Manual Analisis Numerico

8/16/2019 Manual Analisis Numerico

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4/22/2015

MANUAL DE

METODOSNUMERICOS


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¿QUÉ ES EL ANÁLISIS NUMÉRICO?

El Análisis Numérico es la técnica mediante las cual es posible formular problemas de tal

forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas, es por ello que lacomputación es una herramienta que nos facilita el uso y desarrollo de ellos

a.- Clasificación de los métodos numéricosos problemas de esta disciplina se pueden dividir en dos !rupos fundamentales"

#roblemas de dimensión finita" aquellos cuya respuesta son un con$unto finito de n%meros,como las ecuaciones al!ebraicas, los determinantes, los problemas de valores propios, etc.

#roblemas de dimensión infinita" problemas en cuya solución o planteamiento intervienenelementos descritos por una cantidad infinita de n%meros, como inte!ración yderivación numéricas, cálculo de ecuaciones diferenciales, interpolación, etc.

Clasificación atendiendo a su naturale&a o motivación

Asimismo, e'iste una subclasificación de estos dos !randes apartados en tres cate!or(as de problemas, atendiendo a su naturale&a o motivación para el empleo del cálculo numérico"

#roblemas de tal comple$idad que no poseen solución anal(tica.

#roblemas en los cuales e'iste una solución anal(tica, pero ésta, por comple$idad u otrosmotivos, no puede e'plotarse de forma sencilla en la práctica.

#roblemas para los cuales e'isten métodos sencillos pero que, para elementos que seemplean en la práctica, requieren una cantidad de cálculos e'cesiva) mayor que la necesaria para un método numérico.

b.- Errores numéricosEl concepto de error es consustancial con el cálculo numérico. En todos los problemas esfundamental hacer un se!uimiento de los errores cometidos a fin de poder estimar el !radode apro'imación de la solución que se obtiene.

os errores asociados a todo cálculo numérico tienen su ori!en en dos !randes factores"

Aquellos que son inherentes a la formulación del problema.

os que son consecuencia del método empleado para encontrar la solución del problema.

*entro del !rupo de los primeros, se incluyen aquellos en los que la definición matemáticadel problema es sólo una apro'imación a la situación f(sica real. Estos errores sonnormalmente despreciables) por e$emplo, el que se comete al obviar los efectos relativistasen la solución de un problema de mecánica clásica. En aquellos casos en que estos errores


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no son realmente despreciables, nuestra solución será poco precisa independientemente dela precisión empleada para encontrar las soluciones numéricas.

+tra fuente de este tipo de errores tiene su ori!en en la imprecisión de los datos f(sicos"constantes f(sicas y datos emp(ricos. En el caso de errores en la medida de los datosemp(ricos y teniendo en cuenta su carácter !eneralmente aleatorio, su tratamiento anal(ticoes especialmente comple$o pero imprescindible para contrastar el resultado obtenidocomputacional-mente.

En lo que se refiere al se!undo tipo de error error computacional, tres son sus fuentes principales"

Equivocaciones en la reali&ación de las operaciones errores de bulto. Esta fuente de error es bien conocida por cualquiera que haya reali&ado cálculos manualmente o empleando unacalculadora. El empleo de computadores ha reducido enormemente la probabilidad de queeste tipo de errores se produ&can. in embar!o, no es despreciable la probabilidad de que el pro!ramador cometa uno de estos errores calculando correctamente el resultado erróneo.

/ás a%n, la presencia de bu!s no detectados en el compilador o en el soft0are del sistemano es inusual. Cuando no resulta posible verificar que la solución calculada esra&onablemente correcta, la probabilidad de que se haya cometido un error de bulto no puede ser i!norada. in embar!o, no es esta la fuente de error que más nos va a preocupar.

El error causado por resolver el problema no como se ha formulado, sino mediante al!%ntipo de apro'imación. 1eneralmente está causado por la sustitución de un infinitosumatorio o inte!ración o un infinitesimal diferenciación por una apro'imación finita.Al!unos e$emplos son"

El cálculo de una función elemental por e$emplo, eno ' empleando sólo n términos delos infinitos que constituyen la e'pansión en serie de 2aylor.

Apro'imación de la inte!ral de una función por una suma finita de los valores de lafunción, como la empleada en la re!la del trape&oide.

3esolución de una ecuación diferencial reempla&ando las derivadas por una apro'imacióndiferencias finitas.

olución de la ecuación f' 4 5 por el método de Ne0ton-3aphson" proceso iterativo que,en !eneral, conver!e sólo cuando el n%mero de iteraciones tiende a infinito.

*enominaremos a este error, en todas sus formas, como error por truncamiento, ya queresulta de truncar un proceso infinito para obtener un proceso finito. +bviamente, estamosinteresados en estimar, o al menos acotar, este error en cualquier procedimiento numérico.

#or %ltimo, la otra fuente de error de importancia es aquella que tiene su ori!en en el hechode que los cálculos aritméticos no pueden reali&arse con precisión ilimitada. /uchosn%meros requieren infinitos decimales para ser representados correctamente, sin embar!o, para operar con ellos es necesario redondearlos. 6ncluso en el caso en que un n%mero pueda


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representarse e'actamente, al!unas operaciones aritméticas pueden dar lu!ar a la apariciónde errores las divisiones pueden producir n%meros que deben ser redondeados y lasmultiplicaciones dar lu!ar a más d(!itos de los que se pueden almacenar. El error que seintroduce al redondear un n%mero se denomina error de redondeo.

*efiniciones

Ahora que disponemos de una idea correcta de qué es el error y de cual es su ori!en, podemos formali&ar el concepto de error. 1eneralmente, no conocemos el valor de unacierta ma!nitud y hemos de conformarnos con un valor apro'imado x. #ara estimar lama!nitud de este error necesitamos dos definiciones básicas"

Error absoluto

de x"

7

Error relativo

de x"

8

En la práctica, se emplea la e'presión"

9

En !eneral, no conocemos el valor de este error, ya que no es habitual disponer del valor

e'acto de la ma!nitud, sino sólo de una acotación de su valor, esto es, un n%mero , talque"

:


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o bien"

;

*e acuerdo con este formalismo, tenemos que un n%mero se representará del si!uientemodo"

4 =89 y 5.5:;=> tienen cuatro cifras si!nificativas

os ceros situados entre dos cifras si!nificativas son si!nificativos.

75; y 5.585; tienen tres cifras si!nificativas

os ceros a la i&quierda de la primera cifra si!nificativa no lo son.

5,55; y 5.5< tienen una cifra si!nificativa

+3*EN *E *EC+/#+6C6?N #+6N?/6CA

El orden de una descomposición polinomica viene a ser el e'ponente má'imo de una

descomposición polinómica

2.-ECUACIONES NO LINEALES

@n sistema de ecuaciones lineales tiene solución %nica si la matri& de coeficientes es nosin!ular.


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a e'istencia y unicidad de soluciones de ecuaciones no-lineales es mucho máscomplicado, dif(cil de determinar y con una mayor variedad de comportamientos.

#ara un sistema de ecuaciones lineales e'isten tres posibilidades" %nica, infinitas o nin!unasolución.

@na ecuación no-lineal puede tener cualquier n%mero de posibles soluciones.@na ecuación no-lineal puede tener m%ltiples ra(ces, donde tanto la función como suderivada son i!uales a cero.

Esta propiedad si!nifica que la curva tiene una tan!ente hori&ontal en el e$e x.

i f ' 4 5 y f ' B 5, entonces se dice que se tiene una ra(& simple.

2..-Meto!os "erra!os # abiertos

/étodos cerrados

Como su nombre lo dice este método encierra la función en un intervalo donde dichafunción cambia de si!no para tener una ra(& dentro de este intervalo y lue!o empe&ar reducir por medios de al!oritmos el tamao del intervalo.

• /étodo de la bisección• /étodo de re!la falsa o falsa posición• /étodos abiertos

A diferencia de los métodos cerrados estos solo necesitan un valor inicial, pues no encierranla ra(&. En al!unos casos la operación diver!e se ale$a de la ra(& y otros conver!e seacerca a la ra(& hallando de manera más efectiva la ra(&.

• /étodo de punto fi$o• /étodo de Ne0ton D 3aphson• /étodo de la secante• /étodo de rent• 3a(ces m%ltiple• istema de ecuaciones no lineales

2.2.-Meto!os "erra!os

a.- /étodo !raficoistemas de Ecuaciones ineales y Cuadráticas

Empecemos por hablar sobre dos ecuaciones lineales. a solución de este tipo de sistema esel punto de intersección entre las dos rectas, o el lu!ar donde las dos ecuaciones tienen los

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mismos valores de x y de y. #uede haber más de una solución, no solución, o un n%meroinfinito de soluciones de un sistema de dos ecuaciones lineales"

U$a solu"i%$ No &a# solu"i%$ Solu"io$es i$'i$itas

i las !ráficas de lasecuaciones se intersectan,entonces e'iste una solución para ambas ecuaciones.

i las !ráficas de dosecuaciones no se intersectanpor e$emplo, si son paralelas, entonces noe'isten soluciones paraambas ecuaciones.

i las !ráficas de lasecuaciones son la misma,entonces hay un n%meroinfinito de soluciones paraambas ecuaciones.

