Université de Nantes

Département de MathématiquesMâıtrise de Mathématiques

M1

Analyse FonctionnelleUne introduction au cours

Année 2000-2001

A. Morame et X. P. Wang

E.Mail : morame@math.univ-nantes.fr et wang@math.univ-nantes.fr

Résumé

Ce manuel n’est pas le polycopié du cours d’Analyse Fonctionnelle de M1.

Il a pour but de rappeler les notions essentielles vues en D.E.U.G. et en Licence de

Mathématiques qui interviennent couramment dans le cours de Mâıtrise d’Analyse

Fonctionnelle et dans les Exercices du même cours.

Les parties de ce cours qui ont un lien immédiat avec ces rappels seront juste

évoqués, quand leur définition ne nécessite que ce qui a été déjà acquis en Licence.

Les démonstrations des résultats vues par tous les étudiants issus de la Licence

1999/2000 de Nantes, où qui seront sûrement vues dans le cours de M1 cette année,

ne seront pas dévéloppées.

Seules les démonstrations des cours optionnels de la Licence de Mathématiques

de Nantes seront esquissées.

Le manuel de référence du Cours de M1 est le livre de H. Brezis [3] et [4], on

peut consulter aussi celui de W. Rudin [9] dont le niveau est entre la Licence et la

Mâıtrise et qui est moins complet pour le cours de M1.

Table des matières

1 Les Préliminaires indispensables 3

1.1 De la Topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Quelques propriétés des espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3 Les espaces vectoriels de dimension finie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2 Quelques bonnes surprises et “gags” 18

2.1 Sur la continuité des applications linéaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.2 Sur les formes linéaires et la dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3 Les fonctions continues sur un compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Résultats des cours optionnels de la Licence 22

3.1 Quelques rappels sur l’intégrale de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2 Série de Fourier “à la mode Mâıtrise” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3 Transformation de Fourier : un aperçu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4 Fonctions holomorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.5 Les polynômes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Plan du cours de M1 1999/2000 40

2

1 Les Préliminaires indispensables

1.1 De la Topologie

Nous rappelons que le manuel de référence de la topologie générale est le livre de G.

Choquet [6], (ou J. Dixmier [7]), on peut aussi consulter les ouvrages du niveau d’Analyse

Fonctionnelle du niveau de la Licence de Math. [10], [12] et [11].

Définition 1.1 Si E est un ensemble, une topologie sur E est la donnée d’un ensemble

O(E) de parties de E, (c’est-à-dire dont les éléments sont des sous-ensembles de E), cesparties de E, éléments de O(E), sont appelées les ouverts de E et doivent satisfaire auxtrois propriétés suivantes :

i) Toute union (finie ou non) d’ouverts est un ouvert

ii) Toute intersection finie d’ouverts est un ouvert

iii) E et l’ensemble vide ∅ sont des ouvertsDans ce cas, le couple (E,O(E)) est appelé espace topologique.

Si (E,O(E)) est un espace topologique, une partie A de E, A ⊂ E, est dite unfermé de E si et seulement si son complémentaire dans E, E \ A est un ouvert.

Des égalités bien connues

E \⋃

i∈IAi =

⋂

i∈I(E \ Ai) et E \

⋂

i∈IAi =

⋃

i∈I(E \ Ai),

on déduit des propriétés des ouverts celles ci-dessous des fermés :

a) Toute union finie de fermés est un fermé

b) Toute intersection (finie ou non) de fermés est un fermé

c) E et l’ensemble vide ∅ sont des fermés

Si (E,O(E)) est un espace topologique et x un point de E, x ∈ E, un voisinage dex est un ouvert contenant x; une base de voisinage de x est un sous-ensemble B deO(E) tel que pour tout voisinage Vx de x il existe B ∈ B inclus dans Vx : B ⊂ Vx.

Si A est une partie de E, A ⊂ E, la fermeture de A est le plus petit fermé contenantA, il est noté A et il est donné par

A =⋂

F∈F(E), A⊂FF

si F(E) désigne l’ensemble de tous les fermés de E.L’intérieur de A, noté Ȧ, est le plus grand ouvert contenu dans A, il est donné par

Ȧ =⋃

O∈O(E), O⊂AO

Une partie A de E est dite dense dans E si et seulement si A = E.

3

Définition 1.2 Si (E,O(E)) et (H,O(H)) sont deux espaces topologiques et f : E 7→ Hune application de E dans H, on dit que f est continue au point e ∈ E si et seulementsi, pour tout voisinage Wf(e) de f(e) il existe un voisinage Ve de e tel que f(Ve) ⊂ Wf(e).

Si f est continue en tout point de E on dit seulement que f est une application

continue de E dans H.

Le théorème de caractérisation des applications continues est le suivant.

Théorème 1.3 Soit (E,O(E)), (H,O(H)) deux espaces topologiques et f : E 7→ Hune application de E dans H.

Alors f est continue si et seulement si l’une des deux propriétés suivantes est satis-

faite :

i) Pour tout ouvert O de H, O ∈ O(H), f−1(O)est un ouvert de E, f−1(O) ∈ O(E).

ii) Pour tout fermé F de H, f−1(F ) est un fermé de E.

Nous rappelons que si f : E 7→ H est une application et si A ⊂ E et B ⊂ H, alorsf(A) = {y ∈ H ; ∃a ∈ A t.q. f(a) = y} = {f(a); a ∈ A}

est l’image de A par f et

f−1(B) = {x ∈ E t.q. f(x) ∈ B} est l’image inverse de B par f.Si (E,O(E)) est un espace topologique et si A ⊂ E est une partie de E, si on définit

O(A) par O(A) = {A ∩ O; O ∈ O(E)}, alors (A,O(A)) est un espace topologique, ondit que la topologie ainsi définie sur A est celle induite par E.

Tout ouvert de A n’est pas forcément un ouvert de E, sauf si A est un ouvert de E.

De même tout fermé de A n’est pas forcément un fermé de E, sauf si A est un fermé

de E.

Dorénavant on dira que E est un espace topologique, à la place de (E,O(E)) est unespace topologique.

Définition 1.4 Deux espaces topologiques E et H sont dits homéomorphes s’il existe

une bijection entre E et H qui soit continue ainsi que son inverse. Si f : E 7→ H estune telle bijection, alors

i) Pour tout A ⊂ E, f(A) est un ouvert de H si et seulement si A est un ouvertde E

ii) Pour tout A ⊂ E, f(A) est un fermé de H si et seulement si A est un ferméde E

Rappelons qu’un espace topologique E est dit séparé si et seulement si, pour tout

couple d’éléments distincts de (a, b) de E

il existe un voisinage Va de a et un Vb de b t.q. Va ∩ Vb = ∅.Une suite d’éléments de E est une application s : N 7→ E que l’on note par son

image (en) = (en)n∈N, si s(n) = en, ∀ n ∈ N.

4

Une sous-suite de (en) est une suite s ◦ p : N 7→ E où p : N 7→ N est uneapplication strictement croissante, la sous-suite se note alors (ep(j)) = (ep(j))j∈N.

Une suite (en) d’un espace topologique E est dite convergente de limite e, (e ∈ E),si pour tout voisinage Ve de e, il existe M ∈ N tel que ∀n > M, en ∈ Ve.

Si de plus E est séparé, la limite , (si elle existe), est forcément unique.

Définition 1.5 Un espace topologique E est dit compact s’il est séparé et si pour tout

recouvrement de E, E =⋃

i∈IOi par une famille {Oi; i ∈ I} ouverts de E, on peut en

extraire un recouvrement fini : E =⋃

i∈JOi où J est un sous-ensemble fini de I.

Théorème 1.6 “de Bolzano-Weierstrass”

Soit K un espace topologique séparé.

Si K est compact, alors toute suite de K admet une sous-suite convergente.

Si K est un espace métrique tel que toute suite de K admet une sous-suite conver-

gente, alors K est compact.

Une partie A d’un espace topologique E, A ⊂ E est dit compacte, si A muni de latopologie induite de E est un espace topologique compact.

On a les caractérisations suivantes des compacts.

Proposition 1.7 Une partie A d’un espace topologique séparé E est compact si pour

tout recouvrement de A, A ⊂⋃

i∈IOi par une famille {Oi; i ∈ I} d’ouverts de E, on

peut en extraire un recouvrement fini : A ⊂⋃

i∈JOi où J est un sous-ensemble fini de I.

Proposition 1.8 Si E est un espace topologique séparé et si A ⊂ E est un compact,alors A est forcément un fermé de E.

De plus, tout fermé inclus dans A est aussi compact.

Un dernier résultat sur les compacts à savoir est

Théorème 1.9 Soit f : E 7→ H est une application continue. Si H est séparé et siA ⊂ E est un compact de E, alors f(A) est un compact de H.

Les espaces topologiques les plus courants sont des espaces métriques dont nous rap-

pelons la définition.

Définition 1.10 Soit E un ensemble. Une distance sur E est une application d : E ×E 7→ R+ satisfaisant aux trois propriétés suivantes :

i) {d(x, y) = 0} ⇔ {x = y} (séparabilité)ii) d(x, y) = d(y, x) (symétrie)

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iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (inégalité triangulaire)Dans ce cas le couple (E, d) est appelé espace métrique, d(x, y) est appelé distance

entre x et y.

Pour tout a ∈ E et pour tout r > 0, B(a, r) = {x ∈ E; d(a, x) < r} est appeléboule ouverte de rayon r et de centre a, et B(a, r] = {x ∈ E; d(a, x) ≤ r} est appeléboule fermée de rayon r et de centre a

On définit alors les ouverts d’un epace métrique (E, d) par :

O ⊂ E est un ouvert si et seulement si pour tout point a ∈ O, il existe ra > 0 telque B(a, ra) ⊂ O.

Le postulat i) de la Définition (1.10) implique que La topologie ainsi définie d’un

espace métrique est forcément séparée.

On vérifie alors facilement que, si a ∈ E et r > 0alors B(a, r) ⊂ B(a, r].Il est immédiat que toute partie A d’un espace métrique E, A ⊂ E, est aussi un

espace métrique, la topologie associée est celle induite de E.

Il est clair aussi que R et C sont des espaces métriques, si la distance est donnée par

d(a, b) = |a − b|. (Nous verrons qu’il en sera de même, pour tout espace vectoriel normésur R ou sur C).

On a aussi la nouvelle façon de caractériser la convergence d’une suite (an), d’un

espace métrique E, vers a par :

{ limn 7→∞

an = a } ⇐⇒ {∀ ǫ > 0, ∃ Nǫ ∈ N t.q., n > Nǫ ⇒ d(a, an) < ǫ}

ce qui donne la nouvelle caractérisation de la continuité sur un espace métrique :

Proposition 1.11 Soit f : E 7→ H une application entre un espace métrique E et unespace topologique H.

Alors f est continue en un point a ∈ E, si et seulement si pour toute suite de pointsde E, (an) qui converge vers a, on a la suite de H (f(an)) qui converge vers f(a).

Rappelons sa démonstration. On démontre d’abord que si f est un application entre deux

espaces topologiques E et H et si f est continue au point a, alors toute suite de points

de E, (an) qui converge vers a, la suite de H (f(an)) converge aussi vers f(a).

Soit (an) est suite de E qui converge vers a, alors si Vf(a) est un voisinage de f(a), lacontinuité de f au point a entrâıne l’existence d’un voisinage Oa de a tel que f(Oa) ⊂ Vf(a).Comme (an) converge vers a, il existe N tel que ∀n > N, an ∈ Oa, ce qui donne, comptetenu de l’inclusion précédente, que ∀n > N, f(an) ∈ Vf(a). La suite (f(an)) convergedonc vers f(a).

Pour la réciproque, l’hypothèse E espace métrique est nécessaire. Soit f : E 7→ Hune application entre un espace métrique E et un espace topologique H. Soit a ∈ E telque pour toute suite (an) de E qui converge vers a, la suite (f(an)) converge vers f(a).

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Montrons par l’absurde que f est continue au point a.

Soit Vf(a) tel que f−1(Vf(a)) ne soit pas un voisinage de a, ce qui signifie, vu que E estun espace métrique, qu’aucune boule ouverte de centre a n’est incluse dans f−1(Vf(a)).

Pour tout entier n > 0, il existe alors an ∈ B(a, 1n) tel que f(an) /∈ Vf(a). La suite (an)converge vers a sans que la suite (f(an)) converge vers f(a), ce qui contredit l’hypothèse

de départ •De la caractérisation de la continuité donnée dans la Proposition (1.11), on voit tout

de suite que, dans un espace métrique E, pour tout a ∈ E la fonctionda : E 7→ R+, da(x) = d(a, x), est continue, et même uniformément continue,(les inégalités triangulaires d(a, x) ≤ d(a, y) + d(y, x) = d(a, y) + d(x, y) et d(a, y) ≤d(a, x) + d(x, y) donnent celle |d(a, x) − d(a, y)| ≤ d(x, y) ).

