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Mécanique des structures

Séance 3

Treillis

http://find/http://goback/


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Mécanique desstructures

Séance 3

Objectifs de laséance

Définition de« barre » et de treillis

Conditions destabilité – Maxwell

Équationscanoniquesd’équilibre

Calcul des effortsdans les barres –Cremona

Calcul des effortsdans les barres –Ritter

Calcul des effortsdans les barres –PTV

Conclusions

Table des matières

1 Objectifs de la séance

2 Définition de « barre » et de treillis

3 Conditions de stabilité – Maxwell

4 Équations canoniques d’équilibre

5 Calcul des efforts dans les barres – Cremona

6 Calcul des efforts dans les barres – Ritter

7 Calcul des efforts dans les barres – PTV

8 Conclusions

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Séance 3






Calcul des effortsdans les barres –

Ritter


Conclusions

Table des matières








8 Conclusions

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Séance 3







Ritter


Conclusions

Objectifs de la séance

• Définition de treillis• Formule de Maxwell• Equations canoniques d’équilibre d’un point et application aux treillis• Conditions de détermination cinématique et statique et leur dualité• Méthodes de calcul des treillis (Cremona, Ritter, PTV)

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Séance 3







Ritter


Conclusions

Table des matières








8 Conclusions

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Séance 3







Ritter


Conclusions

L’objet poutre a été caractérisé par sa capacité de générer, dans tout point, un état de

sollicitation qui se compose éventuellement d’un effort normal, d’un effort tranchant etd’un moment fléchissant.

L’état de sollicitation imaginé pour les poutres est le plus riche qui peut se présenterdans un élément unidimensionnel contenu dans un plan.

Les « barres » sont des éléments unidimensionnels comme les poutres, mais pouvantêtre sollicités exclusivement par un effort normal.

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Séance 3







Ritter


Conclusions

Cette affirmation peut être vue comme une propriété des barres (elles sont incapablesde générer d’autres efforts que les efforts normales) ou du système dans lequel ellesse trouvent (aucun effort n’est transmis aux barres tel à engendrer des sollicitationsautres que l’effort normal), ce qui ne fait aucune différence du point de vue desdéfinitions et des méthodes qu’on va introduire.

En pratique, une barre est une poutre particulière, montée dans une structure de tellemanière à éviter ou réduire le plus que possible les sollicitations de flexion et de

cisaillement et – par conséquent – réalisée avec une résistance minimale vis-à-vis deces efforts.



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Séance 3







Ritter


Conclusions

Le montage nécessaire à cet effet peut être schématisé comme suit :• une barre est un élément unidimensionnel droit ;• à chaque extrémité d’une barre se trouve une rotule ;

• les barres ne sont connectées au reste de la structure ou au sol que par cesrotules à leurs extrémités ;• les chargements sont donnés par de forces qui ne sont pas appliquées sur les

barres, mais seulement sur leurs extrémités.

http://find/


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Séance 3







Ritter


Conclusions Un treillis est une structure composée exclusivement de barres qui ne sontconnectées entre elles ou au sol que par les rotules qui se trouvent à leurs extrémités.Seul ces extrémités, ou nœuds, peuvent être chargées par des forces.

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Séance 3







RitterCalcul des effortsdans les barres –PTV

Conclusions

Table des matières








8 Conclusions



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Séance 3








Conclusions

Conditions de stabilité – Maxwell

Bilan des degrés de liberté et des degrés de blocage intérieurs :

3p − i si le résultat est 3, et les liaisons sont toutes efficaces, le système a 3 degrés deliberté comme un corps rigide : il est isostatique intérieurement. En ajoutant 3 ddbefficaces extérieures on obtient une structure isostatique.

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Séance 3








Conclusions

Le nombre i des degrés de blocage intérieurs est donné par 2 fois les couples debarres liées par rotules : dans l’exemple ci-dessous certaines rotules relient 2 barres,d’autres 3, 4 ou 5, avec un nombre de ddb qui varie donc entre 2 (2 barres liées) et 8(5 barres).Comme règle générale une rotule qui lie b barres introduit 2(b − 1) blocages dans lesystème.