#ara resolver un sistema con una ecuación lineal y una ecuación cuadrática, podemos hacer lo mismo, encontrar el punto F o puntos F de intersección entre ambas !ráficas"

U$a solu"i%$ No &a# solu"i%$ (os solu"io$es


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i la parábola y la recta setocan en un sólo punto,

entonces e'iste una solución para ambas ecuaciones.

i las !ráficas de lasecuaciones no se

intersectan, entonces noe'isten soluciones paraambas ecuaciones.

i la recta se intersecta con la parábola en dos lu!ares,

entonces hay dos soluciones para ambas ecuaciones.

No tiene sentido considerar el caso cuando las dos ecuaciones representan el mismocon$unto de puntos, porque una l(nea recta $amás será una parábola, y vice versa.

Nota que esto si!nifica que el n%mero posible de soluciones para un sistema de dosecuaciones lineales es 5 nunca se tocan, 7 se cru&an en un lu!ar, o infinito las rectasson idénticas. El n%mero de soluciones para un sistema con una ecuación lineal y unaecuación cuadrática es 5 nunca se tocan, 7 se tocan en un lu!ar, o 8 se cru&an en doslu!ares.

b.- /étodo de bisección.El método de bisección se basa en el si!uiente teorema de Cálculo")eore*a !el +alor I$ter*e!io

ea cont(nua en un intervalo y supon!amos que . Entonces para

cada tal que , e'iste un tal que . a misma

conclusión se obtiene para el caso que .

ásicamente el 2eorema del Galor 6ntermedio nos dice que toda función cont(nua en unintervalo cerrado, una ve& que alcan&ó ciertos valores en los e'tremos del intervalo,entonces debe alcan&ar todos los valores intermedios.


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En particular, si y tienen si!nos opuestos, entonces un valor intermedio es

precisamente , y por lo tanto, el 2eorema del Galor 6ntermedio nos ase!ura que debe

e'istir tal que , es decir, debe haber por lo menos una ra(& de

en el intervalo .

El método de bisección si!ue los si!uientes pasos"

ea cont(nua,

i, Encontrar valores iniciales , tales que y tienen si!nos opuestos,es decir,

ii, a primera apro'imación a la ra(& se toma i!ual al punto medio entre y "

iii, Evaluar . Hor&osamente debemos caer en uno de los si!uientes casos"

En este caso, tenemos que y tienen si!nos opuestos, y por lo tanto la ra(&

se encuentra en el intervalo .

En este caso, tenemos que y tienen el mismo si!no, y de aqu( que

y tienen si!nos opuestos. #or lo tanto, la ra(& se encuentra en el intervalo .

En este caso se tiene que y por lo tanto ya locali&amos la ra(&.El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que"

es decir,


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Ee*lo

Apro'imar la ra(& de hasta que .

Solución

abemos por lo visto en el e$emplo 7 de la sección anterior, que la %nica ra(& de se

locali&a en el intervalo . As( que este intervalo es nuestro punto de partida) sin

embar!o, para poder aplicar el método de bisección debemos checar que yten!an si!nos opuestos. En efecto, tenemos que

mientras que

Cabe mencionar que la función s( es cont(nua en el intervalo . As( pues,tenemos todos los requisitos satisfechos para poder aplicar el método de bisección.Comen&amos"i, Calculamos el punto medio que es de hecho nuestra primera apro'imación a la ra(&"

ii, Evaluamos

iii, #ara identificar me$or en que nuevo intervalo se encuentra la ra(&, hacemos la si!uientetabla"

#or lo tanto, vemos que la ra(& se encuentra en el intervalo .

En este punto, vemos que todav(a no podemos calcular nin!%n error apro'imado, puestoque solamente tenemos la primera apro'imación. As(, repetimos el proceso con el nuevo

intervalo .

Calculamos el punto medio que es nuestra se!unda apro'imación a la ra(&"


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Aqu( podemos calcular el primer error apro'imado, puesto que contamos ya con laapro'imación actual y la apro'imación previa"

#uesto que no se ha lo!rado el ob$etivo, continuamos con el proceso.

Evaluamos , y hacemos la tabla"

As(, vemos que la ra(& se encuentra en el intervalo .Calculamos el punto medio,

I calculamos el nuevo error apro'imado"

El proceso debe se!uirse hasta cumplir el ob$etivo.3esumimos los resultados que se obtienen en la si!uiente tabla"

Apro'. a la ra(&Error apro'.

7.8;

7.9=; J.5JK

7.978; :.=78; 8.:9K

7.8J=; 7.85K

7.95:=; 5.;JK

As(, obtenemos como apro'imacióna la ra(&


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c.- /étodo de la re!la falsaEste método es similar al método de isección en el sentido de que se !eneransubintervalos Lan ,bnM, que encierran a la ra(& a, pero esta ve& xn no es el punto medio deLan ,bnM, sino el punto de intersección de la recta que pasa por los puntos an, f an, bn, f bn,con el e$e x.

e considera si la ra(& de una ecuación está locali&ada más cerca de al!uno de los e'tremosdel intervalo.

*onde hemos a!re!ado la l(nea recta que une los puntos e'tremos de la !ráfica en el

intervalo .

Es claro que si en lu!ar de considerar el punto medio del intervalo, tomamos el puntodonde cru&a al e$e esta recta, nos apro'imaremos mucho más rápido a la ra(&) ésta es ens(, la idea central del método de la re!la falsa y ésta es realmente la %nica diferencia con elmétodo de bisección, puesto que en todo lo demás los dos métodos son prácticamenteidénticos.

upon!amos que tenemos una función que es cont(nua en el intervalo y

además, y tienen si!nos opuestos.

Calculemos la ecuación de la l(nea recta que une los puntos , .abemos que la pendiente de esta recta esta dada por"

#or lo tanto la ecuación de la recta es"

#ara obtener el cruce con el e$e , hacemos "


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/ultiplicando por nos da"

Hinalmente, de aqu( despe$amos "

Este punto es el que toma el papel de en lu!ar del punto medio del método de bisección.As( pues, el método de la re!la falsa si!ue los si!uientes pasos"

ea cont(nua,

i, Encontrar valores iniciales , tales que y tienen si!nos opuestos,es decir,

ii, a primera apro'imación a la ra(& se toma i!ual a"

iii, Evaluar . Hor&osamente debemos caer en uno de los si!uientes casos"

En este caso, tenemos que y tienen si!nos opuestos, y por lo tanto la ra(&

se encuentra en el intervalo .

En este caso, tenemos que y tienen el mismo si!no, y de aqu( que

y tienen si!nos opuestos. #or lo tanto, la ra(& se encuentra en el intervalo .

En este caso se tiene que y por lo tanto ya locali&amos la ra(&.El proceso se vuelve a repetir con el nuevo intervalo, hasta que"


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Ee*lo

@sar el método de la re!la falsa para apro'imar la ra(& de , comen&ando

en el intervalo y hasta que .

Solución

Este es el mismo e$emplo 7 del método de la bisección. As( pues, ya sabemos que escont(nua en el intervalo dado y que toma si!nos opuestos en los e'tremos de dichointervalo. #or lo tanto podemos aplicar el método de la re!la falsa.

Calculamos la primera apro'imación"

#uesto que solamente tenemos una apro'imación, debemos se!uir con el proceso.

As( pues,evaluamos

I hacemos nuestra tabla de si!nos"

*e donde vemos que la ra(& se encuentra en el intervalo .Con este nuevo intervalo, calculamos la nueva apro'imación"

En este momento, podemos calcular el primer error apro'imado"

#uesto que no se cumple el ob$etivo se!uimos con el proceso.

Evaluamos , y hacemos la tabla de si!nos"


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*e donde vemos que la ra(& se encuentra en el intervalo , con el cual,

podemos calcular la nueva apro'imación"

I el error apro'imado"

Como se ha cumplido el ob$etivo, conclu(mos que la apro'imación buscada es"

+bserve la rapide& con la cual conver!e el método de la re!la falsa a la ra(&, a diferencia dela lentitud del método de la bisección.

2./.-Meto!os abiertos

a.- /étodo de punto fi$o*ada una ecuación f(x) 4 5, podemos transformarla, de al!una manera, en otra equivalente

del tipo x = g x para al!una función g . En este caso se tiene que" a es ra(& de f x 4 5 f a 4 5 a = g a a es ra(& de x = g x.

