Mecanica Para Ingenieros Dinamica Russell C Hibbeler

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MECNICA PARA INGENIEROS " DINAMICA

R. C. HIBBELER


~

MECANICA PARA INGENIEROS

TRADUCCIN: Virgilio Gonzlez Pozo Ingeniero Qumico Facultad de Qumica UNAM

REVISIN TCNICA: Jos de la Cera Alonso Ingeniero Civil UNAM Diplom Ingenieur Universidad Tcnica de Munich Coordinador de Ingeniera Civil U A M Azcapotzalco

~

DINAMICA

SEXT A EDICIN EN INGLS (TERCERA EDICIN EN ESPAOL)

R.C. HIBBELER

OCTAVA REIMPRESIN MXICO, 2006

COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL


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Ttulo original: ENGINEERING MECHANICS : Dynamics, 6th. ed. ISBN 0-02-354686-7

Ed icin autorizada de la sexta edicin en ingls publicada por: MacmiJl an Publishing Company, a division of Macmillan Inc. USA Copyright 1992, by R.e. Hibbeler

Mecnica. para. ingenieros. Dinmica. Derechos reservados respecto a la edicin: 1994, 2000, Russell e. Hibbeler 1994, 2000, COMPAA EDITORIAL CONTINENTAL, S.A. DE e. v. 2000, GRUPO PATRIA CULTURAL, S.A. DE e.V. bajo el sello de Compaa Editorial Continental Renacimiento 180, Colonia San Juan Tlihuaca, Delegacin AzcapotzaJco, Cdigo Postal 02400, Mxico, D.F.

Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Registro nm. 43

ISBN 968-26-1244-6(tercera edicin) (ISBN 968-26-0843-0 segunda edicin) (ISBN 968-26-0355-2 primera edicin)

Queda prohibida la reproduccin o transmisin total o parcial del conte-nido de la presente obra en cualesquiera formas , sean electrnicas o mecnicas, sin el consentimiento previo y por escrito del editor.

Impreso en Mxico Printed in Mexico

Tercera edicin: 1994 Sptima reimpresin: 2004 Octava reimpresin: 2006


AL ESTUDIANTE Con la esperanza de que esta obra estimule su inters en la mecnica de ingeniera y constituya una gua aceptahle p;:ra su comprensi(n.


Prlogo

El objeto de este libro es dar al estudiante una presentacin cla-ra y completa de la teora y aplicaciones de la mecnica de inge-niera. Desde luego que el autor no ha trabajado solo, sino que este libro ha sido conformado en gran parte, por los comentarios y sugerencias de ms de cien especialistas en el campo de la en-seanza y de muchos de los alumnos del autor, que han sido usuarios de las ediciones anteriores.

Se ha hecho bastante para preparar esta nueva edicin. Los usuarios de las ediciones anteriores advertirn que la pre-sentacin artstica se ha mejorado con el fin de dar un sentido ms real y comprensible al material. En esta edicin se inclu-yen ms problemas que antes, y la mayor parte de ellos son nuevos. Aunque el contenido del libro permanece en el mismo orden, se han ampliado algunos temas, se han sustituido varios ejemplos por otros nuevos, y se han mejorado las explicacio-nes de muchos otros mediante la reformulacin de determina-das frases. Sin embargo, la caracterstica principal del libro permanece igual; es decir, cuando es necesario, se pon ,gran nfasis en el trazado de un diagrama de cuerpo libre y se acenta tambin la importancia de seleccionar un sistema de coordenadas adecuado, as como la convencin de signo aso-ciada a los componentes de vectores, cuando se aplican las ecuaciones de la mecnica.

Organizacin y mtodo. El contenido de cada captulo se halla organizado en secciones bien definidas. Grupos selecciona-dos de las secciones contienen una explicacin de temas especficos, problemas de ejemplos ilustrativos y un conjunto de problemas de tarea. Los temas dentro de cada seccin se incluyen dentro de subgrupos que se identifican con ttulos en negritas. El objeto de lo anterior es presentar un mtodo estructurado para introducir ca-


viii PRLOGO

da definicin o concepto nuevo, y hacer accesible el libro para referencia y repaso posteriores.

Al final de muchas secciones se da un "procedimiento de anlisis" con objeto de proporcionar al estudiante un repaso o resumen del material y un mtodo lgico y ordenado para seguir al aplicar la teora. Como en las ediciones anteriores, los proble-mas de ejemplo se resuelven empleando el mtodo que se descri-be, con el fin de aclarar su aplicacin numrica. Sin embargo, se entiende que, una vez que se dominen los principios necesarios y se haya adquirido la confianza y el criterio suficientes, el estu-diante puede continuar por s mismo desarrollando sus propios procedimientos de resolucin de problemas. En la mayora de los casos, se sugiere como primer paso en cualquier procedi-miento trazar un diagrama. Al hacerlo as, el estudiante se forma el hbito de tabular los datos necesarios, al tiempo que enfoca los aspectos fsicos del problema y su geometra relacionada. Si ese paso se lleva a cabo en forma correcta, la aplicacin de las ecuaciones de la mecnica se vuelve de alguna manera algo me-tdico, ya que los datos pueden tomarse directamente del diagra-ma. Este paso es de importancia especial cuando se resuelven problemas de cintica, y por esta razn en el libro se recomienda siempre trazar el correspondiente diagrama de cuerpo libre.

Ya que las matemticas nos dan un medio sistemtico para aplicar los principios de la mecnica, cabe esperar que el estu-diante tenga conocimientos previos de lgebra, geometra, trigo-nometra y, para una comprensin total, una parte de clculo. Se presenta el anlisis vectorial en los puntos donde su aplicacin es mayor. Su uso proporciona un medio conveniente para presentar deducciones concisas de la teora, y hace posible una solucin sencilla y sistemtica de muchos problemas tridimensionales. A veces, los problemas de ejemplo se resuelven empleando ms de un mtodo de anlisis, para que el estudiante desarrolle la capa-cidad de usar las matemticas como herramienta mediante la cual se puede llevar a cabo la solucin de cualquier problema del modo ms directo y eficaz.

Problemas. Numerosos problemas en el libro describen casos realistas que se encuentran en la prctica de la ingeniera. Se es-pera que ese realismo estimule el inters del estudiante en la me-cnica de ingeniera y al mismo tiempo desarrolle la habilidad de reducir cualquier problema, a partir de su descripcin fsica, a un modelo o representacin simblica a los cuales se puedan aplicar los principios de la mecnica. Como en las ediciones anteriores, se ha hecho un esfuerzo por incluir algunos problemas que pue-den resolverse empleando mtodos numricos ejecutados en una computadora personal o con una calculadora programable de bolsillo. En el apndice B, se dan tcnicas numricas adecuadas y programas relacionados de computadora. En este caso la in ten-


cin es ampliar la capacidad del estudiante para emplear otras formas de anlisis matemtico sin sacrificar el tiempo necesario para enfocarse hacia la aplicacin de los principios de la mecni-ca. Los problemas de este tipo que se puedan o se deban resolver con procedimientos numricos se identifican mediante un "cua-dro" (-) antes del nmero del problema.

En todo el texto hay una cantidad equilibrada de probleqlas en los que se emplea el sistema ingls y el SI. Adems, en cual-quier conjunto, se ha tratado de presentar los problemas en or-den de dificultad creciente. En la ltima parte del libro se pre-senta una lista de las soluciones a todos los problemas, excepto uno de cada cuatro. Para advertir al lector que se trata de un problema sin respuesta en el libro se indica con un asterisco (*) antes del nmero del problema.

Contenido. El libro consta de 11 captulos. * En el captulo 12 se describe en especial la cinemtica de una partcula, seguida de una presentacin, en el captulo 13, de la cintica de la partcula (ecuacin de movimiento). El captulo 14 trata sobre trabajo y energa, y el captulo 15 sobre impulso y cantidad de movimien-to. Los conceptos de dinmica de partculas que contienen esos cuatro captulos se resumen en una seccin de "repaso" y se da la posibilidad al estudiante para que identifique y resuelva un conjunto de diversos tipos de problemas. Para el movimiento de un cuerpo rgido en el plano se sigue una secuencia de presenta-cin similar: El captulo 16 trata sobre cinemtica en el plano; el 17 sobre ecuaciones de movimiento; el 18 sobre trabajo y ener-ga; y el19 sobre impulso y cantidad de movimiento: estn segui-dos por un resumen y un conjunto de problemas de repaso para esos captulos. Si se desea, es posible cubrir los captulos 11 al19 sin prdida de continuidad: Captulos 12 y 16 (cinemtica); cap-tulos 13 y 17 (ecuaciones de movimiento); captulos 14 y 18 (tra-bajo y energa); y captulos 15 y 19 (impulso y cantidad de movi-miento).

Si el tiempo lo permite, se puede incluir en el curso algo del material sobre movimiento tridimensional del cuerpo rgido. La cinemtica y la cintica de ese movimiento se describen, respecti-vamente, en los captulos 20 y 21. El captulo 22, sobre vibracio-nes, puede incluirse si el estudiante cuenta con el respaldo mate-mtico necesario. Las secciones del libro que se consideran estn ms all del propsito del curso bsico de dinmica, se marcan con una estrella (*) y se pueden omitir. Sin embargo, conviene advertir que este material ms avanzado constituye una refe-rencia adecuada para los principios bsicos cuando se ve en otros cursos.

Los primeros once captulos de la serie forman el contenido de Mecnica de Ingenie/fa: Esttica, CECSA, Mxico.

PRLOGO ix


x PRLOGO

Reconocimientos. Mi empeo al escribir este libro ha consis-tido en que satisfaga tanto al estudiante como al maestro. En el curso de los aos, mucha gente ha ayudado en su desarrollo, y deseo reconocer sus valiosas sugerencias y comentarios. En espe-cial, deseo dar personalmente las gracias a las siguientes perso-nas que han contribuido a esta edicin; el profesor Serge Abrate, University of Missouri-Rolla; profesor Henry C. Christiansen, Brigham Young University; profesor E. S. Doderer, Trinity Uni-versity, San Antonio; profesor A. Frank D'Souza, Illinois Institu-te of Technology; profesor J. H. Gaines, University of Texas at Arlington; profesor John Geremia, U. S. Naval Academy; profe-sor Richard Gill, University of Idaho; profesor Brian Mahoney, University of Wisconsin; profesor Larry Oline, University of South Florida; capitn Joseph Schwarz, U. S. Air Force Aca-demy; profesor William H. Walston, University of Maryland, Co-llege Park; y profesor Alan Zehnder, Cornell University. Se da una nota especial de agradecimiento a los profesores Edward Hornsey, University of Missouri, Rolla y Will Lidell, Jr., Auburn University at Montgomery, y a un exalumno graduado mo, el se-or Kai Beng Yap, por su ayuda al comprobar las soluciones a los problemas.

Extiendo tambin mi agradecimiento a todos mis estudiantes y a los miembros de la comunidad docente que han dedicado su tiempo para mandarme sus sugerencias y comentarios. Como la lista es demasiado larga para mencionarla, tenemos la esperanza de que todos aquellos que han ayudado de esta forma acepten este reconocimiento annimo. Adems, aprecio la libertad y el apoyo que me dieron mis editores y el personal de Macmillan, en especial David Johnstone, Gary Ostedt, Dora Rizzuto, Anna Yip y Sandy Moore. Por ltimo, deseo reconocer la ayuda de mi es-posa, Conny, durante el tiempo que tard en preparar el manus-crito para su publicacin.

