MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7...

40

Transcript of MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7...

Page 1: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...
Page 2: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

��� ����� ����� �� �

��

� ����������������� ���� �����! "# $!�%���& �!���$�!�' �������#� ( �$)

���* !+ , ���" #+-.��+��/� �+��#+ ��#! ���#!�#�#!*�# $! �! #�+)���� ( + 0����� ��#�+�. 12�0��� � 0! �� 3#� &!����� ������ 4 �!&0 ���� �!�'�#! �� /+*��� �+ �� 5+ 0�! ��' 6 78+ , ���& 9 3���#+ ���! �#��� )"#�& �# !+ ,���' #!-+$�. #�� ������ + 0������ �����! ( �/+ ",�. + �): ",*" +��; �+� ���� ��� 3���#+����. � 5������ #���! 6

8 5+�:"+� ( � +&$* � ����!���� 2 �# �� �� ��������' #��+�� ���)�������. ����� � �! #�+�����! ( + ��� 0 �� ����#�+�� ��!�� +�0*�;)# #� � /���#�0� 6 < �+���+ ( ����������' !�+���' #�#+ 3$+ �� 0�! )�#�& ��# 3$+ ( /���#�0 ( �#� �! #�+����� & �/� !�+ ��& = ���� 3$+ (�� $�� 0 � 6

>���# 5+�:"+� �+�$�# !�&�# �� 5�' $��������*" �5+ 5�#�* 0 �������?�� ( �+���# ���' 8 6 @ 6 A+���;$�� $�& :���;����! B= CC �� ���!CD ��&5+& EFFE /�$ � G ��� ��.� #� GHI 6

J+�:"+ + ����# � � :�+���' �+*/ ��# #���' ( ��#�+��*",�.�&� #�� #���' K :���;����! �# +:�. �� ���! ( �#*$��#�! ( *��#���' L L L

MNOP �QR�S�TQS��QR

UV WXYZ[ \Y][^_^V ` aXV bc^dH����#+�& ����������. ����� ( �! #�+�����! � �����!

e�$ �#�+ \ f \ f gV hijXc6 >�.� 6 + �$ �#�+ \ f k f l hV Xc^m fn ���; � + �:�2+�!� ���?�� K o f ` f p Xa[]WXcq k f o f p Xa[]WXcf

r�?��0�& @s t FCuuv �# Ewxyy y EFFF / 6 z�$��� �� � ��� #� vxyyy EFFE / 6{�+� # |F

× }} ~�~�6 {�0 6 ��� 6 � 6 E (vF 6 I�� 6 ��� 6 � 6 E (vF 6 >�+ % CvFF 3�0 6

@0$ #��;�#!� G����!���/� ?��#+ ���+�+�!��/� � #�� #������/� � 5+ 0�! ��& 6CE CFFE ( G���! ( H)E ( J �� 6 8� �;�!���' ��+ 6( CC6

�#��� # �� ! #���/+ 2�� eA 7{ �# 0�& 9 6CCCFEw ( G���! ( �)Ew ( A!� ��#�+� & *� 6( EFxCD 6

Page 3: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

������ ��������� ��� � ���������� � ���� ������ � �Q��� ����� �� � ������� ������������ ���� ��������� � ���� Q��� ������� ����� ��������� � ������ ���������� ��� �����Q��� ���� �� ������ ������ ��������� ��� ��� ��� ������������ � ���� �� ��� ��� �� ���� ��� ����������� ������ ������Q��� !��� � "������� � ���� �� � ������ ����� �� ������� ���������������� � ������� � � �� # � �� ������ ����� ������ �������$������ � � ��������� ����%

&'()*+,-./+ 01-* 23������� � ���������� ��� �� �� ����� ��������������

��������

4

5

e�� 6 C6 8�, ��#!����� 5 0����� !��#�+� � �������#� ����������. ����� 6

������ ������� ����� �� ���� � �� ���� �� � 6 �� ������ ��"�� ���� 789 :;8<:=>? � � � �����% �� �� ������� ������������� ���� @ A B · 6 "���� � ��� @ � ��� ��% C

4

5

D

E

e�� 6 E 6 8�, ��#!��� & � ���� & � �#; ����������/� ���� 6

!������ � ��� �� �� ���� �� ������� C

FG H @G A BG · 6FI H @I A BI · 6FG A FI H "@G A @I % A "BG A BI % · 6

C∗ J

Page 4: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

����� ������ ��������� ��� � ��������� �� ������� ����� � ������� C

� · � H � � � · 6 H 6 H 6 · � ������ �� ���� � ����� ��� ������� 6 � 6 C

6 · 6 H −� ����� 6 ������� ������ � ��� ��� � �� ������ ��� ������� �Q� � @ � ��� �������� �������� � �� �������

@I H −� ������������ ���� ����� ��������� ��� ����������� �� ������������������ C

FGFI H "@G@I − BGBI % A "@GBI A @I BG%6 ���� ������ � ������ @G � @I � BG � BI � ��� � ��� ��� ������ ��� ����������� "�� ���� ��% � � ������ @G � BI � BG � @I ����� ��� "���� ���� ���� ����������� % ���������� ����������� ��

� 2(+02.1+ !� ������ ������� "������������� C FGFI HH FI FG � �� �������� C "FGFI %F� H FG "FIF� % � ������������� �� ��Q�� ��� � ������ C FG "FI A F� % H FGFI A FGF� % ��������� � �������������

� �������� ���� �� �� ����� ������ ��������� ��� ���� �Q ���������

��1� +.1� )*' -,'-�1��������� �� � �������� ���� ������� ��� ������ ���Q

���� ����� �� � ���� � ���� �������� � �� ����#� �� � �����Q������

�)� +�+*+.1+ ��������� ���

F H @ − B · 6

�������� ����� ����� ���� ! "���� � ��� F H @ A B · 6

Page 5: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

4

5 �

e�� 6 u 6 ����������� ���+&%���� ��:�� � 6

�������� ��� ������� �� F � F ��� �������� ���������� � � �

�+'� +(2 ���� ! "���� ���� � � ���� � �� ����� ����� ����� � ���� ���� � ����� � ���� ! "��� � �� � ����� C

FG A FI H F G A FI ��+'� +(2 ���� ! "���� ���� � � �� ��� ������ �� ����� �����

����� � ��� �� ��������� ����� � ���� ! "��� � ���!�� �� � C

F GFI H F GF I ��)� +�+*+.1+ ����������� ���������� �� � � �����#��

��� ��� �������� ���� �� �� � ���� ���������� �� � C

|F |I H F F �

� +((2 � ����� ����� ����� � ���� � � ������� ������ ����� ����� �� ���� ���� � �

�',2�2�+* �-��' ������� ������ � ������ ��� �������� C

F F H FF H FF �

������� � ������� ������������ ���� ����� ���� � |F |I H FF H

H @I A BI>

S � ������� ������ ���� ������������ ����� ������� ���

��)� +�+*+.1+ �� �� ��� � � ������ ��� ���������� �� ����� ���� �������� �� ������������ ����� � � � � ����� ������ Q������ ����� ����� � � 6 �� ��������� ���������� �� �

Page 6: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

� 2(+02.1+ � � � |F | H � � ��

@ H ��� � � B H �8< � ��� � ��� � ����� ��� ���� �� � ���� � ����� ����� ���

���� ��� �� ����������� ������� ������ ��������� �� � ��� ��� ��� ������� �����Q

����� ������� 3������� ��������� ��� � ∈ C 3�������

������������� 7������� � ��������� ��� F ? � ��� ������ �� ��Q���� �� �� � � �� �� F� � ��� |F | H � � :=; F H �

�+'� +(2 �� ���� ������� ����! ��� �� ����� ������ ���� � � � ����� �� ������� � �� � ���� �� �� �� ������� {�} ��',2�2�+* �-��' 3������� ��������� ��� � �� ���������� � ���������� �� � � � ������� ��������� � ��� �� �� �������Q������ C

|F� |I H F� F� H "F F % · "�� % H �� H |� |

I�

���������� �� � ����� ������ ��������� � ������ ����� �� ���� ���Q�� ���� � ������� ��� �� �� ��� �������� ����� �������� C

|F� G − F� I| H |F "� G − � I %| H |� G − � I | �

4

5 �

��

��

e�� 6 w 6 ���+ ?�& *���%���& � ����������� ����� � ��$*��� �$���? 6

����� ������� � ������������� ������� � ��������� ��� ������� ���� � ������� ����

!���� ����� � C ��� ������������� ������� ������ �� �� 2�202 !��� ��� ��� �� �� {�} �� ����� ������ ��������� ���

�� �� ������������� �� ���� ��� �� ����� ������ "� � � �� ������� � �� � ������%

��-��)*+.1+ )� ' '�1+.�2 1� ��� ���������� ������ ����� ������� � ������� �� ������� �� ���� ������� � �������

Page 7: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

���� ��� ��������������� ���� � ���������� ��� �� �� ������Q��������� ����������� {"� � � %} ������ �������������� � ����������� � �������� �������������� � ����� �� ���� � H "� G � � G % � ���Q��� ���� � H "� I � �I %

� �

� � �

e�� 6 v 6 �+���# ?�& �������#� � +�' !��#�+�! 6

�+'� +(2 � � � ��� � "� �� % ��� ��� �� � � ��� �� ��� �! ����� � ���� �� ��� � � � � � �� � �������� ������� �� ��� �� � � C

� "� G A � I �� % H � "� G �� % A � "� I �� % �

�� � � � � ��� � � � � �

e�� 6 | 6 z + �����/+ �� ( ��+�% $-���' � +�' !��#�+�! � � � 6

���� ��� ��� ����� � ����� 7��� ? � � �� ������� �� � � � � ��������� ���� ��� �� ������ ���������� ����� � �� ������"� �� �� ����� 7������ ����� ������?% ����������� �� ����� 7���? � � �� ������� �� � � � � �������������� ��Q��� � ������ ��������� ���� ��� �� ������� ������� ��� �������� � ��

� "�� �� % H �� "� �� % ���� ��� ������ ����� ������� � ������ ���� �� 7������ ������Q�������?

