UNIVERSIDAD LIBRE FACULTAD DE INGENIERA DEPARTAMENTO DE CIENCIAS BSICAS TALLER N

NOMBRE DE LA ASIGNATURA: TTULO: DURACIN: BIBLIOGRAFA SUGERIDA:

CALCULO DIFERENCIAL APLICACIONES DE LAS DERIVADAS Razones de Cambio 2:

CALCULO, Trascendentes Tempranas. James Stewart. Editorial Thomson. CALCULO, con Geometra Analtica (Calculo 1). Larson, R. , Hosteller, R. y Edwards, B. . Editorial McGraw Hill. Octava Edicion. Docente: Lic. Jairo Alberto Mora Fernndez

1. OBJETIVO: Ilustrar a los estudiantes aplicaciones especificas al anlisis de las razones de cambio existentes entre las variables contenidas en una funcin.

2.

CONCEPTUALIZACION Y EJEMPLOS.

Al modelar las situaciones de nuestro entorno para expresar la relacin existente entre las variables involucradas en trminos de operaciones algebraicas, y al describir la dinmica de estas situaciones, nos encontramos con que la variacin de alguna de estas variables en un periodo de tiempo determinado, implica la variacin simultanea de las otras variables con respecto al tiempo. Por principio conceptual sabemos que la variacin de una variable con respecto al tiempo es, en si misma, una velocidad, y que estas son expresables en trminos de derivadas, dx/dt. Como ejemplo, suponga que se esta inflando un globo esfrico, que al inflarlo mas, su volumen aumenta en funcin de la cantidad de gas o aire que se le introduzca (diferente a la situacin de inflar un baln, cuyo volumen no aumenta, aunque si su presin interna), as como aumenta tambin el rea de su superficie. La cantidad de aire que se introduce al globo por unidad de tiempo es una razn de cambio, y se expresa como la derivada dV/dt, la variacin del volumen del globo por unidad de tiempo. Si se sabe que la velocidad con que el aire entra al globo es de, por ejemplo, 2 metros cbicos por minuto (lo que significa que el

volumen del globo aumenta dos metros cbicos cada minuto), puede expresarse esta informacin como dV/dt = 2 m2 / min. Como se sabe, el volumen de un globo esfrico (o en general de una esfera) depende del radio r del mismo, y puede ser de inters investigar como cmo es la variacin del radio r con respecto al tiempo (esto es, determinar dr/dt), cuando dV/dt = 2 m2 / min. Igualmente, puede ser de inters determinar la variacin del rea A de la superficie del globo con respecto al tiempo, dA/dt. De hecho, se conoce que el rea A y el Volumen V de una esfera se expresan en funcin del radio de la misma por medio de las relaciones A = 4 r2 y V = 4/3 r3

As, aplicando los principios del calculo diferencial, bien sea derivando implcitamente a A y a V con respecto a t, o aplicando el concepto de la regla de la cadena en la forma de dA/dt = dA/dr * dr/dt, o dV/dt = dV/dr * dr/dt, se pueden obtener expresiones para las razones de cambio dA/dt y dV/dt. Si en el contexto del problema analizado se especifican valores para las variables r, A o V, las razones de cambio dA/dt y dV/dt pueden darse en forma explicita como valores concretos. De hecho, en el contexto de los problemas que se relacionan con este tema, la informacin provee al menos una razn de cambio conocida y alguna informacin especifica de las variables involucradas, y se pide determinar otra(s) razn(es) de cambio. El conocido autor James Stewart en su Calculo, Conceptos y Contextos (ver Bibliografa Sugerida) propone la siguiente estrategia para analizar y resolver problemas relativos a Razones de cambio relacionadas: 1. 2. 3. 4. 5. Lea el problema con cuidado. Si es posible, dibuje un diagrama. Introduzca la notacin adecuada. Asigne smbolos a todas las cantidades y variables que sean funcin del tiempo. Exprese la informacin dada y la razon de cambio requerida en terminos de derivadas. Escriba una ecuacin que relacione las diversas variables del problema. Si es necesario, aplique aspectos geomtricos de la relacion, u otras relaciones conocidas, para eliminar por sustitucin algunas de las variables, dejando solo aquellas variables relativas a las razones de cambio dadas en la informacin y solicitadas para calculo.

6. 7.

Use la regla de la cadena o derivacin implcita respecto de t en la ecuacin resultante del punto 5. Sustituya la informacin dada en la ecuacin resultante y resuelva para la razon de cambio desconocida.

