MÉCANIQUE GÉNÉRALE

BIBLIOTHÈQUE DE L'INGÉNIEUR ÉLECTRICIEN - MÉCANICIEN P u b l i é e s o u s la d i r e c t i o n d e L. BARBILLION

PROFESSEUR A L'UNIVERSITÉ DE GRENOBLE, DIRECTEUR DE L'INSTITUT POLYTECHNIQUE

M É C A N I Q U E G E N E R E

PREMIÈRE P A R T I R

Etude cinématique dù mouvement. Mécanismes.

Principes de la Mécanique. Etude des forces et des couples.

PAR G. FERROUX INGÉNIEUR

PROFESSEUR A L'INSTITUT POLYTECHNIQUE DEl L'UNIVERSITÉ DE GRENOBLE

AVEC UNE PRÉFACE DE L. BARBILLION

DIRECTEUR DE L'INSTITUT

DEUXIÈME ÉDITION

PARIS ALBIN MICHEL, ÉDITEUR

22, RUE HUYGHENS, 22

PRÉFACE DE LA PREMIÈRE ÉDITION

L'ouvrage que nous présentons aujourd'hui au lecteur constitue le premier d'une nouvelle et importante collection dont notre éditeur et ami, M. Albin MICHEL, a bien voulu nous confier la direction, la Bibliothèque de l'Ingénieur Mécanicien, collection sœur de celle de l'Ingénieur Electricien dont le succès s'est déjà, en dépit des circonstances difficiles actuelles, nettement affirmé. Nous avons dit, par ailleurs, quel était le but de ces deux nouvelles collections scientifiques. Certes, il en existe déjà de nombreuses; certaines sont justement réputées. Nous croyons cependant que ces nouvelles Bibliothèques ne feront pas double emploi avec les précédentes et rendront, au monde de l'Industrie et de l'Enseignement Technique, des services appréciables. Ce serait en tous cas notre plus cher désir.

Dans ces publications nouvelles, mes collaborateurs et moi, nous nous sommes surtout imposé la tâche de faire œuvre utile et cohé- rente, d'éviter tout double emploi, de répartir logiquement entre les divers volumes, les matières dont la connaissance théorique et la pos- session pratique sont indispensables à l'Ingénieur. C'est là une tâche de coordination beaucoup moins aisée que l'on pourrait le croire à première vue. Je n'en veux, comme seule preuve, qui sera admise par beaucoup, que le seul souci de donner un même plan scienti- fique, bien défini, comme base mathématique à des ouvrages dont la plupart sont de technique pure.

En ce qui concerne les leçons de Mécanique Générale de

VI PRÉFACE

M. G. FERROUX, Professeur à l'Institut, je laisserai au lecteur le soin de porter sur cet ouvrage important le jugement qui convient. Ce jugement, j'en suis sûr, homologuera celui du millier d'élèves qui ont, depuis quelques années, occupé les bancs de notre Ecole Préparatoire, et doivent, sans conteste, leur initiation mécanique à l'enseignement si précis, si net, et je crois devoir ajouter, si péda- gogiquement remarquable quand il est donné oralement, de notre ancien élève, et aujourd'hui Collègue de l'Institut Polytechnique.

BARBILLION.

MÉCANIQUE GÉNÉRALE

PREMIÈRE PARTIE -

LIVRE PREMIER

CINÉMATIQUE

CHAPITRE PREMIER

RAPPEL DE NOTIONS ESSENTIELLES SUR LES VECTEURS BUT ET DIVISIONS DE LA MÉCANIQUE

Définition. — Un vecteur est un segment de droite dont on dis-

Fig. 1

tingue l'origine et l'extrémité. Un vecteur AB (fig. 1) est complète- ment déterminé par :

1" Son origine ou point d'application. 20 Sa direction qui est celle de la droite indéfinie qui le porte. 3° Son sens, qui est celui du mouvement

d'un mobile allant de l'origine à l'extrémité. 4° Sa grandeur. Vecteurs équipollents. — Deux vecteurs

sont équipollents quand ils sont égaux, paral- lèles et de même sens.

