Matrices Pág. 1 Tema 1 MATRICES Tema 1 MATRICES. Matrices Pág. 2 1.- Matrices. Definición y...

Pág. 1Matrices

Tema 1

MATRICES

Tema 1

MATRICES

Pág. 2Matrices

1.- Matrices. Definición y primeros ejemplos

Una matriz es una tabla rectangular de números reales dispuestos en filas y columnas del modo:

Abreviadamente se puede expresar A = (aij ).

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

Filas de la matriz A

Columnas de la matriz A

Cada elemento de la matriz lleva dos subíndices:- El primero de ellos “i”, indica la fila en la que se encuentra el elemento,- y el segundo, “j”, la columna.

Así el elemento a23 está en la fila 2 y columna 3.

Las matrices siempre se representarán con letras mayúsculas (A, B, C, …).

Pág. 3Matrices

Son ejemplos de matrices los siguientes:

A tiene 2 filas y 2 columnas, diremos que su dimensión 2 x 2. ¿Qué elemento es a21?

4312

A

121046

B

001251042013

C

B tiene 2 filas y 3 columnas, diremos que su tamaño es 2 x 3. ¿Qué elemento es b23?

C tiene 4 filas y 3 columnas, diremos que su dimensión 4 x 3. ¿Qué elemento es c32?

EJEMPLOSEJEMPLOS


Pág. 4Matrices

En general, si una matriz A tiene m filas y n columnas, diremos que su tamaño o dimensión es m x n (se lee “m por n”), siempre en primer lugar el nº de filas y en segundo lugar el de columnas.

Igualdad

Dos matrices A y B son iguales cuando contienen los mismos elementos, dispuestos en los mismos lugares:

A = B aij = bij i, j

Lógicamente, para que dos matrices sean iguales es necesario que tengan la misma dimensión.


Pág. 5Matrices

2.- Tipos de matrices

Se llama matriz fila a la que sólo tiene una fila, es decir su dimensión es 1 x n.

es una matriz fila de dimensión 1 x 4.

Se llama matriz columna a la que sólo consta de una columna, es decir su dimensión será m x 1.

es una matriz columna de dimensión 3 x 1.

9401 B

801

C

Por ejemplo,

Según su dimensión:

Por ejemplo,

Una matriz es cuadrada cuando tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir su dimensión es n x n.

matriz cuadrada de orden 3.

043456321

D

4312 es una matriz cuadrada

de dimensión 2 x 2 o simplemente de orden 2.

Pág. 6Matrices

Dentro de las matrices cuadradas llamaremos diagonal principal a la formada por los elementos a11, a22, a33, . . ., ann, siendo la matriz:

En la matriz D, la diagonal principal está formada por 1, 5, 0.

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

A

21

22221

11211

Diagonal principal

La diagonal secundaria es la formada por los elementos a1n, a2,n−1, a3,n−2, . . ., an1.

En la matriz D está formada por 3, 5, -3.

043456321

D


Pág. 7Matrices

Una clase especial de matrices cuadradas son las matrices triangulares.Una matriz es triangular superior si todos los elementos por debajo de la diagonal principal son nulos y triangular inferior si son nulos todos los elementos situados por encima de dicha diagonal.

Si una matriz es a la vez triangular superior e inferior, sólo tiene elementos en la diagonal principal.Una matriz de este tipo se denomina matriz diagonal.Un ejemplo de matriz diagonal es:

00000300004500001

G

781631054300400001

E

Triangular inferiorTriangular superior

300590

341F

Según sus elementos:


Pág. 8Matrices

Si una matriz diagonal tiene en su diagonal principal sólo unos, se denomina matriz unidad o identidad. Se suelen representar por In , donde n es el

orden o tamaño de la matriz. Algunas matrices identidad son:

1000010000100001

4I

100010001

3I

1001

2I

Se llama matriz nula a la que tiene todos los elementos cero.

es una matriz nula de tamaño 2x5.

0000000000

APor ejemplo,


Pág. 9Matrices

Matrices escalonadas

Fíjate en las siguientes matrices:

De ellas se dice que son matrices escalonadas.

En ellas se cumple que:

Si hay filas nulas, están situadas en la parte inferior de la matriz.

