Math I Analyse, Licence STS, UCBL2010-2011

Examen : 2 H

Les documents et les calculatrices sont interdits

Question de cours

Enoncer le théorème des accroissements finis (théorème de Lagrange).

Exercice

Trouver l’unique fonction y : R→ R dérivable telle que y(0) = 1 et telle que

y′(x)− x2y(x) = 2e13x3

,

pour tout x ∈ R.

Problème

Soit n un entier supérieur ou égal à 2.On définit la fonction fn : [0, +∞[→ R par

fn(x) = 2x + 3x2 + · · ·nxn−1 − 1.

En particulier on a f2(x) = 2x − 1, f3(x) = 2x + 3x2 − 1 et f4(x) = 2x +3x2 + 4x3 − 1.

1. Etudier les variations de fn sur [0, 1].

1

2. (Question indépendante de la suite de l’exercice) Montrer quefn est une bijection de [0, 1] dans [fn(0), fn(1)] et montrer que

f−1n : [fn(0), fn(1)]→ [0, 1]

est dérivable.3. Démontrer qu’il existe un unique réel an ∈]0, 1[ tel que fn(an) = 0.4. Calculer a2 et a3.5. Démontrer que, pour tout n ≥ 2 et pour tout x ∈]0, 1[, on a :

fn+1(x) > fn(x).

6. En déduire que fn+1(an) > 0 et que la suite (an)n≥2 est strictementdécroissante.

7. Montrer que la suite (an)n≥2 est convergente.8. Notons a la limite de la suite (an)n≥2. Montrer que 0 ≤ a ≤ 1

2.

Dans la suite du problème on va calculer la valeur de la limite a. On définitla fonction gn : [0, 1[→ R par

gn(x) = 1 + x + x2 + · · ·xn.

8. Montrer que gn(x) = xn+1−1x−1

.9. Montrer que 2 + fn(x) = g′n(x) et en déduire que, pour tout x ∈ [0, 1[,

on a :fn(x) =

nxn+1 − (n + 1)xn − 2x2 + 4x− 1

(x− 1)2.

10. Sachant que pour n ≥ 2, on a an ∈ [0, 12], calculer

limn→∞

nan+1n , lim

n→∞(n + 1)an

n et limn→∞

fn(an).

11. Démontrer que a est racine de l’équation 2x2 − 4x + 1 = 0.12. Calculer la valeur de a.

2

Universite Claude Bernard Lyon 1Math II - AlgebreAUTOMNE 2010

Controle final du 19 janvier 2011Duree: 2 heures

Les documents les calculettes et les telephones portables ne sont pas autorises.

EXERCICE 1. Soient E un R-espace vectoriel de dimension n ∈ N∗ et B une base de E. Soitf ∈ L(E) un endomorphisme tel que f2 = −idE . On pose A := matB(f).

1. Calculer det(A2).

2. En deduire que n est un nombre pair.Dans la suite, on suppose que n = dimE = 2.

3. Soit v ∈ E un vecteur non nul. Montrer que la famille C := {v, f(v)} est une base de E.Indication: Soient a, b ∈ R tels que x := av + bf(v) = 0. Calculer f(x).

4. Donner la matrice matC(f).

5. En deduire que pour toute M ∈ M2(R) telle que M2 = −12, il existe une matrice inversible

P ∈ M2(R) telle que P−1MP =

(0 −11 0

).

EXERCICE 2. Calculer le reste de la division euclidienne du polynomeX10 +X9 +X8 +X7 +X6 +X5 +X4 +X3 +X2 +X + 1 par le polynome X2 − 1.

EXERCICE 3. Soit E := R3[X] le R-espace vectoriel des polynomes de degre ≤ 3. Soit ul’endomorphisme de E defini par

u(P ) = le reste de la division euclidienne de XP par X4 − 1.

1. Soit B = {1, X,X2, X3} la base canonique de E. Calculer u(1), u(X), u(X2) et u(X3).En deduire la matrice A de u dans la base B.

2. Trouver les polynomes unitaires P0 et P1 de degre 3 tels que u(P0) = P0 et u(P1) = −P1.(Rappel: Un polynome unitaire de degre 3 est un polynome de la forme X3 + aX2 + bX + c.)

3. Montrer que le noyau Ker(u2 + idE) est le sous-espace vectoriel de E engendre parQ0 := X2 − 1 et Q1 := X3 −X.

4. Montrer que la famille C = {P0, P1, Q0, Q1} est une base de E.

5. Donner la matrice de passage Q de B a C.

6. Calculer Q−1 et la matrice B de u dans la base C.

Universite Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 - UE Math 2

CONTROLE CONTINU NUMERO 4 – 21 janvier 2011

Reglement – L’epreuve dure 30 minutes. Les documents et calculatrices sont interdits. Les telephonesportables doivent etre eteints. Les 7 questions ne sont pas forcement independantes.La feuille doit etre rendue avec les reponses ecrites au verso.

Question 1 [3 pts] .– La circulation du champ de vecteurs−→V1(x, y) = x ~i+ y ~j de R2 le long de l’arc

de cercle γ parametre par x = cos t, y = sin t pour t allant de 0 a π/2 vaut :

(a) 0 (b) 1 (c) π/2 (d) 2π

Question 2 [3 pts] .– La circulation du champ de vecteurs−→V2(x, y) = −y ~i + x ~j de R2 le long du

meme arc de cercle γ vaut :

(a) 0 (b) 1 (c) π/2 (d) 2π

Question 3 [3 pts] .– La circulation du champ de vecteurs−→V3(x, y, z) = (−y + z) ~i + (x + 2z) ~j +

(x+ 2y) ~k de R3 le long du cercle d’equations x2 + y2 = 1, z = 0 (oriente dans le sens positif dans leplan xOy) vaut :

(a) −π (b) 0 (c) π (d) 2π

Question 4 [3 pts] .– Le flux de−→rot−→V3 a travers la surface Σ egale a la portion de paraboloıde

d’equation z = 1− x2 − y2 avec z > 0 (figure 1) et de vecteur normal dirige vers le haut vaut :

(a) −π (b) 0 (c) π (d) 2π

Question 5 [3 pts] .– Soient C le cube de R3 defini par C = [0, 1]× [0, 1]× [0, 1] (figure 2) et−→V4 le

champ de vecteurs de R3 defini par−→V4(x, y, z) = 4xy ~i − y2 ~j + yz ~k. Le flux de ~V4 sortant a travers

la face Σ1 de C correspondant a x = 1 vaut :

(a) 1 (b) 2 (c) 3 (d) 4

Question 6 [3 pts] .– Le flux total de−→V4 sortant a travers la surface du cube C vaut [indication :

utiliser la question 7] :

(a) 3/2 (b) 3 (c) 9/2 (d) 6

x

y

z

1

1

1

O

Figure 1

x

y

z

1

1

1

O

Σ1

Figure 2

1

REPONSES

Date : 21/01/2011 Numero etudiant :

NOM : Prenom :

Questions 1 2 3 4 5 6

Vos reponses

Question 7 [2 pts].– Ecrire la formule d’Ostrogradski.