3p − i = 3 · 25 − 2 · (2 − 1) · 2 − 2 · (3 − 1) · 3 − 2 · (4 − 1) · 8 − 2 · (5 − 1) · 1 = 75 − 72 = 3



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Séance 3








Conclusions

Ce calcul est peu aisée. On constate que dans un triangle on réalise la conditiond’isostaticité intérieure avec p = 3, i = 2 · 3 :

3p − i = 3 · 3 − 2 · 3 = 9 − 6 = 3

On peut voir ce même triangle comme 3 points (ayant chacun 2 ddl dans le plan)reliés par 3 liaisons simples (1 ddb par liaison) :

2n − b = 2 · 3 − 3 = 3

avec un calcul plus rapide.

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Séance 3








Conclusions

Pour la poutre Howe du cas précédent :

2n − b = 2 · 14 − 25 = 28 − 25 = 3

La condition 2n − b ≤ 3 est dite condition de Maxwell pour la stabilité des treillis. Elle,avec égalité stricte, est nécessaire pour que un treillis soit isostatique.



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Séance 3








Conclusions

Compatibilité cinématique

Si on considère une barre entre deux nœuds i et j , on note b(ij ) le verseur de ladirection j − i (c.à.d. b(ij ) = (x( j ) − x(i ))/ x( j ) − x(i )), les déplacements d(i ) et d( j ) desdeux nœdus engendrent un changement de longueur, inadmissible pour une barrerigide, dont l’expression est :

d(i)

d(j)

d(j)x

d(j)y

d(i)xi

b

(ji)

b(ji)x

b(ji)y

d(i)y

(d( j ) − d(i )) · b(ij ) =

b( ji ) · d(i ) + b(ij ) · d( j ) = 0

Cette expression peut s’écrire en composantes scalaires pour toutes les barres d’untreillis

b ( ji )x d

(i )x + b

( ji )y d

(i )y + b

(ij )x d

( j )x + b

(ij )y d

( j )y = 0

http://find/


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Séance 3








Conclusions

. . . b ( ji )x d

(i )x + b

( ji )y d

(i )y · · · + b

(ij )x d

( j )x + b

(ij )y d

( j )y · · · = 0

Et en forme matricielle :

. . .

. . . b

( ji )

x b

( ji )

y . . . b

(ij )

x b

(ij )

y . . .

. . .

(b ×2n )

. . .

d (i )x

d (i )y

. . .d ( j )x

d ( j )y

. . .

(2n ×1)

=

. . .

0

. . .

(b ×1)

b (b ×2n ) (2n ×1) = (b ×1)

(On montre les dimensions en indice chaque fois qu’on introduit des matrices)

http://find/


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Séance 3








Conclusions

Les liaisons cinématiques extérieures correspondent à un deuxième ensemble deconditions sur les déplacements des nœuds, qui peut s’écrire sous la forme :

e (e ×2n )

(2n ×1) =

(e ×1)

e ≥ 3 étant le nombre de degrés de blocage introduits par ces liaisons.

Notons que la présence de l’un ou de l’autre des deux types de liaison possibles dans

un nœud h du treillis donne lieu à des équations du typerotule ⇒ dh = 0

appui simple sur le plan de normale n ⇒ dh · n = 0

qui se traduisent en une élimination des déplacements concernés.

Soit la matrice obtenue de b par ce processus et ¯ la liste des degrés de libertérestants. (Il s’agit d’un processus d’élimination des colonnes correspondantes auxdegrés de liberté bloqués par les liaisons cinématiques extérieures si celles-ciagissent sur des directions du repère).

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Séance 3








Conclusions

Dans les hypothèses : rang e = e < 2n

on peut considérer que la compatibilité cinématique de la structure soit exprimée parle système linéaire homogène condensé

(b ×(2n −e )) ¯

((2n −e )×1) = (b ×1)

Pour que le treillis soit déterminé du point de vue cinématique, il faut que ce systèmen’admet que la solution banale,ce qui correspond à la condition

rang = 2n − e

pour avoir laquelle il est nécessaire que

2n − b − e ≤ 0

http://goforward/http://find/http://goback/


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Séance 3








Conclusions

En générale on a le système d’équations homogènes :

b

e

((b +e )×2n )

(2n ×1) = ((b +e )×1)

soit

= b

e ;

=

L’étude de la matrice permet de s’assurer de la détermination cinématique dutreillis.