Fig. 2

On écrit que deux vecteurs (fig. 2) sont équipollents ainsi :

ou encore quelquefois :

Représentation analytique. — On peut caractériser complète- ment un vecteur dans l'espace en le rapportant à trois axes de coordonnées rectangulaires.

Pour simplifier, nous prendrons comme origine du système d'axes, l'origine du vecteur.

Les éléments du vecteur sont bien déterminés, si l'on connaît les valeurs X, Y, Z, de ses projections sur les trois axes (fig. 3).

Fig. 3

Soit 1 la longueur OB du vecteur, a., p, y, les 3 angles que fait OB avec les directions positives des axes. Nous aurons pour expres- sions des projections :

(1)

Mais d'autre part dans le parallélipipède qui a pour diagonale OB et pour arêtes X, Y, Z, on a :

Si l'on connaît les valeurs X, Y, Z, des projections on tirera des équations (1) les cosinus directeurs du vecteur :

ce qui détermine complètement le vecteur dans l'espace.

Composition des vecteurs concourants. — Etant donné des vecteurs concourants, L1, L2, La, L4, en un point 0 de l'espace (fig. 4), on appelle somme géométrique, ou vecteur résultant, ou

Fig. 4

simplement résultante des vecteurs considérés, un vecteur OD obtenu en menant à partir du point 0 des vecteurs équipollents aux vecteurs donnés et en joignant le point 0 à l'extrémité du dernier vecteur.

Le contour polygonal plan ou gauche ainsi tracé est le polygone des vecteurs.

Il est évident que dans cette somme on peut remplacer deux ou plusieurs vecteurs par leur somme géométrique effectuée, de même que l'on peut intervertir l'ordre dans lequel est effectuée la com- position. Il suffirait pour le montrer, de montrer que l'on peut intervertir l'ordre dans lequel on prend deux vecteurs consécutifs, ce qui est évident.

La construction géométrique de la résultante peut se traduire analytiquement par l'égalité :

Si le point D vient au point 0, le polygone des vecteurs se ferme de lui-même, le vecteur OD est alors nul; on dit que la somme géométrique des vecteurs considérés est nulle.

Cas particulier. — Dans le cas simple où l'on a à composer 3 vecteurs passant par un même point 0, qui est leur origine com-

Fig. 5

mune, la résultante OD est la diago- nale du parallélipipède construit sur ces vecteurs comme arête.

Si les 3 vecteurs forment un trièdre trirectangle (fig. 5), on aura pour ex- pression de la résultante R :

Pour deux vecteurs c'est la diago- nale du parallélogramme construit sur ces vecteurs.

Résultante de translation d'un système de vecteurs. — Etant donné un système de vecteurs distribués d'une façon quelconque dans l'espace, on appelle résultante de translation de ce système de vecteurs, la somme géométrique des vecteurs menés par un point 0 arbitraire, et équipollents aux différents vecteurs du système considéré.

La résultante de translation d'un système de vecteurs quel- conques n'est définie qu'en grandeur et sens (son origine étant arbitraire); tandis que la somme géométrique ou résultante de plu- sieurs vecteurs concourants est complètement définie.

Différence géométrique de 2 vecteurs. — La différence géomé- trique de deux vecteurs AB et CD est le vecteur obtenu en ajoutant géométriquement au vecteur AB le vecteur DC, c'est-à-dire (fig. 6) un vecteur.

C'est donc le vecteur AD', qui est comme on le voit, la résultante

du vecteur AB et d'un vecteur équipollent au vecteur CD changé de sens.

Flg. 6

Décomposition des vecteurs. — Au lieu de déterminer la résul- tante d'un système de vecteurs, on peut avoir à effectuer l'opération inverse, c'est-à-dire remplacer un vecteur unique par un système de vecteurs, ayant même origine que lui et dont le vecteur considéré soit la résultante. Cela peut se faire si l'on se donne deux directions, pourvu que le plan qu'elles déterminent contienne le vecteur con- sidéré (cas du parallélogramme), ou 3 directions quelconques (cas du parallélipipède). La décomposition d'un vecteur en plus de 3 autres, dont on donne les directions, est indéterminée.

