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5. Trigonometria

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Departamento de Matematica (FCT/UNL) Matematica 0 59 / 123

5. Trigonometria

5.1 Razoes Trigonometricas

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A

A2C= · · · = AB

tangente do angulo ACB ↪→ AB

5. Trigonometria

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A

A2C= · · · = AB

5. Trigonometria

A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A

A2C= · · · = AB

5. Trigonometria

cateto oposto ao angulo α ↪→ [AB]

cateto adjacente ao angulo α ↪→ [AC ]

hipotenusa ↪→ [BC ]

5. Trigonometria

Definicao

Num triangulo rectangulo chama-se seno de

um angulo agudo a razao entre os

comprimentos do cateto oposto ao angulo e

da hipotenusa.

senα =AB

5. Trigonometria

Definicao

da hipotenusa.

senα =AB

5. Trigonometria

Definicao

da hipotenusa.

senα =AB

5. Trigonometria

Definicao

Num triangulo rectangulo chama-se

co-seno de um angulo agudo a razao entre

os comprimentos do cateto adjacente ao

angulo e da hipotenusa.

cos α =AC

5. Trigonometria

Definicao

cos α =AC

5. Trigonometria

Definicao

cos α =AC

5. Trigonometria

Definicao

tangente de um angulo agudo a razao entre

os comprimentos do cateto oposto ao

angulo e do cateto adjacente.

tg α =AB

5. Trigonometria

Definicao

tg α =AB

5. Trigonometria

Definicao

tg α =AB

5. Trigonometria

Definicao

co-tangente de um angulo agudo a razao

trigonometrica inversa da tangente, isto e, a

razao entre os comprimentos do cateto

adjacente ao angulo e do cateto oposto.

co-tangente α =AC

5. Trigonometria

Definicao

co-tangente α =AC

5. Trigonometria

Definicao

co-tangente α =AC

5. Trigonometria

5.2 Amplitude de um Angulo - Sistemas de Medicao de

Angulos

Definicao

Um radiano e a amplitude de um angulo ao

centro cujo arco correspondente tem um

comprimento igual ao raio da circunferencia.

_AB= r

A amplitude de AOB e 1 rad.

Um angulo nulo tem 0 rad;

Um angulo recto temπ

Um angulo raso tem π rad;

Um angulo giro tem 2π rad;

5. Trigonometria

Angulos

Definicao

_AB= r

5. Trigonometria

Angulos

Definicao

_AB= r

5. Trigonometria

Angulos

Definicao

_AB= r

5. Trigonometria

Angulos

Definicao

_AB= r

5. Trigonometria

Angulos

Definicao

_AB= r

5. Trigonometria

Angulos

Definicao

_AB= r

5. Trigonometria

Angulos

Definicao

_AB= r

5. Trigonometria

5.3 Generalizacao da Nocao de Angulo

A Representacao num Plano Cartesiano

60º90º

180º α

1º quadrante2º quadrante

4º quadrante3º quadrante

5. Trigonometria

5.3 Generalizacao da Nocao de Angulo

Angulos do 2o, 3o e 4o Quadrantes

quadrante γ 3o

quadrante

5. Trigonometria

5.4 Prolongamento das Razoes Trigonometricas

Cırculo Trigonometrico

P( , )x y

co-seno

senα =y

cos α =x

tg α =y

cotg α =x

5. Trigonometria

P( , )x y

co-seno

senα =y

cos α =x

tg α =y

cotg α =x

5. Trigonometria

P( , )x y

co-seno

senα =y

cos α =x

tg α =y

cotg α =x

5. Trigonometria

P( , )x y

co-seno

senα =y

cos α =x

tg α =y

cotg α =x

5. Trigonometria

P( , )x y

co-seno

senα =y

cos α =x

tg α =y

cotg α =x

5. Trigonometria

As Linhas Trigonometricas

co-senos

eixo dos

eixo dos senos

eixo das tangentes

eixo das co-tangentes

cos α

cotg α

5. Trigonometria

αsen α

cos α

cotg α

sen α

cos α

cotg α

5. Trigonometria

5.5 Reducao ao 1o Quadrante

Angulos Suplementares (cuja soma e π)