T

Page 8: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

!������ ���� � H "� � S % � � H "S � �% ����� ��� ������� � H � G� � H � I ���� ���������� � ����

� G H � G� A � G� � � I H � I� A �I � �!� ����� ���� ��� � "� G �� I % !������� ������� ���� ��� ���� ����#� � �������

� "� G �� I % H � G� I� "� � �% A � G�I� "� � � % A � G� I� "� � �% A � G�I� "� � � % ����� � "� � �% H S � ������ �� �������������� � ������� � ���� "� � �% �������� ��������� �� ���� �� ���� ��� �� � "� � � % H S ������������ � �� � "� � � % H � � � � "� � �% H −� � ��� ��� ��������� ���� ����� � � � � ������� ����� ������������ � �� ���� ��� ����

� "� G �� I % H � G�I − � I� G ���� ��� �������� ��� ������ �� �� ������#�� ��� ���������

����� � �� ����#� ������� ���� �������� � ��������� � ��� ������������������� C

� "� G �� I % H∣

� G � G� I � I∣

$� �������� ����� C �������� �� ��� ������� � F ������ �� ����� ����� � ������� {�} � ���� �������������� � ��������� ����� � ��������� � �� ���� ��� ������ ����������� � �� ������ ���������� � � ��� ���� ��� ������ ���� ������ � �� ������ �� � ��Q��� "� �� �� � � ������% ��������������� ������ ������ ��������� � � ���

F � H F H @ A B6 � F � H F6 H −B A @6 ����������� �� � ����� � ���������������Q������ ����� ���

( � G � G� I �I)

H( @ B−B @

)

������������ ���� ����� � ���������� "��� F 6H S % � ��� ���∣

@ B−B @

H @I − "−B% · B H @I A BI>

S �

Page 9: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

���������� �� � ������� � ������� ��������� ��� F ����Q��� ������ �� ����� �� ��������� ���

������ � � ����� ���� ������ ������ ������ � ��� ��� �����Q�� � F � !����#� ��������� ������ � �� ����� � � ����� ���� ��������� ��� �� �� �������������

� 2(+02.1+ � �������� ����� ��������� ���� ��� S � ��� �� � �������� � �� �����#� � �� ���� ������� ��� ��� � H ������ ������� � F �������#� ��� � F� H F H @ A B6

� � 4 � ����

� � � ·� � 4 � �����

e�� 6 D 6 z�!�+ �# !��#�+ �+� *���%���� � ����� 6� ����� ������ � �� �� � ������������� ������ ����� ������

� H � � ���� � H :=; F �*+�-��1+ ����! ���� �� ����� ������ ���� � F � ����� �� � |F | H � �

� �� � ���� �� �� �� ������� �� � �� � � ���� :=; F ��+'� +(2 �� � ����! ���� ����� ����� ����� � �� �� ���� ��� ��

�� ��� � :=; "F� % H :=; F A :=; � �

�',2�2�+* �-��' $� ��� �������� � �� ������ � H � ��� �����Q�� � F ������ ������ � ���� � �� �������� ������� � F ���������� � �� � ����� �� ���� ������ ������ � ����� ������ � !���#������ ��� :=; � H � ����� ��� F� ����� ��������� � A � � � � :=; "F� % H :=; � A �

���� �������� � ����������� ���� ��������� � ������� �� ��������� ����� ���� F H @ A B6 � � H � A �6 � |F | H � � |� | H � �����

F� H "@� − B�% A "@� A B�%6 ��� ������ :=; F H � � �� @ H ��� � � B H �8< � �� � ��� �� � �� ������:=; � H � � �� � H ��� � � � H �8< � ������� ���� ��� ��� ��� ������� ����� ���� ����������� F� ��������

��� "� A � % H @� − B� H ��� � ��� � − �8< � �8< � ��8< "� A � % H @� A B� H ��� � �8< � A �8< � ��� � �

E����� 6� 6 R

Page 10: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

� ����� � ������� ��������� ��� ����� ���������� � � ��Q����� � �� ������ ����������� ���� ������ � �� ����Q���� � �� ���� � �� ��� ��� �� �� ��������� ������������� ��Q��� � ������� ��������

������ ���� ��� � ������� ���������� ��� �� �� � ���������������#��� ������ ���

� 2�202 �������� � �� �� � �� ��� ����� ������ �

��� "�� % A 6 �8< "�� % H "��� � A 6 �8< � %�

"��� ������ � �������� ��� �� �� � ��� � � ��� ��� �# ������ ����������� � ���� ������ ������%

��1(+� � ���� ������� ������ "���#� �������� ����� � ��Q��� ������ ���% � �� � ��� "�� % � � �8< "�� % ��� ������ ����Q ��� ����� ������ ������ �� �������� � H ��� � � � H �8< � �� � ���� ������ � �� � ���� ��� ������� � �� ��� ��� "������ ��� Q��� �� ���� � ������ ������ �����% � �!�� � ���� ��� ��� � ���� � ������� ������ ��� ��� ��� �� �� ��� �� ���� "� � � % �� ���� �!����� "� I A � I H �%

! ����� � � �� ��� ������ �������

��� "�� % H ���I � − �8< I � � �8< "�� % H � �8< � ��� � �

��� "J� % H � ���� � − J ��� � � �8< "J� % H J �8< � − � �8<� � ��������� ���� #��� ��� �� � � �� � #��� ��� ��

�� � � �� ��� "�� % ���� ���������� � ���� ���� ��� �� ����� ������������ � H ��� � "������ ����� �8<I � � �− ���I � % ��� ���� �����Q�� ���� ��� �� ���� �������� �������� ���� ����� � ��� Q���� � �� ��� ����� ������ �������� �������� "7������ ����� Q��� �� ��� ? � �� ������� 7������ � ����? � ����� � ����������� � � % ��������� �� ���� ���� ���� ������������ � ������ ���Q�� ���� �������� ������� C

FG "� % H � � FI "� % H �� I − � � F� "� % H �� � − J� � � � ������ � ����� � �� � ����� ����� C ����� ���� ��� � �������

����� ��R

I �� ������ ���� ��� � ������� ���������R

� � ��

� �� 6( � �+���+ ( \ f ` f UV WXYZ[( G #�� #������� ��#�$� �� ��������' ��. ����1G 6K �$�#�+� � Ie�� ( EFFF4 6

�S

Page 11: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

�� ��������� ���Q �� ���� ��� �� ��� !��� � ������� � ���S ���� �� ��� ������� ������ ������� ������ ��� ����� �������������� ���

���� ������ �� ���� �� ���� �� ������Q�������� � ����������� ��� ������ � ������ ������� ��� ����� ��� � ������� ��� � ��Q�� ������� ������� � ������� �� ������� ��� "� ������� � ����������� ���� ���� ���� ���% ������� � �� � ��� ��� �����# ����� Q��� �� �������� � �� �� � �� ������� �# ���� ��� ������ � ��Q��� �� ��������� ������ ���� ���� � �� �������� � � ��� ������ #� �� � � ���� � ���� ��� ����� � �������� ����� ����� ����� �� �� #� �# � ���� �������

��' �� +.1+ ,'()*+,-./� 01-+* �' )'.��1� ,�2�+�.1'.'����������� � ��� ������ ���� ��� �

R

� ��� � �� � � ��������� �������� ������� �Q������ ��� ������� ��������� ���� �� ����� !������� ���������� � ����� �� � ����� � 6� � H −� ��#������ � ������� ����������

��� � �������� ��� ������ �Q������ ��� ������� ������Q��� ������ � � 6 � � � � "������� �������� ������� ��������Q���% C @ A B6 A �� A �� ���� @ �������� � �������� ������"���� � �� % � � ��#������ ������ � H B6 A �� A �� ���� �� ��������������� ����� 7������? ������� ������� � ���� � ���� ������ !� ������ ��������� �������� � ���� � ��� �� ��� ������� ����Q������ �� �����������

7��� �? � � 6 � � � � �������� ��������� ��� �� ������� ������� ���� ���������� ����������� �� �������Q

���� � �� ������ ����� ������ ��������� � ��� ������� ��������� �����Q

�� ����������� ������� �� ������ � ��� �� ������ � ������������ ������ ���������

� ���� ���' 3��0�$ �+��0�: -� C| ��#&5+& C}wu /�$ � J+*�/ ����� ���#* ��)+ �0 ��+���!���' � � � ( /$� H ���;#�� � !�+�0 � 2 �+�*�* �� � �

C6 8 ���;���!� ��* ���* A+��5 �;$* �# v !/*�# C}|v /�$ H ���;#�� ��: �# � �*$;5�3#�' 2 �+�*�� K 7 L L L <� ( ������� ( � � � $���; ( �� *%� �#-+� �;9 6 1 f f � X�Y]j( 8 +� ?������ �+��?��� ��. ���� ( �. + 0!�#�� � �+�������� ! 2�0��� (G 6K {�0� #��# ( CB|F ( CFu� CFw 64 = �V ^_ f V b[f

E∗

��

Page 12: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

����� � ����� ���� ������� ������ ���������� C

� · � H � � � · 6 H 6 � � · � H � � � · � H � �6 · � H 6 � 6 · 6 H −� � 6 · � H � � 6 · � H −� �� · � H � � � · 6 H −� � � · � H −� � � · � H 6 �� · � H � � � · 6 H � � � · � H −6 � � · � H −� �

������� � �� ����� ����� ���������� 7���� � ? ��� �����Q�� � ����������� � � �������������� C 6� H � � � � 6 H −� �� ����� � �� 6� H � � �� ���� ��� ����� ������ �� ������ �� ������Q�� ������� � ������� � 6� H 66� H −� � �� ��� ��� 6I H −�

������� ������� ������ ���������� ��� � ���� �� � ������6� H � ���� ����� ����������� C

6� H � � � � H 6 � � 6 H � �������� � ����������� � � �� ������ � �������������

�� � ����� ���� � ���� �������� ���� ��� ��#������� ������Q��� � ������� � �� �����������

��� ����� ���������� � � � � � ����� ���� ��������� ������� C

� A � H � A � "������������� �� ������ % �"� A � % A � H � A "� A � % "�� �������� �� ������ % �

"� · � % · � H � · "� · � % "�� �������� �� ������� % �� · "� A � % H � · � A � · � "�������������% �

����� ����� �� ������� � ������� ������� ����� ��� �� ������ ������� ������ �� ��� �

���� ��� ��� ��������� �

� H @G A � G � � H @I A �I ��� ����� �� ����������� �� #� �� ����� ��� ������ ��������� C

�� "� � % H @G@I − BGBI − �G�I − � G�I �� s�� +# �+�$��%�� ��#�$ �����/� ����"����& /����#+�� � !��5+ %���& �0 � )

#�� #��� ( � � � ��' 7$����+ #������'9 K !�$; �"5�' #*��? �+�$!�/ �#�& �+���$�5��� ��#�$� �#��; %� *���:�� ( � � � � ��' /��� �;��' *� 6

��

Page 13: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

� � � �� ����������� ��� ������ ���� @G@I � ����� ����#� � � ������������� ���� ������� ������� ����������� ��������6I H −� � � I H −� � � I H −� � � ������ ��� ������ � ������� � ���Q�������� �� �� ���������� � ���� � ��� �� ���������� ���� �����Q��� ��#������� ��������� ��������� �������������� ������"6 � � � � % �������� �������� ��� �� �� ���� ��������

BGBI A �G�I A � G�I H "� G � �I % �� 2�202 �������� � �� ������� ����������� ���� �������� ���Q

� ����������� �� ��� � ���� ��� � ��� �� ��� C

"� G � �I % H ‖� G‖ · ‖�I‖ · ��� "� G � �I % �!� ���� ����� ��� ����������� ���������� � �

M9 "� � % H @G�I A @I� G A �� G � �I � �

��� �� G � �I � �������� ����������� �������� � G � �I ����������������� ����������� ����� �� ����� ��� ������������ C

�� G � �I � H∣

BG BI�G �I

6 A ∣

�G �I@ G @I

� A ∣

@G @IBG BI

� �� 2�202 �������� � �� �� G � �I � ������������� � G � �I !���� ��������� ������������� ��� �# ���������� ����Q

�� �� "7������� ������ ����?% ������ �������� "� G � �I � �� G � �I �% ���������� ��������� ��� �� �

��� ������ ������ "6 � � � � % ��� �� �� � �� ��� �� ����� ���� ����Q���� ��������� � ������ � � ������ ������� ����� ������������ �# ����� ������������ � ������� � ������ "6 � � � � % � "� � � � 6% ����Q������ ��������� �������� � � "6 � � � � % �� �

!������� ����������� ���� �������� ����� ��� ��� �� ������Q����

��1(+� �6 � � � H � H − �� � 6� � �6 � 6� H S ����������� ����� �� � G � �� �I ��� ������ ������� ������ ��� ������ ������� ����������

�� ����� ���� ����� �� ��� ���� ����� �� � ���� � ��������Q��� �� ������ ���� ��� ��#������� ��������� ��������� ����Q�� � �� ���� ��� ���������� ������������ ��� �� ��

R

I � ���� �

�J

Page 14: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

����#�� ���� ��������� ����� ��R

I C

� �������������� ���Q���� � F � � 7→ F� � ��� F H ��� � A 6 �8< �

5

� � � ���� � �5 � ���� � �� � ���� � ��

e� 6 B 6 �+# ��� !+ , ���& � �/� � �+ !�&",�� �����*�� 6��� ���������� ���� ����������� ���������� ����� �Q

� � F �� ���� ������� ����� ��������� ���� ��� �������� � ��Q���� ��� "������� � ����������������� � ������ ��� ��� �������3������%

$� � ���� ��������� ������������� ���������R

� � ��Q������������ ������������ ������ 6 � � � � !��� ��� ���Q������

R

� ����������� ���� � �� ���� ��� � ����� �������� ��Q���� ���� �� �� ���� ������ ����� � � ������� ����#�� �������� ��� � � � � � � ��� "6 � � � � % C � H 6 ��� � A � ��� � A � ��� !��� ���� ��������� ��� ���� ������ ���� �� �������� ���� ���� � ���Q����������� ���� ������ ��������������� ��������� � �

3������� ��� �� ���� ��� ���� ������ ����� ��������������� ����������� ����� "���������� �������� � �������� Q���� ��������� ��� % �� ������� �������� � ���� ������� � �������� �

� �� ������ � ��� ����� ������� ��� ��������� � ��������������� ��� ��� ������� ������� �� ������� ��� ������� "� ��������#����� ��� � ���������� � ���� ����� �����%

� ����� ��������� ������ ��� ���� ��� ��������� ���������R

� � $� ����������� ��� ����������� ����� � ���� �������� ��Q�� ���� ����� ��� ������ �� � � ����� � �� ��������� ��Q��������� ��� ���� ��� ���� ����#� � � ��� � ���� ��� ����Q���� � ��� � �� � C ‖�‖ H � 3�������� ������ �� "J% ���� ������������ ���������

R

� ������ �� �� � ���� ��#� � 2�202 �� ����� ��������� ����� �� "� % ��� ���� ��� ���Q

�����R� � R� � � � ������ � �� � ��������

��

Page 15: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

! ����� ��� �� "� % ����� � ����� ��� ������������ � � � �Q������ ��������������� ������ ��� �������� ��

R� � � ����� �

"7�� ������?% ������� ������ �� ������ �� �������� ������� ���� ��� ��#������� ��������Q

����� ��������� ��������� �������� ���� ���� � �)� +�+*+.1+ ���� ! "���� � ��������� � H @ A � ��������

�������� � H @ − � �)� +�+*+.1+ � ��� �� �� ����� ��������� � �������� ���

� · � H @I − "� � "−� %% H @I A ‖�‖I

>S

��� ����� ��� ������ ��� � �� ����������� ��� � 6H S � ��Q�������� � ������ �������� ��� ���� ��������� ��� ������ ���

�� H "@ A B6 A �� A �� % "@ − B6 − �� − �� % H @I A BI A �I A �I>

S �������� � ���� ��� ������ ����� ���� ��� ���

���� �� �����Q���� �������� ����� ���� � �� H @ A � C ‖�‖ H � �

�� ���������� ����@I A ‖�‖

I H � �������� ������ @ � ‖�‖ �� ���� � �� ��������� ��� � C

@ H ��� � � ‖�‖ H �8< � �$� ���������� �� �������� � ���� � H ��� � A �8< � · � ′ � ��� �

′ ����� !����� ��#������� ��������� �

′����� ���� ���� � �� �

�� ����� �������� ��� ������ �� ��� ��������� ���� ��� ��#� Q������ ��������� � �� � �� ���� ���� �

′������� ����� ��� ��

���� ��� ��� ��� � ��� ��������� � ����� ������� � �������� ������ ���� � ���� � ��� ���� �� ��� � �������� ���������������� ������ ���� ���� �� ������� ������ ��� ������� ���� �������� ��� 7������ 3�������? C ���������� � � �� ���� � ��� ��Q������ ��������� � ����������� ������� � ���� � ������ �� �

′�

��� ������� ������� ��� � �������� � � H � �� �

� H ���( �

�) A �8<

( �

�)

· � ′ �

������ 3������� � ��� ��� �� ��� � ������

��

Page 16: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

� 2(+02.1+ �Q�� ������ ���� ��� ���������� �������� ���Q��� � ���� �������� � �������# �� ������ ��� � � ∈ Z

!�������� ���������� ��������� ���� � �� �������# �� ������ �� ��� � �Q #�� � �� ��� ���������� ��� � ���� � �������� ������ ��� � ������� �� ����� ±� H ��� "� ��% A �8< "� ��% · � ′ ��� ������ � ����� � ���� �� �������� ���� ��� ��� ������Q��� "����� ������ �����%

!� ��������� ���� ���� � "‖�‖ H �% � ������� � ��� � � �R� ����������� � ��� ��������� ������� ��������� ���� ���� �

���� ��� � ����#� ���������� � ��� � � � �� ������ ���� ��� �������� ������� C � �

→ �� "J% H � � �±��+'� +(2 �� ��� �!���� ���� ��� � �� � �� �� �� ��� �� � � � � �

�� ��� ������ ��� � ���� �� ���������C ���� � "� % � � � ����� ������� ���� �� ��� �� ����� � � � �

� "� G�I % H � "� G %� "�I % � "∗%

������� ���������� ������� �� ������ ���� ������ ���Q���� ���� ��� "��� ������ ������������% ��� ����� ������������� ��������� ��� ���������� ��������� ��� � ���� ��Q��������� ��������

� +((2 |� G�I| H |� G| · |�I| �������� � � �� |�G| H � � �� ������� � ����� �������� ����������� ����� ����� ������ � ������ "∗% "� ������� � ���� �������������� ������%

���� F �������� � |F | H � � ���� ���������� ����������F � �������� � ����� ������� C

� 7→ F� F−G� "∗∗%

�)� +�+*+.1+ ��� �� ��� ��� �� ������ � ��������� F �����Q��� ����� �������� F−G � �� F−GF H �

����� ������� �������� ������� � ��� ����� ���� ��� �� Q���� �������� ��������� F ����� �� ������� � ��� ��� ��� ����� ��� ��������� ��� "7���� �� ?% ! �� �� �� �� ����� F−G H F ���� ��� F F H � ������ ������������� "∗∗% ��� ���� ��� ���Q������

R� "��������� ���� ������ � �� ��C%

� �� � H � � �� ��� ���� ���� ��� � 7→ F · � · F � �� ��� ������ �� ��#�� ��� ������������� "∗∗% � ���� !��� ��� ��������� ���Q������

R� �������� � ���� ���� � ����������� ��������

��

Page 17: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

� ������� � ��������� � ��� � ���� ��� ���������R� ����#� ���� �Q

�� ��������� ���������R

� $��� ���������� ��������� � ����� ���� ���� �� ���� ���� ��� ��#������� ��������� � ��������� ���� � �������� ��� ������ �� � ��� � ��������

3������� ������� "∗∗% ��� ����������� FGFI C FGFI� "FGFI %−G � �� �� ����� "FGFI %−G �

�������� �� ��� � C "@B%−

G H @−

GB−

G � ����� �

��1(+� ���� @ ��� ��� ��� ������ � � B ��� ������� ����� B@ ��� ������ � ����� ��� ������� ���������� ���Q����� ������� ������ � ��� � �� � ����� ������� � � ��������� ����� ������ ������� "B@%