Projections des vecteurs. — Nous ne considérons que des pro- jections orthogonales. La projection d'un vecteur AB sur un axe est le vecteur ab, dont l'origine a et l'extrémité b sont les projections orthogonales des points A et B sur l'axe considéré (fig. 7) (supposé- dans le même plan que AB). Si on ap- pelle a. l'angle des deux directions, on aura :

Fig. 7

ab = AB cos <x

ou encore X=L cos α

Nous avons supposé l'axe et le vecteur dans le même plan. Il n'en est pas toujours ainsi.

Soit le vecteur AB et l'axe de projection XX'. Menons par A et B

des plans projetants perpendiculaires à XX'. Celui-ci est coupé aux points a et b : ab est la projection de AB (fig. 8). Menons par A, Ab1 parallèle à ab, on aura dans le triangle ABb1, rectangle en b1;

ab=Ab1=AB cos a

ou comme précédemment : X=L cos a

Donc on peut conclure, que : dans tous les cas la projection d 'un vecteur sur un axe a pour valeur le produit de la longueur du vec-

Fig. 8

teur par le cosinus de l'angle formé par les directions positives du vecteur et de l'axe, le signe étant donné par le sens de la projection ab sur XX'.

REMARQUE. — Deux vecteurs équipollents ont, sur un même axe, des projections équivalentes, c'est-à-dire égales et de même sens.

Théorème des projections. — Etant donné plusieurs vecteurs concourants et leur résultante, si l'on projette les différents vecteurs et leur résultante sur un axe,, la projection de la résultante est égale à la somme algébrique des projections des vecteurs composants.

Le théorème est évident. En effet soient les vecteurs LI, L2, Ls, L4, et l'axe de projection XX', la résultante est donnée par le poly- gone plan ou gauche OABCD; soit OD.

On sait (géométrie) que si l'on projette sur un même axe une ligne brisée OABCD et la ligne OD qui ferme le contour (fig. 9), la pro- jection de OC est égale à la somme algébrique des projections dés autres côtés de ligne brisée, ce qui démontre le théorème.

REMARQUE. — Si la somme algébrique des projections des vecteurs considérés sur un axe est nulle, cela n'entraîne pas nécessairement que la résultante soit nulle. Elle peut en effet être perpendiculàire à l'axe de projection.

Fig. 9

Pour que la résultante d'un système de vecteurs soit nulle, il faut et il suffit que les sommes algébriques des projections des vecteurs composants sur 3 axes, rectangulaires soient nulles.

Dérivée géométrique d'un vecteur. — Soit un vecteur OA, d'origine 0 fixe et d'extrémité variable. Supposons que la position de cette extré- mité A dépende d'un paramètre t.

Soit OA' le vecteur correspondant à la valeur t+∆t du paramètre (fig. 10).

Considérons le vecteur AM d'origine A et de longueur

Fig. 10

Ce vecteur représente le rapport de l'accroissement géométrique AA' du vecteur à l'accroissement Af de la variable indépendante /.

La dérivée géométrique du vecteur OA est la limite du vec- teur AM quand At tend vers O.

Rapportons le vecteur OA à trois axes de coordonnées passant par O. Et soient x, y, z, les coordonnées de A; x, y, z, sont des fonc- tions de t.

Soient x+∆x, y+∆y, z+àz les coordonnées de l'extrémité A' du

vecteur OA' correspondant à la valeur t + kt du paramètre. Les projections de A A seront mesurées par :

Ax, A y, Az,

fit le vecteur .

aura pour projection

Quand Af tend vers 0, ces trois rapports ont pour limites les dérivées

des fonctions x, y, z, par rapport à t. La projection sur un axe quelconque de la dérivée géométrique

d'un vecteur est donc égale à la dérivée de la projection de ce vec- teur sur le même axe.

