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Medição de Fenômenos Biológicos

Sensores Reativos, Termoelétricos e Piezoelétricos

Sensores reativos, termoelétricos e piezoelétricos

Medição de Fenômenos Biológicos – UFRJ, 2013/2 1

Controle de Versões

2013 Versão 1 – Com base nas notas de aula de COB783, Hardware and HousekeepingTechniques, Circuit Board Layout Techniques e Noise Reduction Techniques inElectronic Systems.

Última alteração: 06/06/2013


http://www.analog.com/library/analogDialogue/archives/39-05/Web_Ch7_final_J.pdf

http://www.analog.com/library/analogDialogue/archives/39-05/Web_Ch7_final_J.pdf

http://www.amazon.com/Reduction-Techniques-Electronic-Systems-Edition/dp/0471850683

http://www.amazon.com/Reduction-Techniques-Electronic-Systems-Edition/dp/0471850683

http://focus.ti.com/lit/an/slod006b/slod006b.pdf

Índice

7 Transdutores capacitivos...................................................................................................................4

7.1 Dielétrico de Eletreto.................................................................................................................4

7.2 Variação de Posição...................................................................................................................5

7.3 Sensibilidade e Linearidade.......................................................................................................6

7.4 Formas de Medida.....................................................................................................................9

8 Transdutor Indutivo.........................................................................................................................12

8.1 Aspectos de não linearidade....................................................................................................16

8.2 Transdutores com uma bobina (um indutor)............................................................................19

8.3 Transdutores com dois indutores.............................................................................................21

8.4 Transdutores de três indutores (LVDT – Linear Variable Differential Transformer).............22

9 Transdutores Termoelétricos...........................................................................................................23

10 Transdutores Piezoelétricos...........................................................................................................28

10.1 Análise fenomenológica........................................................................................................29

10.2 Transdutor piezoelétrico no modo direto e com carga..........................................................42


7 Transdutores capacitivos

Um outro transdutor que pode ser utilizado de modo similar aos transdutores resistivos é o

transdutor capacitivo. De modo análogo, uma certa fonte de tensão deve ser utilizada para a

obtenção do sinal de saída, com exceção dos transdutores cujos dielétricos são constituídos de

eletreto ou apresentam propriedades piezoelétricas.

O capacitor de placas paralelas apresenta capacitância dada por

Cd=A⋅K⋅0

l d

onde 0=8,85⋅10−12 é a permissividade do ar, K⋅0 é a permissividade do material, A é

área das placas e lg é a distância entre as placas.

Sendo assim qualquer arranjo que modifique A, lg, ou K pode ser transformado em um

transdutor capacitivo. Um número expressivo de arranjos pode ser utilizado na construção de

transdutores capacitivos. Alguns exemplos podem ser vistos abaixo.

7.1 Dielétrico de Eletreto

Caso o capacitor seja produzido com dielétricos de eletreto, geralmente Teflon ou Lexan

(policarboneto especial), eles possuem a propriedade de que quando uma polarização é induzida por

bombardeamento de elétrons ou por um campo elétrico intenso, tal polarização é retida após a


remoção do efeito externo; de tal modo que uma tensão permanente ve (análogo ao magnetismo

residual de um imã permanente) permanecerá armazenada no dielétrico.

Normalmente ve=500V, mas só pode ser medido com um eletrômetro (uma espécie de

Voltímetro cuja impedância de entrada é muito elevada, alguns TΩ, o que minimiza a circulação de

corrente a alguns fA). Tal valor de ve pode durar por 20 anos.

7.2 Variação de Posição

Neste capítulo estudaremos especificamente os transdutores sem dielétricos de eletreto ou

piezoelétricos. Supondo um sensor de posição capacitivo, com gap variável entre suas placas e o

elemento dielétrico, conforme mostrado abaixo

A capacitância do gap é dada por

C g=A⋅0

l g

Por sua vez a capacitância do dielétrico pode ser escrita como

Cd=A⋅K⋅0

l d


Uma vez que as duas capacitâncias estão em série a capacitância equivalente é calculada

como

C=1

1C d

1

C g

C0=

A⋅K⋅0

l d

⋅A⋅0

l g

A⋅K⋅0

l d

A⋅0

l g

C0=

A2⋅K⋅0

2

l d⋅l g

A⋅0⋅K⋅l gl d

l d⋅lg

C0=A⋅0

l gl d

K

Considerando que o gap sofre pequenas variações em torno de um ponto central de repouso

l g=l g0 l g

C=A⋅0

l g0 l gl d

K

Esta é a equação da capacitância em função de variações do tamanho do gap. Para

representar melhor este transdutor podemos calcular a variação relativa de capacitância com relação

a capacitância de repouso (semelhante ao que foi feito com o strain gauge). Esta razão definiria

uma espécie de sensibilidade adimensional dada por C /C0 .


7.3 Sensibilidade e Linearidade

Seja uma função y=f(x), onde y representa a saída de um transdutor de deslocamento e x a

sua entrada então

dyy0

= yy0

=y− y0

y0

=yy0

−1

Supondo a função y cujo ponto médio é dado por

y0=b

x0c

muito semelhante a função encontrada para a capacitância, então

dyy0

=yy0

−1=

bxc

bx0c

−1

dydy0

=x0c

xc−1

Substituindo-se x= x0dx

dyy0

=x0c

x0dxc−1

que pode ser reescrita como

dyy0

=1

1dx

x0c

−1

Como 1

1A=1−AA2

... , então


dyy0

=1−dx

x0c

dx2

x0c2−1

dyy0

=−1

1cx0⋅ dx

x0 1

1 cx0

2⋅dxx0

2

que é da forma

dyy0

=1⋅dxx0 2⋅ dx

x0 2

Por comparação encontramos

1=1

1 cx0

2=1

1cx0

2.