Russell Charles Hibbeler

- ,


Contenido

12

Cinemtica de una partcula

13

12.1 12.2

12.3 12.4 12.5 12.6

12.7 12.8

12.9

Cinemtica rectilnea: movimiento continuo 1 Cinemtica en coordenadas rectangulares: movimiento errtico 16 Movimiento curvilneo general 28 Movimiento curvilneo: componentes rectangulares Movimiento de un proyectil 36 Movimiento curvilneo: componentes normales y tangenciales 44 Movimiento curvilneo: componentes cilndricas 58 Anlisis del movimiento absoluto dependiente de dos partculas 72 Anlisis de movimiento relativo de dos partculas empleando ejes en traslacin 79

Cintica de una partcula: fuerza y aceleracin

13.1 Leyes de Newton del movimiento 91 13.2 La ecuacin de movimiento 95 13.3 Ecuacin del movimiento para un sistema de

partculas 96

1

31

91


xii CONTENIDO

13.4 Ecuaciones de movimiento: coordenadas rectangulares 98

13.5 Ecuaciones de movimiento: coordenadas normal y tangencial 113

13.6 Ecuaciones de movimiento: coordenadas cilndricas 124

* 13.7 Movimiento con fuerza central y mecnica del espacio 133

14

Cintica de una partcula: trabajo y energa 143

14.1 El trabajo de una fuerza 143 14.2 El principio del trabajo y la energa 148 14.3 El principio del trabajo y la energa para un sistema de

partculas 150 14.4 Potencia y eficiencia 163 14.5 Fuerzas conservativas y energa potencial 169 14.6 Conservacin de la energa 173

15

Cintica de una partcula: impulso y cantidad de movimiento 177

Repaso 1:

15.1

15.2

15.3

15.4 15.5 15.6

15.7 * 15.8 * 15.9

Principio del impulso y cantidad de movimiento lineales 185 Principio del impulso lineal y cantidad de movimiento para un sistema de partculas 197 Conservacin de la cantidad de movimiento lineal para un sistema de partculas 198 Impacto 209 Momento angular 221 Relacin entre el momento de una fuerza'y el momento angular 222 Los principios del impulso y momento angulares 225 Corrientes estables de fluido 235 Propulsin con masa variable 240

Cinemtica y cintica de una partcula 251


CONTENIDO xiii

16

Cinemtica plana de un cuerpo rgido

16.1 16.2 16.3 16.4

16.5 16.6 16.7 16.8

17

Movimiento del cuerpo rgido 265 Traslacin 267 Rotacin con respecto a un eje fijo 268 Anlisis del movimiento absoluto general en el plano 281 Anlisis del movimiento relativo: velocidad 287 Centro instantneo de velocidad cero 301 Anlisis del movimiento relativo: aceleracin 311 Anlisis de movimiento relativo empleando rotacin de ejes .324

Cintica de un cuerpo rgido en el plano: fuerza y aceleracin

17.1 Momento de inercia 338

265

337

17.2 Ecuaciones cinticas del movimiento en el plano 351 17.3 Ecuaciones de movimiento: traslacin 354 17.4 Ecuaciones de movimiento: rotacin con respecto

a un eje fijo 367 17.5 Ecuaciones de movimiento: movimiento general en

el plano 380 18

Cintica del cuerpo rgido en el plano: trabajo y energa 393

18.1 Energa cintica 393 18.2 Trabajo de una fuerza 397 18.3 Trabajo de un par 399 18.4 Principio del trabajo y la energa 400 18.5 Conservacin de la energa 411

19

Cintica de un cuerpo rgido en el plano: impulso y cantidad de movimiento 423

19.1 Cantidad de movimiento lineal y momento angular 423

19.2 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 428


xiv CONTENIDO

19.3 Conservacin de la cantidad de movimiento y del momento angular 433

19.4 Impacto excntrico 448

Repaso 2: Cinemtica y cintica planas de un cuerpo rgido 457

20

Cinemtica de un cuerpo rgido en tres dimensiones 471

21

* 20.1 Rotacin alrededor de un punto fijo 471 * 20.2 Derivada de un vector con respecto al tiempo, medida

desde un sistema fijo y otro en traslacin y rotacin 474

* 20.3 Movimiento general 480 * 20.4 Anlisis de movimiento relativo empleando ejes en

traslacin y en rotacin 487

Cintica de un cuerpo rgido en tres dimensiones 499

22

Vibraciones

* 21.1 * 21.2 * 21.3 * 21.4 * 21.5

21.6

* 22.1 * 22.2 * 22.3 * 22.4 * 22.5 * 22.6

Momentos y productos de inercia Momento angular 510 Energa cintica 513 Ecuaciones de movimiento Movimiento giroscpico Movimiento libre de pares

521 534

540

500

Vibracin libre no amortiguada 548 Mtodos de energa 560 Vibracin forzada no amortiguada 566 Vibracin libre con amortiguamiento viscoso Vibracin forzada con amortiguamiento viscoso Analogas con circuitos elctricos 578

547

572 575


.;

CONTENIDO xv

APNDICES

A

Expresiones matemticas 583

B

Anlisis numrico y computacional 587

C

Anlisis vectorial 597

Respuestas 603

ndice 617


12 Cinemtica de una partcula

En este captulo estudiaremos los aspectos geomtricos del movi-miento de una partcula, medido respecto a marcos de referencia fi-jos y a marcos de referencia en movimiento. Describiremos la trayectoria mediante diversos tipos de sistemas coordenados y de-terminaremos las componentes del movimiento a lo largo de los ejes coordenados. Para simplificar describiremos el movimiento a lo largo de una lnea recta antes de acometer el estudio general del movimiento a lo largo de una trayectoria curva. Una vez completa-mente comprendidas estas ideas, presentaremos en los siguientes captulos el anlisis de las fuerzas que causan el movimiento.

12.1 Cinemtica rectilnea: movimiento continuo La primera parte del estudio de la mecnica de ingeniera se ocupa de la esttica, que trata del equilibrio de los cuerpos en re-poso o en movimiento con velocidad constante. La segunda parte se dedica a la dinmica, que se ocupa de los cuerpos con movi-miento acelerado. En este libro, el tema d'11a dinmica se pre-sentar en dos partes: la cinemtica, que slo trata los aspectos geomtricos del movimiento, y la cintica, que es el anlisis de las fuerzas que originan el movimiento. Para comprender mejor los principios que intervienen, describiremos primero la dinmica de partculas, y a continuacin se tratarn temas sobre la dinmica del cuerpo rgido, presentado en dos dimensiones y despus en tres.

Comenzaremos nuestro estudio de la dinmica describiendo la cinemtica de la partcula. Recurdese que una partcula tiene

I


2 CAP. 12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA

masa, pero tamao y forma despreciables. Por lo tanto, debemos limitar la aplicacin a aquellos objetos en los que sus dimensio-nes no tengan efectos en el anlisis del movimiento. En la mayor parte de los problemas se tiene inters en cuerpos de tamao fi-nito como cohetes, proyectiles o vehculos. Estos objetos se pue-den considerar como partculas, siempre y cuando su movimien-to est caracterizado por el movimiento de su centro de masa y pueda despreciarse cualquier rotacin del cuerpo.

Cinemtica rectilnea. Una partcula se puede mover a lo largo de una trayectoria tanto recta como curva. Para presentar la cinemtica del movimiento de una partcula, comenzaremos con el estudio del movimiento rectilneo. La cinemtica de ese movimiento se caracteriza especificando, en cualquier instante dado, la posicin, velocidad y aceleracin de la partcula.

Posicin. Se puede especificar la trayectoria recta de la part-cula empleando un solo eje coordenado s, figura I2.Ia . El origen O sobre la trayectoria es un punto fijo, y a partir de ste se em-plea el vector de posicin r para definir el lugar de la partcula P en cualquier instante. Sin embargo, para el movimiento rectilneo, la direccin de r siempre es a lo largo del eje s, y por lo tanto nun-ca cambia. Lo que va a cambiar es su magnitud y su sentido o sea la orientacin de la punta de la flecha . POrlo tanto, en el trabajo analtico es conveniente representar a r con un escalar algebraico s, que representa a la coordenada de posicin de la partcula, figura I2.Ia. La magnitud de s y de r es la distancia de O a P medida en general en metros (m) o pies (ft), y el sentido u orientacin de la punta de la flecha de r se define mediante el signo algebraico de s. Aunque la seleccin es arbitraria, en este caso s es positivo, ya que el eje de coordenadas es positivo a la derecha del origen. Igualmen-te, ser negativo si la partcula est ubicada a la izquierda de O.

Desplazamiento. El desplazamiento de la partcula se define como el cambio en su posicin. Por ejemplo, si la partcula se mueve de P a P', figura I2.1b, el desplazamiento es l1 r = r' - r. Empleando escalares algebraicos para representar a l1 r, se tiene tambin que l1 s = s' - s. Aqu l1 s es positivo, ya que la posicin final de la partcula est a la derecha de su posicin inicial; es de-cir, s' > s. Igualmente, si la posicin final est a la izquierda de su posicin inicial, l1 s es negativo.

Como el desplazamiento de una partcula es una cantidad vectorial, se debe distinguir de la distancia que viaja la partcula. Es-pecficamente, la distancia recolTida es un escalar positivo que repre-senta la longitud total de la trayectoria recorrida por la partcula.

Velocidad. Si la partcula se mueve a travs de un desplaza-miento l1 r de P a P' durante el intervalo de tiempo l1 1, figura


SECo 12.1 CINEMTICA RECTILNEA: MOVIMIENTO CONTINUO 3

12.1b, la velocidad media de la partcula durante este intervalo de tiempo es

~r v =-

avg ~ t

Si tomamos valores cada vez ms pequeos de ~ l, la magnitud de ~ r se hace ms y ms pequea. En consecuencia, la velocidad instantnea se define como v = lm (~r/~), o sea

Posicin

(al

lit-O

dr v = -dI

r r'=t1 ~-----~rP-~'--- s O

s -+LlS~ I------s'~ Desplazamiento

(b)

v

-

I P P' -o+----------~~ 'f

t-Lls-j Velocidad

(e)

Fig.12.1

Si se representa a v como escalar, figura 12.1c, podemos escribir tambin

(12.1 )

Como ~ t o dI siempre es positivo, el signo que se emplea para definir el sentido de la velocidad es el mismo que el de ~ s, o de ds. Por ejemplo, si la partcula se mueve hacia la derecha, figura 12.1c, la velocidad es positiva; mientras que si se mueve hacia la izquierda, la velocidad es negativa. Se subraya aqu este hecho mediante la flecha que aparece a la izquierda de la ecuacin 12.1. La magnitud de la velocidad se llama rapidez y se expresa en general en unidades de mis o ft/s .


4 CAP.12 CINEMTICA DE UNA PARTCULA

A veces se usa el trmino "velocidad media". La velocidad media siempre es un escalar positivo y se define como la distan-cia total recorrida por una partcula, Sn dividida entre el tiempo transcurrido at, es decir,

3

-

ST V =-

sp a t

-3

--~ P P' o ------'~.;. . e I

p p , . -o+-------~-s

Aceleracin

(d)

---y ' --- -y y '

Desaceleracin

(e)

Aceleracin. Si se conoce la velocidad de la partcula en los dos p~ntos P y P', se define a la aceleracin media de la partcula durante el intervalo de tiempo a t como

av a =-ovg a t

Aqu, a v representa la diferencia de la velocidad durante el in-tervalo de tiempo a t; es decir, a v = v' - v, figura 12.1d.

La aceleracin instantnea en el tiempo t se calcula tomando valores cada vez menores de a t y valores correspondientes, cada vez menores, de a v, de modo que a = lm ca v/a t) o bien, em-pleando escalares algebraicos, at-O

Cdvl ~ (12.2) Sustituyendo la ecuacin 12.1 en este resultado podemos escribir tambin que

d 2s a=-

dt2

Tanto la aceleracin media como la aceleracin instantnea pueden ser positivas o negativas. Especficament~ cuando la partcula est frenando, o su velocidad decrece, se dice que est desacelerando. En este caso, en la figura 12.1e, v' es menor que v, y entonces av = v' - v ser negativa. En consecuencia, a ser tambin negativa, y por lo tanto actuar hacia la izquierda en sentido contrario al de v. Tambin ntese que cuando la veloci-dad es constante, la aceleracin es cero ya que av = v - v = O. Las unidades que se usan normalmente para expresar la magni-tud de la aceleracin son ro/s2 o ft/s2.



