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Matrices y vectoresDerivadas
Sumatoria y series elementales
Curso de nivelación Estadística y Matemática
Segunda clase: Matrices y derivadas
Luis Diego Fernández Gómez
Programa Técnico en Riesgo, 2017
Luis Diego Fernández Gómez Repaso Matemática
Matrices y vectoresDerivadas
Sumatoria y series elementales
Agenda
1 Matrices y vectores
Vectores
Suma y resta de Matrices
Multiplicación de Matrices
Inversa de una matriz
Cadenas de Markov
2 Derivadas
De�nición
Reglas de diferenciación
Derivadas parciales
3 Sumatoria y series elementales
Sumatoria
Series elementales
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Matrices y vectoresDerivadas
Sumatoria y series elementales
VectoresSuma y resta de MatricesMultiplicación de MatricesInversa de una matrizCadenas de Markov
De�nición de matrices
¾Qué es una matriz?
Se de�ne como un arreglo rectangular de números, parámetros
o variables. Los números miembros del arreglo, normalmente se
conocen como elementos. Por convención, las matrices se
representan con letras en mayúsculas.
Ejemplo
Los pagos de un conjunto de activos en cada estado de la
naturaleza.
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Dimensión
¾Qué es la dimensión de una matriz?
Es el número de �las (m) y el número de columnas (n) conque cuenta una matriz especí�ca.
Ejemplo matriz de dimensión (mx n)
A=
a11 a12 . . . a1na21 a22...
. . .
am1 amn
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VectoresSuma y resta de MatricesMultiplicación de MatricesInversa de una matrizCadenas de Markov
Otras de�niciones
¾Qué es una matriz cuadrada?
Cuando tiene la misma cantidad de �las que de columnas
(caso particular si la matriz es de dimensión 1, lo cual
llamamos escalar).
¾Qué es una igualdad de matrices?
Si se tiene el mismo orden y además cada elemento es igual en
ambas matrices.
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VectoresSuma y resta de MatricesMultiplicación de MatricesInversa de una matrizCadenas de Markov
Agenda
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Cadenas de Markov
2 Derivadas
De�nición
Reglas de diferenciación
Derivadas parciales
3 Sumatoria y series elementales
Sumatoria
Series elementales
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Vectores
¾Qué es un vector?
Es una matriz de una sóla �la o de una columna.
Ejemplo vector columna de 4x1
B =
1
2
3
4
Ejemplo vector �la de 1x4
C =[5 6 7 8
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Inversa de una matriz
Cadenas de Markov
2 Derivadas
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Reglas de diferenciación
Derivadas parciales
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Sumatoria
Series elementales
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Suma y resta de Matrices
¾Cómo se suma y restan las matrices?
Sean A y B dos matrices de orden mx n (mismo orden), su
suma (o resta) es una matriz C de orden mx n donde cada
elemento de C es la suma (o resta) de los elementos
correspondientes de A y B.
Conformabilidad para la suma
Cuando dos matrices tienen la misma dimensión.
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Suma y resta de Matrices
Ejemplo
A=
[1 2 3
0 1 4
]
B =
[2 3 0
−1 2 5
]
A+B =
[3 5 3
−1 3 9
]A−B =
[−1 −1 3
1 −1 −1
]
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VectoresSuma y resta de MatricesMultiplicación de MatricesInversa de una matrizCadenas de Markov
Algunas propiedades importantes
Propiedades de la aditividad de matrices
A+B = B+A
A+(B+C ) = (A+B)+C
k (A+B) = kA+kB = (A+B)k
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Multiplicación de Matrices
Inversa de una matriz
Cadenas de Markov
2 Derivadas
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Reglas de diferenciación
Derivadas parciales
3 Sumatoria y series elementales
Sumatoria
Series elementales
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Multiplicación de una matriz por un Escalar
¾Cómo se multiplica una matriz por un escalar?
Sea A una matriz y k un escalar, su multiplicación es la
multiplicación de cada elemento de A por k .
