Math Problem Book II by KimY.li
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8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
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M a t h P r o b l e m B o o k I
c o m p i l e d b y
K i n Y . L i
D e p a r t m e n t o f M a t h e m a t i c s
H o n g K o n g U n i v e r s i t y o f S c i e n c e a n d T e c h n o l o g y
C o p y r i g h t
c
2 0 0 1 H o n g K o n g M a t h e m a t i c a l S o c i e t y I M O ( H K ) C o m m i t t e e .
P r i n t e d i n H o n g K o n g
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P r e f a c e
T h e r e a r e o v e r f t y c o u n t r i e s i n t h e w o r l d n o w a d a y s t h a t h o l d m a t h -
e m a t i c a l o l y m p i a d s a t t h e s e c o n d a r y s c h o o l l e v e l a n n u a l l y . I n H u n g a r y ,
R u s s i a a n d R o m a n i a , m a t h e m a t i c a l c o m p e t i t i o n s h a v e a l o n g h i s t o r y , d a t -
i n g b a c k t o t h e l a t e 1 8 0 0 ' s i n H u n g a r y ' s c a s e . M a n y p r o f e s s i o n a l o r a m a -
t e u r m a t h e m a t i c i a n s d e v e l o p e d t h e i r i n t e r e s t i n m a t h b y w o r k i n g o n t h e s e
o l y m p i a d p r o b l e m s i n t h e i r y o u t h s a n d s o m e i n t h e i r a d u l t h o o d s a s w e l l .
T h e p r o b l e m s i n t h i s b o o k c a m e f r o m m a n y s o u r c e s . F o r t h o s e i n v o l v e d
i n i n t e r n a t i o n a l m a t h c o m p e t i t i o n s , t h e y n o d o u b t w i l l r e c o g n i z e m a n y o f
t h e s e p r o b l e m s . W e t r i e d t o i d e n t i f y t h e s o u r c e s w h e n e v e r p o s s i b l e , b u t
t h e r e a r e s t i l l s o m e t h a t e s c a p e u s a t t h e m o m e n t . H o p e f u l l y , i n f u t u r e
e d i t i o n s o f t h e b o o k w e c a n l l i n t h e s e m i s s i n g s o u r c e s w i t h t h e h e l p o f t h e
k n o w l e d g e a b l e r e a d e r s .
T h i s b o o k i s f o r s t u d e n t s w h o h a v e c r e a t i v e m i n d s a n d a r e i n t e r e s t e d i n
m a t h e m a t i c s . T h r o u g h p r o b l e m s o l v i n g , t h e y w i l l l e a r n a g r e a t d e a l m o r e
t h a n s c h o o l c u r r i c u l a c a n o e r a n d w i l l s h a r p e n t h e i r a n a l y t i c a l s k i l l s . W e
h o p e t h e p r o b l e m s c o l l e c t e d i n t h i s b o o k w i l l s t i m u l a t e t h e m a n d s e d u c e
t h e m t o d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f w h a t m a t h e m a t i c s i s a l l a b o u t . W e h o p e
t h e i n t e r n a t i o n a l m a t h c o m m u n i t i e s s u p p o r t o u r e o r t s f o r u s i n g t h e s e b r i l -
l i a n t p r o b l e m s a n d s o l u t i o n s t o a t t r a c t o u r y o u n g s t u d e n t s t o m a t h e m a t i c s .
M o s t o f t h e p r o b l e m s h a v e b e e n u s e d i n p r a c t i c e s e s s i o n s f o r s t u d e n t s
p a r t i c i p a t e d i n t h e H o n g K o n g I M O t r a i n i n g p r o g r a m . W e a r e e s p e c i a l l y
p l e a s e d w i t h t h e e o r t s o f t h e s e s t u d e n t s . I n f a c t , t h e o r i g i n a l m o t i v a t i o n
f o r w r i t i n g t h e b o o k w a s t o r e w a r d t h e m i n s o m e w a y s , e s p e c i a l l y t h o s e w h o
w o r k e d s o h a r d t o b e c o m e r e s e r v e o r t e a m m e m b e r s . I t i s o n l y t t i n g t o
l i s t t h e i r n a m e s a l o n g w i t h t h e i r s o l u t i o n s . A g a i n t h e r e a r e u n s u n g h e r o s
i i i
w h o c o n t r i b u t e d s o l u t i o n s , b u t w h o s e n a m e s w e c a n o n l y h o p e t o i d e n t i f y
i n f u t u r e e d i t i o n s .
A s t h e t i t l e o f t h e b o o k s u g g e s t , t h i s i s a p r o b l e m b o o k . S o v e r y l i t t l e
i n t r o d u c t i o n m a t e r i a l s c a n b e f o u n d . W e d o p r o m i s e t o w r i t e a n o t h e r b o o k
p r e s e n t i n g t h e m a t e r i a l s c o v e r e d i n t h e H o n g K o n g I M O t r a i n i n g p r o g r a m .
T h i s , f o r c e r t a i n , w i l l i n v o l v e t h e d e d i c a t i o n o f m o r e t h a n o n e p e r s o n . A l s o ,
t h i s i s t h e r s t o f a s e r i e s o f p r o b l e m b o o k s w e h o p e . F r o m t h e r e s u l t s o f
t h e H o n g K o n g I M O p r e l i m i n a r y c o n t e s t s , w e c a n s e e w a v e s o f n e w c r e a t i v e
m i n d s a p p e a r i n t h e t r a i n i n g p r o g r a m c o n t i n u o u s l y a n d t h e y a r e y o u n g e r
a n d y o u n g e r . M a y b e t h e n e x t p r o b l e m b o o k i n t h e s e r i e s w i l l b e w r i t t e n b y
o u r s t u d e n t s .
F i n a l l y , w e w o u l d l i k e t o e x p r e s s d e e p g r a t i t u d e t o t h e H o n g K o n g
Q u a l i t y E d u c a t i o n F u n d , w h i c h p r o v i d e d t h e s u p p o r t t h a t m a d e t h i s b o o k
p o s s i b l e .
K i n Y . L i
H o n g K o n g
A p r i l , 2 0 0 1
i v
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A d v i c e s t o t h e R e a d e r s
T h e o n l y w a y t o l e a r n m a t h e m a t i c s i s t o d o m a t h e m a t i c s . I n t h i s
b o o k , y o u w i l l n d m a n y m a t h p r o b l e m s , r a n g i n g f r o m s i m p l e t o c h a l l e n g i n g
p r o b l e m s . Y o u m a y n o t s u c c e e d i n s o l v i n g a l l t h e p r o b l e m s . V e r y f e w
p e o p l e c a n s o l v e t h e m a l l . T h e p u r p o s e s o f t h e b o o k a r e t o e x p o s e y o u t o
m a n y i n t e r e s t i n g a n d u s e f u l m a t h e m a t i c a l i d e a s , t o d e v e l o p y o u r s k i l l s i n
a n a l y z i n g p r o b l e m s a n d m o s t i m p o r t a n t o f a l l , t o u n l e a s h y o u r p o t e n t i a l
o f c r e a t i v i t y . W h i l e t h i n k i n g a b o u t t h e p r o b l e m s , y o u m a y d i s c o v e r t h i n g s
y o u n e v e r k n o w b e f o r e a n d p u t t i n g i n y o u r i d e a s , y o u c a n c r e a t e s o m e t h i n g
y o u c a n b e p r o u d o f .
T o s t a r t t h i n k i n g a b o u t a p r o b l e m , v e r y o f t e n i t i s h e l p f u l t o l o o k a t
t h e i n i t i a l c a s e s , s u c h a s w h e n n = 2 ; 3 ; 4 ; 5 T h e s e c a s e s a r e s i m p l e e n o u g h
t o l e t y o u g e t a f e e l i n g o f t h e s i t u a t i o n s . S o m e t i m e s , t h e i d e a s i n t h e s e
c a s e s a l l o w y o u t o s e e a p a t t e r n , w h i c h c a n s o l v e t h e w h o l e p r o b l e m . F o r
g e o m e t r y p r o b l e m s , a l w a y s d r a w a p i c t u r e a s a c c u r a t e a s p o s s i b l e r s t .
H a v e p r o t r a c t o r , r u l e r a n d c o m p a s s r e a d y t o m e a s u r e a n g l e s a n d l e n g t h s .
O t h e r t h i n g s y o u c a n t r y i n t a c k l i n g a p r o b l e m i n c l u d e c h a n g i n g t h e
g i v e n c o n d i t i o n s a l i t t l e o r e x p e r i m e n t i n g w i t h s o m e s p e c i a l c a s e s r s t .
S o m e t i m e s m a y b e y o u c a n e v e n g u e s s t h e a n s w e r s f r o m s o m e c a s e s , t h e n
y o u c a n s t u d y t h e f o r m o f t h e a n s w e r s a n d t r a c e b a c k w a r d .
F i n a l l y , w h e n y o u g u r e o u t t h e s o l u t i o n s , d o n ' t j u s t s t o p t h e r e . Y o u
s h o u l d t r y t o g e n e r a l i z e t h e p r o b l e m , s e e h o w t h e g i v e n f a c t s a r e n e c e s s a r y
f o r s o l v i n g t h e p r o b l e m . T h i s m a y h e l p y o u t o s o l v e r e l a t e d p r o b l e m s l a t e r
o n . A l w a y s t r y t o w r i t e o u t y o u r s o l u t i o n i n a c l e a r a n d c o n c i s e m a n n e r .
A l o n g t h e w a y , y o u w i l l p o l i s h t h e a r g u m e n t a n d s e e t h e s t e p s o f t h e s o -
l u t i o n s m o r e c l e a r l y . T h i s h e l p s y o u t o d e v e l o p s t r a t e g i e s f o r d e a l i n g w i t h
o t h e r p r o b l e m s .
v
T h e s o l u t i o n s p r e s e n t e d i n t h e b o o k a r e b y n o m e a n s t h e o n l y w a y s
t o d o t h e p r o b l e m s . I f y o u h a v e a n i c e e l e g a n t s o l u t i o n t o a p r o b l e m a n d
w o u l d l i k e t o s h a r e w i t h o t h e r s ( i n f u t u r e e d i t i o n s o f t h i s b o o k ) , p l e a s e s e n d
i t t o u s b y e m a i l a t m a k y l i @ u s t . h k . A l s o i f y o u h a v e s o m e t h i n g y o u c a n n o t
u n d e r s t a n d , p l e a s e f e e l f r e e t o c o n t a c t u s b y e m a i l . W e h o p e t h i s b o o k w i l l
i n c r e a s e y o u r i n t e r e s t i n m a t h .
F i n a l l y , w e w i l l o e r o n e l a s t a d v i c e . D o n ' t s t a r t w i t h p r o b l e m 1 . R e a d
t h e s t a t e m e n t s o f t h e p r o b l e m s a n d s t a r t w i t h t h e o n e s t h a t i n t e r e s t y o u t h e
m o s t . W e r e c o m m e n d i n s p e c t i n g t h e l i s t o f m i s c e l l a n e o u s p r o b l e m s r s t .