En las filas no nulas, el primer elemento diferente de cero de una fila está situado más a la derecha que el primer elemento diferente de cero de la fila inmediatamente superior.

620113

A

200230051

B

00000064

C

000230051

D


Pág. 10Matrices

3.-Transformaciones elementales

Existen una serie de operaciones que se pueden hacer con las filas de una matriz y que permiten convertirla en una matriz escalonada: las transformaciones elementales.

En general, si llamamos Fi a la fila i-ésima y Fj a la fila j-ésima, las

transformaciones elementales son:

Intercambiar dos filas. Fi Fj.

Sumar a una fila los elementos correspondientes de otra fila multiplicada por un nº real k. Fi Fi + kFj

Multiplicar todos los elementos de una fila por un número real no nulo. Fi kFi

351124

202

124351202

F2 F3

351124

202

351124

8100F1 F1 + 2F3

351124

202 F2 2F2

351248202

Ejemplo

Pág. 11Matrices

Estas transformaciones permiten definir una equivalencia entre las matrices de igual dimensión.

Dos matrices son equivalentes si una de ellas se obtiene a partir de la otra mediante transformaciones elementales.

EJEMPLOEJEMPLO

134122111312

A

134122111312

134113122211

15503110

2211

140003110

2211

F1 F2

F2 F2 – 2F1

F3 F3 + F1

F3 F3 + 5F2

Reducir a forma escalonada la matriz

Para facilitar los cálculos posteriores, hacemos que el elemento a11 sea 1:

Hacemos que el elemento a32 sea 0:

Hacemos que los demás elementos de la primera fila sean 0:

Que está en forma escalonada


Pág. 12Matrices

EJERCICIOEJERCICIO


Reduce a forma escalonada las matrices:

021310149432

B

131110315432181512

D

288046215131

C

1063752321

A

Pág. 13Matrices

4.- Operaciones con matrices

Dadas dos matrices A y B de la misma dimensión m n, la matriz suma, A + B, es la que se obtiene sumando los elementos que en cada una de ellas ocupan la misma posición.

Si las matrices tienen diferente tamaño, no se pueden sumar o restar entre sí.

323232

641714

523402

124312

EJEMPLOEJEMPLO

De forma abreviada: (aij) + (bij) = (aij + bij)

mnmnmm

nn

mnm

n

mnm

n

baba

baba

bb

bb

aa

aaBA

............

...

............

...

............

...

11

111111

1

111

1

111

4. 1. Suma y diferencia4. 1. Suma y diferencia

Pág. 14Matrices

Propiedades de la suma de matrices:

323232

407110

523402

124312

EJEMPLOEJEMPLO

La existencia de elemento opuesto permite definir la matriz diferencia (resta), A – B. Es la que se obtiene al sumar A con – B:

A – B = A + (– B)

a) Conmutativa: A + B = B + A

b) Asociativa: A + (B + C) = (A + B) + C

c) Elemento neutro: La matriz nula del tamaño correspondiente.

d) Elemento opuesto de A: La matriz –A, que resulta de cambiar de signo a los elementos de A.

A + 0 = 0 + A

A + (– A) = (– A) + A = 0

4.- Operaciones con matrices 4. 1. Suma y diferencia4. 1. Suma y diferencia

Pág. 15Matrices

Si

porque:

232323

000000

932410

932410

EJEMPLOEJEMPLO


932410

A

3 2

932410

A

3 2

Opuesta de una matriz

Pág. 16Matrices

2. Calcula x, y, z en la suma:

3. Calcula a, b, c para que se cumpla la igualdad:

60221

02142

61423 a

cba

cba

142440311

3232

0

201

21

xz

zy

zxy

yx

1. Las exportaciones, en millones de euros, de 3 países A, B, C a otros tres X, Y, Z, en los años 2000 y 2001 vienen dadas por las matrices:

Calcula y expresa en forma de matriz el total de exportaciones para el conjunto de los dos años.¿Cuántos millones ha exportado el país B al Z en total?Calcula el incremento de las exportaciones del año 2000 al 2001.

EJERCICIOSEJERCICIOS


3,42,0212,31,117,15

173,13

2001A

X Y ZABC

3,22,39,202,1105,145,07,611

2000AABC

X Y Z

Pág. 17Matrices

Dada una matriz cualquiera A de dimensión m n y un número real k, el producto k·A se realiza multiplicando todos los elementos de A por k, resultando otra matriz de igual dimensión. (Evidentemente la misma regla sirve para dividir una matriz por un número real).

