Secundaria 2 Matemáticas2Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,

Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo

Mat

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icas

2

Mate 2 integral cov.indd 1Mate 2 integral cov.indd 1 3/10/08 12:21:05 PM3/10/08 12:21:05 PM

Matemáticas2

1

El libro Matemáticas 2 es una obra colectiva, creada y diseñada en el Departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana,

con la dirección de Clemente Merodio López.

Luis Briseño, Guadalupe Carrasco,María del Pilar Martínez, Óscar Alfredo Palmas,Francisco Struck, Julieta del Carmen Verdugo

>Presentación

Paul Halmos, reconocido matemático del siglo pasado, escribió:

“... la mejor forma de aprender es hacer”.

En completo acuerdo con esta idea, decidimos elaborar este libro. Matemáticas 2 propone a los estudian-tes de segundo grado de secundaria actividades que los pueden conducir, paso a paso, al descubrimiento de los conocimientos en esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que las Matemáticas son mucho más que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos.

No hemos querido dar recetas; aspiramos a que los educandos se enfren-ten con situaciones que los hagan pensar, buscar caminos, aventurar conjeturas, proponer soluciones, confrontar sus propuestas con las de sus compañeros y compañeras, argumentar ideas, distinguir los razo-namientos correctos de los erróneos y convencerse, por sí mismos, de los resultados.

Este libro, por tanto, posee una estructura que parte de problemas y va dan-do sugerencias, en forma de preguntas, para llegar a la solución. Sólo hasta el final de la actividad se presenta una formalización de los conceptos que los estudiantes deben haber descubierto.

Por otro lado, así como un árbol tiene varias ramas, pero varias ramas no forman un árbol, tampoco la Matemática es un conglomerado de conocimientos aislados. Por eso no hemos hecho la división tradicio-

nal en Aritmética, Geometría, Álgebra, Estadística, Probabilidad, etcétera, sino que la hemos tratado como una unidad.

En resumen, queremos convencer a los estudiantes de que la Matemática, lejos de ser una materia aburrida e inútil, es indispensable en la formación del ser humano, no sólo por su utilidad práctica sino porque nos enseña a razonar en forma ordenada y sistemática, nos permite abordar, plantear y resolver proble-mas, además de desarrollar nuestra capacidad de análisis. También despierta la creatividad y ayuda en el desarrollo de las cualidades de los seres humanos,

como entes pensantes, creadores y transformadores.

3Presentación2

D. R. © 2006 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.Av. Universidad 76703100, México, D. F.

ISBN: 978-970-29-1989-6Primera edición: octubre, 2006Primera reimpresión corregida: mayo, 2007Segunda reimpresión corregida: julio, 2007Tercera reimpresión corregida: septiembre, 2007Cuarta reimpresión corregida: marzo, 2008

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802

Impreso en México

El libro Matemáticas 2 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Edición: Guillermo TrujanoCoordinación editorial: Roxana Martín-Lunas RodríguezRevisión técnica: Víctor Hugo Ibarra MercadoCorrección de estilo: Eduardo Mendoza TelloDiseño de portada: José Francisco Ibarra MezaIlustraciones de personajes de portada: Teresa MartínezDiseño de interiores: Carlos Vela TurcottCoordinación de Diseño e iconografía: José Francisco Ibarra MezaIlustraciones: Héctor Ovando Jarquín, Carlos Vela TurcottFotografía: Corel Stock Photo y Archivo SantillanaDiagramación: Héctor Ovando Jarquín

Editora en Jefe de Secundaria: Roxana Martín-Lunas RodríguezGerencia de Investigación y Desarrollo: Armando Sánchez MartínezGerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia EscobarGerencia de Diseño: Mauricio Gómez Morin FuentesCoordinación de Arte y Diseño: José Francisco Ibarra MezaDigitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales NeriaFotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Benito Sayago Luna y Manuel Zea Atenco

La presentación y disposición en conjunto de cada página de Matemáticas 2 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

Luis Briseño AguirreGuadalupe Carrasco LiceaMaría del Pilar Martínez TéllezÓscar Alfredo Palmas VelascoFrancisco Struck ChávezJulieta del Carmen Verdugo Díaz

>Presentación

Paul Halmos, reconocido matemático del siglo pasado, escribió:

“... la mejor forma de aprender es hacer”.

En completo acuerdo con esta idea, decidimos elaborar este libro. Matemáticas 2 propone a los estudian-tes de segundo grado de secundaria actividades que los pueden conducir, paso a paso, al descubrimiento de los conocimientos en esta materia, pero sobre todo, a darse cuenta de que las Matemáticas son mucho más que aprender fórmulas y resolver operaciones, mucho más que números y signos.

No hemos querido dar recetas; aspiramos a que los educandos se enfren-ten con situaciones que los hagan pensar, buscar caminos, aventurar conjeturas, proponer soluciones, confrontar sus propuestas con las de sus compañeros y compañeras, argumentar ideas, distinguir los razo-namientos correctos de los erróneos y convencerse, por sí mismos, de los resultados.

Este libro, por tanto, posee una estructura que parte de problemas y va dan-do sugerencias, en forma de preguntas, para llegar a la solución. Sólo hasta el final de la actividad se presenta una formalización de los conceptos que los estudiantes deben haber descubierto.

Por otro lado, así como un árbol tiene varias ramas, pero varias ramas no forman un árbol, tampoco la Matemática es un conglomerado de conocimientos aislados. Por eso no hemos hecho la división tradicio-

nal en Aritmética, Geometría, Álgebra, Estadística, Probabilidad, etcétera, sino que la hemos tratado como una unidad.

En resumen, queremos convencer a los estudiantes de que la Matemática, lejos de ser una materia aburrida e inútil, es indispensable en la formación del ser humano, no sólo por su utilidad práctica sino porque nos enseña a razonar en forma ordenada y sistemática, nos permite abordar, plantear y resolver proble-mas, además de desarrollar nuestra capacidad de análisis. También despierta la creatividad y ayuda en el desarrollo de las cualidades de los seres humanos,

como entes pensantes, creadores y transformadores.

3Presentación2

D. R. © 2006 por EDITORIAL SANTILLANA, S. A. DE C. V.Av. Universidad 76703100, México, D. F.

ISBN: 978-970-29-1989-6Primera edición: octubre, 2006Primera reimpresión corregida: mayo, 2007Segunda reimpresión corregida: julio, 2007Tercera reimpresión corregida: septiembre, 2007Cuarta reimpresión corregida: marzo, 2008

Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 802

Impreso en México

El libro Matemáticas 2 fue elaborado en Editorial Santillana por el siguiente equipo:

Edición: Guillermo TrujanoCoordinación editorial: Roxana Martín-Lunas RodríguezRevisión técnica: Víctor Hugo Ibarra MercadoCorrección de estilo: Eduardo Mendoza TelloDiseño de portada: José Francisco Ibarra MezaIlustraciones de personajes de portada: Teresa MartínezDiseño de interiores: Carlos Vela TurcottCoordinación de Diseño e iconografía: José Francisco Ibarra MezaIlustraciones: Héctor Ovando Jarquín, Carlos Vela TurcottFotografía: Corel Stock Photo y Archivo SantillanaDiagramación: Héctor Ovando Jarquín

Editora en Jefe de Secundaria: Roxana Martín-Lunas RodríguezGerencia de Investigación y Desarrollo: Armando Sánchez MartínezGerencia de Procesos Editoriales: Laura Milena Valencia EscobarGerencia de Diseño: Mauricio Gómez Morin FuentesCoordinación de Arte y Diseño: José Francisco Ibarra MezaDigitalización de imágenes: María Eugenia Guevara Sánchez, Gerardo Hernández Ortiz y José Perales NeriaFotomecánica electrónica: Gabriel Miranda Barrón, Benito Sayago Luna y Manuel Zea Atenco

La presentación y disposición en conjunto de cada página de Matemáticas 2 son propiedad del editor. Queda estrictamente prohibida la reproducción parcial o total de esta obra por cualquier sistema o método electrónico, incluso el fotocopiado, sin autorización escrita del editor.

Luis Briseño AguirreGuadalupe Carrasco LiceaMaría del Pilar Martínez TéllezÓscar Alfredo Palmas VelascoFrancisco Struck ChávezJulieta del Carmen Verdugo Díaz

> estructura de tu libro

Matemáticas 1 Estructura del libro

Los contenidos de esta obra están organizados en cinco bloques, distribución que responde a las cinco evaluaciones bi-mestrales de tu año escolar, por lo que la información al interior de cada bloque está dosificada.

Éstas son las páginas modelo que encontrarás a lo largo de tu libro:Para iniciar, conocerás el Contenido y enseguida las páginas de:

enlace

Antes de iniciar el primer bloque, verás una serie de actividades para que confirmes las habilidades que desarrollaste en la primaria y que serán muy útiles para enlazar y trabajar Matemáticas en la secundaria.

bloques

Con una imagen grande y atractiva y Lo que aprenderás en este bloque, expone en forma resumida las nuevas destrezas y habilidades que desarro-llarás de acuerdo con cada uno de los tres ejes temáticos (ideas centrales para organizar el pensamiento matemático) que son: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la informa-ción. En cada bloque se busca relacionar transversalmente los temas del programa a través de estos ejes, rescatando a la Matemática como una uni-dad y no como una materia fragmentada.

Para comenzar

En cada lección encontrarás lo que necesitas recordar, así como los temas que inclui-rá esa lección y sabrás también de cuántas partes consta, pues utilizamos un elemento geométrico para indicártelo. Por ejemplo el icono representa tres de cinco partes. Cada lección puede tener de tres a siete partes. Cada parte consta de una a tres pági-nas; se indica el número de lección por bloque y el texto con el que empezarás a estudiar inicia con este símbolo .

lecciones

En cada lección aprenderás Matemáticas a través de ideas claras y concisas, con preguntas e ilustraciones. Cada lección cuenta con espacios para escribir respuestas o comentarios y sugerencias para trabajar en tu cuaderno. Cuando se considera pertinente se incluyen, en color azul, los conceptos e ideas cla-ves. Cuando un término dentro del texto aparece en cursivas, su significado se encuentra en el glosario, el cual se localiza en la página 326.

Aplicación En algunas lecciones encontrarás una apli-cación que se ha resaltado por su utilidad o importan-cia, además de las diversas aplicaciones que vienen en el desarrollo de las lecciones.

Las siguientes fotografías muestran varias posiciones de una rueda de la fortu-na. Ordena los ángulos señalados en la figura, de menor a mayor.

El grado es una unidad de medida de los ángulos. Si al formar un ángulo con dos semirrectas pensamos que una de ellas está fija y la otra se mue-ve, el ángulo correspondiente a una vuelta completa de la semirrecta móvil mide 360 grados, lo que se escribe con un pequeño círculo: 360°.

Por otro lado, la mitad de una vuelta corresponde a un ángulo de 180°, lla-mado ángulo llano. La cuarta parte de una vuelta corresponde a un ángu-lo de 90°, llamado ángulo recto.

El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador.

A B C D

360°

Ángulo llano

Ángulo recto

... necesitas recordar:

1. Operaciones de suma, resta y multiplicación de números con signo.2. Qué son las expresiones algebraicas.3. Algunos usos de las expresiones algebraicas.

• Solución de problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

• Reconocimiento y obtención de expresiones algebraicas equivalentes a par-tir del empleo de modelos geométricos.

Para iniciar en el estudio de las matemáticas de segundo grado de secundaria es conveniente que recuerdes los conoci-mientos que recibiste anteriormente. Esta sección es un enlace entre las habilidades y conocimientos que adquiriste en cursos anteriores con las que aprenderás en este segundo grado

1. ¿Qué número sumado a sí mismo da como resultado −10?

2. ¿Qué número hay que sumar a −2.5 para obtener −6.2? ¿Qué número hay que restar a −2.5 para obtener −6.2?

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 23. Representa en una recta numérica las siguientes operaciones:

(−3.5) + (4.5) (− 32 ) − (− 3

7 ) (−5.5) + (−1.5)

4. David armó esta figura con tres piezas cuadradas y dos rectangulares.

Las tres fichas cuadradas forman una rectangular.

La ficha rectangular tiene 48 cm de perímetro, ¿cuál es el perímetro de la figura que armó David?

5. El domingo Esteban tenía 24 canicas, el lunes compró 10 más, el martes también compró canicas y el miércoles compró el doble de canicas que el martes, el jueves no compró y hoy viernes Esteban tiene 73 canicas, ¿cuántas ca-nicas compró el martes?

6. Susana quiere ir a Zihuatanejo. El pasaje del autobús en viaje redondo cuesta $600. Por ocho días de estancia, el hotel cobra $4 480. ¿Cuánto gastará en total si decide quedarse sólo cinco días y la tarifa del hotel es proporcional a los días de estadía?