Se puede obtener una ecuacin diferencial que implique al desplazamiento, velocidad y aceleracin a lo largo de la tra-yectoria eliminando la diferencial de tiempo dt entre las ecua-ciones 12.1 y 12.2. Al hacerlo, es conveniente tomar en cuenta que si bien en este caso podemos formular otra ecuacin, sta no ser dependiente de las ecuaciones 12.1 y 12.2. Se demuestra que

a ds = vdv (12.3)

Aceleracin constante, a = ac. Cuando la aceleracin es constante, cada una de las tres ecuaciones cinemticas, ac = d v/dt, v = ds/dt yac ds = v d v se pueden integrar para obtener frmulas que relacionan a ac. v, s y t.

Velocidad como funcin de tiempo. Se integra ac = dv/dt, supo-niendo que inicialmente v = Vo cuando t = O.

v - Vo = ac (t- O)

v = Vo + a,./ Aceleracin Constante

(12.4)

Posicin como funcin del tiempo. Se integra v = ds/dt = Vo + act, suponiendo que inicialmente s = So cuando t = O.

Ss ds = .C C Vo + aJ) dI So o

s - So = voCt- O) + ac Ci t2 - O)

s = So + VI) t + + Oc t2 Aceleracin Costante

(12.5)

Velocidad como funcin de la posicin. Se puede despejar a t de la ecuacin 12.4 y sustituirla en la ecuacin 12.5, o bien inte-grar v d v = ac ds, suponiendo que inicialmente v = Vo en s = so.

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1 v2- 1 JO = a (s - s ) 2 2 c o

v2 = v~ + 2ac (s - so) Aceleracin Constante

(12.6)

Esta ecuacin no es independiente de las ecuaciones 12.4 y 12.5. Porqu?

Las magnitudes y los signos de so. vo y ac se determinan de acuerdo con el origen y la direccin positiva del eje s que se ha-yan seleccionado. Como lo indica la flecha que aparece a la iz-quierda de cada ecuacin, hemos supuesto que las cantidades positivas actan hacia la derecha, de acuerdo con el eje s de coordenadas que aparece en la figura 12.1. Tambin es impor-tante recordar que las ecuaciones de arriba son tiles slo cuan-do es constante la aceleracin y cuando t = 0, s = So Y v = vo. Un ejemplo comn de movimiento de aceleracin constante se tiene cuando un cuerpo cae libremente hacia el suelo. Si no se toma en cuenta la resistencia del aire y la distancia de la cada es corta, entonces la aceleracin constante hacia abajo del cuerpo cuando est cerca del suelo es aproximadamente de 9.81 m/s2, o 32.2 ft/s2 La prueba de lo anterior aparece en el ejemplo 13.2.

PROCEDIMIENTO DE ANLISIS Sistema de coordenaoos. Siempre que se aplican las ecuacio-nes cinemticas, es muy importante establecer primero una coordenada s de posicin a lo largo de la trayectoria y espe-cificar su origen fijo y direccin positiva. Como la trayectoria es rectilnea, las lneas de direccin de la posicin, velocidad y aceleracin de la partcula nunca cambian. Por lo tanto, se pueden representar esas cantidades como escalares algebrai-cos. Para trabajo analtico se puede determinar el sentido de s, v y a a partir de S!lS signos algebraicos. En los siguientes ejemplos, se indicar el sentido positivo para cada escalar mediante una flecha aliado de cada ecuacin cinemtica al momento de aplicarla.

Ecuaciones cinemticas. Con frecuencia se puede establecer una relacin matemtica entre cualesquiera dos de las cuatro variables a, v, s y t, ya sea por observacin o por experimen-tacin. Cuando es se el caso, se pueden obtener las relacio-nes entre las variables restantes por diferenciacin o intcgra-


SEC.12.1 CINEMTICA RECTILr-EA: MOVIMIENTO CONTINUO 7

clon, empleando las ecuaciones cinemticas a = d v/dt, v = ds/dt o a ds = vd v. * Como cada una de esas ecuacior.es rela-ciona a tres variables, entonces, si se conoce una variable en funcin de otra, se puede calcular una tercera variable selec-cionando la ecuacin cineiitica que relacione a las tres. Por ejemplo, supongamos que la aceleracin se conoce como funcin de la posicin, a = f(s). La velocidad puede determi-narse a partir de a ds y vdv, ya que se puede sustituir af(s) en lugar de a para obtener f(s) ds = vd v. Para despejar v se necesita integrar. Ntese que la velocidad no puede obtener-se empleando a = dv/dt, ya que f(s)dt =dv contiene dos variables, s y t del lado izquierdo y por lo tanto no puede in-tegrarse. Siempre que se lleva a cabo la integracin, es im-portante que se conozcan la posicin y la velocidad en de-terminado instante para evaluar ya sea la constante de integracin, si se emplea una integral ind~finida, o bien los lmites de integracin cuando se usa una integral definida. Por ltimo, tngase en cuenta que las ecuaciones 12.4 a 12.6 slo son de uso limitado. Nunca deben aplicarse esas ecuacio-nes a menos que se est absolutamente seguro de que la acele-racin es constante .

En el apndice A se dan algunas f rmulas bsicas de diferenciacin y de inte-gracin.



Ejemplo 12.1

Fig.12.2

El vehculo en la figura 12.2 se mueve en lnea recta de tal modo que durante un breve tiempo su velocidad est definida por v = (9t2 + 21) ft/s, estando t en segundos. Calcule su posi-cin y aceleracin cuando t = 3 s. Cuando t = O, s = O.

. I - ' ----l a,Y " . ; , ~, ~ ...

SOLUCIN Sistema de coordenadas. La coordenada de posicin se extien-de desde el origen fijo O hasta el vehculo. Hacia la derecha es positiva.

Posicin. La velocidad del vehculo se da como funcin del tiempo, de modo que su posicin puede calcularse a partir de v = ds/dt, ya que esta ecuacin relaciona av, s y t. Teniendo en cuenta que s = O cuando t = O, tenemos*

Cuando t = 3 s,

ds v = - = (9t2 + 21) dt

f; ds = f; (9t2 + 21) dt S t

S 1 o = 3t3 + t21 o s = 3t3 + t2 )

s = 3(3)3 + (3)2 = 90 ft Resp.

Ace(eracin. Si se conoce la velocidad como funcin del tiem-po, se calcula la aceleracin a partir de a = d v/dt, ya que esta ecuacin relaciona a a, v y t.

(~"-+ ) dv d a = - = - (9t2 + 21) dt dt

= 18t + 2 Cuando t = 3 s,

a = 18(3) + 2 = 56 ft/s2 -> Resp.

No se pueden emplear las frmulas para aceleracin cons-tante para resolver este problema. Por qu?

Se puede obtener el mismo resultado calculando una constante e de in-tegracin y no usando lmites definidos de la integral. Por ejemplo, si se inte-gra ds = (912 + 21) dI, se obtiene s = 313 + 12 + C. Se usa la condicin de que cuan-do I = O, s = O y, entonces e = O.



Ejemplo 12.2 Un proyectil pequeo se dispara verticalmente hacia aba-

jo dentro de un medio fluido con una velocidad inicial de 60 mis. Si el proyectil experimenta una desaceleracin igual a a = (-0.4 }) m/s2, para la cual v se mide en mis, calcule la velo-cidad y posicin del proyectil 4 s despus de haberlo disparado.

SOLUCIN Sistema de coordenadas. Como el movimiento es hacia abajo, la coordenada de posicin es positiva hacia abajo, y el origen es-t ubicado en 0, figura 12.3.

Velocidad. Se da la aceleracin como funcin de la velocidad, y por lo tanto, la velocidad se puede calcular a partir de a = d v/dta, ya que esta ecuacin relaciona a v, a y t. (Por qu no se usa v = Vo + act?). Separando las variables e integrando, con Vo = 60 mis cuando t = O, se obtiene (+!) dv

a = di = - 0.4 v 3

En este caso se toma el signo positivo de la raz, ya que el pro-yectil se mueve hacia abajo. Cuando t = 4 s,

v = 0.559 mis ! Resp.

Posicin. Conocida la velocidad como funcin del tiempo, po-demos ahora calcular la posicin del proyectil a partir de v = ds/dt, ya que esta ecuacin relaciona a s, v y t. Empleando la condicin inicial s = O cuando t = O, tenemos que (+!) v = ds = [_1_ + O 8t] -1/2

dt (60)2 .

f"s ds = f"' [_1_ + 0.8t] -1/2dt Jo Jo (60)2

S = ~[_1_ + O 8t] 1/21 t 0.8 (60)2 . o

s = _1_ [_1_ + 0.8t] 1/2 -~} m 0.4 (60)2 60

Cuando t = 4 s, s = 4.43m Resp.

Fig.12.3



Ejemplo 12.3

n Un;Or

VA; 15 mis

A",1'.11L- 1

~40 In

f e oNivel del terreno

Fig.12.4

Un nio lanza una pelota en direccin vertical hacia arriba aun lado de una pared, como se ve en la figura 12.4. Si la veloci-dad inicial de la pelota es de 15 mis hacia arriba y se lanza a 40 mdel fondo de la pared, calcule la altura mxima Sn que alcanza ysu velocidad justo antes de chocar contra el suelo. Durante todoel tiempo que la pelota se encuentra en movimiento est sujeta auna aceleracin constante hacia abajo igual a 9.81 m/s2 debidaa la gravedad. Desprecie el efecto de la resistencia del aire.

SOLUCINSistema de coordenadas. Se toma el origen O de la coordenadas de posicin en el nivel del terreno inferior, y el sentido haciaarriba como positivo. Vase figura 12.4.

Altura mxima. A la altura mxima, s = sa, la velocidad Vn = O.Como la pelota se arroja hacia arriba cuando t = 0, est sujetaa una velocidad VA = + 15m/s. Es positiva ya que tiene elmismo sentido que un desplazamiento positivo. Durante todoel movimiento la aceleracin es constante, de modo quea, = -9.81 m/s'. Es negativa ya que acta en sentido contrarioal de la velocidad positiva, o del desplazamiento positivo. Co-mo a, es constante durante todo el movimiento, la posicin dela pelota se puede relacionar con su velocidad en los dos pun-tosA y B de la trayectoria, empleando la ecuacin 12.6, o sea(+ 1) v]= v~ + 2ac(Sa-SA)

0= (15)2 + 2(-9.81)(sa - 40)sa = 51.5m Resp.

Velocidad. Para obtener la velocidad de la pelota inmediata-mente antes de chocar con el suelo podemos aplicar la ecua-cin 12.6 entre los puntos B y e, figura 12.4.(+ 1) vl: = Vb + 'Ia (sc - s a)

- = O + 2(-9.81)(0 - 51.5)Vc = -31.8m/s = 31.8 mis ~ Resp.

Se escogi la raz negativa porque la pelota se mueve haciaabajo, y el sentido positivo de s es hacia arriba.

Igualmente se puede aplicar tambin la ecuacin 12.6 en-tre los puntos A y e, es decir(+ 1) vl: = 0t + 2aJ\'c - SA)

= 152 + 2(-9.81)(0 - 40)Vc = -31.8m/s = 31.8m/s~

Nota: Se debe tener en cuenta que la pelota est sujeta auna desaceleracin entre A a B igual a 9.81 m/s2, y a continua-cin, de B a e, la pelota acelera a esa misma proporcin. Ade-ms, aun cuando la pelota llega al reposo en B en forma momen-tnea (va = O), la aceleracin en B es de 9.81 m/s? lhacia abajo!