Propiedades:a) Distributiva respecto de la suma de matrices: k·(A + B) = k·A + k·Bb) Distributiva respecto de la suma de números: (k + d)·A= k·A + d·Ac) Asociativa: k·(d·A)=(k·d)·Ad) Elemento neutro, el número 1: 1·A=A

3232

5102015510

124312

5

EJEMPLOEJEMPLO

mnm

n

mnm

n

akak

akak

aa

aakAk

............

...

............

...

1

111

1

111

4.- Operaciones con matrices 4. 2. Producto por un nº real4. 2. Producto por un nº real

Pág. 18Matrices

1. Si

halla una matriz X que verifique la ecuación: 2·X – 4·A = B

2. Determina las matrices X e Y sabiendo que:

2001

y 1011

BA

1821

53 YX

0342

3YX


4.- Operaciones con matrices 4. 2. Producto por un nº real4. 2. Producto por un nº real

Pág. 19Matrices

Producto de una matriz fila por una matriz columna.

Sea A una matriz fila y B una matriz columna:

132 A

521

B

Definimos el producto de la matriz A por la matriz B (en este orden):

521

132BA 2·1 + (−3)·2 + 1·5 = 2 − 6 + 5 = 1

1 x 3 3 x 1

Observa que el resultado es un número

1 x 3 3 x 1

Hemos emparejado cada elemento de A con un elemento de B, luego el número de estos elementos (nº de columnas de A y nº de filas de B) debe coincidir para poder realizar este producto.

4.- Operaciones con matrices 4. 3. Producto de matrices4. 3. Producto de matrices

Pág. 20Matrices

Hay que dejar claro ya desde el principio que no todas las matrices pueden multiplicarse. Dos matrices se pueden multiplicar cuando se cumple la siguiente condición:

Una vez comprobado que el producto A·B se puede realizar, si A es una matriz m x n y B es una matriz n x p (observa que el nº de columnas de A = n = nº de filas de B), entonces el producto A·B da como resultado una matriz C de tamaño n x p del siguiente modo:

“El elemento que se encuentra en la fila i y la columna j de la matriz C = A·B, se obtiene multiplicando los elementos de la fila i de A por la columna j de B y sumando los resultados”

“Para multiplicar dos matrices A y B, en este orden, A·B , es condición indispensable que el número de columnas de A sea igual al número de filas de B”

Si no se cumple esta condición, el producto A·B no puede realizarse, de modo que esta es una condición que debemos comprobar previamente a la propia multiplicación.


Pág. 21Matrices

A · B = A·Bm n n p m p

Es posible el producto

Columnas

Filas

La matriz producto, A·B, si existe, es la que se obtiene de la forma siguiente:

El elemento de esta matriz que ocupa la fila i-ésima y la columna j-ésima es el que se obtiene de multiplicar la fila Fi por la columna Cj.

nmm

n

knk

n

mkm

k

CFCF

CFCF

bb

bb

aa

aaBA

............

...

............

...

............

...

1

111

1

111

1

111F1

C1


Pág. 22Matrices

1º.- Comprobamos que se puede realizar el producto A·B, pues el nº de columnas de A es 4 y el nº de filas de B también es 4.

3º.- Sólo nos falta completar los elementos de la matriz producto. Para ello, seguimos la regla anterior:

23524123

A

123202121140

B

EJEMPLOEJEMPLO Para multiplicar las matrices:

2º.- El resultado, según lo dicho será una matriz de dimensión 2 x 3, tiene 2 filas y 3 columnas:

2 44 3

123202121140

2 44 3 2 3


23524123

=

Pág. 23Matrices


=

123202121140

2 44 3 2 3

El elemento de la fila 1 y columna 1 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A por la columna 1 de B y sumar, es decir:

F1 · C1 = (–3 2 1 4) ·

0123

= (−3)·0 + 2·1 + 1·2 + 4·3 = 0 + 2 + 2 + 12 = 16

16F1

C1

23524123

Pág. 24Matrices


=

123202121140

2 44 3 2 3

F1·C2 = (–3 2 1 4) ·

−4−202

16F1

C2

El elemento de la fila 1 y columna 2 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 2 de B y sumar:

16

= (−3)·(−4) + 2·(−2) + 1·0 + 4·2 = 12 − 4 + 0 + 8 = 16

23524123

Pág. 25Matrices

123202121140

2 44 3 2 3

F1·C3 = (–3 2 1 4) ·

1121

16F1

C3

16

= (−3)·1 + 2·1 + 1·2 + 4·1 = − 3 + 2 + 2 + 4 = 5

El elemento de la fila 1 y columna 3 de A·B proviene de multiplicar elemento a elemento la fila 1 de A y la columna 3 de B y sumar:

5


23524123

=

Pág. 26Matrices

Así sucesivamente se obtienen los demás elementos de la matriz producto:

123202121140

2 4 2 3

16 16 5

F2

C1

5

4 3


23524123

=

Pág. 27Matrices


123202121140

2 4 2 3

16 16 5

F2

C2

5 –22

4 3


23524123

=

Pág. 28Matrices

1122551616

BA


123202121140

2 4 2 3

16 16

11F2

C3

5

5 –22

Así la matriz producto es:

B · A4 3 2 4

Observa que el producto B·A no se puede hacer:

4 3


23524123

=

Pág. 29Matrices

1. Si calcula, si es posible, A·B y B·A. ¿Coinciden?

2. Lo mismo si

Además, calcula A2 y A3.

511203

B,142011

A

543012

C

121

B

120111321

A



6231

A

1253

B

3. Calcula todos los productos posibles entre las matrices:

Pág. 30Matrices

Propiedades del producto de matrices

c) Elemento neutro: la matriz identidad correspondiente. Si A es m x n:

d) En general el producto de matrices no es conmutativo

Pueden verse ejemplos en los ejercicios anteriores. Ten cuidado con esta propiedad.

e) El producto de dos matrices no nulas A y B puede dar lugar a una matriz nula:

Se dice que el conjunto de las matrices con la operación producto tiene divisores de cero, es decir, hay matrices no nulas cuyo producto es nulo.

CABACBA )(ACABACB )(

AIA n AAIm

ABBA

1213

32

00

425

120312

a) Asociativa: A·(B·C) = (A·B)·C

b) Distributiva respecto de la suma:


Pág. 31Matrices

1. Si A y B son dos matrices cuadradas del mismo orden, ¿son ciertas las propiedades siguientes, que son ciertas para las operaciones con números reales?: a) (A + B)2 = A2 + B2 + 2 · A · B b) (A − B)2 = A2 + B2 − 2 · A · B c) (A + B) · (A − B) = A2 − B2

2. Determina los valores de a y b de la matriz

para que A2 = A.

3. ¿Qué matrices conmutan con la matriz ?

baA

12

1021



Pág. 32Matrices

Dada una matriz cualquiera A, se llama matriz traspuesta de A, y se representa por At a la matriz que resulta de intercambiar las filas y las columnas de A.

Si

entonces la matriz traspuesta de A es:

Si A es una matriz de dimensión m x n, su traspuesta At tendrá dimensión n x m, pues el número de columnas pasa a ser el de filas y viceversa.

Propiedades:a) (At)t = A, es decir, la traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial.b) (A + B)t = At + Bt

c) (k ・ A)t = k ・ At

d) (A · B)t = Bt · At

12437012

A

17204132

tA

EJEMPLOEJEMPLO2 4

4 2

Si la matriz A es cuadrada, su traspuesta tendrá la misma dimensión.

4.- Operaciones con matrices 4. 4. Trasposición de matrices4. 4. Trasposición de matrices

Pág. 33Matrices

En base a esta nueva operación, podemos definir otras dos clases de matrices:

Matriz simétrica: matriz cuadrada que coincide con su traspuesta; es decir, una matriz cuadrada es simétrica si se cumple que At = A.

En una matriz simétrica, los elementos son simétricos respecto a la diagonal principal.

Matriz antisimétrica: matriz cuadrada cuya opuesta coincide con su traspuesta; es decir, si cumple que At = −A.Por ejemplo:

En una matriz antisimétrica, los elementos de la diagonal principal son siempre nulos (¿por qué?), y los restantes son opuestos respecto a dicha diagonal.