Définition 1.12 Soient (E, dE) et (H, dH) deux espaces métriques et f : E 7→ H uneapplication de E dans H.

On dit que f est uniformément continue si et seulement si on a

∀ ǫ > 0, ∃ ηǫ > 0 t.q. ∀ (x, y) ∈ E2, dE(x, y) < ηǫ ⇒ dH(f(x), f(y)) < ǫ.

Cette définition est à différencier de la suivante

Définition 1.13 Soit (fn) une suite d’applications d’un ensemble E vers un espace

métrique (H, dH).

Si f est une application de E vers H ; on dit que la suite (fn) converge uni-

formément vers f si et seulement si

∀ ǫ > 0, ∃ Nǫ t.q. ∀ x ∈ E, ∀ n > Nǫ dH(fn(x), f(x)) < ǫ

De cette dernière définition on a le théorème bien connu

Théorème 1.14 Soit (fn) une suite d’applications continues d’un espace topologique E

vers un espace métrique (H, dH), qui converge uniformement vers f.

Alors f est aussi continue.

Rappelons la preuve Soit a ∈ E et soit Vf(a) un voisinage de f(a), il contient alorsune boule ouverte B(f(a), r), (r > 0). La convergence uniforme entrâıne l’existence d’un

entier n0 tel dH(fn0(x), f(x)) < r/3, ∀x ∈ E. Mais fn0 est continue au point a, il existealors un voisinage de a, Oa tel que fn0(x) ∈ B(fn0(a), r/3), ∀x ∈ Oa.

Si x ∈ Oa, on a alorsdH(f(x), f(a)) < dH(f(x), fn0(x)) + dH(fn0(x), fn0(a)) + dH(fn0(a), f(a)) ≤ r/3 +

r/3 + r/3 = r,

on a bien f(Oa) ⊂ B(f(a), r) ⊂ Vf(a) •

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On a une nouvelle façon de caractériser la fermeture A d’une partie A d’un espace

métrique E par : A est constitué des points a ∈ E tels qu’il existe une suite (an) de Aqui converge vers a.

On a aussi la nouvelle caractérisation des espaces métriques compacts :

Théorème 1.15 Soit E un espace métrique et A une partie de E.

Alors A est compact si et seulement si, pour toute suite (an) de A, on peut extraire

une sous-suite qui converge dans A.

et un autre théorème important

Théorème 1.16 Soient E et H deux espaces métriques et f : E 7→ H une applicationcontinue de E dans H.

Si E est compact, alors f est uniformément continue.

Voici une définition importante pour le cours de M1.

Définition 1.17 Soit E un espace métrique.

Une suite (xn) de E est dite une suite de Cauchy si et seulement si on a

∀ ǫ > 0, ∃ Nǫ > 0 t.q. n > Nǫ et m > Nǫ ⇒ d(xn, xm) < ǫ.

E est dit complet si et seulement si toute suite de Cauchy de E admet une limite.

Des définitions précédentes, on voit facilement qu’un espace métrique compact est

toujours complet.

Rappelons enfin la notion de limite-sup et celle de limite-inf.

Soit (an) est une suite de nombres réels.

La limite-inf de (an) existe toujours mais peut être égale à −∞, si (an) n’est pasminorée, et à +∞, si lim

nan = +∞. C’est la limite de la suite croissante (bn), où

bn = inf{ak; k ≥ n}, (si la suite (an) n’est pas minorée, alors ∀n, bn = −∞ ). Lalimite-inf est notée limInf an ou lim inf

n 7→∞an :

limInf an = lim infn 7→∞

an = limn 7→∞

(infk≥n

ak).

La limite-sup de (an) existe toujours mais peut être égale à +∞, si (an) n’est pasmajorée, et à −∞, si lim

nan = −∞. C’est la limite de la suite décroissante (cn), où

cn = Sup{ak; k ≥ n}, ( si la suite (an) n’est pas majorée, alors ∀n, cn = +∞). Lalimite-sup est notée limSup an ou lim sup

n 7→∞an :

limSup an = lim supn 7→∞

an = limn 7→∞

(supk≥n

ak).

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1.2 Quelques propriétés des espaces vectoriels

Nous considérerons que des espaces vectoriels sur un corps K qui sera R ou C.

Soit (E, +, .) un espace vectoriel sur un corps K. Une norme sur E est une fonction

positive sur E, N : E 7→ R+ satisfaisanti) N(x + y) ≤ N(x) + N(y), ∀ x, y ∈ E, (inégalité triangulaire)ii) N(λ.x) = |λ|N(x), ∀ (λ, x) ∈ K × E, (homogénéité)iii) N(x) = 0 ⇔ x = −→0 (non dégénérescence)Si la fonction positive N vérifie seulement i) et ii), on dit que c’est une semi-norme,

et dans ce cas N = N−1({0}) est un sous-espace vectoriel de E.Une norme sur un espace vectoriel (E, +, .) sera notée le plus souvent ‖ . ‖ et on dira

simplement que (E, ‖ . ‖) est un espace vectoriel normé. Le point . de la multiplicationexterne de E par les scalaires de K sera omis et on omettra aussi, si ça ne porte pas à

confusion, la flèche sur l’élément de neutre de E : 0 =−→0 .

Si (E, ‖ . ‖) est un espace vectoriel normé, alors c’est aussi un espace métrique, ladistance est définie par d(x, y) = ‖x − y‖, ∀ (x, y) ∈ E2.

La boule ouverte de centre a ∈ E et de rayon r > 0 est alors définie par B(a, r) ={x ∈ E; ‖x − a‖ < r}et la boule associée fermée est la fermeture de la boule ouverte, B(a, r) = B(a, r] = {x ∈E; ‖x − a‖ ≤ r}.

A ⊂ E sera un ouvert de l’espace vectoriel normé (E, ‖ . ‖) si et seulement si ∀x ∈A, ∃rx > 0 t.q. B(x, rx) ⊂ A.

Une suite (xn) de l’espace vectoriel normé (E, ‖ . ‖) converge vers a ∈ E si etseulement si lim

n 7→∞‖xn − a‖ = 0.

Si A ⊂ E, sa fermeture A est l’ensemble des vecteurs de E qui sont limites de suitede A.

Une suite (xn) d’un espace vectoriel normé (E, ‖ . ‖) est une suite de Cauchy si estseulement si ∀ǫ > 0, ∃Nǫ ∈ N t.q. ∀n, k > Nǫ, ‖xn − xk‖ < ǫ.

Un espace vectoriel normé (E, ‖ . ‖) est complet si toute suite de Cauchy de E estconvergente, dans ce cas on dit que (E, ‖ . ‖) est un espace de Banach.

Un résultat important sur les séries normalement convergentes dans les espaces

de Banach.

Définition 1.18 Soit (E; ‖ . ‖) un espace vectoriel normé sur K.Soit

∑

n∈N~xn une série de vecteurs de E.

Si la série de réels positif∑

n∈N‖~xn‖ est convergente, alors la suite des sommes partielles

(SN) = (

N∑

n=1

~xn)N est une suite de Cauchy de E.

9

Si elle converge vers une limite ~S, on dit que la série∑

n∈N~xn converge normalement

vers ~S et on écrit ~S =

+∞∑

n=1

~xn.

La Proposition suivante découle immédiatement de la définition précédente.

Proposition 1.19 Soit (E; ‖ . ‖) un espace de Banach sur K.Soit

∑

n∈N~xn une série de vecteurs de E, telle que

∑

n∈N‖~xn‖ < +∞.

Alors la série∑

n∈N~xn converge normalement.

Un exemple important d’espace de Banach est l’espace vectoriel des fonction continues

sur un espace compact, si l’espace des fonctions continues est muni de la norme uniforme.

Théorème 1.20 Soit X un compact et C(X; K) l’espace vectoriel sur K des fonctionscontinues sur X à valeurs dans K, avec K = R ou K = C. Alors

‖f‖∞ = supx∈X

|f(x)|

est fini, ceci ∀ f ∈ C(X; K), et ‖ . ‖∞ définit sur C(X; K) une norme appelée normeuniforme.

De plus C(X; K) muni de la norme uniforme ‖ . ‖∞ est un espace de Banach.

Preuve Le fait que l’image d’un compact par une fonction continue soit encore un

compact fait que, pour f ∈ C(X; C), If = {|f(x)|; x ∈ X} est un compact de [0, +∞[donc un borné, par conséquent ‖f‖∞ = Sup If est borné. De plus, on peut même direque le maximum ‖f‖∞ de la fonction continue sur le compact X, x 7→ |f(x)| est atteint,(ainsi que son minimum).

De part la définition de la norme uniforme, on a bien l’homogénéité ‖λf‖∞ = |λ| ×‖f‖∞, ∀(λ, f) ∈ K × C(X; K),ainsi que la non-dégénérescence, ‖f‖∞ = 0 ⇔ f(x) = 0 ∀x ∈ X.

L’inégalité triangulaire ‖f + g‖∞ ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞résulte du fait que |f(x) + g(x)| ≤ |f(x)| + |g(x)| ≤ ‖f‖∞ + ‖g‖∞, ceci ∀x ∈ X.

Le fait que (C(X; K), ‖ . ‖∞) soit un espace vectoriel normé est donc démontré.Prouvons qu’il est complet. Soit (fn) une suite de Cauchy de (C(X; K), ‖ . ‖∞), alors,

pour tout x ∈ X fixé, (fn(x)) est une suite de Cauchy de K = R ou K = C, donc K estcomplet, par conséquent la suite de Cauchy de K, (fn(x)) converge vers un élément de

K que nous notons f(x).

On a ainsi défini une fonction sur X, f : X 7→ K, x 7→ f(x), ∀x ∈ X. Montrons quela suite de fonctions (fn) converge uniformément sur X vers f .

10

Soit ǫ > 0. L’hypothèse (fn) suite de Cauchy entrâıne l’existence d’un entier Nǫ tel

que |fn(x) − fk(x)| ≤ ‖fn − fk‖∞ < ǫ, ∀n, k > Nǫ. On fait tendre k vers l’infini et ontrouve |fn(x) − f(x)| ≤ ǫ, ∀n > Nǫ, soit ‖fn − f‖∞ ≤ ǫ, ∀n > Nǫ.

La suite (fn) converge donc uniformément sur X vers f , comme chaque fn est continue

sur X, on en déduit grâce au Théoreme (1.14) que f l’est aussi.

On a bien f ∈ C(X; K) et limn 7→∞

‖fn − f‖∞ = 0 •Si E est un espace vectoriel et si ‖ . ‖1 et ‖ . ‖2 sont deux normes sur E, on dit qu’elles

sont équivalentes si et seulement si

∃C1 et C2 > 0 t.q. C1‖x‖1 ≤ ‖x‖2 ≤ C2‖x‖1 ∀ x ∈ E.

Dans ce cas toute boule ouverte de l’une des deux normes contient une boule ouverte de

l’autre norme, et donc les ouverts associés à chacune des normes sont les mêmes :

deux normes équivalentes sur E définissent la même topologie sur E.

Dans un espace vectoriel normé (E, ‖ . ‖), un cas particulier de sous-espaces vecto-riels de E qui sont intéressants est celui des sous-espaces dense dans E. Rappelons leur

définition et leur caractérisation.

Définition 1.21 Si (E, ‖ . ‖) est un espace vectoriel normé, un sous-ensemble de EE ⊂ E est dit dense dans E si et seulement si tout élément de E est limite d’une suitede E .

Autrement dit, ∀x ∈ E et ∀ ǫ > 0, ∃ xǫ ∈ E t.q. ‖x − xǫ‖ < ǫ.

Dans le cas de l’espace de Banach de fonctions continues sur un compact X, C(X; K)qu’on a déjà vu, un théorème important de caractérisation de ses sous-espaces denses est

le Théorème de Stone-Weierstrass.

Théorème 1.22 Soit K = R ou C, X un compact. On considère l’espace vectoriel sur

K de fonctions continues sur X à valeurs dans K, muni de la norme uniforme, C(X; K).Soit F ⊂ C(X; K) un sous-espace vectoriel de C(X; K) vérifianti) F est une sous-algèbre de C(X; K) : F est un sous-espace vectoriel de C(X; K) tel

que f(x)g(x) ∈ F ∀f, g ∈ F.ii) F sépare les points de X : ∀x, y ∈ X, x 6= y, ∃ f ∈ F t.q. f(x) 6= f(y).iii) Les fonctions constantes sont dans F.

iv) Si K = C, ∀f ∈ F, f ∈ F.Alors F est dense dans C(X; K).

