M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with...

8/3/2019 M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with reflection symmetry in…

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E x i s t e n c e o f v o r t e x s h e e t s w i t h r e e c t i o n

s y m m e t r y i n t w o s p a c e d i m e n s i o n s

M . C . L o p e s F i l h o

H . J . N u s s e n z v e i g L o p e s

Z h o u p i n g X i n

A b s t r a c t

T h e m a i n p u r p o s e o f t h i s w o r k i s t o e s t a b l i s h e x i s t e n c e o f a w e a k

s o l u t i o n t o t h e i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s w i t h i n i t i a l v o r t i c -

i t y c o n s i s t i n g o f a R a d o n m e a s u r e w i t h d i s t i n g u i s h e d s i g n i n H

? 1

,

c o m p a c t l y s u p p o r t e d i n t h e c l o s e d r i g h t - h a l f - p l a n e , s u p e r i m p o s e d t o

i t s o d d r e e c t i o n i n t h e l e f t - h a l f - p l a n e . W e m a k e u s e o f a n e w a p r i -

o r i e s t i m a t e t o c o n t r o l t h e i n t e r a c t i o n b e t w e e n p o s i t i v e a n d n e g a t i v e

v o r t i c i t y a t t h e s y m m e t r y a x i s . W e p r o v e t h a t a w e a k l i m i t o f a s e -

q u e n c e o f a p p r o x i m a t i o n s o b t a i n e d b y e i t h e r r e g u l a r i z i n g t h e i n i t i a l

d a t a o r b y t h e v a n i s h i n g v i s c o s i t y m e t h o d i s a w e a k s o l u t i o n o f t h e

i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s . W e a l s o e s t a b l i s h t h e e q u i v a l e n c e

a t t h e l e v e l o f w e a k s o l u t i o n s b e t w e e n m i r r o r s y m m e t r i c o w s i n t h e

f u l l p l a n e a n d o w s i n t h e h a l f - p l a n e . F i n a l l y , w e e x t e n d o u r e x i s -

t e n c e r e s u l t t o o d d L

1

p e r t u r b a t i o n s , w i t h o u t d i s t i n g u i s h e d s i g n , o f

o u r o r i g i n a l i n i t i a l v o r t i c i t y .

C o n t e n t s

1 S y m m e t r i c s m o o t h s o l u t i o n s 4

2 A p r i o r i e s t i m a t e s i n t h e i n v i s c i d c a s e 7

3 C o n v e r g e n c e t h e o r e m 1 1

4 T h e m e t h o d o f i m a g e s 1 6

1



5 V i s c o u s a p p r o x i m a t i o n s 2 1

6 E x t e n s i o n s a n d c o n c l u s i o n s 2 3

I n t r o d u c t i o n

I n 1 9 9 1 , J . - M . D e l o r t p r o v e d e x i s t e n c e o f w e a k s o l u t i o n s t o t h e i n c o m p r e s s i b l e

2 D E u l e r e q u a t i o n s w i t h v o r t e x s h e e t i n i t i a l d a t a , u n d e r t h e a s s u m p t i o n t h a t

t h e i n i t i a l v o r t i c i t y b e t h e s u m o f a R a d o n m e a s u r e w i t h d i s t i n g u i s h e d s i g n

a n d a n a r b i t r a r y L

p

f u n c t i o n , p > 1 , s e e 2 ] . T h i s r e s u l t w a s l a t e r p r o v e d i n

d i e r e n t w a y s , s e e 7 , 1 7 ] , e x t e n d e d t o p = 1 , s e e 3 , 1 7 , 1 9 ] a n d t o t h e c o n v e r -

g e n c e t o a w e a k s o l u t i o n o f a p p r o x i m a t i o n s g e n e r a t e d b y v a n i s h i n g v i s c o s i t y ,

s e e 1 4 , 1 7 ] . D e l o r t ' s r e s u l t w a s a l s o e x t e n d e d t o c o n v e r g e n c e o f a p p r o x i m a -

t i o n s o b t a i n e d b y v o r t e x m e t h o d s , s e e 1 3 , 1 8 ] . T h e p r o b l e m o f e x i s t e n c e

f o r v o r t e x s h e e t i n i t i a l d a t a w i t h o u t t h e d i s t i n g u i s h e d s i g n a s s u m p t i o n h a s

r e m a i n e d o p e n . T h e d i s t i n g u i s h e d s i g n h y p o t h e s i s i s n e e d e d b e c a u s e u n d e r

i t c o n s e r v a t i o n o f e n e r g y i m p l i e s t h e a v o i d a n c e o f c o n c e n t r a t i o n s i n v o r t i c i t y

( s e e 1 4 , 1 7 ] ) . H o w e v e r , t h e d i s t i n g u i s h e d s i g n a s s u m p t i o n i s a s i g n i c a n t

r e s t r i c t i o n o n t h e s c o p e o f t h e a v a i l a b l e t h e o r y b e c a u s e i m p o r t a n t f e a t u r e s

o f i r r e g u l a r o w s e e m t o b e c o n n e c t e d w i t h i n t r i c a t e i n t e r t w i n i n g o f r e g i o n s

o f p o s i t i v e a n d n e g a t i v e v o r t i c i t y .

I n t h e p r e s e n t w o r k w e w i l l p r o v e a n e x i s t e n c e r e s u l t f o r o w s w i t h i n i t i a l

v o r t i c i t y w h i c h i s o d d w i t h r e s p e c t t o a s t r a i g h t l i n e , a n d w h i c h i s o f a

d i s t i n g u i s h e d s i g n o n e a c h s i d e o f t h e l i n e . S e t t i n g t h e i n i t i a l d a t a i n t h i s

w a y c r e a t e s a s i t u a t i o n w h e r e v o r t i c i t y o f d i e r e n t s i g n s i s a l l o w e d t o i n t e r a c t ,

b u t n o t t o i n t e r t w i n e . T h i s i s t h e r s t i n s t a n c e w h e r e t h e g l o b a l ( i n t i m e )

e x i s t e n c e o f v o r t e x s h e e t e v o l u t i o n i s r i g o r o u s l y e s t a b l i s h e d w i t h v o r t i c i t y

d e n s i t y c h a n g i n g s i g n , a l b e i t u n d e r v e r y s p e c i a l c i r c u m s t a n c e s . T h e d i c u l t y

i s t o s h o w t h a t v o r t i c i t y c o n c e n t r a t i o n d o e s n o t o c c u r a l o n g t h e s y m m e t r y

a x i s . T h e k e y n e w i n g r e d i e n t i n o u r p r o o f i s a n a p r i o r i e s t i m a t e o n t h e

v e l o c i t y a t t h e s y m m e t r y a x i s , w h i c h a l l o w s u s t o c o n t r o l t h e i n t e r a c t i o n

b e t w e e n p o s i t i v e a n d n e g a t i v e v o r t i c i t y . O u r r e s u l t s h o w s t h a t t h e d i c u l t y

i n t h e a n a l y t i c a l t r e a t m e n t o f v o r t e x s h e e t s w i t h o u t d i s t i n g u i s h e d s i g n s t e m s

f r o m t h e i n t e r t w i n i n g o f t h e p o s i t i v e a n d n e g a t i v e v o r t i c i t y a n d n o t m e r e l y

f r o m t h e i r i n t e r a c t i o n . O n e c o n c r e t e s i t u a t i o n w h e r e a v o r t e x s h e e t i n i t i a l

d a t a p r o b l e m w i t h r e e c t i o n s y m m e t r y a p p e a r s i s t h e m o d e l l i n g o f t h e w a k e

d u e t o a n e l l i p t i c a l l y l o a d e d a i r p l a n e w i n g i n t h e T r e t z p l a n e , a s d o n e b y

2



R . K r a s n y i n 1 1 ] .

T h e i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s a r e c o v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o r e -

e c t i o n s y m m e t r y . T h i s m e a n s t h a t a s m o o t h s o l u t i o n o f t h e e q u a t i o n s o n

a h a l f - p l a n e m a y b e e x t e n d e d b y r e e c t i o n t o a s m o o t h s o l u t i o n i n t h e f u l l

p l a n e . T h i s o b s e r v a t i o n i s i m b e d d e d i n t h e m e t h o d o f i m a g e s , s e e 1 6 ] . T h u s

a n a t u r a l a p p r o a c h t o o u r e x i s t e n c e p r o b l e m w o u l d b e t o e x t e n d D e l o r t ' s

e x i s t e n c e t h e o r y t o o w s i n t h e h a l f - p l a n e a n d u s e t h e c o v a r i a n c e o f t h e 2 D

E u l e r e q u a t i o n s w i t h r e s p e c t t o t h e r e e c t i o n s y m m e t r y i n o r d e r t o o b t a i n

a s y m m e t r i c w e a k s o l u t i o n i n t h e f u l l p l a n e . T h i s a p p r o a c h d o e s n o t w o r k .

T h e e x t e n s i o n o f D e l o r t ' s t h e o r e m f o r b o u n d e d d o m a i n s t o h a l f - p l a n e o w s

i s r a t h e r r o u t i n e , w i t h o u t a n y n e w a d d i t i o n a l e s t i m a t e s c o m p a r e d w i t h t h e

c a s e w i t h o u t b o u n d a r i e s . H o w e v e r , t h e w e a k s o l u t i o n t h u s o b t a i n e d a s s u m e s

t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n ( v e l o c i t y t a n g e n t t o t h e b o u n d a r y ) i n a w a y t h a t i s

n o t s t r o n g e n o u g h t o g u a r a n t e e t h a t t h e o w c o n s t r u c t e d b y r e e c t i o n i s a

w e a k s o l u t i o n i n t h e f u l l p l a n e .

F o r o w s i n a b o u n d e d d o m a i n , D e l o r t ' s t h e o r e m g u a r a n t e e s t h e e x i s t e n c e

o f a w e a k s o l u t i o n i n a n i n t e r i o r s e n s e , i . e . t h e s o l u t i o n s a t i s e s t h e w e a k

f o r m u l a t i o n o f t h e e q u a t i o n s w i t h r e s p e c t t o t e s t f u n c t i o n s t h a t a r e c o m -

p a c t l y s u p p o r t e d i n t h e i n t e r i o r o f t h e d o m a i n , a n d i t s a t i s e s t h e b o u n d a r y

c o n d i t i o n i n a t r a c e s e n s e . O n o n e h a n d , t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n i s l i n e a r

a n d h e n c e i t i s w e l l b e h a v e d w i t h r e s p e c t t o w e a k c o n v e r g e n c e , w h i c h i s n e c -

e s s a r y i n D e l o r t ' s t r e a t m e n t o f b o u n d a r i e s . O n t h e o t h e r h a n d , t h i s s e p a r a t e

t r e a t m e n t o f t h e b o u n d a r y c o n d i t i o n l e a v e s o p e n t h e p o s s i b i l i t y o f v o r t i c -

i t y c o n c e n t r a t i n g a t t h e b o u n d a r y . W e i n t r o d u c e a n o t h e r n o t i o n o f w e a k

s o l u t i o n , w h i c h w e c a l l b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n , w h e r e w e u s e t e s t

f u n c t i o n s t h a t v a n i s h a t t h e b o u n d a r y , b u t n o t t h e i r d e r i v a t i v e s . W e p r o v e

t h a t t h e e x i s t e n c e o f a r e e c t i o n - s y m m e t r i c w e a k s o l u t i o n t o t h e f u l l - p l a n e

p r o b l e m i s e q u i v a l e n t t o t h e e x i s t e n c e o f a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n

t o t h e h a l f - p l a n e p r o b l e m . O n e c o r o l l a r y o f t h i s r e s u l t , t o g e t h e r w i t h t h e e x -

i s t e n c e o f a w e a k s o l u t i o n t o t h e f u l l - p l a n e p r o b l e m w i t h r e e c t i o n s y m m e t r y ,

i s t h a t t h e r e e x i s t s a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n t o t h e i n c o m p r e s s i b l e

2 D E u l e r e q u a t i o n s i n t h e h a l f - p l a n e w i t h n o n n e g a t i v e m e a s u r e s a s i n i t i a l

v o r t i c i t y .

T h e p r o b l e m o f e x i s t e n c e o f v o r t e x s h e e t e v o l u t i o n m u s t b e u n d e r s t o o d i n

t h e c o n t e x t o f t h e p i o n e e r i n g w o r k o f R . D i P e r n a a n d A . M a j d a i n 4 , 5 , 6 ] .

T h e c o n c e r n w i t h c o n c e n t r a t i o n s i n k i n e t i c e n e r g y , w h i c h l i e s a t t h e c o r e o f

t h e i r a n a l y s i s , h a s p l a y e d n o r o l e i n o u r w o r k , i n t h e s a m e w a y t h a t i t w a s

n o t p r e s e n t i n D e l o r t ' s w o r k . E n e r g y c o n c e n t r a t i o n i s p o s s i b l e a n d , i n f a c t ,

3



i t i s a n o u t s t a n d i n g o p e n p r o b l e m w h e t h e r i t d o e s a c t u a l l y o c c u r d y n a m i -

c a l l y . R a t h e r , o u r a n a l y s i s r e v o l v e s a r o u n d t h e p o s s i b i l i t y o f c o n c e n t r a t i o n s

i n v o r t i c i t y . T h i s w a s a l r e a d y t h e c a s e w i t h D e l o r t ' s w o r k a s e x p l a i n e d b y

S . S c h o c h e t i n 1 7 ] ; o n e k e y f a c t i n D e l o r t ' s r e s u l t i s t h a t c o n c e n t r a t i o n s i n

v o r t i c i t y a r e e x c l u d e d b y l o g a r i t h m i c d e c a y o f c i r c u l a t i o n i n s m a l l c i r c l e s .