Reponse :

2

Universite Claude Bernard Lyon 1 PCSI L1 - UE Math 2

CONTROLE CONTINU NUMERO 5 – 21 janvier 2011

Reglement – L’epreuve dure 1 heure et trente minutes. Il est interdit d’utiliser des calculatrices. Il estadmis de consulter des notes personnelles qui tiennent sur une page recto-verso et les deux fiches distribueesen cours. Les telephones portables doivent etre eteints.

Dans tout ce qui suit, R3 est muni d’un repere orthonormal direct (~i,~j,~k). Les variables (x, y, z) indiquentles coordonnees cartesiennes des points et des vecteurs de R3 par rapport a ce repere.

Exercice 1 – Soit ~V (x, y) = y ~i + (x + cos y) ~j un champ de vecteurs dans le plan, qu’on regarde dans R3

en ajoutant une composante nulle dans la direction ~k.

1. Calculer le rotationnel de V . Est-ce que ~V est un champ de gradient ? Si oui, calculer son potentiel.

2. Calculer la circulation de ~V entre le point A = (0, 0, 0) et le point B = (1, π2 , 0) le long du segment dedroite y = π

2x contenue dans le plan d’equation z = 0, illustre dans la figure 1.

3. Calculer la divergence de ~V . Est-ce que ~V est le rotationnel d’un champ de vecteurs de R3 ?

4. Soit S le cube de R3 de cotes [0, π2 ], oriente par les vecteurs normaux sortant du cube, comme dans la

figure 2. Calculer le flux de ~V a travers S en utilisant le theoreme d’Ostrogradski.

x

y

z

π/2

Figure 1

Α

1Β

x

y

z

π/2π/2

π/2

Figure 2

Exercice 2 – Soit ~U(x, y, z) = x2 ~i + xz ~j + yz ~k un champ de vecteurs de l’espace.

1. Dessiner la courbe orientee C = C1 ∪ C2 ∪ C3 ∪ C4 de R3, ou

– C1 = {(x, y, z), y = 0, z = 0, 0 ≤ x ≤ 1} est le segment oriente dans le sens des x croissants ;

– C2 = {(x, y, z), x = 1, z = y, 0 ≤ y ≤ 1} est le segment oriente dans le sens des y croissants ;

– C3 = {(x, y, z), y = 1, z = 1, 0 ≤ x ≤ 1} est le segment oriente dans le sens des x decroissants ;

– C4 = {(x, y, z), x = 0, z = y, 0 ≤ y ≤ 1} est le segment oriente dans le sens des y decroissants.

Calculer la circulation de ~U le long de C.

2. Soit S le rectangle plat de R3 ayant C comme bord, oriente par le vecteur normal ~N = (0,−1, 1).Calculer le flux de

−→rot ~U a travers S en utilisant le theoreme de Stokes.

U.E. “Math 2 Analyse”

Controle Continu Integral: controle final (le 18/01/2011)

Duree: 2 heures.

Exercice 1

1. Ecrire le developpement limite a l’ordre 7, en 0, de x2 cos(x)− sin2(x).

2. Ecrire le developpement limite a l’ordre 3, en 0, de cos(x)

sin2(x)− 1

x2 et en deduire sa limite en 0.

Exercice 2

1. A l’aide d’une integration par partie, calculer

I =

∫ 1

0

2x arctan(x)dx.

2. A l’aide du changement de variable t = ex, calculer

J =

∫ 2

1

dx

sh(x).

3. A l’aide du changement de variable t = sin(x), calculer

K =

∫ π/2

0

cos5(x) sin4(x)dx.

4. Calculer l’integrale

L =

∫ 3

2

4x2 + x + 4

(x− 1)(x + 2)2dx.

Indication: commencer par ecrire

4x2 + x + 4

(x− 1)(x + 2)2=

a

x− 1+

b

(x + 2)+

c

(x + 2)2,

et identifier a, b, c.

Exercice 3 Soit I =]1, +∞[. On designe par f : I → R l’application definie par

f(x) =

∫ x2

x

ln(t)

(t− 1)2dt.

1. Determiner le signe de f(x).

2. Justifier la derivabilite de f sur I, et calculer f ′(x) pour tout x ∈ I. On exprimera f ′(x) de lamaniere la plus simple possible.

3. Montrer que pour tout t ∈ I, on a

t− 1− (t− 1)2

2< ln(t) < t− 1.

On pourra utiliser la formule de Taylor Lagrange a x 7→ ln(x) entre 1 et t.

4. En deduire l’existence et la valeur de limx→1+

f(x)

Université Claude Bernard Lyon I. Année universitaire 2010-2011

Licence STS

UE MAT 1005 L Techniques Mathématiques de Base

CONTRÔLE CONTINU TERMINAL

DURÉE 2 H

Les calculatrices sont interdites, ainsi que tout document. On attachera du prix à

la rédaction des solutions.

________

Exercice 1. Soient x y<<<< deux nombres réels. Montrer que l’on a :

2 2

1 Arctan y Arctanx 1

1 y y x 1 x

−−−−< << << << <+ − ++ − ++ − ++ − +

.

________

Exercice 2. On veut calculer l’intégrale :

−−−−====+ −+ −+ −+ −∫∫∫∫

6

2

0

(3 sint 1) sin2tI dt

(sin t 1)( 2 sint 2 )

.

1) Montrer, par changement de variable, que l’on a : −−−−====

+ −+ −+ −+ −∫∫∫∫1/2

2

o

x(3x 1)I dx

( x 1)( x 1).