Como a equação de C é análoga a equação de y podemos escrever que

dCC 0

=−1

1 l d

k⋅l g0⋅ dl g

l g0 1

1 l d

k⋅l g0 2⋅ dlg

l g0

2

onde

1=−1

1 l d

k⋅l g0


2=1

1l d

k⋅l g0

2

Uma medida de não linearidade pode ser obtida pela relação

∣2

1∣=1

1 l d

k⋅l g0 que deve ser feita a menor possível.

Para os casos onde a variação do gap é muito pequena a razão C /C0 pode ser escrita

como

dCC 0

=−1

1 l d

k⋅l g0⋅ dl g

l g0

7.4 Formas de Medida

Em vez de se medir diretamente o valor da capacitância C, pode-se converter as variações de

capacitância em variações de tensão por meio de circuito, como por exemplo

Assumindo-se que a capacitância média permanecerá igual a C0 , apesar das variações

devidas ao mensurando,

q=C0⋅ve


Se RL for grande a corrente não poderá variar rapidamente e consequentemente a carga no

circuito permanecerá praticamente constante, de tal modo que

vc t =q

C t

Assim, a tensão de saída do circuito pode ser calculada como

vout t =ve – vc t =ve –ve⋅C 0

C t

vout t =ve⋅1–C0

C t

como 1−C 0

C t =

C t−C0

C t ≈

CC t

≈CC 0

pois C t ≈C0

Então

vout t ≈ve⋅CC 0

≈ve⋅dCC0

vout t ≈ve⋅1

1l d

k⋅l g0⋅

dl g

l g0

≈−ve⋅ l g

l g0ld

k

Note que a equação de vout indica que o mesmo é diretamente proporcional as variações de

largura do gap, que por sua vez são proporcionais ao deslocamento.

Uma outra opção de circuito para o uso dos transdutores capacitivos é a ponte AC.


A ponte deve ser excitada com um sinal AC de frequência muito mais alta que a maior

frequência mecânica que será transduzida.

Por analogia ao caso anteriormente demonstrada de uma ponte de Wheatstone com 2 braços

ativos e opostos temos que na condição de equilíbrio e na frequência onde Xc=R

V TH=12⋅V 1⋅

CC

RTH=R⋅[1−CC

2

⋅12 ]

Se o circuito for ligado a um amplificador de alta impedância ( RL≫RTH ), então a tensão

V out será igual a V TH .


8 Transdutor Indutivo

De modo análogo aos transdutores resistivos e capacitivos, os transdutores indutivos são

transdutores ativos que requerem uma fonte de excitação externa para proporcionar uma tensão de

saída, que pode ser vista como uma certa modulação da mesma, que neste caso deve ser AC.

Uma variante muito usada dos transdutores indutivos é o LVDT (Linear Variable

Differential Transformer), no qual o acoplamento entre o primário e o secundário de um

transformador é variado por ação de um núcleo ferromagnético móvel, como será visto adiante.

Um indutor com enrolamento cilíndrico apresenta indutância definida por

l

ANμμ=L r ⋅⋅⋅ 2

0

onde mHπ=μ /104 70

−×⋅ é a permissividade do espaço livre, rμ é a permeabilidade

relativa, N é o número de espiras, A é a área de secção reta do núcleo, l é o comprimento do núcleo.

Outras formas geométricas apresentam indutância dependente de outras variáveis. De

qualquer forma um número expressivo de arranjos permitem a construção de transdutores indutivos,

baseados na alteração de rμ , N, A ou l.


Considere inicialmente o seguinte modelo para um indutor real

onde R modela as perdas resistivas do fio, as perdas de corrente de fuga pelo núcleo e

também as perdas de histerese e C modela a capacitância parasita associada ao enrolamento.

Como todo circuito RLC produz uma equação diferencial da forma

xω

+xQ

ω+x=x

ω+xωζ+x ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

20

020

0

112

onde

a frequência de ressonância é CL

=ω⋅

10 e o fator de qualidade do circuito é

R

Lω=Q

⋅0 .

Sendo assim, no circuito RLC,


Q

Lω=R

⋅.

Analisando a impedância do circuito equivalente para o indutor real temos que

( ) CLL XX+R=Z //

Cωj+Lωj+

Q

Lω

CωjLωj+

Q

Lω

=Z L

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

1

1

⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

CωLωj+

Q

Lω

CωjLωj+

Q

Lω

=Z L 1

1

⋅

−⋅⋅⋅⋅⋅

−

⋅

⋅⋅⋅

Cω

CLωj+

Q

LωCω

j

Lωj+Q

Lω=Z L

12

( ) ( )122

−⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅−

⋅

⋅⋅⋅

CLω+Q

CLωCω

Cωj

Lωj+Q

Lω=Z L .

