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C o n n e x i o n s m o d u l e : m 4 2 1 0 4 1

K i n e m a t i c s i n T w o D i m e n s i o n s : A n

I n t r o d u c t i o n

O p e n S t a x C o l l e g e

T h i s w o r k i s p r o d u c e d b y T h e C o n n e x i o n s P r o j e c t a n d l i c e n s e d u n d e r t h e

C r e a t i v e C o m m o n s A t t r i b u t i o n L i c e n s e

A b s t r a c t

O b s e r v e t h a t m o t i o n i n t w o d i m e n s i o n s c o n s i s t s o f h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l c o m p o n e n t s .

U n d e r s t a n d t h e i n d e p e n d e n c e o f h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l v e c t o r s i n t w o - d i m e n s i o n a l m o t i o n .

F i g u r e 1 : W a l k e r s a n d d r i v e r s i n a c i t y l i k e N e w Y o r k a r e r a r e l y a b l e t o t r a v e l i n s t r a i g h t l i n e s t o r e a c h

t h e i r d e s t i n a t i o n s . I n s t e a d , t h e y m u s t f o l l o w r o a d s a n d s i d e w a l k s , m a k i n g t w o - d i m e n s i o n a l , z i g z a g g e d

p a t h s . ( c r e d i t : M a r g a r e t W . C a r r u t h e r s )

V e r s i o n 1 . 4 : J u n 1 3 , 2 0 1 2 1 : 1 0 p m - 0 5 0 0

h t t p : / / c r e a t i v e c o m m o n s . o r g / l i c e n s e s / b y / 3 . 0 /

h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 4 2 1 0 4 / 1 . 4 /

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1 T w o - D i m e n s i o n a l M o t i o n : W a l k i n g i n a C i t y

S u p p o s e y o u w a n t t o w a l k f r o m o n e p o i n t t o a n o t h e r i n a c i t y w i t h u n i f o r m s q u a r e b l o c k s , a s p i c t u r e d i n

F i g u r e 2 .

F i g u r e 2 : A p e d e s t r i a n w a l k s a t w o - d i m e n s i o n a l p a t h b e t w e e n t w o p o i n t s i n a c i t y . I n t h i s s c e n e , a l l

b l o c k s a r e s q u a r e a n d a r e t h e s a m e s i z e .

T h e s t r a i g h t - l i n e p a t h t h a t a h e l i c o p t e r m i g h t y i s b l o c k e d t o y o u a s a p e d e s t r i a n , a n d s o y o u a r e f o r c e d

t o t a k e a t w o - d i m e n s i o n a l p a t h , s u c h a s t h e o n e s h o w n . Y o u w a l k 1 4 b l o c k s i n a l l , 9 e a s t f o l l o w e d b y 5 n o r t h .

W h a t i s t h e s t r a i g h t - l i n e d i s t a n c e ?

A n o l d a d a g e s t a t e s t h a t t h e s h o r t e s t d i s t a n c e b e t w e e n t w o p o i n t s i s a s t r a i g h t l i n e . T h e t w o l e g s o f t h e

t r i p a n d t h e s t r a i g h t - l i n e p a t h f o r m a r i g h t t r i a n g l e , a n d s o t h e P y t h a g o r e a n t h e o r e m , a2

+ b2

= c2

, c a n b e

u s e d t o n d t h e s t r a i g h t - l i n e d i s t a n c e .

F i g u r e 3 : T h e P y t h a g o r e a n t h e o r e m r e l a t e s t h e l e n g t h o f t h e l e g s o f a r i g h t t r i a n g l e , l a b e l e d

aa n d

b,

w i t h t h e h y p o t e n u s e , l a b e l e d

c. T h e r e l a t i o n s h i p i s g i v e n b y :

a2

+

b2

=

c2

. T h i s c a n b e r e w r i t t e n , s o l v i n g

f o r

c:

c=

a2

+

b2.