2) Décomposer la fraction rationnelle 2

x(3x 1)R( x )

( x 1)( x 1)

−−−−====+ −+ −+ −+ −

en

éléments simples. 3) Calculer une primitive de la fraction rationnelle R( x ) , et en déduire la valeur de l’intégrale I .

________

Exercice 3. On veut résoudre l’équation différentielle :

(1) y'( x ) y( x )tanx exp( x )− =− =− =− = où x2 2

−−−− < << << << < .

1) Déterminer la solution générale de l’équation différentielle :

( 2 ) y'( x ) y( x )tanx==== où x2 2

−−−− < << << << < .

2) Calculer une primitive de la fonction →→→→x cosx exp( x ) . 3) Déduire de ce qui précède la solution générale de l’équation différentielle (1) , et déterminer la solution y de (1) qui vérifie

12

y(0 ) = −= −= −= − . ________

Exercice 4. On veut résoudre l’équation différentielle :

(1) y"( x ) 2y'( x ) 2y( x ) 2 exp( x )cos2x− + =− + =− + =− + = . 1) Déterminer la solution générale de l’équation différentielle :

( 2 ) y"( x ) 2y'( x ) 2y( x ) 0− + =− + =− + =− + = . 2) Soit y une solution particulière de (1) , et posons :

y( x ) exp( x )u( x )==== . Montrer que u vérifie l’équation différentielle :

(3 ) u"( x ) u( x ) 2 cos( 2x )+ =+ =+ =+ = . 3) Déterminer une solution particulière de (3 ) . En déduire la solution générale de l’équation différentielle (1) .

________

Université C laude Bernard-Lyon 1 L icence « sciences et technologie »

analyse I I » Contrôle continu final

Mercredi 15 JUIN 2011-Durée 2 heures Les exercices ci- votre choix.

. Le sujet est imprimé sur deux pages (une feuille imprimée recto-verso).

Exercice 1 : 1°) Soit , écrire la formule de Taylor-Lagrange de la fonction entre et , avec un

. 2°) En déduire que est une valeur approchée de

à près.

Exercice 2 : Soient et trois réels, avec .

, au voisinage de de la fonction définie par

2°) Sachant que

Trouver et .

Exercice 3 : Soient et deux fonctions continues et telles que pour tout

On pose, pour tout

1°) Montrer que pour tout

2°) En déduire que pour tout

3°) Montrer que est décroissante sur . 4°) En déduire que pour tout

5°) En déduire que pour tout

Exercice 4 : Soit

On pose

On rappelle que

1°) Montrer que pour tout , est une intégrale convergente et strictement positive. 2°) Calculer et et en déduire et . 3°) Pour tout , calculer . 4°) En déduire .

Universite Claude Bernard Lyon 1Licence Sciences et Technologies

Annee 2010-2011

Unite d’enseignement : Math II AlgebreControle final – juin 2011

Duree : 2 heures

Les documents, calculettes et telephones portables ne sont pas autorises.

Le controle se compose d’un probleme et d’un questionnaire, que l’on traitera dans l’ordre quel’on voudra.

ProblemePremiere partie

On fixe un reel a et on considere l’application :

u : R3[X] −→ R3[X]

P 7−→ P − 1

3(X − a)P ′,

ou R3[X] designe l’espace des polynomes de degre inferieur ou egal a 3.On note B = (1, X,X2, X3) la base canonique de R3[X].

1. Montrer que l’image d’un element P de R3[X] appartient bien a R3[X].

2. Montrer que l’application u est lineaire.

3. Determiner la matrice de u dans la base B.

4. Demontrer que la famille B′ = (1, X − a, (X − a)2, (X − a)3) est une base de R3[X].

5. Calculer, pour tout k ∈ {0, 1, 2, 3}, les coordonnees de u((X − a)k) dans la base B′. Endeduire la matrice D de u dans la base B′.

6. Determiner une base du noyau de u, une base de l’image de u et le rang de u.

[On pourra utiliser la matrice D.]

Deuxieme partieSoit P un polynome de degre 3 a coefficients reels tel que P ′ divise P .

7. Montrer qu’il existe des reels α et β tels que

P = (αX + β)P ′.

8. Montrer qu’il existe un reel a tel que

P =1

3(X − a)P ′.

9. En deduire tous les polynomes P de degre 3 a coefficients reels tels que P ′ divise P .

[On pourra utiliser l’endomorphisme u de la premiere partie.]

1

Troisieme partieSoit P un polynome de degre n ≥ 1 a coefficients complexes tel que P ′ divise P .

10. Demontrer qu’il existe un complexe a tel que P = 1n(X − a)P ′.

11. Soit a1, . . . , ar des complexes deux a deux distincts et m1, . . . ,mr des entiers naturels nonnuls. On considere le polynome :

Q =r∏

k=1

(X − ak)mk .

Calculer Q′ et en deduire la decomposition en elements simples de Q′/Q.

12. En deduire que P n’a qu’une seule racine.

QuestionnaireLes differentes questions sont independantes.

1. Soit n un entier naturel non nul et A la matrice n× n dont tous les coefficients valent 1 :

A =

1 1 · · · 11 1 1...

......

1 1 · · · 1

.

Determiner le rang de A ; en deduire le determinant de A.

2. Soit E un espace vectoriel de dimension finie et ϕ un endomorphisme de E, c’est-a-direune application lineaire de E dans E.

(a) Donner sans preuve la relation entre dim(E), dim Ker(ϕ) et rg(ϕ).

(b) Demontrer que ϕ est injective si, et seulement si ϕ est surjective.

3. Donner la decomposition en elements simples de la fraction rationnelle F =1

X(X − 1)2.

4. Soit n un entier naturel non nul et A = (aij)1≤i,j≤n une matrice n × n a coefficientscomplexes. On suppose que pour i et j entiers compris entre 1 et n, on a :

aii 6= 0 et i < j =⇒ aij = 0,

c’est-a-dire :

A =

a11 0 · · · 0...

. . .. . .

......

. . . 0an1 · · · · · · ann

.

Demontrer que A est inversible.

2

Université Lyon 1Math-III-algèbre — semestre d’automne 2010-2011

Contrôle finaljeudi 20 janvier 2011

13h45 - 15h45documents et calculatrices interdits

Question de cours : Énoncer le théorème de décomposition de Dunford-Jordan ?