Quand des vecteurs concourants ont une origine fixe, la dérivée géométrique de leur résultante est équipollente à la somme géomé- trique des dérivées de ces vecteurs.

C'est évident car on a en projetant tous les vecteurs et leur résul- tante sur un axe fixe :

X = x1 + x2 + x3 ..... xn

d'où :

qui démontre que la projection de la dérivée géométrique de la résultante sur un axe est égale à la somme algébrique des projec- tions des dérivées de ces vecteurs sur ce même axe. Cette proposition vraie pour les projections sur trois axes, entraîne l'équipollence dans l espace des vecteurs, dérivée géométrique de la résultante d une part, et somme géométrique des dérivées géométriques de ces vecteurs d'autre part.

But et divisions de la mécanique. — Les phénomènes que nous observons dans la nature sont en général des mouvements, ou des transformations de mouvements : un corps au repos, c'est-à-dire fixe par rapport aux objets qui l'environnent, se déplace, c'est-à-dire change de position par rapport à ces mêmes objets, ou bien unt corps en mouvement s'arrête, prend un mouvement différent, etc... La mécanique se propose d'étudier les lois qui régissent le mouve- ment et les transformations de mouvement des corps. Elle se divise en plusieurs branches ayant chacune un objet bien distinct, bien défini : la cinématique, la statique et la dynamique.

La cinématique se propose l'étude du mouvement, sans se préoc- cuper des causes de ce mouvement, des actions extérieures qui peuvent donner lieu à ce mouvement ou le modifier. C'est donc en quelque sorte une étude géométrique, qui introduit toutefois, comme nous le verrons une notion nouvelle : la notion de temps.

La statique étudie les conditions de l'équilibre des corps. La dynamique constitue avec la statique la mécanique propre-

ment dite : elle étudie le mouvement des corps en faisant inter- venir les causes physiques qui produisent le mouvement. Remar- quons dès maintenant qu'en général il ne sera pas possible de connaître les causes physiques véritables du mouvement des corps, et que l'on substituera aux causes réelles du mouvement des causes fictives produisant le même effet, et auxquelles on donne le nom de forces.

C'est de la dynamique que dérivent directement les diverses branches de la mécanique appliquée : hydraulique, résistance des matériaux, étude des moteurs mécaniques divers, etc...

CHAPITRE II

CINÉMATIQUE DU POINT GÉNÉRALITÉS. — MOUVEMENT. — VITESSE

I. Définitions. — Trajectoire. — Equation du mouvement

Mouvement. Repos. Temps. — On peut regarder les corps matériels qui nous environnent comme formés d'un grand nombre de particules assez petites pour que la position de chacune d'elles dans l'espace puisse être définie comme celle d'un point géomé- trique.

Nous donnerons le nom de point matériel à chacune de ces parti- cules, et nous supposerons concentrée en ce point matériel une quantité de matière suffisante pour que le point puisse obéir aux lois de la nature.

Un corps solide, ou simplement un solide, est formé par la réunion d'un certain nombre de points matériels reliés entre eux de façon que leurs distances mutuelles soient invariables : Un corps solide constitue donc un système invariable. Quand le sys- tème de points matériels ne remplit pas ces conditions, les dis- tances mutuelles des points n'étant pas invariables, on dit que le système est déformable.

Un corps est en mouvement quand il change de position par rapport à des points de repère fixes, ou du moins supposés fixes. Dans le cas contraire il est au repos.

Il résulte de là qu'un point peut être au repos par rapport à un système pris comme repère, et en mouvement par rapport à un autre. Une personne immobile dans un wagon est au repos par rapport au wagon, elle est en mouvement par rapport à la terre.

Le résultat du mouvement est de modifier la position du corps

par rapport au système pris comme terme de comparaison, comme repère. Cette notion de mouvement ou de déplacement fait donc appel à deux éléments nécessaires pour apprécier l'importance du déplacement : la longueur et le temps. Un même déplacement peut en effet être effectué plus ou moins vite.

La géométrie nous apprend à mesurer les longueurs. Pour mesu- rer le temps on peut procéder d'une façon analogue.