Comme ce théorème est important et qu’il n’est pas sûr que sa démonstration soit

faite en licence, nous rappelons comment il se démontre.

Plan de la preuve

11

1) Si K = C, on se ramène au cas réel. On décompose F en sa partie réelle et celle

imaginaire, F = Fr + iFi, alors Fr et Fi sont deux sous-algèbres de C(X; R) qui satisfontles hypothèses du théorème.

En effet, faisons la vérification pour Fr.

Comme les fonctions constantes sont dans F, les fonctions constantes réelles sont donc

dans Fr, en particulier Fr est non vide.

Si g1, g2 ∈ Fr, alors il existe h1, h2 ∈ Fi tels quef1 = g1 + ih1 ∈ F et f2 = g2 + ih2 ∈ F.

Si λ1, λ2 ∈ R, alors F étant un sous-espace vectoriel, on a λ1f1 + λ2f2 ∈ F , et doncRe(λ1f1 + λ2f2) = λ1g1 + λ2g2 ∈ Fr :

Fr est bien un sous-espace vectoriel de C(X; R).De plus F sous-algèbre implique que f1f2 ∈ F et donc Re(f1f2) = g1g2 −h1h2 ∈ Fr,

et comme F est invariant par conjugaison, f2 ∈ F , ce qui donne queRe(f1f 2) = g1g2+h1h2 ∈ Fr. Comme on sait déjà que Fr est un sous-espace vectoriel,

on trouve que g1g2 =12(g1g2 − h1h2) + 12(g1g2 + h1h2) ∈ Fr :

Fr est bien une sous-algèbre de C(X; R).Comme F sépare les points de X, si x, y ∈ X, x 6= y, alors ∃ f ∈ F t.q. f(x) 6= f(y).

Si Re(f(x)) 6= Re(f(y)), alors Fr sépare les deux points x et y, autrementRe(if(x)) 6= Re(if(y)) et on aboutit à la même conclusion. Fr sépare donc les points

de X.

Deuxième étape

2) On démontre que tout sous-algèbre F de C(X; R), sa fermeture F , ( dans C(X; R)),est une sous-algèbre fermée de C(X; R), vérifiant

sup(f, g) ∈ F et inf(f, g) ∈ F ceci ∀ f, g ∈ F .2,a) En effet, il est clair que F est une sous-algèbre fermée de C(X; R).2,b) Si f ∈ F , montrons que |f | ∈ F .

Comme F est un sous-espace vectoriel, on peut se ramener à |f | < 1, en considérantf/(‖f‖∞ + 1). Alors, pour tout ǫ > 0, et pour tout x dans X, la série de fonctions

(1 + ǫ)1/2+∞∑

j=0

aj [(f2(x) − 1)/(1 + ǫ)]j converge uniformément vers (f 2(x) + ǫ)1/2, si

+∞∑

j=0

ajxj = (1 + x)1/2 pour x ∈] − 1, 1[, ( a0 = 1, aj+1 = 12(12 − 1) . . . (12 − j)/(j + 1)!).

Comme F est une sous-algèbre et que les constantes sont dans F, f ∈ F ⇒ f 2−1 ∈ Fet donc [(f 2(x) − 1)/(1 + ǫ)]j ∈ F pour tout j.

Par conséquent comme F est un sous-espace fermé de l’espace vectoriel normé complet

(C(X; R); ‖ . ‖∞), (F ; ‖ . ‖∞) est aussi un espace vectoriel normé complet.

La série (1 + ǫ)1/2+∞∑

j=0

aj[(f2(x) − 1)/(1 + ǫ)]j étant normalement convergente dans

(F ; ‖ . ‖∞), sa limite sera donc dans F : (f 2(x) + ǫ)1/2 ∈ F .

12

On a donc démontré que, pour tout ǫ > 0, (f 2(x) + ǫ)1/2 ∈ F . Mais |f | ∈ C(X; R)et pour tout ǫ > 0, 0 < (f 2(x) + ǫ)1/2 − |f | < ǫ, soit ‖(f 2(x) + ǫ)1/2 − |f | ‖∞ < ǫ, etdonc |f | ∈ F .

2,c) Soit maintenant f et g ∈ F , alorssup(f, g) = 1

2[(f + g) + |f − g|] et inf(f, g) = 1

2[(f + g) − |f − g|].

Comme F est un sous-espace vectoriel f−g ∈ F , et donc d’après le point 2, b) |f−g| ∈ F .Le fait que F soit un espace vectoriel permet alors de conclure : sup(f, g) et inf(f, g) ∈F .

Troisième étape

3) Montrons que, pour tout x et y ∈ X, x 6= y et pour tout α et β ∈ R, il existef ∈ F tel que f(x) = α et f(y) = β.

Soit x, y, α et β comme ci-dessus. Comme F sépare les points de X, il existe

g ∈ F tel que g(x) 6= g(y). Comme les constantes sont dans le sous-espace vectoriel F,quitte à ajouter une constante à la fonction g, on peut supposer que g(x) 6= g(y) etg(x)g(y) 6= 0, donc le système (ug(x) + vg2(x) = α ug(y) + vg2(y) = β )admet une solution (u, v). Comme F est une algèbre, f = ug + vg2 ∈ F et satisfaitf(x) = α et f(y) = β.

Quatrième et dernière étape

4) Pour montrer que F est dense dans (C(X; R); ‖ . ‖∞), il suffit de prouver que Fest dense dans (C(X; R); ‖ . ‖∞).

Soit f ∈ C(X; R). Il reste à montrer que, pour tout ǫ > 0, il existe fǫ ∈ F , tel que|f − fǫ| < ǫ.

Soit ǫ > 0. Soit a ∈ X. Alors d’après le point 3), pour tout y ∈ X, il existegy ∈ F tel que f(a) = gy(a) et f(y) = gy(y). Comme gy − f est une fonction continue,Oy = {x ∈ X; gy(x) − f(x) < ǫ} est un ouvert de X qui, de plus, est non vide car ilcontient a et y.

Quand on fait varier y sur tout X, les ouverts Oy forment un recouvrement de X,

et comme X est compact, on peut en extraire un recouvrement fini : il existe un nombre

fini de points de X, {y1, . . . , yn} tel que X =n⋃

j=1

Oyj .

Autrement dit ∀x ∈ X, ∃j ∈ {1, . . . , n} t.q. gyj (x) < f(x) + ǫ.Mais d’après le point 3), ha = inf(gy1, gy2, . . . , gyn) ∈ F et cette fonction vérifie

ha(x) < f(x) + ǫ, ∀x ∈ X. (1.1)

Comme pour tout y ∈ X, gy(a) = f(a), on a forcément ha(a) = f(a), par conséquent,comme ha−f est une fonction continue, Ωa = {x ∈ X; ha(x)−f(x) > −ǫ} est un ouvertde X qui contient a. Le même raisonnement fait avec les ouverts Oy, s’applique avec

ceux Ωa quand on fait varier le point a sur tout X, il existe donc un nombre fini de

points de X, {a1, . . . , am}, tel que X =m⋃

j=1

Ωaj .

13

Autrement dit ∀x ∈ X, ∃j ∈ {1, . . . , m} t.q. haj (x) > f(x) − ǫ.Mais d’après le point 3), fǫ = sup(ha1 , ha2 , . . . , ham) ∈ F et cette fonction vérifie

fǫ(x) > f(x) − ǫ, ∀x ∈ X. (1.2)

Mais d’après (1.1) et la définition de fǫ ci-dessus on a aussi

fǫ(x) < f(x) + ǫ, ∀x ∈ X. (1.3)

Les inégalités (1.2) et (1.3) montrent que ‖f − fǫ‖∞ < ǫ, et on sait que fǫ ∈ F ,C.Q.F.D. •

1.3 Les espaces vectoriels de dimension finie

Nous recommandons vivement de revoir le cours et les exercices d’Algèbre linéaire de

D.E.U.G. A1,2.

En particulier, les notions suivantes suivantes seront doivent bien être comprises :

dual d’un espace vectoriel, base duale, transpos’ee d’une application linéaire, projection

sur un sous-espace parallèlement à un sous-espace complémentaire, espace euclidien, es-

pace hermitien, adjoint d’une application linéaire, projection orthogonale, groupe linéaire

d’un espace vectoriel de dimension n, le groupe orthogonal d’un espace euclidien de di-

mension n, le groupe unitaire d’un espace hermitien de dimension n.

Ces révisions vous seront aussi utiles pour passer les concours nécessitant la Licence

ou la Mâıtrise de Math..

Nous recommandons pour cela les ouvrages suivants [1] Tome 1, 2 et [8] Tome 1, 2.

Un exercice dont on peut trouver la solution dans les manuels conseillés ci-dessus, et

qu’il faut savoir faire tout seul est le suivant.

Exercice 1.23 Soit 1 ≤ p ≤ ∞ et n ∈ N⋆. K désignera soit le corps R ou C.On définit sur Kn ‖ x ‖p= (

∑nj=1 |xj |p)1/p.

i) Montrer que ‖ . ‖1, ‖ . ‖∞ et ‖ . ‖2 sont des normes et que Kn est completpour ces normes.

ii) On suppose 1 < p < ∞. Soit q le conjugué de p, 1p

+ 1q

= 1.

Etablir que (a + b)p ≤ 2p−1(ap + bp), ∀a, b ≥ 0,(utiliser les propriétés de la fonction fp(t) = t

p).

Etablir que ab ≤ app

+ bq

q, ∀a, b ≥ 0.

iii) Etablir l’inégalité de Hölder |n∑

j=1

xjyj | ≤‖ x ‖p ‖ y ‖q

et l’inégalité de Minkowski ‖ x + y ‖p≤‖ x ‖p + ‖ y ‖p, ceci ∀ x, y ∈ Kn.(Pour Minkowski, utiliser Hölder).

En déduire que ‖ . ‖p est une norme, (norme p), et vérifier qu’elle est équivalente àla norme ∞.

14

iv) Soit A ∈ Mn,k(K) une matrice n×k, considérée comme un élément de L(Kk, Kn).Trouver sa norme si on munit Kk et Kn de la norme ∞, de la norme 1 puis de la

norme 2.

v) Vérifier que N(A) = (Tr(A⋆A))1/2, ∀ A ∈ Mn(K) définit bien une norme surMn(K), mais que ce n’est pas une norme matricielle, (une norme d’opérateur).

Cet exercice est très utile pour comprendre les espaces lp(Γ), si Γ est un ensemble

dénombrable.

Nous rappelons qu’un ensemble Γ est dit dénombrable si et seulement s’il existe

une injection J : Γ →֒ N.Dans ce cas, il est, soit fini soit en bijection avec N. (Ranger par exemple J(Γ)

en ordre croissant. Si Γ est infini, on obtient une suite strictement croissante d’entiers

(kn)n∈N, ∀n, ∃! γn ∈ Γ t.q. J(γn) = kn, la bijection est alors S : N 7−→ Γ, S(n) = γn).Quelques propriétés des ensembles dénombrables

- Si A et B sont dénombrables, alors A × B est dénombrable.Pour s’en convaincre, il suffit de vérifier que N2 est dénombrable. On considère par

exemple la relation d’ordre sur N2, (i, j) < (k, l) si et seulement si Max{i, j} <Max{k, l} ou Max{i, j} = Max{k, l}, et min{i, j} < min{k, l}, enfin ou i = l < j = k.On range les éléments de N2 en ordre strictement croissant et on obtient une suite

((in, jn))n∈N, d’ou l’injection j : N2 →֒ N, J((i, j)) = n si (i, j) = (in, jn).

- Si A1, . . . , An sont n ensembles dénobrables, alors leur produit A1 ×A2 × . . .×Anest aussi dénombrable.

Ceci résulte de la dernière propriété.

- Si B, C ⊂ A sont deux sous-ensembles d’un ensemble A, alors leur union B ∪ Cest aussi dénombrable.

Pour s’en convaincre, il suffit de supposer B et C disjoints, d’ajouter à B un élement

supplémentaire b et à C aussi c et supposer b 6= c. B′ = B ∪ {b} et C ′ = C ∪ {c} sontdisjoints et dénombrables, (donc B′×C ′ est aussi dénombrable), et il existe une injectionI : B ∪ C →֒ B′ × C ′, définie par : I(x) = (x, c) si x ∈ B et I(x) = (b, x) si x ∈ C.

- Des propriétés ci-dessus, on trouve que Z et Q sont dénombrables.

Quand un ensemble dénombrable Γ est infini, il existe donc une bijection

T : Γ 7−→ N,

on peut donc indexer ses éléments par N : Γ = {γn; n ∈ N},si par exemple T (γn) = n, ∀ n ∈ N.

