Mecanica de Suelos (Problemas Resueltos

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Prlogo

%

PrlogoEsta publicacin contiene una coleccin de problemas resueltos de Mecnica de Suelos. Estos problemas han sido propuestos en los ltimos aos en los estudios de Ingeniera Tcnica de Obras Pblicas de la UPC (primer cuatrimestre de la asignatura de Geotecnia de 2 curso) para su resolucin por parte de los alumnos. La coleccin no coincide exactamente con la utilizada en la actualidad en dicha asignatura ya que, en particular, se proporcionan a los alumnos nuevos enunciados procedentes fundamentalmente de exmenes que, en su mayora, se han resuelto en seminarios especficos. Durante los primeros aos en que se imparti la asignatura, los problemas propuestos se desarrollaban en clase pero no se dispona de su resolucin por escrito. Posteriormente, y a solicitud de los alumnos, se fue preparando un borrador de las resoluciones que, progresivamente mejoradas en contenido y formato, ha dado lugar a esta publicacin. La necesidad de finalizarla en un tiempo razonable ha impedido que se pudiese actualizar totalmente la coleccin, en especial en lo relativo a problemas de examen resueltos en seminarios. La coleccin no ha sido concebida directamente para su publicacin sino que se adapta a la materia impartida en la asignatura. Por otro lado, debido a que dicha titulacin es de primer ciclo, el enfoque de los problemas intenta centrarse en aspectos de concepto y no excesivamente elaborados, sin hacer mucho uso de desarrollos matemticos. Respecto a su contenido, en el primer captulo se recogen problemas relativos a propiedades bsicas de los suelos. Sobre todo se hace especial nfasis en aspectos relacionados con las distintas variables que caracterizan la porosidad y contenido de agua en suelos. Por otro lado, el contenido de este captulo est relacionado en algunos aspectos con las prcticas de laboratorio que se realizan en la asignatura, donde se precisan relaciones del tipo de las que se derivan en algunos casos. Tambin se incluyen dos problemas relacionados con granulometra de suelos y dos ms con lmites de Atterberg y clasificacin de suelos, respectivamente. En el segundo captulo se incluyen problemas relacionados con algunos aspectos bsicos de la mecnica de medios porosos continuos, especialmente estados tensionales y deformacionales (crculos de Mohr), muy utilizados con posterioridad, y tensiones efectivas. El tercer captulo se dedica a problemas relacionados con flujo de agua en medio poroso indeformable. Eno

los autores, 1998; Edicions UPC, 1998. Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorizacin escrita de los titulares del "copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproduccin total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografa y el tratamiento informtico, y la distribucin de ejemplares de ella mediante alquiler o prstamo pblicos, as como la exportacin e importacin de ejemplares para su distribucin y venta fuera del mbito de la Unin Europea.

&

Mecnica de Suelos. Problemas resueltos

primer lugar se incluyen problemas en condiciones unidimensionales incluyendo casos de sifonamiento. En segundo lugar se incluyen tambin algunos problemas en condiciones bidimensionales. En ambos casos se han planteado solamente problemas en rgimen estacionario. En el cuarto captulo se incluyen problemas de consolidacin en suelos saturados. Se recogen problemas en condiciones unidimensionales en los que se combinan diferentes solicitaciones (terraplenes y bombeos) y tambin se obtienen soluciones incorporando drenes verticales para acelerar el proceso transitorio de consolidacin. El ltimo problema de este captulo se dedica a la determinacin de parmetros a partir de resultados de un ensayo edomtrico. Finalmente, el captulo quinto se dedica a problemas de resistencia de suelos saturados, tanto en condiciones drenadas como en condiciones no drenadas. En estos problemas la condicin de rotura se representa mediante el criterio de Mohr-Coulomb. Se presta atencin a la determinacin de la resistencia al corte sin drenaje a partir de ensayos triaxiales y a la generacin de presiones intersticiales en ensayos no drenados as como a la representacin de trayectorias tensionales. Los autores esperan que esta publicacin resulte de inters no slo para los alumnos de la asignatura de Geotecnia de Ingeniera Tcnica de Obras Pblicas de la UPC, sino tambin para todas aquellas personas interesadas en el tema. Barcelona, mayo de 1997

los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.

ndice

'

ndice1. Propiedades bsicas de los suelos. Identificacin y clasificacin ......................................................... 11 2. Tensiones y deformaciones. Tensin efectiva ....................................................................................... 31 3. Flujo de agua en suelo saturado indeformable ...................................................................................... 57 4. Consolidacin de suelos saturados ........................................................................................................ 83 5. Resistencia de suelos saturado ............................................................................................................ 107


Propiedades bsicas de los suelos

Captulo 1. Propiedades bsicas de los suelos. Identificacin y clasificacinPROBLEMA 1.

Una muestra de suelo saturado, que tiene un peso de 900 gr, se coloca en estufa a 100 C durante 24 horas, tras lo cual pesa 750 gr. Obtener su humedad natural, su ndice de poros, su porosidad, su densidad natural y su densidad seca (I = 2.7 gr/cm3).

Figura 1.1 Distribucin de las fases en el suelo

La obtencin de parmetros caractersticos de un suelo tales como su ndice de poros, su humedad y sus distintas densidades, se realiza a partir de la medida en laboratorio del peso en diferentes condiciones (p.e. suelo natural, suelo seco) y aplicando la definicin de dichos parmetros. Humedad. Se define como peso de agua relativo al peso del slido (w = Ww / Ws). El peso de agua (Ww) puede calcularse por diferencia como Ww = Wt - Ws = 900 - 750 = 150 gr y, por tanto, la humedad resultante es:w

150 gr 0.2 (20 %) 750 gr

ndice de poros. Se define como volumen de huecos relativo al volumen de slido (e = Vh / Vs). Dado que,



en este caso, el suelo se encuentra saturado (Sr = 1), se tiene Vh = Vw (volumen de huecos igual a volumen de agua). Dichos volmenes se obtienen mediante las expresiones:Vw

Ww

w

150 gr 1.0 gr/cm 150.0 cm3

3

Vs

Ws

s

750 gr 2.7 gr/cm 277.78 cm3

3

donde se ha supuesto una densidad de 2.7 gr/cm! para las partculas slidas. Una vez determinados los volmenes de huecos (agua) y slido, se calcula el ndice de poros como cociente entre el volumen de huecos y el volumen de slido:e

150 cm 277.78 cm 0.543 3

Porosidad. Se define como volumen de huecos relativo al volumen total ( n = Vh / Vt). El volumen total se obtiene como Vt = Vw + Vs = 150 + 277.78 = 427.78 cm!. Con ello se obtiene una porosidad de:

150 n 427.78 0.35 (35%)

La porosidad (n) se puede calcular en funcin del ndice de poros (e). Ambas variables evalan la misma propiedad del suelo (el volumen relativo de huecos) y por tanto, pueden usarse indistintamente, aunque sus valores no coinciden. Sin embargo, en Geotecnia, sobre todo en temas relacionados con el comportamiento mecnico, es ms conveniente la utilizacin del ndice de poros, mientras que en Hidrogeologa, se trabaja usualmente con la porosidad. El ndice de poros es relativo al volumen de slido, lo que facilita el clculo de sus variaciones al producirse cambios de volumen del suelo. Sin embargo, es ms cmodo referirse a la porosidad para calcular el volumen de agua almacenado en un volumen de medio. La equivalencia entre porosidad e ndice de poros se obtiene como:n

Vh Vt

Vh Vh Vs

(

Vh Vs

Vs Vh Vs

/

)/

1

e

e

anlogamente, se puede despejar e en funcin de n:

e n1

n

Densidad natural. Se define como peso total relativo al volumen total (n = Wt / Vt). Si se aplican los valores de este problema resulta:

n

900 gr 427.78 cm 2.10 gr/cm3

3

Densidad seca. Se define como peso de slido relativo al volumen total (d = Ws / Vt). Si se usan los valores de este problema resulta:

d

750 gr 1.75 gr/cm 427.78 cm3

3

_____________________________________ los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.


!

PROBLEMA 2.

Un suelo natural tiene una humedad del 15%, un grado de saturacin de 0.6 y un peso especfico de las partculas slidas de 2.6 gr/cm3. Obtener su ndice de poros.El ndice de poros se define como el cociente entre el volumen de huecos y el volumen de slido (e=Vh /Vs). Para relacionar los parmetros caractersticos de un suelo ( n , e , Sr , w , s , n , d) entre s puede hacerse a partir de sus definiciones, o bien utilizando el diagrama unitario. Si bien ste ltimo tambin utiliza las definiciones de estas variables, de una forma grfica condensa toda la informacin. El diagrama unitario (Fig. 2.1) describe las relaciones volumtricas y de peso de un suelo en el que se considera unitario el volumen de slidos (en el caso que se utilice el ndice de poros como medida del volumen de huecos) o el volumen total (en el caso que se utilice la porosidad como medida del volumen de huecos).

Figura 2.1 Diagrama unitario Del diagrama unitario (Fig. 2.1) se pueden obtener las relaciones entre variables. En este caso, el valor de w en funcin de s , Sr y e es inmediato ya que la humedad es equivalente a:w

Ww Ws

w e S r s

A la misma expresin se llega al plantear las definiciones de cada una de las variables tal como se muestra a continuacin. Grado de saturacin:Sr

Vw Vh

Vh

Vw Sr

Humedad:w

Ww Ws

Vw Vs

w s

Vs

Vw w

w s


"ndice de poros:e


Vh Vs

/ s ( w w)/( s) r wVw Sr w V w S

Si finalmente se despeja la humedad se llega de nuevo al mismo resultado, es decir:w

Ww Ws

w e S r s

En definitiva, conociendo dos parmetros (e y Sr , e y w o Sr y w), el peso especfico de las partculas slidas (s) y el peso especfico del fluido (w), puede obtenerse el parmetro restante. En general no hay problema en conocer el peso especfico del fluido, que suele ser agua: w = 1 gr/cm!. En este problema se tiene, por tanto:e

2.6 gr/cm 0.15 0.65 1 gr/cm 0.63 3

El valor del peso especfico de las partculas slidas (s) vara poco habitualmente y en general podr tomarse un valor aproximado (alrededor de 2.7) si no se conoce con exactitud o no se ha medido. ____________________________________________

PROBLEMA 3.