7. En el plano cartesiano se encuentran los puntos A, B y C, observa su ubicación y llena la siguiente tabla con los datos que se piden. Ubica otros tres puntos D, E y F sobre la recta que contiene a los puntos A, B y C y da sus coordenadas.

Punto x yABCDEF

=

A

BC

¿Cómo fueron posibles los viajes de descubrimiento?

La navegación a grandes distancias desarrollada en los si-glos XIV y XV no hubiera sido posible sin instrumentos que permitieran orientarse en mar abierto. El reloj, la brújula y el astrolabio fueron fundamentales para el retorno de los barcos que navegaron en aquella época.

Aunque los astrolabios fueron evolucionando hasta con-vertirse en instrumentos un tanto complicados, básica-mente sirven para determinar el ángulo de elevación de las estrellas con respecto del horizonte.

Temas del bloque:

• Resolveremos problemas que implican efectuar su-mas, restas, multiplicaciones o divisiones de núme-ros con signo.

• Identificaremos la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.

• Resolveremos problemas de conteo mediante cálcu-los numéricos.

• Resolveremos problemas de valor faltante conside-rando más de dos conjuntos de cantidades.

• Interpretaremos y construiremos polígonos de fre-cuencia.

LA BASURA ESPACIAL

El lanzamiento de satélites artificiales y naves tripuladas al espacio, a pesar de sus ventajas, también ha generado nuevos problemas por resolver. Uno de ellos es la creciente cantidad de basura espacial; por ejemplo, satélites en desuso, cohetes ya utilizados y materiales de desecho de los operativos espaciales.

Es necesario contar con un buen registro de la cantidad y tipo de basura espa-cial, así como de sus trayectorias, pues la basura podría chocar con satélites en operación o incluso con naves tripuladas. Por ejemplo, la explosión de un co-hete en 1996 duplicó el riesgo de que una partícula de basura espacial de ta-maño regular alcance al Telescopio Hubble, ya suficientemente golpeado en más de 700 ocasiones por pequeños fragmentos metálicos. Aunque en algu-nos casos se ha enviado al espacio equipo con mayor protección contra estos choques, esto eleva muchísimo los costos de las operaciones.

Imagen de internet planeta tierra

El volumen de una pirámide escalonada es la suma de los volúmenes de los escalones, así que basta calcular el volumen de un solo escalón, suponiendo que su base inferior es un cuadrado de lado B, su base superior (o tapa) es otro cuadra-do de lado b y la altura del escalón mide h.

Diseña una estrategia para calcular el volumen de este escalón. Puedes descomponer la figura en piezas cuyo volumen sepas calcular. ¿Cuál es el volumen del escalón completo?

Otra estrategia que puedes seguir es la de pensar el escalón como una “pirámide truncada”, es decir, una pirámide com-pleta a la que se le quita una parte de arriba.¿Cómo podrías calcular el volumen del escalón utilizando esta idea?

h

B

b

Para terminar

Aquí encontrarás una o dos páginas de actividades, con las que puedes po-ner a prueba tus habilidades y competencias matemáticas.

Torito La sección Para Terminar, finaliza con un problema que representa un reto y requiere ingenio para resolverlo, El Torito.

Para terminar el bloque encontrarás tres nuevas secciones:

Matemáticas

En la sección MatemáTICas pretendemos mostrar cómo la tecnología puede facilitar, de manera notable, la tarea de hacer Matemáticas. Tam-bién queremos demostrar que las computadoras no piensan por nosotros, y que para sacarle jugo a esa herramienta tan valiosa debemos tener los con-ceptos claros, pues sólo así podremos darle instrucciones precisas para que realice el trabajo mecánico.

Punto de encuentro

Aquí se abordan problemas cuya solución requiere haber estudiado los te-mas del bloque o de bloques anteriores.

6 ¿Por qué son iguales los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo?7. Si se sabe que la recta BD es bisectriz del ángulo ABC del siguiente cua-

drilátero, descubre cuánto mide el ángulo ACB usando la información proporcionada en la figura.

8. ¿Qué construcciones auxiliares necesitamos para saber el ángulo de inter-sección de las siguientes rectas si no podemos extender el dibujo para te-ner el punto de intersección?

A

D

B

130°

70°

C

una nueva actitud

En esta sección mostramos que las Matemáticas se aplican a problemas de la vida cotidiana; esto es, que se utilizan para mejorar las condiciones de vida de la sociedad.

4 5Matemáticas 1

> estructura de tu libro

Matemáticas 1 Estructura del libro

Los contenidos de esta obra están organizados en cinco bloques, distribución que responde a las cinco evaluaciones bi-mestrales de tu año escolar, por lo que la información al interior de cada bloque está dosificada.

Éstas son las páginas modelo que encontrarás a lo largo de tu libro:Para iniciar, conocerás el Contenido y enseguida las páginas de:

enlace

Antes de iniciar el primer bloque, verás una serie de actividades para que confirmes las habilidades que desarrollaste en la primaria y que serán muy útiles para enlazar y trabajar Matemáticas en la secundaria.

bloques

Con una imagen grande y atractiva y Lo que aprenderás en este bloque, expone en forma resumida las nuevas destrezas y habilidades que desarro-llarás de acuerdo con cada uno de los tres ejes temáticos (ideas centrales para organizar el pensamiento matemático) que son: Sentido numérico y pensamiento algebraico, Forma, espacio y medida y Manejo de la informa-ción. En cada bloque se busca relacionar transversalmente los temas del programa a través de estos ejes, rescatando a la Matemática como una uni-dad y no como una materia fragmentada.

Para comenzar

En cada lección encontrarás lo que necesitas recordar, así como los temas que inclui-rá esa lección y sabrás también de cuántas partes consta, pues utilizamos un elemento geométrico para indicártelo. Por ejemplo el icono representa tres de cinco partes. Cada lección puede tener de tres a siete partes. Cada parte consta de una a tres pági-nas; se indica el número de lección por bloque y el texto con el que empezarás a estudiar inicia con este símbolo .

lecciones

En cada lección aprenderás Matemáticas a través de ideas claras y concisas, con preguntas e ilustraciones. Cada lección cuenta con espacios para escribir respuestas o comentarios y sugerencias para trabajar en tu cuaderno. Cuando se considera pertinente se incluyen, en color azul, los conceptos e ideas cla-ves. Cuando un término dentro del texto aparece en cursivas, su significado se encuentra en el glosario, el cual se localiza en la página 326.

Aplicación En algunas lecciones encontrarás una apli-cación que se ha resaltado por su utilidad o importan-cia, además de las diversas aplicaciones que vienen en el desarrollo de las lecciones.

Las siguientes fotografías muestran varias posiciones de una rueda de la fortu-na. Ordena los ángulos señalados en la figura, de menor a mayor.

El grado es una unidad de medida de los ángulos. Si al formar un ángulo con dos semirrectas pensamos que una de ellas está fija y la otra se mue-ve, el ángulo correspondiente a una vuelta completa de la semirrecta móvil mide 360 grados, lo que se escribe con un pequeño círculo: 360°.

Por otro lado, la mitad de una vuelta corresponde a un ángulo de 180°, lla-mado ángulo llano. La cuarta parte de una vuelta corresponde a un ángu-lo de 90°, llamado ángulo recto.

El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador.

A B C D

360°

Ángulo llano

Ángulo recto

... necesitas recordar:

1. Operaciones de suma, resta y multiplicación de números con signo.2. Qué son las expresiones algebraicas.3. Algunos usos de las expresiones algebraicas.

• Solución de problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

• Reconocimiento y obtención de expresiones algebraicas equivalentes a par-tir del empleo de modelos geométricos.

Para iniciar en el estudio de las matemáticas de segundo grado de secundaria es conveniente que recuerdes los conoci-mientos que recibiste anteriormente. Esta sección es un enlace entre las habilidades y conocimientos que adquiriste en cursos anteriores con las que aprenderás en este segundo grado

1. ¿Qué número sumado a sí mismo da como resultado −10?

2. ¿Qué número hay que sumar a −2.5 para obtener −6.2? ¿Qué número hay que restar a −2.5 para obtener −6.2?

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 23. Representa en una recta numérica las siguientes operaciones:

(−3.5) + (4.5) (− 32 ) − (− 3

7 ) (−5.5) + (−1.5)

4. David armó esta figura con tres piezas cuadradas y dos rectangulares.

Las tres fichas cuadradas forman una rectangular.

La ficha rectangular tiene 48 cm de perímetro, ¿cuál es el perímetro de la figura que armó David?

5. El domingo Esteban tenía 24 canicas, el lunes compró 10 más, el martes también compró canicas y el miércoles compró el doble de canicas que el martes, el jueves no compró y hoy viernes Esteban tiene 73 canicas, ¿cuántas ca-nicas compró el martes?

6. Susana quiere ir a Zihuatanejo. El pasaje del autobús en viaje redondo cuesta $600. Por ocho días de estancia, el hotel cobra $4 480. ¿Cuánto gastará en total si decide quedarse sólo cinco días y la tarifa del hotel es proporcional a los días de estadía?

7. En el plano cartesiano se encuentran los puntos A, B y C, observa su ubicación y llena la siguiente tabla con los datos que se piden. Ubica otros tres puntos D, E y F sobre la recta que contiene a los puntos A, B y C y da sus coordenadas.

Punto x yABCDEF

=

A

BC

¿Cómo fueron posibles los viajes de descubrimiento?

La navegación a grandes distancias desarrollada en los si-glos XIV y XV no hubiera sido posible sin instrumentos que permitieran orientarse en mar abierto. El reloj, la brújula y el astrolabio fueron fundamentales para el retorno de los barcos que navegaron en aquella época.

Aunque los astrolabios fueron evolucionando hasta con-vertirse en instrumentos un tanto complicados, básica-mente sirven para determinar el ángulo de elevación de las estrellas con respecto del horizonte.

Temas del bloque:

• Resolveremos problemas que implican efectuar su-mas, restas, multiplicaciones o divisiones de núme-ros con signo.

• Identificaremos la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.

• Resolveremos problemas de conteo mediante cálcu-los numéricos.

• Resolveremos problemas de valor faltante conside-rando más de dos conjuntos de cantidades.

• Interpretaremos y construiremos polígonos de fre-cuencia.

LA BASURA ESPACIAL

El lanzamiento de satélites artificiales y naves tripuladas al espacio, a pesar de sus ventajas, también ha generado nuevos problemas por resolver. Uno de ellos es la creciente cantidad de basura espacial; por ejemplo, satélites en desuso, cohetes ya utilizados y materiales de desecho de los operativos espaciales.

Es necesario contar con un buen registro de la cantidad y tipo de basura espa-cial, así como de sus trayectorias, pues la basura podría chocar con satélites en operación o incluso con naves tripuladas. Por ejemplo, la explosión de un co-hete en 1996 duplicó el riesgo de que una partícula de basura espacial de ta-maño regular alcance al Telescopio Hubble, ya suficientemente golpeado en más de 700 ocasiones por pequeños fragmentos metálicos. Aunque en algu-nos casos se ha enviado al espacio equipo con mayor protección contra estos choques, esto eleva muchísimo los costos de las operaciones.

Imagen de internet planeta tierra

El volumen de una pirámide escalonada es la suma de los volúmenes de los escalones, así que basta calcular el volumen de un solo escalón, suponiendo que su base inferior es un cuadrado de lado B, su base superior (o tapa) es otro cuadra-do de lado b y la altura del escalón mide h.

Diseña una estrategia para calcular el volumen de este escalón. Puedes descomponer la figura en piezas cuyo volumen sepas calcular. ¿Cuál es el volumen del escalón completo?

Otra estrategia que puedes seguir es la de pensar el escalón como una “pirámide truncada”, es decir, una pirámide com-pleta a la que se le quita una parte de arriba.¿Cómo podrías calcular el volumen del escalón utilizando esta idea?

h

B

b

Para terminar

Aquí encontrarás una o dos páginas de actividades, con las que puedes po-ner a prueba tus habilidades y competencias matemáticas.

Torito La sección Para Terminar, finaliza con un problema que representa un reto y requiere ingenio para resolverlo, El Torito.

Para terminar el bloque encontrarás tres nuevas secciones:

Matemáticas

En la sección MatemáTICas pretendemos mostrar cómo la tecnología puede facilitar, de manera notable, la tarea de hacer Matemáticas. Tam-bién queremos demostrar que las computadoras no piensan por nosotros, y que para sacarle jugo a esa herramienta tan valiosa debemos tener los con-ceptos claros, pues sólo así podremos darle instrucciones precisas para que realice el trabajo mecánico.

Punto de encuentro

Aquí se abordan problemas cuya solución requiere haber estudiado los te-mas del bloque o de bloques anteriores.

6 ¿Por qué son iguales los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo?7. Si se sabe que la recta BD es bisectriz del ángulo ABC del siguiente cua-

drilátero, descubre cuánto mide el ángulo ACB usando la información proporcionada en la figura.