Exercice 1 Soit

A :=

0 1 0

−1 0 1

0 −1 0

.

a) Calculer le polynôme caractéristique de A : χA(X).b) Trouver a, b ∈ R tels que :

1

χA(X)=

a

X+

b

X − i√

2+

b

X + i√

2.

c) Exprimer les projecteurs spectraux de A en fonction de A.d) Pour tout n > 0, déterminer des réels αn, βn tels que :

An = αnA2 + βnA .

e) Calculer les coefficients de la matrice A2n pour n > 0.

Exercice 2 Soit :

A :=

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

.

a) Calculer A2, A3, A4.b) Calculer le polynôme caractéristique de A : χA(X).c) Exprimer les projecteurs spectraux de A comme des polynômes en A.d) Montrer que pour tout t réel, on a :

exp(tA) =1

2(cosh t+ cos t)I4

+1

2(sinh t+ sin t)A

+1

2(cosh t− cos t)A2

+1

2(sinh t− sin t)A3

1

où : cosh t = et+e−t

2 et sinh t = et−e−t

2 .f) Trouver la fonction x : R→ R, 4 fois dérivable, qui vérifie :

x(4) = x , x(0) = x′(0) = x′′(0) = 0, x′′′(0) = 1 .

Exercice 3 Soit A :=

a b

c d

une matrice réelle. On pose ∆ := (a− d)2 +

4bc.On suppose dans cet exercice que ∆ = 0.a) Montrer que A n’a qu’une seule valeur propre.b) En déduire la formule suivante :

exp(A) = ea+d2

1 + a−d2 b

c 1− a−d2

Exercice 4 a) Déterminer les polynômes caractéristiques et minimaux des ma-trices suivantes :

A :=

1 1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 1 1 0

0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 1

et B :=

1 1 0 0 0 0 0

0 1 1 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 1 1 0 0

0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 1 1

0 0 0 0 0 0 1

.

b) Les matrices A et B sont-elles semblables ?

Exercice 5 (Cet exercice porte sur les t.p. sage, il est facultatif pour ceux quiont une dispense d’assiduité)

*

a) Comment définir la matrice suivante avec le logiciel sage :

M :=

1 2 0 0

0 1 0 0

0 0 −1 0

0 0 2 −1

?

b) Quelle commande taper pour calculer M2011 ?c) Quel résultat obtient-on si tout marche bien ?

2

UNIVERSITE CLAUDE BERNARD LYON 1 Math IV, AnalyseInstitut Camille Jordan Epreuve finale

Epreuve du 21 janvier 2011Grignard 24, 13h30-15h30

L’usage des documents autres que ceux distribues par le surveillant, des calculateurs, destelephones portables est interdit.

Vous pouvez utiliser sans preuve tout resultat de cours sauf si c’est le sujet d’un exercice.Sauf mention contraire, vous devez justifier toute reponse rigoureusement.

Il y a trois points bonus.

L’epreuve sera terminee a 15h30, auquel moment, si vous etes toujours present en salle,vous etes prie d’arreter d’ecrire afin de ne pas compliquer le ramassage des copies.

N’oubliez pas s’il vous plaıt de signer la liste avant de partir.

Exercice 1 (Points elementaires (4 pts)).(a) (1 pt) Soit (E, ‖ ‖) un espace norme arbitraire. Montrer que pour tous x, y ∈ E,

| ‖x‖ − ‖y‖ | ≤ ‖x− y‖ .

(b) (1 pt) Soit (E, ‖ ‖) un espace norme arbitraire. On munira R de | | (la valeur absolue usuelle)comme norme. Montrer que l’application f : E −→ R, definie par x 7−→ ‖x‖, est une applicationcontinue.

(c) (1,5 pts) Tracer soigneusement dans le plan cartesien, a l’aide d’un repere orthonorme, la region

E = { (x, y) ∈ R2 | |x| < |y| } .

Determiner si la region E est convexe.

(d) (0,5 pt) Donner la definition d’un diffeomorphisme.

Exercice 2 (Extrema (9 pts)).On definit la fonction suivante :

f : R2 −→ R(x, y) 7−→ (x4 + y4 + 1)e−(x2+y2)

1. (0,5 pt) Verifier que f (x, y) = f (−x,−y) = f (x,−y) = f (−x, y) pour tout (x, y) ∈ R2.2. (3 pts) Verifier que les points critiques de f sont (1, 0), (−1, 0), (0, 1), (0,−1), (0, 0).3. (3 pts) Verifier, en precisant si c’est un minimum ou maximum, que f admet un extremum

local en (0, 0).4. (2 pts) Montrer que la restriction de f a la droite

{ (x, 0) ∈ R2 | x ∈ R }est decroissante sur R+. En deduire que f n’admet pas d’extremum en (1, 0).

5. (0,5 pts) Determiner si f admet un extremum aux points critiques restants.

Tourner la page s’il vous plaıt.

Exercice 3 (Changements de variables, integration multiple (7 pts)).On fixe deux nombres reels strictement positifs a ≤ b. On definit ensuite

D = { (x, y) ∈ R2 | a ≤ x2 + y2 ≤ b , x ≥ 0 , y ≥ 0 } .

On definit la fonction suivante :

Ψ : D −→ R2

(x, y) 7−→ (u, v) ,

ou u(x, y) = x2 − y2 et v(x, y) = 2xy. On admettra que la restriction de Ψ a la region D est undiffeomorphisme.

1. (1,5 pt) Determiner la matrice jacobienne de Ψ en un point (x, y) ∈ D. En deduire sondeterminant ainsi que celui de son inverse.

2. (2 pts) Montrer que Ψ(D) = { (u, v) ∈ R2 | a2 ≤ u2 + v2 ≤ b2 , v ≥ 0 } . (Il y a deux inclusionsa verifier.)

3. (2 pts) Montrer que∫ ∫

De(x2−y2)2e4x2y2

(x2 + y2) dxdy =14

∫ ∫

Ψ(D)eu2+v2

dudv .

4. (1,5 pts) Determiner la valeur de l’integrale∫ ∫

De(x2−y2)2e4x2y2

(x2 + y2) dxdy .