Se dispone de un suelo con un ndice plstico del 40% y un lmite plstico del 75%. Suponiendo un peso especfico de las partculas slidas de 2.65 gr/cm3, calcular el ndice de poros y la porosidad correspondientes a su estado en el lmite lquido.Con anterioridad (Problema 1) se ha visto que existe una expresin que relaciona la porosidad con el ndice de poros de forma nica. Conocido cualquiera de ellos se determina inmediatamente el otro:

n e1

e

La definicin del ndice plstico es IP = wL - wP (es decir, diferencia entre humedad en el lmite lquido y humedad en el lmite plstico). Por ello, wL = IP + wP = 40% + 75% =115%. Se conoce s y wL y se desea calcular eL. Se precisa en este caso de una variable adicional, por lo que puede suponerse que en el lmite lquido, al ser el contenido de agua muy alto, el suelo est saturado. De la expresin que relaciona ndice de poros con humedad y grado de saturacin (Problema 2) resulta:e

Vh Vs

s w S r w

2.65 1.15 3.05 1.0 1.0

Por ltimo, a partir de la relacin entre porosidad e ndice de poros se obtiene:nL

3.05 0.75 1 L 13.05 ____________________________________________

eL e



#

PROBLEMA 4.

Se dispone en el laboratorio de una muestra de 60 mm de dimetro y 25 mm de altura, con un peso de 80 gr. La humedad de la muestra es del 14%. Determinar el grado de saturacin, el peso especfico seco, el peso especfico natural, el peso especfico saturado y el peso especfico sumergido (s = 2.7 gr/cm3).

Figura 4.1 Diagrama unitario Con los datos del problema, deben calcularse: Sr , natural, es preciso conocer el volumen total:Vt

d , n , sat y sum. Para determinar el peso especfico

*

D

4

2h

*

6 2.5 70.686 cm 42 3

3

y aplicando la definicin de peso especfico natural:

n

Wt Vt

80 70.686 1.13 gr/cm

Vt

Directamente de las definiciones, o bien del diagrama unitario (Fig. 4.1), se puede obtener:

n

Wt Vt

Ww Ws

w e S r s e

1

donde se ha usado Wt= Ww+Ws= e Sr M+ I y Vt=1+e, que son los pesos y volmenes en el caso en que Vs=1 (ver diagrama unitario, Fig. 4.1). Introduciendo la relacin obtenida en el Problema 2 resulta:

n

w

1

sse

s w e

1 1

De la ltima expresin obtenida es posible despejar el ndice de poros en funcin de la humedad y el peso especfico natural:


$


e

s w n

(1 ) 1

Sustituyendo los valores correspondientes a este problema se obtiene:

e

2.7 1.13 (10.14) 1 1.72

w

Por ltimo, el grado de saturacin puede obtenerse como:Sr

s e w

0.14 2.7 0.22 1.72 1d = W s / V ty de los valores

El clculo del peso especfico seco (d ) se realiza a partir de su definicin, en el diagrama unitario de Ws = s y de Vt = 1+e (Fig. 4.1):

d Al sustituir por los valores del problema resulta:

1

s e3

d

2.7 gr/cm 0.99 gr/cm 11.72sat sw e e

3

Por otro lado, el peso especfico saturado (sat) puede obtenerse como un caso particular para suelo saturado, es decir:

1

Es decir, basta tomar Sr = 1 en la definicin de

sat

2.7 gr/cm 1 gr/cm 1.72 1.62 gr/cm 11.723 3

n. Substituyendo con los valores del problema resulta:3

Asimismo, para el peso especfico sumergido, sum, de su definicin, sum = sat -w = 1.62 - 1 = 0.62 gr/cm!; o bien, substituyendo sat en la definicin de sum por su valor en funcin e:

sum De la que se obtiene finalmente:

s w e w s w e e

1

1

2.71 11.72 0.62 gr/cm ____________________________________________sum 3 los autores, 1998; Edicions UPC, 1998.


%

PROBLEMA 5.

Calcular el peso especfico sumergido de las muestras saturadas siguientes(s=2.7 gr/cm3): a) suelo con una densidad seca de 1.75 t/m3; b) suelo con una porosidad de 0.53 ; c) suelo con un ndice de poros de 1.43 .De su propia definicin, sum, es el peso especfico que aparenta tener el suelo cuando se encuentra sumergido en agua. Segn el principio de Arqumedes, un cuerpo sumergido en un lquido recibe un empuje vertical hacia arriba igual al peso del volumen del lquido desalojado, es decir:W sum

Wt Ww sat

Vt

w Vt sat w

(

)

Vt

Por tanto, el peso especfico sumergido puede obtenerse como:

sum

W sum Vt

satw

De los problemas anteriormente resueltos, resultan las siguientes expresiones que permiten el clculo del peso especfico sumergido en funcin del ndice de poros, la porosidad la densidad seca:

e n n1

d

s e sat s w 1e 1 e

Para los datos de este problema resulta:

a)

s 1 db)

2.7 1.75

1 0.54

sat

2.7

0.54 2.1 t/m! 10.54

sum 2.1 1 1.1 t/

ec)

1

0.53

0.53

1.125sat

sat

2.7

1.125 1.8 t/m! 11.125

sum 1.8 1 0.8 t/m!

2.7

1.43 1.7 t/m! 11.43

sum 1.7 1 0.7 t/m!

____________________________________________

PROBLEMA 6.

Encontrar una expresin que relacione la densidad seca de un suelo con su grado de saturacin, su humedad natural y el peso especfico de las partculas slidas. Para un suelo con un peso especfico de las partculas slidas de 2.7 gr/cm3 dibujar en un plano (w, d) las curvas que se obtienen para grados de saturacin del 20, 60, 80 y 100%.


&


Se pretende obtener una expresin que relacione d con Sr , w , s . La definicin de peso especfico seco es: d = Ws / Vt . Las definiciones de los parmetros que se conocen, humedad, grado de saturacin y peso especfico del slido, son:

w

Ww Ws

Vw

w V ss

Sr

Vw Vh

s

Ws Vs

Combinando estas relaciones con la definicin de peso especfico seco se podr obtener la expresin que las relaciona entre s. La definicin de peso especfico seco se puede escribir como:

d

Ws Vt

Ws Vh Vs

Por otro lado, la definicin de peso especfico de las partculas slidas permite sustituir el peso de slido:

d

sVs V hV s

y si se introduce la definicin de grado de saturacin para eliminar Vh resulta:

d

sVs V w S rV s

/

Finalmente, la definicin de humedad conduce a la siguiente expresin:

d

(S

sVs wV ss S rw V s

)/( )

y, dado que Vs aparece en todos los trminos, puede eliminarse dando lugar a:

d

( s)/( rw)1w

s

s S r w w s S r w

que es la expresin pedida en el enunciado. Fijando

d

2.7 12.7 / rw S

s= 2.7 gr/cm!, se obtendr:

Se pide dibujar curvas d = d(w), fijando diversos valores de Sr (0.2, 0.6, 0.8, 1.0). Antes de obtener dichas curvas, se puede analizar cmo vara d con w, si Sr y s se mantienen fijos:d

d

dw

2.7 / r 1 2.7 / r 2S w S

2

dado que tanto Sr como el denominador son positivos, se tiene que la derivada es negativa para cualquier valor de Sr y w, es decir, d vara de forma montona decreciente con w, si Sr y s se mantinen fijos. En la figura 6.1 se muestra la forma de la expresin d = d(w) para diferentes grados de saturacin.



'

Figura 6.1 Curvas

d - w para s constante y Sr variable

Estas curvas son de inters en el contexto de la compactacin de suelos. Debe notarse que una vez fijado el grado de saturacin y la humedad del suelo, existe una nica densidad seca y, por tanto, un nico ndice de poros compatible con esos dos valores. De hecho, fijado el grado de saturacin, cuando la humedad tiende a cero, el ndice de poros tambin tiende a cero. El caso lmite con ndice de poros igual a cero es inconsistente con el hecho de que el grado de saturacin no se anule. Por otro lado, al aumentar la humedad, si el grado de saturacin es bajo, el ndice de poros aumenta hacia valores muy altos, poco probables en suelos. Por ltimo, desde un punto de vista experimental, es mucho ms fcil asegurar que la humedad se mantiene constante y el grado de saturacin va variando al variar la densidad seca.

____________________________________________PROBLEMA 7.

Con la relacin entre s, Sr, w y d obtenida en el problema anterior, dibujar el haz de curvas para unos pesos especficos de las partculas slidas de 2.2, 2.6, 2.65, 2.7 y 2.75 gr/cm3 y un grado de saturacin de la unidad.La expresin obtenida en el problema anterior es :

d

s S r w w s S r w s s w

En este problema se fija Sr = 1, por lo que queda:

d en la que se ha tomado

1

w = 1 gr/cm! y, por tanto, debe utilizarse s en gr/cm!.



Se desea dibujar las curvas d = d (w) para varios valores de s (en este caso: 2.2, 2.6, 2.65, 2.7 y 2.75 gr/cm!). En el Problema 6 se ha visto que d decrece montonamente con w cuando Sr y s son fijos. En la figura 7.1 se representa grficamente esta relacin para diferentes valores de s.

Figura 7.1 Curvas

d - w para Sr = 1 y s variable

____________________________________________

PROBLEMA 8.

