Math2 Lecture
-
Upload
api-3747203 -
Category
Documents
-
view
771 -
download
1
Transcript of Math2 Lecture
Ìàòåìàòèê-2 õè÷ýýëèéí àãóóëãà
1. Åðäèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë
1.1. Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí òóõàé åðºíõèé îéëãîëò
1.2. Õÿëáàð òýãøèòãýë¿¿ä, õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë, íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë
1.3. Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë, Áåðíóëëèéí òýãøèòãýë
1.4. Ðèêêàòûí òýãøèòãýë, á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë
1.5. Äýýä ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë, ýðýìáèéã áóóðóóëæ áîäîõ òýãøèòãýë¿¿ä
1.6. Õî¸ðäóãààð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë
1.7. n ýðýìáèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë
1.8. Òîãòìîë êîýôôèöèåíòòîé n ýðýìáèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë
2. Ìàãàäëàëûí îíîë
2.1. ¯çýãäýë, ìàãàäëàëûí òîäîðõîéëîëò, êîìáèíàòîðèêèéí ýëåìåíò¿¿ä
2.2. ͺõöºëò ìàãàäëàë, ¿çýãäë¿¿äèéí ¿ë õàìààðàõ ÷àíàð, á¿òýí ìàãàäëàëûí òîìú¸î, Áàéåñûí òîìú¸î
2.3. ¯ë õàìààðàõ òóðøèëòûí äàðààëàë
2.4. Ñàíàìñàðã¿é õýìæèãäýõ¿¿í, ò¿¿íèé òàðõàëòûí õóóëü
2.5. Ñàíàìñàðã¿é âåêòîð õýìæèãäýõ¿¿í, ò¿¿íèé õàìòûí òàðõàëò
2.6. Ñàíàìñàðã¿é õýìæèãäýõ¿¿íèé òîîí ¿ç¿¿ëýëò¿¿ä
2.7. ¯¿ñãýã÷ áà õàðàêòåðèñòèê ôóíêö
2.8. Õÿçãààðûí òåîðåìóóä
3. Ìàòåìàòèê ñòàòèñòèê
3.1. Ñàíàìñàðã¿é ò¿¿âýð, ò¿¿íèé òàâèëò
3.2. Ò¿¿âðèéí òîîí ¿ç¿¿ëýëò¿¿ä,
3.3. Çàðèì ÷óõàë òàðõàëòóóä
3.4. Òàðõàëòûí ïàðàìåòðèéí ¿íýëýëò
3.5. Òàðõàëòûí õóóëèéí òóõàé òààìàãëàë øàëãàõ
3.6. Òàðõàëòóóä íýãýí òºðëèéí áàéõ òóõàé òààìàãëàë øàëãàõ
3.7. Õî¸ð õýìæýýñò ò¿¿âýð, ò¿¿âðèéí êîððåëÿöûí êîýôôèöèåíò, ðåãðåññ, õàìãèéí áàãà êâàäðàòûí àðãà
111
1.1. Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí òóõàé åðºíõèé îéëãîëò
Åðºíõèé îéëãîëò.
• Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë: ¯ë õàìààðàõ õóâüñàã÷, ò¿¿íýýñ õàìààðàõ ¿ë ìýäýãäýõ ôóíêö, óã
ôóíêöèéí ÿíç á¿ðèéí ýðýìáèéí óëàìæëàëóóäûã àãóóëñàí òýãøèòãýë.
• ¯íäñýí àíãèëàë: Õóâüñàã÷èéí òîî ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧олоннэг
áîë ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
улажлалт тухайнердийн
äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë.
• Òýãøèòãýëèéí ýðýìáý: ¿ë ìýäýãäýõ ôóíêöèéí óëàìæëàëûí õàìãèéí äýýä ýðýìáý.
• n ýðýìáèéí åðäèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëèéí åðºíõèé õýëáýð:
( )( ) 0,,,,, =′′′ nyyyyxF K (1) ýñâýë 0,,,,, 2
2=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛n
n
dxyd
dxyd
dxdyyxF K (2)
• Øèéä áóþó èíòåãðàë: îðëóóëàõàä àäèëòãàë áîëãîõ ôóíêö.
• Èíòåãðàë ìóðóé: Øèéäèéí ãðàôèê.
• Åðºíõèé øèéä: nCCC ,,, 21 K òîãòìîëóóäûí õóâüä [1]-èéã õàíãàõ ( )nCCCxy ,,,, 21 Kϕ= ôóíêö.
• Òóõàéí øèéä: nCCC ,,, 21 K òîãòìîëóóäûí òîäîðõîé ñîíãîëòîä õàðãàëçàõ øèéä.
112
Æèøýý 1. xy 2=′ , ( ) CxCxdxxyx
x+=+= ∫ 2
0
2 , 2xy = .
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
12
14
-4 -2 0 2 4
• Èíòåãðàë÷ëàõ: òýãøèòãýëèéã áîäîõ áóþó òýãøèòãýëèéí øèéä áîëîõ ôóíêöèéã îëîõ ¿éëäýë.
• Êâàäðàòóðààð èíòåãðàë÷ëàãäàõ: Èíòåãðàë÷ëàõ ¿éëäýë íü òºãñãºëºã òîîíû èíòåãðàë áîäîõ ðóó
øèëæèõ áàéõ.
113
Êîøèéí áîäëîãî
• Àíõíû íºõöºë: 00yy xx == (3) ýñâýë ( ) 00 yxy = .
• Êîøèéí áîäëîãî: Àíõíû íºõöëèéã õàíãàõ øèéäèéã îëîõ áîäëîãî.
Æèøýý 2. ( ) 002=
=′
yxy
êîøèéí áîäëîãûã áîä.
Áîäîëò: Åðºíõèé øèéä Cxy += 2 áà ( ) 0000 2 =⇒=+= CCy òóë ºãºãäñºí àíõíû íºõöëèéã
õàíãàõ òóõàéí øèéä 2xy = .
Çàõûí áîäëîãî
• Çàõûí íºõöºë: ⎩⎨⎧
=+′=+′
222
111
cybyacybya
• Çàõûí íºõöë¿¿äèéí àíãèëàë:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
======
тохиолдолнхийерө000
21
21
21
ccbbaa
¿åä
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
III төрлийннэгэнIII
çàõûí íºõöºë.
• Çàõûí áîäëîãî: Çàõûí íºõöëèéã õàíãàõ øèéäèéã îëîõ áîäëîãî.
114
Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë
• Óëàìæëàëûíõàà õóâüä áîäîãäñîí òýãøèòãýë: ( ) 0,, =′yyxF ⇒ ( )yxfy ,=′ (4).
• ×èãëýë¿¿äèéí îðîí: ( )yxf , : 2RD ⊂ .
