . NADAI: "Theory of Flow and Fracture of Solids", 2.» ed., vol, I, pági-nas 99-105, McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York, 1950. .

»reeueni -nen. te, es útil simplificar la representación de un estado complejo <1 ten-sión o deformación por medio de funciones invariantes de tensii- es y deformaciones. Si se representa la curva plástica tensión-deformación (curva de fluencia) en función de invariantes de tensiones y def .-ma-riones, se obtendrá aprox imadamente la misma curva sin t e ñ i r en cuenta el estado de tensión. Por ejemplo, las curvas de fluencia, obte-nidas en ensayos de tracción uniaxial y torsión biaxial, de un :ubo de poco espesor con presión interna, coincidirán cuando estén repre-sentados en términos de funciones invariantes de tensiones y defor-maciones.

Nada i 1 ha demost rado que las tensiones y deformaciones ciz,Alan-tes octaédricas son funciones invariantes que describen la c u r ; de fluencia independientemente del tipo de ensayo. Otras funciones inva-riantes f recuentemente uti l izadas son las tensiones y deformai ones efectivas o significativas. En el caso en el que los ejes de coordenadas correspondan a las direcciones principales, estas cant idades se de:inen por ias ecuaciones siguientes:

Tensión efectiva o significativa :

V 2 [(cr, - cr21' 1- (<r¡ - (r,\2 -t- {fr, — (3-, - 3 5 1

Deformación efectiva o significativa -

3 '-361

Obsérvese que tanto la tensión como la deformación efectivas se re-ducen al componente axial normal de la tensión y deformación en un ensayo de tracción. Estos valores están también relacionados con la tensión y deformación cizallantes octaédricas, como se puede ver com-parando las Ees. [3-301 y [3-34] con las precedentes :

</ 2 _ Txt = - y - a - yoct = V 2 e [3-37J

Drucker2 ha señalado que existe un gran número de diferentes funciones de tensiones y deformaciones que podrían servir como pa-rámetros invariantes de las tensiones y deformaciones. Por ejemplo, ha demostrado que los datos de tensiones combinadas para tubos de alea-ciones de aluminio muestran mejor acuerdo cuando la tensión cizallan-te equivalente Ttq, definida más abajo , se representa como función de

' A . NADAI: / , Appl. Phys., vol, 8, pág, 205, 1937. C . D R U C K E R : / . Appl, Mtch., vol. 1 6 , pdgi. 349-57, 1 9 4 9 .

representar en función de 7 « , :

Tco. ~ roct L 3-38]

donde /2 y /3 son invariantes del desviador de tensiones. No parece haber justificación teórica o experimental para elegir parámetros inva-riantes de tensiones y deformaciones distintos a los que están más de acuerdo con los datos y conveniencia matemáticos.

3-8. Fundamentos de las t eo r í a s de la plasticidad.—El desarro-llo de una teoría generalizada sobre la plasticidad, con la misma am-plia posibilidad de aplicación que la teoría de la elasticidad, no ha progresado rápidamente a causa de la complejidad del problema. La dificultad inherente al desarrollo de una descripción matemática Sen-cilla de la plasticidad se encuentra en el hecho de que la deformación plástica es esencialmente un proceso irreversible. Mientras que la de-formación elástica depende solamente de los estados de tensión o deformación iniciales y finales y, por tanto, los resultados son inde-pendientes de la historia de la carga, la deformación plástica total de-pende no solamente de la carga final, sino también de la forma de variación recorrida. Por consiguiente, el aumento de la deformación plástica está determinado por el tipo de ciclo de carga. El valor final de una componente de deformación plástica viene dado por la integral de los incrementos de dicha componente a lo largo de la historia de carga que ha experimentado el material.

La carga proporcional es una condición particular que simplifica el análisis. En cargas proporcionales, los componentes de tensión aumentan en una relación constante,

En este tipo de carga, se pueden expresar las deformaciones en función del estado de tensión final, ya que este especifica la historia de la tensión.

Las teorías matemáticas de la plasticidad se pueden dividir en dos tipos generales. Las teorías de deformación relacionan las tensiones con las deformaciones, mientras que las teorías de flujo relacionan las tensiones con la velocidad de deformación. Las teorías de deforma-ción utilizan un método de promediar sobre toda la historia de la deformación y relacionan la deformación plástica total con la tensión final. Este tipo de teoría es válido cuando el material está sometido a carga proporcional, pero generalmente no se considera seguro 1 cuando

1 B. Budiansky afirma que las teorías de deformación en la plasticidad de« berían ser válidas para procesos de carga diferentes a la carga proporeiOMli /. Appl. Mech., vol. 26, núm. 2, pdgs. 259-64, 1959.

c/cr i d<Ji do~i [3-391

O-, cr 2 cr3

varía la dirección de carga durante el ensayo. Las teorías de f lujo con-sideran una sucesión de incrementos de distorsión infinitesimales en los que la tensión ins tantánea está relacionada con el incremento de la velocidad de deformación. Debido a que la teoría de f lujo considera la deformación instantánea, es conveniente para describir las defor-maciones plásticas grandes.

Existe cierto número de h ipótesis generales que son comunes a to-das las teorías de la plasticidad. Se considera que el metal es continuo e isótropo. Se supone que los ejes principales de la tensión y deforma-ción plásticas coinciden siempre. Los efectos del t iempo se desprecian normalmente , de forma que los materiales viscoelásticos se excluyen de las teorías que se presentan en este capítulo. Para los valores de tensión que se encuentran usualmente , una hipótesis convenienie es considerar que el volumen permanece constante. Esto conduce también a la útil relación que establece que la suma de las deformacione . rea-les principales es igual a c e ro :

€i + €i + e . s -0

La invariabil idad de volumen requiere también que la relación de Poisson aumente desde su valor elástico hasta un valor de 0,r) para el es tado plástico. Exper imentos realizados demuest ran que la rei ición de Poisson aumenta con la deformación plástica progresiva hasta este valor l ímite, pero f recuen temente se estable la hipótesis incorrecta de que ^ = 0,5 para todos los valores de la deformación plástica.

Desgraciadamente , no existe una relación sencilla entre tensiones y deformaciones en la zona plástica como la que hay en la deforma-ción elástica. U n a simplificación evidente es suponer que el f lujo plás-tico prosigue ba jo un valor cons tan te de la tensión de fluencia (límite elástico), es to es, que no hay endurec imiento por deformación. La teo-ría plástica basada en el compor tamien to plástico ideal, ha experimen-tado un desarrollo mayor que las teorías que consideran el endureci-miento por deformación del metal . Un mé todo para tener en cuenta el endurecimiento por deformación consiste en utilizar los datos expe-rimentales representándolos como funciones invariantes tensión-defor-mación. En los análisis de operaciones de conformación en las que intervienen grandes deformaciones plásticas, es práctica común intro-ducir el endurecimiento por deformación uti l izando un valor medio del l ímite elástico.

E l desarrol lo de m u c h a s teor ías sobre la plasticidad está basado en la premisa de que el desviador de tensiones es proporcional al incre-m e n t o de la deformación. Ello equivale a decir que los parámetros de la tensión y deformación de Lode son iguales, p. = v. Aunque experi-men ta lmen te se ha demos t r ado la existencia de desviaciones de la re-lación de Lode, parece ser que la proporcionalidad entre el desviador de tensiones y el inc remento de la deformación es una aproximación razonablemente buena. .

Para conseguir una simplificación adicional A f j pone frecuentemente que el cuerpo actúa como Un rígido. Partiendo de esta hipótesis, • se desprecia toda deformad* tica y la deformación total se considera completamente plástica. Esta hipótesis es adecuada cuando la deformación plástica es grande, por-que las deformaciones elásticas son comparativamente despreciables. Sin embargo, en muchos problemas, el cuerpo se deforma poco por encima del límite elástico, de manera que las deformaciones elásticas y plásticas son de magnitud comparable. En este caso, es preciso con-siderar las deformaciones elásticas en los análisis. La deformación es, entonces, la suma de la deformación elástica y de la plást ica:

[3-40]

Sin embargo, a causa de la hipótesis de la invariabilidad de volumen, la componente plástica de la componente hidrostática de deformación ha de ser igual a cero:

Por consiguiente, el desviador de la deformación plástica es igual a la deformación plástica:

c p - c '' €i — e i [3-4i ;

3-9. T e o r í a s de f luenc ia . Material plástico ideal rígido.—Tra-bajos realizados por St. Venant, Levy y Von Mises han dado como resultado una teoría de fluencia para un material plástico idealmente rígido, basada en la proporcionalidad entre el desviador de tensiones y la velocidad de deformación. Más adelante se dan las ecuaciones de Levy-Von Mises para un sistema general de coordenadas. X es una constante de proporcionalidad y cr„, es la componente hidrostática de la tensión. Obsérvese que un punto sobre el símbolo que representa la deformación indica derivada de la deformación respecto al t iempo, esto es, la velocidad de deformación,

crx — crm — crx' = 2kéx rxy = \yxy

cr/ = 2\éy Tn = kyyt [3-42] <r/ = 2 \ é ; T„ = K yxl

En términos de las tensiones principales, las ecuaciones de Levy-Von Mises se pueden escribir

or,' = 2A¿i cr2' = 2Àé2 o y = 2À£3 [3-43 j

Estas ecuaciones son similares a las de viscosidad para un fluido incompresible. La diferencia importante es que, en el caso de los flui-

dOi, l a constante de proporcionalidad A es una verdadera constante del ma te r i a l : el coeficiente de viscosidad. En el caso de un cuerpo plástico, el valor de X depende de los valores de la tensión y do la deformación, k se puede valorar cuando se establece el criterio de fluencia.

El cri terio de Von Mises está dado por

Ji = k2

o bien 2cr 2

2 / 2 = ( O Y ) 3 + Í O - . V + ( o 7 ) - ' = ~ ~ [3 (41

Sust i tuyendo las Ees. [3-43] en la [3-44], tenemos

+ + 13 15] 6

La cant idad éii + é22 + é¡2 es un invariante de la velocidad de deforma

ción. Sust i tuyendo la Ec. [3-45] en las Ees. [3-43], tenemos

v /_2 cr0¿i

Para a{ y cr¡ se obtienen ecuaciones análogas. Las Ees. [3-43] se pueden escribir :

o 6 X w 20"1 - 02 - O3 = — d£i dt

lor2 - o~i - o"3 = de2 [3-4 7] dt

2cr¡ - <r, - cr2 = — de, dt

y el iminando 6 \ / d t en estas ecuaciones resul ta :

2^-0-2-0-3 de¡ 2 cr2 -03-01 de2

2cr¡ -02 - 03 de 1 [3-48]

2o3 — o -] — o 2 de¡

Las dos ecuaciones anteriores, más la relación de invariabilidad de volumen e¡ + e2 + e3 = 0, const i tuye un sistema de ecuaciones diferen-ciales que deben ser integradas a lo largo del recorrido part icular de tensión o deformación para la resolución de un problema concreto.

Material elástico-plástico.—Los t rabajos de Prandtl y Reuss se han encaminado principalmente a extender las ecuaciones de Levy-Von Mi-ses para tener en cuenta tanto las deformaciones elásticas como las plásticas. Al discutir esta teoría es necesario diferenciar en t re la de-formación elástica, eE, y la deformación plástica, €p. Suponiendo que la velocidad de variación de la deformación plástica es proporcional al desviador de tensiones, tenemos

2Ge,p ' = Xcr1' 2 Ge2p ' = Xo-2' 2G¿3'" = Xcr3' [3-49]

La derivada respecto al t iempo de la ley de Hooke, expresada en tér-minos de los desviadores de tensiones y deformaciones (Ec. [2-50]) , proporciona las correspondientes ecuaciones para la deformación elás-tica :

2 G é 1C ' - - = Ó Y 2Gé¡E' = &2 2Cí3

t" = Ó-3 ' [ 3 - 5 0 ]

Combinando las Ees. [3-49] y [3-50] tenemos las expresiones para la derivada respecto al t iempo de la deformación total:

2Gi{ = &,' + XCTI' 2 G E / = ó-2' + AoV 2Ge3' = &}' + Xcr3' [3-51]

Si suponemos que se aplica el criterio de fluencia de Von Mises y que no hay ningún endurecimiento por deformación,

/ 2 = o De la Ec. [3-44],

A = o-1'(o-1')2 + (r2 '(o-2 ')2 + o-3'(o-3')2 = 0 [3-52]

Esta expresión se puede utilizar para eliminar la constante de pro-porcionalidad X en la Ec. [3-51]. Sin embargo, para simplificar, se introduce 1 la cant idad Ú0'. Esta cant idad es la velocidad de variación de la energía de deformación correspondiente a la distorsión, en opo-sición a la energía de deformación requer ida para variar el vo lumen :

Úo =o-i'éi +cr2'é2'+ crj€}' [3-53]

Util izando las Ees. [3-52] y [3-53] y el cr i ter io de fluencia ¡2=k2, es posible obtener la relación

2GÚÓ = 2kk} [3-54]

Las relaciones tensión-deformación de las ecuaciones de Reuss se ob-1 Esta deducción sigue el método dado por PRAGER y HODGE, op. cit,,

págs. 27-29.

lELEMl IS DE I TEORL lE LA •»STiCld [ C A I

tienei. sust i tuyendo la £c . [ 3 o 4 ] en la [3-52] y resolviéndolas para la velocidad de carga:

3 i/o' •crf * ' ' - J C ( i ' - S - ' )

• / i / ^ i • ' ^ i/o cr2 = 2G( e2 - ^ c r 2

cr3' = 2G ( e3' - a{ 2 (Ta

L 3-55 j

Estas ecuaciones proporcionan la velocidad de variación del desviador de tensiones, siempre que h = kz y Ú0' > 0. Para obtener la velocidad de variación de la tensión es preciso recordar que <r, = <r¡' + &". De la Ec. [2-51]

c r " = 3*e e" [3-56]

Cuando la tensión se encuentra en la región elástica, o en la descarga en la plástica, no son aplicables las Ees. [3-55]. Las ecuaciones ade-cuadas son las de la elasticidad, tales como la [2-501.

3-10. T e o r í a s de la d e f o r m a c i ó n Hencky ha propuesto que para pequeñas deformaciones el desviador de tensiones puede consi-derarse proporcional al desviador de deformac iones :

a = 2 G fe 3-5;

En la Ec. [3-57] se desprecian las deformaciones elásticas. G,. es un módulo de cizallamiento plástico que varía en función de los valores de tensión y deformación. A causa de la hipótesis de la invariabilidad de volumen e " = 0 y e' = e. Por tanto, la Ec. [3-57] se puede desarro-llar en términos de las tensiones y deformaciones principales para dar

2<T| - c r 2 - 0 - 3 1 ti

6Gp 3 Cp 2 (Ti -O"! -0-3 1

6 G,, 3 Gp L 2cr3 -o-¡- -(Tí 1

fc3 6 G , 3GP

cr¡-~ (0-2 + 0-.,)

(Ti - y (cr¡ + cr})

0 V (cti + rr2)

J _ EP

L E~P J _

EP

o-, - -1

O": n , »

0~2

0-3-

• - j (<r¡ 4 fr;)

1 , • -I- (O"! + <J;)

3 - 5 8 ]

Es evidente la analogía entre el segundo miembro de las Ees. 1-3-58] y las ecuaciones de la elast icidad que expresan la deformación en términos de las tensiones pr incipales (Ees. [2-23]) . En el caso plásti-co, la relación de Poisson se ha t o m a d o igual a f Ep se puede con si-

derar como un módulo plástico que es realmente una variable depen* diente de la tensión y de la deformación. En la figura 3-6 se muestra la determinación del valor de Ep a partir de una curva invariante ten-sión-deformación :

deformación «fcctlvc

Frc. 3-6.—Definición de E„.

Nadai 1 ha desarrollado relaciones similares a las Ees. [3-58] ba-sadas en la igualdad de los parámetros de tensiones y deformaciones de Lode. El hecho de que p. = v conduce a la conclusión de que las relaciones entre las tensiones y defor-maciones cizallantes principales son iguales, y a partir de estas tres re-laciones se pueden deducir las co-rrespondientes ecuaciones. Por esta razón, las relaciones como las ecua-ciones [3-58] se denominan frecuen-temente ecuaciones de Nadai.

En una teoría de deformación, co-mo la propuesta por las ecuacio-nes de Hencky y Nadai, la defor-mación plástica total es proporcional al desviador de tensiones, mientras en una teoría de flujo, como la que propone las ecuaciones de Reuss, los incrementos de la deforma-ción plástica son proporcionales al desviador de tensiones. La teoría de Hencky proporciona resultados que están de acuerdo con la teoría de flujo, siempre que los ejes principales de la tensión y de la defor-mación se conserven en coincidencia durante el proceso de deforma-ción, y con tal de que se mantenga una carga proporcional. La teoría de Hencky no es satisfactoria para grandes deformaciones, pero se utiliza frecuentemente para pequeñas deformaciones plásticas debido a que ofrece cierta comodidad matemática.

3-11. Fluencia plástica en dos dimensiones. Deformación pla-na—En muchos problemas prácticos, como la laminación y la embu-tición, se puede considerar que todos los desplazamientos están limi-tados al plano xy, de forma que, en el análisis, se pueden despreciar las deformaciones en la dirección z. Esto se conoce como un estado de deformación plana. Cuando en un problema es difícil obtener una solución tridimensional exacta, se puede conseguir una buena indica-ción de la deformación y de las fuerzas requeridas, considerando el problema análogo de deformación plana.

' A . NADAr: "Plasticity", págs. 77-79, McGraw-Hill Book Nueva York, 1931.

Puesto que un material plástico t iende a deformarse en todas las direcciones, para crear un es tado de deformación plana es preciso im-pedir el f lujo en una dirección. Es to se puede conseguir por medio de una barrera lubricada exter iormente , p. ej., la pared de una matriz (Fig. 3 - 7 a ) . También puede conseguirse a par t i r de situaciones en las que solo par te del material está de fo rmado y el material rígido si tuado fuera de la zona plástica impide la extensión de la deformación (figu-ra 3-7 b).

Aun cuando la deformación en una de las direcciones principales

n punzón

metal plástico

/ ' , " 0

W77m777/'. matriz y inuiiu

V'/////////'//,'. Y//////,///''

/ 0

p u n z ó n X

rígido « * rígido

' / / / / / / A V / / / / / S

(al (¿>

FIG. 3-7 .—Métodos para producir impedimento p lás t ico .

es igual a cero para la deformación plana, de esto no se desprende que exista una tensión cero en esta dirección. Se puede d e m o s t r a r 1 que para la deformación plana crz= (o-x + o-y)/2 o <r} = (o-t + o-,) /2. Si se sus-tituye este valor en la expresión para el cri terio de fluencia de Von Mises, el criterio de fluencia para la deformación plana se transfor-ma en

2 (Ti - (Ti': <: I. ' .IO: [3-601

El criterio de fluencia de la tensión cizallante máxima se puede ex-presar por o"!-or3 = cro = 2A:. Sin embargo, con el estado de deformación plana que define el valor de o-3> la tensión principal mínima será rr2 y el criterio de tensión cizallante se debería escribir

cri-cr1 = o-c, = 2k [ 3 - 6 1 1

En la Ec. [3-61] k es el l ímite elástico en cizal lamiento puro. Sin embargo, basándonos en el cr i ter io de fluencia de Von Mises, la rela-ción entre el. límite elástico en t racción y el l ímite elástico en cizalla-

'HOFFMAN, O.. y G. SACHS: " I n t r o d u c t i o n to the T h e o r y of P las t i c i ty F™ En-gineers", pdg. 118, McGraw-Hill B o o k C o m p a n y , Inc. , N u e v a Y o r k , 1953.

PsEG, Pi TIO™ i i t e I M M

miento (Ec. [3-21]) está dado por cr0= v 'S t . Por Ec. [3-60] se transforma en o-,-cr2 = 2A:. De este de deformación plana, los dos criterios de fluencia y se puede considerar que la fluencia en dos dimensiones ocüir cuando la tensión cizallante alcance un valor crítico k. La Ec. [3-61] es igualmente válida cuando se escribe en términos del desviador de tensiones:

o"i'-o-2 ' = (To=2fc [3-62]

3-12. Teoría de los campos de deslizamiento.—Consideremos un elemento de volumen en deformación plana dentro de una zona plástica de un cuerpo. La figura 3-8 a representa el estado de tensión

y

cr, -cr +Á

(a)

Y£r2 = cr"- i

ib) le)

FIG. 3 -8 .—Estado b id imens iona l de tensiones en deformación plana.

bidimensional con respecto a coordenadas cartesianas arbitrarias. Es 1 posible determinar los planos principales de forma tal que las tensiones f cizallantes desaparezcan (Fig. 3-8 b). Las tensiones principales son sim-

plemente funciones de la componente esférica de la tensión cr" y de la tensión cizallante k. Esta última es constante a lo largo de toda la zona plástica si se desprecia el endurecimiento por deformación, pero cr" varía de un punto a otro. La tensión cizallante máxima se repre-sentará en planos a 45° con respecto a la dirección de las tensiones principales. De este modo, la tensión cizallante crítica, k, se alcanza-

! rá primeramente sobre estos planos. Este estado se muestra en la fi-j gura 3-8 c, en la que se puede apreciar que la tensión cizallante máxi-I ma se presenta en dos direcciones ortogonales designadas por a y (3.

Estas líneas de tensión cizallante máxima se denominan líneas de i deslizamiento. Las líneas de deslizamiento tienen la propiedad de que | la deformación cizallante es máxima y la deformación lineal tangente | a su dirección es cero. Sin embargo, se debe prestar cuidadosa aten-¡ ción al hecho de que las líneas de deslizamiento a que nos acabamos

d« rtferir no ion l i s líneas o bandas de deslizamiento observadas con el microscopio sobre la superficie de los metales deformados plásti-camente. Este último tipo de líneas de deslizamiento se discute más extensamente en el próximo capítulo.

Comparando los estados de tensión b) y c) de la figura 3-8, se observa que las tensiones principales tienen una dirección de 45" con respecto a las líneas de desl izamiento. Se pueden determinar los va-lores de las tensiones principales si se conoce cr", puesto que

ct\ — cr" + k a2 = cr" - k

[3-63]

Si cr" es constante en toda la zona, las líneas de deslizamiento son rectas.

Sin embargo, si las líneas de deslizamiento se curvan en un ángu-lo se cumplen las relaciones siguientes:

<r" + 2k(¡> = constante a lo largo de la línea a cr" — 2k(¡) = constan te a lo largo de la linca (•}

[3-64]

superficie libre

c r , ' - 2k

Puesto que no puede haber nin-guna fuerza tangencia! re al tante en una superficie libre, siv- líneas de deslizamiento deberán formar un ángulo de 45" con la super-ficie (Fig. 3-9). F.n las superfi-cies libres no existen tensiones normales resultantes, por tanto, ít\ =0 , y de las Ees. [3-631 tene-mos que cr" = -k. Por consiguien-te, cr,r=_2/c, y la tensión princi-pal transversal es de compresión con un valor de 2k.

Otro ejemplo del uso de las líneas de deslizamiento lo tenemos en la deformación de un metal plástico ideal por un punzón piano 1 . La fricción entre la cara del punzón y el metal se considera despre-ciable. La deformación plástica comienza pr imeramente en las esqui-nas del punzón, lo que da como resul tado un campo de líneas de des-lizamiento como el que se mues t ra en la figura 3-10. Consideremos el punto M. Puesto que está en una superficie libre, la tensión normal es cero y cr" = k. De acuerdo con las Ees. [3-64], la ecuación de esta línea de deslizamiento se puede escribir cr" + 2k<f)-k. El valor de a"

Fie. 3-9.—Campo de líneas de desli-zamiento en la superficie libre.

1 D. TABOR: "The Hardness of Metals", pags. 34-37, Oxford Universitv Press Nueva York, 1951.

no sufre variación hasta que se alcanza el punto N, ei de deslizamiento se desvía de la recta. De N a Q se desvfa hasta Un ángulo cuyo valor es (f¡ - - n/2, de forma que la ecuación en el pun-to Q es cr" -2k{v/2) = k. Como quiera que $ no experimenta más

i cr, =0

\M R

cr, =0

\M

Fie. 3-10.—Campo de líneas de deslizamiento producido por impresión de un punzón.

variación hasta alcanzar el punto R, la tensión principal normal a la superficie en R es

o bien

cr l s = cr" + k = ( k + 2k^- ) +k

c r 1 ; ( = 2 À : ( l + y )

11 0-2, = 2k —

Si seguimos una cualquiera de las otras líneas de deslizamiento, ten-dremos, del mismo modo, que la tensión normal es 2 fc ( l+ i r /2 ) . Por consiguiente, la presión es uniforme en toda la cara del punzón e igual a

c r , = 2 A : ( l - f y ) [3-65]

Puesto que k = a0/ v/I,

cr, = crmáx = — — ( 1 + — ) 3cr0 [3-66]

Entonces, la teoría nos dice que el flujo plástico, con la huella resul-tante, ocurrirá cuando la tensión a través de la cara del punzón sea igual a tres veces el límite elástico en tracción.

El ejemplo anterior es relativamente sencillo y representa una si-tuación excesivamente idealizada. Sin embargo, el método de los cam-pos de deslizamiento, a veces denominado método de la sección plás-tica de Hencky, es un artificio analítico importante para resolver pro-

blenus difíciles de plasticidad. Se ha utilizado en el análisis de pro-blemas tridimensionales, p. ej., en la fluencia de una probeta de trac-ción entallada1 y en la laminación en caliente de un " s lab" 2 . Prager 3

y Thomsen 4 han dado métodos generales para la construcción de cam-pos de líneas de deslizamiento. Sin embargo, no existe ningún método sencillo para comprobar la validez de una solución. La comprobación experimental parcial de los campos de lineas de deslizamiento se ha conseguido, para los aceros suaves, por medio de técnicas de ataque ;

que delinean las zonas deformadas plásticamente.

B I B L I O G R A F I A

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PARTE SEGUNDA

FUNDAMENTOS METALURGICOS

CAPITULO 4

DEFORMACION PLASTICA DE MONOCRISTALES

4-1. Introducción.—Los tres capítulos anteriores han tratado de la descripción fenomenológica del comportamiento elástico y plástico de los metales. En ellos se ha demostrado que las teorías matemáticas formales desarrolladas para describir el comportamiento mecánico de los metales están basadas en las hipótesis simplificadas de que los me-tales son homogéneos e isótropos. Que esto no es cierto resulta evi-dente para cualquiera que haya examinado la estructura de los metales con el microscopio. Sin embargo, estas teorías son perfectamente ade-cuadas para el diseño en el caso de metales de grano fino sometidos a cargas estáticas dentro de la zona elástica. En la zona plástica, las teorías describen el comportamiento observado, aunque no con la pre-cisión necesaria en algunos casos. En condiciones de carga dinámica y de choque, nos vemos forzados, en general, a confiar principalmente en datos obtenidos experlmentalmente. Como la hipótesis de que es-tamos tratando con un medio isótropo y homogéneo se hace cada vez menos sostenible, disminuye nuestra capacidad para predecir, por me-dio de las teorías de la plasticidad y de la elasticidad, el comporta-miento de los metales sometidos a tensiones.

Siguiendo al descubrimiento, realizado por Von Laue en 1912, de la difracción de rayos X por cristales metálicos y a la comprobación de que los metales están fundamentalmente compuestos de átomos dis-puestos en redes geométricas específicas, ha habido un gran número de investigaciones relativas a las relaciones entre la estructura atómi-ca y el comportamiento plástico de los metales. Gran parte del trabajo fundamental sobre la deformación plástica se ha realizado con mues-tras de monocristales, de manera que se eliminasen los efectos de los límites de grano y las restricciones impuestas por los granos vecinos y las partículas de una segunda fase. Existen diferentes fuentes biblio-gráficas en las que se describen técnicas para la preparación de mo-nocristales 2' 3.

En este capítulo se estudian los mecanismos básicos de la defor-mación plástica en los monocristales. Este tema se amplía en el capí-tulo siguiente, donde se considera la deformación plástica en muestras

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Press, Inc., Nueva York, 1958.

85

. Efiitatlnai. 8« p n i t i r i a tención principal i la d e t e r m i e l é n en tracción. El comportamiento fundamental de la deformación en la fluencia lenta ("crcep") y en la fatiga se estudian en capítulos dedi-cados especialmente a estos temas. La teoría de las dislocaciones, que desempeña un papel tan impor tan te en los conceptos actuales de la deformación plástica, se in t roduci rá en este capí tulo con la ampli tud necesaria para que proporcione una comprensión cuali tat iva de los conceptos modernos de- la deformación plástica. En el capítulo 6 se trata con más detalle la teoría de las dislocaciones. A este seguirá un capítulo relativo a los aspectos fundamenta les de la f ractura y otro sobre la fracción interna y los efectos anelásticos.

4-2. Conceptos de g e o m e t r í a de los cristales.—Los análisis de la difracción de rayos X mues t r an que los á tomos en un cristal de un metal están dispuestos en un pa t rón t r idimensional regular y repetido. El procedimiento más sencillo pa ra representar la ordenación atómica de los metales es el que proporc ionan las redes cristalinas, con las que se obtiene una imagen menta l de los á tomos como si fueran esferas duras si tuadas en posiciones de te rminadas de una ordenación geo-métrica.

La es t ructura cristalina más elemental es la red cúbica si i pie (Fig. 4-1). Se t rata del t ipo de célula unidad que se encuentra orí los

cristales iónicos, p. ej., en el NaCl y LiF, pero no se encuentra en nin-guno de los metales. A través de uno de los vért ices de la célula se trazan tres ejes perpendiculares entre sí. Los planos y direcciones crista-lográficas se especificarán con res-pecto a estos ejes ut i l izando los ín-dices de Miller. Un plano cristalo-gráfico se especifica cu función de la longitud de sus intersecciones so-bre los tres ejes, medida a partir del origen de los ejes de coordena-das. Para simplificar las fórmulas cris talográficas se utilizan los inver-

sos de estas intersecciones, que se reducen a un mínimo común de-nominador para obtener los índices de Miller (hkl) del plano. Así, p. ej., el plano ABCD de la f igura 4-1 es para le lo a los ejes x y z y co r t a al y a una dis tancia in tera tómica a.:. Por consiguiente, los índices del plano son 1 / c c , 1/1, l / c c , o (/ jW) = (010). El plano EBCF podr ía designarse c o m o el p lano (100), pues to que el origen del sistema de coordenadas puede desplazarse hasta G, debido a que todos los puntos de u n a red espacial t ienen la misma orde-nación de puntos que cualquier o t ro punto. El trazo sobre uno de

Estructura cúbica simple.

de ejes. Se utiliza la notación {100} cuando se consideran como grupo o familia de planos.

Las direcciones cristalográficas se indican por enteros encerrados en corchetes: [uvw], Los inversos no se utilizan al determinar direc-ciones. Por ejemplo, la dirección de la línea FD se obtiene desplazán-dose a partir del origen una distancia ao a lo largo del eje x y una distancia igual en el sentido positivo del eje y. Entonces los índices de esta dirección son [110]. Una familia de direcciones cristalográfica-mente equivalentes se designa por <uvw>. Para las redes cúbicas una dirección es siempre perpendicu-lar al plano que tiene los mismos índices.

La mayor parte de los metales comunes tienen una e s t r u c t u r a cristalina que puede ser cúbica centrada (cc) o cúbica de caras centradas (ccc). La figura 4-2 a muestra una célula unidad cúbi-ca centrada, con un átomo en ca-da uno de los vértices y otro en el centro del cubo. Los átomos de cada vértice están rodeados por ocho átomos adyacentes, co-mo ocurre con el átomo central de la célula. Por tanto, hay dos átomos por célula unidad en la es-tructura cúbica centrada (8 .'8 + 1). Los metales típicos que tienen esta estructura cristalina son: el hie-rro alfa, el niobio, el tantalio, el cromo, el molibdeno y el volfra-mio. La figura 4-2 b muestra la célula unidad de una estructura cristalina cúbica de caras centra-das. Además de un átomo en ca-da vértice, hay un átomo en el centro de cada una de las ca-ras del cubo. Puesto que estos últimos á tomos pertenecen a dos células unidad, existen cuatro áto-mos por célula unidad en la es-tructura cúbica de caras centra-

FIG. 4 -2 .—a) Estructura cúbica centra-da; b) estructura cúbica de caras cen-

tradas.

1 + 6 /2 ) , El a luminio, el cobre, el oro, el plomo, la plata y el níquel ton metales comunes cúbicos de caras centradas.

La tercera estructura cristalina metálica frecuente es la hexagonal compacta (he) (Fig. 4-3), A fin de especificar planos y direcciones en la estructura he, es conveniente utilizar el sistema Miller-Bravois con cuat ro índices del t ipo (hki l ) . Estos índices se refieren a cuatro ejes;

los ejes a¡, a2, están separados 120° en el plano base y el eje ver-tical c es normal al plano base En la figura 4-3 se muestran es-tos ejes y planos típicos en la es-tructura he. El tercer índice está relacionado con los dos primeros por la relación - (h i -k ) .

plano de base (0001) -ABCDEF plano de prisma (lOTO) - FEJH p l a n o s de pirámide

tipo I, orden 1(10T1) - OHJ tipo I , orden 2(1012) - KJH tipo H , o r d e n 1 (1121) - GHL t i p o H , o r d e n 2(1122) - KHL

eje diagonal [1120] - FGC

FIG. 4-3.—Estructura hexagonal com-pacta.

•ic. 4 -4 .—Api lamien to comp.u esferas.

La estructura cúbica de caras centradas y la hexagonal compacta pueden construirse a par t i r de apilamientos de planos compactos de esferas. La figura 4-4 mues t ra las dos formas dist intas de apilar las esferas. La primera capa de esferas está dispuesta de tal manera que cada esfera se halle rodeada y toca a otras seis. En la figura se repre-sen ta por círculos de t razos continuos. Sobre esta primera se puede colocar una segunda capa compacta de esferas, de forma que los cen-t r o s de los átomos del segundo plano cubran la mitad de las hondo-n a d a s de la capa inferior (círculos de trazo in te r rumpido en la figu-ra 4 -4 ) . Existen dos fo rmas de añadir esferas para obtener un tercer p lano compacto. Aunque las esferas de la tercera capa deben coincidir

con las hondonadas del segundo plano, pueden i l tua r i e o las hondonadas sin cubrir del primer plano (los puntos de la Flg. 4*4) o d i rectamente sobre los á tomos de dicho plano (las cruces de la Fig. 4-4). La primera posibilidad da como resultado una secuencia de apilamiento ABCABC..., que se halla en los planos {111} de las es-tructuras ccc. La otra posibilidad da una secuencia ABAB..., que se halla en los planos (0001) de las es t ructuras he. Para el empaqueta-miento he ideal, la relación c/a es \ / 8 / 3 o 1,633. La tabla 4 :1 mues-tra que los metales he reales se desvían de la relación ideal c/a.

T A B L A 4 - 1

Relaciones axiales de algunos metales hexagonales

Meta! c/a Be 1,568 Ti 1,587 Mg 1.623 He ideal 1,633 Zn 1,856 Cd 1.886

Las estructuras ccc y he son ambas densas. En estas estructuras el 74% del volumen de la célula unidad está ocupado por átomos en un modelo de esferas duras. Esto contrasta con el 68% de compacidad para la célula unidad ccc y el 52% del volumen ocupado por átomos en la célula unidad cúbica simple. La deformación plástica está ge-/ neralmente confinada a planos de índices bajos, que tienen una mayor | densidad de á tomos por unidad de área que los planos de índices altos. La tabla 4-2 relaciona la densidad atómica por unidad de área de los.

TABLA 4-2

Densidad atómica de planos de índices bajos

Estructura cr ista l ina Plano Densidad atómica,

átomos por área unidad

Distancia entre planos

Cúbica de caras centradas. Octaédrico {111} 4 /<J ( i 2

Cúbico {100} 2/ao2 flo/2 Dodecaédrico {110} 2 / , / W <Jo/2 Jl

Cúbica centrada Dodecaédrico {110} 2/¿2a¿ a j / 2 Cúbico {100} l / V flo/2 Octaédrico {111} W 3 a«2 flo/2 V3

Hexagonal compacta Basal {0001} 1/3 */l an2 c

unei. Obsérvese que, en las estructuras IROS de mayor dens idad atómica son t a m b i é n 1 <\s m á s

limen te separados.

4-3. Defec tos ret iculares .—Los cristales reales se desvian, en cierto número de formas impor tan tes , de la periodicidad perfecta que se estableció como hipótesis en la sección anterior . Aun cuando el concepto de red perfecta es adecuado para explicar en los metales las propiedades insensibles a la estructura, para una mejor comprensión de las propiedades sensibles a la estructura ha sido preciso considerar cierto número de tipos de defec tos reticulares. Entonces, la descrip-ción de las propiedades sensibles a la es t ructura se reduce, en gran parte, a describir el compor tamien to de estos defectos.

Insensibles a la estructura

Cons tan tes elásticas P u n t o de fusión Densidad Calor específico Coefic iente de dilatación té rmica

Sensibles a la estructura

Conduc t iv idad eléctrica Propiedades de los semiconduci íes Límite elástico Resistencia a la ro tura Resistencia al "c reep"

Como sugiere la breve tabulación anterior, prác t icamente todas las propiedades mecánicas son sensibles a la es t ructura . Desde la compro-bación de este hecho, en época re la t ivamente reciente, se han conse-guido avances ex t raord inar iamente impor tantes en la comprensión del compor tamiento mecánico de los materiales.

El t é rmino defecto o imperfección se utiliza generalmente para des-cribir cualquier desviación de una disposición ordenada de puntos re-ticulares. Cuando la desviación de la disposición periódica de la red está localizada en la proximidad de unos pocos á tomos solamente, se denomina defecto o imperfección de punto. Sin embargo, si el defecto se ext iende a través de zonas del cristal, se denomina imperfección reticular. Las imperfecciones re t iculares se pueden dividir en defectos de línea y defectos de superficie o de plano. Los defectos de línea toman es te nombre po rque se ext ienden en fo rma de líneas o como una red bidimensional en el cristal . Las dislocaciones de cuña y las helicoidales, que se discuten en es ta sección, son los defectos de línea más comunes que sé encuen t ran en los metales. Los defectos de super-ficie son el resul tado del amontonamien to de defectos de línea en un plano. Los límites de ángulo pequeño y los l ímites de grano son defec-tos superficiales (véase Cap. 5) . El defecto de afilamiento entre dos regiones de empaquetamiento compac to de un cristal que tiene secuen-cias de apilamiento a l te rnadas (Sec. 4-10) es también un defecto su-perficial.

Defectos de punto.—La figura 4-5 ilustra t res tipos de defectos de

•TC, W J PISPECTOS MFRELLAKB» 9 1

punto. Existe una vacante o un lugar vacío en la r e d c u a n d o fal ta un átomo de una posición de dicha red (Fig. 4-5 a ) . En los meta les puros se crean por excitación té rmica pequeños números de vacantes y estas son termodinámicamente estables a tempera turas mayores que el cero absoluto. En equilibrio, la fracción de punios ret iculares que están vacíos a una tempera tura de te rminada está dada, aproximada-mente, por la ecuación

n —Es r = e x p — — [4-1]

N kT

en donde n es el número de pun tos vacantes de un total de N pun tos reticulares y Es es la energía requer ida para mover un á tomo desde el interior del cristal hasta su superficie. La tabla 4-3 demues t ra cómo la fracción de lugares de red vacíos en un metal aumen ta a gran ve-locidad con la temperatura . Al enfr iar rápidamente desde una tempe-

0 o o O o o o o o 0 o o o

o o o o o o o o o 0 o o o

0 o o 0 o o o o • 0 0 o o o 0 o o o o o o o o o o 0

la) ; ¿) le)

FIG. 4 -5 .—Defec tos de pun to , a) V a c a n t e ; b) á tomo intersticial; c) á t o m o de impureza.

ratura próxima al punto de fusión, es posible retener un n ú m e r o de vacantes, a la temperatura ambiente , mayor que el necesario para el equilibrio. Se pueden producir concentraciones de vacantes mayores que las necesarias para el equilibrio, mediante deformaciones plást icas grandes ( t raba jo en frío) o como resu l tado del bombardeo con par-tículas nucleares de energía elevada. Cuando la densidad de vacantes es relat ivamente grande, es posibe que se aglomeren has ta fo rmar huecos.

T A B L A 4-3

Vacantes de equilibrio en un metal F r a c c i ó n aproximada

Temperatura , 'C d e ' "erares ret iculares ^ vacantes

1 x lO' 1 0

1 x 10~5

5 x 10"4

3x10-3 £ s » 1 ev

500 1000 1500 2000

1 "Vacancies and Other Point Defec t s" , Institute of Metals, Londres, 1958

Un átomo que está atrapado en el interior de un cristal en un punto intermedio entre posiciones normales de la red se denomina átomo in-tersticial (Fig. 4-5 b). Los defectos intersticiales en los metales puros ocurren como resultado del bombardeo con par t ículas nucleares de energía elevada (deterioro o empecimiento por radiación) , pero, fre cuentemente, no se producen por activación térmica.

La presencia de un átomo de una impureza en una posición reticu-lar (Fig. 4-5 c) o en una posición intersticial, produce una perturba-ción local de la periodicidad de la red, al igual que ocurre para las vacantes y á tomos intersticiales.

Defectos de línea. Dislocaciones. F.1 defecto bidimensional o lineal más impor tan te es la dislocación. La dislocación es el defecto respon-sable del fenómeno de deslizamiento, por medio del cual se deforman plást icamente la mayoría de los metales. Por consiguiente, una forma de imaginar las dislocaciones consiste en considerar que son zonas de per turbación reticular localizada, que separan las áreas deslizadas de un cristal de las que no han sufr ido deslizamiento. En la figura 4-6,

AB representa una dislocación situada en el plano de deslizamiento, que es e! del papel. Se supone que el deslizamiento está avanzando hacia la derecha, 'l odos los á tomos si tuados por encima del áiea C se han desplazado una distancia atómi-ca en la dirección de desl izamiento: los á tomos de por encima de D no se han deslizado todavía. AB es, por tanto, el límite entre las zonas desplazadas v las que no han experimentado deslizamien-to. En la figura, este límite se muestra sombreado para indicar que a algunas dis-tancias a tómicas a cada lado de la línea

de dislocación corresponde una zona de desorden atómico en la que la distancia de desl izamiento está entre cero y un espaciado atómico. Al desplazarse la dislocación, el deslizamiento ocurre en el área sobre la que se mueve. En ausencia de obstáculos, una disloca-ción puede desplazarse fáci lmente al aplicarse una fuerza pequeña ; lo que explica por qué los cristales reales se deforman mucho más fácilmente de lo que cabría esperar en cristales de red perfecta. Las dislocaciones son impor tan tes no sólo para explicar el desl izamiento de los cristales, sino que además están ín t imamente ligadas con casi todos los otros fenómenos mecánicos, tales como el endurecimiento por deformación, el l ímite elástico, la fluencia lenta, la fatiga y la f rac tura frágil.

Los dos tipos básicos de dislocaciones son la dislocación de cuña y la helicoidal. El t ipo más sencillo, que fue origir.almente sugerido por Orowan , Polanyi y Taylor, se denomina dislocación de cuña o de

FIG. 4 -6 .—Dis locac ión en un plano de deslizamiento.

Taylor-Orowan. La figura 4-7 muestra el desl izamiento que produce una dislocación de cuña en un elemento de un cristal que tenga una red cúbica simple. El deslizamiento se produce sobre el área ABCD en la dirección del vector de deslizamiento. El límite entre la parte derecha del cristal, deslizada, y la parte izquierda, aún sin deslizar, es la línea AD, la dislocación de cuña. Obsérvese que la zona del cristal situada encima del plano de deslizamiento ha sido desplazada, en la dirección de deslizamiento, con respecto a la zona situada debajo del mismo plano, en una cantidad que en la figura 4-7 se representa por el área sombreada. Todos los puntos que coincidían originalmente a

vector de deslizamiento

vector de deslizamiento

FIG. 4-7 .—Dislocación en cuña pro-ducida por desl izamiento en una red cúbica simple. La línea de dislocación AD es perpendicular a la dirección de deslizamiento. El deslizamiento se ha producido sobre la superficie ABCD. (W. T. READ, Jr.: Dislocations in Crys-tals, pág. 2, McGraw-Hill Book Com-

pany, Inc., Nueva York, 1953.)

FIG. 4-8 .—Ordenación atómica en un plano normal a una dislocación en cuña. (W. T. READ, Jr.: Dislocations in Crystals, pág. 3, McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York, 1953.1

través del plano de deslizamiento han sido desplazados, unos en re-lación con los otros, en esta misma cantidad. La cantidad de despla-zamiento es igual al vector de Burgers b de la dislocación. En una dislocación de cuña pura, como la que se muestra aquí, la magnitud del vector de Burgers es igual al espaciado atómico. Una característica que define a las dislocaciones de cuña es que sus vectores de Bur-gers son siempre perpendiculares a la línea de dislocación.

Aunque no se conoce la ordenación atómica exacta a lo largo de AD, generalmente se acepta que la figura 4-8 representa con mucha exactitud la disposición atómica en un plano normal a la dislocación de cuña AD. El plano del papel en esta figura corresponde al (100) de una red cúbica simple y es equivalente a cualquier plano paralelo a la cara frontal de la figura 4-7. Obsérvese que la red está distorsio-nada en la región de la dislocación. Sobre el plano de deslizamiento

hay una hilera vertical más de átomos que por debajo de él. El resul-tado de tal disposición atómica es una tensión de compresión por encima del plano de deslizamiento y una tensión de tracción por de-bajo. Una dislocación de cuña con un plano extra de átomos sobre el plano de deslizamiento, como en la figura 4-8, se denomina conven-cionalmente dislocación de cuña positiva y se representa con frecuencia con el símbolo J_. Si el plano .extra de átomos se encuentra debajo del plano de deslizamiento, se conoce con el nombre de dislocación en cuña negativa, T -

Una dislocación de cuña pura puede resbalar o deslizarse en una dirección perpendicular a su longitud. Sin embargo, se puede mover verticalmente por un proceso conocido como trepado, si la difusión de átomos o vacantes se produce a una velocidad apreciable. Considere-mos la figura 4-8. Para que la dislocación de cuña se mueva hacia arriba (dirección de trepado positiva), es preciso quitar el á tomo extra situado sobre el símbolo J_ o añadir una vacante a este punto. Por cada espacio atómico que ascienda la dislocación habría que eliminar un átomo del tipo descrito. Por el contrario, si la dislocación se mueve hacia abajo habría que añadir átomos. Se podrían eliminar átomos del

plano extra por la interacción del á tomo extra con una va-cante de la red. Para el trepado negativo, se pueden añadir áto-mos al plano extra por difusión de un á tomo desde el cristal circundante, creando una vacan-te. Puesto que el movimiento por t repado está controlado por difusión, es mucho más lento y menos probable que el desliza-miento, excepto a temperaturas elevadas.

El segundo tipo básico de dis-locación es el helicoidal o dislo-cación de Burgers. La figura 4-9 muestra un ejemplo sencillo de dislocación helicoidal. La parte superior del cristal, a la dere-cha de AD, se ha desplazado con relación a la parte infe-rior en la dirección del vector

de deslizamiento. A la izquierda de AD no se ha producido desliza-miento y, por tanto, AD es una línea de dislocación. La línea de dis-locación es paralela a su vector de Burgers, o vector de deslizamiento, y por definición debe ser una dislocación helicoidal. Consideremos el trazado de un circuito alrededor de una línea de dislocación sobre la

vector de deslizamiento

Fia. 4-9.—Deslizamiento que produce una dislocación helicoidal en una red cú-bica simple. La línea de dislocación A D es paralela a la dirección de deslizamien-to. El deslizamiento se ha producido so-bre la superficie ABCD. (W. T . READ, Jr.: Dislocations in Crystals, pág. 15, McGraw-Hill Book Company, Inc., Nue-

va York. 1953.)

cara frontal da un cristel. Comineando^ to, llegamos a X' , un plano atómico det rás dé! qua" completar este circuito hemos trazado el recorrido de un IwHeoMl a derechas. Cada vez que se completa un circuito alrededor de la línea

>—í i í — < > — t — <

<4—* > — < ¡ — ( i—f )—i m m m M Í vector d e

deslizamiento

B

FIG. 4-10.—Ordenación atómica alrededor de una dis locación helicoidal como la de la figura 4-9. El plano de la figura es paralelo al plano de deslizamiento. ABCD es el área deslizada y AD es la dis locación helicoidal. Los círculos blancos representan átomos del plano atómico que está justamente encima del de desl izamiento y los círculos negros al que está debajo. (W. T . READ, Jr.: Dislocations in Crystals, pág. 17, McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva

York , 1953.)

de dislocación, el punto final se desplaza un plano paralelo al de des-lizamiento de la red. Por consiguiente, los planos atómicos están dis-puestos alrededor de la dislocación en forma de escalera de caracol o helicoide.

En la figura 4-10 se muestra la disposición de átomos (en dos dimensiones) alrededor de una dislocación helicoidal en una red CÚ«

bica simple. En esta figura es tamos mirando hacia abajo sobre el plano de deslizamiento de la figura 4-9. Los círculos en blanco representan á tomos exactamente por encima del plano de deslizamiento y los círculos en negro son átomos justamente por deba jo de dicho plano. Una dislocación helicoidal no t iene un plano de desl izamiento prefe-rente, como ocurre con las dislocaciones de cuña y, por consiguiente, el movimiento de aquella está menos restringido que el de esta. Sin embargo, el movimiento por t repado no es posible para una disloca-ción helicoidal.

Por el momento , la discusión de las dislocaciones se limitará a los conceptos geométricos que se presentan en esta sección. Después de un estudio más completo de la deformación plástica de los monocris-tales y de las muest ras policristalinas, en el capí tulo 6 se volverá a t ratar deta l ladamente la teoría de las dislocaciones. Entre los temas que se t ra tan está el efecto de la es t ructura cristalina sobre la geome-tría de la dislocación, las pruebas experimentales de la existencia de las dislocaciones y la interacción entre ellas.

4-4 . D e f o r m a c i ó n por desl izamiento.—El modo usual de pro-ducirse la deformación plástica en los metales es por resbalamiento de bloques de cristal unos sobre ot ros a lo largo de planos cristalográ-ficos definidos l lamados planos de deslizamiento. Ut i l izando un ejem-plo muy grosero, el desl izamiento de un cristal se puede considerar análogo a la distorsión producida en una pila de naipes al empujarla desde un extremo. La figura 4-11 ilustra esta imagen clásica del des-lizamiento. En la figura 4-11 a se aplica una tensión cizallante a un cubo de metal con la superficie superior pulida. El deslizamiento ocu-rre cuando la tensión cizallante sobrepasa un valor crítico. Los álomos se deslizan un número entero de distancias atómicas a lo largo del plano de desl izamiento y se produce un escalón en la superficie pulida (Fig. 4-11 b). Cuando miramos desde arriba con un microscopio la su-perficie pulida, el escalón se muestra como una línea que denomina-remos línea de deslizamiento. Si se vuelve a pulir la superficie después de haberse producido el deslizamiento, de forma que se elimine el escalón, la línea de des l izamiento 'desaparecerá (Fig. 4-11 r i. Después de producirse el deslizamiento, los monocristales cont inuarán siéndolo, siempre que la deformación sea uniforme. Si se precisa observar las líneas de deslizamiento, conviene tener en cuenta que estas se deben a variaciones en elevación superficial, por lo que la superficie ha de estar convenientemente preparada para la observación microscópica antes de la deformación. La figura 4-12 muestra líneas rectas de desli-zamiento en el cobre.

Con ayuda del microscopio electrónico, ut i l izando grandes aumen-tos, se ha estudiado la es t ructura fina de las líneas de deslizamiento. Lo que apárece como una línea, o en las mejores circunstancias como una banda estrecha, al utilizar el microscopio ópt ico con aumentos de

1500 diámetros, se puede resolver en láminas de deslizamiento sepa-radas empleando el microscopio electrónico y 20 000 aumentos, según se muestra esquemáticamente en la figura 4-13. En el aluminio y el

superficie pulida - l inea de des l izamiento

• plano de deslizamiento

• • • • • •

(

(«) (£) (c) FIG. 4-11.—Esquema de las ideas clásicas sobre el deslizamiento.

• • • • • •

FIG. 4-12.—Líneas rectas de desl izamiento en el cobre. 500 aumentos. (Por cortesía de W. L. Phillips.)

cobre se encuentran muchas láminas de deslizamiento constituyendo una banda de deslizamiento, mientras que en el latón alfa sólo se observa una línea de deslizamiento aun con los mayores aumentos.

El deslizamiento tiene lugar más fácilmente en direcciones especí ficas sobre ciertos planos cristalográficos. Generalmente, el plano de deslizamiento es el de mayor densidad atómica (tabla 4-2) , y la di-B I E T E t l 7

receión de deslizamiento es la más compacta den t ro de dicho plano. Puesto que los planos de mayor densidad atómica son también los más ampliamente espaciados en la es t ructura cristalina, la resistencia al deslizamiento es generalmente menor en estos planos que en otros juegos de planos. Un plano y una dirección de desl izamiento consti-tuyen un sistema de deslizamiento.

En los metales hexagonales" compactos, el único plano con densi-dad atómica elevada es el basal (0001). Los ejes diagonales <1120) son las direcciones compactas . En el cinc, cadmio, magnesio y cobalto el deslizamiento se produce sobre el plano (0001) en las direcciones

FIG. 4-13.—Dibujo esquemático de la estructura fina de una banda Je deslizamiento, a) Deformación pequeña ; b) deformación grande.

( 1 1 2 0 ) P u e s t o que hay solo un plano basal por célula unidad \ tres direcciones <1120), la es t ruc tura he posee tres sistemas de desliza miento. El l imitado número de s is temas de desl izamiento es la razón por la que la ductil idad en los cristales he depende enormemente de la orientación.

'En la es t ructura cúbica de caras centradas, los planos octaédricos {111} y las direcciones (110) son sistemas compactos. Existen ocho planos {111} en la célula unidad ccc. Sin embargo, los planos en vér-tices opuestos del cubo son paralelos entre sí, de forma que solo hay cuatro juegos de planos octaédricos. Cada plano {111} contiene tres direcciones <110> (las inversas pueden despreciarse) . En total hay 12 sistemas de deslizamiento en la es t ructura ccc.\

La estructura cc no es compacta como las ccc y he. Por consi-guiente, no existe ningún plano de densidad atómica predominante, como el (111) en la es t ructura ccc y el (0001) en la he. Los planos {110} tienen una densidad atómica máxima en la es t ructura cc, pero:

en este sentido, no son muy superiores a o t ros planos diferentes. Sin embargo, en la es t ructura cc la dirección <1U> es tan compacta como las <110) y <1120) en las es t ruc turas ccc y he. Por tanto , los meta

distancia de -des l izamiento

, región entre / deslizamiento

espaciado de las laminillas

L, una linea de deslizamiento

(a)

' E l circonio y el titanio, que tienen relaciones c/a pequeñas, se deslizan principalmente sobre planos prismáticos y piramidales en la dirección (1120)

les cc obedecen a la regla general de que la dirección compacta es la de deslizamiento, pero difieren de la mayoría de los otros metales por no tener un plano de desl izamiento único definido. En los me-tales cc el desl izamiento ocurre en los planos {110}, {112} y {123}, mientras que la dirección de desl izamiento es siempre la <111>. Exis-ten 48 s is temas posibles de desl izamiento, pero, para que este se pro-duzca, se requieren normalmente tensiones cizallantes más elevadas, puesto que los planos no son tan compac tos como en la es t ruc tura ccc.

Se ha dedicado especial atención al estudio 1 del desl izamiento en el hierro alfa cc, llegándose a la conclusión de que el p lano de des-

FIG. 4-14.—Líneas o n d u l a d a s de desl izamiento en el hierro alia. (Por cortesía de J. J. Cox.)

ligamiento en dicha estructura puede ocupar cualquier posición en la zona [111]. Es t a posición está de te rminada por la orientación de los ejes de las tensiones con respecto a los ejes del cristal y por la varia-ción de las resistencias a la cizalladura de los planos de la zona de deslizamiento. Estos estudios han demos t rado que las desviaciones ob-servadas respecto a la ley de los planos de índice ba jo {110}, {112} y ' {123} son efectos reales, lo que apoya la creencia de que el desliza-miento en el hierro alfa no es cristalográfico. El hecho de que las líneas de deslizamiento en el hierro alfa sean onduladas 2 (Fig. 4-14) , es una prueba más de este hecho.

1 F . L . V O G E L y R . M . B R I C K : Trans. AIMS, v o l . 1 9 7 , p á g . 7 0 0 , 1 9 5 8 ; R. P . STEIJN y R . M . B R I C K : Trans. ASM, v o l . 4 6 , p á g s . 1 4 0 6 - 4 4 8 , 1 9 5 4 ; 1. J . C o x , G . T . H O R N E y R . F . M E H L : Trans. ASM, v o l . 4 9 , p á g s . 1 1 8 - 3 1 , 1 9 5 7 .

2 J . R . L o w y R . W . G U A R D : Acta Met., v o l . 7 , p á g s . 1 7 1 - 7 9 , 1 9 5 9 , h a n demostrado que en el hierro alfa las líneas curvas de desl izamiento se pro-

Ciertos metales presentan s is temas de desl izamiento adicionales al aumentar la temperatura. El a luminio se deforma, a t empera turas ele-vadas, en el plano {100}, mientras que en el magnesio el plano pira-midal {1011} tiene un papel importante en la deformación a tempe-ra turas superiores a los 225 °C. En cualquier caso, la dirección de

- ó

o o o o

o o o

U )

relación s inusoidal

desp lazamiento x •

Fin. 4-15.—a) Desp l azamien to de c iza l l amíen to de un p lano a tòmic i sob re o t r o ; b) var iac ión d e la t ens ión c izal lante con el d e s p l a / a m i e n t i

en la d i recc ión d e des l i zamien to .

deslizamiento sigue siendo la misma al variar, con la temperatura , el plano de deslizamiento.

4-5. Des l i zamiento en una red perfecta Si par t imos de la hi-pótesis de que el deslizamiento ocurre por traslación de un plano de á tomos sobre otro, es posible realizar un cálculo razonable 1 de la ten-sión cizallante requer ida para que se produzca un movimiento de tal naturaleza en una red perfecta. Consideremos dos planos de á tomos sometidos a una tensión cizallante homogénea (Fig. 4-15). Se supone que la tensión cizallante actúa en el p lano de desl izamiento a lo largo de la dirección de deslizamiento. Representemos por b la distancia interatómica en la dirección de desl izamiento y por a el espaciado en-tre planos reticulares adyacentes. La tensión cizallante causa un des-

ducen por componentes helicoidales del a n i l l o de d i s locac ión , p e r o las l íneas de deslizamiento son rectas cuando se o b s e r v a n n o r m a l m e n t e a la c o m p o n e n t e de cuña de la dislocación.

l J . FRENKEL: Z. Physik, vol. 37, pág. 572, 1926.

DIH^.IAMIKN.ü iw WWA m o riimetA

lizamiento X en la dirección de deslizamiento entre el par de planos reticulares adyacentes. La tensión de cizallamiento es inicialmente cero, cuando los dos planos coinciden, y es también cero cuando los dos planos se han desplazado una distancia de identidad b, de forma que el punto 1 del plano superior se encuentra sobre el punto 2 del inferior. La tensión cizallante es también cero cuando los átomos del plano superior quedan a media distancia entre los del plano inferior, ya que esta es una posición simétrica. Entre estas posiciones cada átomo es atraído hacia el más próximo de la otra hilera, de manera que la tensión cizallante es una función periódica del desplazamiento.

Como cálculo preliminar, la relación entre la tensión cizallante y el desplazamiento se puede expresar por una función senoidal

T = T„ sen • 27TX

[4-2]

en la que r m es la amplitud de la onda de senos y b el período. Con valores pequeños de desplazamiento se cumple la ley de Hooke :

r = Gy--Gx

[4-3]

Para pequeños valores de x/b, la Ec. [4-2] se puede escribir

27rx [4-4]

Combinando las Ees. [4-3] y [4-4J se obtiene una expresión de la tensión cizallante máxima a la que se debe producir el deslizamiento

T,N = " 2 7r a

[4-5]

Para un cálculo aproximado se pueden considerar b y a iguales, con lo que resulta que la resistencia teórica a la cizalladura de un cristal perfecto es aproximadamente igual al módulo de cizallamiento dividi-do por 277:

r [4-6]

El módulo de cizallamiento para los metales varía entre 103 a 104 Kg/mm 2 (10" a 1012 dinas/cm2) . Por consiguiente, la Ec. [4-6] predice que la tensión cizallante teórica estará dentro del intervalo 102 a 103 Kg/mm 2 , mientras que los valores reales de la tensión ciza* liante requerida para producir deformación plástica son de 10"' • 10 Kg/mm2 . Aun cuando se utilicen cálculos más exactos para GOfTt'

| l r la hipótesis de la función senoidal, el valor de T„, no se puede reducir a menos de la quinta parte del valor obtenido con la Ec. [4-6] Por tanto, parece razonable suponer que la resistencia teórica a la cizalladura de la mayoría de los meta les se encuentra entre Gf 10 y G/50. Este valor es todavía 100 veces superior a las resistencias a la cizalladura observadas en los cristales metálicos. Finalmente, solo cabe decir que el mecanismo causante del deslizamiento no es el de un desplazamiento en bloque de planos de átomos. En la sección siguiente se demuest ra que las dislocaciones permiten idear un mecanismo co-rrecto.

4-6. Des l izamiento p r o d u c i d o por mov imiento de dislocacio-nes.—El concepto de la dislocación fue introducido p rimera ni en te p. i r¿i

1 2 3 4 5 6 7 8 9 (¿I

FIE. 4 -16 .—Diagramas e s q u e m á t i c o s q u e indican c ó m o una dislocación se m u e v e f á c i l m e n t e a t r avés de una red cr is ta l ina, a) C a m p o de enei gía en la red de un cr is ta l p e r f e c t o ; h) r ed que c o n t i e n e una dis locación en cuña . (F. SEITZ: The Physics oí Metals, pág. 91, McGraw-Hi l l Bool

C o m p a n y , Inc., N u e v a York, J913.)

explicar la discrepancia existente en t re las resistencias a la cizalladura, teórica y observada, de los metales. Pa ra que el concepto sea útil en este aspecto, es preciso demos t r a r : 1) que el paso de una dislocación a través de una red cristalina requiere una tensión cizallante menor que la teórica, y 2) que el movimien to de la dislocación a través de la red produce un escalón, o banda de deslizamiento, en la superficie libre.

La figura 4-16 mues t ra que la tens ión requerida para mover una dislocación a través de un cristal es m u y pequeña comparada con la tensión cizallante teórica. La figura 4-1617 representa los á tomos en dos planos adyacentes de una red cristalina perfecta que no contiene dislocaciones. La curva superior de la figura representa esquemática-mente la energía de un á tomo del plano inferior de átomos, en función

de su posición con respecto al plano superior. Para la ordenación nor-mal de un cristal perfecto, todos los átomos del plano inferior se encuentran en posiciones correspondientes a los mínimos de la curva de energía. Por consiguiente, si la hilera superior de átomos se des-plaza hacia la derecha, con relación a la hilera inferior, cada átomo encuentra la misma fuerza oponiéndose a su deslizamiento. Esta si-tuación se describe en la sección 4-5. Ahora consideremos la situa-ción que se presenta cuando el cristal contiene una dislocación (figu-ra 4-16 b). Esta figura muestra una dislocación de cuña positiva, con el plano extra de átomos situado entre 4 y 5. Los átomos que se encuentran a grandes distancias del centro de la dislocación están en posiciones que corresponden al mínimo de la curva de energía, pero no ocurre lo mismo con los que están en el centro. Consideremos ahora algunos pares de átomos, p. ej., los 4 y 5, 3 y 6, etc., situados simétricamente en lados opuestos del centro de la dislocación. En-cuentran fuerzas que son iguales y opuestas. Como resultado, si los átomos próximos al centro de la dislocación se desplazan distancias iguales, la mitad encuentra fuerzas que se oponen al movimiento y la otra mitad, fuerzas que lo favorecen. Por tanto, para un cálculo pre-liminar, el t rabajo neto requerido para producir el desplazamiento es cero y la tensión necesaria para mover la dislocación una distancia atómica muy pequeña.

La red no ofrece esencialmente resistencia al movimiento de una dislocación solo cuando esta se encuentra en una posición simétrica con respecto a los átomos de su plano de deslizamiento. En general, se necesita una pequeña fuerza, la fuerza de Peierls-Nabarro, para hacer mover una dislocación a través de la red. Aun cuando está bien esta-blecido que el valor de la fuerza de Peierls-Nabarro es mucho menor que la tensión cizallante teórica para una red perfecta, el cálculo exacto de esta fuerza es difícil debido a que depende mucho de la ordenación atómica, relativamente incierta, en el centro de la dislo-cación.

La figura 4-17, basada en el t rabajo original de T a y l o r m u e s t r a que el movimiento de una dislocación produce un escalón superficial o banda de deslizamiento. La serie superior de dibujos representa una dislocación en cuña positiva desplazándose hacia la derecha en una red cúbica simple. El plano de deslizamiento se representa con una lí-nea de trazos. Cuando la dislocación alcanza el lado derecho del cristal, que se supone es una superficie libre, produce un desplaza-miento de un vector de Burgers, o de una distancia atómica para la red cúbica simple, con respecto a los planos a cada lado del de des-lizamiento. La serie inferior de dibujos muestra que se produce el mismo escalón superficial por el desplazamiento hacia la izquierda de una dislocación en cuña negativa.

<G. I. TAYLOR: Proc. Roy. Soc. (Londres), vol. 145A, pág. 362, 1934.

4-7. Tensión cizallante crítica para el deslizamiento.—La mag-nitud del deslizamiento en un monocristal depende de la tensión ciza-llante producida por cargas externas, la geometría de la estructura del cristal y la orientación de los planos de deslizamiento con respecto a las tensiones cizallantes. El deslizamiento comienza cuando la ten-sión cizallante sobre el plano de deslizamiento, y en la dirección de deslizamiento, alcanza un valor inicial llamado tensión cizallante crí-tica. Este valor 1 es realmente el equivalente para el monocristal del

Fie. 4-17.—Movimiento de una dislocación en cuña en una red cúbica simple • [G . I. TAYLOR: Proc. Roy. Soc. (Londres) , vol. 145A, pág. 369. 1934.1

¡imite elástico de una curva tensión-deíormación ordinaria. El valor de la tensión cizallante crítica depende principalmente de la compo-sición y de la temperatura.

El hecho de que se requieran diferentes cargas de tracción para producir deslizamiento en monocristales de distinta orientación se ;iuede explicar mediante la existencia de una tensión cizallante crítica; esto fue reconocido primeramente por Schmid2 . Para calcular la ten-sión cizallante crítica a partir de un monocristal ensayado en tracción, es preciso conocer, mediante la difracción de rayos X, la orientación eon respecto al eje de tracción del plano sobre el que primeramente

' E n la práctica es muy difícil determinar la tensión a la que se p roducen las primeras bandas de deslizamiento. En la mayoría de los casos, la tens ión > ¡zallante crítica se obtiene por la intersección de las partes elástica y plástica, extrapoladas, de la curva tensión-deformación.

2 E . SCHMID: Z. Elektrochem., vo l . 37 , pág." 447 , 1931.

(¿>) (c)

SEC. 4 ^ 7 J TE.NSION CIZALLANTE CRITICA PARA EL DESLIZAMIENTO 105

aparece el deslizamiento y la dirección de deslizamiento. Consideremos un monocristal cilindrico cuya sección transversal es A (Fig. 4-18). Representemos por <p el ángulo formado por la normal al plano de deslizamiento y el eje de tracción, y por X el que forman la dirección de deslizamiento y el eje de tracción.

El área del plano de deslizamiento inclinado a un ángulo <f> será A/cos 4> y la componente de la carga axial que actúa sobre el plano de deslizamiento en la dirección de deslizamiento PcosA.. Por tanto, la tensión cizallante resuelta para el sistema de deslizamien-to de la figura es

P c o s A P ' A/{cos(f)) A

Í 4 - 7 ]

El valor mínimo de tensión ci-zallante que actuando en el pla-no y en la dirección de desliza-miento es capaz de producir dicho deslizamiento es la ten-sión cizallante crítica, y la ecua-ción [4-7] permite relacionarla con la carga axial P.

La ley de la tensión cizallan-te crítica, conocida también por ley de Schmid, se demuestra más fácilmente en los metales he, porque siendo muy limita-do el número de sistemas de deslizamiento, se pueden pro-ducir grandes variaciones de orientación entre el plano de desliza-miento y el eje de tracción sin que actúe un nuevo sistema de desli-zamiento (véase Prob. 4-8). La gran simetría de los metales ccc da lugar a tantos sistemas de deslizamiento que solo es posible llegar a dupli-car el límite elástico por variación de la orientación del plano de deslizamiento respecto al eje de tracción. En los metales cc, en los que aún es mayor el número de sistemas de deslizamiento, es todavía más difícil comprobar la ley de Schmid. Sin embargo, los datos dis-ponibles indican que se cumple tanto en los metales cúbicos como en los he.

La tabla 4-4 relaciona los valores de la tensión cizallante crítica para cierto número de metales. Los datos de la plata y el cobre de-muestran el gran efecto de pequeñas cantidades de impurezas. L a i adiciones de aleantes producen un efecto mayor, como lo indican lo* datos para aleaciones oro-plata de la figura 4-19. Obsérvese q u t CI

p

FIG. 4-18.—Diagrama para el cálcu-lo de la tensión cizallante crítica

resuelta.

grande el incremento de la resistencia al deslizamiento al alear oro con plata, a pesar de que estos á tomos son muy parecidos en tamaño y en electronegatividad y forman por eso una serie continua ele so-luciones sólidas. En las soluciones sólidas en que los á tomos de los solutos son de tamaño considerablemente dist into al de los del sol-vente, es mucho más grande el incremento por aleación de la tensión cizallante critica.

T A B L A 4-4

Sistemas de deslizamiento a la temperatura ambiente y tensión cizallante crítica resuelta de monocristales de metales

Metal E s t r u c t u r a P u r e z a , P l a n o de Dirección de 'IViiMón ciza-lla n 1 c c iá t ica ,

i r / n m e Re'i Metal c r i s t a l i n a d e s l i z a m i e n t o desliza mien to

'IViiMón ciza-lla n 1 c c iá t ica ,

i r / n m e Re'i

Zn he 99,999 (0001) L11201 18 a

Mg he 99.996 (ooon [11201 77 b Cd he 99.996 (0001) [11201 58 c Ti he 99.99 (1010) [1120] 1400 d

99.9 (1010) [11201 9190 i

Ag ccc 99,99 d i n [1101 48 e

99,97 d i n [1101 73 e

99.93 d i n [1101 131 e

Cu ccc 99.999 d i n [1101 65 e

99.98 d i n [1101 94 e

Ni ccc 99,8 (ii i) [110] 580 c

Fe cc 99,96 (110) (112) (123)

[1111 2800 <

M o cc (110) [1111 5000 s

' D. C. JILLSON: Trans. AIME, vol. 1S8, p,'i)í. 1129, 1050. » E. C. BL-KKE y \v . R. HIBDARI). J r . : Tran*. AIME. vol. 19-1, páp. sor,. ü W C E. SCHMID: «International Confercnce on I'hyslcs», vol. 2, Physical Soe!et\ Lon-

dres, 1935. " 4 . T. CM-KCIIMAN : l'roc. Roy. Soc. (Londres), vol. 220A, píiíT. 21«, in.1l «F. n. Rosi ; Trans. AIME, vol. 200, píig. 1009, 105 1. / J . J . Cox, Xi. F . MEHL y G. T . HORNK: Trans. ASM, vol. 49, pág . 118. 1957 « R. MADDIN y N. K. CHEN : Trans. AIME, vol. 191, pág . 937, 1951.

La magni tud de la tensión cizallante crítica de los cristales está determinada por la interacción de su población de dislocaciones con cada una de las demás y con defectos tales como vacantes, á tomos intersticiales y á tomos de impurezas . Esta tensión es, por supuesto, mayor que la requerida para desplazar una dislocación aislada, pero es apreciablemente menor que la necesaria para producir desl izamiento en una red perfecta. Basándonos en este razonamiento, la tensión ci-zallante crítica debería disminuir al reducirse la densidad de defectos, con tal de que el número total de imperfecciones no sea cero. Cuando se ha eliminado la última dislocación, la tensión cizallante crítica debería elevarse bruscamente hasta el valor máximo predicho para la resistencia a la cizalladura de un cristal perfecto. El hecho de que

SEC. 4 - / J TENSION CIZALLANTE CRITICA PARA EL DESLIZAMIENTO 107

la tensión cizallante crítica de los metales blandos se pueda reducir a menos de un tercio al aumentar la pureza, constituye una prueba experimental del efecto que se produce al disminuir la densidad de defectos. En el extremo opuesto, filamentos metálicos monocristalinos de un diámetro de mieras ("barbas") , pueden crecer esencialmente

N

FIG. 4-19.—Variación de la tensión cizallante crítica resuelta con la composi-ción en los monocrista les de aleación plata-oro. (G. SACHS y J. WEERTS:

Z. Physik, vol. 62, pág. 473, 1930.)

temperatura. °C

FIG. 4-20.—Variación d e la tensión cizallante crítica resuelta con la tempera tura en monocrista les de hierro. (J. J. Cox , R . F. MEHL y G. T. HORNE:

Trans. ASM, v o l . 4 9 , p á g . 1 2 3 , 1 9 5 7 . )

exentos de dislocaciones. En los en iyos de tracción ' sobre estos fila-mentos se han obtenido resistencia; que son aproximadamente iguales a las calculadas para up cristal per 'cto.

4-8. Ensayo de monocristale? las propiedades mecánicas de los i dolos a tracción uniaxial simple, deformación se pueden representar media como función de la deforma cedimiento más fundamental de pr tensión cizallante crítica, Ec. [4-7] deslizamiento o de cizalladura. La desplazamiento relativo de dos pía parados por una distancia unidad, la deformación, la orientación tarn de deslizamiento con respecto al c mediante la Ec. [4-8], la deformac

—La mayoría de los estudios de :>nocristales se realizan sometién-Vun cuando las curvas tensión-n términos de la tensión uniaxial ón lineal media (AL/L0), un pro-entar los datos es representar la en función de la deformación de -'formación de deslizamiento es el 3S de deslizamiento paralelos se-;i se conoce, antes y después de

del plano como de la dirección de tracción, se puede obtener2 ,

<n de deslizamiento

7 = eos k¡ sen xi

eos A0

sen xo : 4-8 ]

en la que xo y Xi s o n l ° s ángulos inicial y final formados por el plano de deslizamiento y el eje de tracción, y X0 y Ab los ángulos inicial y final entre la dirección de deslizamiento y el eje de tracción. La deformación de deslizamiento se puede expresar también en términos de la variación axial de longitud y de la orientación original, sin que se requiera información sobre la orientación final de los elementos de deslizamiento

Z, —- = ( 1 + 2 y s e n Xo c u s \ u + y 2 s e n 2 Xo) M)

o bien

- [ ( i r - s e n 2 Á0

1 / 2 eos X0

sen Xo

14-9]

4 - 1 0 ]

En el ensayo ordinario de tracción, el movimiento de la cabeza de la máquina de ensayos impone restricciones a la probeta en las mordazas, ya que estas han de permanecer alineadas. Por tanto, la probeta no puede deformarse l ibremente por deslizamiento uniforme en todos los planos existentes a lo largo de la longitud de la probeta, según se dibuja en la figura 4-21 a. Por el contrario, la probeta se deforma del modo que se muestra en la figura 4-21 b. Al alargarse el

• S . S. BRENNEK: / . Appi Phys., vol. 27, págs. 1484-491, 1956. 2 Para una deducción de LU ecuaciones [4-81 y [4-9] , véase E. SCHMID y

w . BOAS: "Plasticitv ot CryiUl»", traducción inglesa, págs. 58-60, F. A. HUGHES & Co., Londres, 1950.

cristal, los planos da da i t lumía i toT tanda entre puntos, tendiendo a i . tracción. En las proximidades de las mordazas, se superpon« • n> t v tación una flexión de los planos de deslizamiento. La magnitud del giro hacia el eje de tracción aumenta con el grado de deformación. En la deformación por tracción, la variación del ángulo formado por

( a )

FIG. 4 -21 .—a) D e f o r m a c i ó n por trac-ción de un m o n o c r i s t a l sin impedi-m e n t o s ; b) ro t ac ión d e los planos de des l i zamien to deb ida al i m p e d i m e n t o .

Oí :

101

FIG. 4-22.—Triángulos estereográficos m o s t r a n d o la rotación de la red de un me ta l ccc durante el alargamiento por

tracción.

el plano de deslizamiento y el eje de tracción y la variación de la dis-tancia entre puntos en la dirección axial guardan la relación siguiente:

¿i = sen Xo

L0 sen xi [4-11]

Un método adecuado para registrar esta reorientación consiste en seguir el eje de la probeta sobre el triángulo estereográfico tipo1 . En la figura 4-22, la orientación inicial del eje de una probeta de tracción monocristalina ccc se representa en P sobre el triángulo estereográfi-co. El plano y la dirección de cizallamiento son, respectivamente, (111) y [101]. Durante el alargamiento del cristal, el eje de la probeta se

1 Para una descripción de la proyección estereográfica, véase C . S. BARRET : "Estructura de los metales", cap. II, traducción española de la 2.* ed , ameri-cana por F. Muñoz del Corral, Aguilar, Madrid, 1957.

mueve a lo largo de un círculo máximo que pasa a través de P y de la dirección de deslizamiento [ I01 ¡ . Al continuar la formación y pro-ducirse la rotación delv sistema de deslizamiento primario o inicial, disminuye el valor de eos (/> eos X ¡ ara dicho sistema. Por consiguien-te, aunque se desprecie el endurec imiento por deformación, se ha de aplicar una carga de tracción mayor para mantener el valor tic la tensión cizallante crítica sobre este sistema de deslizamiento. Mient ras el valor eos ^ eos X disminuye en el sistema de deslizamiento primario debido a la rotación, aumen ta en otros juegos de planos que giren aproximadamente a una posición a 45" respecto al eje de tracción. Cuando la tensión cizallante resuella sobre el nuevo sistema de desli-zamiento es igual, o aprox imadamente igual, a la tensión cizallante sobre el sistema inicial, en la superficie de la probeta aparece un nuevo sistema de líneas de desl izamiento y el eje gira hacia el [112], Fn los metales ccc, las nuevas líneas de deslizamiento se producen sobre el sistema de deslizamiento conjugado (Ti l ) - [0113 . Observado coa el microscopio, el desl izamiento con jugado aparece como otro juego de líneas de desl izamiento que cortan al primero. En el sistema f l l l ) -[101] puede producirse también deslizamiento cruzado. Este s i- lema tiene la misma dirección de desl izamiento que el primario. En el mi-croscopio, el desl izamiento cruzado aparece normalmente como cortas líneas transversales a las de desl izamiento primario. Con rotaciones aún mayores es geométr icamente posible que empiece a actuar un cuarto sistema de desl izamiento ( T i l ) - [0Tl] . Sin embargo, este siste-ma no se encuentra en los meta les ccc. La aparición de más de un sistema de desl izamiento duran te la deformación se estudia frecuente-mente bajo la denominación general de deslizamiento doble o múl-tiple.

Un método excelente para es tudiar el compor tamiento ante la de-formación de los monocris ta les se basa en cargarlos en cizalladura. Parker y Washbu rn 1 han descr i to un procedimiento para cargar mo-nocristales en cizallamiento pu ro de tal naturaleza que la deformación de cizalladura se produce median te un par que actúa paralelamente al sistema act ivo de deslizamiento. Este método de ensayo tiene la ven-taja de que se puede or ientar el cristal de tal manera que 1.a tensión cizallante máxima se presente sobre cualquier sistema de deslizamiento deseado. En este ensayo se miden directamente la tensión cizallante resuelta y la deformación de cizallamiento.

4-9 . D e f o r m a c i ó n p o r mac la je .—Otro impor tante mecanismo en la deformación de los metales es el proceso conocido por macla je 2 .

1 E. R. PARKER y f. WASHBURN : " M o d e r n Research Techn iques in Physical Metallurgy", American Society for Metals , Metals Park, Ohio, 1953.

2 Para una revisión completa de este tema, véase E. O. HALL: "Twinn ing and Diffusionless Transformations in Metals", Butterworth & Co (Publishers), Ltd., Londres, 1954, o R. W. CAHN: Adv. in Phys., vol. 3, pá?s. 363-445, 1954.

El maclaje se produce cuando una porción del cristal toma una orien-tación que está relacionada de un modo simétrico definido con la del resto del cristal sin deformar. La parte del cristal deformada es una imagen especular del cristal original. El plano de simetría entre las dos partes se denomina plano de macla. La figura 4-23 muestra la imagen atómica clásica del maclado. La figura 4-23 a representa una sección perpendicular a la superficie de una red cúbica con un plano de índices bajos paralelo al papel y formando un ángulo con el plano de pulido. El plano de macla es perpendicular al del papel. Si se aplica una tensión cizallante, el cristal se deformará aproximadamente por el plano de macla (Fig. 4-23 b). La zona a la derecha de este

plano está sin deformar. En la de la izquierda, los planos de átomos han cizallado de tal modo que hacen de la red una imagen especular a través del plano de macla. En una red simple como esta, cada átomo de la zona deformada se desplaza por cizallamiento homogéneo una distancia proporcional a la que le separa del plano de macla. En la figura 4-23 b, los círculos blancos representan átomos que no se han desplazado, los círculos a trazos indican las posiciones originales en la red de átomos que han variado de posición y los círculos negros las posiciones finales de estos átomos en la zona deformada. Obsérvese que la macla es visible sobre la superficie pulida a causa de la varia-ción en elevación producida por la deformación y por la diferencia de orientación cristalográfica entre las zonas deformadas y sin de-formar.

Conviene tener en cuenta que el maclaje difiere del deslizamiento en varios aspectos específicos. En el deslizamiento, la orientación de los cristales por encima y por debajo del plano de des l izamiento a i

ritWbt, d k ^ t í o c h A P L Í S

la misma antes y después del deslizamiento, mientras que en el ma-claje se produce una diferencia de orientación a lo largo del plano de macla. Normalmente Se considera que el desl izamiento se produce en múltiplos discretos del espaciado atómico, mientras que en el ma-cla je los movimientos de los á t omos son muy inferiores a una distan-cia atómica. El deslizamiento se p roduce sobre planos aislados, rela-tivamente muy dispersos en el cristal, pero en la zona maclada de un cristal todos los planos atómicos intervienen en la deformación.

Las maclas se pueden produc i r por deformación mecánica o como resultado del recocido que sigue a la deformación plástica. Las primeras se conocen como maclas mecánicas, las segundas se llaman maclas de recocido. En los metales cc o he las maclas mecánicas se producen por aplicación rápida de la carga (carga de choque) y t empera tu ra decre-ciente. Los metales ccc no se de fo rman normalmente por maclaje me-cánico, pero las aleaciones oro-plata se maclan muy fáci lmente cuando se deforman a t empera turas bajas, habiéndose producido maclas me-cánicas en el cobre por deformación en tracción a 4°K. Las maclas se pueden formar en espacios de t i empo muy breves, del orden de unos pocos microsegundos, mien t ras que para la formación de bandas de deslizamiento han de t ranscur r i r varias milésimas de segundo. En ciertas condiciones, la formación de maclas va acompañada de un chasquido sonoro (grito del e s t año) . Si el maclaje ocurre durante un ensayo de tracción, se p roduce un den tado en la curva tensión-defor-mación.

En cada es t ructura cristal ina, el maclaje se produce en una direc-ción definida sobre un p lano cristalográfico específico. La tabla 4-5

TABLA 4-5

Planos y direcciones de macla

Estructura Ejemplos típicos Plano de macla j Dirección (le macla cristalina

Ejemplos típicos

J CC a-Fe, Ta (112) r m i he Zn, Cd, Mg, Ti (1012) ' r i o n i CCC Ag, Au, Cu (111) [ 1 1 2 1

relaciona los planos y direcciones de macla comunes. Se desconoce si existe una tensión cizallante cr í t ica para el maclaje. La tensión ciza-llante a la que se produce el mac la je está influida por la deformación precedente. La figura 4-20 mues t r a datos relat ivos a monocris ta les car-gados en tracción a - 1 9 6 ° C . Los círculos negros representan una tensión cizallante crítica aprec iablemente menor que la necesaria para el deslizamiento. Las cruces r epresentan monocristales de formados pre-viamente un 4%, a la temperatura ambiente, an tes de ser ensayados

a - 1 9 6 °C. Obsérvese que la tensión cizallante necesaria para el macla je aumenta con la deformación previa p roduc ida por el desl izamiento. Si se someten los cristales a una deformación previa todavía mayor , a temperatura ambiente (círculos b lancos) , se suprime comple tamente la deformación por maclaje y el cristal se deforma por desl izamiento a - 1 9 6 °C.