H a v e a f u n t i m e .
v i
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T a b l e o f C o n t e n t s
P r e f a c e : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : i i i
A d v i c e s t o t h e R e a d e r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : v
C o n t r i b u t o r s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : i x
A l g e b r a P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1
G e o m e t r y P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 0
N u m b e r T h e o r y P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 8
C o m b i n a t o r i c s P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 4
M i s c e l l a n e o u s P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 2 8
S o l u t i o n s t o A l g e b r a P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 3 5
S o l u t i o n s t o G e o m e t r y P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 6 9
S o l u t i o n s t o N u m b e r T h e o r y P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 9 8
S o l u t i o n s t o C o m b i n a t o r i c s P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 2 1
S o l u t i o n s t o M i s c e l l a n e o u s P r o b l e m s : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : 1 3 5
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C o n t r i b u t o r s
C h a n K i n H a n g , 1 9 9 8 , 1 9 9 9 , 2 0 0 0 , 2 0 0 1 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
C h a n M i n g C h i u , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r
C h a o K h e k L u n , 2 0 0 1 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
C h e n g K e i T s i , 2 0 0 1 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
C h e u n g P o k M a n , 1 9 9 7 , 1 9 9 8 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
F a n W a i T o n g , 2 0 0 0 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
F u n g H o Y i n , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r
H o W i n g Y i p , 1 9 9 4 , 1 9 9 5 , 1 9 9 6 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
K e e W i n g T a o , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r
L a m P o L e u n g , 1 9 9 9 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r
L a m P e i F u n g , 1 9 9 2 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
L a u L a p M i n g , 1 9 9 7 , 1 9 9 8 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
L a w K a H o , 1 9 9 8 , 1 9 9 9 , 2 0 0 0 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
L a w S i u L u n g , 1 9 9 6 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
L e e T a k W i n g , 1 9 9 3 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r
L e u n g W a i Y i n g , 2 0 0 1 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
L e u n g W i n g C h u n g , 1 9 9 7 , 1 9 9 8 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
M o k T z e T a o , 1 9 9 5 , 1 9 9 6 , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
N g K a M a n , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r
N g K a W i n g , 1 9 9 9 , 2 0 0 0 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
P o o n W a i H o i , 1 9 9 4 , 1 9 9 5 , 1 9 9 6 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
P o o n W i n g C h i , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r
T a m S i u L u n g , 1 9 9 9 H o n g K o n g t e a m r e s e r v e m e m b e r
T o K a r K e u n g , 1 9 9 1 , 1 9 9 2 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
W o n g C h u n W a i , 1 9 9 9 , 2 0 0 0 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
W o n g H i m T i n g , 1 9 9 4 , 1 9 9 5 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
Y u K a C h u n , 1 9 9 7 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
Y u n g F a i , 1 9 9 3 H o n g K o n g t e a m m e m b e r
i x
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P r o b l e m s
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A l g e b r a P r o b l e m s
P o l y n o m i a l s
1 . ( C r u x M a t h e m a t i c o r u m , P r o b l e m 7 ) F i n d ( w i t h o u t c a l c u l u s ) a f t h
d e g r e e p o l y n o m i a l p ( x ) s u c h t h a t p ( x ) + 1 i s d i v i s i b l e b y ( x ? 1 )
3
a n d
p ( x ) ? 1 i s d i v i s i b l e b y ( x + 1 )
3
2 . A p o l y n o m i a l P ( x ) o f t h e n - t h d e g r e e s a t i s e s P ( k ) = 2
k
f o r k =
0 ; 1 ; 2 ; : : : ; n : F i n d t h e v a l u e o f P ( n + 1 )
3 . ( 1 9 9 9 P u t n a m E x a m ) L e t P ( x ) b e a p o l y n o m i a l w i t h r e a l c o e c i e n t s
s u c h t h a t P ( x ) 0 f o r e v e r y r e a l x P r o v e t h a t
P ( x ) = f
1
( x )
2
+ f
2
( x )
2
+ + f
n
( x )
2
f o r s o m e p o l y n o m i a l s f
1
( x ) ; f
2
( x ) ; : : : ; f
n
( x ) w i t h r e a l c o e c i e n t s .
4 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) I s i t p o s s i b l e t o n d t h r e e q u a d r a t i c
p o l y n o m i a l s f ( x ) ; g ( x ) ; h ( x ) s u c h t h a t t h e e q u a t i o n f ( g ( h ( x ) ) ) = 0 h a s
t h e e i g h t r o o t s 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8
5 . ( 1 9 6 8 P u t n a m E x a m ) D e t e r m i n e a l l p o l y n o m i a l s w h o s e c o e c i e n t s a r e
a l l 1 t h a t h a v e o n l y r e a l r o o t s .
6 . ( 1 9 9 0 P u t n a m E x a m ) I s t h e r e a n i n n i t e s e q u e n c e a
0
; a
1
; a
2
; : : : o f
n o n z e r o r e a l n u m b e r s s u c h t h a t f o r n = 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; t h e p o l y n o m i a l
P
n
( x ) = a
0
+ a
1
x + a
2
x
2
+ + a
n
x
n
h a s e x a c t l y n d i s t i n c t r e a l r o o t s
7 . ( 1 9 9 1 A u s t r i a n - P o l i s h M a t h C o m p e t i t i o n ) L e t P ( x ) b e a p o l y n o m i a l
w i t h r e a l c o e c i e n t s s u c h t h a t P ( x ) 0 f o r 0 x 1 S h o w t h a t
t h e r e a r e p o l y n o m i a l s A ( x ) ; B ( x ) ; C ( x ) w i t h r e a l c o e c i e n t s s u c h t h a t
( a ) A ( x ) 0 ; B ( x ) 0 ; C ( x ) 0 f o r a l l r e a l x a n d
( b ) P ( x ) = A ( x ) + x B ( x ) + ( 1 ? x ) C ( x ) f o r a l l r e a l x
( F o r e x a m p l e , i f P ( x ) = x ( 1 ? x ) ; t h e n P ( x ) = 0 + x ( 1 ? x )
2
+ ( 1 ? x ) x
2
)
1
8 . ( 1 9 9 3 I M O ) L e t f ( x ) = x
n
+ 5 x
n ? 1
+ 3 ; w h e r e n > 1 i s a n i n t e g e r .
P r o v e t h a t f ( x ) c a n n o t b e e x p r e s s e d a s a p r o d u c t o f t w o p o l y n o m i a l s ,
e a c h h a s i n t e g e r c o e c i e n t s a n d d e g r e e a t l e a s t 1 .
9 . P r o v e t h a t i f t h e i n t e g e r a i s n o t d i v i s i b l e b y 5 , t h e n f ( x ) = x
5
? x + a
c a n n o t b e f a c t o r e d a s t h e p r o d u c t o f t w o n o n c o n s t a n t p o l y n o m i a l s w i t h
i n t e g e r c o e c i e n t s .
1 0 . ( 1 9 9 1 S o v i e t M a t h O l y m p i a d ) G i v e n 2 n d i s t i n c t n u m b e r s a
1
; a
2
; : : : ; a
n
;
b
1
; b
2
; : : : ; b
n
; a n n n t a b l e i s l l e d a s f o l l o w s : i n t o t h e c e l l i n t h e i - t h
r o w a n d j - t h c o l u m n i s w r i t t e n t h e n u m b e r a
i
+ b
j
P r o v e t h a t i f t h e
p r o d u c t o f e a c h c o l u m n i s t h e s a m e , t h e n a l s o t h e p r o d u c t o f e a c h r o w
i s t h e s a m e .
1 1 . L e t a
1
; a
2
; : : : ; a
n
a n d b
1
; b
2
; : : : ; b
n
b e t w o d i s t i n c t c o l l e c t i o n s o f n p o s -
i t i v e i n t e g e r s , w h e r e e a c h c o l l e c t i o n m a y c o n t a i n r e p e t i t i o n s . I f t h e t w o
c o l l e c t i o n s o f i n t e g e r s a
i
+ a
j
( 1 i < j n ) a n d b
i
+ b
j
( 1 i < j n )
a r e t h e s a m e , t h e n s h o w t h a t n i s a p o w e r o f 2 .
R e c u r r e n c e R e l a t i o n s
1 2 . T h e s e q u e n c e x
n
i s d e n e d b y
x
1
= 2 ; x
n + 1
=
2 + x
n
1 ? 2 x
n
; n = 1 ; 2 ; 3 ; : : : :
P r o v e t h a t x
n
6=
1
2
o r 0 f o r a l l n a n d t h e t e r m s o f t h e s e q u e n c e a r e a l l
d i s t i n c t .
1 3 . ( 1 9 8 8 N a n c h a n g C i t y M a t h C o m p e t i t i o n ) D e n e a
1
= 1 ; a
2
= 7 a n d
a
n + 2
=
a
2
n + 1
? 1
a
n
f o r p o s i t i v e i n t e g e r n P r o v e t h a t 9 a
n
a
n + 1
+ 1 i s a
p e r f e c t s q u a r e f o r e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r n
1 4 . ( P r o p o s e d b y B u l g a r i a f o r 1 9 8 8 I M O ) D e n e a
0
= 0 ; a
1
= 1 a n d a
n
=
2 a
n ? 1
+ a
n ? 2
f o r n > 1 S h o w t h a t f o r p o s i t i v e i n t e g e r k ; a
n
i s d i v i s i b l e
b y 2
k
i f a n d o n l y i f n i s d i v i s i b l e b y 2
k
2
-
8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
8/79
1 5 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m E 2 9 9 8 ) L e t x a n d y b e
d i s t i n c t c o m p l e x n u m b e r s s u c h t h a t
x
n
? y
n
x ? y
i s a n i n t e g e r f o r s o m e
f o u r c o n s e c u t i v e p o s i t i v e i n t e g e r s n S h o w t h a t
x
n
? y
n
x ? y
i s a n i n t e g e r
f o r a l l p o s i t i v e i n t e g e r s n
I n e q u a l i t i e s
1 6 . F o r r e a l n u m b e r s a
1
; a
2
; a
3
; : : : ; i f a
n ? 1
+ a
n + 1
2 a
n
f o r n = 2 ; 3 ; : : : ;
t h e n p r o v e t h a t
A
n ? 1
+ A
n + 1
2 A
n
f o r n = 2 ; 3 ; : : : ;
w h e r e A
n
i s t h e a v e r a g e o f a
1
; a
2
; : : : ; a
n
1 7 . L e t a ; b ; c > 0 a n d a b c 1 P r o v e t h a t
a
c
+
b
a
+
c
b
a + b + c
1 8 . ( 1 9 8 2 M o s c o w M a t h O l y m p i a d ) U s e t h e i d e n t i t y 1
3
+ 2
3
+ + n
3
=
n
2
( n + 1 )
2
4
t o p r o v e t h a t f o r d i s t i n c t p o s i t i v e i n t e g e r s a
1
; a
2
; : : : ; a
n
;
( a
7
1
+ a
7
2
+ + a
7
n
) + ( a
5
1
+ a
5
2
+ + a
5
n
) 2 ( a
3
1
+ a
3
2
+ + a
3
n
)
2
C a n e q u a l i t y o c c u r
1 9 . ( 1 9 9 7 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t a
1
a
n
a
n + 1
= 0 b e a
s e q u e n c e o f r e a l n u m b e r s . P r o v e t h a t
v
u
u
t
n
X
k = 1
a
k
n
X
k = 1
p
k (
p
a
k
?
p
a
k + 1
)
3
2 0 . ( 1 9 9 4 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t ) F o r 0 a b c d e a n d
a + b + c + d + e = 1 ; s h o w t h a t
a d + d c + c b + b e + e a
1
5
2 1 . ( 1 9 8 5 W u h u C i t y M a t h C o m p e t i t i o n ) L e t x ; y ; z b e r e a l n u m b e r s s u c h
t h a t x + y + z = 0 S h o w t h a t
6 ( x
3
+ y
3
+ z
3
)
2
( x
2
+ y
2
+ z
2
)
3
2 2 . ( 1 9 9 9 I M O ) L e t n b e a x e d i n t e g e r , w i t h n 2
( a ) D e t e r m i n e t h e l e a s t c o n s t a n t C s u c h t h a t t h e i n e q u a l i t y
X
1 i < j n
x
i
x
j
( x
2
i
+ x
2
j
) C
X
1 i n
x
i
4
h o l d s f o r a l l n o n n e g a t i v e r e a l n u m b e r s x
1
; x
2
; : : : ; x
n
( b ) F o r t h i s c o n s t a n t C ; d e t e r m i n e w h e n e q u a l i t y h o l d s .
