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[6] International Telecommunication Union, Recomendación UIT-R P.833-6”. 2007.

[7] International Telecommunication Union, ITU-R P526-11 Propaga-tion by diffraction. 2009.

[8] S.C.M., Perera; A.G., Williamson y G.B., Rowe, Prediction of breakpoint distance in microcellular environments, Electronics Let-ters, july 1999. vol. 35, no. 14

Autores:

Marcos Duván Pineda AlhucemaIngeniero electrónicoUniversidad Industrial de [email protected]

Yuri Hercilia Mejía MelgarejoIngeniera electrónicaUniversidad Industrial de [email protected]

ANEXO 1. Diagrama UML del modelo

En el diagrama de clases se mencionan los nombres de las propiedades y métodos sin acento y son declaradas

en inglés.

Homero Ortega BoadaIngeniero electrónico, especialista en docencia universitaria, “Doctor of Philosophy in Engineering Sciences”Profesor de la Escuela de Ingenierías Eléctrica, Electrónica y Teleco-municacionesDirector del grupo de investigación RadioGISUniversidad Industrial de [email protected]

MEMORIAS DEL DIPLOMADO 2011

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Combinación de los componentes individuales

Las pérdidas totales Ltotal , experimentadas por una se-ñal que se propaga a través de árboles vienen dadas por la combinación de los términos de pérdidas:

CRITERIOS DE SELECCIÓN

Para modelar el efecto de los árboles en la propagación de ondas electromagnéticas, dentro de la herramienta de simulación del grupo de investigación RadioGIS, se eligió el modelo genérico que presenta la recomenda-ción ITU-R-P.833.

Los criterios de selección fueron:

• A pesar de ser un modelo teórico, es más sencillo que los modelos tensoriales, debido a que se basa en aproximaciones sobre el modelado.

• Por ser un modelo geométrico, puede ser adapta-do a la herramienta de simulación existente.

• Este modelo cuenta con parámetros para varios ti-pos de árboles.

• Por último, modifica la fase de la onda incidente.

IMPLEMENTACIÓN

El algoritmo del modelo seleccionado se implementó en una clase en Java. Su diagrama UML se encuentra en el anexo 1.

CONCLUSIONES

Se realizó un estudio de los principales modelos de ár-boles para radiopropagación, y se encontró que el mo-delo más adecuado para el propósito que atañe a este proyecto es el de la recomendación ITU-R-P.833.

Se implementó, como una clase de Java, el modelo de árbol genérico que presenta la recomendación ITU-R-P.833. Este modelo se basa en los fenómenos de di-fracción y además emplea la Teoría de Transferencia de Energía Radiada (RET) para obtener la componente que atraviesa el árbol. Los parámetros que emplea se obtienen de tablas presentadas en la recomendación, de acuerdo con la frecuencia y el tipo de árbol.

Los resultados de la simulación no pueden ser mostra-dos debido a que el proyecto macro al que pertenece

este subproyecto no ha sido concluido y no se cuenta aún con la interfaz adecuada.

Referencias

[1] NC Rogers, et al. A generic model of 1-60 GHz radio propagation through vegetation - final report. QINETIQ, 2002.

[2] Xiaoyang Huang, et al, Radio-propagation model based on the combined method of ray tracing and diffraction, IEEE transactions on antennas and propagation. Abril 2006.

[3] Y I Nechayev, et al. Scattering by trees in microcellular environ-ments, 11th lntemational Conference on Antennas and Propagation

[4] Yvo L. C. de Jong, et al, A tree-scattering model for improved pro-pagation prediction in urban microcells. IEEE transactions on vehicu-lar technology, 2004.

[5] F. M. Schubert, et al. Propagation model for wave scattering effects caused by trees. COST, 2010.

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figura 2. Contribución del componente social en el espacio de búsqueda [6]

• Peso inicial de inercia (w): este concepto fue in-troducido al método con el fin de lograr un buen control de la exploración y la explotación, porque una Vmax de alto valor genera una capacidad de ex-ploración global en el espacio de búsqueda, y una Vmax de bajo valor puede generar una explotación

local[6], lo que traería problemas en la convergen-cia del método, y provocaría que ante cada itera-ción cayera en un mínimo o un máximo global o en un mínimo o un máximo local, respectivamente. [4]

El siguiente sería el código básico del método heurísti-co de enjambre de partículas (PSO).