723201

312A

023201

310B

es simétrica

es antisimétrica (comprueba).


Pág. 34Matrices

1. Dadas las matrices

calcula 3At − Bt .

2. Obtener las matrices X e Y que verifiquen los sistemas:

431341331

A

016102211

B

2451

32 YX

6301

YX

a)

0312

YX

1026

YX

b)

20

132 YX

4201

2YX

c)



Pág. 35Matrices

5.- La matriz inversa

En el caso particular de que tratemos con matrices cuadradas del mismo orden A y B, es claro que podemos efectuar los productos A·B y B·A, que darán como resultado otra matriz del mismo orden, aunque, como ya se ha dicho, las matrices resultantes serán, en general, distintas.

El inverso del número 2 para el producto es un número real x tal que 2·x = 1,el producto de 2 por x es igual al elemento neutro, el 1.

Sabemos también que el elemento neutro del producto de matrices es la matriz identidad In.

Recordemos que ocurría con los números reales:

En el caso de los números reales es bien fácil despejar x:

Todo número real, salvo el 0, tiene inverso.

x = 12

El inverso de un número real es otro número que multiplicado por él da el elemento neutro, el 1.

Esto nos permite resolver ecuaciones del tipo: a·x = b

2·x = 6

·2·x = ·612

12

x = 31

Pág. 36Matrices

Trasladando esto a las matrices, nos podemos plantear si dada una matriz cuadrada A de orden n, cualquiera, existe su inversa X para el producto de matrices, tal que

es decir, el producto de A por su inversa produce el elemento neutro matricial, la matriz identidad In.

Sin embargo, hay algunas diferencias con respecto al caso de los números reales:

nIXA


1) No podemos “despejar” la matriz X del modo X = In/A, porque no hemos

definido la división de matrices.

2) No todas las matrices cuadradas no nulas tienen matriz “inversa” (sea lo que sea, por analogía con los números).

Pág. 37Matrices

Si una matriz cuadrada de orden n , A, tiene inversa se dice que A es invertible (o que posee inversa o que es no singular o que es regular).

y

Si A no tiene inversa, se dice que es singular o no invertible.

nIAA 1nIAA 1

Si A es una matriz cuadrada, se dice que B es la inversa de A si

A·B = B·A = I,

siendo I la matriz unidad o identidad.

La matriz inversa de A se representa por A–1.

Si una matriz tiene inversa, dicha matriz inversa es única (sólo hay una). Para calcular dicha matriz inversa, podemos utilizar varios métodos. A continuación veremos dos métodos. En el tema 3 veremos otro.

Por tanto, si una matriz cuadrada de orden n , A, tiene inversa, A−1 , se cumple que:


Pág. 38Matrices

lo que buscamos es otra matriz de igual tamaño (orden 2)

tzyx

A 1

2

1 IAA

10

011121

tzyx

100122

tyzxtyzx

Consiste en determinar A−1 planteando un sistema de ecuaciones, es decir, si por ejemplo queremos determinar la inversa de la matriz

1121

A

que debe cumplir A · A−1 = I2 y A−1 · A = I2,

x + 2z = 1y + 2t = 0–x + z = 0–y + t = 0

Es decir, hemos de resolver un sistema de 4 ecuaciones con 4 incógnitas, aunque en realidad son 2 sistemas de dos incógnitas cada uno (uno con x y z y otro con y y t).

5.- La matriz inversa 5. 1. Método directo5. 1. Método directo

Pág. 39Matrices

Se puede comprobar que también se cumple que A−1 · A = I2, luego A es

invertible, tiene inversa.

Resolviendo el sistema se obtiene que

por lo que la matriz inversa es:

1121

3

1

x + 2z = 1y + 2t = 0–x + z = 0–y + t = 0


x = 13

y = –23

z = 13

t = 13

13

–23

13

13

A−1 =

Pág. 40Matrices

Por ejemplo, si

Y por ejemplo de 2x + 2z = 0 se obtiene x = –z, si se sustituye en la primera ecuación es –z + z = 1, es decir 0 = 1 (imposible). El sistema no tiene solución.