.!

o


L


Ejemplo 12.4 Una partcula metlica se halla sometida a la influencia de

un campo magntico tal que se mueve hacia abajo a travs de un fluido que llena el espacio de la placa A a la B (vase Fig. 12.5). Si la partcula parte del reposo en el punto medio e, s = 100 riun, Y se mide que la aceleracin es a = (4s) m/s2, donde s est en' metros, calcule la velocidad de la partcula al alcanzar la placa B, s = 200 mm, y el tiempo que necesita para pasar de e a B.

SOLUCIN Sistema de coordenadas. Como se ve en la figura 12.5, se toma a s como positiva cuando es hacia abajo, medida a partir de la placaA.

Velocidad. Como la aceleracin de la partcula se conoce como funcin de la posicin, se puede obtener la velocidad como fun-cin de la posicin a partir de v d v = a ds. Por qu no se usan las frmulas para aceleracin constante? Si consideramos que v = O paras = 100 mm = 0.1 m, tenemos que (+!) vdv=ads

1 v v d v = l' 4s ds O 0.1

.1. v21 v = i s21 ' 2 O 2 0.1

V = 2(S2 - 0.01)1/2 (1) Cuando s = 200 mm = 0.2 m,

VB = 0.346 mIs = 346 mm/s!

Se escoge la raz positiva, ya que la partcula viaja hacia abajo, es decir, en la direccin +s.

Tiempo. El tiempo para que la partcula viaje de e a B se puede calcular mediante v = ds/dt y la ecuacin 1, siendo s = 0.1 m cuando t = O. (+! ) ds = vdt

= 2(S2 - 0.01)1/2 dt f' ds = f'2dt

Jo.! (S2 - 0.01)1/2 Jo

In(s + . S2 _ 0.01) l' = 2t l' tU o

In(s + . S2 - 0.01) + 2.30 = 2t Cuando s = 200 mm = 0.2 m,

t = In(0.2 + . (0.2); - 0.(1) + 2.30 = 0.657 s Resp.

A

Ir 200m

~ B

Fig.12.5



Ejemplo 12.5

v (mis) v =3r2 - 6t

-4--- ---+------ t(s)

( l s. - 3 mis) (a)

(b)

Fig. 12.6

Una partcula se mueve a lo largo de una lnea horizontal de tal modo que su velocidad est dada por v = (3t2-6t) mis, donde t es el tiempo en segundos. Inicialmente est en el ori-gen O. Calcule la distancia que recorre la partcula durante el intervalo de tiempo desde t = O hasta t = 3.5 s, y la velocidad y la rapidez medias durante ese intervalo de tiempo.

SOLUCIN Sistema de coordenadas. En este caso supngase que el movi-miento positivo es hacia la derecha, medido desde el origen O.

Distancia recorrida. Como la velocidad est relacionada con el tiempo, la posicin en funcin del tiempo se puede calcular integrando v = ds/dt con la condicin t = O, S = O.

(~) ds = vdl = (3t2 - 6t) dt

f; ds = 3 f~ t2 dt - 6 f~ t dt s = et3 - 3t2 ) m (1)

Para calcular la distancia recorrida en 3.5 s, es necesario investigar la trayectoria del movimiento. En la figura 12.6a la grfica de la funcin velocidad indica que para O : 2 s, la velocidad es positiva, y por lo tanto la partcula viaja hacia la derecha . Tambin, v = O cuan-do t = 2 s. La posicin de la partcula se puede calcular me-diante la ecuacin 1 para 1= O, t = 2 s Y t = 3.5 s. Con ello se obtiene

Sl t. o=O s l, . 2s =-4m Slt . 3.5s =6.12m

En la figura 12.6b se muestra la trayectoria. Por lo tanto, la distancia recorrida en 3.5 s es

ST = 4 + 4 + 6.12 = 14.1 m

Velocidad. El desplazamiento entre t = O Y t = 3.5 s es

tls =SI, . 3.5s - sl, . o = 6.12 - O = 6.12 m

de modo que la velocidad media es

Resp.

A" 612 Resp. v = ~ = -'- = 1.75m/s --+

avg t:J 3.5 - O

Definiremos a la rapidez media en trminos de l~ distan-cia ST recorrida. Este escalar positivo es

ST 14.12 Resp. (vsp)avg = t:J = 3.5 _ O = 4.03 mis


PROBLEMAS 12.1. Si una partcula tiene una velocidad inicial vo = 12 ft/s hacia la derecha, determine su posicin cuando t = 10 s, si a = 2 ft/s2 hacia la izquierda. Ori-ginalmente, So = o.

12.2. Desde aproximadamente qu piso de un edifi-cio se debe soltar el freno de un automvil para que avance desde una posicin de reposo y alcance una velocidad de 14.6 mis (88 km/h) cuando llegue al sue-lo? Cada piso tiene una altura de 3.65 m. (Nota: El lector debe recordar lo anterior cuando viaje a 88 km/h.)

12.3. Una partcula se mueve a lo largo de una recta de tal modo que su posicin est dada por s = (4t - t 2) ft, estando t en segundos. Calcule la distancia recorrida desde t = O hasta t = 5 s, la velocidad media y la rapidez media de la partcula durante este intervalo de tiempo.

* 12.4. Se lanza hacia arriba una pelota con una veloci-dad inicial de 20 ft/s. Calcule la altura mxima que se alcanza. Cunto tiempo permanece la pelota en el aire?

12.5. Una partcula se mueve a lo largo de una tra-yectoria recta de tal modo que su posicin est defi-nida por s = (10/2 + 20) mm, estando t en segundos. Calcule (a) el desplazamiento de la partcula durante el intervalo de tiempo de t = 1 a t = 5 s, (b) la veloci-dad media de la partcula durante este intervalo, y (e) la aceleracin cuando t = ls.

12.6. Se lanza una pelota verticalmente hacia arriba desde la parte superior de una pared con una veloci-dad inicial de VA = 35 ft/s. Calcule (a) la altura que alcanzar la bola sobre la parte superior de la pared antes de detenerse en B, (b) el tiempo /AB que se ne-cesita para alcanzar la altura mxima, y (e) el tiempo total tAe que se necesita para llegar al suelo en e des-de el instante en que se lanza.

VA = 35 ftls

B

"

t i~i "1

: 60 ft I I I I I I I I I I I I

Prob.12.6

PROBLEMAS 13

12.7. Un automvil, que inicialmente est en reposo, se mueve a lo largo de una carretera recta con acele-racin constante de tal modo que alcanza una veloci-dad V = 60 ft/s cuando s = 150 ft. Entonces, despus de haber estado sujeto a otra aceleracin constante, alcanza una velocidad final v = 100 ft/s cuando s = 325 ft. Calcule la velocidad y aceleracin media del vehculo durante el desplazamiento total de 325 ft.

Prob.12.7

* 12.8. Inicialmente, una partcula se mueve hacia la derecha con una velocidad de 8 mis, cuando pasa por un punto dado O. Si entonces recibe una desacelera-cin constante (hacia la izquierda) de 0.5 m/s2, calcu-le su posicin con respecto a O y la velocidad que tendr cuando t = 20 s.

12.9. Cuando un tren viaja por una va recta a 2 mis comienza a acelerar a a = (60 v-4) m/s2, donde v est en mis. Calcule la velocidad v y la posicin del tren 3 s despus de la aceleracin .

\-S--1

Prob.12.9

12.10. Un automvil de carreras acelera uniforme-mente a 10 ft/s2 partiendo del reposo; alcanza una ve-locidad mxima de 60 mi/h y a continuacin desace-lera uniformemente y llega al reposo. Calcule el tiempo total transcurrido si la distancia cubierta fue de 1500 ft

.. ~ Prob.12.10



12.11. Una partcula metlica pequea se mueve en el seno de un medio fluido bajo la influencia de atraccin magntica. La posicin de la partcula est definida por s= (0.5/3 + 41) in, en la cual t est en se-gundos. Calcule la posicin, velocidad y aceleracin de la partcula cuando 1 = 3 s.

-

]

Prob.12.11

* 12.12. Una partcula se mueve a lo largo de una recta con una aceleracin a = (k(3 + 4) ft/s2, estando ( en segundos. Calcule la constante k, si se conoce que v = 12 ft/s cuando ( = 1 s, y que v= - 2 ft/s cuando t = 2 s.

12.13. Una partcula viaja hacia la derecha a lo largo de una recta con una velocidad v= [5/(4 + s)] mis, estando s en metros. Calcule su posicin cuando ( = 6 s si s = 5 m cuando t = O.

12.14. La velocidad de una partcula que viaja a lo 'largo de una recta es v= (G( - 3(2) mis, en donde (es-t en segundos. Si s = O cuando 1 = O, calcule la desa-celeracin y la posicin de la partcula cuando 1 = 3 s. Qu distancia ha recorrido la partcula durante el intervalo de 3 s, y cul es su velocidad media?

-12.15. Una partcula se mueve a lo largo de una recta con una aceleracin a = 5/(3sI/3 + s5!2) m/s2, estando s en metros. Calcule la velocidad de la partcula cuan-do s = 2 m, si parte del reposo cuando s = 1 m. Em-plee la regla de Simpson para evaluar la integral.

* 12.16. Se suelta una pelota, desde el reposo, a una al-tura de 40 ft del suelo y al mismo tiempo se lanza una segunda pelota hacia arriba a 5 ft del suelo. Si las pe-lotas se pasan entre s a una altura de 20 ft, calcule la velocidad a la cual la segunda se lanz hacia arriba. Suponga que la aceleracin de cada una de ellas es constante, hacia abajo, y su magnitud es de 32.2ft/s2

Prob.12.12

12.17. Dos vehculos, A y B parten al mismo tiempo del reposo despus de un alto, cuando estaban uno al lado del otro. El vehculo A tiene una aceleracin constante aA = 8 m/s2 y el auto B tiene una acelera-cin aB = (213/2) m/s2, estando t en segundos. Calcule la distancia entre los vehculos cuando A alcanza una velocidad de VA= 120 km/h.

12.18. Una partcula se mueve a lo largo de una recta con una aceleracin a = (5/s) m/S2, estando s en metros. Calcule la velocidad de la partcula cuando s = 2 m si se suelta desde el reposo cuando s = 1 m.

12.19. Una partcula se mueve con movimiento acele-rado tal que a = -ks, donde s es la distancia desde el punto de arranque y k es una constante de proporcio-nalidad por determinar. Cuando s = 2 ft, la velocidad es de 4 ft/s, y cuando s = 3.5 ft, la velocidad es 8 ft/s . Qu valor tiene s cuando v = O?

* 12.20. Un tren viaja inicialmente a lo largo de una va recta a una velocidad de 90 km/h. Durante 6 s se ha-lla sometido a una desaceleracin constante de 0.5m/s2, y a continuacin, durante los siguientes 5 s, tiene una desaceleracin constante ac. Calcule la ac que se necesita para que f?1 tren se detenga al final del periodo de 11 s.

12.21. Una partcula que se mueve a lo largo de una recta est sujeta a una desaceleracin a = (- 203) mls2, estando v en mis. Si tiene una velocidad v = 8 mis y una posicin s = 10 m cuando 1 = O, calcule su veloci-dad y posicin cuando 1 = 4 s.


12.22. La aceleracin de un cohete que viaja hacia arriba est dada por a = (6 + 0.02s) m/s2, estando s en metros. Calcule la velocidad del cohete cuando

. s = 2 km y el tiempo necesario para alcanzar esa al-tura. Inicialmente v= O y s = O cuando t = O.

Prob.12.22

12.23. Dos trenes viajan en sentidos opuestos en vas paralelas. El tren A tiene una longitud de 150 m y una velocidad que es el doble de la del tren B. El tren B tiene 250 m de longitud. Calcule la velocidad de cada tren si un pasajero en el tren A observa que el tren B pasa en 4 s.