Supondo que 1Q , tal que ( ) ( )12

2

−⋅⋅<<⋅⋅CLω

Q

CLω

( )1

12 −⋅⋅

−⋅

⋅⋅⋅

CLωLωj+

Q

Lω=Z L

( ) ( )CLω

Lωj+

CLωQ

Lω=Z L ⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−⋅

⋅22 11

.

Se a capacitância parasita fosse desconsiderada (C=0), então


Lωj+Q

Lω=Z L ⋅⋅⋅

Comparando-se as duas expressões de ZL podemos concluir que a capacitância parasita

diminui o fator de qualidade, uma vez que

( )CLωQ=Qefetivo ⋅⋅−⋅ 21

Esta expressão vale até que CL

=ω⋅

1 e nestas condições Q<Qefetivo

Além disso, há, também, um efeito de aumento da indutância efetiva, uma vez que esta pode

ser entendida como

( )CLω

L=L=L eqefetivo ⋅⋅− 21

Derivando-se esta última expressão temos

( )( ) 22

22

1

11

CLω

CωL–CLω=

L

Leq

⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅⋅−

∂∂

( ) 22

22

1

1

CLω

CLω+CLω=

L

Leq

⋅⋅−

⋅⋅⋅⋅−∂

∂

( ) 221

1

CLω=

L

Leq

⋅⋅−∂∂

( ) 221 CLω

L=Leq

⋅⋅−

∂∂

de onde


( )

( )CLω

LCLω

L

=L

L

eq

eq

⋅⋅−

⋅⋅−∂

∂

2

2

1

1

( )CLωL

L=

L

L

eq

eq

⋅⋅−⋅∂∂

21

1

Tal expressão indica que na construção de um transdutor de indutância variável, a

capacitância parasita tende a aumentar a sensibilidade do transdutor (em relação ao caso ideal).

Os efeitos anteriormente mencionados, de capacitância parasita do enrolamento, podem ser

somadas aos efeitos das capacitâncias parasitas associadas aos cabos coaxiais ligados aos

transdutores. Por esta razão, cuidado especial deve ser tomada na escolha do cabo coaxial a ser

utilizado para interligar este tipo de transdutor.

8.1 Aspectos de não linearidade

A não linearidade da saída em função do deslocamento mecânico é uma importante

especificação de transdutores indutivos.

Assumindo a saída e a entrada correlacionadas como ( )xf=y , onde y é a saída e x é a

entrada poderíamos definir dxdy / como sensibilidade e xdyd 22 / como uma medida de não

linearidade.

Como visto nos transdutores capacitivos, uma outra forma, mais conveniente, de se definir

sensibilidade pode ser obtida através do coeficiente 0/ ydy , onde dy é uma pequena variação da

saída ocorrida no entorno do valor quiescente 0y .

Vimos também que se for assumida uma função

c+x

b=y

00 , então


2

02

0

0

0

01

1

1

1

⋅

⋅

−

x

dx

x

c+

+x

dx

x

c+

=y

dy

onde, neste caso, a sensibilidade e a distorção são dependentes do termo

1

1cx0

Obviamente, neste caso, para que uma boa linearidade seja obtida é necessário que 0/ xc

seja grande. Porém, tal termo traz como consequência a redução da sensibilidade.

Suponha agora uma função de dependência do tipo:

0

0x

b=y

0

0

00

x

b

x

b–

x

b

=y

Δy

y

dy ≈

1

0

0

−

x

bx

b

=y

dy

10

0

−x

x=

y

dy

Substituindo-se dx+x=x 0

10

0

0

−dx+x

x=

y

dy

11

1

0

0

−

x

dx+

=y

dy


Como

...8

3

21

1

1 2

−

⋅

− Δ

+Δ

=Δ+

,

então

18

3

2

11

2

000

−

⋅

⋅≈

x

dx+

x

dx–

y

dy

2

000 8

3

2

1

⋅−≈

x

dx+

x

dx

y

dy.

Agora temos um valor de não linearidade descorrelacionada com o de sensibilidade, e

ambos fixos.

Uma outra função poderia ser

00 xb=y ⋅

100

0

00

−−

y

y=

y

yy=

y

Δy=

y

dy

11000

−−⋅⋅

x

x=

xb

xb=

y

dy

Fazendo-se dx+x=x 0

10

0

0

−x

dx+x=

y

dy

1100

−x

dx+=

y

dy

Neste caso a expansão será


( ) ...8

1

211 2 +Δ–

Δ+=Δ+ ⋅ ,

então

18

1

2

11

2

000

−

⋅−

⋅

x

dx

x

dx+=

y

dy

2

000 8

1

2

1

⋅−

⋅

x

dx

x

dx=

y

dy

Que apresenta características similares à da função anterior, quando a não subordinação de

não linearidades e sensibilidade, e ainda apresenta uma melhor linearidade.

Os transdutores indutivos caem geralmente em 3 categorias: 1) com um indutor; 2) com dois

indutores ( 1L aumenta enquanto 2L diminui); 3) com três indutores (um primário e dois

secundários).