T h e m a i n r e s u l t i n 1 7 ] i s a c o n c e n t r a t i o n - c a n c e l l a t i o n t h e o r e m , i n w h i c h

a p p r o x i m a t e v o r t i c i t i e s w h i c h c o n c e n t r a t e a t a s i n g l e p o i n t x = x ( t ) , w i t h

x ( ) a C

1 = 2

f u n c t i o n o f t i m e , a r e s h o w n t o p o s s e s s a w e a k l i m i t w h i c h i s a

w e a k s o l u t i o n . I n c o n t r a s t , o u r t h e o r e m i s n o t a c o n c e n t r a t i o n - c a n c e l l a t i o n

r e s u l t . A l t h o u g h v o r t i c i t y c o n c e n t r a t i o n s a r e n o t r u l e d o u t , t h e p o s s i b i l i t y

o f t h e i r o c c u r r e n c e i s b y p a s s e d . W e s h o w t h a t , i n a t i m e - a v e r a g e d s e n s e , n o

c o n c e n t r a t i o n s o c c u r . T h i s i s e n o u g h t o p a s s t o t h e l i m i t i n t h e n o n l i n e a r

t e r m o f t h e w e a k v o r t i c i t y f o r m u l a t i o n .

T h e r e m a i n d e r o f t h i s a r t i c l e i s d i v i d e d i n s i x s e c t i o n s . I n t h e r s t o n e , w e

c o n s t r u c t s y m m e t r i c s m o o t h s o l u t i o n s . I n t h e s e c o n d o n e w e o b t a i n t h e n e w

a p r i o r i e s t i m a t e t h a t m a k e s o u r a n a l y s i s p o s s i b l e . I n t h e t h i r d s e c t i o n w e

c o n s t r u c t i n v i s c i d a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s e q u e n c e s a n d w e a p p l y t h e a p r i o r i

e s t i m a t e s o b t a i n e d i n t h e s e c o n d s e c t i o n t o t h e w e a k v o r t i c i t y f o r m u l a t i o n ,

p r o v i n g o u r m a i n e x i s t e n c e r e s u l t . I n t h e f o u r t h s e c t i o n w e p r o v e t h e v a l i d i t y

o f t h e m e t h o d o f i m a g e s , o b t a i n i n g e x i s t e n c e o f a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k

s o l u t i o n f o r t h e h a l f - p l a n e p r o b l e m . I n S e c t i o n 5 w e p r o v e t h e c o n v e r g e n c e

o f ( a s u b s e q u e n c e o f t h e ) v i s c o u s a p p r o x i m a t i o n s t o a w e a k s o l u t i o n i n t h e

f u l l p l a n e a n d , i n t h e l a s t s e c t i o n , w e e x t e n d o u r m a i n r e s u l t t o o d d L

1

p e r t u r b a t i o n s , w i t h o u t s i g n r e s t r i c t i o n , o f t h e i n i t i a l v o r t i c i t i e s p r e v i o u s l y

c o n s i d e r e d a n d p r e s e n t o u r c o n c l u s i o n s .

1 S y m m e t r i c s m o o t h s o l u t i o n s

I n o r d e r t o c o n s t r u c t s y m m e t r i c w e a k s o l u t i o n s t o t h e 2 D E u l e r s y s t e m w e

m u s t r s t b e a b l e t o c o n s t r u c t s y m m e t r i c a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s e q u e n c e s .

I n t h i s a r t i c l e , w e c o n s i d e r t w o f a m i l i e s o f a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s e q u e n c e s ,

o b t a i n e d b y m o l l i f y i n g t h e i n i t i a l d a t a a n d e i t h e r e x a c t l y s o l v i n g t h e E u l e r

e q u a t i o n s o r e x a c t l y s o l v i n g t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s . I t i s e a s y t o m o l l i f y

p r e s e r v i n g t h e s y m m e t r y o f t h e i n i t i a l d a t a , s o t h a t w e n e e d t o s h o w t h a t

t h e N a v i e r - S t o k e s a n d t h e E u l e r s y s t e m s p r e s e r v e t h e s y m m e t r y . T h i s c a n b e

a c c o m p l i s h e d b y a s t a n d a r d e n e r g y e s t i m a t e a r g u m e n t , w h i c h w e w i l l o u t l i n e

b e l o w .

4



T h e 2 D i n c o m p r e s s i b l e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s i n t h e f u l l p l a n e a n d i n

v o r t i c i t y f o r m a r e g i v e n b y :

8

>

>

>

<

>

>

>

:

!

t

+ u r ! = " ! ; i n R

2

( 0 ; 1 )

d i v u = 0 ; c u r l u = ! i n R

2

0 ; 1 )

! ( x ; 0 ) = !

0

( x ) i n R

2

j u

j ( x ; t )

! 0 a s

j x

j ! 1 :

( 1 )

T h e i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s ( i n v o r t i c i t y f o r m ) c o r r e s p o n d t o

" = 0 . I f !

0

i s s m o o t h a n d c o m p a c t l y s u p p o r t e d , t h e n f o r a n y " 0 t h e r e

e x i s t s a u n i q u e s m o o t h s o l u t i o n t o t h e p r o b l e m a b o v e , s e e 1 5 ] . I t i s e a s y

t o s e e t h a t t h e s o l u t i o n i s a l s o c o m p a c t l y s u p p o r t e d i n s p a c e f o r a l l t i m e , i f

" = 0 . I f " > 0 , ! ( x ; t ) i s e x p o n e n t i a l l y d e c a y i n g a s

j x

j ! 1 . T h i s i s a

c o n s e q u e n c e o f t h e p r o p e r t i e s o f t h e p a r a m e t r i x f o r t h e l i n e a r i z e d p a r a b o l i c

p r o b l e m , s e e 8 ] .

T h e e l l i p t i c s y s t e m d i v u = 0 , c u r l u = ! i n t h e f u l l p l a n e , t o g e t h e r

w i t h t h e c o n d i t i o n j u j ! 0 a t 1 c a n b e i n v e r t e d e x p l i c i t l y , s o a s t o e x p r e s s

v e l o c i t y i n t e r m s o f v o r t i c i t y b y :

u ( x ; t ) = ( K ! ( ; t ) ) ( x )

Z

R

2

( x

? y )

2 j x ? y j

2

! ( y ; t ) d y ; ( 2 )

w i t h ( z

1

; z

2

)

= ( ? z

2

; z

1

) . T h i s i d e n t i t y i s c a l l e d t h e B i o t - S a v a r t l a w . U s i n g

t h e B i o t - S a v a r t l a w , t h e s y s t e m ( 1 ) b e c o m e s a s c a l a r n o n l o c a l e q u a t i o n w i t h

t h e v o r t i c i t y ! a s t h e s i n g l e u n k n o w n .

D e n i t i o n 1 A R a d o n m e a s u r e 2 B M ( R

2

) i s s a i d t o b e N M S ( n o n n e g -

a t i v e m i r r o r - s y m m e t r i c ) i f r e s t r i c t e d t o t h e r i g h t h a l f - p l a n e f x

1

> 0 g i s

n o n n e g a t i v e a n d i s o d d w i t h r e s p e c t t o t h e f x

1

= 0 g a x i s , i . e . t h e d u a l i t y

p a i r i n g h ; ' i v a n i s h e s f o r a n y ' 2 C

0

( R

2

) w h i c h i s e v e n w i t h r e s p e c t t o t h e

r s t v a r i a b l e .

W e w i l l u s e t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n f o r t h e m i r r o r s y m m e t r y : x = ( x

1

; x

2

)

7!

x

( ? x

1

; x

2

) . W e n o t e t h a t t h e r e s t r i c t i o n o f a b o u n d e d R a d o n m e a s u r e

i n t h e p l a n e t o a n y o p e n s u b s e t o f t h e p l a n e w i t h s m o o t h b o u n d a r y g i v e s

r i s e t o a b o u n d e d R a d o n m e a s u r e o n . T h i s i s a n i m m e d i a t e c o n s e q u e n c e

o f t h e c h a r a c t e r i z a t i o n o f B M ( ) a s t h e d u a l o f t h e s p a c e C

0

( ) , t h e c l o s u r e

o f C

1

c

( ) w i t h r e s p e c t t o t h e s u p - n o r m .

5



P r o p o s i t i o n 1 L e t " 0 a n d l e t !

0

2 C

1

c

( R

2

) b e N M S . I f ! = ! ( x ; t ) i s

t h e u n i q u e s o l u t i o n o f ( 1 ) w i t h i n i t i a l d a t a !

0

, t h e n ! ( ; t ) i s N M S f o r a l l

t 0 .

P r o o f : D e n e

e

! ( x ; t )

! ( x ; t ) + ! ( x

; t ) , s o t h a t

e

! ( x ; 0 )

0 .

T h e n

e

! s a t i s e s t h e f o l l o w i n g e q u a t i o n :

e

!

t

( x ; t ) + u ( x ; t ) r

e

! ( x ; t ) =

"

e

! ( x ; t ) + u ( x ; t ) ( r ! ) ( x

; t ) ? u ( x

; t ) ( r ! ) ( x

; t ) :

W e r e w r i t e t h e r . h . s . o f t h i s e q u a t i o n , u s i n g t h e e x p l i c i t f o r m o f t h e

B i o t - S a v a r t l a w ( 2 ) t o o b t a i n :

e

!

t

( x ; t ) + u ( x ; t ) r

e

! ( x ; t ) = "

e

! ( x ; t ) + ( K

e

! ) ( x ; t ) ( r ! ) ( x

; t ) :

M u l t i p l y t h i s i d e n t i t y b y 2

e

! , i n t e g r a t e b y p a r t s o v e r a l l R

2

t o o b t a i n :

d

d t

( k

e

! k

2

L

2

)

Z

R

2

e

! ( K

e

! ) ( x ; t ) ( r ! ) ( x

; t ) d x

k

e

! k

L

2

k K

e

! k

L

2 p = ( p ? 2 )

k r ! k

L

p

;

w h e r e 2 < p < 1 i s a r b i t r a r y . T h e e x p o n e n t 2 p = ( p ? 2 ) i s p r e c i s e l y t h e c r i t i c a l

S o b o l e v e x p o n e n t c o r r e s p o n d i n g t o p

0

= p = ( p ? 1 ) . T h e r e f o r e , s i n c e 1 < p

0

<

2 , o n e c a n u s e t h e H a r d y - L i t t l e w o o d - S o b o l e v i n e q u a l i t y ( s e e P r o p o s i t i o n 1 ,

1 0 ] ) , t o g e t :

k K

e

! k

L

2 p = ( p ? 2 )

C

p

k

e

! k

L

p

0

:

I n t h e c a s e " = 0 ,

e

! ( ; t ) h a s c o m p a c t s u p p o r t , a n d h e n c e t h e L

p

0

- n o r m

a b o v e i s d o m i n a t e d b y t h e L

2

- n o r m , s o t h a t , b y G r o n w a l l ' s i n e q u a l i t y ,

e

!

v a n i s h e s i d e n t i c a l l y . T h i s m e a n s t h a t ! ( ; t ) i s o d d w i t h r e s p e c t t o t h e r s t

v a r i a b l e , w h i c h i m p l i e s , b y t h e e x p l i c i t f o r m o f t h e B i o t - S a v a r t l a w , t h a t u i s

t a n g e n t t o t h e f x

1

= 0 g - a x i s , s o t h a t e a c h h a l f - p l a n e i s i n v a r i a n t u n d e r t h e

o w . H e n c e ! ( ; t ) i s n o n n e g a t i v e i n t h e r i g h t h a l f p l a n e , s o t h a t ! ( ; t ) i s

N M S .

I f " > 0 , o n e c a n u s e t h e e x p o n e n t i a l d e c a y o f

e

! ( ; t ) a t i n n i t y a n d

H o l d e r ' s i n e q u a l i t y t o c o n c l u d e t h a t :

k

e

! k

L

p

0

C ( R

k

e

! k

L

2

+ e

? K R

) ;

6



w h e r e C , K a r e p o s i t i v e c o n s t a n t s , R > R

0

, f o r R

0

s u c i e n t l y b i g a n d

= ( 2 ? p

0

) = p

0

, s o t h a t 0 < < 1 . O n e i n p u t s t h i s i n f o r m a t i o n i n t o

t h e d i e r e n t i a l i n e q u a l i t y a n d u s e s G r o n w a l l ' s i n e q u a l i t y t o c o n c l u d e t h a t

k

e

! ( ; t ) k

2

L

2

C e

?

e

K R

, f o r a r b i t r a r y R > R

0

, s o t h a t

e

! 0 . F i n a l l y , w e

o b s e r v e t h a t ! = ! ( x ; t ) i s n o w o d d w i t h r e s p e c t t o x

1

, s o t h a t ! ( 0 ; x

2

; t )

0 . H e n c e , ! s a t i s e s a l i n e a r F o k k e r - P l a n c k e q u a t i o n o n t h e h a l f p l a n e ,

w i t h a h o m o g e n e o u s D i r i c h l e t b o u n d a r y c o n d i t i o n , a n d n o n n e g a t i v e i n i t i a l

c o n d i t i o n . B y t h e m a x i m u m p r i n c i p l e , t h e n o n n e g a t i v i t y i s p r e s e r v e d f o r

f u t u r e t i m e s , s o t h a t ! i s N M S i n t h i s c a s e a s w e l l .

2 A p r i o r i e s t i m a t e s i n t h e i n v i s c i d c a s e

W e c o n s i d e r t h e p r o b l e m o f e x i s t e n c e o f a w e a k s o l u t i o n t o t h e i n c o m p r e s s i b l e

2 D E u l e r e q u a t i o n s i n t h e f u l l p l a n e w i t h i n i t i a l v e l o c i t y u

0

2 L

2

( R

2

) s u c h

t h a t t h e v o r t i c i t y !

0

c u r l u

0

i s N M S a n d c o m p a c t l y s u p p o r t e d . W e w i l l

l o o k f o r s o l u t i o n s s a t i s f y i n g t h e w e a k v o r t i c i t y f o r m u l a t i o n o f t h e e q u a t i o n s ,

a s w a s i n t r o d u c e d b y S . S c h o c h e t i n 1 7 ] , w h i c h w e m a k e e x p l i c i t i n t h e

d e n i t i o n b e l o w .