* 12.24. Una bicicleta viaja a lo largo de una recta con una aceleracin a = (2 - v2/500) ft/s2, estando v en pies por segundo. Si parte del reposo, calcule su velo-cidad mxima. Qu distancia debe viajar para alcan-zar una-velocidad de 8 ft/s?

12.25. La malabarista mantiene el movimiento de tres pelotas, de tal modo que cada una se eleva a 4 ft. Si en cualquier instante hay dos pelotas en el aire, calcule el tiempo durante el cual la tercera pelota de-be permanecer en su mano despus de haber lanzado la primera.

Prob.12.25

PROBLEMAS 15

12.26. La malabarista lanza una bola al aire a 4 ft so-bre su mano. Cunto tiempo transcurre antes de que la recoja a la misma altura desde la cual la arro-j? Cul sera el tiempo transcurrido si la lanzara al aire a una altura de 8 ft?

Prob.12.26

12.27. Cuando dos vehculos A y B estn un junto a otro, viajan en la misma direccin con velocidades VA y VB respectivamente. Si B mantiene constante su ve-locidad mientras que A comienza a desacelerar a aA, calcule la distancia entre los vehculos en el instante en el cual se detieneA.

* 12.28. La velocidad de una partcula que se mueve a lo largo de una recta dentro de un lquido, se mide en fun-cin de su posicin: v = (100 - s) mm/s, estando s en milmetros. Calcule (a) la desaceleracin de la partcula cuando est u~da en un puntoA, en el que SA = 75 mm, (b) la distancia que recorre la partcula antes de de-tenerse, y (e) el tiempo necesario para que se detenga.

12.29. Cuando cae una partcula en el aire, su acele-racin inicial a = g disminuye hasta llegar a cero, y de ah en adelante cae con una velocidad constante vf Si esta variacin de la aceleracin se puede expre-sar como a = (g/ v} )( vJ-v2 ), calcule el tiempo nece-sario para que la velocidad llegue a ser v < Vf. La par-tcula cae partiendo del reposo.

12.30. Cuando una partcula se lanza a gran altura so-bre la superfi~ie terrestre, se debe tener en cuenta la variacin de la aceleracin de la gravedad con res-pecto a la altura y. Si se desprecia la resistencia del aire, esta aceleracin se calcula por medio de la fr-mula a = -go[R2/(R + y)2], siendo go la aceleracin de la gravedad constante al nivel del mar, R el radio te-rrestre, y la direccin positiva hacia arriba. Si go = 9.81 m/s2 y R = 6356 km, calcule la velocidad inicial mnima, llamada velocidad de escape, a la cual se de-be disparar la partcula verticalmente desde la super-ficie terrestre para que nlj> regrese a la Tierra. Suge-rencia: Para esto se necesita que v = O cuando y -.00 .



12.2 Cinemtica en coordenadas rectangulares: movimiento errtico Cuando el movimiento de una partcula durante un intervalo de tiempo es errtico, puede dificultarse la obtencin de una fun-cin matemtica continua que describa su posicin, velocidad o aceleracin. As, ser mejor describir en forma grfica dicho mo-vimiento, empleando una serie de curvas que se pueden generar experimentalmente a partir de una salida de computadora. Si la grfica que resulta describe la relacin entre cualesquiera dos de las variables a, v, s y t, se puede establecer una grfica que des-criba la relacin entre las otras variables empleando las ecuacio-nes cinemticas a = d v/dt, v = ds/dt, a ds = vd v. Con frecuencia se encuentran los casos siguientes.

Dada la grfica s-t, construir la grfica v-t. Si se puede determinar experimentalmente la posicin de una partcula duran-te el periodo t de tiempo, se puede trazar la grfica s-t para di-cha partcula, como en la figura 12.7a. Para determinar la veloci-dad de la partcula como funcin del tiempo, es decir, la grfica v-t, debemos usar v = ds/dt porque esta ecuacin relaciona a v, s y t. Por lo tanto, la grfica v-t se establece midiendo lapendien-te (ds/dt) de la grfica s-( a diversos tiempos y haciendo una gr-fica de los resultados. Por ejemplo, la medicin de las pendientes vo, V, V2 Y V3 en los puntos intermedios (lo, so), (t], s ]) , (tz, S2) Y (t3, S3) en la grfica s- t, figura 12.7a, da los puntos correspondientes de la grfica v-( que aparecen en la figura 12.7b.

Tambin es posible establecer la grfica v-t matemticamen-te, siempre que puedan expresarse los segmentos curvos de la grfica s-t en forma de ecuaciones s = J(t). Las ecuaciones co-rrespondientes que describen los segments curvos de la grfica v-t se determinan a continuacin por diferenciacin, ya que v = ds/dt = dlf(t) l/dt.

u

d' V2 = di "

(a) (b)

Fig.12.7


SECo 12.2 CINEMTICA EN COORDENADAS RECfANGULARES: MOVIMIENTO ERRTICO 17

Dada la grfica v-t, construir la grfica a-t. Cuando se conoce la grfica v-t de la partcula, como en la figura 12.8a, se puede determinar la aceleracin como funcin del tiempo, es decir, la grfica a- t, a partir de a = d v/dt. (Por qu?) Esto se

hac~midiendo la pendiente (d v/dt) en la grfica v- t a diversos tiempos y haciendo una grfica de los resultados. Por ejemplo, si se miden las pendientes ao, ah a2 Y a3 en los puntos intermedios (to. vo), (tI' VI), (t2, V2) Y (t3, V3) en la grfica v-t, figura 12.Sa, se 'obtienen los puntos correspondientes en la grfica a- t, indicados en la figura 12.8b.

Se pueden determinar cualesquiera segmentos curvos de la grfica a-t en forma matemtica, siempre que se conozcan las ecuaciones V = g(t) de las curvas correspondientes de la grfica v- t. Esto se hace simplemente tomando la derivada de v = g(t), ya quea = dv/dt = d[g(t)]/dt.

Como la diferenciacin reduce un polinomio de grado n a uno de grado n- 1, entonces, de acuerdo con lo anterior, si la grfica s-t es parablica (curva de segundo grado), la grfica v-t ser una lnea inclinada (curva de primer grado), y la grfica a- t se-r una constante o lnea horizontal (curva de grado cero).

v

Vo o

a

dOI a2 ;:;:; di

(a)

(b)

Fig.12.8

r, dOI Q3 = di t

)



~ Ejemplo 12.6

Un automvil se mueve a lo largo de una carretera rectade tal modo que su posicin se describe mediante la grficamostrada en la figura 12.9a. Construir las grficas v-t y a-tpara el periodo O~ t s 30 s.

S (ft)

500~--

u= 21 u=2020

11 I 1(s)la 30(b)

s=201-100 u (ftls)

Fig.12.9

,:...--..LIO

-----3L.

0--1 (s)

(a)

SOLUCINGrfica v-t. Como v = dsldt, se puede determinar la grficav-t diferenciando las ecuaciones que definen a la grfica s=t,figura 12.9a. Tenemos que

O ~ < 10 s; dsv=-=2tdtdsv= -= 20dtlOs < t ~ 30 s; s = 20t - 100

Los resultados se grafican en la figura 12.9b. Se pueden obte-ner tambin valores especficos de v al medir la pendiente dela curva s=t en determinado momento. Por ejemplo, cuandot = 20 s, la pendiente de la grfica s-t se determina para larecta entre 10 s y 30 s, es decir,

t = 20 s; v = s = 500-100 = 20ft/s t 30 - 10

Grfica a-t. Como a = d oldt, se puede determinar la grfica=l diferenciando las ecuaciones que definen las lneas de la gr-fica v-t. Esto da

0~t

SECo 12.2 CINEMTICA EN COORDENADAS RECTANGUlARES: MOVIMIENTO ERRTICO 19

Dada la grfica a-t, construir la grfica v-t. Si tene-mos como dato la grfica a- t, figura 12. lOa, se puede construir la

. grfica v- t empleando la ecuacin a = dv/dt, escrita en forma in-tegrada como Do v = r a dt. En este caso, el cambio en la veloci-dad de la partcula a'urante un periodo de tiempo es igual al rea bajo la grfica a- t durante el mismo lapso, figura 12.lOb. Por lo tanto, para construir la grfica v-t, se comienza por conocer pri-mero la velocidad inicial Vo de la partcula y a continuacin se suman a ella pequeos incrementos de rea (Do v) determinados en la grfica a- t. De este modo, se localizan puntos sucesivos, VI = Vo + Do v, etc., para la grfica v-t. Ntese que es necesaria la adicin algebraica de incrementos de rea, ya que las reas que quedan sobre el eje t corresponden a un aumento en v (rea "po-sitiva"), mientras las que quedan debajo del eje t indican una dis-minucin de v (rea "negativa").

Si se pueden describir los segmentos curvos de la grfica a-t mediante una serie de ecuaciones, entonces cada una de esas ecuaciones se puede integrar para dar como resultado ecuaciones que describen los segmentos curvos correspondientes de la grfi-ca v- t. Por lo tanto, si la grfica a-t es lineal, o sea una curva de primer grado, la integracin producir una grfica parablica v-t, o sea una curva de segundo grado, etctera.

Dada la grfica v-t, construir la grfica s-t. Cuando te-nemos como dato la grfica v- t, figura 12.11a, es posible deter-minar la grfica s- t a partir de v = ds/dt , expresada en forma in-tegrada como Do s = f v dt. En este caso, el desplazamiento de la partcula durante un periodo de tiempo es igual al rea bajo la grfica v-t durante el mismo periodo de tiempo, figura 12.11b. Del mismo modo que se describi arriba, se comienza por cono-cer la posicin inicial So de la partcula y sumarle, algebraicamen-te, pequeos incrementos de rea Do S determinados en la grfica v- t.

Si es posible describir los segmentos curvos de la grfica v-t mediante una serie de ecuaciones, entonces cada una de dichas ecuaciones se puede integrar para dar ecuaciones que describan los segmentos curvos correspondientes de la grfica s- t.

v

(b)

. Fig.12.10

a

(b)

Fig. 12.11



Ejemplo 12.7

101----,

Al

El cohete deslizante de la figura 12.12a parte del reposo y se mueve a lo largo de una pista recta de tal modo que acelera en forma constante durante 10 s y a continuacin desacelera en forma constante. Trace las grficas v- t y s-t y calcule el tiem-po t' necesario para que se detenga el cohete. Qu distancia ha recorrido el cohete?

SOLUCIN Grfica v-t. Como dv = a dt, se determina la grfica v- t inte-grando los segmentos de recta de la grfica a-t. Usando las

t' t---",,O+---A,-z----;- t (s) condiciones iniciales v = O cuando t = O, tenemos que -2~-~--~---~

O:$; t < 10 s; a = 10; fovdu = f: 10 dt (a)

v (mis) v = 10t

100 v= --21 + 120

"---'-----------""--t (s) 10 t'=60

(b)

(m)

3~ t-------~~

500

L.L.--'-------~-t (s) 10 60

(e)

Fig.12.12

v = lOt Cuando t = 10 s, v = 10(10) = 100 mis. Empleando esta velo-cidad como la condicin inicial para el siguiente periodo de tiempo, tenemos que

10 s < t :$; t'; a = -2; f v dv =ft - 2dt 100 10 v = -21 + 120

Cuando t = 1', se necesita que v = O. Esto da como resultado, figura 12.12b,

l' = 60 s Resp. Grfica s-t. Como ds = v dt, si se integran las ecuaciones de la grfica v- t se obtienen las ecuaciones correspondientes de la grfica s-t. Aplicando las condiciones iniciales s = O cuando t = O, tenemos que

O:$; t :$; 10 s; v = lOt; f; ds = f: lOt dt s = 5t2

Cuando t = 10 s, s = 5(10)2 = 500 m. Empleando esta condi-cin inicial,

10 s:$; t:$; 60 s; v = -21 + 120;fs ds =f' (-21 + 120) dt 500 10

s - 500 = -t2 + 120t - [-(10)2 + 120(10)] s = -t2 + 120t - 600

Cuando t' = 60 s, la posicin es s = - (60)2 + 120(60) - 600 = 3000m Resp.