8.2 Transdutores com uma bobina (um indutor)

Seja o seguinte transdutor de relutância variável com núcleo ferromagnético de

comprimento total lm, área Am e permeabilidade magnética 0μμ=μ rm ⋅

Pode ser demonstrado que neste caso a indutância do transdutor é dada por:


⋅⋅

⋅⋅

rg μAm

lmAg+l

NAgμ=L

20

tal parâmetro é da forma

c+x

b=y

onde gl=x

que, como visto anteriormente, possui

2

02

0

0

0

01

1

1

1

⋅

⋅

−

x

dx

x

c+

+x

dx

x

c+

=y

dy

Como normalmente

1<<⋅⋅

rμAm

lmAg

pois AmAg ≈ , gllm ≈ e μr ≫1

teremos

2

000

−

x

dx+

x

dx=

y

dy

o que implica que o transdutor não possui uma boa linearidade. Tal fato já era esperado pelo

aspecto hiperbólico da indutância do transdutor em função do gap, descrito pela equação

⋅⋅

⋅⋅

rg μAm

lmAg+l

NAgμ=L

20


Uma maneira simples de transformar a variação da indutância em variação de tensão é

através do seguinte arranjo:

Se fizermos LωRs ⋅ , então

LωRs

ve=vout ⋅⋅

e com amplitude e frequência fixa de excitação

LK=vout ⋅

8.3 Transdutores com dois indutores

O circuito mais comumente encontrado em aplicações que empregam dois elementos

transdutores é a ponte de Wheatstone com excitação AC. Em tal circuito normalmente é montado

um arranjo de indutores onde as variações de indutância são opostas (quando o acoplamento

magnético aumenta em um diminui em outro). Como uma ponte com 2 braços ativos possui a

característica de cancelar problemas de linearidade e temperatura, grande parte dos inconvenientes

dos transdutores com somente um indutor são eliminados.


No circuito acima as resistências Rs modelam além das perdas ôhmicas, perdas no núcleo e

de histerese. O potenciômetro Rp é colocado para compensar as diferenças existentes entre os dois

valores das perdas e deve ser ajustada de modo a zerar a ponte numa condição onde sabidamente

0=ΔL .

Para altos valores de Q (Q>10) a saída na condição de circuito aberto ( ∞=RL ) tende para a

tensão de Thevenin estudada para o caso de uma ponte resistiva com 2 braços ativos, ou seja:

L

ΔLve=vout

⋅

8.4 Transdutores de três indutores (LVDT – Linear Variable Differential

Transformer)

O LVDT é um transformador com acoplamento magnético variável produzido pelo

movimento de um núcleo ferromagnético colocado entre os enrolamentos. De modo a zerar a saída


na situação de deslocamento mecânico nulo, os dois enrolamentos do secundário são conectados em

oposição elétrica.

Pode ser demonstrado que

( )( )

⋅⋅−⋅⋅

⋅−⋅⋅⋅

⋅⋅≈2

322

1223

43

x–lplclc

x–lplcx

Npls

Nsvevout

onde Ns é o número de espiras do secundário, Np é o número de espiras do primário, ls é o

comprimento do enrolamento secundário, lp é o comprimento do enrolamento primário, lc é o

comprimento do núcleo móvel e x é o deslocamento do núcleo.

Este tipo de transdutor é muito comum e existem muitos circuitos que podem ser utilizados

para excitar e retirar sinal CC destes transdutores.


9 Transdutores Termoelétricos

Em 1823 Seebeck descobriu que se 2 metais diferentes forem conectados em um circuito

com as junções em temperaturas diferentes, uma certa corrente fluiria no circuito.

T1 T2

iMaterial A

Material BT1<T2

Tal fenômeno envolve a absorção de calor pela chamada junção fria (Tf) e liberação de calor

pela junção quente. A força eletromotriz de Seebeck, responsável pela corrente circulante depende

dos tipos dos metais envolvidos e é aproximadamente proporcional a diferença de temperatura entre

as duas junções.

Peltier (1834) demonstrou o efeito inverso através da introdução de uma bateria no circuito

composto por 2 metais diferentes e da constatação de que o calor era absorvido em uma das junções

e irradiado na outra.

Calor Calor Absorvido Liberado

Material A

Material B

+V-

Tal efeito é a base da refrigeração Termoelétrica.

Na sua forma mais simples um termopar tem o seguinte aspecto


T1 T2+V-

T1 T2+ V -

A tensão de Seebeck pode ser expressa aproximadamente como

( ) ( )21

2212 TTγ+TTα=V −⋅−⋅

onde α e γ são constantes associadas do tipo de termopar.

Normalmente o valor de γ não é tão elevado, de modo que para uma boa faixa de

temperatura o comportamento pode ser descrito como praticamente linear.

A sensibilidade do termopar, para uma dada temperatura T2 é dada por

22

2 Tγ+α=T

V=S ⋅⋅

∂∂

Outra possibilidade de configuração é a de somente uma junção (junção quente), onde o

ponto de medição é considerado estar numa temperatura de referência.

Uma vez que a equação que descreve a tensão de Seebeck não é exata, ela pode ser usada

para calibração para uma faixa muito extensa de temperatura. Normalmente os dados de calibração

são tabulados medindo-se a tensão de Seebeck quando uma das junções é mantida na temperatura

de gelo (0ºC).

Os tipos de termopares são dependentes das ligas metálicas usadas para sua fabricação, onde

normalmente o primeiro elemento do par corresponde ao elemento positivo, e em algumas normas o

elemento negativo é pintado de vermelho.