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T h e h y p o t e n u s e o f t h e t r i a n g l e i s t h e s t r a i g h t - l i n e p a t h , a n d s o i n t h i s c a s e i t s l e n g t h i n u n i t s o f c i t y b l o c k s

i s

( 9 b l o c k s )

2

+ ( 5 b l o c k s )2

= 1 0 . 3 b l o c k s , c o n s i d e r a b l y s h o r t e r t h a n t h e 1 4 b l o c k s y o u w a l k e d . ( N o t e t h a t

w e a r e u s i n g t h r e e s i g n i c a n t g u r e s i n t h e a n s w e r . A l t h o u g h i t a p p e a r s t h a t 9 a n d 5 h a v e o n l y o n e

s i g n i c a n t d i g i t , t h e y a r e d i s c r e t e n u m b e r s . I n t h i s c a s e 9 b l o c k s i s t h e s a m e a s 9 . 0 o r 9 . 0 0 b l o c k s . W e

h a v e d e c i d e d t o u s e t h r e e s i g n i c a n t g u r e s i n t h e a n s w e r i n o r d e r t o s h o w t h e r e s u l t m o r e p r e c i s e l y . )

F i g u r e 4 : T h e s t r a i g h t - l i n e p a t h f o l l o w e d b y a h e l i c o p t e r b e t w e e n t h e t w o p o i n t s i s s h o r t e r t h a n t h e 1 4

b l o c k s w a l k e d b y t h e p e d e s t r i a n . A l l b l o c k s a r e s q u a r e a n d t h e s a m e s i z e .

T h e f a c t t h a t t h e s t r a i g h t - l i n e d i s t a n c e ( 1 0 . 3 b l o c k s ) i n F i g u r e 4 i s l e s s t h a n t h e t o t a l d i s t a n c e w a l k e d

( 1 4 b l o c k s ) i s o n e e x a m p l e o f a g e n e r a l c h a r a c t e r i s t i c o f v e c t o r s . ( R e c a l l t h a t v e c t o r s a r e q u a n t i t i e s t h a t

h a v e b o t h m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n . )

A s f o r o n e - d i m e n s i o n a l k i n e m a t i c s , w e u s e a r r o w s t o r e p r e s e n t v e c t o r s . T h e l e n g t h o f t h e a r r o w i s

p r o p o r t i o n a l t o t h e v e c t o r ' s m a g n i t u d e . T h e a r r o w ' s l e n g t h i s i n d i c a t e d b y h a s h m a r k s i n F i g u r e 2 a n d

F i g u r e 4 . T h e a r r o w p o i n t s i n t h e s a m e d i r e c t i o n a s t h e v e c t o r . F o r t w o - d i m e n s i o n a l m o t i o n , t h e p a t h o f a n

o b j e c t c a n b e r e p r e s e n t e d w i t h t h r e e v e c t o r s : o n e v e c t o r s h o w s t h e s t r a i g h t - l i n e p a t h b e t w e e n t h e i n i t i a l a n d

n a l p o i n t s o f t h e m o t i o n , o n e v e c t o r s h o w s t h e h o r i z o n t a l c o m p o n e n t o f t h e m o t i o n , a n d o n e v e c t o r s h o w s

t h e v e r t i c a l c o m p o n e n t o f t h e m o t i o n . T h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l c o m p o n e n t s o f t h e m o t i o n a d d t o g e t h e r

t o g i v e t h e s t r a i g h t - l i n e p a t h . F o r e x a m p l e , o b s e r v e t h e t h r e e v e c t o r s i n F i g u r e 4 . T h e r s t r e p r e s e n t s a

9 - b l o c k d i s p l a c e m e n t e a s t . T h e s e c o n d r e p r e s e n t s a 5 - b l o c k d i s p l a c e m e n t n o r t h . T h e s e v e c t o r s a r e a d d e d

t o g i v e t h e t h i r d v e c t o r , w i t h a 1 0 . 3 - b l o c k t o t a l d i s p l a c e m e n t . T h e t h i r d v e c t o r i s t h e s t r a i g h t - l i n e p a t h

b e t w e e n t h e t w o p o i n t s . N o t e t h a t i n t h i s e x a m p l e , t h e v e c t o r s t h a t w e a r e a d d i n g a r e p e r p e n d i c u l a r t o e a c h

o t h e r a n d t h u s f o r m a r i g h t t r i a n g l e . T h i s m e a n s t h a t w e c a n u s e t h e P y t h a g o r e a n t h e o r e m t o c a l c u l a t e t h e

m a g n i t u d e o f t h e t o t a l d i s p l a c e m e n t . ( N o t e t h a t w e c a n n o t u s e t h e P y t h a g o r e a n t h e o r e m t o a d d v e c t o r s

t h a t a r e n o t p e r p e n d i c u l a r . W e w i l l d e v e l o p t e c h n i q u e s f o r a d d i n g v e c t o r s h a v i n g a n y d i r e c t i o n , n o t j u s t

t h o s e p e r p e n d i c u l a r t o o n e a n o t h e r , i n V e c t o r A d d i t i o n a n d S u b t r a c t i o n : G r a p h i c a l M e t h o d s