2 3 . ( 1 9 9 5 B u l g a r i a n M a t h C o m p e t i t i o n ) L e t n 2 a n d 0 x
i
1 f o r
i = 1 ; 2 ; : : : ; n : P r o v e t h a t
( x
1
+ x
2
+ + x
n
) ? ( x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ + x
n ? 1
x
n
+ x
n
x
1
)
h
n
2
i
;
w h e r e x ] i s t h e g r e a t e s t i n t e g e r l e s s t h a n o r e q u a l t o x
2 4 . F o r e v e r y t r i p l e t o f f u n c t i o n s f ; g ; h : 0 ; 1 ] ! R ; p r o v e t h a t t h e r e a r e
n u m b e r s x ; y ; z i n 0 ; 1 ] s u c h t h a t
j f ( x ) + g ( y ) + h ( z ) ? x y z j
1
3
2 5 . ( P r o p o s e d b y G r e a t B r i t a i n f o r 1 9 8 7 I M O ) I f x ; y ; z a r e r e a l n u m b e r s
s u c h t h a t x
2
+ y
2
+ z
2
= 2 ; t h e n s h o w t h a t x + y + z x y z + 2
4
-
8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
9/79
2 6 . ( P r o p o s e d b y U S A f o r 1 9 9 3 I M O ) P r o v e t h a t f o r p o s i t i v e r e a l n u m b e r s
a ; b ; c ; d ;
a
b + 2 c + 3 d
+
b
c + 2 d + 3 a
+
c
d + 2 a + 3 b
+
d
a + 2 b + 3 c
2
3
2 7 . L e t a
1
; a
2
; : : : ; a
n
a n d b
1
; b
2
; : : : ; b
n
b e 2 n p o s i t i v e r e a l n u m b e r s s u c h
t h a t
( a ) a
1
a
2
a
n
a n d
( b ) b
1
b
2
b
k
a
1
a
2
a
k
f o r a l l k ; 1 k n
S h o w t h a t b
1
+ b
2
+ + b
n
a
1
+ a
2
+ + a
n
2 8 . ( P r o p o s e d b y G r e e c e f o r 1 9 8 7 I M O ) L e t a ; b ; c > 0 a n d m b e a p o s i t i v e
i n t e g e r , p r o v e t h a t
a
m
b + c
+
b
m
c + a
+
c
m
a + b
3
2
a + b + c
3
m ? 1
2 9 . L e t a
1
; a
2
; : : : ; a
n
b e d i s t i n c t p o s i t i v e i n t e g e r s , s h o w t h a t
a
1
2
+
a
2
8
+ +
a
n
n 2
n
1 ?
1
2
n
3 0 . ( 1 9 8 2 W e s t G e r m a n M a t h O l y m p i a d ) I f a
1
; a
2
; : : : ; a
n
> 0 a n d a =
a
1
+ a
2
+ + a
n
; t h e n s h o w t h a t
n
X
i = 1
a
i
2 a ? a
i
n
2 n ? 1
3 1 . P r o v e t h a t i f a ; b ; c > 0 ; t h e n
a
3
b + c
+
b
3
c + a
+
c
3
a + b
a
2
+ b
2
+ c
2
2
3 2 . L e t a ; b ; c ; d > 0 a n d
1
1 + a
4
+
1
1 + b
4
+
1
1 + c
4
+
1
1 + d
4
= 1
5
P r o v e t h a t a b c d 3
3 3 . ( D u e t o P a u l E r d o s ) E a c h o f t h e p o s i t i v e i n t e g e r s a
1
; : : : ; a
n
i s l e s s t h a n
1 9 5 1 . T h e l e a s t c o m m o n m u l t i p l e o f a n y t w o o f t h e s e i s g r e a t e r t h a n
1 9 5 1 . S h o w t h a t
1
a
1
+ +
1
a
n
< 1 +
n
1 9 5 1
3 4 . A s e q u e n c e ( P
n
) o f p o l y n o m i a l s i s d e n e d r e c u r s i v e l y a s f o l l o w s :
P
0
( x ) = 0 a n d f o r n 0 ; P
n + 1
( x ) = P
n
( x ) +
x ? P
n
( x )
2
2
P r o v e t h a t
0
p
x ? P
n
( x )
2
n + 1
f o r e v e r y n o n n e g a t i v e i n t e g e r n a n d a l l x i n 0 ; 1 ]
3 5 . ( 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t P ( x ) b e t h e r e a l p o l y n o m i a l f u n c -
t i o n , P ( x ) = a x
3
+ b x
2
+ c x + d P r o v e t h a t i f j P ( x ) j 1 f o r a l l x s u c h
t h a t j x j 1 ; t h e n
j a j + j b j + j c j + j d j 7
3 6 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m 4 4 2 6 ) L e t P ( z ) = a z
3
+
b z
2
+ c z + d ; w h e r e a ; b ; c ; d a r e c o m p l e x n u m b e r s w i t h j a j = j b j = j c j =
j d j = 1 S h o w t h a t j P ( z ) j
p
6 f o r a t l e a s t o n e c o m p l e x n u m b e r z
s a t i s f y i n g j z j = 1
3 7 . ( 1 9 9 7 H u n g a r i a n - I s r a e l i M a t h C o m p e t i t i o n ) F i n d a l l r e a l n u m b e r s
w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t y : f o r a n y p o s i t i v e i n t e g e r n ; t h e r e e x i s t s a n
i n t e g e r m s u c h t h a t
?
m
n
1
F u n c t i o n a l E q u a t i o n s
3 9 . F i n d a l l p o l y n o m i a l s f s a t i s f y i n g f ( x
2
) + f ( x ) f ( x + 1 ) = 0
4 0 . ( 1 9 9 7 G r e e k M a t h O l y m p i a d ) L e t f : ( 0 ; 1 ) ! R b e a f u n c t i o n s u c h
t h a t
( a ) f i s s t r i c t l y i n c r e a s i n g ,
( b ) f ( x ) > ?
1
x
f o r a l l x > 0 a n d
( c ) f ( x ) f ( f ( x ) +
1
x
) = 1 f o r a l l x > 0
F i n d f ( 1 )
4 1 . ( 1 9 7 9 E o t v o s - K u r s c h a k M a t h C o m p e t i t i o n ) T h e f u n c t i o n f i s d e n e d
f o r a l l r e a l n u m b e r s a n d s a t i s e s f ( x ) x a n d f ( x + y ) f ( x ) + f ( y )
f o r a l l r e a l x ; y : P r o v e t h a t f ( x ) = x f o r e v e r y r e a l n u m b e r x
4 2 . ( P r o p o s e d b y I r e l a n d f o r 1 9 8 9 I M O ) S u p p o s e f : R ! R s a t i s e s
f ( 1 ) = 1 ; f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) f o r a l l a ; b 2 R a n d f ( x ) f (
1
x
) = 1 f o r
x 6= 0 S h o w t h a t f ( x ) = x f o r a l l x
4 3 . ( 1 9 9 2 P o l i s h M a t h O l y m p i a d ) L e t Q
+
b e t h e p o s i t i v e r a t i o n a l n u m b e r s .
D e t e r m i n e a l l f u n c t i o n s f : Q
+
! Q
+
s u c h t h a t f ( x + 1 ) = f ( x ) + 1
a n d f ( x
3
) = f ( x )
3
f o r e v e r y x 2 Q
+
4 4 . ( 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t R d e n o t e t h e r e a l n u m b e r s a n d
f : R ! ? 1 ; 1 ] s a t i s f y
f
x +
1 3
4 2
+ f ( x ) = f
x +
1
6
+ f
x +
1
7
f o r e v e r y x 2 R S h o w t h a t f i s a p e r i o d i c f u n c t i o n , i . e . t h e r e i s a
n o n z e r o r e a l n u m b e r T s u c h t h a t f ( x + T ) = f ( x ) f o r e v e r y x 2 R
4 5 . L e t N d e n o t e t h e p o s i t i v e i n t e g e r s . S u p p o s e s : N ! N i s a n i n c r e a s i n g
f u n c t i o n s u c h t h a t s ( s ( n ) ) = 3 n f o r a l l n 2 N F i n d a l l p o s s i b l e v a l u e s
o f s ( 1 9 9 7 )
7
4 6 . L e t N b e t h e p o s i t i v e i n t e g e r s . I s t h e r e a f u n c t i o n f : N ! N s u c h t h a t
f
( 1 9 9 6 )
( n ) = 2 n f o r a l l n 2 N ; w h e r e f
( 1 )
( x ) = f ( x ) a n d f
( k + 1 )
( x ) =
f ( f
( k )
( x ) )
4 7 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m E 9 8 4 ) L e t R d e n o t e t h e
r e a l n u m b e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t f ( f ( x ) ) = x
2
? 2
o r s h o w n o s u c h f u n c t i o n c a n e x i s t .
4 8 . L e t R b e t h e r e a l n u m b e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t f o r
a l l r e a l n u m b e r s x a n d y ;
f
?
x f ( y ) + x
= x y + f ( x )
4 9 . ( 1 9 9 9 I M O ) D e t e r m i n e a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t
f ( x ? f ( y ) ) = f ( f ( y ) ) + x f ( y ) + f ( x ) ? 1
f o r a l l x ; y i n R
5 0 . ( 1 9 9 5 B y e l o r u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) L e t R b e t h e r e a l n u m b e r s . F i n d
a l l f u n c t i o n s f : R ! R s u c h t h a t
f ( f ( x + y ) ) = f ( x + y ) + f ( x ) f ( y ) ? x y
f o r a l l x ; y 2 R
5 1 . ( 1 9 9 3 C z e c h o s l o v a k M a t h O l y m p i a d ) L e t Z b e t h e i n t e g e r s . F i n d a l l
f u n c t i o n s f : Z ! Z s u c h t h a t
f ( ? 1 ) = f ( 1 ) a n d f ( x ) + f ( y ) = f ( x + 2 x y ) + f ( y ? 2 x y )
f o r a l l i n t e g e r s x ; y :
5 2 . ( 1 9 9 5 S o u t h K o r e a n M a t h O l y m p i a d ) L e t A b e t h e s e t o f n o n - n e g a t i v e
i n t e g e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : A ! A s a t i s f y i n g t h e f o l l o w i n g t w o
c o n d i t i o n s :
( a ) F o r a n y m ; n 2 A ; 2 f ( m
2
+ n
2
) = ( f ( m ) )
2
+ ( f ( n ) )
2
8
-
8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
11/79
( b ) F o r a n y m ; n 2 A w i t h m n ; f ( m
2
) f ( n
2
)
5 3 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m E 2 1 7 6 ) L e t Q d e n o t e t h e
r a t i o n a l n u m b e r s . F i n d a l l f u n c t i o n s f : Q ! Q s u c h t h a t
f ( 2 ) = 2 a n d f
x + y
x ? y
=
f ( x ) + f ( y )
f ( x ) ? f ( y )
f o r x 6= y
5 4 . ( M a t h e m a t i c s M a g a z i n e , P r o b l e m 1 5 5 2 ) F i n d a l l f u n c t i o n s f : R ! R
s u c h t h a t
f ( x + y f ( x ) ) = f ( x ) + x f ( y ) f o r a l l x ; y i n R
M a x i m u m / M i n i m u m
5 5 . ( 1 9 8 5 A u s t r i a n M a t h O l y m p i a d ) F o r p o s i t i v e i n t e g e r s n ; d e n e
f ( n ) = 1
n
+ 2
n ? 1
+ 3
n ? 2
+ + ( n ? 2 )
3
+ ( n ? 1 )
2
+ n
W h a t i s t h e m i n i m u m o f f ( n + 1 ) = f ( n )
5 6 . ( 1 9 9 6 P u t n a m E x a m ) G i v e n t h a t f x
1
; x
2
; : : : ; x
n
g = f 1 ; 2 ; : : : ; n g ; n d
t h e l a r g e s t p o s s i b l e v a l u e o f x
1
x
2
+ x
2
x
3
+ + x
n ? 1
x
n
+ x
n
x
1
i n t e r m s
o f n ( w i t h n 2 )
9
G e o m e t r y P r o b l e m s
5 7 . ( 1 9 9 5 B r i t i s h M a t h O l y m p i a d ) T r i a n g l e A B C h a s a r i g h t a n g l e a t C
T h e i n t e r n a l b i s e c t o r s o f a n g l e s B A C a n d A B C m e e t B C a n d C A
a t P a n d Q r e s p e c t i v e l y . T h e p o i n t s M a n d N a r e t h e f e e t o f t h e
p e r p e n d i c u l a r s f r o m P a n d Q t o A B F i n d a n g l e M C N :
5 8 . ( 1 9 8 8 L e n i n g r a d M a t h O l y m p i a d ) S q u a r e s A B D E a n d B C F G a r e
d r a w n o u t s i d e o f t r i a n g l e A B C : P r o v e t h a t t r i a n g l e A B C i s i s o s c e l e s i f
D G i s p a r a l l e l t o A C
5 9 A B i s a c h o r d o f a c i r c l e , w h i c h i s n o t a d i a m e t e r . C h o r d s A
1
B
1
a n d
A
2
B
2
i n t e r s e c t a t t h e m i d p o i n t P o f A B L e t t h e t a n g e n t s t o t h e c i r c l e
a t A
1
a n d B
1
i n t e r s e c t a t C
1
S i m i l a r l y , l e t t h e t a n g e n t s t o t h e c i r c l e
a t A
2
a n d B
2
i n t e r s e c t a t C
2
P r o v e t h a t C
1
C
2
i s p a r a l l e l t o A B
6 0 . ( 1 9 9 1 H u n a n P r o v i n c e M a t h C o m p e t i t i o n ) T w o c i r c l e s w i t h c e n t e r s O
1
a n d O
2
i n t e r s e c t a t p o i n t s A a n d B A l i n e t h r o u g h A i n t e r s e c t s t h e
c i r c l e s w i t h c e n t e r s O
1
a n d O
2
a t p o i n t s Y ; Z ; r e s p e c t i v e l y . L e t t h e
t a n g e n t s a t Y a n d Z i n t e r s e c t a t X a n d l i n e s Y O
1
a n d Z O
2
i n t e r s e c t
a t P L e t t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 O
1
O
2
B h a v e c e n t e r a t O a n d i n t e r s e c t
l i n e X B a t B a n d Q P r o v e t h a t P Q i s a d i a m e t e r o f t h e c i r c u m c i r c l e
o f 4 O
1
O
2
B
6 1 . ( 1 9 8 1 B e i j i n g C i t y M a t h C o m p e t i t i o n ) I n a d i s k w i t h c e n t e r O ; t h e r e
a r e f o u r p o i n t s s u c h t h a t t h e d i s t a n c e b e t w e e n e v e r y p a i r o f t h e m i s
g r e a t e r t h a n t h e r a d i u s o f t h e d i s k . P r o v e t h a t t h e r e i s a p a i r o f p e r -
p e n d i c u l a r d i a m e t e r s s u c h t h a t e x a c t l y o n e o f t h e f o u r p o i n t s l i e s i n s i d e
e a c h o f t h e f o u r q u a r t e r d i s k s f o r m e d b y t h e d i a m e t e r s .