8. ¿Qué construcciones auxiliares necesitamos para saber el ángulo de inter-sección de las siguientes rectas si no podemos extender el dibujo para te-ner el punto de intersección?

A

D

B

130°

70°

C

una nueva actitud

En esta sección mostramos que las Matemáticas se aplican a problemas de la vida cotidiana; esto es, que se utilizan para mejorar las condiciones de vida de la sociedad.

4 5Matemáticas 1

> contenidos

bloQue 1 14

lección 1 LOS ÁNGuLOS 17

Resolución de problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.

Determinación mediante construcciones de las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaboración de definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas.

Establecimiento de relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocimiento de ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

lección 2 eL teSORO PeRdIdO 27 Establecimiento de las relaciones entre los ángulos que

se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

Justificación de las relaciones existentes entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

lección 3 MuLtIPLICACIÓN de NÚMeROS CON SIGNO 37 Problemas que impliquen la multiplicación y división de

números enteros. Problemas que impliquen multiplicación y división de fracciones y números decimales con signo.

lección 4 CAdA QuIeN CON Su CAdA CuAL 49 Solución de problemas que impliquen adición y sustracción

de expresiones algebraicas.

Reconocimiento y obtención de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

lección 5 PROPORCIONALIdAd AL deReCHO Y AL ReVÉS 65 Determinación del factor inverso dada una relación

de proporcionalidad y del factor de proporcionalidad fraccionario.

Elaboración y utilización de procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

lección 6 ¿CuÁNtOS CueNtAS? 79 Anticipación de resultados en problemas de conteo, con

base en la identificación de regularidades. Verificación de los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas

de árbol u otros recursos.lección 7 uSO de POLíGONOS de fReCueNCIAS 89

Interpretación y comunicación de la información mediante polígonos de frecuencias.

Matemáticas 98Punto de encuentro 100una nueva actitud 102

bloQue 2 104

lección 1 eNtRe PARÉNteSIS 107

Utilización de la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en problemas y cálculos.

Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

lección 2 PRISMAS Y PIRÁMIdeS 117

Descripción de las características de cubos, prismas y pirámides. Construcción de desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos y diferentes vistas de un cuerpo geométrico.

Justificación de fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Cálculo de datos desconocidos dados otros, relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Conversiones de medidas de volumen y capacidad y la relación entre ellas.

lección 3 eNtRe MedIAS, MedIANAS Y MOdAS 129

Interpretación de las medidas de tendencia central. Cálculo de la media aritmética, la moda y la mediana de un conjunto de datos agrupados. Propiedades de la media aritmética.

lección 4 HAY RAZONeS Y RAZONeS 141

Significado de una razón. Comparación entre dos razones.

Matemáticas 148Punto de encuentro 152una nueva actitud 154

bloQue 3 158

lección 1 ASí, SuCeSIVAMeNte 161

Construcción de sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtención de la regla que genera una sucesión de números con signo.

• Significado y uso de las operaciones

Problemas multiplicativos Problemas aditivos Operaciones combinadas

• Medida Estimar, medir y calcular• Formas geométricas Rectas y ángulos

• Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad• Representación de la información Diagramas y tablas Gráficas

Sentido numérico y pensamiento algebraico

eJe

forma, espacio y medida

Manejo de la información

• Significado y uso de las operaciones

Operaciones combinadas Problemas multiplicativos

• Formas geométricas Cuerpos geométricos• Medida Justificación de fórmulas Estimar, medir y calcular

• Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad• Representación de la información Medidas de tendencia central y de

dispersión

Sentido numérico y pensamiento algebraico

eJe

forma, espacio y medida

Manejo de la información

6 7Matemáticas 1 Contenido

• Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas Ecuaciones Relación funcional

Sentido numérico y pensamiento algebraico

eJe

> contenidos

bloQue 1 14

lección 1 LOS ÁNGuLOS 17

Resolución de problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángulos, utilizando el grado como unidad de medida.

Determinación mediante construcciones de las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaboración de definiciones de rectas paralelas, perpendiculares y oblicuas.

Establecimiento de relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocimiento de ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

lección 2 eL teSORO PeRdIdO 27 Establecimiento de las relaciones entre los ángulos que

se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

Justificación de las relaciones existentes entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

lección 3 MuLtIPLICACIÓN de NÚMeROS CON SIGNO 37 Problemas que impliquen la multiplicación y división de

números enteros. Problemas que impliquen multiplicación y división de fracciones y números decimales con signo.

lección 4 CAdA QuIeN CON Su CAdA CuAL 49 Solución de problemas que impliquen adición y sustracción

de expresiones algebraicas.

Reconocimiento y obtención de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos.

lección 5 PROPORCIONALIdAd AL deReCHO Y AL ReVÉS 65 Determinación del factor inverso dada una relación

de proporcionalidad y del factor de proporcionalidad fraccionario.

Elaboración y utilización de procedimientos para resolver problemas de proporcionalidad múltiple.

lección 6 ¿CuÁNtOS CueNtAS? 79 Anticipación de resultados en problemas de conteo, con

base en la identificación de regularidades. Verificación de los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas

de árbol u otros recursos.lección 7 uSO de POLíGONOS de fReCueNCIAS 89

Interpretación y comunicación de la información mediante polígonos de frecuencias.

Matemáticas 98Punto de encuentro 100una nueva actitud 102

bloQue 2 104

lección 1 eNtRe PARÉNteSIS 107

Utilización de la jerarquía de las operaciones y los paréntesis en problemas y cálculos.

Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas.

lección 2 PRISMAS Y PIRÁMIdeS 117

Descripción de las características de cubos, prismas y pirámides. Construcción de desarrollos planos de cubos, prismas y pirámides rectos y diferentes vistas de un cuerpo geométrico.

Justificación de fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos.

Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Cálculo de datos desconocidos dados otros, relacionados con las fórmulas del cálculo de volumen. Relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. Conversiones de medidas de volumen y capacidad y la relación entre ellas.

lección 3 eNtRe MedIAS, MedIANAS Y MOdAS 129

Interpretación de las medidas de tendencia central. Cálculo de la media aritmética, la moda y la mediana de un conjunto de datos agrupados. Propiedades de la media aritmética.

lección 4 HAY RAZONeS Y RAZONeS 141

Significado de una razón. Comparación entre dos razones.

Matemáticas 148Punto de encuentro 152una nueva actitud 154

bloQue 3 158

lección 1 ASí, SuCeSIVAMeNte 161

Construcción de sucesiones de números con signo a partir de una regla dada. Obtención de la regla que genera una sucesión de números con signo.

• Significado y uso de las operaciones

Problemas multiplicativos Problemas aditivos Operaciones combinadas

• Medida Estimar, medir y calcular• Formas geométricas Rectas y ángulos

• Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad• Representación de la información Diagramas y tablas Gráficas

Sentido numérico y pensamiento algebraico

eJe

forma, espacio y medida

Manejo de la información

• Significado y uso de las operaciones

Operaciones combinadas Problemas multiplicativos

• Formas geométricas Cuerpos geométricos• Medida Justificación de fórmulas Estimar, medir y calcular

• Análisis de la información Relaciones de proporcionalidad• Representación de la información Medidas de tendencia central y de

dispersión

Sentido numérico y pensamiento algebraico

eJe

forma, espacio y medida

Manejo de la información

6 7Matemáticas 1 Contenido

• Significado y uso de las literales Patrones y fórmulas Ecuaciones Relación funcional

Sentido numérico y pensamiento algebraico

eJe

8 9Matemáticas 1 Contenido

lección 2 de uN LAdO Y de OtRO 167

Problemas que impliquen el planteamiento y la solución de ecuaciones de la forma ax + bx + c = dx + ex + f, y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios positivos o negativos

lección 3 tOdOS eN LíNeA 175

Reconocimiento en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, de la presencia de cantidades que varían una en función de la otra. Representación de esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma y = ax + b.

Construcción, interpretación y uso de gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

Anticipación del comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante.

Anticipación del comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de m mientras el valor de b permanece constante.

lección 4 JuGueMOS A LOS ROMPeCABeZAS 185

Establecimiento y justificación de la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier polígono.

Argumentación de las razones por las cuales una figura geométrica sirve como modelo para recubrir un plano.

Matemáticas 194Punto de encuentro 196una nueva actitud 198

bloQue 4 200

lección 1 ¿QuÉ tAN PROBABLe eS? 203

Cálculo de probabilidades de eventos en distintos contextos. Identificación de eventos independientes. Cálculo de la probabilidad de que ocurran 2 o más eventos independientes.

lección 2 tRIÁNGuLOS CONGRueNteS 217

Determinación de los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

lección 3 NuMeRItOS Y NuMeROteS 229

Elaboración, utilización y justificación de procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de potencias.

Interpretación del resultado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilización de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

lección 4 ReCtAS deL tRIÁNGuLO 243

Las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

lección 5 MÁS O MeNOS RÁPIdO 255

Interpretación y elaboración de gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etc.

lección 6 ¿QuÉ eS MeJOR? 263

Interpretación de dos gráficas de líneas que representan características distintas de un fenómeno o situación. Utilización de la información brindada por dos gráficas para tomar decisiones.

Matemáticas 270Punto de encuentro 272una nueva actitud 276

bloQue 5 278

lección 1 dOS Y dOS 281

Representación con literales de los valores desconocidos de un problema y su uso para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.

Representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretación de la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

lección 2 de AQuí PARA ALLÁ 297

Determinación de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construcción y reconocimiento de diseños que combinen la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

lección 3 uNO O eL OtRO, PeRO NO LOS dOS 311

Identificación de eventos mutuamente excluyentes. Cálculo de probabilidades de eventos en distintos contextos.

Cálculo de la probabilidad de ocurrencia.

Matemáticas 320Punto de encuentro 322una nueva actitud 324Glosario 326bibliografía 328búsqueda de información en internet 330Programa de la asignatura 331

• Formas geométricas Justificación de fórmulas Figuras planas

• Representación de la información Gráficas

forma, espacio y medida

Manejo de la información

• Análisis de la información Noción de probabilidad• Representación de la información Gráficas

• Significado y uso de las literales Ecuaciones

• Transformaciones Movimientos en el plano

• Representación de la información Gráficas• Análisis de la información Noción de probabilidad

Sentido numérico y pensamiento algebraico

eJe

forma, espacio y medida

Manejo de la información• Significado y uso de las

operaciones Potenciación y radicación

• Formas geométricas Figuras planas Rectas y ángulos

Sentido numérico y pensamiento algebraico

eJe

Manejo de la información

forma, espacio y medida

8 9Matemáticas 1 Contenido

lección 2 de uN LAdO Y de OtRO 167

Problemas que impliquen el planteamiento y la solución de ecuaciones de la forma ax + bx + c = dx + ex + f, y con paréntesis en uno o en ambos miembros de la ecuación, utilizando coeficientes enteros o fraccionarios positivos o negativos

lección 3 tOdOS eN LíNeA 175

Reconocimiento en situaciones problemáticas asociadas a fenómenos de la física, la biología, la economía y otras disciplinas, de la presencia de cantidades que varían una en función de la otra. Representación de esta relación mediante una tabla o una expresión algebraica de la forma y = ax + b.

Construcción, interpretación y uso de gráficas de relaciones lineales asociadas a diversos fenómenos.

Anticipación del comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de b mientras el valor de m permanece constante.

Anticipación del comportamiento de gráficas lineales de la forma y = mx + b, cuando se modifica el valor de m mientras el valor de b permanece constante.

lección 4 JuGueMOS A LOS ROMPeCABeZAS 185

Establecimiento y justificación de la suma de las medidas de los ángulos interiores de cualquier polígono.

Argumentación de las razones por las cuales una figura geométrica sirve como modelo para recubrir un plano.

Matemáticas 194Punto de encuentro 196una nueva actitud 198

bloQue 4 200

lección 1 ¿QuÉ tAN PROBABLe eS? 203

Cálculo de probabilidades de eventos en distintos contextos. Identificación de eventos independientes. Cálculo de la probabilidad de que ocurran 2 o más eventos independientes.

lección 2 tRIÁNGuLOS CONGRueNteS 217

Determinación de los criterios de congruencia de triángulos a partir de construcciones con información determinada.

lección 3 NuMeRItOS Y NuMeROteS 229

Elaboración, utilización y justificación de procedimientos para calcular productos y cocientes de potencias enteras positivas de la misma base y potencias de potencias.

Interpretación del resultado de elevar un número natural a una potencia de exponente negativo. Utilización de la notación científica para realizar cálculos en los que intervienen cantidades muy grandes o muy pequeñas.

lección 4 ReCtAS deL tRIÁNGuLO 243

Las propiedades de las alturas, medianas, mediatrices y bisectrices en un triángulo.

lección 5 MÁS O MeNOS RÁPIdO 255

Interpretación y elaboración de gráficas formadas por segmentos de recta que modelan situaciones relacionadas con movimiento, llenado de recipientes, etc.

lección 6 ¿QuÉ eS MeJOR? 263

Interpretación de dos gráficas de líneas que representan características distintas de un fenómeno o situación. Utilización de la información brindada por dos gráficas para tomar decisiones.

