MBATPg3 201408 AnalisisDatos S06 ProbabilidadBasica

1 José Antonio Robles Flores © 2014

Análisis de Datos para la Gerencia

CURSO: Análisis de Datos para la Gerencia

José Antonio Robles Flores

Sistemas de Información y Métodos Cuantitativos

ESAN Graduate School of Business

Lima - Peru

Basado en: Levine; Krehbiel & Berenson 2014.

Estadística para Administración 6ta Edición.

Pearson.



CURSO: Análisis de Datos para la Gerencia

SESION 06: Introducción a la Probabilidad:

Conceptos básicos

(Capítulo 04)

Basado en: Levine; Krehbiel & Berenson 2014. Estadística para

Administración 6ta Edición. Pearson.



Objetivos de esta sesión

• Los conceptos y definiciones básicos de

probabilidad

• Probabilidad condicional

• Uso del Teorema de Bayes

• Reglas de conteo



Conceptos Básicos de Probabilidad

• Probabilidad – la posibilidad de que un evento

incierto ocurrirá (siempre entre 0 y 1)

• Evento Imposible – un evento que no tiene ninguna

posibilidad de ocurrir (probabilidad = 0)

• Evento Cierto – un evento que ocurrirá con toda

seguridad (probabilidad = 1)



Evaluando la Probabilidad

• Hay tres aproximaciones para evaluar la probabilidad de un evento incierto:

1. probabilidad clásica a priori

2. probabilidad clásica empírica

3. probabilidad subjetiva

sobre la base de una combinación de la experiencia de una persona, la opinión personal y el análisis particular de la situación

posibles resultados de totalnúmero

ocurre evento el que lasen formasdenúmero

T

Xocurrenciadeadprobabilid

observados resultados de totalnúmero

evento del observadas formas de númeroocurrencia de adprobabilid

Asumiendo

que todos los

resultados

son

igualmente

posibles Probabilidad de ocurrencia

Probabilidad de ocurrencia



Ejemplo de una probabilidad a priori

• Cuando se selecciona aleatoriamente un día del

año 2012, ¿cuál es la probabilidad de que el día sea

uno de Enero?

2012en dias de totalnúmero

Eneroen días de número Eneroen Día de adProbabilid

T

X

366

31

2012en días 366

Eneroen días 31

T

X



Ejemplo de una probabilidad empírica

• Encuentre la probabilidad de seleccionar un hombre

que esté tomando el curso de análisis de datos de

una población descrita en la siguiente tabla:

Tomando

An. Datos

No Tomando

An. Datos

Total

Hombre 84 145 229

Mujer 76 134 210

Total 160 279 439

191.0439

84

personas de totalnúmero

Datos An. tomandohombre númeroProbabilidad hombre An. Datos



Cada posible resultado de una variable es un evento.

• Evento simple

– Un evento que se describe por una sola característica

– e.g., Un naipe rojo de una baraja de cartas

• Evento conjunto

– Un evento que se describe por dos o más características

– e.g., Un as rojo de una baraja de cartas

• Complemento de un evento A (representado por A’)

– Todos los resultados que no son parte del evento A

– e.g., Todas los naipes que no son diamantes

Eventos



El Espacio Muestral es el conjunto de todos los

eventos posibles

Ej.: Las 6 caras de un dado:

Ej.: Los 52 naipes de un juego de cartas:

Espacio Muestral



Visualizando Eventos

• Tablas de Contingencias – Para todos los días en 2012

• Árbol de Decisión

No Mierc 27 287 314

Miérc 4 48 52

Total 31 335 366

Ene No Ene Total

Todos los días en 2012

Espacio

Muestral

Número

total de

resultados

en el

Espacio

Muestral

4

27

48

287



Definición: Probabilidad Simple

• La Probabilidad Simple se refiere a la probabilidad

de un evento simple.