Las deformaciones reticulares requer idas para produci r una confi-guración de macla en un cristal son pequeñas , por lo que la magni tud de la deformación total que se puede produci r por macla je es también pequeña. Por e j e m p l o e l alargamiento máximo que se puede producir en un cristal de cinc cuando todo el cristal se ha conver t ido en una macla sobre el plano [1012] es so lamente del 7,39%. El impor tante papel que el maclaje desempeña en ta deformación plást ica no se debe a la deformación producida por el proceso de maclaje, s ino a que las variaciones de orientación resul tantes pueden situar nuevos sistemas de deslizamiento en una orientación favorable con respecto al eje de la tensión, de manera que pueda producirse un desl izamiento adicional. Por tanto, el maclaje es importante en la deformación total de metales con un pequeño número de sistemas de deslizamiento, p. ej., los me-tales he. Sin embargo, debe tenerse en cuenta que solo se reorienta por maclaje una fracción relat ivamente pequeña del volumen total de un cristal y, por consiguiente, los metales he poseen en general menor ductilidad que los metales con un numere mayor de s i s temas de des-lizamiento.

La figura 4-24 muestra algunos aspectos metalográficos de maclas

i f - - -i

as*'«,-"ctff -V A . .

(b)

FIG. 4-24.—Microestructura de las maclas, a) Bandas de Neumann en el h ierro; b) Maclas mecánicas producidas en el cinc por el pulido; c) Maclas de recoc ido

en una aleación oro-plata.

1 BARRET, op. cit., p á g . 3 8 4 .

IJIETEIl. 8

•O varios s is temas diferentes. La figi a 4-24 a es un ejemplo de maclas» mecánicas en el hierro »(bandas de Jeumann). Obsérvese que la an chura de las maclas se puede resol u- fácilmente con aumentos bas tante pequeños. Los límites de las r acias se atacan aproximadamente a la misma velocidad que los lími s de grano, indicando que son límites de energía elevada. La^figu 4-24 b muestra las maclas len ticulares anchas que se producen c rrientemente en los metales he. Adviértase que las maclas no se ex; enden más allá de los l ímites de grano. La figura 4-24 c muestra las acias de recocido en las aleacio-nes ccc oro-plata. Estas son normali ;nte más anchas y con lados más rectos que las maclas mecánicas. La mergía de los l ímites de las ma-clas de recocido es aproximadament igual al 5% de la energía media de los límites de grano. La mayoría ie los metales ccc forman maclas de recocido. Su presencia en la m reestructura es un buen indicio de que el meta l ha sido de formado eeánicamente antes del recocido, puesto que es probable que crezcan partir de núcleos de macla pro-ducidos du ran t e la deformación.

4 - 1 0 . De fec tos de apilainicnt«. En una sección anterior Minos que se podía obtener la ordenación atómica sobre el plano {111 ¡ dé-las es t ruc turas ccc y el plano {0001 de las he mediante el apilamiento de planos compactos de esferas. En s estructuras ccc, la secuencia de api lamiento de los planos a tómicos s ABC ABC ABC, En las estruc-turas he viene dada por AB AB A

Recientemente se ha comprobad que los errores o defectos en la secuencia de apilamiento se puede: producir, en la mayoría de los metales, por deformación p lás t i ca ' . El deslizamiento sobre el plano {111} en una red ccc produce un lefecto de api lamiento por defor-mación median te el proceso que se uestra en la figura 4-25 b. Fl des-lizamiento ha tenido lugar entre u a capa A y otra B, moviéndose cada capa atómica por encima del ¡ ano de des l izamiento una distan-cia de ident idad hacia la derecha La secuencia de apilamiento es, entonces, ABCAlCAB. Si comparar os esta secuencia de apilamiento defectuosa (Fig. 4-25 b) con la de. ¡s es tructuras he sin defecto: (fi-fura 4-25 d), encontramos que el dt ecto de api lamiento por deforma-ción contiene cuatro capas en una ecuencia he. Por tanto , la forma-ción de un defecto de api lamiento i i un metal ccc es equivalente a la •formación de una zona delgada he La secuencia 2 que se muest ra en la figura 4-25 c es otra fo rma en 1;; que se pueden produci r los defec-tos de apilamiento en los metales ccc. La secuencia de apilamiento ABC\ACB\CA se denomina d e f ec t extrínseco o de macla. Las t res capas ACB constituyen la macla. Pía- consiguiente, los defectos de api-

1 Para detectar la presencia de d e f e c t o s de a p i l a m i e n t o se r e q u i e r e n medi-das m u y precisas de difracción d e rayo:. X. Por e j emp lo , véase B. E. \v \RRKN y E. P . WAREKOIS : Acta Met., vol . 3, ¡>¡íg. 473, 1955.

2 C . N. J. WAGNER: Acta Met., vol . 5, págs. 427-34, 1957.

lamiento en los metales ccc se pueden considerar también maclas sub-microscópicas de espesor casi atómico. La razón por la que las maclas mecánicas de anchura apreciable microscópicamente no se forman fá-cilmente cuando los metales ccc se deforman, es que la formación de defectos de apilamiento es igualmente favorable desde el punto de vista energético.

La situación presente en las estructuras he es en cierto modo dife-rente de la que se encuentra en los metales ccc. La figura 4-25 d mues-

-O A ^ o f A0

A BCA 8CA (ai

coí 7°A

Cr^l Be,

A BC A \C AB

Bo^Z 0 B o o B C° o c 0 A

-í-QA jpo O B Cq^I. o o — o A

Bo^fL o ^ o off •1' o o A

ñBC\ACB\CA ABABAB (c ) <¿)

FIG. 4-25.—Estructuras de fec tuosas , a) Api lamiento cúbico de caras cen-tradas; b) de fec to de de fo rmac ión en ccc; c) defecto de macla en ccc;

d) ap i l amien to he.

tra que, al pasar de una capa A a otra B, si continuamos en línea recta llegaremos a otro átomo de la capa A próxima. Sin embargo, se pue-den producir deslizamientos entre dos planos, de forma que la secuen-cia de apilamiento resultante sea ABABAlCBCBC. Como consecuen-cia, hay cuatro capas de átomos BACB en la ordenación de apilamiento ccc en línea recta. De este modo, un defecto en un metal he es equi-valente a la formación de una delgada zona ccc. Es más difícil formar defectos de apilamiento en una red cc que en las estructuras de empa-quetamiento compacto ccc y he. Se ha investigado teóricamente, y demostrado por la difracción de rayos X 1 , la posibilidad de defectos de apilamiento en los planos {112}. En el niobio se han observado

' P . B. HIRSCH y H . M. OTTE: Acta Cry st., vol. 10, págs. 447-53, 1957; O. J. GUENTER y B. E. WARREN : / . Appi Phys., vol. 29, págs. 40-48, 1958.

rió DEFORMACION PLASTICA DE MONOCRISTALES [CAP. 4

defectos de api lamiento. uti l izando la microscopía electrónica de pelícu-las delgadas 1 .

Los defectos de apilamiento se producen m á s fáci lmente en los me-tales ccc y es en esta es t ructura donde se han es tudiado más amplia-mente. Por ejemplo, ac tua lmente se sabe que las diferencias de com portamiento ante la deformación de los metales ccc se puede relaciona! con las diferencias en los defec tos de apilamiento. Desde el pun to de vista de la teoría de las dislocaciones, un defec to de apilamiento en un metal ccc se puede considerar como una dislocación ensanchada que está formada por una zona hexagonal delgada l imitada por dis-

locaciones parciales 2 (Fig. 4-26). defecto da apilamiento plano de Las dislocaciones casi parale-

dislocaciones deslizamiento j a s t ienden a repelerse entre parciales-.. / ) / 7 sí, pero esta tendencia está con-

t rar res tada por la tensión su-perficial de aquellos defectos de api lamiento que las mantienen unidas. Cuanto menor sea la energía de los defectos de apila-miento mayor será también la separación entre las dislocacio-n e s p a r c i a l e s y m á s a n c h o , p o r

tanto, el defecto de apilamiento. En los meta les ccc, la energía de los defectos de api lamiento se ha calculado sobre la hipótesis de que es igual al doble de la energía de un límite coherente de una macla de recocido. Sobre esta base, las energías de los defectos de apila-miento en el cobre, níquel y a luminio son aprox imadamente 40, 80 y 200 ergios/cm2 . Puesto que cuan to menor es la energía de los limites de macla mayor es la tendencia a que se formen maclas de recocido, los cálculos de la energía de los defectos de api lamiento están de acuerdo cual i tat ivamente con las observaciones metalográf icas referen-tes a la frecuencia con que ocurren las maclas de recocido; p. ej., el aluminio pocas veces p resen ta maclas de recocido. Los ensayos con rayos X han mos t rado que la energía de los defec tos de apilamiento en el latón disminuye con el contenido de cinc, es tando de acuerdo esta observación con el hecho de que el latón alfa forma un número mayor de maclas de recocido que el cobre.

Los defectos de api lamiento intervienen de dis t in tos modos en la deformación plástica de los meta les . Los metales con defec tos de api-lamiento amplios se endurecen por deformación más rápidamente , se maclan con más facilidad al recocerlos y mues t ran una dependencia del

FIG. 4 -26 .—Modelo esquemát ico de un defecto de apilamiento.

' A . FOURDEUX y A . BERCHEZEN: / . Inst. Metals, vol . 89, págs . Vi-32, 1 9 6 0 - 1 9 6 1 .

2 En el capítulo 6 se tratan con más detalle las dislocaciones parciales. Con el microscopio electrónico se ha observado la separación en d is locaciones par-ciales en laminillas de acero inoxidable.

límite elástico con la temperatura, diferente de la de los'metales con defectos de apilamiento estrechos. La figura 4-26 muestra por qué el deslizamiento cruzado es más difícil en metales con bandas amplias de defectos de apilamiento. Como las dislocaciones se ensanchan en el plano de deslizamiento, no pueden transferirse a otro plano de des-lizamiento, salvo en el punto en que se juntan las dislocaciones par-ciales. Puesto que se necesita energía para producir una estrangulación en el defecto de apilamiento, resulta más difícil el deslizamiento cru-zado en los metales con defectos de apilamiento anchos. Así, p. ej., la energía de activación para el deslizamiento cruzado es aproximada-mente de 1 electrón-voltio en el aluminio y de unos 10 ev en el cobre.

4-11. Bandas de deformación y bandas de plegado.—A causa de la deformación heterogénea de orientación diferente denominadas bandas de deformación. Cuando se produce deslizamiento sin restric-ciones y de un modo homogéneo perfecto, se pueden eliminar las lí-neas de deslizamiento puliendo posteriormente la superficie. Sin embargo, se observan bandas de deformación aun después de puli-dos y ataques repetidos, cuando estas representan zonas de orienta-ción cristalográfica diferente. En los monocristales se pueden producir bandas de deslizamiento de varios milímetros de anchura, mientras que en las probetas policristalinas se precisa el microscopio para apreciar-las. La tendencia a que se formen bandas de deformación es mayor en las probetas policristalinas, debido a que las restricciones impuestas por los límites de grano hacen más fácil la aparición de diferencias de orientación en los granos durante la deformación. Las bandas son gene-ralmente de forma irregular, pero en la dirección de la deformación principal son alargadas. El contorno de las bandas es generalmente confuso y mal definido, indicando un desvanecimiento general de la diferencia de orientación. Se han observado bandas de deslizamiento en los metales ccc y cc, pero no en los he.

Si estudiamos la ecuación para la tensión cizallante crítica vemos que es difícil deformar un cristal hexagonal cuando el plano base es casi paralelo al eje del cristal. Orowan 1 ha comprobado que si se somete a compresión un cristal de cadmio así orientado se deforma debido a que una zona localizada del cristal se repliega bruscamente a una posición inclinada con un acortamiento del cristal también brui» co. En la figura 4-27 se ilustra este pandeo o plegado. Las lineal Jlfr rizontales representan planos base y los designados con p son M M

1 E . OROWAN: Nature, vol . 149, pág. 6 4 3 , 1942.

los cristales se producen zonas de

p

FIG. 4-27.—Banda de plegado (kink band).

nos de plegado en los que la orientación varía bruscamente . La dis-torsión del cristal está esencialmente confinada a la banda de plegado. Estudios posteriores raalizados por Hess y B a r r e t 1 han demost rado que las bandas de plegado se pueden considerar como un tipo sencillo de bandas de deformación. También se han observado estas bandas de plegado en los cristales de cinc ensayados en tracción, donde la distribución no uniforme del desl izamiento originará un momento fle-xor que puede producir plegado.

4-12 . Endurec imiento por d e f o r m a c i ó n de los monocris ta les . U n a de las características principales de la deformación plástica de los metales es que la tensión cizallante requer ida para producir desliza-mien to aumenta cont inuamente con la deformación de cizallamiento. El aumento de la tensión requer ida para produci r desl izamiento de-bido a una deformación plástica anter ior se conoce c o m o endureci-miento por deformación. En los monocris ta les de los meta les dúctiles se observa con frecuencia un a u m e n t o de la tensión de fluencia de m á s del 100% debida al endurec imiento por deformación.

El endurecimiento por deformación se produce por la interacción de dislocaciones entre sí y con bar re ras que impiden su movimiento a t ravés de la red cristalina. El endurec imiento debido a la inter-acción de dislocaciones es un problema complicado, porque implica grandes grupos de dislocaciones y es difícil especificar de forma ma-temát ica simple el compor tamiento de dichos grupos. Se sabe que el n ú m e r o de dislocaciones en un cristal aumenta con la deformación, sobrepasando el número existente en el cristal recocido. Por consi-guiente, la primera condición para comprender el endurec imiento por deformación es el desarrollo de un mecanismo lógico para la genera-ción de dislocaciones. F. C. Frank y W. T. Read han concebido un me-canismo mediante el cual una dislocación puede producir un fuerte deslizamiento. El manantial de Fr ank-Read (para más detalles vease el capí tulo 6) es un medio por el que las dislocaciones inicialmente exis-tentes en el cristal, como resul tado del crecimiento, pueden generar bas tantes dislocaciones para justif icar el endurecimiento por deforma-ción observado. Este mecanismo concuerda con las observaciones ex-perimentales siguientes: 1) el desl izamiento está concent rado sobre un número relat ivamente pequeño de planos de desl izamiento act ivos; 2) el deslizamiento total sobre cada plano es del orden de 1000 espa-ciados atómicos. Existe o t ro proceso, basado en la teoría de Frank-Read, para inmovilizar el manant ia l después de que se ha producido un desl izamiento de la magni tud ind :ada. Recientemente se han obte-nidos pruebas experimentales direct;. ; de la existencia de manantiales de Frank-Read en los cristales.

U n a de las primeras teorías sobre las dislocaciones, establecida para explicar el endurecimiento por deformación, sostenía la hipótesis de

1 J. A . H E S S y C . S . BARRETT: Trans. AIME, vol . 185 , pág . 599 , 1949 .

'me.

dirección de deslizamiento a 180° de la dirección inicial

que las dislocaciones se apilaban sobre los planos de deslizamiento frente a barreras del cristal. Los apilamientos producían una retroten-sión que se oponía a la tensión aplicada sobre el plano de desliza-miento. La existencia de la retrotensión se demostró experimentalmente mediante ensayos de cizalladura sobre monocristales de cinc1 . Los cristales de cinc son ideales para realizar experimentos sobre la plas-ticidad de los cristales, debido a que se deslizan solamente sobre los planos base, por lo que se pueden evitar fácilmente las complicaciones derivadas del deslizamiento doble. En la figura 4-28, el cristal se de-forma hasta el punto O, se des-carga y a continuación se vuel-ve a cargar en la dirección opues-ta a la de deslizamiento original. Obsérvese que al volver a cargar el cristal este tiene un límite elás-tico, en cizallamiento, inferior al que tenía cuando -fue cargado por primera vez. Esto se debe a que la retrotensión producida como consecuencia del apilamiento de dislocaciones f rente a las barre-ras, durante ' el primer ciclo de carga, facilita el movimiento de dislocaciones cuando se invierte la dirección de deslizamiento. Ade-más, en este últ imo caso se pue-den crear dislocaciones de signo contrario en el mismo manantial que produjo las dislocaciones responsables de la deformación en la pri-mera dirección de deslizamiento. Puesto que las dislocaciones de signo contrario se atraen y se destruyen mutuamente, el efecto neto produ-cido es un ablandamiento adicional de la red. Esto explica el hecho de que la curva de fluencia en la dirección opuesta se encuentre por debajo de la curva para la fluencia continuada en la dirección origi-nal. El descenso del límite elástico cuando a la deformación en una dirección le sigue otra deformación en la dirección opuesta, se deno-mina efecto Banschinger2. Aun cuando en todos los metales se observa el efecto Bauschinger, la magnitud de este no siempre es igual a la obtenida para los cristales de cinc. Además, después de la inversión de dirección, la curva de fluencia no queda por debajo de la original en todos los metales.

Habiéndose establecido la existencia de la retrotensión y su impor-tancia en el endurecimiento por deformación, la próxima etapa es identificar las barreras que se oponen al movimiento de las disloca-

deformación de cizallamiento y

F.G. 4-28.—Efecto de la inversión completa del sentido del deslizamien-to en la curva tensión-deformación. (E . H . EDWARDS, J. WASHBURN y E. R. PARKER: Trans. AIME, vol. 197,

p á g . 1 5 2 6 , 1 9 5 3 . )

1 E . H . EDWARDS, J . WASHBURN y E . R . PARKER: Trans. AIME, v o l . 1 9 7 , pág. 1 5 2 5 , 1 9 5 3 .

2 f . B A U S C H I N G E R : Zivilingur., v o l . 2 7 , p á g s . 2 8 9 - 3 4 7 , 1 8 8 1 .

ciones en los monocristales. Las par t ículas de precipita-Jos microscópi-cos y los á tomos extraños pueden servir de ba r re ra s , j.oro en los mo-nocristales puros estas pueden ser originadas por o t ras causas. Dichas bar reras se producen porqué las dislocaciones en deslizamiento sobre planos de desl izamiento intersecados se pueden combinar entre sí y producir una nueva dislocación que no se encuen t r a <;n la dirección de desl izamiento. Se llama dislocación sésil a la de poca movilidad que ha s ido producida por la 'reacción con o t r a dislocación. Puesto que sobre los planos de desl izamiento con tens iones cizallantes peque-ñas no se encuentran dislocaciones sésiles, estas actúan como barrera

!*"IG. 4 - 2 9 . — R e p r e s e n t a c i ó n e s q u e m á t i c a de la i n t e r secc ión du dos d is locaciones íe l icoidales . a) A n t e s d e la i n t e r s e c c i ó n ; b) codos f o r m a d o s después d¡ la

i n t e r s ecc ión .

que impide el movimiento de las dislocaciones, has ta que se aumenta la tensión y alcanza el nivel adecuado para des t ru i r dicha barrera. La reacción de dislocaciones más impor tan te es la que conduce a la for-mación de barreras de Cottrel l -Lomer en los metales cec por desliza-miento en los planos intersecantes {111}.

Es posible que sea otro el mecanismo de endurec imiento por de-formación, cuando las dislocaciones que se mueven en el plano de desl izamiento cortan a o t ras que intersecan al plano de desl izamiento activo. Las dislocaciones t ransversales al plano de des l izamiento activo forman lo que se l lama f recuentemente un bosque de dislocaciones y el indicado mecanismo de endurec imiento por deformación se cita como la intersección de un bosque de dislocaciones. La figura 4-29 mues t ra que la intersección de dislocaciones produce codos o escalo-nes en la línea de dislocación. Los codos formados en es te caso son dislocaciones de cuña, ya que sus vectores de Burgers son perpen-diculares a la línea de dislocación original. Cualquier mov imien to pos-terior de dislocaciones helicoidales a lo largo de la linca AA requeri-ría que las componentes en cuña recién formada? se movieran fuera de sus planos de deslizamiento. En consecuencia, la fo rmac ión de co-dos en las dislocaciones helicoidales impide su movimiento e incluso

pueden llegarse a formar vacantes y aparecer átomos Intersticiales si se fuerza a los codos a moverse bruscamente. Los codos no impiden el movimiento de las dislocaciones de cuña. Todos estos procesos re-quieren un consumo mayor de energía y, por consiguiente, contribu-yen al endurecimiento.

El endurecimiento por deformación causado por el proceso que acabamos de describir proviene de fuerzas de corto alcance que actúan sobre distancias menores que 5 a 10 distancias interatómicas. Este en-durecimiento se puede vencer, a temperaturas finitas, con la ayuda de las fluctuaciones térmicas y, por consiguiente, depende de la tem-

FIG. 4-30.—Curva generalizada de f luencia para monocristales ccc.

peratura y de la velocidad de deformación. Por otro lado, el endureci-miento por deformación ocasionado por apilamiento de dislocaciones frente a barreras del cristal, se produce sobre distancias mayores y, por tanto, es relativamente independiente de la temperatura y de la velocidad de deformación. En consecuencia, para determinar la con-tribución relativa de los dos mecanismos, pueden utilizarse los datos referentes a la dependencia existente entre el endurecimiento, la tem-peratura y la velocidad de deformación

Cuando las curvas tensión-deformación de los monocristales se re-presentan como tensiones cizallantes resueltas en función de la defor-mación de cizallamiento, se pueden hacer ciertas generalizaciones para todos los metales ccc. Siguiendo la notación propuesta por Seeger2 , la curva de fluencia de los monocristales metálicos puros se puede dividir en tres etapas (Fig. 4-30). En la primera etapa, la zona de

deformación de cizallamiento resuelta j

1 Z. S. BASINSKI : Phil. Mag., v0 l . 4, ser. 8, pdgs. 393-432, 1959. 1 A . SEEOER: "Dislocations and Mechanical Properties of Crystals", John

Wiley & Sons, Inc.. Nueva York. 1957.

deslizamiento fácil, el cristal experimenta un ligero endurecimiento por deformación. Durante el deslizamiento fácil las dislocaciones pue-den moverse sobre distancias relativamente grandes sin encontrar ba-rreras. El pequeño endurecimiento por deformación producido durante esta etapa supone que la mayoría de las dislocaciones escapan del cristal en la superficie. Durante el deslizamiento fácil, este se produce solamente sobre un sistema de deslizamiento. Por esta razón, a la etapa primera del deslizamiento se le denomina a veces finjo laminar.

A la segunda etapa corresponde una parte casi lineal de la curva de fluencia, en la que el endurecimiento por deformación aumenta rápidamente. En esta etapa el deslizamiento se produce en más de un juego de planos. La longitud de las líneas de deslizamiento activo disminuye al aumentar la deformación, lo que concuerda con la idea ie la formación de un número mayor de barreras de Cottrell-Lomer il aumentar la deformación. Durante la segunda etapa, la relación entre el coeficiente de endurecimiento por deformación (pendiente de la urva) y el módulo de cizallamiento es casi independiente de la ten-ión y la temperatura, y aproximadamente independiente de la oricnia-ión y pureza del cristal. El hecho de que la pendiente de la curva Je luencia en la etapa segunda sea casi independiente de la temperaima oncuerda con la teoría que supone que el principal mecanismo de

endurecimiento por deformación consiste en apilamientos de grupos le dislocaciones.

A la tercera etapa corresponde un descenso de la velocidad de endurecimiento por deformación. Los procesos que tienen lugar du-rante esta etapa se denominan frecuentemente recuperación dinámica. ¡in esta zona de la curva de fluencia las tensiones son bastante eleva-las, de manera que las dislocaciones pueden intervenir en procesos ]ue son imposibles con tensiones inferiores. Se cree que el desliza-miento cruzado es el proceso principal por el que las dislocaciones, ipiladas frente a obstáculos durante la segunda etapa, pueden escapar

reducir el campo de deformación interna. La tensión r ; a partir ele a cual comienza la tercera etapa depende de la temperatura. Asimis-mo, el límite elástico de un cristal deformado hasta la tercera etapa depende más de la temperatura que si ha sido deformado sólo hasta la segunda. Esta dependencia de la temperatura sugiere que, en la tercera etapa, el principal mecanismo de endurecimiento por deforma-ción es la intersección de bosques de dislocaciones.

La curva que se muestra en la figura 4-30 representa el comporta-miento general de los metales ccc. Se han observado ciertas desvia-ciones que se apartan de la curva de fluencia de tres etapas. Así, p. ej., los metales con una elevada energía de defectos de apilamiento, como el aluminio, muestran normalmente una segunda etapa muy pequeña a temperatura ambiente, debido a que pueden deformarse fácilmente por deslizamiento cruzado. La forma y magnitud de las curvas de fluen-cia de los monocristales, particularmente durante las primeras etapas,

depende de la pureza del metal, orientación del cristal, temperatura de ensayo y velocidad de deformación. La zona de deslizamiento lácü es mucho más pronunciada en los Cristales he que en los metales ccc. Una zona de deslizamiento fácil en la curva de fluencia está favore-cida por el deslizamiento en un solo sistema, la pureza elevada, la baja temperatura, la dureza de películas superficiales de óxido, una orientación favorable para el deslizamiento simple y un método de ensayo que reduzca al mínimo las tensiones de flexión extrañas. La figura 4-31 muestra que la orientación del cristal puede ejercer un efecto muy grande sobre la curva de fluencia de los monocristales ccc.

FIG. 4 -31 .—Efec to de la o r ien tac ión de la p robe ta en la curva d e f luencia d e monocr i s t a l e s ccc.

Cuando el eje de tracción es paralelo a una dirección <011), un siste-ma de deslizamiento soporta una tensión cizallante apreciablemente mayor que cualquier o t ro y la curva de fluencia muestra una zona de deslizamiento fácil relativamente más amplia. Cuando el eje de trac-ción está próximo a la dirección <100) o <111), la tensión sobre varios sistemas de deslizamiento no es muy diferente y las curvas de fluencia muestran grandes velocidades de endurecimiento por deformación.

Comenzando a una temperatura lo más próxima al cero absoluto posible, el valor de la tensión cizallante resuelta, a una deformación de cizallamiento dada, disminuye al aumentar la temperatura. Si se deforman los ccc hasta el final de la segunda etapa, a una temperatu-ra Tu y entonces se aumenta esta hasta T2 sin variar la deformación, la tensión de fluencia desciende de r ¡ a (Fig. 4-32). El estado de endurecimiento por deformación alcanzado en T, es inestable en T2 y se produce un proceso de recuperación que tiende a reducir el endu-recimiento a lo que hubiera sido si toda la deformación se hubiera realizado a T2. Este comportamiento se denomina ablandamiento por

FIG. 4-32 .—Curvas de f luenc ia q u e m u e s t r a n ab landamien to por la de fo rmac ión .

ciones puede ser producida por un desl izamiento cruzado (más f ác i l a temperaturas mayores) , o quizá se deba al hecho de que, a Tz, a causa del aumento de las f luctuaciones térmicas, el tamaño de los apila-mientos estables de dislocaciones es menor .

B I B L I O G R A F I A

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CAPITULO 5

DEFORMACION PLASTICA DE AGREGADOS POLICRISTALINOS

5-1. Introducción.—En el capítulo anterior se ha tratado la de-formación plástica de los monocristales metálicos en relación con el movimiento de las dislocaciones y los mecanismos básicos de la defor-mación por deslizamiento y maclaje. Las probetas monocristalinas re-presentan el metal en su estado ideal. Con esta simplificación se puede describir el comportamiento ante la deformación por medio de la cris-talografía y los defectos estructurales. Sin embargo, a excepción de las aplicaciones en dispositivos electrónicos y en semiconductores, los monocristales rara vez se utilizan con fines prácticos, a causa de las limitaciones impuestas por su resistencia mecánica, tamaño y fabri-cación. Los productos metálicos comerciales están formados invaria-blemente por un número enorme de pequeños cristales o granos indi-viduales. Los granos individuales de los agregados policristalinos no se deforman de acuerdo con las leyes relativamente simples que des-criben la deformación plástica de los monocristales, debido al efecto restrictivo de los granos circundantes. Por tanto, hay una laguna entre los mecanismos de deformación fundamentales, determinados a partir de los monocristales, y la predicción del comportamiento plástico de un agregado policristalino partiendo de estos conceptos básicos.

Los límites de grano ejercen una influencia considerable sobre el comportamiento ante la deformación plástica de los metales policris-talinos. Otros factores que tienen también un efecto importante sobre las propiedades mecánicas son-, la presencia de límites de subgrano en el interior de los granos, las adiciones de aleantes en solución sólida y la dispersión de partículas de segunda fase. En este capítulo se tra-tarán cada uno de estos factores, principalmente en relación con su efecto sobre la curva de fluencia. Siempre que sea posible se darán ex-plicaciones cualitativas de estos procesos utilizando la teoría de las dislocaciones. Otros temas que se tratan en este capítulo son: el comportamiento del límite elástico, el envejecimiento por deformación, la deformación en frío, el recocido y el desarrollo de orientaciones preferentes. Como se puede apreciar, todos estos temas no están solo restringidos a los materiales policristalinos. Sin embargo, la mayor parte de los datos experimentales sobre estos fenómenos se han obte-nido de materiales policristalinos y, por tanto, estos se tratan también en este capítulo.

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5-2 . L ími tes de g r a n o y « f o r m a c i ó n . — L o s límites entre gra-nos en un agregado policristali > son una zona de red desordenada de solo algunos diámetros atón os de anchura. F.n general, la orien-tación cristalográfica varía bru ímente al pasar de un grano al si-guiente a t ravés del límite de { ¡no. Los límites de grano ordinarios, de ángulo grande, representan ¡a zona de falta aleatoria de encaje entre redes cristalinas adyacent Cuando la diferencia de orienta-ción entre los granos a cada 1; 3 del límite desciende, el es lado de ordenación en el límite aumeni En el caso extremo de límites de ángulo pequeño, en los que la ferencia de orientación a través del límite puede ser inferior a Io (\ ise Sec. 5-3), el límite está formado por una ordenación regular de ( .locaciones.

Los límites de grano o r d i n a r 'i de ángulo grande tienen una ener-gía superficial bastante elevada, vsí, p. ej., un límite de grano en el cobre tiene una energía superficie de intercara de unos 600 ergios/cm2 , mientras la energía de un límite c macla es solo de unos 25 ergios/cm2 . Debido a su energía elevada, los imites de grano sirven como lugares preferentes para reacciones en 1 tado sólido, tales como la ti:fusión, las t ransformaciones de fase y las reacciones de precipitación, l ' n pun-to impor tante a considerar es q e la gran energía de un límite de grano da como resultado, normalmente , una concentración de átomos solutos más elevada en el límite o e en el interior del grano. Es 10 hace difícil separar claramente el efect pu ramen te mecánico de los límites de grano sobre las propiedades d 1 debido a la segregación de impu-rezas.

Los límites de grano pueden ervir para aumenta r o disminuir la resistencia de un metal, depend ie -do de la tempera tura , la velocidad de deformación y la pureza de di' ho metal . A tempera turas inferiores a la mitad, aproximadamente, del ounto de fusión absoluto, y con ve-locidades de deformación relativ mente rápidas (de forma que los efectos de recuperación no sean ¡. tndes) , los límites de grano aumen-tan la velocidad del endurecimiei o por deformación y la resi -tencia mecánica. A temperaturas elevad: y velocidades de deformación pe-queñas (condiciones de la defor r ición por fluencia lenta) , la defor-mación está localizada en los lím es de grano. Puede producirse des-plazamiento de los límites de gra o y migración inducida por la ten-sión, y la fractura se produce eve tua lmente en los límites de grano. La zona de temperatura, bas tante estrecha, en la que los l ímites se hacen menos resistentes que el inter ior de los granos, de tal manera que la fractura se produce de fo rma in tergranular en vez de un modo transgranular, se denomina temperatura equicohesiva.

La diferencia principal entre la deformación a t empera tura ambien-te de productos monocristalinos y policristal inos es que estos ú l t imos

1 Para una revisión de los modelos de límites de grano propuestos, véase D. MCLEAN: "Grain boundaries in Metals", Cap. II, Oxford Universi ty Press, Nueva York, 1957.

La curva tensión-deformación de los metales policristalinos no mues-tra ninguna zona de deslizamiento fácil correspondiente a la primera etapa. Con estas muestras policristalinas solo se obtienen deformacio-nes correspondientes a la segunda y tercera etapas. Asociado con el aumento del endurecimiento por deformación se encuentra normal-mente un incremento del límite elástico y de la resistencia a la trac-ción. Los efectos de los límites de grano sobre la resistencia mecánica

Fie. 5-1.—Dislocaciones apiladas an te un l ímite de grano, tal como se obser-van en una hoja delgada de acero inoxidable en el microscopio electrónico. 17 5 0 0 a u m e n t o s . [ M . J . WHELA.N, P . B . H I R S C H , R . W . HORNE y W . BOLLMAN:

Pro. Roy. Soc. (Londres), vol. 240A, pág. 524, 1957.1

se deben a dos factores principales. El pr imero de ellos es que los límites de grano constituyen barreras para el deslizamiento. De mayor importancia es el hecho de que el requisito para la continuidad entre granos durante la deformación introduce formas complejas de defor-mación en el interior de los granos individuales. En las probetas poli-cristalinas se produce muy fácilmente deslizamiento sobre sistemas múltiples.

El hecho de que las líneas de deslizamiento se detienen en los límites de grano se puede observar fácilmente con el microscopio nor-mal. Sin embargo, con técnicas especiales de ataque (Sec. 6-2) y los grandes aumentos que proporciona la microscopía electrónica de pe-lícula delgada, es posible establecer que las dislocaciones se apilan a lo largo de planos de deslizamiento en los límites de grano (Fig. 5-1).

Los apilamientos de dislocaciones producen retrotensiones que se opo-nen a la creación de nuevas dislocaciones en los manantiales de I'rank-Rcad del interior de los granos. Con el aumento de la tensión aplicada se apilan cada vez más las dislocaciones en los limites de grano. En la cabeza de los apilamientos de dislocaciones se desarrollan tensiones cizallantes elevadas, lo que es suficiente, eventualmente, para produ-cir desplazamiento de dislocaciones, a través del límite, a los granos vecinos. Esto aminora el apilamiento de dislocaciones y reduce al mí-nimo el endurecimiento producido por esta causa. Por consiguiente, el endurecimiento debido al apilamiento de dislocaciones es importan-te en las primeras etapas de la deformación, pero no si esta es grande. Es más eficaz en los metales lie, con solo un plano de deslizamiento fácil, que en los metales ccc o cc con muchos planos de deslizamiento equivalentes. En el último caso, ningún grano puede estar orientado muy desfavorablemente con respecto a la tensión aplicada, de manera que, por término medio, el deslizamiento se puede iniciar en un grano vecino con una tensión solo ligeramente superior a la que se requiere para que comience el deslizamiento en los granos orientados más fa-vorablemente. Sin embargo, en los metales he puede existir entre gra-nos vecinos una diferencia de orientación muy desfavorable, de forma que se precisa una tensión apreciablemente mayor para que cornience el deslizamiento. Por consiguiente, los metales policristalinos he mues-tran una velocidad de endurecimiento por deformación muy superior comparada con la de los monocristales. En los metales ccc y cc la diferencia existente en la curva de fluencia entre policristales y mo-nocristales no es tan grande.

En la figura 4-31 se ha mostrado el efecto de la orientación cris-talina sobre la curva de fluencia de los monocristales ccc. Las orien-taciones que producen muchos sistemas de deslizamiento orientados favorablemente se deforman fácilmente por deslizamiento múltiple. El deslizamiento múltiple produce siempre una velocidad elevada de en-durecimiento por deformación. Teniendo en cuenta consideraciones puramente geométricas, los granos de un metal policristalino han de permanecer en contacto durante la deformación. Taylor 1 ha demos-trado que, a fin de mantener la continuidad, en cada grano deben operar cinco sistemas de deslizamiento independientes. Puesto que, de-pendiendo de la orientación, para el deslizamiento múltiple en los monocristales solo se necesitan dos o tres sistemas, el deslizamiento en los policristales es más complejo que en los monocristales orienta-dos para el deslizamiento múltiple. En los policristales se observa, normalmente, un endurecimiento por deformación mayor que el que puede justificar el deslizamiento múltiple en los monocristales y las ¡jarreras que representan los límites de grano2 .

El tamaño de grano tiene un efecto apreciable sobre la mayoría

! G . L TAYLOR: J. Inst. Metals, vol. 62, pág. 307, 1938. 2 MCLEAN, op. cit., C a p . V L

d« la» p r o p l i « « ! disminuir el tamaño de grano y las resistencias a la tracción, n la fatiga y al choque. Él efecto Ctél tamaño de grano es mayor sobre las propiedades que están relaciona-das con las primeras etapas de la deformación, ya que es en estas etapas cuando las barreras de los limites de grano son más eficaces, por tanto, el límite elástico depende más del tamaño de grano que la resistencia a la tracción. En las últimas etapas de la deformación la resistencia mecánica está controlada principalmente por interaccio-nes complejas de dislocaciones que tienen lugar en el interior de los granos, no siendo el tamaño de grano una variable controladora.

En la mayoría de los metales el límite elástico está relacionado con el tamaño de grano por la ecuación

en donde: (T0-<r¡ + KyD~in [5-1]

o o = límite elástico; cr, = tensión de fricción que se opone al movimiento de las dis-

locaciones ; K v = medida de la extensión del apilamiento de dislocaciones fren-

te a las barreras; D = diámetro de grano.

La Ec. [5-1] fue propuesta por primera vez para el acero bajo en car-bono 1 y se ha aplicado mucho en ensayos sobre este material. La pen-diente de la representación de cr0 en función de D~U1 es igual a Kvl esto es, la medida de la extensión del apilamiento de dislocaciones frente a los límites de grano, que es esencialmente independiente de la temperatura. La ordenada en el origen cr, representa la medida de la tensión necesaria para arrastrar una dislocación frente a la resis-tencia de las impurezas, las partículas de precipitados, los límites de subgrano, y a la fuerza de Peierls-Nabarro. Este término depende tanto de la composición como de la temperatura, pero es independiente de la tensión aplicada. Puesto que la fuerza de Peierls-Nabarro depende

; de la temperatura, y los otros factores que se oponen al movimiento de las dislocaciones son aproximadamente independientes de la tem-

! peratura, se puede hacer un cálculo de la resistencia de la red al mo-i vimiento de las dislocaciones, par t iendo de un análisis relativo a la 5 dependencia existente entre el t amaño de grano y el límite elástico2 . I Es difícil determinar la curva de fluencia de los materiales poli-

cristalinos a part i r de los datos obtenidos de los monocristales. Los

1 N . J. PETCH: / , Iron Steel Inst. (Londres), vol. 173, pág. 25, 1953; E. O. HALL: Proc. Phys. Soc. (Londres), vol. 64B, pág. 747, 1951.

2 I . H E S L O P y N . I . P E T C H : Phil. Mag., v o l . 1 , p á g . 8 6 6 , 1 9 5 6 .

METER.—9

análisis realizados sobre este p r o b l e m a 1 han consist ido esencialmente en obtener una medida de las curvas de los monocr is ta les de diferentes orientaciones. Los resul tados obtenidos dan solo una aproximación moderada.

El t amaño de grano se mide con un microscopio, bien contando el número de granos de una zona dada o de te rminando el número de granos que intersecan una longitud dada de una linea trazada aleato-riamente, o bien por comparación con gráficos normalizados. I I diá-metro medio de grano D se puede de te rminar a par t i r de mediciones a lo largo de las líneas t razadas a lea tor iamente por la ecuación

en la que L es la longitud de la l ínea y N el n ú m e r o de intersecciones que el l ímite de grano t iene con la línea. Esta ecuación se puede re-lac ionar 2 con la razón entre la superficie S del límite de g r a n o y el volumen V de los granos, por medio de la ecuación

S 2 N 4/

en la que l es la longitud tota l del límite de grano sobre un plano aleatorio de pulido y A es el área total de los granos sobre dicho pla-no. U n método muy conocido es el ut i l izado en los Es tados Unidos para determinar el t amaño de grano, y que consiste en comparar los granos, ba jo aumentos preestablecidos, con las tablas de clasificación de t amaño de grano de la Amer ican Society for Test ing Mater ia ls ( A S T M ) . El número n, que representa el t a m a ñ o de grano de la ASTM, y el N, número de granos por pulgada cuadrada a 100 aumentos , guar-dan entre sí la siguiente relación :

N* = 2""' [5-41

En la tabla 5-1 se comparan los números de grano de la A S T M con los de otras varias determinaciones útiles.

5-3. Limites de g r a n o de á n g u l o pequeño .—Recien temen te se ha comprobado que puede existir una subes t ruc tura def inida en el in-terior de granos rodeados por l ímites de g rano de energía elevada. Los subgranos son límites de ángulo pequeño en los que la diferencia de orientación a través del límite puede ser de unos cuantos minutos de arco solamente o, a lo sumo, de unos pocos grados. A causa de esta

'TAYLOR, op. cit„• J. F. W. BISHOP: 7. Meek, and Phys. Solids, vol. 3. págs. 259-66, 1955; U. F. KOCKS : Acta Met., vol. 8, págs. 345-52. 1960.

2 C . S. SMITH y L. GUTTMAN: Trans. AIME, v o l . 197, pág . 81, 1953 .

TABLA 5-1 Comparación de sistemas de medida del tamaño dt grano*

Número ASTM Granos/pulg 1

a 100 aumentos Granos/mm 1 Granos/mm" Diámetro medio de grano, en mm

- 3 0.06 1 0.7 1,00 - 2 0.12 2 2 0,75 - 1 0.25 4 5.6 0,50

0 0.5 8 16 0.35 1 1 16 45 0.25 2 2 32 128 0,18 3 4 64 360 0.125 4 8 128 1020 0.091 5 16 256 2900 0,062 6 32 512 8200 0,044 7 64 1024 23000 0,032 8 128 2048 65000 0,022 9 256 4096 185000 0,016

10 512 8200 520000 0,011 11 1024 16400 1500000 0.008 12 2048 32800 4200000 0.006

• ASM Metals Handbook, ed. 1948

pequeña diferencia de orientación se requieren técnicas especiales de rayos X para detectar la existencia de una red subestructural. Los límites de subgrano tienen menor energía que los de grano y, por consiguiente, se atacan con menor facilidad que estos últimos. Sin embargo, en muchos metales se pueden detectar en la microestructura por procedimientos metalográficos (Fig. 5-2).

Los límites de ángulo pequeño contienen una ordenación de dis-locaciones relativamente simple. El caso más sencillo es el de un límite inclinado. La figura 5-3 a muestra dos cristales cúbicos con un eje [001] común. La pequeña diferencia de orientación entre granos está indicada por el ángulo 6. En la figura 5-3 b se han juntado los dos cristales para formar un bicristal que contenga un límite de ángulo pequeño. A lo largo del límite, los átomos ajustan su posición por deformación localizada, a fin de producir una transición suave de un grano a otro. Sin embargo, la deformación elástica no puede acomodar toda la falta de encaje, de manera que algunos de los planos de átomos han de terminar sobre el límite de grano. En donde terminan los planos de átomos existe una dislocación de cuña. Por consiguiente, los límites inclinados de ángulo pequeño pueden considerarse como una ordenación de dislocaciones de cuña. Partiendo de la geometría de la figura 5-3 b, la relación entre 9 y el espaciado entre dislocaciones viene dada por /, t

en la que b es la magnitud del vector de Burgers d e la red. ' <ttj í

La validez del modelo de dislo< ciones para el límite de ángulo pe-queño se demuest ra por la posibili id de calcular la energía del límite de grano en función de la diferem t de orientación entre los dos gra-nos. Con tal de que el ángulo no ea mayor de unos 20°, los valores de la energía del límite de grano nedidos y los calculados sobre la base del modelo de dislocaciones encuerdan bas tan te bien. También por medio de las observaciones • etalográficas se comprueba la in-

FIG. 5-2 .—Ret ículo de la subes t ruc tu ra en una aleación de h ie r ro y 3% de silicio. 250 aumentos .

tervención de las dislocaciones en los límites de ángulo pequeño. Si el ángulo es pequeño, de manera que el espaciado entre dislocaciones sea grande, es posible observar f recuentemente que el l ímite está cons-t i tuido por una hilera de figuras de corrosión y cada figura corres-ponde a la situación de una dislocación en cuña (Fig. 5-4).

Los sublímites o límites de ángulo pequeño se pueden produci r de modos di ferentes 1 , durante el crecimiento del cristal, en la deforma-ción por fluencia lenta a tempera tura elevada o como resul tado de una transformación de fase. El veteado de los granos de ferr i ta es un ejemplo bien conocido de subes t ructura producida por las tensiones

1 R . W. CAHN: "Impur i t ies a n d Imperfec t ions" , Amer ican Society for Me-tals, Metals Pa rk , Ohio, 1955.

; Í E C . 5 O J L I M H LO DE GR«NO DE ANOULO PEYUEÑO 1 3 3

internas que acompañan a las transformaciones de fase. Quizá el mé-todo más general para producir una red subestructural consiste en in-troducir un pequeño grado de deformación (del 1% al 10%, aproxi madamente), seguido de un tratamiento de recocido para reordenar las dislocaciones en límites de subgranos. El grado de deformación y

FIG. 5-3 .—Esquema de un límite de grano de ángulo pequeño, a) Dos granos que t ienen un eje [ 0 0 1 ] común y una diferencia angular de orientación 0; b) D o s granos unidos formando un límite de grano de ángulo pequeño cons-tituido por una ordenación de dislocaciones de cuña. (W. Y. READ, Jr.: Dislo-cations irt Crystals, pág. 157, McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva

York, 1953).

la temperatura han de ser lo suficientemente bajos para impedir la formación de nuevos granos por recristalización (véase Sec. 5-12). Este proceso se ha denominado recristalización in situ o poligoni-zación.

El término poligonización se utilizó primeramente para describir lo que ocurre cuando se curva un monocristal, dándole un radio de cur-vatura relativamente pequeño, y, entonces, se le somete a un recocido. El resultado obtenido al curvar es la introducción de un número ex-cesivo de dislocaciones del mismo signo. Estas dislocaciones se dis-

t r iouy-n a lo largo de plano- d t - ' M <m Iia figura a. O j a r

t r f . r , r

')' un If-nl'«- 'i'; ángulo pcqij 'mo poiinorisi fi<; lìmiti;'! d<: grano de

f u e t t o qtj'; los límites de án; ;

n.K ion'v, ',':n'-ill.i', de disio'.¡¡' ion poKjoji.i mio; mación v,ilio',a •-,<jl Ij;Ìf k <t; y Washburn ' han dernr

NV D O - ^ L P A W \ \ \ \ \ U > \\W V\M\U\\V,O SE L-S

OH \ \MWpl\Mo .Uuei.lo , I*I\ lo >^UO CAB'OA . .LO V.WA

I M I U l ó n linortl dislocaciones A M U U M N O , so ha compi olv.do QUO

ol del limito disminuyo .1 aumentar la distancia de cizalla-nuonto. Usto significa que el limite pierdo dislocaciones al desplazarse, hecho que cabría esperar si estas dislocaciones se mantienen ancladas en imperfecciones tales como á t e n o s extraños, partículas de precipi-tado y otras dislocaciones.

La formación de subgranos < i un material recocido produce un aumento importante de la resiste ncia mecánica. La figura 5-6 muestra el incremento del límite elástico en el níquel, debido a un aumento en la densidad de los límites de subgrano producida por deformacio-nes previas y tratamientos de recocido diversos. El hecho de que las

deslizamiento ~' . ' ' ' me se o calienta e'. i'.. '. = ; ~c.;l::?.-

i.-.i y-.tura rv. r.-¿u¡o pequeño •'Fi*. 5-3 b . o p e q u e ñ o estar, f o r r r . í d c s 7- r c : d e -, «¡1 e s t u d i o de \u\ p r o p i c i a - : es n-ro-: el c o m p o r t a m i e n t o de las m i s m a s r a d o que los l í m i t e s de á n e u l o pe-

l E. R. PARKER y J. WASHBURN: Trans. A IME, voi. 194, págs. H)76-078. ios?

curvas del níquel puro y '..;> a d i c i o n e s de níquel sean casi ( N J M ' Í ' J S • -¿•ca que el er .du:ec\ r . \ : - ó.eV.io s u b e s t n i f f t u m í» . a y r - c d u : í i : r r r s.0.-.:."..— V" \x " n t c s l w

l<2' (t>)

Fie. 5 -5 .—Movimien to de las dislocaciones para produc i r la poligonización (esquema).

de una subes t ruc tura de l imites de grano de ángulo pequeño s o r r > la curva tension-deformación del acero 1020 (acero o r d i n a r b eon 0 " de C). Observese que el material , que fue deformado en frío J * cido a fin de produci r una subestruc- y r e - ° " tura, posee un límite elástico y una 1

resistencia a la t racción superiores a los que tienen t a n t o los mater ia-les recocidos como los que solo han sido deformados en frío. Ade -más, la ducti l idad de los mater ia les que contienen una subes t ruc tu ra es casi tan buena como la de los aceros recocidos.

tü "3 t>

E n d u r e c i m i e n t o por solu-ción sól ida .—La introducción de áto-mos del soluto en solución sólida en la red de á tomos solventes pro-duce, invariablemente, una aleación que es más resis tente que el meta l

1 2 l * 6 densidad d« subUrnita«

(escala arbitraria) que es mas resis ieuie ^uc t i inc^tu

C • * „ Ja ,,,1,,-in FIG. 5-6.—Efecto de la densidad de puro. Existen dos tipos de solucio- s u b l í m ¡ t e s e n e l e l á s t i c a nes sólidas. Si los á tomos solutos y ( E - R . PARKER y T . H . H A Z L E T T :

solventes son parecidos, los pr imeros Relation of Properties to Micro-ocuparán puntos ret iculares en la red cristalina de los á tomos solventes. A este tipo se denomina solución só-lida de sustitución. Si los á tomos de soluto son mucho menores que los del solvente, estos ocuparán posiciones intersticiales de la red del solvente. El carbono, el nitrógeno, el oxígeno, el hidrógeno y el boro forman soluciones sólidas intersticiales.

Los factores que controlan la tendencia a la formación de solucio-

nos sólidas de sustitución se har descubierto, principalmente, gracias a los trabajos de Hume-Rothery Si los tamaños de los dos átomos, deducidos aproximadamente de los parámetros de las redes, difieren menos del 15%, el factor tamaño es favorable a la formación de solu-ción sólida. Cuando la diferencia de tamaño es mayor del 15%, la solubilidad está usualmente restr agida a menos del 1%. Los metales que no tienen entre sí una .^finirad química muy acusada, tienden a

| | •

S — - -

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— ,r t? N - -

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i t -

—

— / r —

acero AISI C 1020, calidad de aviación todas las muestras recocidas previamente 2 h a 690 °C

o» brutas de recocido

acero AISI C 1020, calidad de aviación todas las muestras recocidas previamente 2 h a 690 °C

o» brutas de recocido

acero AISI C 1020, calidad de aviación todas las muestras recocidas previamente 2 h a 690 °C

o» brutas de recocido A 8 % de reducción de espesor e a reduc ¡do en frío et 8 % , recocid

1 / 2 h a 690 °C y templado en a velocidad de deformación, 0 , 0 0 2 / min

n frío A 8 % de reducción de espesor e a reduc ¡do en frío et 8 % , recocid

1 / 2 h a 690 °C y templado en a velocidad de deformación, 0 , 0 0 2 / min

o - | • ceite

A 8 % de reducción de espesor e a reduc ¡do en frío et 8 % , recocid

1 / 2 h a 690 °C y templado en a velocidad de deformación, 0 , 0 0 2 / min

0,10 0,20 deformaciór convencional

- 0,30

Fio. 5-7 .—Efecto de una subes t ruc tura ce límites de grano de ángulo pequeño en la curva tensiónvdeformación del ,<cero SAE 1040 (acero al carbono). ( E . R . PARKER y J . W A S H B U R N : ImpurUtas and [mperfections, pág. 1 5 5 . Ame-

rican Society for Metals , Metals Park, Ohio, 1955.)

formar soluciones sólidas, mientras que los metales que se encuentran muy alejados en la serie electromotriz, forman compuestos intermetáli-cos. La valencia relativa del soluto v del solvente es también impor-tante. La solubilidad de los metales con valencia mayor en solventes cuya valencia es menor, es más extern a que el caso opuesto. Así, p. ej., el cinc es mucho más soluble en el :obre que este último en el pri-mero. Este efecto de la valencia relativa se explica hasta cierto grado utilizando la relación electrones/átomos En ciertos metales solventes, el límite de solubilidad en electrones/átomos tiene el mismo valor

' A s í , p. ei., una aleación de un 30% a tómico de Zn en Cu tiene una rela-ción e lec t rones /á tomos de 1,3 (3 x 2) + (7 x 1 ) = 13 electrones de valencia por 3 + 7 = 1 0 átomos.

f T T V f f P P V W J ^ P s r x . ^ P Ef^PECIM.^pb PQk^luc io^bLIDA^^P

para átomos solutos de diferente valencia. Finalmente, para que la solubilidad sólida se extienda a todo el intervalo de composiciones (miscibilidad completa), los átomos solutos y solventes han de tener la misma estructura cristalina.

El conseguir información fundamental acerca de las causas del en-durecimiento por solución sólida ha sido un proceso lento. Los pri-meros es tudios 1 sobre el aumento de dureza a causa de adiciones en solución sólida, mostraron que el aumento de dureza varía directa-mente con la diferencia de tamaño entre los átomos solutos y los sol-

i ventes o con la variación del parámetro reticular debida a la adición de soluto. Sin embargo, es evidente que el factor tamaño por sí solo no puede justificar el endurecimien-to por solución sólida. Se puede obtener una correlación mejor de los da tos 2 cuando se considera, ade-más de la distorsión del parámetro reticular, la valencia relativa del soluto y del solvente. En la figu-ra 5-8, donde se muestra la impor-

; tancia de la valencia, se representa el límite elástico de aleaciones de

I cobre con parámetro reticular cons-! tante en función de la relación ' electrones/átomos 3. Resultados pos-j teriores 4 han most rado que las alea-

ciones con tamaño de grano, pará-metro reticular y relación electro-nes/átomos iguales tienen el mismo límite elástico inicial, pero sus curvas de fluencia difieren para tensiones mayores.

Se han realizado estudios sistemáticos relativos al efecto producido por la adición de aleantes en solución sólida sobre las curvas de fluencia en tracción del hierro5 , cobre6 , aluminio7 y níquel8 . En el caso del hierro el endurecimiento por solución sólida es una función

1 A. L. NORBURY: Trans. Faraday Soc., vol. 19, pâgs. 506-600, 1924; R . M . BRICK, D . L. MARTIN y R . P . ANGIER: Trans. ASM, v o l . 3 1 , p â g s . 6 7 5 -98, 1 9 4 3 ; J. H . FRYE y W . HUME-ROTHERY : Proc. Roy. Soc. (Londres ) , v o l . 181 , pâgs. 1-14, 1942.

2 J . E . D O R N , P . PIETROKOWSKY y T . E . T I E T Z : Trans. AIME, v o l . 1 8 8 . pâgs. 933-43, 1950.

3 W . R. HIBBARD, fr.: Trans. Met. Soc. AIME, vol. 212, pâgs. 1-5, 1958. 4 N . G. AINSLIE, R. W. GUARD y W. R. HrBBARD: Trans. Met. Soc. AIME,

vol. 215, pâgs. 42-48, 1959. 5 C . E . LACY y M . GENSAMER : Trans. ASM, v o l . 3 2 , p â g s . 8 8 - 1 1 0 , 1 9 4 4 . 6 R. S. FRENCH y W. R. HIBBARD, Jr.: Trans. AIME, vol. 188, pâgs. 53-58,

1 9 5 0 . 7 DORN, PIETROKOWSKY y T I E T Z , op. cit. 8 V . F. ZACKAY y T. H. H A Z L E T T : Acta Met., vol. 1, pâgs. 624-28, 1953.

S. 5 0 o G 4 0

8 3 0 Vi S 20 M

1 1 0

1.10 1,15 1 , 2 0 retacidn etectrones/dtomos

FIG. 5-8.—Efecto de la relación elec-trones-átomos en el límite elástico de aleaciones de cobre constituidas por solución sólida. (W. R. HIBBARD, Ir.: Trans. Met. Soc. AIME, vot. 212,

pág. 3. 1958.)

potencial de la adición de aleantes. L figura 5-9 muestra r j aumento de resistencia a la tracción debido la adición de aleai.-,¡$ e n e] hierro. Para un determinado tanto p • ciento atómico de y,luto el aumento de resistencia varía inversarm te con el límite de volubilidad

Usualmente, la distribución de áto os solutos en una re-: solvente no es totalmente aleatoria. Cada vez <isten más pruebas o? q u e jo s

0 . 3 0 ,4 ( I 2 ? contenido ató ico por ciento

i ic. 5-9 .— Incremento de la resistencia a 5 tracción del hierro pin adiciono, a solución sólida, en función del contenide por ciento. (C. E. LACY y M Gr.v-

SAMER: Trans. ASM, vol. >, pág. 88, 1944.)

.itomos solutos se agrupan preferentemente en dislocaciones, defectos • le apilamiento, límites de ángulo pequeño y límites de grano. Sin embargo, incluso en redes perfectas, la distribución atómica n 0 es totalmente aleatoria. Cuando en una solución sólida de á tomos A y B estos últimos tienden a agruparse preferentemente alrededor de otros átomos B, hay tendencia al apiñamiento. Sin embargo, si un átomo B determinado está rodeado preferentemente por átomos A, la solución sólida presenta un orden de corta distancia. La tendencia al apiña-miento o a la ordenación de corta distancia se incrementa con el aumento de las adiciones de soluto.

Es probable que el endurecimiento por solución sólida no sea sim-

plemente el resul tado de tensiones interne! pp ciones reticulares localizadas, causadas, a su vez, por dispersos al azar. Consideremos una línea de dislocación en u n a red de solución sólida perfec tamente aleatoria. Como término medio, y debido a los á tomos solutos, habrá igual número de campos de ten-siones, positivos y negativos, que actúen sobre la línea de dislocación. La tensión reticular será casi cero y la dislocación se desplazará igual

;r qUe a través de la red de un metal puro. 'S, Siguiendo las ideas de Cottrel l 1 , se admi te generalmente que el X) endurecimiento a par t i r de á tomos solutos se produce por la inter-j§ acción de estos á tomos, en forma de "a tmósferas" , con las dislocacio-

nes. Puesto que los á tomos de la zona superior de una dislocación de ¿i cuña positiva están comprimidos y los que se encuentran en la par te J Í inferior al plano de deslizamiento, dilatados, la energía de deformación :f en la distorsión se puede reducir por recolección de á tomos grandes f en la zona di latada y de átomos pequeños en la zona comprimida. Los J. átomos intersticiales se reúnen en la zona di latada, por deba jo del plano ^ de deslizamiento de una dislocación en cuña positiva. Debido a que i. la energía local es menor cuando una dislocación está rodeada por una ; atmósfera de solutos, para hacer que una dislocación se desplace se

requiere una tensión mayor que la que se precisaría si no existiera ninguna interacción ent re la dislocación y los á tomos solutos. Si la tensión es lo suf ic ientemente grande, se puede arrancar la dislocación fuera de la a tmósfera que la rodea. Cuando es to sucede, la dislocación puede desplazarse con tensiones menores.

El caso mejor conocido de interacciones ent re dislocaciones y áto-mos solutos es la existencia en el hierro y o t ros metales de un l ímite elástico aparente super ior y otro inferior. Se sabe que la presencia de un límite elástico aparen te en el hierro está asociada con los á tomos solutos intersticiales (véase Sec. 5-5). El l ímite elástico superior co-rresponde a la tensión requerida para ar rancar las dislocaciones fuera de las atmósferas de los átomos intersticiales.

Para explicar el endurecimiento por solución sól ida 2 , se han de considerar cierto n ú m e r o de t ipos de interacción de á tomos solutos. El anclaje de Cottrel l debido a la interacción elástica entre á tomos solutos y dislocaciones, tal como se ha descri to anter iormente para los átomos intersticiales, es un factor impor tan te en el endurecimiento por solución sólida. En vista de los efectos de valencia observados en las soluciones sólidas, también se ha de considerar la interacción eléc-

' A . H . COTTRELL: "Dislocations and Plastic Flow in Crystals", Oxford University Press, Nueva York, 1953.

2 Sobre las teorías relativas al endurecimiento por solución sólida, véanse E. R. PARKER y T. H. HAZLETT: "Relation of Properties to Microstructure", págs. 50-53, American Society for Metals, Metals Park, Ohio, 1954. A. H. COT-TRELL ofrece un trabajo más matemático de las interacciones entre disloca-ciones y átomos solutos en "Relation of Properties to Microstructure", pági-nas 131-62, American Society for Metals, Metals Park, Ohio, 1954.

trica. Sin embargo, los cálculos efectuados indican que la interacción eléctrica es solo de un tercio a un séptimo, aproximadamente , de la interacción elástica. Suzuk i 1 ha señalado la existencia de un tercer tipo de interacción. Por medio de un razonamiento termodinámico se demuestra que la concentración de á tomos solutos en un defecto de apilamiento es mayor que la concentración media total. De aquí se desprende que existe una "interacción química" entre estas zonas y las dislocaciones. A u n cuando en la mayoría' de las aleaciones esta interacción química es más débil que la fuerza de interacción debida al anclaje de Cottrell, la fuerza debida a la interacción química no disminuye tan to con el aumento le la t empera tu ra como en el caso del anclaje de Cottrell . F i she r 2 ha señalado que la existencia de orde-naciones de corta distancia o apiñamiento en las aleaciones produce un efecto de endurecimiento. El desl izamiento en un metal puro no varía la energía interna de la red, ya que la configuración de átomos a t ravés del plano de deslizamiento es la misma antes y después del deslizamiento. La misma situación existe en una solución sólida to-talmente desordenada, pero en u n a l e a c i ó n con un orden de corta distancia el desl izamiento destruirá parcialmente el modelo de orde-nación a través del plano de deslizamiento. En este úl t imo se produce una superficie interna de mayor ene gía, por lo que se precisa aumentar la tensión requerida para producit deslizamiento. Cabe esperar que la interacción química de Suzuki predomine sobre la ordenación de corta distancia en las soluciones diluidas, en las que la energía de los defectos de apilamiento disminuye ápidamente con la concentración. En las soluciones sólidas concentr; las predomina el endurecimiento debido a ordenaciones de corta dist incia.

En aleaciones binarias con orden •don de larga distancia, todos los átomos de los const i tuyentes ocupan lugares especiales de la red. l ' s to origina una superred con célula unidad mayor y una es t ructura cris-talina nueva. La interacción de las dislocaciones con una ordenación de l a rga-d i s tanc ia 3 produce un efecto de endurecimie ni o. 1 J}1 cris tal ordenado contiene dominios en cuyo interior el orden es perfecto, pero no está coordinado con el orden de los dominios vecinos. Puesto que los límites de dominio son una intercara de energía elevada, existe una interacción entre las dislocaciones y estos límites antifase. La tensión requerida para producir desl izamiento varía inversamente con la distancia entre límites de dominio. Debido a que al cont inuar el

1 H . SUZUKI: Sci. Repts. Research Insts. Tohoku Univ., vol. 4A, num. 5, pàgs. 455-63, 1952; "Dislocations and Mechanical Properties of Crystals", pàg. 361, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1957.

J J . C . F I S H E R : Acta Met., v o l . 2 , p à g . 9 , 1 9 5 4 . 3 N. BROWN y M. HERMAN: Trans. AIME, vol. 206, pigs. 1353-354, 195 ! :

A. H. COTTRELL: "Relat ion of Propert ies to Microstructure", pags. 131-62. American Society for Metals, Metals Park, Ohio, 1 9 5 4 ; N. B R O W N : Phr \i<Jg„ vol. 4. pdgs. 693-704, 1959; P. A. FLINN: Trans. AIME, vol. 218, paui-n a s 1 4 5 - 5 4 , 1 9 6 0 .

n deslizamiento se producen más l ímites de dominio, ia velocidad del endurecimiento por deformación es mayor en el estado ordenado que en el desordenado. Las aleaciones ordenadas con tamaño de dominio fino (aproximadamente 50 A) son más resistentes que las que se en-cuentran en es tado desordenado. Las aleaciones ordenadas con tamaño de dominio grande t ienen generalmente un límite elástico menor que las que se encuentran en estado desordenado. Esto ocurre porque las dislocaciones de las aleaciones bien ordenadas se agrupan en parejas, teniendo cada par un vector de Burgers que es dos veces mayor que el de las redes desordenadas.

5-5. F e n ó m e n o s del l í m i t e e lás t i co aparente .—Muchos metales, part icularmente el acero bajo en carbono, muestran un t ipo de tran-sición localizada y heterogé-

límite elástico aparente superior

- l imit« elástico aparente inferior

I alargamiento «n el limite elástico aparente

alargamiento

FIG. 5-10.—Comportamiento típico en el l ímite elástico aparente.

nea, desde la formación elás-tica a la plástica, que produ-ce un l ímite elástico aparen-te en. la curva tensión-defor-mación. En vez de tener una curva de fluencia con una transición gradual desde el compor tamiento elástico al plástico, tal como se mos t ró en la figura 3-1, los metales con límite elástico aparente tienen una curva de fluencia o, lo que es equivalente, un diagrama carga-alargamiento similar al de la figura 5-10. La carga aumenta uniforme-mente con la deformación elástica, desciende con rapidez, fluctúa al-rededor de un valor de carga aproximadamente constante y luego vuel-ve a elevarse con deformación posterior. A la carga a la que se pro-duce el descenso brusco se denomina límite elástico superior. La carga constante es el límite elástico inferior y al alargamiento que se pro-duce con carga cons tan te se le llama amplitud del alargamiento en el límite elástico. La deformación que t iene lugar en toda la amplitud es heterogénea. En el l ímite elástico superior, localizada en una con-centración de tensiones, p. ej., una marca, aparece una banda d i scre ta de metal deformado, visible f recuentemente a simple vista. Al mismo t iempo que se forma la banda, la carga desciende hasta el límite elás-tico inferior. Entonces , la banda se propaga a lo largo de la longitud de la probeta, p roduc iendo la ampli tud del alargamiento en el l ímite elástico. Corr ien temente , se forman varias bandas en diversos puntos de concentración de tensiones. Estas bandas se encuentran gencr»! te a unos 45° del eje de tracción. Se denominan usualmente

N i Al Hartmann o marcos de deformación, refiriéndose a VtCM t i t a deformación como efecto Piobert. Cuando se han formado varias bandas de Lüders, la curva de fluencia es irregular en toda la amplitud del alargamiento, correspondiendo cada codo a la formación de una nueva banda de Lüders. U n a vez que las bandas de Lüders se han propagado hasta cubrir toda la longitud de la sección de la pro-beta de ensayo, el flujo aumenta del m )do usual con la tensión. Es to se-ñala el fin de la ampli tud del alargami ato en el l ímite elástico aparente.

El fenómeno del límite elástico a¡ árente se descubrió por primera vez en el acero suave. En condicioi -s adecuadas, con este material se pueden obtener límites elásticos uperior e inferior pronunciados y una amplitud de alargamiento de lás del 10%. Recientemente , se ha aceptado el límite elástico aparen te orno un fenómeno general, pues-to que se ha observado en cierto n ú m -o de metales y aleaciones. Ade-más de en el hierro y el acero, se ha observado en el mol ibdeno poli-cristalino, en el t i tanio y en las aleac ones de níquel, así como en los monocristales de hierro, cadmio, cinc, latones alfa y beta y en el alu-minio. Normalmente , este f enómeno s puede asociar con la presencia de pequeñas cant idades de impurezas intersticiales o de susti tución. Así, p. ej., se ha d e m o s t r a d o 1 que al eliminar casi to ta lmente , por (ratamiento con hidrógeno húmedo , el carbono y el n i t rógeno de los aceros desaparece el límite elástico aparente . Sin embargo, se precisa olo 0,001% de cualquiera de estos e lementos para que reaparezca.

En la obtención de un l ímite elást ico superior p ronunc iado inter-vienen cierto número de factores experimentales . Los factores que fa-vorecen la consecución de dicho 1 imite son: la utilización de una máquina de ensayos elást icamente rígida (dura) , una alineación axial <!e la probeta muy cuidadosa, el uso de probetas exentas de concen-traciones de tensiones, grandes velocidades de carga y, f recuentemente , ensayos a tempera tura inferior a la ambiente . Si una vez evi tadas cui-dadosamente las concentraciones de tensiones se puede hacer que la primera banda de Lüders se forme en la mitad de la probeta , el límite elástico superior puede ser, aprox imadamente , el doble del inferior. r i n embargo, es más corriente ob tener un límite superior de un 10% a un 20% mayor que el inferior.

En la sección anterior se i n t r o d u j o el concepto de Cot t re l l que atribuye el límite elástico aparente a 1;> interacción de á tomos solutos con dislocaciones. Los á tomos so lu tos se di funden hacia las disloca-i iones, lo que hace descender la energía de deformación del cristal. Entonces, las dislocaciones quedan ancladas por una a tmósfera de átomos solutos. La teoría or iginal 2 consideraba que los á t o m o s solu-tos se segregaban solamente en las di; iocaciones de cuña, ya que las helicoidales no tienen por lo general componentes de tracción. Recien-

' I . R. Low y M. GENSAMER: Trans. AIME, vol. 158, pigs. 207, 1944. 2 A. H. COTTRELL y B. A. BILBV: Proc. Phys. Soc. (Londres), vol. 62A.

rags. 49-62, 1949.

temente, la teoría ha sido modificada en el sentido de que existe una fuerte interacción entre átomos intersticiales y dislocaciones helicoidales cuando la red está deformada as imétr icamente por á tomos solutos, lo que origina una componente de tracción de la tensión 1 .

La concentración local c de á tomos solutos próximos a la dislo-cación y la concentración media C0 guardan la relación

- U c = c0ex P - ^ - [ 5 - 6 ]

en la que U es la energía de interacción. Para el carbono y el nitróge-no, en el hierro, la energía de interacción t iene un valor que varía entre 0,5 y 1,0 ev. Al descender la t empera tu ra , la a tmósfera soluta se vuelve más concentrada y por deba jo de una tempera tura crítica la atmósfera se condensa en una línea de á tomos solutos. Es tos á tomos ocupan una posición de energía de interacción máxima jus tamente por debajo del centro de una dislocación de cuña positiva, paralela a la longitud de la dislocación.

La tensión cizallante requerida para ar rancar una dislocación fuera de su a tmósfera presenta un máximo cuando se representa en función del desplazamiento. Por consiguiente, las dislocaciones t ienden a vol-ver a su atmósfera cuando los desplazamientos son pequeños, pero cuando se ha alcanzado cierta tensión el movimiento de la dislocación se hace más fácil al aumentar la distancia que le separa de la atmós-fera. La tensión a la que las dislocaciones se separan de sus a tmósferas corresponde al l ímite elástico superior. Esta tensión hace que se libere un torrente de dislocaciones que se precipitan en el p lano de desli-zamiento y se apilan en los l ímites de grano. La concentración de tensiones, en el extremo del apilamiento, se combina con la tensión aplicada en el grano siguiente y libera las dislocaciones de d icho grano. De este modo, una banda de Lüders se propaga por toda la probeta *.

5-6. E n v e j e c i m i e n t o p o r d e f o r m a c i ó n . — E l envejecimiento por deformación es un tipo de comportamiento , asociado usualmente con el fenómeno del límite elástico aparente, en el que al calentar un me-tal a una temperatura relat ivamente baja, después de deformar lo en frío, aumenta la resistencia mecánica y d isminuye la ductil idad. Es te comportamiento se puede i lustrar per fec tamente considerando la figu-ra 5-11, en la que se describe esquemát icamente el efecto del enveje-

1 A . W. COCHARDT, G . SCHOEK y H . W I E D E R S I C H : Acta Met., vol. 3 , págs. 533-37, 1955.

* Actualmente se opina que la caída de tensión inmediata al límite elástico superior no se produce al ser arrancadas de su atmósfera las dislocaciones an-cladas, sino por un mecanismo de multiplicación rápida de las dislocaciones y por ser la velocidad del movimiento de estas función de la tensión. Tal meca-nismo explica todas las peculiaridades del límite elástico aparente y del enve-jecimiento por deformación. Véase C. T. HAHN: Acta Met., vol. 10, pági-nas 727-38, 1962. (N. del T.)

por deformación sobre la curva de fluencia de los aceros bajos en carbono. La zona A de dicha figura muestra la curva tensión-deformación de un acero bajo en carbono deformado plásticamente, a través de la amplitud del alargamiento en el límite elástico aparente, hasta una deformación correspondiente al punto x. Se descarga en-tonces la probeta y se la vuelve a ensayar sin demora apreciable o sin ningún tratamiento térmico (zona B). Obsérvese que al volver a cargar no aparece el límite elástico aparente, puesto que las dislocaciones han sido arrancadas fuera de la atmósfera de átomos de carbono y nitró-geno. Consideremos ahora que se deforma la probeta hasta el punto Y

FIG. 5-11.—Curvas tensión-deformación de un acero al carbono que muestran el envejecimiento por deformación. La región A corresponde al material virgen deformado hasta más allá del límite elástico apa ren t e . La región ñ corresponde a la reanudación del ensayo i n m e d i a t a m e n t e después de alcanzarse el punto X. La región C muestra la reapar ic ión

del l ímite elástico aparente después de envejecimiento a 150 °C.

y se retira la carga. Si se vuelve a cargar después de un envejeci-miento de varios días a temperatura ambiente o de varias horas a una temperatura de envejecimiento de unos 150 °C, el límite elástico apa-rente reaparece. Además, dicho límite se incrementa, por el t ratamiento de envejecimiento, de Y a Z. La reaparición del límite elástico aparente se debe a la difusión de los átomos de carbono y nitrógeno hacia las dislocaciones, durante el período de envejecimiento, a fin de formar nuevas atmósferas de átomos intersticiales que anclan otra vez dichas dislocaciones. En apoyo de este mecanismo se encuentra el hecho de que la energía de activación para que reaparezca el límite elástico concuerda perfectamente con la necesaria para la difusión del carbono en el hierro alfa.

El nitrógeno desempeña un papel más importante que el carbono en el envejecimiento por deformación del hierro, debido a que tiene una solubilidad y un coeficiente de difusión mayores y produce una precipitación menos completa durante el enfriamiento lento. Desde un

punto de vista práctico, es importante eliminar el envejecimiento por deformación en la embutición profunda del acero, ya que la reaparición del límite elástico aparente puede dar lugar a la formación de defectos superficiales o "marcas de deformación" debidos a la deformación heterogénea localizada. Para controlar el envejecimiento por deforma-ción, es conveniente disminuir la cantidad de carbono y nitrógeno en solución añadiendo elementos que puedan sustraer parte de los á tomos intersticiales a la solución reteniéndolos en forma de carburos o ni-truros estables. Con este fin se han utilizado el aluminio, el vanadio, el titanio, el niobio y el boro. Aun cuando se puede conseguí- cierto grado de control sobre el envejecimiento por deformación, no existen aceros comerciales bajos en carbono totalmente exentos de envejeci-miento por deformación. Normalmente, la solución industrial de este problema consiste en deformar el metal hasta el punto X mediante una laminación superficial (skin-pass) o un planeado con rodillos (roller levelling), utilizándolo inmediatamente antes de que pueda envejecer.

De la misma forma que se ha reconocido como un fenómeno me-talúrgico general la existencia del límite elástico aparente, se ha con-firmado también la existencia del envejecimiento por deformación en metales diferentes a los aceros suaves. Aparte de la reaparición del límite elástico aparente y de su incremento después de un t ra tamiento de envejecimiento, se ha sugerido 1 que son características del enve-jecimiento por deformación la aparición de una curva de fluencia den-tada y de un mínimo en la variación con la temperatura de la sensi-bilidad a la velocidad de deformación. La sensibilidad a la velocidad de deformación es la variación de tensión requerida para producir cierta alteración en la velocidad de deformación a temperatura constante (véase Cap. 9). La aparición de dientes en la curva tensión-deforma-ción se conoce como fluencia discontinua o repetida. Se la denomina también efecto Portevin-Le Chatelier. Este fenómeno se debe a fluen-cia y envejecimiento sucesivos mientras se está ensayando la probeta. Esto proviene del hecho de que en el intervalo de temperaturas en las que se produce el fenómeno el tiempo requerido para la difusión de los átomos solutos hacia las dislocaciones es mucho menor que el que se precisa para un ensayo de tracción corriente. Se ha observado la fluen-cia discontinua en las aleaciones de aluminio con 3% de magnesio, en el duraluminio, en el latón alfa y en el acero ordinario al carbono.

En los aceros ordinarios al carbono, la fluencia discontinua se pro-duce en la zona de temperaturas comprendida entre los 232® y los 371 °C (450°-700° F ) . Esta zona de temperaturas se conoce con el nom-bre de región de fragilidad al azul porque el acero calentado den t ro de este intervalo (color de revenido azul) muestra una ductilidad en tracción más baja y la resistencia al choque en probeta con entalla es también menor. Este intervalo de temperaturas es también la zona

•I. D. LUBAHN: Trans. ASM, vol. 44, págs. 643-66, 1952. ntftrn j n

en la que los aceros muestran una sensibilidad mínima a la velocidad de deformación y una velocidad de envejecimiento por deformación máxima. Estos hechos indican que la fragilidad al azul no es un fenómeno distinto, sino un envejecimiento por deformación ace-lerado.

Conviene distinguir entre el f nómeno de envejecimiento por de-formación y el proceso de enveje 'miento después del temple, que se produce en los aceros bajos en < trbono. El envejecimiento posterior al temple es un tipo real de endur< cimiento por precipitación que tiene lugar después de templar desde ; i temperatura de solubilidad máxi-ma del carbono y el nitrógeno en la ferrita *. El envejecimiento pos-terior a temperatura ambiente, < ligeramente superior, produce un aumento en la dureza y en el lím e elástico como ocurre en el endu-recimiento por envejecimiento d< las aleaciones de aluminio. Para producir envejecimiento por templ no se precisa deformación plástica.

5-7. Endurecimiento produ ido por partículas de segunda fase.—Solo un número relativame¡ te pequeño de sistemas de aleacio-nes permiten una amplia solubilida i sólida entre dos o más elementos. Asimismo, en la mayoría de los s : temas de aleaciones, solo se puede producir un efecto de endurecimie to relativamente pequeño mediante adiciones en solución sólida. Por onsiguiente, la mayor parte de las aleaciones comerciales contienen una microestructura heterogénea com-puesta de dos o más fases meta1 írgicas. Se puede encontrar cierto número de estados diferentes L s dos fases pueden ser dúctiles y hallarse presentes en la microestrui ura en forma relativamente masiva, como en el latón alfa-beta. Por < ro lado, la estructura puede estar formada por una fase dura y frá'.il en una matriz dúctil, como los glóbulos de cementita en el ace o globulizado o las partículas de carburo de volframio en la matriz de cobalto de las herramientas de corte de carburos cementados.

El endurecimiento producido ¡>or partículas de segunda fase se suma normalmente al endurecimiento por solución sólida producido en la matriz. En las aleaciones de dos fases, producidas por métodos de equilibrio, la existencia de una segunda fase asegura un endureci-miento por solución sólida máximo porque su presencia es resultado de la sobresaturación de la fase continua. Además, la presencia de partículas de segunda fase en la matriz continua produce tensiones internas localizadas que modifican las propiedades plásticas de la fase continua. Para la completa comprensión del endurecimiento producido por partículas de segunda fase se han de considerar muchos factores.

* F. MUÑOZ DEL CORRAL: "La fase a del sistema Fe-C", Revista I.H.A., número especial noviembre 1952.

1 J, E. DORN y C. D. STARR han e s tud iado en su t r aba jo el e fec to de las partículas de segunda fase sobre las p ropiedades mecán icas : "Re la t ion oí Pro-perties to Microstructure", págs. 71-94, American Society for Metals. Metal? Park, Ohio, 1954.

Entre estos se incluyen el tamaño, forma, número y distribución de las partículas de segunda fase, la resistencia, la ductilidad y el com-portamiento del endurecimiento por deformación de la matriz y de la segunda fase, el encaje metalográfico y la energía y el enlace interfa-ciales entre fases. En los experimentos es casi imposible variar estos factores independientemente y resulta muy difícil medir muchas de estas cantidades con cierto grado de precisión. Por consiguiente, el efecto de las segundas fases sobre las propiedades mecánicas se co-noce, principalmente, de modo empírico y es incompleto.

En aleaciones polifásicas, cada fase aporta algo a las propiedades

i a) ( A )

FIG. 5-12 .—Estimación de las tensiones de f luencia de las a leac iones de dos fases, a) Igual deformación; b) igual tensión. (De J. E. DORN y C. D. STARR : Relation of Properties to Microstructure, págs. 77-78, American Society for

Metals. Metals Park. Ohio, 1954.)

del conjunto. Si la contribución de cada fase es independiente, las pro-piedades de la aleación de mútiples fases será un promedio ponderado de las propiedades de las fases individuales. Así, p. ej., la densidad de una aleación de dos fases es igual a la suma de los productos de las fracciones en volumen de cada fase por sus densidades. Sin embargo, en las propiedades mecánicas sensibles a la estructura, las propieda-des del agregado están generalmente influidas por la interacción entre las dos fases. Part iendo de las propiedades de las fases individuales se pueden utilizar dos hipótesis sencillas para calcular las propiedades de una aleación de dos fases. Si se supone que la deformación de cada fase es igual, la tensión media de la aleación para una deformación dada aumentará linealmente con la fracción en volumen de la fase más resistente:

armc<¡h=íicr,+f¡q-2 [5-7]

La fracción en volumen de la fase 1 es fu y /i + / 2 = l . La figura 5-12(2 muestra el cálculo de la curva de fluencia para una aleación con una

fracción en volumen de 0,5 de la f e 2, basándose en la hipótesis de deformaciones iguales. La otra hip< cesis consiste en suponer que las dos fases están sometidas a tensio- .JS iguales. La deformación media de la aleación a una tensión d e t e n inada viene dada por

Émedh = / l + fe 15-8]

La figura 5-12 b mues t ra la curva e fluencia para una aleación con una fracción en volumen de 0,5 ba indose en la hipótesis de que las dos tensiones son iguales. A m b a s hipótesis son simples aproximaciones y las resistencias de las aleaciones que contienen dos fases dúcti les se encuentran, normalmente , en un p u n t o si tuado entre los valores pre-dichos por los dos modelos.

La deformación de una aleación compuesta por dos fases dúcti les depende de la deformación total y de las fracciones en volumen de las fases. El desl izamiento se produce pr imeramente en la fase más débil y, si se halla presente muy poca cant idad de fase más fuerte , la mayor parte de la deformación continúa en la fase más blanda. En grandes deformaciones, el f lu jo de la mat r iz se produce alrededor de las par-tículas de la fase más dura. Si la fracción en volumen de la fase más dura es menor que 0,3, aproximadamente , la fase blanda se deforma más que la dura en reducciones de hasta el 60%. Con reducciones mayores las dos fases se deforman más uniformemente . Cuando las dos fases se hallan presentes en cant idades iguales experimentan, apro-ximadamente, el mismo grado de deformación

Las propiedades mecánicas de una aleación compuesta por una fase dúctil y por otra frágil y dura dependen de la distr ibución de esta última en la microest ructura . Si la fase frágil se encuentra en forma de envuelta de límites de grano, como las aleaciones cobre-bismuto exentas de oxígeno o en el acero hipereutectoide, la aleación es frágil. Si la fase frágil se halla en fo rma de partículas discont inuas en los límites de grano, p. ej., cuando se añade oxígeno a las aleaciones co-bre-bismuto, o en el cobre y el níquel oxidados in ternamente , la fra-gilidad de la aleación se reduce l igeramente. Cuando la fase frágil se encuentra en forma de fina dispersión uniformemente distr ibuida por toda la matr iz más blanda, se obt iene un estado con una resistencia mecánica y una ducti l idad ópt imas . Este estado se encuent ra en los aceros t ra tados térmicamente con una estructura martensí t ica revenida.