( ) DyxM ∈, : ( )yxfxytg ,)()( =′=α íýãæ âåêòîð.
ͺ㺺 òàëààñ ( )yxM , : ìóðóéí ø¿ðãýã÷èéí ºíöãèéí êîýôôèöèåíò
( )yxftg ,)( =α .
Èéìä ( )yxM , : ø¿ðãýã÷èéí ÷èãëýë áà îðîíãèéí ÷èãëýë äàâõàöíà.
Áóñàä òîõèîëäîëä äàâõöàõã¿é.
• Èçîêëèí: Öýã á¿ðèéí õóâüä äýýðõ ÷èãëýë¿¿ä äàâõöàæ áàéõ ìóðóéã [4]-èéí èçîêëèí ãýíý.
115
Äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýëýýð áîäîãäîõ áîäëîãûí æèøýý
Æèøýý 3. 200 ìåòð êóá ýçýëõ¿¿íòýé ºðººíèé àãààðûí 0.15 õóâèéã í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèé ( 2CO )
ýçýëæ áàéâ. Àãààð öýâýðø¿¿ëýã÷ ìèíóò òóòàìä 0.04 õóâèéí í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèéí àãóóëàìæòàé 20 ìåòð
êóá àãààðûã ºãäºã. ßìàð õóãàöààíû äàðàà ºðººíèé àãààð äàõü í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèéí õýìæýý õî¸ð
äàõèí áàãàñàõ âý? Í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèé ºðººíèé àãààðò æèãä òàðõàíà ãýæ ¿ç.
( )tx - ºðººíèé 1 ìåòð êóá àãààðò àãóóëàãäàõ í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèéí õýìæýý.
tΔ õóãàöààíû äàðààõ í¿¿ðñõ¿÷ëèéí õèéí õýìæýý ( ) ( ) ( ) tttxtxttx Δ⋅⋅+Δ⋅⋅−=Δ+ 04.01.01.0 .
( ) ( ) ( ) 04.01.01.0 ⋅+⋅−=Δ
−Δ+ txt
txttx ãýýä tΔ -ð¿¿ òýì¿¿ëñýí õÿçãààð øèëæâýë ( ) 04.01.01.0)( ⋅+⋅−=′ txtx .
Åðºíõèé øèéä 1004.0)(t
eCtx−
⋅+= .
Àíõíû íºõöºë 15.0)0( =x : 1011.004.0)(t
etx−
⋅+= .
215.0)( =tx ãýäãýýñ 11≈t ìèíóò.
121
1.2. Õÿëáàð òýãøèòãýë¿¿ä, õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë, íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë
Õÿëáàð òýãøèòãýë¿¿ä
I. )(xfdxdy
= (1)
1. )(xf íü ),( ba çàâñàðò òàñðàëòã¿é ¿åä
• Åðºíõèé øèéä: Cdttfyx
x+= ∫
0
)( (2).
• Àíõíû íºõöºë ( ) 00 yxy = -èéã õàíãàõ òóõàéí øèéä: 00
)( ydttfyx
x+= ∫ (3).
2. )(xf íü ),( bac∈ öýãò òàñðàëòòàé áîëîâ÷ { }cbax \),(∈∀ öýãò òàñðàëòã¿é ¿åä
• Åðºíõèé øèéä:
1) { }cbax \),(∈ ¿åä 1 ä¿ãýýð òîõèîëäîë.
2) cx = ¿åä: )(
1xfdy
dx= . cx = øèéä.
1. Àíõíû íºõöºë ( ) 00 yxy = -èéã õàíãàõ òóõàéí øèéä:
122
1) { }cbax \),(∈ ¿åä 1 ä¿ãýýð òîõèîëäîë.
2) ±→ cx ¿åä 00
)( ydttfyx
x+= ∫ ºðãºòãºñºí èíòåãðàë.
a. Ñàðíèæ áàéâàë êîøèéí áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé.
b. Íèéëæ áàéâàë òºãñãºëã¿é îëîí øèéäòýé.
II. )(yfdxdy
= (4)
1. )(yf íü [ ]ba, äýýð òàñðàëòã¿é áºãººä 0)( ≠yf :
• Åðºíõèé øèéä: Cdttfxy
y+= ∫
0
)( (5).
2. Àíõíû íºõöºë ( ) 00 xyx = -èéã õàíãàõ òóõàéí øèéä: 00
)( xdttfxy
y+= ∫ (6).
2. )(yf íü [ ]ba, äýýð òàñðàëòã¿é áîëîâ÷ 0)( =cf áàéã
• Åðºíõèé øèéä:
1) cy ≠ ¿åä 1 òîõèîëäîë.
2) cy→ ¿åä cy = øèéä áîëíî.
123
3. Àíõíû íºõöºë ( ) 00 yxy = -èéã õàíãàõ òóõàéí øèéä:
1) cy ≠ ¿åä 1 òîõèîëäîë.
2) cy→ ¿åä [6] íü ºðãºòãºñºí èíòåãðàë áîëîõ áà óã èíòåãðàë ñàðíèæ áàéâàë êîøèéí
áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé..
Õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë
• Õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë: )()( ygxfy ⋅=′ (7) áóþó )()( ygxfdxdy
⋅= (8).
• Øèéä îðøèí áàéõ íºõöºë: ( ) [ ]( )baCxf ,∈ áà ( ) [ ]( )dcCyg ,∈ ìºí ( ) 0≠yg áàéâàë
( ) [ ] [ ]dcbayx ,,, 00 ×∈ öýãèéí õóâü äàõü êîøèéí áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé.
• Åðºíõèé øèéä: Cdxxfygdydxxf
ygdy
+=⇒⋅= ∫∫ )()(
)()(
(9).
Æèøýý 1. 5.0)1(
2
==+′
yyyyx
êîøèéí áîäëîãûã áîä.
xdx
yydy
=−2 , C
xdx
yydy
+=− ∫∫ 2 , C
xdxdy
yy+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
− ∫∫1
11
, Cxyy
=−1
áóþó 1)1( =−Cxy .
1)11(5.0 =⋅−C , 1−=C . 1)1( =+ xy , 0=y .
124
Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë
• Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãëýë: ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=′xyfy (10) áóþó ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=xyf
dxdy
(11)
• Øèéäèéã îëîõ:
Îðëóóëãà: zxy= (12)
Îðëóóëàõ: xzy = áà zxzy ′+=′ . )(zfzxz =′+
Îðëóóëãûí ¿ð ä¿í: xzzf
dxdz −
=)(
õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë.
Áîäîëò: 0)( ≠− zzf : Cxzzf
dz+=
−∫ ln)(
. zzf −)(
1-èéí ýõ ôóíêö )(zΦ ãýå.
Åðºíõèé øèéä: Cxyx
+=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛Φ ln (13).
Øèéä îðøèí áàéõ íºõöºë: ( )uf íü bua << çàâñàðò
òîäîðõîéëîãäñîí áà ( ) 0≠− zzf áàéâàë 000 bxyax <<
¿åèéí ( ) 00 yxy = êîøèéí áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé.
125
( ) 0=− zzf ¿åèéí øèéä: K,, 21 zz íü ( ) 0=− zzf òýãøèòãýëèéí øèéä¿¿ä ãýå. izz→ : ∫ − zzfdz)(
ºðãºòãºñºí èíòåãðàë ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧сарнижнийлж
áàéâàë êîøèéí áîäëîãî ⎭⎬⎫
⎩⎨⎧олонганц
øèéäòýé.
• Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýëä øèëæäýã òýãøèòãýë¿¿ä: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
=222
111
cybxacybxaf
dxdy
(14)
⎩⎨⎧
=++=++
00
222
111
cybxacybxa
(15) ñèñòåì òýãøèòãýë:
1. ( )00 , yx øèéäòýé:
Îðëóóëãà: ⎩⎨⎧
=−=−ηξ
0
0
yyxx
.
Îðëóóëàõ: dyddxd
==
ηξ
Îðëóóëãûí ¿ð ä¿í:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
+=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++++++
=ξηϕ
ξηξ
η
ηξηξ
ηξηξ
ξη
22
11
22
11
2020222
1010111
ba
baf
babaf
cybxabacybxabaf
dd
(16).
126
2. Øèéäã¿é:
Áèåëýõ íºõöºë: øóëóóíóóä ïàðàëëåë º.õ kbb
aa
==2
1
2
1 áóþó 21
21
kbbkaa
==
Ýìõýòãýõ: ( ) ( )ybxa
cybxacybxakf
dxdy
22222
122 +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++++
= ϕ .
Îðëóóëãà: zybxa =+ 22 .
Îðëóóëãûí ¿ð ä¿í: ( ) 22 azbz +=′ ϕ (17).
Æèøýý 2. 2
122 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−+
+=′
yxyy òýãøèòãýëèéã áîä.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−+
+=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−+
+=′
12
122
2
yxyf
yxyy ,
⎩⎨⎧
=−+=+
0102
yxy
, ⎩⎨⎧
−==
23
yx
, ⎩⎨⎧
=+=−ηξ
23
yx
, 2
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛+
=ηξ
ηξηdd
,
2
112 ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
=ηξξ
ηdd
, 2
12 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=ηξ
ηξdd
, z=ηξ
, ( )215.0 zzz +=′⋅+η , ( )
Czz
dz+=
−+∫ ηln
15.0 2 ,
ηCzdz ln
12 2 =
+∫ , ηηξ Carctg ln2 = , 2
322 +
−
=+ yxarctg
Cey .
131
1.3. Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë, Áåðíóëëûí òýãøèòãýë
Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë
• Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë: ( ) ( )xqyxpy =+′ (1)
• Øèéä îðøèí áàéõ íºõöºë: ( )xp , ( )xq íü ( )ba, çàâñàðò òàñðàòã¿é áîë bxa << 0 áà ∞<<∞− 0y
íºõöºë äýõ ( ) 00 yxy = (2) êîøèéí áîäëîãî öîð ãàíö øèéäòýé.
• Øèéäèéã îëîõ:
1. Íýãýí òºðëèéí áàéõ ¿åèéí øèéä: ( ) 0=+′ yxpy (3) ( ) 0: ≠−= yyxpdxdy
, ( )dxxpydy
−= ,
( )∫−
=
x
xdttp
Cey 0 (4). 0=y øèéä.
2. Êîøèéí áîäëîãûí øèéä: [1] òýãøèòãýëèéí øèéäèéã ( )∫−
=
x
xdttp
exzxy 0)()( (5) õýëáýðýýð õàéÿ.
( )( )
∫+=∫x
x
dttp
dsesqyxz
s
x
0
00)( ,
( )( )
( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫+⋅=∫∫− x
x
dttpdttp
dsesqyexy
s
x
x
x
0
000)( (6).
132
3. Åðºíõèé øèéä: ( )
( )( )
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫+⋅=∫∫− x
x
dttpdttp
dsesqCexy
s
x
x
x
0
00)( (7).
Æèøýý 1. 012 =++′ xyyx òýãøèòãýëèéã áîä.
22 :01 xxyyx =++′ , 211x
yx
y −=+′ , x
xp 1)( = áà 21)(x
xq −= . ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫−⋅=∫∫− x
x
dtt
dtt dse
sCexy
s
x
x
x
0
00
1
2
11)( .
( )xCx
dss
Cx
xyx
xln111)(
0
−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∫−= . xCxy ln−= .
Æèøýý 2. 23 yxyy−
=′ òýãøèòãýëèéã áîä.
23 yxy
dxdy
−= ,
dydx
yyx
=− 23
, yyxx
23 −=′ , yx
yx −=−′
3. ª.õ x õóâüñàã÷èéí õóâüä
yyp 3)( −= áà
yyq −=)( áàéõ íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë.
23
33
0
00)( yCydsseCeyxy
y
dtt
dtt
s
y
y
y +=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
∫−⋅=∫−∫
, 23 yCyx += . 0=y .
133
Áåðíóëëûí òýãøèòãýë
• Áåðíóëëûí òýãøèòãýë: nyxqyxpy )()( =+′ (8)
• Áîäîõ:
1. 0=n ¿åä íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýë, )()( xqyxpy =+′ .
2. 1=n ¿åä õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë, yxqyxpy )()( =+′ .
3. 1,0≠n ¿åä nyz −= 1 îðëóóëãààð øóãàìàí òýãøèòãýëä, )()1()()1( xqnzxpnz −=−+′ .
Æèøýý 3. dxxyxydy )( 2 += òýãøèòãýëèéã áîä.
yxy
dxdy 1
+= , 11 −=−′ yyx
y , 1−=n . 2yz = , 22=−′ z
xz , ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
xCxz 22 , xCxy 222 −= . ̺í 0=x
øèéä.
141
1.4. Ðèêêàòûí òýãøèòãýë, á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë
Ðèêêàòûí òýãøèòãýë
• Ðèêêàòûí òýãøèòãýë: )()()( 2 xryxqyxpy ++=′ (1)
• p , q áà r íü ],[ ba õýð÷èì äýýð òàñðàëòã¿é ôóíêö¿¿ä áàéã.
• Áîäîõ:
0)( ≡xp áîë øóãàìàí òýãøèòãýë
0)( ≡xr áîë Áåðíóëëûí òýãøèòãýë
Åðºíõèé òîõèîëäîëä êâàäðàòóðààð áîäîãääîãã¿é.