En la figura 12.12c se muestra la grfica s-t. Ntese que es po-sible una solucin directa para s cuando t' = 60 s, ya que el rea triangular bajo la grfica v-t dara el desplazamiento 6s = s - O desde t = O hasta l' = 60 s. Por lo tanto,

!1s = i (60X100) = 3000m Resp.


SECo 12.2 CINEMTICA EN COORDENADAS RECTANGUlARES: MOVIMIENTO ERRTICO 21

Dada la grfica a-s, construir la grfica v-s. En algu-nos casos se puede construir una grfica a-s para la partcula, de modo que se pueden determinar los puntos en la grfica v-s me-diante v d v = a ds. (Por qu?) Integrando esta ecuacin entre los lmites v = Vo ens = So Y v = VI ens = SI' tenemos que!( vi - ~ ) = iSla ds. Por lo tanto, el pequeo segmento de rea bajo la grfi-Jso fs ca a-s, la ds, que en la figura 12.13a aparece sombreado, es igual a laSmitad de la diferencia de los cuadrados de la velocidad, !( vi - ifo) Por lo tanto, si se determina el rea tIa ds, es posi-ble calcular el valor de VI en SI si se conoce el valOr inicial de Vo en so, es decir, VI = C2J:s la ds + ifo)1!2, figura 12.13b. Se pueden lo-calizar puntos sucesivos de la grfica v- s de este modo, a partir de la velocidad inicial Vo .

Otro modo de construir la grfica v- s es determinar primero la ecuacin que define los segmentos curvos de la grfica a-s. A continuacin pueden obtenerse las ecuaciones que definen a las curvas de la grfica v-s directamente mediante integracin, em-pleando v d v = a ds.

Dada la grfica v-s, construir la grfica v-s. Si se co-noce la grfica v- s, puede determinarse la aceleracin en cual-quier posicin s empleando el siguiente procedimiento grfico. En cualquier punto P(s, v) figura 12.14a, se determina la pen-diente d v/ds de la grfica v-s. Como a ds = v d v, o sea a = v(d v/ds) , entonces, ya que se conocen v y d v/ds, puede calcular-se el valor de a, figura 12.14b.

Podemos determinar tambin en forma analtica los segmen-tos curvos que describenl a la grfica a- s, siempre que se conoz-can las ecuaciones de los segmentos curvos correspondientes de la grfica v- s. Como se dijo antes, se necesita integrar emplean-do ads = vdv.

v a

a

(al (bl

Fig.12.14

a

(al

v

(bl

Fig. 12.13


22 CAP.12 CINEMTICADi I~AJ);.tR'rCQIA

Ejemplo 12.8

En la figura 12.15a se muestra la grfica v-s que describeel movimiento de la motocicleta de esa figura. Trace la grficaa-s del movimiento y calcule el tiempo que necesita la moto-cicleta para llegar a la posicin s = 400 ft.

SOLUCINGrfica a-s. Como tenemos como datos las ecuaciones de lagrfica v-s, puede determinarse la grfica a-s, empleandola ecuacin a ds = v d v, que da como resultado O~ s < 200 ft.

v (fIIs)

v=0.2s+ 10v= 50

50 v = 0.15 + 10dv da = v- = (0.15 + 10~0.15 + 10) = 0.04s + 2

200 ft < s ~ 400 ft; v = 50dv da = l)-;- = (50)-5j50) = Ods ds

10'-----;:-:2o::::o--~40:;:-0---s (ft)

(a)

a (ftls')

Q = 0.04s+ 2,En la figura 12.15b se grafican los resultados.

10Tiempo. Se puede obtener el tiempo empleando la grfica v-s

2

PROBLEMAS 12.31. Si se define la posicin de una partcula como s = (51 - 3(2) pies, en donde I est en segundos, cons-truir las grficas s- I, v---t y a- I para O ~ I ~ 10 s.

* 12.32. Si se define la posicin de una partcula me-diante s = [2 sen(n/5)t + 4] m, estando t en segun-dos, trace las grficas s- t, v- t y a-t para O ~ I ~ 10 s.

12.33. Se registr la/velocidad de un tren durante el primer minuto de su movimiento de la siguiente ma-nera:

t (s) O 20 40 60 v (m/s) O 16 21 24

Trace la grfica v- I, aproximando la curva como seg-mentos de recta entre los puntos dados. Calcule la distancia total recorrida.

12.34. Se ha determinado la grfica s- t en forma ex-perimental para un tren. A partir de los datos, trace la grfica v-t y la a- ( para el movimiento.

slm)

6001-------- - ,

.1601-----

'--""""' ____ ~ _ __L _____ , lS) JO .JO

Proh.12.34

12.35. Dos vehculos que estn lado a lado arrancan al mismo tiempo desde la misma posicin, y se des-plazan a lo largo de una pista recta. El vehculo A acelera a 4 ft/s2 durante 35 s ya continuacin mantie-ne una velocidad constante. El vehculo B acelera a 10 ft/s2 hasta alcanzar una velocidad de 45 mi/h, y despus mantiene una velocidad constante. Calcule el tiempo en el cual los vehculos estarn de nuevo lado a lado. Qu distancia han recorrido? Trace la grfica v-I para cada vehculo.

PROBLEMAS 23

* 12.36. La grfica de la velocidad de un vehculo es la que se muestra a continuacin. Calcule la distancia total que recorre el automvil hasta que se detiene (1 = 80 s). Trace la grfica a-t.

v (m/s)

10!-----1\..

'-------'------"'-- --( (s) 40 80

Prob.12.36

12.37. A partir de datos experimentales, el movi-miento de un avin de reaccin en una pista est de-finido por la grfica v- t. Trace las grficas s-t y a- t para dicho movimiento .

v (mis)

60~-----------

""'-_-'-_____ L-__ ---'L-_( (s) 5 20 30

Prob.12.37



12.38. El automvil de la figura viaja en una carrete-ra recta de acuerdo con la grfica v-t. Calcule la dis-tancia total que recorre el vehculo hasta que se de-tiene cuando t = 48 s. Trace tambin las grficas s-t ya-t.

* 12.40. A continuacin se muestra la grfica v-t delmovimiento de un automvil cuando recorre una ca-rretera recta. Trace la grfica a-t y calcule la acelera-cin mxima durante el intervalo de tiempo de 30 s.El vehculo parte del reposo en s = O.

12.41. Para la misma grfica v--t del problema ante-rior, trace la grfica s-t y calcule la velocidad media yla distancia recorrida para el intervalo de tiempo de30 s. El vehculo parte del reposo en s = O.

V (rn/s)

61-------"

v =-+(1-48)

V (ft/s)

60~--------------------~.

~=-------'-----------------'--- 1 (5)

40 ~------,.--IL- L- --- 1(s)

30 48

10 30

Prob.12.38

Probs. 12.40/12.41 J1]

12.39. El trineo motorizado (snowmobile se mueveen direccin recta de acuerdo con la grfica v-t. Tra-ce las grficas s-( y a-( para el mismo intervalo de 50s. Cuando t = O,s =0.

12.42. Una partcula parte del reposo y est sujeta ala aceleracin que se indica. Trace la grfica v-t pm;ael movimiento, y calcule la distancia recorrida duran-te el intervalo de tiempo 2 s $ t $ 6 s.

a (ftls2)

V (m/s)41---

,e-l.c

1(5)10 12

50

LL- "-- -'- 1(s)

30 -3~---------------

Probo J 2.39 Prob.12.42


PROBLEMAS 25

12.43. Un aeroplano aterriza en la pista recta y co-mienza viajando a 110 ft/s cuando s = O.Est sujeto alas desaceleraciones que se indican en la grfica. Cal-cule el tiempo t' necesario para detener el avin. Tra-ce la grfica s-( del movimiento.

12.45. Se muestra la grfica a=t de un vehculo. Tracelas grficas v-( y s-t si el automvil parte del reposocuando t = O.Cunto tiempo t' indica el reloj cuan-do se detiene el vehculo?

a (m/s2)

~

~ .....>a(ftJs2)

15 20 /'

t I I I/ (s)

-3

I/'

/ (s)10

-8-2

Prob.12.43 Prob.12.45

* 12.44. El automvil parte del reposo y est sujeto auna aceleracin constante de 6 m/s? hasta que t = 15 s.Entonces se aplican los frenos, lo cual ocasiona unadesaceleracin tal como se muestra en la grfica, has-ta que se detiene el vehculo. Calcule la velocidadmxima del automvil y el tiempo ( en el cual se de-tiene.

12.46. Un automvil de carreras parte del reposo yviaja en una carretera recta, y durante 10 s tiene laaceleracin que se indica en la figura. Trace la grfi-ca v-( que describe el movimiento y calcule la distan-cia recorrida en 10 s.

a (m/s2)

a (m/s2)

61-------6e------

L- ~----......,..-- / (s)

15

6 10L..",,~=- __'_ --' __ / (s)

Proh. 12.44 Prob.12.46


26 CAP. 12 CINEMTICA DE UNA PARTCUlA

12.47. El bote viaja originalmente a una velocidad de8 m/s cuando se somete a la aceleracin que se ve enla grfica. Calcule la velocidad mxima del bote y eltiempo t en el cual se detiene.

12.49. Se ha determinado experimentalmente la gr-fica a-s para un coche de carreras que se mueve enuna pista recta, y se muestra en la figura. Si el auto-mvil parte del reposo, calcule su velocidad cuandos = 50, 150Y200 ft, respectivamente.

s1;s

6a=-+1+6 10~----------------.

1---_171L.----------...-J15LO---2.l.00---s(ft)

1-----------......:::2.4,...----;.- I(S)

Prob.12.47 Prob.12.49

* 12.48. Se da la grfica a-s para los primeros 200 mdel movimiento de un tren de carga. Trace la grficav-s. El tren parte del reposo.

12.50. Un cohete de dos etapas se lanza verticalmen-te partiendo del reposo, con la aceleracin que se in-dica en la figura. Despus de 15 s la primera etapa Ase agota y se enciende la segunda etapa B. Trace lasgrficas v-( y s-( que describen el movimiento de lasegunda etapa para O:-:;( s :-:;40 s

a (m/s2)

a (m/s2) r~~2 ~:j

s(m) ~

I(S)15 40

Prob.12.48 Prob.12.50


PROBLEMAS 27

12.51. El avin de reaccin parte del reposo cuando,s = O,Yest sujeto a la aceleracin que se indica enla figura. Trace la grfica v-s y calcule el tiempo quese necesita para que recorra los 500 ft.

12.53. Se muestra en la figura la grfica v-s para elautomvil durante los primeros 500 ft de su recorri-do. Trace la grfica a-s para O~ s ~ 500 ft. Cuntose tarda en recorrer los 500 ft? El vehculo parte delreposo en s = Ocuando t = O.

, v (ftls)_Ja (ftls2)

6075

~

s(ft)500 10

500s(ft)

Prob.12.S1 Prob.12.S3

* 12.52. Se muestra en la figura la grfica a-s para unjeep que se mueve en una carretera recta, para losprimeros 300 m de su movimiento. Trace la grficav-s. Cuando s = O, v = O.

-12.54. Se muestra la grfica a-s para un bote quese mueve a lo largo de una recta. Si el bote partede s = Ocuando v = O, calcule su velocidad cuan-do est en s = 75 ft Y125 ft, respectivamente. Em-plee la regla de Simpson con n = 100 para evaluara v cuando s = 125 ft.

a; s + 6('" _ 10)5/32~-----------~

5r-------,r-~l.