F i r s t w e n o t e t h a t , i f 2 B M ( R

2

) t h e n i t i s p o s s i b l e t o m a k e s e n s e o f K

a s a d i s t r i b u t i o n . T o s e e t h i s , o b s e r v e t h a t t h e m a p ' 7! K ' i s a c o n t i n u o u s

l i n e a r o p e r a t o r f r o m C

1

c

( R

2

) i n t o C

0

( R

2

) , w h e r e C

0

d e n o t e s t h e c o n t i n u o u s

f u n c t i o n s v a n i s h i n g a t i n n i t y . H e n c e , u s i n g t h a t K ( z ) = ? K ( ? z ) w e m a y

d e n e K a s a d i s t r i b u t i o n b y t h e r e l a t i o n

h K ; ' i = ? h ; K ' i :

D e n i t i o n 2 W e s a y t h a t !

2 L

1

( 0 ;

1 ) ;

B M ( R

2

) ) i s a w e a k s o l u t i o n o f t h e

i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s w i t h i n i t i a l d a t a !

0

2 B M

c

( R

2

)

\ H

? 1

( R

2

)

i f :

( a ) t h e v e l o c i t y u K ! 2 L

1

l o c

( 0 ; 1 ) ; ( L

2

l o c

( R

2

) )

2

) , a n d

( b ) f o r a n y t e s t f u n c t i o n ' 2 C

1

c

( 0 ; 1 ) R

2

) w e h a v e :

Z

1

0

Z

R

2

'

t

! ( x ; t ) d x d t +

Z

1

0

Z

R

2

Z

R

2

H

'

( x ; y ; t ) ! ( x ; t ) ! ( y ; t ) d y d x d t +

Z

R

2

' ( x ; 0 ) !

0

( x ) d x = 0 ;

7



w h e r e

H

'

( x ; y ; t )

r ' ( x ; t ) ? r ' ( y ; t )

4

j x

? y

j

( x ? y )

j x

? y

j

:

W e w i l l s a y t h a t ! i s a n i t e - e n e r g y w e a k s o l u t i o n i f i t i s a w e a k s o l u t i o n

w i t h u 2 L

1

l o c

( 0 ; 1 ) ; ( L

2

( R

2

) )

2

) .

R e m a r k : T h e d e r i v a t i o n o f t h e r e l a t i o n a b o v e f o r s m o o t h s o l u t i o n s i s

c o n t a i n e d i n 1 7 ] . W e a b u s e n o t a t i o n s e v e r a l t i m e s i n t h e d e n i t i o n , s i n c e

! i s o n l y a p a r a m e t r i z e d f a m i l y o f m e a s u r e s a n d n o t a f u n c t i o n . I t i s t h e

c o n t e n t o f L e m m a 2 . 1 i n 1 7 ] t h a t f o r a g i v e n w e a k s o l u t i o n i n t h e s e n s e a b o v e

o n e c a n c o n s t r u c t a c l a s s i c a l w e a k s o l u t i o n f o r t h e v e l o c i t y f o r m u l a t i o n o f t h e

E u l e r e q u a t i o n s , s i n c e t h e v e l o c i t y b e i n g i n L

2

l o c

i m p l i e s t h a t t h e v o r t i c i t y h a s

n o d i s c r e t e p a r t .

T o p r o v e o u r m a i n e x i s t e n c e r e s u l t w e w i l l r e q u i r e a n e w a p r i o r i e s t i m a t e

f o r t h e s m o o t h s y m m e t r i c s o l u t i o n s o f t h e i n v i s c i d p r o b l e m , w h o s e e x i s t e n c e

w e e x a m i n e d i n P r o p o s i t i o n 1 .

L e m m a 1 L e t !

0

b e a s m o o t h , c o m p a c t l y s u p p o r t e d f u n c t i o n w h i c h i s N M S .

L e t u = ( u

1

; u

2

) a n d ! b e t h e s m o o t h s o l u t i o n o f t h e i n v i s c i d v o r t i c i t y e q u a t i o n

( 1 , " = 0 ) w i t h i n i t i a l d a t a !

0

. I f ' = ' ( x

1

; x

2

) i s a s m o o t h f u n c t i o n w i t h

b o u n d e d d e r i v a t i v e s u p t o s e c o n d o r d e r i n t h e c l o s e d r i g h t - h a l f p l a n e , t h e n :

d

d t

Z

x

1

> 0

' ( x ) ! ( x ; t ) d x = ?

1

2

Z

+ 1

? 1

( u

2

)

2

( 0 ; x

2

; t ) '

x

2

( 0 ; x

2

) d x

2

+

Z

x

1

> 0

( u

2

1

? u

2

2

) '

x

1

x

2

? u

1

u

2

( '

x

1

x

1

? '

x

2

x

2

) d x :

P r o o f : W e r e c a l l t h a t s i n c e ! h a s c o m p a c t s u p p o r t a n d t o t a l m a s s z e r o i t

f o l l o w s t h a t u ( ; t ) 2 L

2

( R

2

) , a n d t h a t j u j ( ; t ) = O ( j x j

? 2

) a s j x j ! 1 . W i t h

t h i s w e h a v e :

d

d t

Z

1

0

Z

1

? 1

' ( x ) ! ( x ; t ) d x

2

d x

1

= ( 3 )

Z

1

0

Z

1

? 1

' !

t

d x

2

d x

1

= ?

Z

1

0

Z

1

? 1

' d i v ( u ! ) d x

2

d x

1

=

Z

1

0

Z

1

? 1

u

r ' ! d x

2

d x

1

? l i m

R ! 1

Z

f j x j = R ; x

1

0 g

' ! u

b

n d S =

8



Z

1

0

Z

1

? 1

u r ' ! d x

2

d x

1

;

s i n c e t h e b o u n d a r y t e r m s v a n i s h d u e t o ! ( ; t ) h a v i n g c o m p a c t s u p p o r t t o -

g e t h e r w i t h t h e f a c t t h a t u

b

n = ? u

1

o n t h e b o u n d a r y x

1

= 0 , w h i c h a l s o

v a n i s h e s . W e r e - w r i t e t h e t e r m u r ' ! a s ? u r ' d i v u

a n d i n t e g r a t e b y

p a r t s t o o b t a i n :

( 3 ) =

Z

1

0

Z

1

? 1

r ( u r ' ) u

d x

2

d x

1

? l i m

R ! 1

Z

f j x j = R ; x

1

0 g

( u r ' ) u

b

n d S =

Z

1

0

Z

1

? 1

r ( u r ' ) u

d x

2

d x

1

?

Z

f x

1

= 0 g

( u r ' ) u

( ? 1 ; 0 ) d S =

Z

1

0

Z

1

? 1

r ( u r ' ) u

d x

2

d x

1

?

Z

1

? 1

( u

2

)

2

( 0 ; x

2

; t ) '

x

2

( 0 ; x

2

) d x

2

=

Z

1

0

Z

1

? 1

r

j u j

2

2

!

r

' + ( u

2

1

? u

2

2

) '

x

1

x

2

? u

1

u

2

( '

x

1

x

1

? '

x

2

x

2

)

!

d x

2

d x

1

+

?

Z

1

? 1

( u

2

)

2

( 0 ; x

2

; t ) '

x

2

( 0 ; x

2

) d x

2

= l i m

R ! 1

Z

f j x j = R ; x

1

0 g

j u j

2

2

r

'

b

n d S +

Z

1

0

Z

1

? 1

( u

2

1

? u

2

2

) '

x

1

x

2

? u

1

u

2

( '

x

1

x

1

? '

x

2

x

2

) d x

2

d x

1

+

?

Z

1

? 1

( u

2

)

2

( 0 ; x

2

; t ) '

x

2

( 0 ; x

2

) d x

2

=

Z

1

0

Z

1

? 1

( u

2

1

? u

2

2

) '

x

1

x

2

? u

1

u

2

( '

x

1

x

1

? '

x

2

x

2

) d x

2

d x

1

+

?

1

2

Z

1

? 1

( u

2

)

2

( 0 ; x

2

; t ) '

x

2

( 0 ; x

2

) d x

2

;

a s w e w i s h e d .

R e m a r k : T h i s l e m m a i s i n s p i r e d o n a n a p r i o r i e s t i m a t e d e r i v e d b y D .

C h a e a n d O . Y . I m a n u v i l o v i n 1 ] f o r 3 D a x i s y m m e t r i c i n v i s c i d o w .

L e m m a 1 u s e d w i t h ' = a r c t a n ( x

2

) , i n t e g r a t e d i n t i m e y i e l d s , f o r a n y

0 < L < 1 , t h e f o l l o w i n g a p r i o r i e s t i m a t e o n u

2

( 0 ; x

2

; t ) :

Z

T

0

Z

L

? L

j u

2

( 0 ; x

2

; t ) j

2

d x

2

d t C ; ( 4 )

w i t h C d e p e n d i n g o n k !

0

k

L

1

, k u

0

k

L

2

, T a n d L . W e w i l l u s e t h i s a p r i o r i

e s t i m a t e t o s h o w t h a t t h e t o t a l m a s s o f v o r t i c i t y i n a d i s k a r o u n d a p o i n t o n

t h e i n t e r f a c e f x

1

= 0 g d e c a y s a s t h e d i s k s h r i n k s t o a p o i n t . M o r e p r e c i s e l y ,

w e h a v e :

9



L e m m a 2 L e t u , ! b e t h e s m o o t h s o l u t i o n o f ( 1 , " = 0 ) i n L e m m a 1 . S e t

x

0

= ( 0 ; a ) 2 R

2

. I f L > 0 a n d > 0 a r e s u c h t h a t ( a ? ; a + ) ( ? L ; L )

t h e n

Z

B ( x

0

; )

j ! ( y ; t ) j d y C

p

Z

L

? L

j u

2

( 0 ; x

2

; t ) j

2

d x

2

!

1 = 2

;

w h e r e C i s a u n i v e r s a l c o n s t a n t .

P r o o f : L e t u s b e g i n b y n o t i n g t h a t , b y t h e B i o t - S a v a r t l a w ( 2 ) , t h e t a n g e n t i a l

c o m p o n e n t o f v e l o c i t y o n f x

1

= 0 g , u n d e r t h e s y m m e t r y c o n s i d e r e d , i s :

u

2

( 0 ; x

2

; t ) = ?

Z

1

0

Z

1

? 1

y

1

( ( y

1

)

2

+ ( x

2

? y

2

)

2

)

! ( y ; t ) d y

2

d y

1

;

a n d h e n c e i s n o n p o s i t i v e . T h e r e f o r e w e h a v e :

Z

a +

a ?

j u

2

( 0 ; x

2

; t ) j d x

2

=

Z

a +

a ?

Z

1

0

Z

1

? 1

y

1

( ( y

1

)

2

+ ( x

2

? y

2

)

2

)

! ( y ; t ) d y

2

d y

1

d x

2

=

Z

1

0

Z

1

? 1

! ( y ; t )

y

1

Z

a +

a ?

1

( ( y

1

)

2

+ ( x

2

? y

2

)

2

)

d x

2

d y

2

d y

1

=

Z

1

0

Z

1

? 1

! ( y ; t )

g ( y

1

; y

2

)

d y ;

w h e r e g ( y

1

; y

2

) a r c t a n

a + ? y

2

y

1

? a r c t a n

a ? ? y

2

y

1

0 ,

Z

f j y ? x

0

j < ; y

1

> 0 g

! ( y ; t )

g ( y

1

; y

2

)

d y ;

s i n c e ! 0 i n f y

1

> 0 g .

N e x t c o n s i d e r , f o r a n y x e d h > 0 , t h e f u n c t i o n f

h

( z ) a r c t a n ( z +

h ) ? a r c t a n ( z ? h ) , w i t h j z j < h . I t i s e a s y t o c h e c k t h a t , i n t h i s r a n g e ,

f

h

( z ) a r c t a n ( 2 h ) . N o w i f y = ( y

1

; y

2

) 2 f j y ? x

0

j < ; y

1

> 0 g t h e n c l e a r l y

j ( a ? y

2

) = y

1

j <

y

1

a n d = y

1

> 1 . I f w e s e t h = = y

1

a n d z = ( a ? y

2

) = y

1

t h e n

w e h a v e g ( y

1

; y

2

) = f

h

( z ) a r c t a n ( 2 h ) a r c t a n ( 2 ) . W e h a v e h e n c e :

Z

a +

a ?

j u

2

( 0 ; x

2

; t )

j d x

2

a r c t a n 2

Z

f j y ? x

0

j < ; y

1

> 0 g

! ( y ; t ) d y =

C

Z

B ( x

0

; )

j ! ( y ; t ) j d y :

( 5 )

1 0



O n t h e o t h e r h a n d , u s i n g t h e C a u c h y - S c h w a r t z i n e q u a l i t y w e o b t a i n

Z

a +

a ?

j u

2

( 0 ; x

2

; t ) j d x

2

C

p

Z

a +

a ?

j u

2

( 0 ; x

2

; t ) j

2

d x

2

!

1 = 2

;

w h i c h t o g e t h e r w i t h ( 5 ) g i v e s w h a t w e w i s h a s l o n g a s ( a ? ; a + ) ( ? L ; L ) .

O b s e r v e t h a t t h e r e s u l t i n L e m m a 2 c o n c e r n s o n l y t h e B i o t - S a v a r t l a w .

3 C o n v e r g e n c e t h e o r e m

T h e o b j e c t i v e o f t h i s s e c t i o n i s t o p r o v e t h e e x i s t e n c e o f a n N M S w e a k s o l u t i o n

o f t h e i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s , i n t h e s e n s e o f D e n i t i o n 2 , w i t h

N M S i n i t i a l v o r t i c i t y . W e b e g i n w i t h t h e c o n s t r u c t i o n o f a n a p p r o x i m a t e

s o l u t i o n s e q u e n c e , b y m o l l i f y i n g t h e i n i t i a l v o r t i c i t y a n d e x a c t l y s o l v i n g t h e

E u l e r e q u a t i o n s .