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Séance 3








Conclusions

Pour que le treillis soit cinématiquement déterminé il faut que le système homogène(b + e ) × 2n :

=

n’admet que la solution banale, ce qui requiert :

rang = 2n

et donc la condition nécessaire2n − b − e ≤ 0

d’où la condition nécessaire de Maxwell si e = 3

2n − b ≤ 3

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Séance 3








Conclusions

Pour que le treillis soit isostatique intérieurement il faut que le système homogène

b =

n’admet qu’une famille de solutions à 3 paramètres, représentant les mouvements de

corps rigide du treillis. Cela n’est possible que si

rang b = 2n − 3

et donc la condition nécessaire précédente avec égalité stricte.

Remarque

http://find/


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Séance 3








Conclusions

Remarque

Le système de matrice b peut être condensé en tenant compte des liaisons e .Si rang

e = 3, on peut considérer le système homogène condensé

¯ (b ×(2n −3)) ((2n −3)×1) = (b ×1)

et la dimension nulle de l’espace des solutions correspond à la condition

rang ¯ = 2n − 3

et donc, encore une fois, il est nécessaire que

2n − b ≤ 3

Exemple

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Séance 3








Conclusions

Exemple

A B

C

α β

∆lBC ∆lAC

dC

x

dC y cosα sinα

− cosβ sinβ

d

C x

d C y

=

0

0

=

det = sin(α + β ) = 0 ssi α, β = 0, π

la géométrie est alors indéterminée : il existe de déplacements non nul pour de

déformations nulles au premier ordre :

A B

C

dC y

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Séance 3








Conclusions

Pour l’analyse des mouvements possibles d’un système en treillis on procède comme

pour les systèmes de poutres, en cherchant les centres de rotation des parties dusystème.

On simplifie le problème en groupant toute partie du système entièrement« triangulée » (composée de triangles) comme un seul corps rigide, et on se réduit àla recherche des mouvements des blocs rigides ainsi identifiés.

Cette procédure correspond, du point de vue algébrique, à la condensation des degrésde liberté du système conduisant à l’étude du rang d’une matrice de plus petite taille.

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Séance 3








Conclusions

Dans l’exemple ci-dessus les ddl des nœuds intérieurs aux deux parties indiquées dela structure peuvent s’écrire en fonction des déplacements de l’articulation centrale,réduisant ainsi le système qui initialement compte n = 11, e = 4 et b = 18 (ou n = 9 etb = 18 en éliminant les ddl bloquées par les liaisons extérieures) à un système 2 × 2dans les seuls déplacements de l’articulation centrale.

Table des matières

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Séance 3








Conclusions

Table des matières








8 Conclusions

Condition d’équilibre d’un point

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Séance 3








Conclusions

Condition d équilibre d un point

Principe des travaux virtuels

Un corps rigide est en équilibre sous un systèmede forces si le travail de ces forces est nul pourn’importe quel mouvement virtuel du corps.

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Séance 3








Conclusions

Est ce corps rigide en équilibre ?

d

F1

F2

F3

F2

d

F3

d

F1

(d)

F3

F2

(d)

(d)

d d

F1

(d)

F3

F2

(d)

(d)= ∀ d ⇒ F1

(d) F2(d) F3

(d)- - + = 0

d d

F1

d

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Séance 3








Conclusions

Conséquence du principe des travaux virtuelsPour que un corps rigide soit en équilibre sous unsystème de forces il est nécessaire que la somme

des composantes de ces forces dans n’importequelle direction soit nulle.

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Séance 3








Conclusions

En termes algébriques cela s’écrit par l’affirmation que l’expression du principe destravaux virtuels :

n i =1

f(i ) · d = 0 ∀d

implique la condition, dite « canonique », d’équilibre :

n i =1

f(i ) = 0 ou

n i =1

f (i )

d = 0 ∀d,

où n est le nombre total des forces agissantes sur le corps (n = 3 dans l’exemple) etl’indice d indique les composantes des forces dans la direction d.