El endurecimiento producido po r una segunda fase insoluble, fina-mente dispersa en una matr iz metál ica, se conoce como endurecimien-to por dispersión. Cuando se da un t ra tamiento de disolución y se templa una aleación cuya segunda fase se encuentra en solución sólida a temperatura elevada, pero que precipita después de templarla, al envejecerla a temperatura inferior se produce un fenómeno de endu-recimiento muy similar conocido como endurecimiento por precipita-

M . CLAREBROUGH: Auitralian J. Sci. Repts., vol. 3 , pdgs. 72-90, 1950

ción o por envejecimiento. Las aleaciones de aluminio y las cobre-be-rilio endurecidas por envejecimiento son ejdmplos comunes. Para que se produzca endurecimiento por precipitación, la segunda fase ha de ser soluble a temperatura elevada, pero debe mostrar una disminución de solubilidad al descender la temperatura. Por el contrario, en los sistemas de endurecimiento por dispersión, la segunda fase tiene muy poca solubilidad en la matriz, incluso a temperaturas elevadas. Nor-malmente, hay coordinación o coherencia entre las redes del precipi-tado y la matriz, mientras que en los sistemas de endurecimiento por dispersión no existe coherencia, generalmente, entre las partículas de segunda fase y la matriz. Las exigencias que impone la disminución de solubilidad en función de la temperatura limitan el número de sis-temas útiles de aleaciones endurecibles por precipitación. Por otro lado, es posible, al menos teóricamente, producir un número casi infi-nito de sistemas de endurecimiento por dispersión, mezclando polvos metálicos finamente divididos con partículas de segunda fase (óxidos, carburos, nitruros, boruros, etc.) y consolidándolas con técnicas de metalurgia de polvos. Con este método se han obtenido ventajas en la producción de sistemas de endurecimiento por dispersión que son térmicamente estables a temperaturas muy elevadas. A causa de las partículas de segunda fase finamente dispersas, estas aleaciones son mucho más resistentes a la recristalización y al crecimiento de grano que las aleaciones monofásicas. Asimismo, debido a la pequeña solu-bilidad del constituyente de la segunda fase en la matriz, las partículas resisten el crecimiento o el sobreenvejecimiento mucho más que las partículas de segunda fase de un sistema de endurecimiento por pre-cipitación.

La formación de un precipitado coherente en un sistema de endu-recimiento por precipitación, como el Al-Cu, se produce en cierto número de pasos. Después de templada desde la solución sólida, la aleación contiene zonas de segregación de soluto o apiñamiento. Gui-ner y Preston utilizando técnicas especiales de rayos X detectaron por primera vez este apiñamiento local y, por consiguiente, a esta es-tructura se la conoce como zona GP. El apiñamiento puede producir deformación local, de manera que la dureza de GP[1] es mayor que para la solución sólida. Con un envejecimiento adicional, la dureza continúa aumentando por la ordenación de grandes grupos de átomos de cobre sobre los planos {100} de la matriz. Esta estructura se co-noce como GP[2 ] o 8". A continuación, sobre los planos {100} de la matriz se forman plaquitas definidas de precipitado de CuAJ2 o 6', que son coherentes con la matriz. El precipitado coherente produce un campo de deformación aumentada en la matriz y un aumento adicional de dureza. Con todavía más envejecimiento se forma, a partir de la red de transición 6', la fase de equilibrio C U A 1 2 o 6. Estas partículas ya no son coherentes con la matriz y, por tanto, la dureza es menor que cuando se hallaba presente la estructura coherente 6'. En la ma-

Bitas aleaciones se prepararon por metalurgia de polvos y están com-puestas de dispersiones uniformes de W C de 2¡u en una matr iz de cobalto. El rápido aumento del límite de proporcional idad con el in-cremento de la fracción en volumen de la segunda fase, mues t ra el efec-to producido al disminuir el espaciado entre par t ículas como conse-cuencia del aumento del límite elástico de la mat r iz dúcti l . La resis-tencia a la tracción es m u c h o - m e n o s sensible. Sin embargo, cuando

logaritmo del trayecto en ferrita, X

Fie. 5-14.—Límite elástico en función del logaritmo del t rayecto libre medio en la ferrita en aceros con perlitas laminar y globular. (M. GENSVMER, E. B. I'EAR-

SALL, W . S . PELLINI y J . R . L o w : Trans. ASM, v o l . 3 0 , p á g . 1 0 0 3 , L ' H \ )

casi toda la microestructura es ca rburo de volframio, el materia! rom-pe de una manera frágil por f rac tura a t ravés de los carburos. La f ractura se inicia en la fase frágil del carburo, pero no se propaga fáci lmente a través de la envolvente de cobalto que la rodea. Sin em-bargo, con una fracción en volumen de carburo elevada muchas par-tículas de W C se tocan y la f rac tura frágil se puede propagar fácil-mente de carburo en carburo. El efecto producido es la disminución de la resistencia a la tracción.

Los modelos de dislocaciones de los endurecimientos por disper-sión y por precipitación consideran que las par t ículas de segunda fase actúan como obstáculos que impiden el movimiento de las dislocacio-

rol »TICO 'DI MBA

nes. Al realizar el primer análisis de este problema, Mott y Nabarro1

consideraron que las líneas de dislocaciones toman una forma ligera-mente curva cuando se desplazan a través de la red, en vez de mo-verse en línea recta. Puesto que los diferentes segmentos de la línea de dislocación pueden moverse parcialmente independientes unos de otros, los campos aleatorios de tensiones en la matriz, que interactúan con la línea de dislocación, no se cancelan. Como quiera que las dis-

35r

30

2 5

u> o 2 0 o o

5 15

10

0

\ 1 l 1 1

i 5 % gruesa ' 5 % fina — solúción sólida —

con 0,194 Cu

i i

|

\ \ i - 4 i N. A

\ 1

i

100 XJ 3 0 0 4 0 0 5 0 0 600 700 temperatura, °K

FIG. 5-15 .—Variación del límite elástico con la temperatura para una aleación Al-Cu que cont iene 5% en volumen de partículas finas o gruesas de segunda fase. (C. D. STARR, R. B. SHAW y J. E. DORN: Trans. ASM, vol . 46, pági-

n a 1 0 8 5 , 1 9 5 4 . )

locaciones poseen una tensión lineal, que tiene a mantener su longitud en un mínimo, cualquier flexión o aumento de longitud en las líneas de dislocación requiere un consumo extra de energía. El radio mínimo de curvatura hasta el que puede ser curvada una dislocación bajo la influencia de un campo interno de tensiones T¡, está dado por

R = Gb 2 T,

[5-9]

Orowan2 ha sugerido que el límite elástico de una aleación que contenga una dispersión de partículas finas está determinado por la

1 N . F. MOTT y F. R . N . NABARRO : Proc. Phys. Soc. (Londres), vol. 52 pág. 86, 1940.

2 E . OROWAN, d iscusión en "Symposium on Internal Stresses", pág. 451, Institute of Metals , Londres, 1947.

TABLA 5-2

Variación de las propiedades de tracción con la fracción en volumen de la segunda fase en las aleaciones Co-WC *

Fracción en volumen Trayecto medio entre Límite proporcional, ¡ Resistencia a la de WC partículas Kg/ram' i tracción, Kg/mm:

0,00 j 72,1 0.10 16,8 ¡ 6,3 71.4 0,35 3,4 14,7 115.5 0,50 1.7 28,0 121,0 0,63 1,0 | 52.0 135,0 0.78 0.4 ( 59,5 86,8 0,90 0,2 [ 66,5

• C. NISHI.MATSU y J. GURLAN»: Trans. ASAS. vol. 52, pígs. 469-S!, 1960.

tensión cizallante requerida para forzar a una línea de dislocación a pasar entre dos part ículas separadas por un distancia A. En la figu-ra 5-16 la etapa 1 muestra una línea recta de dislocación aproximándose a dos part ículas separadas por una distancia A. En la etapa 2 la linea está empezando a curvarse y en la 3 ha alcanzado la etapa crítica. Pues-to que A es igual al doble del radio de curvatura crítico, de la Ec, | > 9 ]

c r >

(1) 12) (3! (4)

FIG. 5-16.—Dibujo esquemático de las diferentes fases del pa.so de una dislo-cación entre obstáculos muy separados, basado en el mecanismo de O: iwan

del endurecimiento por dispersión.

deducimos que la tensión necesaria para forzar la línea de dislocación a pasar entre los obstáculos está dada por

T = -Gb_ t r r 5-10]

En la etapa 4 la dislocación ha pasado entre los obstáculos, dejándo-los rodeados por pequeños anillos de dislocación. Cada dislocación que se desliza sobre el plano de deslizamiento añade un anillo alrede-dor del obstáculo. Estos anillos de dislocación ejercen una retroten-sión que tienen que vencer las dislocaciones que se mueven sobre e!

plano de deslizamiento. Por este motivo, para que la deformación con-tinúe se requiere un incremento de la tensión cizallante. Por consi-guiente, la presencia de partículas dispersas conduce a un incremento del endurecimiento por deformación durante el período en el que se están formando los anillos alrededor de las partículas. Esto continúa hasta que la tensión cizallante desarrollada por los anillos es lo sufi-cientemente elevada para cizallar a las partículas o a la matriz circun-dante. De acuerdo con la teoría expuesta por Fisher, Ha r t y Pry el incremento de la tensión cizallante, rh, debido a las partículas finas, está relacionado con la fracción en volumen en la segunda fase, f, y la resistencia al cizallamiento de una matriz sin dislocaciones, tc, por la expresión

r„ = 3 rcf" [5-11]

en la que ti tiene un valor entre 1 y 1,5. La relación de Orowan entre la resistencia mecánica y el espaciado

de las partículas se ha confirmado experimentalmente para la mayoría de los sistemas que contienen partículas sobreenvejecidas o no coheren-tes. La ecuación de Fisher, Hart y Pry para la contribución al endu-recimiento por deformación, a partir de partículas dispersas, también se ha confirmado aproximadamente. De acuerdo con la Ec. [5-10], la resistencia al cizallamiento de una aleación endurecida por dispersión alcanza un valor máximo cuando es igualmente posible que las dislo-caciones pasen entre las partículas o las cizallen. Al aumentar la dis-tancia entre partículas, el radio de curvatura crítico aumenta y la ten-sión requerida para curvar la línea de dislocación disminuye. Cuando la distancia entre partículas disminuye, la línea de dislocación se hace más rígida. Es difícil que una línea de dislocación se curve lo sufi-ciente para pasar entre partículas y en lugar de ello las cizalle. Existen indicios de que en la zona de espaciados pequeños entre las partículas, el límite elástico es una función directa del radio de las partículas.

5-8. E n d u r e c i m i e n t o deb ido a defec tos de punto .—Si se bom-bardean los metales con partículas nucleares de elevada energía se producen vacantes y átomos intersticiales. El bombardeo de la red con neutrones rápidos, que tengan energías de hasta dos millones de elec-trón-voltios, hace que se desplacen átomos hasta posiciones intersti-ciales de la red, dejando tras de sí vacantes. La irradiación con neu-trones incrementa la dureza y el límite elástico de la mayoría de los metales. En los monocristales de cobre, una cantidad de 1018 neutrones por centímetro cuadrado aumenta el límite elástico diez veces y varía las características de deformación de tal manera que se hacen similares a las del latón alfa2 . En los metales que muestran una transición de

1 J . C . F I S H E R , E . W . H A R T y R. H . P R Y : Acta Met., v o l . 1 , p á g . 3 3 6 . 1 9 5 3 . 2 A. H. COTTRELL: "Vacancies and Other Point Defects in Metals and

Alloys", págs. 1-39, Institute of Metals, Londres, 1958.

dúctil a frágil, como el acero, la irradiación prolongada de neutrones puede elevar apreciablemente la t empera tu ra de transición. Los cam-bios estructurales que producen endurecimiento y deter ioro por radia-ción son difíciles de estudiar con detalle, porque actúan simultánea-mente al menos dos defectos de punto . Los á tomos intersticiales son aún más móviles que las vacantes, de forma que se precisan tempe-raturas bastante bajas para impedir que interactúen con otros defectos reticulares.

Templando rápidamente un meta l puro (de manera que no pueda haber precipitación de una segunda fase) desde una tempera tura pró-xima a su punto de fusión, se puede producir un es tado en el que los únicos defectos de punto sean vacantes . A tempera tu ra ambiente o a una inferior, el metal es una solución sobresa turada de la mayoría de las vacantes que existían en equil ibrio a t empera tu ra superior. Por temple se pueden conseguir concentraciones de vacantes de hasta I0_ 4 , aproximadamente. Los meta les b landos como el a luminio, cobre y cinc pueden ser endurecidos introduciéndoles , de este modo, una población de vacantes dis tr ibuidas al azar. El endurecimiento por temple pro-duce un aumento del l ímite elástico y una disminución de la velocidad de endurecimiento por deformación, lo mismo que ocurría en el endu-recimiento por radiación. Por consiguiente, la dispersión de defectos de punto puede producir endurec imien to por analogía con el producido por la dispersión de part ículas de segunda fase. El mecanismo que produce este endurecimiento no se ha de te rminado todavía. Existen ciertas pruebas de que en esta etapa las vacantes aisladas emigran ha-cia apiñamientos. Si se in terpone un t r a tamien to de envejecimiento entre el temple y la medición de las propiedades de tracción, se pro-duce un mayor endurecimiento por temple. Es probable que e! enve-jecimiento permita que las vacantes emigren a las dislocaciones, con las que interactúan e impiden su movimiento (véase Sec. 6-12). Mucho queda por aprender acerca de la interacción de los defectos de punto entre sí y con los defectos de línea y, asimismo, sobre cómo estas interacciones afectan a las propiedades mecánicas.

La deformación plástica produce defectos de pun to , principalmente vacantes. Estos defectos de pun to se crean por la intersección de dis-locaciones y, por tanto, la discusión de este tema se deja para el ca-pítulo 6. La formación de vacantes tiene par t icular importancia en la fatiga de los metales y, desde este pun to de vista, se t ra tará en el ca-pítulo 12. A temperaturas elevadas, las vacantes adquieren gran impor-tancia para el control de la difusión y en el t r epado de las dislocacio-nes. Por consiguiente, las vacantes son impor tan tes en la fluencia lenta de los metales, por lo que se t r a t an con más detalle en el capítulo 13.

5-9. E n d u r e c i m i e n t o p o r d e f o r m a c i ó n y t r a b a j o e n f r í o . — E n el capítulo 4 se atribuía el endurec imien to por deformación a la inter-acción de dislocaciones entre sí y con ot ras ba r re ras que impiden su

movimiento a través de la red. Solamente se produce un grado de endurecimiento por deformación si el deslizamiento OCÜfft sobre un solo juego de planos paralelos, como en los monocristales de los metales he. Sin embargo, incluso en los monocristales, el desliza-miento fácil extenso no es un fenómeno general y no se ha observado en las probetas policristalinas. Debido a la interferencia mutua de los granos adyacentes de una probeta policristalina, se produce fácilmente deslizamiento múltiple, existiendo un endurecimiento por deformación apreciable. La deformación plástica que se lleva a cabo en una zona de temperatura y sobre un intervalo de tiempo tales que no se elimina el endurecimiento por deformación, se denomina trabajo en frío.

La deformación plástica produce un aumento en el número de dis-locaciones, que en virtud de su interacción crean un estado interno de tensión más elevado. Un metal recocido contiene unas 10ó a 103

dislocaciones por centímetro cuadrado, mientras que un metal muy deformado plásticamente contiene 1012, aproximadamente. El endure-cimiento por deformación o el t rabajo en frío se pueden detectar fá-cilmente por difracción de rayos X, pero, normalmente, no es posible el análisis detallado de los diagramas de rayos X en función de la es-tructura del estado de deformación en frío. En los diagramas de Laue, ia deformación en frío produce emborronamiento, o asterismo, de las manchas. En los diagramas de Debye-Scherrer las líneas aparecen en-sanchadas por la deformación en frío. El ensanchamiento de las líneas de rayos X puede ser debido tanto a una disminución del t amaño de la unidad de difracción, como ocurriría si los granos estuvieran frag-mentados por deformación en frío, como a un incremento en la defor-mación reticular debido a la interacción de las dislocaciones. Se han desarrollado 1 técnicas para analizar el perfil completo de los máximos de las líneas de rayos X y para determinar la contribución debida a la deformación reticular y al tamaño de las partículas. Es probable que, mejorando este método y aplicando su técnica más ampliamente, se comprenda mejor la estructura de los metales deformados en frío. Mediante estudios realizados utilizando microhaces de rayos X J y la microscopía electrónica de películas delgadas, se ha obtenido un mo-delo bastante exacto de la estructura de los metales deformados en frío. La figura 5-17 es un dibujo esquemático de la estructura defor-mada en frío que se produce en el interior de un grano único. Es una estructura celular compuesta de zonas de red relativamente perfectas que están unidas entre sí por límites constituidos por redes de dis-locaciones. De acuerdo con este modelo, la densidad de dislocaciones

1 B . E. WARREN y B. L. AVERBACH: / . Appl. Phys., vol. 21< Ml* B. E. WARREN y B. L. AVERBACH : "Modern Research TMhaUu Metallurgy", American Society for Metali, M e t t l l P RREN : "Progress in Metal Physics", vol. I* P4f*> Ltd., Londres, 1959.

2P. GAY, P. B. HIMCH y A, KtUYl A

varía desde un valor elevado en los límites distorsionados hasta un valor bajo en las zonas re la t ivamente perfectas. El estudio con la mi-croscopía electrónica de película delgada de la estructura de disloca-ciones de los metales deformados en frío, es un campo de investiga-ción muy activo que debería proporcionar una información valiosa acerca de cómo estas redes varían con la composición, deformación y temperatura .

La mayor parte de la energía consumida en deformar en frío un metal se convierte en calor. Sin embargo, aproximadamente el 10'V, de la energía consumida se almacena en la red, aumentando la energía interna. Los valores registrados de energía almacenada 1 varían apro-ximadamente de 0,01 a 1,0 ca l /g de metal . La magnitud de la energía

almacenada aumenta con el punto de fusión del metal y con las adiciones de soluto. Para un metal dado, la cantidad de energía almacenada depende del tipo del proceso de deforma-ción, p. ej., el trefilado o la tracción. La energía almacena-da aumenta con la deformación, hasta un valor límite que co-rresponde a la saturación, y aumenta con el descenso de la temperatura de deformación. Para medir las pequeñas canti-dades de energía almacenadas

por aetormacion en trio, se requiei n mediciones calorimétricas muy cuidadosas.

La mayor parte de la energía almacenada se debe a la generación e interacción de dislocaciones duran te la deformación en frío. Las va-cantes justifican par te de la energía almacenada en metales deforma-dos a t empera turas muy bajas . Sin embargo, las vacantes son mucho más móviles que las dislocaciones, por lo que escapan fácilmente de la mayoría de ¡os meta les de fo rmados a temperatura ambiente. Los de-fectos de apilamiento y de macla son probablemente responsables de una pequeña fracción de la energía almacenada. Una reducción del orden de corta distancia du ran t e la deformación de soluciones sólidas puede contribuir también a a lmacenar energía.

El endurecimiento por deformación o t raba jo en frío es un proceso industrial importante que se utiliza para endurecer metales y aleaciones que no responden a los t r a t amien tos térmicos. La velocidad del endu recimiento por deformación se puede determinar a partir de la pen-

1 Para una amplia revisión de la energía almacenada en la deformación en frío, véase A. L, TITCHENER y M. B, BEVER: "Progress in Metal Phvsics", vol. 7, págs. 247-338. Pergamon Press, Ltd., Londres, 1958.

regiones de red relativamente perfecta

limita de grano regiones distorsionadas de elevada densidad de dislocación

Fio. 5-17.—Modelo de la e s t ruc tu ra de un metal de fo rmado en f r ío (esquema).

resistencia a la tracción

límite e lást ico convencional

diente de la curva de fluencia. En términos matemático», la ... de endurecimiento por deformación se puede expresar por el COtfU ciente n de la Ec. [3-1]. Generalmente, dicha velocidad es menor para los metales he que para los cúbicos. El aumento de la temperatura también disminuye la velocidad de endurecimiento por deformación. En las aleaciones endurecidas por adiciones que se mantienen en solución sólida, la velocidad de endurecimiento por deformación pue-de aumentar o disminuir, comparativamente al comportamiento de los metales puros. Sin embargo, la resistencia final de una aleación de solución sólida deformada en frío es casi siempre mayor que la de los metales puros con el mismo grado de deformación en frío.

La figura 5-18 muestra la va-riación típica de los parámetros de resistencia y ductilidad con el aumento del grado de defor-mación en frío. Puesto que en la mayoría de los procesos de deformación en frío se reducen una o dos dimensiones del me-tal a expensas de un aumento en las dimensiones restantes, el trabajo en frío produce alarga-miento de los granos en la di-rección principal de deforma-ción. La deformación muy inten-sa produce una reorientación de los granos hacia una orientación preferente (Sec. 5-11). Aparte de las variaciones en las propieda-des de tracción (Fig. 5-18), la deformación en frío produce al-teraciones en otras propiedades físicas. Normalmente, existe un pequeño descenso en la densidad, del orden de unas pocas décimas por ciento, una disminución apreciable en la conductividad eléctrica, debido a un número mayor de centros dispersantes, y un pequeño incremento en el coeficiente de dilatación térmica. La reactividad química aumenta a causa de la mayor energía interna del estado de deformación en frío. Ello conduce a una disminución general de la resistencia a la corrosión y, en ciertas aleaciones, introduce la posibilidad de agrietamiento por corrosión bajo tensiones.

5-10. Efecto Bauschinger—En una discusión anterior sobre el endurecimiento por deformación de los monocristales se ha demostrado que, generalmente, se requiere una tensión menor para invertir la rección de deslizamiento sobre cierto plano que para cont inuar # lizamiento en la dirección original. La direccionalidad del

alargamiento

0 10 20 30 40 50 60 70 reducción por deformación en frío, °/o

FIG. 5-18.—Variación de las propieda-des de tracción con la proporción de

deformación en frío.

rayos X indican la orientación d* los polos de los planos correspon-dientes al anillo de difracción en o e s t i ó n . La orientación de los granos de una orientación cristalográfica ^articular, con respecto a las direc-ciones principales de trabajo, se n uestra mejor por medio de las figu-ras de polos. Para una descripció de los métodos de determinación de las figuras de polos y para un;1 recopilación de las figuras de polos que describen las texturas de defo< nación en muchos metales, se remi-te al lector a B a r r e t t E l empleo a tual de técnicas que utilizan difrac -tómetros de rayos X con contado? Geiger2 ha hecho posible la deter minación de figuras de polos con mayor precisión y menor esfuerzo que con los métodos antiguos de ¡ elícula fotográfica.

La orientación preferente se pu le detectar con rayos X despíiés de una reducción de la sección trans ersal, por deformación en frío, del 20 al 30% aproximadamente. En e a etapa de la reducción existe una dispersión apreciable en la orienta ón de los cristales individuales al-rededor de la orientación ideal. I dispersión disminuye al aumentar la reducción, hasta que al alcanzar esta un valor del 80 al 90% se ha completado, esencialmente, la orientación preferente. El tipo de orien-tación preferente o textura de deformación que se desarrolla depende principalmente del número y tipo de sistemas de deslizamiento dispo-nibles y de las deformaciones principales. Otros factores determinantes son la temperatura de deformación y el tipo de textura presente antes de la deformación.

Las texturas de deformación más sencillas se producen por estira-do o laminación de un alambre o varilla y se denominan frecuente-mente texturas de fibra, debido a su similitud con la ordenación natu-ral de los materiales fibrosos. Es importante observar que se debe distinguir entre el fibrado cristalográfico, producido por reorientación cristalográfica de los granos durante la deformación, y el fibrado me-cánico, que es consecuencia de la alineación de inclusiones, cavidades y consti tuyentes de segunda fase en la dirección principal de la defor-mación mecánica. El fibrado mecánico y el cristalográfico son facto-res importantes para conseguir propiedades mecánicas direccionales en los perfiles metálicos deformados plásticamente, p. ej., en chapas y varillas. Este tema se trata en el capítulo 9.

En la textura ideal de un alambre, una dirección cristalográfica-mente definida es paralela al eje de dicho alambre y la textura es si-métrica alrededor de dicho eje del alambre o eje de fibra. Se han ob-servado varios tipos de desviación que se apartan de la textura ideal. En los metales cúbicos de caras centradas se observan normalmente texturas de fibra doble. Los granos tienen las direcciones <111) o las <100> paralelas al eje del alambre y orientaciones aleatorias alrededor

1 C. S. BARRETT; "Estructura de los metales", cap. 9, t r aducc ión de la 2 . a ed. americana por F. Muñoz del Corral, Aguilar , Madrid, 1957.

2 A . H . GEISLER: "Modem Research Techniques in Physical Metal lurgy", American Society for Metals, Metals Park, Ohio, 1953.

del mismo1 . Los metales cúbicos centrados tienen una textura <110> simple. La textura de fibra de los metales he no es tan sencilla. Cuando la deformación es moderada, el eje hexagonal <0001) del cinc es para-lelo al eje de fibra, mientras que en deformaciones intensas el eje hexa-gonal está a unos 20° del eje del alambre. En el magnesio y sus alea-ciones, la <1010) es paralela al eje del alambre para deformaciones por debajo de los 450 °C, mientras que por encima de esta temperatura, la <2II0> es paralela al eje de la fibra.

La textura de deformación de una chapa producida por laminación se describe mediante los planos cristalográficos paralelos a su super-ficie y las direcciones cristalográficas paralelas a la dirección de lami-nación. Frecuentemente, existe una desviación considerable con respec-to a la textura ideal, de manera que para describir el grado de orien-tación preferen te 2 son más útiles las figuras de polos. Determinaciones exactas de la textura de laminación de los metales ccc han demostrado que la mejor descripción de estas- texturas es por medio de planos {123} paralelos al plano de la chapa y con la dirección <112> paralela a la de laminación3 . Esta textura cambia a la más frecuente {110} <112> al agregar aleantes en solución sólida. En los cc los planos {100} tienden a orientarse paralelamente al plano de la chapa, con la direc-ción <110) a unos pocos grados de la dirección de laminación. En los metales he el plano base tiende a ser paralelo al plano de laminación con <2110) alineada con la dirección de laminación.

La orientación preferente que se produce por deformación depende mucho de los sistemas de deslizamiento y de macla disponibles para la deformación, pero no está afectada por variables del proceso tales como el ángulo de la matriz, diámetro y velocidad de los cilindros de laminación y reducción por pasadai La dirección del flujo es la varia-ble más importante del proceso. Así, p. ej., se produce la misma tex-tura de deformación si se obtiene una varilla por laminación, estirado o forja rotativa.

La formación de una fuerte orientación preferente produce anisotro-pía en las propiedades mecánicas. Aun cuando los granos individuales de un metal son anisótropos con respecto a las propiedades mecáni-cas, cuando estos granos están combinados de forma arbitraria en un agregado policristalino, las propiedades mecánicas tienden a ser isó-tropas. Sin embargo, la alineación de los granos, que justifica la orien-tación preferente, introduce nuevamente anisotropía en las propiedades mecánicas. Durante las operaciones de conformación y fabricación, las

1 Se ha sugerido que las texturas <111 > están favorecidas por el desliza-miento cruzado que ocurre más fácilmente en metales con elevada energía de defectos de apilamiento. Véase N. BROWN: Trans. AIME, vol . 221, pági-nas 236-38, 1961.

2 BARRETT presenta un gran número de figuras de polos para texturas de la-minación, op. cit., cap. XVIII.

3 R . E. SMALLMAN: J. hist. Metals, vo l . 84, págs. 10-18, 1 9 5 3 - J 6 .

diferentes propiedades mecánicas en dist intas direcciones pueden pro-ducir una respuesta no uni forme en el material .

5-12 . Recoc ido de metales d e f o r m a d o s en f r ío .—La energía interna de los metales de formados en frío es mayor que la que se encuentra en los metales sin de fo rmar . Por consiguiente, los metales endurecidos por deformación t ienden a volver al es tado libre de defor-maciones. Al aumentar la t empera tu ra , el es tado de deformación en frío se hace cada vez más inestable. Finalmente, el metal se ablanda y vuelve al estado exento de deformación. Todo este proceso se co-noce como r e c o c i d o E l recocido es muy impor tante industr ia lmente porque devuelve la ducti l idad a meta les que han sido endurecidos

Fie. 5-20.—Dibujo esquemático que indica los fenómenos de restauración, recristalización y crecimiento de grano y variaciones de propiedades asociadas.

intensamente por deformación. Por consiguiente, al intercalar opera-ciones de recocido después de deformaciones intensas, es posible rea-lizar grandes deformaciones en la mayoría de los metales.

Todo el proceso de recocido se puede dividir en otros tres pro-cesos bien def inidos: recuperación, recristalización y crecimiento de grano. La figura 5-20 ayuda a dist inguir entre estos tres procesos. La recuperación o restauración se def ine normalmente como la restaura-ción de las propiedades físicas de los metales deformados en frío sin que se observen cambios en la microes t ructura . Duran te la recupera-ción, la conduct ividad térmica aumenta rápidamente acercándose al valor de recocido y, según se observa con rayos X, la deformación reticular disminuye apreciablemente. Las propiedades más afectadas por la recuperación son las sensibles a los defectos de punto. Las pro-piedades relativas a la resistencia mecánica, que están controladas por las dislocaciones, no son afectadas a las tempera turas de recuperación.

'Para revisiones detalladas sobre el recocido, véase P. A. BECK: Adv. in Phys., vol. 3 , págs. 2 4 5 - 3 2 4 , 1 9 5 4 ; J. E. BURKE y D . TURNBULI . : "Progress in Metal Physics", vol. 3, Interscience Publishers, Inc., Nueva York, 1952.

Los monocristales de los metales he que se han deformado sobre un solo juego de planos (deslizamiento fácil) son una excepción a esta regla. Por este motivo, es posible recuperar completamente el límite elástico de un cristal endurecido por deformación sin producir recris-talización. La recristalización es la sustitución de la estructura defor-mada en frío por un nuevo juego de granos sin deformar. La recris-talización se detecta fácilmente por métodos metalográficos y se com-prueba por un descenso de la dureza o resistencia mecánica y un aumento de la ductilidad. La densidad de dislocaciones disminuye con-siderablemente con la recristalización y todos los efectos del endure-

FIG. 5-21.—Variaciones en la microestructura del latón 70-30, deformado en frío, con el recocido, a) 40?í> de deformación en frío; b) 1,5 min a 4 0 0 ° C ;

c) 1,5 min a 575 °C. 100 aumentos.

cimiento por deformación se eliminan. La energía almacenada como resultado de la deformación en frío es la fuerza impulsora tanto para la recuperación como para la recristalización. La poligonización (sec-ción 5-3) se puede considerar como una situación intermedia entre la recuperación y la recristalización. Si los nuevos granos exentos de deformación se calientan a una temperatura mayor que la requerida para producir recristalización, habrá un aumento progresivo del tama-ño de grano. La fuerza impulsora para el crecimiento de grano es el descenso de la energía libre resultante de la disminución del área de los límites de grano a causa de un aumento en el t amaño de grano. La figura 5-21 muestra el paso de una microestructura deformada en frío a una estructura recristalizada de grano fino y, finalmente, a una tercera de tamaño de grano mayor por crecimiento de grano.

La recristalización es la vuelta, por activación térmica, de la es-tructura deformada en frío a su estado original sin deformaciones. Al aumentar la temperatura, las redes de dislocación tienden a contraerse y las zonas de densidad de dislocaciones inicialmente ba ja empiezan a crecer. La fracción de microestructura que ha recristalizado en un tiempo t se puede representar por una ecuación de la forma

X = 1 - e x p ( - B V ) [5-12]

en la que B y n' son constantes. Le valores de n' entre 1 y 2 indican recristalización en una dimensión m rntras los valores 2 y 3 denotan re-cristalización bidimensional. Es co; veniente considerar el proceso de recristalización en términos de las velocidades de nucleación N y de crecimiento G de los nuevos grane sin deformación. Los valores re-lativos de IV y G determinan el tamaño de grano recristalizado. Si N es grande con respecto a G, habrá muchos lugares de nucleación y el tamaño de grano será relativamente pequeño.

Seis variables principales influyt i sobre el comportamiento en la recristalización: 1) grado de defo mación previa; 2) temperatura; 3) t iempo; 4) tamaño de grano ini al; 5) composición; 6) grado de recuperación o poligonización anter ir al comienzo de la recristaliza-ción. Como la temperatura a la que se produce la recristalización de-pende de las variables citadas, no es una temperatura fija como ocurre con la de fusión. Para considerad' íes prácticas, la temperatura de recristalización se puede definir coi o aquella a la que una aleación dada en un estado intenso de defori ación en frío recristaliza comple-tamente en una hora. La relación t itre las variables anteriores y el proceso de recristalización se puede esumir del modo siguiente1 :

1. Se precisa un grado mínimo !e deformación para producir re-cristalización.

2. Cuanto menor sea el grado d>. deformación mayor será la tem-peratura requerida para producir reci istalización.

3. Al aumentar el tiempo de recocido disminuye la temperatura de recristalización. Sin embargo, la temperatura es mucho más impor-tante que el tiempo. Duplicar el t iempo de recocido es, aproximada-mente, igual a aumentar la temperatura de recocido en 10 °C.

4. El tamaño de grano final depende principalmente del grado de deformación y, en menor cuantía, de la temperatura de recocido. Cuan-to mayor sea el grado de deformad« i y más baia la temperatura de recocido menor será el tamaño de gr no recristalizado.

5. Cuanto mayor sea el tamaño le grano original mayor será el grado de deformación requerido para iroducir una temperatura de re-cristalización equivalente.

6. La temperatura de recristaliz ión disminuye con el aumento de la pureza del metal. Las adicione • de aleantes en solución sólida elevan siempre la temperatura de rec¡ istalización.

7. El grado de deformación req; rido para producir un compor-tamiento de recristalización equivalí te aumenta con el incremento de la temperatura de trabajo.

8. Para una reducción dada de ; acción transversal, las diferentes formas de trabajar el metal, tales co no la laminación, estirado, etc., producen deformaciones efectivas ligeramente diferentes. Por consi-

1 R. F. MEHL: Recristalización, en "Metals Handbook", págs. 259-68, Ame-rican Society for Metals, Metals Park, Ohio, 1948.

Debido a que la fuerza impulsora del crecimienlo de grano es apr<r-. dablemente más baja que la de la recristalización, a las temperatura« i a las que tiene lugar la recristalización se produce fácilmente un 1er | to crecimiento de grano. Sin embargo, el tamaño de grano depende j mucho de la temperatura, acanzándose pronto una zona de endosa -j ' miento de grano en la que los granos aumentan de tamaño muy rápi-i damente. El crecimiento de grano está impedido considerablemente

por la presencia de una fina dispersión de partículas de segund.» fase | que restringen el movimiento de los límites de grano. Para el tipo co-! rriente de tamaño de grano, en el que los granos aumentan de tamaño j uniformemente, la teoría predice que, a una temperatura dada, el ta-

maño de grano D en un tiempo i está dado por

I O2 - D0

2 = Ct |5-13] I

Sin embargo, la mayoría de los datos experimentales concuerdao me-jor con la ecuación

Du" - D0Un = Ct 15-14]

en la que n varía de 0,2 a 0,5 aproximadamente, dependiendo del me tal y de la temperatura.

• En ciertas condiciones, algunos de los granos do un metal de gra-no fino recristalizado empiezan a crecer rápidamente, a expensas de otros granos, cuando se calientan a temperatura superior. Este fenó-meno se conoce con el nombre de crecimiento anormal de grano. La fuerza impulsora para el crecimiento anormal de grano es la disminu-ción de la energía superficial, no la energía almacenada, pero a causa de que el fenómeno muestra una cinética similar a la de la recrista-lización se le denomina frecuentemente recristalización secundaría.

5-13. T e x t u r a s de recocido.—La recristalización de un mclal de-formado en frío puede producir una orientación preferente que sea distinta de la que existe en el metal deformado. A esto se denomina textura de recocido o de recristalización. Un ejemplo destacado es la textura cúbica del cobre, en la que los planos {100} son paralelos al plano de laminación con una dirección <001> paralela a la dirección de laminación. La existencia de una textura de recristalización de-pende de la orientación preferente del núcleo de los granos recristali-zados. La formación de texturas de recocido depende de cierto número de variables del proceso: grado y tipo de deformación que preceden al recocido, composición de la aleación, tamaño de grano, temperatura y tiempo de recocido y orientación preferente producida por la defor-mación.

Generalmente, los factores que favorecen la formación de un ta-

maño de grano recristalizado f ino favorecen también la formación de una orientación esencialmente aleatoria de granos recristalizados. Las reducciones en frío moderadas y las t empera turas de recocido bajas son beneficiosas. Un buen procedimiento para reducir al mínimo las texturas de recocido consiste en producir pr imeramente una fuerte orientación preferente, median te una reducción inicial intensa, y luego utilizar una temperatura de recocido elevada. A continuación se vuelve a reducir en frío, pero solo lo suficiente para romper la orientación anterior y producir un t a m a ñ o de grano recristalizado fino a baja temperatura.

A veces, la formación de una fuer te textura de recristalización es beneficiosa. El mejor e jemplo lo tenemos en las chapas orientadas de hierro-silicio, que se uti l izan para t ransformadores , en las que los gra-nos están orientados en la dirección de imanación fácil. Para obtener una textura de recristalización casi perfecta, es preciso producir en los metales deformados en frío un grado elevado de orientación prefe-rente, seguido de un recocido de larga duración, a tempera tura eleva-da, para que se produzca un crecimiento de grano selectivo y, con ello, una textura marcada.

B I B L I O G R A F I A

BARRETT, C. S . : "Estructura de los metales", cap. XV, traducción de la 2.a ed. americana por F, Muñoz del Corral, Aguilar, Madrid, 1957.

BIRCHENALL, C. E.: "Physical Metallurgy", McGraw-Hill Book Company , Inc., Nueva York, 1959.

CHALMERS, B.: "Physical Metallurgy", John Wiley & Sons, Inc., Nueva York 1959.

Guv, A. G.: "Elements of Physical Metallurgy", 2.a ed., Addison-Wesl i - \ Pu-blishing Company, Reading, Mass., 1959.

"Relation of Properties to Microstructure", American Society fo r Metals , Me-tals Park, Ohio, 1954.

CAPITULO 6

T E O R I A DE LAS DISLOCACIONES

6-1. I n t r o d u c c i ó n — L a s dislocaciones son defectos lineales de la red responsables de casi todos los aspectos de la deformación plástica de los metales. Este concepto se in t rodujo en el capítulo 4, en el que se estudió la geometría de las dislocaciones en cuña y helicoidales para el caso de una red cúbica simple. Se mos t ró que es necesaria la exis-tencia de un defecto en forma de dislocación para explicar los bajos valores observados en el límite elástico de los cristales reales. Se hizo una descripción general de la interacción de dislocaciones con átomos extraños, partículas de precipitado y ot ras dislocaciones. Este concepto se ha utilizado en la descripción cualitativa del endurecimiento por solución sólida y por fases dispersas, el comportamiento en el límite elástico aparente y el envejecimiento por deformación. Este capítulo se dedica a presentar un estudio más completo y, en cierto modo, más exacto de la teoría de las dislocaciones. Se estudia el rápido avance de las técnicas empleadas para detectar las dislocaciones en los meta-les reales y, en los casos en que sea posible, se dan pruebas experi-mentales que confirman la teoría. Se estudia el efecto del compor-tamiento de las dislocaciones al considerar estructuras cristalinas reales ccc, cc o he. Se discute con cierto detalle la interacción de dislocaciones con vacantes, átomos extraños y otras dislocaciones. Por último, se dedica particular atención al importante problema de la mul-tiplicación de dislocaciones mediante el manantial de Frank-Read.

6-2 . Mé todos p a r a de tec ta r d is locaciones .—El concepto de dis-locación fue propuesto independientemente por Taylor, Orowan y Po-lanyi1 en 1934, pero la idea permaneció prácticamente sin desarrollar hasta el final de la segunda guerra mundial . Siguió un período de apro-ximadamente diez años, durante el cual la teoría del comportamiento de las dislocaciones fue desarrollada ampliamente y aplicada a casi to-dos los aspectos de la deformación plástica de los metales. Al no conocerse métodos verdaderamente seguros para detectar las disloca-ciones en los materiales reales, fue preciso basar la mayor parte de esta teoría en observaciones indirectas del comportamiento de las dis-locaciones. Afortunadamente, a partir de 1955 el avance de las técnicas

>G. I. TAYLOR: Proc. Roy. Soc. (Londr««), vol. 145A, pág. 3(2, 1934; E. O R O W A N : Z. Physik, vol. 89, pági. «05, <14, 634, 1934; M. POUNYI: Z. Physik, vol. 89, pág. «60, 1934.

i to

CAPITULO 1

I N T R O D U C C I O N

1-1. Finalidad de este libro.—La metalurgia mecánica es la rama de la metalurgia que se ocupa principalmente de la respuesta de los metales frente a las fuerzas o cargas. Las fuerzas pueden resultar del empleo del material como miembro o pieza de una estructura o máqui-na, en cuyos casos es necesario saber algo respecto a los valores límites que aquel puede resistir sin fallar. Por otro lado, es necesario a veces transformar un lingote colado en una forma más útil, tal como una plancha plana, y entonces es preciso conocer las condiciones de tem-peratura y velocidad de carga para las que son mínimas las fuerzas que se necesitan para realizar tal trabajo de transformación.

La metalurgia mecánica no es una rama del conocimiento que pue-da aislarse claramente y estudiarse por sí misma. Es la reunión de muchas disciplinas y muchas formas de aproximación al problema de explicar la respuesta de los materiales a las fuerzas. Una de las formas de acercarse al mismo es utilizar las teorías de la resistencia de ma-teriales y de la elasticidad y la plasticidad,' en las que el metal se considera como un material homogéneo cuyo comportamiento puede describirse con solo unas pocas constantes del material. Esta forma de aproximación es la base del diseño racional de los miembros de las estructuras y de las piezas de las máquinas, y los tres temas de resis-tencia de materiales, elasticidad y plasticidad se estudian en la primera parte de este libro desde un punto de vista más general que el usual en los tratados de resistencia de materiales. Los capítulos 1 a 3 pue-den considerarse como el aparato matemático en que descansa mucha parte del resto del libro. A los estudiantes de ingeniería que hayan estudiado un curso superior de resistencia de materiales o de diseño de máquinas es probable que pueda bastarles un repaso rápido de estos capítulos. No ocurre así para los estudiantes de metalurgia y para los ingenieros que trabajan en la industria, a los cuales les será útil todo el tiempo que necesiten emplear para familiarizarse con los aspectos matemáticos presentados en la primera parte.

Las teorías de la resistencia de materiales, de la elasticidad y de la plasticidad pierden mucha de su potencialidad cuando adquiere im-portancia la estructura del metal y no se puede seguir considerándolo como un medio homogéneo. Encontramos ejemplos de esto en el com-portamiento a elevada temperatura de los metales, donde la estructu-ra metalúrgica puede cambiar continuamente con el tiempo, y en las

4 INTRC UCCION I. CAP. 1

transiciones dúctil a frágil que oc- ren en los aceros al carbono. La de-terminación de las relaciones exi entes entre el compor tamien to me-cánico y la estructura que se oí arva con el microscopio y con las técnicas de rayos X es la respo habilidad principal del metalurgista mecánico. Si se interpreta el con or tamiento mecánico a part i r de la estructura metalúrgica resulta pe ble mejorar las propiedades mecá-nicas o, por lo menos, controlad; ,La segunda par te de este libro se ocupa de los fundamentos metal i jicos del compor tamien to mecánico de los metales. Los estudiantes c metalurgia habrán t r abado conoci-miento con algunos de los t e m a s s tudiados en esta segunda parte en cursos previos de estudio del can o más amplio de la metalurgia físi-ca, pero en esta obra están t ra t ; os con bas tan te más detalle de lo que es usual en un curso de metr irgia física. Se han incluido algunos temas que son más de metalurgi física que de metalurgia mecánica para dar continuidad a la exposú ">n y para ayudar a los lectores no metalúrgicos que no han cursado l u d i o s de metalurgia física.

Los tres ú l t imos capítulos de ¡a segunda parte, especialmente el capítulo 6, se refieren principaln ate a los aspectos a tomíst icos del flujo y de la f rac tura de los me! es. Muchos de los avances en este campo son resul tado del t r aba jo oordinado de los físicos del estado sólido y de los metalurgistas. Ha} una región en que es práct icamente imposible la observación directa son difíciles de concebir los expe-rimentos indirectos. Además , es ¡te un campo de act ividad intensa, en el que la vida media de un co 'epto o teoría puede ser muy corto. Por esta razón, al escribir es tos ipítulos, se ha incluido solo el ma-terial que ya es de validez genen dedicando extensión mín ima a los aspectos del t ema que aún están < i discusión.

Los da tos básicos relat ivos a i resistencia mecánica de los ma-teriales y las mediciones para el > ontrol rut inario de las propiedades mecánicas se obtienen mediante IÜ número relat ivamente pequeño de métodos t ipif icados de ensayo. Lr tercera parte, Aplicación al ensayo de materiales, se ocupa de cada i iO de los ensayos mecánicos comu-nes, no desde el pun to de vista ' ¡ual de las técnicas de realización, sino considerando lo que es tos er ¡ayos pueden decir sobre el rendi-miento en servicio de los metale, y las variables meta lúrg icas que afectan a los resul tados de estos ensayos. Muchos de los conocimien-tos expuestos en las par tes p r imera y segunda se uti l izan en esta tercera. Es de suponer que el lector ha seguido un c u r s o corriente de ensayo de mater ia les o puede familiarizarse en el l abo ra to r io con la materialidad de las técnicas de realización de los ensayos.

En la cuarta parte se es tudian los factores mecánicos y metalúrgi-cos implicados en la conformación de los metales para o b t e n e r for-mas útiles. Se ha intentado p resentar el análisis m a t e m á t i c o de los procesos principales de t r aba jo de los metales, aunque ello n o ha sido posible en ciertos casos, bien por el considerable detalle r e q u e r i d o o por salirse el análisis de la f inalidad de este libro. N o se ha p re tend ido

SEC. 1-2] RESISTENCIA DE MATERIALES. HITOTE»!» lAlKUl

incluir la tecnología especializada de cada proceso de trabajo (p. ef., la laminación o la extrusión), pero sí se ha hecho cierto esfutrzo para dar una impresión general del equipo mecánico requerido y para fa-miliarizar al lector con el vocabulario especializado de esta rama del trabajo de los metales. El mayor interés se ha centrado en presentar un cuadro esquemático de las fuerzas implicadas en cada proceso y en estudiar la forma en que los factores geométricos y metalúrgicos afec-tan a las cargas necesarias para la conformación, y al éxito del proceso de trabajo del metal.

1-2. Resis tencia de mater ia les . Hipótesis bás icas . ^La resistencia de materiales es el cuerpo de doctrina concerniente a las relaciones entre fuerzas internas, deformación y cargas externasí^En el método general de análisis empleado en resistencia de materiales se parte, como primera etapa, de la suposición de que el miembro está en equi-librio. Se aplican las ecuaciones del equilibrio estático a las fuerzas que actúan en alguna parte del cuerpo para encontrar relaciones entre las fuerzas externas ejercidas sobre el miembro y las fuerzas internas que resisten a las cargas internas. Como las ecuaciones de equilibrio deben expresarse en términos de fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo, es necesario transformar las fuerzas internas resistentes en fuerzas externas. Esto se logra haciendo pasar un plano a través del cuerpo por el punto que interesa. Se elimina la parte del cuerpo que queda a uno de los lados de este plano secante y se sustituye por las fuerzas que ejercía sobre la superficie del corte de la parte del cuerpo que nos resta. Puesto que las fuerzas que actúan sobre un "cuerpo libre" lo mantienen en equilibrio, es posible aplicar al problema las ecuaciones correspondientes.

Las fuerzas resistentes internas se expresan usualmente como ten-siones1 que actúan sobre cierta superficie, por lo que la fuerza interna es la integral del producto de la tensión por la diferencial del área so-bre la que actúa. Para calcular esta integral es necesario conocer la distribución de la tensión sobre el área total del plano secante. La distribución de tensiones se determina observando y midiendo las deformaciones distribuidas en el miembro, puesto que las tensiones no pueden medirse físicamente. Sin embargo, como la tensión es pro-porcional a la deformación para las pequeñas deformaciones que inter-vienen en la mayor parte de los problemas, la distribución de la defor-mación permite deducir la correspondiente a la tensión. La expresión encontrada para las tensiones se sustituye en las ecuaciones de equi-librio y se resuelven estas respecto a las cargas y las dimensiones del miembro.

Son hipótesis importantes de la resistencia de materiales las de

1 Para nuestra finalidad se define la tensión c o m o la fuerza por unidad de superficie. La deformación acompañante se define como la variación de lon-gitud de la unidad de longitud. Más adelante daremos definiciones más completas.

que el cuerpo que se estudia es continuo, homogéneo e isótropo. Un cuerpo continuo es el que no contiene huecos o espacios vacíos de ninguna clase. U n cuerpo es homogéneo cuando t iene propiedades idénticas en todos sus puntos. Un cuerpo se considerará isótropo res-pecto a alguna propiedad siempre que esta no varíe con la dirección u or ientación. Una propiedad que varíe con la orientación respecto a algún sistema de ejes coordenados es anisotrópica.

Los materiales empleados en ingeniería, tales como el acero, la fundición de hierro o el aluminio, parece que cumplen estas condicio-nes cuando se les observa en escala grande, pero si se les mira a través de un microscopio es fácil compn ar que pueden ser cualquier cosa menos homogéneos e isótropos. I mayoría de los meta les técnicos están const i tuidos por más de uno ase, cada una con diferentes pro-piedades mecánicas, por lo que a •scala microscópica son heterogé-neos. Pe ro es que ni siquiera un m al monofásico es homogéneo, por-que en todos se encuentran usu. mente fenómenos de segregación química que dan lugar a que las pro edades no sean idénticas de punto a punto . Los metales están construí os como una agregación de granos cristalinos que poseen dist intas pro ¡edades en las d i ferentes direccio-nes cristalográficas. La razón de q ¡e las ecuaciones de la resistencia de mater ia les describan el comporf miento de los meta les reales está en que , en general, los granos crist iinos son tan pequeños respecto a una mues t r a de volumen macroscóp; o que cabe considerar al material como si fuera estadís t icamente hoi¡ ogéneo e isótropo. Sin embargo, cuando los meta les se deforman sev> amenté en una dirección particu-lar, como ocurre en la laminación y m la forja, las propiedades mecá-nicas pueden ser anisotrópicas en m croescala.

1 - 3 . C o m p o r t a m i e n t o s elástic» y plást ico.—La experiencia de-mues t ra que todos los materiales fé l idos se deforman somet iéndolos a una carga externa. Se encuentra además que, hasta cierta carga limi-te, el sólido recobra sus dimensione originales cuando se le descarga. La recuperación de las dimensiones < iginales al eliminar la carga es lo que caracter iza al comportamiento et stico. La carga l ímite por encima de la cual el mater ia l ya no se co; ¡porta elásticamente es el límite elástico. Si se sobrepasa el l ímite clástico, el cuerpo re t iene cierta deformación pe rmanen te cuando de ja de actuar la carga. Un cuerpo que se ha de fo rmado pe rmanen temen te se dice que ha su f r ido una deformación plástica.

Para la mayor par te de los materiales , en tan to que la carga no supere al l ímite elástico, la deformación es proporcional a la carga. Esta relación es conocida como ley de H o o k e ; es más f r ecuen te ex-presarla diciendo que las tensiones son proporcionales a las deforma-ciones. La ley de Hooke requiere que la relación entre carga y defor-mación sea lineal. Sin embargo, no debe pensarse que en todos los materiales que se comportan elást icamente la relación en t r e carga y

deformación es necesariamente lineal. El caucho es un ejemplo de ma-terial que muestra una relación no lineal entre carga y deformación y que satisface a la definición de material elástico.

Las deformaciones elásticas de los metales son muy pequeñas y requieren instrumentos muy sensibles para medirlas. Los instrumentos ultrasensibles han demostrado que los límites elásticos de los metales son mucho más bajos que los medidos usualmente en los ensayos téc-nicos de materiales. Cuanto más sensible es el aparato de medida, tanto más decrece el límite elástico, por lo que para la mayoría de los metales sólo se cumple exactamente la ley de Hooke en un inter-valo de cargas muy pequeño. Este hecho, sin embargo, es más bien de importancia especulativa, y la ley de Hooke sigue siendo una relación válida para los proyectos de ingeniería.

V 1 - 4 . Tensión y deformación medias—Como punto de partida para el análisis de tensiones y deformaciones consideremos una barra cilindrica uniforme sujeta a una carga axial de tracción (Fig. 1-1). Su-pongamos que se marcan dos puntos de referencia en la superficie de la barra en el estado sin deformación y sea Lq la distancia entre puntos,

¿o+8 * L0 >

• O /tr dA\

FIG. 1-1.—Barra cilindrica sujeta carga axial.

FIG. 1-2.—Diagrama del cuerpo libre correspondiente a la figura 1-1.

es decir, entre esas marcas. Se aplica una carga P a un extremo de la barra y la distancia entre puntos experimenta un ligero aumento de longitud, mientras se produce una disminución del diámetro. La dis-tancia entre puntos ha aumentado en una cantidad 8, que llamamos deformación. La deformación lineal media e es la relación de la varia-ción de longitud a la longitud inicial

¿0 ífl

AL _L-Lq Lo [1 -1 ]

La deformación es una magnitud sin dimensiones, porque 8 y Lq se expresan en las mismas unidades. (

La figura 1-2 muestra el esquema de cuerpo libre para la barra de la figura 1-1. La carga externa P está equilibrada por la fuerza resis-

ten te in terna fcr dA, donde cr es tensión normal al plano del corte, y A, la sección transversal de la irra. La ecuación de equilibrio es

P * = J ' d A 11-2]

Si la tensión está un i formemente i tribuida sobre el área A, esto es, si cr es constante , la ecuación [1-2 se convierte en

P = crf \ =crA P

La tensión n o será en general unifo ie sobre toda el área A y enton-ces la ecuación [1-3] expresa una nsión media. Para que la tensión fuera abso lu tamente uni forme serí preciso que cualquier elemento longitudinal de la bar ra hubiese ex¡ r imentado exactamente la misma deformación, y la proporcional idad > tre tensión y deformación habría de ser idént ica para todos los eler ntos. La anisotropía inherente a los granos de un metal policristalin excluye la posibilidad de la uni-formidad comple ta de la tensión so -e un cuerpo de tamaño macros-cópico. La presencia de más de una 1 ase da lugar a la falta de unifor-midad de la tensión en escala micro 'ópica. Si la barra no es recta o no está cen t ra lmen te cargada, serán diferentes las deformaciones de ciertos e lementos longitudinales y la tensión no será uniforme. Lina pérdida ext rema de la un i formidad u 1 diagrama de tensiones se pre-senta cuando hay cambios bruscos e la sección transversal. En este caso se p roduce una concentración d' tensiones (Sec. 2-13).

Las unidades técnicas empleadas_ 'n los países anglosajones para medir las cargas son las l ibras (poun >, y para las áreas, las pulgadas cuadradas (square inch), por lo que h< tensiones se expresan en libias por pulgada cuadrada , unidad de te ;ión para la que se emplea el símbolo psi (iniciales de "pound" , "s jare" e " inch") . Esta es relati-vamente pequeña, por lo que se man an normalmente números gran-des para expresar las tensiones, del o- ien de los millares de psi. Para evitar esto se emplea a veces una uni< >d mil veces mayor, que resulta le medir las cargas en kips o kilolibr En este caso las tensiones se expresan en miles de libras por pulga la cuadrada, ut i l izando uno de ¡os símbolos 1000 psi o ksi. 1 ksi = 1000 psi. En los t rabajos científicos las tensiones se expresan en dinas por ent ímetro cuadrado ( d i n a / c n r ) o en ki logramos po r mil ímetro c u a d r ó l o (Kg/mm 2 ) ; esta úl t ima uni-dad es la que se usa para expresar la tensión en los t rabajos técnicos en los países del sistema métrico. La relación entre las t res unidades citadas es : 1 psi = 0,704-10 ~3 K g / m m - = 6,93-lO4 dinas. Aproximada-mente son 1000 psi = 0,7 Kg/mm 2 , relación muy úti l para la t ransfor-mación de unidades.

Por debajo del límite elástico cabe considerar válida la ley de

DI»! IHTffl « « i n i n u » «

fíooke, por lo que la tensión media es proporcional a la deformación media,

~ = E = constante. [1-4] e

La constante E es el módulo de elasticidad, módulo elástico o módulo de Young, que de las tres maneras se le llama

1-5. D e f o r m a c i ó n en t racción de u n metal dúctil.—-Los datos fundamentales en cuanto a propiedades mecánicas de los metales dúc-tiles se obtienen de un ensayo de tracción, en el que una probeta ade-cuada y tipificada se somete a carga axial de tracción creciente hasta producirse la rotura. La carga y el alargamiento se miden a intervalos frecuentes durante el ensayo y se expresan como tensión media y deformación media, de acuerdo con las ecuaciones de la sección ante-rior. Nos ocuparemos más detalladamente del ensayo de tracción en el capítulo 9.

Los datos obtenidos del ensayo se representan en un diagrama de tracción, en el que las tensiones se toman como ordenadas, y las deformaciones, como abscisas. La sión-deformación en tracción típi-ca de un metal dúctil, p. ej., el alu-minio. La porción rectilínea ini-cial OA de la curva corresponde a la región elástica, en la que se cumple la ley de Hooke. El pun-to A corresponde al límite elásti-co, definido como la tensión má-xima que es capaz de resistir el metal sin experimentar deforma-ción permanente. La determinación de un límite elástico así definido es muy engorrosa y en modo al-guno resulta una operación de ru-tina; además, los valores obteni-dos dependen de la sensibilidad del aparato utilizado para medir la deformación. Por estas razones se sustituye frecuentemente por el límite proporcional, que corresponde a la ordenada del punto A', a partir del cual la curva deja de ser rectilínea. La pendiente de la curva en la región elástica es el módulo elástico.

Para los fines técnicos, el límite del comportamiento elástico uti-i

1 En la mayoría de las especificaciones de materiales metálicos, españolas y extranjeras, suele emplearse la letra E para designar el l ímite elástico- Debe tenerse en cuenta para no incurrir en errores. Este símbolo para el módu lo elástico es además el más corriente entre los metalúrgicos. (N. del T.)

figura 1-3 muestra una curva ten-

Fic. 1-3.—Curva típica de tracción (curva tensión de tracción-deforma-

ción).

lizable se describe por el punto B. La ordenada de este pun to es el límite elástico convencional que, como su nombre indica, es la tensión que producirá una pequeña deformación permanente previamente con-venida. En general, en las especificaciones técnicas se conviene en definir este límite elástico como la tensión que produce una deforma-ción permanente del 0,2% de la distancia inicial entre puntos , por lo que suele llamársele abreviadamente límite elástico del 0 ,2%. En la figura la deformación permanente convenida sería la correspondiente a la longitud OC del eje de abscisas. La deformación plástica se inicia en cuanto se supera el límite elástico, y al aumenta r esta deformación el metal se va haciendo más resistente (endurecimiento por deforma-ción), por lo que aumenta cont inuamente la carga necesaria para que siga aumentando la deformación. Esta carga llega a alcanzar final-mente un valor máximo; este valor, dividido por el área de la sección transversal inicial de la probeta, es la resistencia a la tracción. En el caso de los metales dúctiles el d iámetro de la probeta d isminuye rá-pidamente cuando se sobrepasa esta carga máxima, por lo que se hace menor la carga necesaria para que prosiga la deformación hasta pro-ducirse la ro tura . Como la tensión media se refiere al área de la sección transversal inicial de la probeta, disminuye también desde la carga máxima hasta la rotura.

1 -6 . C o m p o r t a m i e n t o s dúc t i l y f r ág i l .—El compor tamien to ge-neral de los materiales ba jo carga se puede calificar como dúcti l o frá-gil según que el material muestre o no capacidad para sufr i r defor-mación plástica. Un material completamente frágil romperá casi en el

l ímite elástico (Fig. 1-4 a ) , mien-t ras que un material frágil real, como la fundición blanca, mostra-rá una ligera plasticidad antes de la f ractura (Fig. 1-4 b). Es muy importante en ingeniería que un material presente una ducti l idad adecuada, porque ella le permite redistribuir tensiones localizadas. Cuando no es necesario tener en cuenta tensiones localizadas en en-tallas u otros pun tos de concen-tración, se puede desarrol lar un proyecto para si tuaciones estáti-cas sobre la base de las tensiones

medias. Pero las concentraciones de tensiones localizadas en un ma-terial frágil se incrementan cont inuamente al aumentar la carga si no hay flujo plástico, y el final es la iniciación de una grieta, en uno o más pun tos de la región de concentración de tensiones, que se propaga rápidamente a través de la sección entera. Aun no exist iendo concen-

a

deformación la)

deformación

Fie. 1-4.—a) Curva tensión-deforma-ción para un cuerpo completamente frágil (comportamiento ideal), b) Cur-va tensión-deformación para un metal

frágil con escasa ductilidad.

SEC^T7] ^ ^ CONCEJOS ACERCA DEL FALLO DE LO» METALBB 11

tración de tensiones, puede romper bruscamente un material frágil, puesto que el límite elástico y la resistencia a la tracción son práctica-mente idénticos.

Es muy importante señalar que la fragilidad no es una propiedad absoluta de un material. El volframio es dúctil a elevada temperatura, y frágil a la temperatura ambiente. Un metal frágil en tracción puede ser dúctil bajo compresión hidrostática. Y, por último, un material, que es dúctil en tracción a la temperatura ambiente, puede hacerse frágil por la presencia de tensiones, temperaturas bajas, elevadas ve-locidades de carga o por el efecto de agentes fragilizantes tales como el hidrógeno.

1-7. Conceptos acerca del fallo de los metales.—Los miembros de las estructuras y las piezas de las máquinas pueden fallar en las funciones que han de realizar en el servicio, de las tres maneras si-guientes :

1. Por excesiva deformación elástica. 2. Por excesiva deformación plástica. 3. Por rotura.

Es importante comprender bien estas t res causas de falla para lo-grar un buen proyecto, porque siempre es necesario relacionar las cargas y las dimensiones de un miembro con algún parámetro carac-terístico del material, que limita su capacidad para soportar cargas. Para las diferentes causas de falla serán importantes parámetros dis-tintos.

Se pueden presentar dos casos generales de deformación elástica excesiva: 1) flexiones excesivas bajo condiciones de equilibrio estáti-co, como en el caso de una viga bajo cargas aplicadas progresivamen-te; 2) flexión brusca o pandeo bajo condiciones de equilibrio in-estable.

La deformación elástica excesiva de una pieza de máquina puede inutilizar la máquina lo mismo que si la pieza se hubiera roto. Por ejemplo, un árbol demasiado flexible puede causar un desgaste rápido de los cojinetes, o la deformación excesiva de piezas con acoplamiento muy ajustado puede deteriorarlas. El pandeo brusco es un tipo de falla que puede ocurrir en una columna esbelta cuando la carga axial excede a la crítica de Euler o cuando la presión externa que actúa sobre una cápsula de paredes delgadas sobrepasa a un valor crítico. Las fallas debidas a una deformación elástica excesiva están controladas por el módulo elástico y no por la resistencia del material. En general es poco el control que se puede ejercer metalúrgicamente sobre dicho módulo, por lo que el modo más eficaz de aumentar la rigidez de un miembro suele ser cambiar su forma y aumentar las dimensiones de su sección transversal.

La fluencia plástica excesiva se produce cuando se sobrepasa el

límite elástico del material. Da lugar a un cambio permanente de for-ma que impide a la pieza cont inuar desarrol lando normalmente sus funciones. En un material dúctil , cargado es tá t icamente a la tem-peratura ambiente, es raro que la excesiva deformación plástica con-duzca a la rotura, porque el mater ia l endurece a medida que se deforma y aumenta la tensión necesaria para producir más deforma-ción. En condiciones de carga axial es el l ímite elástico el paráme-tro importante, pero cuando las condiciones de carga son más comple-jas, aunque dicho límite sigue conservando su importancia, hay que emplearlo en unión de algún cri terio de falla adecuado (Sec. 3-4). A temperaturas apreciablemente superiores a la ambiente dejan los me-tales de most rar endurecimiento por deformación, por lo que pueden deformarse continuamente ba jo carga constante en una fluencia que depende del t iempo y que se suele l lamar fluencia lenta (en inglés creep). El criterio de falla en condiciones de fluencia lenta es difícil de establecer, porque en dichas condiciones la tensión no es propor-cional a la deformación y las propiedades mecánicas del material pue-den modificarse apreciablemente duran te el servicio. Este complejo fenómeno será estudiado con detalle en el capítulo 13.

La formación de una grieta concluye muchas veces en la destrucción completa de la continuidad de un miembro, que es lo que cons t ruye la rotura. Una pieza hecha de un metal dúctil y cargada estát icamente rara vez rompe como una probeta de tracción, porque antes se habrá inutilizado por excesiva deformación plástica. Sin embargo, los metales fallan por rotura de las tres maneras siguientes: 1) fractura frágil b rusca ; 2) fatiga o fractura progresiva; 3) f ractura diferida. F.n la sección anterior se ha visto que un material frágil rompe bajo carga estática presentando muy pocos indicios de deformación plástica. Una f ractura frágil brusca puede producirse también en los metales dúctiles cuando se dan ciertas condiciones. Los aceros al carbono para la cons-trucción son el ejemplo más corriente de un material que presenta una transición de dúctil a frágil. El cambio de la f ractura de los tipos dúctil al frágil es favorecido por un descenso de la temperatura , un incremento en la velocidad de carga y la presencia de un estado com-plejo de tensiones debido a una entalla. Este problema se estudiará en el capítulo 14.

La mayoría de las roturas de piezas de máquinas se deben a la fatiga. Las fallas por fatiga se producen en piezas que están sometidas a tensiones alternas o f luctuantes. U n a grieta d iminuta se inicia en un lugar localizado y, poco a poco, se propaga sobre la sección trans-versal hasta que el miembro rompe. Las ro turas por fatiga se produ-cen, sin indicios visibles de flujo plástico, a una tensión nominal o media muy inferior a la resistencia a la t racción del material . La rotura por fatiga se debe a una tensión crítica localizada que es muy difícil de evaluar, por lo que los diseños dest inados a evitar este tipo de rotura se basan en relaciones empíricas y se emplea la tensión no-

SEC. 1 - 7 ] CONCEPTOS ACERCA DEL FALLO P E L O » M 1 T A L H

minál. La fatiga de los metales se discute con detalle en el capítulo 11, • i Un t ipo común de fractura diferida es la rotura bajo tension que te produce en un metal que se mant iene cargado estáticamente a tem-peratura elevada y durante un per íodo largo de tiempo. Según los valores de la tensión y la tempera tura estará o no precedida la f ractura de un flujo plástico. Un tipo parecido de f rac tura diferida, en el que nb hay f lujo elástico previo que sirva de aviso, se p roduce a la tem-peratura ambiente cuando el acero se carga es tá t icamente en presencia de hidrógeno.

Todos los materiales técnicos muest ran una cierta variabil idad de las propiedades mecánicas que, a su vez, pueden ser modi f icadas por variaciones en el t ra tamiento térmico o en la fabricación. Además , existen usua lmente incert idumbres en c u a n t o a la magni tud de las cargas aplicadas y suele ser necesario recurr i r a aproximaciones para calcular las tensiones hasta en el caso de los miembros más sencillos. Hay que tener en cuenta la posibilidad de sobrecargas elevadas acci-dentales. Por todas estas razones es necesario adoptar factores de se-guridad para protegerse contra las fallas imprevisibles y deben tole-rarse solamente tensiones más pequeñas que las que pueden producir esas fallas. El valor de la tensión para un material part icular, empleado en un caso también particular, que puede considerarse como valor de seguridad, suele l lamarse tensión de trabajo cr,v. La tensión de t rabajo para materiales dúctiles, en aplicaciones estáticas, suele basarse en el límite elástico cr0 y para los frágiles en la resistencia a la tracción cru. Los valores admisibles de las tensiones de t raba jo suelen establecerlos asociaciones técnicas, como la American Society for Mechanical En-gineers ( A S M E ) de los Estados Unidos, o por oficinas estatales o regionales. La tensión de t rabajo puede considerarse como igual al límite elástico o a la resistencia a la t racción divididos por un factor de seguridad _ _

cr0 , . cru a - w - ~ ~ , o bien o - w = — ~ [1-5] N0 N„

d o n d e : c r w =tens ión de trabajo c r 0 =l ími te elástico < t „ - resistencia a la tracción N0=factor de seguridad para el l ímite elástico Nu = fac tor de seguridad para la resistencia a la t racción.

El valor as ignado al factor de seguridad depende de una est ima-ción de los fac tores discutidos anter iormente . Además , hay q u e tener en cuenta las consecuencias que podría t ener una falla. C u a n d o esta úl t ima pueda ocasionar pérdida de vidas h u m a n a s hay que incrementar el fac tor de seguridad. También la natura leza del equipo inf luye en el factor de segur idad. En los equipos mil i tares , en los que lo funda-menta l es la ligereza de peso, se pueden emplear factores de seguridad más pequeños que en los equipos industr iales. El factor de seguridad

también depende del tipo de carga que se espera. Para . -¿as est íticas, como en una edificación, el factor de seguridad puedt -r menor que en una máquina sujeta a vibraciones y tensiones fluch • :3.

1 -8 . Concep to de t ens ión y t ipos de t ens iones , .as tensiones se definen como la resistencia interna de un cuerpo, ;,.>• unidad de

área, a las fuerza: jpücadas ex-ternamente. En la -.-»xción 1-4 se consideró que las '.¡nsiones esta-ban uniformemente Atribuidas so-bre el área de la sev.ión transver-sal de un miemb:-. Este no es el caso general. L; figura 1-5 a representa un cueno en equili-brio bajo la acción las fuerzas externas P¡, P2, .... P¡. Hay dos clases de fuerzas e x i m a s que pue-den actuar sobre i.-„ cuerpo: las fuerzas de superfi; í y las fuer-zas que actúan s ;-,re la masa. Las fuerzas de superf.de son aque-llas que actúan so:••: la superfi-cie de un cuerpo, ce-.-,o la presión hidrostática o la e'Vcida por un cuerpo sobre otro. L:-; fuerzas que actúan sobre la mi .a están dis-tribuidas sobre tod . el volumen del cuerpo, como la '.'.ravedad, las fuerzas magnéticas o las fuer-zas de inercia de un cuerpo en movimiento. Los tipos de fuer-zas que actúan sobre la masa más corrientes en la técnica son las centrífugas, originadas por la

„ „ . , , , . . , rotación a alta velocidad, y las Pu •••, n b) fuerzas que actúan sobre , . . . „ . • * „ „ • , . . '

una parte. debidas a diferencias de tempera-tura existentes en el cuerpo (ten-

siones térmicas o de origen térmico) . Las fuerzas no se distribuyen uniformemente, en general, sobre

cualquier sección transversal del cuerpo mostrado en la figura 1-5 a-Para obtener la tensión en algún punto O de un plano tal como el mn, se separa la parte 1 del cuerpo y se la reemplaza por el s is tema de fuerzas externas aplicadas al plano que mantienen a cada p u n t o de la parte 2 del cuerpo en la misma posición que tenía antes de separar la parte 1. Esta es la situación que se muestra en la figura 1-5 b. Luego tomamos un área Ai4 en torno al punto O y anotamos la fuerza AP

FIG. 1 -5 .—a) Cuerpo en equilibrio bajo la acción de fuerzas externas

que actúa sobre esa área. Si se hace disminuir COndnUAmmH 4 ÉNI t>A hasta reducirla al valor cero, el valor limite de la relación AJP/&A es la tensión en el pun to O del p lano mn del cuerpo 2,

l ím - ^ - = < 7 • ¿A -*„ AA

[1-6]

La tensión tendrá la dirección de la fuerza P y formará, en general, un cierto ángulo con el plano mn. La misma tensión en el punto O del plano mn se obtendría si el cuerpo libre se construyera separando la par te 2 del cuerpo sólido, pero la tensión sería diferente sobre cual-quier o t ro plano dis t into del mn que pase por el pun to O, p. ej., el nn.

Es un inconveniente tener que emplear una tensión que forma un ángulo cualquiera con respec-to al p lano sobre el cual actúa. La tensión total puede resolverse en dos componen te s : una tensión normal cr perpendicular a mn y una tensión cizallante (o cortan-te) r que está s i tuada en el pla-no mn. Cons ideremos la figu-ra 1-6. La fuerza P forma un án-gulo 6 con la normal z al plano mn que contiene al área AA, por lo que el plano que contiene a P y a la normal cor ta al plano mn a lo largo de una línea recta de trazos que forma un ángulo 0 con el eje y. La tensión normal está dada por

Fu;. 1-6.—Resolución de la tensión to-tal en sus componentes.

eos 0 [1-7]

La tensión cizallante contenida en el plano actúa a lo largo de la línea OC y t iene la magnitud

r = 4 - s e n 0 [1-8] A

Esta tensión cizallante puede, a su vez, descomponerse en dos para-lelas a los ejes x e y contenidos en el plano

dirección x

dirección y

r = — - sen 6 sen <f> p

t~— sen 6 eos ó A

[1-9]

[1-10]

por lo que, en general, sobre un p 10 dado pueden actuar una tensión normal y dos cizallantes.

1-9 . Concep to de d e f o r m a r n y t ipos de d e f o r m a c i ó n . — E n la sección 1-4 se definió la deforn ción lineal media como la relación de la variación de longitud a. la ' ngitud inicial de la misma dimen-sión,,

8 \L L — Lq L0 L0 L0

donde

e = deformación lineal medi 8 = deformación absoluta.

Por analogía con la definición de tensión en un punto se entenderá por deformación en un punto al límite de la relación entre la defor-mación absoluta o variación de la distancia inicial entre punto: y la distancia inicial entre puntos cuando esta última tienda a cero.

En lugar de referirse a la distancia entre puntos inicial es fre-cuente definir la deformación como la variación en la dimensión lineal dividida por el valor instantáneo de esta dimensión:

íLi dL L, € = i - r L = I n - r - ri-nj L¡¡ L L0

La ecuación anterior define la deformación real, natural o verdadera. La deformación real, que es de util idad en relación con los problemas de plasticidad y de conformación de los metales, será discutida más detalladamente en el capítulo 3. De momento haremos notar que para

deformaciones muy pequeñas, cuando son válidas las ecuaciones de la elasticidad, las dos definiciones conducen a valores idén-ticos

La deformación elástica de un cuerpo no solo consiste en variaciones de longi-tud de un elemento lineal del mismo, sino que también existen variaciones en el án-gulo que formaban inicialmente dos líneas. La variación angular de un ángulo recto se llama deformación de cizallamiento. La figura 1-7 muestra la deformación produ-

1 En la literatura se emplea una notación muy variable para la deformación lineal media, la deformación real y la deformación absoluta. Frecuentemente se designa con « la deformación lineal, mientras la deformación real se repre-senta a veces por S o « .

T — - • i 7 1 /

9b. 1 h 1

1 1 1

1 1 1 1

A

FIG. 1-7.—Deformación por cizallamiento.

cida por el cizallamiento puro de una cara de un cubo. El ángulo A, que inicialmente era de 90°, disminuye por la aplicación de una ten-sión cizallante en una pequeña cantidad 9. La deformación cizallante y es igual al desplazamiento a dividido por la distancia entre los pla-nos h. La relación a/h es también la tangente del ángulo que ha girado el elemento. Cuando los ángulos son pequeños, son aproximadamente iguales la tangente del ángulo y el valor en radianes de ese ángulo, por tanto, las deformaciones de cizallamiento pueden expresarse con frecuencia como ángulos de rotación

y = ~ = tg 0 = 0 [1-12]

BIBLIOGRAFIA

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SHANLEY, F. R . : "Strength of Materials", McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York, 1957.

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fflFH B B D 0 C A P I I J L O 2

R E L A C I O N E S E N T R E E S F l S R Z O S Y D E F O R M A C I O N E S EN LA R E G I )N ELASTICA

2-1. I n t roducc ión .—La f i n a l i d a d de este capítulo e s p r e s e n ! , i r l a s relaciones matemáticas que expresan la tensión y l a d e f o r m a c i ó n en un punto y las que existen entre tensión y deformación e n u n c u e r p o rígido que obedece a la ley de H o o k e . Parte de l a s m a t e r i a s t r a t a d a s en este capítulo constituyen una revisión de información g e n e r a l m e n t e expuesta en resistencia de materiales, sin embargo se ha a m p l i a d o el tema más allá de este punto, incluyendo el estudio de l a s t e n s i o n e s y deformaciones en tres dimensiones y la teoría de la e l a s t i c i d a d . L a s materias incluidas en este capítulo son de importancia para la com-prensión de la mayor parte de los aspectos fenomenológicos de la metalurgia mecánica. Por esta razón, aquellos lectores que no estén familiarizados con el tema deberán dedicarle cuidadosa a t e n c i ó n . E n el espacio disponible para t r a ta r esta disciplina no ha s i d o p o s i b l e desarrollarla lo suficiente para resolver el problema en t o d a s u a m p l i -tud. Sin embargo, las materias t r a t adas proporcionarán una base para la lectura inteligente de la mayor par te de la l i teratura m a t e m á t i c a re-lacionada con la metalurgia mecánica.

2-2 . D e s c r i p c i ó n de las t e n s i o n e s en u n p u n t o . — C o m o va se ha descrito en la sección 1-8, c o n f r e c u e n c i a es c o n v e n i e n t e r e s o l v e r las tensiones en un punto en componentes normales y d e c i z a l l a n i i e n t o . Generalmente, los componentes de cizallamiento f o r m a n á n g u l o s a r b i -trarios con los ejes de cordenadas, p o r l o q u e se p u e d e r e s o l v e r u l t e -r iormente cada tensión cizallante en dos componentes. Este caso se muestra en la figura 2-1. Las tensiones que actúan normalmente a las caras de un cubo elemental se identifican por un subíndice que, a su vez, representa la dirección en la q u e la tensión a c t ú a ; e s t o e s , >r, e s la tensión normal que actúa en la dirección X. Pues to que es una ten- ' sión normal debe actuar sobre el p lano perpendicular a l a d i r e c c i ó n X Se ha establecido convencionalmente que los valores d e l a s t e n s i o n e s normales mayores que cero son de tracción, mientras q u e l o s v a l o r e s menores que cero indican compresión. Todas las t e n s i o n e s n o r m a l e s

» que se muestran en la figura 2-1 son de tracción. F Para expresar las tensiones c i z a l l a n t e s se precisan d o s s u b í n d i c e s . 1 El pr imero indica el plano en el q u e la tensión a c t ú a j el s e g u n d o la 1 dirección. Pues to que todo plano se d e f i n e más f á c i l m e n t e p o r s u n o r -

W

SEC. 2-2J DESCRIPCION DE LAS TENSIONES EN UN PUNTO 19

mal, el primer subíndice se refiere a ella; p. ej., Tyz es la tensión de cizallamiento sobre el plano perpendicular al eje y en la dirección del eje z y Tyx es la tensión cizallante sobre un plano normal al eje y en la dirección del eje x. Las tensiones cizallantes orientadas en direccio-nes positivas de los ejes de coordenadas son positivas si una tensión de tracción, en la misma cara del cubo, se encuentra en la dirección positiva del eje correspondiente. Todas las tensiones cizallantes que se muestran en la figura 2-1 son positivas.

La notación dada anteriormente es la que emplea Timoshenko 1 y

la mayoría de los investigadores americanos que trabajan en el campo de la elasticidad. No obstante, el lector debe recordar que se utilizan otros sistemas de notación. Antes de intentar la lectura de t rabajos en este campo, es importante familiarizarse con la notación. Según se observa en la figura 2-1, para establecer el estado de tensión en un punto se han de definir nueve cantidades. Estas son crx, <ry, crz, rxy, T.XZ, TYX, TY¡, T:.R, TY,. Sin embargo, es posible cierta simplificación. Si supo-nemos que las superficies de las caras del cubo unidad son lo suficien-temente pequeñas para que la variación de tensiones sobre ellas sea despreciable, tomando la suma de los momentos de las fuerzas alre-dedor del eje z se puede demostrar que r x y = r y x .

(rxy Ay Az) A* = {ryx Ax Az) A y ' T =T [2*1] • - ' XV * v.t

y de modo análogo, rt; = Tzx 'Tyz = Tíy

1 S. P. TIMOSHENKO y J. N. GOODIER: Theory of Elasticity, 2." ed., McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York, 1951.

20 RELACIONES ENTRE E S F U E ' Z O S Y DEFORMACIONES | c \ p . 2

De este modo, el estado de tensión en un punto se describe comple-tamente con seis componentes 1 : tr s tensiones normales y tres ciza-llantes, O"x, O"y, <Tz, Txy, Txz> Tyz-

2-3. E s t a d o de t ens iones en los d imens iones ( t ens iones ¡lla-n a s ) Se pueden simplificar mucho ; problemas considerando un esta-do de tensiones en dos dimensiones. En la práctica, se llega frecuen-temente a esta situación cuando u ia de las dimensiones del cuerpo es pequeña con relación a las otra ; p. ej., en una plancha de poco espesor, cargada en su plano, no hebrá tensiones que actúen perpen-

Fic . 2 -2 .—Tens iones que actúan en i n p lano obl icuo (dos d imensiones) .

dicularmente a ella. El sistema de tensiones consistirá e n d o s t e n s i o n e s normales, <rx y cry, y en una cizalla ite, r t > . Se llama de tensión plana el estado en el que el valor de las (ensiones en una d e l a s d i r e c c i o n e s primarias es cero.

La figura 2-2 muestra una plancha delgada con s u e s p e s o r n o r m a l al plano del papel. Para conocer e l estado de tensión en u n p u n i ó O de la plancha, es preciso poder describir los componentes d e la t e n s i ó n en O para cualquier orientación d e los ejes que pasan p o r d i c h o p u n t o . Para conseguir esto, consideremos u n plano oblicuo, n o r m a l al plano del papel, formando un ángulo 0 con el eje x la normal N al plano. Se supone que el plano que se muestra en la figura 2-2 está a una distancia infinitesimal de O y que el elemento es tan p e q u e ñ o q u e se pueden despreciar las variaciones de la tensión a lo l a r g o d e s u s lados. Las tensiones que actúan sobre el plano oblicuo son la tensión nor-mal cr y la cizallante r . Los cosenos directores de N en el s i s ' e m a de ejes x e y son l y m, respectivamente. De la f i g u r a 2 - 2 s e d e d u c e

' P a r a una deducción más completa , véase C. T. WANG : Applied Ela.Jicity, náes. 7-9. McGraw-HilI Book Comnnnv. Tne.. Nueva York 1QS3.

SEC. ESTAPO DE TENSIONES EN DOS DIMENSION!» (TENSION»» UANA»)

que l — eos 6 y que m = sen 6. Si A es el área del plano oblicuo, las áreas de las caras del elemento perpendiculares a los ejes x e y serán Al y Am. Representemos las componentes x e y de la tensión total que actúa sobre la cara inclinada por Sx y Sy, respectivamente. Efec-tuando la suma de las fuerzas en las direcciones x e y, tenemos:

SXA = <txA l + rxyA m SyA = a-yAm + rxyAl

0 S, = crx eos 6 + Txy sen 8 Sy = cry sen 8 + rxy eos 8

Los componentes de Sx y Sy en la dirección de la tensión normal cr son

Szn=Sxcos8 y SyN = Sy sen 8

de forma que la tensión normal que actúa sobre el plano oblicuo viene dada por

cr = Sx eos 8 + Sy sen 8 <y = <Tx eos2 8 + ay sen2 8 + 2rxy sen 8 eos 8

[ 2 - 2 ]

La tensión cizallante en el plano oblicuo está dada por

r=Sy cos6-Sx sen 6 T = T,y(cos2 8 - sen2 0) + (<ry-crx) sen 8 eos 8

- \

[2-31

Frecuentemente, para facilitar el cálculo es conveniente expresar las Ees. [2-2] y [2-3] en función del ángulo doble 28. Esto se puede hacer con las identidades siguientes:

eos 28+ 1 > eos*

sen' y = -1 - eos 28

2 sen 8 eos 9 = sen 28 eos2 9 - sen2 9 - c o s 28

Las ecuaciones [2-2] y [2-3] se convierten en

T = -

<y x + cr»

cr y - ax

V x • eos 28 + Txy sen 28

sen 26 + T „ eos 28

[2-4]

[2-5]

Las Ees. [2-2] y [2-3] y sus equivalentes [2-4] y [2-5] describen las tensiones normal y cizallante en un punto sobre un plano cual-quiera de un cuerpo sometido a un estado de tensiones planas. La

figura 2-3 muestra las variaciones de la tensión normal y la cizallante con respecto a 6, en el estado de tensión plana biaxial que se indica en la parte superior de la figura. Con respecto a dicha figura, hay que observar los siguientes puntos importantes:

1. Los valores máximo y mínimo de la tensión normal a un plano

<r, = 2.000 ps¡

16 000

14 0 0 0

- 8 0 0 0 -

F;G. 2-3.—Variación de las tensiones normal y cizallante con e! ángu lo fí.

oblicuo en el punto O se presentan cuando la tensión de cizallamiento es cero.