L e t = ( r ) 2 C

1

c

( 0 ; 1 ) ) b e n o n n e g a t i v e , m o n o t o n i c d e c r e a s i n g i n s i d e

i t s s u p p o r t , w i t h t o t a l i n t e g r a l 1 = 2 , a n d x t h e F r i e d r i c h s m o l l i e r ( x ) =

( j x j ) .

L e t !

0

2 B M

c

( R

2

) \ H

? 1

( R

2

) b e N M S . C o n s i d e r t h e s e q u e n c e o f s m o o t h ,

c o m p a c t l y s u p p o r t e d f u n c t i o n s f !

n

0

g o b t a i n e d b y c o n v o l v i n g !

0

w i t h

n

=

n

( x ) = n

2

( n x ) . L e t u

n

0

= K !

n

0

a n d l e t ( u

n

, !

n

) b e t h e s m o o t h s o l u t i o n

o f ( 1 , " = 0 ) w i t h i n i t i a l d a t a !

n

0

.

I n 4 ] S e c t i o n 1 . C , D i P e r n a a n d M a j d a p r o v e d t h a t t h e s e q u e n c e s f u

n

g

a n d

f !

n

g a r e a n a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s e q u e n c e , i n t h e s e n s e o f D e n i t i o n

1 . 1 i n 4 ] . S i n c e !

0

i s N M S , t h e t o t a l m a s s o f !

n

0

i s a u t o m a t i c a l l y z e r o . A s

D i P e r n a a n d M a j d a o b s e r v e , !

n

0

i s u n i f o r m l y b o u n d e d i n L

1

( R

2

) a n d , s i n c e

!

n

0

h a s t o t a l m a s s z e r o , u

n

0

i s u n i f o r m l y b o u n d e d i n L

2

( R

2

) . D u e t o o u r c h o i c e

o f m o n o t o n i c , c i r c u l a r l y s y m m e t r i c m o l l i e r s , t h e !

n

0

a r e N M S . I n d e e d , t h e

m i r r o r s y m m e t r y i s a n o b v i o u s c o n s e q u e n c e o f t h e c i r c u l a r s y m m e t r y o f ,

w h e r e a s t h e s i g n c o n d i t i o n f o l l o w s f r o m s t r a i g h t f o r w a r d p o i n t w i s e e s t i m a t e s

o n

n

!

0

, u s i n g b o t h t h e s y m m e t r y a n d t h e m o n o t o n i c i t y o f . T h e r e f o r e ,

b y P r o p o s i t i o n 1 , t h e !

n

( ; t ) a r e N M S f o r a l l t i m e .

I t w a s s h o w n i n 4 ] t h a t t h e f o l l o w i n g e s t i m a t e s h o l d f o r a n y T > 0 :

( E 1 ) s u p

0 t T

k !

n

( ; t ) k

L

1

( R

2

)

C :

( E 2 ) s u p

0 t T

k u

n

( ; t ) k

L

2

( R

2

)

C :

1 1



( E 3 ) T h e r e e x i s t s 1 < M < 1 s u c h t h a t , f u

n

g i s u n i f o r m l y b o u n d e d i n

L i p ( 0 ; T ] ; H

? M

l o c

( R

2

) ) .

W e x t h e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n s e q u e n c e

f u

n

g ,

f !

n

g t h r o u g h o u t t h i s

s e c t i o n .

T h e k e y i s s u e i n t h e p r o o f o f e x i s t e n c e , a s f o r m u l a t e d b y S c h o c h e t i n 1 7 ]

i s t h e p o s s i b i l i t y o f c o n c e n t r a t i o n s i n t h e s e q u e n c e o f v o r t i c i t i e s . I n o r d e r t o

c o n t r o l t h e o c c u r r e n c e o f c o n c e n t r a t i o n s i n t h e s e q u e n c e f !

n

g w e w i l l p u t

t o g e t h e r t h e a p r i o r i e s t i m a t e d e r i v e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n w i t h a v e r s i o n

o f t h e l o g

? 1 = 2

d e c a y o f c i r c u l a t i o n i n s m a l l c i r c l e s r s t o b s e r v e d b y A . M a j d a

i n 1 4 ] . T h e a p r i o r i l o g a r i t h m i c d e c a y i n c i r c u l a t i o n t u r n s o u t t o b e a l o c a l

f e a t u r e o f o w s w i t h d i s t i n g u i s h e d s i g n v o r t i c i t y , w h i c h w a s p o i n t e d o u t b y

S c h o c h e t i n 1 7 ] ; t h i s l o c a l i t y i s c r u c i a l t o o u r a n a l y s i s .

L e m m a 3 F o r e v e r y T > 0 a n d K R

2

c o m p a c t t h e r e e x i s t s a c o n s t a n t

C > 0 s u c h t h a t f o r e v e r y 0 < < 1 :

Z

T

0

s u p

x 2 K

Z

B ( x ; )

j !

n

( y ; t ) j d y

!

d t C j l o g j

? 1 = 2

:

P r o o f : L e t R > 0 b e s u c h t h a t K B ( 0 ; R ) . W e r e c a l l a n e s t i m a t e d u e t o

S . S c h o c h e t ( s e e T h e o r e m 3 . 6 , e s t i m a t e ( 3 . 1 2 ) o f 1 7 ] ) :

Z

R

2

( x ? y ) !

n

( y ; t ) d y

C k u

n

( ; t ) k

L

2

j l o g j

? 1 = 2

;

w h e r e

w a s d e n e d a s :

( z ) =

8

>

>

>

>

>

>

>

>

>

<

>

>

>

>

>

>

>

>

>

:

1 i f j z j

l o g (

p

= j z j )

l o g ( 1 =

p

)

i f j z j

p

0 i f j z j

p

:

I t c a n b e e a s i l y s e e n t h a t , i f x = ( b ; c ) , w i t h j b j >

p

, t h e n B ( x ;

p

)

f x

1

> 0 g f x

1

< 0 g a n d t h e r e f o r e , s i n c e !

n

( ; t ) i s o f a d i s t i n g u i s h e d s i g n i n

t h i s d i s k , w e g e t :

Z

B ( x ; )

j !

n

( y ; t ) j d y C j l o g j

? 1 = 2

; ( 6 )

1 2



b y e s t i m a t e ( E 2 ) .

L e t a 2 R , > 0 a n d L > 0 b e s u c h t h a t ( a ? ; a + ) ( ? L ; L ) . I t

f o l l o w s f r o m L e m m a 1 , ( 4 ) a n d L e m m a 2 t h a t :

Z

T

0

Z

L

? L

j u

n

2

( 0 ; x

2

; t ) j

2

d x

2

d t C ( k !

n

0

k

L

1

; k u

n

0

k

L

2

; T ; L ) C ; ( 7 )

Z

B ( ( 0 ; a ) ; )

j !

n

( y ; t ) j d y C

p

Z

L

? L

j u

n

2

( 0 ; x

2

; t ) j

2

d x

2

!

1 = 2

; ( 8 )

f o r a n y T > 0 , ( u s i n g ( E 1 ) a n d ( E 2 ) i n ( 7 ) ) .

N o w l e t x = ( b ; c ) , w i t h j b j

p

. T h e n , B ( x ; ) B ( ( 0 ; c ) ; j b j + ) , a n d

j c j R . T h e r e f o r e , u s i n g ( 8 ) w i t h a = c a n d = j b j + < 2

p

( s i n c e < 1 )

w e h a v e

Z

B ( x ; )

j !

n

( y ; t ) j d y

Z

B ( ( 0 ; c ) ; j b j + )

j !

n

( y ; t ) j d y

C

4

p

Z

R + 2

? R ? 2

j u

n

2

( 0 ; x

2

; t ) j

2

d x

2

!

1 = 2

;

s i n c e ( c ? j b j ? ; c + j b j + ) ( ? R ? 2 ; R + 2 ) .

T h e r e f o r e ,

s u p

x 2 K

Z

B ( x ; )

j !

n

( y ; t ) j d y m a x

n

C j l o g j

? 1 = 2

; C

4

p

k u

n

2

( 0 ; ; t ) k

L

2

( ? R ? 2 ; R + 2 )

o

;

C ( j l o g j

? 1 = 2

)

k u

n

2

( 0 ; ; t ) k

L

2

( ? R ? 2 ; R + 2 )

+ 1

:

W e i n t e g r a t e i n t i m e o v e r 0 ; T ] a n d u s e ( 7 ) t o c o n c l u d e t h e p r o o f .

W e r e c o g n i z e t h e r e s u l t a b o v e a s d e s c r i b i n g t h e a b s e n c e o f c o n c e n t r a -

t i o n s i n a t i m e - a v e r a g e d s e n s e . I f , i n s t e a d o f t h e i n t e g r a l i n t i m e w e h a d

t h e s a m e e s t i m a t e p o i n t w i s e a l m o s t e v e r y w h e r e i n t i m e t h e n o u r m a i n e x -

i s t e n c e r e s u l t w o u l d f o l l o w f r o m L e m m a 3 . 7 i n 1 7 ] . H o w e v e r , t h e i n t e g r a l

e s t i m a t e i n L e m m a 3 d o e s n o t i m p l y t h e a . e . i n t i m e p o i n t w i s e b o u n d e d n e s s

o f s u p

x 2 K

R

B ( x ; )

j !

n

( y ; t ) j d y o r , i n s i m p l e r t e r m s , o n e c a n n o t , f r o m a s e q u e n c e

b o u n d e d i n L

1

( 0 ; T ] ) , e x t r a c t a s u b s e q u e n c e w h i c h i s a . e . p o i n t w i s e b o u n d e d

i n 0 ; T ] , s e e 9 ] f o r a c o u n t e r e x a m p l e .

L e t ' 2 C

1

c

( 0 ; 1 ) R

2

) b e a t e s t f u n c t i o n . L e t

v 2 L

1

( 0 ; 1 ) ; B M ( R

2

) ) \ L i p ( 0 ; 1 ) ; H

? M ? 1

( R

2

) )

1 3



b e s u c h t h a t K v 2 L

1

l o c

( 0 ; 1 ) ; ( L

2

l o c

( R

2

) )

2

) . W e i n t r o d u c e t h e f o l l o w i n g

n o t a t i o n f o r t h e t e r m s w h i c h a p p e a r i n t h e w e a k v o r t i c i t y f o r m u l a t i o n i n

D e n i t i o n 2 :

W ( ' ; v ) W

L

( ' ; v ) + W

N L

( ' ; v ) ;

W

L

( ' ; v )

Z

1

0

Z

R

2

'

t

v ( x ; t ) d x d t +

Z

R

2

' ( x ; 0 ) v ( x ; 0 ) d x ;

W

N L

( ' ; v )

Z

1

0

Z

R

2

Z

R

2

H

'

( x ; y ; t ) v ( x ; t ) v ( y ; t ) d y d x d t ;

w h e r e w e a r e o n c e a g a i n a b u s i n g n o t a t i o n s i n c e v i s m e r e l y a p a r a m e t r i z e d

f a m i l y o f m e a s u r e s .

T h e o r e m 1 T h e r e e x i s t s a n i t e - e n e r g y w e a k s o l u t i o n ! o f t h e 2 D i n c o m -

p r e s s i b l e E u l e r e q u a t i o n s w i t h i n i t i a l v o r t i c i t y !

0

.

P r o o f : L e t M > 1 b e t h e e x p o n e n t s u c h t h a t e s t i m a t e ( E 3 ) h o l d s f o r u

n

.

T h e n , f o r a n y T > 0 , !

n

i s u n i f o r m l y b o u n d e d i n L i p ( 0 ; T ] ; H

? M ? 1

l o c

( R

2

) ) , s o

t h a t a s i m p l e a p p l i c a t i o n o f t h e A u b i n - L i o n s c o m p a c t n e s s l e m m a y i e l d s a s u b -

s e q u e n c e , w h i c h w e d o n o t r e l a b e l , c o n v e r g i n g s t r o n g l y i n C ( 0 ; T ] ; H

? L

l o c

( R

2

) ) ,

f o r a n y L < M + 1 . F u r t h e r m o r e , t h e r e e x i s t s a s u b s e q u e n c e o f f !

n

g w h i c h

c o n v e r g e s w e a k - i n L

1

l o c

( 0 ; 1 ) ; B M ( R

2

) ) s u c h t h a t t h e c o r r e s p o n d i n g u

n

c o n v e r g e w e a k - i n L

1

l o c

( 0 ; 1 ) ; ( L

2

( R

2

) )

2

) . F i x s u c h a s u b s e q u e n c e a n d l e t

! b e t h e w e a k - l i m i t o f f !

n

g . W e w i l l s h o w t h a t ! i s a w e a k s o l u t i o n .

O f c o u r s e , f o r e a c h !

n

t h e w e a k v o r t i c i t y f o r m u l a t i o n i s a n i d e n t i t y s o

t h a t , f o r a n y t e s t f u n c t i o n ' 2 C

1

c

( ( 0 ; 1 ) R

2

) w e h a v e W ( ' ; !

n

) 0 . W e

w i l l s h o w t h a t

l i m

n ! 1

W ( ' ; !

n

) =

W ( ' ; ! ) ;

a n d h e n c e t h e c o n c l u s i o n w i l l f o l l o w .

T h e l i n e a r t e r m , W

L

( ' ; !

n

) , i s w e a k l y c o n t i n u o u s u n d e r t h e s e ( s i m u l t a n e -

o u s ) w e a k - l i m i t s a n d t h u s c o n v e r g e s t o t h e c o r r e s p o n d i n g t e r m W

L

( ' ; ! ) .