• Áîäîãääîã çàðèì òîõèîëäîëäëóóä:
p , q áà r íü òîãòìîë áîë õóâüñàã÷ íü ÿëãàãäàõ òýãøèòãýë.
cxyb
xyay ++⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=′
2
áóþó íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë.
)(1 xy øèéä ìýäýãäýæ áàéâàë zyy += 1 îðëóóëãààð Áåðíóëëûí òýãøèòãýëä øèëæèíý.
1y øèéä ìýäýãäýæ áàéâàë 1
1yy
u−
= îðëóóëãààð øóãàìàí òýãøèòãýëä øèëæèíý.
142
Æèøýý 1. 4222 =++′ yxxyyx òýãøèòãýëèéã Áåðíóëëûí òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ë.
xy 2
1 = , zx
y +=2
, 05 222 =++′ zxxzzx . 25 zzx
z −=+′ áóþó 2=n , x
xp 5)( = , 1)( −=xq áàéõ Áåðíóëëûí
òýãøèòãýë.
Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë
• Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë: 0),(),( =+ dyyxNdxyxM (2) òýãøèòãýëèéí ç¿¿í òàë íü ),( yxF
ôóíêöèéí á¿òýí äèôôåðåíöèàë, º.õ ),(),(),( yxdFdyyxNdxyxM =+ , MxF=
∂∂
, NyF=
∂∂
.
• Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë ýñýõèéã øàëãàõ: xN
yM
∂∂
=∂∂
(3)
• Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýëèéí åðºíõèé øèéäèéã îëîõ:
1. )())(,(),(),(0
ydttytMyxFyxMxF x
xϕ+=⇒=
∂∂
∫ (4)
2. ),()(),(0
yxNyMdtyy
FyxNxF x
x=′+
∂∂
=∂∂
⇒=∂∂
∫ ϕ . ∫∂∂
−=′x
xMdt
yyxNy
0
),()(ϕ (5).
3. [5]-ààñ )(yϕ ôóíêöûã îëæ [4]-ò îðëóóëñíààð ),( yxF á¿ðýí îëäîíî.
Òîäðóóëãà: [5] íü x õóâüñàã÷ààñ ¿ë õàìààðäàãã¿é.
143
• 00 )( yxy = (6) íºõöºë äýõ êîøèéí áîäëîãûí øèéä öîð ãàíö îðøèõ íºõöºë: ),( yxM , ),( yxN íü
},|),{( dycbxayxD <<<<= ìóæèä yM∂∂
, xN∂∂
íü ÿìàð íýãýí ìóæèä òàñðàëòã¿é, [3] íºõöºë
áèåëæ áàéõ.
Æèøýý 2. 0222
33
2
33=
−+
− dyxyxydx
yxyx
òýãøèòãýëèéã áîä.
2222yx
xy
yM
−−=∂∂
áà 2222yx
xy
xN
−−=∂∂
õî¸ð òýíö¿¿ [3] áèåëæ áàéíà.
yx
xy
xF 22
2
2+−=
∂∂
⇒ )()(2 22
22 y
yx
xyyxdx
yxdxyF ϕϕ ++=++−= ∫∫ ,
2
22yx
xy
yF
−=∂∂
⇒ 0)(2)(22
2
2
2=′⇒+=′+−=
∂∂ y
yx
xyy
yx
xy
xu ϕϕ ,
Cy =)(ϕ , Cyx
xyyxF ++=
22),( ,
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛≠≠
=+00
,22
yx
Cyx
xy
- åðºíõèé øèéä. ̺í 0=x áà 0=y øèéä.
144
• [2] íü òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë áèø áàéõ ¿åä:
Áîäîõ àðãà: Á¿òòýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ.
Á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ: Òîäîðõîé ôóíêöýýð ¿ðæ¿¿ëýõ.
Èíòåãðàë÷ëàã÷ ¿ðæèãäýõ¿¿í: xN
yM
∂∂
≠∂∂
áà 0),( ≠yxμ : xN
yM
∂∂
=∂
∂ )()( μμ áóþó
μμμ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=∂∂
−∂∂
yM
xNN
xMy
(7).
• Èíòåãðàë÷ëàã÷ ¿ðæèãäýõ¿¿íèéã îëîõ:
Îëîõ çàð÷èì: Òààìãààð õàéõ.
Çàðèì òóõàéí òîõèîëäîëä: Õÿëáàðààð õàéõ áîëîìæòîé:
1. )(xμμ = : )()()( x
NxN
yM
xx α
μμ
≡∂∂−
∂∂
=′
. ∫ ∫= dxxd )(αμμ
, ∫⋅= dxxeCx )()( αμ .
2. )(yμμ = : )()()( y
MyM
xN
yy β
μμ
≡∂∂−
∂∂
=′
. ∫= dyyey )()( βμ .
145
3. )(ωμμ = , ),( yxωω = : )()()( ωγωωωμ
ωμ≡
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
=′
xN
yM
yM
xN
áàéâàë çºâõºí ω -ýýñ õàìààðñàí
èíòåãðàë÷ëàã÷ ¿ðæèãäýõ¿¿í îëäîíî. ∫= ωωγωμ de )()( .
Æèøýý 3. 0)2()2( 3443 =−−− dxyxydyxxy á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ë.
432 yyxM −= , 432 xxyN −= .
( ) ( ) ( ) 2233
33
4343
33
)(11)(
)()(22
3)(6
22
)(6xyxyxyxyxy
xyxy
xxxy
yyyx
xy
xN
yM
yM
xN
==⇒′
=−=−=−−
−===
∂∂−−
∂∂−
−=
∂∂−
∂∂
∂∂−
∂∂
ωωμ
ωμωμωωωωω
0222
33
2
33=
−+
− dyxyxydx
yxyx
.
2222yx
xy
yM
−−=∂∂
áà 2222yx
xy
xN
−−=∂∂
õî¸ð òýíö¿¿ áàéãàà ó÷ðààñ á¿òýí äèôôåðåíöèàëò òýãøèòãýë.
151
1.5. Äýýä ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë, ýðýìáèéã áóóðóóëæ áîäîõ òýãøèòãýë¿¿ä
Äýýä ýðýìáèéí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë
• Åðºíõèé õýëáýð: ( )( ) 0,,,,, =′′′ nyyyyxF K (1).
• Àõëàõ ýðýìáèéíõýý óëàìæëàëûí õóâüä áîäîãäñîí òýãøèòãýë: ( ) ( )( )1,,,, −′= nn yyyxfy K (2).
• Àíõíû íºõöºë: ( ) 00 yxy = , ( ) '00 yxy =′ , . . . , ( )( ) ( )1
001 −− = nn yxy (3).