Si 1 ≤ p < +∞, l’espace lp(Γ) est l’espace des suites réelles ou complexes

(xγ)γ∈Γ, ( indexées par Γ), et tel que la série∑

γ∈Γ|xγ|p =

+∞∑

n=0

|xγn |p soit convergente.

15

Pour l∞(Γ), on impose seulement que la suite (xγ)γ∈Γ soit bornée :

∃ C > 0 t.q. |xγ| ≤ C, ∀ γ ∈ Γ.

L’exercice ci-dessous établit les propriétés utiles des espaces lp; il sera traité en T.D..

Exercice 1.24 Soit l∞(N) l’espace vectoriel des suites bornées, c(N) et c0(N) les sous

espaces de celles convergentes et de celles à limite nulle.

i) Montrer que l∞(N) est un Banach pour la norme du Sup : ‖ x ‖∞= supn | xn | .ii) Montrer que c0(N) et c(N) sont deux sous espaces fermés de l

∞(N)

et qu’ils sont séparables.

Soit A = {xn = (xnj )j ; n ∈ N} un sous-ensemble dénombrable de l∞(N).Soit x = (xn) défini par xn = x

nn + 1, si | xnn |≤ 1, et xn = 0 autrement.

Démontrer que x n’est pas dans la fermeture de A.

En déduire que l∞(N) n’est pas separable.

iii) Montrer que c(N) = c0(N) ⊕ K, (K est identifié aux suites constantes).Soit j : c(N) 7→ c0(N), (j(x))0 = lim

nxn, et (j(x))k+1 = xk − limn xn ∀k ∈ N.

Démontrer que c’est un isomorphisme non isométrique.

Soit p ≥ 1 et lp(N) l’ensemble des suites x = (xn) tel que

‖ x ‖p:= (∞∑

n=0

| xn |p)1/p < ∞.

iv) Démontrer que que (l1(N); ‖ . ‖1) est un Banachqui s’injecte continûment dans c0(N).

v) Etablir que (lp(N); ‖ . ‖p) est un e.v.n. . Montrer l’injection continue delp(N) dans lp+ǫ(N), ∀ǫ > 0.

vi) Montrer que lp(N) est un Banach.

En déduire que l2(N) est un Hilbert isométrique à L2([0, 1]).

vii) Soit B := {δn} la base formelle canonique des lp(N). Démontrer qu’elle est totaledans lp(N), (c’est à dire que c’est une base de Schauder), si 1 ≤ p < +∞.

Démontrer qu’il en est de même dans c0(N). Soit δ∞ la suite constante de limite 1.

On considère B̃ = B ∪ {δ∞}, démontrer que c’est une base totale de c(N).viii) Démontrer que (l1(N))

′

= l∞(N). Justifier que l’injection continue de l1(N) dans

(l∞(N))′

n’est pas un isomorphisme de Banach.

Soit p, 1 < p < ∞ et q son conjugué. Prouver que lq(N)s’injecte isométriquement dans (lp(N))

′

.

Soit e ∈ (lp(N))′ et soit la suite x = (xn), xn =< e, δn > . Démontrer que,

pour tout entier N,N∑

n=0

| xn |q≤‖ e ‖q . En déduire que (lp(N))′ = lq(N).

ix) Démontrer que l’injection canonique de l1(N) dans (c0(N))′

est en fait un isomorphisme.

Prouver que (c(N))′ est isomorphe à l1(N). Si 1 ≤ p, l’espace lp(N) est-il réflexif ?

16

Dans cet exercice apparait la définition d’espace vectoriel normé, (ou seulement d’es-

pace métrique), séparable. Un espace métrique E est dit séparable si et seulement si, il

existe un sous-ensemble de E, D qui est dénombrable et dense dans E.

Parmi les espaces de Banach séparables, il y a ceux qui resemblent le plus aux es-

paces vectoriels de dimension finie, ce sont ceux qui admettent une base de Schauder.

Rappelons quelques notions sur les bases de Schauder.

Soit H un espace vectoriel sur le coprs K et B = (en)n∈N une suite de vecteurs de H.Le sous espace vectoriel engendré par B = (en)n∈N estE =

⋃

n∈NEn, où En = V ect{e0, . . . , en} est le sous-espace vectoriel engendé par les

n + 1 vecteurs {e0, . . . , en}.Autrement dit x ∈ E si et seulement s’il existe m ∈ N et (λ0, . . . , λm) ∈ Km+1 tel

que x =m∑

j=0

λjej.

Attention, l’intersection (fini ou infini) de sous-espaces vectoriels est toujours un sous-

espace vectoriel, par contre l’union de sous-espaces vectoriels est rarement un sous-espace

vectoriel. Ici E n’est un sous-espace vectoriel que parce qu’il est l’union d’une suite

croissante des sous-espaces vectoriels : En ⊂ En+1, ∀n ∈ N.Il est facile d’établir la propriété suivante :

Proposition 1.25 Un espace de Banach (H, ‖ . ‖) qui n’est pas de dimension finie estséparable si et seulement si on peut lui associer une suite de vecteurs de H, B = (en)n∈Ntelle que,

i) pour tout n ∈ N, {e0, . . . , en} est libreii) le sous-espace vectoriel engendré par B = (en)n∈N, E =

⋃n∈N V ect{e0, . . . , en}

est dense dans H.

Pour la démonstration, nous la laissons en exercice. (Indication Voir que Q est

dénombrable et dense dans R).

On peut alors donner la défintion suivante.

Définition 1.26 Une suite de vecteurs B = (en)n∈N d’un espace de Banach (H, ‖ . ‖)est une base de Schauder de H, si et seulement si

∀ x ∈ H, il existe une unique suite de C, (λn) tel que x =+∞∑

n=0

λnen,

(c’est-à-dire que limN 7→∞

‖x −N∑

n=0

λnen‖ = 0).

Dans le cas d’un espace de Hilbert on a aussi la définition suivante.

Définition 1.27 Soit H un espace de Hilbert de produit scalaire noté ( . ; . ).

17

Une suite de vecteurs orthonormés de H, B = (en)n∈Nest dite une base hilbertienne de H, si c’est une base de Schauder.

C’est équivalent à écrire que

(en; ek) = δn(k) et ∀ x ∈ H, limN

‖x −N∑

k=0

(x; ek)ek‖ = 0.

(δa désigne le symbole de Kronecker, ou fonction delta de Kronecker, δa(a) = 1 et δa(x) =

0 si x 6= a).

La notion d’espace vectoriel normé réflexif qui apparait dans l’Exercice (1.24) est basé

sur la dualité qui sera introduite dans le chapitre suivant.

2 Quelques bonnes surprises et “gags”

2.1 Sur la continuité des applications linéaires

Sur un espace vectoriel E, qui n’est pas de dimension finie, deux normes ne sont plus

obligatoirement équivalentes ; la continuité sur E dépendra donc de la norme.

Si E et F sont deux espaces vectoriels normés, (sur le même corps), et si u est une

application linéaire entre E et F , u ∈ Lin(E; F ), alors u n’est pas forcément continue.Rappelons le Théorème

Théorème 2.1 Soit (E, ‖ . ‖E) et (F, ‖ . ‖F ) deux espaces vectoriels normés etu ∈ End(E; F ).

Alors on a les équivalences suivantes

i) u est continue

ii) u est continue à l’origine 0

iii) ‖u‖ = supx∈E\{0} ‖u(x)‖F‖x‖E est fini.Dans ce cas on écrit que u ∈ L(E; F ).

Exercice 2.2 Sous les hypothèses ci-dessus, si E est de dimension finie, prouver que u

est forcément continu.

Trouver un contre exemple où F est de dimension finie mais pas E, et où u n’est

pas continue.

Exercice 2.3 Dans le cadre du Théorème (2.1), prouver que (L(E; F ), ‖ . ‖) est unespace vectoriel normé, la norme étant définie dans ii) du Théorème (2.1).

Prouver les égalités suivantes, pour u ∈ L(E; F ),

‖u‖ = supx∈E; ‖x‖E=1

‖u(x)‖F = ‖u‖ = supx∈E; ‖x‖E≤1

‖u(x)‖F

18

Exercice 2.4 Soit (E, ‖ . ‖E) et (F, ‖ . ‖F ) deux espaces vectoriels normés etu ∈ End(E; F ) une application linéaire supposée bijective. Montrer que u et u−1

sont continus si et seulement s’il existe deux constantes c et C strictement positives tel

que

c‖x‖E ≤ ‖u(x)‖F ≤ C‖x‖E , ∀ xinE.

Un théorème intéressant est

Théorème 2.5 Soit (E, ‖ . ‖E) et (F, ‖ . ‖F ) deux espaces vectoriels normés, sur Rou sur C, tel que F soit un espace de Banach.

Alors L(E; F ) est aussi un espace de Banach.

Remarque 2.6 Si u est une application linéaire entre deux espaces vectoriels normés,

u ∈ End(E; F ), alors dire que u est continue est équivalent à dire qu’il existe uneconstante C > 0 tel que

‖u(x)‖F ≤ C‖x‖E , ∀ x ∈ E.

Autrement dit, que u(BE(0, 1)) ⊂ BF (0, C),si BH(a, r) désigne la boule de H centrée en a et de rayon r.

Cette denière remarque permet de mieux comprendre le Corollaire du Théorème de l’ap-

plication ouverte.

Théorème 2.7 “Théorème de l’application ouverte”.

Soit E et F deux espaces de Banach et u ∈ L(E; F ), une application linéaire etcontinue.

Alors u est surjective si et seulement il existe r > 0 tel que

u(BE(0, 1)) ⊃ BF (0, r)

Corollaire 2.8 Soit u ∈ L(E; F ) une application linéaire et continue entredeux espaces de Banach E et F.

Si u est est bijective, alors son inverse est forcément continue : u−1 ∈ L(F, E).

2.2 Sur les formes linéaires et la dualité

Soit (H, ‖ . ‖) un espace vectoriel normé sur le corps K(= R ou C).Si f ∈ H ′ = L(H ; K), on dit que f est une forme linéaire et continue sur H.

(C’est une fonction sur H qui est linéaire et continue).

L’action de f sur H se note des fois : f(x) =< x; f >=< x; f >H,H′ , ∀ x ∈ H.H

′

= L(H ; K) est appélé espace dual de l’espace vectoriel normé H , c’est aussi unespace vectoriel normé.

19

On peut donc condidèrer le dual de H′

qui est noté H“ et qui est appélé bidual de

H . On a une injection continue, “canonique” :

J : H →֒ H“, J(x)(f) =< f ; J(x) >H′ ,H“ := f(x) =< x; f >H,H′ ,ceci ∀ x ∈ H, ∀ f ∈ H ′.

Dans le cas où H est de dimension finie, alors H, H′

et H“ ont toujours la même

dimension, ce qui entrâıne que l’injection canonique J est en fait un isomorphisme.

Ceci n’est pas toujours le cas quand H n’est plus de dimension finie.

Un espace vectoriel normé H , tel que son injection canonique dans son bi-dual soit

un isomorphisme, est appelé espace réflexif.

Un espace hemitien ou pré-hilbertien est un espace vectoriel H sur C, muni

d’un produit scalaire ( . ; . ) : H2 7→ C, tel que :- Pour tout y ∈ H (fixé), ( . ; y) : H 7→ C soit une forme linéaire.- (x; y) = (y, x), ∀ (x, y) ∈ H2- (x; x) > 0, ∀ x 6= 0, x ∈ HDans ce cas ‖x‖ :=

√(x, x), ∀x ∈ H, définit une norme sur H et on dit simplement

que (H, ‖ . ‖) est un espace pré-hilbertien, et on a l’inégalté de Cauchy-Schwarz

|(x; y)| ≤ ‖x‖ × ‖y‖, ∀ x, y ∈ H.

Dans le cas où le corps est R au lieu de C, on dit que (H, ‖ . ‖) est un espaceeuclidien, quand il est en plus de dimension finie, si non on l’appelle seulement espace

pré-hilbertien réel.

Un espace pré-hilbertien complet est appelé un espace de Hilbert, un espace pré-

hilbertien réel complet est aussi appelé un espace de Hilbert réel.

Un espace de Hilbert est toujours réflexif. Ceci découle du

Théorème 2.9 “Théorème de représentation de Riesz”

Soit H un espace de Hilbert de produit scalaire ( . ; . ).

Alors il existe un isomorphisme isométrique entre les deux espaces vectoriels normés

H et son dual H′

,

I : H 7−→ H ′, < a; I(x) >H,H′ := (a; x), ∀ x, a ∈ H

et ‖I(x)‖H′ = ‖x‖H , ∀ x ∈ H.Autrement dit, si f ∈ H ′, ∃!xf ∈ H t.q. f(a) = (a; xf) ∀ a ∈ H.