Se dispone de un suelo seco que ocupa un molde de 60 mm de dimetro y 150 mm de altura. El peso del suelo es de 950 gr. Con el fin de comprobar la distribucin de los poros, stos se llenan completamente con mercurio. Cunto pesar el suelo en estas condiciones?. Datos: s = 2.45 gr/cm3, Hg = 13.6 gr/cm3.El volumen que ocupa el suelo es:Vt

2 *D h *

4

6 4 15 424.11 cm2

3

El peso inicial total es el peso de las partculas slidas, pues el suelo est seco (Ww = 0, w = 0) mientras que en la situacin final, todos los huecos estn llenos de mercurio. Con el suelo saturado de mercurio, se cumplir la relacin: Wt = Ws + WHg. El peso de mercurio que ocupa los poros es WHg = VHg Hg donde VHg = Vh . Por tanto, el peso del suelo saturado con mercurio se obtendr como:



Vs

Wss

950 gr 2.45 gr/cm

!

387.76 cm!!

VhVtVs Wt

424.11

387.7636.35 cm!

WHg

36.35 cm 13.6 gr/cm

!

494.36 gr

950

494.361444.36 gr

Figura 8.1 Diagrama unitario

________________________________________PROBLEMA 9.

Un suelo natural tiene una humedad en el lmite lquido de 40% y una humedad en el lmite plstico de 30%. Determinar su ndice de plasticidad, su ndice de consistencia y su ndice de fluidez sabiendo que tiene una humedad natural del 20%.Se trata, simplemente, de aplicar las definiciones. La de ndice de plasticidad es:IP

wl wP

40 30 10 %

Como indicador de la plasticidad de un suelo, este ndice tender a ser alto en suelos arcillosos, y bajo en suelos granulares. Valores elevados de IP (gran diferencia entre wL , wP ) indican que el suelo admite gran cantidad de agua para pasar del lmite plstico al lmite lquido. Por otro lado, la definicin de ndice de consistencia es:IC

wL

w

IP

40 20 2 10



e indica si el suelo se encuentra ms o menos alejado del lmite lquido. Al alejarse del mismo el suelo va ganando consistencia (IC = 0 cuando w = wL , mientras que IC = 1 cuando w = wP). Por ltimo, el ndice de fluidez se define como:IF

w

wPIP

20 30 1 10

y, en este caso, se calcula con respecto a la humedad en el lmite plstico (IF = 1 cuando w = wL, mientras que IF = 0 cuando w = wP). Como se puede observar, IC + IF = 1.

______________________________________PROBLEMA 10.

Se preparan en el laboratorio 1000 gr de suelo mezclando 700 gr de arena (s = 2.8 t/m3) y 0.300 l de agua. Cul es la mxima densidad seca que puede obtenerse con este suelo? Qu volumen ocupara este suelo si su grado de saturacin fuese 0.5?En el suelo obtenido se tendr que Ws = 700 gr y Ww = 300 gr. Para calcular la mxima densidad seca, basta aplicar su definicin:

d ,

d

Ws Vt

Puesto que peso de slido (Ws = 700 gr) est fijo, d ser mximo cuando Vt sea mnimo. Dicho volumen total es:Vt

Vh Vs Va Vw Vs

y ser mnimo cuando lo sea el volumen de aire (Va), es decir, cuando el suelo se encuentre saturado. En esta situacin, el volumen de suelo ser:Vt

Vs Vw

Ws

s

Ww

w

700 300 250 300 550 cm 2.8 1.0

3

que se utiliza para calcular la mxima densidad seca:

(d)

max

( t)Sr

Ws

V min

700 1.27 gr/cm 550Vh

3

Si se toma Sr = 0.5 la densidad seca ser menor. A partir de la definicin de Sr , resulta:

Vw Vh

Vw Sr

Finalmente se calcula la densidad seca correspondiente a dicho grado de saturacin:



!

Vh

300 600 cm 0.5

3

Vt

VsVh

250600 850 cm3

3

d

700 0.82 gr/cm 850

______________________________________PROBLEMA 11.

Un suelo granular con granulometra uniforme, tiene un ndice de poros eg , un peso especfico sg y una humedad wg . Este suelo se mezcla con arcilla en una fraccin en peso C. El peso especfico de las partculas slidas de la arcilla es sc. Estimar la fraccin crtica Ccrit necesaria para que las partculas de la matriz granular dejen de estar en contacto.Con objeto de que las partculas de la matriz granular se mantengan en contacto, es decir, la estructura del esqueleto granular no se modifique, se supone que el volumen del aire Va se rellenar de arcilla y se mantendr la misma cantidad de agua en el suelo. Lgicamente, este proceso es ideal, y en realidad se preparara el suelo mezclando la fraccin granular hmeda con la fraccin arcillosa, supuesta sin agua. Las proporciones se encuentran indicadas en la figura 11.1.

Figura 11.1 Proporcin de cada suelo en la mezcla

Si se designa como Wsc al peso de las partculas arcillosas en el suelo y como Wsg el peso de las partculas granulares (peso que se mantiene constante), se tiene que la fraccin en peso de suelo arcilloso ser:


"


C crit

( sc)crit 1 ( sc)crit sg 1 sg ( sc)critW W W W W

donde se ha sealado como crtica para indicar que se desea obtener la cantidad que debe aadirse para no modificar la estructura del esqueleto granular. El volmen ocupado por la arcilla ser:V sc

W sc

sc

La humedad y el ndice de poros referidos al estado inicial del suelo son:wg

Ww W sg

eg

Vh V sg

Vh W sg

/sg

sgeg

El volumen de aire en el suelo puede expresarse en funcin de dichas variables:

Va

VhVw eg

W sg

sg

Ww

w

eg

W sg

sg

w g W sg

w

wg

w

W sg

Finalmente basta con imponer que Va=Vsc , o sea, que el volumen de aire sea ocupado por arcilla:

( sc)crit W

sc

sg

eg

wg

w

W sg

que al ser sustituido en la fraccin en peso da lugar a:

C crit

scWsg scWsgeg

sg

eg

wg

wg

w

sc sc

sg sgeg

eg

wg

w

sg

w

Wsg

wg

w

1

Debe notarse que esta fraccin en peso est expresada en funcin del ndice de poros y humedad referidas al estado inicial del suelo, y que una vez aadida la fraccin arcillosa ambas variables adoptarn valores diferentes. ______________________________________

PROBLEMA 12.

Se dispone de un suelo tipo A y de otro tipo B. Se toman 10 kg del suelo tipo A y se mezclan con 30 kg del suelo tipo B. Las granulometras de los suelos A y B se indican en la tabla siguiente. Obtener y



#

representar grficamente la granulometra de la mezcla resultante. Determinar sus coeficientes de uniformidad y curvatura.

N tamiz(mm) 50 38 19 9.5 4.75 2 0.425 0.15 0.075 0.040 0.020 0.005 0.002

% que pasa suelo A 100 70 50 30 20 15 10 5 4 3 2 1 0

% que pasa suelo B

100 80 60 50 40 30 20 10

Si se toma un peso WA de un suelo A con granulometra GA , y se mezcla con un peso WB de un suelo B con granulometra GB , la granulometra de la mezcla GM puede obtenerse como:GM

CA GA CB GB

donde CA y CB son las fracciones en peso de cada suelo definidas como:CA

WA WA

WB

CB

WB WA

WB

En efecto, ya que el % que pasa por cada tamiz, se obtendr como:W AG A

GM

(% que pasa por un tamiz )

WBGB CAGA CBGB WA WB

Las fracciones en peso que corresponden a los datos de este problema son:


$


CA

WA WA WB

10 0.25 40

CB

WB WA WB

30 0.75 40

A continuacin se tabula la granulometra de la mezcla, que se representa grficamente en la figura 12.1.

N Tamiz50mm 38mm 19mm 9.5mm 4.75mm 2mm 0.425mm 0.15mm 0.075mm 40m 20m 5m 2m

% Pasa) 100 70 50 30 20 15 10 5 4 3 2 1 0

% Pasa*

% Pasa mezcla 100 92.5 87.5 82.5 80

100 80 60 50 40 30 20 10

78.75 62.5 46.25 38.5 30.75 23 15.25 7.5

En el suelo tipo A, el 5% pasa por el tamiz #200 (0.074 mm de abertura) y ms del 50% pasa por el tamiz #4 (5 mm de abertura), por lo que se trata de un suelo tipo grava. Sus coeficientes de curvatura y uniformidad son:

(9.5) 26 ( c)A ( ( ) ( ) ) _ 0.42 26 _ 8 ( u)A (( )) _ 0.42 _ 61.9 (0.02) 0.15 ( c)B ( ( ) ( ) ) _ 0.002 0.15 _ 1.33 ( u)B (( )) _ 0.002 _ 75C D30

2

2

D10

D60

C

D60

C

D30

2

D10

2

D10

D60

C

D60

D10

En el suelo tipo B, el 50% pasa por el tamiz #200 y el 100% pasa por el tamiz #4, por lo que se trata de un suelo de grano fino. En la mezcla fabricada menos del 50% (38.5%) pasa por el tamiz # 200, por lo que se trata de un suelo de grano grueso. Asimismo, ms del 12% pasa por el tamiz #200 y ms del 50% (aproximadamente el 80% corresponde a 4.75 mm) pasa por el tamiz #4, por lo que se trata de un suelo SC o SM.



%

Los coeficientes de curvatura y uniformidad de la mezcla de ambos suelos son:

(0.04) 0.42 ( c)M _ 0.42 0.002 _ 1.9 ( u)M _ 0.002 _ 2102C C

Como puede observarse en estos resultados, el suelo resultante tiene un coeficiente de uniformidad mucho mayor que los suelos originales, lo que indica que se ha conseguido una mejor graduacin en la mezcla. Por lo que respecta a curvatura, el suelo mezcla es ms parecido al suelo B, que parece dominar en esta propiedad.