Algorithm 2. Process of comprehensive learning PSO algorithm

Step (1): Initialize particles X1,X2,…Xk. Calculate 1pbest ,…,

kpbest and gbest

Set t=0

For i=1,….,K, run Steps 2.1-2.3

Step (2.1): Set iw =t 0w ( 0w - 1w )/M, 0w =0.9 and 1w =0.4

Step (2.2) When iflag 7 run step 2 of Algorithm 1

and set iflag = 0.

When iflag < 7,

For j = 1,…,N, execute the following three equations:

1 ( j j j j ji i i i it jV WV C randl pbest X ( 1 1.49445C )

maxj j j ji max max iV min V V V

jiX = j

iX + jiV

Step (2.3): When jiX [ , ]j j

min maxX X update 1pbest ,…,

kpbest and gbest. If ipbest was not replaced with a better one, set 1i iflag flag .

Step (3): Set t=t+1, if t > M, output gbest and quit

Código PSO [7]


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En todos estos operadores se tienen presente caracte-rísticas del individuo para aplicarlos, en cuyo caso son la probabilidad de adaptación, la probabilidad de cruce y la probabilidad de mutación, respectivamente.

Además de estos operadores, se deberá garantizar que la búsqueda permita encontrar un valor óptimo. Al fi-nal de todos los operadores, se hará una selección del mejor individuo, que se conoce como elitismo, al que se archiva la posición para que en la nueva generación este vuelva a aparecer; así se conservará hasta que se encuentre uno mejor y se realice la misma operación. El proceso se repite hasta que se cumpla un número determinado de generaciones de la población.

“El algoritmo se encargará de favorecer la aparición en la población de códigos que correspondan a elementos del dominio próximos a resolver el problema”. [3]

El siguiente sería el código básico del método heurísti-co de algoritmos genéticos.

BEGIN /* Algoritmo Genético Simple */

Generar una población inicial

Computar la función de evaluación de cada individuo

WHILE NOT Terminado DO

BEGIN /* Producir nueva generación */

FOR Tamaño población/2 DO

BEGIN /*Ciclo Reproductivo*/

Seleccionar dos individuos de la anterior generación para el cruce (posibilidad de selección proporcional a la función de evaluación del individuo).

Cruzar con cierta probabilidad los dos individuos obte-niendo dos descendientes.

Mutar los dos descendientes con cierta probabilidad.

Computar la función de evaluación de los dos descen-dientes mutados.

Insertar los dos descendientes mutados en la nueva generación.

END

IF la población ha convergido THEN

Terminado := TRUE

END

END

Código algoritmos genéticos [2]

ENJAMBRE DE PARTÍCULAS (PSO)

El otro método heurístico tratado en este trabajo fue el PSO (Particle Swarm Optimization), que usa también la naturaleza, en el caso específico del movimiento de in-sectos, aves y peces. Este consiste en que se tiene una población de posibles soluciones, en que sus partículas se van moviendo de acuerdo con la ubicación del me-jor posicionado encontrada en un espacio de búsque-da, la mejor posición de cada una de las iteraciones del programa.[5] El enjambre de abejas es muy similar al algoritmo genético en el sistema, inicializado con una población aleatoria de posibles soluciones. Se diferen-cia en que a cada potencial solución se le asigna una velocidad aleatoria, y entonces las posibles soluciones, llamadas partículas, son un flujo que recorre el espacio de búsqueda. [4]

Así mismo, como el caso de los algoritmos genéticos, este depende de unos parámetros de entrada, como son:

• Parámetro cognitivo (C1): modifica aleatoriamen-te la posición de una partícula respecto a su mejor posición.

figura 1. Contribución del componente cognitivo en el

espacio de búsqueda [6]

• Parámetro social (C2): modifica aleatoriamente la posición de una partícula respecto a la mejor posi-ción de todas las partículas.


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OPTIMIzACIÓN DE fUNCIONES CONTINUAS MULTIDIMENSIONALES POR MEDIO DE Real CodifiCation GenetiC alGoRithms (RCGa) y PaRtiCle swaRm oPtimization (Pso)

Joan Salomón Galvis Aparicio

Óscar Javier Begambre Carrillo

Resumen

El presente trabajo determina el desempeño de los RCGA y PSO en la minimización de diversas funciones de Brenchmark representada en la literatura interna-cional. Para realizar la evaluación del desempeño, los algoritmos fueron programados en Matlab® y se cons-truyó una interfaz gráfica para facilitar las diversas pruebas. En el caso de los RCGA, la interfaz está creada para que el usuario pueda tener opción de escoger dos formas de selección, dos formas de cruce y dos formas de mutación; además, por supuesto, de cada uno de los parámetros necesarios para la realización de este método. Adicionalmente, para el PSO, se definieron sus parámetros y se incluyeron dos criterios de parada para que el usuario pueda seleccionar cualquiera de los dos.