Exercice 4 (Formes differentielles (3 pts)).1. (1 pt) Utiliser le theoreme de Green-Riemann pour verifier que la forme

ω(x, y) =12

(−y dx + x dy)

permet de determiner l’aire d’une partie compacte de R2 limitee par une courbe de classe C1 parmorceaux.

2. (1,5 pts) Exprimer la forme du point precedent en coordonnees polaires (x, y) = (r cos t, r sin t)avec r ∈ R∗+ et t ∈]− π, π[ sur une region ou r est une fonction de t, en d’autres termes r = r(t).

3. (0,5 pts) Determiner l’aire limitee par la courbe r =√

2 cos(2t) quand t ∈ [−π4 , π

4 ].

C’est la fin.

Université Lyon I1er semestre 2010-2011

Math-IV-Algèbre (L2)Examen final

Mardi 18 janvier 201113h15-15h15

Documents et calculatrices interdits

Question de cours : Définir le noyau d’une forme quadratique.

Exercice 1 Soit H :=

a b

−b a

: a, b ∈ C

.

On pose :

e :=

1 0

0 1

, I :=

i 0

0 −i

, J :=

0 1

−1 0

, K :=

0 i

i 0

.

a) Montrer que e, I, J,K est une base deH vu commeR−espace vectoriel.b) Montrer que H est un sous-espace des matrices 2×2 complexes stable

par le produit.c) On pose q(A) := −1

2Tr(A2) si A ∈ H. Montrer que q(A) ∈ R siA ∈ H. Montrer que q est une forme quadratique réelle en donnant la formebilinéaire symétrique associée.

d) Si x1, x2, x3, x4 sont des réels, calculer q(x1e+ x2I + x3J + x4K). Endéduire la signature de q et sa matrice dans la base e, I, J,K.

e) On pose H0 := RI ⊕ RJ ⊕ RK. On pose 〈A,A′〉 := −12Tr(AA′). si

A,A′ ∈ H0. Montrer que 〈·, ·〉 est un produit scalaire sur H0 et que, pour ceproduit scalaire, I, J,K est une base orthonormale.

f) Si A =

a b

c d

, on pose A∗ := tA :=

a c

b d

.

On pose S := {s ∈ H : s∗s = e}. Montrer que

a b

−b a

∈ S ⇔ |a|2 +

|b|2 = 1.g) Montrer que si h ∈ H, alors : h ∈ H0 ⇔ h∗ = −h. En déduire que :

shs∗ ∈ H0 pour tout s ∈ S et tout h ∈ H0.h) Si s ∈ S, on pose Φ(s) : H0 → H0, h 7→ shs∗. Montrer que 〈Φ(s)(h),Φ(s)(h′)〉 =

〈h, h′〉 si s ∈ S et h, h′ ∈ H0. Qu’en déduire pour la matrice de Φ(s) dans labase I, J,K ?

1

i) Soit θ un réel. Soit t :=

eiθ 0

0 e−iθ

. Déterminer la matrice de Φ(t)

dans la base I, J,K.

Exercice 2 Soit C la conique d’équation :

x2 + xy + y2 + 3x+ 4y + 4 = 0 .

a) Trouver une base orthonormale formée de vecteurs propres de la ma-

trice

1 12

12 1

.

b) Montrer que C est une ellipse et déterminer son centre et ses axesprincipaux.

c) Représenter par un dessin C , ses axes principaux et les axes de coor-données (x = 0) et (y = 0).

Exercice 3 a) Soient a, b, c trois réels. Calculer le déterminant de la ma-trice :

0 a 0 0

−a 0 b 0

0 −b 0 c

0 0 −c 0

.

Soit E un R−espace vectoriel de base e1, e2, e3, e4.Soit ϕ : E × E → R la forme bilinéaire alternée telle que :

ϕ(e1, e2) = 2, ϕ(e1, e3) = −1, ϕ(e1, e4) = 3,

ϕ(e2, e3) = 4, ϕ(e2, e4) = −2,

ϕ(e3, e4) = 1 .

b) Soit A la matrice de ϕ dans la base e1, e2, e3, e4. Déterminer A.c) Soit F := Re1 ⊕Re2. Trouver une base e′3, e′4 de

F⊥ = {v ∈ E : ∀ w ∈ F, ϕ(v, w) = 0} .

d) Donner la matrice de ϕ dans la base e1, e2, e′3, e′4 et en déduire unematrice inversible P telle que :

tPAP =

0 1 0 0

−1 0 0 0

0 0 0 1

0 0 −1 0

.

2

Universite Claude Bernard Lyon 1

L2 - Graphes, Automates, Langages

CF du 19 janvier 2011 - 2h

Les documents, calculettes et telephones portables ne sont pas autorises.Motiver chaque reponse. La qualite de la redaction est prise en compte.

Question 1.

a. Lesquels des graphes G1, G2, et G3 sont isomorphes ? Dans le cas positif donner unisomorphisme explicite et dans le cas negatif donner une justification.

3

a b

d

e

c

E

D

BA

C 3

5

4

21

G G G1 2

b. Donner la liste des cycles du graphe G1 ?

c. Denombrer toutes les chaınes de longueur 3 ayant pour extremites les sommets b etd de G1.

d. Calculer ℓ(G) le nombre d’etiquetages des sommets de G1 avec {a, b, c, d, e} quidonnent lieu a des graphes non-isomorphes.

e. En deduire le cardinal et les elements de l’ensemble Aut(G1).

f. Calculer le nombre d’arbres recouvrant de G1 (en figure ci-dessus).

Question 2. Un graphe simple est dit 3-regulier si tous ses sommets ont degre 3.

a. Quel est le nombre minimum de sommets que doit posseder un graphe 3-regulier ?

b. Montrer que il n’existe pas un tel graphe avec un nombre impair de sommets.

c. Construire un graphe 3-regulier ayant 4, 6 et 8 sommets.

d. S’il existe, construire un graphe hamiltonien 3-regulier ayant 4, 6 et 8 sommets.

Tournez la page s.v.p.

Question 3. Construire un automate fini deterministe sur l’alphabet A = {a, b} quiaccepte les langages suivants :

a. L1 = les mots sur A dont toute occurrence de b est immediatement suivie d’au moinsdeux occurrences de a.

b. L2 = {w ∈ A∗| w commence avec a et est de longueur impaire}.

c. Le langage donne par l’expression rationnelle : ba(aba)∗b+ a∗(aba)∗.