Veamos el desarrollo del proceso descrito en los siguientes ejemplos: EJEMPLO 1. Se bombea aire hacia adentro de un globo esfrico, de modo que su volumen aumenta a razn de 100 cm3/seg. Con que rapidez crecen el radio del globo y su rea cuando el dimetro es de 50 cm2? SOLUCION. Como se puede analizar, al aumentar el volumen del globo, aumenta tambin su radio y su rea superficial. La informacin suministrada seala que la razn de cambio del volumen respecto del tiempo es de 100 cm3/seg., y se desea calcular la razn de cambio del radio respecto del tiempo y la razn de cambio del rea respecto del tiempo, cuando el dimetro es de 50 cm., o el radio es de 25 cm. radio rrrr Globo

Asignando V, r y A a las variables Volumen, radio y rea respectivamente, las razones de cambio dada y solicitadas se expresan como dV/dt, dr/dt y dA/dt. As, el problema a resolver se expresa como Dado dV/dt = 100 cm3/seg., calcular dr/dt y dA/dt, cuando r = 25 cm. Las relaciones que conectan V, r y A son A = 4 r2 y V = 4/3 r3

En primer lugar, utilizando la relacin V = 4/3 r3 y derivando ambos lados de la ecuacin con respecto a t tenemos dV/dt = (4/3 ) * 3 r2 * dr/dt = 4 r2 * dr/dt Como dV/dt = 100 cm3/seg., despejando dr/dt se tiene que

dr/dt = 100/(4 r2) = 25/ r2 Cuando r = 25, se tiene que dr/dt = 25/*252 = 1/25 As, el radio del globo crece a razn de 1/25 cm./seg. cuando su dimetro es de 50 cm. Para calcular la razn de cambio dA/dt, partimos de la relacin A = 4 r2 . Derivando a ambos lados con respecto a t, se tiene dA/dt = (4) * 2r dr/dt = 8 r dr/dt Como dr/dt = 1/25 , y si r = 25 cm., se tiene que dA/dt = (8**25)/(25*) = 8 Se concluye que el rea del globo crece a razn de 8 cm2./seg. cuando su dimetro es de 50 cm. EJEMPLO 2. Una escalera de 10 m. de largo esta apoyada contra una pared vertical. Si el extremo inferior de la escalera resbala alejndose de la pared a razn de 0.4 m/seg., con que rapidez resbala hacia abajo su extremo superior cuando su extremo inferior esta a 6 m. de la pared. SOLUCION. Se entiende que el piso es horizontal y que la pared es vertical, por lo que el piso es perpendicular a la pared. Pared Escalera y 10 m.

x

Piso

Asignando x a la distancia de la pared al extremo inferior de la escalera, y y a la distancia del piso al extremo superior de la escalera, la informacin dada nos seala que dx/dt = 0.4 m/seg. y se desea calcular dy/dt cuando x = 6 m.. Dado que el piso y la pared son perpendiculares, el sistema Piso - Pared Escalera forman un triangulo rectngulo, en el que el piso y la pared son los catetos y la escalera la hipotenusa, y por principio geomtrico, se cumple el Teorema de Pitgoras, por lo que la siguiente relacin es valida:

x2 + y2 = 100 Derivando ambos lados de esta ecuacin respecto de t, se obtiene 2x dx/dt + 2y dy/dt = 0 Despejando dy/dt se tiene una expresin para la razn de cambio dy/dt: dy/dt = - (x / y) * dx/dt Cuando x = 6 m., de la relacin que x2 + y2 = 100 se concluye que y = 8 m., por lo

dy/dt = - (x / y) * dx/dt = dy/dt = - (6 / 8) * 0.4 = - 0.3 m./seg. El signo negativo del resultado significa que el valor y de la distancia del extremo superior de la escalera al piso esta disminuyendo. Cuando la escalera resbala. EJEMPLO 3. Un tanque de agua tiene la forma de un cono circular invertido, con base de radio 3 m. y altura 5 m. Si se evacua agua a razn de 1.6 m 3/min., determine la razn a la cual baja el nivel del agua cuando esta tiene una profundidad de 1.8 m. SOLUCION. 3m. G

Altura A 5 m. h

r El esquema indica la informacin bsica del enunciado. Asignando V al Volumen, r al radio del circulo del nivel del agua y h a la altura de la superficie del nivel del agua desde el vrtice en la parte inferior del tanque, el agua se evacua a razn de 1.6 m3/min., por lo que dV/dt = -1.6 m3/min. El signo negativo indica que el tanque se evacua y la cantidad de agua disminuye. El objetivo es calcular dh/dt (razn a