(e'i$i"i%$0

@n n%mero a tal que a = g a se dice un u$to 'io de la función g .Cuándo una función g tiene un punto fi$o, y si lo tiene, cómo encontrarloO

)eore*a !e u$to 'io0

i g es una función continua en La, bM y g x PLa, bM para todo x PLa, bM, entonces g tiene por lo menos un punto fi$o en La, bM. i además, g’ x e'iste para todo x PLa, bM, y |g x| ≤ K Q

7 para todo x PLa, bM, K constante, entonces g tiene un %nico punto fi$o x PLa, bM. asucesión R xnS, con n definida, se encuentra mediante la '%r*ula !e itera"i%$0


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El comportamiento de los esquemas de punto fi$o puede variar ampliamente desde ladiver!encia, lenta conver!encia, a la rápida conver!encia.

a v(a más simple aunque no más !eneral de caracteri&ar el comportamiento de laiteración de punto fi$o es considerar la derivada de g en la solución x*.

i x* = g(x* y |g’ x*| < 7, entonces el esquema es localmente conver!ente. Es decir,e'iste un intervalo conteniendo x* tal que el correspondiente esquema iterativo esconver!ente si comien&a dentro del intervalo.

El método de punto fi$o proporciona una base para otros tipos de métodos que utili&an

ecuaciones apro'imadas para buscar la ra(& de una ecuación no lineal.

b.- /étodo de ne0ton 3aphson*e acuerdo con la serie truncada de Taylor "

3eempla&amos la función no-lineal f con esta función lineal, cuyo cero es fácilmentedeterminado, para hacer h = –f x / f’ x, asumiendo que f’ x ≠ 0. Como lo de las dos

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?n+%3D+1,2,3,+%5Cldots+http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?f(x+%2B+h)+%5Capprox+f(x)+%2B+f%27(x)hhttp://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?n+%3D+1,2,3,+%5Cldots+http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?x_n+%3D+g(x_%7Bn+-+1%7D+),


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funciones no se repite en !eneral, entonces se vuelve a hacer el proceso. Esto motiva alsi!uiente esquema iterativo"

El método de e!"on–#aphson puede interpretarse como la apro'imación de la funcióncerca de x$ por la recta tan!ente f x$ .

método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferenciade los métodos anteriores, el método de Ne0ton-3aphson no traba$a sobre un intervalo sino

que basa su fórmula en un proceso iterativo.upon!amos que tenemos la apro'imación

a la ra(& de ,

2ra&amos la recta tan!ente a la curva en el punto ) ésta cru&a al e$e en un

punto que será nuestra si!uiente apro'imación a la ra(& .

#ara calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tan!ente. abemosque tiene pendiente

I por lo tanto la ecuación de la recta tan!ente es"

Tacemos "

I despe$amos "

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?x_%7Bk+%2B+1%7D+%3D+x_k-+%7B%7Bf(x_k+)%7D+%5Cover+%7Bf%27(x_k+)%7D%7D


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Uue es la fómula iterativa de Ne0ton-3aphson para calcular la si!uiente apro'imación"

, si

Note que el método de Ne0ton-3aphson no traba$a con intervalos donde nos ase!ure que

encontraremos la ra(&, y de hecho no tenemos nin!una !arant(a de que nos apro'imaremosa dicha ra(&. *esde lue!o, e'isten e$emplos donde este método no conver!e a la ra(&, encuyo caso se dice que el método diver!e. in embar!o, en los casos donde si conver!e a lara(& lo hace con una rapide& impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por e'celencia.

2ambién observe que en el caso de que , el método no se puede aplicar. *ehecho, vemos !eométricamente que esto si!nifica que la recta tan!ente es hori&ontal y por lo tanto no intersecta al e$e en nin!%n punto, a menos que coincida con éste, en cuyo

caso mismo es una ra(& de

Ee*lo

@sar el método de Ne0ton-3aphson, para apro'imar la ra(& de ,

comen&ando con y hasta que . Solución

En este caso, tenemos que

*e aqu( tenemos que"

Comen&amos con y obtenemos"

En este caso, el error apro'imado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error apro'imado hasta donde se pidió.3esumimos los resultados en la si!uiente tabla"


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Apro'. a la ra(& Error apro'.

7

7.8J:7:87 87.7JK

7.95J75>:59 9.5J 5.5;8K

*e lo cual conclu(mos que , la cual es correcta en todos sus d(!itosVa misma idea puede aplicarse para crear al!oritmos que apro'imen ra(ces -ésimas den%meros reales positivos.+bserve que cuando el método de Ne0ton-3aphson conver!e a lara(&, lo hace de una forma muy rápida y de hecho, observamos que el error apro'imadodisminuye a pasos a!i!antados en cada paso del proceso. Aunque no es nuestro ob$etivoestablecer formalmente las cotas para los errores en cada uno de los métodos que hemos

estudiado, cabe mencionar que si e'isten estas cotas que miden con mayor precisión larapide& ó lentitud del método en estudio.

c.- /étodo de Ne0ton modificadoa dificultad del método de Ne0ton 3aphson en el comportamiento de una función conra(ces m%ltiples obli!a a considerar una modificación del método discutido por 3alston.Como primero se desean encontrar las ra(ces de una función f'. *efinimos una funciónnueva @', dada por,

se observa que la función @' tiene las mismas ra(ces que f', entonces @' se vuelvecero en cualquier punto que f' es cero. uponiendo ahora que f' tiene una ra(& m%ltipleen ' 4 c de multicidad r. Esto podr(a ocurrir, por e$emplo, si f' contiene un factor '-c .Entonces, podr(a fácilmente demostrarse que @' tiene una ra(& en ' 4 c de multicidad r, ouna ra(& simple. #uesto que el método de Ne0ton 3aphson es efectivo para ra(ces simples, podemos aplicar el método de Ne0ton para resolver @' en lu!ar de f'. *e esta manera,la ecuación recursiva de este método queda,

derivando la función au'iliar @', dada por 9-77,queda,

https://sites.google.com/site/driverssystem/3-5-el-metodo-de-newton-modificado/primer.png?attredirects=0


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El al!oritmo de este método es idéntico al mostrado en Hi!.*9.:, sólo se sustituye el bloquede f' por @' y f W' por @ W' o en todo caso se debe e'tender un poco el dia!rama deflu$o, ya que, se requiere el cálculo de la se!unda derivada de f'. in embar!o, elal!oritmo conserva el mismo ran!o de conver!encia que el método referido, siendoindiferente de la multicidad de la ra(&.

El metodo de Ne0ton-3aphson modificado el cual se describe acontinuacion consiste enaplicar el metodo de Ne0ton-3aphson univariable dos vecespara el caso de un sistema den ecuaciones no lineales con n incó!nitas, se aplicara n veces, una para cada variable.

Cada ve& que se hace esto, se considera las otras variables fi$as.

Considerese de nuevo el sistema

2omando los valores iniciales '5,y5, se calcula a partir del metodo de Ne0ton-3aphsonunivariable un nuevo valor '7 de la forma si!uiente"

similitud con

Ia teniendo f7'5,y5 y df7Xd' estos dos evaluados en '5,y5.

Tay que observar que se a obtenido '7 a partir de f7 y los valores mas recientes de Y y I)

'5,y5.

Ahora emplearemos f8 y los valores mas recientes de Y y I) '7, y5 para calcular y7

*e esta forma Z

https://sites.google.com/site/driverssystem/3-5-el-metodo-de-newton-modificado/diapo%204.png?attredirects=0https://sites.google.com/site/driverssystem/3-5-el-metodo-de-newton-modificado/diapo%203.png?attredirects=0https://sites.google.com/site/driverssystem/3-5-el-metodo-de-newton-modificado/diapo%202.png?attredirects=0https://sites.google.com/site/driverssystem/3-5-el-metodo-de-newton-modificado/diapo%201.png?attredirects=0https://sites.google.com/site/driverssystem/3-5-el-metodo-de-newton-modificado/tercero.png?attredirects=0


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*onde df8Xdy se eval%a en '7,y5. e obtiene ahora '7 y y7. con estos valores se calcula '8,

después y8, y as( sucesivamente. Este metodo conver!e a menudo si '5,y5 esta muy cerca de 'ne!ada y yne!ada, y requierela evaluacion de solo 8n funciones por paso cuatro para el caso de dos ecuaciones que seesta mane$ando. Tay que observar que se han empleado despla&amientos sucesivos, perolos despla&amientos simultaneos tambien son aplicables.

En la aplicación de este metodo se pudo tomar f8 para evaluar '7 y f7, a fin de evaluar y7,asi"

Esto puede producir conver!encia en al!uno de los arre!los y diver!encia en el otro.es posible saber de antemano si la primera o la se!unda forma conver!iran para el caso desistemas de dos ecuaciones, pero cuando 9 Q4 n las posibilidades son varias nV y esimposible conocer cual de estos arre!los tiene viabilidad de conver!encia, por lo cual laeleccion se convierte en un proceso aleatorio. Esta aleatoriedad es la mayor desventa$a deeste metodo.