En la interfaz de inicio del programa, se incluyó una ayuda en la que se encuentra la bibliografía necesaria para la comprensión de estos dos métodos; así mismo, en las interfaces de cada método, se da la opción de que el usuario pueda abrir, guardar o generar un nuevo formulario.

Palabras clave: optimización, funciones multidimen-sionales, algoritmos genéticos con codificación real (AGCR), enjambre de abejas (PSO).

INTRODUCCIÓN1

Los métodos heurísticos son procedimientos basados en una cantidad de datos que intuitivamente se van adaptando a la solución óptima del problema, aunque no todas las veces esta solución sea la más indicada u óptima. Será responsabilidad del investigador verificar la correspondiente veracidad de la información recibi-da. Además, en estos métodos es tan importante la ra-pidez como la calidad de la solución. Para esto, se debe

1 Los algoritmos están escritos en inglés, por el lenguaje de programación utilizado.

tener cuidado en la información suministrada porque puede que el método nunca pare o nunca llegue a la solución óptima. Para considerar que un problema esté bien definido, hay que considerar todas las posi-bles variables o circunstancias que rodean el problema, así como la solución que se quiere lograr (máximos o mínimos).

“Un método heurístico es un procedimiento para re-solver un problema de optimización bien definido me-diante una aproximación intuitiva en que la estructura del problema se utiliza de forma inteligente para obte-ner una buena solución”. [8]

ALGORITMOS GENÉTICOS

Por su parte, los algoritmos genéticos son un método heurístico que se basa en los procesos hereditarios de los organismos biológicos y el principio de la evolución natural de las especies. En estos se procesan poblacio-nes de cromosomas en función de su aptitud, los que representan soluciones candidatas en un espacio de búsqueda de soluciones, con el uso de operadores de selección, cruzamiento y mutación. [1]

Podrá encontrarse que la mayoría de aplicaciones de los algoritmos genéticos se basa en la codificación binaria de sus cromosomas; es decir, sería un vector de ceros y unos, que ofrecen una buena representa-ción para la solución de problemas; sin embargo, para problemas de dominio continuo, es más natural usar números reales que se mantengan en el dominio del problema y así el cromosoma se convierte en un vector de números reales.

Así, en el caso de los algoritmos genéticos con codifi-cación real, el cromosoma será la población y cada gen de ese cromosoma sería un individuo o solución del problema. Para llegar a esta solución, el cromosoma deberá ser sometido a los operadores antes descritos:

• Selección:

▪ S. por ruleta

▪ S. por torneo

• Cruce:

▪ C. BLX-α

▪ C. aritmético

• Mutación:

▪ M. uniforme

▪ M. no uniforme

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figura 2. Contribución del componente social en el espacio de búsqueda [6]

• Peso inicial de inercia (w): este concepto fue in-troducido al método con el fin de lograr un buen control de la exploración y la explotación, porque una Vmax de alto valor genera una capacidad de ex-ploración global en el espacio de búsqueda, y una Vmax de bajo valor puede generar una explotación

local[6], lo que traería problemas en la convergen-cia del método, y provocaría que ante cada itera-ción cayera en un mínimo o un máximo global o en un mínimo o un máximo local, respectivamente. [4]

El siguiente sería el código básico del método heurísti-co de enjambre de partículas (PSO).

Algorithm 2. Process of comprehensive learning PSO algorithm

Step (1): Initialize particles X1,X2,…Xk. Calculate 1pbest ,…,

kpbest and gbest

Set t=0

For i=1,….,K, run Steps 2.1-2.3

Step (2.1): Set iw =t 0w ( 0w - 1w )/M, 0w =0.9 and 1w =0.4

Step (2.2) When iflag 7 run step 2 of Algorithm 1

and set iflag = 0.

When iflag < 7,

For j = 1,…,N, execute the following three equations:

1 ( j j j j ji i i i it jV WV C randl pbest X ( 1 1.49445C )

maxj j j ji max max iV min V V V

jiX = j

iX + jiV

Step (2.3): When jiX [ , ]j j

min maxX X update 1pbest ,…,

kpbest and gbest. If ipbest was not replaced with a better one, set 1i iflag flag .