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Séance 3








Conclusions


d

F1

F2

F3

F2

d

F3

d

F2

F3

F1

d

d

F1

d

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Séance 3








Conclusions


d

F1

F2

F3

F2

F3

F1

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Séance 3








Conclusions


d

F1

F2

F3

F2

F3

F1

d'

d"

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Séance 3








Conclusions

Conséquence du principe des travaux virtuels

Pour que un corps rigide soiten équilibre sous un système deforces il est nécessaire que

la somme des composantes deces forces dans n’importe quelledirection soit nulle.

⇔

le polygone formé par les vec-teurs qui représentent ces forcesest fermé.

ces deux conditions sont équivalentes ; notez qu’elles sont nécessaires mais qu’ellesne sont pas suffisantes pour l’équilibre.

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Séance 3








Conclusions

Exemple de corps rigide qui n’est pas en équilibre sous un système de force quirespecte le critère précédent : il existe de mouvements dans lesquels le travail desforces n’est pas nul.

α

F1

F2

il s’agit de mouvements de rotation autour d’uncentre réel, qui sont les seuls à ne pas avoirété pris en compte dans la démonstration pré-cédente.

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Séance 3








Conclusions

Si le corps rigide qu’on étudie est réduit à un point ou – ce qui revient au même –toutes les forces convergent dans un seul point, ladite condition est aussi suffisante,car il n’y aura pas de mouvements de corps rigide significatifs qui ne soient pas de

translations pures.

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Séance 3








Conclusions

Un point est en équilibre dans le plan sous un ensemble de forces si et seulement si lepolygone formé par les vecteurs qui représentent toutes ces forces est fermé

F1

F2

F3

F4

F5

F1

F2

F3

F4

F5

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Séance 3








Conclusions

Notez que cela ne dépend pas de l’ordre dans lequel on prend les forces.

F1

F2

F3

F4

F5

F1

F2

F3

F4

F5

Table des matières

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Séance 3








Conclusions








8 Conclusions

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Séance 3








Conclusions

Hypothèse : un treillis est en équilibre si etseulement si tous ses nœuds sont

en équilibre.

Conséquence : pour qu’un treillis soit en équilibre

il faut et il suffit que la somme desefforts extérieurs et intérieurs soitnulle dans tous ses nœuds.

Méthode de Cremona ou des nœuds : les efforts dans les barres se trouvent enimposant l’équilibre à la translation dans deux directions quelconques de chaquenœud du treillis.

Equilibre des nœuds

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Séance 3








Conclusions

On considère un nœud, d’indice i dans un treillis et on écrit l’équilibre de ce nœud, quifait apparaître les efforts N ( ji ) dans les barres (rappel : b(ij ) = (x( j ) − x(i ))/

x( j ) − x(i )) :

i

b(ji)

b(ji)x

b(ji)y

F

(i)y

F (i)x

F(i

)

j

b( ji )N ( ji ) + F(i ) = 0

(où la sommation est à prendre sur tout les j connectés à i par une barre).Soit en variables scalaires :

j

b ( ji )x N ( ji ) + F (i )x = 0 ;

j

b ( ji )y N ( ji ) + F (i )y = 0

et en forme matricielle, si on considère toutes les translations des nœuds qui ne sontpas bloquées par une liaison cinématique extérieure (celles-ci étant en nombre de e ) :

F ((2n −e )×b )

(b ×1) +

((2n −e )×1) =

((2n −e )×1)

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Séance 3








Conclusions

Outre que les précédentes, il y a les équations d’équilibre associés aux translationsbloquées par les liaisons cinématiques extérieures, faisant entrer en jeu les e ≥ 3réactions inconnues :

R (e ×b ) (b ×1) + (e ×1) = (e ×1)

Ce qui conduit au système 2n × (b + e ) : F

R

+

=

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Séance 3








Conclusions

Soit

= F

R ,

la condition qui permet de s’assurer de la détermination statique du treillis est

rang = b + e

ce qui implique la condition nécessaire :

2n − b − e ≥ 0

On voit que les conditions nécessaires de détermination cinématique et statique dutreillis se combinent dans :

0 ≤ 2n − b − e ≤ 0 ⇒ 2n − b − e = 0

condition nécessaire pour que le treillis soit déterminé du point de vue cinématique etstatique.