Question 4. On considere l’automate A ci-dessous.

a

5

1

4

2

3a

a

b

a

b

a

bb

a. Parmi les etats de A, y a-t-il un puits ?

b. L’automate A n’est pas normalise, pourquoi ? Le normaliser.

c. Calculer L(A) le langage accepte par A.

d. Trouver un mot dans le langage (ab+ baa + b)∗ qui n’appartient pas a L(A).

Universite Claude Bernard Lyon 1 Examen du 19 janvier 2011

Licence Duree 2h00

Math 3

Ni les documents ni les calculatrices ne sont authorises.

EXERCICE 1

On considere l’equation aux derivees partielles (E) suivante :

∂f

∂x− y

x

∂f

∂y= 4x2y

1. On note U = {(x, y) ∈ R2 : x > 0}. Montrer que le changement devariables defini par u = x2 et v = 2xy est un diffeomorphisme de Udans U .

2. On pose F (u, v) = f(x, y). Determiner l’equation aux derivees par-tielles (E ′) verifiee par F .

3. Trouver l’ensemble des solutions de (E ′) sur U , et en deduire les solu-tions de (E) sur U .

4. Quelle solution de l’equation verifie ∀x > 0, f(x, x) = 3x4 ?

EXERCICE 2

On considere l’equation differentielle (E) suivante :

f ′′ + Cf = cos2(ωx)

ou ω > 0 et C ∈ R.

1. Developper h = cos2(ωx) en une serie de Fourier.

2. Determiner les valeurs C pour lesquelles (E) admet une solution perio-dique 1 et determiner cette solution.

1. On pourrait donc supposer que la solution peut etre developpee en une serie deFourier.

1

EXERCICE 3

On considere la matrice :

A =

(1 21 0

)1. Calculer les valeurs propres et les vecteurs propres de A.

2. En deduire une matrice diagonale D et une matrice inversible P tellesque A = P DP−1.

3. Donner l’expression de la matrice An pour tout entier naturel n > 2.

EXERCICE 4

On considere la serie entiere+∞∑n=1

nαxn

ou α est un nombre reel.

1. Determiner le rayon de convergence R de cette serie entiere.

2. Etudier la convergence de cette serie en x = R et x = −R (on discuteraselon les valeurs de α).

3. On suppose α = 1. Calculer la somme de la serie entiere∑+∞

n=1 nxn.

2

Université Claude Bernard Lyon 1 - printemps 2011Licence Sciences, Technologies, Santé - mention mathématiques

UE Math III Algèbre - MAT2002L————————

CONTRÔLE FINAL

- VENDREDI 17 JUIN, DURÉE 2H -

Les calculatrices et les documents ne sont pas autorisés.

Exercice 1.On considère la matrice réelle suivante

A =

[1 1

1 1

].

1) Déterminer le rang de A.2) Déterminer le noyau de A.3) La matrice A est-elle diagonalisable ?4) Déterminer le polynôme minimal de A.

Exercice 2.On considère la matrice suivante

A =

[0 −1

1 0

].

1) Cette matrice est-elle diagonalisable dansM2(R) ?2) Cette matrice est-elle digonalisable dansM2(C) ?

Exercice 3.Soit A une matrice deMn(R) dont le polynôme minimal est

mA = (X− 5)(X− 3).

1) Montrer que A est inversible.2) Exprimer en fonction de A l’inverse de A.

Exercice 4.On considère la matrice suivante deMn(R)

A =

n 1 · · · 1

1 n. . .

......

. . . . . . 1

1 · · · 1 n

1) La matrice A est-elle diagonalisable ?2) Montrer que n− 1 est une valeur propre de A.3) Déterminer le sous-espace propre associé à la valeur propre n− 1.4) Quel est l’ordre de multiplicité de la valeur propre n− 1 ?

1

5) Calculer la trace de la matrice A. En déduire la valeur de toutes les valeurs propres de A.6) Résoudre le système différentiel suivant

dx

dt= 3x+ y+ z

dy

dt= x+ 3y+ z

dz

dt= x+ y+ 3z

où x, y, z : R −→ R sont trois fonctions dérivables vérifiant x(0) = 1, y(0) = z(0) = 0.

Exercice 4.On considère la matrice deM4(R) suivante

A =

1 a2 a2 a

1 1 a 1

1 a 1 1

a a2 a2 1

.

1) Déterminer le rang de la matrice A − (1− a)14. En déduire que 1− a est valeur propre de A.2) Si a = 0, la matrice A est-elle diagonalisable ?

Dans la suite, on suppose que le réel a est non nul.3) Déterminer toutes les valeurs propres de A. La matrice A est-elle diagonalisable ?4) Déterminer le polynôme caractéristique et le polynôme minimal de A.5) Exprimer en fonction de A les projecteurs spectraux de A.6) Exprimer les matrices Ak, pour tout entier naturel k, et eA en fonction de la matrice A.

Exercice 5.Dans un pays, on étudie la migration de population entre les zones rurales et les zones urbaines.

Chaque année la moitié de la population des campagnes migre vers les villes, pendant qu’un quartde la population des villes va habiter dans des zones rurales.

Notons rk la proportion de la population totale qui habite en zone rurale au terme de la k-ièmeannée et uk la proportion de population qui habite en zone urbaine au terme de la k-ième année.S’agissant de proportion de population, on a, pour toute année k, rk + uk = 1. On note r0 et u0 lesproportions de populations initiales.

1) Écrire un système d’équations décrivant l’évolution des deux populations.2) Calculer la proportion de population qui habite la campagne l’année k.3) Quel est à terme la répartition des populations entre ces deux zones géographiques.4) Les zones rurales seront-elles complètement désertées ?

2

Universite Claude Bernard Lyon 1Licence 2 – Courbes et surfaces

Controle continu finalJeudi 16 juin 2011 - Duree 2 heures

Les documents sont autorises mais les calculettes sont interdites (car inu-tiles). Les deux exercices sont independants. Il sera tenu compte de la qualitede la redaction pour l’attribution d’une note.

Le QCM. – On repond par vrai ou faux, sans justifier. Dans les questions,I est un intervalle ouvert non vide et toutes les applications sont C∞ saufmention explicite du contraire.