• Êîøèéí áîäëîãûí øèéä: ( )( )1,,,, −′ nyyyxf K íü { }nkbyybyyaxxG kk ,1,,, )(0
)(00 =≤−≤−≤−=
ìóæèéí öýã á¿ðèéí õóâüä
1) ( )( ) Myyyxf n ≤′ −1,,,, K
2) ( )1,,, −′ nyyy K õóâüñàã÷ á¿ðèéíõýý õóâüä Ëèïøèöèéí íºõöºë
( ) ( )( )yyLyxfyxf −⋅≤− μμ ,,,, -èéã õàíãàäàã áîë [2] [3] êîøèéí áîäëîãî
( ){ }⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ ′=≤− n
GyyMbahxx ,,,max,min0 K ìóæèä öîð ãàíö øèéäòýé áà òýð íü n -ûã äóóñòàë
ýðýìáèéí òàñðàëòã¿é óëàìæëàëòàé.
152
• Êâàäðàòóðààð áîäîãäîõ õÿëáàð òîõèîëäëóóä:
1. ( ) 0, )( =nyxF
1) ( )xfy n =)( : ( ) ( ) ( )xPdxxfdxdxxy n
n
1−+= ∫∫∫ 4434421K
2) åðºíõèé òîõèîëäîëä: ( )( )⎭⎬⎫
==
tytx
n ψϕ
)( ïàðàìåòð îðóóëíà. ( )
( )⎭⎬⎫
Φ==
nCCtytx
,,, 1 K
ϕ.
2. ( ) 0, )1()( =−nn yyF
1) ( ) ( )( )1−= nn yfy : ( ) zy n =−1 îðëóóëãààð áîäíî. ( ) ( )11 ,Cxy n φ=−
2) åðºíõèé òîõèîëäîëä: ( )( )⎭⎬⎫
==
− tyty
n
n
ψϕ
)1(
)( ïàðàìåòð îðóóëáàë
( )( )
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
Φ=
+′
= ∫nCCty
Cdtttx
,,, 1
1
Kϕψ
.
3. ( ) 0, )()( =−knn yyF
1) ( ) ( )( )knn yfy −= : ( ) zy kn =− îðëóóëãààð 1.-ä øèëæèíý.
2) åðºíõèé òîõèîëäîëä: ( )( )⎭⎬⎫
==
− tyty
kn
n
ψϕ
)(
)( ïàðàìåòð îðóóëæ 1.-ä øèëæ¿¿ëíý.
153
Ýðýìáèéã áóóðóóëæ áîäîõ òýãøèòãýë¿¿ä
1. ¯ë ìýäýãäýõ ôóíêö áîëîí ò¿¿íèé äàðààëñàí ýõíèé óëàìæëàëóóäûã àãóóëààã¿é òýãøèòãýë.
( ) 0,,, )()( =nk yyxF K zy k =)( .
Æèøýý 2: yxy ′′=′′′ 2 òýãøèòãýëèéã áîä.
zy =′′ , xzz 2=′ , 320
1
22
CxCxedtexCyxx
t ++⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−= ∫ .
2. ¯ë õàìààðàõ õóâüñàã÷èéã èë àãóóëààã¿é òýãøèòãýë.
( ) 0,,, )( =′ nyyyF K )(ypy =′ .
Æèøýý 3: ( ) 423 yyyy ′=′+′′ òýãøèòãýëèéí ýðýìáèéã áóóðóóë.
)(ypy =′ , py ′=′′ , ( ) 423 ppyp =⋅+′ .
3. ¯ë ìýäýãäýõ ôóíêö áîëîí ò¿¿íèé óëàìæëàëóóäûí õóâüä íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë.
( ) 0,,,, )( =′ nyyyxF K . ( ) ( ))()( ,,,,,,,, nmn yyyxFtytytytxF KK ′=⋅′⋅⋅ . yuy ⋅=′ .
4. ªðãºòãºñºí íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë.
( ) 0,,,, )( =′ nyyyxF K . ( ) ( ))()(1 ,,,,,,,, nmnnkkk yyyxFtytytytxtF KK ′=′⋅ −− . tex = áà tkeuy ⋅⋅= .
154
5. Òýãøèòãýëèéí ç¿¿í òàë íü ÿìàð íýãýí ôóíêöèéí á¿òýí óëàìæëàë áàéõ.
( ) ( ) 0,,,,,,,, )1()( =′Φ=′ −nn yyyxdxdyyyxF KK áàéõ òýãøèòãýëèéí ýðýìáý ( ) Cyyyx n =′Φ − )1(,,,, K ãýæ
íýãýýð áóóðíà.
6. Çàâñðûí èíòåãðàë.
( ) 0,,,, 1 =Φ nCCyx K (4)
( )( )
(5)
удаа ээр-г.м
0,,,,0,,,,
1
1
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫=Φ′=Φ
n
CCyxCCyx
n
n
M
K
K
[1] ãàð÷ áàéâàë åðºíõèé èíòåãðàë áîëíî.
( )( ) 0,,,,,,, 1 =′ + nkk CCyyyx KKφ (6). (7)
0
0
)()(
)1()(
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=∂
∂++
∂∂
=∂∂
++′∂∂
+∂∂
−
−
−
−
+
nknk
kn
kn
kn
kk
yyx
yy
yyx
φφ
φφφ
K
M
K
[1] ãàð÷ áàéâàë
çàâñðûí èíòåãðàë.
Æèøýý 4: 2
1xeCy =′′ íü yxy ′′=′′′ 2 (Æèøýý 2) òýãøèòãýëèéí çàâñðûí èíòåãðàë áîëîõûã øàëãà.
161
1.6. Õî¸ðäóãààð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë
Åðºíõèé îéëãîëò
• Òýãøèòãýëèéí õýëáýð: 0)()( =+′+′′≡ yxqyxpyLy (1).
• Åðºíõèé òîõèîëäîëä êâàäðàòðóðààð áîäîãääîãã¿é.
• Áîäîõ àðãà çàìóóä:
1. Îðëóóëãà
2. Çýðãèéí öóâàà.
Îðëóóëãûí òóñëàìæòàéãààð õÿëáàð÷ëàõ
1. Íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí óëàìæëàëûã àãóóëààã¿é òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ.
)()( xzxy α= (2) îðëóóëãà õèéâýë 0)()(2)( =⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′′
+′
⋅++′⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ′
++′′ zxpxqzxpzαα
αα
αα
(3).
02)( =′
+ααxp íºõö뺺ñ
∫=− dxxpex
)(21
)(α .
Óëìààð 42
)(2ppqxI −
′−= áàéõ 0)( =+′′ zxIz (4) òýãøèòãýëä øèëæèíý.