On prend pour point de repère un instant quelconque qui devient ainsi le zéro de l'échelle et on représente la date ou l'instant d'un fait par un nombre, positif ou négatif t, suivant que ce fait est postérieur ou antérieur à l'instant zéro. On évalue la valeur absolue de l'intervalle, de temps à mesurer en le comparant à un intervalle type choisi pour comme unité.

On prendra comme intervalle type celui qui sépare les deux répétitions successives d'un phénomène périodique connu, par exemple, le passage d'une certaine étoile au méridien d'un lieu. C'est ce que l'on fait en astronomie où l'on prend comme jour solaire moyen (unité de temps adoptée) le temps qui s'écoule entre deux passages consécutifs au méridien du soleil. Ce jour solaire est divisé en heures, minutes et secondes.

En mécanique nous adopterons comme unité de temps, la

seconde ainsi définie, c'est-à-dire la 864008 partie du jour solaire moyen. Au point de vue pratique c'est la seconde donnée par une montre bien réglée.

Le mouvement d'un système est évidemment connu quand on connaît les mouvements des' points matériels qui le constituent. On est donc conduit rationnellement à diviser la cinématique en deux parties : la cinématique du point et la cinématique des systèmes.

Trajectoire. — Un point matériel étant en mouvement, on appelle trajectoire le lieu des positions successives occupées par le mobile dans son mouvement. Quand la trajectoire est une droite, le mouvement est rectiligne. Il est curviligne dans le cas contraire. Quand la trajectoire est une circonférence, on dit que le mouve- ment est circulaire.

Définition d'un mouvement. Equation horaire ou équation des espaces d'un mouvement. — Pour faire l'étude du mouve-

ment d'un point, il faut connaître la forme de sa trajectoire, et la loi suivant laquelle il décrit cette trajectoire.

Sur la trajectoire décrite par le point mobile prenons un point

Hg-. 11

fixe 0 comme origine ces arcs, et cnoisis- sons sur la courbe un sens positif, par exemple le sens f (fig. 11). La position M du mobile à chaque instant est déterminée complètement par la valeur algébrique du vecteur curviligne OM, que nous pouvons représenter par S. Supposons qu'à l'instant initial le mobile occupe la position Mo, au

bout du temps t il est en M et on a évidemment : S=OM=OM0+M0M

On peut poser : S. = OM,

D'autre part, MoM représente l'espace parcouru pendant le temps t, on peut donc poser :

M0M = f (t)

cette fonction f (t) dépendant de la nature du mouvement. On aura donc pour l'espace S :

S=S0+ f (t) Cette relation entre S et i s'appelle équation des espaces du

mouvement sur la courbe, ou équation horaire du mouvement. Elle permet de définir à chaque instant la position du mobile sur sa traj ectoire.

Sens du mouvement. — C'est le sens dans lequel le point maté- riel parcourt sa trajectoire.

Si le point mobile décrit sa trajectoire dans le sens qui a été choisi comme sens positif le mouvement est direct : il est rétrograde dans le cas contraire.

Autre définition d'un mouvement. Equations du mouvement en coordonnées cartésiennes. — En géométrie analytique, on

définit souvent une courbe au moyen des trois fonctions :

(1)

qui expriment les coordonnées x, y, z, d'un point de la courbe en fonction d'un paramètre t, et le point se déplace sur la courbe dans un sens ou dans l'autre suivant que l'on donne à t des valeurs crois- santes, ou des valeurs décroissantes.

En cinématique on adopte le même mode de représentation. Le point mobile se déplaçant sur la courbe C, les coordonnées du point mobile x, y, z sont des fonctions du temps données par les équa- tions (1) que nous appellerons les équations du mouvement (fig. 12).

Une petite différence toutefois est à signaler,c'est que nous con- sidérons toujours en cinémati- que la courbe comme parcourue dans le sens qui correspond à des valeurs croissantes du para- mètre t qui représente le temps. Chacune des 3 équations (1) est l'équation d'un mouvement rec- tiligne s'effectuant sur l'un des axes de coordonnées.