1.– Il n’existe pas de courbe parametree de classe C1 dont le support soitΓ = {(0, y) |y ∈ R+} ∪ {(x, 0) |x ∈ R+}.

2.– Le support de la courbe γ : R −→ R3, t 7−→ (cos(cos t), sin(cos(t)), cos(t))est inclu dans une sphere.

3.– La courbe polaire ρ(θ) =1

sin θou θ ∈]0, π[ a pour support une droite.

4.– Soient O = (0, 0) et A = (2, 0) deux points du plan et P = [O,A] ×[−1

2, 12]. Alors, il existe une courbe plane bireguliere a courbure constante ≥ 1

joignant O et A et dont le support est contenu dans P.

5.– Soit γ : [0, 2π] −→ R2, t 7−→ (cos3 t, sin3 t). L’aire du domaine delimite

par γ vaut3π

8.

6.– Soit γ : [0, 2π] −→ R2 une courbe plane bireguliere fermee. Si le supportde γ est un cercle alors l’indice de rotation de γ vaut ±1.

7.– Soit γ : [0, 2π] −→ R2 une courbe fermee simple C2 et r une reflexionquelconque du plan, alors Ind(r ◦ γ) = −Ind(γ).

1

8.– Soit h : R −→ R strictement croissante alors la surface parametree(u, v) 7−→ (h(u) cos v, h(u) sin v, u), (u, v) ∈ R2 est reguliere.

9.– L’aire de la surface parametree (u, v) 7−→ ((2+cosu) cos v, (2+cosu) sin v, sinu),(u, v) ∈ [0, 2π]× [0, 2π], vaut 8π2.

10.– L’helicoıde (u, v) 7−→ (v cosu, v sinu, v) ne possede aucun plan tangentcontenant une droite verticale.

Exercice 1 (Une courbe couture de la balle de tennis). – Soient a, b deuxreels strictement positifs. On considere la courbe γ : [0, 2π[−→ R3 donneepar

t 7−→ γ(t) =

x(t) = a cos t+ b cos 3ty(t) = a sin t− b sin 3t

z(t) = 2√ab sin 2t

1) Determiner les points reguliers de γ.

2) Montrer que le support Γ de γ est inclus dans une sphere que l’on determinera.

3) Soit r la rotation de R3 d’angle π autour de la verticale (on dit que r estun retournement). Montrer que le support de γ est invariant par r.

4) Determiner les points d’intersection de Γ avec l’equateur de la sphere.

5) Pour quelle(s) valeur(s) de b la courbe a-t-elle une tangente verticale auxpoints d’intersection avec l’equateur ?

Exercice 2 (Surfaces cyclotomiques).– Soit I un intervalle non vide de

R.. A toute courbe polaire ρ : IC∞−→ R+ on associe la surface parametree

2

f : I × [0, 2π[−→ R3 definie par

(u, v) 7−→ f(u, v) =

x(u, v) = ρ(u) cosu cos vy(u, v) = ρ(u) sinu cos vz(u, v) = ρ(u) sin v

1) Montrer que f est reguliere si et seulement si ρ est reguliere.

2) On suppose que f est reguliere. Donner l’expression d’une normale en(u, v) a f .

3) On suppose desormais que ρ : R C∞−→ R∗+. Montrer que le support de f est

une union infinie de cercles.

4) Montrer que si ρ est strictement monotone alors f n’a pas de point double(i. e. est injective).

5) On suppose que ρ : ]0, 1] −→ R+∗ , u 7−→ u (i.e. ρ est l’identite !). Determiner

l’aire de f.

3

Controle Continu Finale: Math III Analyse(20/06/2011)

Avant propos : La duree de l’examen est de 2h. Aucun document et aucune calcula-trice ne sont autorises durant l’epreuve. La justification des reponses et un soin particulier de lapresentation seront demandes.

Exercice I (2 points)

1. (1 point) Completer la definition suivante: Soit (fn)n∈IN une suite de fonctions D ⊂ IC → IC etf : D ⊂ IC→ IC. On dit que (fn)n∈IN converge simplement vers f sur D ssi. ...

2. (1 point) Completer la definition suivante: Soit (fn)n∈IN une suite de fonctions D ⊂ IC → IC etf : D ⊂ IC→ IC. On dit que (fn)n∈IN converge uniformement vers f sur D ssi. ...

Exercice II (3 points)1. (1 point) Rappeler la definition de lim supxn d’une suite de reels (xn)n∈IN.

2. (2 points) Soit (xn)n∈IN une suite de reels bornee. Montrer que L = lim supxn est caracteriseepar la condition suivante:

Pour tout ε > 0, l’ensemble des n tels que xn ≥ L + ε est fini, et l’ensemble des n tels quexn ≥ L− ε est infini.

Exercice III (2 points) Determiner la somme de la serie

∞∑n=0

(2n)(2)−2n.

1

Exercice IV (2 points) Determiner la somme

∞∑n=0

3

(3n+ 1)(3n+ 4).

Indication: On pourra ecrire

3

(3n+ 1)(3n+ 4)=

a

3n+ 1+

b

3n+ 4

avec a, b des reels a determiner.

Exercice V (3 points) Soit (fn)n∈IN la suite de fonctions definit par

fn(x) =

{−n3 x2 + 2n2 x si x ∈ [0, 2

n]

0 si x ∈ [ 2n, 1]

1. (1 point) Etudier la convergence simple de la suite (fn)n∈IN sur [0, 1].

2. (1 points) Determiner

limn→∞

∫ 1

0

fn(x) dx.

1. (1 point) En deduire que la suite (fn)n∈IN ne converge pas uniformement sur [0, 1].

Exercice VI (3 points) Determiner le rayon de convergence des series entieres suivantes :

1. (1 point)∞∑

n=1

xn

nn

2. (1 point)∞∑

n=1

n!x2n

nn

3. (1 point)∞∑

n=1

(1 +

1

n

)n

xn

2

Exercice VII (2 points) Etudier la convergence de la serie

∞∑n=0

22nn!n!

(2n)!.

Exercice VIII (3 points) On considere la solution f(x) de l’equation differentielle

(1 + x2) f ′(x) + x f(x) = 1

ou f(0) = 0. Trouver le developpement en serie entiere∑∞

n=0 anxn de f(x).