1

a n d V e c t o r

A d d i t i o n a n d S u b t r a c t i o n : A n a l y t i c a l M e t h o d s

2

. )

1

" V e c t o r A d d i t i o n a n d S u b t r a c t i o n : G r a p h i c a l M e t h o d s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 4 2 1 2 7 / l a t e s t / >

2

" V e c t o r A d d i t i o n a n d S u b t r a c t i o n : A n a l y t i c a l M e t h o d s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 4 2 1 2 8 / l a t e s t / >


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2 T h e I n d e p e n d e n c e o f P e r p e n d i c u l a r M o t i o n s

T h e p e r s o n t a k i n g t h e p a t h s h o w n i n F i g u r e 4 w a l k s e a s t a n d t h e n n o r t h ( t w o p e r p e n d i c u l a r d i r e c t i o n s ) .

H o w f a r h e o r s h e w a l k s e a s t i s o n l y a e c t e d b y h i s o r h e r m o t i o n e a s t w a r d . S i m i l a r l y , h o w f a r h e o r s h e

w a l k s n o r t h i s o n l y a e c t e d b y h i s o r h e r m o t i o n n o r t h w a r d .

: T h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l c o m p o n e n t s o f t w o - d i m e n s i o n a l m o t i o n a r e i n d e p e n d e n t o f e a c h

o t h e r . A n y m o t i o n i n t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n d o e s n o t a e c t m o t i o n i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n , a n d

v i c e v e r s a .

T h i s i s t r u e i n a s i m p l e s c e n a r i o l i k e t h a t o f w a l k i n g i n o n e d i r e c t i o n r s t , f o l l o w e d b y a n o t h e r . I t i s a l s o

t r u e o f m o r e c o m p l i c a t e d m o t i o n i n v o l v i n g m o v e m e n t i n t w o d i r e c t i o n s a t o n c e . F o r e x a m p l e , l e t ' s c o m p a r e

t h e m o t i o n s o f t w o b a s e b a l l s . O n e b a s e b a l l i s d r o p p e d f r o m r e s t . A t t h e s a m e i n s t a n t , a n o t h e r i s t h r o w n

h o r i z o n t a l l y f r o m t h e s a m e h e i g h t a n d f o l l o w s a c u r v e d p a t h . A s t r o b o s c o p e h a s c a p t u r e d t h e p o s i t i o n s o f

t h e b a l l s a t x e d t i m e i n t e r v a l s a s t h e y f a l l .

F i g u r e 5 : T h i s s h o w s t h e m o t i o n s o f t w o i d e n t i c a l b a l l s o n e f a l l s f r o m r e s t , t h e o t h e r h a s a n i n i t i a l

h o r i z o n t a l v e l o c i t y . E a c h s u b s e q u e n t p o s i t i o n i s a n e q u a l t i m e i n t e r v a l . A r r o w s r e p r e s e n t h o r i z o n t a l a n d

v e r t i c a l v e l o c i t i e s a t e a c h p o s i t i o n . T h e b a l l o n t h e r i g h t h a s a n i n i t i a l h o r i z o n t a l v e l o c i t y , w h i l e t h e

b a l l o n t h e l e f t h a s n o h o r i z o n t a l v e l o c i t y . D e s p i t e t h e d i e r e n c e i n h o r i z o n t a l v e l o c i t i e s , t h e v e r t i c a l

v e l o c i t i e s a n d p o s i t i o n s a r e i d e n t i c a l f o r b o t h b a l l s . T h i s s h o w s t h a t t h e v e r t i c a l a n d h o r i z o n t a l m o t i o n s

a r e i n d e p e n d e n t .

I t i s r e m a r k a b l e t h a t f o r e a c h a s h o f t h e s t r o b e , t h e v e r t i c a l p o s i t i o n s o f t h e t w o b a l l s a r e t h e s a m e . T h i s

s i m i l a r i t y i m p l i e s t h a t t h e v e r t i c a l m o t i o n i s i n d e p e n d e n t o f w h e t h e r o r n o t t h e b a l l i s m o v i n g h o r i z o n t a l l y .