– Ej: P(Ene)

– Ej: P(Mierc)

No Mierc 27 287 314

Miérc 4 48 52

Total 31 335 366

Ene No Ene Total

P(Ene.) = 31 / 366

P(Mierc.) = 52 / 366



Definición: Probabilidad Conjunta

• La Probabilidad Conjunta se refiere a la probabilidad de

ocurrencia de dos o más eventos (evento conjunto).

– Ej: P(Ene. Y Mierc.)

– Ej: P(No Ene. Y No Mierc.)

No Mierc 27 287 314

Miérc 4 48 52

Total 31 335 366

Ene No Ene Total

P(Jan. and Wed.) = 4 / 366

P(Not Jan. and Not Wed.)

= 287 / 366



Eventos Mutuamente Excluyentes

• Eventos que no pueden ocurrir en simultáneo

Ejemplo: Elegir aleatoriamente un día de 2012

A = día en Enero; B = día en Febrero

– Eventos A y B son mutuamente excluyentes



Eventos Colectivamente Exhaustivos

• Eventos colectivamente exhaustivos

– Uno de los eventos debe ocurrir

– El conjunto de eventos cubre todo el espacio muestral

Ejemplo: Elegir aleatoriamente un día de 2012

A = Día de semana; B = Fin de semana

C = Enero; D = Primavera

– Los eventos A, B, C y D son colectivamente exhaustivos

(pero no mutuamente excluyentes – un día de semana

puede ser en Enero o en Primavera)

– Los eventos A y B son colectivamente exhaustivos y

también mutuamente excluyentes



• La probabilidad de un evento conjunto, A y B:

• Computando una probabilidad marginal (o simple) :

• Donde B1, B2, …, Bk son k eventos mutuamente excluyentes y

colectivamente exhaustivos

básicos resultadosde totalnúmero

ByA satisfacen que resultadosdenúmeroB)yP(A

)ByP(A)ByP(A)ByP(AP(A) k21

Computando Probabilidades Conjunta y Marginal



P (Enero y Miércoles)

No Ene Enero Total

Mierc 4 48 52

No-Mierc 27 287 314

Total 31 335 366

366

4

2012en días de totalnúmero

Mierc.y Ene.en días de número

Ejemplo de Probabilidad Conjunta



P(Mierc)

No Ene Ene Total

Mierc 4 48 52

No-Mierc 27 287 314

Total 31 335 366

366

52

366

48

366

4Ene) Noy P(MiercEne)y P(Mierc

Ejemplo de Probabilidad Marginal



P(A1 y B2) P(A1)

Total Evento

P(A2 y B1)

P(A1 y B1)

Evento

Total 1

Probabilidad Conjunta Probabilidad Marginal (Simple)

A1

A2

B1 B2

P(B1) P(B2)

P(A2 y B2) P(A2)

Probabilidades Marginal y Conjunta utilizando

Tablas de Contingencia



• Probabilidad es la medida numérica de

la posibilidad de que un evento ocurra

• La probabilidad de un evento debe estar

entre 0 y 1, inclusive

• La suma de las probabilidades de todos

los eventos mutuamente excluyentes y

colectivamente exhaustivos es 1

Certeza

Imposible

0.5

1

0

0 ≤ P(A) ≤ 1 Para cualquier evento A

1P(C)P(B)P(A)

Si A, B, y C son mutuamente excluyentes y


Probabilidad



P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B)

Regla General de la Adición:

Si A y B son mutuamente excluyentes, entonces

P(A y B) = 0, por lo que la regla se puede

simplificar:

P(A o B) = P(A) + P(B)

Para eventos mutuamente excluyentes A y B

Regla General de la Adición



P(Rojo o As) = P(Rojo) +P(As) - P(Rojo y As)

= 26/52 + 4/52 - 2/52 = 28/52 No contar los

dos ases rojos

repetidamente! Negro

Color Tipo Rojo Total

As 2 2 4

No-As 24 24 48

Total 26 26 52

Ejemplo de la Regla General de la Adición



• Una probabilidad condicional es la probabilidad

de un evento, dado que otro evento ha ocurrido:

P(B)