Nous rappelons que, dans le cas d’un espace de Hilbert (H ; ( . ; . ) ), pour tout

opérateur continu sur H, u ∈ L(H), il existe un unique opérateur continu sur H, appeléadjoint de u et noté u⋆, (u⋆ ∈ L(H)), et qui est entièrement défini par la relation dedualité :

(u(x); y) = (x; u⋆(y)), ∀ x, y ∈ H. (2.4)

20

u et u⋆ ont toujours la même norme.

u est dit auto-adjoint si et seulement si u⋆ = u.

2.3 Les fonctions continues sur un compact

Soit X un compact, et (C(X; K), ‖ . ‖∞), l’espace de Banach des fonctions continuessur X à valeurs dans K = R ou K = C.

Un problème interessant est de savoir caractériser les compacts de C(X; K). Pour çaon a besoin de quelques définitions.

Un sous-ensemble A d’un espace topologique E, A ⊂ E, est dit relativementcompact si et seulement si sa fermeture A est compacte.

Les ensembles relativement compacts de Rn sont donc les ensembles bornés.

Attention, dans un espace vectoriel normé, les bornés-fermés ne sont pas toujours

compacts, sauf quand l’espace vectoriel est de dimension finie.

Une deuxième définition est relative à la continuité.

Soit (Y, d) un espace métrique, et f ∈ C(Y ; K) une fonction continue sur Y.Rappelons que f est dit uniformément continue sur Y si et seulement

∀ ǫ > 0, ∃ η = η(ǫ) > 0 t.q. |f(x) − f(y)| < ǫ ∀ x, y ∈ Y, d(x, y) < η(ǫ).

Une famille A ⊂ F(Y ; K) de fonctions sur Y est dite équicontinue au point a ∈ Ysi et seulement si

∀ ǫ > 0, ∃ η = η(ǫ, a)) > 0 t.q. |f(x) − f(a)| < ǫ ∀ x ∈ Y, d(x, a) < η(ǫ, a) et ∀ f ∈ A.

(Dans ce cas, chaque fonction f ∈ A est continue au poit a).Une famille A ⊂ C(Y ; K) de fonctions continues sur Y est dite équicontinue sur

Y si et seulement si elle est équicontinue en tout point de Y.

Un résultat vu en D.E.U.G. est

Théorème 2.10 Soit (Y ; d) un espace métrique et une suite de fonctions sur Y, (fn(x)).

Si la suite a une limite f(x) et si la suite des fonctions est équicontinues sur Y,

alors la limite f(x) est continue sur Y.

Une famille A ⊂ C(Y ; K) de fonctions continues sur Y est dite uniformémentéquicontinue sur Y si et seulement si

∀ ǫ > 0, ∃ η = η(ǫ) > 0 t.q. |f(x) − f(y)| < ǫ ∀ x, y ∈ Y, d(x, y) < η(ǫ) et ∀ f ∈ A.

Un théorème à bien comprendre les hypothèses et à les retenir est

21

Théorème 2.11 “d’Ascoli”

Soit (X, d) un espace métrique et compact et soit (C(X; K), ‖ . ‖∞), l’espace de Ba-nach des fonctions continues sur X à valeurs dans K = R ou K = C, muni de la norme Sup.

Soit A ⊂ C(X; K) un sous-ensemble borné dans (C(X; K), ‖ . ‖∞).On suppose de plus que A soit une famille de fonctions

uniformément équicontinue sur Y.

Alors A est relativement compact dans (C(X; K), ‖ . ‖∞).

Encore une fois attention, le théorème d’Ascoli ne permet de caractériser que les en-

sembles relativement compacts de (C(X; K), ‖ . ‖∞), (avec X compact et métrique), etnon les ensembles relativement compacts de n’importe quel espace de Banach.

3 Résultats des cours optionnels de la Licence

3.1 Quelques rappels sur l’intégrale de Lebesgue

Sur ce sous-chapitre, nous indiquons simplement le schéma dont découlent les résultats

à savoir (sans démonstration). Pour ceux qui n’ont pas vu ces résultats en Licence et qu’il

veulent avoir une idée des démonstrations, nous les renvoyons au livre de W. Rudin [9]

ou à celui de H. Buchwalter [5].

Rappel sur la mesure abstraite

Pour plus de développement sur ce sous-paragraphe, et pour les détails des preuves

sur les propriétés des mesures qui vont suivre, nous renvoyons au livre de [2].

Soit Ω un ensemble et P(Ω) l’ensemble des parties de Ω, (A ∈ P(Ω) si et seulementsi c’est un sous-ensemble de Ω, A ⊂ Ω).

A ∈ P(Ω), son complémentaire dans Ω sera noté Ω \ AUne tribu sur Ω est une classe T (Ω) de sous-ensenbles de Ω satisfaisant aux 3

propriétés suivantes :

i) Ω ∈ T (Ω)ii) A ∈ T (Ω) =⇒ Ω \ A ∈ T (Ω)

iii) Pour toute suite (An), An ∈ T (Ω) ∀ n ∈ N, alors∞⋃

i=0

Ai ∈ T (Ω)

Une tribu est aussi appelée une σ-algèbre , (sigma-algèbre).

Remarquez que dans une tribu T (Ω), en passant au complémentaire, on a aussiiv) ∅ ∈ T (Ω)

v)∞⋂

i=0

Ai ∈ T (Ω), si An ∈ T (Ω) ∀ n ∈ N,

vi)

N⋃

i=1

Ai ∈ T (Ω) etN⋂

i=0

Ai ∈ T (Ω), si A1, A2, . . . , AN ∈ T (Ω).

22

Il est clair que P(Ω) est la plus “grande tribu” et {Ω, ∅} la plus “pétite”.Si Ω est un espace topologique, la plus petite tribu contenant les ouverts de Ω est

appelée la tribu borélienne de Ω, (dans la suite, on la notera TB(Ω)).On démontre que la tribu borélienne de R est aussi celle engendrée par les intervalles

de R, et plus généralement la tribu borélienne de Rn est engendrée par les pavés I1 ×I2 × . . . × In, (le Ii étant des intervalles).

Si T (Ω) est une tribu, les éléments de T (Ω) sont appelés les ensembles mesurables,si T (X) est une tribu sur un deuxième ensemble X, et si

F : Ω 7→ X est une application,alors F est dit mesurable si et seulement si

F−1(B) ∈ T (Ω), ∀ B ∈ T (X).Dans le cas où X est un espace topologique, on sous-entendra toujours que X est

muni de sa tribu borélienne. Par exemple si

f : Ω 7→ K est une fonction à valeurs dans K = R ou K = C,alors f est une fonction mesurable si et seulement si

f−1(M) ∈ T (Ω) pour tout sous-ensemble mesurable M de K.Les fonctions étagées sont toujours mesurables : une fonction f est dite étagée, et

on écrira que f ∈ Etag(Ω; K), si et seulement si, il existe un entier N et A1, . . . , ANdans T (Ω) et N scalaires λ1, . . . , λN (∈ K), tel que

f(ω) =N∑

i=1

λiχAi(ω), ∀ ω ∈ Ω

(χA est la fonction caractéristique de A, celle qui vaut 1 dans A et 0 dans Ω \ A.)La limite d’une suite de fonctions mesurable est aussi mesurable.

Un espace mesuré est la donnée d’un triplet (Ω, T (Ω), P ) où Ω est un ensemble,T (Ω) une tribu sur Ω et

P : T (Ω) 7→ [0, +∞] est une mesure, c’est à dire vérifiant

P (

∞⋃

i=0

Ai) =

+∞∑

i=0

P (Ai), si An ∩ Ak = ∅ ∀ n 6= k, (3.5)

Remarquez que l’on a forcément P (A) ≤ P (B), si A ⊂ B. On peut avoir P (D) = +∞,(pour un D ∈ T (Ω)). On suppose toujours qu’il existe A ∈ T (Ω) tel que A 6= ∅ etP (A) < +∞,alors on a forcément P (∅) = 0.

Remarquez que si (Ω, T (Ω), P ) est un espace mesuré et si E est un ensemblemesurable, E ∈ T (Ω), alors (E, E ∩ T (Ω), P ) est aussi un espace mesuré.

La mesure de Lebesgue sur R est celle associée à l’espace mesuré (R, TB(R), m)avec m(]a, b[) = b − a.

23

La mesure de Lebesgue sur Rn est celle associée à l’espace mesuré (Rn, TB(Rn), m)

avec m(]a1, b1[×]a2, b2[× . . .×]an, bn[) =n∏

i=1

(bi − ai).

Si O est un ouvert de Rn,, alors TB(O) = O ∩ TB(Rn), la mesure de Lebesgue surO est celle sur Rn restreinte à O. On note tout simplement Lp(O), Lp(O), (au lieu deLp(O; dm(x)), Lp(O; dm(x))).

Soit un espace mesuré (Ω, T (Ω), P ). Sih =

∑Ni=1 λiχAi est une fonction en étagée, h ∈ Etag(Ω; C), alors on définit l’intégrale

de h par∫

Ω

h(ω)dP (ω) :=

N∑

i=1

λiP (Ai).

Si f : Ω 7→ R+ est une fonction mesurable et positive, on écrira que f ∈ M(Ω; R+),alors on peut définir son intégrale

∫

Ω

f(ω)dP (ω) := suph∈Etag(Ω;R+); h≤f

∫

Ω

h(ω)dP (ω) (3.6)

Quand l’intégrale est finie, on dit alors que f est intégrable.

Théorème 3.1 “de Beppo-Levi”

Soit (fn) une suite croissante de fonctions mesurables et positives sur un espace

mesuré (Ω, T (Ω), P ) et soit f sa limite.Alors

∫

Ω

f(ω)dP (ω) = limm7→∞

∫

Ω

fn(ω)dP (ω)

Cette proprété de Beppo-Levy permet de mieux calculer l’intégrale d’une fonction mesu-

rable et positive à partir de celles des fonctions en étagée dans la formule (3.6).

Un Lemme important est le Lemme de Fatou.

Lemme 3.2 “de Fatou”

Soit (fn) une suite de fonctions mesurables et positives sur un espace mesuré (Ω, T (Ω), P )et soit f sa limite-inf : f(ω) = lim

n 7→∞inf fn(ω).

Alors

∫

Ω

f(ω)dP (ω) ≤ limm7→∞

inf

∫

Ω

fn(ω)dP (ω).

Rappelons que, pour une suite de réel (an), sa limite-inf et sa limite-sup sont,

respectivement, la limite de la suite croissante (cn), ck = inf{an; n ≥ k}, et de la suitedécroissante (bn), bk = Sup{an; n ≥ k} :

limn 7→∞

inf an = limk 7→∞

inf{an; n ≥ k}, limn 7→∞

sup an = limk 7→∞

Sup{an; n ≥ k}.

Si f : Ω 7→ R est une fonction mesurable, alors f = f+ − f− et f+ = Max(f, 0)et f− = Max(−f, 0) sont positives et mesurables.

24

Comme f+f− = 0 et que |f | = f+ + f−, alors |f | est intégrable si et seulement f+et f− le sont, ce qui permet de donner la définition suivante :

une fonction réelle et mesurable f = f+ − f− est dite intégrable si et seulement si|f | = f+ + f− est intégrable (dans le sens de (3.6)), et dans ce cas son intégrale est

∫

Ω

f(ω)dP (ω) :=

∫

Ω

f+(ω)dP (ω)−∫

Ω

f−(ω)dP (ω) (3.7)

Dans le cas complexe on a aussi :

une fonction complexe et mesurable f = fR + ifI est dite intégrable si et seulement

si sa partie réelle fR et sa partie imaginaire fI sont intégrables, (ce qui est équivalent à

dire simplement que f est mesurable et |f | est intégrable), dans ce cas son intégrale est∫

Ω

f(ω)dP (ω) :=

∫

Ω

fR(ω)dP (ω) + i

∫

Ω

fI(ω)dP (ω). (3.8)

Si f est intégrable, on a toujours |∫

Ω

f(ω)dP (ω)| ≤∫

Ω

|f(ω)|dP (ω).Les fonctions intégrables forment un espace vectoriel sur K noté L1(Ω; dP (ω)).On a le théorème de convergence dominée de Lebesgue

Théorème 3.3 “de Lebesgue”

Soit (fn) une suite de fonctions mesurables sur un espace mesuré (Ω, T (Ω), P ) teli) f(ω) = lim

n 7→∞fn(ω) existe p.p. sur Ω.

ii) Il existe une fonction intégrable g ∈ L1(Ω; dP (ω)), tel que∀ n ∈ N, |fn(ω)| ≤ g(ω) p.p. sur Ω.

Alors les fn et f sont intégrables sur Ω et

∫

Ω

f(ω)dP (ω) = limm7→∞

∫

Ω

fn(ω)dP (ω).