Step (3): Set t=t+1, if t > M, output gbest and quit

Código PSO [7]


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En todos estos operadores se tienen presente caracte-rísticas del individuo para aplicarlos, en cuyo caso son la probabilidad de adaptación, la probabilidad de cruce y la probabilidad de mutación, respectivamente.

Además de estos operadores, se deberá garantizar que la búsqueda permita encontrar un valor óptimo. Al fi-nal de todos los operadores, se hará una selección del mejor individuo, que se conoce como elitismo, al que se archiva la posición para que en la nueva generación este vuelva a aparecer; así se conservará hasta que se encuentre uno mejor y se realice la misma operación. El proceso se repite hasta que se cumpla un número determinado de generaciones de la población.

“El algoritmo se encargará de favorecer la aparición en la población de códigos que correspondan a elementos del dominio próximos a resolver el problema”. [3]

El siguiente sería el código básico del método heurísti-co de algoritmos genéticos.

BEGIN /* Algoritmo Genético Simple */

Generar una población inicial

Computar la función de evaluación de cada individuo

WHILE NOT Terminado DO

BEGIN /* Producir nueva generación */

FOR Tamaño población/2 DO

BEGIN /*Ciclo Reproductivo*/

Seleccionar dos individuos de la anterior generación para el cruce (posibilidad de selección proporcional a la función de evaluación del individuo).

Cruzar con cierta probabilidad los dos individuos obte-niendo dos descendientes.

Mutar los dos descendientes con cierta probabilidad.

Computar la función de evaluación de los dos descen-dientes mutados.

Insertar los dos descendientes mutados en la nueva generación.

END

IF la población ha convergido THEN

Terminado := TRUE

END

END

Código algoritmos genéticos [2]

ENJAMBRE DE PARTÍCULAS (PSO)

El otro método heurístico tratado en este trabajo fue el PSO (Particle Swarm Optimization), que usa también la naturaleza, en el caso específico del movimiento de in-sectos, aves y peces. Este consiste en que se tiene una población de posibles soluciones, en que sus partículas se van moviendo de acuerdo con la ubicación del me-jor posicionado encontrada en un espacio de búsque-da, la mejor posición de cada una de las iteraciones del programa.[5] El enjambre de abejas es muy similar al algoritmo genético en el sistema, inicializado con una población aleatoria de posibles soluciones. Se diferen-cia en que a cada potencial solución se le asigna una velocidad aleatoria, y entonces las posibles soluciones, llamadas partículas, son un flujo que recorre el espacio de búsqueda. [4]

Así mismo, como el caso de los algoritmos genéticos, este depende de unos parámetros de entrada, como son:

• Parámetro cognitivo (C1): modifica aleatoriamen-te la posición de una partícula respecto a su mejor posición.

figura 1. Contribución del componente cognitivo en el

espacio de búsqueda [6]

• Parámetro social (C2): modifica aleatoriamente la posición de una partícula respecto a la mejor posi-ción de todas las partículas.


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• función 1 [9]: schwefel’s function

1[ * ( )]

n

i i ii

f x x sin x

(7)

n: Número de dimensiones

Para una (1) dimensión:

1 1 1[ * ( ]f x x sin x (8)

Para este problema se proponen los siguientes datos:

Número de dimensiones: 1

Número de partículas: 20

Número de iteraciones: 800

Parámetro cognitivo C1: 0,85

Parámetro social C2: 0,85

Inercia inicial w: 0,7

Xmin: - 500; Xmax: 500

El criterio de parada fue el de número de pasos. Estos datos y criterio de parada corresponden a una serie de pruebas que se hicieron para alcanzar los valores pro-puestos de mínimos óptimos de la misma función. [9]

Test area is usually restricted to hypercube -500 ix 500, i = 1,…,n. Its global minimun f(x) = -418.9829n is obtainable for ix = 420.9687, i = 1, …, n.