Ref Material Faixa µV/ºC Erro

B Platina 30% Rodio/Platina 6% Rodio

[0,1800] 3 0,5%

E Cromel/Constantan [-200, 1000] 63 ±1,7 ºC ou 0,5%

J* Ferro/Constantan [-200, 900] 53 ±2,2 ºC ou 0,75%

K* Cromel/Alumel [-200,1300] 41 ±2,2 ºC ou 0,75%

N Nirosil/Nisil [-200/1300] 28

R Platina/Platina 13% [0 1400] 6 ±1,5 ºC ou 0,25%

S Platina/Platina 10% [0 1400] 6 ±1,5 ºC ou 0,25%

T* Cobre/Constantan [-200, 400] 43 ±1 ºC ou 0,75%

Os tipos mais comuns são J, K e T

Existem basicamente duas opções para se realizar a medida de temperatura com um

termopar: 1) Usando-se uma temperatura de referência, normalmente um banho de gelo e um

voltímetro para obter-se a tensão de Seebeck e posteriormente interpretando-se o valor medido


através de uma tabela (o que pode ser feito manualmente ou por software); 2) Usando-se um

indicador de temperatura dedicado com uma certa compensação de temperatura.

Os circuitos mais simples para a medição podem ser vistos a seguir. Note que a tensão do

transdutor é aquela estabelecida somente entre os metais contidos entre a região quente e a região

que define a temperatura de referência (normalmente o banho). A partir daí os dois condutores de

cobre somente levam tal tensão para o voltímetro (que é considerado estar na temperatura

ambiente), sem interferir na tensão proporcional a temperatura.

T1 T2 Tamb

O esquema abaixo ilustra a utilização de fios de extensão e de um conector, ideal para casos

onde o banho de referência não pode ficar próximo e o tamanho do sensor também não pode ser

grande. Note que a temperatura da zona de conexão deve ser uniforme (igual para os dois fios).

T1 0 ºC Tamb

A diferença de temperatura entre duas pontas pode ser obtida com um arranjo onde neste

caso os dois fios considerados negativos devem ser interligados e mantidos juntos em uma

temperatura qualquer (normalmente a temperatura ambiente) e os fios positivos colocados um em

cada ponto onde se deseja medir a diferença. A diferença de potencial entre os dois fios positivos é

proporcional a diferença de temperatura entre os dois pontos considerados.

Temperatura (ºC) E J K N R S T

-200 25,1 21,9 15,3 9,9 - - 15,7

-100 45,2 41,1 30,5 20,9 - - 28,4

0 58,7 50,4 39,5 26,1 5,3 5,4 38,7

100 65,7 54,3 41,4 29,7 7,5 7,3 46,8


Temperatura (ºC) E J K N R S T

200 74,0 55,5 40,0 33,0 8,8 8,5 53,1

300 77,9 55,4 41,4 35,4 9,7 9,1 58,1

400 80,0 55,1 42,2 37,0 10,4 9,6 61,8

500 80,9 56,0 42,6 - 10,9 9,9 -

600 80,7 58,5 42,5 - 11,3 10,2 -

700 79,9 62,2 41,9 - 11,8 10,5 -

800 78,4 - 41,0 - 12,3 10,9 -

900 76,7 - 40,0 - 12,8 11,2 -

1000 74,9 - 39,8 - 13,2 11,5 -


10 Transdutores Piezoelétricos

Outro tipo bastante utilizado de transdutor passivo é o transdutor piezoelétrico, que produz

um sinal elétrico de saída quando excitado mecanicamente. Além disto estes transdutores são

recíprocos o que significa que se for aplicada ao transdutor uma certa tensão elétrica eles são

capazes de produzir uma vibração mecânica. Devido a esta característica tais transdutores são muito

utilizados na área biomédica como por exemplo em: a) microfones específicos para transdução de

sons cardíacos; b) acelerômetros para medição de tremores; c) sensores ultrassônicos para medição

de fluxo sanguíneo; d) sensores ultrassônicos para imageamento; e) dispositivos ultrassônicos para

cirurgia.

A piezoeletricidade é um fenômeno associado a geração de cargas elétricas na superfície de

um material quando a ele é aplicada uma certa tensão mecânica capaz de deformá-lo; ou a

correspondente mudança da forma do material quando uma certa tensão elétrica é aplicada em

algumas de suas superfícies. A piezoeletricidade é então uma maneira de converter-se energia

mecânica em energia elétrica, ou vice-versa.


Os primeiros materiais piezoelétricos estudados foram o quartzo, a turmalina e os sais de

Rochelle. Antigamente todos os cristais eram considerados materiais piezoelétricos, mas a partir de

1940 certas cerâmicas (titanite de bário e titanite de zircônio, especialmente) têm sido

especialmente fabricadas como os materiais piezoelétricos mais usuais.

10.1 Análise fenomenológica

Considere o modelo abaixo como uma longa e fina barra de material piezoelétrico.

Fo,vo Fl,vl

x=0 x=l

η (x,t)

camada condutor

+v(t)_

W

h

Consideremos que na face esquerda da barra seja aplicada uma força F0 (aplicada a partir de

algum meio externo) e que a tal força está associada uma velocidade local V0. Na face direita uma

força F2 será transmitida ao ei externo, com uma correspondente velocidade local vl. Consideremos

ainda que as perturbações só se propagam na direção x, fazendo com que o material da barra se

desloque pontualmente de uma pequena distância η .