R e c a l l t h a t t h e f u n c t i o n H

'

a p p e a r i n g i n t h e n o n l i n e a r t e r m W

N L

( ' ; !

n

)

i s g l o b a l l y b o u n d e d i n 0 ; 1 ) R

2

R

2

. W e a s s u m e t h a t t h e s u p p o r t o f

' i s c o n t a i n e d i n t h e c y l i n d e r 0 ; T ] B ( 0 ; R

0

) . T h e n w e h a v e t h a t H

'

v a n i s h e s i d e n t i c a l l y w h e n e v e r j x j > R

0

a n d j y j > R

0

. T h e f u n c t i o n H

'

i s

n o t c o n t i n u o u s ( i t i s d i s c o n t i n u o u s o n t h e d i a g o n a l x = y ) , s o t h a t t h e w e a k

c o n t i n u i t y o f t h e n o n l i n e a r t e r m i s m o r e d e l i c a t e .

1 4



F i x 0 < < 1 . W e c h o o s e a t e s t f u n c t i o n

2 C

1

c

( R

2

) , s u c h t h a t

0

( z ) 1 ,

( z ) 1 i f j z j < = 2 a n d

( z ) 0 i f j z j > . T h e n t h e

n o n l i n e a r t e r m c a n b e r e w r i t t e n a s :

Z

1

0

Z

R

2

Z

R

2

( 1 ?

( x ? y ) ) H

'

( x ; y ; t ) !

n

( x ; t ) !

n

( y ; t ) d y d x d t +

Z

1

0

Z

R

2

Z

R

2

( x ? y ) H

'

( x ; y ; t ) !

n

( x ; t ) !

n

( y ; t ) d y d x d t

I

( !

n

) + J

( !

n

) :

S i n c e , f o r e a c h > 0 , ( 1 ?

( x ? y ) ) H

'

( x ; y ; t ) i s a c o n t i n u o u s f u n c t i o n

v a n i s h i n g a t i n n i t y , w e h a v e t h a t I

( !

n

) c o n v e r g e s t o I

( ! ) ; s e e L e m m a 3 . 2

i n 1 7 ] .

L e t u s n o w e s t i m a t e J

( !

n

) . F i r s t w e o b s e r v e t h a t

J

( !

n

) =

Z

T

0

Z

f j x j R

0

+ 1 g

Z

B ( x ; )

( x ? y ) H

'

( x ; y ; t ) !

n

( x ; t ) !

n

( y ; t ) d y d x d t :

W e u s e L e m m a 3 w i t h K = B ( 0 ; R

0

+ 1 ) t o e s t i m a t e J

( !

n

) :

j J

( !

n

) j k H

'

k

L

1

Z

T

0

s u p

j x j R

0

+ 1

Z

B ( x ; )

j !

n

( y ; t ) j d y

!

Z

j x j R

0

+ 1

j !

n

( x ; t ) j d x

!

d t

C j l o g j

? 1 = 2

:

T h u s s u p

n

j J

( !

n

) j ! 0 a s ! 0 .

I t r e m a i n s t o p r o v e t h a t I

( ! ) c o n v e r g e s t o W

N L

( ' ; ! ) a s ! 0 . T h i s i s

a r e p e a t o f t h e a n a l y s i s d o n e f o r J

( !

n

) , t h i s t i m e p e r f o r m e d f o r J

( ! ) , s i n c e

w e h a v e :

Z

y 2 B ( x ; )

d j ! j ( y ; t ) l i m i n f

n ! 1

Z

B ( x ; )

j !

n

( y ; t ) j d y C j l o g j

? 1 = 2

;

i f x = ( b ; c ) w i t h

j b

j >

p

, a n d :

Z

y 2 B ( x ; )

d j ! j ( y ; t ) C

4

p

l i m i n f

n ! 1

Z

R

0

+ 3

? R

0

? 3

j u

n

2

( 0 ; x

2

; t ) j

2

d x

2

!

1 = 2

F ( t )

4

p

;

i f x = ( b ; c ) , j x j R

0

+ 1 a n d j b j

p

. N o t e t h a t F 0 a n d , b y F a t o u ' s

L e m m a , F 2 L

1

( 0 ; T ] ) . H e n c e F i s n i t e a . e . - 0 ; T ] . A s b e f o r e t h e s e t w o

e s t i m a t e s y i e l d t h a t J

( ! ) ! 0 a s ! 0 . T h e p o i n t w i s e e v a l u a t i o n s i n t i m e

1 5



a b o v e a r e v a l i d s i n c e i t c a n b e s h o w n t h a t ! b e l o n g s t o C

l o c

( 0 ; 1 ) ; w

?

B M ( R

2

) ) b y a s t r a i g h t f o r w a r d a d a p t a t i o n o f t h e r e s u l t i n A p p e n d i x C o f

1 2 ] t o t h e w e a k - t o p o l o g y o f B M ( R

2

) .

F i n a l l y , s i n c e f u

n

g c o n v e r g e s w e a k - i n L

1

l o c

( 0 ; 1 ) ; ( L

2

( R

2

) )

2

) t o a l i m i t u ,

s i n c e u

n

= K !

n

, a n d s i n c e f !

n

g c o n v e r g e s w e a k - i n L

1

l o c

( 0 ; 1 ) ; B M ( R

2

) )

i t f o l l o w s t h a t u = K ! a n d t h a t i t b e l o n g s t o L

1

l o c

( 0 ; 1 ) ; ( L

2

( R

2

) )

2

) . H e n c e

! i s a n i t e - e n e r g y w e a k s o l u t i o n , w h i c h c o m p l e t e s t h e p r o o f .

R e m a r k : T h i s p r o o f i s a n a d a p t a t i o n o f t h e p r o o f o f T h e o r e m 3 . 3 i n 1 7 ] .

T h o s e p o r t i o n s o f t h e a r g u m e n t a b o v e w h i c h r e p e a t t h e r e a s o n i n g p r e s e n t e d

i n 1 7 ] h a v e b e e n m e r e l y o u t l i n e d . T h e n e w f e a t u r e i n o u r p r o o f i s t h e u s e

o f t i m e - a v e r a g e d c o n t r o l o f v o r t i c i t y c o n c e n t r a t i o n t o p a s s t o t h e l i m i t i n t h e

w e a k f o r m u l a t i o n .

4 T h e m e t h o d o f i m a g e s

T h e p u r p o s e o f t h i s s e c t i o n i s t o f o r m u l a t e a v e r s i o n o f t h e m e t h o d o f i m a g e s

t h a t i s v a l i d a t t h e l e v e l o f w e a k s o l u t i o n s . T o d o t h a t , w e i n t r o d u c e a n o t i o n

o f w e a k s o l u t i o n o n d o m a i n s w i t h b o u n d a r y , s t r o n g e r t h a n t h e o n e u s e d b y

D e l o r t i n 2 ] , w h i c h w e c a l l b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n .

L e t R

2

b e a s m o o t h , s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n w i t h b o u n d a r y @ .

W e i n t r o d u c e t h e s e t o f a d m i s s i b l e t e s t f u n c t i o n s a s :

A

n

' 2 C

1

c

( 0 ; 1 ) ) j ' 0 o n @

o

:

L e t G = G ( x ; y ) b e t h e G r e e n ' s f u n c t i o n f o r t h e L a p l a c i a n o n a n d K

r

x

G . W e w i l l u s e t h e n o t a t i o n K

f ] = K

f ] ( x )

R

K

( x ; y ) f ( y ) d y :

A s b e f o r e w e r s t n o t e t h a t , i f 2 B M ( ) t h e n i t i s p o s s i b l e t o m a k e

s e n s e o f K

] a s a d i s t r i b u t i o n . T h i s i s t r u e b e c a u s e t h e m a p ' 7! K

' ] ( )

R

K

( x ; ) ' ( x ) d x i s a c o n t i n u o u s l i n e a r o p e r a t o r f r o m C

1

c

( ) i n t o C

0

( ) . T o

s e e t h i s , o b s e r v e t h a t t h e v e c t o r e l d = K

' ] i s t h e u n i q u e s o l u t i o n o f t h e

p r o b l e m :

(

? = r

' i n ;

= 0 i n @ ;

w h i c h c a n b e s e e n b y a n i n t e g r a t i o n b y p a r t s a n d t h e s y m m e t r y o f t h e G r e e n ' s

f u n c t i o n .

1 6



H e n c e w e m a y d e n e K

] a s a d i s t r i b u t i o n b y t h e r e l a t i o n

h K

] ; ' i = h ; K

' ] i :

L e t !

0

2 B M ( ) b e s u c h t h a t K

!

0

] 2 ( L

2

( ) )

2

.

D e n i t i o n 3 T h e f u n c t i o n ! 2 L

1

( 0 ; 1 ) ; B M ( ) ) i s c a l l e d a b o u n d a r y -

c o u p l e d w e a k s o l u t i o n o f t h e i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s w i t h i n i t i a l

d a t a !

0

i f :

( a ) t h e v e l o c i t y u K

! ] b e l o n g s t o L

1

l o c

( 0 ; 1 ) ; ( L

2

( ) )

2

) , a n d

( b ) f o r a n y t e s t f u n c t i o n ' 2 A w e h a v e :

Z

1

0

Z

'

t

! ( x ; t ) d x d t +

Z

1

0

Z

Z

H

'

( x ; y ; t ) ! ( x ; t ) ! ( y ; t ) d y d x d t +

Z

' ( x ; 0 ) !

0

( x ) d x = 0 ;

w h e r e

H

'

( x ; y ; t )

1

2

( r ' ( x ; t ) K

( x ; y ) + r ' ( y ; t ) K

( y ; x ) ) :

R e m a r k : T h e r e s t r i c t i o n t o s i m p l y c o n n e c t e d d o m a i n s i s i m p o r t a n t ,

b e c a u s e c l a s s i c a l s o l u t i o n s o f t h e E u l e r e q u a t i o n s o n a d o m a i n w i t h n o n t r i v i a l

t o p o l o g y d o n o t s a t i s f y t h e d e n i t i o n a b o v e .

I n t h e s p e c i c c a s e o f t h e h a l f - p l a n e H = f x

1

> 0 g ,

K

H

( x ; y ) =

( x ? y )

2 j x ? y j

2

?

( x ? y

)

2 j x ? y

j

2

;

w h e r e x

= ( ? x

1

; x

2

) . L e t !

0

= !

0

( x ) b e a R a d o n m e a s u r e i n B M ( H ) w i t h

b o u n d e d s u p p o r t s u c h t h a t K

H

!

0

] 2 ( L

2

( H ) )

2

. G i v e n a m e a s u r e ! o n H w e

d e n o t e b y

e

! i t s o d d e x t e n s i o n t o t h e f u l l p l a n e w i t h r e s p e c t t o t h e v a r i a b l e

x

1

.

T h e o r e m 2 T h e p a r a m e t r i z e d f a m i l y o f m e a s u r e s ! = ! ( x ; t ) i s a b o u n d a r y -

c o u p l e d w e a k s o l u t i o n o f t h e 2 D E u l e r e q u a t i o n s i n t h e h a l f - p l a n e H w i t h

i n i t i a l d a t a !

0

i f a n d o n l y i f

e

! i s a n i t e - e n e r g y w e a k s o l u t i o n o f t h e 2 D

E u l e r e q u a t i o n s i n t h e f u l l p l a n e w i t h i n i t i a l d a t a

f

!

0

.

1 7



P r o o f : L e t ! 2 B M ( H ) . W e b e g i n w i t h t h e f o l l o w i n g c l a i m .

C l a i m : W e h a v e t h a t K

e

! = K

H

! ] i n D

0

( H ) .

P r o o f o f C l a i m : L e t ' 2 C

1

c

( H ) . T h e n :

h K

e

! ; ' i = ? h

e

! ; K ' i = ? 2 h ! ; ( K ' )

o

i

H

; ( 9 )

w h e r e t h e s u b s c r i p t o m e a n s t h e o d d p a r t o f t h e f u n c t i o n .

L e t x 2 H . T h e n

( K ' )

o

( x ) =

K ' ( x ) ? K ' ( x

)

2

=

1

4

Z

H

( x ? y )

j x ? y j

2

?

( x

? y )

j x

? y j

2

!

' ( y ) d y =

?

1

2

Z

H

K

H

( y ; x ) ' ( y ) d y = ?

1

2

K

H

' ] ( x ) :

H e n c e , b y v i r t u e o f ( 9 ) w e h a v e

h K

e

! ; ' i = ? 2 h ! ; ?

1

2

K

H

' ] i

H

= h K

H

! ] ; ' i

H

;

w h i c h p r o v e s t h e c l a i m .

N e x t n o t e t h a t K

e

! i s a m i r r o r - s y m m e t r i c v e c t o r e l d w i t h r e s p e c t t o

x

1

= 0 i . e . i t s r s t c o m p o n e n t i s o d d a n d i t s s e c o n d c o m p o n e n t i s e v e n . T h i s

o b s e r v a t i o n t o g e t h e r w i t h t h e C l a i m i m p l y t h a t i f ! 2 L

1

l o c

( 0 ; 1 ) ; B M ( H ) )

t h e n w e h a v e :

K

H

! ] 2 L

1

l o c

( 0 ; 1 ) ; ( L

2

( ) )

2

) i f a n d o n l y i f K

e

! 2 L

1

l o c

( 0 ; 1 ) ; ( L

2

( R

2

) )

2

) :

N e x t w e p r o v e t h e e q u i v a l e n c e o f t h e w e a k f o r m u l a t i o n s i n p a r t ( b ) o f

D e n i t i o n s 2 a n d 3 .