2. Los valores máximo y mínimo de las tensiones normal y ciza-llante se presentan en ángulos que difieren 90°.

3. La tensión cizallante máxima corresponde a un ángulo que equidista de direcciones de las tensiones normales máxima y mínima.

4. La variación de las tensiones normal y cizallante se produce en forma de onda sinusoidal con un período de 0 = 180°. Estas rela-ciones son válidas para cualquier estado de tensión.

En cualquier estado de tensión es siempre posible definir un nuevo

sistema de coordenadas que tenga ejes perpendiculares 1 los p l l R M sobre los que actúan las tensiones normales máximas y sobre los que no actúan tensiones cizallantes. Dichos planos se denominan planos principales y las tensiones normales a ellos tensiones principales. En tensiones planas en dos dimensiones habrá dos tensiones principales cri y en que se presentan en ángulos que difieren 90° (Fig. 2-3). En casos generales de tensiones en t res dimensiones habrá t res tensiones principales cr,, cr2 y o> Según se conviene, a¡ es la tensión principal algebraicamente mayor, mientras que cr} es la menor . Las direcciones de las tensiones principales son los ejes principales 1, 2 y 3. Aunque , en general, los ejes principales 1, 2 y 3 no coinciden con los ejes de coordenadas cartesianas x, y y z, en muchas de las s i tuaciones que se presentan en la práctica los dos s is temas de ejes coinciden, por la simetría de carga y deformación. La expresión de las tensiones pr in-cipales y sus direcciones es un modo apropiado de descr ibir el es tado de tensión en un punto.

Puesto que, por definición, un plano principal no cont iene tensio-nes cizallantes, se puede determinar su relación angular con respecto a los ejes de coordenadas xy hal lando los valores de 8 en la Ec. [2-3], para los que es T = 0 :

r.r),(cos2 8 - s e n 2 8) + ( c r y - a x ) sen 9 eos 8 = 0 TXY sen 8 cosf l i ( s e n 2 0 ) ^ ^ 28

crx - cr y eos2 6 - sen2 8 eos 28 2

tg 28 = ——^—• [2-6] Ctx - cr,,

Teniendo en cuenta que tg 20 = tg {tt + 28), la Ec. [2-6] tiene dos so-luciones, 6>i y 02 = 01 + n~ /2 . Estas soluciones definen dos planos per-pendiculares en t re sí que están l ibres de cizallamiento.

Sust i tuyendo los valores de eos 28 y sen 28 de la Ec. [2-6] en la Ec. [2-4], t endremos las tensiones principales. Los valores de eos 20 y sen 26 se deducen de la Ec. [2-6] por medio de las relaciones pi-tagóricas

sen 28= ± Txy

eos 26= +

[ (°"ar — 0"y)2/4+ r2y]1 / 2

(o-*-<ry)/2 U2 [ ( C.t — CTj,)2/4 + T2^]

Susti tuyendo estos valores en la Ec. [2-4] se obtiene la expresión de las tensiones principales máxima y mín ima de un e s t ado de tens ión en dos dimensiones (biaxial):

O" má* — cr 1 (rmln = c~2

2-4. Círculo de tensiones de M o h r . Dos d imens iones .—O. Mohr ha propuesto un método gráfico para representar el estado de tensión en un punto sobre cualquier plano oblicuo que pase por el punto. La figura 2-4 muestra un diagrama del circulo de Mohr de un estado de tensión en dos dimensiones. Las tensiones normales se representan

Fie. 2-4.—Círculo de Mohr para el es tado b id imensional de tens ión ' .

a lo largo del eje x y las c i z a l l a n t e s en el eje y. L a s t e n s i o n e s en l o s planos normales a los ejes x e y se r e p r e s e n t a n por l o s p u n t o s A y B. La intersección de la línea AB con el eje x determina el c e n t r o d e l círculo. En los puntos D y E la t e n s i ó n d e c i z a l l a m i e n t o e s c e r o ; p o r t a n t o , estos puntos representan l o s v a l o r e s de las t e n s i o n e s p r i n c i -pales.

El ángulo entre el eje x y en e s t á d e t e r m i n a d o p o r el á n g u l o ACD d e la figura 2-4. Este ángulo en el c í r c u l o d e Mohr es i g u a l a d o s v e c e s el ángulo formado por o*i y el e j e x en e! cuerpo real s o m e t i d o a l a s tensiones.

El radio del círculo es igual a r n Vi-CTi CD = = r m á .

Por tanto, el radio del círculo de Mohr es igual a la tensión cizallante

Este valor está dado por la ordenada máxima del círculo. Obsérvese que actúa en un plano en el que 8 = 7T/4 (2d = ir/2 en el círculo de Mo h r ) ; es decir, el plano sobre el que r m i x actúa biseca al ángulo que forman las dos tensiones principales.

El círculo de Mohr se puede utilizar también para determinar las tensiones que actúan en cualquier plano oblicuo mm. Establezcamos convencionalmente que 8 es positivo cuando se mide en el sentido de las manecillas del reloj a partir del eje x positivo. Entonces tenemos que, para determinar las tensiones en el plano oblicuo cuya normal está a un ángulo 8, habremos de avanzar un ángulo 28 a partir del punto A del círculo de M o h r . Las tensiones normal y cizallante en el plano oblicuo están dadas por las coordenadas del punto F. Se podrían obtener las tensiones en un plano perpendicular a mm avanzando 180° más hasta el punto G. Esto muestra que las tensiones cizallantes en dos planos perpendiculares son numéricamente iguales. También se puede observar en la figura 2-4 que OF' + OG' = 20C. Por consiguiente, la suma de las tensiones normales en dos planos perpendiculares es una constante, independiente de la orientación de los planos.

2-5. E s t a d o d e tensión en t res d imens iones .—El estado general de tensión en tres dimensiones consiste en tres tensiones principales desiguales que actúan en un punto. Este se denomina estado de tensión triaxial. Si dos de las tres tensiones principales son iguales, el estado de tensión se conoce con el nombre de cilindrico, mientras que si son las tres iguales se llama hidrostático o esférico. El cálculo de las ten-siones principales en un estado de tensión tridimensional, en función de las tensiones que actúan en un sistema arbitrario de coordenadas cartesianas, es una extensión del método descrito en la sección 2-3 para el caso de dos dimensiones. La figura 2-5 representa un cuerpo libre elemental, similar al que se muestra en la figura 2-1, con un plano diagonal JKL de área A. Se supone que JKL es un plano prin-

máxima, [2-8]

- C ' P ' T ' i U e c \ .a. a l L ^ o o u n i u a d . cr e s la ter.-uón p r i n c i p a l q u e a c t ú a n o r m a l m e n t e a l p l a n o JKL. S e a n l. m y n l o : ; o s e n o s d i r e c t o r e s d e cr, e s t o e s , l o s c o s e n o s d e l o s á n i u l c - f o r m a d o - , J n t r c ^ y ] o s c j e s ,v, y y :. P u e s t o q u e el c u e r p o l i b r e d : la f i g u r a 1-5 h a d e e s t a r en e q u i -l i b r i o , l a s f u e r z a s q u e a c t ú e n s o b • - c a d a e-,-. d e s u s c a r a s h a n d e

-r

Fie , 2-5.—Tensiones que a c t ú a n so>/ 'f un a i e o » , 1 í e l e m e n t a l

e q u i l i b r a r s e . L o s c o m p o n e n t e s d e cr a l<> l a r g o d e c a d a u n o d e lo.-- e j e s s o n Sx, Sy y 5 . :

S.t = o-/ S , <rm >S. =--- mi A r e a KOL^Al A r e a ¡OK Am A r e a ]OL = An

S u m a n d o l a s f u e r z a s e n la d i r e c c i ó n x s e o b t i e n e c o m o r e s u l t a d o

a Al - <rxAl - ryxA - =•= 0

q u e s i m p l i f i c a n d o d a

(cr — crx)l — TyXm - T-Xn — 0 [2-1)«]

S u m a n d o l a s f u e r z a s a l o l a r g o d e l o s o t r o s d o s o j o s t e n e m o s :

- r j + (cr - a-y) ni - r.v/z = 0 ( 2 •-< > / / ]

- T R - / - + (a- - CR ;) = 0 [ 2 - ' » C ]

L a s t r e s E e s . [ 2 - 9 ] s o n l i n e a l e s y h o m o g é n e a s c o n r e s p e c t o a l, m y Se p u e d e o b t e n e r u n a s o l u c i ó n i g u a l a n d o a c e r o e ] d e t e r m i n a n t e d e l o s

coeficientes de l, m y n, puesto que /, m y n no les a cero cr-crx

1 xy

-Tyx (J - <Xy

"Tí; - Tz,

C T - C T .

= 0

gl desarrollo del determinante es una ecuación de tercer grado en o - :

O3- (crx + o-y + o-z)cr2+ ((Txcry + crycrz + (TxCTz-Tly-Ty:-rlz)cr

- ( OTX(TyO-Z + 2rxyTy:Tx, - o - ,Ty . - CTyT« - <rzTXy) = 0 [2-10]

Las tres soluciones de la Ec. [2-10] son las tensiones principales cru

a-x y ctí. Para de terminar la dirección, con respecto a los ejes origina-les x, y y z, en la que las tensiones principales actúan, es preciso sus-tituir por turno a,, cr2 y cr3 en las tres ecuaciones del sistema [2-9] Las ecuaciones resultantes han de resolverse s imul táneamente para l, m y n con ayuda de la relación auxiliar P + m 2 + w 2 = 1. Represen temos por S la tensión total, antes de su resolución en componentes normales y cizallantes, que actúa sobre un plano (no principal) , y por l, m y n los cosenos directores del plano con respecto a los t res ejes princi-

palCS S2=Sx2 + S/ + Sz

2 = crfl1+cr22m2 + o-}

2n2 [2-11]

La tensión normal que a c t ú a en este plano está dada por

cr = Sxl + Sym + S./t = ar¡P + <x2m2 + oyi2 [ 2 - 1 2 ]

Por tanto, l a tensión c i z a l l a n t e q u e actúa en el mismo plano viene d a d a p o r

r 2 = S2 - cr2 = <Ti2F + cr22m2 + c r 3 V - (oV 2 + ar2m2 + cr}n2)2

que se reduce a

r2= (a¡-a2)2Pm1+ (cri-cr})2Pn2+ (cr2-cr3)2m2n2 [2-13]

Los valores de r para los tres juegos part iculares de cosenos di-rectores que se relacionan seguidamente son de interés porque bisecan el ángulo fo rmado entre dos de los t res ejes principales. Por consi-guiente, son las tensiones cizallantes máximas o tensiones cizallantes principales:

l m n T

0 M = CT2-O-3

2

0 • r2 = 0-1-0-3

2

± V Í 0 Tí = 0-1-0-2

2

[2-14]

".CIONI FNTREI

Puesto que, según se ha convenido, o-, es la tensión normal principal algebraicamente mayor y 0-3 la algebraicamente menor, r2 tiene el valor máximo de tensión cizallante, por lo que se denomina tensión riza-liante máxima Tmix

[2-15]

La tensión cizallante máxima inte teorías de la fluencia y en las opei tales. La figura 2-6 muestra los

i e n e d e forma i m p o r t a n t e en l a s i o n e s d e c o n f o r m a c i ó n d e l o s m e -a n o s d e l a s t e n s i o n e s c i z a l l a n t e s

Fie. 2 -6 .—Planos de las t ens iones cizallantes principales.

principales en un cubo cuyas c a r a s s o n los planos p r i n c i p a l e s . O b s é r -vese que por cada par de tensiones principales h a y d o s p l a n o s d e tensiones de cizallamiento principales que bisecan a las direcciones principales para las tensiones normales.

2-6. Circulo de Mohr. T r e s d imens iones .—La d i s c u s i ó n d a d a en la sección 2-4 de la representación de un estado de tensión en dos dimensiones, por medio del círculo de Mohr , se puede ampliar al de tres dimensiones. La figura 2-7 muest ra cómo un estado de tensión triaxial, definido por las tres tensiones principales, puede representarse

por tres círculos de Mohr. Se puede demos t ra r 1 que todos los e sn idos de tensión posibles en el cuerpo caen dentro del área sombreada ün t r e los círculos de la figura 2-7.

Aunque la única importancia física del círculo de M o h r es que pro-porciona una representación geométrica de las ecuaciones que expresan ¡a transformación de los componentes de tensión para diferentes s is te-mas de ejes, constituye un método muy apropiado para visualizar el estado de tensión. La figura 2-8 muestra el círculo de Mohr en vxr ios

astados usuales de tensión. Obsérvese que al aplicar una tensión de tracción cr2 a ;ingulo recto con otra tensión de tracción, ya existente, a , (Fig. 2-8 c) , el resultado es una disminución de la tensión de cizalla-miento principal en dos de las tres series de planos sobre los que una tensión principal actúa. Sin embargo, la tensión cizallante máxima no es menor que la que ocurría en tensión uniaxial, pero es to-no se habría observado si solo se hubiera utilizado el círculo de Mohr bidimensional. Si se aplica una tensión de tracción en la tercera dirección principal (Fig. 2-8 d) la tensión de cizallamiento máxima se reduce apreciable-mente. En el caso límite de tracciones triaxiales iguales (tracción hi-drostática), el círculo de Mohr se reduce a un punto, no existiendo tensiones cizallantes en ningún plano del cuerpo. La eficacia de las tensiones de iracción biaxiales y triaxiales para reducir las tensiones cizallantes, d.i como resultado un decremento considerable de la ducti-

1 A . NADAI : Theory of Flow and Fracture of Solids, 2 . 1 ed., pdgs. 9 6 - 9 8 , McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York, 1950.

l idad'üel material, ya que la d e f o mación plástica s e p r o d u c e p o r ten-siones cizallantes. Por consiguient . la rotura frágil e s t á a s o c i a d a inva dablemente con las tensiones t r i a ? a l e s que se p r o d u c e n e n u n a e n t a l l a

( a l

rmdx

it>)

cr. = cr, - 0

3 / T

J, - uuz

j cr3 = 0

•*-cr2—J

(C 1

cr = 7o 2 cr,

= - 2 <T> = -2tr,

(f 1 FIG. 2-8.—Círculos de Mohr (tridimensionales) para varios estados de tensiones. a) Tracción uniaxial, b) Compresión uniaxial, c) Tracción biaxial, d) Tracción

triaxial (desiguales), e) Tracción uniaxial y compresión biaxial.

o concentración de tensiones. Sin embargo, la figura 2-8 e muestra que, si se aplican tensiones de compresión laterales con respecto a una ten-sión de tracción, la tensión cizallante máxima es mayor que en el caso de tracción uniaxial o compresión. A causa del elevado valor de la

tensión cizallante, con relación a la tensión de tracción apllcadt» Al material posee una oportunidad excelente para deformarse plásticamen-t e sin q u e s e produzca l a r o t u r a b a j o este estado de tensiones. En la conformación plástica de los metales se hace uso de este hecho im-portante. A s í , p. ej., s e o b t i e n e mayor ductilidad al trefilar alambre

\t)

Fio. 2-9 .—Condic iones equivalentes de cizallamiento puro, a) Cizallamiento puro (tensión plana); b> tracciones biaxiales iguales y compresión.

que en simple tracción uniaxial, debido a que la reacción del metal contra la hilera produce tensiones laterales de compresión.

Un estado de tensión importante es el cizallamiento puro. La figu-ra 2-9 a muestra el círculo de Mohr en un estado bidimensional de cizallamiento puro. Este estado de tensión se obtiene fácilmente so-metiendo a torsión una barra cilindrica. El círculo de Mohr, en este estado de tensión, muestra que las tensiones normales máximas y mínimas son iguales a la tensión cizallante y que se encuentran a 45° de esta. La tensión cizallante máxima es igual a la tensión cizallante aplicada TXY, pero ello ocurre solamente en la serie de planos paralelos al eje z. En las otras dos series de planos la tensión cizallante principal

es T,v,'2. Obsérvese que en el cizallamiento puro en tres dimensiones dos de las tres series de planos de cizallamiento tienen un v a l o r de W t = 0"i. Se puede obtener un es tado idéntico al c i z a l l a m i e n t o p u r o cuando se aplican a un cubo unidad ( F i g . 2-9 b) tensiones de t r a c c i ó n y compresión iguales. De nuevo tenemos que, r m á , = <Ti, p e r o , p a r a o b -tener una identidad completa con un estado de cizallamiento p u r o en dos dimensiones, los ejes han de g i r a r 45° en el espacio o 90" en ei círculo de Mohr .

2-7. Desc r ipc ión de la d e f o r m a c i ó n en u n pun to .—La breve descripción dada en la sección 1 - 9 s o b r e l a s tensiones l i n e a l e s v c i z a -

u&dy dy

V+Tydy

dy

M

Q' I I L

L'

T I L J

J' H 1

K

• dx- >1 OX l-dx

FIG. 2 -10 .—Componentes de d e f o r m a c i ó n en d e f o r m a c i ó n plana.

liantes se puede ampliar al campo más generalizado de la deformación en un punto de un cuerpo rígido. Para mayor sencillez en el dibujo, la figura 2-10 considera un estado en dos dimensiones, o deformación plana, en el que toda la deformación está confinada al plano xy. Sin embargo, es bastante sencillo generalizar la relación obtenida de esta figura al caso de tres dimensiones. Representemos por x, y y z las coordenadas de un p u n t o en un cuerpo rígido sin tensiones. Una vez sometido a tensiones el pun to experimentará los desplazamientos u, f y to, en las direcciones x, y y z. Pa ra que el desplazamiento de todo el cuerpo sea geométr icamente compatible, es preciso que dos par-tículas no ocupen el mi smo sitio en el espacio o que no se produzcan huecos en el interior del cuerpo. Pa ra satisfacer estas exigencias, los componentes del desplazamiento u, v y w han de variar continuamente de un punto a otro. Es to se puede conseguir si sus gradientes, con respecto a x, y y z, no tienen discont inuidades y, por consiguiente.

las derivadas parciales de u, v y w con respecto • x, y y i han dt intervenir en el análisis.

En el estado de tensión plana de la figura 2-10 se puede observar que el componente x, del desplazamiento de K a K', es el desplaza-miento de J, representado por u, más la intensidad de variación de u a lo largo de la distancia dx, expresada por ( d u / d x ) dx. La deforma-ción lineal unitaria ex, en la dirección x, está dada por

f'K'-JK [dx + (du/dx) dx)-dx du r„ , , , <?* = r p = - j = - r — [2 -16 a ] JK dx dx

A n á l o g a m e n t e , l'M'-JM dy+ (dv/dy) dy-dy dv

ey~ 7TT = ; [2-16 OJ fM dij dy

y si se considerase la dirección z,

= [2-16 c] 02

La deformación de cizallamiento yxy, en / ' , está dada por la varia-ción del ángulo de los dos elementos inicialmente paralelos a los ejes x e y.

yxy= Z KJM - L K'J'M' = ¿B]'M'+ ¿ AJ'K'

Puesto que, en las pequeñas deformaciones implicadas, la tangente del ángulo es igual al ángulo, de la figura 2-10 se tiene que

(du/dy) dy (dv/dx) dx du dv y.xy = J + J = — + - T — [ 2 - 1 6 d dy dx dy dx

Del mismo modo se puede demostrar que

r „ , , , 7 x t = - r — + [ 2 - 1 6 e]

oz c)x dy r _ - - „

7 y j = = _ J L + [2-16/] dz dy

Por consiguiente, se precisan seis términos para describir completa-mente el estado de deformación en un punto, ex, ey, eu y^, yn y yx:

En completa analogía con las tensiones, es posible definir un sis-tema de ejes de coordenadas a lo largo de los cuales no se produzcan deformaciones de cizallamiento. Estos ejes son los de las deformacio-nes principales. En un cuerpo isótropo las direcciones de las defor-maciones principales coinciden con las de las tensiones principales Un elemento orientado a lo largo de uno de estos ejes principales

1 Para una deducción de este punto, véase WANG, op. dt., págs. 26-27. DÍETEIt.—3

M Í

l i ientQrá alargamiento puro o contracción sin ninguna r o t a c i ó n O deformación de cizallamiento. C o m o ocurre con l a s t e n s i o n e s p r i n -cipales, las deformaciones l i n e a l e s m á x i m a y m í n i m a en u n p u n t o d e l cuerpo están dadas por los v a l o r e s d e l a s d e f o r m a c i o n e s p r i n c i p a l e s .

Los métodos utilizados en l a sección 2-5, en l a d e d u c c i ó n d e la ecuación para obtener los valores de las tres tensiones p r i n c i p a l e s , y los d e la sección 2-3, en las t e n s i o n e s n o r m a l e s y c iza l lan tes en cual-quier plano que pase por un pun to d e l cuerpo, p u e d e n e m p l e a r s e p a r a la deducción 1 de cant idades a n á l o g a s en té rminos d e d e f o r m a c i ó n . Sin embargo, se pueden obtener e s t a s ecuaciones m u c h o m á s f á c i l m e n -te sus t i tuyendo o- y r por e y y/2 en l a ecuación de t e n s i ó n . Así , p . e j . , la deformación lineal en cualquier p l a n o en un e s t a d o b i d i m e n s i o n a l , se puede expresar, a part i r de la Ec. [2-2J, por

ee - ex eos2 6 + ey sen2 6 + yxy sen 6 eos 0 12-17]

Las tres deformaciones principales e¡ > e2 > e3 son las soluciones de la ecuación siguiente (obtenida de la Ec. [2 -10 ] ) :

e3 - (<?, + ey + et) e2 + [exey + eye: + exe. - -i {y2xy + -y2,. + y2.) ] e

- exeye. + \(exy). + eyy], + ezyxy - yx,y,._yv; ) 0 [2-18]

Siguiendo la línea analógica, las ecuaciones de las deforinacioiu's de cizallamiento principales se pueden ob tener de la Ec. [2-14] :

yl = e1~ e}

y3 = e, - e :

[ 2 - 1 9 ]

La deformación en volumen o di la tación cúbica es l a v a r i a c i ó n d e volumen por unidad de volumen inicial. Consideremos u n p a r a l e l e p í p e -do rectangular cuyas aristas son dx, dy y dz. El v o l u m e n e n el e s t a d o de deformación es

(! + <?,)(!+ <?,)(! + £?.,) dx dy dz

A par t i r de esta definición, la de fo rmac ión en volumen A viene dada por

A = ( l + * i ) ( l + e 2 ) ( l + <?3) dx dy dz - dx dy dz

dx dy dz = ( l + Ci)( l + í a ) ( l + e 3 ) - l

que para pequeñas deformaciones, desprec iando los p r o d u c t o s d e las deformaciones, se t ransforma en

A = 61 + ^2 •+ [2-20]

I T IMOSHENKO y G O O D I E R , op. cit., p á g s . 2 2 1 - 2 7 .

2-8. Medida de la deformación en una superficie.—Excepto en los casos en !os que hay implicadas tensiones de contacto, no es po-sible medir la tensión directamente. Por tanto, las mediciones expe-rimentales de las tensiones se basan realmente en la medida de las deformaciones, que más tarde se t ransforman en tensiones por medio de la ley de Hooke y por las relaciones más generalizadas que se dan en la sección 2-10. El aparato más universalmente utilizado para medir las deformaciones es la galga de alambre de resistencia eléctrica, de-nominada frecuentemente galga de deformaciones SR-4. Estos calibra-dores están hechos de varios bucles de alambre fino o de láminas de composición especial que se fijan a la superficie del cuerpo que se va a estudiar. Cuando el cuerpo se deforma, los alambres de la galga experimentan, a su vez, deformación y se altera su resistencia eléctrica. La variación de resistencia, que es proporcional a la deformación, se puede medir con exactitud con un sencillo circuito de puente de VVheatstone. La gran sensibilidad, estabilidad, comparativa solidez y facilidad de aplicación hace de estas galgas instrumentos muy eficaces para determinar las deformaciones.

En los problemas prácticos que se presentan para analizar las tensiones experimentales es, con frecuencia, importante determinar las tensiones principales. Conocidas las direcciones principales se pueden orientar las galgas en dichas direcciones, obteniéndose fácilmente las tensiones principales. Pero generalmente no se conoce la dirección de las deformaciones principales y, por tanto, será preciso determinar su orientación y magnitud, partiendo de deformaciones medidas a ángulos arbitrarios. Debido a que ninguna tensión puede actuar perpendicu-larmente a una superficie libre, las medidas efectuadas con la galga de deformaciones representan un estado de tensión en dos dimensio-nes. El estado de deformación queda completamente determinado si se conocen ex, ey y y.x. Sin embargo, con las galgas solamente se pueden tomar lecturas directas de deformaciones lineales, mientras que las de-formaciones de cizallamiento han de determinarse indirectamente. Por consiguiente, la práctica usual consiste en utilizar tres galgas dispuestas a ángulos fijos, en forma de una "roseta", como se muestra en la fi-gura 2-11. Las lecturas de las galgas para tres valores de 9 darán t res ecuaciones simultáneas, análogas a la Ec. [2-17], que se pueden re-solver para ex, ey y yxr Entonces, para determinar las deformaciones principales, se puede utilizar la versión en dos dimensiones de la Ec. [2-18]. Las ecuaciones para la conversión directa de las lecturas en tensiones principales, para las dos rosetas que se muestran en la figura 2-11, se hallarán en la tabla 2-2.

El círculo de Mohr proporciona un método más conveniente para determinar las deformaciones principales, part iendo de las lecturas de las galgas, que la resolución de tres ecuaciones simultáneas con t res incógnitas. Al construir un círculo de Mohr que represente deforma-ciones, los valores de la deformación lineal normal e se representan a

/ (a) ( 6 )

FIG. 2-11.—Rosetas típicas de galgas de deformación: a) rectangular b) en delta.

7

] D

A \

r

1 v

0 \ 2 £ \ h A

B % *

ca.

FIG. 2-12.—Círculo de Mohr para la determinación de las deformaciones principales.

lo largo del eje x y la deformación de cizallamiento dividida por 2 a lo largo del eje y. La figura 2-12 muestra la construcción 1 del círculo de Mohr en el caso generalizado de la roseta que se ilustra en la parte

>G. MURPHY: / . Appl. Mech., vol. 12, pág. A209, 1945; F. A. MCCUNTOCK: Proc. Soc. Exptl. Stress Analysis, vol. 9, pág. 209, 1951.

superior de la figura. Las lecturas de las deformaciones t¡, y «e te obtienen con tres galgas situadas a ángulos arbitrarios a y j8. El fin que se persigue es determinar la magnitud y orientación de las de-formaciones principales e, y e2.

1. A lo largo de un eje arbitrario X'X' se trazan líneas verticales aa, bb y cc, que corresponden a las deformaciones ea, eb y ec.

2. Desde un punto cualquiera de la línea bb (lectura de la de-formación central) se traza la línea DA, formando un ángulo a con bb, que corta a aa en el punto A. Del mismo modo se traza DC hasta que corte a cc en el punto C.

3. Se dibuja una circunferencia que pasa por los puntos A, C y D. El centro O de esta circunferencia se determina por la intersección de las mediatrices de los segmentos CD y AD.

4. Los puntos A, B y C de la circunferencia dan los valores de e y y/2 (medidos desde el nuevo eje x que pasa por O) para las tres galgas.

5. Los valores de las deformaciones principales se determinan por la intersección del círculo con el eje x que pasa por O. La relación angular de con respecto a la galga a es la mitad del ángulo AOP del círculo de Mohr {AOP = 26).

2-9. Re lac iones e n t r e tens iones y de fo rmac iones .—En el capí-tulo 1 se demostró que la tensión uniaxial está relacionada con la deformación uniaxial por el módulo de elasticidad. Esto representa la ley de Hooke en su forma más simple,

crx = Eex [2-211

donde E es el módulo de elasticidad a tracción o compresión. Una fuerza de tracción en la dirección x, al mismo tiempo que produce deformación lineal a lo largo de dicho eje origina contracción en las direcciones transversales y y z. La relación entre la deformación en la dirección transversal y 1¿ deformación en la dirección longitudinal se conoce con el nombre de relación de Poisson, representada por el símbolo v

ey = e.= -vex= . [2-22]

En los cálculos se utiliza siempre el valor absoluto de v. La relación de Poisson es de 0,25 para un material elástico perfectamente isótropo, pero para la mayoría de los metales los valores1 se aproximan a 0,33.

La descripción generalizada de la ley de Hooke dice que, en todo

' U n a deducción que sugiere intuitivamente el valor v = 0,33 ha sido expuesta por F. R. SHANLEY: Strength of Materials, págs. 138-39, McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York, 1957.

cuerpo sometido a un sistema general d e tensiones, l a d e f o r m a c i ó n a lo largo de cualquier eje p r i n c i p a l s e d e b e a l a t e n s i ó n q u e a c t ú a a lo largo de dicho eje más la d e f o r m a c i ó n s u p e r p u e s t a r e s u l t a n t e d e l efecto de Poisson producido p o r l a s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s q u e a c t ú a n a lo largo de los otros dos ejes:

1 u v e , = _ „ - , - - c r ^ c r ,

y para los otros dos ejes principales

= [cr2-v{a-1 + 0 - 3 ) ] 2 - 2 3 ]

En un estado biaxial de tensión plana 0-3 = 0 y las Ees. [2-23 | se re-ducen a j

ex =-— (o-, - vcr2) b

C p y f i r . - w i l [2-23 o 1

v e i = - - - (o-, + (Ti)

Obsérvese que, aun cuando la tensión a lo largo d e l t e r c e r e j e s e a cero, la deformación en dicho eje no es cero (a menos que cr,- o-2).

En el caso de deformación p l a n a e3 = 0 y las r e l a c i o n e s e n t r e l a s d e f o r m a c i o n e s y l a s t e n s i o n e s se t r a n s f o r m a n en

[ (1 - i')o-¡ - vo-2] ¿ \ 2 2] h |

1 + v r M i = [ (1 - u)cr2— VO~\ ]

La tensión cizallante y la d e f o r m a c i ó n d e c i z a l l a m i e n t o g u a r d a n relaciones análogas a las de la Ec. [2-21] :

rXy=CyXy txz = Gyx. r y ; = Cyv ; [2-24]

La constante de proporcionalidad G es el módulo de elasticidad en cizallamiento o módulo de rigidez.

En la descripción del comportamiento elástico de los materiales in-tervienen tres constantes E, G y v. A c o n t i n u a c i ó n d e m o s t r a r e m o s q u e

existen relaciones entre estas constantes, de modo que en todo ma-terial isótropo sólo hay dos constantes elásticas independientes. Con-sideremos un elemento rectangular que está sometido a un estado de cizallamiento puro (Fig. 2-13; véase también el círculo de Mohr de la Fig. 2-9 b). crx y <ry son las tensiones principales, puesto que no se encuentran tensiones cizallantes en las caras sobre las que actúan. La tensión cizallante máxima se encontrará en un plano de 45°, y si a - y =-a- x , el valor de Tmáx será o y Las tensiones cizallantes deforman al elemento del modo que se muestra en la figura 2-13 c: Oa se alarga

FIG. 2-13.—a) Elemento somet ido a cizallamiento puro; b) tensio-nes en el triángulo Oab antes de la deformación; c) después de la

deformación.

Ob se acorta y ab no varía de longitud. El ángulo Oab disminuye en una cantidad igual a y / 2 :

Puesto que en deformaciones elásticas y es un ángulo pequeño,

y

í Î í î î Î a

Para cizallamiento puro ay = -<TX=T

Sustituyendo en la Ec. [2-23], tenemos

1 + v 1 -t- v ey= -ex=<Ty-— = T——

igualartuo tas aós expresiones "para tg ( t t /4 ~ y / 2 ) v sustituyendo la ecuación anterior, nos da

r = - 2 l A _ T 7 [ 2 - 2 5 ]

Comparando esta relación con l a f o r m a generalizada d e la E c . [ 2 - 2 4 ] se obtiene la relación general entre las tres constantes e l á s t i c a s . E n la tabla 2-1 se incluyen los valores típicos de cierto n ú m e r o d e m a -teriales :

G = , ng v [2-26]

2(1 + y)

T A B L A 2-1

Valores típicos, a la temperatura ambiente, de las constantes elásticas de materiales isótropos

Materiales

Aleaciones de aluminio ... Cobre Aceros (al carbono y de

baja aleación) Acero inoxidable 18-8 ••• Titanio Volframio

Módulo elástico

psi

29,0 x 106

28,0 x 106

1 7 , 0 x 1 0 « 58,0 x 106

Kg/mm1

10,5 x 106 7 390 1 6 , 0 x 1 0 » 1 1 2 6 0

20 500 19 600 12 000 40 800

Módulo de clzallnmionto

psl 1

4,0 x 106 i 2 800 6 , 0 x 106 | 4 200

l l . O x l O 6 , 7 700 9.5 x 106 6 700 6,5 x 10* 4 600

22,8x10'' 16 000

Relación (le

í'ni.^son

0,31 0.33

0.33 0 . 2 8 0.31 0,27

S u m a n d o l a s t r e s e c u a c i o n e s q u e d a n la d e f o r m a c i ó n p r o d u c i d a p o r l a s t r e s t e n s i o n e s p r i n c i p a l e s ( E c . [ 2 - 2 3 ] ) , t e n e m o s

l-2v ex + e 2 + e i ~ — / ( t r , + cr, + r r , ) | .1-27]

E l p r i m e r t é r m i n o d e la E c . [ 2 - 2 7 ] e s la d e f o r m a c i ó n e n v o l u m e n A. V o l v i e n d o a e s c r i b i r la E c . [ 2 - 2 7 ] , t e n e m o s

A = - ~ ( l - 2 . ) [2-28]

donde crm es la media de las tres tensiones principales. E s t o s e p u e d e expresar como

k = ^ = _ [ 2 - 2 9 ] A 3 ( 1 - 2 " ) 1 '

La constante K es el módulo volumétrico de elasticidad. El módulo volumétrico es, por consiguiente, la relación entre la tensión m e d i a y

tática.

2-10. Cálculo de las tensiones a partir de las deformaciones elásticas.—Las ecuaciones generales que expresan la tensión en fun-ción de la deformación son considerablemente más complicadas que las que dan la deformación en función de la tensión (Ees. [2-23]). De la resolución simultánea de estas ecuaciones para aru cr2 y crj, resulta

_ yg E Cr'~ ( l + v ) ( l - 2 v ) +TT^ei

vE E 0"2 = ——7—A + i e2 [2-30] ( l - M ' ) i l - 2 v ) l + p

vE E 0-3 = — • — — A + - e¡

11 + v) (,1 - 2v) 1 + v

donde A = ei + e2 + *3. El término k = vE/(l + v) ( l - 2 v ) se conoce por constante de Lamé. Utilizando esta constante, las ecuaciones anterio-res se pueden simplificar a

e n = XA + 2Ge, cr2 = XA 4- 2Ge2 [2-31] cr3 = XA + 2 Ge¡

En el caso de tensión plana (0-3 = 0) se llega a dos ecuaciones sen-cillas y útiles, que dan la relación entre la tensión y las deformacio-nes, resolviendo simultáneamente las dos primeras de las Ees. [2-23] para cr, y a2:

E o-i = -¡ r (e¡ + ve2)

E [ 2 " 3 2 ] 0-2 = - r (e2 + vet) 1 - v-

Estas ecuaciones pueden ser muy útiles para determinar los valo-res de la tensión principal a partir de las mediciones efectuadas con la galga de deformaciones. Obsérvese que, aun cuando se oriente la galga en el sentido de la dirección principal, para obtener la tensión en esa dirección no es correcto multiplicar la deformación por el mó-dulo elástico. A causa del efecto de Poisson, se deben hacer correc-ciones, debido a deformaciones laterales, utilizando las -Ees. [2-32].

Normalmente, para determinar los valores de la deformación prin-cipal, antes de que se puedan utilizar dichas ecuaciones, tendrán que emplearse los métodos descritos en la sección 2-8. Un procedimiento simplificado consiste en utilizar una roseta con tres galgas en orien-taciones fijas, para las que se han obtenido relaciones entre las defor-

TABLA 2-2

Relaciones entre las tensiones principales y las lecturas de las deformaciones

Fórmula

Tensión normal máxima cr¡

Tensión normal mínima cr,

Tensión cizallante máxima Tm;S:t

Angulo del eje de la galga a al eje de cr\

! f ea+ec 1

2 ( 1 - f 1+v + - (ea-ec)2+[2eb — (ea + ec) ]2

_ i ea+eb + ec 1 \ / ( ea + eb+ec y ( e b - e c y ] " y — ) ]

E f ea + ec 1

! í 1 - V 1 + 1/

ea + eb + ec 1

>J(ea-ecy- + l 2eb-(ea+ec)Y

3(1 —¡y) 1-rl. ea + eb + ec \ 2 ¡ eb~ec\2

•J1

2(1+1-) E

\f (ea-ec)2 + [2eb-(ea + ec)]2

1-/ ( ea + eb + ec \ 2 [ eb-ec\

1 2eb~ (ea + ec) T t g 2 ea - ec

1 , ' 1.' v'l1 ' t'\-2 ea~ (ea + eb + ec)'l

Roseta

Rectangular

En delta

Rectangular

En delta

Rectangular

En delta

Rectangular

En delia

maolMM medidas ftff bla 2-2 da las relación«« entre fil* de las deformaciones e„, eh y ee de las tres g«!iai"tn tangular y en delta, que se muestran en la figura 2-11. L* y resolución gráfica de estas ecuaciones se discuten en tratados1 ICtbré la tecnología de las galgas de deformaciones.

2-11. Re lac iones general izadas entre esfuerzos y de formado« nes.—Las relaciones entre esfuerzos y deformaciones dadas en las dos secciones anteriores contienen tres constantes elásticas E, G y v. Es-tas son las únicas constantes del material que se precisan para des-cribir las relaciones tensión-deformación en la región elástica, siem-pre que se pueda considerar isótropo al material en cuestMÍ embargo, muchos materiales son anisótropos; esto es, las pr elásticas varían con la dirección. Un monocristal metálico es un ejem-plo extremo de material elástico anisótropo, aunque los metales de-formados en frío también pueden mostrar dicho comportamiento. Sin embargo, en el caso general que se presenta en los materiales técni-cos,- el tamaño de grano es lo bastante pequeño y los granos están en una disposición lo suficientemente aleatoria para poder utilizar las ecuaciones que se basan en las condiciones isótropas.

Con el fin de considerar la posibilidad de constantes elásticas que varían con la orientación del material, se puede escribir la ley de Hooke, en términos totalmente generales, como una relación lineal entre deformación y tensión:

ex = Sncrx + S {1(Ty + SuCTj + SNrxy 4- S¡sTyz + S]6T„ <?V = S2, (TX + S:1CTy ~H S2}<R- -F S24RXY + S1STy. + S26tZX

e. =S3irr, + S:,:crv + Su<rt + SMTxy + S35ryi 4- S3 6r„ y.ty = sn(Tx ~ Sj;(Ty -f S43°Y + S^Tjy -f S45Ty: + S46TZX

y y; = S3,0-.t S;Z(Ty + S5I(T. 4" S54TXY 4- S¡5Tyz + S5TT.X

yIX — S(,\tT, 4- St;(Tv 4- SM(rt 4- S6iTxy 4- S^Ty, 4- Sf,¿T:i

[2-33]

Las constantes Su, S¡2, ..., S¡¡ son los coeficientes de elasticidad. Ob-sérvese que estas ecuaciones indican que toda tensión cizallante puede producir una deformación lineal en un material elásticamente anisó tropo. Una serie análoga de seis ecuaciones da la relación entre la ten-sión y la deformación en función de los módulos de elasticidad Cu, C¡2, C.I-.

<rx = Cnex + Cl2ey + Cnez + C uyxy 4- Cnyyz 4- C tóy„

r,y = CHex 4- C12ey 4- C.l3e,4- CMyxy 4- C45y,, 4- C^y« [2-34]

1 C . C. PERRY y H. R. LISSNER: The Strain Cage Primer, McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York, 1955.

g g p m i r i i @ r a ( m t o la tensión a partir de la deformación, en Tas'circunstancias más generales, se precisa conocer seis componentes le deformación y treinta y seis módulos elásticos. Afor tunadamente , las

consideraciones de simetría pueden reducir considerablemente el nú-mero de constantes necesarias. Las constantes elásticas con subíndi-ces diferentes son equivalentes cuando se invierte el orden de dichos subíndices

S ¡¡ = Sji C ¡j = Cjj

i'or consiguiente, incluso en la es t ruc tura cristalina m e n o s s i m é t r i c a i triclínica) el número de constantes independientes se r e d u c e a 21 . '"n l o s metales cuyas es t ructuras cr is tal inas t i e n e n u n a s i m e t r í a r e l a -t ivamente elevada, el máximo número d e constantes q u e e s n e c e s a n o -onsiderar se eleva a 12. Por tanto, las E e s . [2-33] se p u e d e n e x p r e s a r

del modo siguiente:

e x = S u ^ i + Sn&y + S 1 3 o- , yxy --- S»rxy

EY = S2[crx + Sncry + S1}<t. yv. =- S53rv: I 2- ' 5 ] e. = Sn(Tx + Si¡cry + S}}rr . y ., --, S,;.T.,

Comparando estas ecuaciones con las [2-23] y [2-24j se observa une Su es el recíproco del módulo de elast icidad en la dirección x, que S\, determina el componente de la deformación lineal, producida en la

T A B L A 2-3

Coeficientes de elasticidad de cristales metálicos en imidades de 10 ~'2 cm2/dina

Metal s„ s „ fv

Aluminio 1,59 - 0 , 5 8 3,52 Sn S.i Cobre 2,49 - 0,62 1,33 S, 2 Su Hierro 0,80 - 0 , 2 8 0,80 Sr. Su Hierro (policristalino) 0,48 - 0 , 1 4 1.24 Sl; Sy, Volframio 0,26 - 0 , 0 7 0,66 Sr. S; ] Magnesio 2,23 - 0,77 6.03 0,49 1.9 Cinc 0,82 + 0,11 2,50 - 0.66 2.6

d i r e c c i ó n y, d e b i d a a crx, e q u i v a l e n t e a v/E, y q u e S\, r e p r e s e n t a l o mismo en la dirección z. Asimismo, e l c o e f i c i e n t e S» e s e l r e c í p r o c o del módulo de cizallamiento.

E n m e t a l e s q u e s e p r e s e n t a n en u n a d e l a s e s t r u c t u r a s c r i s t a l i n a s

cúbicas S11 = S22 = S33, Sa=Sl} = Sn = Sa=Sn = S¡2 y S44=S4S = S4é. Por tan-to, la Ec. [2-35] se puede escribir

e* = SiiO-x + S12(cry + o-:) ey = Sno-y + SI3 (cr. + cr.t) e, =Suo% + S12(cr.I + crv)

Jx y — SvJxy yyz=Su,Tyz Jzx ~ S44Tve

[2-36]

La identidad entre estas ecuaciones y las [2-23] y [2-24] es evidente. Por consiguiente, en todo material de es t ruc tura cristalina cúbica exis-ten tres constantes elásticas independientes, mientras que en un ma-terial realmente isótropo, solamente hay dos constantes elásticas inde-pendientes. En un material isótropo la relación entre es tas constantes está dada por

S44 = 2(Sjj — S ]2)

La tabla 2-3 ofrece una lista de algunos valores típicos de coeficientes elásticos. Aplicando la relación anterior, compárese la diferencia en isotropía entre el cobre y el volframio.

2-12 . T e o r í a d e la «rlastioidad.—La teoría matemát ica de la elas-ticidad requiere una consideración más detal lada de las tensiones y

<r,dy

tifdy

/

dy

dx

r,ydx o> dx

Fie. 2-14.—Fuerzas que actúan sobre un elemento de vo lumen .

deformaciones en un miembro sometido a carga, de lo que se precisa en los métodos corrientes de análisis de resistencia de materiales. Las soluciones a las que se llega en resistencia de materiales se simplifi-can con frecuencia par t iendo de una hipótesis de distr ibución de defor-maciones, en el miembro sometido a carga, que satisface la situación física, pero que, quizá, no sea matemát icamente exacto. Esto no es admisible en la teoría de la elasticidad.

Como ocurre en la resistencia de materiales,, el primer requisi to para obtener una solución es satisfacer las condiciones de equilibrio. La figura 2-14 muestra las fuerzas que ac túan sobre un elemento del

cuerpo en un estado de tensión I na. Sumando las fuerzas en las direcciones x e y tenemos:

IPX = ^ + o 0.X nj

37] 4- NO — 0

fíy :)x da y Txy = + , t - p g - 0

El término pg representa el peso el cuerpo, siendo p la masa por unidad de volumen y g la aceleración de la gravedad. Las expresiones anteriores constituyen las ecuaciones cíe equilibrio para tensión plana En un sistema de tensión en tres dimensiones habrá tres ecuaciones1, conteniendo cada una de ellas una derivada parcial de la tensión nor-mal y dos derivadas parciales de las tensiones cizallantes.

Las Ees. [2-37] se deben satisfacer en todos los puntos del cueipo Obsérvese que estas ecuaciones de equilibrio no proporcionan una re-lación entre las tensiones y las cargas externas. Por el contrario, in-forman sobre la relación de variación de las tensiones en cualquier punto del cuerpo. Sin embargo, la relación entre tensión y carga ex-terna ha de ser tal que en el límite del cuerpo las tensiones sean ¡cua-les a las fuerzas superficiales por unidad de área; esto es, ha de satis-facer las condiciones en los limites.

Uno de los requisitos importantes en la teoría de la elasticidad es que la deformación de cada elemento ha de ser tal que se conserve la continuidad elástica. Físicamente esto significa que las tensiones han de variar de manera que no haya discontinuidades en el material. En el caso de dos dimensiones se pueden obtener las ecuaciones de com-patibilidad de las definiciones de deformación en fun eion de los (,es-plazamientos u y v (Sec. 2-7):

ex =

ev =

bu \a] i).V \a]

dv

<ní 1 b]

du — +

üy

dv ~d'x~

[c]

Estas tres ecuaciones muestran que existe una relación definida entre las tres deformaciones en un punto, ya que están expresadas en fun-ción de dos desplazamientos u y v. Derivando la ecuación [a] dos ve-ces con respecto a y, la ecuación [b] dos veces con respecto a x y la ecuación [c] con respecto a x e y, tenemos

dy2 dx2 Ox dy

1 T IMOSHENKO y GOODIER. op. cit., c a p . 9 .

La Ec. [2-38J es la ecuación de compatibilidad en dos dimensiones. S¡ las deformaciones satisfacen esta ecuación son compatibles entre sí y la continuidad del cuerpo se conserva. La ecuación de compatibilidad s e puede expresar en términos de las tensiones derivando las ecua-ciones [2-23] y [2-24] y sustituyendo en la Ec. [2-38]:

+ = + [2-39] dy2 dy2 dx2 dx2 V ' dxdy 1 J

Si los valores de crx, cry y r t ) satisfacen la Ec. [2-39] se puede consi-derar que las deformaciones que acompañan a estas tensiones son com-patibles y que se conservará la continuidad del cuerpo.

Básicamente, la resolución de un problema por medio de la teoría de la elasticidad requiere la determinación de una expresión para las tensiones crx, cry y Txy en función de las cargas externas que satisfacen a las ecuaciones de equilibrio [2-37], a las ecuaciones de compatibili-dad [2-39] y a las condiciones en los límites. Tal resolución supone, generalmente, una agilidad matemática considerable. La mayor parte de las complicaciones que se derivan de la teoría de la elasticidad se deben a la necesidad de satisfacer las exigencias de continuidad en la deformación elástica. En resistencia de materiales no siempre es nece-sario satisfacer la continuidad en la deformación. La continuidad se mantiene por la fluencia plástica local. Generalmente, esto no produce un efecto importante en la resolución, ya que los efectos de la fluencia no se extienden más allá de área en la que aparecen. En otros proble-mas, tales como la determinación de tensiones en discontinuidades geo-métricas (concentraciones de tensiones), la fluencia localizada es im-portante, por lo que se deben utilizar los métodos de la teoría de la elasticidad.

Un método que se utiliza para la resolución de problemas por me-dio de la teoría de la elasticidad es hallar una función de x e y que satisfaga las Ees. [2-37] y [2-39] y que, a su vez, exprese las tensiones en función de las cargas. Dicha función se conoce, usualmente, por función de tensiones de Airy. Airy 1 demostró que siempre habrá una función de x e y con la que se pueda determinar las tensiones, en cual-quier punto, por medio de las ecuaciones siguientes:

<92$ <92<$ <32<í> crx = -—T-pgy cry = -—- - pgy rxy = - ——-— [2-40]

cJy2 dx- dx dy

que satisfacen a las ecuaciones de equilibrio. Con el fin de que satis-fagan la ecuación de compatibilidad, las Ees. [2-40] se derivan y se sustituyen en la ecuación [2-39] :

— + + = 0 [2-41] dx* dx2 dy2 dy"

G. B. AIRY: Brit. Assoc. Advance, Set. Rept., 1862.

M U e i O N I I I N T M ESFUERZOS Y DEFORMACIONES (CAP. 2

Si se puede hallar una función de tensiones para e l p r o b l e m a que satisfaga a la Ec. [2-41], las t e n s i o n e s e s t á n dadas p o r l a s E e s . [ 2 - 4 0 ] siempre que estas satisfagan t a m b i é n las condiciones en los límites del problema. La determinación de una función de tensiones que sa-tisfaga tanto la Ec. [2-41] como las condiciones en l o s l í m i t e s n o es normalmente fácil y, por consiguiente, con esta técnica sólo se ha r e s u e l t o u n n ú m e r o l i m i t a d o d e p r o b l e m a s . P a r a la r e s o l u c i ó n d e p r o -blemas con sistemas de cargas y f o r m a s complicadas es n e c e s a r i o , usualmente, utilizar ecuaciones d e d i f e r e n c i a s f i n i t a s y m é t o d o s d e relajación '.

2-13. Concentración de tensiones.—Una d i s c o n t i n u i d a d g e o m é -trica en un cuerpo, como un o r i f i c i o o una entalla, p r o v o c a u n a d i s

t t t t

i

TY t-a- > T

i X . r Og ?

i i | I I (a)

Fie. 2-15.—Distribución de tensiones debida a: a) un agujero circular, y b) un agujero elíptico.

tribución no uniforme de tensiones en la proximidad de la disconti-nuidad. En cierta zona próxima, a la discontinuidad la tensión será mayor que la existente en puntos alejados de la misma. Por tanto, en la discontinuidad se produce una concentración de tensiones. La figu-ra 2-15 a muestra una chapa con un orificio circular, sometida a carga uniaxial. Si no existiera el orific o, la tensión estaría distribuida uni-formemente sobre la sección trar iversal de la chapa y sería igual a la carga dividida por el área de la sección transversal. Existiendo el ori-ficio, la distribución es tal que la tensión axial alcanza un valor ele-vado en los bordes del orificio y desciende rápidamente en puntos alejados del mismo.

La concentración de tensiones se expresa por el factor teórico K,

1 R . V . SOUTHWELL : Relaxation Methods in Theoretical Physics, Oxford Uni-versity Press, Nueva York, 1946.

SEC. 2-1 CONCENTRACION DE TEN1IONE« 4»

G e n e r a l m e n t e , el factor K, se describe como la relación entre la ten-sión máxima y la tensión nominal basada en la sección neta, aunque, a veces, se utiliza un valor de tensión nominal basado en toda la sec-ción transversal del miembro en una zona donde no hay concentrador de tensiones:

K,= °"m41 [2-42] 0*nom¡nal

Además de producir una concentración de tensiones, las entallas crean una condición localizada de tensión biaxial o triaxial. Por ejem-plo , en un o r i f i c i o circular situado en una chapa sometida a carga ax ia l , además de una tensión longitudinal se produce una tensión ra-dial. Las tensiones producidas en una chapa infinitamente ancha, que contenga un orificio circular y que esté sometida a carga axial, se pue-den expresar, partiendo del análisis 1 elástico, por

O", 1 + r

u T 1 + 3

cr T

„ cf _ a2

• 3 - - + 2 -r r

r4

sen 26

eos 26 [2-43]

Hl e x a m e n d e e s t a s e c u a c i o n e s m u e s t r a que la tensión máxima se p r o -d u c e en un p u n t o A c u a n d o 0 = 77-/2 y r = a. En este caso,

= 3er = crrr [ 2 - 4 4 ]

d o n d e cr es la tensión d e t r a c c i ó n uniforme aplicada en los extremos d e la chapa. E l factor t e ó r i c o de concentración de tensiones en una c h a p a con u n orificio c i r c u l a r e s , p o r consiguiente, igual a 3. Estudios posteriores de estas ecuaciones muestran que o-9 = - c r para r=a y 0 = 0. Por tanto, cuando se aplica a la chapa una tensión de tracción, e x i s t e una tensión de compresión de igual magnitud en el punto B del borde d e l orificio en una d i r e c c i ó n perpendicular al eje de carga en el plano de la chapa.

Otro caso interesante para el que se puede obtener2 una resolución analítica de la concentración de tensiones es el que representa un pe-queño orificio elíptico en una chapa. La figura 2-15 b muestra este caso. La tensión máxima en los extremos del orificio está dada por la ecuación

crmáx = o - ( l + 2 | - ) [2-45]

' T IMOSHENKO y GOODIER, op. cit., p á g s . 7 8 - 8 1 . , 2C. E. INCLIS: Trans. Inst. Naval Architects, pt. 1, págs. 219-30, 1913.

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Obsérvese que, para un orificio circular (a = b), la ecuación a n t e r i o r se reduce a la [2-44]. La ecuación [2-45] muestra que la t e n s i ó n aumenta a l a proporción a/b. Por consiguiente, un orificio muy e s t r e -cho, como una grieta, normal a la dirección de tracción, producirá una concentración de tensiones muy elevada.

La complejidad matemática impide el cálculo de l o s f a c t o r e s c l á s -ticos de concentración de tensiones en todos los casos, excepto en los geométricamente más sencillos. L a m a y o r parte de e s t o s t r a b a j o s h a n sido compilados por N e u b e r q u i e n e f e c t u ó los c á l c u l o s p a r a d i v e r s o s tipos de entallas. Los factores de concentración de t e n s i o n e s s e d e t e r -minan usualmente por métodos experimentales2 . La t é c n i c a m á s u t i l i -zada es el análisis fotoelástico d e m o d e l o s 3 . Este m é t o d o s e a p l i c a especialmente a los problemas de t e n s i o n e s planas, a u n q u e e s p o s i b l e efectuar análisis fotoelásticos en t r e s dimensiones. La f i g u r a 2-16 m u e s -tra curvas típicas del factor teórico d e concentración d e t e n s i o n e s d e ciertos elementos de máquina, q u e s e obtuvieron por m é t o d o s f o t o -elásticos. Gran parte de la información relativa a las c o n c e n t r a c i o n e s de tensión en piezas de máquinas h a sido recogida por P e t c r s o n 4.

El efecto de una concentración d e tensiones es mucho m á s p r o n u n -ciado en un material frágil que en uno d ú c t i l . En un m a t e r i a l d ú c t i l aparece la deformación plástica cuando se rebasa el l í m i t e e l á s t i c o en el punto de tensión máxima. Aumentando posteriormente l a c a r g a , se produce un aumento local de deformación, en la zona c r í t i c a s o m e t i d a a tensión, con escaso aumento en la deformación. D e b i d o al e n d u r e c i -miento por deformación, la tensión aumenta en las zonas a d y a c e n t e s a la concentración de tensiones, hasta que, si el material e s s u f i c i e n t e -mente dúctil, la distribución de tensiones se hace esencialmente uni-forme. Por tanto, en un metal dúcti l sometido a carga estática no se llegará a un factor teórico de concentración de tensiones total. Sin embargo, la redistribución de tensiones no tendrá lugar, en medida alguna, en un material frágil y, por consiguiente, se tendrá una con-centración de tensiones de valor próximo al teórico. Aunque las con-centraciones de tensiones no son normalmente peligrosas en materiales dúctiles sometidos a cargas estátic .<;, se encontrarán efectos aprecia-bles de la concentración de tensión . en materiales dúctiles bajo con-diciones de fatiga por tensiones alt ñas. Las concentraciones de ten-siones son muy importantes en el f i lo de los metales por fatiga y se discutirá más adelante en el capítu) • 12.

1 H. N E U B E R : Theory of Notch Stresses, trad, inglesa, J . W. Edwards. Publisher, Inc., Ann Arbor, Mich., 1946.

2 M . H E T E N Y I : Handbook on Experimental Stress Analysis, John Wiley & Sons , Inc., N u e v a York, 1950.

3 M . M . F R O C H T : Photo elasticity, John Wiley & Sons, Inc., N u e v a York, 1951.

4 R . E . P E T E R S O N : Stress-concentration Design Factors, John Wi ley & Sons. Inc., Nueva York, 1953.

2*14. Componentes esféricos y desviadores de las tensiones y deformaciones.—Los ensayos han demostrado que los materiales pue-den soportar presiones hidrostáticas muy elevadas (estado esférico de tensión) sin que experimenten deformación plástica. En muchos pro-blemas, particularmente en la teoría de la plasticidad, es conveniente distinguir la parte de la tensión total que puede producir deformación plástica. Esta se conoce como desviador de tensión or'. La otra com-ponente de la tensión es la esférica o hidrostática cr":

„ cr, +0-2 + 0-3 ,r = = _ p [2-46]

El desviador de tensiones está dado por las ecuaciones siguientes:

2cr, - cr2 - 0-3 cr, =cr, - cr,

«'¡-ui-uj r-> A-71 o2 r- o~2 — o~2 = ^ [2-47J

o-3 ' = o i - 0-3" =

3 2o-: - c r 1 - cr 3

3 20-3 - e n - c r 2

3

S e p u e d e d e m o s t r a r f á c i l m e n t e q u e c r / + cr 2 ' , + crí = 0. La dirección de la tensión principal del desviador de tensión es

la misma que la de la tensión principal de la tensión total. Por tanto, cri tiene la misma dirección que ov Puesto que un cuerpo isótropo incompresible no se deforma por la presión hidrostática, la deforma-ción depende totalmente del desviador de tensión, sin la contribución del componente esférico.

De forma totalmente análoga, la deformación en un punto se puede dividir en un compuesto esférico e" y en un desviador de deforma-ciones e':

„ <?i + <?2 + e3

<?/ = <?!_<? = 2el

3 -e2 -e3

2*2 3

-e¡ -e¡

2*3 3

-e¡ -e2

[2-48]

[2-49]

3

La ley de Hooke puede, entonces, expresarse en función de los desvia-dores de tensiones y deformaciones del modo siguiente:

<r,' = 2 Ge( [2-50]

Existen dos ecuaciones similares para las otras dos tensiones y defor-maciones principales. La ley de Hooke, en función de ios componentes esféricos, está dada por

cr," + o-2" + 0-3" = 3k (e¡" + e{' + e") [2-51]

donde K es el módulo volumétrico de elasticidad. Cuando el desviador de tensiones s e refiere a tres e j e s o r t o g o n a l e s

arbitrarios x, y y z, se pueden h a l l a r l o s c o m p o n e n t e s p r i n c i p a l e s c o n un método análogo al uti l izado para d e t e r m i n a r las t e n s i o n e s p r i n c i -pales de un estado arbi t rar io de t e n s i ó n . L o s d e s v i a d o r e s d e la t e n s i ó n principal son las raíces de una e c u a c i ó n d e t e r c e r g r a d o :

( o r ' ) 3 - / 2 0 - ' - / j = 0 [ 2-521

Los coeficientes / 1 y / 3 son i n v a r i a n t e s d e l d e s v i a d o r de t e n s i o n e s , esto es, s u s va lo res son i n d e p e n d i e n t e s de l s i s t ema de c o o r d e n a d a s po r me-dio del cual se expresa el d e s v i a d o r d e tensiones. M á s a b a j o s e c l an expresiones para J2 y I¡. Es tos f a c t o r e s s o n m u y ú t i l e s e n l a t e o r í a m a -temática de la e last ic idad:

/ 2 = - V 2 [ « ) 2 + « ) 2 + ( o V P l + T Í v + T ^ + TÍ: = — Vzt (cr, ')2+ ( O - 2 ' ) 2 + ( C T J ' ) 2 ]

= - V6[(O-,-O-2)2+ (cr2 - cr3)2 + ( c ^ - c r , ) 2 ] [2-53] oV r<v Txz

1! r , . cr/ Tn T-, 0/

= ' /3[ (oY) 3 + (cr2 ' )3+ (<T})}] = V n [ (2O-, - or2 - 0-3) ( 2 c r 2 - 0-3 - cr , ) ( 2 o - j - o-, - c r , ) ] [ 2 - 5 4 ]

2-15 . E n e r g í a de d e f o r m a c i ó n . — L a energía de deformación elás-tica es la cant idad de energía suminis t rada por la acción de las fuer-zas externas al deformar un cuerpo elástico. Esencialmente, todo el trabajo realizado du ran te la deformación elástica se a lmacena como energía elástica, recobrándose dicha energía al ret irar la carga. La energía (o t r aba jo ) es igual a la fuerza multiplicada por la distancia recorrida. En la deformación de un cuerpo elástico la fuerza y la defor-mación aumentan l inealmente a par t i r de valores iniciales de cero, de forma que la energía media es igual a la mitad de su producto . Asimis-mo, es igual al área si tuada deba jo de la curva carga-deformación:

U = iP8 [ 2 - 5 5 ]

En un cubo elemental que esté somet ido sólo a tensión de tracción a lo largo del eje x, la energía de deformación elástica está dada por

U = £P5 = j (crx dA) (ex dx) = ^{crxex)(dA dx)

12-56]

la Ec. [2-56] describe la energía elástica total sblOfbldi mentó. Puesto que el volumen del elemento es dA dx, la deformación por unidad de volumen £/0 está dada por

T, 1 1 °"*2

2 2 E 1

eJE [2-57]

Obsérvese que las deformaciones laterales que acompañan a la defor-mación en tracción simple no entran en la expresión de la energía de deformación, debido a que no existen fuerzas en las direcciones de las deformaciones.

Por el mismo razonamiento, la energía de deformación por unidad de volumen de un elemento sometido a cizallamiento puro está dada por

1 2 G

'xy j y*>G [2-58]

Las relaciones de la deformación uniaxial pura y el cizallamiento puro se pueden combinar por el principio de superposición para dar la energía de deformación elástica en una distribución general de un estado en tres dimensiones:

U0 = Ho^* + o"yev + <rze. + Txyyxy + rxzyxz + ryzy,.z) [ 2 - 5 9 ]

Sustituyendo las ecuaciones de la ley de Hooke [2-23] y [2-24] para las deformaciones en la expresión anterior, se obtiene una expresión para la energía de deformación por unidad de volumen, expresada so-lamente en función de las tensiones y las constantes elásticas:

í / 0 = — — ( o-,2 + ay2 -f ov (o-x<ry + crycrl-borxcrt)

1 2 G

( t U T L + TÍ) [2-60]

Asimismo, sust i tuyendo las Ees. [2-31] en la Ec. [2-59] se eliminan las tensiones y la energía de deformación se expresa en ñinción de las deformaciones y de las constantes elásticas :

+ + + + k G ( y l y + y n + y2yz) [2-61]

Es interesante destacar que la derivada de Un con respecto a cual-quier componente de deformación proporciona el componente de ten-sión correspondiente. Por tanto, dU0/dex = ká. + 2Gex = crI. (Compárese con la Ec. [2-31].)

— .v.«iiíu a uji_ii« uisupuna.

5 7

mal© d t grano recrUtalItado fino favorecen también la formación de una orientación esencialmente aleatoria de granos recristalizados. Las reducciones en frío moderadas y las temperaturas d e r e c o c i d o b a j a s son beneficiosas. Un buen procedimiento para reducir a l m í n i m o l a s texturas de recocido consiste en producir primeramente una fuerte orientación preferente, mediante u n a reducción inicial i n t e n s a , y l u e g o utilizar una temperatura de recocido elevada. A continuación s e v u e l v e a reducir en frío, pero solo lo suficiente para romper l a o r i e n t a c i ó n anterior y producir un tamaño de grano recristalizado fino a baja temperatura.

A veces, la formación de una fuer te textura de recristalización es beneficiosa. El mejor ejemplo l o t e n e m o s en las c h a p a s o r i e n t a d a s d e hierro-silicio, que se utilizan para transformadores, en las que los gra-nos están orientados en la dirección de imanación f á c i l . P a r a o b t e n e r una textura de recristalización c a s i perfecta, es p r e c i s o p r o d u c i r e n los metales deformados en frío un grado elevado de o r i e n t a c i ó n p r e f e -rente, seguido de un recocido d e larga duración, a t e m p e r a t u r a e l e v a -da, para que se produzca un c r e c i m i e n t o de grano s e l e c t i v o y , c o n e l l o , una textura marcada.

BIBLIOGRAFIA

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CAPITULO 6

T E O R I A DE LAS DISLOCACIONES

6-1. I n t r o d u c c i ó n — L a s dislocaciones son defectos lineales de la red responsables de casi todos los aspectos de la deformación plástica de los metales. Este concepto se in t rodujo en el capítulo 4, en el que se estudió la geometría de las dislocaciones en cuña y helicoidales para el caso de una red cúbica simple. Se mos t ró que es necesaria la exis-tencia de un defecto en forma de dislocación para explicar los bajos valores observados en el límite elástico de los cristales reales. Se hizo una descripción general de la interacción de dislocaciones con átomos extraños, partículas de precipitado y otras dislocaciones. Este concepto se ha utilizado en la descripción cualitativa del endurecimiento por solución sólida y por fases dispersas, el comportamiento en el límite elástico aparente y el envejecimiento por deformación. Este capítulo se dedica a presentar un estudio más completo y, en cierto modo, más exacto de la teoría de las dislocaciones. Se estudia el rápido avance de las técnicas empleadas para detectar las dislocaciones en los meta-les reales y, en los casos en que sea posible, se dan pruebas experi-mentales que confirman la teoría. Se estudia el efecto del compor-tamiento de las dislocaciones al considerar estructuras cristalinas reales ccc, cc o he. Se discute con cierto detalle la interacción de dislocaciones con vacantes, átomos extraños y otras dislocaciones. Por último, se dedica particular atención al importante problema de la mul-tiplicación de dislocaciones mediante el manantial de Frank-Read.

6-2. Mé todos p a r a de tec tar dis locaciones.—El concepto de dis-locación fue propuesto independientemente por Taylor, Orowan y Po-lanyi1 en 1934, pero la idea permaneció prácticamente sin desarrollar hasta el final de la segunda guerra mundial . Siguió un período de apro-ximadamente diez años, durante el cual la teoría del comportamiento de las dislocaciones fue desarrollada ampliamente y aplicada a casi to-dos los aspectos de la deformación plástica de los metales. Al no conocerse métodos verdaderamente seguros para detectar las disloca-ciones en los materiales reales, fue preciso basar la mayor parte de esta teoría en observaciones indirectas del comportamiento de las dis-locaciones. Afor tunadamente , a partir de 1955 el avance de las técnicas

1 G . I. TAYLOR: Proc. Roy. Soc. (Londres), vol. 145A, pág. 3(2 , 1 M 4 ¡ E. OROWAN: Z. Physik, vol. 89, págs. 605, 614, 634, 1934; M. POUKVtl Z. Physik. vol. 89. pág. 660, 1934.

1 I I A

ha hecho posible observar las dislocaciones tal como realmente existen en muchos materiales. Actualmente no hay dudas sobre la existencia de defectos reticulares con propiedades similares a las atribuidas a las dislocaciones. Muchas de las predicciones teóricas han sido confirma-das experimentalmente, mientras que otras han tenido que ser modifi-cadas y algunas abandonadas. Indudablemente, en el futuro se han de desarrollar mejores técnicas experimentales aplicables a una variedad más amplia de materiales. A medida que se obtenga más información del comportamiento de las dislocaciones habrá, con seguridad, otros cambios en los conceptos actuales sobre la teoría de las dislocaciones.

El poder de resolución de los mejores microscopios e l e c t r ó n i c o s se h a de aumentar de 5 a 10 veces a f i n de observar d i r e c t a m e n t e la d i s -torsión de los planos reticulares individuales alrededor de una dislo-cación en un cristal metálico

Prácticamente todas las técnicas experimentales u t i l i z a n el c a m p o d e deformación existente alrededor d e una dislocación p a r a a u m e n t a r su tamaño efectivo. Estas técnicas experimentales p u e d e n s e r c l a s i f i -c a d a s a p r o x i m a d a m e n t e e n d o s c a t e g o r í a s : l a s q u e i m p l i c a n r e a c c i o n e s q u í m i c a s con las dislocaciones y l a s q u e utilizan l o s c a m b i o s f í s i c o s en l u g a r d e l a s d i s l o c a c i o n e s 2 . L o s m é t o d o s q u í m i c o s i n c l u y e n ¡ é t n i c a s d e ataque y de precipitación. L o s m é t o d o s b a s a d o s en la e s t r u c t u r a f í s i c a en la posición de una dislocación incluyen la m i c r o s c o p í a e l e c -t r ó n i c a de transmisión de película d e l g a d a y las t é c n i c a s d e d i f r a c c i ó n de rayos X.

La técnica química más sencilla consiste en u t i l i z a r u n r e a c t i v o que forma una figura de corrosión en el punto en el q u e la d i s l o c a c i ó n corta a la superficie. Las figuras d e corrosión se forman e n el l u g a r d e afloramiento de las dislocaciones p o r q u e el campo d e d e f o r m a c i ó n q u e rodea a estas produce un ataque q u í m i c o preferente. G i l m a n y J o h n s -ton 3 han obtenido de este modo una información c o n s i d e r a b l e a c e r c a del comportamiento de las dislocaciones en los cristales i ó n i c o s d e L i F . A s i m i s m o , con técnicas especiales d e a t a q u e se han e s t u d i a d o d e t e n i -damente l a s dislocaciones en los m e t a l e s . La figura 6-1 muestra la ex-

1 Con un microscopio electrónico se ha podido observar esta distorsión reticu-lar en un cristal orgánico de ftalocianina de platino, que tiene un espaciado re-ticular m u y grande (12 A). J. W. MENTOR: Proc. Roy. Soc. (Londres), vol. 236A, pág. 119, 1956. Ut i l izando el aumento conseguido a partir de diagramas muaré producidos por transmisión electrónica a través de dos cristales de lgados su-perpuestos con orientaciones o espaciados de red l igeramente diferentes, se ha obtenido una indicación de la dis tors ión reticular en las dis locaciones de los metales. Véase G. A. BASSET, J. W. MENTER y D. W . PASHLEY: Proc. Roy Soc. (Londres), vol. 246A, pág. 345, 1958.

2 Se han publicado varias revisiones exce lentes de técnicas exoenmcn'a le s Véase P . B. HIRSCH: Met. Reviews, vol. 4, num. 14, pájs. 101-40, 1959; J. NUTTING: Seeing Dislocations, en "The Structure of Metals", Institution of Metallurgists, Interscience Publishers, Inc., N u e v a York, 1959.

3 J. J. GILMAN y W. C. JOHNSTON: "Dis locat ions and Mechan ica l P r o p e r t i e s of Crystals", John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1957

celente resolución que se puede obtener al estudiar las figuras de co-rrosión sobre el latón alfa>. Se han resuelto figuras separadas solamen-te 500 Á. En la zona de gran deslizamiento que se muestra en esta micrografía electrónica la densidad de dislocaciones es de 1010 cmr 2 .

En los metales, la formación de figuras de corrosión en las dislo-caciones parece depender de la pureza2 . A causa de la segregación de soluto hacia la dislocación, la zona alrededor de esta se hace más

Fio. 6-1 .—Figuras d e corrosión en las bandas d e des l izamiento de cristales de latón alfa. 5000 aumentos. (J. D. MEAKIN y H . G. F. WILSDORF: Trans.

AIME, vol. 218, pág. 740, 1960.)

anódica respecto al metal circundante y, por consiguiente, se produce ataque preferente en la dislocación. En la figura 5-4 se muestra una estructura de figuras de corrosión en una aleación hierro-silicio, que se ha hecho visible por difusión de los á tomos de carbono hacia las dislocaciones. Las técnicas de ataque tienen la ventaja de que se pue-den utilizar con grandes probetas. Sin embargo, se ha de tener cuidado para que las figuras solo se formen en las posiciones de las dislocacio-nes y que se revelen todas las dislocaciones que cortan la superficie.

Un m é t o d o similar p a r a d e t e c t a r dislocaciones consiste en formar 1 1. D. MEAKIN V H. G. F. WILSDORF: Trans, AIME, vol. 218 , págs. 737

4 5 , 1 9 6 0 . 2 U n resumen de las técnicas de ataque se da por L. C. LOWELL, F. L, VO

CEL y I. H. WERNICK: Metal Prog,, vol. 75, págs. 96-96D, 1959.

_ i i Wneai dt dislocación. Normit. RIMtA, H aftade una pequefia proporción de una impureza para formar el precipitado, después de un t ra tamiento térmico adecuado. A este procedimiento se le denomina frecuentemente decoración de las dislo-caciones. Esta técnica fue utilizada primeramente Hedges y Mit-chell1 para decorar dislocaciones en AgBr con plata fotolítica. Desde entonces se ha empleado con otros muchos cristales iónicos2 , tales como los de AgCl, NaCl, KC1 y CaF2. Con estos cristales ópticamente transparentes, dicha técnica tiene la ventaja de que muestra la estruc-

Fic. 6 -2 .—Ret ícu lo hexagonal de dis locaciones en el NaCl, h e c h o visible por una técnica de decoración. (S. AMELINCKX, en "Dis locat ion a n d Mechanical

Properties of Crystals", John W i l e y & Sons, Inc., Nueva York , 1957.!

tura interna de las líneas de dislocación. La figura 6-2 muestra una red hexagonal de dislocaciones en un cristal de NaCl <juc se ha hecho visible por decoración. Aun cuando la decoración de dislocaciones casi no se emplea con los metales, se han hecho algunos estudios en este sentido en el sistema de endurecimiento por precipitación Al-Cu v en cristales de silicio.

El método más poderoso de que se dispone actualmente para la detección de dislocaciones en los metales es la microscopía electrónica por transmisión de láminas delgadas La chapa fina de menos de 1 mm de espesor se adelgaza por electropulido y se reduce a espesores de unos 1000 A. Con este espesor la probeta es transparente a los electrones

1 J . M . HEDGES y J. W . MITCHELL: Phil. Mag., v o l . 4 4 , pd^. 2 2 3 , 1 9 5 3 . 2 S . AMELINCKX: "Dislocations and Mechanical Properties of Crys t a l s " , John

Wiley & Sons, Inc., N u e v a York, 1957. 3 P . B . H I R S C H , R . W . H O R N E y M . J . W H E L A N : Phil, Mag., v o l . 1 . p a s 6 7 7

1956; W . BOLLMANN: Phys. Rev., vo l . 103, p i g . 1588 , 1956 .

resolver, las líneas de dislocación individuales pueden ser observadas, ya que la intensidad del haz electrónico difractado se altera por el campo de deformación de la dislocación. Por medio de esta técnica se han observado redes de dislocaciones (Fig. 6-3), defectos de apilamiento, apilamientos de dislocaciones en los límites de grano (Fig. 5-1), barreras de Cottrell-Lomer y muchos otros aspectos estructurales de la teoría de las dislocaciones. Se han observado movimientos de dislocaciones

Fie. 6-3.—Retículo de dislocación en aluminio deformado en frío. 32 500 aumen-tos . ( P . B . H I R S C H , R . W . H O R N E y M . J. W H E L A N : Phil, Mag., s e r . 8 . v o l . 1.

pág. 677, 1956.)

engendrando tensiones térmicas en las láminas delgadas por medio del haz electrónico. Se espera que con este método pueda obtenerse mucha más información a medida que progresen las técnicas para preparar y deformar las láminas delgadas.

La estructura de las dislocaciones de un cristal puede ser detectada por técnicas microrradiográficas de difracción de rayos X E l campo de deformación en las dislocaciones produce una diferente intensidad de difracción. El método tiene la ventaja de ser no destructivo y poder utilizarse sobre grandes probetas. Sin embargo, con las resoluciones actualmente disponibles está limitado a cristales de ba ja densidad de dislocaciones (aproximadamente 106 c m ' 2 ) .

' A . R. LANG: / . Appl. Phys., vol. 30, págs. 1 7 4 8 - 7 5 5 , 1 9 5 9 .

6*3. El veclor de Burgerg y el anillo de dislocación.—El vec-tor de Burgers b es el que define la magnitud y dirección del desliza-miento. Por tanto, es el dato más característico de las dislocaciones. Ya se ha demostrado que en una dislocación de cuña pura el vector de Burgers es perpendicular a la línea de dislocación, mientras que en una dislocación helicoidal pura es paralelo a dicha línea. Realmente, las dislocaciones en los cristales verdaderos no suelen ser líneas rectas y en raras ocasiones se encuéntran sobre un solo plano. En general, las características de una dislocación son en parte las de una disloca-ción de cuña y en parte las de una helicoidal. Como se muestra en las figuras 6-2 y 6-3, las dislocaciones tienen normalmente la forma de curvas o anillos, que en tres dimensiones forman una red de disloca-

ciones entrelazadas. Al considerar un anillo de dislocación en un plano de deslizamiento, cualquier segmento pequeño de la línea de dislocación puede ser resuelto en "omponentes de cuña y helicoi-dales. Así, p. ej., en la figura 6-4, el anillo de dislocación es un com-ponente helicoidal puro en el pun-to A y un componente de cuña puro en el punto B, mientras que a lo largo de la mayor parte de su longitud ambos componentes están mezclados. Obsérvese, sin embargo, que el vector de Bur-gers es el mismo a lo largo de todo el anillo de dislocación. Si

esto no fuera así, parte del cristal situado por encima de la zona des-lizada tendría que deslizarse en una longitud diferente con relación a otra parte del cristal y ello significaría que otra línea de disloca' ión habría de desplazarse a través de la región deslizada.

Por medio del circuito de Burgers se define adecuadamente el vec-tor de Burgers de una dislocación. Consideremos la figura 4-8, que muestra la ordenación atómica alrededor de una dislocación en cuña. Comenzando en un punto de la red, imaginemos una trayectoria tra-zada de átomo a átomo, una distancia igual en cada dirección, siempre en la dirección de uno de los vectores de la célula unidad. Si la zona encerrada por la trayectoria no contiene una dislocación, el circuito de Burgers se cierra. Sin embargo, si la trayectoria contiene una dis-locación, el circuito de Burgers no se cierra. El t rayecto que falta para cerrar el circuito de Burgers es el vector de Burgers b . El trayecto que falta para cerrar un circuito de Burgers recorrido alrededor de varias dislocaciones es la suma de los vectores de Burgers de cada una de esas dislocaciones.

p l a n o de d e s l i z a m i e n t o v e c t o r d e

Fie. 6-4.—Bucle de dislocación en un plano de deslizamiento (esquema).

Debido a que una dislocación representa el límite entre la zona deslizada y la no deslizada de un cristal, consideraciones topográficas exigen que sea un anillo cenado o que termine en la superficie libre del cristal. Una excepción son los nodos, en los que se encuentran tres o cuatro líneas de dislocación. Un nodo se puede considerar como dos dislocaciones con vectores de Burgers b! y b2 combinados para producir una dislocación resultante b3. El vector b3 viene dado por la suma de los vectores bi y b2.

El campo periódico de fuerza de la red cristalina requiere que los átomos se muevan de una posición de equilibrio a otra. De aquí se desprende que el vector de Burgers ha de unir siempre una posición reticular de equilibrio con otra. Por consiguiente, la estructura cris-talina determinará los vectores de Burgers posibles. De una dislocación con un vector de Burgers igual a un espaciado reticular se dice que es una dislocación de intensidad unidad. Como consecuencia de conside-raciones energéticas, se deduce que las dislocaciones con intensidades mayores que la unidad serán generalmente inestables y se disociarán en dos. o más dislocaciones de menor intensidad. El criterio para deci-dir si se producirán o no disociaciones está basado 1 en el hecho de que la energía de deformación de una dislocación es proporcional al cua-drado de su vector de Burgers. Por consiguiente, la reacción de diso-ciación b i — ^ b 2 + b3 se producirá cuando ¿i2 > ¿2

2 + ¿32, pero no si

b^Kb^ + bl En redes compactas, en las que las posiciones de equilibrio no son

las aristas de la célula unidad, son posibles dislocaciones con intensi-dades menores que la unidad. Los vectores de Burgers se especifican dando sus componentes a lo largo de los ejes de la célula unidad. Por tanto, el vector de Burgers para el deslizamiento en una red cúbica desde un vértice del cubo al centro de una de sus caras tiene los componentes a0 /2, aj2, 0. El vector de Burgers es [ao/2, Oo/2, 0] , o, como se expresa generalmente, b = (<j0/2)[110]. La intensidad de una dislocación c o n vector de B u r g e r s a0[uvw] es | t | = a0[2¿2 + v2 + u>2]"2. Así, p. ej., la magnitud del vector de Burgers que se da anter iormente es b = a0/»/2.

Una dislocación de intensidad unidad, o dislocación unidad, t iene una energía mínima cuando su vector de Burgers es paralelo a la di-rección de mayor compacidad atómica en la red. Esto concuerda con las observaciones experimentales que establecen que los cristales des-lizan casi siempre en las direcciones compactas. Las dislocaciones uni-dad de este tipo se denominan también dislocaciones perfectas, porque las traslaciones iguales a un vector de Burgers producen una traslación de identidad. En toda dislocación perfecta hay una alineación también perfecta de planos atómicos por encima y por debajo del plano de deslizamiento, dentro del anillo de dislocación. Una dislocación unidad

>F. C. FRANK: Physica, vol. 15, pág. 131, 1949.

paralela a la dirección de desl izamiento no puede disociarse posterior-mente, a no ser que se convierta en una dislocación imperfecta, en la que una traslación de un vector de Burgers no produce una traslación de identidad. Los defectos de api lamiento se producen por la disocia-ción de una dislocación unidad en dos dislocaciones imperfectas. Para que un defecto de apilamiento sea estable, la disminución de energía debida a la disociación ha de ser mayor que el aumento de energía interfacial de la zona defectuosa.

6-4. D i s locac iones en la r e d c ú b i c a de c a r a s c e n t r a d a s En las redes ccc el desl izamiento se produce sobre los planos {111} en la

dirección <110>. El vector reticu-lar más cor to es el (a,}/2) [110], el cual une un á tomo de un vér-tice del cubo con el á tomo de! cent ro de la cara de dicho cubo. El vector de Burgers es, por con-siguiente, ( a o / 2 ) [110] .

Sin embargo, al considerar la ordenación atómica sobre el pla-no de desl izamiento {111} vemos que el desl izamiento no se produ-ce tan fácilmente. La figura 6-5 re-presenta el empaque tamien to ató-mico sobre un plano compacto (111). Ya se ha demost rado que los planos {111} están apilados en una secuencia ABC ABC... El vector b t = (ÍÍO/2) [101] define una de ¡as direcciones de deslizamien-to observadas . Sin embargo, si

se consideran los á tomos como esferas d u r a s e s más fácil para uno de los de un plano de tipo B el moverse entre los huecos de esferas, a lo largo de una t rayector ia en zigzag 1): + 1)U en vez de desplazarse sal tando sobre el casquete esférico de terminado por la trayectoria del vector bi. La reacción de dislocaciones está dada por

b, —> 1): + Ib

£ [ 1 0 I ] - ^ [ 2 I I ] + £ [ 1 1 2 ] 2 6 6

Se comprueba esta reacción viendo si las sumas de los componentes

Fie. 6-5.—Deslizamiento en un plano compacto (111) de la red ccc. (Según A. H. COTTRELL: Dislocations and Plás-tic Flow in Crystals, pág. 73, Oxford

Universíty Press, Londres, 1953.)