162
Æèøýý 1: 0)( 222 =−+′+′′ ynxyxyx Áåññåëèéí òýãøèòãýëèéã ÿìàð íýãýí òóõàéí øèéäèéã îë.
xxdx
xx 1ln
21exp1
21exp)( =⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∫−=α , xzy = , 2
2
222
2 25.0141
211)(
xn
xxxnxI −
+=−+−= ,
025.01 2
2=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −++′′ z
xnz . 5.0±=n : 0=+′′ zz òýãøèòãýë xz cos1 = áà xz sin2 = òóõàéí øèéä¿¿äòýé òóë
xxy cos
1 = áà xxy sin
2 = íü Áåññåëèéí òýãøèòãýëèéí øèéä¿¿ä áîëíî.
2. Òóõàéí øèéäèéí òóñëàìæòàéãààð íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí øóãàìàí òýãøèòãýëä
øèëæ¿¿ëýõ.
∫= dxxuyy )(1 (5).
Æèøýý 2: 0ln2 =+′−′′ yyxxyx íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí øóãàìàí òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ë.
xy =1 , ∫= dxxuxy )( , 0ln121
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −+′ u
xxu .
3. Òóõàéí øèéä ìýäýãäýæ áàéõ ¿åä Îñòðîãðàäñêèé-Ëèóâèëëûí òîìú¸îíû òóñëàìæòàéãààð áîäîõ.
1yy = , ∫−=′′
dxxpCeyyyy )(
1
1 .
163
Æèøýý 3: 0ln2 =+′−′′ yyxxyx (Æèøýý 1) òýãøèòãýëèéã áîä.
xy =1 , ∫
=′′
xxdx
Ceyyyy ln
1
1 , 211
21
11 lnyxC
yy
yyyyy
=′
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
′−′, 222
1lnln CxxCCdx
xxC
xy ++=+= ∫ ,
xCxCy 2)1(ln ++= .
4. Îðëóóëãûí òóñëàìæòàéãààð íýãä¿ãýýð ýðýìáèéí íýãýí òºðëèéí øóãàìàí òýãøèòãýëä
øèëæ¿¿ëýõ.
zyy ⋅=′ (6). )( 2zzyzyzyy +′=′+′=′′ . [1]-ä îðëóóëáàë )()(2 xqzxpzz −−−=′ Ðèêêàòûí òýãøèòãýë.
Çýðãèéí öóâààíû òóñëàìæòàéãààð èíòåãðàë÷ëàõ
1. [1] òýãøèòãýëèéí êîýôôèöèåíòóóä 0x öýãèéí îð÷èíä ãîëîìîðô áóþó íèéëäýã çýðãèéí öóâààíä
çàäàðäàã áàéã.
• ∑∞
=−=
00 )()(
n
kk xxpxp , ∑
∞
=−=
00 )()(
n
kk xxqxq (7) íèéëýëòèéí ìóæ íü ρ≤− 0xx áàéâàë
∑∞
=−=
00 )()(
n
kk xxaxy (8).
• [8] öóâààíû ka êîýôôèöèåíòóóäûã óëàìæëàëóóäûã íü [1]-ä îðëóóëæ )( 0xx − -ûí èæèë
çýðýãò¿¿äèéí ºìíºõ êîýôôèöèåíòóóäûã òýíö¿¿ëýõ çàìààð îëíî.
164
Æèøýý 4: 042 =−′+′′ yyxyx òýãøèòãýëèéí ÿìàð íýãýí òóõàéí øèéäèéã îë.
∑=
=n
k
kk xay
0, nxy = , 204: 2 =⇒=− nnxn , baxxy ++= 2 , 2xy = .
2. Êîýôôèöèåíòóóä ãîëîìîðô áèø º.õ 0xx = öýã íü [1]-èéí îíöãîé øèéä áàéâàë ýíý öýãèéí
îð÷èíä øèéä íü ãîëîìîðô áóñ áàéíà.
Æèøýý 5: 0)( 222 =−+′+′′ ynxyxyx (Æèøýý 1).
0=x îíöãîé öýã. 5.0±=n ¿åä ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−==
−K
!4!21cos 42
21
1xxx
xxy áà ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−+−== K
!5!31sin 42
21
2xxx
xxy .
• ∑∞
=−−=
000 )()()(
n
kk xxaxxxy α (9) 00 ≠c õýëáýðèéí öóâààã åðºíõèéëñºí çýðãèéí öóâàà ãýäýã.
• [1] íü 0xx = îíöãîé öýãèéí îð÷èíä [9] ìàÿãèéí øèéäòýé áàéõ õ¿ðýëöýýòýé íºõöºë íü
∑∞
=−
−=
00
0)(1)(
n
kk xxp
xxxp , ∑
∞
=−
−=
00
0)(1)(
n
kk xxq
xxxq (10) 02
120
20 ≠++ qqp áàéõ ÿâäàë þì.
• Øèéä îðøèí áàéõ ìóæ: [10] öóâààíóóä ρ≤− 0xx ìóæèä íèéëäýã áîë [9] ýíý ìóæèä íèéëíý.
• Øèéäèéã îëîõ: 1. òîõèîëäëûíõòîé àäèë. α -ûã α)( 0xx − çýðýãòèéí ºìíºõ êîýôôèöèåíò òýãòýé
òýíö¿¿ áóþó ( ) 0)1( 000 =++− qpc ααα íºõö뺺ñ îëíî.
171
1.7. n ýðýìáèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë
Åðºíõèé îéëãîëò
• Òýãøèòãýëèéí õýëáýð: )()()()()( 1)1(
1)(
0 xfyxpyxpyxpyxp nnnn =+′+++ −− K . 0)(0 ≠xp áîë
)()()()( 1)1(
1)( xfyxpyxpyxpyLy nn
nn =+′+++≡ −− K (1).
• Øèéä îðøèí áàéõ íºõöºë: ( )],[)(),(,),(),( 21 baCxfxpxpxp n ∈K áîë ],[ :)(! 0 baxxy ∈∃ ,
)1(0
)1(00
000,,, −
=
−== =′=′= n
xxn
xxxx yyyyyy K (2) [1.5 ñýäýâ].
• L îïåðàòîðûí ÷àíàð: Øóãàìàí ÷àíàðòàé. ª.õ
1. 212121 )(:, LyLyyyLyy +=+∀
2. LyyLR ⋅=⋅∈∀ ααα )(: .
• [1] òýãøèòãýëèéí áóñàä ÷àíàðóóä:
1. )()( xzxy βα += îðëóóëãàä õýëáýðýý õàäãàëíà. Ýíä, z ¿ë ìýäýãäýõ ôóíêö
2. zxy )(α= îðëóóëãààð 1−n ä¿ãýýð ýðýìáèéí óëàìæëàëûã àãóóëààã¿é òýãøèòãýëä øèëæèíý
[1.6 ñýäýâ].
172
Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýëèéí øèéä
0=Ly (3).