G H @−

G B−

G ���������� �� � ����������� FGFI ��������� �� �� � � �� ��

"FGFI %� "FGFI %−G H FGFI� F−GI F−GG H FG "FI� F−GI %F−GG �

����� �� "∗∗% ������� ��������� FGFI ���������� ���� � �� � ��Q��� ���� ����� �� "∗∗% ������� ��������� FI � � �������� �����Q ��� "∗∗% �������� FG C

"FGFI %� "FG FI %−G H FG �FI� F−GI �F−GG �

��� ������ � ��� ������ ��� ������ "������������ � �% ���Q���� � ����� ���� ��������

"� "FGFI %% "� % H "� "FG %% �"� "FI %% "� %� �! ����� �������� ����� ���� � ���� ��� � � ������������� ���Q

������� F ���� ���� � � ������������� ������ ����������� �

� "FGFI % H � "FG %� "FI % �

��� �� ����� ���������� ������� ���� ��� � "F % ����� � ��������������� ���������� ������������� �� ����������

���� ���������� ����� ������ ������� ���������� ����� ���� ���� ���������� � ��� ������� �� ������ �� �������

������� ���� ��� ���� �������� ����� �� "∗∗% ������� ���Q������

F H ��� "� ��% A �′ �8< "� ��% � |� ′| H � �

u����� 6� 6 �T

Page 18: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

��������� � ���� � ������ �� ��� ����� ��� " ����� �′% � ���Q

������R

� ��� ����� ���������� �% ��� ���� �

′��������� ��� ���� ����� �� � ��� ����������� �

����� ���� �������� ��� � ������ ����� �% ������� � ��� ������ ��� ��� "� ��% ��� ������ � ��� �� Q

��� ���������� ���� �� � ������ �% ������� � ��� ����� �������� �

′��������� �������Q

�� �� ����� �′� ��������� ������ ����� ���� "��������

�������� ����������� ������ ������� � ��� ���� ��� % �% ������� � F �������� F−G H F ����� ����� �� � ��� F � ���

"� �������������� � % � ������� ������� � F−G ����� ��� ����� ���� � ������� � F ���� � �������� :% � �%

���������� �% ���������� �������� �� ������ �% � � % � � % �% ����� �������� � �� ���� �������� ���� ��� "∗∗% ������ � �

���� �′���� � � �� ���� � �������� ��� ����� �� � ������Q���� �Q

�� ������ ��������� � �� �������� ���� �������� � ���� �′

� ��#������ ���������� ���������R

� ��� ����� ��������Q��

������� � � F ���� ������ ����� ���� ������ ����� �����Q��� ������������ �������� � ���� � �� "��� �� ������� � ��Q���� ��������� ��� ���������� ��������� ��� % �������� F−G ����� ���� ������� � � �� "������� � ��� ���� ������ ������ � ��

� F−G H � F H F� �

� ��� ����� ��������� ��� �������� ����� ���% ��������Q�� �% �������

� 2(+02.1+ ! �������� ������ "������� � ��� ������ ���� �Q�� ���������% ���������� � �� ���� ��� ����� ������� � ���Q��� ������ ���� ��� �� "J% � � ���� ��� �� ���� ���������� Q��� ��� ���������� ���� ���� � � ������� � �������� �������� ���� ���� ������� ��� �� ��� "��� � ����� ����� � ������ �Q��� ±���%

��� ������������ � ��� �� �� ������ ���� ���������������� �� � ��� � � � ���������� ���������

R�� G �� � ��� ���� �Q

��� � Q����� �� ����� ����������� � ������� �������� � ��������� � �� �� ��� �� ���� ���� �� ���� ������ � ����� ���� ����

R��

"�� R %

��

Page 19: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

�������� ������ ���R

� � �

−�−�−�

� ′ � ′ � ′

� � ′′

������ �� � �

�������

��� ��� �� ����� ±�

� ′

� ′′

�−�

� ′

� ′

������R� �� ���� �������������

����! ��� ���� ���"���������� �� ��� ������ �

#$%&' ( �����

e�� 6 B 6 z��#+����� �+���#�!��' �������#� �+�����! ���� ���#� G-5�)*� � �+*/* �

′�

′) ′1��� �+���#�!��' �+&��'

R* ~ 75 ���������)*$ �-���.9#���� � 22����' ������ �#�

R+ 4 6��� ����������� ���� ����� ������ ��� ����������� ��� ���Q

������� ���� � ������ �, � ��-������� ���������R�� G C ����

����� ������ ��� ��� � ����������� ����� ±. ���� "������������ Q��% �� �� ����� ��� ���� �� � ����

��1(+� ���������� ������R� G ��� �������� � G � �� ������

��� ������������ �� �� � � � A � �������� {� 9 �/ ��} ���� ������������ {� 9 �/ �} H � G�±� ≈ � G

���������� �������R� I ���� ���� �� ������ ��� �� ��

R

I���������� 7����� �Q����#�� ������?

R� G � ��������� �� �����

����� �Q����#�� �� �� � ������ ������ ������ ��� �� ��"������� ����� ������ � ��� ����� � �� ����#� � ��� � �� ������� �Q����#�� �� ��%

� ���� �# ��� �� ������� � ���� � ��� � ���� ������� �������Q������� �� �� � � ��� � ��� � I � � ���� �������� ����� ��� � I"����� � ���� ��������% ����� �������� ����#�� ��� ��� �������� �� � �������� �������������� � −� � � �������� ����� ��������� ��� ��� �������� � �� ������� "�� R%

$���� ��� �� � �� ���� �� ������ �� ���� � �� ������������� �Q����#�� "� �� �� � � �����% ������ � ���������� ��� Q����

R� I ���� ������� ���� $ #���� "������� $#��� ��� � ��Q

���� % � �������� ��� ���������� �������R� I ������������

"��� � �� #������� ���������� ���������R� I� � � ���� ��

u∗

�R

Page 20: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

�� � #�������R� I�� G � ������� �� ����������� %

��� � �� "J% H � � �±� HR� � ������������ ��#������ �����Q

����� ��������� ��� ���� ���������� ��� ��� ������������������ � ���������� ���� � S

6�

6� � ������ ���������� ��� �

������ ���� ��������� � ���� �� � ��� ���������� ��� ����� ���� ��� ���� ������ ��� � �� {�} ��Q

���� � � ��#������ ���������� ��������� �� � ���� � ������ ��� ��� �� # ����������� �������������� �� �� � ��� ��� ���� �Q�� � ���� � ������ ������� � �������� ���� ���� � ���� � ������������� −� "� ������ ���������� ���� ��� � �� �� � ��� ��%

� 2�202 ��� ������ �� ������������ � CR� → R� ������� ���Q

������� � � � ������������� "����� � ��� �����Q������% � ���������� ��� ��� ���������� � � � ��������� ����� ���

� "� A � % H � "� % A � "� % � � "�� % H � "� %� "� % �

� 2(+02.1+ ��� ���� ��������� ��� ������ ������������������ �� ���� �������� C � "F % H F � � "F % H F

���������� �������� � ������� ������������� � ��� ������ ����� ���������� F � � ����� ���� ����� ����������� ��� �����F� H � ·F � � � F ·� "��� �� ������� ���� ! ���� 7��� ��� �� �� ���?%

�������� ������������ ������� ���������� ������� � ����� �������� ����� �� �� ��#� ����� ������� C

� "@ A B6 A �� A �� % H @ A B6 − �� − �� �� 2�202 � ���� �� ������������ ������� ���������� "�� ��Q

���� � ����%

� +,'�'�/+ )�1(+�/�)� +�+*+.1+ ������������� "��� ����� �� �����% ���������

���������� ��� �� �� � ��� �������� ������� ���� ���� � � � ��� ��������� ������ ��������� ���������� ������ � �������Q�� ���������� ������

� 2�202 �������� � �� � ��� ������� ���� ���� �� ���� ������������ ������ �� �������� �� ������� �� ��� � �� � ���� ����� ������� �� ���� ���� �� ���� �� ������ � ���� � � �� ��� ������� �� ��� ��� ������ ���� ! ���� "� � ��� � ���� �� ��� ��� ������������ �� ��Q���� � ������� ��� ��������������%

�S

Page 21: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

3������� �������� � ���������� ��#������ ��������� � �Q�������� �� ��� ���� � ������ ���������� ����� �� �� � ��Q������� ���������� ��� �� ��

R� I ������ ���������� �������Q

������ � ��������� ��� �� �� � �������� ������� � � ����������������� � ����� �� �� �� ����������� ������������� ������������������

R

� � ��������� �������� !�����

R� � � ��������� ���������� ����� ��

C� I � �� ����Q

�� � ��� � �� �� � ���� 7���������� �������? ������ � � � ����Q���� ������ ��� ��������� ��� ���#��� ��������������� ���Q���������� ��������� ��� �� ��

� 2�202 �������� � �� ��� �������#�� 7����� ���� ����� � �� ��� � � ���� ��� �� � ��� �� �� �? ���� � ���� � � �� �� ���� ��� �� ������ �� � ��� ��������� � ����� �� � ���� �� "� �� ��� �������� �� ����� ������ ���� ��� ���� ���� ��� � ������� � ������� ��������� ����� � ��� ����� �������������� �� ��

� 2(+02.1+ $��� ������� � �� ��� �� ������� �� ���� � ����� � ���� ��� �� � ��� �� �� � "� � ��� � ����� ������ �� ���� � ���� � ����� ��� �� ���� ��� ����� �� �% ���!�� � � ���� � � �� ��S ���� ��� �������� �� �� ����� ��� ������������� ��� ��� ������ ������������ ��� �#��� C ��� �� � ���� "�� �S% � H � · J ��� ��������� ��� H J · � ��� �������� "��� ����% � JS H � · � ��� �������� "��� ����Q������%

� � �|� � | � ��

� � 4�|� � | � �� |��| � 4��� � �

e�� 6 CF 6 >�#+ 3$+ ( ��# 3$+ � ���� 3$+ ( �. /+*��� �����#+�' � ���� + �)5 �+ e 6 ���! #�#+ 3$+ ( ��# 3$+ ( ���� 3$+ � $�$�� 3$+ �0� � "# 7��#�+-.)/+ ����9 ( 7!��;��/+ ����9 ( 7$! $? #�/+ ����9 � 7$!�� $? #�/+ ����9 6