6 2 . T h e l e n g t h s o f t h e s i d e s o f a q u a d r i l a t e r a l a r e p o s i t i v e i n t e g e r s . T h e
l e n g t h o f e a c h s i d e d i v i d e s t h e s u m o f t h e o t h e r t h r e e l e n g t h s . P r o v e
t h a t t w o o f t h e s i d e s h a v e t h e s a m e l e n g t h .
6 3 . ( 1 9 8 8 S i c h u a n P r o v i n c e M a t h C o m p e t i t i o n ) S u p p o s e t h e l e n g t h s o f t h e
t h r e e s i d e s o f 4 A B C a r e i n t e g e r s a n d t h e i n r a d i u s o f t h e t r i a n g l e i s 1 .
P r o v e t h a t t h e t r i a n g l e i s a r i g h t t r i a n g l e .
1 0
-
8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
12/79
G e o m e t r i c E q u a t i o n s
6 4 . ( 1 9 8 5 I M O ) A c i r c l e h a s c e n t e r o n t h e s i d e A B o f t h e c y c l i c q u a d r i -
l a t e r a l A B C D : T h e o t h e r t h r e e s i d e s a r e t a n g e n t t o t h e c i r c l e . P r o v e
t h a t A D + B C = A B
6 5 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) C i r c l e s S
1
a n d S
2
w i t h c e n t e r s O
1
; O
2
r e s p e c t i v e l y i n t e r s e c t e a c h o t h e r a t p o i n t s A a n d B R a y O
1
B i n t e r s e c t s
S
2
a t p o i n t F a n d r a y O
2
B i n t e r s e c t s S
1
a t p o i n t E T h e l i n e p a r a l l e l
t o E F a n d p a s s i n g t h r o u g h B i n t e r s e c t s S
1
a n d S
2
a t p o i n t s M a n d
N ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t ( B i s t h e i n c e n t e r o f 4 E A F a n d ) M N =
A E + A F
6 6 . P o i n t C l i e s o n t h e m i n o r a r c A B o f t h e c i r c l e c e n t e r e d a t O S u p p o s e
t h e t a n g e n t l i n e a t C c u t s t h e p e r p e n d i c u l a r s t o c h o r d A B t h r o u g h A
a t E a n d t h r o u g h B a t F L e t D b e t h e i n t e r s e c t i o n o f c h o r d A B a n d
r a d i u s O C P r o v e t h a t C E C F = A D B D a n d C D
2
= A E B F
6 7 . Q u a d r i l a t e r a l s A B C P a n d A
0
B
0
C
0
P
0
a r e i n s c r i b e d i n t w o c o n c e n t r i c
c i r c l e s . I f t r i a n g l e s A B C a n d A
0
B
0
C
0
a r e e q u i l a t e r a l , p r o v e t h a t
P
0
A
2
+ P
0
B
2
+ P
0
C
2
= P A
0 2
+ P B
0 2
+ P C
0 2
6 8 . L e t t h e i n s c r i b e d c i r c l e o f t r i a n g l e A B C t o u c h s s i d e B C a t D , s i d e C A
a t E a n d s i d e A B a t F L e t G b e t h e f o o t o f p e r p e n d i c u l a r f r o m D t o
E F S h o w t h a t
F G
E G
=
B F
C E
6 9 . ( 1 9 9 8 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t A B C D E F b e a c o n v e x h e x a g o n
s u c h t h a t
6
B +
6
D +
6
F = 3 6 0
a n d
A B
B C
C D
D E
E F
F A
= 1
P r o v e t h a t
B C
C A
A E
E F
F D
D B
= 1
1 1
S i m i l a r T r i a n g l e s
7 0 . ( 1 9 8 4 B r i t i s h M a t h O l y m p i a d ) P ; Q ; a n d R a r e a r b i t r a r y p o i n t s o n t h e
s i d e s B C ; C A ; a n d A B r e s p e c t i v e l y o f t r i a n g l e A B C : P r o v e t h a t t h e
t h r e e c i r c u m c e n t r e s o f t r i a n g l e s A Q R ; B R P ; a n d C P Q f o r m a t r i a n g l e
s i m i l a r t o t r i a n g l e A B C :
7 1 . H e x a g o n A B C D E F i s i n s c r i b e d i n a c i r c l e s o t h a t A B = C D = E F
L e t P ; Q ; R b e t h e p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f A C a n d B D ; C E a n d D F ;
E A a n d F B r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t t r i a n g l e s P Q R a n d B D F a r e
s i m i l a r .
7 2 . ( 1 9 9 8 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t A B C D b e a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l .
L e t E a n d F b e v a r i a b l e p o i n t s o n t h e s i d e s A B a n d C D ; r e s p e c t i v e l y ,
s u c h t h a t A E : E B = C F : F D L e t P b e t h e p o i n t o n t h e s e g m e n t
E F s u c h t h a t P E : P F = A B : C D P r o v e t h a t t h e r a t i o b e t w e e n t h e
a r e a s o f t r i a n g l e s A P D a n d B P C d o e s n o t d e p e n d o n t h e c h o i c e o f E
a n d F
T a n g e n t L i n e s
7 3 . T w o c i r c l e s i n t e r s e c t a t p o i n t s A a n d B A n a r b i t r a r y l i n e t h r o u g h B
i n t e r s e c t s t h e r s t c i r c l e a g a i n a t C a n d t h e s e c o n d c i r c l e a g a i n a t D
T h e t a n g e n t s t o t h e r s t c i r c l e a t C a n d t o t h e s e c o n d c i r c l e a t D
i n t e r s e c t a t M T h e p a r a l l e l t o C M w h i c h p a s s e s t h r o u g h t h e p o i n t
o f i n t e r s e c t i o n o f A M a n d C D i n t e r s e c t s A C a t K P r o v e t h a t B K i s
t a n g e n t t o t h e s e c o n d c i r c l e .
7 4 . ( 1 9 9 9 I M O ) T w o c i r c l e s ?
1
a n d ?
2
a r e c o n t a i n e d i n s i d e t h e c i r c l e ? ;
a n d a r e t a n g e n t t o ? a t t h e d i s t i n c t p o i n t s M a n d N ; r e s p e c t i v e l y .
?
1
p a s s e s t h r o u g h t h e c e n t e r o f ?
2
T h e l i n e p a s s i n g t h r o u g h t h e t w o
p o i n t s o f i n t e r s e c t i o n o f ?
1
a n d ?
2
m e e t s ? a t A a n d B ; r e s p e c t i v e l y .
T h e l i n e s M A a n d M B m e e t s ?
1
a t C a n d D ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t
C D i s t a n g e n t t o ?
2
7 5 . ( P r o p o s e d b y I n d i a f o r 1 9 9 2 I M O ) C i r c l e s G
1
a n d G
2
t o u c h e a c h o t h e r
e x t e r n a l l y a t a p o i n t W a n d a r e i n s c r i b e d i n a c i r c l e G : A ; B ; C a r e
1 2
-
8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
13/79
p o i n t s o n G s u c h t h a t A ; G
1
a n d G
2
a r e o n t h e s a m e s i d e o f c h o r d B C ;
w h i c h i s a l s o t a n g e n t t o G
1
a n d G
2
S u p p o s e A W i s a l s o t a n g e n t t o
G
1
a n d G
2
P r o v e t h a t W i s t h e i n c e n t e r o f t r i a n g l e A B C :
L o c u s
7 6 . P e r p e n d i c u l a r s f r o m a p o i n t P o n t h e c i r c u m c i r c l e o f 4 A B C a r e d r a w n
t o l i n e s A B ; B C w i t h f e e t a t D ; E ; r e s p e c t i v e l y . F i n d t h e l o c u s o f t h e
c i r c u m c e n t e r o f 4 P D E a s P m o v e s a r o u n d t h e c i r c l e .
7 7 . S u p p o s e A i s a p o i n t i n s i d e a g i v e n c i r c l e a n d i s d i e r e n t f r o m t h e
c e n t e r . C o n s i d e r a l l c h o r d s ( e x c l u d i n g t h e d i a m e t e r ) p a s s i n g t h r o u g h
A W h a t i s t h e l o c u s o f t h e i n t e r s e c t i o n o f t h e t a n g e n t l i n e s a t t h e
e n d p o i n t s o f t h e s e c h o r d s
7 8 . G i v e n 4 A B C : L e t l i n e E F b i s e c t s
6
B A C a n d A E A F = A B A C
F i n d t h e l o c u s o f t h e i n t e r s e c t i o n P o f l i n e s B E a n d C F
7 9 . ( 1 9 9 6 P u t n a m E x a m ) L e t C
1
a n d C
2
b e c i r c l e s w h o s e c e n t e r s a r e 1 0
u n i t s a p a r t , a n d w h o s e r a d i i a r e 1 a n d 3 . F i n d t h e l o c u s o f a l l p o i n t s
M f o r w h i c h t h e r e e x i s t s p o i n t s X o n C
1
a n d Y o n C
2
s u c h t h a t M i s
t h e m i d p o i n t o f t h e l i n e s e g m e n t X Y
C o l l i n e a r o r C o n c y c l i c P o i n t s
8 0 . ( 1 9 8 2 I M O ) D i a g o n a l s A C a n d C E o f t h e r e g u l a r h e x a g o n A B C D E F
a r e d i v i d e d b y t h e i n n e r p o i n t s M a n d N ; r e s p e c t i v e l y , s o t h a t
A M
A C
=
C N
C E
= r
D e t e r m i n e r i f B ; M a n d N a r e c o l l i n e a r .
8 1 . ( 1 9 6 5 P u t n a m E x a m ) I f A ; B ; C ; D a r e f o u r d i s t i n c t p o i n t s s u c h t h a t
e v e r y c i r c l e t h r o u g h A a n d B i n t e r s e c t s o r c o i n c i d e s w i t h e v e r y c i r c l e
t h r o u g h C a n d D ; p r o v e t h a t t h e f o u r p o i n t s a r e e i t h e r c o l l i n e a r o r
c o n c y c l i c .
1 3
8 2 . ( 1 9 5 7 P u t n a m E x a m ) G i v e n a n i n n i t e n u m b e r o f p o i n t s i n a p l a n e ,
p r o v e t h a t i f a l l t h e d i s t a n c e s b e t w e e n e v e r y p a i r a r e i n t e g e r s , t h e n t h e
p o i n t s a r e c o l l i n e a r .
8 3 . ( 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) T h e i n c i r c l e o f t r i a n g l e A B C t o u c h e s
B C ; C A a n d A B a t D ; E a n d F r e s p e c t i v e l y . X i s a p o i n t i n s i d e
t r i a n g l e A B C s u c h t h a t t h e i n c i r c l e o f t r i a n g l e X B C t o u c h e s B C a t
D a l s o , a n d t o u c h e s C X a n d X B a t Y a n d Z r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t
E F Z Y i s a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l .