Si la trajectoire est une courbe Flg. 12

plane, on peut évidemment prendre comme plan des xy le plan de la courbe, et les équations du mouvement se réduisent à deux :

x=f (0 y=ϕ (t)

En éliminant t entre ces deux équations on aura l'équation de la trajectoire.

Enfin si le mouvement est rectiligne nous n'aurons à prendre qu'un axe de projection, confondu avec la droite sur laquelle s'ef- fectue le mouvement. Il

Il. Mouvement rectiligne. — Vitesse. — Vitesse dans un mouvement quelconque.

Mouvement rectiligne et uniforme. — Dans un pareil mouve- ment la trajectoire est une droite, et les espaces parcourus par le point mobile sont proportionnels aux temps employés à les par- courir.

D'une façon générale d'ailleurs, tout mouvement rectiligne ou non, dans lequel les espaces parcourus sont proportionnels aux temps employés à les parcourir, est un mouvement uniforme.

En conservant les notations employées plus haut pour l'établis- sement de l'équation horaire du mouvement, la définition même du mouvement uniforme nous donne comme équation de ce mou- vement :

M0M=at

si le mouvement est direct, M0 M = — at

si le mouvement est rétrograde. Regardons a comme positif si le mouvement est direct, comme négatif dans le cas contraire, on aura dans tous les cas :

M0M = at

et l'équation des espaces sera :

S=S 0+at.

Dans le cas particulier du mouvement rectiligne nous aurons simplement (en prenant un axe confondu avec la droite sur laquelle s'effectue le mouvement) :

x==xo+at

On peut remarquer que a représente l'espace parcouru par unité de temps. On pose en général

a=v

avec 'la même convention de signe que précédemment. On a donc finalement pour équation du mouvement uniforme

x = xo + vt

Mouvement rectiligne uniforme rapporté à trois axes rec- tangulaires. — Soit un point M animé d'un mouvement uniforme sur une droite (fig. 13), pour laquelle nous avons choisi un sens

Figr. 13

positif et une origine 0', c'est-à-dire sur un axe A. Prenons comme instant initial celui où le mobile passe à l'ori-

gine 0'. L'équation du mouvement rapporté à A est de la forme :

1 — vt

v étant la vitesse du mouvement uniforme : Soient x0, y0, z0, les coordonnées, par rapport à trois axes fixes

du point 0, a, y, les cosinus directeurs de l'axe A, on voit immé- diatement que les équations du mouvement rapportées à ces 3 axes sont :

Les mouvements des trois projections du mobile sont des mouve- ments uniformes, dont les vitesses sont :

Vx = αv Vy=βv Vz=γv

On verrait aisément que si, réciproquement, un mouvement de J'espace est défini par trois mouvements uniformes :

x= at +b y=a't + b' z = a" t + b" .

le mouvement de l'espace est rectiligne et uniforme et a pour vitesse :

Vecteur vitesse. — La vitesse, dans un mouvement tel que le précédent, a une valeur numérique et un sens. On peut donc le représenter par un vecteur aligné sur la droite où se produit le mouvement et dont la longueur (à une échelle déterminée dans chaque cas) et le sens sont fixés par la valeur numérique et le sens « de la vitesse. On voit aisément que, si l'on rapporte le mouvement à 3 axes de coordonnées, les projections du vecteur vitesse seront les vecteurs vitesse des projections du mobile.

Inversement, le vecteur vitesse du mouvement dans l'espace est équipollent à la somme géométrique des vecteurs vitesse des trois mouvements s'effectuant suivant les axes.

Mouvement rectiligne varié. — On dit qu'un mouvement recti-

Fig. 14

ligne est varié quand il n'est pas uniforme. Prenons comme axe la droite sur laquelle s'effectue le mouvement, soit

x=f (0

l'équation du mouvement. Soient M et M' deux positions (fig. 1 14)

du mobile, occupées par lui aux instants t et t + ∆t', Af étant un accroissement quelconque du temps.

