Mecanca de Solidos

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

MECANICA DE SOLIDOS

DIAGRAMAS DE MOMENTO Y CORTANTE

ESFUERZOS NORMALES Y CORTANTES

JAIRO DARIO TAVERA GARCIA

JENNY KATERINE ACEVEDO PACHECO

JHOAN ANDRES VERGEL SOLANO

Mecánica de sólidos Página 1

II LISTA DE EJERCICIOS

JAIRO DARIO TAVERA GARCIA 2101864

JENNY KATERINE ACEVEDO PACHECO 2091721

JHOAN ANDRES VERGEL SOLANO 2101862

GRUPO: D2

PROFESOR

OSCAR JAVIER BEGAMBRE CARRILLO

(I.C, M.Sc, PhD)

UNIVERSIDAD INDUSTRIAL DE SANTANDER

FACULTAD DE INGENIERIAS FISICO-MECANICAS

ESCUELA DE INGENIERIA CIVIL

BUCARAMANGA SANTANDER

I SEMESTRE DE 2012


INTRODUCCION

En muchas ocasiones las vigas sufren gran cantidad de deflexión debido a la carga que se le aplica a lo largo de su eje longitudinal. Se hace necesario establecer los valores máximos que estas pueden soportar dependiendo de su forma, tamaño y material. Al diagrama de deflexión se le conoce como curva elástica, la cual se puede bosquejar para tener una idea del comportamiento de las pendientes y las deflexiones a lo largo de toda la viga o eje.

El centro de cortante, también llamado centro de torsión, es un punto situado en el plano de la sección transversal de una como una viga tal que cualquier esfuerzo cortante que pase por él no producirá momento torsor en la sección transversal de la pieza, esto es, que todo esfuerzo cortante genera un momento torsor dado por la distancia del esfuerzo cortante al centro de cortante.

Cuando existe un eje de simetría el centro de cortante está situado sobre él. En piezas con dos ejes de simetría el centro de cortante coincide con el centro de gravedad de la sección.

Con este trabajo pretendemos conceptualizar, y definir lo que se entiende por Torsión, centro de corte, y flexión para así poder desarrollar el manejo directo sobre problemas prácticos susceptibles de ser enfrentados en nuestra vida como ingenieros.


OBJETIVOS

Determinar las deflexiones de las vigas en puntos determinados, teniendo en cuenta los diferentes apoyos y cargas distribuidas que éstas puedan tener.

Comprender la ecuación de la curva elástica, de la cual se obtiene la deflexión sobre

cualquier punto de la viga.

Tener en cuenta la convención de los signos para tener más claridad sobre el tema.

Identificar las principales características del momento torsor.

Determinar, a través de los ejercicios, el flujo cortante en vigas.

Determinar los valores máximos de los esfuerzos normales y cortantes en un punto cualquiera de una estructura sujeta a combinación de cargas.


1. Encontrar la ecuación de la curva elástica y la deflexión en C de la siguiente viga

Por diagrama de cuerpo libre:

∑M A=2 FBya−3Pa=0

FBy=3P /2

∑ F y=FAy+3 P2

−P=0

FAy=−P/2


a2a

P

CBA

A BC

P

2a a

FAy FBy

CORTE 1 [A,B) 0≤ x<2a

∑ Fy=−P2

−V=0

V=−P /2

∑M=M+ P2

(x)=0

M=−PZ /2

CORTE 2 [B,C) 2 A ≤x<3a

∑ Fy=3 P2

−P2−V=0

V=P

∑M=M+ P2−3P2

( x−2a )=0

M=Px−3 Pa


A

FAy

xV

M

A B

2a x

FAy FBy

V

M

Ahora resolviendo la parte de esfuerzos de materiales tenemos:

CORTE 1 [A,B) 0≤ x<2a

a¿EI d2 yd x2

=−Px2

b¿EI dydx

=−Px2

4+C1

c ¿EI y=−Px3

12+C1 x+C2

Como y(0)=0 y y(2a)=0 tenemos de c ¿:

C2=0

C1=Pa2

3

CORTE 2 [B,C) 2 A ≤x<3a

d ¿ EI d2 yd x2

=Px−3 Pa

e ¿EI dydx

= P x2

2−3 Pax+C3

f ¿ EI y=P x3

6−3 Pa x

2

2+C3 x+C4

Como y(2a)=0 de f ¿ tenemos:

C4=−P (2a )3

6+3 Pa (2a )2

2−C3(2a)

Como dydx

en corte uno es igual a dydx

en corte dos tenemos de b¿y f ¿:


−P (2a )2

4+P a

2

3=P (2a )2

2−3 Pa (2a )+C3

C3=103Pa2

C4=−86Pa3+12

2P a3−10

3Pa2 (2a )

C4=−2Pa3

2. Determine las reacciones en los apoyos A y B, a continuación trace los diagramas de cortante y de momento.


PA B

Por estática tenemos:

∑M A=M A−MB+FByL−PL3

=0

∑ Fy=FAy+FBy−P=0

CORTE 1 [A,C) 0≤ x<L /3


2L/3L/3

P

FAy FBy

MA MB

2L/3L/3

FAy

MA

M

V

x

∑M=M+M A−FAyx=0

M=FAyx−M A

CORTE 2 [C,B) 0≤ x<2L/3

∑M=M+Px−FAy (L3 +x)+M A=0

M=FAy (L3 +x)−Px−M A

Teniendo en cuenta los esfuerzos de materiales tenemos para el elemento:

CORTE 1 [A,C) 0≤ x<L /3


P

FAy

MA

xL/3

M

V

a¿EI d y2

d x2=FAx−M A

b¿EI dydx

=FAy x2

2−M A x+C1

c ¿EI y= FAy x3

6−M A x

2+C1 x+C2

CORTE 1 [C,B) 0≤ x<2L/3

d ¿ EI d y2

d x2=(FAy−P ) x+(FAyL

3−M A)

e ¿EI dydx

=(FAy−P ) x2

2+( FAyL3 −M A) x+C3

f ¿ EI y=(FAy−P ) x3

6+( FAyL3 −M A) x2

2+C3 x+C4

De y (0 )=0 y y ' (0 )=0en b¿ y c ¿ tenemos

C1=0

C2=0

De y ( 2 L3 )=0 y y '( 2 L3 )=0 en e ¿y f ¿ tenemos


C3=2P L2

9− 4 FAy L

2

9+2M A L

3

C4=14 FAy L3

81−8P L

3

81−2M A L

2

9

Realizando b¿=e¿en x=L3

y x=0 respectivamente tenemos la ecuación

FAy L2

18−M A L

3=2 PL

2

9−4 FAy L

2

9+2M A L

3

Realizando c ¿=f ¿en x=L3

y x=0 respectivamente tenemos la ecuación

FAy L3

162−M A L2

9=14 FAy L

3

81−8 P L

3

81−2M A L

2

9

Organizando y simplificando tenemos el siguiente sistema

FAyL2

−M A=2 PL9

FAyL6

−M A

6=8PL81

Dando como solución única FAy=20 P27

y M A=4 PL27

que al usarlos en las ecuaciones iniciales de

estática tenemos FBy=7 P27

y MB=2 PL27


Como gráfica de momento y cortante tenemos:

3. Un eje de acero y un tubo de aluminio esta conectados a un soporte fijo y a un disco rígido como se muestra en la figura. Determine el máximo T que puede aplicarse en el disco si los esfuerzos admisibles son 120MPa en el acero y 70MPa en el tubo de aluminio. G=77GPa para el acero y G=27GPa para el aluminio.

Mecánica de sólidos Página 13500mm

8mm

50mm76mm

Comenzamos realizando el DCL del elemento1. Eje de acero 2. Tubo de aluminio

Realizamos sumatoria de momento Torsor para determinar el valor de T que este será el momento aplicado al disco

∑T=T−T 1−T 2=0

T=T 1+T 2

El eje y el tubo se encuentran unidos al disco por lo tanto estos tienen un mismo ángulo de giro

El ángulo de giro está determinado por θ=TLJG

θ1=θ2

Entonces como los ángulos son iguales nos queda la siguiente función

T 1L1J 1G1

=T2 L2J 2G2

Reemplazamos los valores de L , J , G de cada figura


T2

T1

T

T1(0,5)

( π 0,054

32 )(77)=

T 2(0,5)

( π 0,0764

32−π 0,064

32 )(27)10582,7702T1=9245,4884T 2

(1 )T1=0,87363T 2

Sabemos que el esfuerzo es τ=TRJ

Suponemos que se cumple el esfuerzo máximo para el tubo de aluminio y de ello hallamos el Torsor.

T 2=τalumJ 2R2

T 2=70∗( π 0,076432

−π 0,064

32 )0,038

T 2=3689,698[N m ]

Ahora reemplazamos el valot de T2 obtenido en la ecuación 1

T 1=0,87363(3689,698)

T 1=3223,4308 [N m ]

Con el valor de T1 hallado anteriormente determinamos el esfuerzo del eje de acero

τ acero=(3223,4308 [N m ])∗(0,05)[m ]

( π 0,054

32 )[m4]

τ acero=131,3343MPa


El esfuerzo hallado en el acero supera a su esfuerzo admisible.

Por lo tanto ahora planteamos la situación al contrario suponemos que se cumple el esfuerzo máximo para el eje de acero y de ello hallamos el Torsor

T 1=τacero J1R1

T 1=120 [MPa ]∗( π 0,05432 ) [m4]

0,025[m ]

T 1=2945,243[N m ]

Con este valor de T1 hallamos el valor de T2 reemplazándolo en la ecu 1

T 2=T 1

0,87363

T 2=2945,243[N m ]0,87363

T 2=3371,2705[N m ]

Con este valor de T2 determinamos el esfuerzo del tubo de aluminio

τ alum=(3371,2705 [N m ])∗0,038[m ]

( π 0,076432− π 0,064

32 )[m4]τ alum=63,9588MPa

El esfuerza dado en el tubo de aluminio al hacer la suposición 2 es menor su esfuerzo admisible

Por lo tanto determinamos el valor máximo de Torsor que se le puede aplicar al disco. La ecuación a utilizar es la dada por la sumatoria de Momento torsor y el T1 y T2 utilizados son los de la suposición 2 con ello nos queda.

T=T 1+T 2

T=2945,243+3371,2705

T=6316,5135 [N m ]ValormaximodeT


4. Dos ejes sólidos de acero están provistos de bridas que se conectan por medio de pernos ajustados de tal manera que no hay rotación entre las bridas. Sabiendo que G=77GPa, halle el esfuerzo cortante máximo en cada eje cuando un par de magnitud T= 500N-m se aplica en la brida B.


D

CB

A

600mm

900mm

T=500N-m

36mm

30mm

CONCLUSIONES


BIBLIOGRAFIA:

Mecánica vectorial para ingenieros, Estática; Ferdinan P.Beer y E.Russell. Johnston Jr.; Ed.Mc-GrawHill.

Hibbeler, R.C., “Mecánica de Materiales”, Prentice Hall. 3ra Edición, México, 1995. [2]


Mecania de materiales; Ferdinan P.Beer y E.Russell. Johnston Jr.; Ed.Mc-GrawHill. 6ra Edición.


Mecanca de Solidos

Documents

Transcript of Mecanca de Solidos