Resultados una (1) dimensión:

Optimal : -418,983

Position : 420,969

Time:Hours

0

Minutes0

Seconds2.55154

figura 13. Resultados en una dimensión

figura 14. Gráfica de la media de la población y del

mejor individuo

figura 15. Gráfica de F(x1)

• función 2 [9]: six-hump Camel Back f

function

4

2 2 2 211 2 1 1 1 2 2 2, 4 2.1* * * 4 4* *

3xf x x x x x x x x

(9)

Para este problema, se proponen los siguientes datos:







X1min: - 3; X1max: 3


El criterio de parada fue el de número de iteraciones. Estos datos y criterio de parada corresponden a una serie de pruebas que se hicieron para alcanzar los valores propuestos de mínimos óptimos de la misma función. [9]

Test area is usually restricted to the rectangle -3

1x 3, -2 2x 2. Two global minimum equal f(x) = -1.0316 are located at ( 1 2,x x ) = (-0,0898; 0,7126) and (0,0898, -0,7126).

Resultados dos (2) dimensiones:

Optimal : -1,03163

Position : -0,0899248 0,713302

Time:Hours

0

Minutes0

Seconds6.11316

figura 16. Resultado en dos dimensiones


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Optimal : 0.053706 6

Position : 0.00950069 0.00950069 0.00950069

Time:Hours

0

Minutes0

Seconds21.7688

figura 9. Resultados en tres dimensiones

figura 10. Gráfica de la media de la población y del mejor individuo

• función 4 [9]: Rosenbrock’s valley

1 22 2

11

[100 (1 ) ]n

i i ii

f x x x x

(6)



Cantidad de población: 20

Número de generaciones: 1000

Probabilidad de cruce: 0,85

Probabilidad de mutación: 0,1

X1min: - 2.048; X1max: 2,048

X2min: - 2.048; X2max: 2,048

X3min: - 2.048; X3max: 2.048

X4min: - 2.048; X4max: 2.048

Los criterios resultantes fueron: para la selección fue selección por torneo, para el cruce fue cruce aritmético y para la mutación fue mutación no uniforme. Estos da-tos y selecciones corresponden a una serie de pruebas que se hicieron para alcanzar los valores propuestos de mínimos óptimos de la misma función. [9]

Test area is usually restricted to hypercube -2,048

ix 2,048, i = 1,…,n. Its global minimum equal f(x) = 0 is obtainable for ix = 0, i = 1, …, n.

Resultados cuatro (4) dimensiones:

Optimal : -0,048737 9

Position : 1,01124 1,01421 1,01678 1,02149

Time:Hours

0

Minutes0

Seconds18,3721

figura 11. Resultados en cuatro dimensiones


▪ Enjambre de partículas (PSO).

A continuación, se presentan las mismas funciones que se utilizaron en la prueba de los algoritmos genéticos. Cada función se probó hasta alcanzar un valor óptimo deseado. Con base en esto, se proponen los paráme-tros.


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>>






Los criterios resultantes fueron: para la selección fue

selección por ruleta, para el cruce fue cruce BLX-α y

para la mutación fue mutación no uniforme. Estos da-

tos y selecciones corresponden a una serie de pruebas

que se hicieron para alcanzar los valores propuestos de

mínimos óptimos de la misma función. [9]


1x 3, -2 2x 2. Two global mininum equal f(x) =

-1.0316 are located at ( 1 2,x x ) = (-0.0898, 0.7126) and

(0.0898, -0.7126).


Optimal : -1,02848

Position : -0,1095380,699539

Time:Hours

0

Minutes0

Seconds20,4633

figura 6. Resultados en dos dimensiones

figura 7. Gráfica de la media de la población y del mejor

individuo

figura 8. Gráfica de F(x1, x2)

• función 3 [9]: Rastrigin’s function

(5)







X1min: - 5,12; X1max: 5,12

X2min: - 5,12; X2max: 5,12

X3min: - 5,12; X3max: 5,12

Los criterios resultantes fueron: para la selección fue

selección por torneo, para el cruce fue cruce aritmético

y para la mutación fue mutación no uniforme. Estos da-

tos y selecciones corresponden a una serie de pruebas

que se hicieron para alcanzar los valores propuestos de

mínimos óptimos de la misma función. [9]

Test area is usually restricted to hypercube -5.12

ix 5.12, i = 1,…,n. Its global minimun equal f(x) = 0 is

obtainable for ix = 0, i = 1, …, n.

Resultados tres (3) dimensiones:


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EVALUACIÓN DE DESEMPEñO

▪ Algoritmos genéticos con codificación real

A continuación, se presentan las funciones empleadas en el presente estudio. Las dimensiones de cada fun-ción fueron definidas y por medio de pruebas se esta-blecieron los parámetros finales.

