Mecánica Cuántica
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Quantum Mechanics, Concepts and ApplicationsN. Zettili; Wiley 2001
Quantum mechanics. Second editionV.G. Thankappan. New Age, 1993. 9788122425000
Quantum PhysicsF. Scheck. Springer, 2007
Essential Quantum MechanicsGary E. Bowman, 2008, Oxford University Press 0199228922
Introduction to Quantum MechanicsD. Griffiths. Prentice Hall 1995. ISBN 0131244051
Principles of quantum mechanics. Second editionR. Shankar 0306447908
Quantum physicsS. Gasiorowicz
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Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida
2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento spín-orbita
3. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón
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Energía de Bohr
Estructura fina
Corrimiento Lamb
Estructura hiperfina
4 2mc5 2mc
2 2mc
4 2
p
mmc
m
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
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El campo magnético en el centro de
una espira de radio y con una
corriente está dado como
2
r
I
IB
c r
rI
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Desde el sistema de referencia en reposo en el
electrón se ve girar al núcleo, y eso constituye
una corriente eléctrica dada como
2Por lo tanto, el electrón está en un campo
magnético de magnit
ZevI Zef
r
2
ud
ZevB
cr
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2 3
Como la magnitud del momento angular es
y el campo magnético está en la dirección ,
podemos poner
r
r
r
L m r v
Z
L
ZeB L
vm r
Zev
cr m cr
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De las transformaciones relativistas de los campos
electromagnéticos, tenemos
Ahora es claro que
ˆ
y por tanto
1 1
r
EB v
c
VE r
r
r V VB v L
c r r m cr r
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2 3
En este caso el potencial escalar es
y sustituido da
1 1
r r
ZeV r
r
r V Ze ZeB v L L
c r r m cr r m cr
1
r
VB L
m cr r
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Las partículas elementales tienen un momento
angular intrínseco
El momento angular intrínseco implica también
un momento magnético intrínseco
El momento angular está cuantizado y tiene un
2 2 2
valor igual a 1/ 2
Los números cuánticos asociados con el espín son
3 1 11
4 2 2z s sS s s s S m m
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2 23
4s s s sm m z m s mS S m
1 1
2 2
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2 23
4s s s sm m z m s mS S m
, , ,l s l snlm m nl lm mr R r Y
2 2
Degeneración:
2 n n
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S
S
El momento magnético intrínseco del electrón,
asociado al espín, es
2
donde es la razón giromagnética dada por
2.002319304386
s
S
eg S
mc
g
g
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s S 3R
S
La energía de interacción entre el campo magnético ,
producido por el núcleo, y el espín del electrón es
2
siendo el momento magnético intrínseco2
del e
s
B
e ZeB g S L
mc m cr
eg S
mc
3R
lectrón y el campo magnético
producido por el núcleo en su movimiento orbital.
ZeB L
m cr
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No sea ha tomado en cuenta que el sistema de
referencia del electrón no es inercial. Si se hace
"correctamente" aparece un efecto relativista,
llamado precesión de Thomas, que hace que la
energía de inter2
s S 3R
acción sea
1
2 4
ZeB g S L
m cr
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0SO
2
SO s S 2 2 3
Tenemos ahora un hamiltoniano perturbado
ˆ ˆ ˆ
donde el potencial perturbador es
ˆ4 r
ZeB g S L
m c r
H H H
H
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(0) (0) (0) (0)
(0) (1)
k k kE
E
H
H = H H
(0) (1)
(1) (0) (1) (0)
k k k
k k k
E E E
E
H
![Page 21: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/21.jpg)
El átomo de hidrógeno es altamente degenerado,
y sin embargo usamos la teoría de perturbaciones
independientes del tiempo para sistemas
no-degenerados.
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22
1 3 2
21 1
Esto se puede hacer porque la perturbación
ˆ1
8tiene simetría esférica, y por tanto,
ˆ ˆ, 0 y , 0
Las funciones propias de estos operadores tienen valores
Z
p
m c
L L
H
H H
2
propios
diferentes para los estados que tienen la misma energía .