Suponha agora que por meio das finas camadas de material condutor uma tensão v(t) seja

aplicada à barra. Tal diferença de potencial resulta num campo elétrico uniforme com a distância. A

densidade de corrente por sua vez é uma função da distância e do tempo, uma vez que o campo

elétrico interagirá com o deslocamento mecânico, sendo a corrente externa i(t) a integral de tal

densidade de corrente.

Uma vez que o campo elétrico faz um ângulo reto com o movimento mecânico, tal

configuração é chamada de modo transversal. O modo direto seria aquele onde o campo elétrico

estivesse alinhado com a direção do movimento mecânico.


Suponha um distúrbio mecânico senoidal viajando na barra na direção x

Nos picos do deslocamento a tensão e a deformação são nulas pois não há nem compressão

nem expansão.

Podemos escrever que

x

η=S

∂∂

A lei de Hooke estabelece que para um dado material:

SY=T ⋅0

onde é o módulo de Young (módulo de elasticidade) e T é a força sobre a área..

O fenômeno de polarização elétrica, por sua vez, pode ser expresso como

Eζ=PE ⋅

onde é o módulo do vetor de polarização, é a susceptibilidade, e E é o módulo do campo

elétrico aplicado.

A susceptibilidade do material está relacionada com a constante dielétrica via

( )10 −⋅ Kε=ζ


onde, para o vácuo, 0=ζ e 1=K .

Como grande parte dos materiais piezoelétricos possui uma alta constante dielétrica

podemos aproximar

Kε=ζ ⋅0

e 12108,85 −×=K

Se o material é piezoelétrico a lei de Hooke e a de polarização devem ser alteradas uma vez

que há uma contribuição na deformação mecânica gerada pelo campo elétrico, assim como uma

contribuição no vetor de polarização gerado pela tensão mecânica. Logo

Edp+TY

=S ⋅⋅0

1

Tdp+Eζ=PE ⋅⋅

onde dp é a constante piezoelétrica.

Ilustremos tal característica pelos seguintes casos

No primeiro caso uma tensão V é aplicada e a barra piezoelétrica é expandida.

+V_

∆ l

+++++

- - - - -

Comprimento: lLargura : WAltura : h

Uma vez que a barra não está carregada mecanicamente a tensão T é nula,

consequentemente


l

Δl

V

h=

hV

lΔl=

E

S=dp ⋅

/

/

onde h é a altura da barra.

No segundo caso uma força F é aplicada fazendo com que a barra se contraia (onde F e

lΔl / são considerados negativos).

q

∆ l

+++++

- - - - - F


Se um curto-circuito é feito na barra, o campo elétrico externo é nulo, porém a força F causa

o movimento de uma carga q, criando uma polarização negativa, como mostrada. Neste caso

Tdp=PE ⋅

hW

Fdp=

lW

q

⋅⋅

⋅

h

lFdp=q

⋅⋅

No terceiro caso, tanto uma força F, como uma tensão V, são aplicados simultaneamente.


+V_+++++

- - - - -


F

As magnitudes são ajustadas de modo que a força F negativa cancele exatamente uma

tensão positiva V, de tal modo que o comprimento da barra permanece o mesmo. Neste caso

Edp=TY

⋅⋅0

1

h

Vdp=

hW

F

Y⋅

⋅⋅

0

1

VYWdp=F ⋅⋅⋅ 0

No quarto caso, embora uma força F seja aplicada a transferência de carga não pode ocorrer

em virtude do circuito aberto.

+V-

∆ l

+++++

- - - - - F


Neste caso uma tensão a circuito aberto (que decairá com o tempo) poderia ser medida,

refletido o campo elétrico criado Neste caso


Tdp=Eζ ⋅⋅

hW

Fdp=

h

Vζ

⋅⋅⋅

Wζ

Fdp=V

⋅⋅

Podemos definir a energia elétrica armazenada no primeiro e terceiro casos como iguais e

dadas com

2

2

1VC ⋅⋅

onde

h

ζlW=C

⋅⋅

Obs.: Em baixas frequências os elementos piezoelétricos tem comportamento

eminentemente capacitivo.

Nos casos onde ocorreu expansão da barra, podemos dizer que houve trabalho mecânico,

uma vez que uma força F foi aplicada e houve um deslocamento Δl . Consideremos agora uma

característica do material que será chamada de coeficiente de acoplamento K, definida como

armazenada entrada de energia

saída de líquida energia=K

Pode ser demonstrado que

0Y

ζ

dp=K

ζ

Ydp=K 0⋅


As principais características de alguns materiais piezoelétricos pode ser vista abaixo. Note

que algumas constantes são negativas, significando neste caso que o material é orientado de acordo

com o eixo cristalográfico e que neste caso a aplicação de uma tensão V positiva causa uma

contração em vez de uma expansão do comprimento l.

Propriedades Unidades PZT-4A PZT-5A PZT-5H

K(1kHz) - 1400 1600 3400

tan(δ) - 0,05 0,02 0,02

Ec KV/cm 14,4 11,8 5,5

PR μC/cm2 31,0 23,0 12,9

Psat μC/cm2 40,1 27,7 19,5

kef - 0,49 0,50 0,53

kp - 0,54 0,56 0,59

d33(x10-12) m/V 225 350 585

g33(x10-3) Vm/N 8,5 16,6 12,5

k33 - 0,35 0,53 0,59

d31(x10-12) m/V -85 -190 -265

g31(x10-3) Vm/N -7,5 -13,7 -8,5

k31 - 0,22 0,40 0,36

Densidade g/cm3 7,6 7,7 7,4

K: Constante dielétrica; k: coeficiente de acoplamento; dxx: coeficiente piezoelétrico (na

direção xx); gxx: coeficiente de tensão elétrica piezoelétrica.