En !eneral, para un sistema de n ecuaciones con n incó!nitas" '7,'8[[,'n, el al!oritmotoma la forma"

El metodo de Ne0ton /odificado trata de eliminar este inconveniente, utili&ando en todo el proceso la misma matri& \acobiana \'5. El menor coste por iteracion debido a estasimplificacion se traduce, no obstante, en un aumento del n%mero de pasos necesarios paraalcan&ar la conver!encia.

d.- /étodo de Gon /isesEl método de Ne0ton tiene al!unas variantes que dan ori!en a otros métodos, un casoespecial en el cual el método de Ne0ton puede presentar problemas en su aplicación, escuando los puntos x% están muy ale$ados de la solución o bien f&(x% ) es cercana a cero. #araresolver este problema von /ises propuso sustituir el denominador f&(x% ) por f&(xo )

https://sites.google.com/site/driverssystem/3-5-el-metodo-de-newton-modificado/diapo%206.png?attredirects=0https://sites.google.com/site/driverssystem/3-5-el-metodo-de-newton-modificado/diapo%205.png?attredirects=0


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#or lo tanto la ecuación del método es

( )5

x f

x f x x

p

pa ′−=

e.- /étodo de la secanteEste método se basa en la fórmula de Ne0ton-3aphson, pero evita el cálculo de la derivadausando la si!uiente apro'imación"

ustituyendo en la fórmula de Ne0ton-3aphson, obtenemos"

Uue es la fórmula del método de la secante. Nótese que para poder calcular el valor de ,

necesitamos conocer los dos valores anteriores y .

+bsérvese tambien, el !ran parecido con la fórmula del método de la re!la falsa. adiferencia entre una y otra es que mientras el método de la re!la falsa traba$a sobreintervalos cerrados, el método de la secante es un proceso iterativo y por lo mismo,encuentra la apro'imación casi con la misma rapide& que el método de Ne0ton-3aphson.Claro, corre el mismo ries!o de éste %ltimo de no conver!er a la ra(&, mientras que elmétodo de la re!la falsa va a la se!ura.

Ee*lo

@sar el método de la secante para apro'imar la ra(& de , comen&ando con

, y hasta que .

Solución

2enemos que y , que sustitu(mos en la fórmula de la


23/69

secante para calcular la apro'imación "

Con un error apro'imado de"

Como todav(a no se lo!ra el ob$etivo, continuamos con el proceso. 3esumimos losresultados en la si!uiente tabla"

Apro'. a la ra(& Error apro'.

5

7 755K

5.


24/69

)

)

(

T #a

;.88:8=>.5=

)

)

(

#T b

5>


25/69

aa % es la actividad molar parcial del componente % en la me&cla reaccionante

% es el coeficiente estequiométrico de la especie % en la me&cla reaccionante

En fases !aseosas ideales %%%%% p ( y f f a ==== aa

ustituyendo (

((

y

y y K

+ ,

+ , 2

2

2

22

XX

=

a fracción molar del componente % puede e'presarse mediante la ecuación

∈+

∈+==

*n

*n

n

n y

%%

"

%

%

5

5

*onde ∈ se denomina coordenada de reacción

Cuando se alimenta estequiométricamente x∈= siendo x es el !rado de conversión odisociación

alances /olares

∈+=88 5 ,

nn ,

∈+= 2

22 o

nno

∈−=+ ,

nn+ ,

88 5

4 Σvi 4 `

ase mol n + , o 78 =

ustituyendo


26/69

∈+

∈−

∈+

∈

∈+

∈

=

2

2

2

2

2

2

(

K 3eacomodando ∈+∈

∈−∈

=2

2

( K

K (

f −∈+

∈∈−

∈=∈

2

2

- #ara las condiciones en que se efect%a la reacción

5:;.58

:

7- −

∈+∈

∈−∈

=∈ f

olución por un método que usa intervalo y uno abierto

2abla 7.7 /étodo de la 3e!la falsa en el intervalo L5.5; , 5.7;M, N/6 4 =, 2olerancia εs45.55;

6teración 3a(& Error apro'imado

7 >.>5>7 '75-8 --------------------

8 J.;58: '75-8 =.95


27/69

< J..>5>7 '75-8 :9.89:9

8 J.=J87 '75-8 75.5:J5

9 J.


28/69

@n balance de materia !lobal" H 4 _ G

@n balance de materia para cada componente" H - % 4 x% _ G y% % = ., , , 11,n

as relaciones de equilibrio l(quido-vapor establecen"%

%

% x

y K = % = ., , , 11,n

ustituyendo y combinando ecuaciones tenemos" ∑=

=−+

−n

% %

%%

K ' 2

K 2-

7

5-7

-7

El valor de G que satisface esta ecuación esta comprendido entre 5 ≤ G ≤ H

#or lo tanto, proponer un valor inicial de G es bastante complicado ya que H puede ser muy!rande.

Esta dificultad se puede reducir normali&ando el valor de G, dividiendo el numerador y eldenominador entre H.

∑=

=−+

−=n

% %

%%

K

K - f

7

5-77

-7-

ϕ ϕ ∑

=

=−+−−=

n

% %

%%

K

K - f 7

8

8

5-M77L

-7-dϕ

ϕ

*onde ϕ 4 GXH

F moles/hr

zi

V

moles/hr

yi

Lmoles/hr

i


29/69

1roble*a 2Encuentre el volumen molar del !as butano a ;55 ]^ y ;5 bar.

a ecuación cubica de estado !enérica"

#uede ser modificada para factor de compresibilidad mediante sustituciones adecuadas

*onde β =Ω (r/Tr) y 3=ψα (Tr)/ ( Ω Tr)

os valores de los parámetros de esta ecuación var(an de acuerdo a la ecuación cubica deestado que se utili&a, para la ecuación de 3edlich-on! σ =., ε =0, Ω =045667,ψ =047875, α (Tr)= Tr 9./

#ara el caso de del butano a las condiciones dadas 2r 4 7.7=


30/69

0

an.x.;anx;anx;444;annxn=bn

En notación matri&-vector, un sistema de ecuaciones al!ebraicas lineales tiene la forma"

A0 /atri&.

b0 Gector.

x 0 Es el vector de incó!nitas a ser determinado.

o si!uiente conduce a la pre!unta" #uede el vector b ser e'presado como unacombinación lineal de las columnas de la matri& AO

os coeficientes de esta combinación lineal están dados por los componentes del vector solución x .

#uede o no tener solución.

#uede no ser %nica.

(eter*i$a$tes

os determinantes sur!en en relación con los sistemas de ecuaciones lineales.

#or e$emplo en el sistema

a.. x. _ a. x 4 b.

a. x. _ a x 4 b 3,

en el que las incó!nitas son x., y x.

#ara resolver este sistema, puede multiplicarse la primera ecuación por a, la se!unda por

9a. y sumar, encontrando

a.. a - a. a. x. 4 b. a D b a.

Entonces se multiplica la primera ecuación de 3, por 9a., la se!unda por a.. y se sumanuevamente, encontrando

a.. a - a. a. x 4 a.. b D a. b.

i a.. a - a. a. no es cero, puede dividirse y obtener el resultado deseado

78878877

788887

7aaaa

abab x

−−

=78878877

877778

8aaaa

abab x

−−

=32,

a e'presión de los denominadores se escribe en la forma

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?%7B%5Crm+A%7D+%5Ccdot+x+%3D+b


31/69

8887

7877

aa

aa

y se llama determinante de se!undo orden. Entonces

8887

7877

aa

aa

4 a.. a - a. a.

os cuatro n%meros a.., a., a., a se llaman ele*e$tos del determinante. e dice que loselementos en una l(nea hori&ontal forman un re$4l%$ y que los elementos en una l(neavertical forman una "olu*$a del determinante.

Ahora puede escribirse la solución 32, del sistema 3, en la forma

<

< x 77 =

<

< x 88 =

≠ 5

donde

8887

7877

aa

aa


32/69

*onde" x$ es la solución apro'imada en la iteración $ y x* es la solución gverdadera.

e dice de un método, que éste conver!e con tasa de conver!encia r si"

I se dice de esta tasa de conver!encia que, para una constante B 5"

i r 47 y Q7, la tasa de conver!encia es lineal.

i r 7, la tasa de conver!encia es s%per lineal.

i r 48, la tasa de conver!encia es cuadrática.

5a"obi

El sistema de ecuaciones lineales

a.. x. _ a. x _ a. x _ ........_ a.n xn 4 b.

a. x. _ a x _ a x _ ........_ an xn 4 b

a. x. _ a x _ a x _ ........_ an xn 4 b

44444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

an. x. _ an x _ an x _ ........_ ann xn 4 bn

puede representarse en forma matricial como A 6 7 b.*onde la matri& A puede representarse como la suma de dos matrices, una matri& dia!onal D y otra matri& C de modo que 3 D + C , 6 = b, y reacomodando

*' _ C' 4 b *' 4 b - C'

Esta %ltima ecuación se puede usar para apro'imar la solución mediante un procesoiterativo.