P( , )x y

Q(- , )x y- α

sen (π − α) = senα

cos(π − α) = − cos α

tg (π − α) = −tg α

cotg (π − α) = −cotg α

5. Trigonometria

Angulos Suplementares (cuja soma e π)

P( , )x y

Q(- , )x y- α

sen (π − α) = senα

cos(π − α) = − cos α

tg (π − α) = −tg α

cotg (π − α) = −cotg α

5. Trigonometria

Angulos que Diferem de π

P( , )x y

Q(- ,- )x y

sen(π + α) = −senα

cos(π + α) = − cos α

tg(π + α) = tg α

cotg(π + α) = cotg α

5. Trigonometria

Angulos que Diferem de π

P( , )x y

Q(- ,- )x y

sen(π + α) = −senα

cos(π + α) = − cos α

tg(π + α) = tg α

cotg(π + α) = cotg α

5. Trigonometria

Angulos Simetricos

P( , )x y

Q( ,- )x y

sen (−α) = −senα

cos(−α) = cos α

tg(−α) = −tgα

cotg(−α) = −cotgα

5. Trigonometria

Angulos Simetricos

P( , )x y

Q( ,- )x y

sen (−α) = −senα

cos(−α) = cos α

tg(−α) = −tgα

cotg(−α) = −cotgα

5. Trigonometria

Angulos Complementares (cuja soma eπ

P( , )x y

Q( )y,x

sen(π

2− α

)= cos α

cos(π

2 − α)

= senα

2− α

)= cotg α

cotg(π

2− α

)= tg α

5. Trigonometria

Angulos Complementares (cuja soma eπ

P( , )x y

Q( )y,x

sen(π

2− α

)= cos α

cos(π

2 − α)

= senα

2− α

)= cotg α

cotg(π

2− α

)= tg α

5. Trigonometria

Angulos que Diferem deπ

P( , )x y

Q(- )y,x

sen(π

)= cos α

cos(π

)= −senα

)= −cotg α

cotg(π

)= −tg α

5. Trigonometria

Angulos que Diferem deπ

P( , )x y

Q(- )y,x

sen(π

)= cos α

cos(π

)= −senα

)= −cotg α

cotg(π

)= −tg α

5. Trigonometria

Angulos que Diferem de3π

P( , )x y

Q( )y,-x

)= − cos α

)= senα

)= −cotg α

)= −tg α

5. Trigonometria

Angulos que Diferem de3π

P( , )x y

Q( )y,-x

)= − cos α

)= senα

)= −cotg α

)= −tg α

5. Trigonometria

5.6 Formulas Trigonometricas

Relacoes Trigonometricas do Mesmo Angulo α

tg α =senα

cos α

cotg α =1

cos α

sen2α + cos2 α = 1 (formula fundamental da trigonometria)