Uma vez que o transdutor piezoelétrico é um dispositivo eletromecânico recíproco, torna-se

conveniente analisarmos o seu desempenho do ponto de vista de um circuito elétrico. Em tal

abordagem as características mecânicas devem ser modeladas por seus respectivos análogos

elétricos.

Seja o seguinte modelo para um transdutor piezoelétrico.


onde o transformador é utilizado para acoplar as variáveis mecânicas a variáveis elétricas.

Neste modo de vibração do modelo considera-se que a velocidade de propagação da onda

mecânica no dispositivo (velocidade de propagação do som) é dada por

Ds ρ

Y=v 0

assim como a sua impedância característica

DsD ρv=ρY=Z ⋅⋅00

Supondo que a vibração mecânica oscila numa frequência angular o comprimento físico

do transdutor representa um certo ângulo mecânico associado ao período de oscilação, ou uma certa

fração do comprimento de onda.

λπ →⋅2

lθ →

f

vlπ

=λ

lπ=θ

s

⋅⋅⋅⋅ 22

ss v

lω=

v

lfπ=θ

⋅⋅⋅⋅2


No modelo as reatâncias XL e XC são definidas em função de tal ângulo mecânico e são

dadas por

⋅

⋅⋅⋅2

tan0 θ

v

YWhj=X

sL

θv

YWhj=X

sC sen

10 ⋅⋅⋅⋅

De modo análogo a relação de espiras de um transformador (N) é dada por

WdpY=N

⋅⋅0

1

e a capacitância C0 por

h

YWle=C 0

0

⋅⋅⋅

onde 2

0

dp–Y

ζ=e

e se o material não for piezoelétrico (dp=0), tal valor se reduz a expressão de um capacitor

de placas paralelas

00

*0 Y

h

Wl

Y

ζ=C ⋅⋅⋅

( )h

Aεε=C r ⋅−⋅ 10

*0

Em aplicações biomédicas, normalmente as ressonâncias mais baixas são as usualmente

utilizadas. Isto é, aquelas onde o comprimento do transdutor corresponde a 2/λ , ou seja, π=θ

(também chamada de modo 180º). Então a frequência de ressonância será

l

vπ=

l

vθ=ω srr

r

⋅⋅ (ressonância mecânica).


Para transdutores duplamente acoplados ao vácuo ou ar, a carga mecânica equivalente é

vista como curto-circuito (velocidade qualquer e força igual a zero). Isto faz com que os dois

indutores do modelo estejam conectados em paralelo. Embora a expressão de XL tenda para infinito

na ressonância, pois

⋅⋅⋅

2tan0

pY

v

Wh=X

sL

podemos avaliá-la nas vizinhanças de tal frequência, como

Δ+π=θ , logo

2tan

2tan

Δ+π=

θ

Como

( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )baba

ab+ba=

b+a

b+a=b+a

sensencoscos

cossencossen

cos

sentan

⋅−⋅⋅⋅

então

⋅

−

⋅

⋅

⋅

2sen

2sen

2cos

2cos

2cos

2sen

2cos

2sen

2tan

ΔπΔπ

πΔ+

Δπ

=Δ+π

⋅

⋅

2sen

2sen

2cos

2sen

2tan

Δπ

Δπ

=Δ+π

−

2cot

2tan

Δ=

Δ+π

Porém tal função ainda poderia ser expandida em séries de Taylor ( 0→Δ ) como


...6

2

2cot

2tan

2tan +

Δ+

Δ=

Δ=

Δ+π=

θ −

−

De modo análogo pode ser demostrado que para Δ+π=θ

( ) ( ) ...6

1

sen

1

sen

1+

Δ

ΔΔcsc=

Δ+π=

θ−−≈−

Em tal condição (transdutor duplamente conectado ao ar), o circuito equivalente pode ser

reduzido para:

onde

−−⋅⋅⋅⋅−

6

10

Δ

ΔY

v

Whj=X

sC

⋅⋅⋅⋅

6

10

Δ+

ΔY

v

Whj=X

sC

2

1

6

20

* ⋅

−⋅⋅⋅⋅ Δ

+Δ

Yv

Whj=X

sL

−⋅⋅⋅⋅

12

10

* Δ

ΔY

v

Whj=X

sL

A reatância total vista pelo secundário do transformador é então

−⋅⋅⋅⋅

12

1

6

10

** Δ+

Δ

Δ+

ΔY

v

Whj=X+X=X

sLCsec


40

ΔY

v

Whj=X

ssec ⋅⋅⋅⋅

(comportamento indutivo)

Refletindo-se agora tal reatância para o primário, multiplicando-se por 2N .