1 F. C. THOMPSON y W . E. W. MILLINGTON: / . Iron Steel Inst. (Londres), vol. 109, pág. 67, 1924; C. H. MATHEWSON: Trans. AI ME, vol. 32, pág. 38. 1 9 4 4 .

x, y y z del segundo miembro de la ecuación son iguales a los compo-nentes x, y y z de la dislocación original:

componente x '/2 = 2k + lU componente y 0 = — */6 -f- Vé componente z - '/2 = - 1 / 6 - 2/6

La reacción anterior es enérgicamente favorable, puesto que hay un descenso en la energía de deformación proporcional a la variación floy2->tib73.

El deslizamiento por este proceso de dos etapas crea un defecto de apilamiento ABCA\CABC en la secuencia de apilamiento. Como muestra la figura 6-6, la dislocación con un vector de Burgers b, se ha disociado en dos dislocaciones parciales b2 y b3. Esta reacción de las dislocaciones fue sugerida por Heidenreich y Shockley 1 y, por con-siguiente, las dislocaciones de este tipo reciben el nombre de parciales de Shockley, puesto que son imperfectas y no producen traslaciones completas de la red. La figura 6-6 representa una vista mirando hacia abajo sobre el plano (111) a lo largo de la dirección [111]. AB re-presenta la línea de dislocación perfecta que tiene el vector completo de deslizamiento b ( ; esta se disocia, de acuerdo con la reacción ante-rior, en dos dislocaciones parciales con vectores de Burgers b: y b3. La combinación de las dos dislocaciones parciales AC y AD se denomina dislocación ensanchada. La zona comprendida entre ellas es un defecto de apilamiento que representa una parte del cristal que h a experimen-tado un deslizamiento intermedio entre uno completo y un desliza-miento nulo. Como quiera que los vectores b2 y b3 forman un ángulo de 60°, habrá una fuerza repulsiva entre las dislocaciones parciales (Sec. 6-9). Sin embargo, la tensión superficial del defecto de apila-miento tiende a unirlas. Las dislocaciones parciales se mantienen a una separación de equilibrio determinada principalmente por la energía de los defectos de apilamiento. Como se discutió en la sección 4-10, la energía de los defectos de apilamiento puede variar considerable-mente para metales y aleaciones ccc diferentes y esto, a su vez, puede ejercer una importante influencia sobre su comportamiento ante la deformación.

Una característica de las redes ccc es que cualquier vector de Bur-gers es común a dos planos de deslizamiento. Esto ofrece la posibili-dad de que las dislocaciones helicoidales, que no tienen plano fijo de deslizamiento, puedan vencer los obstáculos resbalando de un plano a otro que tenga una dirección de deslizamiento común. A este proceso se le denomina deslizamiento cruzado. Sin embargo, para conseguir esto, las dislocaciones ensanchadas han de combinarse de nuevo en

1 R. D. HEIDENREICH y W. SHOCKLEY : "Report on Strength of Solids", p i -gina 37, Physical Society, Londres, 1948. DIETER.—12

dislocaciones perfectas, puesto que una dislocación ensanchada no pue-de deslizarse sobre cualquier p l a n o , sino solo sobre el p l a n o d e l d e f e c t o . La figura 4-26 muestra que ello r e q u i e r e la formación d e u n a e s t r a n -gulación en la banda del defecto de apilamiento. C u a n t o m a y o r sea la anchura del defecto de apilamiento, o menor su energía, t a n t o más difícil será producir estrangulamientos en los defectos d e a p i l a m i e n t o . Esto puede explicar que el deslizamiento cruzado prepondera en el aluminio, ya que este metal tiene bandas muy estrechas d e d e f e c t o s de apilamiento, mientras que es difícil en el cobre c u y a s b a n d a s son anchas.

dis locación e n s a n c h a d a

Estas ideas se confirman m e d i a n t e estudios de t r a n s m i s i ó n c o n microscopio electrónico sobre r e d e s d e dislocación en l á m i n a s d e l g a -d a s ' . Los defectos de apilamiento s e p u e d e n detectar f á c i l m e n t e en estas películas delgadas. El acero i n o x i d a b l e austenftico, c o n u n a e n e r -gía de defectos de apilamiento de 13 ergios/cm2, m u e s t r a r e d e s de dislocación solo a lo largo de los p l a n o s de deslizamiento, i n c l u s o c o n grandes deformaciones. El oro, el c o b r e y el níquel, cuyas energías son de unos 30, 40 y 80 ergios/cm2, respectivamente, m u e s t r a n , c o n pequeñas deformaciones, las dislocaciones ordenadas en redes tridi-mensionales complejas. Con deformaciones mayores se pasa a subí imi-tes muy poco desarrollados. El a l u m i n i o , que tiene u n a e n e r g í a de 200 ergios/cm2, muestra sublímites c a s i perfectos. Este e s q u e m a de transición gradual en la manera de ordenarse las dislocaciones, con-

1 H I R S C H , op. cit.

cuerda con la influencia de la energía de los defectos de apilamiento sobre la capacidad del metal para soportar el deslizamiento cruzado. Este es muy difícil en el acero inoxidable, incluso a temperaturas ele-vadas, de manera que las dislocaciones están confinadas en un plano de deslizamiento. En el oro, cobre y níquel es posible el deslizamiento cruzado, pero probablemente solo en zonas sometidas a tensiones muy elevadas. Por consiguiente, es posible el deslizamiento cruzado de las deslizaciones helicoidales y, a temperaturas mayores, intentan formar redes con límites de ángulo pequeño para disminuir su energía de deformación. En el aluminio, el deslizamiento cruzado es predominan-te y las dislocaciones helicoidales pueden ordenarse con fácilidad en redes de límites de ángulo pequeño.

Frank 1 ha señalado que en las redes ccc puede existir otro tipo de dislocación parcial. La figura 6-7 muestra un juego de planos í l l l ) visto de canto. Falta la par-te central del plano A. En esta zona • se forma una dislocación en cuña, con un vector de Bur-gers ( o o / 3 ) [ l l l ] , denominada dislocación parcial de Frank. Su vector de Burgers es perpen-dicular al d e f e c t o central de apilamiento. Puesto que el des-lizamiento ha de estar restrin-gido al plano del defecto de apilamiento y el vector de Bur-gers es normal a dicho plano, la dislocación parcial de Frank no puede moverse por deslizamiento. Por esta razón se denomina dis-locación sésil. Una dislocación sésil solo puede moverse por difu-sión de átomos o vacantes desde el defecto o hacia el mismo, p. ej.; por el proceso de trepado. Como quiera que el trepado no es un proceso probable a temperaturas ordinarias, las dislocaciones sesiles suponen obstáculos al movimiento de otras. Las dislocaciones que se deslizan libremente sobre el plano de deslizamiento, como las perfec-tas o las parciales de Shockley, se denominan móviles. Un proceso que puede crear en el plano (111) una hilera de átomos perdidos es la condensación de un disco de vacantes en dicho plano. Mediante la microscopía electrónica de transmisión2 se han obtenido pruebas del aplastamiento correspondiente a los discos de vacantes en el aluminio.

En las redes ccc, las dislocaciones sesiles se producen por el desli-zamiento de dislocaciones sobre planos secantes (111). Estas disloca-ciones sesiles se conocen como barreras de Cottrell-Lomer y son un

>F. C. FRANK : Proc. Phys. Soc. (Londres), vol. 62A, pág. 202, 1949. : P . B . H I R S C H , J . SILCOX, R . E . SMALLMAN y K . H . W E S T M A C O T T : Phil.

Mag., vol. 3, pág. 897, 1958.

FIG. 6 -7 .—Una dis locación parcial de Frank o dis locación sésil . (Según A. H. COTTRELL : Dislocations and Plastic Flow in Crystals, Oxford U n i -

versity Press, Londres, 1953.)

elemento Importante en el mecanismo de endurecimiento p o r d e f o r m a -ción de los metales. L o m e r 1 ha i n d i c a d o que l a s d i s l o c a c i o n e s q u e se mueven sobre planos de deslizamiento s e c a n t e s se a t r a e n y c o m b i n a n si sus vectores de Burgers tienen orientaciones a p r o p i a d a s . L a figu-r a 6 - 8 m u e s t r a d o s d i s l o c a c i o n e s q u e s e d e s p l a z a n s o b r e e l p l a n o d e deslizamiento de una red ccc. La d i s l o c a c i ó n A se está m o v i e n d o en un plano (111) con un vector de Burgers (cic/2) [101]. La disloca-ción B se desliza en un plano < 1IX) con un vector de Burgers (flb/2) [011]. Es tas dislocaciones so a t r a e n m u t u a m e n t e y se mueven hacia el punto de intersección O, q u e se encuent ra a lo l a r g o d e la

dirección [110]. En este p u n t o las dos dislocaciones reaccionan de acuerdo con la reacción de Lomer

% [101] [011] [110]

p a r a f o r m a r u n a n u e v a d i s l o c a c i ó n d e m e n o r e n e r g í a . P u e s t o q u e l a s t r e s d i s -l o c a c i o n e s h a n d e s e r p a r a l e l a s a la lí-n e a d e i n t e r s e c c i ó n [ 1 í 0 ] d e l p l a n o d e d e s l i z a m i e n t o , la d i s l o c a c i ó n d e c u ñ ^ f o r m a d a p o r l a r e a c c i ó n d e L o m e r t i e -n e u n p l a n o d e d e s l i z a m i e n t o ( 0 0 1 ) . E s t e p l a n o c o n t i e n e a la v e z el vec-t o r d e B u r g e r s [ 1 1 0 ] y la l í n e a | 1 10], C o m o el ( 0 0 1 ) n o e s u n p l a n o d e d e s -l i z a m i e n t o o r d i n a r i o e n la1- r e d e s c c c , la d i s l o c a c i ó n f o r m a d a p o r la r e a c c i ó n

. d e L o m e r n o s e d e s l i z a l i b r e m e n t e . Sin

' e m b a r g o , n o e s u n a v e r d a d e r a d i s l o c a c i ó n s é s i l , e n el s e n t i d o d e las ¡ p a r c i a l e s d e F r a n k , y a q u e n o e s i m p e r f e c t a .

Cottre l l 2 ha demos t r ado que el producto de la reacción de Lomer puede resultar ve rdaderamente inmóvil s i s e realiza la s i g u i e n t e reacción de dislocaciones:

— [110] — [ 1 1 2 ] ~ [112] 4--^- [110] ¿ o 6 6

Los productos de esta reacción s o n dislocaciones de c u ñ a i m p e r f e c t a s que forman los l ímites de los defec tos de api lamiento. La dislocación fao/6)[112] es una parcial de S h o c k l e v q u e se desliza e n el p l a n o (111). Es repelida de la línea O y forma u n d e f e c t o de a p i l a m i e n t o l i m i t a d o

Fie. 6 -8 .—Reacción de dislo-caciones que conduce a la creación de barreras de Cot-trell-Lomer. (Según A. H. COT-TRELL: Dislocalions and Plás-tic Flow in Crystals, pág. 171, Oxford University Press, Lon-

dres, 1953.)

] W . M. LOMER: Phil. Mag., vol. 42, p.ís. 1327, 1951. 2 A . H. COTTRELL: Phil. Mag., vol. -I), pág. 645, 1952.

por dos lincas | I 1 0 | , lu linca <> y 1« líuou ilo dlalíHíACM«, t i l mtultt «l ntilar, la dislocación (a,/()) 11121 se desliza en el plano (111) y formu un defecto de api lamiento l imitado por la línea O y la línea de dislo-cación. La tercera dislocación con vector de Burgers (OQ/6) [110] está situada a lo largo de la línea O, en donde se unen los dos defec tos ¿e apilamiento. Esta combinación de t res dislocaciones producidas por la reacción Cottrel l-Lomer forma un t r iángulo isósceles anclado rígi-damente que no puede deslizarse. Por consiguiente, el anclaje de Cottrell-Lomer proporciona una bar rera eficaz contra el desl izamiento. Estudios de microscopía electrónica de t ransmisión, relativos a la in-teracción de dislocaciones en láminas delgadas, han conf i rmado la exis-tencia de este t ipo de interacción, lo que concuerda con el mode lo de anclaje de Cottrel l-Lomer

Las barreras Cottrel l-Lomer se pueden vencer con tensiones o t em-peraturas elevadas o ambas s imul táneamente . S t r o h 2 ha real izado un análisis matemát ico de la tensión requer ida para destruir las barreras , ya sea por desl izamiento sobre el p lano (001) o por disociación en las dislocaciones a par t i r de las que se han formado. Sin embargo, se ha demostrado 3 que en el caso impor tan te de dislocaciones helicoidales apiladas f rente a bar reras de Cottrel l-Lomer, dichas dislocaciones pue-den escapar de los apilamientos por desl izamiento cruzado, an tes de que la tensión sea lo bastante elevada para romper las barreras .

6-5. D i s locac iones en la r e d h e x a g o n a l c o m p a c t a . — E l p lano base de las redes he es un plano muy compacto cuya secuencia de api-lamiento es ABABAB... El desl izamiento se produce sobre el p lano (0001) en la dirección <1120) (Fig. 4-3). El vector unidad mínimo para la estructura he t iene una longitud a,, y se encuentra en la dirección compacta <1120). Las dislocaciones del p lano base pueden reducir su energía disociándose en dos parciales de Shockley de acuerdo con la reacción

«,[11201 - - > f í o [ 1 0 I 0 ] 4 « 0 [ 0 1 I 0 ]

El defecto de apilamiento producido por- esta reacción se encuentra en el plano base y la dislocación ensanchada que forma está confinada a deslizarse dent ro de este plano.

6-6. D i s locac iones en la r e d c ú b i c a c e n t r a d a . — E n las redes cú-bicas centradas el desl izamiento se produce en la dirección <111>. El vector reticular se extiende desde un á tomo de uno de los vértices al

' M . I . WHELAN: Proc. Roy. Soc. (Londres), vol . 2 4 9 A , pág. 114 , 1 9 5 8 ; todas las posibles reacciones de dislocaciones han sido ensayadas por J. P. HIRTH: /. Appl. Phys., vol. 32, págs. 700-06, 1961.

2 A . N . STROH: Phil. Mag., vo l . 1, ser . 8 , pág . 4 8 9 , 1 9 5 6 . 3 A . SEEGER, I . D I E H L , S . MADER y R . R E B S T O C K : Phil. Mag., v o l . 2 ,

pág. 323, 1 9 5 7 .

( m i d o en t i c in t ro del cubo unidad. Por tanto, el vector de •rgers e» (<^/2) [ l l l ] . Se recordará que, en el hierro, las líneas de

deslizamiento se producen sobre los planos {110}, {112} y {123}, aunque en otros metales cc el deslizamiento parece producirse predo-minantemente sobre los planos {110}.

Las reacciones de dislocaciones no se han estudiado tan amplia-mente en las redes cc como en las ccc. Cottrell1 ha sugerido que una dislocación perfecta en un plano (112) puede disociarse de acuerdo con la reacción

y [111] " [ 1 1 2 ] + £ [ 1 1 1 ]

La (ao/3)[112] es una dislocación de cuña pura, puesto que su vector de Burgers es perpendicular al plano de deslizamiento. Asimismo, es una dislocación sésil imperfecta que forma el límite de un defecto de apilamiento en los planos (112). La (a0/6) [11T] es una dislocación móvil imperfecta similar a las parciales de Shockley de las redes ccc. Sin embargo, debido a que la [111] es la línea de intersección de tres planos del tipo {112}, esta dislocación puede deslizar fuera del plano del defecto de apilamiento demasiado fácilmente para formar parte de una dislocación ensanchada real. Asimismo, las dislocaciones del plano (112) pueden disminuir su energía por disociación, de acuer-do con la reacción

^ [ 1 1 I ] - > ^ [ 1 1 I ] + ^ [ 1 1 I ] 2 6 3

Como se ha expuesto anteriormente, las dislocaciones p a r c i a l e s for-madas por esta reacción son helicoidales puras y, debido a la g e o m e -tría de esta situación, no están completamente confinadas al p l a n o de deslizamiento (112). Un análisis 2 de las posiciones atómicas que pro-ducen los defectos de apilamiento s o b r e los planos {112} m u e s t r a q u e son dos los tipos que pueden resultar. A u n cuando p o r d i f r a c c i ó n de rayos X se ha demostrado la existencia d e defectos d e a p i l a m i e n í o en las redes cc, todavía no se han realizado estudios s o b r e las r e a c c i o n e s de dislocaciones discutidas en esta sección.

Cot t rel l 3 ha sugerido otra reacción de dislocaciones que p a r e c e con-ducir a la formación de dislocaciones inmóviles en las redes cc. Con-sideremos la figura 6-9 a: la dislocación A con vector de Burgers (cío/2) [Ti l ] , se desliza en el plano (101); la dislocación B. con vector de Burgers (a<¡/2) [111], se desliza en el plano de deslizamiento secan-

1 A . H . COTTRELL: "Dislocations and Plastic F low in Crystals", Oxford Univers i ty Press, Nueva York, 1953.

2 1 . M. SILCOCK: Acta Met., vol. 7, pág. 359. 1959. 3 A . H. COTTRELL: Trans Met. Soc. A1ME. vol. 212, pág. 192. 1958.

te (101). Las dos dislocaciones se unen y reaccionan a fin de disminuir su energía de deformación por la reacción

^ [ I I l ] + ^ [ l l l ] - > f l b [ 0 0 1 ]

El producto de esta reacción es una dislocación de cuña pura que se encuentra sobre el plano (001). Puesto que este no es un plano ordinario de deslizamiento en las redes cc, la dislocación no es móvil. Sin embargo, el (001) es el plano de crucero o de despegue a lo largo del cual se produce la fractura frágil. Cottrell sugiere que la formación de una dislocación en el plano de despegue, por deslizamiento sobre planos secantes {110},. es equivalente a introducir una grieta de un espesor igual a un espaciado reticular (Fig. 6-9 b). Esta grieta puede

crecer entonces por dislocaciones adicionales que se deslizan sobre los planos {110}. Aun cuando esta reacción particular de dislocaciones no se ha confirmado todavía experimentalmente en los metales cc, se ha comprobado que existe en cristales iónicos cúbicos, como el LiF y el MgO.

6-7. C a m p o d e tens iones de una dislocación.—Las dislocaciones están rodeadas por un campo de tensiones elásticas que crean fuerzas que actúan sobre estas dislocaciones, produciéndose interacción entre ellas y los átomos solutos. En el caso de una dislocación perfecta, se puede obtener una buena aproximación del campo de tensiones a part ir de la teoría matemática de la elasticidad para medios continuos. Sin embargo, las ecuaciones obtenidas no son válidas junto al núcleo de la línea de dislocación. Las ecuaciones que se dan más adelante son aplicables a dislocaciones helicoidales y de cuña, rectas, en un cristal i s ó t r o p o L a tensión existente alrededor de una dislocación recta es

'Para deducciones, véase F. R. N. NABARRO: Advances in Phys., vol. 1, núm. 3 ; págs. 271-395, 1952; W. T. READ, Jr.: "Dislocations in Crystals", págs. 114-23, McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York, 1953.

una buena aproximación a la que se produce alrededor de una dislo-cación curva a distancias pequeñas comparadas con el radio de curva-tura. Al considerar un cristal con constantes elásticas a n i s ó t r o p a s l a complejidad es apreciablemente mayor .

La figura 6-10 representa la sección transversal de una pieza cilin-drica de mater ia l elástico que cont iene una dislocación de cuña. Dicha dislocación pasa por el pun to O para le lamente al eje z (normal al pla-no de la f igura) . El cil indro original no distorsionado y sin dislocación se representa con una línea de t razos. La dislocación fue producida

prac t icando un corte radial a lo largo del p lano y - 0 (línea OA), desl izando las superficies corta-das, una a lo largo d e la o t r a , la distancia AA' y volviéndolas a unir. Esta secuencia de operacio-n e s 2 p roduce una dislocación de cuña positiva a lo largo del eje z, con un campo de deformación i d é n t i c o a l q u e e x i s t e a l r e d e d o r d e un modelo de dislocación como el de la figura 4-8. Como q u i e r a q u e la línea de dislocación es paralela al eje z, las deformaciones en esa d i r e c c i ó n s o n n u l a s y s e p u e d e t ra tar el problema como un caso de deformación plana.

Tra tándose de d i s l o c a c i o n e s d e c u ñ a rectas, en u n m a t e r i a l elás-t icamente isótropo, las ten iones, e n t é r m i n o s d e l o s t r e s e - e s d e coordenadas ortogonales, eslán da-

das por las ecuaciones siguientes ( l a notación es la m i s m a q u e se h a util izado en los capítulos 1 y 2 ) :

FIG. 6 -10 .—Deformac ión de un círcu-lo que cont iene una dislocación en cuña. El círculo no deformado es el que tiene la circunferencia de trazos; la l ínea cont inua representa a esa cir-cunferencia después que se ha intro-

ducido la dislocación de cuña.

byQxl+if) 0~X T 0 — —

(x + 2/) by{x2 + y1)

o-z = p(crx + o-y)

[6-1]

[ 6 - 2 ]

[6-3]

' I . D. ESIIELBY, W. T . READ y W . S H O C K L E Y : Acta Met., vol. 1, p;i-.s. 351-359, 1 9 5 3 .

2 Es interesante observar que este p r o b l e m a fue ana l i zado por Volterra en 1907, mucho antes de que apareciera el concepto de d i s locac iones , l.os de-talles matemáticos se pueden hallar en A. E. H . L O V E : " A t rea t i se on the Mathematical Theory of Elasticity", páas . 221-28, Cambridge U n i v c r s i u Press, Nueva York, 1934.

I1C. CAMf l l TRNTONII OWN* Dtl EACIOR

de donde

T0 =

TXy=T0

2 t t ( 1 - v) b x t f - y 2 ) (x2 + y2) ,2)2

TXZ = TYX = 0

En coordenadas polares, las ecuaciones son

- Tob sen 6 crr-cre =

Tr0 — Ter — T0

r b eos d

[6-4]

[6-5]

[6-6]

[6-7]

07 actúa en la dirección radial, mientras que <rfl lo hace en un plano perpendicular a r. Obsérvese que las tensiones varían inversamente con la distancia que las separa de la línea de dislocación. C o m o la tensión se hace infinita cuando r = 0, se ha de excluir del análisis una pequeña zona cilindrica r = r0 a l rededor de la línea de dislocación.

U n a dislocación helicoidal recta en un medio isót ropo tiene una simetría comple tamente cilindrica. Para un sistema de coordenadas rectangulares, solo dos de los componentes de la tensión no son igua-les a ce ro :

° b " [6-8] 27T X2 + if-

r v , = Gb 277 X*+lf

[6-9]

Puesto que en las dislocaciones helicoidales no hay ningún medio pla-no extra de á tomos, t ampoco hay tensiones normales de tracción o compresión. El campo de tensiones es s implemente de cizallamiento. La s imetr ía radial de este campo de tensiones es evidente cuando la tensión cizallante se expresa en un sis tema de coordenadas po la res :

Gb 2 irr

[6-10]

Median te radiación infrarroja polarizada se ha obse rvado 1 en los cristales de silicio el campo de deformaciones existente alrededor de una dislocación de cuña en un medio isótropo.

La energía implicada en la formación de una dislocación en cuña

' W . L. BOND y ]. A . V D R U S : Phys. Rev., v o l . 1 0 1 , p á g . 1 2 1 1 , 1 9 5 6 .

se puede estimar a partir del t r aba jo requer ido para desplazar el corte OA, en la figura 6-10, una distancia b a lo largo del plano de desli-zamiento :

U=^-fr,Trebdr^y fr,T0b2 cosd— [6-11] ^ r r. ^

Pero eos 0 = 1 a lo largo del plano de desl izamiento ?/ = 0, de manera que la energía de deformación está dada por

U - , f . hi -?l [6-12] 47r(l -- v) rQ

Del mismo modo, la energía de deformación de una dislocación heli-coidal está dada por

1 C't Gb1 r U = - T0lb dr = —— l n — | 6 - 1 3 1

2 Jr 4ir r0

Obsérvese que, de acuerdo con la h i p ó t e s i s q u e hemos m a n t e n i d o h a s t a este punto, la energía de deformación por unidad . d e l o n g i t u d d e la dislocación es proporcional a Gb2. E s t a energía de deformación c o r r e s -ponde a unos 10 ev por cada plano atómico a t ravesado por la dislo-cación en cuña (problema 6-9). La energía tota l de u n c r i s t a l q u e contiene muchas líneas de dislocación es la suma de las e n e r g í a s d e deformación de las dislocaciones individuales, más los t é r m i n o s q u e expresan las interacciones de los c a m p o s d e tensiones d e las d i s l o c a -ciones, más el término que describe las tensiones internas desarrolladas por las fuerzas externas.

6 -8 . F u e r z a s en las d i s l o c a c i o n e s . — C u a n d o a un cristal se le aplica una fuerza externa de s u f i c i e n t e magni tud, las d i s l o c a c i o n e s se mueven y producen deslizamiento. D e e s t e modo, e x i s t e u n a f u e r z a que actúa sobre las líneas de dislocación y q u e t iende a d i r i g i r l a s l i a c i a adelante. La figura 6-11 muestra una l í n e a de dislocación moviéndose en la dirección de su vector de Burgers bajo la influencia de una ten-sión cizallante uniforme r . Un e lemento de la línea de d i s l o c a c i ó n ds es desplazado, en una magni tud di, e n la dirección d e d e s l i z a m i e n t o , normal a ds. El área barr ida por el e lemento lineal es ds di. Esto co-r r e s p o n d e a un d e s p l a z a m i e n t o m e d i o de l c r i s t a l s i t u a d o e n c i m a del plano de deslizamiento respecto a l c r i s t a l d e debajo d e d i c h o plano, de una magnitud igual a dsdlb/A, en la que A es el área del plano de deslizamiento. El t raba jo r e a l i z a d o por la tensión c i z a l l a n t e q u e actúa en el plano de deslizamiento es dW = rA(ds di b)/A, que co-rresponde a una fuerza dW/dl q u e a c t ú a sobre el e l e m e n t o ds e i la

dirección de su normal. Por consiguiente, la fuerza por unidad de Ion. gitud que actúa sobre la línea de dislocación es

F=rb [6-14]

Esta fuerza es normal a la línea de dislocación en todos los puntos de su longitud y está dirigida hacia la par te sin deslizar del plano de deslizamiento.

Como la energía de deformación de las líneas de dislocación es proporcional a su longitud, para aumenta r es ta se ha de realizar un trabajo. Por tanto , es conveniente considerar que las dislocaciones po-seen una tensión lineal que intenta re-ducir al mín imo su energía, acortando su longitud. La tensión lineal se mide en unidades de energía por unidad de longitud y es análoga a la tensión su-perficial de los líquidos. En las líneas de dislocación curvas, la tensión lineal produce una fuerza res tauradora que tiende a enderezarlas. La magnitud de esta fuerza es T / R , en la que T es la tensión lineal y R el radio de curvatu-ra de la línea de dislocación curva. La dirección de esta fuerza es perpendicu-lar a la línea de dislocación y dirigi-da hacia el cen t ro de curvatura. Debido a la tensión lineal, las l íneas de disloca-ción t ienen una curvatura de equilibrio so lamente si actúa sobre ellas una tensión cizallante. La condición de equil ibrio para que ento su-ceda es

Por consiguiente, la tensión cizallante requer ida para man te r . ^ U na línea de dislocación con un radio de curva tura R es

Fie. 6-11.—Fuerza que actüa so-bre una línea de dislocación.

Rb [6-15]

Orowan 1 ha señalado que la determinación de esta tensión guarda ana-logía con el problema de hacer una burbuja soplando a t ravés 'Je u n a boquil la sumergida en un líquido. La tensión lineal varía de U£ p u n t o a otro a lo largo de la línea de dislocación. S t r o h 2 ha demos t ró lo q u e

1 E. OROWAN: "Dislocations in Metals", págs. 99-102, American Inr. tute of Mining and Metallurgical Engineers, Nueva York, 1953.

2 A. N. STROH• Pmn Ph<,r e r « „ . < — • < > ~>~ •— •

1« Ec. [6-13] proporciona una b u e n a aproximación d e la t e n s i ó n l i n e a l . Le más utilizada es V*** 0,5Gb1, q u e s e o b t i e n e d e la E c . [ 6 - 1 3 ¡ c u a n -do se sustituyen los valores t í p i c o s r l = = 1 0 0 0 Á y r0 = 2 Á.

6-9. Fue rza s e n t r e las d is locaciones Las d i s l o c a c i o n e s d e s i g -n o c o n t r a r i o s i t u a d a s en el m i s m o p l a n o d e d e s l i z a m i e n t o se a t r aen entre sí, se aproximan y finalmente se anulan. Esto se p u e d e v e r f á c i l -mente en el caso de una dislocación de cuña (Fig. 4-8), en la que la superposición de una dislocación positiva y otra negativa en e l m i s m o plano de deslizamiento hace que se elimine el plano e x t r a d e á t o m o s y, p o r c o n s i g u i e n t e , la d i s l o c a c i ó n d e s a p a r e c e . P o r el c o n t r a r i o , las dislocaciones de igual signo en el m i s m o plano d e d e s l i z a m i e n t o se repelen.

La situación más sencilla a considerar e s la fuerza e n t r e d o s d i s l o -caciones helicoidales paralelas. P u e s t o q u e el campo d e t e n s i o n e s d e una dislocación helicoidal es radialmente simétrico, l a f u e r z a e n t r e ellas es una fuerza central q u e d e p e n d e s o l o de la d i s t a n c i a q u e l a s separa,

Gb1

F r = r e z b = ~ f 6 - 1 6 ] 2-rrr

La fuerza es atractiva en d i s l o c a c i o n e s d e signo c o n t r a r i o i ' h e l i o o i d e s a n t i p a r a l e l o s ) y r e p u l s i v a e n d i s l o c a c i o n e s d e l m i s m o s i g n o ( h e l i c o i d e s paralelos).

Consideremos ahora las f u e r z a s e n t r e dos d i s l o c a c i o n e s de c u ñ a paralelas con los mismos vectores d e B u r g e r s . R e f i r i é n d o n o s n la f i g u -ra 6-10, las dislocaciones en cuña s e e n c u e n t r a n en P y e n Q, p a r a l e l a s a l e j e z, c o n s u s v e c t o r e s d e B u r g e r s a l o l a r g o d e l e j e .v. La f u e r z a e n -tre ellas no es central y, por t a n t o , e s p r e c i s o c o n s i d e r a r u n a c o m p o -nente radial y otra tangencial. L a f u e r z a p o r u n i d a d de longitud e s t á d a d a p o r 1

p _ 1 Gb2 s e n 20 t r T T í — r 2tt( 1 - v) r 27r(l - v) r

Como las dislocaciones de cuña e s t á n esencialmente c o n f i n a d a s al p l a -no de deslizamiento, la fuerza c o m p o n e n t e a lo largo d e la d i r e c c i ó n x, que es la de deslizamiento, es de máximo interés,

Fx = Fr eos 6 - F0 sen 8

~ 2-rr (1 — Vj^x^+y^y , 6 " 1 8 1

1 A. H. COTTRELL: "Dislocations and Plastic Flow in Crystals", pau. 46. Oxford University Press, Nueva York, 1953.

La figura 6-12 es una representación de la variación de Fx con la distancia x, en la que x está expresada en unidades de y. La curva A representa dislocaciones del mismo signo; la curva B, dislocaciones de signo opuesto. Obsérvese que las dislocaciones del mismo signo se repelen cuando x > y (6 < 45°) y se a t raen cuando x < y ( 0 > 4 5 ° ) . La inversa es cierta para dislocaciones de signo contrario. F , es cero cuando * = 0 y x-y. La situación z = 0, en la que las dislocaciones en

FIG. 6-12.—Representación gráfica de la He. [6-181. La curva continua A co-rresponde a dos dislocaciones de cuña del mismo signo. La B, a dos disloca-ciones de cuña de signo contrario. (Según A. H . COTTRELL : Dislocations and

Flow Plástic in Crystals, pág. 48, Oxford University Press, Londres, 1953.)

cuña se encuent ran vert icalmente unas encima de las otras, es un es tado de equilibrio. Por tanto, la teoría predice que una ordenación vertical de dislocaciones de cuña del mismo signo se encuentra en equilibrio estable. Es ta es la disposición que existe en los límites de grano de ángulo pequeño de tipo inclinado.

El caso de dos dislocaciones paralelas con vectores de Burgers di-ferentes puede razonarse considerando sus energías relativas 1 . Este es el caso de dislocaciones en dos planos de deslizamiento diferentes. En general, no habrá una posición estable como en el caso anterior. Las dislocaciones in tentarán juntarse o separarse. Consideremos dos dislo-caciones paralelas b, y b2, que pueden, o quizá no, atraerse y combi-

1 R E A D , op. cit., p á g . 1 3 1 .

narse en b3. Las dos dislocaciones se atraen si b2 < b\2 + b22 y se re-

pelen si bi2 > b¡2 + b22. Expresado d e o t ro modo, l a s d i s l o c a c i o n e s s e

atraen si el ángulo formado p o r s u s vectores de B u r g e r s e s m a y o r que 90°. Se repelen si dicho ángulo es menor que 90°.

Las superficies libres ejercen una fuerza de atracción sobre las dislocaciones, ya que al escapar e s t a s d e la superficie d e l cristal r e d u -cen su energía de deformación. K o e h l e r 1 h a demos t rado q u e esta f u e r za es aproximadamente igual a la q u e s e ejercería en u n s ó l i d o i n f i n i t o entre una dislocación y otra de s i g n o contrar io s i tuada e n u n a posición que es la imagen especular d e la p r i m e r a a l o t r o lado d e l a s u p e r f i c i e . Esta fuerza de la imagen es igual a

Gb2 1 4-7t(1 - v) r J

para una dislocación de cuña. Sin embargo, conviene t e n e r e n c u e n t a que las superficies metálicas están cubier tas f recuen temente de finas películas de óxido. Las dislocaciones que se aproximan a la superficie recubierta de un material e lás t icamente más duro e n c u e n t r a n una fuerza de la imagen repulsiva en vez de una atract iva.

6 -10 . T r e p a d o de d i s l o c a c i o n e s . — U n a dislocación en cuña sola-mente se puede deslizar en el p lano que contiene la línea de disloca-ción y su vector de Burgers (dirección de desl izamiento) . Para mover una dislocación en cuña en una dirección perpendicular al plano de deslizamiento se requiere un proceso de trepado. En el movimiento de las dislocaciones helicoidales interviene siempre el deslizamiento, de manera que dicho movimiento no está relacionado con el trepado. Para el t r epado se requiere la t raslación de masas por difusión y, por consiguiente, es un proceso act ivado térmicamente . Se admi te conven-cionalmente que el sent ido de t r epado es aquel en el que los átomos se alejan del medio plano extra de á tomos de una dislocación en cuña, de manera que dicho medio plano se desplace hacia arr iba una capa atómica. Norma lmen te esto ocurre por difusión de una vacante hacia la dislocación y por desplazamiento del á t omo extra hacia la posición re-ticular de la vacante (Fig. 6-13) También es posible, aunque no favora-ble energéticamente, que los á tomos se liberen del medio plano extra y se t ransformen en á tomos interst iciales. Para producir t repado ne-gativo se han de añadir á tomos al med io plano. Esto puede ocurrir al unirse al medio plano extra los á tomos de la red c i rcundante , lo que crea vacantes, o con menos probabi l idad al difundirse un á tomo in-tersticial a la dislocación.

El trepado de las dislocaciones es necesario para que se produzca la alineación vertical de las dislocaciones en cuña sobre los planos

i j . S. KOEHLER: Phys. Rev., vol. 60, pág. 397, 1941.

de deslizamiento que origina límites de grano de ángulo pequeño en el proceso de poligonización. Se han aplicado técnicas de ataque sobre cristales flexionados y recocidos que han demostrado la existencia de este fenómeno. El trepado de dislocaciones es también un factor im-portante en la fluencia lenta ("creep") de los metales, en la que la energía de activación para el estado de fluencia estacionaria es igual a la necesaria para la autodifusión de los metales puros. El hecho de que la autodifusión se produzca por el movimiento de vacantes impli-ca que en la fluencia lenta debe intervenir el trepado de dislocaciones.

6-11. Codos en Jas d is locaciones .—No es preciso que las dislo-caciones estén confinadas a un solo plano. Cuando una dislocación se desplaza de un plano a otro crea un escalón o codo en la línea de dislocación. Los codos pueden pro-ducirse por la intersección de dis-locaciones, como se mostró en la figura'4-29, o durante el trepado, cuando este no ocurre a lo largo de toda la longitud del medio pla-no extra de átomos.

En la figura 6-14 se muestra la intersección de dos dislocaciones en cuña. Una dislocación en cuña XY, con un vector de Burgers b¡, se está moviendo sobre el plano Pxy y corta a la dislocación AD, con vector de Burgers b, que se encuentra sobre el plano P¿D- La intersec-ción origina el codo PF en la dislocación AD. El codo resultante es paralelo a b„ pero su vector de Burgers es b, ya que forma parte de la línea de dislocación APP'D. La longitud del codo es igual a la del vector de Burgers h¡. Obsérvese que el codo resultante de la inter-sección de dos dislocaciones en cuña tiene una orientación de cuña y, por consiguiente, puede deslizarse fácilmente con el resto de la dislo-cación. Por este motivo, la formación de codos en las dislocaciones en cuña no impide su movimiento. Sin embargo, se requiere energía para cortar una dislocación, ya que la formación de un codo aumenta su longitud. La energía de los codos es aproximadamente 0,5Gb*, pues-to que la tensión lineal media es 0,5Gb2 y la longitud de los codos es b¡.

La figura 4-29 muestra la intersección de dos dislocaciones heli-coidales. De acuerdo con la regla general, los codos son perpendicula-res a los planos de deslizamiento en los que las dislocaciones se mue-ven. Se puede apreciar que los codos formados por la intersección de dos dislocaciones helicoidales tienen una orientación de cuña por-que son perpendiculares al vector de Burgers de las dislocaciones heli-coidales. Puesto que las dislocaciones de cuña solo se pueden mover

• ' • • • •

[a)

Fie. 6-13.—a) Difusión de una vacante hacia una dislocación en cuña, b) Una dislocación trepa un espaciado re-

ticular.

dislocaciones píntente« codos, estos no pueden moverse en una

dirección normal al eje del helicoide, excepto por el proceso de t re- ' ' pado. (Je aquí se desprende que es má-; difícil mover dislocacio- -nes helicoidales a través de un bosque de dislocaciones intersecó tor qu<: mover dislocaciones de cuña a través de una ordenación interscctora. La veracidad de este hecho <;e comprueba mediante la siguienic observac ión 1 : las ban- • das de deslizamiento en el alumi-nio avanzan más lentamente cuan-do se las mira en una dirección perpendicular a la de deslizamien-to que cuando se observan a lo largo de esta. En la intersección de dislocaciones mixtas, helicoida-les y cu cuña, los codos pueden mover ,o la teralmente por desliza-miento, según la dislocación se desplaza a través de la red.

b ^

X

b ^

X

( Y

6-12 . I n t e r a c c i ó n e n t r e dislo-c a c i o n e s y vacan tes .—Cada vez existe mi número mayor de prue-bas de que los defectos de punto, pr incipalmente las vacantes, se producen duran te la deformación plástica. La mayor parte de las pruebas experimentales 2 están ba-sadas sobre deformaciones a bajas t empera tu ras (para suprimir la mo-vilidad de las vacantes), seguidas de mediciones de la resistividad

eléctrica y de la mecánica antes y después de los t ra tamientos de reco-cido, Se l\i\ comprobado que, ap rox imadamen te h vmt,\d del aumento de resistividad debido a U detcmwaoión en (vio se elimina por recocido den-tro IwtovvftUvs d i temperatura bien definidos v con energías de acti-

«N. K. ClIKN y R, B. Poso: Tntnf. A/ME, vol. 194. págs. 1085-092. 1952. »Para revisione» <U « t e tema, víase T. BROOM-, AVANCES in Phys. \-o\. y

p á í s 26-83, 1934, y "Sympos ium on Vacancier and Other Point Defects m Metals and Àlloyi", Institut« ef Miti l i , tondre», 1958.

FIG. 6-1*1.—Intersección de dos dislo-caciones en curta, (W. T. REAP, ] I \ : Dislocations in Crystals, McGraw-Hill Book Company, Inc., Nueva York,

1953.)

de «etlvaelón observadas para el recocido de probetas templad« e Irra* diadas. Además, las variaciones de resistividad van acompañadas de escaso cambio en la resistencia mecánica, indicando que las dislo-caciones no son responsables de dichas variaciones. La formación de defectos de punto debidos a la deformación, en los cristales iónicos, se ha demostrado midiendo la conductividad y la densidad y obser-vando los centros de color.

Los codos en las líneas de dislocación pueden actuar como ma-nantiales y sumideros de defectos de punto . Debido a los ángulos en-

p trantes de los codos, estos son centros favorables para la absorción y aniquilación de vacantes. Asimismo, se considera generalmente que en

, los codos se pueden engendrar vacantes. En el mecanismo usual1 in-tervienen los codos formados por la intersección de dislocaciones

. helicoidales. Como se ha indicado en la sección anterior, el movi-miento en una dirección normal a su eje de las dislocaciones helicoi-dales que contienen codos solo puede ocurrir por trepado. Al trepar, el codo engendra vacantes. Sin embargo, existen dos puntos dudosos acerca' de este mecanismo. Friedel2 ha señalado que no hay razón

| para que un codo no pueda deslizarse a lo largo de una dislocación ¡: helicoidal sin producir vacantes, con tal que pueda unirse en seguida

a un componente de cuña de la línea de dislocación. Cot t re l l 3 ha f mostrado que los codos formados por la intersección de dislocaciones

helicoidales producen generalmente á tomos intersticiales y no vacan-| tes. Sin embargo, los experimentos de recocido muestran que son las f vacantes, y no los átomos intersticiales, los defectos de punto predo-

minantes en los metales deformados en frío. Friedel, Mot t y Cottrel l4

i han propuesto otros mecanismos para la producción de vacantes por codos de las dislocaciones. Aun cuando no se han establecido todavía los detalles exactos del mecanismo de la formación de vacantes du-rante la deformación en frío, se ha comprobado la intervención de los codos producidos por la intersección de dislocaciones.

Entre las vacantes y las dislocaciones existe una fuerza atractiva. Por consiguiente, las vacantes deberían poder formar atmósferas alre-dedor de las dislocaciones, del mismo modo que los átomos solutos. Las vacantes pueden también interactuar unas con otras para formar pares de vacantes (divacantes) y existen pruebas que apoyan la hipó-tesis de que se reúnen en grandes grupos o apiñamientos.

! • 1 F. SEITZ: Advances in Phys., vol. 1, pas. 43, 1952. I' 2 1 . FRIEDEL: Phil. M a g . , vo l . 46 , pdg. 1 1 6 5 , 1 9 5 5 . i J A. H. COTTRELL- . "Dislocations and Mechanical Properties of Crystals , . pags. 509-12, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1957. ; ^ j. FRIEDEL : "Les Dislocations", Gauthier-Willars & Oe, Parfc. 1956.

N. F. M o r r : "Dislocations and Mechanical Properties of Crystals , P ^ f - ^ 9 -7 1 , John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1 9 5 7 ; A . H . COTTRELL : Vacancies and Other Point Defects in Metals and Alloys", pigs. 2 8 - 2 9 , Institute of Metals, Londres, 1958. DIETER.—13

m i r e dlilocaolonee y átomo* pxtrnfin».-~La presencia de un átomo extraño grande produce una dilatación de la matriz. Un átomo de tamaño excesivo es atraído hacia la zona de tracción y repelido de la zona de compresión de una dislocación en cuña. La segregación de átomos solutos hacia las dislocacionse dismi-nuye la energía del sistema. Para simplificar, se supone que los áto-mos solutos producen una distorsión simétrica e hidrostática de la matriz. Si el átomo soluto ocupa un volumen mayor en AV que el del átomo de la matriz a quien sustituye, la energía de interacción entre el campo localizado de tensiones de la dislocación y el átomo extraño será

í/¡ = o-,„ AV [6-201

en la que crm= -l¡3{crx + cr, + o-z) es la componente hidrostática del campo de tensiones. La variación en volumen está dada por

A V = 4 / j W [6-211

en la que a es el radio del átomo solvente y £=(<? -a) /a es la defor-mación producida al introducir un átomo soluto de radio a . Cuando el átomo soluto está situado en un punto dado por las coordenadas polares r, 8 respecto a una dislocación de cuña, la energía de inter-acción está dada por 1

Ur-A sen 8

= 4 Gbea2 sen 8 [6-22]

La fuerza entre una dislocación de cuña y un átomo soluto no es cen-tral. Los componentes radiales y tangenciales están dados por

Fo = 0U¡ &e

[6-23]

Cuando se produce una distorsión desigual de la red de la matriz a causa de los átomos solutos, estos pueden interactuar con el com-ponente cizallante del campo de tensiones, así como con el compo-nente hidrostático. En estas condiciones la interacción se produce entre átomos solutos y dislocaciones helicoidales y de cuña. En el caso de átomos de carbono y nitrógeno en el hierro, la simetría tetragonal alrededor de las posiciones intersticiales conduce a un componente cizallante del campo de tensiones. En las aleaciones ccc, la disociación en dislocaciones parciales produce dos dislocaciones enlazadas elásti-camente, con un componente en cuña importante.

Cottrell y Bibly han señalado que, en un tiempo t, el número de átomos solutos, n ( í ) , que emigra a una unidad de longitud de la línea

A . BILBY : Proc. Phys, Soc. (Londres), vol. 63A, pág. 191, 1950.

de dislocación desde una solución que contiene inicialmente H6 átomos solutos por unidad de volumen es

n [6-24]

en la que:

A = parámetro de interacción de la Ec. [6-22], y D = coeficiente de difusión de los átomos solutos a temperatu-

En la deducción de esta ecuación la línea de dislocación sirve como sumidero de átomos solutos que capturan cualquier á tomo que pasa, pero no obstruye la entrada de otros átomos, Este concepto es válido durante las primeras etapas del envejecimiento por deformación, en las que se ha comprobado se cumple la relación tVi. Sin embargo, hacia las últimas etapas las posiciones sobre la línea de dislocación se sa-turan y la hipótesis de que estas actúan como un centro de eliminación ya no es válida. Ahora, la probabilidad de que los átomos abandonen el centro es igual a la probabilidad de que afluyan hacia él, por lo que se establece un gradiente de concentración en estado estacionario. La distribución en el estado estacionario de los átomos solutos alrede-dor de las dislocaciones es lo que se conoce con el nombre de atmós-fera. La concentración local c y la concentración media c0 guardan la siguiente relación : _ ^

c - c 0 exp ~ ~ [6-25]

Se ha sugerido 1 que los átomos solutos pueden difundirse a lo largo de las dislocaciones hasta que encuentran una barrera. Si la interacción entre átomos solutos es fuerte, se puede formar un preci-pitado fino. De este modo las líneas de dislocación quedan libres para actuar como sumideros durante períodos de tiempo mayores y la re-lación r2'3 subsiste hasta que todas las líneas de dislocación se han saturado con átomos solutos.

Cuando la concentración de átomos solutos alrededor de la dislo-cación es bas tante elevada, la atmósfera se condensa en una sola línea de á tomos solutos, paralela a la línea de dislocación, en una posición de máximo enlace a dos espaciados atómicos, aproximadamente, p o r debajo del núcleo de la dislocación en cuña positiva. La tensión reque-rida para apartar una línea de dislocación de una línea de átomos so-lutos a 0°K es

ra T.

A [6-26]

1 B. A. BILBY y G. M. LEAK : J. Iron Steel Inst. (Londres), vol. 184, pág. 64, 1956.

en la que A está dada por la Ec. [6-22] y r0 2 x l 0 ~ 8 cm es la dis-tancia desde el núcleo de la dislocación hasta la posición de la línea de á tomos solutos. Cuando se libera a la línea de dislocación del campo de influencia de los á tomos solutos, el deslizamiento puede continuar con una tensión más baja que la dada por la Ec. [6-26], Este es el origen del límite elástico aparente superior de la curva tensión-defor-mación.

Cuando una fuerza externa intenta apartar una línea de dislocación de su atmósfera, esta ejerce una fuerza restauradora que intenta , a su vez, atraerla hacia su posición original. Si la velocidad de la línea de dislocación es pequeña puede moverse ar ras t rando tras de sí la atmós-fera. Según Cottrell , la velocidad máxima a la que una línea de dislo-cación puede moverse y a la vez ar ras t rar su atmósfera es

W-27] kl r-

Si la línea de dislocación se mueve a una velocidad superior será pre-ciso vencer la fuerza res tauradora y la a tmósfera se queda rezagada. Los dientes que se forman en la curva tensión-deformación se deben al esfuerzo realizado por la línea de dislocación para alejarse de la a tmósfera de á tomos solutos y a la atenuación poster ior de dicho esfuerzo que permi te a la a tmósfera interactuar de nuevo con las dislocaciones.

6 -14 . M a n a n t i a l e s d e d i s locac iones .—El bajo límite elástico de los cristales puros nos lleva a la conclusión de que en los cristales recocidos por completo y en los solidificados cuidadosamente a partir del l íquido deben existir manantiales de dislocaciones. La energía lineal de las dislocaciones es tan elevada que hace difícil que las tensiones de razonable magni tud puedan crear nuevas dislocaciones en una re-gión del cristal donde no existen estas, incluso con la ayuda de las f luctuaciones térmicas. Es to es causa de una diferencia impor tante en-tre los defectos de línea y los de punto . La densidad de dislocaciones en equilibrio térmico con un cristal es despreciablemente pequeña. No existe una relación general en t re la densidad de dislocaciones y la temperatura , como ocurre con las vacantes. Puesto que las disloca-ciones no son afectadas por las f luctuaciones térmicas a tempera turas inferiores a las que se produce la recristalización, los meta les pueden tener densidades de dislocaciones bas tan te diferentes dependientes de las condiciones de elaboración. Los materiales to ta lmente recocidos contienen unas 106 a 108 líneas de dislocación por cent ímetro cuadrado, mientras que en los metales in tensamente deformados en frío hay unas 1012 l íneas por cent ímetro cuadrado.

Se tiene la creencia general de que todos los metales, con excep-ción d e las " b a r b a s " de lgad ís imas , cont ienen un n ú m e r o aprec iad le de

dislocaciones producidas como resultado del crecimiento del cristal a partir del l íquido o de la fase vapor. Con estudios de ataque y méto-dos de difracción de rayos X ba jo condiciones r igurosamente contro-ladas, se han obtenido pruebas experimentales de la existencia de dis-locaciones en los cristales solidificados. En cristales crecidos por de-posición desde la fase vapor, se ha mos t rado que la nucleación de la fase sólida se produce alrededor de las dislocaciones helicoidales que emergen de la superficie del subst ra to sólido.

Por medio de técnicas de decoración de dislocaciones se han con-seguido muchas pruebas de la existencia de redes de dislocación tridi-mensionales en los cristales iónicos recocidos. En metales recocidos se han observado los anillos de dislocación por medio de la microscopía electrónica de t ransmisión de películas d e l g a d a s S e cree que estos anillos se originan a causa del colapso de los discos de vacantes y co-rresponden a dislocaciones prismáticas. Existen ciertas pruebas que indican que estos anillos pueden crecer y unirse para formar redes de dislocación en cristales recocidos sin deformar . Asimismo, hay pruebas que sugieren que algunas de las vacantes condensadas forman huecos que son responsables de la formación de dislocaciones. A u n cuando hay pocas dudas de que en los metales recocidos o cuidadosamente solidi-ficados existen dislocaciones, se necesita mucha más información sobre el mecanismo por el que se producen y sobre el modo en que están dispuestas en el metal .

6 - 1 5 . Multipl icación de dislocaciones. Manantial de Frank-R e a d . — U n o de los pr imeros obstáculos para el desarrollo de una teoría sobre las dislocaciones fue la exposición clara de un mecanismo razo-nable que explicase por qué los manant ia les originalmente presentes en el metal podían producir nuevas dislocaciones durante el proceso de deslizamiento. Tal mecanismo se requiere cuando se observa clara-mente que el desplazamiento superficial en una banda de deslizamiento se debe al movimiento de unas 1000 dislocaciones sobre el plano de deslizamiento. De este modo, el número de manantiales de dislocacio-nes inicialmente presentes en un metal no puede justificar el espaciado y desplazamiento observados en las bandas de deslizamiento, a no ser que exista un medio por el cual cada manant ia l pueda producir grandes magnitudes de desl izamiento antes de quedar inmovilizado. Además, si no hubiera ningún manant ia l engendrando dislocaciones, la defor-mación en frío producir ía una disminución, en vez de un aumento , de la densidad de dislocaciones en un monocristal . Po r consiguiente, debe existir un proceso que engendre dislocaciones o multiplique el número inicialmente presente para produci r la elevada densidad de dislocaciones hal lada en los metales de formados en frío. El esquema mediante el cual se pueden engendrar dislocaciones a partir de las ya

1 H I R S C H , SILCOX, SMALLMAN y W E S T M A C O T T , op. cit.

La prueba más espectacular de la existencia de manantiales de Frank-Read ha sido hallado por Dash 1 en cristales de silicio decorados con cobre. La figura 6-16 muestra un manantial de Frank-Read en un cristal de silicio fotografiado con luz infrarroja. También se han obte-nido pruebas en aleaciones de aluminio y en cristales iónicos empleando técnicas de precipitación, y en el acero inoxidable, por medio de la microscopía electrónica de películas delgadas.

6-16. Apilamiento de dis locaciones.—Frecuentemente nos he-mos referido al hecho de que las dislocaciones se apilan en los planos de deslizamiento frente a obstáculos tales como los límites de grano, las partículas de segunda fase y las dislocaciones sésiles. En los api-

Fic. 6-17.—Dislocaciones apiladas ante un obstáculo.

lamientos, las dislocaciones están íntimamente unidas en las proximi-dades de la cabeza de la ordenación y espaciadas más ampliamente hacia el manantial (Fig. 6-17). La distribución de dislocaciones del mismo signo en un apilamiento a lo largo de un plano de deslizamiento único ha sido estudiada por Eshelby, Frank y Nabar ro 2 . El número de dislocaciones que puede ocupar una distancia L a lo largo del pla-no de deslizamiento entre el manantial y el obstáculo es

knrsL

en la que TS es la tensión cizallante media resuelta en el plano de deslizamiento y k es un factor próximo a la unidad. En las disloca :io-

'W. c . DASH: "Dislocations and Mechanical Properties of Crystals", pá-gina 57, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1957.

2 J . D . ESHELBY, F . C . FRANK y F . R . N . NABARRO: Phil. Mag., v o l . 4 2 , pág. 351, 1951; cálculos para tipos de apilamientos más complicados han sido propuestos por A . K. HEAD: Phil. Mag., vol. 4, págs. 295-302. 1959; la con-firmación experimental de esta teoría la han obtenido MEAKIN y WILSDORF . op. cit., págs. 745 -52 .

' AFILA!*.. .«TO Di uiSLQCAliüNSS W\

nes de cuña k - l - v , mientras en las dislocaciones helicoidales es J t= 1 . Cuando el manant ia l está si tuado en el centro de un grano de diá-metro D, el número de dislocaciones en el apilamiento está dado por

n = -kTTTs D 1GB~

[6-30]

Se util iza el factor 4 en vez del factor 2 porque la retrotensión sobre el manant ia l se produce a causa de las dislocaciones apiladas a ambos lados del mismo.

Para muchos fines, se puede considerar que una ordenación de n dislocaciones apiladas es una dislocación gigante con vector de Bur-gers nb. A grandes distancias de la ordenación, la tensión debida a las dislocaciones se puede considerar producida por una dislocación de intensidad nb, s i tuada en el centro de gravedad, a una distancia que es las t res cuar tas partes de la que separa al manant ia l de la ca-beza del api lamiento. El deslizamiento total producido por un apila-miento se puede considerar que es debido a una sola dislocación nb moviéndose una distancia 3L/4. Sobre las dislocaciones s i tuadas en la cabeza del api lamiento actúan fuerzas muy elevadas. Es ta fuerza es igual a nbrs, en la que T, es la tensión cizallante media resuelta sobre el p lano de desl izamiento. Koehler 1 ha señalado que en las cabezas de los api lamientos se producen grandes tensiones de t racción del orden de m . S t r o h 2 ha realizado un análisis algo más deta l lado de la distr ibución de tensiones. Util izando el s is tema de coordenadas dado en la f igura 6-17, demos t ró que la tensión de tracción normal a la línea OP está dada por

3 / £ \ 1/2 0 o" = —- ^ —-j 7S s e n 0 c o s — [6-31]

El valor máximo de o- se produce cuando 0 = 1/3 o 0=70,7° . En este caso

Omá.t = ( —- ) ' '2 t s [6-32]

La tensión cizallante que actúa en el plano D P está dada por

r = í 3 r i { ~ y 2 [6-33]

El número de dislocaciones que puede soportar un obstáculo de-pende del tipo de la bar rera , de la relación de orientación en t r e el plano de desl izamiento y los aspectos estructurales en dicha ba r r e ra ,

i j . S. KOEHLER: Phys. Rev., vol. 85, pág. 480 , 1952 . 2 A. N . STROH: Proc. Roy. Soc. (Londres), vol. 223. págs. 404-14, 1954.

ü

la temperatura. La rotura de una barrera puede pro-aucirae por deslizamiento en un nuevo plano, por trepado de disloca-ciones alrededor de la barrera o por formación de tensiones de trac-ción lo suficientemente elevadas para producir una grieta.

De los conceptos discutidos anteriormente se puede desarrollar la ecuación de Petch, que expresa la dependencia existente entre el límite elástico y el tamaño de grano.vSe supone que la fluencia ocurre cuando se produce una tensión cizallante crítica TC en la cabeza del apilamiento. Se parte de la hipótesis de que esta tensión es independiente del ta-maño de grano. De la Ec. [6-30] tenemos

v(l-v)r,2D TITS TC

4 Gb

Se supone que la tensión cizallante resuelta es igual a la tensión aplicada menos la tensión interna media requerida para vencer la re-sistencia que se opone al movimiento de las dislocaciones. Si, además, las tensiones cizallantes se convierten en tensiones uniaxiales de trac-ción, p. ej., TC = crc/2, la expresión anterior se transforma en

7 r ( l - v ) ( o - 0 - c r , ) 2 D 8 Gb

- = o~c

Dicha expresión puede reordenarse a fin de obtener la relación deseada entre el límite elástico cr0 y el diámetro de grano D:

O"o = O",- + 8Gb(Xc "

TrTTiTT i

15 16-34]

B I B U O G R A F 1 A

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C A P I T U L O 7

F R A C T U R A

7 - 1 . Introducción.—La fractura es la separación o fragmentación de un cuerpo sólido en dos o más par tes ba jo la acción de una tensión. Se puede considerar que la f ractura es el resu l tado de dos procesos: la iniciación y la propagación de grietas. Las f rac turas se pueden cla-sificar en dos categorías generales: f rac tura dúctil y fractura frágil. Las f rac turas dúct i les se caracterizan por una deformación plástica apreciable antes y duran te la propagación de las grietas. En las super-ficies f rac tu radas se observa normalmente un grado perceptible de deformación macroscópica. La f rac tura frágil de los metales se carac-teriza por una rápida velocidad de propagación de grietas sin defor-mación macroscópica y muy poca microdeformación. Es similar al despegue de los cristales iónicos. La tendencia a que se produzca frac-tura frágil aumen ta al disminuir la t empera tu ra , al incrementar la ve-locidad de deformación y en condiciones de tensión triaxial (producida normalmente por una ental la) . La f rac tu ra frágil se ha de evitar a toda costa, ya que ocurre sin previo aviso y p roduce normalmente conse-cuencias desastrosas.

En este capí tulo se ofrece una amplia descripción de los fundamen-tos de la f rac tura de los metales. Pues to que la mayor par te de la in-vestigación se ha cen t rado sobre el problema de la f rac tura frágil, a este t ema se le dedica una atención especial. En el capítulo 14 se tra-tan con mayor detal le los aspectos de la f rac tura frágil en ingeniería. La f rac tura se produce de formas caracterís t icas, dependiendo del es-tado de tensión, de la velocidad con que se aplica esta y de la tempe-ratura. A no ser que se indique lo contrar io, en este capítulo se par te de la hipótesis de que la fractura se produce por una sola aplicación de una tensión de tracción uniaxial. En capítulos posteriores se estudia la f r ac tu ra ba jo condiciones más complejas. Ejemplos típicos son la f ractura producida por torsión (Cap. 10), fat iga (Cap. 12) y fluencia lenta (Cap. 13), y la f ractura frágil a ba ja temperatura, fragil idad de revenido y fragil idad producida por el h idrógeno (Cap. 14).

7-2 . T ipos de f rac tura en los metales.—Los metales pueden presentar muchos tipos diferentes de f racturas dependiendo del mate-rial, t empera tu ra , es tado de tensión y velocidad de carga. Las dos am-plias categorías de f ractura , dúctil y frágil, ya se han estudiado. La figura 7-1 i lustra esquemáticamente algunos de los tipos de fracturas

203

UTir HTloa metales sometidos a tracción. Las fracturas (Flg. 7*1 a ) se caracterizan por una separación normal a la f

tensión de tracción, pero por difracción de rayos X es posible detectar 5

una fina capa de metal deformado en la superficie d e f rac tura . En > los metales cc y he se han obser- i vado f rac turas frágiles, pero no en ;

los metales ccc, a no ser que exis- i tan factores que contr ibuyan a ' la fragilización de los límites de grano.

Las f rac turas dúcti les adoptan formas diferentes. Los monoeris-talcs de los metales he pueden deslizarse en planos base sucesi-vos hasta que el cristal finalmente se separa por cizallamiento (figu-ra 7-1 b). Las probetas policrista-linas de metales muy dúctiles, co-mo el oro o el plomo, pueden real-mente estirarse y estrangularse hasta un punto antes de romperse (Fig. 7-1 c). En la f ractura en trac-ción de metales moderadamente dúctiles la deformación plástica

produce una estrangulación o zona de estricción local (Fig. 7-1 d). La f rac tura comienza en el centro de la probeta y luego se extiende por una separación de cizalladura a lo largo de la línea de trazos de la figura 7-1 d. El resul tado obtenido es la familiar f rac tura en forma de "copa".

Las f rac turas se clasifican de acuerdo con caracter ís t icas diversas, tales como la deformación de f rac tura y la forma cristalográfica y as-pecto de la misma. G e n s a m e r 1 ha resumido, como se indica a con-tinuación, los términos comúnmente utilizados para describir las frac-turas :

FIG. dos

¡6)

7-1.—Tipos de fractura observa-en metales sometidos a tracción

monoaxial. a) Fractura frágil de nio-nocristales y policristales. b) Fractura de cizallamiento en monocristales dúc-tiles. c) Fractura completamente dúctil en policristales. d) Fractura dúctil en

policristales.

C o m p o r t a m i e n t o d e s c r i t o T é m ú n o u t i l i z ado

Modo cristalográfico Cizallamiento Despegue Aspecto de la fractura Granular Deformación de fractura ... ... Dúctil Frágil

Las f rac turas por cizallamiento se producen como resul tado de des-lizamiento extensivo en el plano activo de desl izamiento. Es te tipo de

1 M . GENSAMER: Estudio general del problema la fatiga y la fra-tura. en "Fatigue and Fracture of Metals", John Wiley & Sons. Inc., Nueva York. 1952.

fractura es provocado por tensiones cizallantes. £1 modo de f rac tura por despegue está controlado por tensiones de tracción que actúan normalmente al p lano cristalográfico de despegue. El aspecto, a pe-queños aumentos , de una superficie de f rac tura producida por cizalla-miento, es gris y fibroso, mient ras que el de una f rac tura por des-

i pegue es bri l lante o granular, debido a la reflexión de la luz sobre las I superficies lisas de despegue. Las superficies de f ractura están com-

puestas f recuen temente de una mezcla de f rac tura fibrosa y granular 1 y es cos tumbre hacer mención del porcenta je del área superficial re-K presentada por una de estas categorías. Basándose en el examen me-H talográfico, las f rac turas de las mues t ras policristalinas se clasifican P¡ en transgranulares (la grieta se propaga a t ravés de los granos) o inter-|| granulares (la grieta se propaga a lo largo de los límites de grano) . Las f j f racturas dúct i les son las que presentan un grado considerable de |? deformación. El l ímite entre una f rac tura dúct i l y otra frágil es arbi-f • trario y depende de la situación que se está considerando. Así, p. ej., ' las fundiciones nodulares son dúcti les cuando se comparan con las "r, fundiciones grises ord inar ias ; sin embargo, se consideran frágiles cuan-H do se' comparan con el acero suave. Otro e jemplo es el de una probeta r de tracción p r o f u n d a m e n t e en ta l lada ; la ro tu ra se produce con poca fe deformación macroscópica, pero puede ocurr i r por el modo de ciza-K llamiento.

p 7-3. R e s i s t e n c i a cohes iva t eó r i ca d e l o s meta les .—Los metales | son de gran valor tecnológico, pr incipalmente a causa de su elevada re-i sistencia mecánica, combinada con |¿ cierto grado de plast icidad. En tér-I minos generales, la resistencia se i debe a las fue rzas cohesivas en-

Íj tre átomos. En general, las fuer-j zas cohesivas e levadas están rela-1 cionadas con cons tan tes elásticas

ti grandes, puntos d e fusión eleva-| dos y pequeños coeficientes de C dilatación térmica . La figura 7-2 | muestra la variación de la fuerza f cohesiva entre dos á tomos en fun-f ción de su separación. Esta cur-tí va es el resu l tado de las fuerzas

atractivas y repuls ivas entre los ; á tomos. El espaciado interatómico cuando no hay deformación se re-1 presenta por a0. Si el cristal se somete a una carga de tracción, la

separación entre á tomos aumenta . Al aumen ta r la separación, la fuerza í repulsiva decrece m á s rápidamente que la a t ract iva , de manera que se

crea una fuerza ne ta entre á tomos que equil ibra la carga de t racción. Al aumenta r es ta últ ima, la fuerza repulsiva continúa decreciendo,

•»- ao «J / ' r-nti ! r

\ \ \ V

/ l A i separac ión / 2 entre

dtomos, x

FIG. 7-2.—Fuerza de cohesión en función de la distancia entre átomos

hal ta alcanzar un punto en el que dicha fuerza es despreciable y la fuerza atractiva disminuye a causa de la mayor separación de los áto-mos. Dicho punto corresponde al valor máximo de la curva y repre-senta la resistencia cohesiva teórica del material.

Se puede obtener una buena aproximación de la resistencia cohesiva teórica si se supone que la curva de la fuerza cohesiva puede repre-sentarse por una curva senoidal:

2iTX cr = crmix s e n - — [7-1]

en la que crnili:( es la resistencia cohesiva teórica. El trabajo realizado durante la fractura, por unidad de superficie, es el área que queda debajo de la curva:

u 0 = o"máx s e n —-— dx = [ 7 - 2 ] J 0 A IT

La energía por unidad de área requerida para producir una nueva su-perficie es 7 . Si se supone que todo el trabajo que interviene en la fractura contribuye a la creación de dos nuevas superficies, la Ec. [7-2] se puede escribir

ACTmáx _ — - — 2 y

Cr,n '; V hny A ~

[7-3]

Puesto que la ley de Hooke se cumple en la parte inicial de la curva, la tensión se puede escribir como

Fx o" = —7— [7-4]

Para eliminar A de la Ec. [7-3], tomemos la primera derivada de la Ec. [7-1]:

da- 2 7T 2-nx -7- = 0-míx — e o s - — dx A A

Puesto que eos (2irx/\) es aproximadamente igual a la unidad para los pequeños valores de x implicados, la expresión anterior se puede es-cribir

d<r 2rr - j - = c r m i x ~ [7-5 J dx A

Asimismo, se puede derivar la Ec. [7-4] para obtener

da- E dx a o

[7-6]

Igualando [7-5] y [7-6] y sustituyendo en [7-3] se obtiene la expre-sión final de la resistencia cohesiva teórica de los cristales:

E \1/2

<rm á ,= ( — [7-7] \ a0 /

Al sust i tuirse por valores razonables las cantidades que intervienen en la expresión anter ior (véase problema 7-1), se obtiene la predicción de una resistencia cohesiva del orden de 1,4 x 103 Kg/mm 2 . Este valor es de 10 a 1000 veces mayor que las resistencias a la f rac tura obser-vadas en los metales. Solamente la resistencia a la f ractura de las ba rbas de los metales, exentas de dislocaciones, se aproxima a la resistencia cohesiva teórica.

7-4. T e o r í a d e G r i f f i t h s o b r e la fractura frági l .—La pr imera explicación de la discrepancia entre la resistencia a la f rac tura obser-vada en los cristales y la resistencia cohesiva teórica fue propuesta por G r i í f i t h L a teor ía de Griffi th en su forma original solamente es apli-cable a mater ia les perfec tamente frágiles, tales como el vidrio. Sin embargo, aun cuando no se pueden aplicar directamente a los metales, las ideas de Griff i th han influido en forma decisiva en los actuales conceptos relativos a la fractura de los metales.

Griffith supuso que un material frágil contenía una población de grietas finas que producía concentraciones de tensiones de suficiente magnitud para superar a la resistencia cohesiva en regiones localiza-das, aun cuando la tensión nominal estuviese muy por deba jo del valor teórico. Cuando una de las grietas se extiende para produci r una frac-tura frágil, se produce un aumento del área de las superficies de las dos caras de la grieta. Esto exige energía para vencer a la fuerza de cohesión de los á t o m c s o, dicho de o t ra forma, requiere un aumento de la energía superficial . El manant ia l de la energía necesaria se en-cuentra en la energía de deformación elástica, que se libera cuando la grieta se ext iende. Grif f i th estableció el siguiente criterio para la pro-pagación de una gr ie ta : Una grieta puede propagarse cuando la dis-minución de la energía elástica es al menos igual a la energía necesaria para formar las nuevas superficies de grieta. Este criterio puede em-plearse para de te rminar la magni tud de la tensión de tracción que puede jus tamente hacer que una grieta de cierto tamaño se propague como f rac tura frágil.

Consideremos el modelo de grieta de la figura 7-3. El espesor de la plancha es despreciable y el p roblema se puede t ra tar como un caso de tensiones planas. Se supone que la grieta tiene una sección t r ans -versal elíptica. La grieta interior t iene una longitud 2c y la abier ta al

' A . A . G R I F F I T H : Phil. Trans. Roy. Soc. (Londres), vol. 2 2 1 A , págs. 1 6 3 -98, 1920; First Intn. Congr. Appl. Mech., Delft, 1924, pág. 55.

exterior una igual a c. El efecto de ambas clases de grietas en el com-portamiento a la f ractura es el mismo. La distr ibución de tensiones para una grieta elíptica fue de te rminada por I n g l i s D e b i d o a la for-mación de la grieta se produce una disminución de la energía de defor-

mación. La energía de deformación elástica por un idad de espesor de la plancha es igual a

U E = -77C-CT-_____ [7-8]

en d o n d e cr e s la t e n s i ó n d e t r a c c i ó n q u e a c t ú a n o r m a l m e n t e a la l o n g i t u d d e la gr ie-ta 2c. L a e n e r g í a s u p e r f i c i a l d e b i d a a la p re -s e n c i a d e la g r i e t a es

£/s = 4 ry [7-9]

La v a r i a c i ó n t o t a l d e la e n e r g í a p o t e n c i a l re-s u l t a n t e d e la c r e a c i ó n d e la g r i e t a es

AU=US+U, Í7-10]

FIG. 7 - 3 . — M o d e l o de una grieta de Griffith,

D e a c u e r d o c o n el c r i t e r i o d e G r i f f ü h , la grieta se propagará ba jo la acción de la ten-s ión c o n s t a n t e cr si u n i n c r e m e n t o i n f i n i t e s i -

mal en la longitud de la grieta no p roduce variación en la energía potencial to ta l del sistema, es decir , si el a u m e n t o de la energía super-f ic ial se c o m p e n s a p o r un d e c r e m e n t o en la e n e r g í a e l á s t i c a :

d!\U ~dc~

= 0 :

. Inca2 a

4-y = 0

2 Ey \1

17-11"

La Ec. [7-11] expresa la tens ión requer ida para que se propague la grieta en un material frágil como función del t a m a ñ o de la micro;_;rieta. Esta ecuación indica que la t ens ión de f r ac tu ra es inversamente pro-porcional a la raíz cuadrada de la longitud de la grieta. Así , p. ej., haciendo 4 veces mayor la longi tud de la grieta, la tensión de frac-tura se reduce a la mitad.

XC. E. INGLIS: Trans. Inst. Naval Architects, vol. 55, pt. I, pá?-,. 219-30, 1 9 1 3 .

En una plancha que sea gruesa comparada con la longitud de la grieta (deformación plana) la ecuación de Griffith es

r 2Ey 1W cr= - t t — n — [7-12]

L l l -v) 27TC J l j

Si el análisis es tridimensional, en el que se supone que la grieta es un esferoide m u y ap lanado l , la única diferencia es un valor d is t in to de la constante de la ecuación de Griffi th, por lo que la simplificación de considerar solo el caso bidimensional no produce un gran error .

Una forma alternativa de explicar la diferencia entre la baja resis-tencia a la f rac tura de los metales con su alta resistencia cohesiva teórica fue propuesta por Orowan 2 . Inglis demostró que la tensión en el extremo de una grieta elipsoidal de longitud 2c, con radio de curvatura p en dicho extremo, es

0*máx = 2 cr U ) " ¡ [7 .13]

en donde cr es la tensión nominal cuando no existe grieta. La agudeza de la curvatura del extremo de la grieta debe ser del orden de mag-nitud de un espaciado interatómico, p = a0. Haciendo esta susti tución en la Ec. [7-13] y combinándola con la [7-7] se obtiene una expresión para la tensión crítica que puede causar la fractura frágil, que es aná-loga a la ecuación de Gr i f í i th :

Dentro de la precisión de la estimación, esta ecuación predice el mismo valor de la tensión necesaria para propagar una grieta a través de un sólido frágil que la ecuación de Griffi th.

La teoría de Griffith predice satisfactoriamente la resistencia a la f rac tura de un material frágil tal como el vidrio3 . La Ec. [7-11] da para el vidrio razonables longitudes de grietas, del orden de 1 ¡i. Para el cinc, la teoría predice longitudes de grieta de varios milímetros, las cuales pueden a veces ser superiores al espesor de la probeta y, por tanto, en este caso no es aplicable la teoría de Griffith.

Los pr imeros experimentos sobre la fractura de fibras de vidr io most raron que se podían obtener resistencias casi iguales a la teórica en f ibras recién estiradas del material fundido. Las resistencias m á s elevadas se obtuvieron en las fibras de menor diámetro, puesto que eran estas f ibras las que habrían de tener las microgrietas más cor tas .

! R . A. SACK: Proc. Phys. Soc. (Londres), vol. 58, pig. 729, 1946. 2 E . OROWAN: Welding / . , vol. 34, pâgs. 157s-160s, 1955. 3 O. L. ANDERSON ; Criterio de Grijfith sobre la fractura del oidrio, en

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DICTER.—14

diámetro, que pueden i f t e t t r i l í resistencia, como son el método de preparación, la tem-peratura del vidrio fundido y la magnitud y velocidad de estirado a partir de ese vidrio fundido. Datos rccicntcs 1 sobre la variación de la r e s i s t e n c i a c o n el d i á m e t r o m o s t r a r o n q u e n o h a y d e p e n d e n c i a c u a n -d o s e p r e p a r a n las f i b r a s d e v i d r i o d e d i s t i n t o s t a m a ñ o s en c o n d i c i o -nes casi idénticas. En experimentos realizados con "barbas" metálicas2

se obtuvieron también resistencias a la fractura muy próximas al valor teórico. La resistencia de una barba de metal varía inversamente con el diámetro. Este tipo de dependencia con el tamaño era de esperar s u p o n i e n d o q u e la r e s i s t e n c i a s e e n c u e n t r e r e l a c i o n a d a con el n ú m e r o d e d e f e c t o s s u p e r f i c i a l e s . P o r o t r o l a d o , si la b a r b a c o n t i e n e c i e r t o n ú m e r o d e m a n a n t i a l e s d e d i s l o c a c i ó n , la l o n g i t u d de l m a n a n t i a l m á s e x t e n d i d o v a r i a r á d i r e c t a m e n t e c o n el d i á m e t r o , m i e n t r a s q u e la re-sistencia lo hará inversamente. Por tanto, no es posible decidir, a par-tir de la forma de variación de la resistencia con el diámetro, si la elevada resistencia de las barbas es debida a la ausencia de defectos superficiales o de dislocaciones.

L a r e s i s t e n c i a d e l a s f i b r a s d e v i d r i o es m u y s e n s i b l e a l o s de fec -tos superficiales. Si la superficie de una fibra recién preparada se toca con un objeto duro, la resistencia disminuye instantáneamente. La r e s i s t e n c i a d e u n a f i b r a q u e n o s e h a y a m a n e j a d o p u e d e d e s c e n d e r a un valor bajo simplemente por el efecto del ataque atmosférico, a las pocas horas de haber estirado el material fundido.

Joffe3 mostró que la resistencia a la fractura de cristales de NaCl puede aumentar mucho si el ensayo se realiza bajo agua. Este efecto Joffe se atribuye al saneamiento de las grietas superficiales por disolu-ción del cristal salino en el agua. Se ha comprobado que también la resistencia de otros cristales iónicos depende del ambiente que se en-c u e n t r e e n c o n t a c t o c o n la s u p e r f i c i e , p e r o el e f e c t o J o f f e n o p u e d e e x p l i c a r s e en e s t o s c r i s t a l e s p o r u n s i m p l e p r o c e s o d e d i s o l u c i ó n .

7-5. Modif icaciones de la t eor ía de Griff i th.—Los metales que rompen de forma frágil muestran evidentemente la existencia de una capa delgada de metal deformado plásticamente cuando se examina la superficie de fractura por métodos de difracción de rayos X 4 . En la sección 7-7 se citarán otros indicios de que la fractura frágil de los metales va siempre precedida de una pequeña proporción de deforma-ción plástica. Por tanto, parece que la teoría de Griffith, en su forma original, no es aplicable a la fractura frágil de los metales.

1 F . OTTO: J. Am. Ceramic Soc., vo l . 38, pig. 123 , 1 9 5 5 . 2 S . S. BRENNER: / . Appl. Phys., vol. 2 7 , pAg. 1 4 8 4 , 1 9 5 6 . 3 A. F . JOFFE: "The Physics of Crystals", McGraw-Hill Book Company,

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Orowan 1 ha sugerido que la ecuación de Griffith se puede hacer más compatible con la fractura frágil de los metales si se incluye en ella un término p que exprese el t rabajo de deformación plástica ne-cesario para extender las paredes de la grieta

El término debido a la energía superficial se puede despreciar, porque las estimaciones del término debido al t rabajo plástico son de 105

a 106 ergios/cm2, mientras que los valores de y son de 1000 a 2000 er-gios/cm2 . Existen algunas pruebas experimentales de que p disminuye con la temperatura.

I rwin 2 ha extendido la teoría de Griff i th a la mecánica de la frac-tura. La finalidad es encontrar un criterio de diseño para predecir la tensión a la que puede producirse una propagación rápida de la frac-tura. Se trata esencialmente de una teoría macroscópica relacionada con grietas del orden del milímetro o mayores. El factor más intere-sante es la fuerza de ampliación de las grietas, también llamada velo-cidad de liberación de la energía de deformación. La fuerza de am-pliación de las grietas § se mide en Kgm/m 2 = Kg/m, o en libras-pul-gada/pulgada 2=libras/pulgada, y es la cantidad de energía liberada en el agrietamiento de una probeta como resultado de la extensión o ampliación de una grieta que avanza una unidad de superficie. Cuando esta cantidad alcanza un valor crítico, la grieta se propagará rápida-mente. Qc es la tenacidad de fractura. Representa la fracción del tra-bajo total suministrado por el sistema, que se absorbe irreversible-mente en el f lujo plástico local y en el despegue para formar la unidad de superficie de la fractura. Gc parece ser una propiedad fundamental del material esencialmente independiente de los efectos de tamaño. En cambio depende de la composición, la microestructura, temperatura y la velocidad de carga. Los valores de Qc para el acero varían entre 100 a 600 lb/pulg, según sean la temperatura y la composición.

Para medir Qc es necesario disponer de alguna expresión matemá-tica de confianza para Q como función de las dimensiones de la grieta, de las relaciones geométricas de la probeta, de las constantes elásticas y de la tensión nominal aplicada3 . La probeta se carga hasta que se alcanza un valor de la tensión para el que una grieta inicialmente

1 E. OROWAN, en "Fatigue and Fracture of Metals", simposio en el Massa-chusetts Institute of Technology, John Wiley & Sons, Inc., Nueva York, 1950.

2 G . R. IRWIN: Naval Research Lab. Rept. 4763, mayo, 1956, se puede ob-tener de la Oficina de Servicios Técnicos, PB 121224; G. R. IRWIN, J. A. KIES y H. L. SMITH: Proc. ASTM, vol. 58, págs. 640-60, 1958.

} E n el ASTM Bulletin, enero y febrero de 1960, se presentan procedi-mientos detallados para medir Qc en tracción. D. H. WINNE y B. H. WUKDT : Trans. ASME, vol. 80, pág. 1643, 1958, han dado métodos que emplean pro-betas de flexión con entalla y un disco que gira a alta velocidad.

presente se propaga rápidamente. El valor calculado de Q para estas condiciones es igual a Qc. Para una grieta de longitud 2c en una plan-cha infinitamente ancha, la relación entre la tensión y <?, está expresada por

EQ \

Comparando la Ec. [7-16] con la ecuación modificada de Griff i th [7-15] se observa que Q es análoga al té rmino de f lujo plástico p de Orowan. En la teoría original de Griffith se supone que una grieta se propaga rápidamente cuando es Q = 2y. Sin embargo, en la modificación de esta teoría por Irwin, Q es un pa rámet ro a determinar experimental-mente. Para una plancha finita de ancho L con una grieta central de longitud 2c o dos grietas de borde de longitud c, la fuerza de amplia-ción de las grietas ba jo carga de tracción es

17-17]

7-6. F r a c t u r a f r á g i l de m o n o c r i s t a l e s — S e considera que la frac-tura frágil de los monocristales está relacionada con la tensión normal resuelta sobre el plano de despegue. La ley de Sohncke establece que la fractura se produce cuando la tensión normal resuelta alcanza un valor crítico. Considerando la situación expuesta para ob tener la ten-sión cizallante resuelta de deslizamiento (Fig. 4-18), la componente de la fuerza de tracción que actúa normalmente al plano de despegue es P eos 4>, s iendo <¿> el ángulo fo rmado por el eje de tracción y la normal al plano. El área del plano de despegue es A/(cos<l>), por lo que la tensión normal resuelta para la f rac tura será

P eos ó P , , < T c ~ ~ r r , — ^ - = t c o s 2 4 > [7-18

A/( cosr/;) A

Los planos de despegue de ciertos metales y los valores de la tensión normal crítica se dan en la tabla 7-1.

Aunque la ley de Sohncke ha sido aceptada duran te veinticinco años, no está fundamen tada sobre una base experimental muy extensa. Sur-gieron dudas sobre la confianza que debería prestársele en ensayos de fractura de monocris tales de cinc a - 7 7 y - 1 9 6 0 C ' . Se observó que la tensión normal resuel ta de despegue variaba has ta en 10 veces su valor para una diferencia grande en la orientación de los cristales. Esta discrepancia con la ley de la tensión normal podr ía deberse a defor-mación plástica antes de la f rac tura , pero es difícil que es to pudiera explicarla totalmente.