!� ��� ��� �� � ����� ��� "� A �% "� A �% � ��� � H � � � � � ��������� "����������� ��� ������ ��� � ��������� ��� ����������� � ����������%

�� ���� ������� ��������� ��������� �� ����� � ����Q���� �������� ���������� "���� �������� ��� ������������ �� ��Q��� ������� �� ���������� ������������� � ��� ������������%

� �

Page 22: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

$��� ������� ����� � �� ���� ���� ���������� � ������ � ���"� ������ ������ |� � |�|� �| H ����� H �% ������ � ��������Q�� �� �� ���#��� ����� � ������ � ��������� "� ������ ��������� ���� ���� ����� ������� �������� �� ��������� �������� �������� ���������� � �� ��% ��� ��������� ���������� ��� � ����������������� � ������ ���� � ��� ��� ��������� ����� ���������� ������� � ��� � ��� ������� ������ �� �������� ���� "������� Q��� ���������� ���������� ���� �������� � �������� ��������������� ���� ����� ����%

e�� 6 CC6 >�#+ 3$+ ( !��� ���' ! �*5 ( � �*5 ( !��� ���' ! $�$�� 3$+ 6

������ ���������� ���� ����� �� � ��� � ��� �� �� ������� �Q��� ��� �������� �� ��������� ��� � ���������� " ��������� #��� ������ 3�������% � ���� ������� ����������� �� ������Q���� ���������� ������

H� G

≈ � � ����������� � ������ ���������� 7����� ��������� ��� �? �

��� � H� − �

I� A �

I � �8< � H��� A �

I � � H �;�

� �

��������������� ��������R� G � � ��� 3����

C� G

�� ���� ���������� ���������� ���� ����� �� � �� �# ���Q������� � ��������� ������ �������� ���������� N� 8< "� %� N� 8< "�% ����� �� "� % � �� "�% ���� ��� � �� ���������� J � � ������� ��� � ����� C � � � � �� ��� ��� � ������� ������� ��������Q��� ����� �������� ����� ��������� "� �� ����� � ��� ���� �� �� � � � "�SS �% � T�� TT%

������� ������� � ��� ��� � ���� � ��Q������ � ���� ���������� ��� ��� �������� ���� � ������ ��� C ��� ���� �� 7������Q���� ������? ���� ��� "� � � � � % � ��������� ������ ���� ��� Q������ ���� ������� ���� � ��� �� � I A � I H � I �

��

Page 23: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

��������� ������� "JI A �I H �I � ��I A �I H �JI % ���� �������Q����� � ������ ������ � ���� ������ ������ ���� � �������� ����� ���#��� "������� � ��� ������� ���� �������% �� ��� �� � ��������� � �� ��� � ��� �� �������� ����������� � ����� �������� ��Q������ � ��������������� � � ��������� �������� ����� ������ ���� C ��� ��� ���������� ���������� ������ ����� ���

� H �I− � I � � H ��� � � H �

I A � I �

��� "� � � % ������ ������ ���� �� � "����� #���� � ���������� ���� �� �� ���������� %

� ������ ����� � �� �� ������� ����� �������� ���� ������Q�� � ������� �������� ������� ��� ��������� �� �� ������Q�� "� � ��������� ��� ��� ������� �������� � I A � I H � ��� ��������� �������� ��������� ��� ��������% �� �� ��Q������� � ��� �� ������ � ����� ������ ������������� � �����Q����� ��� ��� ��� ��������� 7�������� ���� ��� �����? � �����√� − � I �� "� ���� ������� �������� ��� �� �������� ����∫ � "� � � % �� ���� � ������ � "� � � % H S � ��� � ���� �� � � ��Q ���� ��� ��� �� %

�1�� +� +. 12* �.'+ ��2�.+.1+ � ���'.2���� ��� ������ �� ������ � ��� ���

�I���I H � "� % �

���������� ������� �� �� � ���� �� ��� �� ������ ��� ���Q����� ������� ���� � � ����� ��� �� ��� � � �� ���� ��

� "� � � % H ��< �� � ��� � H� I� A � "� % �

� H ����� ���� �� � � ���� ��� ��� ������ � ������������ ���Q���� � "� % H −�� ���

� �� � ���� �� ����� � � �� ������� ����� ������������� � � "� � � % H � � �������# � 7������� ��� �� ��? � ������������ � � �� ������ ���� ������ "������������ ���� % � �������� �� 7��Q����� ������ � ? � � �� ��� � ������� ���� � �# ����������� ���Q����� ��������� �� ���� ��� ������ ����� �� H �� �� "�� ������� H �� ���%

�J

Page 24: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

�������������� ����� ������� ������� �� �� �������� ����� ������� ������ � H � ������� ����������� � �� �������Q�� ������� ��������� "��� � �� �� H � � �������� ���� % �����Q������ ������ ���������� �� � �� ��� �������� ���� �������� ���Q���� �� �������� ��������� ���������� �# 7��������� �����Q��? "����� 7������� �� ���? � �� � ������ ������� ��� ��� 7��Q�������? � ���� �� � � � �� � �� �� ���������� ������� ��������� ��� �����%

� 2�202 ���� ���� ������ ������ � ���� �� ���#��������� ����� ��������� "7����� ���� ��� ���� �����?% 3�Q������ ������� ���� ������� � ��� � � ������ ��� � ������������ ����� ������� ����� ������ � � ����������� � ������ ��Q������ �� �� ����� � C ������� � ����� �� ������ ��� ��� � ���� �� �Q����� �

���+� ��� ���� � �������� ���� ��� ������� �������� � ��Q������ ������� ��������� ������� ������ � H � ��� � �������Q ���� ������� ��� ��� �������� � � ������ ��������� �������� ���� ���� ����� ��� �������� ��������

� 2(+02.1+ ������� ���� ��� ��� ��� ����� �� H ���� ������������ �������� ����� � ���� � ��������� �� ���� � ����� �� �� � �������� 7��� #���? C ������� ������

Z� G A

Z� I H � � ��� � G

� � I �������� ���� � ��������� � ���� � �������� ���� �� ��� �������� � �� ��������� �� ������� �� �� ��������� ����� ���� Q��� ������ �� ��� ��� �� ��� �� �� �� � ���� � ��� #� ���� ��� ���� ������ �� ��� �� � �� �� ��� � ���� �� ����� ���� ����������� ��� ��� �� ��� #��� �

����� ������� � ��� �� � ���� ���� ������� ��������� ����Q������� ���� " �� ���� �� ���������� ���� ����������% ���Q���Q���������

C�� H

C� "

Z� G A

Z� I % � ��� ��������� ��� � H � �

��� ��� ����� !������ ����� �� ���� ��� ���#���� ����� � ���� ����Q

��� � �� �� ���� ������ �� ��� �I � �� ���� ���� ���������������� ���������� ���� ������ ��� " �� �������� ��� � ��������%

!� � ��� ���� ������� ��������� �������� ���� ��������������� � ��� 3���� � I H

C� G

!���� ���� ������� ������ ���� ������� � � ���� � �� �Q������ ���

��

Page 25: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

�� �+'� +(/ �1� 2�'�2 , �1(2.'�/( )'�+��.'-��(3������� �������� � I A � I H � � ����� � �� � ����� � ��

�� �� �� ���� ���� ����������� "� � � % ��� ����� �� �� ��Q���� C "� H � � � H S% ������#� ���� ��� �� �� ������ ��������� � ����� � � �� �� "� � �������� � H � "� − �% � �� ��%

���

���

−��

� � � � 4� � � �� − 4�

e�� 6 CE 6 z��#+����� + ?��� �;��' � + ��#+�0 ?�� ��+*%���#� # �/��)��� � ����!����/� */� 6

��� �� �� ����� ��� ���� ������ ��������� �� ��� ��Q���� ������� ������ ����� � ���� ������� ��� ���������� ����������� ������� ��� ��������� � �� �� ����� ��� ������ ��������� ��������� ���� �� ��� ��������� ������ � �� ��Q���� ������������ � �������� 7�� ������� ������? � ������Q���� ����������� ��

� H � "�% � � H � "�% � "�%

��� � � � �� ������� ��� �� ������� �� �� �� ����� ��� � �� ����� ������ � ��

� H �I− �

�I A � � � H −

��� A �I �

��� �� ������� �� ���� � � � ��� � H ��−

G �� ������ � � ��� ��Q ���� ��� �� ��� � �� ������ �� ���� ��� � � � �� � ������� "�% ��� −� H � �� ����� � � � �� ������ ������� ���� ������� ���7�����������? ����� "��� � H � �� � � H � �� % �������� �����Q������ "������� ������� % ����� "� ��� � ���� � � � ��� ����� #���� �%

w����� 6� 6 ��

Page 26: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

� ������ ����� � ��������� � � ��������� ����� ������� ��� �Q���� ������� � I A � I H � � ���� �� 7����� �Q����#��? � �������Q��� � ��� ��� ���������� ����������� �� ��������� ���������� � �� ���� 3���� � � I H

C� G

���� � � � � �

≈e�� 6 Cu 6 �����#����� & �+�! & �#����� u K �- !�, ��#!����� #���� � �-

+�� ��! ��!�+.���#; 6��� ������ ���� ���� � "� � � % ��� � ���� �� ������ ���������

� H S � ������� ����� � � ���� � ����� �������� � ������� 7����Q��� ���� ������?