• función 1[9]: schwefel’s function

1[ * ( )]

n

i i ii

f x x sin x

(1)



1 1 1[ * ( ]f x x sin x (2)





Probabilidad de cruce: 0.85

Probabilidad de mutación: 0.1

Xmin: - 500; Xmax: 500

Los criterios resultantes fueron: para la selección fue selección por ruleta, para el cruce fue el cruce BLX-α y para la mutación fue la mutación no uniforme. Es-tos datos y selecciones corresponden a una serie de pruebas que se realizaron para alcanzar los valores pro-puestos de mínimos óptimos de la misma función. [9]

Test area is usually restricted to hypercube -500 ix 500, i = 1,…,n. Its global minimum f(x) = -418.9829n is obtainable for ix = 420.9687, i = 1, …, n.


Optimal : -418.983

Position : 420.966

Time:Hours

0

Minutes0

Seconds5.53892

figura 3. Resultados en una dimensión.



Para dos (2) dimensiones:

1 2 1 1, [ * ( ]f x x x sin x

+

2 2 [ * ( ]x sin x (3)

La ecuación anterior se probó en la interfaz, pero por su complejidad, se decidió cambiar a otra ecuación, que permitiera generar más iteraciones, con el fin de probar el programa.

• función 2 [9]: six-hump Camel Back function

42 2 2 21

1 2 1 1 1 2 2 2, 4 2.1* * * 4 4* *3xf x x x x x x x x

(4)





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• función 1 [9]: schwefel’s function

1[ * ( )]

n

i i ii

f x x sin x

(7)



1 1 1[ * ( ]f x x sin x (8)








Xmin: - 500; Xmax: 500

El criterio de parada fue el de número de pasos. Estos datos y criterio de parada corresponden a una serie de pruebas que se hicieron para alcanzar los valores pro-puestos de mínimos óptimos de la misma función. [9]

Test area is usually restricted to hypercube -500 ix 500, i = 1,…,n. Its global minimun f(x) = -418.9829n is obtainable for ix = 420.9687, i = 1, …, n.


Optimal : -418,983

Position : 420,969

Time:Hours

0

Minutes0

Seconds2.55154

figura 13. Resultados en una dimensión

figura 14. Gráfica de la media de la población y del

mejor individuo


• función 2 [9]: six-hump Camel Back f

function

4

2 2 2 211 2 1 1 1 2 2 2, 4 2.1* * * 4 4* *

3xf x x x x x x x x

(9)










El criterio de parada fue el de número de iteraciones. Estos datos y criterio de parada corresponden a una serie de pruebas que se hicieron para alcanzar los valores propuestos de mínimos óptimos de la misma función. [9]


1x 3, -2 2x 2. Two global minimum equal f(x) = -1.0316 are located at ( 1 2,x x ) = (-0,0898; 0,7126) and (0,0898, -0,7126).


Optimal : -1,03163

Position : -0,0899248 0,713302

Time:Hours

0

Minutes0

Seconds6.11316

figura 16. Resultado en dos dimensiones


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Optimal : 0.053706 6

Position : 0.00950069 0.00950069 0.00950069

Time:Hours

0

Minutes0

Seconds21.7688

figura 9. Resultados en tres dimensiones


• función 4 [9]: Rosenbrock’s valley

1 22 2

11

[100 (1 ) ]n

i i ii

f x x x x

(6)







X1min: - 2.048; X1max: 2,048

X2min: - 2.048; X2max: 2,048

X3min: - 2.048; X3max: 2.048

X4min: - 2.048; X4max: 2.048

Los criterios resultantes fueron: para la selección fue selección por torneo, para el cruce fue cruce aritmético y para la mutación fue mutación no uniforme. Estos da-tos y selecciones corresponden a una serie de pruebas que se hicieron para alcanzar los valores propuestos de mínimos óptimos de la misma función. [9]

Test area is usually restricted to hypercube -2,048

ix 2,048, i = 1,…,n. Its global minimum equal f(x) = 0 is obtainable for ix = 0, i = 1, …, n.

Resultados cuatro (4) dimensiones:

Optimal : -0,048737 9

Position : 1,01124 1,01421 1,01678 1,02149

Time:Hours

0

Minutes0

Seconds18,3721

figura 11. Resultados en cuatro dimensiones


▪ Enjambre de partículas (PSO).

A continuación, se presentan las mismas funciones que se utilizaron en la prueba de los algoritmos genéticos. Cada función se probó hasta alcanzar un valor óptimo deseado. Con base en esto, se proponen los paráme-tros.


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