12.3 Movimiento curvilneo general

El movimiento curvilneo se presenta cuando la partcula se mue-ve a lo largo de una trayectoria curva. Como esta trayectoria se describe con frecuencia en tres dimensiones, se usar anlisis vectorial para formular la posicin, velocidad y aceleracin. * En esta seccin se describen los aspectos generales del movimiento curvilneo, y en las secciones siguientes se usarn con frecuencia tres tipos de sistemas coordenados para analizar este movi-miento.

Posicin. Consideremos a una partcula ubicada en el punto P sobre una curva definida por la funcin s de la trayectoria, figura 12.16a. La posicin de la partcula, medida desde un punto fijo O est dada por el vector de posicin r = r(t). Este vector es funcin del tiempo porque, en general, tanto su magnitud como su direc-cin cambian a medida que se mueve a lo largo de la curva.

T rlycctorin

(a)

Desplazamiento. Supongamos que durante un pequeo inter-valo de tiempo 1::../ la partcula se mueve una distancia t::,.s a lo lar-go de la curva a una posicin nueva r, definida por r ' = r + I::..r, figura 12.16b. El desplazamiento I::..r representa el cambio en la posicin de la partcula y est determinada por una resta vecto-rial, es decir, I::..r = r'- r.

~--_P'

DespllZlmienlo

(b)

Fig, 12.16

En el apndice C se da un resumen de los conceptos importilntes del ilnli-sis vectorial.


SEC.12.3 MOVIMIENTO CURVILNEO GENERAL 29

v

p

o

Velocidad

(e)

Fig. 12.16 (cimJ. )

Velocidad. Durante el tiempo 6.t, se define la velocidad media de la partcula como

r v =-

avg t

Mediante esta ecuacin se determina la velocidad instantnea, haciendo que D.f --> 0, y en consecuencia, la direccin r se apro-xima a la tangente a la curva en el punto P. Por lo tanto, v = lm (&-/D.f), o sea

~~O

(12.7)

Como dr ser tangente a la curva en P, la direccin de v tambin es tangente a la curva, figura 12.16c. La magnitud de v, se obtiene notando que la magnitud del desplazamiento r es la longitud del segmento de recta deP a P', figura 12.16b. Sabiendo que esta longitud, r tiende a la longitud del arco & a medida que D.f --> 0, tenemos que v = lm (&-/D.f) = lm (&/D.f), o sea

~~O ~t~O

~ ~ (12.8)

As, la velocidad puede obtenerse diferenciando la funcin tra-yectoria s con respecto al tiempo.

Aceleracin. Si la partcula tiene una velocidad v en el tiempo t y una velocidad v' = v + V en el tiempo t + D.f, figura 12.16d, entonces la aceleracin media de la partcula durante el intervalo D.f es

\.


30 CAP. 12 CINEMTICADEUNAPARTCULA

p

(d)

(g)

;-/"

~v . I~

O'

(e)

~v Odsrofa

y ~

Fig. 12.16 (cont.)

Av a =-

avg A t

O'

(f)

donde Av = v' - v. Para estudiar esta rapidez de cambio con el tiempo, se grafican los dos vectores velocidad en la figura 12,16d en la figura 12.16e de tal modo que sus colas estn ubicadas en el punto fijo O' y sus puntas tocan a los puntos de la curva puntea-da. A esta curva se le lla~a odgrafa, y describe el lugar geom-trico de las puntas del vector velocidad del mismo modo que la trayectoria s describe el lugar geomtrico de las puntas de la fle-cha del vector de posicin, figura 12.16a.

Para obtener la aceleracin instantnea, se hace que At -+ O en la ecuacin anterior. En el lmite Av tender a la tangente de la odgrafa, y entonces lm (AV/At), o sea

6t~O

(12.9)

Sustituyendo la ecuacin 12.7 en el resultado anterior, podemos escribir tambin que

Por definicin de la derivada, a acta tangente a la odgrafa, figura 12.16f, y, por lo tanto, en general, a no es tangente a la tra-yectoria del movimiento, figura 12.16g. Para aclarar este punto, obsrvese que Av y, en consecuencia, a deben explicar el cambio tanto de magnitud como de direccin de la velocidad v a medida que la partcula se mueve de Par, figura 12.16d, Tan slo un cambio de magnitud aumenta (o disminuye) la "longitud" de v, y esto en s permitira que a permaneciera tangente a la trayecto-ria. Sin embargo, para que la partcula siga la trayectoria, el cam-bio de direccin siempre desva al vector velocidad hacia el "in-terior", o "lado cncavo" de la trayectoria, y por lo tanto a no puede permanecer tangente a la trayectoria.


SECo 12.4 MOVIMIENTO CURVILNEO: COMPONENTES RECTANGULARES 31

12.4 Movimiento curvilneo: componentes rectangulares En algunos casos, el movimiento de una partk:ula se puede des-cribir mejor a lo largo de una trayectoria representada, emplean-do un marco de referencia fijo x, y, z.

Posicin. Si en un instante dado la partcula P est en un punto (x, y, z) en la trayectoria curva s, figura 12.17a, entonces su ubica-cin se define mediante el vector de posicin

cr = xi + yj + zk I (12.10) Debido al movimiento de la partculaey a la forma de la trayecto-ria, las componentes X, y y z de r son todas en general, funciones del tiempo, es decir, x = x(t), y = y(t), z = z(t), y por lo tanto r = r(t).

De acuerdo con la exposicin del apndice C, la magnitud de r siempre es positiva y, segn la ecuacin C. 3, se define como

La direccin de r se especifica mediante las componentes del vector unitario Ur = r/r.

Velocidad. La primera derivada de r con respecto al tiempo da la velocidad v de la partcula. Entonces,

v = dr = --(Xi) + --(yj) + --(zk) dt dI dt dt Cuando se toma la derivada, es necesario tener en cuenta los cambios tanto en magnitud como en direccin de cada una de las componentes del vector. La derivada de la componente i de v es por lo tanto

d(.) dx. di -XI =-I+X-dt dt dI

El segundo trmino del lado derecho es cero, ya que el marco de referencia x, y, z es fijo, y por lo tanto la direccin y la magnitud de i no cambian con respecto al tiempo. La diferenciacin de las componentes j y k se puede llevar a cabo de manera semejante, con lo cual se llega al resultado final

dr . . k v = - = vT I + v,.J + Vz ( 1 . (12.11 )

k r=xi+yj+zk

y x

x y

Posicin

(a)

/----------------- y

x

Velocidad

(b)

Fig.12.17


,


donde

V,=~ V). =~ Vz = Z

(12.12)

La notacin de "punto" X, y, i; representa las primeras derivadas con respecto al tiempo de las ecuaciones paramtricas x = x(t), y = y(t) , y z = z(t) , respectivamente.

La velocidad tiene una magnitud que se define como el valor positivo de

y una direccin que se especifica mediante las componentes del vector unitario U v = v/v. Esta direccin siempre es tangente a la trayectoria, como se muestra en la figura 12.17b .

.

Aceleracin. La aceleracin de la partcula se obtiene toman-do la primera derivada respecto al tiempo de la ecuacin 12.11, o la segunda derivada con respecto al tiempo de la ecuacin 12.10. Empleando puntos para representar las derivadas de las compo-nentes con respecto al tiempo, tenemos que

dv . . k a=-=al+aJ+a dI ' y 1 (12.13)

donde

a, = v,=x ay =~). =Y a l = V l = Z

(12.14)

Aqu, aTO ay Y al representan, respectivamente, las primeras deri-vadas con respecto al tiempo de las funciones Vx = vit) , vy = vit) y Vz = vz(t), o bien las segundas derivadas con respecto al tiempo de las funciones x = x(t), y = y(t) y z = z(t).

La aceleracin tiene una magnitud que se define como el va-lor positivo de

a = , a2 + a2 + a2 , y 1

y una direccin especificada por las componentes del vector uni-tario u" = ala . Como a representa la rapidez de cambio de la ve-


SEC.12.4 MOVIMIENTO CURVILNEO: COMPONENTES RECTANGULARES 33

locidad con respecto al tiempo, a en general no ser tangente a la trayectoria que sigue la partcula, figura 12.17c.

PROCEDIMIENTO DE ANLISIS Sistema de coordenadas. Se puede emplear un sistema de coordenadas rectangulares para resolver problemas cuando puede expresarse convenientemente el movimiento en tr-minos de sus componentes x, y y z. x

Cantidades cinemticas. Como el movimiento rectilneo se lle-va a cabo a lo largo de cada eje, puede determinarse una descripcin del movimiento de cada componente empleando v = ds/dt ya = d v/dt, como se describi en la seccin 12.1, y se formaliz anteriormente. Tambin, si el movimiento no se expresa como parmetro del tiempo, se puede usar la ecua-cin a ds = v d vd v. Una vez determinadas las componentes X, y, z de v y a, se calculan las magnitudes de esos vectores me-diante el teorema de Pitgoras, ecuacin C3, y sus direccio-nes mediante las componentes de sus vectores unitarios, ecuaciones CA y C5.

/-----------------y

Aceleracin

(e)

Fig. 12.17 (cont.)


..

34 CAP.12 CINEMTICADEUNAPARTfCULA

"" Ejemplo 12.9 -------------------------IIIIII!En cualquier instante se define la posicin de la cometa

de la figura 12.1&zmediante las coordenadas x = (30t) ft yY =(9t2) ft, en las cuales I est en segundos. Calcule (a) la ecua-cin que describe la trayectoria y la distancia de la cometa conrespecto al nio, cuando t = 2 s, (b) la magnitud y la direccinde la velocidad cuando I = 2 s, Y (e) la magnitud y direccin de laaceleracin cuando I = 2 s.

yB

1 .:~36r A

x

.[ 60 ft Ic:.::..? (a)

SOLUCINPosicin. La ecuacin de la trayectoria se determina al elimi-nar a I de las ecuaciones para x y y, es decir, I = x/30, de modoque y = 9(x/30)2, o sea

Resp.

sta es la ecuacin es de una parbola, figura 12.18a. Cuandot = 2 s,

x = 30(2) = 60 ft y = 9(2)2 = 36 ftLa distancia en lnea recta deA a B es, por lo tanto,

Resp.r = .(60)2 + (36)2 = 70.0 ft

Velocidad. Empleando las ecuaciones 12.12, las componentesde la velocidad cuando I = 2 s son

dVx = d(30/) = 30 ft/s -+

v = .!I(9t2) = 18t I = 36 ft/s iy dt

,-25':::= 46.9 ftls

0"= 50.2B

(b)

Cuando t = 2 s, la magnitud de la velocidad esv = .(30)2 + (36)2 = 46.9 ft/s Resp.

Su direccin es tangente a la trayectoria, figura 12.18b, en dondev 368u = tan-J..::L= tan-130 = 50.2 Resp,VI

Aceleracin. Las componentes de la aceleracin se determinana partir de las ecuaciones 12.14,

a = 4

SECo 12.4 MOVIMIENTO CURVILNEO: COMPONENTES RECTANGUlARES 35

Ejemplo 12.10 En la figura 12.19 se muestra el movimiento de una canica B

que se desliza a lo largo de la trayectoria en espiral. Est defIDi-do por el vector de posicin r = {0.5 sen (2t)i + 0.5 cos (21M -0.2tk} m, estando t en segundos y los argumentos para el seno y el coseno se dan en radianes (n- rad = 180). Calcule la ubica-cin de la canica cuando t = 0.75 s y las magnitudes de la velo-cidad y de la aceleracin de la canica en ese mismo instante.