8 4 . ( 1 9 9 8 I M O ) I n t h e c o n v e x q u a d r i l a t e r a l A B C D ; t h e d i a g o n a l s A C a n d
B D a r e p e r p e n d i c u l a r a n d t h e o p p o s i t e s i d e s A B a n d D C a r e n o t
p a r a l l e l . S u p p o s e t h e p o i n t P ; w h e r e t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r s o f
A B a n d D C m e e t , i s i n s i d e A B C D : P r o v e t h a t A B C D i s a c y c l i c
q u a d r i l a t e r a l i f a n d o n l y i f t h e t r i a n g l e s A B P a n d C D P h a v e e q u a l
a r e a s .
8 5 . ( 1 9 7 0 P u t n a m E x a m ) S h o w t h a t i f a c o n v e x q u a d r i l a t e r a l w i t h s i d e -
l e n g t h s a ; b ; c ; d a n d a r e a
p
a b c d h a s a n i n s c r i b e d c i r c l e , t h e n i t i s a
c y c l i c q u a d r i l a t e r a l .
C o n c u r r e n t L i n e s
8 6 . I n 4 A B C ; s u p p o s e A B > A C : L e t P a n d Q b e t h e f e e t o f t h e p e r -
p e n d i c u l a r s f r o m B a n d C t o t h e a n g l e b i s e c t o r o f
6
B A C ; r e s p e c t i v e l y .
L e t D b e o n l i n e B C s u c h t h a t D A A P P r o v e t h a t l i n e s B Q ; P C
a n d A D a r e c o n c u r r e n t .
8 7 . ( 1 9 9 0 C h i n e s e N a t i o n a l M a t h C o m p e t i t i o n ) D i a g o n a l s A C a n d B D
o f a c y c l i c q u a d r i l a t e r a l A B C D m e e t s a t P L e t t h e c i r c u m c e n t e r s o f
A B C D ; A B P ; B C P ; C D P a n d D A P b e O ; O
1
; O
2
; O
3
a n d O
4
; r e s p e c -
t i v e l y . P r o v e t h a t O P ; O
1
O
3
; O
2
O
4
a r e c o n c u r r e n t .
8 8 . ( 1 9 9 5 I M O ) L e t A ; B ; C a n d D b e f o u r d i s t i n c t p o i n t s o n a l i n e , i n t h a t
o r d e r . T h e c i r c l e s w i t h d i a m e t e r s A C a n d B D i n t e r s e c t a t t h e p o i n t s
X a n d Y T h e l i n e X Y m e e t s B C a t t h e p o i n t Z L e t P b e a p o i n t o n
t h e l i n e X Y d i e r e n t f r o m Z T h e l i n e C P i n t e r s e c t s t h e c i r c l e w i t h
1 4
-
8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
14/79
d i a m e t e r A C a t t h e p o i n t s C a n d M ; a n d t h e l i n e B P i n t e r s e c t s t h e
c i r c l e w i t h d i a m e t e r B D a t t h e p o i n t s B a n d N P r o v e t h a t t h e l i n e s
A M ; D N a n d X Y a r e c o n c u r r e n t .
8 9 A D ; B E ; C F a r e t h e a l t i t u d e s o f 4 A B C : I f P ; Q ; R a r e t h e m i d p o i n t s
o f D E ; E F ; F D ; r e s p e c t i v e l y , t h e n s h o w t h a t t h e p e r p e n d i c u l a r f r o m
P ; Q ; R t o A B ; B C ; C A ; r e s p e c t i v e l y , a r e c o n c u r r e n t .
9 0 . ( 1 9 8 8 C h i n e s e M a t h O l y m p i a d T r a i n i n g T e s t ) A B C D E F i s a h e x a g o n
i n s c r i b e d i n a c i r c l e . S h o w t h a t t h e d i a g o n a l s A D ; B E ; C F a r e c o n c u r -
r e n t i f a n d o n l y i f A B C D E F = B C D E F A
9 1 . A c i r c l e i n t e r s e c t s a t r i a n g l e A B C a t s i x p o i n t s A
1
; A
2
; B
1
; B
2
; C
1
; C
2
;
w h e r e t h e o r d e r o f a p p e a r a n c e a l o n g t h e t r i a n g l e i s A ; C
1
; C
2
; B ; A
1
; A
2
;
C ; B
1
; B
2
; A : S u p p o s e B
1
C
1
; B
2
C
2
m e e t s a t X , C
1
A
1
; C
2
A
2
m e e t s a t
Y a n d A
1
B
1
; A
2
B
2
m e e t s a t Z S h o w t h a t A X ; B Y ; C Z a r e c o n c u r r e n t .
9 2 . ( 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) A c i r c l e p a s s i n g t h r o u g h v e r t i c e s B
a n d C o f t r i a n g l e A B C i n t e r s e c t s s i d e s A B a n d A C a t C
0
a n d B
0
,
r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t B B
0
; C C
0
a n d H H
0
a r e c o n c u r r e n t , w h e r e H
a n d H
0
a r e t h e o r t h o c e n t e r s o f t r i a n g l e s A B C a n d A B
0
C
0
; r e s p e c t i v e l y .
P e r p e n d i c u l a r L i n e s
9 3 . ( 1 9 9 8 A P M O ) L e t A B C b e a t r i a n g l e a n d D t h e f o o t o f t h e a l t i t u d e
f r o m A L e t E a n d F b e o n a l i n e p a s s i n g t h r o u g h D s u c h t h a t A E
i s p e r p e n d i c u l a r t o B E ; A F i s p e r p e n d i c u l a r t o C F ; a n d E a n d F a r e
d i e r e n t f r o m D L e t M a n d N b e t h e m i d p o i n t s o f t h e l i n e s e g m e n t s
B C a n d E F ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t A N i s p e r p e n d i c u l a r t o N M
9 4 . ( 2 0 0 0 A P M O ) L e t A B C b e a t r i a n g l e . L e t M a n d N b e t h e p o i n t s
i n w h i c h t h e m e d i a n a n d t h e a n g l e b i s e c t o r , r e s p e c t i v e l y , a t A m e e t
t h e s i d e B C L e t Q a n d P b e t h e p o i n t s i n w h i c h t h e p e r p e n d i c u l a r a t
N t o N A m e e t s M A a n d B A ; r e s p e c t i v e l y , a n d O t h e p o i n t i n w h i c h
t h e p e r p e n d i c u l a r a t P t o B A m e e t s A N p r o d u c e d . P r o v e t h a t Q O i s
p e r p e n d i c u l a r t o B C
1 5
9 5 . L e t B B
0
a n d C C
0
b e a l t i t u d e s o f t r i a n g l e A B C : A s s u m e t h a t A B 6=
A C L e t M b e t h e m i d p o i n t o f B C ; H t h e o r t h o c e n t e r o f A B C a n d D
t h e i n t e r s e c t i o n o f B
0
C
0
a n d B C P r o v e t h a t D H A M
9 6 . ( 1 9 9 6 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t ) T h e s e m i c i r c l e w i t h s i d e B C o f
4 A B C a s d i a m e t e r i n t e r s e c t s s i d e s A B ; A C a t p o i n t s D ; E ; r e s p e c -
t i v e l y . L e t F ; G b e t h e f e e t o f t h e p e r p e n d i c u l a r s f r o m D ; E t o s i d e
B C r e s p e c t i v e l y . L e t M b e t h e i n t e r s e c t i o n o f D G a n d E F P r o v e t h a t
A M B C
9 7 . ( 1 9 8 5 I M O ) A c i r c l e w i t h c e n t e r O p a s s e s t h r o u g h t h e v e r t i c e s A a n d
C o f t r i a n g l e A B C a n d i n t e r s e c t s t h e s e g m e n t s A B a n d A C a g a i n a t
d i s t i n c t p o i n t s K a n d N ; r e s p e c t i v e l y . T h e c i r c u m c i r c l e s o f t r i a n g l e s
A B C a n d K B N i n t e r s e c t a t e x a c t l y t w o d i s t i n c t p o i n t s B a n d M
P r o v e t h a t O M M B
9 8 . ( 1 9 9 7 C h i n e s e S e n o i r H i g h M a t h C o m p e t i t i o n ) A c i r c l e w i t h c e n t e r O
i s i n t e r n a l l y t a n g e n t t o t w o c i r c l e s i n s i d e i t a t p o i n t s S a n d T S u p p o s e
t h e t w o c i r c l e s i n s i d e i n t e r s e c t a t M a n d N w i t h N c l o s e r t o S T S h o w
t h a t O M M N i f a n d o n l y i f S ; N ; T a r e c o l l i n e a r .
9 9 A D ; B E ; C F a r e t h e a l t i t u d e s o f 4 A B C : L i n e s E F ; F D ; D E m e e t l i n e s
B C ; C A ; A B i n p o i n t s L ; M ; N ; r e s p e c t i v e l y . S h o w t h a t L ; M ; N a r e
c o l l i n e a r a n d t h e l i n e t h r o u g h t h e m i s p e r p e n d i c u l a r t o t h e l i n e j o i n i n g
t h e o r t h o c e n t e r H a n d c i r c u m c e n t e r O o f 4 A B C :
G e o m e t r i c I n e q u a l i t i e s , M a x i m u m / M i n i m u m
1 0 0 . ( 1 9 7 3 I M O ) L e t P
1
; P
2
; : : : ; P
2 n + 1
b e d i s t i n c t p o i n t s o n s o m e h a l f o f
t h e u n i t c i r c l e c e n t e r e d a t t h e o r i g i n O S h o w t h a t
j
? ? !
O P
1
+
? ? !
O P
2
+ +
? ? ? ? ? !
O P
2 n + 1
j 1
1 0 1 . L e t t h e a n g l e b i s e c t o r s o f
6
A ;
6
B ;
6
C o f t r i a n g l e A B C i n t e r s e c t i t s
c i r c u m c i r c l e a t P ; Q ; R ; r e s p e c t i v e l y . P r o v e t h a t
A P + B Q + C R > B C + C A + A B
1 6
-
8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
15/79
1 0 2 . ( 1 9 9 7 A P M O ) L e t A B C b e a t r i a n g l e i n s c r i b e d i n a c i r c l e a n d l e t l
a
=
m
a
= M
a
; l
b
= m
b
= M
b
; l
c
= m
c
= M
c
; w h e r e m
a
; m
b
; m
c
a r e t h e l e n g t h s
o f t h e a n g l e b i s e c t o r s ( i n t e r n a l t o t h e t r i a n g l e ) a n d M
a
; M
b
; M
c
a r e
t h e l e n g t h s o f t h e a n g l e b i s e c t o r s e x t e n d e d u n t i l t h e y m e e t t h e c i r c l e .
P r o v e t h a t
l
a
s i n
2
A
+
l
b
s i n
2
B
+
l
c
s i n
2
C
3 ;
a n d t h a t e q u a l i t y h o l d s i A B C i s e q u i l a t e r a l .
1 0 3 . ( M a t h e m a t i c s M a g a z i n e , P r o b l e m 1 5 0 6 ) L e t I a n d O b e t h e i n c e n -
t e r a n d c i r c u m c e n t e r o f 4 A B C ; r e s p e c t i v e l y . A s s u m e 4 A B C i s n o t
e q u i l a t e r a l ( s o I 6= O ) . P r o v e t h a t
6
A I O 9 0
i f a n d o n l y i f 2 B C A B + C A
1 0 4 . S q u a r e s A B D E a n d A C F G a r e d r a w n o u t s i d e 4 A B C : L e t P ; Q b e
p o i n t s o n E G s u c h t h a t B P a n d C Q a r e p e r p e n d i c u l a r t o B C P r o v e
t h a t B P + C Q B C + E G W h e n d o e s e q u a l i t y h o l d
1 0 5 . P o i n t P i s i n s i d e 4 A B C : D e t e r m i n e p o i n t s D o n s i d e A B a n d E o n
s i d e A C s u c h t h a t B D = C E a n d P D + P E i s m i n i m u m .
S o l i d o r S p a c e G e o m e t r y
1 0 6 . ( P r o p o s e d b y I t a l y f o r 1 9 6 7 I M O ) W h i c h r e g u l a r p o l y g o n s c a n b e o b -
t a i n e d ( a n d h o w ) b y c u t t i n g a c u b e w i t h a p l a n e
1 0 7 . ( 1 9 9 5 I s r a e l i M a t h O l y m p i a d ) F o u r p o i n t s a r e g i v e n i n s p a c e , i n g e n e r a l
p o s i t i o n ( i . e . , t h e y a r e n o t c o p l a n a r a n d a n y t h r e e a r e n o t c o l l i n e a r ) .