B)yP(AB)|P(A

P(A)

B)yP(AA)|P(B

Donde P(A y B) = probabilidad conjunta de A y B

P(A) = probabilidad marginal o simple de A

P(B) = probabilidad marginal o simple de B

La probabilidad

condicional de A dado

que B ha ocurrido

La probabilidad

condicional de B dado

que A ha ocurrido

Computando la Probabilidad Condicional



• ¿Cuál es la probabilidad de que un auto tenga un GPS dado que tiene AC?

i.e., queremos hallar P(GPS | AC)

• En un lote de autos usados, 90% tienen aire acondicionado (AC) y 40% tienen un GPS. 35% de los autos tienen ambos.

Ejemplo de Probabilidad Condicional



No GPS GPS Total

AC 0.35 0.55 0.90

No AC 0.05 0.05 0.10

Total 0.40 0.60 1.00

• En un lote de autos usados, 90% tienen aire acondicionado (AC) y 40% tienen un GPS.

35% de los autos tienen ambos.

0.38890.90

0.35

P(AC)

AC)yP(GPSAC)|P(GPS

Ejemplo de Probabilidad Condicional (continuación)



• Dado AC, sólo consideramos la fila superior (90% de los autos). De éstos, 35% tienen GPS. 35% de 90% es aprox. 38.89%.

Ejemplo de Probabilidad Condicional (continuación)

No GPS GPS Total

AC 0.35 0.55 0.90

No AC 0.05 0.05 0.10

Total 0.40 0.60 1.00

0.38890.90

0.35

P(AC)

AC)yP(GPSAC)|P(GPS



Utilizando Árboles de Decisión

P(AC y GPS) = 0.35

P(AC y GPS’) = 0.55

P(AC’ y GPS’) = 0.05

P(AC’ y GPS) = 0.05

90.

55.

10.

05.

10.

05.

Todos

los

Autos

90.

35.

Dado AC o

no AC:

Probabilidades

Condicionales



P(CD y AC) = 0.35

P(CD y AC’) = 0.05

P(CD’ y AC’) = 0.05

P(CD’ y AC) = 0.55

Dado GPS o

no GPS:

Todos

los

Autos

Utilizando Árboles de Decisión (continuación)

40.

05.

60.

55.

60.

05.

40.

35.



Independencia Estadística

• Dos eventos son independientes si y

sólo si:

• Los eventos A y B son independientes cuando la

probabilidad de un evento no está afectada por el

otro evento

P(A)B)|P(A



• Regla de Multiplicación para dos eventos A y B:

P(B)B)|P(AB)yP(A

P(A)B)|P(A Nota: Si A y B son independientes, entonces

y la regla de multiplicación se simplifica a

P(B)P(A)B)yP(A

Reglas de Multiplicación



Probabilidad Marginal

• La probabilidad marginal para el evento A:

– Donde B1, B2, …, Bk son k eventos mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos

)P(B)B|P(A)P(B)B|P(A)P(B)B|P(A P(A) kk2211



Teorema de Bayes

• El Teorema de Bayes se utiliza para revisar

probabilidades calculadas previamente cuando hay

información adicional

• Fue desarrollado por Thomas Bayes en el Siglo 18

• Es una extensión de la probabilidad condicional



Teorema de Bayes

• donde:

Bi = iésimo evento de k eventos mutuamente

excluyentes y colectivamente exhaustivos

A = nuevo evento que puede tener impacto en P(Bi)

))P(BB|P(A))P(BB|P(A))P(BB|P(A

))P(BB|P(AA)|P(B

k k 2 2 1 1

i i i

El teorema de Bayes se utiliza para revisar

probabilidades previamente calculadas después de

obtener nueva información



Ejemplo del Teorema de Bayes

• Una compañía de perforación ha estimado un 40% de

posibilidad de obtener petróleo para su nuevo pozo.

• Una prueba detallada se ha programado para obtener

mayor información. Históricamente, 60% de los pozos

exitosos han tenido pruebas detalladas, y 20% de los

pozos no exitosos han tenido pruebas detalladas.