Figura 12.1 Curvas granulomtricas se los suelos A, B y mezcla A+B

___________________________________

PROBLEMA 13.

Se dispone de un suelo limo-arcilloso en el que todas las partculas pasan por el tamiz #200 (0.075 mm). Con el fin de determinar su granulometra se procede a realizar un ensayo de sedimentacin. Para ello se dispone de un bao termoesttico a 20o; se utilizan 50 gr de suelo mezclados con 1000 ml de agua; y se toman muestras de 10 ml para diferentes tiempos a una profundidad de 10 cm, para la que se obtienen los valores de la tabla siguiente. Dibujar la curva granulomtrica del suelo.


&


Muestra 1 2 3 4 5 6

Tiempo 30 seg 3 min 10 min 30 min 2h 8h

Peso suelo seco (gr) 0.45 0.40 0.30 0.25 0.20 0.15

Al medir el contenido de suelo en una suspensin en agua del mismo, se observa que dicho contenido disminuye al aumentar el tiempo de toma de la muestra. Esta disminucin se debe a que las partculas de tamao mayor descienden ms rpidamente que las de tamao menor y, por tanto, en cada tiempo de medida sucesivo hay tamaos mayores que van desapareciendo. A partir de la velocidad de descenso de partculas de dimetro D en el seno de un fluido es posible estimar la granulometra de un suelo de partculas finas. La frmula de Stokes permite obtener la velocidad terica de descenso de una partcula esfrica en el seno de un fluido:

v

s w

18

D

2

D

v sw

18

Si se dispone de una altura h, y una partcula desciende a una velocidad v, entonces en un tiempo t =h/v habr recorrido dicha altura. Por lo tanto, todas las partculas en suspensin en el interior de un recipiente de dicha altura, que desciendan a velocidad v habrn sedimentado. Puesto que la velocidad es una funcin del dimetro (segn la frmula de Stokes), se puede asegurar que al cabo de un cierto tiempo ya no quedan partculas de tamao superior al dimetro dado para dicha velocidad. En este problema h = 10 cm y los tiempos se dan en forma tabulada. Sustituyendo este valor juntamente con el de la viscosidad del agua, = 0.001 Pa.s, se tiene que el dimetro umbral en funcin del tiempo viene dado en este caso por:D

0.33t

donde el tiempo t se expresa en segundos y el dimetro D en mm. El porcentaje que pasa por un tamiz puede estimarse como la cantidad relativa de suelo que queda en suspensin para un determinado tiempo que, tal como se ha visto, se relaciona con un dimetro. Este porcentaje que pasa podr, por tanto, evaluarse como (ct/c0)x100, siendo ct=Wt / Vt la concentracin en la muestra extrada, Wt el peso de suelo extrado en cada tiempo ( 0.45, 0.40, 0.30...0.15 gr) y Vt = 10 ml el volumen extrado, constante en cada extraccin. La concentracin inicial de la muestra es:



'

co

50 gr 0.05 gr/ml 1000 mlW Wt

y por tanto:

t % que pasa 10 0.05 100 200

donde Wt se expresa en este caso en gramos. A partir de los datos del problema se obtiene la tabla de tiempos, dimetros y % que pasa por dicho dimetro:

t

(seg) 30 180 600

D

(mm)

%pasa 90 80 60 50 40 30

0.06 0.024 0.013 0.0078 0.0039 0.0019

1800 7200 28600

que corresponde a la curva granulomtrica de la figura 13.1.

Figura 13.1 Curva granulomtrica ____________________________________________


!PROBLEMA 14.


Se tienen una serie de suelos con los siguientes lmites de Atterberg: wL1 = 60%; wP1 = 25%; wL2 = 40%; wP2 = 20%; wL3 = 15%; wP3 = 10%. Se pide compararlos en una grfica de Casagrande y clasificarlos. Suelo 1: wL1 = 60% ywP1

= 25% , por tanto: IP = 60% - 25% = 35%

Estos valores se encuentran en la zona central de la grfica de Casagrade, aproximadamente sobre la lnea "A". Se trata de un suelo tipo CH, es decir, una arcilla de alta plasticidad.

Suelo 2: wL2 = 40% y wP2 = 20%, por tanto: IP = 40% - 20% = 20%Se trata en este caso de un suelo tipo

CL, es decir, arcilla de baja plasticidad.

Suelo 3: wL3 = 15% y wP3 = 10%, y por tanto: IP = 15% - 5 % = 5%Estos valores se encuentran en la zona del grfico en el que coexisten suelos limosos y arcillosos de baja plasticidad (CL-ML) . ____________________________________


Tensiones y deformaciones. Tensin efectiva

!

Captulo 2. Tensiones y deformaciones. Tensin efectivaPROBLEMA 15.

En un plano que forma un ngulo de 30 de 6 kp/cm

o

con la horizontal, un suelo est sometido a una tensin normal

2

y a una tensin de corte de 2.83 kp/cm . En el plano perpendicular al anterior, la tensin

2

normal tiene un valor de 4 kp/cm . Determinar las tensiones principales

2

F1 F3y

, y la mxima tensin de 0btener,

corte que se produce en el suelo, as como las direcciones de los planos correspondientes. asimismo, el estado tensional en un plano que forma un ngulo de 20 corte.

o

con el de mxima tensin de

Figura 15.1 Crculo de Mohr, polo y direcciones principales

En primer lugar se representan los datos disponibles en forma de crculo de Mohr (Fig. 15.1). El

A

en dicho crculo representa la tensin

normal y la tensin tangencial (

30

o

Fn1, J13

punto

) sobre un plano que forma

con la horizontal.

En un plano perpendicular al mismo, la tensin normal y tangencial (

Fn3, J31

) se


!representan en un punto diametralmente opuesto al puntos ( A,


A

y que se denomina

B

en dicha figura. Estos dos

B)

definen el crculo de Mohr. La orientacin del plano en el que actan ( del crculo de Mohr.

Fn1, J13

) permite

situar el polo

P

Las tensiones normal y tangencial en dos planos perpendiculares permiten tambin obtener el centro y el radio de dicho crculo de Mohr:

s

Fn1Fn32

64 5 kp/cm 2 (centro)2

t

(F1Fn1) J2 132

(6

5)22.832 3 kp/cm 2 (radio)

Asimismo, se obtienen la tensin mxima y las tensiones principales:

Jmaxt3 kp/cm 2 F1st8 kp/cm 2 F3st2 kp/cm 2Una forma de resolver el problema y determinar las variables que se piden en el enunciado es hacerlo mediante la resolucin de tringulos rectngulos. En primer lugar, se determinan los valores de las

tensiones normal y de corte en el polo

P

(

Fp Jpy

) que sern tiles para los clculos posteriores. stas se

obtienen resolviendo dos tringulos rectngulos (Fig 15.1):

Tringulo AA'P:

tg 30

0

J13Jp Fn1Fp

tg 30

0

2.83

Jp 6F p Jp 4F p

Tringulo BB'P:

tg 60

0

J31Jp Fn3Fp

tg 60

0

2.83

Basta resolver estas dos ecuaciones con dos incgnitas

para obtener:

Fp 2.05 kp/cm 2tringulo rectngulo cuyos vrtices son puntos

Jp 0.55 kp/cm 2 "1 "3,y o bien,

Los ngulos que definen las direcciones principales (

"1' "3'y

) son los ngulos del

F1

y

F3

). Los ngulos

"1'

y

"3'

P

y los puntos de interseccin del crculo con el eje (es decir, los

pueden obtenerse como:

tg

"1

Jp 0.55 F1Fp 82.05

"15.30 y "390"184.70

que con respecto a la vertical son:

"184.7Para obtener la orientacin del plano en el que acta resolver el tringulo PD'D y obtener

"3174.7 Jmax(direccin dada por PD en la figura 15.2) basta

$

(ngulo con respecto a la horizontal):

tg

$

JmaxJp 3 0.55 5 2.05 s F p

$39.70



!!

Figura 15.2 Crculo de Mohr, mxima tensin de corte y estado tensional en plano que forma 20

o

con la direccin de mximo corte

Para obtener las tensiones normal y tangencial en el punto C, se resuelve el tringulo PC'C, es decir:

tg (

$20)

JcJp Jc 0.55 FcFp F 2.05

Pero dado que se tienen dos incgnitas hay que buscar otra relacin, que en este caso se puede plantear a partir de los tringulo PEC y PC'C:

FcFp 2 t cos(2"1$20) cos(20$)

y sustituyendo en la anterior, resulta

Fc 3.07 kp/cm 2

Jc

= 2.3 kp/cm .

2

______________________________________

PROBLEMA 16.

En un punto de una arena compacta actan unas tensiones plano vertical, y

Fn3

=5.0 kp/cm

2

(

Fv

Fn1

=7.0 kp/cm

2

(

Fh

) y

J13

=2.2 kp/cm

2

en un

) en un plano horizontal. Este estado tensional sufre sucesivamente

las siguientes modificaciones:

a) reduccin de b) aumento de

c) reduccin de d) aumento de

J13 Fn1 J31 Fv

hasta 0.0 kp/cm ;

2

hasta 8.42 kp/cm

2

y disminucin de

hasta -2.0 kp/cm ;

2

Fn3

hasta 3.58 kp/cm ;

2

hasta 8.42 kp/cm

2

y reduccin de

Fh

hasta 3.58 kp/cm ;

2


!"e) aumento de


f) reduccin de

Fn1 Fn3

hasta 10. 0 kp/cm

2 2

y de

Fn3

hasta 5.16 kp/cm ;

2

hasta 4.58 kp/cm ;

g) aumento indefinido de

Fn1

.