Nótese la seme$an&a con el método de punto fi$o desarrollado en la unidad anterior. Elcriterio de conver!encia para este es que los elementos de la dia!onal principal de la matri&

A sean dominantes, es decir

( ) <

= 6b6

−=

( ) <

= %

i6b

6−

=+7

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?%7B%5Clim+%7D%5Climits_%7Bk+%5Cto+%5Cinfty+%7D+%7B%7B%7C%7Ce_%7Bk+%2B+1%7D+%7C%7C%7D+%5Cover+%7B%7C%7Ce_k+%7C%7C%5Er+%7D%7D+%3D+C


33/69

a aplicación de la ecuación del método al sistema de ecuaciones ser(a entonces

Como en todos los procesos iterativos, se requiere dar una apro'imación inicial, que en estecaso ser(a un vector solución inicial 6, as( como un criterio de conver!encia

Uue deberá cumplirse para cada elemento del vector actual y previo) también se dará eln%mero má'imo de iteraciones

E$emplo

*ado el problema

978 x. _ x - = x 4 ->5

x. -


34/69

e!unda iteración

2ercera iteración

Cuarta iteración

( )( )[ ]

( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]97J==:5=7=78J8

J==:>5

:9

:8

:7

.

..

.

..

.

..

8

8

8

=−−−

=

=−+−

=

=−

−−−=

x

x

xε

a1 ! 1'&*5)4

ε a2

! 5&(111

ε a3

! 0&2))(

" ε a i

# ε s$→

NO


35/69

c.- olución de sistema de ecuaciones

d.- olución de sistema de ecuaciones no lineales, método de ne0ton 3aphsonmultivariables.

e.- /étodo de #unto Hi$o de multivariableEl sistema fi 4 5, i4 7,8,9,[[, n es transformado en el con$unto de ecuaciones.

/ediante la aplicación de operaciones al!ebraicamente válidas. A cada una de estasecuaciones se les aplica el método iterativo de punto fi$o"

e comien&a con una estimación inicial ', la cual es sustituida en las ecuaciones !7, !8, !9,[[ !n resultando una nueva apro'imación '. Estas funciones son evaluadas en ' para!enerar '. Este procedimiento es repetido para calcular las apro'imaciones '9, ':, ';, [[En el momento en que se cumpla al!uno de los criterios de conver!encia usuales, se

termina el proceso iterativo.


36/69

9.-RE:RESION LINEAL

a.-2ransformaciones linealesas transformaciones lineales son las funciones con las que traba$aremos en Al!ebraineal.

e trata de funciones entre ^-espacios vectoriales que son compatibles con la estructura esdecir, con la operación y la acción de estos espacios.

(e'i$i"io$es8 ee*los # roie!a!es b;si"as

En esta sección introduciremos la noción de transformación lineal, as( como también ciertasnociones básicas asociadas a estas funciones.

*efinición" ean dos ^-espacios vectoriales. @na función

se llama una "ransforma%?n l%neal (@ homomorf%smo, o s%mplemen"e

morf%smo) de G en si cumple"

i

ii

+bservación" i es una transformación lineal, entonces

En efecto, puesto que , entonces


37/69

E$emplos"

Como hemos mencionado al comien&o, las transformaciones lineales respetan la estructurade ^-espacio vectorial. Esto hace que en al!unos casos se respete la estructura desubespacio, por e$emplo en la imá!enes y pre-imá!enes de subespacios portransformaciones lineales"

#roposición"


38/69

b.- 3e!resión lineal m%ltiple6ntroducción


39/69

En la re!resión lineal m%ltiple vamos a utili&ar más de una variable e'plicativa) esto nos vaa ofrecer la venta$a de utili&ar más información en la construcción del modelo y,consecuentemente, reali&ar estimaciones más precisas.

Al tener más de una variable e'plicativa no se debe de emplear el término independientesur!irán al!unas diferencias con el modelo de re!resión lineal simple.

@na cuestión de !ran interés será responder a la si!uiente pre!unta" de un vasto con$unto devariables e'plicativas" 68 628


40/69

3e!istr o

se'o estatura ljro'to pie ljbra&oajespald

djcráneo

peso

Y7 Y< Y8 Y9 Y: Y; I

7 mu$er 7;> 9J 9< :9 ;; :9

8 mu$er 7;8 9> 9:

: mu$er 7;J :5 9< .; :8 ;= :J

; mu$er 7;> :7 9< .; :: ;= ;5

< mu$er 7


41/69

Mo!elo !e re4resi%$ *>ltile0

i!uiendo con nuestro e$emplo, si consideramos el peso como variable dependiente y como posibles variables e'plicativas"

• estatura

• pie

• ljbra&o

• ajespald

• djcraneo

El modelo que deseamos construir es"

Al i!ual que en re!resión lineal simple, los coeficientes b van a indicar el incremento en el peso por el incremento unitario de la correspondiente variable e'plicativa. #or lo tanto,estos coeficientes van a tener las correspondientes unidades de medida.

a solución es eliminar del modelo aquellas variables e'plicativas que dependen unas deotras. En !eneral, los métodos de selección de variables solucionan automáticamente este problema.


42/69

En esta tabla se muestra el valor de los estimadores del hiperplano de re!resión.

a columna denominada tolerancia es"

*onde la variable correspondiente entra como variable dependiente y el resto de lasvariables e'plicativas act%an como re!resoras.

A la vista de estos resultados, la variable estatura esta provocando problemas demulticolinealidad.

Es interesante observar que si bien el contraste de re!resión es si!nificativo, nin!una de lasvariables e'plicativas lo es.

c.- A$uste de curvas con un polinomio de orden superior .A$ustar una curva implica a$ustar una función !' a un con$unto de datos dado, 'i,yi, y 47, 8, ..., . a función !' es un polinomio, una función no lineal o una combinaciónlineal de funciones conocidas. a función !' que se eli!e para a$ustar una curvacontiene cierto n%mero de coeficientes no determinados. En !eneral, el n%mero de puntosde datos por a$ustar, , es mayor que el n%mero de coeficientes no determinados, ) portanto, el método para determinar los coeficientes se basa en la minimi&ación de las

discrepancias entre la función determinada y los puntos de datos, y recibe el nombre demétodo de m(nimos cuadrados. En el caso especial de 4 , el a$uste de la curva se reducea un problema de interpolación porque la curva a$ustada pasa por los puntos de datos.

El principio de los m(nimos cuadrados puede e'tenderse al a$uste de un polinomio de ordensuperior a los datos de mediciones. Escribimos un polinomio de orden n as("

9.7

a desviación de la curva respecto de cada punto de datos es

) i 4 7,8, ... , 9.8

donde es el n%mero de puntos de datos dados. a suma de las derivaciones elevadas alcuadrado es

9.9


43/69

A fin de minimi&ar 3, i!ualamos a cero las derivadas parciales de 3 respecto de c$"

, $ 4 7,8, ..., n_7 9.:o, lo que es lo mismo,

) 4 7,8, ..., n_7 9.;

que también puede escribirse en la forma de matrices as("

9.<

@na forma equivalente de deducir la ecuación 9.< es partir de una ecuaciónsobredeterminada. a forma matricial de la ecuación es

9.=

donde

A 7

Cuando n _ 7, la ecuación está sobredeterminada porque el n%mero de ecuaciones esmayor que el n%mero de coeficientes no determinados. i premultiplicamos ambosmiembros por A obtenemos"


44/69

9.>

Uue es i!ual a la ecuación 9.< y se puede resolver como problema normal con

En /A2A, podemos obtener la solución de la ecuación 9.= simplemente con

Como se anuncio en la sección 7, otra forma equivalente pero más sencilla de encontrar loscoeficientes de un polinomio a$ustado de datos consiste en utili&ar polyfit"

c 4 polyfit', y, n

Ee*lo

A$uste el si!uiente con$unto de datos a un polinomio cuadrático"

' 4 L5.7, 5.:, 5.;, 5.=, 5.=, 5.JM)

y 4 L5.


45/69

En el campo de la matemática aplicada es de !ran importancia la manera como determinar una función o funciones a partir de un con$unto de datos discretos, i.e., puntos tabulados,situación que siempre se enfrenta cualquier investi!ador, para decir !eneralmente un6n!eniero siempre tiene al frente esta problemática fenómeno que será el ob$etivo de este(tem.

#ues es com%n encontrar datos con valores discretos, y sin embar!o nosotros queremosencontrar valores entre estos puntos discretos, y esto es lo que lo llamamos a$uste decurvas y, !eneralmente se usa el procedimiento de m(nimos cuadrados.