� I H � � − � A �

����#� ��� �� �� ��� � ��������� ���� � G × � G � ���������� �����7� ���� ���� �� ���? "�� �J%

e�� 6 Cw 6 e�� ��! ��!�+.���#; +�$ � � u K �2 �+ � #+��& +*�� �� 6! ��� �� �� �� "������� � ��� ����� ���������� J � � � ����� �� Q

���� ����������� �� A �% ���� ���� � �� ���� �������� ���������� ��� � �� ���� "�� �� � ��� � �������� � ���� ��������� %

!�� ���� ����� �������� �� ����� ������������ �������Q��� "��� ����� ��� ��������% � ��������� � ����� � �� ����"� H S � � � � � � � � %

��

Page 27: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

����� ������� ������ ������������ �������� ���� ��� ��Q��� ���� � �� ������ ���� ������ � "� � � % H S � ���� � ��� � �� ������� ��� � � ��� "�� �� ��� �� ��� � ���������� ��� � "� � � % �� % ���� �� � �� �� ����� �� ����� ���� � � �� ��� ���� � �� � �� ��������� ���� � �� ��� � H S � ��� ���� "� � �� ���� ��� �� ��� �� ��� �� �% �

� ������� � ��� � H � I A � I− � �� ����� �������� ������ � ��� ����� ����� ��� ���� � ������� �� �� �� ������� ��� �� �� ��Q������ �

� "� � � % �� H∫

� "� "�% �� "�%%� ′"�% ��

"��� 7������ ��������� ������? � �������� ���� ��� ��������� ������� ����� �������%

� �� ��� ������ ���� S �� ���� �� � � � �������� �� ������������������ �� � ������ �� ������ ��� ��� �������� ���"�������� ��� ���������������� � � �� ����� � � �� �� ��� ���Q����� �������� �� ����� ��������� ����������%

� �� �� ��� �������� ��������� ������ � H S ��� �� � ��� ��� ������� �� �������� �� �� ���� ��� ���� ��� ������ ��������� � ���� ������ ���������� ������ �� ��� ��� � ������������ ��� � ���� ����� ��������� � ������ � ����� ����� ���������������� ��� �� ������� �������� � ���� � � �� � ����� ��Q���� � ���������� ��� ���

������� �� ���� �� ������ ���� ������� ���� � � �� ����� ���Q� ���� ������ � ����� ��� ��� ��� � ������������ ����� ���������� � H � "������� �������Q�� � �������� ������ ������� �� ���%

����� ������� � �� � ������ �������� ��������� ����� � ��Q�������� � � ������� ��� � � ������� �� ������� ���� ��������������� � ������������

� 2(+02.1+ ����� �� �������� ���� ��������� ���� ����� � ��Q����� ���� � ���������� ��� ��� � ������� �� ��� ��� ������������ "��� ����� ������% ����� � ������� � ��� �������

� � A @� A � H S

"� �������� � ���� �� � ������ �� ������� ����� ����� % ������� ��������� �������� ������ �� ��������� ��� �� � ��Q������ @ � ������ ������� �������� � ����� ��������� ����Q���� @ ������� ������ �� �� �������� ���� ������ �� ��� ��

w∗

�T

Page 28: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

!������� ��� �� ��������� ������������ ���� ������������� �� "@% � � ���������� � ������������� ���������� ����� �� ���������� ���� �� �� �������� � � ������� ������ ���������7������� ���������? ������ �� ��� �� � �� �������� @ � �� ��

e�� 6 Cv 6 H+*�� ����$+���� 2*��?�� 7�! $+ #��' ��+��;9 �� �#��# �0$!*. ��+��# ��!�� � 5��. ��+��' 6

������ ��������� ����� ������ �� ��������� ��������� "��Q���� � ����� ����������� ������������ �����% ������ ���Q������ ������� ���� ������ �� ��� �� ������� �� ������Q���� � �������� � ������ ����� ����� �� �� ���������� � ��Q����� �� � �� � ������� "���� ��� �������� � ������� �� �� ���Q�� �� ��� ��% �� ���� ������� ���� ���� ��� ����� ��������� ���� ! � ������� 7������� ���� � ���� �� � ��� ����? "$ C � �Q��� � �RT�% � ������������ �� ��� ��� �� ��������� �R�� ����

� �� ������� ������ � "� � � % H S ����� � �� ���� �# ��� � � ����� ����� ���� �������� ��������� 7��������� �� ������ �������������? C � �� ����� � ���� ��� � ��������� � �� � �� ���������� � � �� ! � �� ���� � �� �������� ��� ������ � ��� ��� ������ �� �� ������ ���� ��� � ��� ������� ��� ��� � � ���� ���������� � ��� �� �� ��� ��������� � � ��� ������� ������� �� H � ���������� �� � �� ��� ���� �� �� � � ��� ����� � �� ������ ����Q ��� �������� ������� � ���������� ��������� �������� "7��Q������� ���� ��� ?% � � � ����� ��� ������� ��������� "� ���Q���� ���� ������� � H @ A B6 H S ��� ��� ����� "@ H S � B H S %%

������� ������������� ��� ��� ��� � ��� ����� �� ���� ������� ��� ��� ��� ������ �� ����� � � ���� � ��! ����� ��� ����������� � �������� �������� ���� �������� "������� � ���% ������Q������� ��������� �� �� �������� ��������� ������ �����Q���

���#�� ���� ��� � ��� ���� � ��� ��� ���� ������� ���� ��� �� ����� ��� ��� C ������ � ������� � �� �� ��������� ���Q

��

Page 29: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

��� � H S � ��� � H � G · � � � · �� A � � � ��� �� ������ �������Q�� ��� �� ��� ��� �������� ��� ������� ��������� ���� ������ � � �� ���������� . ����� �� � ��� . ��� �� �� ����� ���� ������ "�� �� %

� � �

� � �

� �

� �

� ��!��� ������������!��� ����������

� �

�������� �� 6� �� ���� � �������

e�� 6 C| 6 >�����/�& !�, ��#!����' �/�5+ ������' �+�!�' � +�� ��!�' ��)!�+.���#� ���#� !�+�% $����' �+�!�' �#����� u 1$� !�0�*, ���& �����

�2 �+ � � u ( ����� ���$��&",�. #+*5���� � u ( +�$ � � C4 6

����� �������� ��� �� �� �� ����� �� ���C

� H"� − �% "� − �%

� �

����� �# �������� � ������� � �� ���� ������ ����� � H � "������%� ����� � H � "������� � �������� � ������� % ���� ��� � � � ��� ���Q��� �������� �� ���� ��� ����������� �� � � �� ������� ������Q��� ���� ������� � ����

3� ���� ��� ������ �������� �� # ������ �������� � � � ���Q������������ � ��� ��� ������ �� �� ���� � ������ "� ��� ����Q�� �� ��% ���� �� ����� ���� � � ������� ��� �� ������ "������� ��� ����� � ���� ������ � �� ���� ���� ����� �� � ��� ��������� ����� ��� ������ ��� ������ � ������ ��� �� �� ��� �������� C ����� ����� ��� � � ������ ��� ����� ���� ��%

������������� ������� �� �� �� ������� ������ ���� ��������� ��� ��������� ��� ������ �� ��� �� ������ ������Q��������� ������ �������� � � �� ������ ������ � H S � �� ����� � �� ��� ��� �# � ����������� ��� ��� ������������� �������� ��������� "� ������� �������� � �� �� ������� �������� ��� ������ ������ ������Q����� ��� �� �� 7� ����� �����?% ���������� � ������ ����� �

�R

Page 30: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

��−

G� ��−

I�I ������ �� ���� "� ��� �� � �� � � ������% ����� ��� ��� S �� � �� �� ���� �� � ����� ���� � � �������� �� �� ���� ������� ����� �# �� ����� � ���������� ��� ��� ������ � � ���Q���� � 7��������� ������� ���� ������? "�� �T% � I H � � − J� A �" � ���� �� ��� ������� �������� ��� � H � � � H S%

������������ � �

��

� � � � � 4

�� � ��� � �

����� � �

e�� 6 CD 6 I���*+ � �;� & ���5 & �+�! & ( ! $��; ��#�+ �' 5�+*#�& !�� 5�)��!� ��#�/+ �� ( � �- � � & ��+��#+�'� ! �����5*" 3����#�����*" �+�)

!*" 1! !�, ��#!����' � ! ����������' �5� �#� 4 6� 2(+02.1+ ! �� ���� ��������� � � �� �� ������� ���������

� � � �� �� �� �� ����� ����� ������ ��������� �� ���� �� ����� ����� ���� ��� � ����� � �� �� ������ � ��������� ���Q ����� �� �� ������ �� ��� �������� ��� "��������� �� ������ "�% � � "�% �� �������� �� ����� �� ������� �������� ���� � �Q��� ������ %

$���� ��� �� � ��� ������ �� ������ � ��� � �������� ��Q������� ������ ����� �� �� �������� ��� ������ ������ ��Q������� ��� ��������� �� �� ��� �� ��� �G � �I ��������� � �������������� �� �� �������� ��� ������ ������ � ��� ��Q��� ����� ����� ����� � �� � ����� �� ����� ������ ������������ � ���������� ���� �# �� �� �������� ���

� �� ���� �� ������ �������� ����� � �# �� ����� ����������������� � � ������� �� �� �������� ��� ���������� ���� ������ � �������� ���� ���� ����� ������ ������

���������� � ����� �������� ���� ������ ����� ���� �� ������ Q ��� ����������� � � � ����� ���� ���� �� �� �������� �� �����

JS

Page 31: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

�� ������ ���� ������ "�� ���� �������� ���������% �������� �Q��� ����������� "����������� � ������� � ������ � ����� �������� �������� ����� �� �� ������Q������ ������� ����� �� ���������� ��������� %

� 2�202 ������������� �������� � I H � I − � � ����� ���� ����� ������ �

� 2�+(2�10+-,1+ �� '1 /��� ������� ��� ������ � ��������� � ����������

����� ����� �������� ���� ������ � ��� #� ������ ��� ������Q������� ������ � ��� � �� ��������� "�� � ��������� � �� � ������ ��� � ������ ��� ��� � �������% �������� � ����� �����

������� ���� ������� ��������� ��1(+� � ��������� ���������� ������ ��������� C

R� G H � G �

������������ ��� ����� ����� ���������� �������� ��� �����Q�� �������� "�������� �� � ���� ���� ���� � � � ������������ �� ������ ������� � ������ ��� ������ ��� ����������� � �������� � ��������� ���� ������������ ��� ������������� � ����� � �������� � ������ �� �� ������������� ���� ������� ��������%

�+'� +(2 ���� �� �� ���� ����� ����� ������ �� �������� �� ������� � �� �" � �������� � �� ��� �� ��� � 7����� ������ ���� ! �����? �� ��� �� �� ����� "� �� ��� � �� �C

C� I � ��<� ≈ � � �

����� ������� � ��� ������������ �� ��������� ���� � �����Q������ ��������� ������ �� ������� � � �������� ������� �����Q�������� �� ������ ������������� ���� ��������� ��� " �� �������� �� ��� ��� � � ��� ������ �� �� � ��� � ����� � �������� ��Q��������� ���������� �������������%