1 + tg2α =1

cos2 α

1 + cotg2α =1

sen2α

5. Trigonometria

tg α =senα

cos α

cotg α =1

cos α

1 + tg2α =1

cos2 α

1 + cotg2α =1

sen2α

5. Trigonometria

tg α =senα

cos α

cotg α =1

cos α

1 + tg2α =1

cos2 α

1 + cotg2α =1

sen2α

5. Trigonometria

tg α =senα

cos α

cotg α =1

cos α

1 + tg2α =1

cos2 α

1 + cotg2α =1

sen2α

5. Trigonometria

tg α =senα

cos α

cotg α =1

cos α

1 + tg2α =1

cos2 α

1 + cotg2α =1

sen2α

5. Trigonometria

tg α =senα

cos α

cotg α =1

cos α

1 + tg2α =1

cos2 α

1 + cotg2α =1

sen2α

5. Trigonometria

Formulas Trigonometricas Envolvendo Dois Angulos α e β

cos(α± β) = cos α cos β ∓ senα senβ

sen(α± β) = senα cos β ± cos α senβ

tg(α± β) =tg α± tg β

1∓ tg α tg β

cotg(α± β) =cotg α cotg β ∓ 1

cotg β ± cotg α

5. Trigonometria

1∓ tg α tg β

cotg β ± cotg α

5. Trigonometria

1∓ tg α tg β

cotg β ± cotg α

5. Trigonometria

1∓ tg α tg β

cotg β ± cotg α

5. Trigonometria

1∓ tg α tg β

cotg β ± cotg α

5. Trigonometria

Formulas de Duplicacao

cos(2α) = cos2 α− sen2α

sen (2α) = 2 senα cos α

tg (2α) =2 tg α

1− tg2α

cotg (2α) =cotg2α− 1

2 cotg α

5. Trigonometria

tg (2α) =2 tg α

1− tg2α

2 cotg α

5. Trigonometria

tg (2α) =2 tg α

1− tg2α

2 cotg α

5. Trigonometria

tg (2α) =2 tg α

1− tg2α

2 cotg α

5. Trigonometria

tg (2α) =2 tg α

1− tg2α

2 cotg α

5. Trigonometria

Outras Formulas

senα + senβ = 2 senα + β

α− β

senα− senβ = 2 senα− β

α + β

cos α + cos β = 2 cosα + β

α− β

cos α− cos β = −2 senα− β

α + β

5. Trigonometria

Outras Formulas

α− β

α + β

α− β

α + β

5. Trigonometria

Outras Formulas

α− β

α + β

α− β

α + β

5. Trigonometria

Outras Formulas

α− β

α + β

α− β

α + β

5. Trigonometria

Outras Formulas

α− β

α + β

α− β

α + β

5. Trigonometria

5.7 Funcoes Trigonometricas - Seno

f : R → Rx → sen x

Df = RD

′f = [−1, 1]

sen(2π + x) = sen x , ∀x ∈ Rsen(−x) = −sen x , ∀x ∈ R.

crescente nos intervalos]−π

2 + 2kπ, π2 + 2kπ

[, k ∈ Z.

decrescente nos intervalos]π2 + 2kπ, 3π

2 + 2kπ[, k ∈ Z.

maximos: x =π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

mınimos: x = −π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

zeros: x = kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Df = RD

′f = [−1, 1]

2 + 2kπ, π2 + 2kπ

[, k ∈ Z.

2 + 2kπ[, k ∈ Z.

maximos: x =π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

mınimos: x = −π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Df = RD

′f = [−1, 1]

2 + 2kπ, π2 + 2kπ

[, k ∈ Z.

2 + 2kπ[, k ∈ Z.

maximos: x =π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

mınimos: x = −π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Df = RD

′f = [−1, 1]

2 + 2kπ, π2 + 2kπ

[, k ∈ Z.

2 + 2kπ[, k ∈ Z.

maximos: x =π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

mınimos: x = −π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Df = RD

′f = [−1, 1]

2 + 2kπ, π2 + 2kπ

[, k ∈ Z.

2 + 2kπ[, k ∈ Z.

maximos: x =π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

mınimos: x = −π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Df = RD

′f = [−1, 1]

2 + 2kπ, π2 + 2kπ

[, k ∈ Z.

2 + 2kπ[, k ∈ Z.

maximos: x =π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

mınimos: x = −π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Df = RD

′f = [−1, 1]

2 + 2kπ, π2 + 2kπ

[, k ∈ Z.

2 + 2kπ[, k ∈ Z.

maximos: x =π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

mınimos: x = −π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Df = RD

′f = [−1, 1]

2 + 2kπ, π2 + 2kπ

[, k ∈ Z.