2211

A

2

1 IAA

1001

2211

tzyx

1001

2222 tyzxtyzx

Si el sistema no tiene solución, la matriz no tiene inversa.

x + z = 1y + t = 02x + 2z = 02y + 2t = 0

Por tanto A no es invertible, es singular.

Este método directo sólo se suele utilizar para matrices cuadradas de tamaño 2, puesto que para las de tamaño 3 obtenemos un sistemas de !9 ecuaciones con 9 incógnitas! que realmente es difícil de resolver.


No todas las matrices tienen inversa.

Pág. 41Matrices

Sea A = (aij) la matriz dada e I3 la matriz unidad. Se parte del siguiente esquema:

Si en el proceso aparece en el lugar de la matriz A (en la parte izquierda) alguna fila nula, la matriz no tiene inversa.

Aplicar transformaciones elementales hasta llegar a

la forma:

Consiste en hacer transformaciones elementales en las filas de la matriz para llegar a obtener la matriz identidad. Realizando estas mismas transformaciones con la matriz identidad llegamos a la matriz A−1.

5.- La matriz inversa 5. 2. Método de Gauss-Jordan5. 2. Método de Gauss-Jordan

(A | I3)

(I3 | A–1)

100010001

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

333231

232221

131211

100010001

bbbbbbbbb

Pág. 42Matrices

Calcula por el método de Gauss-Jordan la inversa de la matriz

i) Consideramos la matriz formada por A y la matriz identidad correspondiente:

ii) Se hace la matriz A triangular superior (es decir, hacemos ceros por debajo de la diagonal principal) usando transformaciones elementales en filas.

1121

A

EJEMPLOEJEMPLO


1 2 1 0–1 1 0 1

(A | I2) =

En nuestro caso, basta sumar la fila 2 con la fila 1, y se obtiene:

1 2 1 0–1 1 0 1

(A | I2) =

1 2 1 0 0 3 1 1

F2 F2 + F1

Pág. 43Matrices

iii) Una vez hecha la matriz triangular superior, se hace la matriz triangular inferior, haciendo ceros a los elementos por encima de la diagonal. El proceso es parecido al anterior:


iv) Ya tenemos una matriz diagonal. Lo único que falta es dividir a cada fila entre el número adecuado para obtener unos en la diagonal principal, es decir, para obtener la matriz identidad en la parte izquierda:

v) Una vez se tiene la matriz identidad en la parte de la izquierda, la parte derecha es la matriz inversa, es decir, llegamos a:

matriz que habíamos obtenido antes por el método directo.

1121

3

1

1 2 1 0 0 3 1 1

3 0 1 –2 0 3 1 1

F1 3F1 – 2F2

3 0 1 –2 0 3 1 1

(F1)/3 , (F2)/3 1 0 1/3 –2/3

0 1 1/3 1/3

(I2 | A–1) = 1 0 1/3 –2/3

0 1 1/3 1/3 A–1 = 1/3 –2/3

1/3 1/3

Pág. 44Matrices

Si al realizar el método de Gauss-Jordan en algún momento alguna fila es de ceros, la matriz no tiene inversa.


Si calculamos por este método la inversa de resulta:

Como aparece una fila de ceros, la matriz A no tiene inversa.

2211

A

1 1 1 0 2 2 0 1

(A | I2) = 1 1 1 0 0 0 – 2 1

F2 F2 – 2F1

Cuanto mayor sea el orden de la matriz, mejor es este método frente al directo.

Condición para que una matriz tenga inversa(según el método de Gauss)

EJEMPLOEJEMPLO

Pág. 45Matrices

Calcula, por el método de Gauss-Jordan, la inversa de la matriz

Siguiendo los pasos anteriores:

101211011

B

EJEMPLOEJEMPLO


(B | I3) =

F2 F2 + F1

F3 F3 – F1

F3 2F3 + F2 F2 2F2 – F3

F1 4F1 – F2

1 1 0 1 0 0–1 1 2 0 1 0 1 0 1 0 0 1

1 1 0 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 0 4 –1 1 2

1 1 0 1 0 0 0 2 2 1 1 0 0 – 1 1 –1 0 1

1 1 0 1 0 0 0 4 0 3 1 –2 0 0 4 –1 1 2

4 0 0 1 –1 2 0 4 0 3 1 –2 0 0 4 –1 1 2

Pág. 46Matrices

También se puede expresar, sacando factor común:


= (I3 | B–1)

1 0 0 1/4 –1/4 2/4

0 1 0 3/4 1/4 –2/4

0 0 1 –1/4 1/4 2/4 1/4 –1/4 1/2

B–1 = 3/4 1/4 –1/2

–1/4 1/4 1/2

1 –1 2B–1 = · 3 1 –2 –1 1 2

14

F1

4

F2

4

F3

4 4 0 0 1 –1 2 0 4 0 3 1 –2 0 0 4 –1 1 2

Pág. 47Matrices

1. Calcular por el método de Gauss-Jordan la inversa de las matrices:

2. Dada la matriz diagonal

calcula su inversa. ¿Cómo calcularías de forma rápida la inversa de una matriz diagonal cualquiera?

012423321

B

101210412

C

500020003

D



1312

A

Pág. 48Matrices

6.- Rango de una matriz

El concepto de rango se encuentra ligado al de “independencia lineal” de filas o columnas de una matriz, pero no se introducirá de esta manera porque se requieren conceptos que no conocemos.

Baste saber que se define el rango de una matriz como el número máximo de filas o columnas linealmente independientes.

Sin embargo, el cálculo del rango de una matriz lo abordaremos desde otra perspectiva, utilizando el método de Gauss.

Supongamos que tenemos una matriz cualquiera A a la que aplicamos el método de Gauss con el fin de simplificarla lo más posible (es decir, consiguiendo que tenga el mayor número de ceros posible, que esté en forma escalonada), realizando operaciones elementales en filas.

Llamaremos rango de la matriz A y lo representaremos por Rang(A) al número de filas no nulas de la matriz tras aplicarle el método de Gauss.

A continuación veremos cómo asignar a una matriz un parámetro llamado rango.

Pág. 49Matrices

Rango de una matriz escalonada

El rango de una matriz escalonada A es el número de filas no nulas de A. Lo denotamos por rang(A)

620113

A

200230051

B

00000064

C

000230051

D

EJEMPLOSEJEMPLOS

rang(A) = 2

rang(B) = 3

rang(C) = 1

rang(D) = 2


Pág. 50Matrices

Rango de una matriz cualquiera

Nos preguntamos ahora cómo podemos definir el rango de una matriz cualquiera.

Vimos que mediante transformaciones elementales podemos transformar cualquier matriz en otra equivalente que sea escalonada.

El rango de una matriz A es el rango de una matriz escalonada equivalente a A.

Así que para obtener el rango de una matriz la transformamos en una matriz escalonada mediante transformaciones elementales (Las transformaciones elementales no modifican el rango).El rango de la matriz será el número de filas no nulas de la matriz escalonada.


Pág. 51Matrices

Calcular el rango de las siguientes matrices:

Rg(A)=1 ,sólo una fila distinta de cero.

Rg(B)=2 hay 2 filas no nulas.

Rg(C)=2 hay 2 filas no nulas.

Rg(D)=1, sólo una fila no nula.

2211

A

1130

B

211112011

C

321

642D

a)

b)

c)

d)

220110011

000110011

EJEMPLOSEJEMPLOS


000642F2 2F2 + F1

F2 F2 – 2·F1

F3 F3 + F1F3 F3 + 2·F2

F2 F2 – 2·F1

0011

F2 F1

3011

Pág. 52Matrices

Los ejemplos anteriores ponen de manifiesto que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que el número de filas de la matriz.

Propiedad: Si A es una matriz de tamaño m x n no nula se cumple que:

1 rang(A) min{m, n}


De hecho se verifica que el rango de cualquier matriz siempre es menor o igual que su número de filas y de columnas, pues el proceso para hacer el método de Gauss se puede hacer indistintamente mediante operaciones elementales en filas o en columnas.

Esto permite, antes de calcular el rango de una matriz, saber entre qué valores va a estar ese rango.