A p l a n e i s c a l l e d a n e q u a l i z i n g p l a n e i f a l l f o u r p o i n t s h a v e t h e s a m e
d i s t a n c e f r o m F i n d t h e n u m b e r o f e q u a l i z i n g p l a n e s .
1 7
N u m b e r T h e o r y P r o b l e m s
D i g i t s
1 0 8 . ( 1 9 5 6 P u t n a m E x a m ) P r o v e t h a t e v e r y p o s i t i v e i n t e g e r h a s a m u l t i p l e
w h o s e d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n i n v o l v e s a l l t e n d i g i t s .
1 0 9 . D o e s t h e r e e x i s t a p o s i t i v e i n t e g e r a s u c h t h a t t h e s u m o f t h e d i g i t s
( i n b a s e 1 0 ) o f a i s 1 9 9 9 a n d t h e s u m o f t h e d i g i t s ( i n b a s e 1 0 ) o f a
2
i s
1 9 9 9
2
1 1 0 . ( P r o p o s e d b y U S S R f o r 1 9 9 1 I M O ) L e t a
n
b e t h e l a s t n o n z e r o d i g i t
i n t h e d e c i m a l r e p r e s e n t a t i o n o f t h e n u m b e r n ! . D o e s t h e s e q u e n c e
a
1
; a
2
; : : : ; a
n
; : : : b e c o m e p e r i o d i c a f t e r a n i t e n u m b e r o f t e r m s
M o d u l o A r i t h m e t i c
1 1 1 . ( 1 9 5 6 P u t n a m E x a m ) P r o v e t h a t t h e n u m b e r o f o d d b i n o m i a l c o e -
c i e n t s i n a n y r o w o f t h e P a s c a l t r i a n g l e i s a p o w e r o f 2 .
1 1 2 . L e t a
1
; a
2
; a
3
; : : : ; a
1 1
a n d b
1
; b
2
; b
3
; : : : ; b
1 1
b e t w o p e r m u t a t i o n s o f t h e
n a t u r a l n u m b e r s 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; 1 1 S h o w t h a t i f e a c h o f t h e n u m b e r s a
1
b
1
;
a
2
b
2
; a
3
b
3
; : : : ; a
1 1
b
1 1
i s d i v i d e d b y 1 1 , t h e n a t l e a s t t w o o f t h e m w i l l
h a v e t h e s a m e r e m a i n d e r .
1 1 3 . ( 1 9 9 5 C z e c h - S l o v a k M a t c h ) L e t a
1
; a
2
; : : : b e a s e q u e n c e s a t i s f y i n g a
1
=
2 ; a
2
= 5 a n d
a
n + 2
= ( 2 ? n
2
) a
n + 1
+ ( 2 + n
2
) a
n
f o r a l l n 1 D o t h e r e e x i s t i n d i c e s p ; q a n d r s u c h t h a t a
p
a
q
= a
r
P r i m e F a c t o r i z a t i o n
1 1 4 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m E 2 6 8 4 ) L e t A
n
b e t h e s e t
o f p o s i t i v e i n t e g e r s w h i c h a r e l e s s t h a n n a n d a r e r e l a t i v e l y p r i m e t o n
F o r w h i c h n > 1 ; d o t h e i n t e g e r s i n A
n
f o r m a n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n
1 8
-
8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
16/79
1 1 5 . ( 1 9 7 1 I M O ) P r o v e t h a t t h e s e t o f i n t e g e r s o f t h e f o r m 2
k
? 3 ( k =
2 ; 3 ; : : : ) c o n t a i n s a n i n n i t e s u b s e t i n w h i c h e v e r y t w o m e m b e r s a r e
r e l a t i v e l y p r i m e .
1 1 6 . ( 1 9 8 8 C h i n e s e M a t h O l y m p i a d T r a i n i n g T e s t ) D e t e r m i n e t h e s m a l l e s t
v a l u e o f t h e n a t u r a l n u m b e r n > 3 w i t h t h e p r o p e r t y t h a t w h e n e v e r
t h e s e t S
n
= f 3 ; 4 ; : : : ; n g i s p a r t i t i o n e d i n t o t h e u n i o n o f t w o s u b -
s e t s , a t l e a s t o n e o f t h e s u b s e t s c o n t a i n s t h r e e n u m b e r s a ; b a n d c ( n o t
n e c e s s a r i l y d i s t i n c t ) s u c h t h a t a b = c
B a s e n R e p r e s e n t a t i o n s
1 1 7 . ( 1 9 8 3 I M O ) C a n y o u c h o o s e 1 9 8 3 p a i r w i s e d i s t i n c t n o n n e g a t i v e i n t e g e r s
l e s s t h a n 1 0
5
s u c h t h a t n o t h r e e a r e i n a r i t h m e t i c p r o g r e s s i o n
1 1 8 . ( A m e r i c a n M a t h e m a t i c a l M o n t h l y , P r o b l e m 2 4 8 6 ) L e t p b e a n o d d
p r i m e n u m b e r a n d r b e a p o s i t i v e i n t e g e r n o t d i v i s i b l e b y p F o r a n y
p o s i t i v e i n t e g e r k , s h o w t h a t t h e r e e x i s t s a p o s i t i v e i n t e g e r m s u c h t h a t
t h e r i g h t m o s t k d i g i t s o f m
r
; w h e n e x p r e s s e d i n t h e b a s e p ; a r e a l l 1 ' s .
1 1 9 . ( P r o p o s e d b y R o m a n i a f o r 1 9 8 5 I M O ) S h o w t h a t t h e s e q u e n c e f a
n
g
d e n e d b y a
n
= n
p
2 ] f o r n = 1 ; 2 ; 3 ; : : : ( w h e r e t h e b r a c k e t s d e n o t e
t h e g r e a t e s t i n t e g e r f u n c t i o n ) c o n t a i n s a n i n n i t e n u m b e r o f i n t e g r a l
p o w e r s o f 2 .
R e p r e s e n t a t i o n s
1 2 0 . F i n d a l l ( e v e n ) n a t u r a l n u m b e r s n w h i c h c a n b e w r i t t e n a s a s u m o f
t w o o d d c o m p o s i t e n u m b e r s .
1 2 1 . F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s w h i c h c a n n o t b e w r i t t e n a s t h e s u m o f t w o
o r m o r e c o n s e c u t i v e p o s i t i v e i n t e g e r s .
1 2 2 . ( P r o p o s e d b y A u s t r a l i a f o r 1 9 9 0 I M O ) O b s e r v e t h a t 9 = 4 + 5 = 2 + 3 + 4
I s t h e r e a n i n t e g e r N w h i c h c a n b e w r i t t e n a s a s u m o f 1 9 9 0 c o n s e c u t i v e
p o s i t i v e i n t e g e r s a n d w h i c h c a n b e w r i t t e n a s a s u m o f ( m o r e t h a n o n e )
c o n s e c u t i v e i n t e g e r s i n e x a c t l y 1 9 9 0 w a y s
1 9
1 2 3 . S h o w t h a t i f p > 3 i s p r i m e , t h e n p
n
c a n n o t b e t h e s u m o f t w o p o s i t i v e
c u b e s f o r a n y n 1 W h a t a b o u t p = 2 o r 3
1 2 4 . ( D u e t o P a u l E r d o s a n d M . S u r a n y i ) P r o v e t h a t e v e r y i n t e g e r k c a n b e
r e p r e s e n t e d i n i n n i t e l y m a n y w a y s i n t h e f o r m k = 1
2
2
2
m
2
f o r s o m e p o s i t i v e i n t e g e r m a n d s o m e c h o i c e o f s i g n s + o r ?
1 2 5 . ( 1 9 9 6 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) A n i t e s e q u e n c e o f i n t e g e r s a
0
; a
1
; : : : ;
a
n
i s c a l l e d q u a d r a t i c i f f o r e a c h i 2 f 1 ; 2 ; : : : ; n g ; j a
i
? a
i ? 1
j = i
2
( a ) P r o v e t h a t f o r a n y t w o i n t e g e r s b a n d c ; t h e r e e x i s t s a n a t u r a l
n u m b e r n a n d a q u a d r a t i c s e q u e n c e w i t h a
0
= b a n d a
n
= c
( b ) F i n d t h e l e a s t n a t u r a l n u m b e r n f o r w h i c h t h e r e e x i s t s a q u a d r a t i c
s e q u e n c e w i t h a
0
= 0 a n d a
n
= 1 9 9 6
1 2 6 . P r o v e t h a t e v e r y i n t e g e r g r e a t e r t h a n 1 7 c a n b e r e p r e s e n t e d a s a s u m o f
t h r e e i n t e g e r s > 1 w h i c h a r e p a i r w i s e r e l a t i v e l y p r i m e , a n d s h o w t h a t
1 7 d o e s n o t h a v e t h i s p r o p e r t y .
C h i n e s e R e m a i n d e r T h e o r e m
1 2 7 . ( 1 9 8 8 C h i n e s e T e a m S e l e c t i o n T e s t ) D e n e x
n
= 3 x
n ? 1
+ 2 f o r a l l
p o s i t i v e i n t e g e r s n P r o v e t h a t a n i n t e g e r v a l u e c a n b e c h o s e n f o r x
0
s o
t h a t x
1 0 0
i s d i v i s i b l e b y 1 9 9 8 .
1 2 8 . ( P r o p o s e d b y N o r t h K o r e a f o r 1 9 9 2 I M O ) D o e s t h e r e e x i s t a s e t M
w i t h t h e f o l l o w i n g p r o p e r t i e s :
( a ) T h e s e t M c o n s i s t s o f 1 9 9 2 n a t u r a l n u m b e r s .
( b ) E v e r y e l e m e n t i n M a n d t h e s u m o f a n y n u m b e r o f e l e m e n t s i n M
h a v e t h e f o r m m
k
; w h e r e m ; k a r e p o s i t i v e i n t e g e r s a n d k 2
D i v i s i b i l i t y
1 2 9 . F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s a ; b s u c h t h a t b > 2 a n d 2
a
+ 1 i s d i v i s i b l e b y
2
b
? 1
2 0
-
8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
17/79
1 3 0 . S h o w t h a t t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y c o m p o s i t e n s u c h t h a t 3
n ? 1
? 2
n ? 1
i s d i v i s i b l e b y n
1 3 1 . P r o v e t h a t t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y p o s i t i v e i n t e g e r s n s u c h t h a t 2
n
+ 1
i s d i v i s i b l e b y n F i n d a l l s u c h n ' s t h a t a r e p r i m e n u m b e r s .
1 3 2 . ( 1 9 9 8 R o m a n i a n M a t h O l y m p i a d ) F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s ( x ; n ) s u c h
t h a t x
n
+ 2
n
+ 1 i s a d i v i s o r o f x
n + 1
+ 2
n + 1
+ 1
1 3 3 . ( 1 9 9 5 B u l g a r i a n M a t h C o m p e t i t i o n ) F i n d a l l p a i r s o f p o s i t i v e i n t e g e r s
( x ; y ) f o r w h i c h
x
2
+ y
2
x ? y
i s a n i n t e g e r a n d d i v i d e s 1 9 9 5 .
1 3 4 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) I s t h e r e a s e q u e n c e o f n a t u r a l n u m b e r s
i n w h i c h e v e r y n a t u r a l n u m b e r o c c u r s j u s t o n c e a n d m o r e o v e r , f o r a n y
k = 1 ; 2 ; 3 ; : : : t h e s u m o f t h e r s t k t e r m s i s d i v i s i b l e b y k
1 3 5 . ( 1 9 9 8 P u t n a m E x a m ) L e t A
1
= 0 a n d A
2
= 1 F o r n > 2 ; t h e n u m b e r
A
n
i s d e n e d b y c o n c a t e n a t i n g t h e d e c i m a l e x p a n s i o n s o f A
n ? 1
a n d
A
n ? 2
f r o m l e f t t o r i g h t . F o r e x a m p l e , A
3
= A
2
A
1
= 1 0 ; A
4
= A
3
A
2
=
1 0 1 ; A
5
= A
4
A
3
= 1 0 1 1 0 ; a n d s o f o r t h . D e t e r m i n e a l l n s u c h t h a t A
n
i s d i v i s i b l e b y 1 1 .