Cuando e'iste un con$unto de datos muy precisos, en este caso se usa lo que se llamainterpolación.

as funciones de apro'imación !eneralmente es obtenida por combinación lineal defunciones elementales, que toman la forma de"

n% x g a x g a x g a x g a nnnn ≤≤++++ −− 5"--........-- 557777

En donde"ai 0 on constantes que deseamos encontrar, i47,8,...,n

g i 3 x ,0 on funciones elementales espec(ficas, i47,8,...,n

Ee*lo0

1. g i 3 x ,0 #uede ser la familia de monomios en { }n x x x x ,.....,," 75 lue!o tenemos lacombinación lineal"

5

5

7

7

8

8

7

7 .............- xa xa xa xa xa xa x p %

%

n

n

n

n +++++++= −

−

2. a familia de funciones elementales de ourier, en función de g xA

7 , sen x, os x, sen 8 x, os 8 x, sen 9 x, os 9 x,44a combinación lineal que !enera apro'imaciones de la forma"

∑∑==

++n

%

%

n

%

% x% senb x%aa77

5 cos

3. a familia de funciones e'ponenciales en x"...,,,,7

98 x x x eee

Uue proporciona la si!uiente combinación lineal

nx

n

%x

%

x x xeaeaeaeaeaa +++++++ ......9

9

8

875

AApro'imación #olinomial imple E 6nterpolación ineal#odemos decir que la interpolación lineal es el e$e para muchos métodos numéricos y de!ran relevancia en la in!enier(a, puesto que una !ran información se encuentra en su formatabular como veremos más adelante y es usado por una diversidad de métodos numéricos, por e$emplo si inte!ramos este método tendremos el método de inte!ración trape&oidal.

En qué consiste este métodoO


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upon!amos que tenemos los si!uientes cuadros"

#untos 5 7 8 9 : ; <

f(x) ;< => 779 7:: 7>7 85; 87:

B 7 8 ; 75 85 95 :5

#untos 5 7 8 9

f(x) ;< -O 779 7>7 87:

B 7 8 ; 85 :5

upon!amos por un instante que sólo se dispone del cuadro 8 y que queremos el valor de lavariable g y=f(x)A cuando x tiene un valor de 8 unidades. @na manera muy com%n es

considerar la ecuación de una l(nea recta as(" xaa x p 75- += , y sustituirlos valores de los puntos 5 y 7, obteniendo dos ecuaciones con

variables a5 y a7

#unto g5 4 7,; _ 7:.8 x

Esta ecuación puede ser usado para calcular f x cuando x 4 8

8.=5:.8>>.:78-8.7:>.:7-8 =+=+= f

+bservación"

Cuadro 1

Cuadro 2


47/69

i queremos una me$or apro'imación para nuestra función deber(amos considerar otro punto más y tendremos"

8

875- xa xaa x p ++= ,

ean los puntos

8759

8758

8755

:55857>7-7>7,85

8;;779-779,;

;


48/69

x5, x7" on valores de la función en puntos conocidos L x5, f x5M, L x7, f x7M

a5, a7" Coeficientes por determinar, y lo encontramos haciendo las consideracionessi!uientes"

*eterminando a5 para ello consideramos

"75

5

75

5

575555

----

x x

x f

x x

x ( a x xa x ( x x

−=

−=⇒−=⇒=

*eterminando a7 para ello hacemos"

57

7

57

7

757777

----

x x

x f

x x

x ( a x xa x ( x x

−=

−=⇒−=⇒=

ue!o

-----

-

--

-

---

--

--

-

--

7755

57

5

7

75

7

5

5

57

7

7

75

5

x f x C x f x C x (

x x

x x x f

x x

x x x f x (

x x x x

x f x x

x x

x f x (

+=

−−

+−

−=

−−

+−−

=

8. Suo$4a*os u$ oli$o*io !e se4u$!o 4ra!o

------- 7588578758 x x x xa x x x xa x x x xa x ( −−+−−+−−=

E$ !o$!e0

x5, x7, x8 son los valores de los puntos conocidos L x5, f x5M, L x7, f x7M, L x8, f x8M

i--

-

--

-

8575

5

8575

5855

x x x x

x f

x x x x

x ( a x x

−−=

−−=⇒=

i --

-

--

-

8757

7

8757

78

77 x x x x

x f

x x x x

x (

a x x −−=−−=⇒=

i--

-

--

-

7858

8

7858

8888

x x x x

x f

x x x x

x ( a x x

−−=

−−=⇒=

ue!o"

------- 8877558 x f x C x f x C x f x C x ( ++=


49/69


50/69

b *eterminar el valor apro'imado de f x para x 4 7.>

Solu"i%$0

*ebemos destacar que la tabla presenta cuatro puntos lo que induce la e'istencia de un polinomio de tercer orden

J5

-9-7

-9


51/69

a derivada sólo puede obtenerse de manera apro'imada, por e$emplo si se deseacalcular la derivada de f' en el punto g xA tal que x5 Q x Q x7

Esto se determina as("

75

57

57 ,--

-d x x x x x

x f x f x f


52/69

#ara formar la e'presión se requiere % _ 7 puntos. El numerador es la recta de dos diferencias de orden % D 7. El denominador es la recta de los ar!umentos no comunes en el numerador.

Ee*lo0

upon!amos que tenemos la si!uiente información

7:8=88;7>-


53/69

:;

; < 7:8

Observe*os Bue0

2odas las diferencias divididas de tercer orden tienen el mismo valor independiente delvalor de las ' que se usen para calcularse.

as diferencias de cuarto orden todos tienen el valor de cero, lo que tiene afinidad con elcriterio que la derivada de tercer orden es una constante y la de cuarto orden es cero, paracualquier valor de '.

El ra&onamiento anterior nos induce a decir que si al construir una tabla de diferenciasdivididas en al!una columna el valor es constante y la si!uiente columna es "ero lai$'or*a"i%$ rovie$e !e u$ oli$o*io !e 4ra!o i4ual al or!e$ !e las !i'ere$"iasBue te$4a$ valores "o$sta$tes.

El ra&onamiento anterior nos induce afirmar que nuestro polinomio es de !rado 9 es decir mi polinomio será"

[ ] ( ) [ ] [ ] [ ] ...--,,-,,...,,- 7587557557

5575 +−−+−+=∏ −∑=

−

== x x x x x x x f x x x x f x f x x x x x f x p

$

> >

n

$ $

En nuestro e$emplo se tiene"

[ ] [ ] [ ] [ ] ---,,,--,,-,- 8759875758755755 x x x x x x x x x x f x x x x x x x f x x x x f x f x p −−−+−−+−+=

-5-7-87-7-8;-8797>- −+++++−++−= x x x x x x x p

88- 89 −−= x x x p

.-IN)E:RACION NUMERICA

a.- Hormulas de dos o tres puntosEl problema de la inte!ración numérica es la evaluación de la inte!ral definida"

( )∫ = b

aDx x f E

donde a y b están dados, y f x es una función dada mediante una e'presión anal(tica o bienemp(ricamente mediante una tabla de valores.

En in!enier(a frecuentemente se presentan problemas que se e'presan matemáticamentemediante inte!rales, de las que el inte!rando es una función complicada o bien emp(rica,


54/69

dada por una tabla, y entonces puede usarse un método numérico de inte!raciónapro'imada, donde E es el área de la re!ión acotada por la curva entre a y b.

Obte$"i%$ !e 'or*ulas !e i$te4ra"i%$ $u*Dri"a

*ada la función y = f x se aceptará como apro'imación de la función el polinomio de

interpolación de Ne0ton, que pasa por los n ; . puntos x = x0, x.,... , xn, todos ellosi!ualmente espaciados.

*e esta manera se podrá obtener una apro'imación a"

*e la fórmula de interpolación de Ne0ton se tiene que"

*onde h

x x$ 5

−=

6nte!rando en el intervalo L x0, xn = x0 _ nhM

Taciendo el cambio de variables

x = x0 _ $h) Dx = h D$ )

si x = x0) $ = 5)

y si x =xn.

Entonces

xn = x0 _ nh xn 9 x0 = nh nh

x x

$

n

=

−

= 5

( )∫ n x

xDx x f

5

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )

5

9

5

8

55

V

-7....87......

V9

87

V8

7 f

n

n$ $ $ $ f

$ $ $ f

$ $ f $ x f x f

n∆+−−−

++∆−−

+∆−

+∆+=

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

n

n$ $ $ $ f

$ $ $ f

$ $ f $ x f Dx x f

nn x

x

x

x ∫ ∫ ∆

+−−−++∆

−−+∆

−+∆+=

555

9

5

8

55V

-7....87.....