Si 1 ≤ p < +∞, les fonctions mesurables f telles que |f |p ∈ L1(Ω; dP (ω)) formentaussi un espace vectoriel sur K noté Lp(Ω; dP (ω)). On note alors

‖f‖p := (∫

Ω

|f(ω)|pdP (ω))1/p, ∀ f ∈ Lp(Ω; dP (ω)) (3.9)

Rappelons qu’une propriété sur Ω est dite vérifiée presque partout, (p.p.) si elle

est vérifiée sur Ω \ A avec A ∈ T (Ω) et P (A) = 0.Les fonctions mesurables f telles qu’il existe une constante C > 0, telle que

|f(ω)| ≤ C p.p. sur Ωforment aussi un espace vectoriel sur K noté L∞(Ω; dP (ω)). On note aussi

‖f‖∞ := Inf{C; C > 0 et |f(ω)| ≤ C p.p.}, ∀ f ∈ L∞(Ω; dP (ω)) (3.10)

25

On a l’inégalité de Hölder :

f ∈ Lp((Ω; dP (ω)), g ∈ Lq((Ω; dP (ω)), p, q ∈ [1, +∞], 1p+

1

q= 1 =⇒ fg ∈ L1((Ω; dP (ω))

|∫

Ω

f(ω)g(ω)dP (ω)| ≤ ‖f‖p × ‖g‖q, (si1

p+

1

q= 1). (3.11)

Un sous-espace commun à tous ces espaces Lp(Ω; dP (ω)), (1 ≤ p ≤ ∞),est Etag(Ω; K) ∩ L1(Ω; dP (ω)) et le plus intéressant, celui des fonction nulles presquepartout N (Ω; dP (ω)) = {f : Ω 7→ K, f = 0 p.p.}.

Pour 1 ≤ p ≤ ∞, Lp(Ω; dP (ω)) := Lp(Ω; dP (ω))/N (Ω; dP (ω)) est l’espace vectorielquotient par les fonctions nulles presque partout.

Les espaces (Lp(Ω; dP (ω)); ‖ . ‖p) sont des espaces vectoriels normés et complets, (desBanach). (L2(Ω; dP (ω)); ‖ . ‖2) est un espace de Hilbert.

Enfin rappelons la définition d’une mesure produit.

Soit (X, T (X), µ) et (Y, T (Y ), ν) deux espaces mesurés, soit sur X × Y la tribuT (X × Y ) engendré par T (X) × T (Y ), et notée T (X) ⊗ T (Y ).

Il existe une unique mesure sur (X ×Y, T (X)⊗T (Y )), noté µ⊗ν, et appelé mesureproduit de µ et ν, tel que

µ ⊗ ν(A × B) = µ(A)ν(B), ∀(A, B) ∈ T (X) × T (Y ). (3.12)

Théorème 3.4 “de Fubini pour les fonctions positives”

Soit (X, T (X), µ) et (Y, T (Y ), ν) deux espaces mesurés et soit l’espace mesuréproduit (X × Y, T (X) ⊗ T (Y ), µ ⊗ ν).

Soit f(x, y) une fonction mesurable et positive sur X × Y .Alors, pour presque tout y ∈ Y fixé, la fonction f( . , y) : X 7→ C est mesurable sur

X et y 7→∫

Xf(x, y)dµ(x) est une fonction mesurable sur Y.

De même, pour presque tout x ∈ X fixé, la fonction f(x, . ) : Y 7→ C est mesurablesur Y et x 7→

∫Y

f(x, y)dν(y) est une fonction mesurable sur X.

De plus

∫

X×Yf(x, y)dµ⊗ν(x, y) =

∫

X

(

∫

Y

f(x, y)dν(y))dµ(x) =

∫

Y

(

∫

X

f(x, y)dµ(x))dν(y).

Théorème 3.5 “de Fubini”

Soit (X, T (X), µ) et (Y, T (Y ), ν) deux espaces mesurés et soit l’espace mesuréproduit (X × Y, T (X) ⊗ T (Y ), µ ⊗ ν).

Soit f(x, y) une fonction intégrable sur X × Y .Alors, pour presque tout y ∈ Y fixé, la fonction f( . , y) : X 7→ C est intǵrable sur

X et y 7→∫

Xf(x, y)dµ(x) défini p.p. se prolonge en une une fonction intégrable sur Y.

De même, pour presque tout x ∈ X fixé, la fonction f(x, . ) : Y 7→ C est intégrablesur Y et x 7→

∫Y

f(x, y)dν(y) défini p.p. se prolonge en une une fonction intégrable

sur X.

26

De plus

∫

X×Yf(x, y)dµ⊗ν(x, y) =

∫

X

(

∫

Y

f(x, y)dν(y))dµ(x) =

∫

Y

(

∫

X

f(x, y)dµ(x))dν(y).

On peut alors noter dν ⊗ mu(x, y) = dµ(x)dν(y).

De part la construction des espaces Lp, l’espace vectoriel les fonctions en étagées (et

intégrables) est toujours dense dans les espaces Lp(Ω; dP (ω).

Les résultats à connâıtre sur les fonctions définies par une intégrale

Théorème 3.6 “de continuité d’une intégrale dépendant d’un paramètre”

Soit (Ω, T (Ω), µ) un espace mesuré et X un espace métrique.Soit F : X × Ω 7→ C une fonction vérifianti) pour tout x ∈ X fixé, F (x, . ) ∈ L1(Ω; dµ(ω)),ii) pour p.p. sur Ω, si ω ∈ Ω est fixé, alors la fonction F ( . , ω) est continue sur X.iii) il existe une g ∈ L1(Ω; dµ(ω)) tel que ∀ x ∈ X, |F (x, ω) ≤ g(ω) p.p. sur Ω.Alors la fonction f(x) =

∫

Ω

F (x, ω)dµ(ω) est continue sur X.

Théorème 3.7 “de dérivabilité d’une intégrale dépendant d’un paramètre”

Soit (Ω, T (Ω), µ) un espace mesuré et I un intervalle de R.Soit F : I × Ω 7→ C une fonction vérifianti) pour tout t ∈ I fixé, F (t, . ) ∈ L1(Ω; dµ(ω)),ii) pour p.p. sur Ω, si ω ∈ Ω est fixé, alors la fonction F ( . , ω) est continûment

dérivable sur I.

iii) il existe une g ∈ L1(Ω; dµ(ω)) tel que ∀ t ∈ I, | ∂∂t

F (t, ω)| ≤ g(ω) p.p. sur Ω.

Alors la fonction f(t) =

∫

Ω

F (t, ω)dµ(ω) est continûment dérivable sur I,

∀ t inI fixé ∂∂t

F (t, . ) ∈ L1(Ω; dµ(ω) et ddt

f(t) =

∫

Ω

∂

∂tF (t, ω)dµ(ω).

Ces deux théorèmes résultent du Théorème de convergence dominée de Lebesgue.

Remarquez que tous ces résultats s’appliquent aux séries, (mais dans les concours, il est

conseillé d’utiliser de préférence les théorèmes sur les séries de fonctions de D.E.U.G.A.2).

En effet, si on prend Ω = N et comme tribu T (N) = P(N), (la plus grande possible),dans ce cas toutes les fonctions sont mesurables. Si (an) est une suite de réels ≥ 0, on aalors une mesure sur N, P, P (A) =

∑

n∈Aan, ∀ A ⊂ N.

Si les an sont tous > 0, alors seul l’ensemble vide est de mesure nulle, dans ce cas

Lp(N; dP (n)) = Lp(N; dP (n)).L’intégrale d’une fonction f sur N est alors donnée par

∫

N

f(n)dP (n) =

+∞∑

n=0

anfn.

Une fonction f sur N est toujours identifiée à une suite (fn), fk = f(k) ∀k ∈ N.

27

Dans le cas où an = 1 ∀ n ∈ N, alors Lp(N; dP (n)) = lp(N).Quelques espaces vectoriels dense dans Lp(Ω), pour la mesure de Lebesgue

Soit Ω ⊂ Rn un ouvert. On sait que, pour tout p ∈ [1, +∞], les fonctions étagéesEtag(Ω) sont denses dans Lp(Ω).

Un sous-espace des fonctions étagées est Esc(Ω), l’espace vectoriel des fonctions en

escalier sur Ω.

f ∈ Esc(Ω) si et seulement s’il existe un entier N , N pavés bornés de Ω P1, . . . , PNet N scalaires λ1, . . . , λN ∈ C tel que

f(x) =

N∑

j=1

λjχPj (x), Pj =]a1(j), b1(j)[× . . .]an(j), bn(j)[ ⊂ Ω.

Si p ∈ [1, +∞[, (p 6= ∞), alors les fonctions en escalier sont encore denses dansLp(Ω).

Proposition 3.8 Si Ω ⊂ Rn est un ouvert et si 1 ≤ p < ∞, alors les fonctions de classeC∞ et à support compact inclus dans Ω, C∞c (Ω) sont denses dans L

p(Ω), et donc, pour

tout entier k ∈ N, Ckc (Ω) est aussi dense dans Lp(Ω).

( Ckc (O) désigne l’espace vectoriel des fonctions de classe Ck et à support compactinclus dans O).Esquisse de la preuve On utilise le fait que les fonctions en escalier, Esc(Ω), sont encore

denses dans Lp(Ω).

Il suffit alors de montrer que, si P =]a1, b1[× . . .×]an, bn[ ⊂ Ω un pavé borné de Ω,pour tout ǫ > 0, il existe fǫ ∈ C∞c (P ), tel que ‖χP − fǫ‖p ≤ ǫ.

- 1 Construction d’une fonction indéfiniment dérivable et à support compact sur R.

Soit la fonction de R, g, définie par

g(t) = e−1/(1−t2), ∀ t ∈]0, 1[ et g(t) = 0, ∀t, |t| ≥ 1.

Alors g ∈ C∞c (R), Support(g) = [−1, 1] et 0 ≤ g ≤ 1.La fonction G(t) =

1

I(g)

∫ t

−1g(s)ds, où I(g) =

∫R

g(s)ds =∫ 1−1 g(s)ds,

vérifie 0 ≤ G ≤ 1, G(t) = 0, ∀t ≤ −1 et G(t) = 1, ∀t ≥ 1.- 2 Cas uni-dimensionnel

P =]a, b[ est un intervalle. Soit ǫ > 0 que l’on peut supposer petit, ǫ < (b − a)/4.On définit la fonction fǫ par

fǫ(t) = G(λt+α) sur ]−∞, a+ ǫ2 [, fǫ(t) = 1 sur [a+ ǫ2 , b− ǫ2 ] et fǫ(t) = G(−λt+β)sur ]b − ǫ

2, +∞[,

avec λ = 4ǫ, α = −1 − 4a

ǫ, et β = −1 + 4b

ǫ.

Alors fǫ ∈ C∞c (R), Support(fǫ) ⊂ [a, b], 0 ≤ fǫ ≤ 1, et donc 0 ≤ χP − fǫ ≤ 1 etcomme Support(χP − fǫ) ⊂ [a, a + ǫ2 ] ∪ [b − ǫ2 , b],on en déduit que ‖χP − fǫ‖p ≤ ǫ.

28

- 3 Cas multi-dimensionnel

On prend fǫ(x) = f1,ǫ(x1) × f1,ǫ(x2) × . . . × fn,ǫ(xn) avec fi,ǫ ∈ C∞c (R), 0 ≤χ]ai,bi[−fi,ǫ ≤ 1, Support(χ]ai,bi[−fi,ǫ) ⊂ [ai, ai + ǫ2Ci ]∪ [bi−

ǫ2Ci

, bi] avec Ci =∏

j 6=i(bj−aj).

On vérifie alors que ‖χP − fǫ‖p ≤ ǫ- 4 Fin de la preuve

Soit f ∈ Lp(Ω) et soit ǫ > 0. Il existe alors une fonction en escalier

f1,ǫ(x) =

Nǫ∑

j=1

ajχPj (x), les Pj sont des pavés bornés, disjoints et de fermetures incluses

dans Ω, tel que ‖f − f1,ǫ‖Lp(Ω) ≤ ǫ/2.A chaque Pj, on peut trouver ϕj ∈ C∞c (Pj), tel que ‖χPj −ϕj‖p ≤ ǫ/[2Nǫ(|aj|+ 1)].

Alors f2,ǫ(x) =Nǫ∑

j=1

ajϕj(x) ∈ C∞c (Ω) et ‖f2,ǫ − f1,ǫ‖Lp(Ω) ≤ ǫ/2.