1 3 6 . ( 1 9 9 5 B u l g a r i a n M a t h C o m p e t i t i o n ) I f k > 1 ; s h o w t h a t k d o e s n o t
d i v i d e 2
k ? 1
+ 1 U s e t h i s t o n d a l l p r i m e n u m b e r s p a n d q s u c h t h a t
2
p
+ 2
q
i s d i v i s i b l e b y p q :
1 3 7 . S h o w t h a t f o r a n y p o s i t i v e i n t e g e r n ; t h e r e i s a n u m b e r w h o s e d e c i m a l
r e p r e s e n t a t i o n c o n t a i n s n d i g i t s , e a c h o f w h i c h i s 1 o r 2 , a n d w h i c h i s
d i v i s i b l e b y 2
n
1 3 8 . F o r a p o s i t i v e i n t e g e r n ; l e t f ( n ) b e t h e l a r g e s t i n t e g e r k s u c h t h a t 2
k
d i v i d e s n a n d g ( n ) b e t h e s u m o f t h e d i g i t s i n t h e b i n a r y r e p r e s e n t a t i o n
o f n P r o v e t h a t f o r a n y p o s i t i v e i n t e g e r n ;
( a ) f ( n ! ) = n ? g ( n ) ;
( b ) 4 d i v i d e s
2 n
n
=
( 2 n ) !
n ! n !
i f a n d o n l y i f n i s n o t a p o w e r o f 2 .
2 1
1 3 9 . ( P r o p o s e d b y A u s t r a l i a f o r 1 9 9 2 I M O ) P r o v e t h a t f o r a n y p o s i t i v e i n -
t e g e r m ; t h e r e e x i s t a n i n n i t e n u m b e r o f p a i r s o f i n t e g e r s ( x ; y ) s u c h
t h a t
( a ) x a n d y a r e r e l a t i v e l y p r i m e ;
( b ) y d i v i d e s x
2
+ m ;
( c ) x d i v i d e s y
2
+ m
1 4 0 . F i n d a l l i n t e g e r s n > 1 s u c h t h a t 1
n
+ 2
n
+ + ( n ? 1 )
n
i s d i v i s i b l e
b y n
1 4 1 . ( 1 9 7 2 P u t n a m E x a m ) S h o w t h a t i f n i s a n i n t e g e r g r e a t e r t h a n 1 , t h e n
n d o e s n o t d i v i d e 2
n
? 1
1 4 2 . ( P r o p o s e d b y R o m a n i a f o r 1 9 8 5 I M O ) F o r k 2 ; l e t n
1
; n
2
; : : : ; n
k
b e
p o s i t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t
n
2
( 2
n
1
? 1 ) ; n
3
( 2
n
2
? 1 ) ; : : : ; n
k
( 2
n
k ? 1
? 1 ) ; n
1
( 2
n
k
? 1 )
P r o v e t h a t n
1
= n
2
= = n
k
= 1
1 4 3 . ( 1 9 9 8 A P M O ) D e t e r m i n e t h e l a r g e s t o f a l l i n t e g e r n w i t h t h e p r o p e r t y
t h a t n i s d i v i s i b l e b y a l l p o s i t i v e i n t e g e r s t h a t a r e l e s s t h a n
3
p
n
1 4 4 . ( 1 9 9 7 U k r a i n i a n M a t h O l y m p i a d ) F i n d t h e s m a l l e s t i n t e g e r n s u c h t h a t
a m o n g a n y n i n t e g e r s ( w i t h p o s s i b l e r e p e t i t i o n s ) , t h e r e e x i s t 1 8 i n t e g e r s
w h o s e s u m i s d i v i s i b l e b y 1 8 .
P e r f e c t S q u a r e s , P e r f e c t C u b e s
1 4 5 . L e t a ; b ; c b e p o s i t i v e i n t e g e r s s u c h t h a t
1
a
+
1
b
=
1
c
I f t h e g r e a t e s t
c o m m o n d i v i s o r o f a ; b ; c i s 1 , t h e n p r o v e t h a t a + b m u s t b e a p e r f e c t
s q u a r e .
1 4 6 . ( 1 9 6 9 E o t v o s - K u r s c h a k M a t h C o m p e t i t i o n ) L e t n b e a p o s i t i v e i n t e g e r .
S h o w t h a t i f 2 + 2
p
2 8 n
2
+ 1 i s a n i n t e g e r , t h e n i t i s a s q u a r e .
2 2
-
8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
18/79
1 4 7 . ( 1 9 9 8 P u t n a m E x a m ) P r o v e t h a t , f o r a n y i n t e g e r s a ; b ; c ; t h e r e e x i s t s a
p o s i t i v e i n t e g e r n s u c h t h a t
p
n
3
+ a n
2
+ b n + c i s n o t a n i n t e g e r .
1 4 8 . ( 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) L e t k b e a p o s i t i v e i n t e g e r . P r o v e t h a t
t h e r e a r e i n n i t e l y m a n y p e r f e c t s q u a r e s o f t h e f o r m n 2
k
? 7 ; w h e r e n
i s a p o s i t i v e i n t e g e r .
1 4 9 . L e t a ; b ; c b e i n t e g e r s s u c h t h a t
a
b
+
b
c
+
c
a
= 3 P r o v e t h a t a b c i s t h e
c u b e o f a n i n t e g e r .
D i o p h a n t i n e E q u a t i o n s
1 5 0 . F i n d a l l s e t s o f p o s i t i v e i n t e g e r s x ; y a n d z s u c h t h a t x y z a n d
x
y
+ y
z
= z
x
1 5 1 . ( D u e t o W . S i e r p i n s k i i n 1 9 5 5 ) F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g r a l s o l u t i o n s o f
3
x
+ 4
y
= 5
z
1 5 2 . ( D u e t o E u l e r , a l s o 1 9 8 5 M o s c o w M a t h O l y m p i a d ) I f n 3 ; t h e n p r o v e
t h a t 2
n
c a n b e r e p r e s e n t e d i n t h e f o r m 2
n
= 7 x
2
+ y
2
w i t h x ; y o d d
p o s i t i v e i n t e g e r s .
1 5 3 . ( 1 9 9 5 I M O s h o r t l i s t e d p r o b l e m ) F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g e r s x a n d y s u c h
t h a t x + y
2
+ z
3
= x y z ; w h e r e z i s t h e g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r o f x
a n d y
1 5 4 . F i n d a l l p o s i t i v e i n t e g r a l s o l u t i o n s t o t h e e q u a t i o n x y + y z + z x =
x y z + 2
1 5 5 . S h o w t h a t i f t h e e q u a t i o n x
2
+ y
2
+ 1 = x y z h a s p o s i t i v e i n t e g r a l
s o l u t i o n s x ; y ; z ; t h e n z = 3
1 5 6 . ( 1 9 9 5 C z e c h - S l o v a k M a t c h ) F i n d a l l p a i r s o f n o n n e g a t i v e i n t e g e r s x a n d
y w h i c h s o l v e t h e e q u a t i o n p
x
? y
p
= 1 ; w h e r e p i s a g i v e n o d d p r i m e .
1 5 7 . F i n d a l l i n t e g e r s o l u t i o n s o f t h e s y s t e m o f e q u a t i o n s
x + y + z = 3 a n d x
3
+ y
3
+ z
3
= 3
2 3
C o m b i n a t o r i c s P r o b l e m s
C o u n t i n g M e t h o d s
1 5 8 . ( 1 9 9 6 I t a l i a n M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d ) G i v e n a n a l p h a b e t w i t h t h r e e
l e t t e r s a ; b ; c ; n d t h e n u m b e r o f w o r d s o f n l e t t e r s w h i c h c o n t a i n a n
e v e n n u m b e r o f a ' s
1 5 9 . F i n d t h e n u m b e r o f n - w o r d s f r o m t h e a l p h a b e t A = f 0 ; 1 ; 2 g ; i f a n y
t w o n e i g h b o r s c a n d i e r b y a t m o s t 1 .
1 6 0 . ( 1 9 9 5 R o m a n i a n M a t h O l y m p i a d ) L e t A
1
; A
2
; : : : ; A
n
b e p o i n t s o n a
c i r c l e . F i n d t h e n u m b e r o f p o s s i b l e c o l o r i n g s o f t h e s e p o i n t s w i t h p
c o l o r s , p 2 ; s u c h t h a t a n y t w o n e i g h b o r i n g p o i n t s h a v e d i s t i n c t c o l o r s .
P i g e o n h o l e P r i n c i p l e
1 6 1 . ( 1 9 8 7 A u s t r i a n - P o l i s h M a t h C o m p e t i t i o n ) D o e s t h e s e t f 1 ; 2 ; : : : ; 3 0 0 0 g
c o n t a i n a s u b s e t A c o n s i s t i n g o f 2 0 0 0 n u m b e r s s u c h t h a t x 2 A i m p l i e s
2 x 62 A
1 6 2 . ( 1 9 8 9 P o l i s h M a t h O l y m p i a d ) S u p p o s e a t r i a n g l e c a n b e p l a c e d i n s i d e
a s q u a r e o f u n i t a r e a i n s u c h a w a y t h a t t h e c e n t e r o f t h e s q u a r e i s n o t
i n s i d e t h e t r i a n g l e . S h o w t h a t o n e s i d e o f t h e t r i a n g l e h a s l e n g t h l e s s
t h a n 1 .
1 6 3 . T h e c e l l s o f a 7 7 s q u a r e a r e c o l o r e d w i t h t w o c o l o r s . P r o v e t h a t
t h e r e e x i s t a t l e a s t 2 1 r e c t a n g l e s w i t h v e r t i c e s o f t h e s a m e c o l o r a n d
w i t h s i d e s p a r a l l e l t o t h e s i d e s o f t h e s q u a r e .
1 6 4 . F o r n > 1 ; l e t 2 n c h e s s p i e c e s b e p l a c e d a t t h e c e n t e r s o f 2 n s q u a r e s o f
a n n n c h e s s b o a r d . S h o w t h a t t h e r e a r e f o u r p i e c e s a m o n g t h e m t h a t
f o r m e d t h e v e r t i c e s o f a p a r a l l e l o g r a m . I f 2 n i s r e p l a c e d b y 2 n ? 1 ; i s
t h e s t a t e m e n t s t i l l t r u e i n g e n e r a l
1 6 5 . T h e s e t f 1 ; 2 ; : : : ; 4 9 g i s p a r t i t i o n e d i n t o t h r e e s u b s e t s . S h o w t h a t a t
l e a s t o n e o f t h e s u b s e t s c o n t a i n s t h r e e d i e r e n t n u m b e r s a ; b ; c s u c h
t h a t a + b = c
2 4
-
8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
19/79
I n c l u s i o n - E x c l u s i o n P r i n c i p l e
1 6 6 . L e t m n > 0 F i n d t h e n u m b e r o f s u r j e c t i v e f u n c t i o n s f r o m B
m
=
f 1 ; 2 ; : : : ; m g t o B
n
= f 1 ; 2 ; : : : ; n g
1 6 7 . L e t A b e a s e t w i t h 8 e l e m e n t s . F i n d t h e m a x i m a l n u m b e r o f 3 - e l e m e n t
s u b s e t s o f A ; s u c h t h a t t h e i n t e r s e c t i o n o f a n y t w o o f t h e m i s n o t a 2 -
e l e m e n t s e t .
1 6 8 . ( a ) ( 1 9 9 9 H o n g K o n g C h i n a M a t h O l y m p i a d ) S t u d e n t s h a v e t a k e n a
t e s t p a p e r i n e a c h o f n ( n 3 ) s u b j e c t s . I t i s k n o w n t h a t f o r a n y
s u b j e c t e x a c t l y t h r e e s t u d e n t s g e t t h e b e s t s c o r e i n t h e s u b j e c t , a n d
f o r a n y t w o s u b j e c t s e x c a t l y o n e s t u d e n t g e t s t h e b e s t s c o r e i n e v e r y
o n e o f t h e s e t w o s u b j e c t s . D e t e r m i n e t h e s m a l l e s t n s o t h a t t h e a b o v e
c o n d i t i o n s i m p l y t h a t e x a c t l y o n e s t u d e n t g e t s t h e b e s t s c o r e i n e v e r y
o n e o f t h e n s u b j e c t s .
( b ) ( 1 9 7 8 A u s t r i a n - P o l i s h M a t h C o m p e t i t i o n ) T h e r e a r e 1 9 7 8 c l u b s .
E a c h h a s 4 0 m e m b e r s . I f e v e r y t w o c l u b s h a v e e x a c t l y o n e c o m m o n
m e m b e r , t h e n p r o v e t h a t a l l 1 9 7 8 c l u b s h a v e a c o m m o n m e m b e r .