Exemple

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Séance 3








Conclusions

A B

C

α β

bAC

N AC

bBC

N BC

F C y

F C

x − cosα cosβ

− sinα − sinβ

N

AC

N BC

+

F

C x

F C y

= 0

F + = det F = sin(α + β ) = 0 ssi α, β = 0, π

la solution est alors indéterminée : il existe de sollicitations non nulles en équilibre

avec des forces extérieures nulles.

A B

CbAC

N AC

bBC

N BC

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Séance 3








Conclusions

La méthode de Cremona s’applique simplement lorsque dans le treillis il existe une

suite de nœuds tels que la solution puisse être obtenue en chaîne : chaque nœud dela suite se présente avec deux efforts normaux inconnus seulement.

Par exemple :

On dit qu’un tel treillis a des nœuds « canoniques ».

Exemple d’application de la méthode de Cremona

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Séance 3








Conclusions

F F

F

R =2F R =

2F

A B

C D

E

G

A R

N AC

N AE

N AC

N AE

N AE = −AE

EG

32

F ; N AC = AG

EG

32

F ;


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Séance 3








Conclusions

F F

F

R =3

2F R =

2F

A B

C D

E

G

C

N CA

N CE

N CG

F

A

N AC

N AE

N CA

N CE

N CG

N CE = −CE

EG F ; N CA + N CG =

CG

EG F

(N CA connu).


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Séance 3








Conclusions

F F

F

R =2F R =

2F

A B

C D

E

G

C

N CA

N CE

N CG

F

A R

N AC

N AE

G

N GC

F

N GDN GE

N GC N GD

N GE

N GD = N GC ; (N GD + N GC )v = N GE + F


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Séance 3








Conclusions

F F

F

R =3

2F R =

2F

A B

C D

E

G

C

N CA

N CE

N CG

F

A

N AC

N AE

G

GC

F

N GD

N GE

F

N DE DG

N DB

D

N DE

DG

N DB

(déjà calculé)


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Séance 3








Conclusions

F F

F

R =3

2F R =

2F

A B

C D

E

G

C

N CA

N CE

N CG

F

A

N AC

N AE

G

GC

F

N GD

N GE

F

N DE DG

N DB

D B

N BE

BD

N BE

N BD

(déjà calculé)

Mé i d


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Séance 3








Conclusions

F

F

R =2F R =

3

2F

A B

C D

E

G

C

N CA

N CE

CG

F

A R

N AC

N AE

G

N GC

F

N GD

N GE

F

N DE DG

N DB

D B

N BE

BD

E

EG

N ED

N EC N EA

EB

N EG

N EDN EC

N EA N EB

N EC = N ED ; (N EC + N ED )v = −N EG

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Mécanique des


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Séance 3


Définition de

« barre » et de treillis






Conclusions

F F

F

R =3

2F R =

3

2F

A B

C D

E

G

F

R

R

F

F

N C E

N C G NA

C

N AE

N G E

N D E

N D G

N BE

N B D

Mécanique des

Explication algébrique des nœuds canoniques

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qstructures

Séance 3


Définition de







Conclusions

l

h

h 2

l/2

F

Mécanique des

Explication algébrique des nœuds canoniques

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structures

Séance 3


Définition de







Conclusions

l

h

h/2

l/2

A C

A D

B C

B E F

F

F

D

D G

E G

CE

CG

2F

2F

A

G

F

F

c C · · · · · · ·

s S · · · · · · ·· −C C c · · · · ·· −S S −s · · · · ·· · −C · C 0 · · ·· · −S · −S −1 · · ·c · · −c · 0 c −c ·

−s · · s · 1 s −s ·· · · · −C · −c · C · · · · S · −s · −S · · · · · · · −c −C · · · · · · · s S

N AC N AD N DG N CD N GE N CG

N CE N BC N BE

=

0

−R (v )

A0F 0F 00

0F

−R (h )B

−R (v )B

la solution du problème s’obtient en traitant les lignes deux à deux

Mécanique des

Table des matières

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structures

Séance 3


Définition de







Conclusions








8 Conclusions


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structures

Séance 3


Définition de







Conclusions

La méthode se base sur l’idée d’imaginer des coupes du treillis, laissant les effortsnormaux des barres coupées équilibrer le système ainsi obtenu.Les passages qui suivent démontrent le bien fondé de cette méthode à partir de

l’écriture directe du PTV.