� J���� ��$+� 5��� � 5�*% $���� 5��;: �/� � 5�+ 2 �#�! ��%�� � '#� ! �# #;� K\ f ` f UV WXYZ[( 7z���� #�� #�� K &!�&�#�& �� � #�� #�� �$���' � *��' ���� 5�+ �� +��-��� 9 ! �5�+���� 7����� ��� K � ���� ��� *� �� �����9 ( �0$ ������% $*� +�$��� � #�� #������� ��"0�� � A��+�� ����� � #�� #������� �5), ��#!�� ! EFFF /�$* ! �0� ����! ��� ���? #��&����#�& 1��$ +�$ 6 8 6 @ 6 A+)���;$ ( G 6 A#;& ( z 6 r �� � J 6 G 0*+ 4 6 z� ��+*���' +*����' ��+ �!�$ �5� )&!��� �0$ #��;�#!�� 7{ 0��9 ( G���! 6

J �

Page 32: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

������� ���������� ����� �������� �� ������� ������ �� ����� �������� �# ������������� ���������� ��������� C

H� � � ��� � ��<� ≈ � G� �

���� � ���� ��������� ��������� ����#������� "� � ��Q������ � ���� ���������% ����������� ��������� � � �����Q�������� �� ��#������ "��������� �� "J%% ������ �������������� �� # �� ��������������� ����������� ��������

��� ������ � ����� � �� ������������� ��� ��#� ���� ��������� ������ ����� �� ���������� ��� ��� ��� ������� ��Q������� �� � � ��������� "� ��������� % � � �������� ������� "������� � ��� ������ � � �� ���������� � �������� ������� �������� � ���� ∑�

�� G @� � I� % � ��� ������ ��������"� ������������� % � ���� � ������� ���������� � ����� �� ���� ��Q���� ������ ��������� � I

�� �������� ������� |� I� | ���������� ��������� � �������������� ���� "� ���������

�������� ���������C� � ����������

H� % ��� ��� �� ��Q

������� �������� �� ����� "� �������������R

I� ���R�� % ���������� ��������� ������� ��������Q��������� � ��� Q

������ �� � "��������� % ���� ���� � �������� ���� ��-��� � ������������� �����������Q������Q

�#�� �������� �� ����� � � ��� �������� � H � ��� �� ��Q������� "� � ���������� � � �� ��������������% � ����� �Q���������� ��������� ���� ��� � �� ������� ���������� C ����������� � ��� ��� ������� ��� �������� ��������� ���������� 6 � ��������� � � �� "� 6 � � � � � ����������%

������ � ���� ������ ������ ������ �������� ��� ���������Q�� ��

��1(+� � ����������� ��������� ������ � �������� �� Q���� ���� � � ����������� ���� �� �

! ��� ������ � � �� ��������� ��� ����� �� ���������� ��� ������� � ������ � ��� �������� ���� ����������Q��� � � ��� �������� �������� �������� ������� "��� � �����Q��� ������� � � �������!�����% 3������� ����������� ���������� " ����� � � ��� ��������% � ���������� ��� �� �� "��� �� � � ����� � ����������� �������� �� ���� � ������� �� ������%

� \ f ` f UV WXYZ[( e�$�#!������ 2 �#�+ ����������' �+���#�!��' �������#� �������������* ���+&%���" 6 >+*$� G #�� 6 @��#�#*# �� 6 8 6 A 6 �#����! eA< (#�� EEw 1CBBB4 6

J�

Page 33: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

� �������� �� ������� ������� ���������� � � ������ ������������ � �� ������ ����� ��� ������ � �������� ��� ��� ���Q�� ��� ������� ��� ���� @ H B � ��� �� �������������� ������Q��� ����� ����� ����������� ��� � ����������� ��� �������

��� � ����� � � ��� C ����������� �������� �� � ����� I A ���� A � � I

����� ��������� J "� ��������� � � � � � % � � ����������� ������Q��� ��������� � "��� ��� �������� ����� � ��� �������� Q��� ���� �������%

!��������� �������� ������ 7��������� ���� ��� ? ����������������� ���������� ������� � ������������� ���� ����Q� �� ������ � ����� ��� "� A � %I H � "�� − � I % � � � ������ � �������� ��������� � "� − � %I A �� I H S � � ���������� �������� �����Q��������� � ��#������ ��������� � ��� "� ���� � ������ � H � �� H S%

������� !�������� ������ ���������� � �� � ��� �������Q��� � � Q����� ��������� ��� ����� � ������ ���� ���� ����������� � ��� �� ��� ��� ��� �� ����� ��� ��� �� �� �� ���������� �� � ���� �! ��� � �� �� �� ��� ������� �� ��� ������ � ��� ����� �� � � ���� �! ��� ���������� � � ��� �� ��� ����� � �

� �� �������� ������ ��������� ��� � ����� �� @�"� % ���

��������� ������ ������� � ������ ��� �� ��������� � � �� � ��� Q���� "� � @% ���� ���� � ������ "� H � � � � � � � % � ��� ��� �� ������������ � ������������ � � � �� ��� ��������� � � � ������� ��Q���� � ���������� � ���� � ����� ����� ��������� ������� ���������� � ����� "�� �� %

! ������ �� ��� @��������� 7�������? � � ��� ��� �� �����Q

���� ������������� ��� 7�����������? ������ ���� ������ ��� ��������� �������� ������� ���������

!��� �� � �� ������ ��� ������� �������� ���� � �� ����� ��Q����� ����� ���� ���� "� ���% ��������� � ������� � � ���� �Q�� ������ ������ ��� ���� �� �� �� ������ ��� 7�������� ���Q ��? � � � � � � ���� �������� ������� ���������� ���� ��� � �� ����Q����� ������ ��� � ���������� ������ ������ ��� � ������� !��Q������ ������ ���������� � �� �� � � �� �� ��� ���� �� � ������������� ��� ���� ���� ����������� � � ��� � �������� ���� ��� ��� �� ���� � ���� � ���� �� ���� ������ � ����� C ������� ���� ���!������ �� � ���� � �� �

v����� 6� 6 JJ

Page 34: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

D

e�� 6 C} 6 e �# ���! ��� ��5 �#!����. ����� 6

�������� ������ � ������������ �� ������� �� ����������������� ����������� ��� ����������� ���������� ���� ��� ������� ���������� �������� ��� �������� �� �������� �� ���� �

R�

� ��������� �C� � ��� ������ ����������� � ����� ��#�

��������� ���� ��� � ���� ���� ���� � ��� ��� � �������Q����� ���� �������� ��� ��� �������� � � � � ������������ ����"� ��� ��#� ��� ������ ���������� �������� ��������� ����� Q���� ��� ��������� ���� ���� ��� ����� ��� �� �� � ��#��������������� ����������%

� ������� �������� ���������� ���� �������� ���� ������"������ ������� 7�� ����� ��������? � ������� � ��������������������� �� ���� ��� ��������� � � � ������ �������� 7��Q����?% � ����� C � � � � �� ������ $ ��� � ��������� � ��� ����� � ������� � � � � � "�RT�% � ��� �S

������ ��� ���������� �������� ������� 7 ��� ������ ���Q������ ������� � ��� �? "��� ��� ������� ����������� ��� ���� Q���� ������ ���� ��������� � ��#������ ���������Q������ ��� �� ������� ����������� ����� ����������� � ���� �� �������� �� � ��� ������������� ��������� ����� ������������ �� Q������

! �������� ���� ������� ��� ������ �������� 7������ ��������������� ����� �� � � ��� ���������� ������� �� ���Q�� �������� �� ������� ���������� ? ��� ������ ���� ���� ��Q������� ���� �� ��� ��� �� �� ����� ������� � �������� ���� ��Q���� ��� ������ ��������� ��� ���� ���� � ���� ������� � ���Q�������� � �RT� � �� ���� ���� ����� ���#� ������������ ���� �� ���� ������� !�������� ������ � ��� ������ ������ ����Q ���� ����������� � ������� ��� �����

������ � ����� �� �������� � ��� ���� � �RT� � ��������� ���Q�� � ������� ���������� ��� �� ������� !�������� � �����

! ���� � � �� ��� ������ ����������� �������� ����������Q

J�

Page 35: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

�� �������� "� � ��������� �� ����� ������ �����������Q��� � ���% ���� ���� ��� �� � � � J � � ��� ���� ���� �� ��������� ��� �#��� ��������� � �������� � �������� C ��� ��� �� ������ � A � � ��� � ��� ������ ��������� "��� ������ � ��� Q������ � ���������� ���������� ������%

3��� ������� ����� � �→ � I "� ���� � G % � �������������

��� ��������� ������ ��������� ������� � ��� � � ������ � �������Q��� �� �� 7������ ������� � ����? � � � → � � "� ���� � � %

��� ��� ������� �������� ����� �������� �� ������ ���Q�������� ��������� "

C� G

≈ � I �H� G

≈ � � % �� � ��� ���������� Q���� ����������� ��������� ��������� "� �

⊂ C

�\ S � � � ⊂ H

I\ S % C

�� �� � ��� �������� ����������� ������ � ��������� �# �Q�#� � ���� � 7����������� ���� ����� � �� �� � ���? ��� Q������� � � �� "������� ������� ������������ ��� 7�����������Q ���� �� ��� � ��� ��������? � 7��������� �������������? ��� �Q������ �� �� % ����������� � ���������� �� �� 7���������Q�� ���� �� �� � �� � ��������? "��� ������������ ��� ���Q������� ��������� ����#������� ��������� ���������� ������ ������ �� �� ���������� ���������%

���� ���� � ��� � �� ���� ���� ������ ��� ������� ��������Q ���� ���������� ���� �� # � ���� ��� "���� � � ���� � � �� ���Q��� ����� �� ����� � ��� � �������� ������ �������� ������� ��� ����������� �� ���� ������ ���� �� � ������� ���������� ���Q��� ���� ���������� ������� �������������� ����� % ������7R

C

H? � 7�� �� � ��� �������� �� �� � ��� �� �� ��Q

������? ��������� � �� ������������ ��� ������������ ������ZI ������ ����� �� ��� � ��� �������� ������� ������ ���� �Q

��Z

������ ����� �� ��� � ��� � � �� ������� ���������������� ������

ZI "��� ��������� ��� ��� ������ ���� ���

Z%

���� �� # � ��� �� "� �� ���� ��������� �������� � � ����� �Z

� ������Z

A 6Z

���� ��������� ��� %

�)1./ 1 ,'-/��� ����� ��� ��������� ������� ������ ���� ��� �� "J%������� ���� N� 8< "J% H � � H �� "�% ������ ��������� ������� ��Q