Matemáticas 270Punto de encuentro 272una nueva actitud 276

bloQue 5 278

lección 1 dOS Y dOS 281

Representación con literales de los valores desconocidos de un problema y su uso para plantear y resolver un sistema de ecuaciones con coeficientes enteros.

Representación gráfica de un sistema de ecuaciones lineales con coeficientes enteros e interpretación de la intersección de sus gráficas como la solución del sistema.

lección 2 de AQuí PARA ALLÁ 297

Determinación de las propiedades de la rotación y de la traslación de figuras. Construcción y reconocimiento de diseños que combinen la simetría axial y central, la rotación y la traslación de figuras.

lección 3 uNO O eL OtRO, PeRO NO LOS dOS 311

Identificación de eventos mutuamente excluyentes. Cálculo de probabilidades de eventos en distintos contextos.

Cálculo de la probabilidad de ocurrencia.

Matemáticas 320Punto de encuentro 322una nueva actitud 324Glosario 326bibliografía 328búsqueda de información en internet 330Programa de la asignatura 331

• Formas geométricas Justificación de fórmulas Figuras planas

• Representación de la información Gráficas

forma, espacio y medida

Manejo de la información

• Análisis de la información Noción de probabilidad• Representación de la información Gráficas

• Significado y uso de las literales Ecuaciones

• Transformaciones Movimientos en el plano

• Representación de la información Gráficas• Análisis de la información Noción de probabilidad

Sentido numérico y pensamiento algebraico

eJe

forma, espacio y medida

Manejo de la información• Significado y uso de las

operaciones Potenciación y radicación

• Formas geométricas Figuras planas Rectas y ángulos

Sentido numérico y pensamiento algebraico

eJe

Manejo de la información

forma, espacio y medida

> ¿Qué aprendiste de Matemáticas en el primer grado?

10 Matemáticas 1 Enlace 11

> enlace

Para iniciar el estudio de las matemáticas de segundo grado de secundaria es conveniente que recuerdes los conoci-mientos que recibiste anteriormente. Esta sección es un enlace entre las habilidades y conocimientos que adquiriste en cursos anteriores con las que aprenderás en este segundo grado

1. ¿Qué número sumado a sí mismo da como resultado −10?

2. ¿Qué número hay que sumar a −2.5 para obtener −6.2? ¿Qué número hay que restar a −2.5 para obtener −6.2?

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 23. Representa en una recta numérica las siguientes operaciones:

(−3.5) + (4.5) (− 32 ) − (− 3

7 ) (−5.5) + (−1.5)

4. David armó esta figura con tres piezas cuadradas y dos rectangulares.

Las tres piezas cuadradas forman una rectangular.

La pieza rectangular tiene 48 cm de perímetro, ¿cuál es el perímetro de la figura que armó David?

5. El domingo Esteban tenía 24 canicas, el lunes compró 10 más, el martes también compró canicas y el miércoles compró el doble de canicas que el martes, el jueves no compró y hoy viernes Esteban tiene 73 canicas, ¿cuántas ca-nicas compró el martes?

6. Susana quiere ir a Zihuatanejo. El pasaje del autobús en viaje redondo cuesta $600. Por ocho días de estancia, el hotel cobra $4 480. ¿Cuánto gastará en total si decide quedarse sólo cinco días y la tarifa del hotel es proporcional a los días de estadía?

7. En el plano cartesiano se encuentran los puntos A, B y C, observa su ubicación y llena la siguiente tabla con los datos que se piden. Ubica otros tres puntos D, E y F sobre la recta que contiene a los puntos A, B y C y da sus coordenadas.

Punto x yABCDEF

8. Traza un rombo a partir de una de sus diagonales.

¿Cómo deben ser los lados de un cuadrilátero para que sea un rombo?¿Se pueden construir varios rombos con la misma diagonal?En la figura te mostramos tres rombos con el segmentoAB como diagonal; construye uno distinto.

=

A

BC

A

BA

B

> ¿Qué aprendiste de Matemáticas en el primer grado?

10 Matemáticas 1 Enlace 11

> enlace

Para iniciar el estudio de las matemáticas de segundo grado de secundaria es conveniente que recuerdes los conoci-mientos que recibiste anteriormente. Esta sección es un enlace entre las habilidades y conocimientos que adquiriste en cursos anteriores con las que aprenderás en este segundo grado

1. ¿Qué número sumado a sí mismo da como resultado −10?

2. ¿Qué número hay que sumar a −2.5 para obtener −6.2? ¿Qué número hay que restar a −2.5 para obtener −6.2?

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 23. Representa en una recta numérica las siguientes operaciones:

(−3.5) + (4.5) (− 32 ) − (− 3

7 ) (−5.5) + (−1.5)

4. David armó esta figura con tres piezas cuadradas y dos rectangulares.

Las tres piezas cuadradas forman una rectangular.

La pieza rectangular tiene 48 cm de perímetro, ¿cuál es el perímetro de la figura que armó David?

5. El domingo Esteban tenía 24 canicas, el lunes compró 10 más, el martes también compró canicas y el miércoles compró el doble de canicas que el martes, el jueves no compró y hoy viernes Esteban tiene 73 canicas, ¿cuántas ca-nicas compró el martes?

6. Susana quiere ir a Zihuatanejo. El pasaje del autobús en viaje redondo cuesta $600. Por ocho días de estancia, el hotel cobra $4 480. ¿Cuánto gastará en total si decide quedarse sólo cinco días y la tarifa del hotel es proporcional a los días de estadía?

7. En el plano cartesiano se encuentran los puntos A, B y C, observa su ubicación y llena la siguiente tabla con los datos que se piden. Ubica otros tres puntos D, E y F sobre la recta que contiene a los puntos A, B y C y da sus coordenadas.

Punto x yABCDEF

8. Traza un rombo a partir de una de sus diagonales.

¿Cómo deben ser los lados de un cuadrilátero para que sea un rombo?¿Se pueden construir varios rombos con la misma diagonal?En la figura te mostramos tres rombos con el segmentoAB como diagonal; construye uno distinto.

=

A

BC

A

BA

B

12 13Matemáticas 1 Enlace

> enlace

11. Determina cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuales son deterministas. Explica tu respuesta.a) Se deja caer una piedra desde una altura de 2 metros dentro del salón y se observa la trayectoria que sigue.b) Se selecciona cualquier nombre de la lista de estudiantes de tu grupo y se le pregunta cuál es su deporte favorito.c) Se coloca una bola roja en la caja 1, una bola azul en la caja 2 y una bola blanca en la caja 3. Se le pide a una per-

sona que no sabe cómo se acomodaron las bolas que seleccione la bola de la caja 1 y anote su color.d) Se colocan las mismas bolas en las mismas cajas del ejercicio anterior y se le pide a una persona que no sabe cómo

se acomodaron las bolas que elija cualquier caja, saque la bola y anote su color.

12. Se lanzan dos dados regulares. Escribe el espacio muestral de este experimento. ¿Todos los resultados que escribiste tienen la misma facilidad de ocurrir? ¿Por qué?Calcula la probabilidad de los siguientes eventos:A: La suma de los números obtenidos es 6.B: El producto de los números obtenidos es 12.C: El resultado del primer dado es 5 (el segundo resultado puede ser cualquiera).D: El resultado del primer dado es 4 y el del segundo es par.E: La diferencia entre los dos números obtenidos es 3.

13. Se lanza 1 000 veces un dado cargado. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Cara 1 2 3 4 5 6

Frecuencia 85 159 167 161 163 265

Usa la definición frecuencial para aproximar la probabilidad de cada uno de los resultados posibles al lanzar este dado.

9. Traza un segmento cualquiera AC y cualquier rombo que tenga a AC como una de sus diagonales. Llama B y D a los otros vértices. Traza el segmento BD y llama O al punto donde se cruzan las dia-gonales.

Recorta el rombo y dóblalo por la diagonal BD.¿Son iguales los triángulos ABD y CBD?¿Miden lo mismo los segmentos AO y OC?¿Son iguales los ángulos ABD y CBD?¿Es simétrico el rombo respecto a su diagonal BD?

Desdobla el rombo y dóblalo por la otra diagonal.¿Son iguales los triángulos ABC y ADC?¿Miden lo mismo los segmentos BO y OD?¿Son iguales los ángulos BAO y DAO?¿Es simétrico el rombo respecto a su diagonal AC?

Dobla ahora el rombo en cuatro por sus diagonales.¿Son iguales los cuatro triángulos en los que quedadividido el rombo por sus diagonales?¿Cuánto mide el ángulo AOB?

10. Traza un rombo a partir de uno de sus ángulos. Clava tu compás en el vértice A y con cualquier radio traza un arco de circunferencia que corte a las dos líneas que for-man el ángulo. Llama B y D a los puntos de intersección. Sin cambiar la apertura del compás traza dos circunferencias con centros en B y D. Las circunferencias se cortan en A y en otro punto; llama C a este punto.Une a C con B y D. Traza las diagonales del rombo.A partir de las actividades anteriores explica: a) Cómo trazar la mediatriz de un segmento. b) Cómo trazar la bisectriz de un ángulo.

A

A

C

B

D

O

12 13Matemáticas 1 Enlace

> enlace

11. Determina cuáles de los siguientes experimentos son aleatorios y cuales son deterministas. Explica tu respuesta.a) Se deja caer una piedra desde una altura de 2 metros dentro del salón y se observa la trayectoria que sigue.b) Se selecciona cualquier nombre de la lista de estudiantes de tu grupo y se le pregunta cuál es su deporte favorito.c) Se coloca una bola roja en la caja 1, una bola azul en la caja 2 y una bola blanca en la caja 3. Se le pide a una per-

sona que no sabe cómo se acomodaron las bolas que seleccione la bola de la caja 1 y anote su color.d) Se colocan las mismas bolas en las mismas cajas del ejercicio anterior y se le pide a una persona que no sabe cómo

se acomodaron las bolas que elija cualquier caja, saque la bola y anote su color.

12. Se lanzan dos dados regulares. Escribe el espacio muestral de este experimento. ¿Todos los resultados que escribiste tienen la misma facilidad de ocurrir? ¿Por qué?Calcula la probabilidad de los siguientes eventos:A: La suma de los números obtenidos es 6.B: El producto de los números obtenidos es 12.C: El resultado del primer dado es 5 (el segundo resultado puede ser cualquiera).D: El resultado del primer dado es 4 y el del segundo es par.E: La diferencia entre los dos números obtenidos es 3.

13. Se lanza 1 000 veces un dado cargado. Los resultados obtenidos son los siguientes:

Cara 1 2 3 4 5 6

Frecuencia 85 159 167 161 163 265

Usa la definición frecuencial para aproximar la probabilidad de cada uno de los resultados posibles al lanzar este dado.

9. Traza un segmento cualquiera AC y cualquier rombo que tenga a AC como una de sus diagonales. Llama B y D a los otros vértices. Traza el segmento BD y llama O al punto donde se cruzan las dia-gonales.

Recorta el rombo y dóblalo por la diagonal BD.¿Son iguales los triángulos ABD y CBD?¿Miden lo mismo los segmentos AO y OC?¿Son iguales los ángulos ABD y CBD?¿Es simétrico el rombo respecto a su diagonal BD?

Desdobla el rombo y dóblalo por la otra diagonal.¿Son iguales los triángulos ABC y ADC?¿Miden lo mismo los segmentos BO y OD?¿Son iguales los ángulos BAO y DAO?¿Es simétrico el rombo respecto a su diagonal AC?

Dobla ahora el rombo en cuatro por sus diagonales.¿Son iguales los cuatro triángulos en los que quedadividido el rombo por sus diagonales?¿Cuánto mide el ángulo AOB?

10. Traza un rombo a partir de uno de sus ángulos. Clava tu compás en el vértice A y con cualquier radio traza un arco de circunferencia que corte a las dos líneas que for-man el ángulo. Llama B y D a los puntos de intersección. Sin cambiar la apertura del compás traza dos circunferencias con centros en B y D. Las circunferencias se cortan en A y en otro punto; llama C a este punto.Une a C con B y D. Traza las diagonales del rombo.A partir de las actividades anteriores explica: a) Cómo trazar la mediatriz de un segmento. b) Cómo trazar la bisectriz de un ángulo.

A

A

C

B

D

O

1514

>BLOQue 1 Resolver problemas que impliquen multipli-caciones y divisiones de números con signo.

Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

Reconocer y obtener expresiones algebrai-cas equivalentes a partir del empleo de mode-los geométricos.

Resolver problemas que impliquen recono-cer, estimar y medir ángulos, utilizando el gra-do como unidad de medida.

determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, per-pendiculares y oblicuas.

establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, re-conocer ángulos opuestos por el vértice y ad-yacentes.

establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas corta-das por una transversal.

Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y para-lelogramos.

determinar el factor inverso dada una rela-ción de proporcionalidad y el factor de propor-cionalidad fraccionario.

elaborar y utilizar procedimientos para resol-ver problemas de proporcionalidad múltiple.

Anticipar resultados en problemas de con-teo, con base en la identificación de regulari-dades.

Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros re-cursos.

Interpretar y comunicar información me-diante polígonos de frecuencia.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

forma, espacio y medida Manejo de la información

eJe 2eJe 1 eJe 3

> Lo que aprenderás en este bloque

¿Cómo fueron posibles los viajes de descubrimiento?

La navegación a grandes distancias desarrollada en los si-glos xiv y xv no hubiera sido posible sin instrumentos que permitieran orientarse en mar abierto. El reloj, la brújula y el astrolabio fueron fundamentales para el retorno de los barcos que navegaron en aquella época.

Aunque los astrolabios fueron evolucionando hasta con-vertirse en instrumentos un tanto complicados, básica-mente sirven para determinar el ángulo de elevación de las estrellas con respecto del horizonte.

Temas del bloque:

• Resolveremos problemas que implican efectuar su-mas, restas, multiplicaciones o divisiones de núme-ros con signo.

• Identificaremos la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.

• Resolveremos problemas de conteo mediante cálcu-los numéricos.

• Resolveremos problemas de valor faltante conside-rando más de dos conjuntos de cantidades.

• Interpretaremos y construiremos polígonos de fre-cuencia.

1514

>BLOQue 1 Resolver problemas que impliquen multipli-caciones y divisiones de números con signo.

Resolver problemas que impliquen adición y sustracción de expresiones algebraicas.

Reconocer y obtener expresiones algebrai-cas equivalentes a partir del empleo de mode-los geométricos.

Resolver problemas que impliquen recono-cer, estimar y medir ángulos, utilizando el gra-do como unidad de medida.

determinar mediante construcciones las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaborar definiciones de rectas paralelas, per-pendiculares y oblicuas.

establecer relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano, re-conocer ángulos opuestos por el vértice y ad-yacentes.

establecer las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas corta-das por una transversal.

Justificar las relaciones entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y para-lelogramos.

determinar el factor inverso dada una rela-ción de proporcionalidad y el factor de propor-cionalidad fraccionario.

elaborar y utilizar procedimientos para resol-ver problemas de proporcionalidad múltiple.

Anticipar resultados en problemas de con-teo, con base en la identificación de regulari-dades.

Verificar los resultados mediante arreglos rectangulares, diagramas de árbol u otros re-cursos.

Interpretar y comunicar información me-diante polígonos de frecuencia.

Sentido numérico y pensamiento algebraico

forma, espacio y medida Manejo de la información

eJe 2eJe 1 eJe 3

> Lo que aprenderás en este bloque

¿Cómo fueron posibles los viajes de descubrimiento?

La navegación a grandes distancias desarrollada en los si-glos xiv y xv no hubiera sido posible sin instrumentos que permitieran orientarse en mar abierto. El reloj, la brújula y el astrolabio fueron fundamentales para el retorno de los barcos que navegaron en aquella época.

Aunque los astrolabios fueron evolucionando hasta con-vertirse en instrumentos un tanto complicados, básica-mente sirven para determinar el ángulo de elevación de las estrellas con respecto del horizonte.

Temas del bloque:

• Resolveremos problemas que implican efectuar su-mas, restas, multiplicaciones o divisiones de núme-ros con signo.

• Identificaremos la suma de los ángulos internos de cualquier triángulo o cuadrilátero.

• Resolveremos problemas de conteo mediante cálcu-los numéricos.

• Resolveremos problemas de valor faltante conside-rando más de dos conjuntos de cantidades.

• Interpretaremos y construiremos polígonos de fre-cuencia.

16 17Bloque 1 Lección 1 > Los ángulos

>PARA coMenZar >1º1> los ángulos

>1º

En la siguiente fotografía aparecen estrellas, une algunas con segmentos de recta y crea tus propias constelaciones.

Mide los ángulos formados por los segmentos que construiste.

¿Cuál de estos dos ángulos es mayor? ¿Por qué?

Compara tus argumentos con los de tus demás compañeros.

... necesitas recordar:

1. Qué es un ángulo.2. Cómo se usa el transportador para medir los ángulos.3. Cómo se construyen rectas perpendiculares con regla y compás.4. Cómo se construyen rectas paralelas con regla y compás.

> en esta lección, abordarás los temas de:

• Resolución de problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángu-los, utilizando el grado como unidad de medida.

• Determinación mediante construcciones de las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaboración de definiciones de rectas paralelas, perpen-diculares y oblicuas.

• Establecimiento de relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocimiento de ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

Actividad individual

Constelación de Piscis

Probablemente en la antigua Babilonia, fueron creadas 4 constelaciones para marcar los grupos de estrellas. Los babilonios creían ver en los conjuntos estelares diferentes figuras. El concepto científico actual de constelación difiere del que se tenía anteriormente y del que aún persiste a nivel popular. Hoy en día son consideradas por los astrónomos como áreas fijas en el cielo limitadas por líneas que son paralelas al ecuador y a los meridianos celestes; a diferencia de los arreglos o configuraciones de estrellas formando las figuras de animales u objetos como las veían los babilonios.

16 17Bloque 1 Lección 1 > Los ángulos

>PARA coMenZar >1º1> los ángulos

>1º

En la siguiente fotografía aparecen estrellas, une algunas con segmentos de recta y crea tus propias constelaciones.

Mide los ángulos formados por los segmentos que construiste.

¿Cuál de estos dos ángulos es mayor? ¿Por qué?

Compara tus argumentos con los de tus demás compañeros.

... necesitas recordar:

1. Qué es un ángulo.2. Cómo se usa el transportador para medir los ángulos.3. Cómo se construyen rectas perpendiculares con regla y compás.4. Cómo se construyen rectas paralelas con regla y compás.

> en esta lección, abordarás los temas de:

• Resolución de problemas que impliquen reconocer, estimar y medir ángu-los, utilizando el grado como unidad de medida.

• Determinación mediante construcciones de las posiciones relativas de dos rectas en el plano y elaboración de definiciones de rectas paralelas, perpen-diculares y oblicuas.

• Establecimiento de relaciones entre los ángulos que se forman al cortarse dos rectas en el plano y reconocimiento de ángulos opuestos por el vértice y adyacentes.

Actividad individual

Constelación de Piscis

Probablemente en la antigua Babilonia, fueron creadas 4 constelaciones para marcar los grupos de estrellas. Los babilonios creían ver en los conjuntos estelares diferentes figuras. El concepto científico actual de constelación difiere del que se tenía anteriormente y del que aún persiste a nivel popular. Hoy en día son consideradas por los astrónomos como áreas fijas en el cielo limitadas por líneas que son paralelas al ecuador y a los meridianos celestes; a diferencia de los arreglos o configuraciones de estrellas formando las figuras de animales u objetos como las veían los babilonios.

18 19Bloque 1 Lección 1 > Los ángulos

Los siguientes dibujos muestran varias posiciones de una rueda de la fortuna. Ordena los ángulos señalados en la figura, de menor a mayor. Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros.

Ordena los siguientes ángulos de menor a mayor.

¿Cuáles de estos ángulos son menores que un ángulo recto? ¿Cuáles son mayores?

El grado es una unidad de medida de los ángulos. Si al formar un ángulo con dos semirrectas pensamos que una de ellas está fija y la otra se mue-ve, el ángulo correspondiente a una vuelta completa de la semirrecta mó-vil mide 360 grados (360º).

Por otro lado, la mitad de una vuelta corresponde a un ángulo de 180°, lla-mado ángulo llano. La cuarta parte de una vuelta corresponde a un ángu-lo de 90°, llamado ángulo recto.

El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador.

¿Cuánto mide el ángulo que se esta midiendo con el transportador? Co-menta con tus compañeros.

Dobla una hoja de papel y forma una figura, por ejemplo, un “avión”.

Ahora desdobla la hoja y mide con el transportador los ángulos que observes.

¿Qué tipo de ángulos obtuviste? ¿Obtuviste ángulos mayores que un ángulo recto? ¿Menores? ¿Puedes doblar la hoja de manera que obtengas sólo ángu-los rectos?

Las medidas de los ángulos de la figura son: 5º, 27º. 65º, 90º, 118º y 170º. Aso-cia cada medida con el ángulo correspondiente, sin medir los ángulos directa-mente.

A

B

C

E

A B C D

Actividad individual

F

D

Actividad individual

Actividad individual

A

B

C

D

EF

Actividad individual

Actividad individual

Avión de papel.

360°

Ángulo llano

Ángulo recto

18 19Bloque 1 Lección 1 > Los ángulos

Los siguientes dibujos muestran varias posiciones de una rueda de la fortuna. Ordena los ángulos señalados en la figura, de menor a mayor. Compara tus respuestas con las de tus demás compañeros.

Ordena los siguientes ángulos de menor a mayor.

¿Cuáles de estos ángulos son menores que un ángulo recto? ¿Cuáles son mayores?

El grado es una unidad de medida de los ángulos. Si al formar un ángulo con dos semirrectas pensamos que una de ellas está fija y la otra se mue-ve, el ángulo correspondiente a una vuelta completa de la semirrecta mó-vil mide 360 grados (360º).

Por otro lado, la mitad de una vuelta corresponde a un ángulo de 180°, lla-mado ángulo llano. La cuarta parte de una vuelta corresponde a un ángu-lo de 90°, llamado ángulo recto.

El instrumento más utilizado para medir ángulos es el transportador.

¿Cuánto mide el ángulo que se esta midiendo con el transportador? Co-menta con tus compañeros.

Dobla una hoja de papel y forma una figura, por ejemplo, un “avión”.

Ahora desdobla la hoja y mide con el transportador los ángulos que observes.

¿Qué tipo de ángulos obtuviste? ¿Obtuviste ángulos mayores que un ángulo recto? ¿Menores? ¿Puedes doblar la hoja de manera que obtengas sólo ángu-los rectos?

Las medidas de los ángulos de la figura son: 5º, 27º. 65º, 90º, 118º y 170º. Aso-cia cada medida con el ángulo correspondiente, sin medir los ángulos directa-mente.

A

B

C

E

A B C D

Actividad individual

F

D

Actividad individual

Actividad individual

A

B

C

D

EF

Actividad individual

Actividad individual

Avión de papel.

360°

Ángulo llano

Ángulo recto

>2º

20 21Bloque 1 Lección 1 > Los ángulos

Actividad individual Traza en tu cuaderno dos rectas que se corten, una de color rojo y otra de color negro. Llama A, B, C y D a los cuatro ángulos que se forman.

¿Hay en tu figura ángulos iguales? ¿Cuáles son?En tu figura ¿cuánto suman las medidas de los ángulos A y B? ¿Por qué?¿Cuánto suman los ángulos B y C? ¿Qué puedes decir de A y C?Utiliza un razonamiento análogo para comparar los ángulos B y D.Discute tus argumentos con el resto del grupo.

A una pareja de ángulos como A y C de la siguiente figura, se les conoce como ángulos opuestos por el vértice.

Si dos ángulos A y B comparten el vértice y un lado se dice que son adya-centes.

Si dos ángulos A y B suman 180º se dice que son suplementarios.Si dos ángulos adyacentes forman un ángulo llano, son suplementarios.

Actividad individual

D

B

C

A

C

A

En el siguiente mapa aparece una parte de la ciudad de Guadalajara.

¿Cuánto miden los ángulos en el cruce de las calles Presa La Escondida y Pre-sa Santa Rosa?¿Cuánto miden los ángulos en la intersección de Presa Falcón y Presa Solís?Indica varias parejas de calles perpendiculares.Indica varias parejas de calles paralelas.Indica dos parejas de calles que no sean paralelas ni perpendiculares.

Si dos rectas en el plano se cortan formando ángulo recto se dice que son perpendiculares.Dos rectas que se cortan pero no son perpendiculares son oblicuas.Dos rectas que tienen una perpendicular común son paralelas.

Rectasperpendiculares

Rectasoblicuas

Presa La Escondida

Presa Santa Rosa

Presa del Infiernillo

Presa Modelo

Presa Valsequillo

Presa PilasPresa Berm

ejillo

Presa Tívoli

Radiólogos

Cirujanos

Magistrados

Presa SolísPresa Falcón

B

B

A

A

A

B

Rectasparalelas

>2º

20 21Bloque 1 Lección 1 > Los ángulos

Actividad individual Traza en tu cuaderno dos rectas que se corten, una de color rojo y otra de color negro. Llama A, B, C y D a los cuatro ángulos que se forman.