2 + 2kπ[, k ∈ Z.

maximos: x =π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

mınimos: x = −π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Df = RD

′f = [−1, 1]

2 + 2kπ, π2 + 2kπ

[, k ∈ Z.

2 + 2kπ[, k ∈ Z.

maximos: x =π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

mınimos: x = −π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Df = RD

′f = [−1, 1]

2 + 2kπ, π2 + 2kπ

[, k ∈ Z.

2 + 2kπ[, k ∈ Z.

maximos: x =π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

mınimos: x = −π

2+ 2kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-seno

g : R → Rx → cos x

Dg = RD

′g = [−1, 1]

cos(2π + x) = cos x , ∀x ∈ Rcos(−x) = cos x , ∀x ∈ R.

crescente nos intervalos

]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.

decrescente nos intervalos

]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.

maximos: x = 2kπ, k ∈ Z.

mınimos: x = π + 2kπ, k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Dg = RD

′g = [−1, 1]

]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.

]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Dg = RD

′g = [−1, 1]

]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.

]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Dg = RD

′g = [−1, 1]

]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.

]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Dg = RD

′g = [−1, 1]

]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.

]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Dg = RD

′g = [−1, 1]

]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.

]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Dg = RD

′g = [−1, 1]

]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.

]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Dg = RD

′g = [−1, 1]

]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.

]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Dg = RD

′g = [−1, 1]

]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.

]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Dg = RD

′g = [−1, 1]

]π + 2kπ, 2π + 2kπ[ , k ∈ Z.

]2kπ, π + 2kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

5.7 Funcoes Trigonometricas - Tangenteh : R → R

x → tg x

Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}

D′h = R

tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.

tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.

2 + kπ, π2 + kπ

[, k ∈ Z.

Nao tem maximos nem mınimos.

5. Trigonometria

x → tg x

Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}

D′h = R

tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.

tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.

2 + kπ, π2 + kπ

[, k ∈ Z.

5. Trigonometria

x → tg x

Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}

D′h = R

tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.

tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.

2 + kπ, π2 + kπ

[, k ∈ Z.

5. Trigonometria

x → tg x

Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}

D′h = R

tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.

tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.

2 + kπ, π2 + kπ

[, k ∈ Z.

5. Trigonometria

x → tg x

Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}

D′h = R

tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.

tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.

2 + kπ, π2 + kπ

[, k ∈ Z.

5. Trigonometria

x → tg x

Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}

D′h = R

tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.

tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.

2 + kπ, π2 + kπ

[, k ∈ Z.

5. Trigonometria

x → tg x

Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}

D′h = R

tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.

tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.

2 + kπ, π2 + kπ

[, k ∈ Z.

5. Trigonometria

x → tg x

Dh = R \ {π2 + kπ, k ∈ Z}

D′h = R

tg(π + x) = tg x , ∀x ∈ Dh.

tg(−x) = −tg x , ∀x ∈ Dh.

2 + kπ, π2 + kπ

[, k ∈ Z.

5. Trigonometria

5.7 Funcoes Trigonometricas - Co-tangente

i : R → Rx → cotg x

Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D

′i = R

cotg(π + x) = cotg x , ∀x ∈ Di .

cotg(−x) = −cotg x , ∀x ∈ Di .

]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D

′i = R

]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D

′i = R

]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D

′i = R

]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D

′i = R

]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D

′i = R

]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D

′i = R

]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

Di = R \ {kπ, k ∈ Z}D

′i = R

]kπ, π + kπ[ , k ∈ Z.

zeros: x =π

2+ kπ, k ∈ Z.

5. Trigonometria

5.8 Equacoes Trigonometricas

Equacoes do tipo sen x = senα

sen x = senα ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = π − α + 2kπ, k ∈ Z

Equacoes do tipo cos x = cos α

cos x = cos α ⇔ x = α + 2kπ ∨ x = −α + 2kπ, k ∈ Z

Equacoes do tipo tg x = tg α