La longueur MM'=∆x

représente la portion de trajectoire parcourue par le mobile pendant le temps A t.

Par définition, nous appellerons « vitesse moyenne » du mobile pendant l'intervalle de temps ∆t, le quotient

de l'espace parcouru par le mobile pendant un certain temps par le temps mis par le mobile à parcourir cet espace.

On voit que si le mouvement est direct, la vitesse moyenne est positive, elle est négative dans le cas contraire.

Pour avoir une idée exacte d'un mouvement, il ne suffit pas de con- naître sa vitesse moyenne pendant un intervalle de temps quel- conque, il faut la connaître pendant des intervalles de temps aussi petits que possible, ce qui nous conduit à la définition de la vitesse à Tinstant t.

Ce sera la limite de la vitesse moyenne pendant l'instant A f, quand ∆t tend vers 0. Or quand A t tend vers 0 c'est par définition la dérivée de la fonction f (t); donc la vitesse à l'instant t est la dérivée de l'espace parcouru par rapport au temps. dx Le calcul de appliqué au mouvement uniforme, nous donne la constante que nous avons déjà définie comme vitesse du mouve- ment uiforme. Dans le cas d'un mouvement varié la vitesse est une fonction du temps.

Etant donné un mouvement varié dont l'équation horaire est : x=f (t)

le signe de la dérivée donne à chaque instant le sens dans lequel a lieu le mouvement.

Si :

le mouvement est direct. Si :

le mouvement est rétrograde (1). En outre, si la valeur absolue de la vitesse croît avec le temps, le mouvement est accéléré, il est retardé dans le cas contraire.

Limites d'excursion d'un mobile animé d'un mouvement varié. — Les limites d'excursion d'un mobile correspondant aux chan- gements de sens dans son mouvement. Leur recherche revient par conséquent à la recherche des changements de signes de la dérivée. Or, en pratique, les vitesses des mouvements usuels sont des fonc- tions continues, on peut donc affirmer qu'une vitesse ne peut changer de signe qu'en s'annulant : les limites d'excursion d'un mobile sont donc données par les valeurs du temps qui annulent la dérivég et la font changer de signe.

Vecteur vitesse dans le mouvement rectiligne varié. ;— C'est un vecteur qui a pour origine la position du mobile à l'instant t, il est appliqué sur la trajectoire dans le sens du mouvement et a pour mesure, à l'échelle adoptée, la valeur absolue de la vitesse à l'instant considéré.

Vitesse dans le cas d'un mouvement quelconque. — Soit un point mobile sur une courbe C, M sa position à l'instant t. M' sa

Flg. 15

position à l'instant t+ât, et âs=arc MM' l'arc de courbe décrit par le mobile pendant le temps A t. On peut imaginer un mobile fictif décrivant le segment rectiligne MM' d'un mouvement uniforme pendant le temps A t (fig. 15). La vi- tesse de ce mobile fictif qui est égal au rapport :

s'appelle la vitesse moyenne du premier mobile pendant l'intervalle de temps At. On peut évi-

1

demment la représenter par un vecteur vitesse de longueur

dirigé dans le sens MM'. Soient x, y, z, les coordonnées du point M, en fonction du temps

x=f (0 y = 9 (t)

(0

Soient x', y', z', les coordonnées du point M", on a évidemment :

d'où

Ax, A y, A z, sont les accroissements de x, g. z, correspondant à l'accroissement du temps A t.

Ce sont les projections de MM', et également de l'arc AS qui a mêmes extrémités que MM'. Par suite, la vitesse moyenne du mobile, donnée par le rapport :

aura pour projections

Faisons tendre ∆t vers zéro, la corde MM' a pour position limite la tangente MV au point M à la courbe C; les expressions , ont pour limites les dérvées :

ACHEVÉ D'IMPRIMER LE 20 AOUT 1 9 2 7

PAR LES ÉTABLISSEMENTS BUSSON

23, RUE TURGOT, PARIS POUR

ALBIN . MICHEL, ÉDITEUR

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