• [3] òýãøèòãýëèéí ÷àíàðóóä:
1. 1,1 00
)1( −===
− nkyxx
k : 0≡y
2. )()( 21 xyixyy ⋅+= øèéä ⇒ )(1 xy áà )(2 xy øèéä
3. nyyy ,,, 21 K øèéä ⇒ nn yCyCyCy +++= K2211 øèéä. Åðºíõèé øèéä áîëîõ àëáàã¿é.
Æèøýý 1: 0=+′′= yyLy . шийд sincosшийд sinшийд cos
sincos 212
1 xCxCyxyxy
xixeeyey
xi
xixi+=⇒
⎭⎬⎫
==
⇒⎭⎬⎫
+=−=′′⇒=
⋅
⋅⋅
.
4. nn yCyCyCy +++= K2211 åðºíõèé øèéä ⇐ nyyy ,,, 21 K øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì
• Øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì:
[3] òýãøèòãýëèéí øóãàìàí õàìààðàëã¿é n øèðõýã øèéäèéã ýíý òýãøèòãýëèéí øèéä¿¿äèéí
¿íäñýí ñèñòåì ãýíý.
nyyy ,,, 21 K ),( bax∈ ôóíêö¿¿ä áà 01
2 >∑=
n
iiα áàéõ
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧∃∀
i
i
αα
-¿¿äèéí õóâüä
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≠+++=+++
00
2211
2211
nn
nn
yyyyyy
αααααα
K
K áàéâàë óã ôóíêö¿¿äèéã
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
үй хамааралгшугаманай хамааралтшугаман
ãýíý.
173
Ôóíêö¿¿ä øóãàìàí õàìààðàëã¿é áàéõûã øàëãàõ: nyyy ,,, 21 K ôóíêö¿¿ä ),( ba çàâñàð äýýð
øóãàìàí õàìààðàëã¿é ⇔ ),( bax∈∀ : Âðîíñêèàí òýãýýñ ÿëãààòàé.
Âðîíñêèàí:
)1(1
)1(1
)1(1
21
21
)(
−−−
′′′=
nnn
n
n
yyy
yyyyyy
xW
L
MOMM
L
L
Æèøýý 2: xy cos1 = áà xy sin2 = [Æèøýý 1] øóãàìàí õàìààðàëòàé ýñýõèéã òîãòîî.
01sincoscossinsincos
)( 22 ≠=+=−
= xxxxxx
xW ó÷ðààñ øóãàìàí õàìààðàëã¿é.
Øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì îðøèí áàéõ íºõöºë: ( )),()(,),(),( 21 baCxpxpxp n ∈K .
Øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì ¿¿ñãýõ ôóíêö¿¿äèéí òîî: n -ýýñ èë¿¿ã¿é.
Æèøýý 3: xy cos1 = áà xy sin2 = [Æèøýý 1] øèéä øóãàìàí õàìààðàëã¿é [æèøýý 2] ó÷ðààñ
0=+′′= yyLy òýãøèòãýëèéí øèéä¿¿äèéí ¿íäñýí ñèñòåì áîëîõ áà óëìààð åðºíõèé øèéä íü
xCxCy sincos 21 += áîëíî.
174
Íýãýí òºðëèéí áóñ òýãøèòãýëèéí øèéä
[1] òýãøèòãýëèéã àâ÷ ¿çüå.
• Åðºíõèé øèéä: nnzCzCzCyy ++++= K22111 . Ýíä, nnzCzCzCz +++= K2211 íü 0=Lz -èéí
åðºíõèé øèéä, 1y íü [1]-èéí òóõàéí øèéä.
• Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýëä øèëæ¿¿ëýõ: zyy += 1 (4) îðëóóëãààð 0)(
)(
1
1 =⇒⎭⎬⎫
==+
LzxfLyxfLzLy
(5).
• Òóõàéí øèéäèéã îëîõ Òîãòìîëûã õóâüñãàõ àðãà: nn zxCzxCzxCy )()()( 2211 +++= K (7) õýëáýðýýð
õàéÿ. Òýãâýë
][
][][
)1()1(22
)1(11
)()(22
)(11
)(
22112211
22112211
−−− ′++′+′++++=
′′++′′+′′+′′++′′+′′=′′′++′+′+′++′+′=′
nnn
nnnnn
nnn
nnnn
nnnn
zCzCzCzCzCzCy
zCzCzCzCzCzCyzCzCzCzCzCzCy
KK
M
KK
KK
áà
)(])[(])[(][ 11)1()1(
111)1()1(
11)()(
11 xfzCzCxpzCzCxpzCzCzCzC nnnnnn
nnnn
nnnn
n ≡+++++++′++′+++ −−−− KKKKK
áóþó
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=′++′=′++′
=′′++′′=′++′
−−
−−
)(0
00
)1()1(11
)2()2(11
11
11
xfzCzCzCzC
zCzCzCzC
nnn
n
nnn
n
nn
nn
K
K
M
K
K
(8) ãýæ )(xCi -¿¿äèéã ñîíãîñîí ãýå.
175
)(xCi′ -¿¿äèéã îëîõ: [8] ñèñòåìýýñ öîð ãàíö óòãàòàéãààð îëäîíî. )()()(xWxWxC i
i =′ , ni ,1= . Ýíä,
)(xW íü [8]-ûí ¿íäñýí ìàòðèöûí òîäîðõîéëîã÷, )(xWi - àëãåáðèéí ã¿éöýýëò.
)(xCi -¿¿äèéã îëîõ: ii
i CdxxWxWxC += ∫ )()()( , ni ,1=
Åðºíõèé øèéä: ∑ ∫∑==
+=n
i
ii
n
iii dx
xWxWzzCy
11 )()(
.
Æèøýý 4: xyy sin4=+′′ òýãøèòãýëèéã áîä.
0=+′′= yyLy -èéí åðºíõèé øèéä íü xCxCy sincos 21 += [Æèøýý 3]. xxCxxCy sin)(cos)( 21 += ,
⎭⎬⎫
=′+−⋅′=′+′
xxCxCxCxC
sin4cos)sin(0sincos
21
21 , ⎭⎬⎫
=′−=′
xCxC2sin2
)12(cos2
2
1 , ⎭⎬⎫
+−=+−=
22
11
2cos)(22sin)(CxxCCxxxC
, xxxCxCy cos2sincos 21 −+= .
181
1.8. Òîãòìîë êîýôôèöèåíòòîé n ýðýìáèéí øóãàìàí äèôôåðåíöèàë òýãøèòãýë
Åðºíõèé îéëãîëò
• Åðºíõèé õýëáýð: )()1(1
)( xfyayayLy nnn =+++= − K (1). Ýíä, naa ,,1 K - òîãòìîë êîýôôèöèåíòóóä.
• Åðºíõèé øèéä: Õàðãàëçàõ íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýëèéí øèéäèéã îëîõ ðóó øèëæèíý [1.7 ñýäýâ].