Por ejemplo, en el caso c) del ejemplo, como la matriz es 3x3 , el rango sólo puede ser 0, 1, 2 o 3, no hay otras posibilidades.En el caso del apartado d), como la matriz es 2 x 3, el rango sólo puede ser 0,1 o 2. (De hecho, podemos reducir esto algo más , pues una matriz sólo tiene rango cero si es la matriz nula).Resumiendo:

Pág. 53Matrices

Calcular en función de k el rango de la matriz:

Aplicando Gauss,

Ahora es evidente que si k – 6 = 0, la última fila es nula. Por tanto, si k = 6, la última fila es nula y el rango de A es 1, Rg(A)=1, mientras que si k - 6 es distinto de cero, es decir si k es distinto de 6, hay 2 filas no nulas y el rango de A es 2, Rg(A)=2. Resumiendo:

La siguiente propiedad permite relacionar el concepto de rango con el de matriz inversa visto anteriormente:

Propiedad:Una matriz cuadrada A tiene inversa Rg(A) es máximo.

kA

33211

kA

33211

Si k 6, entonces Rg(A) = 2Si k = 6, entonces Rg(A) = 1

EJEMPLOEJEMPLO


F2 F2 – 3·F1

600211

k

Pág. 54Matrices

1. Calcula el rango de A según los valores de k:

¿Para qué valores de k tiene A inversa?

2. Calcula el rango de las matrices:

kA

15311121

012101

A

240101

120B

1000111201001112

C

131110315432181512

D



Pág. 55Matrices

7.- Aplicaciones de las matrices

Las matrices se utilizan en el contexto de las ciencias como elementos que sirven para clasificar valores numéricos atendiendo a dos criterios o variables.

Sabiendo que en un año se venden el siguiente número de paquetes:

Resumir la información anterior en 2 matrices A y B, de tamaño respectivo 2x3 y 3x2 que recojan las ventas en un año (A) y los precios (B).

2 unid. 5 unid. 10 unid.

Color N 0,04 0,08 0,12

Color F 0,03 0,05 0,08

Color N Color F

2 unid. 700000 50000

5 unid. 600000 40000

10 unid. 500000 500000

EJEMPLOEJEMPLO Un importador de globos los importa de dos colores, naranja (N) y fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que se venden al precio (en euros) indicado por la tabla siguiente:

Pág. 56Matrices

Nos piden que organicemos la información anterior en dos matrices de tamaño concreto. Si nos fijamos en las tablas, es sencillo obtener las matrices:

Estas matrices se denominan matrices de información, y simplemente recogen los datos numéricos del problema en cuestión.

Otras matrices son las llamadas matrices de relación, que indican si ciertos elementos están o no relacionados entre sí. En general, la existencia de relación se expresa con un 1 en la matriz y la ausencia de dicha relación se expresa con un 0.Estas matrices se utilizan cuando queremos trasladar la información dada por un grafo y expresarla numéricamente.


2 unid 5 unid 10 unid

N

F

5000004000050000500000600000700000

A2 unid5 unid10 unid

N F

08,012,005,008,003,004,0

B

Pág. 57Matrices

En Matemáticas, un grafo es una colección cualquiera de puntos conectados por líneas.

Grafo Grafo simple Grafo dirigido.


Existen muchos tipos de grafos. Entre ellos, podemos destacar:

* Grafo simple: Es el grafo que no contiene ciclos, es decir, líneas que unan un punto consigo mismo, ni líneas paralelas, es decir, líneas que conectan el mismo par de puntos.

* Grafo dirigido: Es el grafo que indica un sentido de recorrido de cada línea, mediante una flecha.

Estos tipos de grafo pueden verse en la figura:

Pág. 58Matrices

Relacionadas con los grafos se pueden definir algunas matrices. Entre todas ellas, nosotros nos fijaremos en la llamada matriz de adyacencia, que es aquella formada por ceros y unos exclusivamente, de tal forma que:


0000000101001010

A B C D

A

B

C

D

* un 1 en el lugar (i,j) expresa la posibilidad de ir desde el punto de la fila i hasta el punto de la columna j mediante una línea que los una directamente.

* un 0 en el lugar (i,j) expresa la imposibilidad de ir del primer punto al segundo mediante una línea que los una directamente.

La matriz de adyacencia del grafo dirigido de la figura anterior será:

Pág. 59Matrices

1. Escribe las correspondientes matrices de adyacencia de los grafos:

2. Dibuja los grafos dirigidos que correspondan a las matrices de adyacencia:



0110000110001110

A B C D

A

B

C

D

000101010

A B C

A

B

C

Pág. 60Matrices

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