¿Hay en tu figura ángulos iguales? ¿Cuáles son?En tu figura ¿cuánto suman las medidas de los ángulos A y B? ¿Por qué?¿Cuánto suman los ángulos B y C? ¿Qué puedes decir de A y C?Utiliza un razonamiento análogo para comparar los ángulos B y D.Discute tus argumentos con el resto del grupo.

A una pareja de ángulos como A y C de la siguiente figura, se les conoce como ángulos opuestos por el vértice.

Si dos ángulos A y B comparten el vértice y un lado se dice que son adya-centes.

Si dos ángulos A y B suman 180º se dice que son suplementarios.Si dos ángulos adyacentes forman un ángulo llano, son suplementarios.

Actividad individual

D

B

C

A

C

A

En el siguiente mapa aparece una parte de la ciudad de Guadalajara.

¿Cuánto miden los ángulos en el cruce de las calles Presa La Escondida y Pre-sa Santa Rosa?¿Cuánto miden los ángulos en la intersección de Presa Falcón y Presa Solís?Indica varias parejas de calles perpendiculares.Indica varias parejas de calles paralelas.Indica dos parejas de calles que no sean paralelas ni perpendiculares.

Si dos rectas en el plano se cortan formando ángulo recto se dice que son perpendiculares.Dos rectas que se cortan pero no son perpendiculares son oblicuas.Dos rectas que tienen una perpendicular común son paralelas.

Rectasperpendiculares

Rectasoblicuas

Presa La Escondida

Presa Santa RosaPresa del Infiernillo

Presa Modelo

Presa Valsequillo

Presa PilasPresa Berm

ejillo

Presa Tívoli

Radiólogos

Cirujanos

Magistrados

Presa SolísPresa Falcón

B

B

A

A

A

B

Rectasparalelas

>3º

22 23Bloque 1 Lección 1 > Los ángulos

Actividad individual Traza en tu cuaderno dos rectas, una roja y una negra, que se corten. Con el compás, marca en cada una de las rectas segmentos de igual longitud. Eti-queta los puntos como en la figura.

Traza una recta de color verde que pase por los puntos A y A’.Traza ahora otra recta de color verde que pase por los puntos B y B’.

¿Hay alguna relación entre las medidas de los ángulos OAA’ y OBB’? Analiza y compara tus observaciones con las de tus compañeros.Traza una tercera recta de color verde por los puntos C y C’ y analiza la rela-ción del ángulo OCC’ con los ángulos anteriores. Compara los ángulos AA’O y BB’O. ¿Qué puedes decir del ángulo CC’O?Discute tus conclusiones con tus compañeros del grupo.

En tu cuaderno, traza una recta roja y otra recta negra que se corten. Marca en cada recta segmentos con la misma longitud y etiqueta los puntos con nú-meros, como sigue.

Traza una recta L de color verde que pase por los puntos 1 y 2 .Traza una recta paralela a L, que pase por el punto 2. Traza una paralela más, que pase por el punto 3. Compara los ángulos marcados en la siguiente figura. ¿Qué observas? Discute tus observaciones con tus compañeros.

>3º

A

B

C

A’ B’ C’

A

B

C

A’ B’ C’

Actividad colectiva

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

0

0

L

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

>3º

22 23Bloque 1 Lección 1 > Los ángulos

Actividad individual Traza en tu cuaderno dos rectas, una roja y una negra, que se corten. Con el compás, marca en cada una de las rectas segmentos de igual longitud. Eti-queta los puntos como en la figura.

Traza una recta de color verde que pase por los puntos A y A’.Traza ahora otra recta de color verde que pase por los puntos B y B’.

¿Hay alguna relación entre las medidas de los ángulos OAA’ y OBB’? Analiza y compara tus observaciones con las de tus compañeros.Traza una tercera recta de color verde por los puntos C y C’ y analiza la rela-ción del ángulo OCC’ con los ángulos anteriores. Compara los ángulos AA’O y BB’O. ¿Qué puedes decir del ángulo CC’O?Discute tus conclusiones con tus compañeros del grupo.

En tu cuaderno, traza una recta roja y otra recta negra que se corten. Marca en cada recta segmentos con la misma longitud y etiqueta los puntos con nú-meros, como sigue.

Traza una recta L de color verde que pase por los puntos 1 y 2 .Traza una recta paralela a L, que pase por el punto 2. Traza una paralela más, que pase por el punto 3. Compara los ángulos marcados en la siguiente figura. ¿Qué observas? Discute tus observaciones con tus compañeros.

>3º

A

B

C

A’ B’ C’

A

B

C

A’ B’ C’

Actividad colectiva

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6

0

0

L

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

3.

24 25Bloque 1 Lección 1 > Los ángulos

>PARA terMinar>4º 1. En la siguiente figura aparecen varias rectas que se cortan entre sí.

Marca con un mismo color los ángulos que midan lo mismo. ¿Por qué miden lo mismo?

2. Consigue un mapa de tu localidad, si no tienes dibuja uno, reprodúcelo en tu cuaderno usando rectas para representar las calles y contesta en él las siguientes preguntas:¿Hay parejas de calles perpendiculares? Escribe algunas.¿Hay parejas de calles paralelas? Escribe algunas.¿Hay parejas de calles que no sean perpendiculares ni paralelas? Escribe algunas.

a) Traza en tu cuaderno dos rectas que se corten en un punto O. ¿Cuán-to mide el ángulo entre estas rectas? Ahora elige un punto P que no esté sobre las rectas y traza las perpendiculares a las rectas originales que pasan por P. Tendrás una figura parecida a la siguiente.

¿Cuánto mide el ángulo que forman en P las perpendiculares que trazas-te? ¿Hay alguna relación entre el ángulo de las rectas originales y el án-gulo que forman las dos perpendiculares al cortarse, dado que ya conoces el ángulo O?

b) De nuevo traza en tu cuaderno dos rectas que se corten en un punto O. Ahora elige un punto Q sobre una de las rectas (distinto de O) y traza las perpendiculares a las rectas originales que pasan por Q. Contesta las pre-guntas del inciso anterior.

c) Finalmente, traza en tu cuaderno dos rectas que se corten en un punto O y las perpendiculares a éstas que pasan por O. Contesta las mismas pre-guntas de los incisos anteriores.

4. Dibuja en tu cuaderno un rombo cuyo lado mida 5 cm y una de sus dia-gonales mida 6 cm. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de tu rombo? Compara tu rombo con el de tus compañeros. ¿Cuáles son las diferencias entre los rombos que dibujaron?

5. Construye un rectángulo con uno de sus lados de 9 cm y una de sus dia-gonales de 12 cm. ¿A todos tus compañeros les salió el mismo rectángulo? ¿Cuánto mide el ángulo entre la diagonal y un lado? Compara tu resulta-do con el de tus compañeros.

6. Traza un triángulo ABC con el lado AB de 7.5 cm y el ángulo ABC de 35°. ¿Obtuviste el mismo triángulo que tus compañeros? ¿Cuánto mide el lado BC en tu triángulo? ¿Cuánto mide el ángulo BCA en tu triángulo?

7. Construye un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 10 cm, respectivamente. ¿Cuánto miden los ángulos de este triángulo? ¿Obtuviste las mismas res-puestas que tus compañeros?

8. Dibuja en tu cuaderno un paralelogramo cuyos lados midan 6 y 5 cm, respectivamente. Mide los ángulos de este paralelogramo. ¿Obtuviste las mismas medidas que tus compañeros?

Torito

el reloj de manecillasEn un reloj de manecillas (horario y minutero), ¿cuántos grados recorre cada manecilla por minuto?¿A qué horas coinciden las manecillas del reloj?¿A qué horas apuntan las manecillas en sentidos opuestos?Si a cierta hora las manecillas forman un ángulo recto, ¿cuánto tiempo pasa hasta que vuelvan a formar un ángulo recto?

P

O

O

O

Q

3.

24 25Bloque 1 Lección 1 > Los ángulos

>PARA terMinar>4º 1. En la siguiente figura aparecen varias rectas que se cortan entre sí.

Marca con un mismo color los ángulos que midan lo mismo. ¿Por qué miden lo mismo?

2. Consigue un mapa de tu localidad, si no tienes dibuja uno, reprodúcelo en tu cuaderno usando rectas para representar las calles y contesta en él las siguientes preguntas:¿Hay parejas de calles perpendiculares? Escribe algunas.¿Hay parejas de calles paralelas? Escribe algunas.¿Hay parejas de calles que no sean perpendiculares ni paralelas? Escribe algunas.

a) Traza en tu cuaderno dos rectas que se corten en un punto O. ¿Cuán-to mide el ángulo entre estas rectas? Ahora elige un punto P que no esté sobre las rectas y traza las perpendiculares a las rectas originales que pasan por P. Tendrás una figura parecida a la siguiente.

¿Cuánto mide el ángulo que forman en P las perpendiculares que trazas-te? ¿Hay alguna relación entre el ángulo de las rectas originales y el án-gulo que forman las dos perpendiculares al cortarse, dado que ya conoces el ángulo O?

b) De nuevo traza en tu cuaderno dos rectas que se corten en un punto O. Ahora elige un punto Q sobre una de las rectas (distinto de O) y traza las perpendiculares a las rectas originales que pasan por Q. Contesta las pre-guntas del inciso anterior.

c) Finalmente, traza en tu cuaderno dos rectas que se corten en un punto O y las perpendiculares a éstas que pasan por O. Contesta las mismas pre-guntas de los incisos anteriores.

4. Dibuja en tu cuaderno un rombo cuyo lado mida 5 cm y una de sus dia-gonales mida 6 cm. ¿Cuánto miden los ángulos interiores de tu rombo? Compara tu rombo con el de tus compañeros. ¿Cuáles son las diferencias entre los rombos que dibujaron?

5. Construye un rectángulo con uno de sus lados de 9 cm y una de sus dia-gonales de 12 cm. ¿A todos tus compañeros les salió el mismo rectángulo? ¿Cuánto mide el ángulo entre la diagonal y un lado? Compara tu resulta-do con el de tus compañeros.

6. Traza un triángulo ABC con el lado AB de 7.5 cm y el ángulo ABC de 35°. ¿Obtuviste el mismo triángulo que tus compañeros? ¿Cuánto mide el lado BC en tu triángulo? ¿Cuánto mide el ángulo BCA en tu triángulo?

7. Construye un triángulo cuyos lados midan 6, 8 y 10 cm, respectivamente. ¿Cuánto miden los ángulos de este triángulo? ¿Obtuviste las mismas res-puestas que tus compañeros?

8. Dibuja en tu cuaderno un paralelogramo cuyos lados midan 6 y 5 cm, respectivamente. Mide los ángulos de este paralelogramo. ¿Obtuviste las mismas medidas que tus compañeros?

Torito

el reloj de manecillasEn un reloj de manecillas (horario y minutero), ¿cuántos grados recorre cada manecilla por minuto?¿A qué horas coinciden las manecillas del reloj?¿A qué horas apuntan las manecillas en sentidos opuestos?Si a cierta hora las manecillas forman un ángulo recto, ¿cuánto tiempo pasa hasta que vuelvan a formar un ángulo recto?

P

O

O

O

Q

26 27Bloque 1 Lección 2 > El tesoro perdido

>PARA coMenZar >1º

SOL

a

787.5 km

Alejandría

Siena

A

... necesitas recordar:

1. Qué son las rectas paralelas.2. Cómo medir ángulos.3. Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo.4. Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero.

> en esta lección, abordarás los temas de:

• Establecimiento de las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

• Justificación de las relaciones existentes entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

2> el tesoro perdido

Dos jóvenes hallaron las instrucciones para encontrar un tesoro en una isla: “En la costa sur de la isla hay una palmera, un árbol seco y una roca. Se mide la distancia entre el árbol seco y la roca y se localiza el punto medio. Una per-sona parada en ese punto medio, mirando hacia el sur, gira 60 grados hacia la derecha y traza una línea imaginaria en esa dirección. Se mide también la dis-tancia entre el árbol seco y la palmera y se localiza el punto medio. Otra per-sona parada en ese punto medio, mirando hacia el sur, gira 90 grados hacia la izquierda y traza una línea imaginaria en esa dirección. En el punto donde se cruzan las líneas imaginarias se encuentra el tesoro.”

Copia el siguiente croquis en tu cuaderno y sigue las indicaciones para de-terminar el punto donde se encuentra el tesoro. Compara tu resultado con los de tus compañeros.

Árbol seco

Palmera

Roca

A pesar de su sencillez, las propiedades de los ángulos cortados por una transversal en una pareja de rectas paralelas tienen aplicaciones sorprendentes. Una de ellas es el cálculo de la circunferencia de la Tierra realizado por Eratóstenes (284 -192 a.n.e.).

26 27Bloque 1 Lección 2 > El tesoro perdido

>PARA coMenZar >1º

SOL

a

787.5 km

Alejandría

Siena

A

... necesitas recordar:

1. Qué son las rectas paralelas.2. Cómo medir ángulos.3. Cuánto suman los ángulos interiores de un triángulo.4. Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero.