Íýãýí òºðëèéí òýãøèòãýë
0=Ly (2)
• Òóõàéí øèéä: xey λ= (3) õýëáýðýýð õàéÿ. Ýíä, λ - ¿ë ìýäýãäýõ òîãòìîë. xkk ey λλ=)( nk ,1= áà
0)()( 11
1 =++++= −−
nnnnxx aaaeeL λλλλλ .
• Õàðàêòåðèñòèê áóþó òîäîðõîéëîã÷ òýãøèòãýë: 0)()( 11
1 =++++= −−
nnnn
n aaaP λλλλ (4).
• Õàðàêòåðèñòèê òýãøèòãýëèéí ÿçãóóðóóä:
1. n øèðõýã ÿëãààòàé áîäèò ÿçãóóðòàé
nλλ ,,1 K . xieλ ni ,1= òóõàéí øèéä¿¿ä íü øóãàìàí õàìààðàëã¿é. Ó÷èð íü
182
0Вандермонд
111
)(
)1()1(2
)1(1
21),,(
)1()1(2
)1(1
21 1
21
21
21
≠===
−−−−−− nn
nn
nx
xnn
xnxn
xn
xx
xxx
n
n
n
n
e
eee
eeeeee
xW
λλλ
λλλ
λλλ
λλλ λλ
λλλ
λλλ
λλλ
L
MOMM
L
L
L
MOMM
L
L
K
∑=
=n
i
xi
ieCy1
λ (5) ôóíêö [2]-ûí åðºíõèé øèéä.
2. ßçãóóðóóä íü ÿëãààòàé áîëîâ÷ êîìïëåêñ øèéäòýé
iba +=λ iba −=λ . xibae )( + áà xibae )( − óëìààð bxeax cos áà bxeax sin øèéä áîëíî.
Åðºíõèé øèéä bxeCbxeCeCy axn
axn
n
i
xi
i sincos1
2
1++= −
−
=∑ λ .
3. Äàâõàðäñàí ÿçãóóðóóäòàé
R∈1λ ÿçãóóð k óäàà äàâõàðäñàí ãýå. xmex 1λ 1,0 −= km òóñ á¿ð øèéä áîëíî.
Åðºíõèé øèéä ∑∑=
−
+=+=k
i
xii
n
ki
xi exCeCy i
1
1
1
1λλ .
bia ⋅+=1λ áàéâàë bxex axm cos áà bxex axm sin 1,0 −= km òóñ á¿ðòýý øèéä áîëíî.
Æèøýý 1: 0=+′′ yy òýãøèòãýëèéã áîä.
xey ⋅= λ , 012 =+λ , i±=2,1λ , xixey ix sincos +== , xCxCy sincos 21 += .
183
Íýãýí òºðëèéí áóñ òýãøèòãýë
• Íýãýí òºðëèéí áóñ òýãøèòãýëä õàðãàëçàõ òóõàéí øèéäèéã îëîõ:
I. Òîãòìîëûã õóâüñãàõ àðãà
[1.7 ñýäýâ].
II. Òîäîðõîéã¿é êîýôôèöèåíòûí àðãà
a. )()( xPexf mx⋅= α (7) m
mm xpxppxP +++= K10)( õàðèí α äóðûí êîìïëåêñ òîî áàéã
1) α õàðàêòåðèñòèê òýãøèòãýëèéí ÿçãóóð áèø áàéâàë )(xQey mx⋅= α (8) õýëáýðýýð õàéíà. Ýíä,
mmm xqxqqxQ +++= K10)( . [8]-ã [1]-ä îðëóóëáàë == ⋅ ))(( xQeLLy m
xα
)()()( 10mx
mxx xeLqxeLqeLq ⋅⋅⋅ +++= ααα K . α -ûí çýðýãò¿¿äýýñ òîãòîõ îëîí ãèø¿¿íòèéã )(αp
ãýâýë ≡++++= ∑∑∑=
⋅−
=
⋅−
=
⋅⋅m
i
ximiimm
i
xiii
i
xiix expCqexpCqepCqpeqLy0
)(2
0
2)(22
1
0
)(110 )()()()( αααα αααα K
( )mmx xpxppe +++⋅ K10
α . [9] øóãàìàí
òýãøèòãýëèéí ñèñòåìýýñ mqqq ,,, 10 K íýã
óòãàòàé îëäîíî. (9)
)()()(
)()()(
111
0)(
100
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
==′+
=++′+
−−−
mmm
mmmm
mm
ppqxppqpqx
ppqpqpqx
ααα
αααMM
K
184
2) α õàðàêòåðèñòèê òýãøèòãýëèéí k óäàà äàâõàðäñàí ÿçãóóð áàéâàë )(xQexy mxk ⋅= α
õýëáýðòýéãýýð îëäîíî.
b. ( )xxQxxPexf mmx ββα sin)(cos)()( += ⋅ )(xPm áà )(xQm -ûí ÿäàæ íýã íü m çýðãèéí îëîí ãèø¿¿íò.
Êîìïëåêñ òîîíû ýêñïîíåíöèàë õýëáýðýýð xim
xim exQexPxf )()( )(~)(~)( βαβα −+ += .
1) βα i+ õàðàêòåðèñòèê òýãøèòãýëèéí ÿçãóóð áèø áàéâàë xim
xim exQexPxy )()( )(ˆ)(ˆ)( βαβα −+ +=
õýëáýðýýð õàéíà. Ýíä, )(ˆ xPm áà )(ˆ xQm -ûí ÿäàæ íýã íü m çýðãèéí îëîí ãèø¿¿íò.
2) βα i+ õàðàêòåðèñòèê òýãøèòãýëèéí k óäàà äàâõàðäñàí ÿçãóóð áàéõ òîõèîëäîëä
( )xim
xim
k exQexPxxy )()( )(ˆ)(ˆ)( βαβα −+ += õýëáýðòýéãýýð îëäîíî.
Æèøýý 2: xyy sin4=+′′ òýãøèòãýëèéã áîä.
0=+′′ yy : xCxCy sincos 21 += [Æèøýý 1], 121 sincos yxCxCy ++= , ?1 =y ,
xxf sin4)( = : b òîõèîëäîë: 0=α , 1=β , 0=m , 0)( =xPm , 4)( =xQm ,
110 λβα ==⋅+=⋅+ iii áà 1=k ( ) ( )xabixabxbeaexy ixix sin)(cos)(11 −++=+=⇒ − [2) òîõèîëäîë],
ababi =⇒=− 0)( , xaxy cos21 = , ?=a ,
( )xxxay sincos21 −=′ , ( )xxxay cossin221 +−=′′ , 1sin4sin4 −=⇒=−=+′′ axxayy , xxy cos21 −= ,
xxxCxCy cos2sincos 21 −+= .