Representar en los planos (

F1-F3

), (s-t) y (p-q) (

F2 =F3

) la trayectoria tensional correspondiente, as como

los crculos de Mohr del estado inicial y de los sucesivos estados finales indicados y de sus polos. Es idntico el estado tensional al final del apartado b) al inicial del suelo? Y los estados tensionales al final de los apartados c) y d)?. Si se hace la hiptesis de que el suelo llega a rotura cuando

J>

0.735

Fn

en algn plano, se llega a rotura en la trayectoria indicada? Cundo? En qu plano se produce?

En el estado inicial dado en el enunciado de este problema se tienen los siguientes valores de las variables tensionales del espacio de Lambe, tensiones principales y espacio de Cambridge (Fig. 16.1):

s

Fn1Fn32

75 6 kp/cm 22 (7

(centro)

t

(Fn1s)2J2 13

6)22.22 2.42 kp/cm 2

(radio)

F1 st 8.42 kp/cm 2p

F3 st 3.58 kp/cm 2q

1/3 (F12 F3) 5.2 kp/cm 2J13hasta 0.0 kp/cm

F1F3 2 Jmax 4.84 kp/cm 2

Situacin a). Reduccin de

2

(Fig. 16.2):

Fn1F17 kp/cm 2 Fn3F35 kp/cm 2s

puesto que

J13 J31 0

F1F32

75 6 kp/cm 22 q

(centro)

t

F1F32

75 1 kp/cm 22

(radio)

p

5.19 kp/cm 2F n1

2 kp/cm 22y disminucin de

Situacin b). Aumento de

hasta 8.42 kp/cm

F n3

hasta 3.58 kp/cm

2

(Fig. 16.3):

F18.42kp/cm 2s

F33.58kp/cm 2

puesto que

J13 J31 0

F1F32

8.423.52 6 kp/cm 22 q

t

F1F32

8.42

3.52 2.45 kp/cm 22

p

5.19 kp/cm 2J31

4.9 kp/cm 22

Situacin c). Reduccin de

hasta -2.0 kp/cm

(Fig. 16.4):



!#

s

Fn1Fn32

6 kp/cm 2

t

(Fn1s)2J2 13

(8.42

6)222 3.14 kp/cm 2

F1 st 9.14 kp/cm 2p

F3 st 2.86 kp/cm 2

4.95 kp/cm 2Fv

q

6.28 kp/cm 22y reduccin de

Situacin d). Aumento de

hasta 8.42 kp/cm

Fh

hasta 3.58 kp/cm

2

(Fig 16.5):

s

Fn1Fn32

6 kp/cm 2

t

(Fn1s)2J2 3.14 kp/cm 2 13

F1 st 9.14 kp/cm 2p

F3 st 2.86 kp/cm 2

4.95 kp/cm 2

q

6.28 kp/cm 2

Situacin e). Aumento de

F n1

hasta 10.0 kp/cm

2

y de

Fn3

hasta 5.16 kp/cm

2

(Fig. 16.6):

s

105.16 7.58 kp/cm 22

t

(10

7.58)222 3.14 kp/cm 2

F1 st 10.72 kp/cm 2p

F3 st 4.44 kp/cm 2

6.53 kp/cm 2

q

6.28 kp/cm 2

Situacin f). Reduccin de

Fn3

hasta 4.58 kp/cm

2

(Fig. 16.7):

s

104.58 7.29 kp/cm 22

t

(10

7.29)222 3.37 kp/cm 2

F1 st 10.66 kp/cm 2p

F3 st 3.92 kp/cm 2

6.17 kp/cm 2

q

6.74 kp/cm 2


!$


Figura 16.1 Crculo de Mohr correspondiente al estado inicial de tensiones

Figura 16.2 Crculo de Mohr en la

Situacin a)


Situacin b)



!%


Situacin c)


Situacin d)


Situacin e).


!&Situacin g). Aumento indefinido de


Fn1

.

Un aumento de tensin indefinido llevar al suelo a un estado de rotura. Este estado se alcanza, segn el enunciado, al cumplirse la relacin

J

= 0.735

Fn

.

En el caso planteado, es razonable suponer que mantiene fijo, es decir, tal como estaba en la

el estado tensional en el plano ortogonal (

Fn3 J31,

) se

Situacin f),

y asimismo tambin es razonable mantener

fijo. En la figura 16.7 se observa que al ir aumentando la tensin estado crculo tensional corresponda al crculo

Fn1

J13

se producir la rotura cuando el

e r,

es decir, se alcance la tangencia a la recta

J

= 0.735

Fn

. El

e'r,

que corresponde a un estado en rotura arbitrario, se utiliza auxiliarmente para determinar la

solucin. Puesto que los crculos de Mohr en rotura son tangentes a una recta y tienen el centro en otra, son homotticos (las distancias desde cualquier par de puntos alineados con la rectas a dicha interseccin mantienen una misma proporcin). interseccin de las dos

Como

se

ha

dicho,

mantenimiento de

Fn3 J31 J13, y

se

llegar

a

rotura

cuando,

con

las

condiciones

establecidas

(aumento

fijos) se obtenga un crculo de Mohr tangente a dicha recta,

Una vez alcanzado el crculo

er

si se aumentase

Fn1

J

de

= 0.735

Fn1 Fn,

y .

, se obtendra un crculo secante a la recta de rotura

y existiran puntos por encima de la misma. Por lo tanto, existiran planos con un estado tensional ( no aceptable para el suelo.

Fn J,

)

Para

comprobar que en ningn estado anterior del suelo se ha alcanzado la rotura, se ha dibujado la

condicin de rotura (

J

= 0.735

Fn

) en todas las figuras (16.1 a 16.6). Como puede observarse, en niguno

de los estados tensionales anteriores hay rotura ya que todos los crculos de Mohr estn por debajo de la recta

J

= 0.735

Fn

.

El

estado

tensional

correspondiente

al

crculo

de

Mohr

en

rotura

se

puede

calcular

mediante

una

homotecia entre el crculo de Mohr en rotura (e ) y otro auxiliar (e' ) situado en cualquier posicin. El

r

r

crculo de Mohr auxiliar

e'r

se ha dibujado tomando como centro

s'

= 2.8 kp/cm , por lo que se tiene:

2

t'

s' sin N 2.8 sin 36.310 1.66 kp/cm 2Jn arctg 0.735 36.31o Fn

donde el ngulo se ha obtenido a partir de la pendiente de la recta de rotura, es decir:

N arctgY el ngulo:

* arctgcorresponde a la recta que une los puntos (

J31 arctg 2 23.6o Fn3 4.58 Fn3 J31 F n3 J 31, ) y (

'

,

'

) que son homotticos, es decir, alineados

con el origen de coordenadas. La razn de la homotecia

R

se define como:

R

J31 Fn3 J'31 F'n3 J'31hay que

o utilizando dos magnitudes homotticas cualquiera. Puesto que se desconoce el valor de buscar relaciones geomtricas en el crculo

e'r:



!'

(s'

F'n3)2 J31'2 t'2

J'31 tg * F'n3 J'31 0.54 kp/cm 2

F'n3 1.23 kp/cm 2y por tanto la razon de la homotecia es:

R

J31 J'31

2 0.54

3.7

A partir de lo anterior puede obtenerse cualquier otra variable del crculo de Mohr en rotura. Para ello basta multiplicar los valores obtenidos en el crculo

e'r

por la razn

R:

s

s'

R

2.8R

3.7

10.3R

t

t'

R

6.1 kp/cm 2

F 1 F'1 F 3 F'3

(s't') (s't')

(2.8 1.66) 3.7 16.4 kp/cm 2 (2.81.66) 3.7 4.2 kp/cm 2J r (J)'r

R

R

En el plano donde se produce la rotura se tiene el estado tensional como:

(

Fn)r (Fn)'r

R

( )

R

Para encontrar los valores de es decir:

Fn' J'ry

basta resolver el tringulo origen-punto de tangencia-centro (0r's

r'),

(

Fn)'r Jn)'r

s'

2 2

t'2 cos N 2.25 cos (36.31) 1.82 t'2 sin N 2.25 sin (36.31) 1.33

(

s'

y en el crculo real en rotura, las tensiones normal y tangencial son:

(

Fn)r 1.82 3.7 6.7 kp/cm 2 J r 1.33 3.7 4.9 kp/cm 2

( )

Por ltimo, los parmetros

p

y

q

en rotura son:

p

1 3

(

F1 2 F3)

1 3

(16.4

2 4.2) 8.27 kp/cm 2

q

F1 F3 16.4 4.2 12.2 kp/cm 2 10.3 kp/cm 2 6.1 kp/cm 2

En resumen, en rotura se han obtenido:

s

t

F1 16.4 kp/cm 2 F3 4.2 kp/cm 2p

8.27 kp/cm 2

q

12.2 kp/cm 2


"


En las figuras 16-8, 16-9 y 16-10 se representan respectivamente las trayectorias seguidas en los planos

F1 F 3-

,

s-t

y

p-q.

Figura 16.7 Crculos de Mohr en rotura

Figura 16.8 Trayectoria de tensiones en el plano

F1 F 3-



"

Figura16.9 Trayectoria de tensiones en el plano

s - t

Figura 16.10 Trayectoria de tensiones en el plano

p - q


"


El crculo de Mohr de un estado tensional viene definido por la posicin de su centro (

s)

y su radio ( ).

t

Pero no basta con esto para disponer de toda la informacin del estado tensional. Hay que crculo de Mohr.

orientar

el

Esta orientacin viene dada por la posicin del polo que permite asociar cada estado

tensional con un plano especfico. As, por ejemplo, los crculos de Mohr de los estados inicial y en la

Situacin b)

coinciden geomtricamente, al ser un mismo crculo (idnticos valores de

s

y

t

segn se

observa en la Fig. 16.9). Sin embargo, puede comprobarse que los estados tensionales son distintos.

Como puede observarse en las Figs. 16.1 y 16.3, a pesar de ser crculos iguales, tienen diferente posicin del polo. Si los polos coincidiesen, entonces los estados tensionales seran idnticos, pues para cualquier plano

"

definiran

en

l

un

mismo

estado

tensional.