L e t ! = ! ( x ) 2 B M ( R

2

) b e o d d w i t h r e s p e c t t o x

1

, w i t h n o d i s c r e t e

p a r t . C o n s i d e r a l s o ' = ' ( x ) 2 C

1

c

( R

2

) b e a t e s t f u n c t i o n , a l s o o d d w i t h

r e s p e c t t o x

1

. T h e n ,

Z

R

2

Z

R

2

H

'

( x ; y ) ! ( x ) ! ( y ) d x d y =

1 8



Z

H

Z

H

( H

'

( x ; y ) ? H

'

( x

; y ) ? H

'

( x ; y

) + H

'

( x

; y

) ) ! ( x ) ! ( y ) d x d y :

I t i s a n i n t r i c a t e b u t s t r a i g h t f o r w a r d a l g e b r a i c m a n i p u l a t i o n t o c h e c k t h a t ,

f o r a l l x ; y 2 H :

H

'

( x ; y ) ? H

'

( x

; y ) ? H

'

( x ; y

) + H

'

( x

; y

) = 2 H

H

'

( x ; y ) : ( 1 0 )

L e t u s n o w a s s u m e t h a t ! = ! ( x ; t ) i s a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n

i n t h e h a l f p l a n e . L e t ' = ' ( x ; t ) b e a t e s t f u n c t i o n i n C

1

c

( 0 ;

1 )

R

2

) . W r i t e

' ( x ; t ) = '

o

( x ; t ) + '

e

( x ; t ) , w h e r e '

o

i s o d d a n d '

e

i s e v e n w i t h r e s p e c t t o

x

1

. L e t

e

! b e t h e o d d e x t e n s i o n o f ! . W e w i l l s h o w t h a t

e

! i s a w e a k s o l u t i o n .

D u e t o t h e s y m m e t r i e s , o n e h a s :

W

L

( ' ;

e

! ) = W

L

( '

o

;

e

! ) = 2

Z

1

0

Z

H

( '

o

)

t

! ( x ; t ) d x d t + 2

Z

H

( '

o

) ( x ; 0 ) !

0

( x ) d x ;

F o r t h e n o n l i n e a r p a r t ,

W

N L

( ' ;

e

! ) = W

N L

( '

o

;

e

! ) + W

N L

( '

e

;

e

! ) :

D i r e c t c a l c u l a t i o n s h o w s t h a t :

W

N L

( '

e

;

e

! ) =

Z

1

0

Z

R

2

Z

R

2

H

'

e

( x ; y ; t )

e

! ( x ; t )

e

! ( y ; t ) d x d y d t =

Z

1

0

Z

R

2

Z

R

2

H

'

e

( x

; y

; t )

e

! ( x ; t )

e

! ( y ; t ) d x d y d t = 0 ;

s i n c e a n e a s y c a l c u l a t i o n v e r i e s t h a t :

H

'

e

( x

; y

; t ) = ? H

'

e

( x ; y ; t ) :

F r o m ( 1 0 ) , w e k n o w t h a t :

W

N L

( '

o

;

e

! ) = 2

Z

1

0

Z

H

Z

H

H

H

'

o

( x ; y ; t ) ! ( x ; t ) ! ( y ; t ) d y d x d t :

S i n c e ! i s a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n i n t h e h a l f p l a n e , a n d t h e

r e s t r i c t i o n o f '

o

t o H i s a n a d m i s s i b l e t e s t f u n c t i o n i n A , w e h a v e s h o w n t h a t

W

L

( ' ;

e

! ) + W

N L

( ' ;

e

! ) = 0 , t h a t i s ,

e

! i s a w e a k s o l u t i o n i n t h e f u l l p l a n e .

C o n v e r s e l y , w e a s s u m e t h a t

e

! i s a n o d d w e a k s o l u t i o n i n t h e f u l l p l a n e .

W e w i s h t o s h o w t h a t t h e r e s t r i c t i o n ! o f

e

! t o H i s a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k

s o l u t i o n i n H . L e t ' 2 A b e a n a d m i s s i b l e t e s t f u n c t i o n . L e t

e

' b e t h e o d d

1 9



e x t e n s i o n o f ' . I t i s e a s y t o s e e t h a t

e

' 2 C

1

c

( 0 ; 1 ) ; W

2 ; 1

c

( R

2

) ) . W e m o l l i f y

e

' , o b t a i n i n g a s e q u e n c e o f o d d t e s t f u n c t i o n s

e

'

n

w h i c h , f o r e a c h x e d t i m e ,

c o n v e r g e s i n W

1 ; 1

( R

2

) t o

e

' a n d i s b o u n d e d i n W

2 ; 1

( R

2

) .

F o r e a c h n , w e h a v e t h a t W (

e

'

n

;

e

! ) = 0 . S i n c e :

W (

e

' ;

e

! ) = 2

Z

1

0

Z

H

'

t

! ( x ; t ) d x d t + 2

Z

H

' ( x ; 0 ) !

0

( x ) d x +

2

Z

1

0

Z

H

Z

H

H

H

'

( x ; y ; t ) ! ( x ; t ) ! ( y ; t ) d y d x d t ;

i t i s e n o u g h t o s h o w t h a t :

l i m

n ! 1

W (

e

'

n

;

e

! ) = W (

e

' ;

e

! ) :

F o r t h e l i n e a r p a r t , t h e u n i f o r m c o n v e r g e n c e o f

e

'

n

t

a n d

e

'

n

0

t o

e

'

t

a n d

e

'

0

r e s p e c t i v e l y i s e n o u g h t o c o n c l u d e t h a t W

L

(

e

'

n

;

e

! ) ! W

L

(

e

' ;

e

! ) a s n ! 1 .

F o r t h e n o n l i n e a r p a r t , w e s e p a r a t e a n e i g h b o r h o o d o f t h e d i a g o n a l a s i n

T h e o r e m 1 , a n d u s e t h e u n i f o r m c o n v e r g e n c e o f t h e r

e

'

n

t o p a s s t o t h e l i m i t

f a r f r o m t h e d i a g o n a l . N e a r t h e d i a g o n a l w e u s e t h e b o u n d e d n e s s o f

e

'

n

i n

W

2 ; 1

t o g e t h e r w i t h t h e f a c t t h a t

e

! h a s n o d i s c r e t e p a r t . T h i s c o n c l u d e s t h e

p r o o f .

A d i r e c t c o n s e q u e n c e o f T h e o r e m 1 a n d T h e o r e m 2 i s t h e e x i s t e n c e o f a

b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n f o r t h e v o r t e x s h e e t i n i t i a l d a t a p r o b l e m i n

t h e h a l f p l a n e w i t h n o n n e g a t i v e i n i t i a l v o r t i c i t y . T h i s i s a s t r o n g e r e x i s t e n c e

r e s u l t t h a n t h e n a t u r a l e x t e n s i o n o f D e l o r t ' s r e s u l t t o t h e h a l f p l a n e s i n c e o u r

w e a k s o l u t i o n d o e s n o t a l l o w v o r t i c i t y c o n c e n t r a t i o n a t t h e b o u n d a r y .

T h e r e s u l t i n T h e o r e m 2 c a n b e u s e d i n d e p e n d e n t l y o f t h e e x i s t e n c e t h e o r y

d e v e l o p e d i n t h e r s t t h r e e s e c t i o n s o f t h i s w o r k . W e i l l u s t r a t e t h i s w i t h t h e

c o r o l l a r y b e l o w , w h i c h a p p l i e s t o L

1

v o r t i c i t i e s w i t h o u t s i g n r e s t r i c t i o n .

C o r o l l a r y 1 L e t !

0

2 L

1

( H ) h a v e b o u n d e d s u p p o r t a n d b e s u c h t h a t K

H

!

0

] 2

( L

2

( H ) )

2

. T h e n t h e r e e x i s t s a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n o f t h e i n c o m -

p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s i n t h e h a l f - p l a n e w i t h !

0

a s i n i t i a l v o r t i c i t y .

P r o o f : W e c o n s i d e r

f

!

0

t h e o d d e x t e n s i o n o f !

0

. F r o m t h e h y p o t h e s i s a n d

t h e C l a i m i n t h e p r o o f o f T h e o r e m 2 w e h a v e t h a t K

f

!

0

2 ( L

2

( R

2

) )

2

. W e

c o n s i d e r t h e F r i e d r i c h s m o l l i e r i n t r o d u c e d i n S e c t i o n 3 a n d l e t

f

!

0

n

n

f

!

0

. C o n s i d e r t h e e x a c t s m o o t h s o l u t i o n s

e

u

n

,

e

!

n

o f ( 1 , " = 0 ) . I t

2 0



f o l l o w s f r o m t h e a r g u m e n t i n P r o p o s i t i o n 1 t h a t

e

!

n

i s o d d f o r a l l t i m e . F r o m

t h e a v a i l a b l e e x i s t e n c e t h e o r y , s e e 3 , 1 7 , 1 9 ] , i t f o l l o w s t h a t t h e r e e x i s t s a

s u b s e q u e n c e t o t h e

e

!

n

c o n v e r g i n g w e a k l y t o a n i t e e n e r g y w e a k s o l u t i o n

e

!

o f t h e i n c o m p r e s s i b l e 2 D E u l e r e q u a t i o n s . F u r t h e r m o r e , i t i s e a s y t o s e e t h a t

e

! i s o d d a . e . i n t i m e . H e n c e , b y T h e o r e m 2 , t h e r e s t r i c t i o n o f

e

! t o H i s a

b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n i n H .

5 V i s c o u s a p p r o x i m a t i o n s

T h e o b j e c t i v e o f t h i s s e c t i o n i s t o d e r i v e a v e r s i o n o f T h e o r e m 1 f o r a p -

p r o x i m a t i o n s o b t a i n e d b y t h e v a n i s h i n g v i s c o s i t y m e t h o d . A s i n S e c t i o n 3 ,

w e b e g i n w i t h v o r t e x s h e e t i n i t i a l d a t a !

0

2 B M

c

( R

2

) \ H

? 1

( R

2

) w h i c h i s

N M S a n d w e c o n s i d e r t h e s a m e s e q u e n c e o f s m o o t h , c o m p a c t l y s u p p o r t e d

m o l l i c a t i o n s f !

n

0

g , a n d u

n

0

K !

n

0

. A s b e f o r e , !

n

0

i s s t i l l N M S . W e x a

s e q u e n c e "

n

w i t h "

n

! 0 a s n ! 1 a n d w e l e t ( u

n

; !

n

) b e t h e s o l u t i o n o f

( 1 , " = "

n

) . B y P r o p o s i t i o n 1 w e h a v e t h a t !

n

( ; t ) i s N M S f o r a l l t i m e . I n

4 ] , S e c t i o n 2 . A , D i P e r n a a n d M a j d a p r o v e d e s t i m a t e s ( E 1 ) , ( E 2 ) a n d ( E 3 )

f o r t h i s s e q u e n c e o f a p p r o x i m a t i o n s .

T h e o r e m 3 T h e r e e x i s t s a s u b s e q u e n c e o f f !

n

g c o n v e r g i n g w e a k l y t o a n

N M S w e a k s o l u t i o n o f t h e 2 D i n c o m p r e s s i b l e E u l e r e q u a t i o n s w i t h !

0

a s t h e

i n i t i a l v o r t i c i t y .

P r o o f : W e b e g i n b y a d a p t i n g t h e p r o o f o f L e m m a 1 . F i x a f u n c t i o n ' ,

s m o o t h a n d b o u n d e d o n t h e c l o s e d h a l f p l a n e H u p t o i t s s e c o n d o r d e r

d e r i v a t i v e s . I n a d d i t i o n , w e w i l l a s s u m e t h a t ' 0 . W e m u l t i p l y e q u a t i o n

( 1 , " = "

n

) b y ' a n d p e r f o r m t h e s a m e i n t e g r a t i o n b y p a r t s a s i n L e m m a 1 ,

t r a c k i n g t h e v i s c o u s t e r m t o o b t a i n :

d

d t

Z

x

1

> 0

' ( x ) !

n

( x ; t ) d x = ?

1

2

Z

+ 1

? 1

( u

n

2

)

2

( 0 ; x

2

; t ) '

x

2

( 0 ; x

2

) d x

2

+

Z

x

1

> 0

( ( u

n

1

)

2

? ( u

n

2

)

2

) '

x

1

x

2

? u

n

1

u

n

2

( '

x

1

x

1

? '

x

2

x

2

) d x +

"

n

Z

x

1

> 0

!

n

' d x ? "

n

Z

+ 1

? 1

' ( 0 ; x

2

) !

n

x

1

( 0 ; x

2

; t ) d x

2

;

w h e r e o n e h a s u s e d t h a t !

n

v a n i s h e s e x p o n e n t i a l l y f a s t a t i n n i t y , t o g e t h e r

w i t h i t s d e r i v a t i v e s a n d t h a t i t v a n i s h e s o n t h e s y m m e t r y a x i s f x

1

= 0 g a s

2 1



w e l l . N e x t , s i n c e !

n

i s o d d w i t h r e s p e c t t o x

1

, n o n n e g a t i v e f o r x

1

> 0 , w e

h a v e t h a t !

n

x

1

( 0 ; x

2

; t ) 0 . I t f o l l o w s f r o m t h i s a n d t h e a s s u m p t i o n t h a t

' 0 t h a t t h e f o l l o w i n g i n e q u a l i t y h o l d s :

d

d t

Z

x

1

> 0

' ( x ) !

n

( x ; t ) d x ?

1

2

Z

+ 1

? 1

( u

n

2

)

2

( 0 ; x

2

; t ) '

x

2

( 0 ; x

2

) d x

2

+

Z

x

1

> 0

( ( u

n

1

)

2

? ( u

n

2

)

2

) '

x

1

x

2

? u

n

1

u

n

2

( '

x

1

x

1

? '

x

2

x

2

) d x + "

n

Z

x

1

> 0

!

n

' d x :

T h i s i n e q u a l i t y , u s e d w i t h ' ( x ) = a r c t a n ( x

2

) + = 2 , y i e l d s , f o r a n y 0 < L ; T <

1 , t h e u n i f o r m e s t i m a t e ( 7 ) f o r t h e s e q u e n c e f u

n

( 0 ; x

2

; t ) g a f t e r i n t e g r a t i o n

i n t i m e .