C o m b i n a t o r i a l D e s i g n s
1 6 9 . ( 1 9 9 5 B y e l o r u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) I n t h e b e g i n i n g , 6 5 b e e t l e s a r e
p l a c e d a t d i e r e n t s q u a r e s o f a 9 9 s q u a r e b o a r d . I n e a c h m o v e , e v e r y
b e e t l e c r e e p s t o a h o r i z o n t a l o r v e r t i c a l a d j a c e n t s q u a r e . I f n o b e e t l e
m a k e s e i t h e r t w o h o r i z o n t a l m o v e s o r t w o v e r t i c a l m o v e s i n s u c c e s s i o n ,
s h o w t h a t a f t e r s o m e m o v e s , t h e r e w i l l b e a t l e a s t t w o b e e t l e s i n t h e
s a m e s q u a r e .
1 7 0 . ( 1 9 9 5 G r e e k M a t h O l y m p i a d ) L i n e s l
1
; l
2
; : : : ; l
k
a r e o n a p l a n e s u c h
t h a t n o t w o a r e p a r a l l e l a n d n o t h r e e a r e c o n c u r r e n t . S h o w t h a t w e
c a n l a b e l t h e C
k
2
i n t e r s e c t i o n p o i n t s o f t h e s e l i n e s b y t h e n u m b e r s
1 ; 2 ; : : : ; k ? 1 s o t h a t i n e a c h o f t h e l i n e s l
1
; l
2
; : : : ; l
k
t h e n u m b e r s
1 ; 2 ; : : : ; k ? 1 a p p e a r e x a c t l y o n c e i f a n d o n l y i f k i s e v e n .
1 7 1 . ( 1 9 9 6 T o u r n a m e n t s o f t h e T o w n s ) I n a l o t t e r y g a m e , a p e r s o n m u s t
s e l e c t s i x d i s t i n c t n u m b e r s f r o m 1 ; 2 ; 3 ; : : : ; 3 6 t o p u t o n a t i c k e t . T h e
2 5
l o t t e r y c o m m i t e e w i l l t h e n d r a w s i x d i s t i n c t n u m b e r s r a n d o m l y f r o m
1 ; 2 ; 3 ; : : : ; 3 6 A n y t i c k e t w i t h n u m b e r s n o t c o n t a i n i n g a n y o f t h e s e s i x
n u m b e r s i s a w i n n i n g t i c k e t . S h o w t h a t t h e r e i s a s c h e m e o f b u y i n g
9 t i c k e t s g u a r a n t e e i n g a t l e a s t a w i n n i n g t i c k e t , b u t 8 t i c k e t s i s n o t
e n o u g h t o g u a r a n t e e a w i n n i n g t i c k e t i n g e n e r a l .
1 7 2 . ( 1 9 9 5 B y e l o r u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) B y d i v i d i n g e a c h s i d e o f a n e q u i -
l a t e r a l t r i a n g l e i n t o 6 e q u a l p a r t s , t h e t r i a n g l e c a n b e d i v i d e d i n t o 3 6
s m a l l e r e q u i l a t e r a l t r i a n g l e s . A b e e t l e i s p l a c e d o n e a c h v e r t e x o f t h e s e
t r i a n g l e s a t t h e s a m e t i m e . T h e n t h e b e e t l e s m o v e a l o n g d i e r e n t e d g e s
w i t h t h e s a m e s p e e d . W h e n t h e y g e t t o a v e r t e x , t h e y m u s t m a k e a
6 0
o r 1 2 0
t u r n . P r o v e t h a t a t s o m e m o m e n t t w o b e e t l e s m u s t m e e t
a t s o m e v e r t e x . I s t h e s t a t e m e n t t r u e i f 6 i s r e p l a c e d b y 5
C o v e r i n g , C o n v e x H u l l
1 7 3 . ( 1 9 9 1 A u s t r a l i a n M a t h O l y m p i a d ) T h e r e a r e n p o i n t s g i v e n o n a p l a n e
s u c h t h a t t h e a r e a o f t h e t r i a n g l e f o r m e d b y e v e r y 3 o f t h e m i s a t m o s t
1 . S h o w t h a t t h e n p o i n t s l i e o n o r i n s i d e s o m e t r i a n g l e o f a r e a a t m o s t
4
1 7 4 . ( 1 9 6 9 P u t n a m E x a m ) S h o w t h a t a n y c o n t i n u o u s c u r v e o f u n i t l e n g t h
c a n b e c o v e r e d b y a c l o s e d r e c t a n g l e s o f a r e a 1 = 4
1 7 5 . ( 1 9 9 8 P u t n a m E x a m ) L e t F b e a n i t e c o l l e c t i o n o f o p e n d i s c s i n t h e
p l a n e w h o s e u n i o n c o v e r s a s e t E S h o w t h a t t h e r e i s a p a i r w i s e d i s j o i n t
s u b c o l l e c t i o n D
1
; : : : ; D
n
i n F s u c h t h a t t h e u n i o n o f 3 D
1
; : : : ; 3 D
n
c o v e r s E ; w h e r e 3 D i s t h e d i s c w i t h t h e s a m e c e n t e r a s D b u t h a v i n g
t h r e e t i m e s t h e r a d i u s .
1 7 6 . ( 1 9 9 5 I M O ) D e t e r m i n e a l l i n t e g e r s n > 3 f o r w h i c h t h e r e e x i s t n p o i n t s
A
1
; A
2
; : : : ; A
n
i n t h e p l a n e , a n d r e a l n u m b e r s r
1
; r
2
; : : : ; r
n
s a t i s f y i n g
t h e f o l l o w i n g t w o c o n d i t i o n s :
( a ) n o t h r e e o f t h e p o i n t s A
1
; A
2
; : : : ; A
n
l i e o n a l i n e ;
( b ) f o r e a c h t r i p l e i ; j ; k ( 1 i < j < k n ) t h e t r i a n g l e A
i
A
j
A
k
h a s
a r e a e q u a l t o r
i
+ r
j
+ r
k
2 6
-
8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
20/79
1 7 7 . ( 1 9 9 9 I M O ) D e t e r m i n e a l l n i t e s e t s S o f a t l e a s t t h r e e p o i n t s i n t h e
p l a n e w h i c h s a t i s f y t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n : f o r a n y t w o d i s t i n c t p o i n t s
A a n d B i n S ; t h e p e r p e n d i c u l a r b i s e c t o r o f t h e l i n e s e g m e n t A B i s a n
a x i s o f s y m m e t r y o f S
2 7
M i s c e l l a n e o u s P r o b l e m s
1 7 8 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) T h e r e a r e n s e a t s a t a m e r r y - g o - a r o u n d .
A b o y t a k e s n r i d e s . B e t w e e n e a c h r i d e , h e m o v e s c l o c k w i s e a c e r t a i n
n u m b e r ( l e s s t h a n n ) o f p l a c e s t o a n e w h o r s e . E a c h t i m e h e m o v e s a
d i e r e n t n u m b e r o f p l a c e s . F i n d a l l n f o r w h i c h t h e b o y e n d s u p r i d i n g
e a c h h o r s e .
1 7 9 . ( 1 9 9 5 I s r a e l i M a t h O l y m p i a d ) T w o p l a y e r s p l a y a g a m e o n a n i n n i t e
b o a r d t h a t c o n s i s t s o f 1 1 s q u a r e s . P l a y e r I c h o o s e s a s q u a r e a n d
m a r k s i t w i t h a n O . T h e n , p l a y e r I I c h o o s e s a n o t h e r s q u a r e a n d m a r k s
i t w i t h X . T h e y p l a y u n t i l o n e o f t h e p l a y e r s m a r k s a r o w o r a c o l u m n
o f 5 c o n s e c u t i v e s q u a r e s , a n d t h i s p l a y e r w i n s t h e g a m e . I f n o p l a y e r
c a n a c h i e v e t h i s , t h e g a m e i s a t i e . S h o w t h a t p l a y e r I I c a n p r e v e n t
p l a y e r I f r o m w i n n i n g .
1 8 0 . ( 1 9 9 5 U S A M O ) A c a l c u l a t o r i s b r o k e n s o t h a t t h e o n l y k e y s t h a t s t i l l
w o r k a r e t h e s i n , c o s , t a n , s i n
? 1
; c o s
? 1
; a n d t a n
? 1
b u t t o n s . T h e d i s -
p l a y i n i t i a l l y s h o w s 0 G i v e n a n y p o s i t i v e r a t i o n a l n u m b e r q ; s h o w t h a t
p r e s s i n g s o m e n i t e s e q u e n c e o f b u t t o n s w i l l y i e l d q A s s u m e t h a t t h e
c a l c u l a t o r d o e s r e a l n u m b e r c a l c u l a t i o n s w i t h i n n i t e p r e c i s i o n . A l l
f u n c t i o n s a r e i n t e r m s o f r a d i a n s .
1 8 1 . ( 1 9 7 7 E o t v o s - K u r s c h a k M a t h C o m p e t i t i o n ) E a c h o f t h r e e s c h o o l s i s
a t t e n d e d b y e x a c t l y n s t u d e n t s . E a c h s t u d e n t h a s e x a c t l y n + 1 a c -
q u a i n t a n c e s i n t h e o t h e r t w o s c h o o l s . P r o v e t h a t o n e c a n p i c k t h r e e
s t u d e n t s , o n e f r o m e a c h s c h o o l , w h o k n o w o n e a n o t h e r . I t i s a s s u m e d
t h a t a c q u a i n t a n c e i s m u t u a l .
1 8 2 . I s t h e r e a w a y t o p a c k 2 5 0 1 1 4 b r i c k s i n t o a 1 0 1 0 1 0 b o x
1 8 3 . I s i t p o s s i b l e t o w r i t e a p o s i t i v e i n t e g e r i n t o e a c h s q u a r e o f t h e r s t
q u a d r a n t s u c h t h a t e a c h c o l u m n a n d e a c h r o w c o n t a i n s e v e r y p o s i t i v e
i n t e g e r e x a c t l y o n c e
1 8 4 . T h e r e a r e n i d e n t i c a l c a r s o n a c i r c u l a r t r a c k . A m o n g a l l o f t h e m , t h e y
h a v e j u s t e n o u g h g a s f o r o n e c a r t o c o m p l e t e a l a p . S h o w t h a t t h e r e i s
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8/3/2019 Math Problem Book II by KimY.li
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a c a r w h i c h c a n c o m p l e t e a l a p b y c o l l e c t i n g g a s f r o m t h e o t h e r c a r s
o n i t s w a y a r o u n d t h e t r a c k i n t h e c l o c k w i s e d i r e c t i o n .
1 8 5 . ( 1 9 9 6 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) A t t h e v e r t i c e s o f a c u b e a r e w r i t t e n
e i g h t p a i r w i s e d i s t i n c t n a t u r a l n u m b e r s , a n d o n e a c h o f i t s e d g e s i s
w r i t t e n t h e g r e a t e s t c o m m o n d i v i s o r o f t h e n u m b e r s a t t h e e n d p o i n t s
o f t h e e d g e . C a n t h e s u m o f t h e n u m b e r s w r i t t e n a t t h e v e r t i c e s b e t h e
s a m e a s t h e s u m o f t h e n u m b e r s w r i t t e n a t t h e e d g e s
1 8 6 . C a n t h e p o s i t i v e i n t e g e r s b e p a r t i t i o n e d i n t o i n n i t e l y m a n y s u b s e t s
s u c h t h a t e a c h s u b s e t i s o b t a i n e d f r o m a n y o t h e r s u b s e t b y a d d i n g t h e
s a m e i n t e g e r t o e a c h e l e m e n t o f t h e o t h e r s u b s e t
1 8 7 . ( 1 9 9 5 R u s s i a n M a t h O l y m p i a d ) I s i t p o s s i b l e t o l l i n t h e c e l l s o f a
9 9 t a b l e w i t h p o s i t i v e i n t e g e r s r a n g i n g f r o m 1 t o 8 1 i n s u c h a w a y
t h a t t h e s u m o f t h e e l e m e n t s o f e v e r y 3 3 s q u a r e i s t h e s a m e
1 8 8 . ( 1 9 9 1 G e r m a n M a t h e m a t i c a l O l y m p i a d ) S h o w t h a t f o r e v e r y p o s i t i v e
i n t e g e r n 2 ; t h e r e e x i s t s a p e r m u t a t i o n p
1
; p
2
; : : : ; p
n
o f 1 ; 2 ; : : : ; n
s u c h t h a t p
k + 1
d i