1 A . DERUYTTERE y G . B . GREENOUGH : ¡. Inst. Metals, vol. 84, págs. 3 3 7 -3 4 5 , 1 9 5 5 - 5 6 .

Tensiones normales críticas para él d*sptgut de los monocristales *

Metal Red cristalina Plano de despegue Tempera-tura, *C

Ttnilón cri-tica normal,

Kg/mm*

Hierro CC (100) - 1 0 0 26 - 1 8 5 27.5

Cinc (0,03% Cd) . . . he (0001) - 1 8 5 0,19 Cinc (0,13% Cd) . . . h e (0001) - 1 8 5 0.30 Cinc (0,53% Cd) . . . he (0001) - 1 8 5 1,20 Magnesio h e ( 0 0 0 1 ) , (10T1)

( 1 0 1 2 ) , ( 1010 ) Telurio Hexagonal ( 1 0 1 0 ) 20 0.43 Bismuto Romboédr ico (111) 20 0 .32 Antimonio Romboédr ico ( 1 1 1 ) 2 0 0.66

• Datos de C. S. B A R R E T T : «Estructura de los metales», Agullar, Madrid, 1957; N. J. P E T C H : «The Fracture oí Metals», en Progrets <n Metal Phusics, vol. 5, Pergamon Press, X-td., Londres, 1954.

En la figura 7-1 se mostraron varios modos de fractura de los mo-nocristales. Los metales he ensayados en ciertas condiciones, a la temperatura ambiente o por encima de ella, solo cizallarán sobre un número restringido de planos base. La fractura puede producirse por cizallamiento (Fig. 7-1 £ ) . Es más frecuente que el deslizamiento ocu-rra sobre sistemas ajenos al plano basal, y el cristal se estrecha y estira, casi hasta un punto, antes de que se produzca la rotura . El modo usual de fractura de los cristales ccc supone una estricción producida por deslizamiento múltiple, seguida de deslizamiento sobre un juego de planos hasta producirse la rotura. El cristal se puede estirar hasta una línea como el filo de una navaja, o hasta un punto (si el desliza-miento múltiple prosigue hasta la rotura) . El mejor criterio de tensión para la fractura dúctil de los metales ccc parece ser el de la tensión cizallante resuelta sobre el plano de fractura (que es usualmente el plano de deslizamiento).

El modo de f ractura en los cristales de hierro cc depende mucho de la temperatura, la pureza, el t ratamiento térmico y la orientación del cristal1 . Los cristales situados en la vecindad del vértice [001] del triángulo estereográfico no muestran ductilidad estimable cuando se ensayan en tracción a ~196°C, mientras que los próximos a las orientaciones [111] y [011] pueden romper, estirándose hasta un filo de navaja cuando se les ensaya a la misma temperatura. Es interesante observar que la transición de fractura frágil a dúctil es muy nítida, ocurriendo dent ro de un intervalo de variación de orientación de solo 2°, aproximadamente.

1 N . P. ALLEN, B. E . HOPKINS y J. E. MCLENNAN: Proc. Roy. Soc. (Londres), íf vol. 234A, pág. 221 , 1956 .

J

¿14 MACTU*A [CAI-, 7

7-7. Aspectos metn lográf icos <1< la fractura frágil . El auge alcanzado por la teoría de Grif f i th ha ervido de natural acicate para que los metalógrafos util izaran sus m> roscopios para la búsqueda de grietas de Grif f i th en los metales. Sin e ibargo, las observaciones, hasta con los aumentos posibles en el micrc copio electrónico, no han pro-porcionado pruebas de la existencia d grietas de Griffi th en los nié-gales no deformados . En cambio, aum ¡tan cont inuamente las pruebas experimentales de la posibilidad de ; rmación de microgrietas como consecuencia de la deformación plásti i.

Hace ya bas tan tes años que se di >one de pruebas metalográf ieis de la formación de microgrietas en las inclusiones del acero por efecto de la deformación plástica. Estas mic agrietas no producen necesaria-mente f rac tura frágil, pero contribuya a la anisotropía observada en la resistencia a la f rac tura dúctil . El echo de que el acero fabricado en vacío, que tiene muy pocas inclu ones, mues t re una disminución en la anisotropía de f ractura confirm. la idea de que las microgrieias se originan en las part ículas de una s gunda fase.

Low 1 estableció una excelente co¡ elación entre deformación plás-t ica, m i c r o g r i e t a s y f r a c t u r a f r á g i l . Di n o s t r ó q u e , p a r a el a c e r o s i n ve de un t amaño de grano de te rminado ensayado a - 1 9 6 ° C , la tensión necesaria para producir f rac tura frág en tracción era la misma que la que daba lugar a fluencia en comj esión. Las microgrietas observa-das eran de solo uno o dos granos d • longitud. Se han realizado 2 es-tudios más detal lados de las condicú es necesarias para la formación de microgrietas median te el ensayo d tracción del acero suave a tem-peraturas ba jo cero cu idadosamente ontroladas . La figura 7-4 mues-tra una microgrieta típica observada m una probeta antes de que se rompiera.

La relación que existe entre la de endencia con la temperatura del límite elástico, tensión de ro tura y i ictilidad, y la formación de mi-crogrietas se ilustra en la f igura 7-5. En la región A, en las proximi-dades de la tempera tura ambiente , ina p robe ta de tracción rompe con u n a f rac tura dúctil de copa. L estricción de rotura es del 50 al 60%. En la región B es todavía el ictil la f rac tura , pero la orla ex-terna de la misma muest ra facetas c o despegue. A la t empera tura de transición J ¿ se produce el t ráns i to t • f rac tura dúctil a f ractura frágil. La existencia de la t empera tura de transición va acompañada de la caída de la estricción de ro tu ra a IM valor práct icamente nulo. A la vez, decrece g randemente la tensión de f rac tura . El tanto por ciento de granos que contienen microgriet; s aumenta con rapidez en la re-gión C, inmedia tamente por deba jo de T¿, Sin embargo, también se encuent ran microgrietas por encima de T¿. Por tanto , se produce la

1 J. R. Low: I.U.T.A.M. Coloquio de Madrid, "Deformation and Flow of Solids", päg. 60, Springer-Verlag OHG, Berlin, 1956.

2 G . T . H A H N , W . S . O W E N , B . L . AVERBACH Y M . C O H E N ; Wcldin: /., vol. 38, pdgs. 367 y sgs., 376 y sgs., 1959.

transición cuando aparecen las condiciones adecuadas para que las mi» crogrietas crezcan y se transformen en una fractura que se propaga. La iniciación de microgrietas no es criterio suficiente para la fragilidad de la fractura. Las microgrietas solo se producen en regiones que su-fren deformación discontinua por haber estado sometidas a cargas más grandes que el l ímite elástico superior. Cuando la temperatura cae dentro de la región C, baja eventualmente la tensión de fractura a un valor igual al límite elástico inferior. En la región D el límite elástico inferior y la tensión de fractura (resistencia a la tracción) son prácti-camente iguales. La fractura se produce en el límite elástico inferior

FIG. 7-4.—Microgrietas producidas en el hierro por deformación en tracción a - 1 4 0 ° C . 250 aumentos. (Por cortesía de G. T. Hahn.)

después que el material ha experimentado alguna fluencia discontinua. La tensión de f ractura aumenta porque el límite elástico aumenta tam-bién al disminuir la temperatura. En la región E se produce brusca-mente el despegue, antes de que haya habido tiempo para que se pro-duzca fluencia discontinua. Es presumible que la fractura se produzca a part i r de la primera huella de fluencia discontinua. Finalmente, a temperaturas muy bajas, en la región F, la fractura se inicia por ma-clado mecánico. Las maclas mecánicas se observan a tempera turas tan altas como Tit pero solamente en la región F pueden ser el origen de iniciación de la fractura.

Los experimentos detallados, como los anteriores, demuest ran que las grietas responsables de la fractura frágil de despegue no están inicialmente presentes en el material, sino que son producidas por la deformación. El hecho de que, a temperaturas apropiadas, exista un

.Jmerif ' lpreetjf f ic de microgrietas indica que las condiciones de- lnl-dación de una grieta no son las mismas que las de propagación de dicha grieta. El proceso de la f ractura por despegue puede conside-rarse como la resultante de otros t res : 1) deformación plástica, 2) ini-ciación de la grieta y 3) propagación de la misma.

La mayoría de las f rac turas frágiles son t ransgranulares . Sin em-bargo, si los l ímites de grano contienen una película de const i tuyente

en 2 o

* ? .8. o o u c <* S o o c t o o I_ o. en

tensión de rotura

' límite elástico aparente superior

- 100

-estricción c -o

microgrietas

a

S e P N

- o

temperatura, °C

Fie. 7-5.—Dependencia con la temperatura de la tensión de rotura, el límite elástico y la frecuencia de las microgrietas en el acero suave. (Se-g ú n G. T . H A H N , W . S . OWEN , B . L. AVERBACH y M . COHÉN : Welding / . ,

vol. 38, pág. 372, 1959.)

frágil, como ocurre en un acero inoxidable austenít ico sensibilizado o en las aleaciones de molibdeno que contienen oxígeno, n i t rógeno o carbono, la fractura frágil puede ser t ransgranular . También se pro-duce fallo intergranular sin la presencia de precipi tado visible en los límites de grano. En apariencia, la segregación en los bordes de grano puede hacer disminuir la energía superficial lo suficiente para provocar el fallo intergranular. La fragilización producida por la adición de antimonio al cobre y de oxígeno al hierro, y la fragilidad de revenido de los aceros aleados son buenos ejemplos.

Algunas veces se obtiene una cantidad considerable de información

mediante examen de las superficies de la fractura a aumentos rela-tivamente elevados. Este tipo de examen es lo que se conoce como fractografíaA grandes aumentos, las fracturas transgranulares de despegue presentan un gran número de escalones de despegue y un "esquema fluvial" de microgrietas ramificadas (Fig. 7-4). Esto indica la absorción de energía por deformación local. Las superficies de frac-tura frágil intergranular son mucho más lisas, en general con ausencia

FIG. 7-6.—Escalones de despegue y esquema "fluvial" de una superficie de despegue.

de escalones de despegue. Del aspecto de la superficie de fractura se deduce que la energía absorbida en la fractura intergranular es mucho más pequeña que en la transgranular.

7-8. Teorías de dislocaciones para la fractura.—Fue Zener2 el primero que lanzó la idea de que las elevadas tensiones producidas en la cabeza de un apilamiento de dislocaciones podrían producir fractura. La tensión cizallante que actúa sobre el plano de deslizamiento aplasta las dislocaciones unas contra otras. Para un cierto valor crítico de la tensión, se comprimen tanto las dislocaciones de la cabeza del apila-miento que coalescen en una grieta embrionaria o cavidad de dislo-

1 C. A. ZAPPFE y C. O. WORDEN: Trans. ASM, vol. 42, págs. 577-603, 1950. 2 C. ZENER, The Micro-mechanism of Fracture, en "Fracturing of Metals".

American Society for Metals, Metals Park, Ohio, 1948.

existentes fue propuesto por F rank y R e a d 1 y se denomina común-mente manantial de Frank-Read.

Consideremos una línea de dislocación DD' en un plano de desli-zamiento (Fig. 6-15 a) que es el de la figura. La línea de dislocación abandona el plano de deslizamiento en los puntos D y D', de manera que queda inmovilizada en estos pun tos . Esto podría ocurrir si D y D' fueran nodos en los que la dislocación en el. plano del papel cortase a

rb

Tb i * »

/ V

(¿> )

-rb

< ¿ > ( e )

Fie. 6-15.—Representación esquemática del funcionamiento de un manantial de Frank-Read. (W. T. READ, Jr.: Dislocations in Crystals, McGraw-Hill Book

Company, Nueva York, 1953.)

otras dislocaciones s i tuadas en ot ros planos de desl izamiento o si el anclaje fuese causado por á tomos de una impureza. Si una tensión cizallante r actúa en el plano de deslizamiento, la línea de dislocación se curva y produce deslizamiento. Para una tensión determinada, la línea de dislocación t iene cierto radio de curvatura dado por la Ec. [6-15]. Se requiere el máximo valor de tensión cizallante cuando la línea curvada se convier te en un semicírculo, de manera que R tenga el valor mínimo 1/2 (Fig. 6-15 b). De la aproximación F 0,5Gb2

y de la Ec. [6-15] se deduce fáci lmente que la tensión requer ida para producir esta configuración es

Gb T ~ — r [6-28]

> F . C . FRANK y W . T . R E A D : Phys. Rev., vol . 79 , p á g s . 7 2 2 - 2 3 , 1 9 5 0 .

en la que l es la distancia entre nodos DD'. Cuando se Ü C V I la ten-sión por encima de este valor crítico, la dislocación se h a í - e inestable y se expande indefinidamente. La figura 6-15 c muestra -¿1 anillo ex-pandido que empieza a replegarse hacia a t rás sobre sí nrusino. En la figura 6-15 d la dislocación casi se ha replegado sobre sí . :msma, mien-tras que en la figura 6-15 e las dos par tes del anillo se-- han unido. Esto origina un anillo completo y reproduce la línea dfc dislocación original DD'. Al aumenta r la tensión, el anillo puede cont inuar expan-

* 'f

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\ \ . i F

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FIG. 6-16.—Manantial de Frank-Read en un cristal de silicio. 'W. C. DASH, en "Dislocations and Mechanical Properties of Crystals", John ">'>'iley & Sons,

Inc., Nueva York, 1957.)

diéndose sobre el plano de desl izamiento. La sección DD' se endereza en seguida ba jo la influencia de la tensión aplicada y de la tensión lineal, por lo que el manantial de F rank-Read se hal la entonces en condiciones de repetir el proceso. Este proceso se puede repet i r una y otra vez en cada manantial , c reando en cada una de las ocasiones un anillo de dislocación que produce el desl izamiento de un vector de Burgers a lo largo del plano de deslizamiento. Sin embargo , una vez iniciado el manant ia l este no cont inúa indef in idamente . La r e t ro ten-sión producida por el apilamiento de dislocaciones a lo largo del pla-no de desl izamiento se opone a la tensión aplicada. C u a n d o la re t ro-tensión es igual a la tensión crítica dada por la Ec. [6-28], el manan-tial deja de ser activo.

cación. Luego de analizar las tensiones en una dislocación del apila-miento, y haciendo uso del criterio de Griffith, propuso Stroh 1 la idea de que una grieta de despegue se puede formar cuando se apilan n dis-locaciones bajo la acción de una tensión cizallante resuelta TS que sa-tisface la relación

nbrs=\2y [7-19] v

en la que b es el vector de Burgers y 7 la energía superficial. La lon-gitud del plano de deslizamiento que ocupará el apilamiento está dada por

L = [7-20]

Eliminando n entre las dos ecuaciones anteriores se obtiene

12yG t t ( I - V )

[7-21]

Cuando una probeta de tamaño de grano D se ensaya en tracción, rs = cr/2 y L = D/2 . La tensión de fractura en tracción puede expre-sarse, en función del tamaño de grano, por

0 7 = 4 6Gy

7 T ( 1 •

1/2 [7-22]

Sin embargo, P e t c h 2 ha encontrado que los datos experimentales para el hierro y el acero se ajustan mejor a una ecuación del tipo

07 = 0-, +KD-" 2 ¡7-23]

Esta ecuación es muy similar a la que expresa la dependencia del lími-te elástico con el tamaño de grano.

17-24]

Esta similitud era de esperar, ya que la fluencia y la fractura frágil están íntimamente relacionadas. En ambas ecuaciones cr¡ representa la tensión de fricción que se opone al movimiento de una dislocación libre. Este término aumenta con el descenso de la temperatura de e n s a y o . L a c o n s t a n t e K d e la e c u a c i ó n d e f r a c t u r a v i e n e d a d a , a p r o -ximadamente, por la Ec. [7-22]. La constante Ky de la ecuación co-rrespondiente al límite elástico es una medida de la tensión localizada necesaria para liberar a las dislocaciones bloqueadas en un límite de

' A , N . STROH; Proc. Roy« Soc. (Londres), vo l . 2 2 3 A , pág. 404 , 1954; Phil. Mag., vol. 46, pág. 968, 1955.

2 N. J. PETCH: / . ¡ron Steel Inst. (Londres), vol. 174, pág. 25, 1953.

grano y hacer posible la continuación de la fluencia en el grano Inme-diato, por propagación de una banda de Lüders. Esta cantidad es importante en las teorías actuales de la fractura.

El hecho de que la fractura frágil pueda producirse en monocris-tales, hace pensar que se ha dado demasiada importancia, en las teo-rías actuales, al papel de los límites de grano como barreras para el apilamiento de dislocaciones. Es también dudoso que pueda producirse la concentración de tensiones necesaria, en la cabeza de un apilamiento, antes de que se produzca un deslizamiento en los granos limítrofes que elimine las tensiones al tamente localizadas. Es posible que las maclas de deformación actúen como barreras para el apilamiento de disloca-ciones. Así, p. ej., la fuerte dependencia con la orientación de la frac-tura frágil de los monocristales de hierro se puede explicar 1 sobre esta base. Aun cuando existen pruebas experimentales de que las in-tersecciones de maclas pueden iniciar la f ractura frágil2, se ha com-probado también que este tipo de fractura puede producirse en ausen-cia de maclas mecánicas. Otro mecanismo que puede dar lugar a la formación de grietas es el deslizamiento de dislocaciones sobre planos de deslizamiento secantes, de acuerdo con la hipótesis de Cot t re l l 3

(véase Sec. 6-6 y Fig. 6-9). Este mecanismo es energéticamente favo-rable para metales de red cúbica centrada y red hexagonal compacta, pero no para una red de caras centradas, lo que está de acuerdo con el hecho de que en los metales de red cúbica de caras centradas no se produce la f ractura frágil.

La consideración de los hechos conocidos relativos a la fractura, ha llevado a Cottrell y Petch, independientemente, a la conclusión de que el desarrollo que convierte una microgrieta en una f ractura auto-propagable es más difícil que la nucleación de microgrietas por las dis-locaciones en deslizamiento. El hecho de que se hayan observado mu-chas microgrietas que no se propagan, viene en apoyo de este punto de vista. Además, la nucleación de grietas por coalescencia de dislocacio-nes dependería de la tensión cizallante solamente, y no de las compo-nentes hidrostáticas de la tensión (véase Sec. 7-16). Si la propagación de microgrietas, de acuerdo con un criterio como el de Griffith, es la etapa que controla la fractura, la tensión normal a la grieta sería un factor importante. Esto daría lugar a que la fractura dependiese en gran medida de las componentes hidrostáticas de la tensión.

Utilizando el criterio de Griffith, Cot t re l l 4 ha demostrado que la tensión requerida para que una microgrieta se propague, está dada por

[7-25] nb

1 H. K. BIRNBAUM: Acta Met., vol. 7, pägs. 516-17, 1959. 2 D . HOLL: Acta Met., vol. 8, pägs. 11-18, 1960. 3 A. H. COTTRELL : Trans. Met. Soc. AI ME, vol. 212, pägs. 192-203, 1958. 4 Ibid.

donde n es el número de disl-coalescentes en la grieta y y es h valorar nb, supongamos que en tud L actúa una tensión cizallan! liante efectiva sobre el plano de donde r¡ es la resistencia de fr miento en el centro de la longitud es, aproximadamente, igual a nb. igual a la mitad del diámetro me

nb

aciones con vector de Burgers b, energía superficial de la grieta. Para n plano de deslizamiento de longi-aplicada, r «=« cr/2. La tensión ciza-

leslizamiento viene dada por r - r ¡ , ción. El desplazamiento de cizalla-L viene dada por ( T - T ¡ ) L / G , y esto i se toma L como aproximadamente i o de grano D, es

•r,)D [ 7 - 2 6 ]

La Ec. [7-24] puede escribirse < como

To = T; kyD~lt2

t é r m i n o s d e la t e n s i ó n c i z a l l a n t e

[7 -27 ]

Escribiendo la Ec. [7-25] en la f ma nbr0 = y y susti tuyendo por nb y TQ l o s v a l o r e s o b t e n i d o s en l a s c u a c i o n e s a n t e r i o r e s , r e s u l t a r á

,.)ky = Gy¡3

o la relación equivalente r 0 f c , D = Gyfi

[7 -28 ]

[ 7 - 2 9 ]

En las ecuaciones anteriores ¡3 es de la tensión cizallante máxima a torsión j3 = l , para la tracción /3 = plástico del fondo de una entalla,

Cuando las dislocaciones desli-vidad de dislocación, la resistenci, to se hace igual a cero. Por tai ecuaciones anteriores en la Ec. ( da la tensión requerida para prop

in t é r m i n o q u e e x p r e s a la r e l ac ión la t e n s i ó n n o r m a l m á x i m a . P a r a la

y p a r a la r e g i ó n con i m p e d i m e n t o 1 / 3 .

n t e s c o a l e s c e n en u n a grieta, o ca -d e f r i c c i ó n o p u e s t a al d e s l i z a m i e n -o, e f e c t u a n d o s u s t i t u c i o n e s d e l a s - 2 5 ] se l l ega a u n a e x p r e s i ó n q u e í a r u n a m i c r o g r i e t a d e l o n g i í u d D,

M ) D )

1/2

[7 -30 ]

Las Ees. [7-28] y [7-29] expresan las condiciones que limitan la for mación de grietas que se propaga desde un apilamiento de disloca-c i o n e s d e d e s l i z a m i e n t o . Si las c o n d i c i o n e s s o n t a l e s q u e el l a d o iz-q u i e r d o d e la e c u a c i ó n e s m e n o r q u e el l a d o d e r e c h o , se p u e d e f o r m a r una grieta, pero no puede desarrollarse más allá de una longitud de-terminada. Este es el caso de las inicrogrietas sin propagación. Cuan-do el lado izquierdo de la ecuación es mayor que el lado derecho, se puede producir una fractura frágil que se propaga con una ten-

sión cizallante igual al límite elástico. Por tanto, dichas ecuaciones predicen una transición de dúctil a frágil, como se mostró en la figu-ra 7-5, referente a los ensayos de tracción realizados sobre aceros suaves a temperaturas decrecientes.

Las ecuaciones que describen la transición dúctil a frágil están expresadas en términos de los siguientes factores metalúrgicos o me-cánicos: tamaño de grano, estado de tensiones, energía superficial, límite elástico, esfuerzo de fricción, y kEl parámetro ky es muy im-portante, puesto que determina el número de dislocaciones que se liberan hacia un apilamiento, cuando es activado un manantial. La tabla 7-2 ofrece algunos valores típicos de ky obtenidos de las medi-

TABLA 7-2

Valores de ky/G *

Material ! Temperatura, Material •K cm"'

Hierro 1 300 0.4 x l O - t Molibdeno 300 0,55 x l O " 4

Niobio .1 200 0.1 x l 0 - 4

Tantalio 200 0,1 x 10" 4

* A. H. COTTRELL: Trans. Met. Soc. AI1IE, vol. 212, pág. 194, 1968.

das de la tensión de fractura en función del tamaño de grano. Los valores grandes de ky indican comportamiento frágil, lo que está de acuerdo con las observaciones de que el niobio puro y el tantalio son menos propensos a la fractura frágil que otros metales con red cúbica centrada, como el hierro y el molibdeno. La Ec. [7-28] muestra que, a una temperatura constante, hay un cierto tamaño de grano que limi-ta el comportamiento entre frágil o dúctil. Esto se muestra en la figu-ra 7-7, donde, por encima de un cierto tamaño de grano, existe una ductilidad medible en la fractura. La resistencia de fricción r¡ aumenta con el descenso de la temperatura. Sin embargo, puesto que este tér-mino interviene en la Ec. [7-28] a través de su producto por D112, se puede apreciar que un metal de grano fino puede soportar valores más altos de r¡ ( temperaturas más bajas) antes de fragilizarse. Muchos de los efectos que la composición del acero produce sobre la transición de dúctil a frágil, se deben a cambios producidos en el tamaño de grano, en ky o T¡. El manganeso, p. ej., disminuye el t amaño de grano y reduce ky, mientras que el silicio produce mayor tamaño de grano y aumenta r¡.

El límite elástico aumenta al disminuir la temperatura y, de acuerdo con la Ec. [7-29], esto determina una mayor tendencia a la f ractura frágil. Si las condiciones son tales que las microgrietas n o se puedan

p r o p a g a r en el l ími t e e lás t ico a p a r e n t e , es necesa r io i n c r e m e n t a r la t ens ión en A r p a r a q u e se p r o d u z c a f r a c t u r a . D e la Ec. [7-29] se des p r e n d e q u e la t ens ión c iza l lan te necesa r i a es

CyB

E s t o p r e d i c e q u e la t ens ión de r o t u r a es una f u n c i ó n l ineal de D'1'2

q u e e x t r a p o l a a ce ro p a r a £>~1;2 = 0. La f igura 7-7 m u e s t r a que esta re-

tamaño aproximado dz grano ASTM, núm. -3 1 3 5 6

200, 1 1 ~r "'t 1

x tensión de fractura o límite elástico a deformación ái fractura

1 2 3 1 5 ^ (diámetro de grano)""2,mm"l/2

Fie. 7-7.—Efecto del tamaño de grano sobre la tensión de fractura y il límite elástico de un acero suave ensayado en tracción a - 1 9 6 n C . (J. R. Low, en Relation of Properties to Microstructure, American Society

for Metals, Metals Park, 1954.)

lación se cumple. E n l a región del t a m a ñ o d e g rano en que se pro-pagan las grietas c o m o f r a c t u r a s c o m p l e t a m e n t e frágiles, la tensión de fractura es igual a l l ími te e lás t ico . E s t a p a r t e de la cu rva extrapola a la tensión de fractura p a r a u n m o n o c r i s t a l .

Los valores altos de la energía super f ic ia l indican una mayor ten-dencia a la fractura dúctil. D e s g r a c i a d a m e n t e , es te es un fac tor que no se puede incrementar con f ac i l idad , a u n q u e existen var ias condicio-nes de medio y metalürgicas q u e p u e d e n d i s m i n u i r la energía super-ficial. La fragilización del acero c a u s a d a p o r el h id rógeno se a t r ibuye a este factor. Es to explica también la f r a c t u r a in t e rg ranu la r debida a una película fragilizante.

E s bien conocido que la presencia de una entalla p r o d u c e un im-portante aumento en la tendencia a la fractura frágil. Los compl icados

efectos de una entalla serán considerados más ampliamente en la sec-ción 7-12. El efecto de una entalla, al disminuir la relación entre la tensión cizallante y la tensión de tracción, está representado en las ecuaciones de Cottrell por la constante ¡3. La velocidad de deforma-ción o de carga no interviene de forma explícita en las ecuaciones de Cottrell. Sin embargo, para que una entalla produzca el impedimento plástico que da lugar a un valor de /3 m 1/3, es preciso que se pro-duzca en el material una fluencia local. A velocidades de deformación altas, como sucede en un ensayo de choque con entalla, la fluencia se

j t iempo dz retraso, s e g

' FIG. 7 - 8 . — T i e m p o de retraso en la iniciación del f lujo plástico del acero | suave en función de la tensión. (D. S. CLARK: Trans. ASM, vol . 48, j pág. 49, 1954.)

producirá más rápidamente. Como se indica por medio de la Ec. [7-32] de la sección siguiente, esto puede tener lugar para el mismo valor

, de TD si se aumenta la temperatura. Por tanto, aumentando la veloci-; dad de deformación se eleva la temperatura de transición.

7-9. F l u e n c i a plást ica d i f e r ida Un fenómeno importante en la fractura frágil es la fluencia plástica diferida. Cuando ciertos metales,

I sobre todo el acero suave, se someten rápidamente a una tensión cons-tante por encima del límite elástico, es necesario que transcurra un tiempo de espera antes de que se produzca la fluencia p l á s t i c a L a figura 7-8 muestra que el tiempo de espera aumenta, a tensión constan-te, con el descenso de temperatura. Para una temperatura constante,

' D . S. CLARK: Trans. ASM, vol. 46, pág. 34, 1954.

el tiempo de espera aumenta co> la disminución de la tensión. Las tensiones límites inferiores, repre ,:ntadas por las par tes horizontales de las curvas, corresponden al lín te elástico aparente superior , en los ensayos realizados a velocidades entas.

La dependencia con la tempe a tura del t iempo de espera puede expresarse por una relación expoi uncial,

í = í 0 e x — — [7-32]

donde : t = t iempo de espera ;

f 0 = u n a constante , apn a m a d a m e n t e 1 0 _ u seg; k = constante de Bol tz ; . iann;

Q{cr/cro) = energía de ac t ivad ' n dependiente de la tensión.

Cot t re l l 1 ha es t imado que Q(cr/o .), en electrón-voltios, está dada apro-ximadamente por 0,9(1 -o-/o"o)3 , londe cr es la tensión aplicada y cr0

el límite elástico. El hecho de que la f rac tura < ágil se produzca cuando la deforma-

ción plástica no puede mantene la tensión por debajo de un valor crítico, indica que debe haber ur . relación entre la fluencia diferida y la f ractura frágil. El t iempo de e ñera, lo mismo que la f r ac tu ra frágil, depende de la t empera tura . En a región de t empera tu ras donde la fractura frágil se p roduce por i t alud de dislocaciones que se des-prenden de una bar re ra y conflv 'en para fo rmar una grieta, la fluen-cia plástica diferida t iene p robab lemente la importante misión de lo-calizar el desl izamiento impidiei !o actuar a los manant ia les de dislo-cación cercanos. A temperatura: a las que el metal se f rac tura de un modo dúctil , el t iempo de espe i es tan cor to que se produce desli-zamiento a l rededor de los apilai ientos y las tensiones a l t amente loca-lizadas son disipadas por la deformación plástica. El hecho de que en los metales que tienen una transición de fractura dúctil n frágil se produce también el fenómeno de la fluencia diferida, viene en apoyo de la anterior af irmación.

7 - 1 0 . Velocidad de p r o p gación de las grietas.—La fractura frágil no se produce a menos que las grietas nucleadas se puedan pro-pagar a través del metal a alta velocidad. M o t t 2 ha real izado el aná-lisis de la velocidad de una grieta en un medio ideal elástico e isótropo. La energía elástica liberada por el movimiento de la grieta es la fuerza impulsora. Esta debe estar equi l ibrada por la energía superficial de la nueva superficie creada y la energía cinética asociada con el rápido

1 A. H. COTTRELL: Proc. Coni, on Properties Materials at High Rates of Strain, Institution of Mechanical Engineers, Londres, 1957.

J N . F. MOTT: Engineering, v o l . 165 , pdg. 16 , 1948.

desplazamiento lateral de material a c id« fík dad v de la grieta viene dada por

- M 1 — ) 17-33)

donde B es una constante y uQ= (E/p)112 es la velocidad del sonido en el material. El término cc es la longitud de una grieta de Griffith, según se ha evaluado en la Ec. [7-11], y c es la longitud real de la grieta. Cuando el valor de c es grande en comparación con cG, la Ec. [7-33] se aproxima al valor límite Bv0. La constante se ha evaluado1 para una condición de tensiones planas, resultando ser £ = 0,38. La tabla 7-3 muestra que los valores experimentales para la velocidad de la grieta en materiales frágiles, concuerda perfectamente con la predicción teórica de que la velocidad de la grieta viene dada por

v = 0,3$ví = 0 , 3 8 ( 1 ) 1/2

[7-34]

T A B L A 7 - 3

Velocidad de propagación de la fractura frágil

M a t e r i a l i Velocidad o b s e r v a d a , m/seg v/v. Referenc ia

A c e r o 1 8 0 0 0 , 3 6 *

C u a r z o f u n d i d o • . . ; 2 1 6 0 0 , 4 2 • •

F l u o r u r o d e l i t i o . . . • •••i 1 9 5 0 0 , 3 1 * * *

» T. S. ROIUUITSON: J. Iron Steel Inst. {Londres), vol . 175, pig. 361, 1953. » • H . SCHARIUN y W . S T R U T I I : Glastcch. Bcr., v o l . 1 6 , P I G . 2 1 9 , 1 9 5 8 .

" • « J . J . GILMAN, c . KNUDSEN y \ V . P . W A L S H : J . Appl. Phys., v o l . 2 9 . p&g- 6 0 1 . 1 9 5 8 .

7-11. F r a c t u r a dúc t i l—La fractura dúctil ha sido estudiada de forma mucho menos extensa que la frágil, a causa, probablemente, de que representa un problema mucho menos importante. La fractura dúctil ha sido definida, un tanto ambiguamente, como una fractura que se produce con apreciable deformación plástica total. Otra carac-terística importante de la fractura dúctil, que resultará evidente de las consideraciones previas sobre la fractura frágil, es que se produce a causa del lento desgarramiento del metal debido a un consumo con-siderable de energía. Durante los procesos a que se someten los me-tales y su utilización en diferentes clases de servicios, pueden pro-ducirse distintas clases de fracturas dúctiles. Para simplificar, en esta sección nos limitaremos al estudio de la fractura dúctil de los meta-

' D . K. R O B E R T S y A . A . W E L L S : Engineering, v o l . 1 7 8 , p á g . 8 2 0 , 1 9 5 4

IL I KT K R . — 1 5

les producida en tensión uniáxica. En el capitulo 9 se t ra tan otros as-pectos de la f ractura por t racción. La fractura dúctil en tracción es precedida usualmente por una reducción local del d iámet ro llamada estricción. Los metales muy dúct i les pueden estirarse, en realidad, has-ta una línea o punto an tes de producirse la separación. Este tipo de falla se llama, usualmente, rotura.

(ai.

cizal lamiínto \

fibroso

Fie. 7-9.—Fases de. la formación de una fractura do copa.

Las e t a p a s de l d e s a r r o l l o d e u n a f r a c t u r a d ú c t i l d e " c o p a y c o n o " se detallan en la f igura 7-9. La estricción comienza en el pun to de in-estabilidad plástica, cuando el aumen to de la resistencia causada por el endurecimiento por deformación cesa de compensar la disminución producida en el área de la sección transversal (Fig. 7-9) . Es to tiene lugar en el punto de carga máxima o a una deformación real igual al coeficiente de endurecimiento por deformación (véase Sec. 9-3 ). La formación de un cuello de estricción local introduce en la región un estado triaxial de tensiones. U n a componente hidrostática de tracción actúa en sentido longitudinal al eje de la probeta, en el cen t ro de la

región de estricción. En esta región se forman muchas cavidades pe-queñas (Fig. 7-9 b) que, bajo una deformación continua, crecen resol-viéndose en una grieta central (Fig. 7-9 c). Esta grieta crece en direc-ción perpendicular al eje de la probeta , has ta que se aproxima a la superficie de la misma. A continuación se propaga a lo largo de planos de cizallamiento s i tuados, aproximadamente , a 45° con relación al eje, fo rmando así el " cono" de la f rac tura (Fig. 7-9 d).

Cuando se observa desde arr iba la región central de la f rac tura en "copa", esta presenta una apariencia m u y fibrosa, como si los elementos individuales de la probeta se dividieran en fibras individuales que fueran est iradas has ta un punto antes de la rotura . Cuando se secciona la f rac tura longitudinalmente, la grieta central presenta un contorno en zigzag, como si se hubiera producido por desgarramiento entre di-versos agujeros. El cono externo de la f r ac tu ra es una región de ciza-l lamiento a l tamente localizado. La amplia deformación localizada ocu-rre po r desl izamiento de los granos, unos sobre otros, y porque al pro-pagarse rápidamente la f rac tura por cizallamiento, en comparación con la f rac tura f ibrosa, se produce un apreciable calentamiento localizado.

Pe tch 1 ha m o s t r a d o que la tensión de f rac tura (corregida por la estricción) para la f rac tura dúctil del hierro, depende del t amaño de grano en la misma forma que se ha hal lado para la f ractura frágil. Es to sugiere que los huecos son nucleados por apilamientos de dislocacio-nes en los l ímites de grano. Sin embargo, es muy improbable que los apilamientos de dislocaciones, suf icientemente grandes para producir cavidades, se puedan producir en metales dúctiles con red de caras centradas, como el cobre y el aluminio. En su lugar, los huecos de estos metales parecen nuclearse en par t ículas extrañas, tales como par-tículas de óxido, fases de impureza o par t ículas de segunda fase. Bajo deformación por tracción, el metal se separa de la inclusión o la in-clusión misma se f rac tura -. Incluso en metales en los que no se ob-servan part ículas de segunda fase que nneleen las grietas, parece que existen antes de la deformación singularidades nucleadoras do la frac-tura. listo se cont inua por el hecho de que la tensión de fractura y la estricción pueden ser apreciablemente menores en ensayos reali-zados perpendicularmente a la dirección original de laminación o de extrusión que en ensayos efectuados en la dirección del trabajo, incluso aunque el t r a tamien to térmico haya el iminado toda evidencia micro-es t ructural y no exista una textura cristalográfica marcada. Es posible que el t raba jo alargue estos "lugares singulares" y se produzcan más fáci lmente los huecos cuando se aplica la tensión de tracción perpen-dicularmente a su longitud.

7 - 1 2 . E f e c t o de entalla en la f ractura .—Los cambios producidos por la introducción de una entalla tienen impor tantes consecuencias

• N . I . P E T C H : Pkil Mag., ser. 8 , vol. 1 , pág. 1 8 6 , 1 9 5 6 . 2 K. E . PUTTÍCK: Pkil. Mag., ser. 8. vo l . 4, pág. 9 6 4 , 1959 .

para ta fractura d e l o s m e t a l e s . La p r e s e n c i a d e una e n t a l l a a u m e n t a r á , m u y a p r e c i a b l e m e n t e , la t e m p e r a t u r a a la c u a l u n a c e r o c a m b i a d e fractura d ú c t i l a f r ág i l . L a i n t r o d u c c i ó n d e u n a e n t a l l a d e t e r m i n a una c o n c e n t r a c i ó n d e t e n s i o n e s en el f o n d o d e la m i s m a . La f i g u r a 7-10 m u e s t r a l a d i s t r i b u c i ó n n o u n i f o r m e d e la t e n s i ó n d e t r a c c i ó n longi -t u d i n a l en u n a p r o b e t a d e t r a c c i ó n e n t a l l a d a . C u a n d o se p r o d u c e f luen-

cia en el f o n d o d e l a e n t a l l a , se r e d u c e la c o n c e n t r a c i ó n d e t e n s i o n e s . S in e m b a r -go, s e c r e a n t e n s i o n e s t r a n s v e r s a l e s y ra-d i a l e s en las p r o x i m i d a d e s d e la en t a l l a (F ig . 7 - 1 0 ) . La t e n s i ó n r a d i a l crR e s nu l a en la s u p e r f i c i e l i b r e de l f o n d o d e la en-ta l l a , a u m e n t a e n el i n t e r i o r d e la p r o b e t a y d e s p u é s d i s m i n u y e . L a t e n s i ó n t r a n s -v e r s a l crT a c t ú a e n la d i r e c c i ó n t a n g e n c i a l d e u n a p r o b e t a c i l i n d r i c a . E s t a t e n s i ó n cae d e s d e u n a l t o v a l o r en el f o n d o d e la e n t a l l a a u n v a l o r m á s b a j o en el e je de la p r o b e t a .

La a p a r i c i ó n d e e s t e e s t a d o d e t ens ión se p u e d e e x p l i c a r p o r los i m p e d i m e n t o s al f l u j o p l á s t i c o q u e i m p o n e u n a en tal la. P a r a m a n t e n e r u n e q u i l i b r i o d e f u e r z a s en u n a b a r r a e n t a l l a d a es n e c e s a r i o q u e n o a c t ú e n i n g u n a t e n s i ó n n o r m a l a las s u p e r -f ic ies l i b r e s d e la e n t a l l a . T o d a la carga de t r a c c i ó n d e b e se r s o p o r t a d a p o r el me-tal d e ! n ú c l e o d e la e n t a l l a . P o r l a n t o , a l r e d e d o r d e u n n ú c l e o d e m a t e r i a l s o m e -t i d o a i m p o r t a n t e s t e n s i o n e s e x i s t e u n a m a s a m e t á l i c a , r e l a t i v a m e n t e g r a n d e , l ibre d e t e n s i o n e s . E l n ú c l e o c e n t r a l t i e n d e a c o n t r a e r s e l a t e r a l m e n t e a c a u s a de l e f e c t o d e P o i s s o n , p e r o es r e f r e n a d o p o r el an i l lo d e m a t e r i a l l i b r e d e t e n s i o n e s q u e le ro -

d e a . L a r e s i s t e n c i a q u e o p o n e la m a s a d e m a t e r i a l l i b re d e t e n s i o n e s a la d e f o r m a c i ó n d e l n ú c l e o c e n t r a l o r i g i n a t e n s i o n e s r a d i a l e s y t r a n s -v e r s a l e s .

La e x i s t e n c i a d e t e n s i o n e s r a d i a l e s y t r a n s v e r s a l e s ( e s t a d o t r i ax i a l d e t e n s i o n e s ) e l e v a e l v a l o r d e la t e n s i ó n l o n g i t u d i n a l en el q u e se p r o -d u c e la f l u e n c i a . P a r a s i m p l i f i c a r , c o n s i d e r a r e m o s q u e la f l u e n c i a t i e n e l u g a r a u n a t e n s i ó n c i z a l l a n t e c r í t i c a rc. P a r a u n a p r o b e t a d e t r a c c i ó n s in e n t a l l a , e s t e v a l o r c r í t i c o v i e n e d a d o p o r

Fie,. 7-10.—Distribución de tensiones producida en un cilindro entallado baio car-ga uniaxial. cr¿ tensión longitudinal-, a T = tensión transversal; O-R = tensión ra-

dial.

c r L - 0

Para una probeta de tracción entallada se convierte en

<Tl-CTt

Puesto que la tensión cizallante crítica para la fluencia es la misma en ambos casos, resulta evidente de estas ecuaciones que la existencia de tensiones transversales hace necesaria una tensión longitudinal más elevada para que se produzca la fluencia. Toda la curva de fluencia de una probeta entallada se eleva, a causa de este efecto, sobre la curva de una probeta sin entalla. El valor por el que se eleva la curva de fluencia a causa de la entalla puede expresarse por medio de un fac-tor q de impedimento plástico.

El impedimento plástico difiere de la concentración de tensiones elásticas en un aspecto muy importante. De las consideraciones sobre la elasticidad se puede afirmar que la concentración de tensiones en el fondo de una entalla puede elevarse extremadamente a medida que el radio se aproxima a cero. Cuando se produce la deformación plástica, la concentración de tensiones elásticas queda reducida a un pequeño valor. Sin embargo, la deformación plástica produce un impedimento plástico en el fondo de la entalla. En contraste con las concentraciones de tensiones elásticas, independientemente de lo aguda que pueda ser la entalla, el valor del factor impedimento plástico 1 no puede exceder alrededor de 3.

Una tercera contribución importante de una entalla es la produc-ción de un aumento en la velocidad de deformación local. Mientras la entalla está aún cargada en la región elástica, la tensión aumenta con el tiempo rápidamente en un punto próximo a la entalla, a causa de la agudeza de los gradientes. Puesto que la tensión es proporcional a la deformación, es grande la velocidad de deformación elástica. Cuando se produce la fluencia, el f lujo plástico tiende a disipar las tensiones. El esquema de tensiones cambia desde uno con tensiones elásticas ele-vadas a un impedimento plástico más bajo, por lo que se desarrolla una velocidad elevada de deformación plástica cerca de la entalla.

7-13. Concep to de la curva d e f r a c t u r a . — E n capítulos anterio-res se mostró que la curva de fluencia o curva real tensión-deformación, se puede considerar que representa el límite elástico o tensión requerida para causar el f lujo plástico para cualquier valor particular de la de-formación plástica. Del mismo modo, Ludwik 2 propuso que un metal tiene una curva de tensión de fractura que indica la tensión requerida para originar la fractura en cualquier valor de la deformación plástica.

1 E. OROWAN, J. F. NYE y \V. J. CAIRNS: "Strength and Testing of Mate-rials", vol. 1, H. M. Stationery Office, londres , 1952.

2 P . L U D W I K : Z. Ver. deut. Ing., v o l . 7 1 , p a g s . 1 5 3 2 - 5 3 8 , 1 9 2 7 . .

Ludvvik sugirió, además, que la fractura tiene lugar cuando la curva de fluencia corta a la curva de fractura (Fig. 7-11). Este concepto fue aceptado ampliamente hasta después de la segunda guerra mundial y se intentaron varias determinaciones de la curva de fractura. Sin em-bargo, se descubrió que los factores básicos del mecanismo de frac-tura de los metales impiden una determinación correcta de la curva de fractura de los mismos. Desde que se hizo este descubrimiento, la idea de la curva de fractura ha perdido gran parte de su popularidad. Aún es, sin embargo, un concepto útil para obtener un esquema, cua-litativamente correcto, del fenómeno de la fractura, si se tienen en cuenta las limitaciones que se discutirán a continuación. Teniendo esto p r e s e n t e y en v i s t a d e la idea a c t u a l d e q u e en lo s m e t a l e s s o n pos ib les

FIG. 7-11.—Esquema de la intersección Fie. 7-12.—Modificación de la teoría de la curva de flujo y la curva de de Ludvvik para incluir las curvas de

fractura según la teoría de Ludwik. f ractura frágil y f rac tura de cizalla-miento.

tanto las fracturas por cizallamiento como por despegue, se emplea con frecuencia una curva de fractura diferente para cada tipo de fractura considerado, según se muestra en la figura 7-12. Las curvas de esta figura corresponden a la fractura ordinaria por tracción de un metal dúctil en el cual tiene lugar un tipo de fractura por cizallamiento. La separación entre las dos curvas de fractura y su altura relativa serán diferentes para otras condiciones. En principio se obtiene un punto de la curva de fractura por deformación plástica de una probeta hasta un punto dado de la curva de fluencia, introduciendo después parámetros fragilizantes (baja temperatura o una entalla) de modo que la probeta resulte sometida a tensión de rotura, sin necesidad de deformación adicional. Repitiendo este proceso con diferentes probetas sometidas a tensión que produzcan distintos valores de la deformación plástica, sería posible construir totalmente la curva de fractura. Sin embargo, puesto que el efecto fragilizante de una entalla está l imitado a un impedimento plástico con un valor de alrededor de 3, es generalmente más efectivo intentar evitar cualquier deformación adicional, realizan-do el ensayo a una temperatura muy baja. Esto no es posible, en rea-

lidad, con la mayor par te de los metales, puesto que, a bajas tempera-turas, se produce todavía una ligera deformación. En vista de que la fractura se inicia siempre por deformación plástica, parece que la ten-sión de f rac tura medida con ayuda de esta técnica no revela la ver-dadera resistencia del metal a la f rac tura . Además, la tensión de frac-tura para la dúcti l es muy difícil de medir con precisión a causa de que este tipo de f rac tura se inicia en el interior de la probeta y la dis-tribución de tensiones se complica debido a la estricción que se pro-duce en la probeta de tracción. Por tanto , no existe un método seguro de determinar la curva de fractura de los metales. Sin embargo, es to no impide emplear el concepto de tensión de fractura, en un sent ido cualitativo, en aquellos casos en que sea de utilidad para describir cier-tos aspectos de la f rac tura .

7 - 1 4 . T e o r í a clásica de la transición dúctil-frágil .—Tres facto-res principales est imulan la f ractura f rági l : 1 ) un es tado triaxial de tensiones, 2) una tempera tura baja y 3) una velocidad de deformación elevada. En la sección anterior se demos t ró que la presencia de una entalla origina la condición 1) y contr ibuye a la condición 3) . La t em-peratura tiene un efecto importante sobre las propiedades básicas de fluencia y f rac tura del metal . El límite elástico o tensión de fluencia aumentan en todos los metales con el descenso de tempera tura . En los metales con red cúbica de caras cen t radas en los que no hay t ran-sición dúctil-frágil, se multiplica el l ímite elástico al variar la tempe-ratura desde la ambiente hasta la del ni t rógeno líquido ( - 1 9 6 ° C ) , por un factor aprox imadamente igual a 2. En los metales con red cú-bica centrada, que presentan la transición dúctil-frágil, el l ímite elástico aumenta por multiplicación por un factor 3 a 8 sobre el mismo inter-valo de tempera tura . La figura 7-5 representa las tendencias de la tensión de f rac tura y del límite elástico con las variaciones de tem-peratura. Esta figura mues t ra también que la estricción de f ractura de una probeta de tracción disminuye ráp idamente dentro de un cor to intervalo de tempera tura . La gama de t empera tu ras en que tiene lugar esta transición recibe el nombre de temperatura de transición.

La l lamada teoría clásica de transición dúctil-frágil fue sugerida por Davidenkov y W i t t m a n n D e acuerdo con este concepto, la exis-tencia de la t empera tura de transición se debe a la diferencia en las variaciones con la t empera tu ra de las resistencias al cizallamiento y al despegue. Los valores relat ivos de estos dos parámetros determinan que la f rac tura sea dúcti l o frágil. P o r encima de la temperatura de transición se alcanza el l ímite elástico antes que la tensión de frac-tura, mien t ras que por deba jo se alcanza en primer lugar la tensión de f ractura . Los factores que aumentan la tensión de cizallamiento crítica para el deslizamiento, sin elevar al mismo tiempo la tensión de frac-

1 N . N . DAVIDHNKOV y F. W R M U N : Phus. Tech. lntt. (U.R.S.S. ) , VOL, 4, PÁG. 3 0 0 , 1 9 3 7 .

tura, serán favorables a la f rac tura frágil. La disminución de la lempe-ra tura y el aumento de la deformación producen este efecto. En la figura 7-13, la curva ero expresa la dependencia del límite clástico con la t empera tura en tracción simple. La curva <?o-0, donde q 3, expresa la dependencia del límite elástico con la tempera tura , en presencia del impedimento plástico de una vental la . La curva 07 corresponde a la re-sistencia a la f ractura o al de'spegue en función de la tempera tin a. De acuerdo con los datos disponibles, se dibuja como una función de la tempera tura menos sensible que el límite elástico. Cuando una curva de límite elástico (tensión de f luencia) corta la línea de resistencia al despegue, hay una temperatura de transición. En una probeta de trac-

FIG. 7-13.—Descripción esquemática de la temperatura de transición.

ción sin entalla esto tiene lugar a una tempera tura muy baja , pero en el caso de un ensayo con entalla, la tempera tura de transición es mu-cho más cercana a la ambiente.

Es ta visión de conjunto de la transición dúctil a frágil no se refiere a los detalles estructurales de la teoría de las dislocaciones, pero pro-porciona un modelo fácilmente comprensible del mecanismo del fenó-meno. Tal como se propuso originalmente, esta teoría clásica no atri-buye ningún efecto importante al grado de deformación. Experimentos recientes han indicado que el grado de deformación puede tener mayor importancia que el impedimento plástico en la producción de la frac-tura frágil. Felbeck y Orowan 1 f racasaron en su intento de producir f rac tura por despegue en láminas de acero, util izando como entalla grietas agudas producidas por despegue, a menos que las grietas al-canzaran una gran velocidad. En todos los casos se p roduje ron grandes

temperatura de transición temperatura de en tracción sencilla transición con entalla

temperatura —

1 FELBECK y OROWAN , o p . cit.

deformaciones plásticas en las bases de las grietas. Estos experimentos pudieron ser interpretados al considerar que el límite elástico se eleva hasta el valor de la tensión de fractura, no a causa del impedimento plástico, sino por el efecto producido por la alta velocidad de defor-mación en el aumento del límite elástico. Es difícil separar estos dos efectos y sería muy importante realizar experimentos adicionales. Sin embargo, es interesante advertir que, en un acero suave, el límite elás-tico es muy sensible al grado de deformación. También se explica el gran aumento en la temperatura de transición que se observa al realizar un ensayo de resiliencia, teniendo en cuenta que la velocidad de defor-mación es alrededor de 107 veces mayor que en el ensayo de tracción ordinario.

7 -15. Fractura producida por tensiones combinadas.—La con-sideración fenomenológica de este problema, en relación con la frac-tura, trata de descubrir las leyes macroscópicas generales que descri-ben la fractura de los metales bajo todos los estados de tensiones po-sibles. Esta misma consideración se discutió en el capítulo 3, con re-lación a la predicción de la fluencia bajo estados complejos de tensio-nes. La determinación de las leyes generales de la resistencia mecánica de los metales a la fractura es un difícil problema a causa de la sen-sibilidad de la fractura a la deformación plástica precedente y a la temperatura. En principio podemos concebir una superficie de frac-tura tridimensional función de las tres tensiones principales o"i, cr2 y cr3. Cualquier combinación de tensiones principales producirá la fractura cuando se alcance la superficie límite. Se ha realizado experimentación suficiente para comprender que la superficie de fractura no puede ser rígida, sino que, por el contrario, debe considerarse como una mem-brana flexible que cambia de forma con las variaciones de la tensión y con la historia de la deformación.

La mayor parte de la experimentación realizada en este campo se ha llevado a cabo en estados biaxiales de tensión, en los que una de las tensiones principales es cero. Para este t ipo de experimentación se usan ordinariamente probetas tubulares en las cuales se superpone-una carga axial de tracción o de compresión a la tensión tangencial producida por una presión interna. Para obtener resultados exactos de-ben evitarse estricciones o abarrilamientos durante las últimas etapas del ensayo. Esto dificulta la obtención de da tos correctos cuando se ensayan metales muy dúctiles.

La figura 7-14 presenta el criterio más frecuentemente propuesto para la fractura bajo un estado biaxial de tensiones. El criterio de tensión cizallante máxima y el de Von Mises, o criterio de la energía de distorsión, ya se han considerado previamente en la discusión del criterio de fluencia. El criterio de tensión normal máxima propone que la fractura es controlada únicamente por la tensión principal más im-portante. La información disponible sobre los metales dúctiles, tales

como las aleaciones de aluminio y las de magnes io 1 y el acero 2 , indica que el criterio de tensión cizallante máxima para la iraetura está más acorde con la experiencia. La concordancia entre la experiencia y la práctica no es tan buena como en el caso de los criterios de fluencia. El criterio de fractura para una fundición de hierro f rág i l 3 se presenta en la figura 7-15. Es de advert ir que en la región de tracción-tracción se sigue el criterio de tensión normal y que la resistencia mecánica a la fractura aumenta significativamente cuando una de las tensiones prin-cipales se hace compresiva. Existen dos t eo r í a s 4 ' 5 que consideran la concentración de tensiones en las láminas de grafito de la fundición de hierro, concordantes con los da tos sobre la f ractura. Estos datos

tí>n<irtn nnrmnl

Fio. 7-14.—Criterio de fractura pro- FIG. 7-15.—Criterio biaxial de frac-puesto para el estado biaxial de ten- tura para la función de hierro frágil

siones en metales dúctiles.

están también sustancialmente de acuerdo con la curva de fractura pronosticada por la teoría de Gr i f f i th sobre la f rac tura frágil.

7-16. Efec to de una pres ión hidroslát ica elevada sobre la frac-tura.—El t rabajo de Bridgman 6 sobre el efecto de una presión hidros-tàtica superpuesta sobre las caracter ís t icas de f rac tura de los metales ha producido muy diversos e in teresantes resultados. Estos resul tados han demost rado también que la f rac tura es un fenómeno complejo que,

1 J. E. DORN: "Fracturing of Metals" , American Societv for Metals, Metals Park, Ohio, 1948.

2 E. A. DAVIS: J. Appl. Mech., vol. 12, pans. A13-A24. 1945. 3 W. R. CLOUGH y M. E. SHANK: Trans. ASM, vol. 49, pdgs. 241-6.:. 1957. 4 L. F. COFFIN, Jr.: / . Appl. Mech., vol. 17, päg. 233, 1950. 51- C. FISHER: ASTM Bull, 181, pdg. 74, abri), 1952. 6 P. W. BRIDGMAN: "Studies in Large Plastic Flow and Fracture" , McGraw-

Hill Book Company, Inc.. Nueva York, 1952.

en muchos casos, no puede explicarse por el sencillo criterio expuesto en la sección anterior.

Bridgman sometió a ensayo probetas metálicas superponiendo una presión hidrostática de 31 500 Kg/cm2 a una tensión de tracción axial. Estas condiciones extremas produjeron un gran aumento de la ductili-dad en la fractura. La deformación en el punto de fractura fue unas 300 veces mayor cuando el acero suave fue roto con presión hidrostá-tica superpuesta que cuando se realizaron los ensayos con carga uni-axial únicamente. En los materiales que, bajo condiciones ordinarias, son completamente frágiles, como la piedra caliza o la sal gema, se produce realmente una estricción cuando se someten a tracción con presión hidrostática superpuesta. También se halló que si una probeta de tracción se sometía- a una presión superpuesta hasta un punto pró-ximo a la fractura y se ensayaba después a la presión atmosférica, experimentaba mayor deformación antes de producirse la fractura, in-cluso cuando el alargamiento bajo presión hubiese sido mayor del que el metal podría soportar en ensayos ordinarios realizados a la presión atmosférica. Además, la deformación necesaria para producir fractura después de cesar la presión hidrostática, aumenta con el incremento de la magnitud de la presión. Estos hechos indican que, en general, la fractura no está determinada totalmente por el estado de tensión o por la deformación instantáneos. Bridgman no pudo hallar ninguna función de tensiones sencilla que describiera los resultados por él ob-tenidos.

B I B L I O G R A F I A

AVERBACH, B . L . ; D . K . FELBECK, G . T . H A H N y D . A . THOMAS ( e d s . ) : " F r a c -

ture", Technology Press and John VViley & Sons, Inc., Nueva York, 1959. BARRETT, C. S.: Metallurgy at Low Temperatures, Campbell Memorial Lectu-

re, 1956, Trans. ASM, vol. 49, págs. 53-117, 1957. "Fracturing of Metals", American Society for Metals, Metals Park, Ohio, 1948. OROWAN, E. : Fracture and Strength of Solids, Repts. Progr. in Phys., vol. 12,

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PETCH, N. J.: The Fracture of Metals, en "Progress in Metal Physics", vol. 5, Pergamon Press, Ltd., Londres, 1954.

STROH: A. N . : Advances in Phys., vol. 6, págs. 418-65, 1957.

CAPITULO 8

F R I C C I O N I N T E R N A

8-1. Introducción.—La capacidad que posee un sólido vibrante, completamente aislado de sus alrededores, para convertir en calor su energía mecánica de vibración, se llama fricción interna o capacidad de amortiguamiento. El primero de ambos términos es el preferido por los físicos, usándose el segundo, generalmente, en ingeniería. Si los me-tales se comportaran como materiales perfectamente elásticos frente a tensiones inferiores al límite elástico nominal, no existiría la fricción interna. Sin embargo, el hecho de que se puedan observar efectos de amortiguamiento a niveles de tensión muy por debajo del límite elásti-co macroscópico, indica que los metales tienen un límite elástico real muy bajo, si es que verdaderamente existe alguno. Los efectos de la fricción interna o amortiguamiento corresponden a un retraso de fase entre la tensión aplicada y la deformación resultante. Esto puede de-berse simplemente a la deformación plástica producida en los niveles altos de tensión, o a reorganizaciones térmicas, magnéticas o atómicas cuando ocurre en los niveles de tensión bajos.

Una división importante del campo del comportamiento no elásti-co es la llamada anelasticidad. Este tema trata de los efectos de la fricción interna independientes de la amplitud de vibración. El com-portamiento anelástico puede deberse a la difusión térmica o atómica, a la r e l a j a c i ó n d e t e n s i o n e s a t r a v é s de los l í m i t e s de g r a n o , a la o r d e n a c i ó n i n d u c i d a p o r la t e n s i ó n y a l a s i n t e r a c c i o n e s m a g n é t i c a s . C i e r t o s e f e c t o s e s t á t i c o s , t a l e s c o m o el e f e c t o e l á s t i c o d i f e r i d o , e s t á n relacionados con el comportamiento anelástico. La fricción interna re-sultante de la deformación en frío depende fuertemente de la ampli-t u d y, p o r t a n t o , n o es u n f e n ó m e n o a n e l á s t i c o . U n a g r a n p a r t e de l c o n o c i m i e n t o a c t u a l de l m e c a n i s m o d e la a n e l a s t i c i d a d se d e b e a Zener 1 y sus colaboradores.

Los estudios sobre fricción interna están relacionados principalmen-te con el empleo del amort iguamiento como medio para estudiar la estructura interna y los movimientos atómicos en los sólidos. El mé-todo ha proporcionado información sobre difusión, ordenación y solu-bilidades de elementos intersticiales y se ha empleado para estimar la densidad de dislocaciones. Las amplitudes de vibración empleadas en esta clase de trabajo son usualmente muy pequeñas, y las tensiones

1 C. ZENER: "Elasticity and Anelast ici ty", Universitv of Chicago Press, Chicago, 1948.

muy ba j as. Ot ro aspecto de este campo es la determinación de datos tecnológicos preferentes a la disipación de energía en miembros vibran-tes. Este t raba jo está relacionado corr ientemente con la determinación de la capacidad de amort iguamiento de un mater ia l en las ampli tudes relat ivamente grandes que se producen en la práctica de la ingeniería.

La fricción interna se mide por medio de diversas técnicas El artificio más sencillo es un péndulo de torsión para la región de ba jas frecuencias, de a l rededor de un ciclo por segundo. Para obtener medi-das con más al tas frecuencias se excita la probeta por medio de una fuerza electromagnética, un cristal piezoeléctrico o energía ultrasónica.

8-2. Descripción fenomenològica de la fricción interna.—Para que la fricción in terna disipe la energía, la deformación debe retrasarse con respecto a la tensión aplicada. Como medida de la fricción interna puede emplearse el ángulo de defase a :

a ^ - í L [8-1] Él

donde Í{' = componente no elástica de deformación defasada 90° con la

tensión ; 6i = deformación elástica en fase con la tensión.

La fricción in terna se mide f recuentemente util izando un sistema al que se imprime un movimiento de una ampl i tud determinada, A0, que después se deja decaer l ibremente. La ampl i tud en cualquier momento , A„ puede expresarse por la ecuación

¿, = A 0 e x p (~/3t) [8-2]

donde (3 es el coeficiente de atenuación. La fricción interna, o capaci-dad de amort iguamiento , se define corr ientemente como el decremento logarítmico 8. El decremento logarí tmico es el logaritmo de la rela-ción de dos ampl i tudes sucesivas

6 = l n - ^ L . [8-3]

Si la fricción interna es independiente de la amplitud, la representa-ción de In A en función del número de ciclos de vibración es lineal y la pendiente de la curva dará el decremento . Si el amortiguamiento de-pende de la ampl i tud , el decremento viene dado por la pendiente de la curva en un pun to de ampli tud convenida. El decremento logarítmico está relacionado con el ángulo de defase por

S = 7RA [8-4]

1 C. WERF: " M o d e r n Research T e c h n i q u e s in Physical Metallurgy", pági-nas 225-50, A m e r i c a n Society fo r Metals , Meta ls Park, Ohio, 1953.

2 ) 8 FRICCION INTERNA

Para una condición de vibración forzada, en la cual la probeta se man-tiene oscilando con amplitud constante, la disminución relativa de la energía de vibración por ciclo es una medida de la fricción interna. La energía de vibración es proporcional al cuadrado de la amplitud, por lo que el decremento logarítmico puede expresarse por

donde AW es la pérdida de energía por ciclo y W la energía de vibra-ción al comienzo del ciclo. En un experimento del tipo de vibración

forzada, se acostumbra determi-nar una curva de resonancia, como la de la figura 8-1. El decremento logarítmico para una curva de re-sonancia viene dado, aproximada-mente, por

7r(anchura de banda)

' Ir

fr

18-61

frecuencia

Fíe. 8-1.—Curva de resonancia.

la Q del circuito, se ha adoptado fricción interna:

U n a m e d i d a d e la f r i c c i ó n in t e r -na f r e c u e n t e m e n t e u t i l i z a d a es Q, s i e n d o Q = ir/8. P u e s t o q u e en la t e o r í a d e l o s c i r c u i t o s e l é c t r i c o s la r e c í p r o c a d e e s t e v a l o r se l l ama

I s í m b o l o Q ~ x c o m o m e d i d a d e la

h-U ~ 7 "

[8-7]

Bajo condiciones de excitación cíclica, el módulo elástico dinámico será mayor que el estático a causa de la fricción interna no elástica. El módulo, bajo condiciones dinámicas, se denomina frecuentemente módulo elástico sin relajación, E,„ mientras que el módulo estático re-cibe la denominación de módulo relujado, ER. El módulo sin relaja-ción viene dado por

7' f 8-8]

donde e (£ es el componente elástico y e¡p es el componente de defor-

mación plástica en fase con la tensión. El hecho de que el módulo elástico dinámico sea mayor que el estático se llama efecto AE,

Se han propuesto distintos modelos para describir el comporta-miento no elástico de los materiales. Los modelos sugeridos por Volght1

y Maxwell 2 son los más utilizados. Ambos modelos consideran que el material tiene un componente elástico acoplado a un componente vis-coso. Según esta teoría, el comportamiento de un material es compa-rable al de un modelo mecánico compuesto de muelles (componente elástico) y amortiguadores (componente viscoso). La figura 8-2 detalla la composición de un sólido de Voight y Maxwell, junto con las ecua-ciones predichas por los modelos. Para los metales reales la depen-

sólido de Voight sólido de Maxwell

oc= —u a.- —

¡x - ángulo da desfase w-2wt

r¡ - coeficiente de viscosidad e = — at ¿1 = módulo dinámico

FIG. 8-2.—Modelos de muelles y amor-tiguadores para los sólidos de Voight

y Maxwell.

tiempo -*•

Fig. 8-3.—Variación con el tiempo de la tensión y la deformación de los ma-teriales anelásticos, observándose el

efecto elástico diferido.

d e n c i a d e la f r e c u e n c i a d e la f r i c c i ó n i n t e r n a n o c o n c u e r d a c o n l a s e c u a -c i o n e s p r e d i c h a s p o r l o s m o d e l o s . A d e m á s , l o s m o d e l o s n o e x p l i c a n la d e p e n d e n c i a e n t r e el m ó d u l o d i n á m i c o y l a f r i c c i ó n i n t e r n a q u e s e o b -s e r v a en los m e t a l e s r e a l e s . Se h a n p r o p u e s t o v a r i a s m o d i f i c a c i o n e s d e los m o d e l o s q u e h a n s i d o d e u t i l i d a d p a r a e l e s t u d i o d e l a s p r o -p i e d a d e s m e c á n i c a s d e l o s p o l í m e r o s , p e r o q u e f a l l a n a l t r a t a r d e l o s m e t a l e s .

8-3. Anelast ic idad.—Se dice que un cuerpo no elástico se com-p o r t a a n e l á s t i c a m e n t e c u a n d o la t e n s i ó n y la d e f o r m a c i ó n n o s o n f u n -ciones unívocas la una de la otra, y la fricción interna es independiente de la amplitud. Una manifestación de esto es el efecto elástico diferi-do. Consideremos un metal sujeto a una tensión constante a un nivel muy inferior al límite elástico convencional (Fig. 8-3) . Las deforma-

1 W. V O I G H T : Ann. Physik, vol. 47, pág. 6 7 1 , 1 8 9 2 . 2 J . C . M A X W E L L : Phil. Mag., vol. 3 5 , pág. 1 3 4 , 1 8 6 8 .

240 FRICCION INTERNA [CAP. 8

c i o n e s i m p l i c a d a s p u e d e n s e r d e l o r d e n d e 10~5 , p o r lo q u e s e p r e c i s a n m e d i d a s m u y s e n s i b l e s . D e s p u é s d e u n a d e f o r m a c i ó n in ic ia l i n s t a n t á n e a se p r o d u c i r á u n a f l u e n c i a g r a d u a l en el m e t a l h a s t a q u e la d e f o r m a c i ó n a l c a n c e u n v a l o r e s e n c i a l m e n t e c o n s t a n t e . E s t o se p u e d e o b s e r v a r en m u c h o s m e t a l e s a t e m p e r a t u r a a m b i e n t e , a u n q u e el e f e c t o es m a y o r a t e m p e r a t u r a s m á s a l t a s . C u a n d o c e s e la t e n s i ó n d i s m i n u i r á la d e f o r -m a c i ó n , p e r o q u e d a r á a l g u n a d e f o r m a c i ó n r e m a n e n t e q u e i r á d e s a p a -r e c i e n d o l e n t a m e n t e c o n el t i e m p o , a p r o x i m á n d o s e al v a l o r in ic i a l . Es ta d e p e n d e n c i a c o n el t i e m p o d e las d e f o r m a c i o n e s en la c a r g a y d e s c a r g a es lo q u e se h a l l a m a d o e f e c t o e l á s t i c o d i f e r i d o .

A l c o n s i d e r a r la r e l ac ión t e n s i ó n - d e f o r m a c i ó n p a r a un m a t e r i a l an-e l á s t i co , e s m a n i f i e s t o q u e una r e l ac ión l inea l c o n s t a n t e e n t r e es-t o s d o s f a c t o r e s n o d e s c r i b i r á la s i t u a c i ó n a d e c u a d a m e n t e . Igua lan -d o la t e n s i ó n y su p r i m e r a der i -v a d a c o n r e s p e c t o al t i e m p o , a la d e f o r m a c i ó n y a la v e l o c i d a d de d e f o r m a c i ó n , se o b t i e n e u n a re la-c ión r e a l i s t a

diCT+ /)2( [8 -9]

Un m a t e r i a l q u e se a d a p i . i a e s t e t ipo d e e c u a c i ó n r e c i b e el n o m b r e de sólido lineal tipo. 1:1 m o d e l o m e c á n i c o d e e s t e m a t e r i a l se m u e s -t ra en la f i g u r a 8-4. E s d e a d v e r -

t i r q u e la d e p e n d e n c i a d e la d e f o r m a c i ó n con el t i e m p o r e p r o d u c e fiel-m e n t e el c o m p o r t a m i e n t o d e un m a t e r i a l c o n e f e c t o c l á s t i c o d i f e r i d o . La e c u a c i ó n g e n e r a l p a r a un s ó l i d o l ineal t i p o p u e d e r c e s c r i b i r s e con la i n t e r v e n c i ó n d e t r e s c o n s t a n t e s i n d e p e n d i e n t e s :

o- + T,&=r-EK(e + Tné) [ 8 -10 ] d o n d e :

r £ = t i e m p o d e r e l a j a c i ó n d e la d e f o r m a c i ó n p a r a t e n s i ó n cons -t a n t e ;

r f f = t i e m p o d e r e l a j a c i ó n d e la t e n s i ó n p a r a d e f o r m a c i ó n c o n s -t a n t e ;

ER = m ó d u l o e l á s t i c o r e l a j a d o .

La r e l a c i ó n e n t r e l o s t i e m p o s d e r e l a j a c i ó n y l o s m ó d u l o s r e l a j a d o y s in r e l a j a r v i e n e d a d a p o r

t iempo

tiempo

FIG. 8 - 4 . — M o d e l o mecánico del só l ido tipo lineal y variación correspondiente con el tiempo de la tensión y la defor-

mación.

ER T

"SEC. 8- ÂNILAITICIDAD

Una combinación sin dimensiones de las constantes elásticas, llamada resistencia de relajación, es una medida de la relajación total

E5 = EU — ER

</ EUER [8-12]

Para un sólido lineal tipo solo hay un t iempo de relajación simple r = (TC +T„)/2. El ángulo de defase, sobre la base de este modelo, viene dado por la siguiente ecuación 1 :

a ^ E , — ^ . [8-13] 1 + CO-T1

donde G> = 2Trf es la frecuencia angular de vibración. La Ec. [8-13] es simétrica en w y r y tiene un máximo cuando <wr = l . Por tanto, en un material que se compor ta como un sólido lineal anelástico se producirá una fricción interna máxima a una frecuencia angular que es la recí-proca del t iempo de relajación del proceso que origina la relajación.

Experimentalmente, es con frecuencia difícil variar la frecuencia angular en un factor que sea muy superior a 100. Por ello, generalmente lo que se hace es determinar el espectro de relajación conservando cons-tante a> y variando el t iempo de relajación r . En muchos materiales, incluidos los metales, r varía exponencialmente con la temperatura, de modo que

- = To exp [8-14]

Por tanto, para de terminar el espectro de relajación, se requiere me-dir a en función de la temperatura para una frecuencia angular cons-tante.

Las medidas de la fricción interna son muy adecuadas para estudiar la difusión de á tomos intersticiales en los metales con red cúbica cen-trada. Los máximos de relajación se producen a causa de la difusión de á tomos intersticiales hacia posiciones de energía mínima en les cam-pos de tensión de las dislocaciones. Para una frecuencia dada , el t iem-po de relajación se expresa por r = 1/co, y el máximo se producirá a una tempera tura T¡. Para otro valor de la frecuencia, el máximo de relajación se produci rá a una tempera tura T2. La energía de activación AH se puede de te rminar a partir de la dependencia con la temperatura del t iempo de relajación (Éc. [8-14])

ÁH = R ln (fi/U) i / r , - i / r 2

[8-15]

1 A. S. NOWICK: Internal Friction in Metals, en "Progress in Metal Physics", vol. 4, pigs. 15-16, Pergamon Press, Ltd., Londres, 1953. ntETKIl, —16

t iempo de relajación dado, el coeficiente de difusión de los Atomos intersticiales viene dado por

D-36 r [ 8 - 1 6 |

d o n d e c0 es el e spac iado i n t e r a tòmico . La dependenc i a e n t r e D y la temperatura viene dada por

^ ^ A H D = Da exp - [ 8-17]

8-4. Espectro de re lajac ión.—En los metales pueden producirse múltiples procesos de relajación con t iempos diferentes. Cada uno de ellos tendrá lugar en un intervalo de frecuencia diferente, por lo que se puede hallar un número de máximos de fricción interna cuando se investiga una amplia gama de frecuencias. Siempre que los máximos estén suf icientemente separados, el compor tamien to del metal en la región del máximo puede expresarse por medio de la Ec. [8-10] con constantes convenientemente de terminadas . Esta variación de la fric-ción interna con la frecuencia puede considerarse como un espectro de relajación que es característ ico de un material de terminado.

La aplicación de tensión a una solución sólida de susti tución puede producir ordenación en la dis t r ibución de á tomos que, de otro modo, sería desordenada. Una tensión a l te rna puede originar relajación entre pares de á tomos de soluto.

Por la relajación de la tensión de cizallamiento a t ravés de los lími-tes de grano se produce un máximo impor tan te en la fricción interna en las mues t ras policristalinas. El t r aba jo desarrol lado en este campo ha llevado a la conclusión de que los l ímites de grano se comportan en c i e r to m o d o c o m o u n ma te r i a l v iscoso . E s t e i n t e r e s a n t e aspec to de la fricción interna se discute más ampl iamente en la sección siguiente. El movimiento de los límites de macla de baja energía debido a ten-siones produce, según se cree, efectos de relajación '. Este tipo de deformación es también responsable de los efectos anelásticos hallados en conjunción con el movimiento de los límites de los dominios, que se produce en los materiales ferromagnét icos . Pues to que ias interca-ras de macla son cr is talográficamente límites coherentes, la fricción in-t e rna n o p u e d e debe r se al d e s l i z a m i e n t o v iscoso a soc i ado a los l ími tes incoherentes.

El máximo de relajación debido a la ordenación preferente de los átomos intersticiales en la red, c o m o consecuencia de una tensión apli-cada, es uno de los procesos de relajación mejor comprendidos. Los

' F . T . W O R R E L L : / . Appi Phys., voi. 19, pág. 9 2 9 , 1 9 4 8 , voi. 2 2 , pás. 1 2 5 7 , 1 9 5 1 .

estudios efectuados sobre este proceso de relajación han proporcio-nado información sobre la solubilidad y difusión de átomos intersti-ciales. En la sección 8-6 se considera este t ipo de fricción interna.

8-5. Re la jac ión de los l ími te s de grano.—La relajación dé ten-í sión que se p roduce a lo largo de los l ímites de grano es una fuente j importante de fricción interna. Ke 1 demostró , por medio de experimen-¡ tos realizados sobre a lambres de aluminio de alta pureza, la existencia i de un importante máximo de fricción in terna debido a la relajación

! Fie. 8-5.—Variación de la fricción interna con la temperatura en probetas mono ' y policristalinas de aluminio. (T. S. KE: Phys. Rev., vol. 71, pág. 533, 1947.')

del límite de grano. A las pequeñas deformaciones torsionales utilizadas I en este t raba jo , la deformación fue comple tamente recuperable y to-

dos los efectos de fr icción in terna fueron independientes de la amplitud. Ke halló que en el a luminio policristalino aparecía un máximo ancho en la región de los 300 °C, mientras que en los monocristales de alu-minio no se observó ningún máximo de fr icción interna . (Fig. 8-5). Además, las medidas del módulo (que es proporcional al cuadrado de la frecuencia) real izadas a diferentes tempera turas , presentaron una caída muy pronunc iada en la probeta policristalina, la cual no se evi-

} denció en la probeta monocris tal ina (Fig. 8-6). Este comportamiento 1 concuerda con la suposición de que, a elevadas temperaturas, los límites | de grano se compor tan , hasta cierto punto, de una forma viscosa.

' T . S. K E : Phys. Rev., vol . 71 . pág. 533, v o l . 72, pág. 41, 1947.-

244 FRICCION INTERNA

8-6. El efecto Snoek—La fricción interna resultante de la or-denación preferente de los átomos intersticiales bajo una tensión aplj. cada fue explicada por Snoek1 y es conocida como efecto Snoek. Este tipo de relajación se ha estudiado ampliamente en el hierro con pe-queños contenidos de carbono o de nitrógeno en solución sólida. Los átomos intersticiales de carbono en el hierro con red cúbica centrada ocupan los espacios octaédricos de la red. El cristal tendrá simetría tetragonal, incluso aunque no se aplique ninguna fuerza externa, a causa de la distorsión producida por los átomos intersticiales. La dis-tribución de átomos entre los lugares octaédricos es aleatoria, mien-

Fic . 8 -6 .—Var iac ión del m ó d u l o (p) con la t e m p e r a t u r a para a lumin io mono y pol icr is ta l ino. (T. S. KE : Phys Rev., vol . 71, pág. 533, 1 9 17.)

tras no se aplique ninguna tensión, y los ejes tetragonales de las célu-las-unidad están orientados también aleatoriamente con respecto a los ejes de la probeta. Sin embargo, si se aplica una tensión a lo largo del eje y, los átomos intersticiales emigrarán a las posiciones octaédri-cas que tienden a alinearse en la dirección y. Cuando cesa la tensión, los átomos emigran hacia una distribución aleatoria. Bajo las tensiones oscilantes impuestas por un aparato de fricción interna, los átomos intersticiales estarán en movimiento continuo, con tendencia hacia la orientación preferente o a apartarse de esta clase de orientación. El re-sultado es un fuerte máximo de relajación. Se puede observar un má-ximo de relajación similar aunque más débil, debido a un orden de corto alcance, en las soluciones sólidas de sustitución.

' J . SNOEK: Physica, vol. 6, pág. 591, 1939. vo l . 8, pág. 711, 1941, vol. 9. nás. 8 6 2 . 1 9 4 2 .

0,75

0,35 0 100 2 0 0 300 4 0 0 SCO

t e m p e r a t u r a de medicidn1°C

8-7. Fricción interna termoelástica.—Los comportamientos térmi-co y mecánico de los materiales son correlativos. La aplicación de pe-queñas tensiones a un metal producirá una deformación instantánea acompañada de un pequeño cambio en la temperatura. Una extensión de la probeta dará por resultado un descenso en la temperatura, mien-tras que, por el contrario, una contracción producirá una elevación de la temperatura. Este comportamiento recibe el nombre de efecto ter-moelástico. Si la tensión aplicada no es uniforme en toda la probeta, se establecerá un gradiente de temperatura, dando como resultado una deformación no elástica adicional. Si la tensión no uniforme varía pe-

| riódicamente con el tiempo, se produce un gradiente fluctuante de tem-I peratura. Cuando las variaciones de tensión se producen con una fre-

cuencia muy alta, de forma que no haya tiempo para que tenga lugar un flujo apreciable de calor durante el ciclo de tensiones, el proceso es adiabático. Bajo condiciones adiabáticas, no se produce ninguna pér-dida de energía o amortiguamiento. Por otra parte, a frecuencias muy bajas hay tiempo suficiente para el flujo de calor, manteniéndose un equilibrio de temperatura en la probeta. Este es un proceso isotérmico y durante él no se producen pérdidas de energía o calor. La conver-

; sión de energía en calor no es reversible en la región de frecuencias | intermedias, y se observan efectos de fricción interna, i La tensión no uniforme puede originar corrientes térmicas macros-

cópicas que producirán máximos de fricción interna. Una barra rec-tangular a la que se imprime vibración transversalmente, se comporta como un sólido lineal tipo (tiempo de relajación única). La temperatu-ra aumentará en el lado de compresión de la probeta y disminuirá en el lado de tensión de la misma. Por tanto, se produce un gradiente

; de temperatura alternativo a través del espesor de la probeta. Siempre ; que la frecuencia sea tal que dé tiempo suficiente para que fluyan las | corrientes térmicas hacia atrás y hacia adelante y se produzca una

neutralización parcial del gradiente de temperatura, tendrá lugar un proceso de relajación. Zener1 ha demostrado que el tiempo de rela-

! jación es

h = espesor de la probeta; D, = constante de difusión térmica =

= conductividad térmica/fcalor específico) (densidad).

La frecuencia a que tiene lugar este máximo de relajación puede de-terminarse por la relajación »£ = 1. En probetas de espesor ordinario, el máximo se produciría en la región de 1 a 100 ciclos por segundo. Teóricamente es posible que una probeta que vibre longitudinalmente

i •D,

f 8-181

d o n d e :

<C. ZENER: Plujs. Rei-., voi. 52, pág. 230, 1937.

1 2 4 6 t íos L CAÍ Á

presente relajación debida a corr ientes térmicas microscópicas. Sin em-bargo, la región de f recuencias en que se produciría el máximo sería del orden de 1010 a 1 0 " ciclos por segundo, la cual está mucho más allá del intervalo de observación normal . En las probetas sujetas a vi-bración de torsión no se produce relajación debida a corrientes térmi-cas macroscópicas, a causa .de que las tensiones cizallantes no van acompañadas de cambios de t empera tura .

Una probeta policristalina somet ida a una tensión completamente uniforme puede presentar relajación debida a corrientes térmicas inter-granulares originadas por las fluctuaciones de tensión entre grano y grano. Las diferencias de tensión localizada entre grano y grano se deben a la anisotropía elástica de los granos individuales. El máximo de relajación debido a corr ientes térmicas intergranulares no se pro-ducirá en una frecuencia muy del imitada y, por tanto, no representa un tiempo de relajación único. La frecuencia en la que tendrá lugar la relajación está relacionada con el amaño de grano del metal. l a fric-ción interna debida a corr ientes te micas intergranulares se puede pro-ducir con todos los t ipos de tens ín. Es importante que, en aquellos experimentos en que el interés p r nario resida en el amorti'.'.uamiento debido a otros motivos, se consid- -en los efectos producidos p>>r esta causa.

8-8. A m o r t i g u a m i e n t o dchid » a las dis locaciones.—La fricción interna de los metales es muy ser ible a la deformación plástica. Los efectos son muy complejos y depet den de variables, tales como la im-portancia de la deformación plástic i, el método por el que se deformó el metal, la pureza de este último, ' i frecuencia de vibración y el tiem-po entre la deformación y la medioa de la fricción interna. R e a d 1 de-mostró que la fricción interna producida por el t rabajo en frío depende en alto grado de la ampli tud, inc ' a so en ampli tudes de deformación tan pequeñas como 10~6.

Un meta l recién d e f o r m a d o en río t iene una fricción intern,! rela-t ivamente alta, que desaparece muy rápidamente a temperatura1- muy inferiores a las requeridas para la recristalización. El alto amortigua-miento va acompañado de una disminución en el módulo dinámico. A medida que la fricción interna desaparece, el módulo dinámico vuel-ve al valor correspondiente al e s t ado normal. La disminución en el módulo producida por la deformación en frío, que puede ser elimina-da por medio de un recocido a t empera tu ras relat ivamente bajas, se conoce con el nombre de defecto de módulo o efecto Köster 2. Mot t ha propuesto un modelo de d is locaciones 3 para el efecto Köster oue se basa en el arqueado b a j o tensión de una red de líneas de dislocaciones anclada en nudos e impurezas . La teoría predice que el efecto Köster

1 T . A. READ: Trans. A1ME, vol . 143 , pag. 30, 1941 . 2 W . KÖSTER: Z. Metallk., vo l . 32, pag. 282, 1940. 3 N. F . MOTT: Phil. Mag., vo l . 43, pdg. 1151, 1952 .

es proporcional al producto de la longitud de dislocación por cen-t ímetro cúbico y al cuadrado de la longitud del bucle efectivo de un segmento de dislocación,

- ^ L q c N D [8-191 E

En un metal t ípico conformado en frío, los valores de N M 10' y L 10~5 cm conducirían a valores de A E/E del 10%, en concordancia con los resul tados observados. El mecan ismo de dislocaciones de los efectos de fricción interna observados en los metales deformados en frío no está bien determinado. La teoría de Koehler 1 y Grana to y L ü c k e 2 supone que la. fricción interna dependiente de la ampli tud se debe a una histéresis tensión-deformación causada por la irreversibi-lidad del a r ranque de las dislocaciones de los á tomos de impurezas que las bloqueaban. Sin embargo, la fricción in terna independiente de la ampli tud, se supone que resulta de una fuerza de amort iguamiento, de t ipo viscoso, que actúa sobre los segmentos arqueados de las líneas de dislocación.

