Assessment of regularization techniques used in solving the ill-posed inverse problem

of electrocardiography

Ocenitev regularizacijskih tehnik pri reševanju slabo pogojenega inverznega

problema v elektrokardiografiji

Matija Milanič*, Vojko Jazbinšek**, Rok Hren**

*Inštitut Jožef Stefan

**Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko

Klinična elektokardiografija = “srce kot dipol”

Source: Reisner A. Introduction to clinical electrocardiography.

Raziskovalna elektrokardiografija = “srce kot porazdelitev potencialov na epikardu”

ECGI (Electrocardigraphic imaging) - elektokardigrafsko slikanje: ΦB = A ΦH

• Tehnično ozadje:

– Problem formuliramo v obliki diferencialnih enačb

– Numerične rešitve• Boundary element method – BEM• Finite element method – FEM

– Regularizacija inverzne rešitve • ECGI je slabo pogojen problem

Regularizacijske tehnike

ABBB

BABBCC

A. Tikhonov-e regularizacijske metode

min { || ΦB – AΦH ||2 + λ2 || ΛΦH ||2 }, λ – regularizacijski parameter,

Λ – regularizacijski operator (Z=Identiteta, F=Gradient, S=Laplace)

B. Iterativne metode

C. Ne-kvadratne metode min { || ΦB – AΦH ||2 + λ2 || ΛΦH ||1 }

ΦB

Motivacija: Primerjava različnih regularizacijskih tehnik na istem modelu prostorskega prevodnika

z enakim izvorom v srcu

• Za prostorki prevodnik smo izbrali dve koncentrični krogli• Za tokovne izvore smo izbrali tri tokovne dipole

– Na srednji globini (D1),– Globoko glede na obe površini (D2),– Blizu obeh površin (D3)

• Iz znanih izvorov smo analitično izračunali električne potenciale v vozliščih trikotnikov

VB0 - 642 na zunanji krogli (telo), ki je sestavljena iz 1280 trikotnikov

VE0 - 362 na notranji krogli (srce), ki je sestavljena iz 720 trikotnikov

• Potencialom na zunanji krogli smo dodali šum (40 dB) in z inverzno metodo in uporabo 10-tih regularijzacijskih tehnik izračunali potenciale na epikardu (VE)

Ovrednotenje

• Natančnost rešitve smo izrazili z relativno napako in korelacijskim koeficientom

• Rezultate smo dodatno ovrednotili z lokalizacijo tokovnega dipola– s fitanjem (Levenberg-Marquatdt) smo rekonstruirali lego dipola

• Izračunali smo naslednje parametre:– RERA in CCRA, primerjavo rekonstruiranih in analitičnih potencialnih map

– REFR in CCFR, primerjavo fitanih in rekonstruiranih map

– REFA in CCFA, primerjavo fitanih in analitično izračunanih map

– ∆r, razdaljo med lego fitanega in originalnega dipola

0 2

0 2

RE

VE VE

VE0

0

VE VE

cov( , )CC

VE VE

Dipol D1

Dipol D2

Dipol D3

Zaključek• Rezultati kažejo, da dobimo najboljše ujemanje z regularizacijskimi tehnikami prvega reda

(FOT - Tikhonov ), (FCG- conjugate gradient ) in (FLSQR – least square): najmanjši RERA in najvišji CCRA, ne glede na lego izvora.

• Rezultati kažejo tudi, da dobimo najslabše ujemanje za izvor D3, ki je tako blizu površine torza kot ekpikarda. V tem primeru se potencialne mape v bližini izvora hitro spreminjajo, kar je verjetno vzrok za slabše ujemanje, saj imajo trikotniki, iz katerih so sestavljeni površini končno velikost. Povprečna razdalja med vozlišči trikotnikov je 0.1 (med 0.087 in 0.105) na epikardu in 0.15 (med 0.138 in 0.165) na telesu.

• Rezultati za globje izvore (D2) kažejo, da so regularizacije prvega reda (FOT, FCG and FLSQR) še vedno najuspešnejše, a ne tako prepričljivo boljše kot pri ostalih dveh izvorih. Ekstremi potencialnih map za globlje izvore so precej nižji od ekstremov map, pri katerih so izvori bližje površini. Zato na te rekonstrukcije bolj vpliva dodani šum.

• Primerjave fitanih in analitično izračunanih map (REFA in CCFA), ter lokalizacijskih napak (∆r) tudi kažejo na najboljše ujemanje pri mapah, ki smo jih rekonstruirali sTikhonovo regularizacijo prvega reda (∆r < 0.013 in CCFA > 0.997 za vse tri dipole). Le pri eni izjemi, t.j. za D2 dipol, smo z TV metodo dobili perfektno lokalizacijo (∆r <0.0005) in korelacijo (CCFA=0.9999) s TV (total variation) metodo.

• V tej študiji smo ocenili različne regularizacijske metode na preprostem modelu izvorov in prostorkega prevodnika. Trenutno testiramo te medote na bolj realističnih primerih in izmerjenih podatkih na fantomu in prvi rezultati so zelo obetavni.

Hvala za pozornost

Comparing various regularization techniques using the same volume conductor and

cardiac source models • Step 1:

– Measuring “cage” potentials at 602 leads

– Perfused canine heart; sinus rhythm

– 1000 Hz sampling rate; 4-7 sec recordings

• Step 2:– Computing “body surface”

potentials at 771 nodes

– BEM and FEM

Key Questions

KQ #1: Group A vs. Group B vs. Group C

KQ #2: Z vs. F vs. S

KQ #3: BEM vs. FEM

Group A Group B Group C

Forward

KQ #1

Group A Group B Group C

Forward

KQ #1

Average relative error (±SD) over the entire sinus rhythm (n = 484)

KQ #1

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

SOT (Group A) SCG (Group B) STV (Group C)

KQ #2

KQ #2

KQ #2

Average relative error over the entire sinus rhythm (n = 484)

KQ #3

0,00

0,10

0,20

0,30

0,40

0,50

0,60

BEM

FEM

4. Conclusions

Key take-aways

• Total variation methods (FTV, STV) appear most robust

• Second-order operators appear to better capture complex spatial patterns

• For isotropic and homogeneous volume conductor, BEM is superior to FEM

Strengths Limitations Future work

§ Sound physiological model of the heart

§ Unified simulation framework

§ Cage potentials were recorded at some distance from the epicardium and have therefore somewhat smoothed-out potential patterns

§ Body surface potentials were computed (rather than measured)

§ Sinus rhythm

§ Epicardial sock data§ Sites of early activation§ Infarcted hearts