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structures

Séance 3


Définition de







Conclusions




59/81

structures

Séance 3


Définition de

« barre » et de treillisConditions destabilité – Maxwell





Conclusions


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Séance 3


Définition de






Conclusions


Table des matières

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Séance 3


Définition de






Conclusions








8 Conclusions


Calcul par application directe du principe destravaux virtuels

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Séance 3


Définition de






Conclusions

• Approximation des petits déplacements

• Calcul de l’effort normal dans la membrure d’un treillis• Calcul de l’effort normal dans le montant d’un treillis• Calcul de l’effort normal dans la diagonale d’un treillis


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Séance 3


Définition de






Conclusions

A B

1 3 5 7 9

2 4 6 8

l l l l l l l l

h

F/2 F F F F F F F F/2


http://find/


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Séance 3


Définition de






Conclusions

A B

1 3 5 7 9

2 4 6 8

l l l l l l l l

h


N 68


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Séance 3


Définition de






Conclusions

A B

1 3 5 7 9

2 4 6 8

l l l l l l l l

h


1 2

C 1

C 2

C 12


Sé 3

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Séance 3


Définition de






Conclusions A B

1 3 5 7 9

2 4 6 8

l l l l l l l l

h


1 2

C 1

C 2

C 12

1' 2'

α

6' & 7'

C 1' C

2'

C 2"

C 1"

7"

1" 2"

β

β

γ

lα 2lα 3lα 4lβ 3lβ 2lβ lβ

hβ 5h

5hγ


Séance 3

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Séance 3


Définition de






Conclusions

A B

1 3 5 7 9

2 4 6 8

l l l l l l l l

h


1 2

C 1

C 2

C 12

1' 2'

α

6' & 7'

C 1' C 2'

C 2"

C 1"

7"

1" 2"

β

β

lα 2lα 3lα 4lβ 3lβ 2lβ lβ

hβ 8

5h

8

5hγ

β = 35α ; γ =

53β = α

Ŵ = (6 + 1035

)Fl α − N 68 85h α = 0 ∀α ⇒ N 68 =

152 Fl h


Séance 3

http://find/


68/81

Séance 3


Définition de






Conclusions

Si on considère une poutre sous le même chargement et liaisons extérieures que letreillis, on note que la section de la poutre correspondante au nœud 7 (centre derotation relative entre les deux parties du treillis après suppression de la barre N 68) estsollicitée par le moment fléchissant M tel que (on rappelle que dans ce casα + β = 85h α) :

Ŵ = (6 + 1035)Fl α − M

85h α = 0 ∀α ⇒ M =

152 Fl .

Ceci montre que

N 68 = M

h .


Séance 3

http://find/


69/81


Définition de






Conclusions

A B

1 3 5 7 9

2 4 6 8

l l l l l l l l

h


N 67


Séance 3

http://find/


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Conclusions A B

1 3 5 7 9

2 4 6 8

l l l l l l l l

h


1 2

C 1

C 2

C 12

1'

2'

α

α

6'

7'

C 1' C

2'

C 2"C 1"

5" & 7"

1" 2"&

α

lα 2lαlα

4lα 3lα 2lα lα

hα

3lα


Séance 3

http://find/


71/81








Conclusions

A B

1 3 5 7 9

2 4 6 8

l l l l l l l l

h


1 2

C 1 C 2

C 12∞

1'

2'

α

α

6'

7'

C 1' C 2

'

C 2"C 1

"

5" & 7"

1" 2"&

lα 2lα5lα

4lα 3lα 2lα lα

hα

3lα

Ŵ = 12Fl α + N 67(3 + 5)l α = 0 ∀α ⇒ N 56 = 32

F


Séance 3

http://find/


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Calcul des efforts

dans les barres –PTV

Conclusions

Pour une poutre sous le même chargement et liaisons extérieures on obtient la valeurde l’effort tranchant sur la section correspondante au montant supprimé dans letreillis :

Ŵ = 12Fl α + V (3 + 5)l α = 0 ∀α ⇒ V = 32

F ,

et donc

N 67 = V .L’effort normal dans un montant est identique à l’effort tranchant sur la sectioncorrespondante dans la poutre équivalente. Cet effort est égale à la résultante detoutes les forces et les réactions extérieures qui se trouvent d’un coté ou de l’autre dela section.