2NX=X secpri ⋅

2

00

1

4

⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅WdpY

ΔY

v

Whj=X

spri

2220

0

1

4 WdpY

ΔY

v

Whj=X

spri ⋅⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

WdpYv

Δhj=X

spri ⋅⋅⋅⋅

⋅⋅2

04 (comportamento indutivos)

Então, do ponto de vista elétrico, um transdutor piezoelétrico pode ser visto como o circuito

ressonante abaixo

onde ωYlWe

hj=

Cω

j=X C0 ⋅⋅⋅⋅

⋅−⋅

⋅−

00

1

e, em rω=ω

sC0 vYWeπ

hj=X

⋅⋅⋅⋅⋅−

0

Embora na frequência rω=ω , onde 0=Δ e π=θ , a indutância do modelo devesse se

tornar um curto circuito, e a impedância do circuito ir a zero, devido a perda, tal efeito não ocorre,


sendo tal impedância limitada a um certo valor R1. Além disso, também devido a fatores ligados a

perdas construtivas, na frequência onde há a ressonância do LC resultante ( aω ) a impedância do

circuito também não será infinito. Tal frequência de ressonância pode ser definida com a frequência

onde o denominador do paralelo fosse nula. Nesta condição teremos

ss vdpWY

Δh=

vYWeπ

h

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅ 200 4

ou seja

eπ

dp=Δ

⋅⋅ 24

e consequentemente

eπ

dp+π=Δ+π=θa ⋅

⋅ 24

l

v

eπ

dp+

l

vπ=

l

vθ=ω sss

a ⋅⋅

⋅⋅⋅ 22 4

(ressonância elétrica)

ou seja

leπ

vdp+ω=ω s

ra ⋅⋅⋅⋅ 24

Devido ao fato do circuito equivalente anterior apresentar uma indutância variável (função

de Δ ) ele é normalmente substituído por um outro que utiliza parâmetros fixos, sendo que o mais

utilizado é:


onde h

YlW=C 0

0

2 ⋅⋅⋅

220

18 svdpWY

lh=L

⋅⋅⋅⋅⋅

hπ

YWldp=C

⋅⋅⋅⋅⋅

20

2

1

8

onde 11

1

CL=ωr ⋅

( )1

011

1

C+C

CCl

=ω

D

a ⋅⋅

O valor de R1 deve ser obtido experimentalmente, uma vez que a modelagem realizada não

inclui o efeito de perdas internas


10.2 Transdutor piezoelétrico no modo direto e com carga

O modo transversal anteriormente estudada não é o modo normalmente usado em ultrassom.

Em tais aplicações o transdutor está normalmente carregado e opera no chamado modo direto

Fo,vo Fl,vl

x=0 x=l

+v(t)-


O modelo elétrico para este caso é

A comparação com o modelo do modo transversal nos mostra que houve o aparecimento de

mais uma reatância indutivo que depende tanto das propriedades mecânica, como das propriedades

piezoelétricas do transdutor.

Em tal modelo temos

sv

lω=θ

⋅ (como no caso anterior)

l

YeA=C 0

0

⋅⋅ (diferente do caso anterior, onde agora A é a área da camada condutora

metálica)

⋅

⋅⋅⋅

2tan

θ

ve

ζAj=X

sL1

θve

YdpAj=X

sL2 ⋅⋅

⋅⋅⋅ 02

( )θve

ζAj=X

sC1 sen⋅⋅

⋅⋅−


dpYA

l=N

⋅⋅ 0

Embora tais transdutores operem normalmente na ressonância, para obtenção da máxima

eficiência mecânica em termos de movimento nem sempre tal fato se dá para uma sintonia em meio

comprimento de onda. Consequentemente não podemos utilizar as aproximações para θ ,

( )2/tan θ e ( )θ1sen − , anteriormente demonstrada. Neste caso a solução deve ser obtida por

tentativa e erro, ou algum método numérico.

Para vários casos práticos de interesse o circuito equivalente anterior pode ser modificado,

combinando-se as indutâncias 1L em uma única indutância 2/1L e substituindo-se a carga por um

equivalente resistivo Req.

Se tal modelo é considerado válido, então a série L1/2X+X C1 resulta em:

( )

⋅

⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅−

2tan

2sen

1L1/21

θ

ve

ζAj+

θve

ζAj=X+X=X

ssC1

( )

−

⋅

⋅⋅⋅⋅

θ

θ

ve

ζAj=X

s sen

2

2tan

21

Mas como

( )

⋅

2tan1

2tan2

sen2 θ

+

θ

=θ

então


⋅

⋅

−

⋅

⋅⋅⋅⋅

2tan2

2tan12

2tan

2

2

1 θ

θ+

θ

ve

ζAj=X

s

Logo

⋅⋅⋅

⋅⋅−

2tan

1

21 θve

ζAj=X

s (reatância capacitiva)

Então o modelo poderia ser redesenhado como:

A reatância total vista pelo secundário do transformador então é

θve

YdpAj+

θve

ζAj=X+X=X

ss

L2sec ⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅

⋅⋅− 02

1

2tan2

⋅

−⋅

⋅⋅⋅

2tan2

02

θ

ζ

θ

Ydp

ve

Aj=X

ssec

Como a ressonância ocorre quando 0=X sec isto implica em

⋅

⋅

2tan2

02

θ

ζ=

θ

Ydp

r


02

2tan2 Ydp

θ=θ r

r ⋅⋅

⋅

Tal equação não linear só pode ser resolvida por métodos numéricos e fornece a frequência

de ressonância transdutor através de

l

vθ=ω s

rr ⋅


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