Ejemplo
A=
[1 2
3 4
]k = 3
A∗k =
[3 6
9 12
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Multiplicación de vectores y matrices
Principio básico
Multiplicar �las por columnas.
Conformables para la multiplicación
Cuando los vectores o matrices son compatibles para la
multiplicación. Para esto el número correspondiente a las
columnas de la primera matriz (vector) debé ser igual al
correspondiente a las �las de la segunda matriz (vector).
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Multiplicación de vectores
Ejemplo
D =[2 3 4
]E =
1
−12
D ∗E =
[7]
F =[3 −1 4
]G =
−263
F ∗G = [0]
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Multiplicación de vectores
Ejemplo
H =
[1 2 1
4 0 2
]
I =
3 −41 5
−2 2
H ∗ I =
[3 8
8 −12
]
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VectoresSuma y resta de MatricesMultiplicación de MatricesInversa de una matrizCadenas de Markov
Algunas propiedades importantes
Propiedades de la multiplicación de matrices
A(BC ) = (AB)C
A(B+C ) = AB+AC
(A+B)C = AC +BC
k (AB) = (kA)B = A(kB) = (AB)k
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Otras de�niciones
¾Qué es una matriz transpuesta?
La transpuesta de una matriz A se obtiene intercambiando sus
�las por sus columnas y se denota como A′.
Ejemplo
J =
[1 2
3 4
]
J ′ =
[1 3
2 4
]
K =
[2 3 7
1 −1 5
]
K ′ =
2 1
3 −17 5
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Otras de�niciones
¾Qué es una matriz simétrica?
Es aquella que cumple que A= A′.
Ejemplo
L=
[1 2
2 1
]
L′ =
[1 2
2 1
]
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Otras de�niciones
¾Qué es una matriz identidad?
Es una matriz diagonal de unos, es decir, una matriz
cuadrada donde todos los elementos fuera de la diagonal
principal son ceros y los elementos dentro de la diagonal son
unos.
Ejemplo
I3 =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I2 =
[1 0
0 1
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Cadenas de Markov
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De�nición
Reglas de diferenciación
Derivadas parciales
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Series elementales
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Inversa de una matriz
¾Qué es la inversa de una matriz?
Si A y B son dos matrices cuadradas tales que AB = I .
Ejemplo
M =
1 2 3
1 3 3
1 2 4
N =
6 −2 −3−1 1 0
−1 0 1
M ∗N =
1 0 0
0 1 0
0 0 1
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Inversa de una matriz
¾Cómo saber si una matriz tiene inversa?
Para esto se obtiene el determinante. Si el determinante es
diferente de 0 se dice que la matriz es una matriz no singular
(o sea tiene inversa) pero si el determinante es igual a 0 se
dice que la matriz es singular (o sea no tiene inversa).
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Cadenas de Markov
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Cadenas de Markov
¾Qué es una Cadena de Markov?
Se emplean para medir o estimar movimientos en el tiempo.
Requiere el uso de una Matriz de transición de Markov (o
�Markov�), donde cada valor en la matriz es una probabilidad
de pasar de un estado (ubicación, trabajo, etc.) a otro
estado.También hay un vector que contiene la distribución
inicial en los distintos estados.
Ejemplo
x ′o =[A0 B0
]M =
[PAA PAB
PBA PBB
]Luis Diego Fernández Gómez Repaso Matemática
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Cadenas de Markov
Ejemplo
x ′tM = x ′t+1
x ′t+1M = x ′t+2
x ′tMM = x ′t+2
x ′tM2 = x ′t+2
...
x ′tMn = x ′t+n
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De�niciónReglas de diferenciaciónDerivadas parciales
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Reglas de diferenciación
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Sumatoria
Series elementales
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De�niciónReglas de diferenciaciónDerivadas parciales
¾Qué es una derivada?
¾Qué es una derivada?