> en esta lección, abordarás los temas de:

• Establecimiento de las relaciones entre los ángulos que se forman entre dos rectas paralelas cortadas por una transversal.

• Justificación de las relaciones existentes entre las medidas de los ángulos interiores de los triángulos y paralelogramos.

2> el tesoro perdido

Dos jóvenes hallaron las instrucciones para encontrar un tesoro en una isla: “En la costa sur de la isla hay una palmera, un árbol seco y una roca. Se mide la distancia entre el árbol seco y la roca y se localiza el punto medio. Una per-sona parada en ese punto medio, mirando hacia el sur, gira 60 grados hacia la derecha y traza una línea imaginaria en esa dirección. Se mide también la dis-tancia entre el árbol seco y la palmera y se localiza el punto medio. Otra per-sona parada en ese punto medio, mirando hacia el sur, gira 90 grados hacia la izquierda y traza una línea imaginaria en esa dirección. En el punto donde se cruzan las líneas imaginarias se encuentra el tesoro.”

Copia el siguiente croquis en tu cuaderno y sigue las indicaciones para de-terminar el punto donde se encuentra el tesoro. Compara tu resultado con los de tus compañeros.

Árbol seco

Palmera

Roca

A pesar de su sencillez, las propiedades de los ángulos cortados por una transversal en una pareja de rectas paralelas tienen aplicaciones sorprendentes. Una de ellas es el cálculo de la circunferencia de la Tierra realizado por Eratóstenes (284 -192 a.n.e.).

28 29Bloque 1 Lección 2 > El tesoro perdido

Cada integrante del equipo trace dos segmentos de recta que se corten. Lla-men A, B, C y D a cada uno de los cuatro ángulos que se forman, como en la siguiente figura.

Mide cada uno de los ángulos de tu figura, ¿cuáles son iguales?¿Todos encontraron las mismas parejas de ángulos iguales?

¿Cuánto miden A + B y B + C? ¿Por qué?Si A + B = B + C, ¿qué puedes decir acerca de A y C?¿Cuánto miden B + C y C + D? ¿Por qué?Si B + C = C + D, ¿qué puedes decir acerca de B y D?¿Dependen estas relaciones de cómo dibujaste los segmentos?

Discute las conclusiones de tu equipo con el resto del grupo.

Traza en tu cuaderno dos rectas no paralelas con color rojo, y tres rectas trans-versales (negra, azul y verde) que corten a las dos rojas. Etiqueta los ángulos A, B, C, D, E y F como en la siguiente figura.

Prolonga las líneas rojas hasta que se corten, llama O al punto donde se cor-tan. Observa que las líneas rojas forman triángulos con las tres transversales y que los tres triángulos tienen un ángulo común en O.Ahora argumenta por qué A + B = C + D y C + D = E + FDiscute tus argumentos con tus demás compañeros.

A los ángulos que se forman entre dos rectas y una transversal se les acos-tumbra denominar en términos de las relaciones que guardan entre sí. Por ejemplo los ángulos A y E (o D y H, B y F, C y G) se llaman correspon-dientes. Los ángulos D y F (o C y E) se llaman alternos internos.

Los ángulos A y G (o B y H) se llaman alternos externos.

Los ángulos D y E (o C y F) se llaman colaterales internos y los ángulos A y H (o B y G) se llaman colaterales externos.

Cada integrante del equipo construye dos rectas paralelas, una transversal obli-cua y una transversal perpendicular, parecidas a las de la siguiente figura.

¿Cuánto suman los ángulos A y B? ¿A todos los integrantes del equipo les dio el mismo resultado?¿Por qué? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero? Discute tus respuestas con los demás equipos.

Actividad colectiva

Actividad individual

BA

CD

F E

GH

A

BA

B

C

D

E

F

Actividad colectiva

AA

B B

D D

C C

28 29Bloque 1 Lección 2 > El tesoro perdido

Cada integrante del equipo trace dos segmentos de recta que se corten. Lla-men A, B, C y D a cada uno de los cuatro ángulos que se forman, como en la siguiente figura.

Mide cada uno de los ángulos de tu figura, ¿cuáles son iguales?¿Todos encontraron las mismas parejas de ángulos iguales?

¿Cuánto miden A + B y B + C? ¿Por qué?Si A + B = B + C, ¿qué puedes decir acerca de A y C?¿Cuánto miden B + C y C + D? ¿Por qué?Si B + C = C + D, ¿qué puedes decir acerca de B y D?¿Dependen estas relaciones de cómo dibujaste los segmentos?

Discute las conclusiones de tu equipo con el resto del grupo.

Traza en tu cuaderno dos rectas no paralelas con color rojo, y tres rectas trans-versales (negra, azul y verde) que corten a las dos rojas. Etiqueta los ángulos A, B, C, D, E y F como en la siguiente figura.

Prolonga las líneas rojas hasta que se corten, llama O al punto donde se cor-tan. Observa que las líneas rojas forman triángulos con las tres transversales y que los tres triángulos tienen un ángulo común en O.Ahora argumenta por qué A + B = C + D y C + D = E + FDiscute tus argumentos con tus demás compañeros.

A los ángulos que se forman entre dos rectas y una transversal se les acos-tumbra denominar en términos de las relaciones que guardan entre sí. Por ejemplo los ángulos A y E (o D y H, B y F, C y G) se llaman correspon-dientes. Los ángulos D y F (o C y E) se llaman alternos internos.

Los ángulos A y G (o B y H) se llaman alternos externos.

Los ángulos D y E (o C y F) se llaman colaterales internos y los ángulos A y H (o B y G) se llaman colaterales externos.

Cada integrante del equipo construye dos rectas paralelas, una transversal obli-cua y una transversal perpendicular, parecidas a las de la siguiente figura.

¿Cuánto suman los ángulos A y B? ¿A todos los integrantes del equipo les dio el mismo resultado?¿Por qué? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un cuadrilátero? Discute tus respuestas con los demás equipos.

Actividad colectiva

Actividad individual

BA

CD

F E

GH

A

BA

B

C

D

E

F

Actividad colectiva

AA

B B

D D

C C

>2º

30 31Bloque 1 Lección 2 > El tesoro perdido

Analiza la siguiente figura en la que D y E son ángulos suplementarios.

¿Son paralelas las rectas rojas? ¿Por qué?¿Cuáles de los ángulos de la figura son opuestos por el vértice?¿Cuáles otros son suplementarios?Argumenta por qué A = C = E = G y B = D = F = H.Discute tus argumentos con el resto del grupo.

En un cuaderno, traza dos rectas que se corten en un punto O y sobre una de ellas localiza un punto P. Gira una regla alrededor del punto P, como en la si-guiente figura.

Observa los ángulos correspondientes A y E conforme gira la regla. ¿Hay al-guna posición de la regla en que el ángulo A mida menos que el ángulo E? ¿Hay alguna posición en que mida más? ¿Hay alguna posición de la regla en que midan lo mismo? ¿Cuál es esa posición?Compara ahora una pareja de ángulos alternos internos y contesta las pregun-tas anteriores. Haz lo mismo para una pareja de ángulos alternos externos.Discute tus respuestas con tus compañeros.

Discute con tus compañeros cuáles son las razones por las que sabemos que las rectas rojas de la siguiente figura no son paralelas aunque en el dibujo pa-rezcan serlo.

En una figura formada por un par de rectas paralelas y una transversal:Los ángulos correspondientes miden lo mismo.Los ángulos alternos internos miden lo mismo.Los ángulos alternos externos miden lo mismo.Los ángulos colaterales internos y los colaterales externos son suplemen-tarios.En una figura formada por un par de rectas y una transversal, si ocurre que:Los ángulos correspondientes miden lo mismo, oLos ángulos alternos internos miden lo mismo, oLos ángulos alternos externos miden lo mismo,entonces las dos primeras rectas son paralelas entre sí.

Traza en tu cuaderno un triángulo cualquiera. Procura que en tu equipo haya triángulos diferentes. En uno de los vértices, traza una paralela al lado opues-to y prolonga las rectas que pasan por los lados del triángulo, como se mues-tra en seguida:

Encuentra en esa figura parejas de ángulos que midan lo mismo, marcándo-los con colores. Compara tus resultados con los de tus compañeros de equipo. ¿En todos los casos obtuvieron lo mismo? Usa la figura para mostrar que la suma de las medidas de los ángulos interiores del triángulo es 180°.

Actividad individual

Actividad individual

Actividad individual

Actividad colectiva

BA

DC

FE

GH

B

A

C

D

F

E

G

H

Regla

45°

136°

C

A

B

P

O

>2º

30 31Bloque 1 Lección 2 > El tesoro perdido

Analiza la siguiente figura en la que D y E son ángulos suplementarios.

¿Son paralelas las rectas rojas? ¿Por qué?¿Cuáles de los ángulos de la figura son opuestos por el vértice?¿Cuáles otros son suplementarios?Argumenta por qué A = C = E = G y B = D = F = H.Discute tus argumentos con el resto del grupo.

En un cuaderno, traza dos rectas que se corten en un punto O y sobre una de ellas localiza un punto P. Gira una regla alrededor del punto P, como en la si-guiente figura.

Observa los ángulos correspondientes A y E conforme gira la regla. ¿Hay al-guna posición de la regla en que el ángulo A mida menos que el ángulo E? ¿Hay alguna posición en que mida más? ¿Hay alguna posición de la regla en que midan lo mismo? ¿Cuál es esa posición?Compara ahora una pareja de ángulos alternos internos y contesta las pregun-tas anteriores. Haz lo mismo para una pareja de ángulos alternos externos.Discute tus respuestas con tus compañeros.

Discute con tus compañeros cuáles son las razones por las que sabemos que las rectas rojas de la siguiente figura no son paralelas aunque en el dibujo pa-rezcan serlo.

En una figura formada por un par de rectas paralelas y una transversal:Los ángulos correspondientes miden lo mismo.Los ángulos alternos internos miden lo mismo.Los ángulos alternos externos miden lo mismo.Los ángulos colaterales internos y los colaterales externos son suplemen-tarios.En una figura formada por un par de rectas y una transversal, si ocurre que:Los ángulos correspondientes miden lo mismo, oLos ángulos alternos internos miden lo mismo, oLos ángulos alternos externos miden lo mismo,entonces las dos primeras rectas son paralelas entre sí.

Traza en tu cuaderno un triángulo cualquiera. Procura que en tu equipo haya triángulos diferentes. En uno de los vértices, traza una paralela al lado opues-to y prolonga las rectas que pasan por los lados del triángulo, como se mues-tra en seguida:

Encuentra en esa figura parejas de ángulos que midan lo mismo, marcándo-los con colores. Compara tus resultados con los de tus compañeros de equipo. ¿En todos los casos obtuvieron lo mismo? Usa la figura para mostrar que la suma de las medidas de los ángulos interiores del triángulo es 180°.

Actividad individual

Actividad individual

Actividad individual

Actividad colectiva

BA

DC

FE

GH

B

A

C

D

F

E

G

H

Regla

45°

136°

C

A

B

P

O

>3º

32 33Bloque 1 Lección 2 > El tesoro perdido

Actividad individual 1. En la siguiente figura, dos rectas paralelas son cortadas por una transver-sal. Encuentra las medidas de los ángulos marcados en el dibujo con base en la información proporcionada.

Si las rectas no fueran paralelas, ¿podrías determinar la medida de los án-gulos? Analiza y discute la pregunta con tus compañeros.

2. Encuentra las medidas de los ángulos marcados en el siguiente dibujo con base en la información proporcionada.

3. El tangram es un juego de varias piezas que permiten construir figuras. El tangram clásico se construye, como en la siguiente figura, a partir de un cuadrado y tiene siete piezas, cinco triángulos y dos paralelogramos.

Encuentra en esta figura parejas de rectas paralelas. Usa esta información para encontrar parejas de ángulos que midan lo mismo.¿Cuáles son las cuatro medidas posibles de ángulos en las piezas del tangram?

Aplicación

Eratóstenes y el cálculo del radio de la Tierra

A pesar de su sencillez, las propiedades de los ángulos corta-dos por una transversal en una pareja de rectas paralelas tienen aplicaciones sorprendentes. Una de ellas es el cálculo del radio de la Tierra realizado por Eratóstenes (284 – 192 a. n. e.). Él sabía que el día del solsticio de verano, los rayos del Sol caían vertical-mente sobre la ciudad de Siena. El mismo día, los rayos del Sol formaban un ángulo a* con una línea vertical en la ciudad de Alejandría (que está aproximadamente en el mismo meridiano que Siena). Midió entonces el ángulo A. En lenguaje moderno, Eratóstenes estableció a continuación la proporción

Distancia de Siena a Alejandría

Medida del ángulo A =Circunferencia de la Tierra

360°

El método utilizado por Eratóstenes era correcto y aunque los datos que utilizó no eran muy precisos (debido a los instrumen-tos de medición de la época), calculó que el radio de la tierra era de 6,217.38 km. En la actualidad se ha calculado que el radio medio de la tierra mide 6,367 km.