El único proceso de relajación que proporciona un máximo interno defini t ivamente atr ibuible a las dislocaciones es el máximo de Bor-d in i 3 descubier to en los metales con red de caras centradas a muy ba-jas temperaturas , en la región de los 30 a 100 °K. Hay indicaciones de que el máximo de Bordini se debe a alguna propiedad intrínseca de las dislocaciones y no está implicado en la interacción de las disloca-ciones con á tomos de impurezas y o t ras dislocaciones.

8 -9 . Capacidad de amort iguamiento .—Esta sección está dedicada a los aspectos que presenta la fricción in terna en la ingeniería. La ca-pacidad de amort iguamiento de las es t ruc tu ras y elementos de máqui-nas se relaciona con la fricción interna de los materiales, a ampli tudes de deformación y tensiones mucho mayores que los valores conside-rados usualmente en los experimentos de fricción interna. Una capaci-dad de amor t iguamiento elevada es de importancia práctica en tecno-logía, porque l imita la ampli tud de vibración en condiciones de resonan-cia, reduciendo de este modo la probabi l idad de la falla por fatiga. Los álabes de turbina, los cigüeñales y las hélices de aviación son aplica-ciones típicas en las que es impor tan te la capacidad de amortigua-miento.

Se puede definir la capacidad de amor t iguamiento como la cantidad de t r aba jo convert ida en calor, por un idad de volumen de material y por ciclo completo de inversión de tensión. Las propiedades de amorti-guamiento de los materiales se expresan frecuentemente en términos

>J- S. KOEHLER: "Imperfections in Nearly Perfect Crystals", l o h n Wiley-Si Sons, Inc., Nueva York, 1953.

2 A . GRANATO y K . L Ü C K E : / . Appi. Phys., v o l . 2 7 , p á g . 5 8 3 , 1 9 5 6 . 1 P. G. BORDONI: NUOVO cimento, vol. 7, ser. 9, sup. 2. pág. 144, 1950.

del decremento logarítmico 8 o la capacidad de amortiguamiento es-pecífica ip,

= ^ ^ 4 4 (8-20] N\Ai + A„) donde:

t/»=capacidad de amortiguamiento específica; S = decremento logarítmico (véanse Ees. [8-3] y [8 -5] ) ;

<4| = amplitud de vibración del primer ciclo; An= amplitud de vibración del enésimo ciclo; N= número de ciclos desde A, a A„.

Los valores de estos parámetros de amortiguamiento dependen no so-lamente de la condición del material, sino también de la forma de las p r o b e t a s y d e la d i s t r i b u c i ó n d e t e n s i o n e s en l a s m i s m a s . P u e s t o que frecuentemente no están especificadas estas condiciones, hay con-siderable variación y contradicción en la literatura 1 publicada sobre las propiedades de amortiguamiento de los materiales. Para expresar las pro-piedades de amortiguamiento de los materiales de ingeniería se ha propuesto la energía específica de amortiguamiento. Esta cantidad re-presenta el área interna de un ciclo de histéresis tensión-deformación, bajo condiciones uniformes de tensión, y es una propiedad real del material. Se han publicado métodos de conversión del decremento lo-garítmico y de la capacidad de amortiguamiento en energía de amorti-guamiento específica2 .

Los valores tecnológicos de la capacidad de amortiguamiento no dependen mucho de la frecuencia de vibración. Sin embargo, existe una fuerte dependencia de la tensión o de la amplitud de deformación. La energía de amortiguamiento específica es, aproximadamente, una fun-ción potencial del nivel de tensión, con exponentes que varían entre 2 y 3 para la mayor parte de los materiales. El comportamiento del amor-tiguamiento es una función del número de ciclos de inversión de ten-sión. La capacidad de amort iguamiento aumenta, generalmente, con el número de ciclos de inversión de tensión, aumentando también la mag-nitud del efecto con el nivel de tensión. La capacidad de amortigua-miento para un metal dado y para las condiciones de ensayo depende del tipo del sistema de tensiones, p. ej., si el ensayo es de torsión o de tracción. Esto es el resultado de la diferencia en la distribución de tensiones producidas por diferentes métodos. Se han realizado algunas tentativas para relacionar el comportamiento del amortiguamiento con otras propiedades, tales como la resistencia mecánica a la fatiga y la sensibilidad a la entalla. Mientras que en ciertos casos parece que la

1 L. I. DEMER: Bibliography of the Material Damping Field, WADC Tech. Rapt. 56-180, junio, 1956; disponible en la Office of Technical Services.

2E_. R. PODNIEKS y B. J. LAZAN: Analytical Methods for Determining Specific Damping Energy Considering Stress Distribution, WADC Tech. Rept. 56-44, junio, 1957.

alta capacidad de amortiguamiento está en correlación con una baja sensibilidad a la entalla, no hay ninguna relación general entre estas propiedades. Tampoco existe ninguna relación general entre la capaci-dad de amortiguamiento y el límite de fatiga.

En la tabla 8-1 se indican algunos valores de la capacidad de amorti-guamiento correspondientes a algunos materiales técnicos a varios ni-veles de tensión. La fundición gris es uno de los materiales con mayor

T A B L A 8 - 1

Capacidad de amortiguamiento de algunos materiales técnicos *

Material

Acero al carbono (0.1% de C1 Acero al Cr-Ni, templado y revenido Acero-inoxidable al 12% de Cr Acero inoxidable 18-8 Fundición de hierro Latón amarillo

C a p a c i d a d especi f ica de amort iguamiento AW/W, a varios n ive les de tens ión

4300 psl ! 6700 psl ' 11 20C p=l (31.5 K g / m m 1 ) (46,9 K g / m m ' ) (78,4 K g / m m ' )

2,28 0 , 3 8 8,0 0 . 7 6

28,0 0 . 5 0

2 , 7 8 0 , 4 9 8.0 1 , 1 6

4 0 . 0 0,86

4 . 1 6 0 . 7 0 8.0 3 , 8

* S. L. HOYT: «Metal Data», edición r e v i s a d a . R e i n h o l d P u b l i s h i n g C o r p o r a t i o n , Nue . va York . 1952.

capacidad de amortiguamiento. Esto se atribuye a pérdidas de energía en las láminas de grafito. El movimiento de las paredes de los dominios # ferromagnéticos supone una importante contribución al amortiguamiento en muchas aleaciones utilizadas en la fabricación de álabes de tur-bina. Esto se ha demostrado 1 por el hecho de que una aleación ferro-magnética que presentó un alto amortiguamiento, mostró una capaci-dad de amortiguamiento muy disminuida cuando se ensayó en un campo magnético. El más bajo amortiguamiento en el campo magné-tico se puede atribuir al hecho de que los dominios están alineados en la dirección del campo y no pueden moverse libremente bajo tensión.

B I B L I O G R A F I A

ENTWISTLE, K. M.: The Damping Capacity of Metals, en B. Chalmers y A. G. Quarrell (eds.). "The Physical Examination of Metals", 2.» ed., Edward Arnold & Co., Londres, 1960.

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' A . W . COCHARDT: Trans. A IME, vol. 2 0 6 , págs. 1 2 9 5 - 2 9 8 . 1 9 5 6 .

Puesto que la tensión y la deformación se obtienen dividiendo la carga y el alargamiento por factores constantes, la curva carga-alargamiento tendrá la misma forma que la curva de tensiones-deformaciones. l as dos curvas se usan, con frecuencia, indis t intamente.

La forma y las magnitudes de la curva de tensiones-deformaciones de un metal dependerá de su composición, t ra tamiento térmico, histo-ria anterior de deformación plástica y velocidad de deformación, tem-peratura y estado de tensión creado durante el ensayo. Los parámetros utilizados para describir la curva de tensiones-deformaciones de un metal son la resistencia a la tracción, el límite elástico convencional o el aparente, el alargamiento por ciento y la estricción. Los dos pri-meros son parámetros de resistencia mecánica; los dos últimos infor-man sobre la ductilidad.

Resistencia a la tracción.—La resistencia a la tracción es el co-ciente obtenido al dividir la carga máxima por la sección transversal inicial de la probeta

<ru = Z p - [9-3] I

La resistencia a la tracción es el valor citado con más frecuencia en los resultados de un ensayo de t racción; en realidad, es un dato que carece prácticamente de significado con relación a la resistencia me-cánica de un metal. La resistencia a la tracción debe ser considerada, en los metales dúctiles, como una medida de la carga máxima que puede soportar un metal bajo las muy restrictivas condiciones de carga monoaxial. Más adelante veremos que este valor tiene poca re-lación con la resistencia mecánica útil del metal bajo las más com-plejas condiciones de tensión que usualmente se encuentran. Durante muchos años la resistencia mecánica de las piezas se determinaba a partir de la resistencia mecánica a la tracción, convenientemente redu-cida por un factor de seguridad. La tendencia actual se orienta hacia un intento más racional de fundamentar el diseño estático de los me-tales dúctiles con el límite elástico. Sin embargo, y a causa de la prác-tica, mantenida durante tanto tiempo, de utilizar la resistencia a la tracción para determinar la resistencia mecánica de los materiales, se ha convertido en una propiedad muy familiar y, como ta!, es una for-ma muy útil de identificación de un material, del mismo modo que la composición química sirve para identificar un metal o aleación. Ade-más, como la resistencia mecánica a la tracción es fácil de determinar, y es una propiedad muy reproducible, es útil para las especificaciones y para el control de calidad de un producto. También son de gran uti-lidad las diversas correlaciones empíricas encontradas entre la resis-tencia a la tracción y otras propiedades, tales como la dureza y la resistencia a la fatiga. La resistencia a la tracción es un criterio válido al realizar un diseño en el caso de materiales frágiles.

Límite elástico convencional.—El límite elástico convencional es .la

carga correspondiente a una pequeña deformación plástica Mptdfíot* da, dividida por el área de la sección transversal inicial de la probeta

Pe-0,002 f n <to = — T — [9-4] Ai

A causa de las dificultades prácticas que existen para determinar el verdadero límite elástico o límite de proporcionalidad, el límite elásti-co convencional y el límite elástico aparente son los parámetros prefe-ridos en ingeniería para expresar el comienzo de la deformación plás-tica. Cuando en el proyecto con un metal dúctil es necesario evitar la deformación plástica, el límite elástico es el criterio apropiado con res-pecto a la resistencia del metal. Una importante característica del lími-te elástico convencional es que el valor determinado por el ensayo de tracción puede utilizarse para predecir las condiciones de fluencia es-tática, bajo otras condiciones de tensión más complejas, por medio del criterio de fluencia de la energía de distorsión (Sec. 3-4). Un ejemplo de esto es la determinación de la presión de rotura elástica de los tubos de paréd gruesa, sometidos a una presión interna, a partir de los resul-tados de un ensayo de t r a c c i ó n E l límite elástico convencional y el límite elástico aparente son más sensibles a las diferencias en el tra-tamiento térmico y método de ensayo que la resistencia a la tracción.

Alargamiento de rotura (tantos por ciento).—El tanto por ciento de alargamiento de rotura es la relación entre el aumento de la longitud de la distancia entre puntos de la probeta y su longitud original, ex-presada en tantos por ciento:

alargamiento % = i 0 0 ^ f ^ = 100«?/ [9-5] ¿o

d o n d e :

L, = distancia entre puntos al producirse la fractura; Lo = distancia entre puntos original; €f = deformación convencional al producirse la fractura.

El numerador de la Ec. [9-5] es, sencillamente, el alargamiento tota! medio de la distancia entre puntos de la probeta. Este valor está afec-tado por la deformación durante la estricción, por lo que el valor del alargamiento por ciento depende, en cierto modo, de la distancia entre puntos. El alargamiento de la probeta es uniforme a lo largo de la dis-taxicia entre puntos, hasta el momento de carga máxima. Rebasado este punto, comienza la estricción y la deformación deja de ser uniforme. La deformación uniforme es de más importancia que la deformación total al producirse la fractura y tiene también más valor práctico en la predicción de la conformabilidad de las chapas metálicas. Sin em-

' 1 . H. FAUPEL: Trans. ASME, v0 l . 78, págs. 1031-064, 1956.

bargo, el alargamiento uniforme no se determina corrientemente en un ensayo de tracción rutinario, por lo cual, a menos que se indique espe-cíficamente, por "alargamiento" se entiende usualmente el tanto por ciento de alargamiento de rotura. Este se determina uniendo los dos trozos de la probeta de tracción rota y midiendo la variación sufrida por la distancia entre puntos. Esta distancia es un dato que debe acom-pañarse siempre al expresar los valores del alargamiento por ciento.

Estricción (de rotura).—El tanto por ciento de estricción es la rela-ción existente entre la disminución del área de la sección transversal de la probeta de tracción después de la fractura y la superficie original, expresada en tantos por ciento:

A — Ai disminución del área = <? = — í - [9-6]

Ao

Es difícil determinar la estricción en probetas de chapa fina, por cuya razón no se determina usualmente en este tipo de material. En probetas de tracción planas, rectangulares, de más espesor, se puede determinar el área aproximadamente:

donde: A = y (a + 2d) [9-7]

h = ancho de la probeta; a = espesor en el centro de la probeta; r/ = espesor de la sección transversal en los extremos de la pro-

beta.

El alargamiento y la estricción no son, directamente, de interés para el proyectista. No parece haber métodos cuantitativos para determinar el alargamiento o la estricción mínimos que debe tener un material para una ap l icac ión d e t e r m i n a d a . N o o b s t a n t e , e s t o s va lo res p u e d e n p ropor -cionar indicaciones cualitativas sobre la conformabilidad de un metal. U n a es t r i cc ión m u y a c u s a d a ind ica la c a p a c i d a d del metal p a r a sopor-tar una g ran d e f o r m a c i ó n sin r o m p e r s e (véase p r o b l e m a 9 -4 ) .

La e s t r i cc ión es el p a r á m e t r o m á s sens ib le a la e s t r u c t u r a q u e puede medirse en el ensayo de tracción. Por tanto, su aspecto más importante es el de ser utilizada como una indicación de la calidad del material. Una disminución en el valor de la estricción, por debajo de un nivel especificado que la experiencia ha señalado como indicativo de buen comportamiento en servicio, es una advertencia de que la calidad es deficiente.

Módulo de elasticidad.—La pendiente de la parte lineal inicial de la curva tensiones-deformaciones es el módulo de elasticidad o módulo de Young. El módulo de Young es una medida de la rigidez del mate-rial. Cuanto mayor sea el módulo, más pequeña será la deformación elástica resultante de la aplicación de una tensión dada. Puesto que

para calcular la flexión de vigas y otras piezas es necesario conocer el módulo de elasticidad, es un importante valor a tener en cuenta al realizar un proyecto.

El módulo de elasticidad está determinado por las fuerzas de enlace entre los átomos. Puesto que estas fuerzas no pueden alterarse sin cambiar la naturaleza básica del material, se deduce que el módulo de elasticidad es una de las propiedades mecánicas más insensible a la estructura. Solo le afectan ligeramente las adiciones de aleantes, el tratamiento térmico o la conformación en f r í o S i n embargo, aumen-tando la temperatura se produce una disminución del módulo de elas-ticidad. El módulo se determina usualmente a elevadas temperaturas siguiendo un método dinámico2 , que mide el modo y período de vi-bración de una probeta metálica. En la tabla 9-1 se indican los valores típicos del módulo de elasticidad para metales comunes de ingeniería a diferentes temperaturas.

T A B L A 9 - 1

Valores típicos de los módulos de elasticidad a diferentes temperaturas

Materiales

Módulo de elasticidad, Kg/mm"

Tempera- 4 0 0 < F t " r a . ; (204 •© ambiente

Acero al carbono Acero inoxidable austenítico. Aleaciones de t i tanio Aleaciones de a lumin io

21 000 1 9 6 0 0 1 1 5 5 0

7 3 5 0

1 8 9 0 0 1 7 8 5 0

9 8 0 0 4 8 3 0

800-F (427 «O

1000 ' F (538 ' O

1 5 7 5 0 16 100

7 4 9 0 5 4 6 0

1200 -F (640 -C)

1 3 6 5 0 1 2 6 0 0 1 5 7 5 0 1 4 7 0 0

7 0 7 0

Resiliencia elástica *.—La capacidad de un material para absorber energía cuando es deformado elásticamente y devolverla cuando se elimina la carga, se llama resiliencia.- Esta j n i d e , usualmente, por medio del módulo de resiliencia, -que es la energía de deformación, por unidad de volumen,* requerida para llevar al material desde una tensión cero hasta el límite elástico cr0.-*De acuerdo con la Ec. [2-57],

"la energía de deformación por unidad de volumen para tensión uni-a x i a l e s U0 = \crxex *

Según esta definición,-el módulo de resiliencia será

= - [9-8]

' D . 1. MACK: Trans. AI ME, vol. 1 6 6 , págs. 68-85, 1946. 2 C . W . A N D R E W S : Metal Progr., vol. 5 8 , págs. 85-89, 96, 98, 100, 1950. * E n español técnico se llama resiliencia a la energía absorbida en la rotura

por choque, tal como se determina en los ensayos Charpy o I zod . (N. del T.)

Esta ecuación indica que el material ideal para resistir cargas de energía en aplicaciones en las que no deba sufrir deformación permanente p. ej., los muelles mecánicos, es un material con un elevado límite elás-tico y un módulo de elasticidad bajo. La tabla 9-2 da algunos valores del módulo de resiliencia para diferentes materiales.

Tenacidad.—La tenacidad de un material es su capacidad para ab-sorber energía en el campo plástico. La capacidad para resistir tensiones ocasionales superiores al límite elástico, sin que se produzca fractura es de gran valor en piezas tales como acoplamientos de vagones, en-granajes, cadenas y ganchos de grúas . -La tenacidad es un concepto comúnmente utilizado, pero difícil de medir y definir. ' Una forma de concretar el concepto de tenacidad es considerar el área total que que-da bajo la curva de tensiones-deformaciones. ' Esta superficie es una indicación del t rabajo total, por unidad de volumen, que puede rea-lizarse sobre el material sin que se produzca la rotura.' La figura 9-2 muestra la curva de tensiones-deformaciones para materiales de alta y baja tenacidad. El acero para muelles, con alto contenido de carbono, tiene un límite elástico y una resistencia a la tracción más elevados que

el acero de construcción con con-tenidos medios de carbono. Sin embargo, el acero de construcción es más dúctil y tiene un alarga-miento total mayor. El área total bajo la curva de tensiones-defor-maciones es mayor en el acero de construcción y, por tanto, es un material más tenaz. Esto indica que»la tenacidad es un parámetro que comprende la resistencia me-cánica y la ductilidad." Las zonas rayadas de la figura 9-2 correspon-den al módulo de resiliencia de cada acero. A causa de su límite elástico convencional más alto, el

acero para muelles tiene -mayor resiliencia elástica, aunque la tenace dad sea menor.-..,

Se han sugerido varias aproximaciones matemáticas para calcular eL área que queda ba jo la curva de tensiones-deformaciones. Para los ace-;-ros dúctiles que tienen una curva de tensiones-deformaciones como la ; del acero de construcción, se puede lograr una aproximación al valor.j del área por medio de las siguientes ecuaciones :

acero de muelles ' - alto en carbono

deformación e

Fio. 9 -2 .—Comparación de las curvas tensión-deformación de materiales con

tenacidad grande y pequeña.

9-9]

VT

cro-f cru [9-10]j

TABLA 9-2

Módulos de resiliericia elástica de varios materiales

Materiales E, Kg/mm'

Acero al carbono, medio Acero de muelles alto en carbono CaScho''..''.'..''.'.. ':..'.''.'.'.'. '.'.'. ... 105x10-3

21 000 21 000

1 200

¡r0, Kg/mm'

31,5 98.0

2.8 0 , 2 1

Módulo de restltencla VR

K g / m m '

23,6 x i o - 3

224,0 x l 0 - 3

3.7 x l 0 " 3

210,0x10-'

Se supone algunas veces que la curva de tensiones-deformaciones de los materiales frágiles es una parábola y el área ba jo la curva viene dada por

V t / r ^ W / [ 9 - H ]

Todas estas relaciones son, solamente, aproximaciones al área que que-da bajo las curvas de tensiones-deformaciones. Además, las curvas no representan el comportamiento real en el campo plástico, puesto que todas dependen del área de la sección inicial de la probeta.

9-2. Curva r e a l de tens iones-deformaciones .—La curva usual de tensiones-deformaciones, la convencional o tecnológica, no proporciona una indicación de las características de deformación de un metal porque está basada totalmente sobre las dimensiones iniciales de la probeta y estas dimensiones cambian constantemente durante el ensayo. Además, el metal dúctil sometido a tensión se hace inestable y suf re estricción localizada durante la última fase del ensayo. La carga requerida para continuar la deformación disminuye en esta fase a causa de que el área de la sección transversal de la probeta se va reduciendo rápida-mente. La tensión media basada en la sección inicial disminuye tam-bién, produciéndose como consecuencia de esto un descenso de la curva de tensiones-deformaciones después del punto de carga máxima. Real-mente, el metal continúa endureciéndose por deformación hasta que se produce la fractura, de modo que también debería aumentar la ten--¡ión requerida para producir mayor deformación. Si se usa la tensión real, basada en el área real instantánea de la sección transversal de la probeta, se encuentra que la curva de tensiones-deformaciones asciende de modo continuo hasta producirse la fractura. Si la medida de la de-formación está también basada en medidas instantáneas, la curva obte-nida se conoce como curva real de tensiones-deformaciones. También se denomina curva de fluencia (Sec. 3-2), puesto que representa las características básicas del flujo plástico del material. Cualquier pun to de la curva de fluencia puede considerarse cQmo el límite elástico para liñ metal deformado en tracción en la proporción mostrada en la curva.

De este modo, si se retira la carga en este momento y se aplica de nuevo, el material se comportará elásticamente a través de todo el intervalo de recarga. La tensión real es la carga, en cualquier instante, dividida por el área de la sección transversal de la probeta en ese mismo ins-tante :

= [9-12]

La deformación real fue definida en la sección 3-3 como . L A0 = ln —- = ln —

L0 A\ [9-13]

Esta definición de la deformación fue propuesta por Ludwik 1 a prin-cipios de siglo. También se demostró anteriormente (Sec. 3-3) que la

0 0,1 0 ,2 0 , 3 0,4 , 0 , 5 0 ,6 0 , 7 0,E deformación

0 ,9 1,0 V

Fie . 9 - 3 . — C o m p a r a c i ó n de las curvas tecnológica y real de tracción del n íquel .

' P . LUDWIK: " E l e m e n t e der technologischen M e c h a n i k " , Springer -Ver lag O H G , Berl ín, 1909.

relación entre deformación real y deformación lineal convencional viene dada por

e = l n (e + 1) [9-14]

La tensión real se puede determinar, a part ir de la tensión media de la curva convencional, mediante la expresión siguiente:

0- = — = — — A¡~ Aa A¡

Pero por la constancia de volumen,

De la Ec. [9-14] :

o bien

En la figura 9-3 se compara la curva real de tensiones-deformaciones de una probeta de níquel con la curva convencional. Adviértase que la escala pequeña del eje de deformaciones, que se utilizó para destacar la región plástica, ha confundido la región elástica con el eje de orde-nadas. La curva real de tensiones-deformaciones es frecuentemente li-neal desde la carga máxima hasta la fractura, mientras que, en otros casos, su pendiente disminuye continuamente. Debe darse poca signi-ficación a esta región lineal de la curva de fluencia. Cuando se produ-ce la estricción, el estado triaxial de tensión que se crea en esta región incrementa la tensión longitudinal media necesaria para que el flujo plástico continúe. Por tanto, la forma de la curva de fluencia, desde el punto de carga máxima hasta el de fractura, depende de la velocidad de desarrollo de la estricción local. Esta puede ser diferente para ma-teriales con diferente capacidad de endurecimiento por deformación y, por tan to , no hay seguridad de que la curva de fluencia sea lineal en esta región.

A par t i r de la curva real de tensiones-deformaciones se pueden de-terminar los siguientes parámetros :

Tensión real a carga máxima.—La tensión real a carga máxima co-rresponde a la resistencia a la tracción real. En la mayor parte de los materiales comienza la estricción coincidiendo con la carga máxima. n i : - - . i . 4 „ „ „

Ai L0

e = l n — = l n ( e + 1) Lo

T-T—1 L0 A¡

cr=—(e+l) "O

[9-15]

para un valor de la deformación en el que la tensión real es igual a la pendiente de la curva de fluencia. Los símbolos <x„, y e„ designan la tensión y deformación reales para la carga máxima, mientras que A, representa el área de la sección transversal de la probeta sometida a la carga máxima. Por t an to :

Pmix Pmáx ,

y cr„ = crm exp ( - c „ ) [9-16]

La Ec. [9-16] relaciona la resistencia a la tracción con la tensión y deformación reales para la carga máxima.

Tensión real de fractura.—La tensión real de f rac tura es igual a la carga que produce la fractura, dividida por el área de la sección trans-versal de la probeta en el momento de la f rac tura . Esta tensión debe ser corregida por el estado triaxial de tensión existente en la probeta de tracción en el momento de la f r ac tu ra . Pues to que, con frecuencia, se carece de los datos precisos para efectuar esta corrección, los valo-res reales de la tensión de fractura no suelen ser muy exactos.

Deformación real de fractura.—La deformación real de f ractura es la deformación real basada en el área inicial A0 y en el área después de la fractura, A¡.

«/ = l n - 7 £ [9-17]

Este parámetro representa la de fo rmac ión real máxima que puede resistir el material antes de la f rac tura y es análogo a la deformación total para producir la f ractura de la curva convencional de tensiones-deformaciones. Puesto que la Ec. [9-14] no es válida más allá del co-mienzo de la estricción, no es posible calcular e¡ con los valores medi-dos de e¡. Sin embargo, en el caso de probe tas de tracción cilindricas, la estricción q está relacionada con la deformación real de f ractura , por la expresión: . .

g = l - e x p ( - e / ) [9-18]

Deformación real uniforme.—La deformación real uni forme e„ es la deformación real basada solamente en la deformación hasta la carga máxima. Puede calcularse tomando como base el área de la sección transversal Au, o la distancia entre p u n t o s Lu para la carga máxima. Para convertir la deformación un i fo rme convencional en deformación real uniforme puede utilizarse la Ec. [9-14]. La deformación uniforme se utiliza f recuentemente en la est imación de la conformabil idad de los metales, a part ir de los resultados de un ensayo de t racc ión:

É ^ l n ^ [9-19] A u ¡

Deformación real de estricción localizada.—La deformación teal de estricción localizada e„ es la deformación requerida para deformar la probeta desde la carga máxima hasta la f ractura:

e« = ln A H [9-20]

El método usual para determinar Una curva real de tensiones-defor-maciones es medir el área de la sección transversal de la probeta, incre-mentando la carga hasta producir la fractura. Pueden utilizarse micró-metros de esfera indicadora especiales. Debe procurarse medir el diá-metro mínimo de la probeta. Este método es aplicable sobre el intervalo completo de tensiones hasta la fractura, incluyendo la región posterior al comienzo de la estricción local. Sin embargo, para corregir exacta-mente las tensiones complejas producidas en la estricción, es necesario conocer el perfil del contorno del cuello. Este método de determinación está limitado a velocidades de deformación moderadamente lenta y a ensayos a la temperatura ambiente. Si la sección transversal de la pro-beta es circular, la deformación real puede calcularse fácilmente par-tiendo del diámetro inicial D0 y el diámetro instantáneo D¡,

e = ln Lo

= ln A0 • In J V D 2 = 2 ln A

Di [9-21]

La tensión y la deformación reales pueden determinarse a partir de la tensión y deformación convencionales por medio de las Ees. [9-14] y [9-15]. El uso de estas ecuaciones supone que la deformación axial está uniformemente distribuida sobre la distancia entre puntos de la probeta, puesto que su derivación está basada en la constancia de vo-lumen. Las tensiones y deformaciones determinadas de acuerdo con estas ecuaciones son exactas hasta el comienzo de la estricción local, pero, pasada esta etapa, la deformación se localiza en el cuello, en su mayor parte, y no son aplicables las ecuaciones.

Las curvas reales de tensiones-deformaciones se pueden obtener a grandes velocidades de deformación y a elevadas temperaturas, utili-zando el método de dos c a r g a s P a r a ello se miden diámetros en varias posiciones a lo largo de probetas troncocónicas antes y después del ensayo. La tensión real que actúa en cada zona de la probeta es la carga máxima dividida por el área en aquel punto después del ensayo. Esto da la curva de fluencia desde el comienzo del flujo plástico hasta el punto de máxima carga. Si se mide la carga en el momento de la fractura, la curva puede extenderse a la tensión de fractura por extra-polación lineal.

Usualmente es deseable poder expresar la curva real de tensiones-

C. W . M A C G R E G O R : J. Appl. Mech., vol. 6, págs. A 1 5 6 - 5 8 , 1939.

deformaciones por medio de una relación matemática. La expresión más sencilla y útil es la curva potencial descrita anteriormente en la sec-ción 3-2,

cr = 2Ce" [9-22]

donde n es el coeficiente de endurecimiento por deformación y K el coeficiente de resistencia. Una representación logarítmica doble de ten-

v sión y deformación reales hasta la carga máxima, que esté de acuerdo con los datos, dará una línea recta (Fig. 9-4). La pendiente de esta lí-nea es n, y K es la tensión real para 6 = 1,0. Con objeto de aproximar más los datos a una línea recta, es desea-ble usualmente sustraer la deforma-ción elástica de la deformación total. En la tabla 9-3 se relacionan algunos valores típicos de n y K.

La Ec. [9-22] no tiene una base racional, por lo que se observan desviaciones frecuentes de esta rela-ción. Un tipo común de desviación

es que la representación logarítmica doble de la Ec. [9-22] dé lugar a dos líneas rectas con pendientes diferentes, mientras que, en otros ca-sos, se obtiene una curva con una pendiente continuamente variable. La Ec. [9-23] es típica de las relaciones más complicadas que se han sugerido 1 para proporcionar mejor concordancia con los datos

0,001 0,01 0,1 deformación real f

1,0

Fie . 9 - 4 . — R e p r e s e n t a c i ó n logar í t -mica doble de la curva tensión-

de formac ión .

= C , - ( C t - C 2 ) exp ; 9-23]

T A B L A 9 - 3

Valores de n y K para metales a la temperatura ambiente

E s t a d o

Acero con 0,05 % Acero S A E 4 3 4 0 Acero c o n 0 , 6 % Acero con 0 , 6 % Cobre Latón 7 0 / 3 0 . . .

de C. Recoc ido Recoc ido

de C. T e m p l a d o de C. T e m p l a d o

Recocido Recocido

reven ido a reven ido a

5 3 8 ° C 7 0 4 ° C

0,26 0,15 0,10 0,19 0,54 0 ,49

A", Kií/mm1

5 3 , 9 6 5 . 1

1 5 9 , 6 1 4 5 , 0

3 2 . 5 9 1 . 0

not.

* J . R . L o w y F. CARATALO: PTOC. SOC. Exptl. Stress Anal., vol. 4, núm. 2, pagi-nas 16-25, 1947.

• • J . R. L o w : «Properties o f Metals in Materials Engineer ing» , American Society for Metals, Metals P a r k , Ohio, 1949.

J E . V O C E : Metallurgia, vol. 5 1 , págs. 2 1 9 - 2 6 , 1 9 5 5 .

9-3. Inestabilidad en tracción.—La estricción se inicia general-mente con la carga máxima durante la deformación por tracción de un metal d ú c t i l U n material plástico ideal, en el cual no tenga lugar ningún endurecimiento por deformación, podría hacerse inestable en tracción e iniciarse la estricción tan pronto como empezase la fluencia. Sin embargo, un metal real sufre un endurecimiento por deformación que tiende a incrementar la capacidad de la probeta para soportar una carga cuando la deformación aumenta. A este efecto se opone la dis-minución gradual del área de la sección transversal de la probeta mien-

de carga m á x i m a .

tras experimenta el alargamiento. La estricción, o la deformación loca-lizada, comienza al alcanzarse la carga máxima, cuando el aumento de tensión, debido a la disminución del área de la sección transversal de la probeta, se hace mayor que el aumento de la capacidad del metal para soportar la carga, debido al endurecimiento por deformación. Esta condición de inestabilidad, que conduce a una deformación localizada, está definida por la condición dP- 0 :

P = cA dP=cr dA + A dcr = 0

De la constancia de volumen se deduce dL _ dA

dA dL dcr ^ de A L cr 1+e

1 U n a excepción a esto es el compor tamiento de l circonio laminado en fr ío, ensayado a 2 0 0 - 3 7 0 °C, en el que la estr icción se produjo c o n una d e -fo rmac ión de dos veces la de fo rmac ión a carga m á x i m a . Véase J . H . KEELER : Trans. ASM, vol. 47 , págs. 1 5 7 - 9 2 , 1955, y la discusión de A . J . O P I N S K Y , págs. 189-90.

Por - = <T

bien

da-de

dar a

de 1 + e

[9-24]

[9-25]

(Tu

crm X '

La Ec. [9-24] expresa que sé' producirá la estricción local en tracción uniaxial con una deformación para la cual la pendiente de la curva real de tensiones-deformaciones es igual a la tensión real correspon-diente a esa deformación.

La Ec. [9-25] permite una interesante construcción geométrica para la determinación del punto de carga m á x i m a E n la figura 9-5, la curva de tensiones-deformaciones convencional está trazada en términos de la tensión real en función de la deformación lineal convencional. El punto A representa una deformación negativa de valor absoluto 1,0. Una línea trazada desde el punto A y tangente a la curva de tensiones-de-formaciones señalará el punto de carga máxima, porque, de acuerdo con la Ec. [9-25], la pendiente en este punto es t r / í l + e ) . La tensión en este punto es la tensión real con carga máxima o-,,,. Si hubiéramos representado tensiones medias, esta habría sido la resistencia a la tracción cr„. La relación entre estas dos tensiones es

de la definición de la deformación lineal convencional,

L 1 -i-e y, por tanto,

a,, = o~ „ 1 - t - e,

[9-26]

Un estudio de los triángulos semejantes de la figura 9-5, muestra que la Ec. [9-22] se satisface cuando OD es la resistencia a la tracción.

Si la curva de fluencia de un material viene dada por la ley poten-cial de la Ec. [9-22], es posible determinar fácilmente la deformación a que se producirá la estricción local:

a- = Ke da dt

= a = Ke" = nKe"

f V * <

r-

[9-27]

' A . C O N S I D È R E : Ann. ponts et chaussées, vol . 9 , ser. 6 , págs. 5 7 4 - 7 7 5 , 1885 .

por tanto, la deformación en la cual se produce es numéricamente igual al cociente de endurecimiento por deformación.

La inestabilidad plástica es, con frecuencia, importante en las ope-raciones de conformación de chapa metálica, puesto que la deformación para la cual empieza a producirse la localización de la misma es el límite de conformación del metal. Lankford y Saibel1 han determinado el criterio de deformación localizada en el caso de una chapa sujeta a fuerzas de tracción biaxiales (conformación por estirado), un tubo de pared delgada sometido a presión interna y una chapa sometida a un ensayo hidrostático de abombado.

9-4. Distribución de las tensiones en el cuello.—La formación de un cuello en la probeta de tracción introduce un estado complejo de tensiones triaxiales en esa región. La región del cuello es, en efecto, una entalla suave. Como se discutió en la sección 7-12, una entalla bajo tensiones origina tensiones radiales y transversales que elevan el valor de la tensión longitudinal requerida para producir el flujo plástico. Por tanto, la tensión real media en el cuello, determinada al dividir la carga de tracción axial por el área mínima de la sección transversal en el cuello de la probeta, es más alta que la tensión necesaria para producir el flujo si prevaleciera una simple tracción. La figura 9-6 presenta la geometría de la re-gión del cuello y las tensiones des-arrolladas por esta deformación localizada. R es el radio de curva-tura del cuello, que se puede me-dir proyectando el contorno de la zona del cuello sobre una pantalla o utilizando un calibre adecuado.

Bridgman2 realizó un análisis matemático que permite una co-rrección a la tensión axial media para compensar la introducción de tensiones transversales. El análisis estaba basado en los siguientes su-puestos :

1. El contorno del cuello es aproximadamente un arco de circun-ferencia.

2. La sección transversal de la región del cuello sigue siendo circu-lar a través de todo el ensayo.

' W . T . LANKFORD y E . S A I B E L : Trans. Al ME, vo l . 1 7 1 , págs. 5 6 2 - 7 3 . 1 9 4 7 . 2 P . W . BRIDGMAN: Trans. ASM, vol. 32, pág. 5 5 3 , 1 9 4 4 .

a) i)

FIG. 9-6.—a) Geometr ía de la región de estricción localizada; b) tensiones que actúan sobre un elemento en el

punto O.

3. Se puede aplicar el criterio de Von Mises. 4. Las deformaciones son constantes en la sección transversal del

cuello. T A B L A 9 - 4

Factores de corrección aplicables a la tensión real media para compensar las tensiones transversales del cuello

de estricción de la probeta de tracción

a/R Factor de B r i d g m a n Fac tor de Davidenkov

0 1 ,000 1,000 V3 0,927 0 ,923 V?. 0,897 0 ,889 1 0,823 0 ,800 2 0,722 0 .667 3 0 ,656 0 .571 4 0 .606 0 , 5 0 0

De acuerdo con este análisis, la relación de la tensión axial real, cr, con la tensión axial media, crav, es:

1 [9-28] o> (\ + 2R/a)[\n(\+a/2R)]

Davidenkov y Spiridonova 1 determinaron una corrección para el cuello basada en supuestos algo diferentes de los de Bridgman. Su expresión viene dada por

— i [9-29] 0"av 1 + 1 7 / 4 « J

Estas dos ecuaciones difieren en menos del 1 % para valores de a/R menores de 0,6. En la tabla 9-4 se dan los valores típicos para estas co-rrecciones.

La determinación del radio de curvatura del cuello durante el pro-greso del ensayo, no es ciertamente una operación sencilla o de rutina. Con objeto de vencer esta dificultad, Bridgman determinó una relación empírica entre el contorno del cuello (a/R) y la deformación real, lo-grada con alrededor de 50 probetas de acero. La figura 9-7 presenta esta relación convertida en la variación de cr/crav con la deformación real. Los valores experimentales del cobre y del acero2 , se incluyen también en esta figura. La investigación demostró que la ecuación de Bridgman se ajusta mejor a los resultados experimentales que la de

' N . N. ÜA.VIDENKOV y N. I. SPIRIDONOVA : Proc. ASTM, vol. 46, pág. 1147, 1 9 4 6 .

2 E . R . MARSHALL y M . C . SHAW: Trans. ASM, v o l . 4 4 , p á g s . 7 0 5 - 2 5 , 1 9 5 2 .

Davidenkov. La curva de trazos de la figura 9-3 es la curva real de tensiones-deformaciones del níquel, corregida por la estricción por me-dio del factor de Bridgman. El problema de la distribución de tensio-nes en el cuello de probetas planas de tracción ha sido considerado por Aronofsky

9-5. Dis t r ibuc ión de las d e f o r m a c i o n e s en la probeta de trac-; ción.—La distribución de las deformaciones a lo largo de la probeta j de tracción no es uniforme, par-i ticularmente en los metales que 1 presentan una estricción local ¡ pronunciada antes de la fractu-; ra. La figura 9-8 muestra, en i forma esquemática, la distribu-

ción del alargamiento local a lo j largo de la probeta. La distribu-| ción exacta de la deformación

dependerá del metal, de la dis-tancia entre puntos y de la forma de la sección transversal. En ge-neral, cuanto más blando y dúctil sea el metal, se producirá una

' deformación más importante fue-ra de la zona del cuello. También, cuanto más corta sea la distancia entre puntos, mayor será la in-fluencia de la deformación loca-lizada en el cuello sobre el alar-gamiento total de la distancia entre puntos. Por tanto, para un material dado, cuanto más cor-ta sea la distancia entre puntos mayor será el alargamiento por ciento. Por esta razón debe dar-se siempre la distancia entre puntos al expresar el alargamiento por ciento.

Está generalmente admitido que, con objeto de comparar las medi-das de alargamiento obtenidas con probetas de diferentes dimensiones, estas probetas deben ser geométricamente semejantes. La relación en t re la distancia entre puntos y el diámetro debe ser constante. Las probetas de tracción normalizadas tienen, en los Estados Unidos, las siguientes dimensiones: diámetro, 0,505 pulg (12,827 m m ) ; distancia entre pun-tos, 2 pulg (50,8 m m ) . Por esto, L/D es o £,=4,51 «/A. Esta es la base para las probetas de tracción de la A S T M relacionadas en la

A R O N O F S K Y : / . Appl. Mech., vol. 1 8 , págs. 7 5 - 8 4 , 1951. i, i

\ \ \ A -- cobre

Is Bridgm

ac« ro

0 0,5 1.0 1,5 2,: deformación e —»•

FIG. 9-7.—Relac ión entre el fac tor de correcc ión de B r i d g m a n cr/crav y la d e f o r m a c i ó n rea l de t r a c c i ó n . (E. R. M A R S H A L L y M . C . S H A W Trans. ASM. vol . 44, pág. 716, 1952.)

tabla 9-5. Las normas británicas especifican L/D = 3,54, mientras que las normas alemanas emplean L/D = 10. Las probetas prescritas en la Tabla de Tipificación de Aceros Finos del Instituto del Hierro y del Acero se ajustan a la relación L= t/66,()7A.

En las probetas de chapa fina, la relación entre el ancho y el espesor puede afectar al alargamiento to-. tal. Con una distancia entre pun-tos constante, un aumento en el ancho o en el espesor de la pro-beta originará un aumento en el alargamiento. Sin embargo, si se varía la anchura o el espesor sin que se modifique el área de la sección transversal, el alargamien-to no resulta afectado. Los datos técnicos disponibles indican que el alargamiento por ciento aumen-ta proporcionalmente al área ele-vada a una potencia de exponente fraccionario.

El alargamiento uniforme no re-sulta afectado por la forma geomé-

trica de la probeta, puesto que, hasta la carga máxima, la probeta se alarga y se contrae en diámetro uniformemente. La forma de la probeta varía de un cilindro de cierta longitud y diámetro a un cilindro de ma-yor longitud y menor diámetro. Por esta razón, el alargamiento unifor-me da una idea más exacta sobre la ductilidad que el alargamiento por ciento convencional (alargamiento de rotura) .

T A B L A 9-5

Dimensiones de las probetas de tracción ASTM

distancia entre puntos

Fie. 9 -8 .—Dibujo esquemático de la variación del alargamiento localizado con la posición a lo largo de la dis-tancia entre puntos de la probeta de

tracción.

Diámetro, pulg Distancia entre puntos, pulg

L/D

0 , 5 0 5 2 3 ,97 0 , 3 5 7 1 . 4 3 ,92 0 . 2 5 2 1 3 ,97 0 . 1 6 0 0 . 6 3 4 3 ,96

9-6. Efecto de la velocidad de deformación sobre las propie-dades de tracción.—La curva de tensiones-deformaciones convencio-nal, a temperatura ambiente, no se modifica en forma apreciable por los cambios en la velocidad de deformación que se observan en un en-sayo de tracción ordinario. (El efecto de impacto y las cargas a velo-

cidad muy alta serán considerados en el Cap. 14.) Los ensayos de trac-ción a alta velocidad u 3, en los que la velocidad de carga ha sido mul-tiplicada por un factor de alrededor de 100 000, han mostrado que el límite elástico es más sensible a los aumentos de la velocidad de defor-mación que la resistencia a la tracciónirLas altas velocidades de defor-mación dan lugar a la aparición del límite elástico aparente en probetas de acero de bajo contenido en carbono, que no lo presentan a veloci-dades de carga ordinarias. El efecto de la velocidad de deformación en la resistencia creciente a la deformación aumenta generalmente en ensayos a temperatura elevada. La figura 9-9 muestra el efecto de la

io-4 io_í; i velocidad de deformación, sea" '

FIG. 9 -9 .— E f e c t o de la ve locidad de d e f o r m a c i ó n sobre la resistencia a la t racc ión del cobre en ensayos a diversas temperaturas . ( A . NADAI y

M . J. MANJOINE : / . Appl. Mech., v o l . 8, p á g . A 8 2 , 1941. )

velocidad de deformación sobre la resistencia mecánica a la tracción del cobre a diversas temperaturas.

Es difícil la determinación de una relación matemática entre la ten-sión de fluencia y la velocidad de deformación, a causa de los muchos problemas experimentales asociados con la medida de las propiedades de tracción para grandes velocidades de deformación. Entre los proble-mas experimentales que pueden presentarse, uno de ellos consiste en que a altas temperaturas de deformación se crea una condición adiabá-tica que da lugar a un aumento de la temperatura de la probeta; no hay tiempo suficiente para que el calor producido por la deformación plástica se disipe. Los ensayos en los que se somete la probeta a una velocidad constante de deformación real, no pueden realizarse fácil-

» 1 . W I N L O C K : Trans. AIME, vol . 1 9 7 , págs. 7 9 7 - 8 0 3 , 1 9 5 3 . 2 R . I . M A C D O N A L D , L . R . CARLSON y W . T . L A N K F O R D : Proc. ASTM, v o l . 5 6 ,

7 0 4 - 2 3 , 1956. 3 A . N A D A Í y M . J . MAJOINE : / . Appl. Mech., vo l . 8 , págs. A77 -A91 , 1 9 4 1

ruAcc

mente con máquinas de ensayo convencionales. Aunque es bastante fá-cil mantener el movimiento de las cabezas a una velocidad constante, esto no asegura una velocidad constante de deformación en la probeta, puesto que la velocidad de deformación que esta experimente aumenta con la carga, especialmente durante la estricción.

Nada i 1 ha presentado un análisis matemático de las condiciones existentes durante la extensión de una probeta cilindrica con un ex-tremo fijo y el otro sujeto a una cabeza móvil de la máquina de ensa-yo. La velocidad de la cabeza es v = dl/dt. La velocidad de deforma-ción, expresada en términos de la deformación lineal convencional, es é: . de d{L-Lv)/L0 _ 1 dL_ v

¿o dt L0 dt [9-30]

Entonces, la velocidad de deformación convencional sería proporcional a la velocidad de la cabeza. La ecuación es aplicable hasta el comienzo de la estricción.

La velocidad de deformación real, é, viene dada por

de d[ ln (¿ /¿o) ] É = 3 T di

1 di T l t '

v T | 9 -31]

Esta ecuación indica que para una velocidad constante de la cabe/a, la velocidad de deformación real disminuirá mientras la probeta experi-menta el alargamiento. Para mantener una velocidad constante de de-formación real, la velocidad de la cabeza debe aumentar proporcional-mente al incremento de la longitud de la probeta. La velocidad de deformación real de una probeta cilindrica está relacionada con el diá-metro instantáneo D¡ por

de d [ 2 1 n ( A / £ > ¡ ) ] 2 € dt dt D¡ dt

[9-32]

La velocidad de deformación real está relacionada con la velocidad de deformación convencional por la siguiente ecuación:

lo de _ 1 de L dt~l + e dt' l + e

[9-33]

Los experimentos sobre velocidad de deformación realizados con acero suave han mostrado una relación semilogarftmica entre el límite elástico aparente inferior y la velocidad de deformación:

<x0=fc1 + k2 log é [9-34]

1 A. NADAJ: " T h e o r y of F low and F r a c t u r e of Solids", vol. I, pdgs. 74-75, M c G r a w - H i l l Book Company , Inc. , N u e v a Y o r k , 1950.

EC. 51

Sin embargo, la siguiente parece ser una relación1 más general entre la tensión de fluencia (límite elástico) y la velocidad de deformación a temperatura y deformación constante:

o- = C( C.T

[9-35]

donde m es un coeficiente conocido como sensibilidad a la velocidad de deformación. La sensibilidad a la velocidad de deformación m puede definirse como la relación entre el incremento de logo- y el resultante en log é, para una deformación y temperatura dadas. El valor de este

->96°C

deformación e

Fie. 9 -10.—Variación de las curvas tecnológicas de tracción del acero

suave con la temperatura.

.1 c o •o c o O o o

o c o c-ò s -s i -c U) « -o tfl M o ™

temperatura ambiente

^resistencia a la tracción

estricción

— temperatura —

Fie . 9-11.;—Variación de las propieda-des de tracción del acero con la t em-

peratura.

parámetro se obtiene por medio de un ensayo en el que la velocidad de deformación se cambie rápidamente de un valor a otro.

m = log (oVo-J log (¿j/c,) [9-36]

La sensibilidad a la velocidad de deformación aumenta, en la mayor parte de los metales, con la temperatura y la deformación.

9-7. Efec to de la t e m p e r a t u r a sobre las propiedades de trac-c i ó n — E n general, la resistencia mecánica disminuye y la ductilidad aumenta al incrementarse la temperatura del ensayo. Sin embargo, por encima de ciertas temperaturas pueden producirse cambios estructu-rales, tales como la precipitación, el envejecimiento por deformación o la recristalización, que alteren este comportamiento general. Además, una exposición prolongada a temperaturas elevadas puede ocasionar la fluencia lenta (creep).

En la figura 9-10 se muestra esquemáticamente el cambio sufrido

' C . ZENER y J. H . HOLLOMON: / . Appl. Phys., vol. 1 5 , págs. 2 2 - 3 2 . 1 9 * 4

. ^ . . r , . , M i « * n a n m i preplidllife d« fricción del acero con la temperatura s c muei t r in en la figura 9-11. La resistencia mecánica aumenta a) mismo (iJmpo que la tempera tura se eleva sobre la ambiente. Alrededor de los 400°F (200°C), el máximo de la resistencia mecánica va acompa-ñado de un mínimo en la ducti l idad, debido al envejecimiento por de-formación o fragilidad azul. La figura 9-12 muestra la variación del limite elástico convencional con la t empera tura , en el tantal io 1 , vol-framio, molibdeno y hierro, red cúbica centrada, y en el níquel, red

-200 200 400 temperatura, °C

600 800

I-IG. 9-12.—Efecto de la temperatura en el l ímite elástico de los metales cc Ta W, M o y Fe y el ccc Ni . (J. H . B E C H T O L D : Acta Met.. vol. 3, pág. 252. 1955.)

cúbica de caras cent radas . Es de des tacar que el límite elástico con-vencional del níquel aumen ta con el descenso de la t empera tura en menor proporción que en los meta les con red cúbica centrada. Esta diferencia en la dependencia de la t empera tu ra del límite elástico con-vencional, se cree que es significativa al explicar por qué los metales con red cúbica de caras cen t radas n o presentan fractura frágil a bajas temperaturas. La par te horizontal de las curvas del W y Mo a bajas temperaturas representa la resistencia a la f rac tura frágil, puesto que estos metales exper imentan f r ac tu ra frágil a estas tempera turas sin,, una gran fluencia. Al comparar la tensión de fluencia o l ímite elástico , a dos temperaturas , es aconsejable efectuar la corrección del efecto de la temperatura sobre el módulo elástico, comparando las relaciones de cr/E mejor que las simples relaciones de los límites elásticos.

1 J. H. B E C H T O L D : Acta Met., voi. 3, págs. 2 4 9 - 5 4 , 1955.

n tu ra en loa ml»mo§ metalM. A d v U r t a u que «I volframio M ewi oem< plctamente frágil a 200 "C y el hierro a - 2 0 0 ' C , mientras que el níquel pierde poca ductilidad a lo largo de todo el intervalo de temperaturas. La falta de una transición frágil en el níquel es una característica ge-neral de los metales con red cúbica de caras centradas y guarda rela-ción con la escasa dependencia con la temperatura de su límite elástico. El comportamiento del tantalio, de red cúbica centrada, es anómalo a este respecto, puesto que no presenta ninguna transición de ductili-dad aunque el límite elástico aumente rápidamente a baja temperatura.

La dependencia existente entre la temperatura y el límite elástico

100

-s 80 c '8 60

40

20

Ni r 1 Tr

1 7\ w/ / / Mo /

Á I /

-200 200 400 temperatura, °C

600 800

Fie. 9 -13 .—Efecto de la temperatura sobre la estricción del T a , W , M o , Fe y N i . ( J . H . B E C H T O L D : Acta Met., vol. 3, pág. 253, 1955.)

para deformación y velocidad de deformación constantes, se puede re-presentar generalmente por

cr = C2 exp [9-371

donde:

£> = una energía de activación del flujo plástico, cal/mol. = constante universal de los gases, 1,987 cal / (grado)(mol) .

T = temperatura de ensayo, °K.

Si esta ecuación es válida, debe obtenerse una línea recta al representar Ino- en función de 1/T, La energía de activación viene dada por la pendiente de la línea. La Ec. [9-37] es válida para el acero, molibdeno y volframio en un intervalo de temperaturas considerable. Sin embargo, no es válida1 a temperaturas inferiores a, aproximadamente, 100 °K.

' E . T . WESSEL : Trans. ASM, voi. 49, págs. 149-72, 1957.

9-8. Efecto combinado de la velocidad de d e f o r m a c i ó n y l a temperatura.—Zener y Hollomon 1 sugirieron que la tensión de fluen-cia con deformación constante estaba relacionada con la velocidad de deformación y con la temperatura en la siguiente forma:

í AH \ I a r = f y ¿ e x P ~f[j=~ ) ¡ 19-38]

AH es una energía de activación, expresada en calorías por mol, y está relacionada con la energía de activación Q de la Ec. [9-37 [ por Q = mt\H, donde m es la sensibilidad a la velocidad de deformación. La cantidad entre paréntesis de la Ec. [9-38] se denomina frecuente-mente el parámetro Z de Zener-Hollomon:

A H Z = é e x p - ^ r 19-39]

La representación de ln é en función de 1/T debe ser una línea recta. Zener y Hollomon basaron esta relación originalmente en el hecho de que el límite elástico y la resistencia mecánica a la tracción del acero y del cobre se correlacionan bien con Z en un intervalo amplio de va-lores de é y T. Más recientemente se ha encontrado que se cumple para los datos de tensión real del molibdeno 2 y el aluminio puro 3. Se ha demostrado que se obtiene la misma relación funcional entre ten-sión y deformación para un valor constante de Z, pero, puesto que AH no es independiente de la tensión, la relación no describe unívocamente la curva de fluencia.

Un tipo de aproximación ligeramente diferente fue propuesto por McGregor y Fisher4 . Según estos autores se pueden combinar la velo-cidad de deformación y la temperatura en una temperatura modificada por la velocidad. La tensión de fluencia o límite elástico para una de-formación determinada será una función de la temperatura modificada por la velocidad Tv:

<r = f(Tv) siendo

r t f = r ( l - f c l n - l j |9-40]

En la Ec. [9-40] k y é0 son constantes relacionadas con la constante de velocidad de la reacción. Esta ecuación se comprobó inicialmente con

1 ZENER y HOLLOMON, op. cit. 2 J . H . BECHTOLD : Trans. AIME, vol. 1 9 7 , págs. 1 4 6 9 - 4 7 5 , 1 9 5 3 . 3 T . A . TROZERA, O . D . SHERBY y J . E . D O R N : Trans. ASM, vol. 49, pági-

nas 173-88, 1957. 4 C . W . MACGREGOR y ]. C . F I S H E R : J. Appl. Mech., vol. 13, págs. 1 1 - 1 6 .

1 9 4 6 ,

datos referentes al acero y el aluminio, en un intervalo grande de tem-peraturas, pero con un número limitado de velocidades de deformación. Más recientemente 1 se ha comprobado para los aceros suaves en un mayor intervalo de velocidades de deformación.

Cuando la Ec. [9-38] se propuso por primera vez, se la interpretó dándole mucha más amplitud que la que hoy se le concede. Se sugirió que dicha ecuación representaba una verdadera ecuación mecánica de estado, análoga a la ecuación de estado de un gas perfecto. El concepto de la ecuación mecánica de estado2 indica que la tensión de fluencia de un metal es solamente función de los valores instantáneos de la deformación, la velocidad de deformación y la temperatura, indepen-dientemente de cuáles fueran las temperaturas y velocidades de defor-mación anteriores. Dicho de otra manera, si un metal no sufre un cam-bio de fase o se modifica fundamentalmente su estructura metalúrgica, se considera que podría llegarse a las mismas condiciones finales de tensión de fluencia y deformación por diferentes caminos de velocidad de deformación y temperatura, siempre que fuese satisfecha la ecua-ción. [9-38]. Sin embargo, experimentos muy extensos 3 , 4 , realizados con aluminio, cobre, acero inoxidable y aceros suaves, han puesto de manifiesto desviaciones apreciables con respecto al comportamiento previsto por la ecuación mecánica de estado. Hoy está bien sentado que la tensión de fluencia depende tanto de las condiciones anteriores de temperatura y velocidad de deformación como de los valores instan-táneos de la deformación, la velocidad de deformación y la tempera-tura. El fracaso de la ecuación mecánica de estado se debe a que las variaciones estructurales que se producen durante la deformación plás-tica no solo dependen de la deformación, sino también de la velocidad de deformación y de la temperatura.

9-9. Ensayos de t racción con ental la .—El ensayo de tracción or-dinario con probetas lisas no sirve para indicar la sensibilidad de los materiales a las entallas. Sin embargo, es posible comprobar si un ma-terial es o no sensible a las entallas, y propenso a la fractura frágil en presencia de concentraciones de tensiones, mediante un ensayo de trac-ción con probetas entalladas. La sensibilidad a la entalla puede estu-diarse también mediante los ensayos de choque con probeta entallada (los llamados ensayos de resiliencia) que se describen en el capítulo 14; estos ensayos se han utilizado ampliamente para los aceros suaves y para el estudio de la fragilidad de revenido. El ensayo de choque t iene la ventaja de que es fácil preparar las probetas y t rabajar dentro de

1 MACDONALD, CARLSON V LANKFORD. op. cit. 2 1 . H . HOLLOMON: Trans. A1ME, v o l . 1 7 1 , p i g . 5 3 5 , 1 9 4 7 . 3 J . E . DORN, A . GOLDBERG y T . E. T I E T Z : Trans. AIME, vol . 1 8 0 , p i g i -

na 2 0 5 , 1 9 4 9 . 4 T . E. T I E T Z y J . E . D O R N : "Cold W o r k i n g of M e t a l s " , pags. 1 6 3 - 7 9 .

c - f . '

intervalos grandes de temperatura, pero le falta la información más fundamental que puede proporcionar el ensayo de tracción con probeta entallada, en el que está mucho mejor definido el estado de tensiones. El ensayo de tracción con probeta entallada se ha empleado para los aceros de alta resistencia, para estudiar la fragilización de los aceros por el hidrógeno y para investigar la sensibilidad a la entalla de las aleaciones para alta temperatura. .

La figura 9-14 muestra los detalles geométricos de una probeta de tracción entallada. La introducción de la entalla produce una condición biaxial de tensiones en el fondo de la entalla y tensiones triaxiales en el interior de la probeta. Como se indicó anteriormente, en la sec-ción 7-2, la presencia de tensiones transversales en la entalla incre-

i r i a D

a

FIG. 9-14.—Detal les de una probeta de tracción entallada.

menta la resistencia a la fluencia y hace disminuir la relación de ten-sión cizallante a tensión de tracción. Una entalla se caracteriza por su agudeza afr y por su profundidad:

d1

Profundidad de entalla = l ~ —

La resistencia a la entalla se define como la carga máxima dividida por la sección transversal inicial en la entalla. La relación de resistencia a la entalla es la existente entre la resistencia a la entalla y la resistencia a la tracción. Esta relación es una medida de la sensibilidad a la en-talla; si es menor que la unidad, el material es frágil a la entalla. El término ductilidad a la entalla se emplea para indicar la estricción en la región entallada. Es muy pequeña y difícil de medir exactamente. La entalla más corrientemente empleada tiene un radio de 0,001 pulg (0,0254 mm) , un ángulo de 60° y la sección transversal se reduce al 50% de la general de la probeta.

La sensibilidad a la entalla del acero suele evaluarse midiendo la resistencia a la entalla como función de la resistencia a la tracción. La figura 9-15 muestra el t ipo de curvas que se obtienen. La resistencia a la entalla cae bruscamente cuando la resistencia a la tracción alcanza, aproximadamente, los 200 000 psi (140 Kg/mm 2 ) , lo que indica que los aceros son frágiles a la entalla por encima de este valor. Por debajo de este punto, la relación de resistencia a la entalla es aproximadamen-te 1,5. Nótese que la ductilidad a la entalla se reduce a valores muy

- 3 0 0 5> a o o o '—'

2 200 c o a a a o c 3

100

bajos cuando la resistencia a la tracción pasa de los 140 Kg/mm*. En la mayoría de los aceros bonificados la relación de resistencia a la entalla desciende por debajo de 1,5 cuando la ductilidad a la entalla cae por debajo del 6%, aproximadamente.

La curva de la resistencia a la entalla en función de la resistencia a la tracción es, a su vez, función de la forma de la entalla. Aumen-tando el radio de la entalla se disminuye la concentración de tensiones elásticas, pero se afec-ta poco al grado de triaxialidad de las tensiones. El efecto de las variaciones en el radio de la en-talla depende del nivel de resis-tencia a la tracción del acero. En los niveles altos, en los que la ductilidad es baja, al suavizar la agudeza de la entalla aumentan la resistencia a la entalla y la relación de resistencia a la enta-lla. Para resistencias a la tracción inferiores a 140 Kg/mm2 , aproxi-madamente, un aumento del ra-dio desde 0,001 a 0,050 pulg (0,0254 a 0,127 mm) no produce ningún efecto en la resistencia a la entalla. En cambio, modifican-do la profundidad de entalla se producen cambios notables en la triaxialidad, con solo escasas va-riaciones en la concentración de tensiones. A niveles bajos de re-sistencia a la tracción, la relación de resistencia a la entalla (RER) es función lineal de la profundidad de la misma:

-S 8 d o 3-8 ? S •o o

o 2

1 ' \ 1S 0

/ V i V

/ /

/ /

\\

\ \ ! 1

^ 0 100 2 0 0 3 0 0 resistencia a la tracción(1000psi)

F i e . 9 -15 .—Prop iedades de t racción con enta l la de dos aceros. E l acero A t iene m a y o r sensibil idad a la ental la

que el acero 23.

RER = 1 + Profundidad de la entalla, %

100

A resistencias más altas, cuando la ductilidad es baja, la resistencia a la entalla depende de la ductilidad a la entalla. La literatura referente a los ensayos de tracción con probeta entallada ha sido objeto de va-rios trabajos de compilación y revisión 2.

' I . D . LUBAHN: N o t c h Tens i le Test ing, " F r a c t u r i n g of M e t a l s " , págs. 9 0 -132, A m e r i c a n Society fo r Meta ls , Meta ls P a r k , O h i o . 1948.

2 J. D . LUBAHN: Trans. ASME, vol . 79, págs. 111-15 , 1957.

9-10. Propiedades de tracción de los aceros.—Debido a la gran importancia industrial de los aceros, se ha trabajado muchísimo para conseguir relacionar sus propiedades de tracción con la composición y la microestructura. Se ha podido comprobar que la microestructura es la variable metalúrgica esencial para determinar las propiedades de tracción del acero. Este tema es muy interesante, aunque un poco com-

FIG. 9 - 1 6 . — P r o p i e d a d e s de t racc ión de U perl i ta l a m i n a r y la per l i ta globular de u n acero eutecto ide. ( D e E . C . BAIN . Alloying Elements in Steel, pás. 39.

A m e r i c a n Society f o r Meta ls , Me ta ls P a r k , Oh io , 1939. )

plicado, por la gran variedad de estructuras que pueden lograrse modi-ficando las composiciones y los tratamientos térmicos.

Las propiedades de tracción de k ; aceros normalizados y recocidos están determinadas por las características de fluencia de la ferrita y por la proporción, forma y distribución de la cementita. La resistencia mecánica de la ferrita depende de la cantidad de elementos de aleación que contiene en solución sólida (Fig. 5-9) y de su tamaño de grano. El contenido de carbono produce un efecto muy intenso porque deter-mina la cantidad de cementita presente como constituyente de la per-lita laminar o de las perlitas globulares. La resistencia aumenta y la ductilidad disminuye al crecer el contenido de carbono por la mayor cantidad de cementita presente en la microestructura. Un acero nor-malizado tendrá más resistencia que otro recocido, porque la mayor velocidad de enfriamiento del tratamiento de normalización da lugar a que la transformación de la austenita se produzca a temperatura más baja, obteniéndose una perlita más fina. La figura 9-16 muestra las diferencias existentes en las propiedades mecánicas por causa de la di-ferente forma de las partículas de cementita; en dicha figura se com-

paran las propiedades de tracción de una estructura globulizada con la de una perlita laminar en aceros con el mismo contenido de carbono. Se han elaborado correlaciones entre composición y velocidad de en-friamiento para predecir las propiedades de tracción de los aceros con estructura perlítica

Uno de los mejores procedimientos para incrementar la resistencia mecánica de los aceros recocidos es el trabajo en frío. La tabla 9-6 pre-senta las propiedades alcanzadas por estirado en frío, a través de una matriz, en un acero SAE 1016 (acero suave al carbono).

T A B L A 9-6

Efecto del estirado en frío sobre las propiedades de tracción del acero SAE 1016 (acero con 0,16% de C ) *

Reducción de secc ión

por esUrado

Limite elást ico, K g / m m '

Res is tencia a la tracción,

K g / m m '

Alargamiento , % as tr i cc ión , %

0 2 8 . 0 4 6 . 2 3 4 7 0 1 0 5 0 , 4 5 2 , 5 2 0 65 2 0 5 7 , 4 5 8 , 8 1 7 • 6 3 4 0 6 0 , 2 6 6 . 5 1 6 6 0 6 0 6 1 . 6 7 1 . 4 1 4 5 4 8 0 6 7 . 2 8 0 . 5 7 2 6

• L. J. EBERT•. «A Handbook on the Propert ies of Cold Worked Stee ls» , P B 121662. Office of Technical Services , U.S. Department of Commerce , 1965.

La estructura perlítica del acero se controla mejor realizando la transformación de austenita a perlita a temperatura constante, en lugar de realizarla a lo largo de un intervalo de temperaturas por el enfria-miento continuo desde una temperatura superior al punto crítico. Aun-que la transformación isotérmica no se usa mucho en la industria es, en cambio, un buen procedimiento para separar el efecto de diversas microestructuras en las propiedades del acero. La figura 9-17 a muestra la variación de las propiedades de tracción de un acero al Cr para cojinetes de bolas F-131 I.H.A., con la temperatura de transformación isotérmica2. En la región de los 700° a los 575 °C, aproximadamente, en la descomposición isotérmica de la austenita, se formaron estruc-turas perlíticas de finura creciente al disminuir la temperatura de trans-formación. La resistencia a la tracción y el límite elástico aumentan al disminuir la temperatura de transformación. La resistencia a la tracción y el límite elástico aumentan al disminuir la temperatura, mientras dis-

1 1 . R . KRAMER, P . D . GORSUCH V D . L . NEWHOUSE : Trans. A1ME, vol. 1 7 2 . págs. 244-72 , 1947.

2 Este acero es equiva lente al 52100 A I S I . F. M c X o z DEL C O R R A L : Revista del Instituto del Hierro y del Acero, año 5, págs. 432-70 , 1952. (N. del T.)

minuyen el alargamiento y la estricción. Entre los 500° y los 300 °C se formaron bainitas, también de finura creciente con el descenso de la temperatura. Las bainitas formadas a las temperaturas más altas, de estructura muy basta, tienen menos resistencia mecánica (resistencia a la tracción y límite elástico) que las perlitas, muy finas, formadas a las temperaturas más bajas. La ductilidad (alargamiento y estricción) son

150

K0 E "5,130 c o o" 120 o t/í 2 » 110

110 c •o o o o o o o O c «I

90

80

« 70

6 0

5 0

* *

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stencia a l< tracción

/ / i

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o" limite el dstico

25

50

2 0 40

3 0

15 £ 2 0 o

| 10 0 01

10 | 0

0 7 00 300 ¿00 500 600

temperatura de descomposición isotérmica,en °C FTC. 9-17 a.—Relación entre las propiedades de tracción de un acero F - 1 3 1 I . H . A . y la temperatura de t ransformación isotérmica. (F, M U Ñ O Z

DEL CORRAL, Revista I.H.A., año 5 , pág. 4 5 4 , 1 9 5 2 . )

mayores en las bainitas de alta temperatura que en ¡as perlitas de las temperaturas más bajas. En la región entre los 575° y los 500 °C se forman mezclas de perlita muy fina y bainita basta de alta temperatura, con propiedades de tracción intermedias, y mínimos de ductilidad cuan-do se mezcla la perlita muy fina con una pequeña cantidad de bainita grosera de alta temperatura. La figura 9-17 b presenta datos análogos obtenidos en un acero eutectoide al Cr-Ni-Mo 1 ; en este acero se for-maron perlitas entre los 700° y los 550 °C (1300° a 1000 °F), aproxima-

1 E . S . D A V E N P O R T : Trans. AME, vol. 2 0 9 . págs. 6 7 7 - 8 8 , 1 9 5 7 .

clámente, y bainitas entre los 430° y los 260 ®C (800* « SÍ)0 •tffTÜlwl-tando un intervalo más amplio de mezcla de productos perláticos y bainíticos, limitado por los 430° y los 550°C (800° y 1000°F). Los re-, sultados expuestos en las figuras 9-1 la y b confirman otros anteriores de G e n s a m e r s e g ú n los cuales la resistencia a la tracción varía lineal-mente con el logaritmo del trayecto medio que libremente se puede recorrer, a través de la perlita, en las estructuras de transformación

FIG. 9-17 b.—Relación entre las propiedades de tracción de u n acero ¡ al C r - N i - M o y la t empera tu ra de t ransformación isotérmica. (E. S. DA-

VENPORT: Trans. AIME, vol. 2 0 9 , pág. 684 , 1957.)

isotérmica, trayecto que en las estructuras perlificas corresponde a la distancia que separa las láminas de cementita. La ductilidad de las bai-

t nitas es buena en el intervalo de temperaturas a que se forman puras, Í q u e corresponde al empleado en los tratamientos industriales de aus-

tempering. Los resultados presentados, especialmente los de la figu-ra 9-17 b, son un buen ejemplo de la sensibilidad de la estricción a las variaciones de la microestructura.

La mejor combinación de resistencia y ductilidad se obtiene en el | acero que ha sido templado a una estructura completamente marten-f; sítica y después revenido. El mejor criterio para comparar las propie-| dades de tracción se establece sobre la base de una estructura bruta

! ' M . GENSA.MER, E . B . PEARSALL, W . S . P E L L I N I y J . R . L o w : Trans. ASM f vol. 30, págs. 983 -1020 , 1942.

de temple que contenga el 100% de martensita. En la práctica indus¡-^ trial es imposible, en muchos casos, lograr tales estructuras compleí^ tamente martensíticas y de ello resulta la importancia de que el acero tenga una determinada templabilidad. Esta propiedad es la que deter- ¿ mina la profundidad de penetración y la distribución de la dureza pro-ducida por el temple. La dureza suele medirse como resistencia a la ' penetración o deformación de,un material; c,t.á relacionada con la re-sistencia mecánica y nos ocuparemos de ella en el capítulo 11. La t e m - f !

plabilidad se puede incrementar alterando la cinética de la transfor-1/' mación de la austenita mediante la adición.de elementos de aleación,*"

0,2 0,3 0,4 0,5 O,(i 0,7 contenido de carbono, % en peso

Fio. 9 - 1 8 . — D u r e z a de l acero b r u t o de temple t n func ión del contenidi de carbono, para dist intas proporciones de martensi ta en la micro

estructura. (ASM Metals Handbook, ed. 1948, pág. 497 . )

mientras que la dureza de un acero que posea unas características ci- v néticas determinadas de transformación está controlada, esencialmente,, por el contenido de carbono. La figura 9-18 muestra la dureza de las», estructuras martensíticas en función del con tenido de carbono y para*»-diferentes contenidos totales de martensita en la microestructura La.' dureza puede servir como una medida conveniente de la resistencia de'¿ los aceros templados y revenidos, porque existe una excelente correla'4. ción entre ella y la resistencia a la tracción en los aceros templados y.] revenidos, normalizados y recocidos (Fig. 9-19). r

Las propiedades mecánicas de un acero templado y revenido pueden^ modificarse variando la temperatura de revenido. La figura 9-20 mués-, tra cómo varían la dureza y las propiedades de tracción con la tern^ peratura de revenido en un acero SAE 4340 (acero al Cr-Ni-Mo conj 0,40% de carbono). El comportamiento que representa es típico de losi aceros bonificados (templados y revenidos). Se han propuesto diversos^ métodos para correlacionar V predecir las variaciones de dureza en lo$|

B 1 H

distintos aceros con la temperatura de revenido J- 3. Al emplear dia-gramas como el de la figura 19-20, es importante saber si los datos se obtuvieron o no en probetas templadas con aproximadamente el 100% ¿e' martensita en toda la sección transversal. Dada la variabilidad de lá templabilidad de una colada a otra de un acero, no se tiene seguri-dad sobre la reproducibilidad de los datos a menos que se cumpla la condic ión m e n c i o n a d a .

Son muchos los aceros de baja aleación que se han desarrollado y

260

2 4 0

.-220 u> a 3 200

c 180 •o

§ 160 u O 140 •

.2 120 u | 100 </> S 80

12 dureza Rockwell C

2 5 31 3 8 4 3 4 7 52

60

4 0

/ /

/

— / /

—

y

/ /

1CC 2 C 0 3 0 0 4 0 0 d u r e z a Br inc l l

5 0 0

Fie. 9 - 1 9 . — R e l a c i ó n entre resistencia a la t racc ión y dureza para ace-, ., ros templados y revenidos, recocidos y normal izados . (SAE Handbook.) i ,

se emplean en el estado de temple y revenido. El estudio de las pro-piedades de tracción de estos aceros conduciría a una gran confusión si no existiesen ciertas generalizaciones aplicables a los resultados4 , 5 . En. los aceros de baja aleación, con contenidos de carbono de 0,3

''"a 0,5%, templados a una estructura con, prácticamente, 100% de mar-$ tensita y luego revenidos para alcanzar resistencias a la tracción de

Y ' I . H . HOLLOMON y L . D . J A F F E : Trans. AI ME, vol. 1 6 2 , pág. 2 2 3 , 1 9 4 5 2 R . A . GRANGE y R . W . BAUGHMAN: Trans. ASM, vol. 4 8 , págs. 1 6 5 - 9 7 ,

1956 . • 3 L . D . JAFFE y E . G O R D O N : Trans. ASM, vol . 4 9 , págs. 3 5 9 - 7 1 , 1 9 5 7 .

U 4 E . J . JANITSKY y M . BAEYERTZ : "Meta ls H a n d b o o k " , págs. 5 1 5 - 1 8 , A m e -«can Society f o r Meta ls , Me ta ls P a r k , Ohio , 1939.

• ' SVV. G . P A T T O N : Metal Progr., vol . 43, págs. 7 2 6 - 3 3 , 1 9 4 3 .

entre 70 y 140 Kg/mm 2 (100 000 a 200 000 psi), todas las propiedades de tracción ordinarias tienen valores relativamente bien determinados que solo dependen de la resistencia a la tracción. Dicho de otra manera, las propiedades de los aceros de esta importante clase no dependen fundamentalmente de la cantidad de elementos de aleación, contenido de carbono entre los límites citados, o temperatura de revenido. Con-viene notar que esta generalización no quiere decir que dos aceros alea-dos darán las mismas propiedades con el mismo tratamiento de reveni-

temperatura de revenido, ° F

FIG. 9-20.—Propiedades de t racc ión del acero SAE 4340 (al Cr-Ni-Mo). templado y revenido, en func ión de la temperatura de revenido. Ba rn tas

de 1 pulg de d iámet ro con temple martensí t ico completo.

do, porque para conseguir el mismo valor de la resistencia a la tracción, para dos aceros de la misma composición, se necesitarán temperaturas diferentes. La figura 9-21 muestra las relaciones que existen entre las propiedades mecánicas de los aceros con estructuras formadas por mar-tensita revenida. El rayado indica la dispersión esperable en los valo-res. Dada esta similitud de propiedades, es lógico preguntarse por qué se emplean tantos aceros con diferentes contenidos de elementos de aleación. Como veremos en el capítulo 14, todos los aceros de baja aleación no tienen la misma resistencia al choque (resiliencia) o igual sensibilidad a la entalla y pueden diferir mucho en estos aspectos cuan-do se tratan para resistencias a la tracción superiores a los 140 Kg/mm2 . Además, para aminorar las dificultades en los tratamientos, p. ej., las grietas de temple, conviene utilizar un acero con el contenido de car-bono más bajo que sea compatible con la dureza exigida después del

temple y del revenido. Por esta razón, en las tipificaciones americanas SAE y AISI se encuentran aceros con el contenido de carbono escalo-nado en intervalos relativamente pequeños.

En las secciones de acero excesivamente grandes para que se pueda

400

300

200

7 0

:o so

50

40

30 100

dure _ i _ i ; — 2Q Brinell s.v . -

!

•

T í

.N s! 1 — ^ Ifmite elás ico

- ro í

aceros de baja aleación con 0,30 a 0,50 % de C, templados y revenidos '/A',

aceros de baja aleación con 0,30 a 0,50 % de C, templados y revenidos

' /A k - f -m

i fe - F zet fe fe >ri.

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•7T- - — 3Z * *

' •a largamiento

r 4 ^ , 1 — t \

200 £ . o

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160 t y 140 Í» •O 120 I ico i

g> o

Ó V * -a ^

o

120 140 160 180 2 0 0 resistencia a la tracción (1000 psi)

o a

FIG. 9-21.—Relaciones entre las propiedades de tracción de aceros de baia aleación templados y revenidos. ( W . G . P A T T O N : Metal Progr.,

v o l . 4 3 , p á g . 7 2 6 , 1 9 4 3 . )

lograr un 100% de martensita, en el temple aparecerán productos de transformación de temperatura superior, tales como ferrita, perlita y bai-nita, entremezclados con la martensita. Estas estructuras suelen denomi-narse de temple incompleto y poseen propiedades de tracción inferiores a las de una martensi ta pura revenida. El límite elástico y la estricción son, generalmente, los más afectados y la resistencia al choque es muy inferior. El efecto del temple incompleto es tanto más marcado cuanto mayor es el nivel de dureza. Al aumentar la temperatura de revenido

JMdaBldKl al temple Incompleto, aproximán-I l l f de martenslta revenida. En los aceros que tienen tem-

fllabllidad suficiente para lograr el 100% de martensita, se encuentra recuentemente que no toda la austenita se transforma en martensita

en el temple. Los estudios realizados han demostrado que el ma-yor efecto de esta austenita retenida es una disminución del limite elástico.

9-11. Anisotropía de las p r o p i e d a d e s de t racción.—Es frecuen-te encontrar que las propiedades de tracción de los productos de metal forjado no son las mismas en todas las direcciones. La dependencia de las propiedades con la orientación se llama anisotropía. En los metales se encuentran dos tipos generales de anisotropía. La anisotropía cris-talográfica es la consecuencia de la orientación preferente de los éranos (textura) que se produce para fuertes deformaciones. Puesto que la resistencia de un monocristal es muy anisótropa, una severa deforma-ción plástica, que produzca una orientación preferente de los granos muy marcada, dará lugar a que la muestra policristalina se aproxime, en cuanto a anisotropía, a un monocristal. Las propiedades más afecta-das son el límite elástico y, en menor proporción, la resistencia a la tracción. El límite elástico en la dirección principal (longitudinal) de trabajo puede ser mayor o menor que en la dirección transversal, se-gún sea la orientación preferida. Este tipo de anisotropía es más fre-cuente en los metales no férreos, especialmente si han sufrido un tra-bajo intenso para transformarlos en chapa. La anisotropía cristalográ-fica puede eliminarse por recristalización, aunque la formación de una textura de recristalización puede provocar la reaparición de im tipo diferente de anisotropía. Una manifestación práctica de la anisotropía es la formación de "orejas" o deformación no uniforme en las copas de embutición profunda. La anisotropía cristalográfica puede ocasionar una deformación elíptica de las probetas de tracción.

La otra clase de anisotropía es el fibrado mecánico, debido a la alineación de discontinuidades estructurales, tales como inclusiones, poros, segregación y partículas de segunda fase en la dirección de tra-bajo. Esta clase de anisotropía es de importancia en las planchas y en las piezas forjadas. La dirección principal de trabajo se denomina direc-ción longitudinal. En una barra es el eje mayor, y en una chapa o plancha, la dirección de laminación. Deben considerarse dos direcciones-transversales. La dirección transversal corta es la dimensión mínima ; del producto, p. ej., el espesor de una plancha. La dirección transver- j, sal larga es perpendicular a las direcciones longitudinal y transversal > corta, simultáneamente. En un redondo o un cuadrado las dos direc-f ciones transversales son equivalentes y en una chapa no pueden me- | dirse las propiedades en la dirección transversal corta. En los produc-J

1 L . S . CASTLEMAN , B . L . AVERBACH y M . C O H É N : Trans. ASM, vol. 4 4 , } págs. 240-63, 1952.

tos de acero forjado el fibrado mecánico es la causa principal de la direccionalidad de las propiedades. Las medidas de la ductilidad, tales como la estricción, son las más afectadas. En general, la estricción es mínima en la dirección transversa] corta, intermedia en la larga y máxima en la dirección longitudinal.

Las propiedades transversales son especialmente importantes en los tubos de paredes delgadas, como los cañones de armas de fuego y los recipientes de presión, que están sujetos a elevadas presiones internas. En estas aplicaciones la tensión principal máxima actúa en la direc-ción circunferencial (tangencial), que corresponde a la dirección trans-

long i tud ina l t ransversa l

ángulo , g rados

F i e . 9 - 2 2 . — R e l a c i ó n e n t r e la estr icción y el ángu lo entre la dirección longi tudina l de f o r j a y e l eje de la probeta. (C . W E L L S y R . F . M E H L :

Trans. ASM, vol . 41 , pág. 753, 1949 . )

versal de las piezas forjadas cilindricas. Aunque no existe ningún mé-todo directo para introducir la estricción en el diseño de este tipo de piezas, es bien sabido que la estricción transversal es un buen índice de la calidad del acero para estas aplicaciones. Esta es la razón por la que a veces figura un valor límite de la estricción en la especificación de un material. Se han realizado muchos estudios h 2 - 1 sobre las pro-piedades transversales de los tubos de artillería y de las grandes piezas de forja, obteniéndose datos muy interesantes. La figura 9-22 muestra la variación de la estricción con el ángulo formado por el eje de la probeta de tracción y la dirección longitudinal de una pieza forjada de acero SAE 4340 (al Cr-Ni-Mo con 0,4% de C) . No se encuentran variaciones parecidas en el límite elástico o en la resistencia a la trac-ción. Esta figura muestra los valores máximos y mínimos de la estric-ción obtenidos para diferentes orientaciones de la probeta. La gran

> C . W E L L S y R . F . M E H L : Trans. ASM, vo l . 41 , págs. 7 1 5 - 8 1 8 , 1949. 2 A . M . GROBE, C . W E L L S y R . F . M E H L : Trans. ASM, vol. 4 5 , págs. 1 0 8 0 -

122, 1 9 5 3 . 3 E . A . L O R I A : Trans. A S M , vol. 42 , págs. 486 -98 , 1950.

BIETETL.—19

Üa aníio tropfa de la estricción sumen-ta con el nivel de resistencia. En el intervalo de resistencias a la trac-ción de 56 a 126 Kg/mm2 (80000 a 180 000 psi), la estricción trans-versal disminuye aproximadamente el 5% por cada 3,5 Kg mm2

(5000 psi) de aumento de la resistencia a la tracción. La figura 9-23 muestra la forma en que varían la estricción longitudinal y la trans-versal en función de la reducción de forja. La reducción de forja es la

relación entre el área de la sección trans-versal inicial y la de la final de la pieza forjada. Las propiedades óptimas suelen encontrarse para reducciones de forja comprendidas entre 2 : 1 y 3 :1 . Se consi-dera que las inclusiones no metálicas son la causa principal de los valores bajos de la estricción transversal. Esta suposición se basa en el hecho de que los aceros fabricados en vacío dan estricciones trans-versales más elevadas y en correlaciones establecidas entre el contenido de inclu-siones y la estricción transversal '. Hay otros factores, tales como la micn segre-gación y la estructura dendrítica, que son responsables de la baja ductilidad trans-versal de las piezas forjadas.