Es

decir,

para

que

dos

crculos

de

Mohr

esten si no

asociados a un mismo estado tensional, no basta con que se superpongan (iguales valores de que deben tener asociado un mismo polo. Asimismo, en los estados

s

y

t),

c)

y

d)

se obtiene un mismo crculo

de Mohr y sin embargo se trata se estados tensionales distintos ya que tambin tienen distintos polos.

_________________________________________

PROBLEMA 17.Sobre dos planos perpendiculares actan unas tensiones cuyas componentes normales a los mismos son Fn1=7.0 kp/cm2 y Fn3 =3.0 kp/cm2 . Se sabe adems que el plano en que acta Fn3 forma 67.5o con el plano en que acta F1. Determinar J13, J31, F1, F3, s, t, p y q (F2=F3).Puesto que se dispone de

Fn

1

y

Fn

3

, se puede obtener la situacin del centro del crculo de Mohr (Fig.

17.1) que se calcula como:

s

Fn1 Fn22

5 kp/cm 2r

Sea

*

el plano sobre el que acta

Fn

3

. En principio no se conoce el valor de

sobre dicho plano definir un punto ( cierto valor de

J

Fn J3

J

31

, pero el estado tensional

,

31

) situado sobre la recta

(Fig. 17.1). Se puede suponer un

31

y una posicin del polo

el enunciado, es el formado por el plano

*

P

(Fig. 17.2). En dicha figura se indica el ngulo y el plano en el que acta

F

"

que, segn

1

.

Si el ngulo en una

"

es de 67.5 , el ngulo

o

$

debe ser

$

= 2

"

= 135

o

(el ngulo central que abarca un cierto arco

circunferencia es igual al doble de cualquier ngulo inscrito que abarque el mismo arco). Al

conocer este ngulo el problema queda resuelto. En efecto, si se traza la recta ngulo de 135 el planoo

s

(Fig. 17.3), que forma un

*

con la horizontal, el punto de interseccin entre

y, por tanto, se puede determinar

J

r

y

s

corresponde al estado tensional en

31

.

Una vez conocidos

s

y el punto (

Fn J3

,

31

) puede representarse el crculo de Mohr correspondiente a este

estado tensional. Sin embargo, no se tiene definido totalmente el estado tensional ya que no se puede orientar el crculo de Mohr, es decir, no se conoce la posicin del polo. De hecho resulta innecesario para la resolucin del problema tal como se ha propuesto.

Las tensiones de corte y radio del crculo de Mohr son:



"!

J13J31 2 kp/cm 2

t

(Fn1s)2J2 31

2

2

222.83 kp/cm 2F1

No se conoce cules son los planos principales (planos en los que actan de dichas tensiones principales:

y

F

3

), pero s los mdulos

F1 st 7.83 kp/cm 2 F3 st 2.17 kp/cm 2Y con estos valores se obtienen finalmente:

p

1 3

(

F12F3) 4.06 kp/cm 2

q

(F1F3) 5.66 kp/cm 2

Figura 17.1 Datos de partida del problema representados grficamente.

Figura 17.2 Situacin del polo P no conocida


""


Figura 17.3 Solucin del problema ______________________________________________

PROBLEMA 18.En la figura 18.1 se representa una carga repartida p sobre una banda indefinida de ancho 2b. El estado tensional generado (supuesto un comportamiento elstico) se puede definir por:

F = p (" + " ) / B F = p (" - " ) / B F =p (" + " ("+2*)) / B1

sin

3

sin

z

sin

cos

Figura 18.1 Esquema de la carga en faja

Se considera un punto (alternativamente P o P en la figura 18.1) bajo el borde de la banda y a una profundidad de 5 m. Suponiendo b=5 m y p=10 t/m :



"#

a) Obtener la direccin de las tensiones principales F F b) Determinar la magnitud y el sentido de la J asociada a F . c) Estimar el estado tensional "real" del punto P (F F F F y sus direcciones) si la banda indefinida anterior se ha aplicado sobre un terreno con (n=2 t/m! y Ko=0.6. d) Dibujar la trayectoria del polo P del crculo de Mohr al aplicar la banda indefinida.1

,

3

.

z

1

,

3

,

1

',

3

'

El primer paso para definir la direccin de orientar el crculo de Mohr. Se tienen las

F

1

y

F

3

es calcular su valor, as como el de tensiones segn la solucin

Fz

, para poder dada en el

siguientes

elstica

enunciado:

* 0

(P )

2

y

* "

(P )

1

tg

"

10 m 5 m

2

" 63.43o

sen(63.43) 6.37 t/m 2 B 1.107 sen (63.43) F3 10 0.68 t/m 2 B Fz 10 1.107 sen(63.43) cos(63.43) 4.80 t/m 2 BF1 101.107El centro y radio del crculo de Mohr se pueden calcular como:

s

F1F3 F1F32 2

6.37

0.68 3.525 t/m22

t

6.37

0.68 2.845 t/m 22

Figura 18.2 Crculo de Mohr del estado tensional debido a la carga en faja

Conocidos puntos

P

F

1

y

y

P

F

3

queda determinado el crculo de Mohr (Fig. 18.2). En dicha figura se sealan los

correspondientes a la vertical bajo el borde de la carga en faja. La tensin normal y

tangencial sobre un plano horizontal que pase por el punto

P

debe ser el punto

A

o el punto

B

indicados


"$P A


en el crculo de Mohr. Si contrario sera

se corresponde con

, entonces el polo del crculo de Mohr sera

P*

P)

, en caso

. Para discernir de cul de los dos se trata puede analizarse la Fig. 18.3 que muestra de

forma cualitativa cmo se orientarn las tensiones principales en puntos bajo lo extremos de la carga en faja. Puede verse que la tensin principal

F

3

ser ortogonal a

F

F

1

est orientada hacia la carga en faja mientras que la tensin

1

. Con esta visualizacin de las tensiones principales es fcil deducir que la posicin

del polo correspondiente a

P

es

P)

mientras que para

P

2

el polo es

P*

. Una vez que se conoce la posicin

del polo es inmediato determinar la tensin tangencial en un plano horizontal.

Una vez determinado el crculo de Mohr, es posible obtener la orientacin de los planos en los que actan las tensiones principales:

"1 arctg

J arctg F1Fy

2.54 6.37

2.25

31.65o

"A 9031.65 58.35o 1 "A 58.3590 148.35o 3Por otro lado, el tringulo

"B 9031.65 121.65o 1 "B 121.6590 211.65o 31.65o 3 Fz

y

AA'S

(Fig. 18.2) permite obtener la tensin de corte asociada a

, es decir, la

tensin tangencial sobre un plano horizontal:

( )

J z

t

2

(Fzs)2

2.845

2

(4.803.525)2 2.54 t/m 2B(Fig. 18.2) y por tanto la

En el punto

P

2

(Fig. 18.1), el estado tensional est definido por el punto

tensin de corte en un plano horizontal tiene igual magnitud pero signo opuesto,

J

z

= -2.54 t/m .

2

Con estos resultados queda definido el estado tensional causado por la carga en faja. Este estado tensional es el que se producira sobre un medio en ausencia de peso propio. Para completar el estado tensional total y calcular las tensiones efectivas debe aadirse al estado tensional causado por el peso propio de terreno y, en el caso de las tensiones efectivas, calcular la presin intersticial.

Figura 18.3 Orientacin aproximada de las direcciones principales



"%

La suma de los estados tensionales debe hacerse de forma que se tengan en cuenta tanto la magnitud como la orientacin de los mismos. El estado tensional asociado a un plano es una magnitud vectorial y, en general, tendr una componente normal (

Fn

) y una componente tangencial (

J

) al plano. El vector tensin

asociado a cualquier plano puede definirse en la base local. Dicha base local se compone de un vector unitario normal y un vector unitario tangencial,

n

y

t,

respectivamente.

La forma general de plantear la suma de dos estados tensionales consiste en definir dos planos calcular sobre cada uno de ellos las tensiones normales y tangenciales producidas por cada

" $,

y

estado

tensional, es decir:

( (y obtener las

Fn)1 Fn)2

( (

J)1 J)2

( (

Fn)1 Fn)2y

( (

J)1 J)2como suma en esos dos planos que puede realizarse

tensiones

normal

tangencial

directamente al ser las distintas componentes paralelas:

( (

Fn)3 (Fn)1 (Fn)2 Fn)3 (Fn)1 (Fn)2esta ) suma, se y ( ) ,(3 3

( (

J)3 (J)1 (J)2 J)3 (J)1 (J)2 " $y

Con (

Fn J

Fn

) ,(3

J

tendrn dos puntos del nuevo estado tensional y, por tanto, del crculo de Mohr: ) . Si los planos elegidos son ortogonales entre s, los puntos correspondientes en3

el crculo de Mohr sern diametralmente opuestos. Por simplicidad, se tomarn

de modo que los

planos correspondientes sean el horizontal y el vertical, aunque en realidad puede tomarse cualquier par de planos.