N o t e t h a t t h e p r o o f o f L e m m a 2 d e p e n d s o n l y o n t h e B i o t - S a v a r t l a w ,

w h i c h i s e x a c t l y v a l i d f o r t h e N a v i e r - S t o k e s a p p r o x i m a t i o n s . H e n c e , o n e c a n

p r o v e t h e u n i f o r m e s t i m a t e ( 8 ) f o r !

n

a s w e l l . F u r t h e r m o r e , a s b e f o r e , i t

f o l l o w s f r o m t h e s e u n i f o r m e s t i m a t e s ( 7 ) a n d ( 8 ) , p l u s ( E 1 ) , ( E 2 ) a n d ( E 3 )

t h a t t h e s t a t e m e n t o f L e m m a 3 a p p l i e s t o t h e s e q u e n c e f !

n

g .

F i n a l l y , o n e c a n c h e c k e a s i l y t h a t t h e o n l y d i e r e n c e i n t h e a r g u m e n t o f

T h e o r e m 1 a n d t h e p r e s e n t s i t u a t i o n i s t h a t , i n s t e a d o f W ( ' ; !

n

) b e i n g e q u a l

t o z e r o , o n e h a s :

W ( ' ; !

n

) + "

n

Z

1

0

Z

R

2

!

n

' d x d t = 0 ;

w h i c h m e a n s t h e a d d i t i o n o f a l i n e a r t e r m , p r e s e n t i n g n o n e w d i c u l t i e s i n

t h e p a s s a g e t o t h e w e a k l i m i t . T h u s , t h e p r o o f o f t h e T h e o r e m 3 i s c o n s i d e r e d

c o m p l e t e d .

S i n c e t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s a r e a l s o c o v a r i a n t w i t h r e s p e c t t o t h e

r e e c t i o n s y m m e t r y , i t i s n a t u r a l t o a s k w h e t h e r t h e r e s u l t a b o v e c a n b e

r e d u c e d b y s y m m e t r y i n t h e s p i r i t o f S e c t i o n 4 , s h o w i n g t h a t a b o u n d a r y -

c o u p l e d w e a k s o l u t i o n t o t h e E u l e r e q u a t i o n s i n t h e h a l f p l a n e c a n b e o b t a i n e d

a s a v a n i s h i n g v i s c o s i t y l i m i t o f s o l u t i o n s o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s o n

t h e h a l f p l a n e . T h e a n s w e r i s d e c i d e d l y n e g a t i v e , a t l e a s t w i t h t h e t e c h n i q u e s

w e h a v e e x p l o r e d i n t h i s w o r k , a n d t h e r e a s o n i s t h a t t h e m e t h o d o f i m a g e s

d o e s n o t w o r k , e v e n f o r s m o o t h s o l u t i o n s o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s .

I t i s e a s y t o s e e t h a t a s m o o t h s o l u t i o n o f t h e N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n s o n

t h e h a l f p l a n e w i t h n o - s l i p b o u n d a r y c o n d i t i o n g i v e s r i s e t o a s o l u t i o n o f t h e

N a v i e r - S t o k e s e q u a t i o n o n t h e f u l l p l a n e b y o d d e x t e n s i o n , b u t t h e c o n v e r s e i s

2 2



n o t t r u e . T h i s i s t h e c a s e b e c a u s e t h e t a n g e n t i a l c o m p o n e n t o f v e l o c i t y d o e s

n o t v a n i s h i d e n t i c a l l y o n t h e s y m m e t r y a x i s f o r N M S s o l u t i o n s o f t h e N a v i e r -

S t o k e s e q u a t i o n , w h i c h w o u l d b e n e c e s s a r y i n o r d e r f o r t h e s y m m e t r y - r e d u c e d

s o l u t i o n t o s a t i s f y t h e n o - s l i p b o u n d a r y c o n d i t i o n . F u r t h e r m o r e , a s m o o t h

d i v e r g e n c e - f r e e v e l o c i t y e l d s a t i s f y i n g t h e n o - s l i p b o u n d a r y c o n d i t i o n a l w a y s

h a s v a n i s h i n g t o t a l c i r c u l a t i o n , s o t h a t n o N M S s o l u t i o n s i n t h e f u l l p l a n e

c a n b e o b t a i n e d b y r e e c t i o n .

6 E x t e n s i o n s a n d c o n c l u s i o n s

L e t u s c o n s i d e r a n o d d L

1

p e r t u r b a t i o n o f t h e i n i t i a l d a t a o f T h e o r e m 1 ,

w i t h o u t t h e s i g n r e s t r i c t i o n . O u r e x i s t e n c e p r o o f c a n b e a d a p t e d t o t h i s

s i t u a t i o n . W e o u t l i n e t h e a d a p t a t i o n b e l o w .

T h e o r e m 4 L e t !

0

!

0

0

+ !

0 0

0

, w i t h !

0

0

2 B M

c

( R

2

) \ H

? 1

( R

2

) N M S a n d

!

0 0

0

2 L

1

c

( R

2

) \ H

? 1

( R

2

) , o d d w i t h r e s p e c t t o x

1

. T h e n t h e r e e x i s t s a n i t e -

e n e r g y w e a k s o l u t i o n o f t h e 2 D E u l e r e q u a t i o n s w i t h !

0

a s i n i t i a l d a t a .

P r o o f : W e b e g i n b y c o n s i d e r i n g t h e a p p r o x i m a t i o n !

n

, c o n s t r u c t e d i n t h e

s a m e w a y a s i n T h e o r e m 1 , w i t h i n i t i a l d a t a :

!

n

0

=

n

!

0

=

n

!

0

0

+

n

!

0 0

0

!

0 n

0

+ !

0 0 n

0

:

C o r r e s p o n d i n g t o t h i s d e c o m p o s i t i o n o f t h e i n i t i a l v o r t i c i t y , w e i n t r o d u c e !

0 n

a n d !

0 0 n

a s t h e s o l u t i o n s t o t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n v

t

+ u

n

r v = 0 w i t h

i n i t i a l d a t a !

0 n

0

a n d !

0 0 n

0

r e s p e c t i v e l y .

F i r s t n o t e t h a t L e m m a 1 r e m a i n s v a l i d , a s t h e p r o o f d i d n o t u s e t h e

d i s t i n g u i s h e d s i g n a s s u m p t i o n o n t h e h a l f - p l a n e . H e n c e , u

n

2

( 0 ; ; ) i s s t i l l

b o u n d e d i n L

2

l o c

( R

+

R ) . W e w i l l u s e t h e f o l l o w i n g n o t a t i o n : u

0 n

= K !

0 n

a n d u

0 0 n

= K !

0 0 n

.

N e x t w e n o t e t h a t t h e p r e c i s e d e c a y r a t e o f t h e t i m e - a v e r a g e d m a x i m a l

v o r t i c i t y f u n c t i o n i n L e m m a 3 i s n o t n e c e s s a r y f o r t h e c o n v e r g e n c e p r o o f .

I t s u c e s t o s h o w t h a t i t d e c a y s t o z e r o u n i f o r m l y i n n a s t e n d s t o z e r o .

T h u s , t o p r o v e o u r t h e o r e m , i t s u c e s t o s h o w t h e f o l l o w i n g c l a i m :

C l a i m : L e t L b e a x e d p o s i t i v e n u m b e r , a n d a 2 ( ? L ; L ) . F o r a n y g i v e n

p o s i t i v e " , t h e r e e x i s t s

0

> 0 , i n d e p e n d e n t o f n , s u c h t h a t i f

0

, t h e n

s u p

0 t T

Z

a +

a ?

j u

0 0 n

2

( 0 ; x

2

; t ) j d x

2

" :

2 3



H e r e t h e c o n s t a n t

0

m i g h t d e p e n d o n L a n d T .

I n L e m m a 2 w e s a w t h a t o n e c o u l d e s t i m a t e t h e m a s s o f v o r t i c i t y n e a r

t h e s y m m e t r y a x i s b y t h e m a s s o f t a n g e n t i a l v e l o c i t y a t t h e s y m m e t r y a x i s .

T h e p r o o f o f t h i s c l a i m i s b a s e d o n a c o n v e r s e o f t h i s s t a t e m e n t , i . e . t h a t

v e l o c i t y a t t h e s y m m e t r y a x i s m a y b e e s t i m a t e d b y v o r t i c i t y n e a r b y .

A s s u m i n g t h i s c l a i m , o n e c a n c o n c l u d e t h a t t h e s a m e s t a t e m e n t i n t h e

c l a i m h o l d s t r u e f o r

Z

T

0

Z

a +

a ?

j u

0 n

2

( 0 ; x

2

; t ) j d x

2

;

s i n c e u

n

2

( 0 ; ; ) i s u n i f o r m l y b o u n d e d i n L

2

l o c

( R

+

R ) . O n t h e o t h e r h a n d ,

t h e e s t i m a t e ( 5 ) s h o w s t h a t

Z

B ( x

0

; )

j !

0 n

( y ; t ) j d y C

Z

a +

a ?

j u

0 n

2

( 0 ; x

2

; t ) j d x

2

;

w h e r e x

0

= ( 0 ; a ) . I t f o l l o w s f r o m t h i s a n d t h e s i m i l a r a r g u m e n t f o r L e m m a

3 t h a t f o r a n y x e d T > 0 a n d

K R

2

,

Z

T

0

s u p

n ; x 2 K

Z

B ( x ; )

j !

0 n

( y ; t )

j d y

!

d t

g o e s t o z e r o a s a p p r o a c h e s z e r o . S i n c e !

0 0 n

i s t r a n s p o r t e d b y a n a r e a -

p r e s e r v i n g o w a n d s i n c e t h e i n i t i a l d a t a f !

0 0 n

0

g i s u n i f o r m l y i n t e g r a b l e , t h e n

t h e s a m e c o n c l u s i o n o n t i m e - a v e r a g e d d e c a y o f t h e m a x i m a l v o r t i c i t y f u n c t i o n

o f !

0 n

h o l d s t r u e f o r !

0 0 n

. C o n s e q u e n t l y , t h e s a m e c o n c l u s i o n a p p l i e s t o !

n

,

a n d t h e p r o o f o f t h e o r e m c a n b e c o m p l e t e d a s b e f o r e .

T h u s , i t r e m a i n s t o p r o v e t h e c l a i m . T o t h i s e n d , w e r s t n o t e t h a t i t

f o l l o w s f r o m t h e t r a n s p o r t e q u a t i o n f o r !

0 0 n

a n d a n d t h e u n i f o r m i n t e g r a b i l i t y

o f t h e i n i t i a l d a t a t h a t

s u p

0 t T

k !

0 0 n

( ; t ) k

L

1

( R

2

)

C

1

( 1 1 )

a n d

s u p

0 t T

Z

j !

0 0 n

( y ; t ) j d y C

2

( ) ; ( 1 2 )

w h e r e C

1

a n d C

2

( ) a r e p o s i t i v e c o n s t a n t s i n d e p e n d e n t o f n , a n d C

2

( ) ! 0

a s j j , t h e L e b e s g u e m e a s u r e o f , g o e s t o z e r o .

2 4



N e x t , a s i n t h e p r o o f o f L e m m a 2 , o n e c a n o b t a i n f r o m t h e B i o t - S a v a r t

l a w t h a t

Z

a +

a ?

j u

0 0 n

2

( 0 ; x

2

; t ) j d x

2

Z

j !

0 0 n

( y ; t ) j

g ( y

1

; y

2

)

d y ; ( 1 3 )

w h e r e = f ( y

1

; y

2

) ; y

1

0 g , a n d g ( y

1

; y

2

) i s t h e s a m e f u n c t i o n a s g i v e n i n

t h e p r o o f o f L e m m a 2 . W e n o w d e c o m p o s e t h e i n t e g r a l o n t h e r i g h t h a n d

s i d e o f t h e a b o v e i n e q u a l i t y a s

Z

j !

0 0 n

( y ; t ) j g ( y

1

; y

2

) d y =

4

X

i = 1

Z

i

j !

0 0 n

( y ; t ) j g ( y

1

; y

2

) d y ;

w h e r e

1

= f ( y

1

; y

2

) ; y

1

1 g ;

2

= f ( y

1

; y

2

) ; 0 y

1

1 ; j y

2

j M g ;

3

= f ( y

1

; y

2

) ; 0 y

1

h ; j y

2

j M g ;

4

= f ( y

1

; y

2

) ; h y

1

1 ; j y

2

j M g ;

w i t h p o s i t i v e c o n s t a n t s h ( 1 ) a n d M ( L ) t o b e c h o s e n l a t e r .

N o w w e e s t i m a t e e a c h i n t e g r a l a b o v e s e p a r a t e l y . F i r s t , i t f o l l o w s f r o m t h e

m e a n v a l u e t h e o r e m t h a t

g ( y

1

; y

2

)

2

y

1

2 ;

f o r y

2

1

. T h u s , f o r

1

=

"

8 T C

1

, o n e h a s t h a t

s u p

0 t T

Z

1

j !

0 0 n

( y ; t ) j g ( y

1

; y

2

) d y 2 C

1

"

4 T

: ( 1 4 )

S e c o n d , s i n c e

s u p

0 t T

Z

2

j !

0 0 n

( y ; t ) j g ( y

1

; y

2

) d y C

1

s u p

y 2

2

g ( y

1

; y

2

) ;

a n d s u p

2

g ( y

1

; y

2

) ! 0 a s M ! + 1 , w e c a n x a p o s i t i v e M s o t h a t f o r

1 , i t h o l d s t h a t

s u p

0 t T

Z

2

j !

0 0 n

( y ; t ) j g ( y

1

; y

2

) d y

"

4 T

: ( 1 5 )

2 5



N e x t , f o r t h i s x e d M , w e h a v e t h a t j

3

j = h M ! 0 a s h ! 0 , t h u s i t f o l l o w s

f r o m ( 1 2 ) t h a t

s u p

0 t T

Z

3

j !

0 0 n

( y ; t ) j g ( y

1

; y

2

) d y C

2

(

3

) ;

w h i c h g o e s t o z e r o a s h ! 0

+

. C o n s e q u e n t l y , f o r 1 , o n e c a n c h o o s e a

x e d h s o t h a t

s u p

0 t T

Z

3

j !