V9

87

V8

7

( ) ( ) hD$ f $ $ $

f $ $

f $ x f Dx x f n x

x

n

∫ ∫

+∆

+−+∆

−+∆+=

5 5

989

5

88

55 ...<

89

85

( ) ( )n

x

x f

$ $ $ f

$ $ f

$ x$f hDx x f

n

5

5

989:

5

889

5

8

5


55/69

Esta forma !eneral se puede particulari&ar, para polinomios de distinto orden que me$or seadapten a la función que sustituyen.

i la interpolación se limita al primer orden y la inte!ral solo se calcula entre los dos primeros valores de x es decir, entre x0 y x., se obtiene

( )

∆+=∫ 5

8

58

77

5

y yhDx x f x

x

∆ y0 4 y. – y0

( )

+=

−+=

−+=∫ 8888

75575

57

5

7

5

y yh

y y yh

y y yhDx x f

x

x

Re4la )raeoi!al

Ali"a"i%$ e$ se4*e$tos *>ltiles

Re4la )raeoi!al

( ) ( )[ ]758

x f x f h

E +=

Esta re!la se puede me$orar dividiendo el intervalo en n se!mentos de i!ual anchura

a inte!ral total se representa por

b- 3e!la de impson 7X9, 8X9, 9X>3e!la de impson 7X9" 3esulta cuando una interpolación polinomial de se!undo orden essustituida en una ecuación de apro'imación con inte!ral"

n

abh

−= ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∫

−

+++ nn

x

x

x

x

x

xDx x f Dx x f Dx x f

7

8

7

7

5

...

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]nn x f x f

h x f x f

h x f x f

h x f x f

h E ++++++++= −7988775 8888

...

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nn x f x f x f x f x f x f x f x f h

E ++++++++= −79887758

...

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]nn x f x f x f x f x f x f h

E ++++++= −79875 88888

...

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ){ }nn x f x f x f x f x f x f

h E ++++++= −79875 8

8...

( ) ( ) ( )

++

−= ∑

−

=n

n

%

% x f x f x f n

ab E

7

775 88

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?I+%3D+%5Cint_%7Bx_0+%7D%5E%7Bx_2+%7D+%7B%5Cleft[+%7B%7B%7B(x+-+x_1+)(x+-+x_2+)%7D+%5Cover+%7B(x_0+-+x_1+)(x_0+-+x_2+)%7D%7Df(x_0+)+-+%7B%7B(x+-+x_0+)(x+-+x_2+)%7D+%5Cover+%7B(x_1+-+x_0+)(x_1+-+x_2+)%7D%7Df(x_1+)+%2B+%7B%7B(x+-+x_0+)(x+-+x_1+)%7D+%5Cover+%7B(x_2+-+x_0+)(x_2+-+x_1+)%7D%7Df(x_2+)%7D+%5Cright]%7D+dxhttp://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?I+%3D+%5Cint_a%5Eb+%7Bf(x)dx+%5Ccong+%5Cint_a%5Eb+%7Bf_2+(x)dx%7D+%7D


56/69

*espués de la inte!ración y mane$o al!ebraico, resulta"

*onde h = b – aX8

Re4la !e Si*so$ /FG0 3esulta cuando una interpolación polinomial de tercer orden essustituida en la ecuación de apro'imación"

#ara obtener"

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?I+%5Csimeq+%7B%7B3h%7D+%5Cover+8%7D[f(x_0+)+%2B+3f(x_1+)+%2B+3f(x_2+)+%2B+f(x_3+)]http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?I+%3D+%5Cint_a%5Eb+%7Bf(x)dx%7D+%5Ccon+%5Cint_a%5Eb+%7Bf_3+(x)dx%7Dhttp://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/moodle/filter/tex/displaytex.php?I+%5Csimeq+%7Bh+%5Cover+3%7D[f(x_0+)+%2B+4f(x_1+)+%2B+f(x_2+)]


57/69

c.- 3e!las de inte!ración compuesta7 3e!la 2rape&oidal para 6nte!rales *obles

( ) ( ) ( ) ( ) Dy y x f y x f y x f m

abDyDx y x f

D

) m

m

%

%

D

)

b

a ∫ ∑∫ ∫

++

−=

−

=

88887

7

5 88

( ) ( ) ( ) Dy y x f y x f y x f m

ab D

) m

m

%

%∫ ∑

++

−=

−

=888

7

75 88

( ) ( ) DyDx y x f DxDy y x f D

)

b

a

D

)

b

a ∫ ∫ ∫ ∫

= 88

( ) ( ) ( ) ( )

++

−= ∑∫

−

= y x f y x f y x f

m

abDx y x f m

m

%

%

b

a8888

7

7

5 88

( ) ( ) ( )

++−= ∫ ∑∫ ∫ −

=Dy y x f Dy y x f Dy y x f

m

ab D

) m

m

%

D

) %

D

)888

7

75 88

( ) ( ) ( ) ( )

++

−= ∑∫

−

=n

n

>

>

D

) y x f y x f y x f

n

D Dy y x f 8888 5

7

75555 88

( ) ( ) ( ) ( )

++

−= ∑∫

−

=n%

n

> >%%

D

) % y x f y x f y x f

n

)D Dy y x f 8888

7

75 8

8


58/69

E$emplo

3esolver DyDx xy∫ ∫

88

78

:7

97

8.

.

.

.

2abla ;.> Espaciamiento de las x y las y

58;.5:

9.7:.7=

−=

−=

m

abh 58;5

:

7888.

..=

−=

−=

n

)D $

x% = a ; %h y% = ; >$

x0 47.9 _ 55.58; 4 7.9 y0 4 8.7 _ 55.58; 4 8.7

x. 47.9 _ 75.58; 4 7.98; y. 4 8.7 _ 75.58; 4 8.78;

x 47.9 _ 85.58; 4 7.9; y 4 8.7 _ 85.58; 4 8.7;

x 47.9 _ 95.58; 4 7.9=; y 4 8.7 _ 95.58; 4 8.7=;

x7 47.9 _ :5.58; 4 7.: y7 4 8.7 _ :5.58; 4 8.8

x7 47.9 _ :5.58; 4 7.: y7 4 8.7 _ :5.58; 4 8.8

H.-ECUACIONES (IERENCIALES

a.-/étodo de Euler El método de Euler rara ve& se utili&a en la práctica para obtener la solución apro'imada deun problema de valor inicial, pero se estudia por su simplicidad en la derivación de la

fórmula y de la determinación del error. os métodos de orden superior utili&an las mismastécnicas, pero el ál!ebra que requieren es mucho más complicada.

Con el método de Euler se obtiene una solución apro'imada de un problema de valor inicialcomo el que se muestra en la ecuación 7, en un con$unto finito de puntos.

7

#ara empe&ar, se determina la malla Rt5, t7, ... , t NS de paso h, donde t5 4 a y t N 4 b. En estos puntos es donde se va a obtener la apro'imación de la solución.

#ara determinar la fórmula del método, se parte de un desarrollo de 2aylor de la funciónsolución yt, alrededor de un punto de la malla, t i, suponiendo que la función yt poseederivadas primera y se!unda continuas en a, b"


59/69

8

Evaluando esta e'presión en t 4 t i_7, para cualquier i, se tiene"

9

#ero como ti_7- ti 4 h, resulta"

:

Como yt satisface la ecuación diferencial, en particular es yt i 4 fti, yi, entoncesreempla&ando en la fórmula : resulta"

;

i se elimina de la fórmula anterior el término del error, se puede escribir"


60/69

Ee*lo

Consideremos el si!uiente problema de valor inicial.

a fórmula de Euler para este problema, tomando N puntos en el intervalo L7, 8M sin contar el punto de partida a 4 7, resulta"

>

Aplicamos el método de Euler para un paso h 4 5,8.

2eniendo en cuenta que h 4 5,8, la cantidad de puntos en el intervalo resulta ser N 4 ;, yentonces la tabla de valores obtenida con la fórmula dada en > resulta"

i t #

5 8 8,5555

7 82 8,:555

8 89 8,J=5J9

: 8G ;,58>8

; 28 9>:

Ahora, aplicamos la fórmula el método de Euler con N 4 85 y N 4 ;5. 3epresentamos!ráficamente los puntos obtenidos, comparándolos con la solución e'acta, dada por lafunción


61/69

e ve en los !ráficos obtenidos, que a medida que nos ale$amos del valor inicial, la soluciónapro'imada pierde precisión se ale$a de la solución e'acta, para el paso h 4 7X85. Cuandose achica el paso, la solución me$ora h 4 7X;5.

A$;lisis !el error

Al deducir la fórmula de Euler para apro'imar la solución de un #G6 tipo 7, al pasar de lae'presión ; a la


62/69

El procedimiento anterior puede aplicarse a todos los métodos estudiados. El orden delerror !lobal resulta siempre uno menos que el orden del error local de truncamiento elerror del cálculo de yi_7 para un solo paso.

En el si!uiente teorema se deriva una cota de error para el método de Euler. Ciertascondiciones necesitan verificarse para la función que interviene en la ecuación diferencial.Al!unas son condiciones para que el #G6 ten!a solución %nica, otras son espec(ficas paraobtener la cota.