( A s s u m i n g n o a i r r e s i s t a n c e , t h e v e r t i c a l m o t i o n o f a f a l l i n g o b j e c t i s i n u e n c e d b y g r a v i t y o n l y , a n d n o t b y

a n y h o r i z o n t a l f o r c e s . ) C a r e f u l e x a m i n a t i o n o f t h e b a l l t h r o w n h o r i z o n t a l l y s h o w s t h a t i t t r a v e l s t h e s a m e

h o r i z o n t a l d i s t a n c e b e t w e e n a s h e s . T h i s i s d u e t o t h e f a c t t h a t t h e r e a r e n o a d d i t i o n a l f o r c e s o n t h e b a l l i n

t h e h o r i z o n t a l d i r e c t i o n a f t e r i t i s t h r o w n . T h i s r e s u l t m e a n s t h a t t h e h o r i z o n t a l v e l o c i t y i s c o n s t a n t , a n d


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a e c t e d n e i t h e r b y v e r t i c a l m o t i o n n o r b y g r a v i t y ( w h i c h i s v e r t i c a l ) . N o t e t h a t t h i s c a s e i s t r u e o n l y f o r

i d e a l c o n d i t i o n s . I n t h e r e a l w o r l d , a i r r e s i s t a n c e w i l l a e c t t h e s p e e d o f t h e b a l l s i n b o t h d i r e c t i o n s .

T h e t w o - d i m e n s i o n a l c u r v e d p a t h o f t h e h o r i z o n t a l l y t h r o w n b a l l i s c o m p o s e d o f t w o i n d e p e n d e n t o n e -

d i m e n s i o n a l m o t i o n s ( h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l ) . T h e k e y t o a n a l y z i n g s u c h m o t i o n , c a l l e d p r o j e c t i l e m o t i o n ,

i s t o r e s o l v e ( b r e a k ) i t i n t o m o t i o n s a l o n g p e r p e n d i c u l a r d i r e c t i o n s . R e s o l v i n g t w o - d i m e n s i o n a l m o t i o n i n t o

p e r p e n d i c u l a r c o m p o n e n t s i s p o s s i b l e b e c a u s e t h e c o m p o n e n t s a r e i n d e p e n d e n t . W e s h a l l s e e h o w t o r e s o l v e

v e c t o r s i n V e c t o r A d d i t i o n a n d S u b t r a c t i o n : G r a p h i c a l M e t h o d s

3

a n d V e c t o r A d d i t i o n a n d S u b t r a c t i o n :

A n a l y t i c a l M e t h o d s

4

. W e w i l l n d s u c h t e c h n i q u e s t o b e u s e f u l i n m a n y a r e a s o f p h y s i c s .

: L e a r n a b o u t p o s i t i o n , v e l o c i t y a n d a c c e l e r a t i o n v e c t o r s . M o v e t h e l a d y b u g b y s e t t i n g t h e p o s i t i o n ,

v e l o c i t y o r a c c e l e r a t i o n , a n d s e e h o w t h e v e c t o r s c h a n g e . C h o o s e l i n e a r , c i r c u l a r o r e l l i p t i c a l m o t i o n ,

a n d r e c o r d a n d p l a y b a c k t h e m o t i o n t o a n a l y z e t h e b e h a v i o r .

F i g u r e 6 : L a d y b u g M o t i o n 2 D

5

3 S u m m a r y

T h e s h o r t e s t p a t h b e t w e e n a n y t w o p o i n t s i s a s t r a i g h t l i n e . I n t w o d i m e n s i o n s , t h i s p a t h c a n b e

r e p r e s e n t e d b y a v e c t o r w i t h h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l c o m p o n e n t s .

T h e h o r i z o n t a l a n d v e r t i c a l c o m p o n e n t s o f a v e c t o r a r e i n d e p e n d e n t o f o n e a n o t h e r . M o t i o n i n t h e

h o r i z o n t a l d i r e c t i o n d o e s n o t a e c t m o t i o n i n t h e v e r t i c a l d i r e c t i o n , a n d v i c e v e r s a .

G l o s s a r y

D e n i t i o n 1 : v e c t o r

a q u a n t i t y t h a t h a s b o t h m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n ; a n a r r o w u s e d t o r e p r e s e n t q u a n t i t i e s w i t h b o t h

m a g n i t u d e a n d d i r e c t i o n

3

" V e c t o r A d d i t i o n a n d S u b t r a c t i o n : G r a p h i c a l M e t h o d s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 4 2 1 2 7 / l a t e s t / >

4

" V e c t o r A d d i t i o n a n d S u b t r a c t i o n : A n a l y t i c a l M e t h o d s " < h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 4 2 1 2 8 / l a t e s t / >

5

h t t p : / / c n x . o r g / c o n t e n t / m 4 2 1 0 4 / l a t e s t / l a d y b u g - m o t i o n - 2 d _ e n . j a r


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