��� � � ����� � �������� ���� � ��� �� ��� ���� � ���������, ����� � ������ ����� �� �� �� � ���� �� � ��� �� �� ���� ������ , �������� ���� � ��������� ����� ������ � � �������� �� ������ � ������ �������� ��� ����� � �� �� �� ,

v∗ J�

Page 36: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

��� ���� ��� ������������ ��� ���� �� ���� �� ��������� �� � ��������� ��� ���� �� � ��������� ��� � �� ��� � ��� ������� � � ��� � � ��� ���������� ��������� �� ����� ��� � ������ �# ����� � ����� �� � ����� �� �� �� � ������ � ����������

� �� �� � ���� ���� �������� ������ � ��������� ��� ���������� "������� ��� ��� ���� � �������� � ������� �������Q�� %

� ������� � ���� @ �� ���� ���� � ������������ ��� �� �� ���� Q��� ������� ���� �� �� � ���������� � ������������ ����� ��Q���� �� ���� ���������� �� ������� !� ��� @� "� H ±� � ±� � � � � %����� � � ���������� "���� � �� ���������� ���� @� H �% � ���Q�� � �������� "��������� ������ ���� ���

Z% ������ � "�% ���

�� �� � ���� � ��� �� �� ������ � "J% ��� �� � ��� �� �� �� ��#� ���� �������� �����

����������� @ � B � ���� ������ ���� �� �� M � MM � ���� �� �� MM � MMM����� ������� "� ���� �������% � ������ �� �� "M � MM � MMM% � �� �R ������ ���������� ������������� ����� ��� @B@ H B@B "���������� �� �R % � � ������ ����� ��� �� "��� �������� ������%

��

��

���

���

D

��

��

���

���

E

e�� 6 CB 6 ���� �0 #+-. ��#�' � �������#� 6

�� � � ��� �� �� ����� ���������� ������� � ��#������ ���Q������Q������ C ��� ��� �� � ���� ������ ������� �� �� ���������� �� � ������ "������� � �������� �����% � ��� #� � �� ���Q�� �� � � � �� � ����� ������ ���������� � ����������� �������� "��� ����� �� ��-� ���� ��� �� ����������� ���������������� ��� �� � %

��� ��-���� ��������� ������� ���� ��� ����� � ����� ��� � ���� ��������� ��� �� � ���� � � ��� � I "������� ���� � H � %

J�

Page 37: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

! ������ �� � ��� �� �� �� �������� ��� ��� ������� C � � �� Q� ����� �����Q���� ��� ��������� � �� �� � ��� ������� �� ����� �� ���� ���� ��� � ����� � � ��� ��� ��#� ���� ��������� ����� ��� � �����

�������� ��� �������� ���� ������ ������ � ��� ���� ��������� �� � �� � ������ �� � � ��� � I ������ ������� ��� ���������� "������� � ������� ��� �� �� ����#� ���� %

���� �������� ���� ��������� � �� ������ � ���� � �� ������Q������ ������ ����������� �� "J% ≈ R

� � � ���� �� ���� �������� ���� �� ������ ������� � �

→ �� "J% � ������������ ������������� �� ���� ������ �� ���� ��� � �������

� ����� � ������� �����#� ���� ����� ��-� ��� ���� � �����Q���������� ������� �������������� ������������� � ��������Q���� ������� � � ��� ���� ���� ��� ����� � ���������� ����� ��� ���� ��� �� ����#� ���� � ���������� ����� ��� �� �Q��� ���� � ��� ������� ���#����� � ����� ��� ��� ��� "������� ������� � � ��� ���� �� �� ��#������ ���������Q����� �� ������� ������ ��� ��� � ������������� ������� ����� � ��Q �� � �������%

����� ����� � ��� � ����� ���� ���� �� � ���� � ����� ������ # ���� �� � ��� � ����#�� ����� ���� �� "������ �����%� ���� ��� �� � ��� �� ���� ������ ���� ������� � ����

� ���� � ����� � ��� �� ������� �� �� ����� � ����� �� � �Q��� ���� �� � ��� ���������� ������� � ��� #����� ����������������� "�� �� ��� ���� �� ���#��� ������� ����������% � ���� �Q����� ������� ���� ����� �� �������� ��� � � ����� ����������� "��� �� ��������� ��������� ��� ���� �� � ��� ��� ������� �������� ��� �� ���� ����� � �����%

! ���� �� �� ������� � ���������� ���� ������� ������ � ��� �Q��� �� ��� � � ���� � ��� ��� �� ����� � ���������

�' �2�*+.1+�)� +�+*+.1+ � �� �� � ��� ������ �� ����� ������� �������Q

�� ��� F �� "F % H

��

(

F A �F) �

�������� ������� � ������ � �+'� +(2 � ������ � ������ � ��� ����� ��� �!����� |F | H �

�� �� ������� ����� ������ ��� �� ����� F ������ � ����� �� ��� � � ���

JT

Page 38: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

���� � � @ � B � �� �@ H � A �−

G � �B H � − �−

G � �� �� ������ � ����� ��������� �� ����� � H � "F % �

�',2�2�+* �-��' !�������� � ����� ��� �� � F ����� ��� � � � �8< � � �������

�F H

��"��� � − 6 �8< � % �

������� H

�� �"� A �

G % ��� � A 6 "� − �−

G % �8< � � �

�� � ����������� �

� �� �� � �������� ������ ������� ���� � ������ � � � ����Q��� ���� �# ���� �� ����� ���-#��� ��� ���� � ������� "��� ��Q���� � �� � ����� � � �������� � ��#�� ��������� ���%

�� �� ����� � ���� ������ ��������� �+'� +(2 � �� '* 1.2� �� ��� �!���� �� ����� ����� ����� ���

��� ���� �� �C → C

� ��� ��� �� F � H F I � ��� ����� ��� ������� ����� �� ��� � ���� ��� ������ � ������ ��� � �

�',2�2�+* �-��' ���� ��������� ��� � ��������� ����� Q��� |�| H � ����� ��������� ��� F H � A �−

G ��������� "��������� �% ����� ����� ��� �� ��� �@ � �B " ����� � ���% ���������� ���� ���� ��� ����� ����� ���� ���� ��� ����� �� ������� �� � F ���

F I H �I A �−

I A � � "�%� ����� ��� � ������� � ���� �������� "����� �� ������� �%

��� ����� ����� ��� ��� ��� ����� ���� �� H � I − �−

I ���Q���� ������� �� ���� ����� ������ �� ��� � ���� �� �������� ������� �������� C

"�� %I − "�� %I H �"� I A �−

I %I − "� I − �−

I %I � H � �

�� ��� ������� �� ���� ������ {�I A �−

I} �� ��� � ���� ���

�� H � ����������� �� � �� �� �������� � � ������ "�% ����� ������ � A�

� ��� �������� ���� � ����� �����#��� ������ � �� � ������ Q���� �������

� 2(+02.1+ ���� ��������� ���� ����� ������������ � ���� �Q��� ������� C ���������� ������ ����� �������� �� ����� ����

J�

Page 39: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

������ � �� � �������� � ��� �� �� ���������� ��������� ����Q����� ��� ��������� ��������� ��� � ������� � ���������� ���Q���� �� ����� �������� �������� "��� �� ����� ��������� ��Q���% � �� � �������� ������ ������ ������ �������� ��������� �������������� ���� ���� ������� � ���� ������� ������� � ��������� C ���� �� ������ ���� ���� ������ ������ �����Q���� �����

� 2(+02.1+ �������� ������� � ���� ����� ���� ������� ��Q��� ��� � � � �� � ����� ��������� � ������� ������ � ���������� ������ ����� � ! ���� �� �� �� ���� ������� � ���� ���������"��� ����������� % ����� � ��������� � �� ���� ��� ���� ����� � ���� �� � � � � ����� ����� ���� ���������� �

"� A J%"� A J% H � ��������� � ���� ���� � ��� �������� � H � � ������� ��������� ��Q��� �������� �������� � ��� �������� � H −� ! �� ���� ������Q���� ����� � ��� � ��� �� �� �� �������� �� ��� � H "� A J%��"���������� ����� ����������� ������� ������������� � � ����Q�� ����� � H "� A J%�� H ��� %

� 2�202 � ���� ������������� ����� "����� �� ��� ���Q����� �%

�������� ��� ������� � �� ��� ������ ���������� ����� ���� �� �� � ����� ���� ������� ������������� � H F � ������������ ���� �� "��� ���� ����� �� ����� � ��������� ��� ��� ��� Q������ ��� �� % � "F % "������� � � H �� ��� � H �< F %

��������� ���� ���� � ��� �� ��� {F} � {�} ����� � ����Q� ��� ���� ������������ �������������� ��� ������ ��� �� ��� Q������ �������� �

� "F % H |�� ��F |I � � "� % H −|�F ��� |

I�

������������� ��������� ������ ������� �� �� F ������������ ������� � � ���� ���� ��� ��� ������� � � �� ���� �����Q�� �� �� � �� ����� ����� ������� −��� � ���� ���� ��� ���������� �

��� ����������� ���������� ������� � ���� ����� ������Q�� ����� �������� ��� �������Q����� ����� ������� � �#��Q���� "� �:�=� % �� � �����Q���� ����� ��� � ������� � ������Q���� ������� �� � �������� � � ���������� ����� ��� ����������������� � ������

JR

Page 40: MCCME: Moscow Center for Continuous Mathematical Education · 2005-01-11 · r i j # r i c q f 7 ...

� 1�+�2���2 , �'�2�*+.1�� � � � ����� � � 8��=�<� 8: �Q��9 ��=8� � ������ � �><:9 8�� � �� N � �R �J� �� ���� �� � P �� ��< :</ �=:< �9��:� 8�< � ��=�� � �9 �= � :�� � �<�� �>��SS � � � "�RRJ% � ��R� �JT J � � � � �� ������ � �� ������������ ��������� � � �� ����� � ������� � � � "�SS�%

�S