Por tanto las pueden ser utilizadas.n
nlm
n E
Ver sección 6.2 Degenerate perturbation theory. Página 227
Introduction to quantum mechanics. David J. Griffiths. Prentice Hall
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0 0
0 0
ˆ ˆSea un operador hermitiano que conmuta con .́
ˆSi y son funciones propias de con valores
ˆpropios diferentes, entonces ´ 0
a b
a b
A
A
H
H
Ver sección 6.2 Degenerate perturbation theory. Página 227
Introduction to quantum mechanics. David J. Griffiths. Prentice Hall
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ˆ ˆ1) , 0 y , 0
Por lo tanto y no se conservan
separadamente
L S
L S
H H
2
0SO SO s S 2 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ; 4 r
ZeB g S L
m c r
H H H H
![Page 25: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/25.jpg)
ˆ ˆˆˆ ,
d A Ai A
dt t
H
![Page 26: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/26.jpg)
ˆ , 0L
H
2
0SO SO s S 2 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ; 4 r
ZeB g S L
m c r
H H H H
0 0SO SO SO
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , , , ,
Por tanto debemos calcular el conmutador ,
L L L L L
L S L
H H H H H H
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, 0L S L
3 3
1 1
3 3
1 1
, , , ,
, ,
, 0 para toda 1,2,3
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ, , ,
, ,
x j j x j j x j x jj j
j j x j x jj j
j x
x y z y z x z x y
x j
L S L L S L L S L L L S
L S L L L S
S L j
L L i L L L i L L L i L
L S L L L
3
1
, , ,
0
x j x x x y x y z x zj
y z z y
S L L S L L S L L S
i S i S i S S
![Page 28: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/28.jpg)
2 2ˆ ˆ ˆ2) , 0 , 0 , 0
donde es el momento angular total
L S J
J L S
H H H
2
0SO SO s S 2 2 3
ˆ ˆ ˆ ˆ ; 4 r
ZeB g S L
m c r
H H H H
![Page 29: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/29.jpg)
2
SO 2 2 3R
S
2
donde hemos tomado 2
l s l s
Ze L SE nlm m nlm m
m c r
g
(1) (0) (1) (0)k k kE H
![Page 30: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/30.jpg)
2
SO 2 2 3R
2
2 2 3R
2
1
2
l s l s
l s l s
Ze L SE nlm m nlm m
m c r
Zelm m L S lm m n n
m c r
(1) (0) (1) (0)k k kE H
![Page 31: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/31.jpg)
2
SO 2 2 3R
2
2 2 3R
2
1
2 l s l
l s
s
l s
Ze L SE nlm m nlm m
m c r
Zen nlm m m
mS
rL m
cl
(1) (0) (1) (0)k k kE H
![Page 32: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/32.jpg)
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
1
2Por tanto,
1
2
1 1 12
l s l s
l s
J L S L S L S L S
L S J L S
L S nlm m J L S nlm m
j j l l s s nlm m
2
eo 2 2 3R
1
2 l s l s
ZeE n n
m c rlm m L S lm m
![Page 33: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/33.jpg)
2
2
2
Por tanto,
1 1 12
1 1 12
1 1 12
l s l s
l s l s
l s l s
nlm m L S nlm m
nlm m j j l l s s nlm m
j j l l s s nlm m nlm m
j j l l s s
2
1 1 12l s l sL S nlm m j j l l s s nlm m
![Page 34: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/34.jpg)
R3
2
eo 2 2
1
2 l s l s
ZeE lm m L S lm n
mn
rm
c
3 3 3
Ya demostramos que
1 1
1/ 2 1n n
r l l l n a
![Page 35: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/35.jpg)
2
eo 2 2 3R
1
2 l s l s
ZeE lm m L S lm m n n
m c r
2
eo 2 2 3R
2
2 2 3R
2 2
2 2 3 3R
2
1
2
11 1 1
2 1/ 2 1
l s l s
l s l s
Ze L SE nlm m nlm m
m c r
Zelm m L S lm m n n
m c r
Zej j l l s s
m c l l l n a
![Page 36: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/36.jpg)
2 2
eo 2 2 3 3R
2
eo 2R
1 1 1
2 1/ 2 1
1 1 1
1/ 2 1n
j j l l s sZeE
m c l l l n a
n j j l l s sEE
m c l l l
2
eo 2 2 3R2l s l s
Ze L SE nlm m nlm m
m c r
![Page 37: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/37.jpg)
2
eo 2R
1 1 3/ 4
1/ 2 1n
n j j l lEE
m c l l l
2
eo 2 2 3R2l s l s
Ze L SE nlm m nlm m
m c r
![Page 38: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/38.jpg)
La estructura fina del átomo de hidrógeno (pequeño desdoblamiento de las líneas espectrales) se debe a la interacción entre el espín S del electrón y el momento angular orbital L
![Page 39: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/39.jpg)
3, 0, 0n l m
2, 1, 1 / 2
2, 1, 1 / 2
n l s
n l s
Observar dos efectos,
el efecto de la masa del núcleo
y el acoplamiento espín-orbita
![Page 40: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/40.jpg)
2
rel 2R
2
eo 2R
2
fs 2R
43
2 1/ 2
1 1 3/ 4
1/ 2 1
43
2 1/ 2
n
n
n
E nE
m c l
n j j l lEE
m c l l l
E nE
m c j
![Page 41: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/41.jpg)
1/2
1/ 2
1Con con el número cuántico
2Ejemplo:
2 ( 2, 0, 1/ 2)
tiene la mism
Persiste
a energí
la degeneración:
a que
2 ( 2, 1, 1/ 2)
sj l m
S n l j
P n l j
2
fs 2R
43
2 1/ 2nE n
Em c j
![Page 42: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/42.jpg)
212 2
La energía de los niveles del átomo
de hidrógeno es
31
1/ 2 4
donde
; es decir, 1/ 2
Znj
E nE
n n j
J L S j l
![Page 43: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/43.jpg)
4 2
2 2
2
1,2,3...2
La masa reducidad
La constante de estructura fina
/ 1 / 137
Rn
eR
e
m e ZE n
n
m Mm
m M
e c
![Page 44: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/44.jpg)
Energía de Bohr
Estructura fina
Corrimiento Lamb
Estructura hiperfina
4 2mc5 2mc
2 2mc
4 2
p
mmc
m
Jerarquía de las energías en el átomo de hidrógeno
1
137
![Page 45: Mecánica Cuántica](https://reader036.fdocuments.us/reader036/viewer/2022062321/56813cdf550346895da68520/html5/thumbnails/45.jpg)
Correcciones al espectro del átomo de hidrógeno dado por la ecuación de Schrödinger:
1. Corrección del movimiento del núcleoUsando la masa reducida
2. Estructura finaa) Correcciones relativistasb) Correcciones por el acoplamiento espín-orbita
3. Corrimiento LambDebido a la cuantización del campo coulombiano
4. Estructura hiperfinaDebida a la interacción magnética entre los momentos dipolares del electrón y el protón