La tensin vertical (que acta sobre un plano horizontal) inducida por el peso del terreno para un punto situado a 5 m de profundidad es:

(

Fz)o (n h 2 5 10 t/m 2el terreno se encuentra saturado y con el nivel fretico en superficie la presin

Si

se

supone

que

intersticial correspondiente a ese mismo punto ser:

u

(w z 1 t/m 3 5 m 5 t/m 2(sat (n (sum (sat(w 21 1 t/m 3Koaplicable directamente como relacin

Para este suelo, el peso especfico sumergido ser:

En consecuencia, las tensiones efectivas y totales, considerando

entre tensiones efectivas horizontales y verticales, se obtendrn como:

F'z)0 (sum h 1 5 5 t/m 2 2 (F' ) K (F' ) 0.6 5 3 t/m h0 o z0 2 (F ) (F' ) u 35 8 t/m h0 h0 (J ) / 0 zh 0(En estos mismos planos (vertical y horizontal), el estado tensional inducido por la carga en faja es:

Fz)p 4.80 t/m 2 Fv 2 (J ) 2.54 t/m zh p 2 (F ) s(F s) 2sF 23.5254.80 2.25 t/m hp z z(


"&


Al disponer de las tensiones normales y tangenciales sobre los planos vertical y horizontal, el estado tensional inducido por ambas solicitaciones (carga en faja y peso propio del terreno) resulta como:

Fz)suma (Fz)0 (Fz)p 10 4.80 14.80 t/m 2 2 (F ) h suma (Fh)0 (Fh)p 8 2.25 10.25 t/m 2 (J ) zh suma (Jzh)0 (Jzh)p 0 2.54 2.54 t/m(y las tensiones efectivas:

Fz')suma (Fz)suma u 14.8 5 9.8 t/m 2 2 (F ') h suma (Fh)suma u 10.25 5 5.25 t/m(

Figura 18.4 Crculos de Mohr en tensiones totales

Figura 18.5 Crculos de Mohr en tensiones efectivas



"'

En las figuras 18.4 y 18.5 se han dibujado los crculos de Mohr asociados a cada uno de estos estados tensionales, tanto para cada uno de ellos por separado como para su suma. El centro y el radio del crculo de Mohr del estado tensional suma (tensiones totales) vienen dados por:

s

Fv Fh2

14.80

10.25 12.525 t/m 22

J2(Fzs)2 2.542(14.812.525)2 3.41 t/m 2 F1 s t 15.94 t/m 2 , F3 s t 9.12 t/m 2tY la orientacin de los planos en los que se produce la tensin principal mayor:

"1 arctg "A 69.5o 1s' y

Jn arctg F1 Fh "B 114.1o 1

2.54 15.94

10.25

24.1o

El centro, radio y tensiones principales para el estado suma (tensiones efectivas) vienen dados por:

s u 12.525 5 7.525 t/m 2

t'

t 3.41t/m 2

F'1 F1 u 10.94 t/m 2t

F'3 F3 u 4.12 t/m 2

Puede observarse que el radio ( ) del crculo en tensiones totales es idntico que el del crculo de Mohr en tensiones efectivas. Esto se debe a que las tensiones efectivas tangenciales son equivalentes a las totales y el valor de la presin intersticial no juega ningn papel.

_______________________________________

PROBLEMA 19.Sabiendo que en un cierto punto de un suelo la deformacin de corte mxima ((xy ) se produce en un plano vertical, y que en un plano que forma un ngulo " con la vertical se produce una deformacin gn, encontrar el valor de las deformaciones principales y en qu planos se producen (en funcin de (xy , gn y ").max max

Se supone conocido el crculo de Mohr en deformaciones (Fig. 19.1). Dado que la mxima deformacin de corte se produce en un plano vertical, es inmediato conocer el polo

P

(se realiza con respecto a planos,

pero si se toma con respecto a direcciones el resultado final es el mismo, aunque entonces el polo se encuentra en posicin diametralmente opuesta). Una vez conocido el polo es inmediato determinar en este caso que las deformaciones principales se producen en planos que forman ngulos de 45 vertical (o

g

1

forma - 45

o

y

g

con el plano

3

forma 45 ).

o

Conocido el polo se obtiene directamente el estado deformacional del plano que forma un ngulo la vertical (punto

A

en la figura 19.1). Se resuelve el tringulo

OAB

"

con

(utilizando que, para un mismo arco,

el ngulo central en una circunferencia es el doble del ngulo inscrito) y se obtiene la magnitud ello, y sabiendo que la deformacin normal en el punto crculo de Mohr, es decir:

A

es

gn

AB

. Con

, se determina la posicin del centro del


#


s

C

g1g32

gn

1 2

(

(xy)max

sin 2

"

Figura 19. 1 Crculo de Mohr en deformaciones

Adicionalmente, la mxima deformacin de corte (

xy

)

max

se relaciona con el radio del crculo de Mohr:

t

C

g1g32

1 2

(

(xy)max

Sumando las ecuaciones anteriores, se obtiene:

g1 gn

1 2

(

(xy)max (1sin 2")

y substituyendo en cualquiera de las anteriores resulta:

g3 gn

1 2

(

(xy)max (1sin 2")

_____________________________________

PROBLEMA 20En el terreno de la figura 20.1 se realizan las siguientes operaciones: a) colocacin de un terrapln de 2 m de altura y de grandes dimensiones que una vez compactado tiene una (n=2 t/m!; b) eliminacin del terrapln anterior; c) rebajamiento del nivel fretico en 1 m; d) excavacin de grandes dimensiones de 3 m de profundidad. Obtener, para los puntos de terreno no excavados, las leyes de tensiones verticales y horizontales (Fv

,



#

F Fv

y F ). Suponer que las presiones intersticiales son las definidas hidroestticamente por el nivel fretico en cada caso sin ninguna generacin adicional, y que en descargas y recargas dFh'/dFv'=0.1. Dibujar las trayectorias tensionales en los planos Fv',Fv - Fh',Fh), (s',s - t',t) y (p',p - q',q) (F F ) para el punto indicado en la figura 20.1.',h h

'

(

2

=

3

Figura 20.1 Geometra. Caractersticas del terreno y posicin del nivel fretico

En la situacin inicial (que se identificar como2

Situacin 0

) acta nicamente el peso propio del terreno

(unidades de tensiones: t/m ) y da lugar a las siguientes tensiones verticales (total y efectiva):

0 (

# z#4 Fv)0 (n z 1.8 z

Fv)0 4(n (z4) (sat 1.9 z0.4 (w (z4) z4 (F' ) (F ) u 0.9 z 3.6 v0 v0( uCon objeto de determinar las tensiones horizontales (sobre planos verticales) se recurre al coeficiente de empuje al reposo (

z > 4

K0)

que se define como la relacin entre tensiones efectivas horizontales y verticales.

Por tanto, las tensiones horizontales (efectiva y total) sern:

( (

F'h)0 K0 F'v 0.5 (0.9z3.6) 0.45z1.8 Fh)0 F'h u 1.45 z 2.2 Fhprimero hay que obtener

Como puede verse, para calcular

F'h .

Al disponer del valor de coeficiente de empuje

al reposo, ha sido posible el clculo de la tensin efectiva horizontal a partir del valor de la tensin efectiva vertical. Por otro lado, se supondr que el suelo, inicialmente, se encuentra normalmente consolidado.

La colocacin del terrapln (que se identificar como repartida de valor:

Situacin 1

) se asimila a una carga

uniformemente

)Fv 2 ((n) terrapln0 (

)Fv 4 t/m 2

#z#4 Fv)1 (Fv)0)Fv 1.8 z4

z > 4 ( (

Fv)1 (Fv)0 )Fv 1.9 z 0.4 4 1.9 z 3.6 F'v)1 (F'v)0 )Fv 0.9 z 3.6 4 0.9 z 7.6

Este incremento de carga produce un aumento de las tensiones verticales totales y efectivas, habiendo


#


supuesto adems que la presin intersticial no se modifica. El aumento de tensin efectiva vertical hace que el suelo siga normalmente consolidado y sin deformaciones laterales (condiciones unidimensionales). Por tanto:

( (

F'h)1 K0 (F'v)1 (0.9 z 7.6) 0.5 0.45 z 3.8 Fh)1 (F'h)1u 1.45 z 3.8 z 4 1.45 z 0.2Situacin 2).

La siguiente operacin consiste en la eliminacin del terrapln (que se identificar como

La eliminacin del terrapln supone una descarga con el consiguiente descenso en el estado tensional y las tensiones verticales volvern al estado anterior a su colocacin. Se produce una variacin de la tensin vertical de - 4 t/m2

que es lo que se haba cargado al construir el terrapln. Es decir, se trata simplemente

de restar el incremento aadido anteriormente. Las tensiones verticales que resultan son:

0 (

#z#4 Fv)2 (Fv)1 )Fv (Fv)1 4 (Fv)0Fv)2 (Fv)1 4 (Fv)0 F'v)2 (F'v)1 4 (F'v)0

z > 4 ( (

Sin embargo, respecto a las tensiones horizontales, debido al comportamiento elastoplstico del suelo, no se producir en descarga un retorno a los valores iniciales antes de la construccin del terrapln. Para poder estimar cmo se recuperan las tensiones horizontales, se proporciona en este problema una ley lineal con variacin de 0.1. Con este valor, la variacin en descarga de tensiones efectivas horizontales es:

F'h)2 (F'h)1 )Fh )F'h 0.1 )F'v 0.1 (4) 0.4 (F' ) 0.45 z 3.8 0.4 0.45 z 3.4 h2 (F ) (F' ) u 0.45 z 3.4 z 4 1.45 z 0.6 h2 h2(La siguiente accin que se debe realizar es el rebajamiento en 1 m del nivel fretico (se identificar como

Situacin 3

). Dicho rebajamiento de nivel fretico tiene dos efectos. En primer lugar, vara la ley de

presiones de agua que pasar de ser

u

=

M( z -

4

)

a ser

u

=

M (z -

5 . En segundo lugar, y con una

)

influencia menor en este caso, vara la ley de tensiones totales debido a que el peso en la zona no saturada es

(n

en lugar de

(sat

.

El suelo en 4

z

5 pasa a estar por encima del nivel fretico y por tanto:

Fz 4 (n (n (z 4) (n zEn

, 4

#z#5

z >

5

la nueva ley de tensiones es:

Fv 5 (n (sat (z 5)Con estas leyes de tensiones totales verticales, se pueden calcular las correspondientes tensiones efectivas:

0 (

#z#4 Fv)3 (Fv)2 4 # z # 5 (F ) ( z 1.8 z v3 n



#!