L’inégalité triangulaire donne alors ‖f−f2,ǫ‖Lp(Ω) ≤ ‖f−f1,ǫ‖Lp(Ω)+‖f1,ǫ−f2,ǫ‖Lp(Ω) ≤ ǫ •

Un autre résultat de densité intéressant à connâıtre est

Proposition 3.9 Soit V un ouvert de Rm et W un ouvert de Rn. Soit k ∈ N∪{+∞}et soit Ckc,⊗(V ×W) la sous-algèbre de Ckc (V ×W) formée des fonctions f de la forme

f(x, y) =

N∑

j=1

vj(x)wj(y) avec vj ∈ Ckc (V) et wj ∈ Ckc (W ).

Alors Ckc,⊗(V ×W) est dense dans Lp(V ×W) si 1 ≤ p < +∞, (p 6= ∞).

Pour prouver cette dernière proposition, on utilise la précédente (3.8) et on est ramené

à montrer par exemple que C∞c,⊗(V×W) est dense dans (C(K1×K2); ‖ . ‖∞), si K1 est uncompact de V et K2 un compact de W. Là on utilise le Théorème de Stone-Weierstrassdont les hypothèses sont très faciles à vérifier, si on sait que, pour tout voisinage ouvert Od’un compact K de RN , on peut trouver une fonction Φ ∈ C∞c (O) telle que 0 ≤ Φ ≤ 1et Φ = 1 sur K.

Une définition pour terminer. Si Ω ⊂ Rn est un ouvert et si 1 ≤ p ≤ ∞, Lploc(Ω),désigne l’espace vectoriel des fonctions mesurables sur Ω et qui sont localement dans

Lp, c’est à dire, que pour tout a ∈ Ω, il existe un voisinage Va de a tel f ∈ Lp(Va), cequi est équivalent à dire que f ∈ Lp(O), pour tout ouvert O relativement compact dansΩ, (K = O ⊂ Ω et K est un compact).

On définit de la même façon Lploc(Ω) = Lploc(Ω)/N (Ω).

3.2 Série de Fourier “à la mode Mâıtrise”

Si f ∈ L1loc(R) et si f est périodique de période T > 0, ( f(x + T ) = f(x) pourpresque tout x ∈ R),

29

alors f ∈ L1([0, T ]), par conséquent, comme pour tout k ∈ Z, e2kπix/T est continueet bornée, l’inégalité de Hölder dit que les coefficients de Fourier de f, (f̂k)k∈Z sont bien

définis :

f̂k =1

T

∫ T

0

f(x)e−2kπix/T dx, ∀ k ∈ Z.

(|f̂k| ≤ 1T ‖f‖L1([0,T ]), car |e−2kπix/T | = 1).

Remarquez que si a ∈ R, alors f̂k =1

T

∫ a+T

a

f(x)e−2kπix/T dx.

En effet, il existe j ∈ Z, la partie entière de a/T, tel que jT ≤ a < (j + 1)T, leschangements de variables x 7→ x − jT et x 7→ x − (j + 1)T montrent que

∫ a+T

a

f(x)e−2kπix/T dx =

∫ (j+1)T

a

f(x)e−2kπix/T dx +

∫ a+T

(j+1)T

f(x)e−2kπix/T dx

=

∫ T

a−jTf(x)e−2kπix/T dx +

∫ a−jT

0

f(x)e−2kπix/T dx =

∫ T

0

f(x)e−2kπix/T dx

Soit p ≥ 1, comme 1 ∈ Lq([a, b]) pour tout a et b, l’inégalité de Hölder permet alorsde voir que Lp([a, b]) ⊂ L1([a, b]), et donc Lploc(R) ⊂ L1loc(R).

On peut alors considérer les coefficients de Fourier d’une fonction de périodique T si

elle est dans Lploc(R) : Lpper(R) désignera l’espace vectoriel de telles fonctions.

L’espace vectoriel des polynômes trigonométriques de période T, est le sous-

espace vectoriel des fonctions continues sur R et T périodiques engendré par les fonctions

e2kπix/T , k ∈ Z.Autrement dit, q(x) est un polynôme trigonométrique si et seulement si, il existe un

entier N ≥ 0 tel que

q(x) =

N∑

k=−Ncke

2kπix/T , les ck étant des constantes.

Théorème 3.10 Soit Cper([0, T ]) l’espace vectoriel des fonctions continues f sur [0, T ]

tel f(0) = f(T ).

Alors on a les propriétés suivantes.

i) Cper([0, T ]) est un sous-espace fermé de l’espace de Banach (C([0, T ]), ‖ . ‖∞),et donc (Cper([0, T ]), ‖ . ‖∞) est aussi un espace de Banach.

ii) Les polynômes trigonométriques sont denses dans l’espace de Banach (Cper([0, T ]), ‖ . ‖∞).iii) Pour tout p, 1 ≤ p 6= +∞, Cper([0, T ]) est dense dans Lp([0, T ]).iv) {e2kπix/T /

√T}k∈Z est une base Hilbertienne de L2([0, T ]).

Idée de la preuve

i) On considère la forme linéaire et continue u sur l’espace de Banach

(C([0, T ]), ‖ . ‖∞), u(f) = f(T ) − f(0).La continuité de u entrâıne que son noyau Ker(u) = u−1({0}) = Cper([0, T ]) est

fermé.

30

ii) Comme on a vu le Théorème de Stone-Weierstrass on va l’utiliser ici sur le compact,

le cercle unité S1 = {z ∈ C; |z| = 1} = {e2πix/T ; x ∈ [0, T [}, (c’est un compact car c’estun borné fermé de R2).

On a un isomorphisme d’espace de Banach J : C(S1) 7→ Cper([0, T ]), J(g)(x) =g(e2πix/T ), ∀g ∈ C(S1).

Si Pper([0, T ]) désigne les polynômes trigonométriques, alors Pper([0, T ]) sera densedans Cper([0, T ]) si et seulement J

−1(Pper([0, T ])) est dense dans C(S1).Nous laissons en exercice la vérification que les hypothèses du Théorème de Stone-

Weierstrass sont vérifiée sur J−1(Pper([0, T ])), dans C(S1).iii) Soit C∞c (]0, T [), l’espace vectoriel des fonctions indéfiniment dérivable sur ]0, T [

à support compact (inclus dans ]0, T [). Toute fonction f ∈ C∞c (]0, T [), se prolonge enposant f(0) = f(T ) = 0 en une fonction dans Cper([0, T ]), on peut donc écrire que

C∞c (]0, T [) ⊂ Cper([0, T ]).Comme C∞c (]0, T [) est dense dans L

p([0, T ]), à fortiori Cper([0, T ]) sera aussi dense

dans Lp([0, T ]).

iv) On vérifie que {e2kπix/T/√

T}k∈Z est une famille orthonormée dans L2([0, T ],(pour l’orthogonalité, remarquer si j ∈ Z, j 6= 0, alors

∫ T0

e2iπjx/T dx = T/(2iπj)[e2iπjx/T ]x=Tx=0 =

0).

La densité des polynômes trigonométriques dans L2([0, T ]) entrâıne alors que {e2kπix/T /√

T}k∈Zest en fait une base Hilbertienne •

La propriété iv) du Théorème (3.10) dit que, si f ∈ L2per(R), alors

limN 7→+∞

‖f(x) −k=N∑

k=−Nf̂ke

2kπix/T‖L2([0,T ]) = 0, ∀ f ∈ L2per(R). (3.13)

ce qui donne l’égalité de Parseval

∫ T

0

|f(x)|2dxT

=∑

k∈Z|f̂k|2, ∀ f ∈ L2per(R). (3.14)

Remarquons que si f(x) est une fonction continue et T périodique est telle que sa

série de Fourier∑

k∈Zf̂ke

2kπix/T convege uniformément sur R vers une fonction F (x),

( limN 7→+∞

k=N∑

k=−Nf̂ke

2kπix/T = F (x)), alors f(x) et F (x) seront deux fonctions continues, T

périodique et ayant les mêmes coefficients de Fourier, la propriété iv) du Théorème (3.10),

plus précisement la limite (3.13) entrâıne alors que f(x) = F (x) pour presque tout x, et

la continuité entrâıne alors que f(x) = F (x) ∀x.C’est le cas si f(x) ∈ C1(R) et T périodique. En effet, dans ce cas une intégration

par partie montre que, si k ∈ Z, k 6= 0, alors f̂k = T2iπk ĝk, si g(x) = f′

(x).

31

Mais l’égalité de Parseval (3.14) dit que (ĝk)k∈Z ∈ l2(Z), et comme ( T2iπk)k∈Z⋆ ∈ l2(Z⋆),l’inégalté de Cauchy-Schwarz, montre alors que

∑

k∈Z⋆| T2iπk

ĝk| ≤ [∑

k∈Z⋆| T2iπk

|2]1/2 ×∑

k∈Z⋆|ĝk|2]1/2 =

1

π[∑

n∈N⋆

1

n2]1/2 × (

∫ T

0

|f ′(x)|2dx)1/2

est convergente, d’où la série de Fourier de f est uniformément convergente sur R.

3.3 Transformation de Fourier : un aperçu

Ici nous donnons juste un aperçu de la transformation de Fourier. Nous conseillons

vivement à ceux qui n’ont pas suivi une option de la Licence où la transformée de Fourier

est développée, de lire les 13 pages du manuel [9] ou les pages 127− 133 de [5] consacréesà la transformation de Fourier sur R.

Si f ∈ L1(R), on appelle transformée de Fourier de f la fonction de R,

F(f)(ξ) = f̂(ξ) :=∫

R

e−iξxf(x)dx.

Le théorème de continuité des intégrales dépendant d’un paramètre montre que f̂ est

une fonction continue sur R; remarquez aussi que f̂ est une fonction bornée :

∀f ∈ L1(R), f̂ ∈ C0(R) ∩ L∞(R) et |f̂(x)| ≤ ‖f‖1, ∀ x ∈ R. (3.15)

Attention dans certains ouvrages comme dans [9], la définition de la transformée de

Fourier de f est F (f)(ξ) =1√2π

∫

R

e−iξxf(x)dx.

Nous verrons l’utilité de cette définition.

Théorème 3.11 “de Riemann-Lebesgue”

Si f ∈ L1(R), alors sa transformée de Fourier tend vers zéro à l’infini : lim|ξ|7→∞

f̂(ξ) = 0.

Pour s’en convaincre, supposer d’abord que f ∈ C1c (R);dans ce cas f et sa dérivée f

′

sont intégrables, dans la définition de f̂(ξ) on peut intégrer

par partie quand ξ 6= 0 et on trouve que

f̂(ξ) =1

iξF(f ′)(ξ).

Par conséquent |f̂(ξ)| ≤ 1|ξ|‖f′‖1.

Les fonctions qui sont dans C1c (R) satisfont donc le Théorème de Riemann-Lebesgue.

Pour conclure, on utilise la densité de C1c (R) dans L1(R)

et la continuité de l’opérateur de Fourier F : L1(R) 7→ L∞(R) donnée par (3.15) •Remarquez que le Théorème de Riemann-Lebesgue entrâıne que les coefficients de

Fourier d’une fonction périodique tendent vers zéro à ±∞,(si h ∈ L1(]0, T [), T ĥk =

∫ T0

e−2ikπx/T h(x)dx = F(hχ]0,T [)(2kπT )).

32

Des intégrations par partie et le Théorème de dérivation des intégrales dépendant d’un

paramètre montrent les formules suivantes

F [(−ix)kf(x)](ξ) = dk

dxkf̂(ξ), si (1 + |x|)kf(x) ∈ L1(R), (3.16)

F(f (k))(ξ) = (iξ)kf̂(ξ) si f ∈ Ck(R) et f (j) ∈ L1(R), ∀j ≤ k. (3.17)

Rappelons la définition du produit de convolution de deux fonctions.

Si p ∈ [1, +∞[ et si q ≥ 1 est son conjugué, (1p

+ 1q

= 1), alors pour tout f ∈ Lp(R)et g ∈ Lq(R), le produit de convolution de f et g est la fonction de R

f ⋆ g(x) :=

∫

R

f(x − y)g(y)dy. (3.18)

C’est l’inégalité de Hölder qui justifie la convergence de l’intégrale et la majoration

|f ⋆ g(x)| ≤ ‖f‖p‖g‖q.Un changement de variable immédiat permet de voir que : f ⋆ g = g ⋆ f.