Un aspecto interesante de la resisten-cia anisotrópica de los metales se relacio-na con el efecto de una deformación de torsión previa sobre las propiedades de tracción. Swift2 sometió a torsión barras de acero suave y luego determinó las propiedades de tracción de las mismas. Si la deformación de cizallamiento de la

. . . - . - torsión alcanza, en la superficie, valo-res superiores a la unidad, disminuyen mucho la resistencia a la tracción y la estricción. A la vez el tipo de la fractura cambia des-de la de. copa a una sobre un plano a 45". St las probetas torsiona-das,se.-destorsionaban después, el efecto sobre la resistencia a la trac-ción y. la ductilidad gran pequeños. Al interpretar estos resultados3 se sugirió:qué la torsión produciría una orientación preferente de las mi-crogrietas que en un principio estaban orientadas aleatoriamente. Era de ".presumir. que las microgrietas se orientasen a lo largo de la super-ficie helicoidal que está en compresión durante la torsión (véase fi-

M 3:1 5:1 70 reducción de for ja

FIG. 9 - 2 3 . — E f e c t o de la re-ducción de fo r ja en la estric-c ión long i tud ina l , y transver-sal. Resistencia a la t racción, 118 000 psi (82,6 K g / m m 2 ) . ( C . W E L L S y R . F . M E H L : Trans. ASM, vol . 41, pági-

. na 755, 1949. )

C - 1 J . WELCHÑER y W . G . HILDORF : Trans. ASM, vol . 4 2 , págs. 4 5 5 - 8 5 , 1 9 5 0 . I 1 H . W . SWIFT: J. Iron Steel Inst. (Londres), vo l . 1 4 0 , pág. 1 8 1 , 1 9 3 9 . 3 G . ZENER y J. H . HOLLÓMON: Trans. ASM, vo l . 3 3 , pág. 1 6 3 , 1 9 4 4 . •

1 s

%

4 6 1 1 « N p i i r a o W n I l o l a r g o d e p l a n o s a 4 f* . C u a n d o se d i s t o r s i o n a b a n l a s p r o b e t a s a n t e s d e romper las en t racc ión , se s u p u s o q u e la s microgr ie tas s e reor ienta -b a n en la d i r e c c i ó n l o n g i t u d i n a l y en e s t a o r i e n t a c i ó n a f ec taban p o c o a l a s p r o p i e d a d e s d e t r a c c i ó n . A u n q u e n o h a y p r u e b a s e x p e r i m e n t a l e s d e la e x i s t e n c i a d e t a l e s m i c r o g r i e t a s , s e a d m i t e q u e p o d r í a n i n i c i a r s e en l a s i n c l u s i o n e s y en las p a r t í c u l a s d e s e g u n d a f a se . E x p e r i m e n t o s s i m i l a r e s r e a l i z a d o s c o n c o b r e O F H C ( e x e n t o d e o x í g e n o , d e a l ta c o n -d u c t i v i d a d ) , en el q u e n o e x i s t í a n p a r t í c u l a s d e s e g u n d a f a s e n i o r i e n -t a c i o n e s p r e f e r i d a s , c o n f i r m a r o n l a s o b s e r v a c i o n e s d e S w i f t L a a n i -s o t r o p í a o b s e r v a d a s e exp l i có m e d i a n t e l a h i p ó t e s i s d e q u e el m e t a l c o n t e n í a u n a e s t r u c t u r a f i b r o s a d e d e f e c t o s , c o n l a s c a r a c t e r í s t i c a s d e g r i e t a s s u b m i c r o s c ó p i c a s . H a y a l g ú n i n d i c i o d e q u e las g r i e t a s se i n i c i a n d u r a n t e la s o l i d i f i c a c i ó n de l l i n g o t e y q u i z á d u r a n t e l a d e f o r m a c i ó n p l á s t i c a , en la q u e s e o r i e n t a n en la d i r e c c i ó n p r i n c i p a l d e t r a b a j o .

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i

CAPITULO 1 0

EL ENSAYO DE TORSION

10-1. Introducción—El ensayo de torsión no ha alcanzado una aceptación tan general y un empleo tan amplio como el ensayo de trac-ción. Sin embargo, es muy útil en muchas aplicaciones técnicas y en los estudios teóricos del flujo plástico. Los ensayos de torsión se reali-zan para determinar propiedades de los metales, tales como el módulo de elasticidad en cizallamiento, el límite elástico en torsión y el mó-dulo de rotura. También se verifican sobre piezas enteras, tales como árboles, ejes y taladros helicoidales, que están sometidas a cargas de torsión durante el servicio. Los materiales frágiles, p. ej., los aceros de herramientas, se someten frecuentemente a ensayos de torsión y se ha empleado la torsión a temperatura elevada para estimar la forjabili-dad de los materiales. El ensayo de torsión no se ha tipificado con tanta extensión como el de tracción y se exige raramente en las espe-cificaciones de materiales.

El ensayo de torsión se realiza con un equipo que, esencialmente, consta de una cabeza de torsión, con mordazas para sujetar la probeta y aplicar el momento torsor, y una cabeza de medida que sujeta el otro extremo de la probeta y mide el momento o par de torsión. La defor-mación se mide determinando el desplazamiento angular de un punto próximo a uno de los extremos de la probeta con respecto a otro punto cercano al otro extremo y situado en el mismo elemento longitudinal. Las probetas de torsión tienen, generalmente, una sección transversal circular, puesto que la forma cilindrica es la que permite un cálculo más sencillo de las tensiones. En el intervalo elástico varía la tensión cizallante linealmente desde un valor nulo, en el centro de la barra, hasta un valor máximo en la superficie, por lo que muchas veces con-viene ensayar probetas tubulares de paredes delgadas. En este caso se tiene una tensión cizallante casi uniforme sobre toda la sección trans-versal de la probeta.

10-2. Propiedades mecánicas de torsión.—Supongamos una ba-rra cilindrica cuyo extremo está sometido a un momento de torsión (Fig. 10-1). Al momento torsor se oponen las tensiones cizallantes en-gendradas en la sección transversal de la barra. La tensión cizallante es nula en el centro de la barra y aumenta linealmente con el radio. Igualando el momento torsor al momento resistente se obtiene

[10-1]

292

Pero f r*dA es el momento polar de inercia del área de la sección con respecto al eje de la barra, por lo que

o bien

en donde:

M 7 =

T —

T¿

r

MTr

~ r [10-2j

T = tensión cizallante, M7-=momento de torsión,

r = distancia en la dirección del radio, medida desde el centro, / = momento polar de inercia.

r

F ie . 1 0 - 1 . — T o r s i ó n de una barra maciza.

Como la tensión cizallante es máxima en la superficie de la barra, para una probeta maciza, en la que J = d4/32, la tensión máxima es

Tniáx : MjD/2 16M r

ttD4/ 32 TtD¡ [10-3]

Para una probeta tubular, la tensión cizallante en la superficie exter-

r = [10-4] *r(D,«-D2<) 1 J

en donde:

Di=diámetro externo del tubo, Z)2=diámetro interno del tubo.

El aparato empleado para determinar el ángulo de torsión, 6, mide generalmente en radianes. Si L es la longitud de la probeta, se deduce, de la figura 10-1, que la deformación de cizallamiento está dada por

y = trg <j> = re [10-5]

Durante un ensayo de torsión se hacen mediciones del momen to tor-sor MT y del ángulo de torsión 6. Se obtiene usualmente un diagrama par-ángulo como el de la figura 10-2.

Las propiedades elásticas de torsión pueden obtenerse ut i l izando el par en el l ímite proporcional o el par que produce un de te rminado ángulo de torsión plástica permanente , y calculando la tensión ciza-llante que corresponde- al momento torsor, mediante las ecuaciones adecuadas dadas anter iormente . C o m o ángulo convencional de defor-mación permanente para determinar el l ímite elástico convencional en torsión, al que nos acabamos de referir , se toma f recuentemente el de 0,001 radián/pulg de distancia entre puntos (aproximadamente 0,00004

r a d i a n e s / m m de distancia entre pun tos ) . Para medir el l ímite elás-tico con precisión es necesario em-plear p robe tas tubulares. Dado el gradiente de tensión que existe a través del diámelro de una ba-rra maciza, el flujo plástico de las f ibras externas está impedido por las internas, menos cargadas. Por esta causa, con los instrumen-tos usuales no se observa de forma clara el momen to en que se alcan-za, por primera vez, el ángulo de torsión permanente convenido. Empleando probetas tubulares de paredes delgadas resulta mínimo

este cíccto, porque se elimina prác t icamente el gradiente de ten-sión. Hay que tener cuidado, sin embargo, de que el espesor de pa-red no se reduzca excesivamente o de que la probeta falle por pandeo más que por torsión. La experiencia ha mos t rado que para determinar el módulo y el l ímite elásticos en torsión, la relación entre la longitud empleada en el ensayo y el d iámet ro exterior debe ser aproximada-mente igual a 10 y la relación entre el d iámetro y el espesor debe estar entre 8 y 10.

Una vez que se ha sobrepasado el l ímite elástico de torsión, ya no es lineal la distribución de la tensión cizallante entre el cent ro y la superficie de la probeta y no se cumplen las Ees. [10-3] o [10-4]. A pesar de ello se de termina f recuentemente un denominado módulo de rotura o resistencia al cizallamiento por torsión, sust i tuyendo el par máximo .medido en las ecuaciones citadas. Los resul tados obtenidos por este procedimiento sobreest iman la tensión cizallante máxima. Un mé todo más preciso de calcular este valor se discutirá en la sección siguiente. Aunque el procedimiento descri to in t roduce un error con-siderable, el módulo de terminado es generalmente suficiente para com-

dngulo de torsion, g r a d o s

Fifi. 1 0 - 2 . — D i a g r a m a par- torsión. a = = de formac ión permanente e n el l ími te

elástico convencional .

•

parar y seleccionar materiales. Para determinar el módulo de rotura con probetas tubulares, la relación entre la distancia entre puntos y el diámetro debe ser aproximadamente igual a 0,5 y la relación de diámetro a espesor entre 10 y 12.

Dentro de la región elástica, se puede considerar que la tensión ci-zallante es proporcional a la deformación de cizallamiento. La cons-tante de proporcionalidad G es el módulo de elasticidad en torsión o módulo de rigidez

T = G Y 1 1 0 - 6 J

Sustituyendo las Ees. [10-2] y [10-5] en la [10-6] se obtiene una ex-presión para el módulo de rigidez en términos de las dimensiones geo-métricas de la probeta, el par y el ángulo de torsión

[10-7] JO

10-3. Tensiones de torsión para deformaciones plásticas gran-d e s — M á s allá del límite elástico de torsión la tensión cizallante ya no es función lineal de la distancia al eje, y no pueden aplicarse las Ees. [10-3] y [10-4], Nada i 1 ha presentado un método de cálculo de la tensión cizallante en la región plástica a partir de la curva par-ángulo de torsión. Para simplificar el análisis, consideraremos el ángulo de torsión por unidad de longitud, 6', que es 9' = 6/L. De acuerdo con la Ec. [10-5], la deformación de cizallamiento será

: y = rB' [10-8]

La Ec. [10-1] para el par resistente en una sección transversal de la barra puede escribirse en la forma siguiente:

M7- = 2TT ("rr'dr [10-9] Jo

La tensión cizallante se relaciona con la deformación de cizallamiento mediante la curva tensión-deformación en cizallamiento

r = f ( y )

Introduciendo esta ecuación en la [10-9] y haciendo el cambio de va-riable de r a y mediante la Ec. [10-8], se obtiene

Mt = 2TT •'O (6')2 8' • '

M r ( 0 ' ) 5 = 27r [ K f ( y ) y 2 d y [10-10] Jo

' A . NADAI : " T h e o r y of Flow and Fracture of Solids", 2." ed., vol. I . págs. 347-349, M c G r a w - H i l l Book Company, Inc. , N u e v a Y o r k , 1950. D. S . F I E L D S y W . A . BACKOFEN han dado una generalización de este análisis de los materiales sensibles a la velocidad de deformación, troc, ASTM, vo l . 57. págs. 1259-272, 1957.

DI IlON

en donde es y a = ad'. Derivando la Ec. [10-10] con respecto a 6',

{Mtf'1) = 2iraf{a&'ja2 {O')2 = 2tra3 (8')2f(a8') citi

Pero como la máxima tensión cizallante en la barra, en la fibra exter-na, es ra = f{a8'), se tiene ,

—— = 27ra1 (8 )-ru c/0

3 Mt(8')2+ (8' j < ^ = 2t™3(6>')V„ c/ff'

y, por tanto, 1

2ttcí3 \ c/tí' 10-11]

A par t i r de la curva par-ángulo se pueden calcular las tensiones ciza-l lantes median te la ecuación anter ior . La figura 10-3 indica la forma en

que puede operarse. Examinan-do la Ec. [10-11] se observa que se puede escribir en térmi-nos de los datos geométricos de la figura 10-3 en la forma s iguiente:

i 3CD) |10-12|

c •o 5»

5 A

c «i E o E

v N

7 1

«'máx / 1 «r

/ i ! / i / , i

r — 8 — i 1 r i i

á n g u l o de torsión por unidad de longitud b

F i e . 1 0 - 3 . — M é t o d o para calcular la tensión c izal lante a part i r del diagra-

m a par- torsión.

La figura 10-3 indica también que en el valor máximo del par es dMT/d0' = Q. Por tanto, la resistencia al cizallamiento por torsión, o módulo de rotu-ra, se puede expresar por

3Mmax

277-fl3 10-13]

10-4. T i p o s d e f r a c t u r a s d e t o r s i ó n . — L a figurá 10-4 mues t ra el es tado de tensiones en un punto de la superficie de una barra sujeta a torsión. La tensión cizallante máx ima se presenta sobre dos planos mutuamen te perpendiculares, uno perpendicular al eje longitudinal yy y otro paralelo a él. Las tens iones principales cr, y cr} fo rman un ángulo de 45° con el eje longitudinal y son de igual magnitud que las tensiones cizallantes. <r¡ es una tensión de tracción y a } es una igual de compresión. La tensión in termedia cr2 es nula.

Las f rac turas de torsión se diferencian de las de tracción en que presentan poca estricción o a largamiento localizados. Un metal dúctil

& & A' r

falla por cizallamiento a lo largo de los planos de tensión cizallante máxima. El plano de la fractura es, generalmente, normal al eje longi-tudinal (Fig. 10-5 a) . Un metal frágil falla por torsión a lo largo de un plano perpendicular a la dirección de tensión cizallante máxima. Puesto que este plano biseca al ángulo formado por los dos planos de tensión cizallante máxima y forma un ángulo de 45° con las direc-ciones longitudinal y transversal, la fractura es helicoidal (Fig. 10-5 fe). A veces se observan fracturas en que la longitud de ensayo de la pro-beta rompe en múltiples trozos pequeños. En estos casos puede com-

Fic . 1 0 - 4 . — E s t a d o de tensiones en la torsión.

(ai (¿i

Fie. 10 -5 .—Frac turas típicas de torsión, a) F r a c t u r a de c iza l lamiento ( d ú c t i l ) : b) f ractura de t racción ( f rági l ) .

probarse usualmente que la fractura se inició sobre un plano de ten-sión cizallante máxima paralelo al eje de la probeta. Un estudio de la fractura por torsión de un acero de herramientas ha demostrado1 que la fractura se inicia en planos de tensión cizallante máxima, con dure-zas de hasta 720 Vickers, y que por encima de esta dureza las fracturas fueron causadas por las tensiones de tracción.

' 10-5. Relación entre los ensayos de torsión y tracción.—Un tema interesante es el planteado por la proposición lanzada por Sau-veur 1 de que el ensayo de torsión proporciona una medida más exac-ta de la plasticidad de un metal que un ensayo de tracción. Por una parte, el ensayo de torsión conduce directamente a una curva de

! , ' R . D . OLLEMAN, E . T . VV'ESSEL y F . C . H U L L : Trans. A 5 . M , v o l . 4 6 . p á -ginas 87-99, 1954. ' 1 A. S A U V E U R : Proc. ASTM, vol. 38, 2.' parte, págs. 3-20, 1938.

tensión cizallante en función de la deformación de cizallamiento. Este tipo de curva es una fase más exacta para caracterizar el comporta-miento plástico que una curva tensión-deformación determinada en tracción. En torsión se pueden obtener valores mucho mayores de la deformación, sin complicaciones tales como la estricción localizada, en tracción, o el abarrilamiento debido a los efectos de fricción, en la compresión. Además, en la torsión se pueden realizar fácilmente ensa-yos a velocidades constantes o elevadas. Por otro lado, es muy traba-joso transformar los datos par-ángulo en curvas de tensión cizallante en función de la deformación de cizallamiento. Además, habrá un fuerte gradiente de tensión a través de la sección, a menos que se empleen probetas tubulares. Esto hace difícil la determinación exacta del límite elástico convencional.

Seguidamente se comparan los ensayos de tracción y de torsión en términos de los estados de tensión y deformación desarrollados en cada ensayo:

Ensayo de tracción

cri = a-máx; cr2 = (T3 = 0

Ensayo de torsión

cr, = - en; cr2 - 0

_ °*1 _ mi-i Tmix — ~2~ — ~2~ Tmáx — -

2cr¡ = 0-1

£inix = £ 1 y e2 = €3 = «1

Vmdx = senh 36. 2

ñ

fimáx = £1 = — £3 ¡ e2 = 0

7máx = ei - e 3 = 2e,

[ ( O - , - O - 2 ) 2 + (a,-a-})2+ (o-i-o-,12]1 '2

¿ - [ W W + e / ) ! " 2

& = o-¡

( ¿I

(T = \ / 3<X|

- 2 y £ - £1

s'*

Is la comp,uaeiou muestra que scia doble de n .mde en O M M O U

qtu1 on tiaccti'ni, para un valor d.ulo de <>mU. Cotno, en pumei.i apio situación, se puedo considerar que la deformación plástic.1 ocurre al ¡tlcáuvüi'se un valor critico tic y la tiaclura al llci'.aise olio critico de <rmiU, la oportunidad para el comportamiento dúctil es mayor en torsión que en tracción. La figura 10-6 ilustra esquemáticamente este punto; se la puede considerar como representativa de la condición de un material frágil, tal como un acero de herramientas templado. En el ensayo de torsión se alcanza la tensión cizallante crítica para el

flujo plástico antes que la tensión normal crítica para la fractura. Aun tratándose de un material dúctil en tracción, en el que la tensión nor-mal crítica se desplaza hacia la derecha en la figura 10-6, se puede ob-servar que la deformación plástica es mayor en torsión que en tracción

La curva tensión-deformación del ensayo de tracción se puede cons-truir partiendo de la curva de torsión, cuando la curva tensión-defor-

F ic . 1 0 - 6 . — E f e c t o de la relación T m á , /o - m í x en la d e t e r m i n a c i ó n de la duct i l idad. (Según Gensamer.)

FIG. 10 -7 .—Curvas reales deformación- tensión en t racc ión y torsión del acero suave.

mación se representa en términos de ensiones y deformaciones efec-tivas o de tensiones y deformaciones o> aédricas (véase problema 10-4). La figura 10-7 muestra la curva real t< isión-deformación de un ensayo de tracción y la curva tensión-defor ación, ambas en cizallamiento, para un material en torsión. Si amba.r curvas se representan en térmi-nos de tensiones y deformaciones efec vas (la curva de tracción no se altera), ambas curvas se superponen < nitro de límites muy estrechos. En la bibliografía se encuentran mu ios ejemplos de este hecho1 2

También se obtiene una línea recta pa t los datos de torsión cuando se representa el logaritmo de la tensión ectiva en función del logaritmo de la deformación significativa3. Los /alor es de K y >i obtenidos de estas curvas concuerdan bastante bien con los comparables del ensayo de tracción.

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CAPITULO 1 1

EL ENSAYO DE DUREZA

11-1. I n t r o d u c c i ó n — L a dureza de un material es un término mal definido que puede significar distintas cosas según la experiencia de la persona que lo emplea. La dureza implica, en general, una resisten-cia a la deformación y para los metales es una medida de su resisten-cia a la deformación permanente. Para una persona relacionada con la mecánica del ensayo de materiales, lo más probable es que la dureza signifique una resistencia a la penetración, mientras que para un inge-niero proyectista es una cantidad fácil de medir y especificar que está relacionada con la resistencia y el tratamiento térmico de un metal. Hay tres tipos generales de medidas de dureza, que dependen de la forma de conducir el ensayo. Estos son: 1) dureza de rayado; 2) du-reza de penetración, y 3) dureza al rebote o dinámica. Solo la dureza de penetración es del máximo interés tecnológico para los metales.

•La dureza de rayado interesa principalmente a los mineralólogos. Según esta forma de estimar la dureza, los diversos minerales y otros materiales se clasifican por su capacidad para rayarse unos a otros. La dureza se mide de acuerdo con la escala de Mohs, que consiste en 10 minerales tipo dispuestos en orden a su capacidad a ser rayados. El mineral más blando de esta escala (dureza de rayado 1) es el talco, mientras que el diamante tiene una dureza de 10. La uña de un dedo tiene una dureza de rayado de, aproximadamente, 2; el cobre reco-cido, 3, y la martensita, 7. La escala de Mohs no resulta adecuada para los metales porque los intervalos no son lo suficientemente amplios en la zona de durezas elevadas. La mayoría de los metales duros que-dan en el intervalo de dureza Mohs 4 a 8 . 'En un tipo diferente de ensayo de dureza al rayado 1 se mide la profundidad o la anchura de una raya que se forma desplazando un estilete con punta de diamante a través de la superficie y bajo una carga definida. Este procedimiento es de utilidad para medir las durezas relativas de los microconstitu-yentes, pero no se presta por su índole a una elevada reproducibilidad o a precisión extrema.

•En las mediciones de dureza dinámica se deja caer un martilHto sobre la superficie del metal y se mide la dureza por energía perdida en el impacto. El escleróscopo Shore, que es el ejemplo más común de aparato para ensayar la dureza dinámica, mide la dureza en términos de la al tura de rebote del martillito. '

>E. B. B E R G S M A N : ASTM Bull. 176, págs. 37-43, septiembre, 1951. 301

l í - 2 , l)iiiv;zn Brinell.—El primer ensayo de dure/.a de penetra-ción ampliamente aceptado y tipificado fue propuesto por J. A. Bri-ncll en J900. El ensayo de dureza Brinell consiste en comprimir sobre la superficie del metal una bola de acero de 10 mm de diámetro con una carga de 3000 Kg. Para evitar una huella demasiado profunda en los metales blandos se reduce la carga a 500 Kg, y para los metales muy duros se emplea una bola de carburo de volframio para que sea mínima la deformación del penetrador. La carga se aplica durante un tiempo normalizado, usualmente de 30 seg, y, después de eliminar la carga, se mide el diámetro de la huella con un microscopio de pocos aumentos. Debe obtenerse la media de dos diámetros perpendiculares. La superficie sobre la que se produce la huella debe ser relativamente lisa y estar exenta de suciedad o cascarilla. La cifra de dureza Bri-nell (HB) es el resultado de dividir la carga P por el área superficial de la huella. Se emplea la fórmula 1 :

P HB Dureza Brinell = f l l - H

t-rr/' 2) (D - </D2 - d2) en la que:

P = carga aplicada, en Kg; D = diámetro de la bola, en r m; c/ = diámetro de la huella, er mm.

Debe hacerse notar que las cifras Bn ell tienen dimensiones de Kg 'mm2, pero no son un concepto físico satis: tetorio porque la Ec. [11-1] no da la presión media sobre la superficie le la huella. La huella no es exac-tamente un casquete perteneciente . una esfera de diámetro D, como supone la fórmula, ni es necesariam nte un casquete esférico.

De una manera general, solo es instante la cifra de dureza Brinell de un material para una misma car; aplicada y el mismo diámetro de la bola. Se ha demostrado que para obtener el mismo valor de dureza Brinell con una carga que no sea la specificada, es necesario mantener una relación de semejanza geométnca. Esta exige que la relación de los diámetros de la huella y de la bola d'D sea constante. Basta man-tener P/D2 constante para que, en primera aproximación, se cumpla la ley de semejanza.

El mayor error que se introduce en las mediciones de la dureza Brinell proviene de la determinación del diámetro de la huella. Se supone que el radio de curvatura de la huella es igual al radio de la bola cuando ambas están en contacto bajo carga, pero, debido a la recuperación elástica, al descargar la huella resultante tiene un radio de curvatura más grande que el de la bola, aunque dicha huella siga

1 En la mayor parte de las referencias bibliográficas que se indican al final de este capítulo pueden hallarse las tablas que dan H B en función de à con cargas normalizadas.

siendo un casquete esférico. La recuperación elástica es tanto mayor cuanto más duro es el metal. Por esta causa no se introducen errores en las medidas del diámetro de la huella, porque este, que es el del casquete, es despreciablemente alterado por la recuperación. En cam-bio, se cometerían errores al determinar la dureza Brinell, que esencial-mente está definida por la Ec. [11-1], si en lugar de medir el diámetro se midiese la profundidad de la huella, porque esta disminuye funda-mentalmente por efecto de la recuperación elástica. . En cambio, una causa fundamental de error en la determinación del diámetro de la huella es la deformación localizada en la circunferencia del borde. Esta deformación localizada puede adoptar dos formas diferentes en una sección transversal de la huella, que se muestran esquemáticamente en la figura 11-1. El esquema de la parte superior muestra el "apilamiento" o "rebordeado" de la huella en el que se forma un labio prominen-te alrededor del borde. Este comportamiento es más corriente en los metales t rabajados en frío, con poca capacidad de endurecimiento por deformación. El diámetro que se mide es mayor que el real de la huella, pero como el borde soportó parte de la carga, se acostumbra tomar como diámetro el d de la figura. El di-bujo de la parte inferior muestra el "hundimien-to" del metal en el borde de la huella. Este tipo de comportamiento es corriente en los metales recocidos, que endurecen rápidamente por de-formación. El verdadero diámetro de la huella puede determinarse algunas veces, en este caso, untando la bola con un colorante antes de obtener la huella. Muchas veces es necesario mejorar la nitidez de la definición de la huella para medir el diámetro más exactamente. Esto se puede conseguir empleando una bola de acero ligeramente atacada o recubriendo su superficie con un pigmento negro mate.

11-3. Dureza Meyer.—Meyer 1 sugirió que una forma más racio-nal que la propuesta por Brinell para definir la dureza sería la basada en el área proyectada de la huella en lugar de en la misma área. La presión media entre la superficie del penetrador de bola y la huella es igual a la carga dividida por el área proyectada de la huella:

P

r - ' - i

(a)

Fie . 11-1. — Secciones transversales de una h u e l l a B r i n e l l q u e muestran a) rebordea-do y b) h u n d i m i e n t o .

1 E. M E Y E R : Z. Ver. deut. Ing., vol. 5 2 , págs. 6 4 5 - 5 4 , 1 9 0 8 .

REL EN RO DE" SEZA

Meyer propuso tomar esta presión como medida de la dureza. La du-reza Meyer se expresa en función del diámetro de la huella

Dureza Meyer = 4 P mP [11-2]:

Lo mismo que la dureza Brinell tiene dimensiones de Kg/mm2. Sin embargo, es menos sensible a la variación de la carga. En un metal tra-bajado en frío la dureza Meyer es esencialmente constante e indepen-í: diente de la carga, mientras que la Brinell disminuye al aumentar l a ' carga. En un metal recocido aumenta la dureza Meyer constantemente ' al aumentar la carga, como consecu ncia del endurecimiento por de-formación. La dureza Brinell primei ) aumenta con la carga y luego llega a disminuir al seguir aumentando la última. La dureza Meyer es una medida más fundamental de la lureza, pero se empica raramente para fines prácticos.

Meyer propuso una relación empí: ica entre la carga y el tamaño de la huella, que suele llamarse ley de b'-eyer,

en la que: P --- -- k 11-3]

P ~ carga aplicada, en Kg; d = diámetro de la huella, en m m ; « ' - u n a constante del material relacionada con el endurecimien-

to por deformación del meta l ; & = una constante del material que expresa la resistencia del

metal a la penetración.

El parámetro n' es la pendiente de la línea recta que se obtiene cuando se representa l o g P en función de log d\ k es el valor de P para c/ = l. Los metales recocidos a fondo tienen un valor de n' aproximadamente igual a 2,5, mientras que es igual a 2 en los completamente endureci-dos por deformación en frío. Este parámetro está relacionado con el coeficiente de endurecimiento por deformación de la ecuación expo-: nencial de la curva real tensión-deformación. El exponente de la ley... de Meyer es aproximadamente igual al de endurecimiento por defor- :

r mación aumentado en dos unidades.

Cuando se hacen huellas con bolas de distinto diámetro, se obtie-^. nen diferentes valores de k y n :

P = fc.D,".' = k:D2n2 = kiDi",...

y Meyer encontró que rí era casi independiente del diámetro de la/ ; bola D, pero que k disminuye al aumentar el valor de D. Este hecho J se puede expresar numéricamente mediante la relación

C = jfe.Di»'-2 = k:D2"' 2 = k,Ds"''2... :{;

UN

llegándose a la expresión general de la ley de Meyer:

Cdf C d z C d f p = . D , " ' - 2 D / - 2 [114 ]

De la Ec. [11-4] pueden sacarse varias conclusiones interesantes. Si escribimos esta ecuación en la forma

D [11-5]

veremos que, puesto que d/D debe ser constante para que se cumpla la ley de semejanza, la relación P/cP también debe ser una constante. Como P/cP- es proporcional a la dureza Meyer, se llega a la consecuen-cia de que si las huellas son semejantes se obtendrá siempre la misma cifra de dureza Meyer. La Ec. [11-4] puede también escribirse en la forma

P i d V -=C\~) [11-6] D2 D

y recordando otra vez que la ley de semejanza de las huellas exige la constancia de d/D, se deduce que las huellas también serán semejantes si P/D2 es constante. Por tanto, se obtendrán los mismos valores de dureza si se mantiene constante la relación P/D2.

Hay un límite inferior de carga por debajo del cual no es válida la ley de Meyer. Si la carga es demasiado pequeña no es completamente plástica la deformación alrededor de la huella. Para una bola de 10 mm, la carga debe ser mayor de 50 Kg para el cobre (dureza Brinell = 100) y mayor de 1500 Kg para el acero (dureza Brinell=400). Para bolas de diferente diámetro las cargas críticas serán proporcionales a los cua-drados de los diámetros.

11-4. Análisis de la hue l la p roduc ida p o r u n pene t r ado r es-fér ico .—Tabor 1 ha realizado un estudio detallado de la mecánica de la deformación de una superficie plana por un penetrador esférico. A con-tinuación veremos los elementos de este estudio. La figura 11-2 ilustra él proceso. En un metal plástico ideal, que no endurece por defórma-

la jción, se produce la presión máxima en un punto inmediatamente debajo í de la superficie de contacto y a una profundidad aproximadamente

igual a d/2. La presión en este punto es, aproximadamente, 0,47p„u , siendo pm la presión media sobre el área de contacto. Suponiendo que

se acepta el criterio de la tensión cizallante máxima para el flujo plás-tico, se puede escribir

0,47p,„ = 0,5cro

1 D . TABOR: " T h e Hardness of Metals", Oxford Univers i ty Press, Nueva York, 1951.

o bien i , l c r 0 [11-7]

siendo cr0 el límite elástico en tracción o compresión. Se deduce que la deformación bajo la bola es completamente elásti-

ca hasta que la presión alcanza un valor aproximadamente igual a 1,1 veces el límite elástico. Al alcanzarse esta presión se inicia el flujo plástico en el punto O (Fig. 11-2 ai. Al continuar aumentando la carga aumenta también la presión media y crece la región deformada plásti-camente hasta que contiene a ti la la superficie de contacto (figu-ra 11-2 b). Es muy difícil encontrar una solución analítica para la pre.

•O

(ai ib)

FIG. 11 -2 . — D e f o r m a c i ó n plástica de u n m a t e r i a l plástico ideal por u n penetrador de bola, a) C o m i e n z o de la de formac ión plástica en el pun-to O. b) F l u j o plástico completo (Según D . T A B O R : The Hardness of

Metals, pág. 4 7 , O x f o r d U n i v e r s i t y Press, Londres, 1 9 5 1 ) .

sión entre penetrador y huella en función de los datos de la huella en el momento de la plasticidad total. El mejor análisis conduce a la re-lación pm 2,66ao. La dureza vleyer encontrada en metales severa-mente deformados en frío indica que la plasticidad total ocurre para

2,8<xo [11-8]

En un metal idealmente plástic >, la presión se mantendr ía constante después de alcanzarse este valo aunque se siguiese incrementando la ¡ cargan Como los metales reales endurecen por deformación, es necesario j que la presión siga aumentando por hacerse cada vez mayor cr0 cuan- i do continúa el proceso de penetración. La mayoría de los ensayos de dureza Brinell se-realizan . en condiciones para las que la plasticidad es. total. Esta es la condición para que sea válida la ley de Meyer.

1 . 11-5* Relaciones entre la dureza y la curva de tracción.—Ta-, j bor 1 ha propuesto un método mediante el cual se puede determinar la región plástica de la curva real tensión-deformación a part i r de mediy das de la dureza de penetración. El método se basa en el hecho de

' T A B O R , op. cit., págs. 6 7 - 7 6 : }. Inst. Metals, vol . 79, pág. 1, 1951.

que existe una semejanza en la forma de la curva de fluencia y la ob-tenida cuando se mide la dureza Meyer en cierto número de probetas que han sufrido deformaciones plásticas crecientes. El método es fun-damentalmente empírico, porque la compleja distribución de tensiones en la huella de dureza excluye cualquier relación inmediata con la dis-tribución de las tensiones en el ensayo de tracción. El método, a pesar de ello, ha proporcionado resultados bien concordantes para diversos metales y puede ser de interés para obtener la curva de fluencia cuando no se puedan realizar ensayos de tracción. La tensión real (de fluencia) se obtiene de la Ec. [11-8], con-siderando que o-0 es la tensión de fluencia para un valor dado de la deformación real

Dureza M e y e r = p m = 2,80-0

Partiendo de un estudio de la de-formación de las huellas, Tabor llegó a la conclusión de que la de-formación real es proporcional a d/D y que podría expresarse por

6 = 0 , 2 - [11-9]

Si se mide la dureza Meyer en condiciones tales que d/D varíe desde el valor más pequeño ne-cesario para la plasticidad to-tal hasta los valores más gran-des que interesen, y se emplean las Ees. [11-8] y [11-9], es po-sible obtener, al menos aproximadamente, la curva de fluencia. La figura 11-3 muestra el acuerdo obtenido por Tabor entre la curva de fluencia y las durezas en función de la relación d/D para el acero

' suave y para el cobre recocido. Los resultados de Tabor han sido com-probados por Lenha r t 1 para el duraluminio y para el cobre OFHC (exento de oxígeno, alta conductividad). El análisis de Tabor, sin em-bargo, no predice la curva de fluencia para el magnesio, lo que fue atribuido por Lenhart a la elevada anisotropía de deformación de este metal. Este trabajo de Lenhart n o quita nada de su utilidad a la corre-lación de Tabor, s ino que pone de manifiesto la. necesidad de inves-tigar sus limitaciones para nuevas aplicaciones.

Hay una relación tecnológica muy importante entre la dureza Brinell

1 R . E . L E N H A R T : WADC Tech. Rept. 5 5 - 1 1 4 , j un io , 1 9 5 5 .

FIG. 11-3 .—Comparac ión de las curvas de flujo de terminadas a par t i r de m e -didas de d u r e z a (círculos y cruces) c o n las obtenidas en ensayos de compre-sión (l íneas cont inuas) . ( D . TABOR: The Hardness of Metals, pág. 74, O x f o r d

U n i v e r s i t y Press, Londres, 1 9 5 1 . )

" 3 0 8 EL RAYO ICAP.

y la resistencia a la tracción de los aceros al carbono y de media alea-ción tratados térmicamente.

La resistencia a la tracción, en Kg/mm2 , es aproximadamente iguaj a 1/3 de la dureza Brinell. Mediante unas breves consideraciones se puede comprobar que esta relación concuerda con los resultados de Tabor. Si se hace la hipótesis simplificativa de que esta clase de mate-rial no endurece por deformación, la resistencia a la tracción es igual al límite elástico y la aplicación de la Ec. [11-8] conduce a

cru — 1

2,8 • pm = 0,36p„ Kg/mm2

La dureza Brinell solo es inferior a la dureza Meyer, pm> en unos po-cos tantos por ciento, por lo que queda justificada la concordancia señalada anteriormente. También resulta clara la razón por la que tal relación no es válida para otros metales. Si en el cobre recocido se desprecia el endurecimiento por deformación se cometería un error grave. Para un metal con mayor capacidad de endurecimiento por de-formación, la "constante" de proporcionalidad habría de ser mayor que la empleada en los aceros tratados térmicamente.

11-6. Dureza Vickers.—En el ensayo de dureza Vickers se em-plea como penetrador una pirámide de diamante de base cuadrada. Las caras opuestas de la pirámide forman un ángulo de 136", que fue elegido porque se corresponde aproximadamente con la relación óptima de diámetro de huella a diámetro de bola en el ensayo Brineli. Por la forma del penetrador se denomina a veces, entre los anglosajones, en-sayo de dureza con pirámide de diamante, y usan como símbolo de la dureza Vickers las iniciales DPH, VHN o VPH; nosotros emplearemos el símbolo HV, que está bastante generalizado en España. La dureza Vickers se define como la relación de la carga al área de la superficie de la huella. En la práctica se calcula el área a partir de medidas mi-croscópicas de la longitud de las diagonales de la huella. La ecuación que define la dureza Vickers es entonces

Dureza Vickers = 2Psen (9/2) 1,854?

[11-10] U L1

en la que:

P = c a r g a aplicada en kilogramos, L = m e d i a de la longitud de las dos diagonales en milímetros. 0=ángulo formado por las caras opuestas de la pirámide dia-,

mante = 136°.

El ensayo de dureza Vickers ha tenido una aceptación muy amplia^ en el trabajo de investigación porque, para una sola carga, basta una j; sola escala de dureza para incluir desde los metales muy blandos, con ;

5 HV, hasta los durísimos, con 1500 HV. En el ensayo de dureza Rockwell, que se describe en la sección siguiente, o en los ensayos Brinell, es necesario cambiar el penetrador o la carga, o ambos, en algún punto de la escala de dureza, por lo que, estrictamente, no son comparables las mediciones de un extremo de la escala con las del opuesto. Como las huellas se hacen con una pirámide y son siempre geométricamente semejantes, sea cual sea.su tamaño, la dureza Vickers es independiente de la carga. Esto se ha comprobado experimental-ijiente, y solo deja de cumplirse para cargas extremadamente pequeñas. Las cargas que se emplean dependen de la dureza del metal a ensayar y pueden oscilar entre 1 y 120 Kg. A pesar de sus ventajas, no se ha aceptado ampliamente para los ensayos de rutina porque es lento, re-quiere una preparación cuida-dosa de la superficie de la pro-beta y es fácil cometer un error personal en la determinación de la longitud de las diagonales.

Con un penetrador perfecto de pirámide de diamante se ob-tendría una huella perfecta de forma cuadrada, pero se pro-ducen anomalías análogas a las descritas anteriormente para la dureza Brinell (Fig. 11-4).

La huella de la figura l l - 4 ¿ , con la forma de un cojín, y que suele observarse en los metales re-cocidos, es el resultado del hundimiento del metal alrededor de las caras planas de la pirámide penetradora. Las huellas de esta forma dan lugar a una sobreestimación de la longitud de la diagonal. La forma abarrilada de la figura 11-4 c es debida al rebordeado o api-lamiento de metal alrededor de las caras del penetrador y se en-cuentra en los metales trabajados en frío. Da lugar a errores en l;i diagonal que conducen a valores bajos del área de contacto y, por tanto, las durezas obtenidas son erróneamente altas. Se han propuesto correcciones empíricas para este efecto '.

11-7. Ensayo d e dureza Rockwell .—Es el ensayo de dureza más empleado en los Estados Unidos. Su aceptación general se debe a l;i rapidez, la ausencia de error personal, la capacidad para distinguir pe-queñas diferencias de dureza en los aceros templados y el pequeño ta-maño de la huella, que hace posible ensayar sin deteriorarlas las piezas tratadas térmicamente y acabadas. El ensayo utiliza la profundidad de penetración, bajo carga constante, como medida de la dureza. Prime-ramente se aplica una carga de menos de 10 Kg para asentar la probé-

l a ) (¿1

FJG. 11-4.—Tipos de huellas obtenidas con p i rámide de d iamante (Vickers). a) H u e l l a perfecta, b) H u e l l a en forma de a lmohad i l l a producida por hundi-miento . c) H u e l l a abarr i lada produci-

da por rebordeado.

1 T . B . CROWE y J . F . HINSLEY: / . Inst. Metals, v o l . 7 2 , p á g . 1 4 , 1 9 4 ó

ta. De esta forma no es necesaria una preparación previa de la super-ficie y se aminora la tendencia al rebordeado o el hundimiento por el penetrador. Después se aplica la carga máxima automáticamente y lue-go de eliminar esta, y siempre bajo la carga menor de 10 Kg, se mide la profundidad alcanzada en la penetración bajo la carga máxima; esta medición se hace de forma automática empleando una esfera indicado-ra. La esfera tiene 100 divisiones y cada división corresponde a una profundidad de penetración de 0,02 mm. La escala de la esfera está invertida para que la cifra leída, que es la dureza Rockwell, sea mayor cuanto menor sea la profundidad de penetración medida. Por tanto, las cifras de dureza Rockwell crecen de la misma manera que las de Vic-kers o las Brinell, pero son enteramente arbitrarias *.

Con una sola combinación de carga y penetrador no se pueden obte-ner resultados satisfactorios para materiales con durezas muy dife-rentes. Como penetradores se emplean: uno de diamante, de forma de cono, con 120° de ángulo en el vértice y punta ligeramente redon-deada, que se conoce con el nombre de penetrador Brale, y otros dos esféricos consti tuidos por bolas de acero de 1/16 y 1/8 de pulg. Las cargas máximas empleadas son de 60, 100 y 150 Kg. Como la dureza Rockwell depende de la carga y del penetrador, es necesario especi-ficar siempre la combinación empleada. Para ello, a la cifra de dureza Rockwell se añade una letra que indica la combinación particular de carga y penetrador empleada. Sin la letra, la cifra Rockwell carece de significado. Los aceros templados se ensayan con la escala C, es decir, con el penetrador de diamante y la carga máxima de 150 Kg. Esta escala Rockwell C es de utilidad en el intervalo de 20 a 70 RC. Los materiales más blandos suelen ensayarse en la escala B, que emplea la bola de acero de 1/16 de pulg y la carga máxima de 100 Kg y es utilizable entre 0 y 100 RB. La escala A (penetrador de diamante y carga máxima de 60 Kg) es la que se emplea en mayor intervalo de durezas, desde las del latón recocido a la de los carburos cementados. Para usos especiales se dispone de otras muchas escalas

El ensayo Rockwell es muy útil y fácil de reproducir si se obser-van cierto número de sencillas precauciones. La mayoría de las indica-ciones que hacemos seguidamente son también de aplicación a los otros ensayos de dureza :

1. El penet rador y el yunque estarán limpios y bien asentados. 2. La superficie a ensayar debe estar limpia, seca, lisa y exenta de

óxido. Una superficie de rectificado de desbaste suele bastar para el en-sayo Rockwell.

3. La superficie debe ser plana y perpendicular al penetrador.

* Esto no es n ingún inconveniente, pues el que las cifras V ickers o Brinell tengan dimensiones de K g / m m 2 no quiere decir, como ya se ha indicado en el texto, que tengan u n significado físico fundamental . (N. del T.)

•Véase A S T M Standard E l 8 .

4. Los ensayos sobre superficies cilindricas ¿ A N I Ü H N N M « m dependiendo el error de la curvatura, carga, penetrador y d u r m dal material. Se han publicado correcciones teóricas1 y empíricas1 para este efecto.

5. El espesor de la probeta debe ser tal que no se produzca una marca o abombamiento en la cara opuesta. Es recomendable que el espesor sea, por lo menos, igual a 10 veces la profundidad de la huella. No es admisible superponer varias muestras cuando el espesor de una sola de ellas sea demasiado pequeño.

6. Las huellas deben estar separadas entre sí de tres a cinco ve-ces su diámetro, por lo menos.

7. Debe tipificarse la velocidad de aplicación de la carga. En la máquina Rockwell se consigue ajustando el amortiguador. En los ma-teriales muy blandos, las variaciones de dureza pueden ser apreciables si no se controla bien la velocidad de carga. En tales materiales se debe volver hacia atrás la palanca de mando de la máquina Rockwell en cuanto se haya alcanzado la carga máxima.

11-8. Ensayos de microdureza.—En muchos problemas metalúr-gicos es necesario medir la dureza de superficies de área muy pequeña. Las mediciones del gradiente de dureza de una superficie cementada, las determinaciones de la dureza de los constituyentes de una micro-estructura o la comprobación de la dureza de un delicado engranaje de un reloj, son ejemplos típicos de esta clase de problemas. Ya se ha mencionado el empleo para estos fines de la dureza de rayado, pero es más útil un ensayo de dureza de penetración3 . El desarrollo del pe-netrador Knoop en el National Bureau of Standards de los Estados Unidos y la introducción de la máquina Tukon para la aplicación con-trolada de cargas inferiores a 25 g, han convertido los ensayos de mi-crodureza en un método rutinario de laboratorio.

El penetrador Knoop es una pirámide de diamante que produce una huella con forma de rombo, con longitudes de la diagonal larga a la corta en la relación 7 :1 . La profundidad de la huella es, aproxima-damente, igual a la treintava parte de la longitud de la diagonal larga. La dureza Knoop se define como la carga dividida por el área proyec-tada y sin recuperación elástica de la huel la :

Dureza Knoop = UC

[11-11]

en donde:

P —carga aplicada en kilogramos,

1 W . E . INGERSON: Proc. ASTM, vol. 39 , págs. 1 2 8 1 - 2 9 1 , 1 9 3 9 . 2 R . S . SUTTON y R . H . HEYER: ASTM Bull. 193 , págs. 4 0 - 4 1 , octubre , 1 9 5 3 . 3 Para una revisión d e los ensayos de m i c r o d u r e z a , véase H . BÜCKLE ; Met. Re-

views, v o l . 4 , n ú m . 3 , p á g s . 4 9 - 1 0 0 , 1 9 5 9 . C f . t a m b i é n F . MUÑOZ DEL CORRAL: Revista del Inst. del Hierro y del Acero, n ú m . especial, f ebrero , 1956.

Ap=área proyectada de la huella sin recuperación elástica en milímetros cuadrados,

¿= longi tud de la diagonal larga en milímetros. C = una constante propia de cada penetrador que es proporcio-

nada por el fabricante.

La pequeña carga empleada en los ensayos de microdureza exige el máximo cuidado en todas las etapas del ensayo. La superficie de la probeta debe prepararse muy bien, recurriendo usualmente al pulido metalográfico. La deformación en frío producida en el pulido altera los resultados. La diagonal larga de la huella Knoop no se modifica esen-cialmente por la recuperación elástica cuando las cargas son mayores de 300 g, pero para cargas menores se aprecia una pequeña recupe-ración. Además, es mayor el error de localización de los extremos de la diagonal de las huellas muy pequeñas producidas por las cargas lige-ras. Estos factores contribuyen a obtener una cifra de dureza dema-siado elevada, por lo que se observa normalmente que la dureza Knoop aumenta al decrecer la carga por debajo de 300 g. Tarasov y Thibault1

han demostrado que introduciendo correcciones por la recuperación elástica y la agudeza visual se obtienen cifras constantes de dureza Knoop con cargas de hasta solo 100 g.

11-9. Conversiones de dureza.—Desde el punto de vista prácti-co, es muy conveniente poder convertir las cifras de dureza obtenidas en un ensayo dado por las de cualquier otro ensayo diferente. Como un ensayo de dureza no mide ninguna propiedad bien definida de un material y los distintos ensayos no e basan en el mismo tipo de me-dida, no es de sorprender que no sea posible establecer relaciones de conversión de dureza de carácter u tiversal. Es muy importante com-prender que todas las conversiones de dureza se basan en relaciones empíricas. Los datos de conversión de mayor confianza son los exis-tentes para los aceros de dureza superior a los 240 Brinell. La Ameri-can Society for Metals (ASM), la American Society for Testing Ma-terials (ASTM) y la Society of Automotive Engineers (SAE) han re-dactado conjuntamente una tabla2 para las conversiones de durezas Rockwell, Brinell y Vickers que es aplicable a los aceros al carbono y aleados tratados térmicamente y a casi todos los aceros aleados de construcción y de herramientas en los estados brutos de forja, recoci-dos, nomalizados y templados y revenidos. Sin embargo, se necesitan distintas tablas de conversión para materiales con módulo elástico muy * diferente, como el carburo de volframio, o que tiene más capacidad de \ endurecimiento por deformación. Heyer 3 ha mostrado que la dureza i •- • - - £

! L . P . TARASOV y N . W . T H I B A U L T : Trans. ASM, vol. 38, págs. 331-53, í 1947. |

2 Esta tabla se encuentra en la norma A S T M E48-47 , en el S A E Handbook, | en el A S M Metals Handbook y otras obras generales. |

3 R . H. HEYER: Proc. ASTM, vol. 44, pág. 1027, 1944.

de penetración de Jos metales blandos depende del comportamiento del material durante el ensayo en cuanto al endurecimiento por deforma-ción, comportamiento que, a su vez, depende del grado previo de en-durecimiento por deformación que ha sufrido el material antes del en-sayo. Como ejemplo de la precaución con que deben manejarse las ta-blas de conversión de dureza para metales blandos, citemos que el hierro Armco y el aluminio laminado en frío tienen ambos una dureza Brinell de 66, pero el primero tiene dureza Rockwell B de 31, mientras que el aluminio trabajado en frío la tiene de 7 RB. Por otro lado, me-tales como el latón amarillo y la chapa de acero suave tienen durezas Rockwell y Brinell que se correlacionan muy bien para todos los gra-dos de endurecimiento por d e f o r m a c i ó n E n el ASM Metals Hand-book se recogen tablas .de conversión de dureza para el aluminio tra-bajado en frío, el cobre y los aceros inoxidables austeníticos 18-8.

11-10. Dureza a t e m p e r a t u r a s elevadas.—Ha aumentado el in-terés por las determinaciones de la dureza a temperatura elevada como consecuencia del gran esfuerzo realizado en el desarrollo de materiales con mejores propiedades a temperaturas altas. La dureza en caliente da una buena información de la utilidad potencial de una aleación para aplicaciones en que se requiere resistencia mecánica a temperatura ele-vada. Se han conseguido buenos resultados al correlacionar la dureza en caliente con las propiedades mecánicas a temperaturas altas. Este asunto se tratará en el capítulo 13. Las máquinas para medir la dureza en caliente emplean un penetrador Vickers de zafiro y se han desarro-llado dispositivos para poder realizar los ensayos en el vacío o en una atmósfera de gas inerte2 . También se ha puesto a punto una máquina para ensayos de microdureza a alta temperatura3 .

En una revisión extensa de los datos de dureza a temperatura ele-vada, Westbrook 4 ha podido comprobar que la relación entre dureza y temperatura puede expresarse por

H = A exp ( - BT) [11-12] en donde :

H = dureza en kilográmetros por metro cuadrado, T ~ temperatura de ensayo en grados Kelvin.

A, B ~ constantes.

1 E l grá f ico C h a r t 2 8 , de la W i l s o n M e c h a n i c a l Ins t ruments Co., para m e -tales b landos de dureza Br ine l l in fer ior a 2 4 0 (véase ASM Metals Handbook, ed. de 1948, pág. 101) , está basado en ensayos realizados con estos mater ia les .

2 F. GAROFALO, P. R . ; MALENOCK y G . V . SMITH : Trans. ASM, vo l . 4 5 . págs. 3 7 7 - 9 6 , 1953 ; M . SEMCHYSHEN y C. S . T O R G E R S O N : Trans. ASM, vo l . 5 0 . págs. 8 3 0 - 3 7 , 1958.

3 J . H . W E S T B R O O K : Proc. ASTM, vol . 5 7 , págs. 8 7 3 - 9 7 , 1 9 5 7 ; ASTM BULL. 2 4 6 , págs. 5 3 - 5 8 , 1 9 6 0 .

4 J . H . W E S T B R O O K : Trans. ASM, vol. 4 5 , págs. 221-48, 1953.

EL ENSAIO DE LIOKEZA r.p, 11

l.a representación de log H en función de la temperatura para los me-tales puros suele conducir a dos líneas rectas de diferente pendiente, fil cambio de pendiente se produce a una temperatura aproximada-mente igual a la mitad del punto de fusión del metal que se ensaya. El mismo comportamiento se encuentra en la representación del loga-ri tmo de la resistencia a la tracción en función de la temperatura. La figura 11-5 muestra este tipo de comportamiento para el caso del cobre.

F i e . 1 1 - 5 . — V a r i a c i ó n de la d u r e z a del cobre con la temperatura . (J. H . WESTBROOK: Trans. ASM, vol. 45, pág. 233 , 1953.)

La constante A, deducida de la recta de baja temperatura de la repre-sentación, puede considerarse como una dureza intrínseca del mate-rial, esto es, el valor de H para 0°K. Podría esperarse que este valor fuera una medida de la resistencia inherente a las fuerzas de enlace de la red atómica. Westbrook correlacionó los valores de A de distintos metales con la entalpia de los metales líquidos en el punto de fusión y con el propio punto de fus ión; la correlación es muy sensible a la estructura cristalina. La constante B, deducida de la pendiente misma de la recta, es el coeficiente de temperatura de la dureza. Esta cons-•--<•- "o T-ftiaHona de una manera más complicada con la velocidad de

variación de la entalpia al aumentar la temperatura. Mediante estas correlaciones puede calcularse, bastante bien, la dureza de los metales puros a cualquier temperatura inferior a la mitad del punto de fusión.

Las mediciones de dureza a diversas temperaturas han mostrado variaciones bruscas de esa propiedad a las temperaturas a que se pro-ducen transformaciones alotrópicas. Los ensayos de dureza en caliente en Co, Fe, Ti, U y Zr han demostrado1 que las redes cúbicas centradas son siempre la estructura más blanda cuando interviene en las trans-formaciones alotrópicas. Las redes cúbicas de caras centradas y hexa-gonal compacta tienen aproximadamente la misma resistencia, mientras que los cristales de estructuras complicadas tienen durezas aún mayo-res. Estos resultados están de acuerdo con el hecho de que las alea-ciones austeníticas de base hierro tienen mejor resistencia a tempera-tura elevada que las aleaciones ferríticas.

B I B L I O G R A F I A

HARDNESS T E S T S : " M e t a l s H a n d b o o k " , págs. 9 3 - 1 0 5 , A m e r i c a n Society for M e t a l s , Me ta ls P a r k , Oh io , 1948.

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1 W . C H U B B : Trans. AIME, vo l . 203, págs. 189 -92 , 1955.

CAPITULO

FATIGA DE LOS METALES

12-1. Introducción.—Se ha reconocido, desde 1850, que un me-tal sujeto a tensiones repetidas o fluctuantes fallará a una tensión mu-cho más baja que la necesaria para producir la fractura en una sola aplicación de la carga. Las fallas ocurridas en condiciones de carga dinámica se llamaron fallas de fatiga, seguramente porque se observaron casi siempre después de un período considerablemente largo de servi-cio. Durante mucho tiempo se tuvo la idea de que la fatiga era debida a "cristalización" del metal, pero este concepto no pudo sostenerse al comprobarse que un metal es cristalino desde el mismo momento en que solidifica del caldo. De hecho, no hay ningún cambio indudable en la estructura del metal que ha fallado por fatiga que pueda servir de guía en nuestros razonamientos para comprender la fractura por fa-tiga. La fatiga tiene cada vez más interés por el desarrollo creciente de equipos en los que el material está sometido a cargas repetidas y vibraciones, como ocurre en los automóviles, los aviones, las bombas, las turbinas, etc. En la actualidad se ha afirmado frecuentemente que, por lo menos, el 90% de todas las roturas en el servicio se producen por fatiga.

Una falla por fatiga es especialmente traidora porque se produce sin ningún indicio previo que permita precaverse contra ella. La fa-tiga da por resultado una fractura frágil, sin deformación notable. La superficie de fractura suele ser, macroscópicamente, normal al eje de la tensión de tracción principal. Las roturas por fatiga se pueden reco-nocer usualmente por el aspecto de la superficie de fractura, que mues-tra una región lisa, debida al frotamiento que ocurre cuando se pro-paga la grieta a través de la sección (parte superior de la figura 12-1), y una región rugosa, originada cuando el miembro ha roto dúctilmente por haber disminuido la sección sana al no poder soportar la carga. Es frecuente que el progreso de la fractura aparezca señalado por una serie de marcas anulares, que parecen propagarse, desde el punto de iniciación de la falla, como el frente de las olas hacia el interior de una playa. La figura 12-1 ilustra sobre otro aspecto característico de las fracturas de fatiga, es decir, que la falla se inicia usualmente en un punto de concentración de tensiones, tal como una esquina aguda o entalla, o en una concentración de tensiones de origen metalúrgico, tal como una inclusión.

Son necesarias tres condiciones básicas para que se produzca una 316

rotura por fatiga. Estas son: 1) una tensión máxima de tracción de valor elevado; 2) una variación o fluctuación suficientemente intensa de la tensión aplicada, y 3) un número suficiente de ciclos. Además, hay un enjambre de otras variables, tales como las concentraciones de tensiones, la corrosión, la temperatura, la sobrecarga, la estructura me-talúrgica, las tensiones residuales y las tensiones combinadas, que tien-

FIG. 12-1.—Superf ic ie de una fractura de fat iga iniciada en una arista aguda de u n chavetero del árbol. T a m a ñ o natural .

den a modificar las condiciones necesarias para la fatiga. Se desconoce la causa fundamental de la fatiga de los metales, por lo que es nece-sario discutir el efecto de cada uno de estos factores desde un punto de vista puramente empírico. Como son muy numerosos los datos re-cogidos sobre este tema, solo destacaremos los aspectos más salientes de las relaciones que existen entre los factores citados y la fatiga. El lector interesado en más detalles puede consultar las excelentes publi-caciones que se relacionan al final del capítulo.

12-2. Ciclos de tensión.—Es conveniente comenzar definiendo brevemente los tipos generales de fluctuación de tensión que pueden producir fatiga. La figura 12-2 sirve para ilustrar sobre los ciclos típicos de tensiones de fatiga. La figura 12-2 a representa un ciclo de inversión completa de la tensión de forma senoidal. Es un caso ideal que pro-duce una máquina de ensayo de viga rotativa según R. Moore 1 y que se aproxima a las condicionéis observadas en el servicio para el caso de un árbol giratorio que trabaje a velocidad constante y sin sobrecar-

Fic . 12 -2 .—Cic los t ípicos de fat iga, a) Tensión alterna (inversión); b) tensión repe t ida ; c) ciclo de tensión irregular o aleatorio.

gas. En este tipo de ciclo de tensiones son iguales la máxima y la mí-nima. De acuerdo con lo convenido en el capítulo 2, la tensión mínima es la algebraicamente más pequeña del ciclo. La tensión de tracción se considera positiva y la de compresión negativa. La figura 12-2 b mues-tra un ciclo de tensiones repetidas en el que la tensión máxima o-^ y la tensión mínima crm¡„ no son iguales. Ambas son de tracción en la figura, pero un ciclo de tensiones repetidas puede contener lo mismo tensiones máxima y mínima de signo opuesto o ambas de compresión. Lá figura 12-2 c representa un ciclo complejo de tensiones, tal como se puede encontrar en una parte de un ala de avión sometida a sobre-cargas periódicas imprevisibles debidas a las rachas de viento.

1 E n las referencias d e l f ina l de este capí tu lo se describen los tipos corrien-tes de máquinas de fa t iga y t a m b i é n e n el " M a n u a l of Fa t igue Tes t ing" , ASTM Spc. Tech. Publ., 91, 1949.

Un ciclo de tensiones fluctuantes puede considerarse constituido por dos componentes: una tensión media, o estacionaria, <r„, y otra alterna o variable, cra. Hay que considerar también el intervalo de ten-siones arr. De la figura 12-2 b puede deducirse que el intervalo de ten-siones es la diferencia algebraica entre la tensión máxima y la mínima del ciclo:

cr r=crmá.T-crm[n [12-1]

La tensión alterna es entonces igual a la mitad del intervalo:

o - . = - y [12-2]

La tensión media es la media algébrica de las tensiones máxima y mínima del ciclo:

0"mix + O"mfn r i n cr„ = ^

Otra cantidad que se emplea algunas veces al presentar los datos de fatiga es la relación de tensiones R. Se define por:

[12-4] O" máx

12-3. La curva de Wohler—-El método fundamental para presen-tar los datos de fatiga es la curva de Wohler, también llamada simple-mente curva de fatiga o curva S-N (Stress-Ñumber of cicles). Repre-senta la duración de la probeta, expresada en número de ciclos hasta la rotura, N, para la máxima tensión aplicada. La mayor parte de las investigaciones sobre la fatiga se han realizado empleando las máqui-nas de viga rotativa, también llamadas de flexión rotativa, en las que la tensión media es nula. La figura 12-3 muestra curvas de Wohler típicas de este tipo de énsayo. Los casos en que no es nula la tensión media son de mucho más interés práctico. Se discutirán más adelante en este capítulo.

Como puede verse en la figura 12-3, el número de ciclos que dura una probeta antes de fallar aumenta al disminuir la tensión. Mientras no se indique otra cosa, N es el número de ciclos de tensión necesarios para producir la fractura completa de la probeta. Es la suma del nú-mero de ciclos qué hacen falta para que se inicie una grieta y el de los que transcurren durante la propagación de la grieta hasta la rotura total. N o suele hacerse distinción entre estos dos sumandos, aunque puede apreciarse que el número de ciclos que necesita la propagación de la grieta depende de las dimensiones de la probeta. Los ensayos de fatiga a tensión baja suelen realizarse a 107 ciclos y algunas veces, para materiales no ferrosos, se prolongan a 5-108. En algunos materiales

técnicos, como los aceros y el titanio, la curva de Wohler presenta m ^ 11

t ramo horizontal a una tensión límite determinada. Por debajo de esta tensión límite, que es la denominada límite de fatiga (en la literatura i anglosajona se llama a veces endurance limit, es decir, límite de dura- * J

ción o de "sufrimiento"), se presume que el material durará un nú-lU mero infinito de ciclos sin romperse. La mayoría de los metales no'"*' férreos, como las aleaciones de aluminio, las de magnesio y las de co?Ük bre, tienen una curva de Wohler cuya pendiente disminuye progresi?'*

fatiga se suele dar por terminado el ensaye, por razones prácticas, a una tensión baja, a la que la probeta dure aproximadamenté 10' o 5.108 ciclos. Para determinar la curva se necesitan normalmente de 8 a 12 probetas. Se encontrará generalmente una considerable disper-sión en los resultados, pero casi siempre se puede trazar una curva suave, a través de los puntos representados, sin encontrar grandes di-ficultades. Cuando, sin embargo, se ensayan varias probetas al mismo nivel de tensión se observa una fuerte dispersión entre el número de

vamente al aumentar el número de ciclos, aproximándose a una h o r i * X & B Í c i c I o s o b s e r v a d o s h a s t a l a fractura, a veces del orden de un ciclo de zontal, pero sin llegar a serlo nunca. No tienen, por tanto, un v e r d á > $ l S f e s c a l a l o g a r í t m i C a e n t r e e l v a l o r m á x i m o Y e l mínimo. Además, se

^ ^ jj3 comprobado1 que el límite de fatiga del acero está sujeto a con-siderables variaciones y que el determinado en la forma descrita puede ser muy erróneo. En la sección siguiente discutiremos la naturaleza estadística de la fatiga.

Un ensayo interesante para una determinación más rápida del lími-te de fatiga que por el método normal descrito anteriormente ha sido

i r propuesto por Prot 2 . En este método se comienza el ensayo de cada probeta a un valor de tensión inferior al límite de fatiga esperable y luego se incrementa dicha tensión progresivamente y a velocidad cons-tante hasta que se produce la rotura. Diversas probetas se ensayan con

s ¡incrementos distintos de tensión por ciclo. Prot asegura que existe una relación lineal entre la tensión a que se produce la rotura y s / a , siendo a el aumento de tensión por ciclo. El límite de fatiga se obtiene haciendo una representación de este tipo por extrapolación a s/a = 0. El método de Prot ha sido objeto de investigación y modificación3

y parece útil como procedimiento rápido para determinar el límite de fatiga de los materiales férreos.

Una modificación del método de Prot se emplea algunas veces cuan-do no se dispone de una máquina que permita un incremento continuo

•5 6 0 CL O O 2 50

o "O B 4 0 3 t) O 0 3 0 c

i í 20 t» TJ c 10 •o

g 0

ac ero suave

* límite de fat iga

aleación de alum nio nio

I05 106 1o7

número de ciclos, N 10a

1 0 '

FIG. 12-3.—Curvas típicas de fat iga (curvas de Wohler) de metales férreos y no férreos.

dero límite de fatiga. En estos casos es práctica corriente caracterizar las propiedades de fatiga del material expresando la resistencia a la i fatiga para un número de ciclos convenido arbitrariamente, p. ej., 10a. No se conocen las razones por las que unos materiales tienen un lími-' te de fatiga y otros no, aunque más adelante, en este capítulo, discu- -tiremos las hipótesis propuestas respecto a esta importante cuestión."

El procedimiento usual para determinar una curva de Wohler con-siste en ensayar la primera probeta a una tensión elevada, a la que e s f . ^ ' de esperar que se rompa después de un corto número de ciclos, p. ej., una tensión aproximadamente igual a los dos tercios de la resistenciaJ®^ a la tracción estática del material. La tensión se va disminuyendo e n j f e el ensayo de cada una de las probetas sucesivas hasta que una o dosM* no rompen en el número especificado de ciclos, que suele ser de 107 » " por lo menos. La tensión máxima a la que se consigue que una probeta M.¡ no rompa, después de un número indefinido de ciclos, se toma como| |_ í límite de fatiga. Tratándose de materiales que no presentan límite d e | k j

'0f de la carga o el número de probetas que se pueden ensayar es limitado. »>• Se toma como tensión inicial, aproximadamente, el 70% del límite de

fatiga esperado. El ensayo se realiza durante un número de ciclos ^ d e t e r m i n a d o , p. ej., 107, y si no se produce fractura se aumenta la ten-

c i ó n una cierta cantidad. A la nueva tensión se aplica el mismo número frl^de ciclos y se continúa de esta manera hasta que se produce la rotura,

toma como límite de fatiga de la probeta la media entre la tensión que se produjo la rotura y la más alta a que la probeta sobrevivió.

n Lós resultados obtenidos por este método escalonado y por el de Prot ?no son concordantes con los obtenidos por ensayos a tensión cons-t a n t e , ya que durante el ensayo a una tensión inferior al límite de | fatiga se producen alteraciones del metal. Así, p. ej., ciertos metales i —

I-I 1 1 . T . RANSOM y R . F . MEHL : Trans. AME, vo l . 185, págs . 3 6 4 - 6 5 , 1 9 4 9 . 2 M . P R O T : Rev. mét., v o l . 3 4 , p d g . 4 4 0 , 1 9 3 7 .

• 3 H . T . CORTEN, T . D I M O F F y T . J. DOLAN: Proc. ASTM, vol. 5 4 , págs. 8 7 5 -; 9 0 2 , 1 9 5 4 .

aumentan su resistencia por aconc cionamiento o adaptación a tensio-nes inferiores a dicho límite de f; iga. Este tema se tratará con más detalle en la sección 12-13.

12-4. Naturaleza estadística e la fatiga.—Se ha despertado un gran interés por el análisis estadís co de los datos de fatiga y por las razones de la variabilidad de los esultados de estos ensayos. En el capítulo 16 se dará una descripció más completa de las técnicas esta-dísticas. Sin embargo, es de impoi incia tratar de familiarizarse, en el capítulo presente, con el aspecto c adístico de la fatiga para que pue-

FIG. 12-4.—Representación de los < tos de fatiga en forma probabilísima.

dan valorarse debidamente los dat >s existentes. Puesto que la duración en fatiga y el límite de fatiga son cantidades estadísticas, es lógico esperar grandes desviaciones con respecto a una curva media deter-, minada con solo unas pocas probetas. Hay que pensar en la probabi-, lidad de que una probeta alcance determinada duración a una tensión ; dada, o en la probabilidad de falla a una tensión dada, próxima al límite,; de fatiga. Esto requiere ensayar un número de probetas mucho más;"" considerable que el que se empleaba en el pasado para poder hacer.-, las estimaciones de los parámetros estadísticos1 . La representación de los datos de fatiga debería ser tridimensional, estableciéndose una su- . perficie que relacionase la tensión, el número de ciclos y la probabili-f; dad de falla. La figura 12-4 muestra la forma en que esta representación| en tres dimensiones puede llevarse a un gráfico ¿¡dimensional. rg

' L o s parámetros estadísticos fundamenta les que h a y que considerar son la a media y la desviación t íp ica (medida de la dispersión) de una población. í f í

En la figura se ha representado una distribución de Ja durad/ ,„ c n fatiga a tensión constante y, basándose en ella, se han dibujad«) las curvas de igual probabilidad de rotura. Así, p. ej., a una tensión »/,, Vi 1% de las probetas es de esperar que rompan a N t ciclos, el 50% u '/y etcétera. La figura indica una dispersión decreciente de la duración en fatiga al aumentar la tensión, que es lo que normalmente se ,

| encontrar. La función de distribución estadística que describe )n ( ju . i ración en fatiga a tensión constante no se conoce con precisión, j / U c s !, sería necesario ensayar más de 1000 probetas idénticas, bajo las f n ¡ s . j; mas condiciones, a una tensión constante. Müller-Stock1 en;;,yó | 200 probetas a una tensión única y encontró que la distribuciói, ^ i frecuencia de N se ajustaba a la distribución normal o de Gauss, . „ í j n . , do se empleaba la variable logiV en lugar de N. Para las finali«LKjes i técnicas es suficientemente exacto admitir la distribución logaríi;njCa ; normal de la duración en fatiga a tensión constante y en la regió,, de ; probabilidades de falla comprendidas entre P = 0 , 0 1 y P=0,9(), <j¡n

embargo, es muchas veces importante poder predecir la duraci«',,, e n fatiga que se alcanzará con una probabilidad de falla del 1% t / ;i(¡n

i menor. Én estos límites extremos de la distribución ya no puedi; jIJS. tificarse el empleo de la hipótesis de una distribución normal <1» | o s

; logaritmos de la duración en fatiga, a pesar de que se suele hace, ,j.;o de ella. Como métodos más adecuados para abordar este probleu^ %c

> han utilizado las distribuciones de valores ext remos 2 y de Wej| /1;(j j | En la interpretación estadística del límite de fatiga hay que </av -; derar la distribución de las tensiones para una duración en fatiga v / T j V

> tante. El límite de fatiga del acero se consideró primeramente < / / r i 0 un valor umbral por debajo del cual podría presumirse que tod^-v ; ; i s

, probetas tendrían duraciones infinitas. Hoy, sin embargo, se reo,-' que el límite de fatiga es realmente una cantidad estadística qu* i quiere técnicas especiales para su determinación precisa. Así, j, >.; ; en un acero for jado y t ra tado térmicamente, el intervalo de t e n v ^ í J ¡ que puede incluir el límite de fatiga del 95% de las probetas e¡; ; fácil que sea de 28 a 36 Kg/mm2 . Un ejemplo de los errores quir

den cometerse al emplear pocas probetas en el ensayo se encuent, , w • la figura 12-5. Esta figura resume 4 diez curvas de Wóhler detei?;- ; - a.

das por el procedimiento convencional usual para la misma bar,-« jj acero aleado, habiéndose determinado cada curva con diez p r y i ^ ^ p Las probetas eran lo más idénticas posible, y no se encontró ex<^- / a $ dispersión o incertidumbre para el trazado de las curvas. A p e ^ .

I " ' I 1 H . M U L L E R - S T O C K : Mitteihtng Kohle- u. Eisenforsch. C. m. b. H„ J g págs. 83 -107 , 1938 . I ; 2 A . M . FRENDENTHAL y E . J . G U M B E L : J. Am. Statist. Assoc., vo l . Vy l¿ ginas 575-97 , 1954 .

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' ello, como puede verse en la figura, se observan diferencias considera-bles en el límite de fatiga determinado para el acero por el hecho de que las curvas se basan en datos insuficientes.

Para determinar el límite de fatiga de un material hay que aceptar que cada probeta tiene su propio límite de fatiga, una tensión a la qUe

80 000 6 2 ¡O 9175384

70000

60 000 —

l/l a

50 000

n ú m e r o de c ic los

FIG. 12-5 .—Conjun to d e curvas de Woh le r , cada una d e t e r m i n a d a con 10 pro-betas, ob ten idas de la m i s m a bar ra d e acero. (J. T . RANSOM: ASTM Spec. Tech,

Publ. 121, pág. 61, 1952.)

se romperá, pero por debajo de la cual no fallará, y que esta tensión crítica varía de una probeta a otra por razones poco definidas. Se sabe que las inclusiones del acero tienen un efecto importante sobre el límite de fatiga y su variabilidad, pero aun los aceros fabricados en vacío muestran todavía una dispersión apreciable. El problema estadístico de la determinación precisa del límite de fatiga se complica por el hecho de que no se puede medir el valor individual del límite de fa; tiga de cada una de las probetas. Lo único que se puede hacer es ensa;.

¡c. t í ' f r " LA WIWA ™™' ÜJUBtf i

yar cada probeta a una determinada tensión, y si rompe, es porque la tensión era algo mayor que su límite de fatiga. Como la probeta no se

i puede volver a ensayar, aunque no se hubiera roto a la tensión de ensayo, hay que encontrar la estimación estadística del límite de fatiga

, ensayando grupos de probetas a diversas tensiones para ver cuántas rompen para una tensión determinada. Es por eso que en las proximi-dades del límite de fatiga lo único que sabemos es si "pasa o no pasa" y todo lo que cabe hacer es estimar el comportamiento de un universo de probetas mediante una muestra adecuada. Los dos métodos estadís-ticos que se emplean para la estimación estadística del límite de fatiga son el llamado método de las probitas y el método de escalera. Los procedimientos de aplicación de estos métodos de análisis a la deter-minación del límite de fatiga se darán en el capítulo 16.

12-5. Aspectos es t ructurales de la fatiga.—Solo una pequeña fracción de los esfuerzos dedicados a la investigación de la fatiga se ha encaminado al estudio de los cambios estructurales fundamentales que se producen en un metal cuando se le somete a tensiones cíclicas. La fatiga tiene ciertas cosas en común con el flujo plástico y la frac-

í tura bajo deformación estática o monodireccional. El trabajo de Gough 1

j ha comprobado que un metal se deforma en condiciones cíclicas por deslizamiento sobre los mismos planos atómicos y en las mismas di-recciones cristalográficas que cuando la deformación es monodireccio-nal. Mientras el deslizamiento de la deformación monodireccional sue-le extenderse a través de todos los granos, en la fatiga hay algunos

' granos que muestran líneas de deslizamiento y otros en los que no puede comprobarse el deslizamiento. Las líneas de deslizamiento sue-len formarse durante los primeros millares de ciclos de carga. Los ciclos sucesivos producen bandas de deslizamiento adicionales, pero el número de bandas no es directamente proporcional al número de ciclos de tensión. En muchos metales el deslizamiento observable al-

I canza pronto un valor de saturación, que se manifiesta como regiones distorsionadas de fuerte deslizamiento. En estas regiones de fuerte

'i deformación suelen originarse grietas que transcurren paralelas a lo que inicialmente fueron bandas de deformación. Se han observado bandas

jj de deslizamiento a tensiones inferiores al límite de fatiga en los mate-ib ríales férreos, por lo que la aparición de deslizamiento durante la fatiga tí no puede considerarse por sí misma como indicio de que se formará | • una grieta. | ' El estudio de la formación de grietas en la fatiga se puede facilitar í> interrumpiendo el ensayo y eliminando por pulido electrolítico la su-

perficie deformada. Se encontrará generalmente que unas bandas de p deslizamiento son más persistentes que otras y que continúan siendo ¡ visibles cuando las demás líneas de deslizamiento han sido eliminadas

' H . I . G O U C H : Proc. A 5 7 M , vol. 33, 2.1 parte, págs. 3-114, 193).

por el pulido. Tales bandas de deslizamiento se han observado soJaí mente después de t ranscurr ido aproximadamente el 5% de la duración de la p r o b e t a E s t a s bandas persis tentes son grietas en embrión, pues, to que se abren en grietas anchas cuando se aplican pequeñas deforí maciones de tracción. Las grietas de fatiga, una vez formadas , tienden a propagarse a lo largo de los planos de deslizamiento, aunque más ta rde pueden tomar direcciones normales a la tensión de tracción má-xima aplicada. La propagación de las grietas de fatiga suele ser trans*. granular. ¿

Un aspecto es t ructura l importante , que parece ser único de la deformación en fatiga, es la formación en la superficie de entrantes y salientes que se l laman extrusiones e intrusiones de bandas de desliza. miento1. El examen metalográñco muy cuidadoso de secciones oblicuas a t ravés de la superficie ha mos t rado que las grietas de fatiga se inician en las extrusiones y en las in t rus iones ¡ . Por tanto, estos accidentes estructurales son el origen de las bandas persistentes de deslizamiento, o fisuras, que se han descri to en el oárrafo anterior. El estudio do las intrusiones y extrusiones de band; ; de deslizamiento es demasiado reciente para que puedan conocers todos los factores que afecfun a su formación. Sin embargo, parece < ue se producen en huellas blandas del cristal, y esto sugiere que para u formación sea necesario el des-lizamiento cruzado. Esta hipótesis < ;tá sostenida por el hecho de que es difícil que se produzcan fallas po fatiga en los cristales iónicos, que no sufren fáci lmente el deslizamieni » cruzado, y también porque no es posible producir ro turas de fatiga >n cristales de cinc orientados de manera que se deformen solamente >or deslizamiento fácil.

Al considerar las variaciones > tructurales producidas por la fa-tiga, es conveniente distinguir enl-e ensayos realizados a tensión o ampli tud de tensión grande, en los que las probetas rompen a menos de aproximadamente 105 ciclos, y ensayos a tensiones pequeñas, en los que las probetas duran más de 106 ciclos. Diversos aspectos estruc-turales originados en la región de tensiones grandes de las curvas de Wohler presentan mucha semejanza a los producidos en la deforma-ción monodireccional. Un metal recocido experimenta generalmente un moderado endurec imiento por deformación al aumentar el número de ciclos en esta región. Se forman gruesas bandas de deslizamiento y aparece un asterismo notable en los diagramas de difracción de rayos X. ( Sin embargo, en la región de tensiones pequeñas son muy finas las líneas de deslizamiento y resul tan difíciles de distinguir por las técnicas me- ; talográficas ordinarias. N o se observa endurecimiento por deformación ni distorsión en los diagramas de rayos X. En probetas de cobre en^j

'

' G . C . S M I T H : Proc. Roy. Soc. (Londres), vol. 2 4 2 A , págs. 189-96, 1 9 5 7 . | 2 P . J. E. FORSYTH y C. A . S T U B B I N G T O N : J. Inst. Metals, vol. 83, pág. 395, f

WOOOI "Algunos estudios básicos sobre la fatiga de los metales",'tj « I W m n m I « M WI1m> A S««« Tnr Nueva York . 1959, W

sayadas en la región de tensiones grandes se disipa la energía almace-nada dentro de un intervalo estrecho de temperaturas de recocido. Esto significa que la energía se libera a la vez por restauración y recrista-lización, como justamente podría esperarse de un metal deformado plásticamente en tracción. Cuando se fatiga el cobre en la región de tensiones pequeñas, la energía se disipa en un amplio intervalo de temperaturas, como ocurriría si solo se produce restauración

Un estudio de la estructura de dislocaciones en películas delgadas de aluminio2 ha mostrado que, para las tensiones de fatiga grandes, se forman redes de dislocaciones análogas a las formadas en la carga monodireccional. Para tensiones de fatiga pequeñas el metal contiene una elevada densidad de bucles de dislocación parecidos a los encon-trados en probetas templadas. Esto es una buena indicación de que se forman muchos defectos de punto durante la fatiga.

Hay otra serie de indicaciones de que la deformación cíclica pro-duce una mayor concentración de vacantes que el trabajo en frío por deformación monodireccional. La diferencia en la disipación de la ener-gía almacenada entre el cobre fatigado y el trabajado en frío está de acuerdo con lo que podría esperarse de una elevada concentración de defectos de punto. El hecho de que el cobre deformado en frío se ablande por fatiga posterior3 puede explicarse como resultado de la generación de defectos de punto, que permite una recuperación parcial del metal por trepado de las dislocaciones fuera de su plano de desli-zamiento. Las aleaciones de aluminio endurecidas por precipitación pueden sobrenvejecerse por deformación de fatiga a la temperatura ambiente. Esto sugiere que las vacantes producidas por la fatiga están disponibles para facilitar la difusión exigida por el proceso de so-brenvejecimiento 4. Además, la resistencia a la fatiga aumenta notable-mente desde los 20° a los - 1 9 0 ° C , temperatura esta última a la que es despreciable el movimiento de las vacantes. Sin embargo, el hecho de que se puedan producir fracturas de fatiga a temperaturas tan bajas como 4 °K, indica claramente que un proceso activado por la tempera-tura, tal como la difusión de vacantes, no es esencial para las fallas por fatiga5.

El proceso de formación de las grietas de fatiga se divide general-mente en tres etapas s . La primera solo se produce en los metales cuando el nivel de tensiones aplicadas, es inferior al límite elástico estático

* L . M . CLAREBROUGH, M . E . HARGREAVES, G . W . W E S T y A . K . H E A D : Proc. Roy. Soc. (Londres), vol . 2 4 2 A , pags. 160-66 , 1957.

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men 242A, pit. 203, 1957. ' A . K, HBAD: / , Mich, and Phus, Solids, vol. 1, pigi . 134-41, 1933.

cuanto a la fluencia lenta. Hay ; ocedimientos satisfactorios para dis,\ minuir los fallos por fatiga a la t nperatura ambiente, pero no son efi,-• caces en la fatiga a alta temperat ra. Así, p. ej., las tensiones residuales de compresión se eliminan ante;- de que se alcance la tempera tura "de servicio.

Fatiga térmica.—Las tensiones que producen fallos de fatiga a tem-peratura elevada no proceden necesariamente de un manantial mecá-nico. Los fallos de fatiga pueden producirse por tensiones térmicas fluc. tuantes, siempre que se eliminen las causas mecánicas. Las tensiones de origen térmico se producen cuando se constriñe de alguna manera' el cambio de dimensiones de ut a pieza resultante de la variación de temperatura. Para el caso sencil :o de una barra fija en sus extremos la tensión de origen térmico que se produce por una variación de tem-peratura AT es >

cr • a E A I [12-12]

en donde a es el coeficiente de dilatación lineal y E el módulo elástico, Si el fallo se produce por una aplicación de la tensión de origen térmico, la condición suele llamarse de choque térmico, pero si el fallo ocurre por aplicaciones repetidas de tensiones de origen térmico, se suele uti-lizar la expresión fatiga térmicaEn los equipos para temperaturas ele-vadas se presentan frecuentemente las condiciones necesarias para el fallo por fatiga térmica. El acero inoxidable austenítico es particular-mente sensible a este fenómeno porque su conductividad térmica es baja y su coeficiente de dilatación elevado. Se han publicado estudios extensos sobre la fatiga térmica de este mater ial 2 . La tendencia a la fatiga térmica parece relacionada con el parámetro cr/k/Ea, en el que 07 es la resistencia a la fatiga a la temperatura media y k es la conduc-tividad térmica. Un valor elevado de este parámetro indica buena re-sistencia a la fatiga térmica. Una excelente revisión de todo el lema de la fatiga a temperatura elevada ha sido preparado por Alien y Fo-rrest3 .

B I B L I O G R A F I A

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