0 0 n

( y ; t ) j g ( y

1

; y

2

) d y

"

4 T

: ( 1 6 )

F i n a l l y , w i t h M a n d h s o c h o s e n a n d x e d , w e s e t

2

=

h "

8 T C

1

. T h e n f o r

2

,

o n e h a s t h a t

s u p

0 t T

Z

4

j !

0 0 n

( y ; t ) j g ( y

1

; y

2

) d y

2

h

Z

4

j !

0 0 n

( y ; t ) j d y

2

h

C

1

"

4 T

:

( 1 7 )

C o l l e c t i n g a l l t h e e s t i m a t e s ( 1 4 ) - ( 1 7 ) , w e c o n c l u d e t h a t f o r a n y g i v e n " p o s i -

t i v e , t a k i n g

0

= m i n f

1

;

2

; 1 g , o n e h a s t h a t f o r " "

0

,

s u p

0 t T

Z

j !

0 0 n

( y ; t ) j g ( y

1

; y

2

) d y

"

T

:

T h i s , t o g e t h e r w i t h ( 1 3 ) , y i e l d s t h e c l a i m a s c a n b e c h e c k e d t r i v i a l l y . C o n s e -

q u e n t l y , t h e p r o o f o f t h e t h e o r e m i s c o m p l e t e d .

I t f o l l o w s f r o m t h e r e s u l t a b o v e t o g e t h e r w i t h T h e o r e m 2 t h a t t h e r e e x i s t s

a b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n o f t h e 2 D i n c o m p r e s s i b l e E u l e r e q u a t i o n s

w i t h a n i n i t i a l v o r t i c i t y c o n s i s t i n g o f a n L

1

p e r t u r b a t i o n o f a m e a s u r e w i t h

d i s t i n g u i s h e d s i g n .

F i n a l l y , l e t u s a d d a p a i r o f c o n c l u d i n g r e m a r k s c o n c e r n i n g t h i s w o r k . W e

n o t e t h a t i t i s p o s s i b l e t o e x t e n d T h e o r e m 1 f r o m N M S i n i t i a l v o r t i c i t i e s t o

i n i t i a l v o r t i c i t i e s w i t h m o r e c o m p l i c a t e d s y m m e t r y . O n e c l a s s o f e x a m p l e s

i s t h e s e t o f i n i t i a l v o r t i c i t i e s w h i c h a r e s i n g l e - s i g n e d o n a w e d g e w i t h t i p a t

t h e o r i g i n , w i t h a n g l e = n , e x t e n d e d t o a n i n i t i a l v o r t i c i t y o n t h e f u l l p l a n e

w h i c h i s s i m u l t a n e o u s l y o d d w i t h r e s p e c t t o n s t r a i g h t l i n e s i n t e r s e c t i n g a t

t h e o r i g i n , a r r a n g e d i n a n n - f o l d s y m m e t r i c p a t t e r n .

T h e r e s u l t s p r e s e n t e d r a i s e t w o n a t u r a l q u e s t i o n s w h i c h a r e c u r r e n t l y u n -

d e r i n v e s t i g a t i o n b y t h e a u t h o r s . T h e r s t i s w h e t h e r o n e c a n p r o v e e x i s t e n c e

2 6



o f b o u n d a r y - c o u p l e d w e a k s o l u t i o n s f o r t h e p r o b l e m o f i n v i s c i d o w o n a g e n -

e r a l b o u n d e d d o m a i n . T h i s w o u l d b e a s t r o n g e r v e r s i o n o f D e l o r t ' s e x i s t e n c e

r e s u l t f o r t h e b o u n d e d d o m a i n . T h e o t h e r q u e s t i o n i s t h e p r o b l e m o f c o n v e r -

g e n c e o f o t h e r a p p r o x i m a t i o n s c h e m e s , s u c h a s t h e v o r t e x b l o b m e t h o d , f o r

v o r t e x s h e e t i n i t i a l d a t a o w s w i t h r e e c t i o n s y m m e t r y . S u c h a r e s u l t w o u l d

g i v e r i g o r o u s j u s t i c a t i o n f o r t h e c o m p u t a t i o n s o f R . K r a s n y i n 1 1 ] f o r t h e

e l l i p t i c a l l y l o a d e d w i n g .

A c k n o w l e d g e m e n t s : T h e a u t h o r s w o u l d l i k e t o t h a n k S . S c h o c h e t f o r

a h e l p f u l d i s c u s s i o n b y e - m a i l .

T h e a u t h o r s t h a n k t h e C o u r a n t I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s f o r

i t s h o s p i t a l i t y a n d t h e I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s o f t h e C h i n e s e

U n i v e r s i t y o f H o n g K o n g f o r i t s g e n e r o u s h o s p i t a l i t y a n d n a n c i a l s u p p o r t .

T h e a u t h o r s a l s o t h a n k t h e s u p p o r t o f t h e D i e r e n t i a l E q u a t i o n s P R O N E X .

I n a d d i t i o n , t h e r e s e a r c h o f M . C . L o p e s F i l h o w a s s u p p o r t e d i n p a r t

b y C N P q g r a n t # 3 0 0 . 9 6 2 / 9 1 - 6 a n d F A P E S P g r a n t # 9 7 / 1 3 8 5 5 - 0 . T h e

r e s e a r c h o f H . J . N u s s e n z v e i g L o p e s w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y C N P q g r a n t #

3 0 0 . 1 5 8 / 9 3 - 9 a n d F A P E S P g r a n t # 9 7 / 1 3 8 5 5 - 0 . T h e r e s e a r c h o f Z h o u p i n g

X i n w a s s u p p o r t e d i n p a r t b y Z h e n g G e R u F u n d a t i o n , N S F G r a n t D M S - 9 6 -

0 0 1 3 7 a n d D O E G r a n t D E - F G 0 2 - 8 8 E R - 2 5 0 5 3 .

R e f e r e n c e s

1 ] C h a e , D . a n d I m a n u v i l o v , O . Y . , E x i s t e n c e o f a x i s y m m e t r i c w e a k s o l u -

t i o n s o f t h e 3 - D E u l e r e q u a t i o n s f o r n e a r - v o r t e x - s h e e t i n i t i a l d a t a , E l e c t .

J . D i . E q . 1 9 9 8 n o . 2 6 , ( 1 9 9 8 ) 1 { 1 7 ( e l e c t r o n i c ) .

2 ] D e l o r t , J . - M . , E x i s t e n c e d e n a p p e s d e t o u r b i l l o n e n d i m e n s i o n d e u x , J .

o f A m e r . M a t h . S o c . , 4 ( 1 9 9 1 ) , p p . 5 5 3 { 5 8 6 .

3 ] D e l o r t , J . - M . , E x i s t e n c e d e n a p p e s d e t o u r b i l l o n p o u r l ' e q u a t i o n d ' E u l e r

s u r l e p l a n , S e m .

E q . D e r i v . P a r t . 1 9 9 0 - 1 9 9 1 , E c . P o l y t e c h n i q u e , e x p o s e

n o . 2 .

4 ] D i P e r n a , R . a n d M a j d a , A . , C o n c e n t r a t i o n s a n d r e g u l a r i z a t i o n s f o r 2 -

D i n c o m p r e s s i b l e o w C o m m u n . i n P u r e a n d A p p l . M a t h . , X L ( 1 9 8 7 ) ,

3 0 1 { 3 4 5 .

2 7



5 ] D i P e r n a , R . a n d M a j d a , A . , O s c i l l a t i o n s a n d c o n c e n t r a t i o n s i n w e a k

s o l u t i o n s o f t h e i n c o m p r e s s i b l e o w e q u a t i o n s , C o m m . M a t h . P h y s . 1 0 8

( 1 9 8 7 ) 6 6 7 { 6 8 9 .

6 ] D i P e r n a , R . a n d M a j d a , A . , R e d u c e d H a u s d o r d i m e n s i o n a n d c o n c e n -

t r a t i o n c a n c e l l a t i o n f o r t w o d i m e n s i o n a l i n c o m p r e s s i b l e o w , J . A m e r .

M a t h . S o c . 1 ( 1 9 8 8 ) 5 9 { 9 5 .

7 ] E v a n s , L . C . a n d M u l l e r , S . , H a r d y s p a c e s a n d t h e t w o - d i m e n s i o n a l E u l e r

e q u a t i o n s w i t h n o n n e g a t i v e v o r t i c i t y , J . A m e r . M a t h . S o c . 7 ( 1 9 9 4 ) , 1 9 9 {

2 1 9 .

8 ] F r i e d m a n , A . , P a r t i a l d i e r e n t i a l e q u a t i o n s o f p a r a b o l i c t y p e E n g l e w o o d

C l i s , N . J . : P r e n t i c e - H a l l 1 9 6 4 .

9 ] I s n a r d , C . , L o p e s F i l h o , M . C . , N u s s e n z v e i g L o p e s , H . J . a n d S v a i t e r ,

B . F . , P o i n t w i s e b l o w - u p o f s e q u e n c e s b o u n d e d i n L

1

, i n p r e p a r a t i o n .

1 0 ] H o u n i e , J . , L o p e s F i l h o , M . C . a n d N u s s e n z v e i g L o p e s , H . J . , B o u n d s

o n t h e d i s p e r s i o n o f v o r t i c i t y i n 2 D i n c o m p r e s s i b l e , i n v i s c i d o w s w i t h

a p r i o r i u n b o u n d e d v e l o c i t y , t o a p p e a r , S I A M J . M a t h . A n a l . , 1 9 9 9 .

1 1 ] K r a s n y , R . , C o m p u t a t i o n o f v o r t e x s h e e t r o l l - u p i n t h e T r e t z p l a n e , J .

F l u i d M e c h . 1 8 4 ( 1 9 8 7 ) 1 2 3 { 1 5 5 .

1 2 ] L i o n s , P . - L . , M a t h e m a t i c a l t o p i c s i n u i d m e c h a n i c s , V o l . 1 : i n c o m p r e s s -

i b l e m o d e l s , O x f o r d L e c t u r e S e r i e s i n M a t h e m a t i c s a n d i t s A p p l i c a t i o n s

v . 3 , C l a r e n d o n P r e s s , O x f o r d , 1 9 9 6 .

1 3 ] L i u , J . - G . a n d X i n , Z . , C o n v e r g e n c e o f v o r t e x m e t h o d s f o r w e a k s o l u t i o n s

t o t h e 2 D E u l e r e q u a t i o n s w i t h v o r t e x s h e e t d a t a C o m m . P u r e A p p l .

M a t h . , X L V I I I ( 1 9 9 5 ) , 6 1 1 { 6 2 8 .

1 4 ] M a j d a , A . , R e m a r k s o n w e a k s o l u t i o n s f o r v o r t e x s h e e t s w i t h a d i s t i n -

g u i s h e d s i g n I n d . U n i v . M a t h J . 4 2 ( 1 9 9 3 ) , 9 2 1 { 9 3 9 .

1 5 ] M c G r a t h , F . , N o n s t a t i o n a r y p l a n e o w o f v i s c o u s a n d i d e a l u i d s , A r c h .

R a t . M e c h . A n a l . 2 7 ( 1 9 6 8 ) , 3 2 9 { 3 4 8 .

1 6 ] S a m a n , P . , V o r t e x d y n a m i c s , C a m b r i d g e M o n o g r a p h s o n M e c h a n i c s

a n d A p p l i e d M a t h e m a t i c s , C a m b r i d g e U n i v . P r e s s , C a m b r i d g e 1 9 9 2 .

2 8



1 7 ] S c h o c h e t , S . , T h e w e a k v o r t i c i t y f o r m u l a t i o n o f t h e 2 D E u l e r e q u a t i o n s

a n d c o n c e n t r a t i o n - c a n c e l l a t i o n , C o m m . P . D . E . 2 0 ( 1 9 9 5 ) , 1 0 7 7 { 1 1 0 4 .

1 8 ] S c h o c h e t , S . , P o i n t - v o r t e x m e t h o d f o r p e r i o d i c w e a k s o l u t i o n s o f t h e 2 - D

E u l e r e q u a t i o n s C o m m . P u r e a n d A p p l . M a t h . X L I X ( 1 9 9 6 ) 9 1 1 { 9 6 5 .

1 9 ] V e c c h i , I . a n d W u , S . , O n L

1

- v o r t i c i t y f o r 2 - D i n c o m p r e s s i b l e o w

M a n u s c r i p t a M a t h . 7 8 ( 1 9 9 3 ) , 4 0 3 { 4 1 2 .

M i l t o n C . L o p e s F i l h o

D e p a r t a m e n t o d e M a t e m a t i c a , I M E C C - U N I C A M P .

C a i x a P o s t a l 6 0 6 5 , C a m p i n a s , S P 1 3 0 8 1 - 9 7 0 , B r a s i l

E - m a i l a d d r e s s : m l o p e s @ i m e . u n i c a m p . b r

H e l e n a J . N u s s e n z v e i g L o p e s

D e p a r t a m e n t o d e M a t e m a t i c a , I M E C C - U N I C A M P .

C a i x a P o s t a l 6 0 6 5 , C a m p i n a s , S P 1 3 0 8 1 - 9 7 0 , B r a s i l

E - m a i l a d d r e s s : h l o p e s @ i m e . u n i c a m p . b r

Z h o u p i n g X i n

T h e I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s

C h i n e s e U n i v e r s i t y o f H o n g K o n g

S h a t i n , N T , H o n g K o n g .

a n d

C o u r a n t I n s t i t u t e o f M a t h e m a t i c a l S c i e n c e s

N e w Y o r k U n i v e r s i t y ,

2 5 1 M e r c e r S t r e e t , N Y C , N Y 1 0 0 1 2 , U S A

E - m a i l a d d r e s s : z p x i n @ i m s . c u h k . e d u . h k

2 9

M.C. Lopes Filho, H.J. Nussenzveig Lopes and Zhouping Xin- Existence of vortex sheets with...

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