Séance 3

http://find/


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Calcul des efforts


Conclusions

A B

1 3 5 7 9

2 4 6 8

l l l l l l l l

h


N 56


Séance 3

http://find/


74/81







Calcul des efforts


Conclusions A B

1 3 5 7 9

2 4 6 8

l l l l l l l l

h


1 2

C 1

C 2

C 12

∞

1'

2'

α

α

5' & 4'

7' & 6'

C 1' C

2'

C 2"C 1"

5" & 7"

1" 2"&

α

lα 2lα

5lα 4lα 3lα 2lα lα

hα


Séance 3Allongement de la diagonale :

http://find/


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Calcul des efforts


Conclusions

u

v

d

d'

h

l

x

y

u

v

d

d'

x v

= h d

⇒ x = h d

v

y u

= l d

⇒ y = l d

v ⇒ d − d ≈

hv + lu

d


Séance 3

Pour le cas de l’exemple :

2lα

http://find/


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Calcul des efforts


Conclusions

5

7

4

6

2lα

5lα

hα5lα

déplacements des nœuds d’extrémité :

u = h α ; v = 5l α + 2l α ,d’où

d − d ≈ 8lh

d α .


Séance 3

http://find/


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Calcul des efforts


Conclusions

A B

1 3 5 7 9

2 4 6 8

l l l l l l l l

h


1 2

C 1 C 2

C 12∞

1'

2'

α

α

5' & 4'

7' & 6'

C 1' C 2

'

C 2"C 1

"

5" & 7"

1" 2"&

α

α α

α 4 α α α α

α

Ŵ = 12Fl α − N 568lh d α = 0 ∀α ⇒ N 56 =

3

2F d

h = V

d

h


Séance 3

Commentaires

http://find/


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Calcul des efforts


Conclusions

Conclusions :1 les membrures reprennent le moment fléchissant ; l’effort normal dans les

membrures est donné par le moment fléchissant divisé par la hauteur de lapoutre;

2 les montants reprennent l’effort tranchant ; l’effort normal dans les montants estégale à l’effort tranchant dans la poutre ;3 les diagonales reprennent aussi l’effort tranchant, mais l’effort normal est d’autant

plus important qu’elles sont inclinées, seulement la projection verticale de ceteffort étant égale à l’effort tranchant dans la poutre.


Séance 3

Obj if d l

Dualité

Si on retire une barre d’un treillis isostatique on obtient un mécanisme Dans le

http://find/


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Calcul des efforts


Conclusions

Si on retire une barre d un treillis isostatique on obtient un mécanisme. Dans lesystème de matrice une des distances entre barres change, le terme de droite n’est

plus nul et on peut écrire :

ˆ̄

= ˆ ⇒ ˆ̄ = −1ˆ

où un seul élément de la liste ˆ est = 0, l’inversion étant possible carrang = b = 2n − e .On écrit le PTV pour un treillis isostatique dans lequel on enlève virtuellement la barre

ij (ˆ

est un vecteur ayant seulement la composante correspondante à ij non nulle) :Ŵ =

· ˆ̄

− N (ij )â (ij )

On tient compte de la relation entre et et entre ˆ et ˆ :

Ŵ = −

·

T F

−1ˆ

− · ˆ

= 0 ∀ ˆ

et on en déduit :−

T F = ou F = −

T

Les matrices de compatibilité cinématique et d’équilibre statique ont le même contenud’information.


Séance 3

Objectifs de la

Table des matières




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Calcul des efforts


Conclusions








8 Conclusions


Séance 3

Objectifs de la

Conclusions

http://find/


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Calcul des efforts


Conclusions

• Définition de treillis• Formule de Maxwell• Equations canoniques d’équilibre d’un point• Conditions de détermination cinématique et statique et leur dualité• Méthodes de calcul des treillis (Cremona, Ritter, PTV)

mecstslides3-150722032726-lva1-app6891.pdf

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