SOLUCIN Posicin. Evaluando a r cuando t = 0.75 s, se obtiene r lt =O.75s = {0.5 sen(1.5rad)i + 0.5 cos(1.5rad)j - 0.2(0.75)k} m

= {0.499i + 0.035j - 0.150k} m Resp. La distancia del origen O a la canica es

r = { (0.499)2 + (0.035)2 + (-0.150)2 = 0.522 m Resp. La direccin de r se obtiene a partir de las componentes del vector unitario,

_ r _ 0.499. + 0.035. 0.150 k U r - r - 0.5221 0.522J - 0.522 = 0.956i + 0.067j - 0.287k x

Por lo tanto, los ngulos coordenados de direccin a, f3y y, fi -gura 12.19, son

a= cos-1 (0.956) = 17.1 f3 = cos-1 (0.067) = 86.2 y = cos-1 (- 0.287) = 106

Velocidad. La velocidad se define mediante

v = ~~ = :t [0.5 sen (2t)i + 0.5 cos (2tlj - 0.2tk] = {1 cos (2t)i - 1 sen (2tlj - 0.2k] mis

Resp. Resp. Resp.

Por lo tanto, cuando t = 0.75 s, la magnitud de la velocidad o rapidez es

v={li+rJ.+li x y z

= {[1 cos (1.5rad)]2 + [-1 sen (1.5 rad)]2 + (-0.2)2 = 1.02 mis Resp.

La velocidad es tangente a la trayectoria, como se ve en la fi-gura 12.19. Los ngulos coordenados de direccin pueden cal-cularse a partir de U u = v/ v.

Aceleracin. La aceleracin a de la canica, que se muestra en la figura 12.19, no es tangente a la trayectoria. Demuestre que

a = ti = {- 2 sen (2t)i - 2 cos (2tlj} m/s2 1 = 2 m/s2 t = 0.75 s

~-,-----y---y

Fig.12.19


,

36 CAP. 12 CINEMTICA DE UNA P ARTiCULA

12.5 Movimiento de un proyectil

El movimiento de un proyectil en el vaco se estudia con frecuen-cia en trminos de sus componentes rectangulares, ya que la ace-leracin del proyectil siempre acta en la direccin vertical. Para demostrar los conceptos que intervienen en el anlisis cinemti-ca, consideremos un proyectil disparado en un punto (xo, Yo), co-mo se muestra en la figura 12.20. La trayectoria se define en el plano x-y de tal modo que la velocidad inicial es Vo con compo-nentes (vx)o y (vy)o' Cuando no se toma en cuenta la resistencia del aire, la nica fuerza que acta en el proyectil es su peso, el cual hace que el proyectil tenga una aceleracin constante ha-cia abajo de aproximadamente ac = g = 9.81 m/s2, o en el siste-ma ingls, deg = 32.2 ft/s2.* Por lo tanto, ay = -gya. = O.

y 1 a = -gj

v

x

Fig.12.20

Movimiento horizontal. Ya que a. = O, la aplicacin de las ecua-ciones para aceleracin constante, 12.4 a 12.6, da como resultado

u. = (u.)o x = Xo + (u.)o t

Ux = (uJo

Las ecuaciones primera y ltima indican que la componente hori-zontal de la velocidad siempre permanece constante durante el mo-vimiento.

'Lo anterior supone que el campo gravitatorio de la Tierra no vara con la al-titud (vase el Ej. 13.2).


SECo 12.5 MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL 37

Movimiento vertical. Como la direccin positiva del eje y apunta hacia arriba, entonces ay = -g. Aplicando las ecuaciones 12.4 a 12.6, se llega a

(+ i) v = Vo + aj; (+ i)y = Yo + vrJ + 1aj2; (+ i) v2 = v5 + 2aJ}' - Yo);

vy = (vy)o - gt y = Yo + (v)rJ - 4gt2 vi = (vy)ij - 2g(y - Yo)

Recurdese que la ltima ecuacin puede formularse sobre la base de eliminar al tiempo t entre las dos primeras ecuaciones, y por lo tanto slo dos de las tres ecuaciones de arriba son inde-pendientes entre s.

Resumiendo, los problemas del movimiento de un proyectil pueden tener cuando mucho tres incgnitas, ya que slo se pue-den formular tres ecuaciones independientes. Esas ecuaciones constan de una ecuacin para la direccin horizontal y dos para la direccin vertical. Se puede emplear anlisis escalar, ya que los movimientos de las componentes a lo largo de los ejes x y y son recti-lneos. Una vez obtenidas Vx y vy ' hay que tener en cuenta que la ve-locidad v resultante, que siempre es tangente a In trayectoria, est de-finida por la suma vectorial, como se ve en la figura 12.20.

PROCEDIMIENTO DE ANLISIS Empleando los resultados anteriores, el mtodo que sigue puede aplicarse para resolver los problemas de movimiento de proyectiles en el vaCo.

Sistema de coordenadas. Establezca los ejes coordenados fijos x y Y Y trace un esquema de la trayectoria de la partcula. En-tre cualesquiera dos puntos de la trayectoria especifique los datos del problema y las tres incgnitas. En todos los casos la aceleracin de la gravedad acta hacia abajo. Las velocida-des inicial y final deben representarse en trminos de sus componentes x y y. Recurdese que las componentes positi-vas y negativas de la posicin, velocidad y aceleracin actan siempre de acuerdo con sus direcciones asociadas a lo largo de las coordenadas.

Ecuaciones cinemticas. Dependiendo de los datos conocidos y de lo que vaya a determinarse, deben elegirse tres de las si-guientes cuatro ecuaciones que vayan a aplicarse entre los dos puntos de la trayectoria para obtener la solucin ms di-recta al problema.

Movimiento horizontal. La velocidad en la direccin horizon-tal, o x, es constante, es decir, (vT ) = (vT), y



Movimiento vertical. En el movimiento vertical o en direc-ciny, slo se pueden usar dos de las siguientes tres ecuacio-nes en la solucin.

Vy = (v)o + ael y = Yo + (Vy)ol + ~e12

V; = (vy)O + 2ae(y - Yo)

Los siguientes ejemplos muestran la aplicacin numrica de este procedimiento.


SECo 12.5 MOVIMIENTO DE UN PROYECTIL 39

.. Ejemplo 12.11 De un tubo se expulsa una pelota, como se muestra en la

figura 12.21, a una velocidad horizontal de 12 mis. Si la altura del tubo es de 6 m sobre el piso, calcule el tiempo que necesi-ta la pelota para llegar al piso, y el alcance R.

v

12 mis =----+- ------x

a =-g

6m

1 ) C 8 Fig. 12.21

SOLUCIN Sistema de coordenadas. Se establece el origen de coordenadas al principio de la trayectoria, el punto A en la figura 12.21. La velocidad inicial de la pelota tiene las componentes (VA). = 12 mis, y (VA)y = O. Tambin, entre los puntos A y B la aceleracin es a u = - 9.81 m/s2. Como (V8). = (VA). = 12 mis, las tres incgnitas son (V8)y, R y el tiempo de vuelo t.

Movimiento vertical. Se conoce la distancia vertical deA a B, y por lo tanto se obtiene una solucin directa para 1 empleando la ecuacin

(+ n y = Yo + (Vy)ol + !act2 -6 = O + O + t(-9.81)/2

1= 1.11s Resp.

Este clculo indica tamhi.n que si se suelta la hola desde el re-poso enA, tardara el mismo tiempo en llegar al suelo en C.

Movimiento horizontal. Como se ha calculado 1, se determina R como sigue:

x = Xo + (v')o 1 R = O + 12(1.11) R = 13.3 m Re:;p.



"" J;jemplo 12.12

Fig.12.22

Se arroja una pelota desde una posicin 5 ft sobre el piso, hacia el techo de un edificio de 40 ft de alto, como se ve en la figura 12.22. Si la velocidad inicial de la bola es de 70 ft/s, in-clinada a un ngulo de 60 con respecto a la horizontal, calcu-le el alcance, o distancia horizontal R, desde el punto en que se arroja la pelota hasta donde choca con el techo.

-

1-1 --R---II SOLUCIN Sistema de coordenadas. Cuando se analiza el movimiento entre los puntos O y A, se representan las tres incgnitas: distancia ho-rizontal R, tiempo de vuelo tOA1 Y componente de la velocidad vertical (vy)A- Con el origen de coordenadas en O, figura 12.22, la velocidad inicial de la pelota tiene las siguientes componentes:

(Vt)O = 70 cos 60 = 35ft/s ..... (v)o = 70 sen 60 = 60.62 ft/s i

Tambin, (Vx)A = (vx)o = 35 ft/s, y ay = -32.2 ft/s2 Movimiento horizontal

XA =xo + (VJdOA R = O + 35tOA (1)

Movimiento vertical. Se relaciona tOA a las elevaciones inicial y final de la pelota,

(+ i) YA = Yo + (V)dOA + ~,.LbA (40 - 5) = O + 60.62tOA + !< -32.2)ybA

Despejando las dos races con la frmula cuadrtica, tenemos que tOB = 0.712 s y tOA = 3.05 s. La primera raz, que es el tiempo ms corto, se identifica como tOB, ya que representa el tiempo necesario para que la pelota alcance el punto B, que tiene la misma elevacin que el puntoA, figura 12.22. Sustitu-yendo a tOA en la ecuacin 1 y despejando a R, obtenemos

R = 35(3.05) = 107 ft Resp. Empleando slo una ecuacin, puede el lector demostrar que la altura mxima que alcanza la pelota, figura 12.22, es h = 62.1 ft?


SECo12.5 MOVIMIENTO DE UN PROYECrIL 41Ejemplo 12.13

Cuando se patea una pelota en A, como se muestra en lafigura 12.23, apenas pasa por encima de la barda en B, y almismo tiempo alcanza su altura mxima. Se sabe que la dis-tancia deA a la pared es 20 m y que sta tiene 4 m de altura.'Calcule la velocidad inicial a la cual se pate la bola. Despre-cie el tamao de sta.

yB

4mFig.12.23

~-------------20m-------------

SOLUCINSistema de coordenadas. Las tres incgnitas son la velocidadinicial VA' el ngulo de inclinacin e, y el tiempo lAB que seemplea en pasar de A a B, figura 12.23. En el punto B de altu-ra mxima, la velocidad (vy)s = OY (VJB = (Vr)A = VA cos e.Movimiento horizontal(~ ) XB =xA + (vx)AlAB

20 = O+ (VA cos e)lAB (1)

Movimiento vertical(+ i) (V)B = (Vy)A + ajAB

O= VA sen e - 9.81lAB (2)(+ i) (vy)1 = (Vy)~ + 2ac[yB - YA]

O = ~ sen- e+ 2(-9.81X4 - O) (3)

Para obtener VA' se elimina lAB de las ecuaciones 1 y 2, conlo que se obtiene

~ sen ecos e= 196.2 (4)

Se despeja ~ de la ecuacin 4 y se sustituye en la ecuacin 3,de manera que

sen e = tan e= 2(9.81)(4) = 0.4cos e 196.2

e= tan:' (0.4) = 21.80

A continuacin, de acuerdo con la ecuacin 4, la velocidadinicial necesaria es

Resp.V =. 196.2 23.9 misA (sen 21.8)(cos 21.8)



PROBLEMAS 12.55. Si x = 1 - I Y Y = 12, estando x y yen metros y I en segundos, calcule las componentes en x y y de la velocidad y aceleracin, y elabore la grfica y = f(x).

* 12.56. Si x = 3 sen I y Y = 4 cos 1, para las cuales x y y estn en metros y I en segundos, calcule las compo-nentesx y y de la velocidad y la aceleracin y elabore la grfica y = f(x).

12.57. Si la posicin de una partcula est definida por sus coordenadas s = 41 2 Y Y = 3(3, para las cuales x y y estn en metros y ( en segundos, calcule las com-ponentes de la velocidad y aceleracin a lo largo de x y y, y elabore la grfic

Mecanica Para Ingenieros Dinamica Russell C Hibbeler

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