* Desde la época de los griegos −creadores de la Geometría−, se acostum-bra denotar a los ángulos mediante letras griegas. a (alfa) es la primera

letra del alfabeto griego.

Copia en tu cuaderno la siguiente figura formada por 9 cuadriláteros iguales. El cuadrilátero que está en el centro tiene marcados sus cuatro ángulos A, B, C y D con colores. Ilumina los ángulos correspondientes de los cuadriláteros restantes, respetando los colores de cada uno de los ángulos.

En cada uno de los vértices del cuadrilátero central concurren 4 ángulos. Des-cribe qué colores tienen los ángulos que concurren y cuánto suman los cuatro ángulos A, B, C y D. Comenta con tus compañeros las observaciones.

Si el cuadrilátero con ángulos A, B, C y D es un paralelogramo no rectángulo, construye una configuración como la anterior y describe cómo son los 4 ángu-los que concurren en los vértices del paralelogramo central.

SOL

a

787.5 kmAlejandría

Siena

A

A

B C

D

Actividad individual

*

108°

?

?

140°?

?

120°

>3º

32 33Bloque 1 Lección 2 > El tesoro perdido

Actividad individual 1. En la siguiente figura, dos rectas paralelas son cortadas por una transver-sal. Encuentra las medidas de los ángulos marcados en el dibujo con base en la información proporcionada.

Si las rectas no fueran paralelas, ¿podrías determinar la medida de los án-gulos? Analiza y discute la pregunta con tus compañeros.

2. Encuentra las medidas de los ángulos marcados en el siguiente dibujo con base en la información proporcionada.

3. El tangram es un juego de varias piezas que permiten construir figuras. El tangram clásico se construye, como en la siguiente figura, a partir de un cuadrado y tiene siete piezas, cinco triángulos y dos paralelogramos.

Encuentra en esta figura parejas de rectas paralelas. Usa esta información para encontrar parejas de ángulos que midan lo mismo.¿Cuáles son las cuatro medidas posibles de ángulos en las piezas del tangram?

Aplicación

Eratóstenes y el cálculo del radio de la Tierra

A pesar de su sencillez, las propiedades de los ángulos corta-dos por una transversal en una pareja de rectas paralelas tienen aplicaciones sorprendentes. Una de ellas es el cálculo del radio de la Tierra realizado por Eratóstenes (284 – 192 a. n. e.). Él sabía que el día del solsticio de verano, los rayos del Sol caían vertical-mente sobre la ciudad de Siena. El mismo día, los rayos del Sol formaban un ángulo a* con una línea vertical en la ciudad de Alejandría (que está aproximadamente en el mismo meridiano que Siena). Midió entonces el ángulo A. En lenguaje moderno, Eratóstenes estableció a continuación la proporción

Distancia de Siena a Alejandría

Medida del ángulo A =Circunferencia de la Tierra

360°

El método utilizado por Eratóstenes era correcto y aunque los datos que utilizó no eran muy precisos (debido a los instrumen-tos de medición de la época), calculó que el radio de la tierra era de 6,217.38 km. En la actualidad se ha calculado que el radio medio de la tierra mide 6,367 km.

* Desde la época de los griegos −creadores de la Geometría−, se acostum-bra denotar a los ángulos mediante letras griegas. a (alfa) es la primera

letra del alfabeto griego.

Copia en tu cuaderno la siguiente figura formada por 9 cuadriláteros iguales. El cuadrilátero que está en el centro tiene marcados sus cuatro ángulos A, B, C y D con colores. Ilumina los ángulos correspondientes de los cuadriláteros restantes, respetando los colores de cada uno de los ángulos.

En cada uno de los vértices del cuadrilátero central concurren 4 ángulos. Des-cribe qué colores tienen los ángulos que concurren y cuánto suman los cuatro ángulos A, B, C y D. Comenta con tus compañeros las observaciones.

Si el cuadrilátero con ángulos A, B, C y D es un paralelogramo no rectángulo, construye una configuración como la anterior y describe cómo son los 4 ángu-los que concurren en los vértices del paralelogramo central.

SOL

a

787.5 kmAlejandría

Siena

A

A

B C

D

Actividad individual

*

108°

?

?

140°?

?

120°

34 35Bloque 1 Lección 2 > El tesoro perdido

>PARA terMinar4. En el siguiente rectángulo, toma en cuenta la información para contestar,

¿cuál es la medida del ángulo FEC y por qué?

5. Dibuja en tu cuaderno una configuración similar a la siguiente: dos rec-tas paralelas y dos trasversales.

¿Puedes descubrir la medida de todos los ángulos de esta figura con los datos que se dan? ¿Cuánto mide el ángulo opuesto por el vértice de cada uno de los dos marcados en la figura? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un trián-gulo? ¿Cuánto mide el ángulo señalado con interrogación en el dibujo?

Copia el dibujo en tu cuaderno y escribe cuánto mide cada uno de los 20 án-gulos que se forman en esta figura.Discute con tus compañeros los argumentos mediante los que fuiste descu-briendo las medidas de los ángulos y compara tus resultados con los de ellos.

6 ¿Por qué son iguales los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo?7. Si se sabe que la recta BD es bisectriz del ángulo ABC del siguiente cua-

drilátero, descubre cuánto mide el ángulo ADB usando la información proporcionada en la figura.

8. ¿Qué construcciones auxiliares necesitamos para determinar el ángulo de intersección de las siguientes rectas si no podemos extender el dibujo para tener el punto de intersección?

Torito

Copia la primera de estas figuras en una cuadrícula, con los colores que se indican. Luego recorta las piezas y forma la segunda figura.

Las dos figuras tienen la misma base y la misma altura, pero parecería que la primera tiene mayor área. ¿Por qué? Para saber qué ocurre, haz un dibujo grande y revisa si la primera figura realmente es un triángulo.

A

D

B

130°

70°

C

DA

B C

60°

E F

35°

?

75°

34 35Bloque 1 Lección 2 > El tesoro perdido

>PARA terMinar4. En el siguiente rectángulo, toma en cuenta la información para contestar,

¿cuál es la medida del ángulo FEC y por qué?

5. Dibuja en tu cuaderno una configuración similar a la siguiente: dos rec-tas paralelas y dos trasversales.

¿Puedes descubrir la medida de todos los ángulos de esta figura con los datos que se dan? ¿Cuánto mide el ángulo opuesto por el vértice de cada uno de los dos marcados en la figura? ¿Cuánto suman los ángulos interiores de un trián-gulo? ¿Cuánto mide el ángulo señalado con interrogación en el dibujo?

Copia el dibujo en tu cuaderno y escribe cuánto mide cada uno de los 20 án-gulos que se forman en esta figura.Discute con tus compañeros los argumentos mediante los que fuiste descu-briendo las medidas de los ángulos y compara tus resultados con los de ellos.

6 ¿Por qué son iguales los ángulos opuestos de cualquier paralelogramo?7. Si se sabe que la recta BD es bisectriz del ángulo ABC del siguiente cua-

drilátero, descubre cuánto mide el ángulo ADB usando la información proporcionada en la figura.

8. ¿Qué construcciones auxiliares necesitamos para determinar el ángulo de intersección de las siguientes rectas si no podemos extender el dibujo para tener el punto de intersección?

Torito

Copia la primera de estas figuras en una cuadrícula, con los colores que se indican. Luego recorta las piezas y forma la segunda figura.

Las dos figuras tienen la misma base y la misma altura, pero parecería que la primera tiene mayor área. ¿Por qué? Para saber qué ocurre, haz un dibujo grande y revisa si la primera figura realmente es un triángulo.

A

D

B

130°

70°

C

DA

B C

60°

E F

35°

?

75°

36 37Bloque 1 Lección 3 > Multiplicación de números con signo

>PARA coMenZar >1º... necesitas recordar:

1. Qué son los números con signo y cómo se localizan en la recta numérica.2. Cómo se suman y restan los números con signo.3. Qué es el valor absoluto de un número.

> en esta lección, abordarás los temas de:

• Problemas que impliquen la multiplicación y división de números ente-ros.

• Problemas que impliquen multiplicación y división de fracciones y núme-ros decimales con signo.

3> Multiplicación de números con signo

En la recta numérica, ¿cuántas unidades debes recorrer para llegar desde el número 7 hasta el número –5? ¿En qué dirección debes moverte?¿Cuál es el número entero que sumado a 8 da como resultado 0?¿Cuál es el número que sumado a 7 da como resultado el número 2

3- ?

Puedes contestar estas preguntas recordando lo que viste sobre los números con signo en tu primer año de secundaria y ayudándote de la recta numérica.

Al multiplicar un número entero por 2 y restar 4 al resultado de la multiplica-ción, se obtiene el número –10. ¿Cuál es el número original?

Señala el número de la adivinanza en la siguiente recta numérica.

Compara tu resultado con el de tus compañeros y comprueba tu resultado.

Discute con tus compañeros cómo encontró cada uno el número.

Observa que para adivinar el número, puedes contestar primero la pregunta, ¿cuál es el número entero que al restarle 4 da como resultado –10?

Plantea una ecuación que represente esta última pregunta.

Resuelve la ecuación y comenta con tus compañeros ¿cómo puede ayudarte el número que encontraste a resolver la adivinanza?

Discute con tus compañeros cómo plantear la adivinanza mediante una ecua-ción de la forma ax – b = c.

Resuelve la ecuación y responde la adivinanza.

¿Cuál es el número entero que al multiplicarlo por –3 y luego restarle 4, da como resultado el número – 10? Escribe una ecuación que represente esta nueva adivinanza.

¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 4 y luego sumarle 5 da como re-sultado 1?

¿Cuál es el número que al multiplicarlo por (–5) y luego sumarle 3 da como resultado –7?

Discute el procedimiento que seguiste con tus compañeros y compara tus re-sultados con los que se obtuvieron en el grupo.

Plantea nuevas adivinanzas con números negativos.

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

–14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Actividad individual

Números positivosNúmeros negativos

Actividad individual

36 37Bloque 1 Lección 3 > Multiplicación de números con signo

>PARA coMenZar >1º... necesitas recordar:

1. Qué son los números con signo y cómo se localizan en la recta numérica.2. Cómo se suman y restan los números con signo.3. Qué es el valor absoluto de un número.

> en esta lección, abordarás los temas de:

• Problemas que impliquen la multiplicación y división de números ente-ros.

• Problemas que impliquen multiplicación y división de fracciones y núme-ros decimales con signo.

3> Multiplicación de números con signo

En la recta numérica, ¿cuántas unidades debes recorrer para llegar desde el número 7 hasta el número –5? ¿En qué dirección debes moverte?¿Cuál es el número entero que sumado a 8 da como resultado 0?¿Cuál es el número que sumado a 7 da como resultado el número 2

3- ?

Puedes contestar estas preguntas recordando lo que viste sobre los números con signo en tu primer año de secundaria y ayudándote de la recta numérica.

Al multiplicar un número entero por 2 y restar 4 al resultado de la multiplica-ción, se obtiene el número –10. ¿Cuál es el número original?

Señala el número de la adivinanza en la siguiente recta numérica.

Compara tu resultado con el de tus compañeros y comprueba tu resultado.

Discute con tus compañeros cómo encontró cada uno el número.

Observa que para adivinar el número, puedes contestar primero la pregunta, ¿cuál es el número entero que al restarle 4 da como resultado –10?

Plantea una ecuación que represente esta última pregunta.

Resuelve la ecuación y comenta con tus compañeros ¿cómo puede ayudarte el número que encontraste a resolver la adivinanza?

Discute con tus compañeros cómo plantear la adivinanza mediante una ecua-ción de la forma ax – b = c.

Resuelve la ecuación y responde la adivinanza.

¿Cuál es el número entero que al multiplicarlo por –3 y luego restarle 4, da como resultado el número – 10? Escribe una ecuación que represente esta nueva adivinanza.

¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 4 y luego sumarle 5 da como re-sultado 1?

¿Cuál es el número que al multiplicarlo por (–5) y luego sumarle 3 da como resultado –7?

Discute el procedimiento que seguiste con tus compañeros y compara tus re-sultados con los que se obtuvieron en el grupo.

Plantea nuevas adivinanzas con números negativos.

–8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7

–14 –13 –12 –11 –10 –9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Actividad individual

Números positivosNúmeros negativos

Actividad individual

Secundaria 2 Matemáticas2Luis Briseño, Guadalupe Carrasco, Pilar Martínez,

Óscar Palmas, Francisco Struck, Julieta Verdugo

Mat

emát

icas

2

Mate 2 integral cov.indd 1Mate 2 integral cov.indd 1 3/10/08 12:21:05 PM3/10/08 12:21:05 PM