Fv)3 5 (n (sat (z5) 1.9 z 0.5 F'v)3 (Fv)3 u 1.9 z 0.5 (z5) 0.9 z 4.5 )F'v (F'v)3 (F'v)2 (0.9 z 4.5) (0.9 z 3.6) 0.9( (Puesto que este aumento de tensin vertical (0.9) es menor que 4 (peso del terrapln) hay que considerarlo como una recarga (dicha recarga se producira hasta llegar a 4, que es la mxima tensin a la que ha estado sometido el terreno), por tanto:

z > 5

)F'h 0.1 0.9 0.09 (F' ) 0.45 z 3.4 0.09 0.45 z 3.49 h3 (F ) (F' ) u 0.45 z 3.49 z 5 1.45 z 1.51 h3 h3En caso que el incremento de tensin a aadir fuese superior a 4 t/m2

sera necesario aplicar el incremento

en dos pasos. Un primer paso en recarga hasta llegar a la presin de preconsolidacin y un segundo paso desde la misma.

La ltima accin consiste en la realizacin de una excavacin de 3 m de profundidad (se identificar como

Situacin 4

). Al escavar se produce una descarga en el suelo de valor:

)F v 3 (n 3 1.8 5.4 t/m 2Las tensiones verticales se calculan de acuerdo con:

3 < z (

#5 Fv)4 (Fv)3 )F v 1.8 z 5.4

Fv)4 (Fv)3 )F v 1.9 z 0.5 5.4 1.9 z 5.9 (F' ) (F' ) ()F ) 0.9 z 4.5 5.4 0.9 z 0.9 v4 v3 v(y las tensiones horizontales vienen dadas por:

z > 5

F'h)4 (F'h)3 )F'h )F'h 0.1 )F'v 0.1 (5.4) 0.54 (F' ) 0.45 z 3.49 0.54 0.45 z 2.95 h4 (F ) (F' ) u 0.45 z 2.95 z5 1.45 z 2.05 h4 h4(que son las expresines en el estado final.

Las leyes obtenidas en funcin de profundidad de 10 m.

z

se particularizarn para el punto

P

que sita el enunciado a una

Situacin 0

(inicial) en

P

:

( (

Fv)0 1.910 0.4 18.6 t/m 2

p

(

F'v)p 0.910 3.6 12.6 t/m 2 0(

Fh)p 1.4510 2.2 12.3 t/m 2 0:

F'h)p 0.4510 1.8 6.3 t/m 2 0

Situacin 1

en

P


#"


( (

Fv)p 1.910 3.6 22.6 t/m 2 1

(

F'v)p 0.910 7.6 16.6 t/m 2 1(

Fh)p 1.4510 0.2 14.3 t/m 2 1

F'h)p 0.4510 3.8 8.3 t/m 2 1

Situacin 2

en

P(

:

Fv)p (Fv)p 18.6 t/m 2 (F'v)p (F'v)p 12.6 t/m 2 2 0 2 0 p p 2 2 (F )2 1.45 10 0.6 13.9 tm (F' )2 0.45 10 3.4 7.9 t/m h hSituacin 3en

P

:

Fv)p 1.9 10 0.5 18.5 t/m 2 (F'v)p 0.9 10 4.5 13.5 t/m 2 3 3 p p 2 2 (F )3 1.45 10 1.51 12.99 t/m (F' )3 0.45 10 3.49 7.99 t/m h h(

Situacin 4

en

P

:

Fv)p 1.910 5.9 13.1 t/m 2 (F'v)p 0.910 0.9 8.1 t/m 2 4 4 p p 2 2 (F )4 1.4510 2.05 12.45 t/m (F' )4 0.4510 2.95 7.45 t/m h h(A lo largo de todo el proceso

Jvh

=

Jhv

= 0 por lo que las direcciones vertical y horizontal sern las

principales. Como se tiene tambin en todos los casos que tanto:

Fv > F h

, se cumplir

FL F=

1

y

FD F=

3

, y por lo

(Fv Fh)/2 p 1/3 (F 2 F ) q F F v h v hs tLos valores de las tensiones obtenidas en el punto variables

(Fv Fh)/2

P

se resumen en la tabla adjunta, juntamente con las

s, s', t, t', p, p', q

y

q'

a lo largo del proceso. Estos valores se han dibujado formando las

trayectorias tensionales en los planos en los planos

Fv - Fh,

en la Fig.

20.1; en los planos

s, s' - t,

en la figura

20.2, y

p, p' - q,

en la figura 20.3.

t/m

2

Situacin 018.6

Situacin 122.6

Situacin 218.6

Situacin 318.5

Situacin 413.1

Fv Fh F 'v F 'hs s' t=t' p p' q=q'

12.3

14.3

13.9

12.99

12.45

12.6

16.6

12.6

13.5

8.1

6.3

8.3

7.9

7.99

7.45

15.45

18.45

16.25

15.74

12.77

9.45

12.45

10.25

10.74

7.77

3.15

4.15

2.35

2.76

0.32

14.4

17.1

15.5

14.83

12.67

8.4

11.1

9.5

9.83

7.67

6.3

8.3

4.7

5.5

0.65



##

Figura 20.1 Trayectoria de tensiones en plano

F F F Fv

-

h,

v

h.


s-t, s-t


#$



p-q, p-q

______________________________________________


Flujo de agua en suelo saturado indeformable

#%

Captulo 3. Flujo de agua en suelo saturado indeformablePROBLEMA 21.

En el terreno de la figura adjunta (Fig. 21.1) se lleva a cabo un bombeo de agua en la capa de grava, que reduce en 3 m su altura piezomtrica original. Obtener y dibujar las leyes de variacin de

FD F D,

',

u, y

FL FL n con la profundidad, tanto antes como despus del bombeo, (en esta ltima situacin se,

',

supondr que se ha llegado al rgimen estacionario).

Figura 21.1 Representacin esquemtica del terreno

En primer lugar se obtienen las leyes de tensiones, presiones y niveles correspondientes al estado inicial antes de bombear. La coordenada vertical puede tomarse indistintamente en sentido hacia arriba ( hacia abajo (

z)

o la

z').

El

origen

tambin

es

arbitrario,

y

en

este

case

se

toma

en

las

gravas

para

z

y

en

superficie del terreno para

z'

(

z

= 12 -

z').

El nivel piezomtrico se define como:

n zEn principio en la zona por encima del nivel

u

(wel peso especfico del terreno tendr un valor

fretico

intermedio entre el peso especfico saturado y el peso especfico seco. En este caso, y puesto que se trata de un suelo granular (arena), tendr mayor facilidad para desaturar que si se tratara de una arcilla. Por tanto, se tomar como peso especfico natural el valor de la densidad seca, que se obtiene como:


#&


(sat

(s(we 1e (s

e

(s(sat 1.125 (sat(w!

(d

(s 1.27 t/m3 1e

Para este clculo se ha tomado

= 2.7 t/m .

En

el

estado

inicial,

anterior

a

la

realizacin

del

bombeo,

las

leyes

de

tensiones

se

calculan

a

continuacin. Para la arena en la zona no saturada las tensiones son:

Fv (arena z 1.27z d u 0 Fv Fv Fh K0 Fv K0 (arena z 0.51.27 z 0.635 z d Fh FhAunque de hecho la definicin de tensiones efectivas en la zona no saturada tiene poco sentido, se han tomado como iguales a las totales, resultado que se obtiene al suponer que la presin intersiticial es cero. Para la zona de suelo arenoso bajo el nivel fretico resulta:

0

y puesto que la condicin de pozo artesiano es

nD

zD,

y

nD nB=

ya que en el pozo no circula agua,


Flujo de agua en suelo saturado indeformable

%

resulta:

z

A

zC

K K

1 d1 AB 2 d2 BC

> zD

1

K K

1 d1 AB 2 d2 BC

Esta ecuacin permite obtener la condicin entre permeabilidades:

K K

2 1

>

z z A Dz

D z C d1 ABd

2 BC

donde:

z

D

zC zD

l

"$2) sin($2$1)sin( sin(

"$1) sin $1 sin(90")sin( sin 2

l

z

A

"$1) sin($2$1)sin(

$

"$2) sin(90")sin(

Haciendo el cociente y operando resulta:

zC z z A Dz

D

"$2) cos $1 sin("$1) cos $2ABy

donde

cos

$

d d

1 sin( 2

"$2) cos $1 sin("$1) cos $2

y

"$1) sin("$2)sin(

d d

1 2

$1 cos $2cos

Para

d

= 0.5 m,

d

= 0.8 m,

$

= 30

$

= 135

resulta:

K K

2 1

> 0.76

Figura 25.3 Variaciones de nivel piezomtrico entre

A, B

y

C


%Resolucin b)


Este problema tiene una solucin ms sencilla. Las prdidas de nivel entre en dos tramos:

AB (

cumple exactamente

n n

A

-

n

) C

y

BC (

n

A

-

n

A

y

C (

n

A

-

n

C

)

se producen

). C

En la figura 25.3 se representa la situacin en la que se

B

= zD.

En este caso, los dos tringulos rectngulos con ngulo

"

permiten escribir:

nA nBx

nB nC l x nAnB < nC nBCB

nA nB

l

x

x

( B

n nC)

pero el pozo sera artesiano siempre que:

l

x

x

( B

n nC)

Por otro lado, los caudales en cada tramo, iguales por continuidad, son:

Q

K 1 d1 K 2 d2

CB

(lx) cos " cos $1 " cos(180$2)x

Q

nB nABA

BA

cos

De donde se obtiene:

nB nC nA nB

Q K

(l x) cos cosx

1 d1Q

$1

"

cos

K

2

d

2

cos(180

" $2)(l x) cos cos

que se sustituyen en la desigualdad anteriormente establecida:

Q K

x

cos

2

d

2 cos(180

" $2)

Mecanica de Suelos (Problemas Resueltos

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