la cual baja el nivel del agua) cuando esta tiene una profundidad de 1.8 m. (h = 1.8 m.). Es conocido que el volumen V de un cono esta dado en funcin del radio r y la altura h del mismo por la relacin V = (1 / 3) * r2 h Como en esta relacin V esta expresado en trminos de r y h, y estamos interesados en obtener dh/dt, se debe expresar a V en trminos de h solamente, por lo que se debe establecer la relacin entre r y h, dentro de las condiciones del contexto del problema, para poder despejar r en funcin de h y hacer una sustitucin. Observando la figura concluimos, por semejanza de tringulos, que el radio r de la superficie del agua es a su altura h como el radio del tanque (3 m.) es a su altura (5 m.). Esto es, r / h = 3 / 5, o equivalentemente, r = 3 h / 5 Sustituyendo esta ltima expresin en la relacin V = (1 / 3) * r2 h se tiene: V = (1 / 3) * r2 h = V = (1 / 3) * (3 h / 5)2 h = (3 / 25) * h3 Esto es, V = (3 / 25) * h3 Derivando a cada lado de esta ecuacin con respecto a t, se obtiene dV/dt = (9/ 25) * h2 dh/dt Despejando dh/dt, se obtiene una expresin algebraica para la razn de cambio de la altura del nivel del agua con respecto al tiempo: dh/dt = (25 / 9 h2) * dV/dt Como dV/dt = -1.6 m3/min., en el instante en que h = 1.8 m., se tiene dh/dt = (25 / 9 h2) * dV/dt = dh/dt = (25 /( 9 * * 1.82)) * (-1.6) = - 0.43664 Cuando la altura del agua del tanque es de 1.8 m., esta altura esta disminuyendo a razn de 0.43664 m./min..

3.

EJERCICIOS.

1.

Si una bola de nieve se funde de modo que su rea superficial disminuye a razn de 2 cm2/min., encuentre la razn a la cual disminuye el dimetro cuando este es de 10 cm. A medio da, el velero A esta a 150 Km. al oeste del velero B. El velero A navega hacia el este a 35 km./h. Y el B hacia el norte a 25 km./h: Con que rapidez cambia la distancia entre las embarcaciones a las 4:00 p. m.? Un avin vuela horizontalmente a una altitud de 1.6 millas a una velocidad de 525 millas / hora y pasa sobre una estacin de radar. Encuentre la razn a la que aumenta la distancia del avin a la estacin cuando aquel esta a 2,7 millas de esta. Una lmpara proyectora situada sobre el piso ilumina una pared de un edificio que esta a 12 m. de distancia. Si un hombre de 1.72 m. de alto camina desde la lmpara hacia el edificio a una velocidad de 1.6 m./seg., con que rapidez decrece su sombra proyectada sobre el edificio cuando se encuentra a 5 m. de este? Un hombre empieza a caminar hacia el este a 2.3 m/s desde un punto P. 8 minutos mas tarde, Ocho minutos mas tarde, otro hombre empieza a caminar hacia el sur a 2.8 m/s desde un punto a 325 m al sur de P. Con que razn se separan 13 min. despus de que el segundo hombre empez a caminar?. Un diamante de bisbol es un cuadrado de 30 m. de lado. Un bateador golpea la pelota y corre hacia la primera base a una velocidad de 7.6 m/s. 1. Con que razn disminuye su distancia a la segunda base cuando esta a la mitad de la distancia de la primera base? 2. Con que razn aumenta la distancia a la tercera base cuando esta a 10 m. de la segunda base?

2.

3.

4.

5.

6.

7.

El agua se fuga de un tanque cnico invertido a razn de 8300 cm 3/min., al mismo tiempo que se bombea agua hacia el tanque con una razn constante. El tanque tiene 7.2 m. de altura y el dimetro en la parte superior es de 3.9 m. Si el nivel del agua sube a razn de 32 cm./min. cuando la altura de ese nivel es de 2.7 m., encuentre la razn a la que se bombea agua al tanque. Una artesa de agua tiene 8.6 m. de largo y una seccin transversal en forma de trapecio issceles cuyo ancho en el fondo es de 42 cm., el de la parte superior 86 cm. y la altura 57 cm. Si la artesa se llena con agua

8.

a razn de 0.29 m3/min., con que rapidez sube el nivel del agua cuando esta tiene 37 cm. de profundidad? 9. Una cmara de televisin esta a 1780 m. de la base de una plataforma de lanzamiento de cohetes. El ngulo de elevacin de la cmara tiene que cambiar a la razn correcta para mantener el cohete en la mira. Asi mismo, el mecanismo de enfoque tiene que tomar en cuenta la distancia creciente desde la camara hasta el cohete que asciende. Supongamos que este se eleva verticalmente y que su velocidad es de 245 m/s. Cuando se ha elevado 1120 m. 1. Con que rapidez cambia la distancia de la cmara de televisin al cohete en ese momento? 2. Si la cmara se mantiene enfocando al cohete, con que rapidez cambia el ngulo de elevacin de la cmara en ese momento? 10. El minutero de un reloj tiene 8 cm. de largo y el horario 4 cm. Con que rapidez cambia la distancia entre las puntas de las manecillas a la una en punto?. Y a las 2 y 25?