Es una función que mide como cambia la variable y ante
cambios in�nidesimales en x . Famosa por su representación
geométrica (la pendiente de una curva). Es el resultado del
siguiente cociente de diferencias:
dy
dx= lim4x→0
4y
4x= lim4x→0
f (x0+4x)− f (x0)
4x
Ejemplo
y = 3x2−4
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De�niciónReglas de diferenciaciónDerivadas parciales
Pendiente de una curva
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Pendiente de una curva
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Pendiente de una curva
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Reglas de diferenciación
Derivadas parciales
3 Sumatoria y series elementales
Sumatoria
Series elementales
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De�niciónReglas de diferenciaciónDerivadas parciales
Reglas para una función de una variable
Derivada de una constante
y = k
dy
dx= 0
Derivada de una potencia
y = xn
dy
dx= nxn−1
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De�niciónReglas de diferenciaciónDerivadas parciales
Reglas con dos o más funciones de la misma variable
Derivada de una suma o resta
d
dx[f (x)±g (x)] = f ′ (x)±g ′ (x)
Derivada de un producto
d
dx[f (x)g (x)] = f (x)g ′ (x)+ f ′ (x)g (x)
Derivada de un cociente
d
dx
[f (x)
g (x)
]=
f ′ (x)g (x)− f (x)g ′ (x)
g2 (x)
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De�niciónReglas de diferenciaciónDerivadas parciales
Reglas para funciones de variables diferentes
Regla de la cadena
Si tenemos una función diferenciable z = f (y), donde y es a
su vez una función diferenciable de otra variable x , y = g (x),entonces la derivada de z respecto a x es igual a la derivada
de z repecto y , por la derivada de y respecto a x .
Ejemplo
Sea z = 3y2 y y = 2x+5, entonces:
dz
dx= 6y ∗2= 12y = 12(2x+5)
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Sumatoria
Series elementales
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De�niciónReglas de diferenciaciónDerivadas parciales
Diferenciación parcial
Diferenciación Parcial
y = f (x1,x2, ...,xn)
Si mantienen constantes (n−1) variables independientes mientras
se permite que cambie una variable se obtiene.
Ejemplo
f (x1,x2) = 3x21 + x1x2+4x22
∂y
∂x1= 6x1+ x2
∂y
∂x2= x1+8x2
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Series elementales
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Sumatoria
Algunas propiedades importantes
La sumatoria del producto de una constante (a) por unavariable es igual al producto de la constante por la sumatoria
de la variable.n
∑i=1
axi = an
∑i=1
xi
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Sumatoria
Algunas propiedades importantes
La sumatoria de la suma algebraica de dos o más variables, es
igual a la suma algebraica de las sumatorias de las variables.
n
∑i=1
(xi + yi − zi ) =n
∑i=1
xi +n
∑i=1
yi −n
∑i=1
zi
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Sumatoria
Algunas propiedades importantes
La sumatoria de una constante (a), tomada de 1 a n, es igual
a n veces la constante.n
∑i=1
a= na
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3 Sumatoria y series elementales
Sumatoria
Series elementales
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Series elementales
Suma de términos
Sea k un índice de sumación, y entenderemos que los valores
que toma este índice son 1,2, ..,n.
Sn = 1+2+ ...+n
Sn =n
∑i=1
k =n(n+1)
2
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Series elementales
Progresión geométrica
Sea la siguiente serie con r 6= 1.
Sn = 1+ r + r2...+ rn
Sn =n
∑i=0
r i =1− rn+1
1− r
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Series elementales
Progresión geométrica de una serie in�nita
Si se tiene la siguiente serie in�nita con |r |< 1.
∞
∑i=0
r i =1
1− r
∞
∑i=1
r i =r
1− r
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Bibliografía
Chiang, A. Wainwright, K
Métodos fundamentales de economía matemática. Mc Graw-Hill,
2006.
Parra, A
Álgebra MatricialTrabajo docente, Pontifícia Universidad Católica de Chile.
Steward, J.
Cálculo de una variableThomson Learning, 2001.
Luis Diego Fernández Gómez Repaso Matemática