• Dado que este pozo ha sido programado para la

prueba detallada, ¿cuál es la probabilidad

de que el pozo será exitoso?



• Sea S = pozo exitoso

U = pozo no exitoso

• P(S) = 0.4 , P(U) = 0.6 (probabilidades previas)

• Definir el evento de prueba detallada como D

• Probabilidades Condicionales:

P(D|S) = 0.6 P(D|U) = 0.2

• La meta es encontrar P(S|D)

Ejemplo del Teorema de Bayes (continuación)



0.6670.120.24

0.24

(0.2)(0.6)(0.6)(0.4)

(0.6)(0.4)

U)P(U)|P(DS)P(S)|P(D

S)P(S)|P(DD)|P(S

Aplicar el Teorema de Bayes:

Entonces, la probabilidad revisada de éxito, dado que este pozo ha sido programado para una prueba detallada es 0.667




• Dada la prueba detallada, la probabilidad

revisada de que el pozo sea exitoso ha

aumentado a 0.667 del estimado

original de 0.4

Evento Prob

Previa

Prob

Condicional

Probabilidad

Conjunta

Probablidad

Revisada

S (exitoso) 0.4 0.6 (0.4)(0.6) = 0.24 0.24/0.36 = 0.667

U (no-exitoso) 0.6 0.2 (0.6)(0.2) = 0.12 0.12/0.36 = 0.333

Suma = 0.36




• Reglas para contar el número de posibles

resultados

• Regla de Conteo 1:

– Si uno de k eventos diferentes mutuamente excluyentes y

colectivamente exhaustivos puede ocurrir en cada uno de

n intentos, el número de posibles resultados es igual a

– Ejemplo:

• Si se lanza un dado 3 veces entonces hay 63 = 216 posibles

resultados

kn

Reglas de Conteo



• Regla de Conteo 2:

– Si hay k1 eventos en el primer intento, k2 eventos en

el segundo intento, … y kn eventos en el nésimo

intento, el número de posibles resultados es

– Ejemplo:

• Se quiere ir a un parque, almorzar en un restaurante e ir al

cine. Hay 3 parques, 4 restaurantes y 6 cines. ¿Cuántas

posibles combinaciones hay?

• Respuesta: (3)(4)(6) = 72 posibilidades diferentes

(k1)(k2)…(kn)

Reglas de Conteo (continuación)



• Regla de conteo 3:

– El número de formas que n objetos pueden arreglarse

en orden es

– Ejemplo:

• Usted tiene cinco libros para poner en una repisa. ¿De cuántas

maneras puede usted ponerlos en la repisa?

• Respuesta: 5! = (5)(4)(3)(2)(1) = 120 diferentes posibilidades

n! = (n)(n – 1)…(1)




• Regla de Conteo 5: – Combinaciones: El número de formas en que se puede

seleccionar X objetos de n objetos, sin importar el orden, es

– Ejemplo: •Usted tiene cinco libros y va a seleccionar tres aleatoriamente para leer. ¿Cuántas combinaciones diferentes de libros puede seleccionar?

•Respuesta: posibilidades diferentes

X)!(nX!

n!Cxn

10(6)(2)

120

3)!(53!

5!

X)!(nX!

n!Cxn




Resumen del Capítulo:

• Se presentaron los conceptos básicos de probabilidad

• Espacios muestrales y eventos, tablas de contingencia,

probabilidad simple y probabilidad conjunta

• Se presentaron las reglas básicas de probabilidad

• La regla general de la suma, la regla de la suma para

eventos mutuamente excluyentes, la regla para eventos


• Se presentó la definición de probabilidad condicional

• Independencia estadística, probabilidad marginal, árboles de

decisión y la regla de la multiplicación

• Se presentó el Teorema de Bayes

• Se examinaron las reglas de conteo



Referencias

• Levine; Krehbiel & Berenson 2014. Estadística para

Administración 6ta Edición. Pearson.

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