On peut montrer facilement en utilisant la densité de C0c (R) dans Lp(R) que

f ⋆ g ∈ C0(R).Un cas intéressant est celui où f ∈ L1(R) mais la fonction g n’est pas dans L∞(R).Quand f et g sont dans L1(R), le Théorème de Fubini montre que

f(x−y)g(y) ∈ L1(R2) et que, pour presque tout x ∈ R fixé, y 7→ f(x−y)g(y) est unefonction intégrable sur R, et que la fonction définie p.p. x 7→ f ⋆g(x) =

∫R

f(x−y)g(y)dyest encore intégrable

∀ f, g ∈ L1(R); f ⋆g(x) =∫

R

f(x−y)g(y)dy ∈ L1(R), et ‖f ⋆g‖1 ≤ ‖f‖1×‖g‖1. (3.19)

(Quand f ∈ L1(R) et g ∈ Lp(R), on peut encore donner un sens à f ⋆ g dans Lp(R)).La formule suivante se vérifie alors facilement, grâce au Théorème de Fubini

∀ f, g ∈ L1(R), F(f ⋆ g)(ξ) = F(f)(ξ)F(g)(ξ). (3.20)

Le Théorème de Fubini donne aussi facilement la première formule de Plancherel

∫

R

f(x)ĝ(x)dx =

∫

R

f̂(ξ)g(ξ)dξ, ∀ f, g ∈ L1(R). (3.21)

Une fonction importante dont il faut connâıtre la transformation de Fourier est la

fonction de Gauss G(x) = e−|x|2/2.

Nous laissons les calculs en exercice

Exercice 3.12 Soit G(x) = e−|x|2/2 la fonction de Gauss.

1) Soit a = ‖G‖22.i) Utiliser le théorème de Fubini sur R2 pour écrire a2 =

∫R2

e−(x2+y2)dxdy.

33

ii) Passer en cordonnées polaires et établir que a2 = π. En déduire que

∫

R

e−x2

dx =√

π = ‖G‖22.

2) i) Etablir que Ĝ(ξ) ainsi que G(x) sont solutions de l’équation différentielle

d’inconnue u, u′

(t) + tu(t) = 0.

ii) Calculer Ĝ(0) à l’aide du résultat de 1)ii) et en déduire que

Ĝ(ξ) =

∫

R

e−ixξe−x2/2dx =

√2πG(ξ) =

√2πe−ξ

2/2.

Remarquer que dans cet exemple on a G(x) =1

2π

∫

R

eixξĜ(ξ)dξ.

On verra que cette formule se généralise à toute les fonctions intégrables, continues et

bornées ainsi que leurs transformées de Fourier. C’est l’objet de l’Exercice suivant.

Exercice 3.13 Pour tout σ > 0, on note Gσ la fonction Gσ(x) = G(σx) = e−σ2x2/2.

1) i) Utiliser les résultats de l’Exercice (3.12) pour établir que

Gσ(ξ) = ĝσ(ξ) avec gσ(x) =1

σ√

2πG(

x

σ).

ii) Vérifier que∫

Rgσ(x)dx = 1.

2) Soit f ∈ L1(R) ∩ L∞ ∩ C0(R) et tel que f̂ ∈ L1(R).i) Justifier que l’on a aussi f̂ ∈ L1(R) ∩ L∞ ∩ C0(R).ii) Justifier que F(gσ ⋆ f)(ξ) = Gσ(ξ)f̂(ξ).iii) Etablir en utilisant l’Exercice (3.12) que gσ ⋆ f(x) =

1

2π

∫

R

eixξF(gσ ⋆ f)(ξ)dξ.3) i) Etablir que

limσ 7→0

gσ ⋆ f(x) = f(x)

puis toujours quand σ tend vers 0+, que

1

2π

∫

R

eixξF(gσ ⋆ f)(ξ)dξ 7→1

2π

∫

R

eixξf̂(ξ)dξ.

Cet exercice montre que

f(x) =1

2π

∫

R

eixξf̂(ξ)dξ, ∀ f ∈ L1(R) ∩ C0(R) t.q. f̂ ∈ L1(R). (3.22)

(Prener une suite de fonctions de troncature (ϕn) telle que ϕn ∈ C0c (R), 0 ≤ ϕn ≤1, ϕn(x) = 1 sur [−n, n], ceci ∀n. Vérifier que les ϕnf satisfont aux hypothèses del’exercice).

Remarquer que l’espace de Schwarz S(R),

S(R) = {f ∈ C∞(R); (1 + |x|)jf (k)(x) ∈ L∞(R) ∀ j, k} (3.23)

34

vérifie

F(S(R)) ⊂ S(R) ⊂ Lp(R), ∀p ≥ 1, (3.24)d’où la formule d’inversion dans S(R),

f(x) =1

2π

∫

R

eixξf̂(ξ)dξ, ∀ f ∈ S(R), (3.25)

ce qui prouve que la transformée de Fourier est un isomorphisme (linéaire) sur l’espace

vectoriel S(R).De (3.25), on en déduit la formule de Plancherel sur S(R) :∫

R

f(x)g(x)dx =1

2π

∫

R

f̂(ξ)ĝ(ξ)dξ et donc ‖f‖2 =1√2π

‖f̂‖2 ∀ f, g ∈ S(R). (3.26)

En effet, (3.26) vient de (3.21) et de (3.25). Pour s’en convaincre, il suffit d’écrire que

g(x) = ĥ(x),

avec h(ξ) donné par (3.25) appliquée à g, h(ξ) = 12π

ĝ(ξ), (si g ∈ S(R)).Comme C∞c (R) ⊂ S(R) ⊂ Lp(R), on trouve que S(R) est dense dans Lp(R), pour

tout p ∈ [1, +∞[.Quand p = 2, la formule de Plancherel montre que la transformée de Fourier se

prolonge sur L2(R) en un unique opérateur noté encore F , qui est un isomorphismed’espace de Hilbert :

F ∈ L(L2(R)), ‖f‖2 =1√2π

‖F(f)‖2 et F−1(g)(x) =1

2πF(g)(−x), ∀ g ∈ L2(R).

(3.27)

Remarquons que si on considère la définition de la transformée de Fourier de [9]

F (f)(ξ) = 1√2πF(f)(ξ), alors F : L2(R) 7→ L2(R) est un opérateur unitaire : F ⋆ = F−1.

De façon équivalente F est un isomorphisme isométrique :

F est surjectif et ‖F (f)‖2 = ‖f‖2, ∀ f ∈ L2(R).Montrons l’injectivité de la transformée de Fourier, comme opérateur linéaire et continu

de L1(R) dans L∞(R),

{f ∈ L1(R), f̂ = 0} =⇒ f = 0. (3.28)

(On n’a pas la surjectivité). Preuve de (3.28)

Soit f ∈ L1(R) tel que f̂ = 0.Comme S(R) est dense dans L1(R), on peut toujours trouver une suite de fonctions

dans S(R), (fn), telle que

limn

‖f − fn‖1 = 0 et limn

fn(x) = f(x) p.p. sur R. (3.29)

Mais, pour tout n, fn(x)[1 + |fn(x)|2]−1/2 ∈ S(R).L’isomorphisme de la transformation de Fourier sur S(R) permet de trouver, pour

tout n, gn ∈ S(R) tel que ĝn(x) = fn(x)[1 + |fn(x)|2]−1/2.

35

Comme f̂ = 0, la première formule de Plancherel montre alors que

∫

R

f(x)fn(x)[1 + |fn(x)|2]−1/2dx =∫

R

f(x)ĝn(x)dx =

∫

R

f̂(ξ)gn(ξ)dξ = 0. (3.30)

Mais le Théorème de convergence dominée de Lebesgue, permet de voir que (3.29) et

(3.30) impliquent

0 = limn

∫

R

f(x)fn(x)[1 + |fn(x)|2]−1/2dx =∫

R

|f(x)|2√1 + |f(x)|2

dx,

la positivité de la dernère fonction intégrée (et d’intégrale nulle) montre que f(x) = 0 p.p.

sur R.

Dans le cas de Rn la transformation de Fourier est définie par

F(f)(ξ) = f̂(ξ) = f̂(ξ1, . . . , ξn) =∫

Rn

e−if(x)dx

=

∫

Rn

e−i(x1ξ1+x2ξ2...+xnξn)f(x1, x2, . . . , xn)dx1dx2 . . . dxn;

ceci au départ pour f ∈ L1(Rn).Elle se prolonge aussi à partir de L1(Rn) ∩ L2(Rn) en un isomorphisme sur l’espace

de Hilbert L2(Rn) tel que l’on ait :

1- la formule de Plancherel

∫

Rn

f(x)g(x)dx =1

(2π)n

∫

Rn

f̂(ξ)f̂(ξ)dξ et donc ‖f‖2 =1

(2π)n/2‖f̂‖2, (3.31)

ceci ∀ f, g ∈ L2(Rn).2- la formule d’inversion

f(x) =1

(2π)n

∫

Rn

eif̂(ξ)dξ, (3.32)

ceci ∀ f ∈ C0(Rn) ∩ L1(Rn) tel que f̂ ∈ L1(Rn).On trouve alors la formule d’inversion

f(x) =1

(2π)nF(f̂)(−x) p.p. ∀ f ∈ L2(Rn).

Nous renvoyons à [5] pour les preuves.

3.4 Fonctions holomorphes

Dans le cours de M1, on aura rarement l’occasion d’utiliser des propriétés fines sur

les fonctions holomorphes. Elles apparâıtrons, mais à valeurs dans un espace de Banach.

36

On utilisera surtout le caractère analytique de ces fonctions et l’unicité du prolongement

holomorphe dans un ouvert simplement connexe.

Par contre, pour traiter les sujets de T.E.R., (Travaux d’Etude de Recherche), il est

impératif de connâıtre le minimum développé dans les 24 pages du chapitre 10 du livre

[9] de W. Rudin, ”Analyse réelle et complexe”, (ou les 40 dernières pages de [4], ou du

minimum enseigné en D.E.U.G. développé dans le Tome 3 de [1] ou dans le Tome 3 de

[8]).

Nous supposerons acquis le minimum enseigné en D.E.U.G..

3.5 Les polynômes orthogonaux

Soit I ⊂ R un intervalle ouvert de R et f ∈ C0(I; R⋆+) une fonction continue sur Iet > 0. Alors (I, TB(I), M(f)) est un espace mesuré si

M(f)(J) =∫

IχJ(x)f(x)dx pour tout borélien J de I. On note dM(f) = f(x)dx.

On dit qu’on a une mesure de Lebesgue à densité.

On fait l’hypothèse suivante sur la fonction densité à savoir que l’espace vectoriel des

polynômes P(R) est dans L1(I; f(x)dx) :∫

I

|P (x)|f(x)dx < +∞, ∀ P (x) ∈ P(R), (3.33)

ce qui est équivalent à : pour tout entier n, (1 + |x|)nf(x) ∈ L1(I).Alors on a aussi P(R) ⊂ Lp(I; f(x)dx), ∀ p ∈ [1, +∞[.On considère le cas p = 2, alors H = L2(I; f(x)dx) est un espace de Hilbert de

produit scalaire

(u; v) =

∫

I

u(x)v(x)f(x)dx, ‖u‖ = [∫

I

|u(x)|2f(x)dx]1/2, ∀ u, v ∈ H. (3.34)

Comme {1, x, x2, . . . , xn, xn+1, . . .} est un système libre de vecteurs dans l’espace deHilbert H = L2(I; f(x)dx), on peut alors en extraire, par le procédé de Grahm-Schmidt,

un système orthonormé {P0(x), P1(x), P2(x), . . . Pn(x), . . .} :

P0(x) = a0(0), P1(x) = a1(1)x + a0(1), P2(x) = a2(2)x2 + a1(2)x + a0(2), . . . ,

Pn(x) =

n∑

i=0

ai(n)xi avec an(n) > 0.

Rappelons comment on construit les Pn(x),

si Q0(x) = 1, P0(x) = a0(0) = 1/‖Q0(x)‖, Pn(x) = Qn(x)/‖Qn(x)‖ (3.35)

avec Qn(x) = xn −

n−1∑

i=0

(xn; Pi(x))Pi(x) si n > 0.

37

On a

∀n, Pn(x) ∈ P(R), d◦Pn(x) = n, ∀k (Pn(x); Pk(x)) = δn(k). (3.36)Les polynômes Pn(x) sont donc orthonormés, on les appelle

polynômes orthogonaux normalisés. On a aussi

Q0(x) = 1, ∀n > 0, Qn(x) − xn ∈ Pn−1(R), ∀ k, k 6= n (Qn(x); Qk(x)) = 0, (3.37)

les polynômes Qn(x) sont appelés polynômes orthogonaux unitaires

Exercice 3.14 Si n > 1, alors Pn(x) a n zéros distincts et qui sont tous dans I.

(Considérer le polynôme (x − x1) . . . (x − xk) si x1 < x2 < . . . < xk sont les seuls zérosde Pn(x) dans I à changement de signe, (donc (x − x1) . . . (x − xk)Pn(x) a un signeconstant), utiliser alors que Pn(x) est dans l’orthogonal de Pn−1(R)).

Théorème 3.15 Soit ]a, b[ un intervalle borné, et soit f ∈ C0(]a, b[; R⋆+) �