)eore*a"ea el con$unto * 4 Rt, y a t b,- y S y ft, y continua en *, tal que satisfaceuna condición de ipschit& en * en la variable y.ea yt la solución %nica del #G6 y 4 ft, y, a t b, ya 4 , y supon!amos que e'isteuna constante / tal que y t / t La,bM.ean 05, 07, [, 0 N las apro'imaciones !eneradas con el método de Euler para N entero positivo. Entonces, para cada i 4 5, 7, [, N, se cumple"

78

Observa"i%$0 Este teorema tiene como punto débil el requisito de conocer una cota de laderivada se!unda de la solución, ya que en !eneral, la solución e'acta no se conoce.Al!unas veces, es posible obtener una cota del error de la derivada se!unda sin conocer e'pl(citamente la función solución. #or e$emplo, si e'isten las derivadas parciales de lafunción ft, y, aplicando la re!la de la cadena, se tiene que"

79

#or lo tanto, si se conocen cotas de f y las derivadas parciales de f, se puede tener una cotade y.

a importancia principal de la fórmula de cota de error del método de Euler dada en 78consiste en que dicha cota depende linealmente del tamao del paso h. Esto implica que, aldisminuir el tamao del paso, las apro'imaciones deberán ser más precisas.#ero en el resultado del teorema anterior, no se tiene en cuenta el efecto que el error deredondeo e$erce sobre el tamao del paso. A medida que h se hace más pequeo, aumenta lacantidad de cálculos, y se puede predecir un mayor error de redondeo. Entonces, para

determinar una cota del error, se debe tener en cuenta el error de redondeo, y se puedeestablecer el si!uiente teorema"

)eore*a"Considere el #G6 y 4 ft, y, a t b, ya 4 , con f continua y tal que satisface unacondición de ipschit& en la variable y con constante , en el con$unto * 4 Rt, y a t b,- y S.ea yt la solución %nica del #G6, y supon!amos que e'iste una constante / tal que y t


63/69

/ t La,bM.ean 05, 07, [, 0 N las apro'imaciones !eneradas con el método de Euler para N entero positivo, donde cada una tiene un error de redondeo asociado i.i i para cada i de 5 a N, entonces, para cada i 4 5, 7, [, N, se cumple"

7:

e ve claramente en la fórmula dada en 7: que cuando el valor de h se hace muy pequeo,la cota del error puede aumentar, ya que h aparece en el denominador de un cociente. acota de error aqu( obtenida, ya no es lineal en h.

i se considera la e'presión Eh 4 h /X8 _ dXh, tenemos que tiende a infinito cuando htiende a cero. Con esto, se ve que cuando h tiende a cero, el error aumenta. #odemosestablecer una cota inferior para h, de manera de evitar este problema. i calculamos laderivada de Eh, tenemos que Eh 4 /X8 - dXh8, por lo tanto, se anula en el valor

. En este valor de h, Eh pasa de ser ne!ativa a positiva, con lo que se puede concluir que en dicho valor Eh presenta un m(nimo.Esto indica que éste es el valor m(nimo que se puede tomar para h. En !eneral, el valor de des lo bastante pequeo como para que esta cota más ba$a no influya en la aplicación delmétodo de Euler

b.- /étodo modificadoEl método de Euler meorado es una modificación del mF"oDo De G@ler para resolver E*+s con onD%%ones %n%%ales. a solución que ofrece este método, es una tabla de la función

solución, con valores de g# correspondientes a valores espec(ficos de g6.

Es por esto que uno de los requisitos para este método es espe%f%ar el %n"eralo De x.

2ambién se requiere de"- @na e@a%?n D%feren%al De pr%mer orDen.

y4 f',y

- a onD%%?n %n%%al ,es decir, el valor de # en un punto conocido 6.

y'5 4 y5


64/69

El método consiste en usar la ecuación de Euler como una ecuación !redictora y usar esteresultado en la ecuación correctora de Euler-1auss.

as ecuaciones del método de Euler "eorado son las si!uientes"

c.- /étodo de run!e uttaos métodos de 2aylor tienen la propiedad de un error local de truncamiento de ordensuperior, pero la desventa$a de requerir el cálculo y la evaluación de las derivadas de ft, y.

Esto resulta al!o lento y complicado, en la mayor(a de los problemas, ra&ón por la cual, enla práctica casi no se utili&an. El método de Euler, lamentablemente requiere de un pasomuy pequeo para una precisión ra&onable.

os métodos de 3un!e utta tienen el error local de truncamiento del mismo orden que losmétodos de 2aylor, pero prescinden del cálculo y evaluación de las derivadas de la funciónft, y.

e presenta de nuevo el problema de valor inicial cuya solución se intenta apro'imar"

7

Como en los métodos anteriores, se determina primero la malla Rt 5, t7, ... , t NS de paso h,donde t5 4 a y t N 4 b. En estos puntos es donde se va a obtener la apro'imación de lasolución.

En esencia, los métodos de 3un!e-^utta son !enerali&aciones de la fórmula básica de Euler yi_7 4 yi _ h fti, yi en los que el valor de la función f se reempla&a por un promedio ponderado de valores de f en el intervalo ti t ti_7, es decir,

8

En esta e'presión las ponderaciones 0 i, i 4 7, ..., m son constantes para las que en !eneralse pide que su suma sea i!ual a 7, es decir, 07 _ 08 _ ... _ 0m 4 7, y cada $ es la función f


65/69

evaluada en un punto seleccionado t, y para el cual t i t ti_7. e mostrará que los $ sedefinen en forma recursiva.

e define como or!e$ !el *Dto!o al n%mero m, es decir, a la cantidad de términos que seusan en el promedio ponderado.

Ru$4e-utta !e ri*er or!e$i m 4 7, entonces se toma 07 4 7 y la fórmula 8 resulta

9

6!ualando esta fórmula al desarrollo de 2aylor de orden 7 de la función yt, alrededor del punto ti, y calculado en el punto ti_7"

:

y teniendo en cuenta que y i yti, resulta 74 fti, y i, obteniendo as( la fórmula de Euler yi_7 4 y i _ h fti, yi. #or lo tanto, se dice también que el método de Euler es un método de3un!e ^utta de primer orden.

Ru$4e-utta !e se4u$!o or!e$

Ahora se plantea, con m 4 8, una fórmula del tipo"

;

donde


66/69

a!rupando los términos de > por las potencias de h, y reempla&ando en la e'presión ; elvalor de 7 y 8, resulta

J

3eacomodando términos en J, resulta"

75

#or otro lado, se hace un desarrollo de 2aylor de orden 9 de la función yt, calculado en el punto ti_7+ o,-e.e.o

77

Aplicando re!la de la cadena para las derivadas de f, se tiene"

78

Comparando las e'presiones 75 y 78, e i!ualando los coeficientes de h y h 8, se tiene"

79

ucede que se tienen cuatro incó!nitas, pero tres ecuaciones, con lo que queda un !rado delibertad en la solución del sistema dado en 79. e trata de usar este !rado de libertad para

hacer que los coeficientes de h9 en las e'presiones 75 y 78 coincidan. Esto obviamenteno se lo!ra para cualquier f.

Tay muchas soluciones para el sistema 79, una de ellas es


67/69

7:

obteniendo as( la si!uiente fórmula, del método de 3un!e ^utta de orden 8"

7;

para i desde 5 hasta N-7, tomando un mallado Rt i, i 4 5, .., NS

Este método tiene un error local de +h9, y !lobal de +h8.

/e$ora entonces el método de Euler, por lo que se espera poder usar con este método un paso mayor. El precio que debe pa!arse en este caso, es el de evaluar dos veces la funciónen cada iteración.

*e la misma manera que se reali&ó arriba, se pueden derivar fórmulas de 3un!e-^utta decualquier orden, pero estas deducciones resultan e'cesivamente complicadas. @na de lasmás populares, y más utili&ada por su alta precisión, es la de orden :, que se presenta acontinuación.

Ru$4e-utta !e "uarto or!e$

i ahora m 4 :, se obtiene, con un desarrollo del tipo del anterior, la si!uiente fórmula, para

i desde 5 hasta N-7"

7


68/69

complicada. 2iene la venta$a, sobre el método de 2aylor de orden : cuyo error !lobal estambién +h:, que no requiere el cálculo de las derivadas de f.

Ee*lo

Con el método 3^:, obtener una apro'imación del valor de y7,; para el si!uiente

problema de valor inicial, tomando un paso h 4 5,7.

El primer paso para resolver este problema es determinar la malla de puntos en donde se vaa obtener la solución.

Como en este caso h está dado, se tiene que N 4 7,; - 7X5,7 4 ;.

#or lo tanto, los puntos en donde se va a determinar la solución, dados por la fórmula ti 4 7_ 5,7 i, para i 47,8,9,:,;, son"

t7 4 7,7t8 4 7,8t9 4 7,9t: 4 7,:t; 4 7,;

@na ve& establecida la malla del problema, tenemos, para i 4 5"

3esulta entonces,

y aplicando sucesivamente la fórmula de 3^:, para i desde 7 hasta :, se obtienen los datosque se muestran en la si!uiente tabla, donde además se muestra el valor de la solucióne'acta para cada punto de la malla.


69/69

Al anali&ar la tabla anterior y comparar los resultados obtenidos con el método 3^: con losvalores reales, se ve por qué es tan difundido este método. En la pró'ima tabla se comparanlos métodos de Euler y 3un!e ^utta de orden : para el mismo problema.

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