3

Université Claude Bernard Lyon 1

Licence 3ème annéeFonctions de variables complexe

Examen final du 20 juin 2011 – Durée : 3 heures

L’énoncé comporte deux pages.Il n’est pas nécessaire de tout traiter pour obtenir la note maximale.Le barème est indicatif.

QUESTION DE COURS [6 pts]1. Qu’est-ce qu’un ouvert simplement connexe de C ?2. Montrer que toute fonction holomorphe sur un ouvert connexe U admet une primitive.3. Donner un contre-exemple dans le cas où U est connexe mais pas simplement connexe.

EXERCICE 1 [8 pts]

On pose a = (1 + i)

√π

2et g(z) =

e−z2

1 + e−2az.

1. Montrer que g(z)− g(z + a) = e−z2 .2. Trouver l’ensemble des singularités de g, donner leur nature et calculer le résidu de g ena/2.

3. Pour r > 0, on définit Cr le parallélogramme de sommets −r, r, r + a, −r − a, parcourudans le sens direct. Calculer l’intégrale

I =

∫Cr

g(z)dz.

4. Montrer que lorsque r tend vers l’infini, l’intégrale de g sur les côtés "non horizontaux"du parallélogramme Cr tend vers 0.Indication : si z1, z2 ∈ C, le segment [z1, z2] a pour équation γ(t) = (1− t)z1 + tz2 pour t ∈ [0, 1].

5. En déduire la valeur de l’intégrale suivante :∫ +∞

−∞e−x2

dx.

EXERCICE 2 [3 pt]Développer en série de Laurent dans l’ensemble C \ {0} (autour 0) les fonctions suivantes :

f(z) = z exp

(1

z

)et g(z) = exp

(z +

1

z

).

1

EXERCICE 3a [3 pts]

1. Soit log la détermination principale du logarithme dans le plan fendu C−R−. Étudier leraisonnement suivant :

(1+i)2 = (−1−i)2 donc log(1+i)2 = log(−1−i)2 donc 2 log(1+i) = 2 log(−1−i)donc log(1 + i) = log(−1− i) donc 1 + i = −1− i.

Trouver l’erreur.2. Soit L1 (respectivement, L2), la détermination du logarithme dans C − {ir, r > 0} (res-

pectivement, dans C− {ir, r < 0}) telle que L1(1) = 0 (et L2(1) = 0).Quelle sont les valeurs L1(−1) et L2(−1) ?

EXERCICE 3b [8 pts]1. Soit a > 0. Justifier l’existence d’une détermination du logarithme de z − ia dans le

demi-plan =(z) < a. Utiliser cette détermination du logarithme pour calculer l’intérgale∫ c

−cdx

x−iaet passer à la limite quand c→∞.

Quel sera le résultat si a < 0 ?Soit λ ∈ C, =λ 6= 0. Déduire de ce qui précède la valeur de

limc→∞

∫ c

−c

dx

x− λ.

2. Soit p(z) et q(z) deux polynômes de degrés respectifs m et n, m ≤ n− 2. On suppose quetoutes les racines λ1, ..., λn de q sont simples.Décomposition en éléments simples : Montrer que

p(z)

q(z)=

r1z − λ1

+ · · ·+ rn

z − λn

,

où rk est le résidu de la fonction p/q en λk.3. Montrer que r1 + ...+ rn = 0.4. Supposons que =(λk) 6= 0, k = 1, ..., n. Utiliser les questions précédentes pour calculer∫ ∞

−∞

p(x)

q(x)dx.

2

Universite Lyon 1 Maths 5

Licence de Mecanique Mercredi 19 janvier 2011

Controle terminal – duree 2H

(Les appareils electroniques et les documents sont interdits)

Ce sujet comporte 7 exercices independants

Exercice 1. Un champ central dans R3 est defini par

V (x, y, z) = f (r)(x, y, z)

ou r =√x2 + y2 + z2 et f est une fonction derivable de R dans R. Montrer

qu’un tel champ est toujours un champ de gradients et calculer un potentiel

associe.

Exercice 2. On se propose de trouver toutes les fonctions f ∈ C1(R2,R)

verifiant∂f

∂x=∂f

∂y

a) Montrer que si f est solution alors f est constante sur les droites dirigees

par (1,−1).

b) Resoudre l’equation

1

Exercice 3. On note E une courbe de R2 donnee par les equations pa-

rametriques

γ : t 7→

{x = cos t

y = 12 sin t

, t ∈ [0, 2π]

et M0 = (0, 1) un point de R2.

a) Donner une equation cartesienne de E . De quel genre de courbe s’agit-il ?

b) Donner l’equation de la tangente au point t = π/4.

c) Determiner les points Mmin et Mmax de E ou la fonction d : M ∈ E 7→d(M0,M) atteint ses valeurs extremales.

d) Calculer l’aire du domaine entoure par E .

e) Retrouver le resultat a l’aide du theoreme de Green-Riemann.

Exercice 4. Determiner les extremas de la fonction f (x, y, z) = x−y+z

sur le sous-ensemble de R3 defini par{x2 + y2 + z2 = 4

x + y + z = 1

Exercice 5. On considere la fonction F : R3 → R definie par F (x, y, z) =

x3z2 − z3xy.

a) Montrer qu’il n’existe pas de fonction (x, y) 7→ ϕ(x, y) definie dans un

voisinage U ⊂ R2 de (0, 0) telle que ϕ(0, 0) = 1 et F (x, y, ϕ(x, y)) = 0

pour tout (x, y) ∈ U .

2

b) Montrer que l’equation F (x, y, z) = 0 est associee a une fonction im-

plicite z = ψ(x, y) au voisinage du point P0 = (1, 1, 1). Calculer les

derivees premieres de ψ en (1, 1).

Exercice 6.

Calculer l’integrale

∫∫D

(x + y) dx dy ou D = {(x, y) ∈ R2, x2 + y2 ≤5, x + y + 3 ≥ 0}.

(indication : utiliser une rotation)

Exercice 7. On considere le champ de vecteurs F (x, y, z) = (xy, x3 +

y2, yz). Calculer le flux sortant de F a travers le paraboloıde S defini par

z = x2 + y2 avec z ≤ 1.

a) Directement

b) Par la formule de Stokes

3