L.S.El Riadh Mr Zribi - sbb59c43dfc5ef98a.jimcontent.com...L.S.El Riadh Nombres complexes 2 Mr Zribi...

L.S.El Riadh Nombres complexes Mr Zribi

4 ére Sc Solutions

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com

Exercice 1:

A=(2-i)²(3-2i)(1+3i)=(3-4i)(9+7i)=27+28+i(21-36)=55-15i.

B=55+15i= A

C=(1 i )(1 i ) 2( 3 2i ) 6 4i 3 2

i3 2i ( 3 2i )( 3 2i ) 10 5 5

Exercice 2:

1/ pour tout z4

1 i

;

( 3 i ) z 1 i 1 i

( 1 i ) z 4 1 2i

(3+i)(1+2i)z+(1-i)(1+2i)=(1+i)²z-4(1+i)

z[(3+i)(1+2i)-(1+i)²]= -4(1+i)-(1-i)(1+2i)

z[1+7i-2i]= -4-4i- (3+i)

z(1+5i)= -7-5i

z= 4 5 i

1 5 i

donc SC = {4 5 i

1 5 i

}.

2/ (1+2i)z-4 z =2-3i (E) ; on pose z=x+iy

(E) deviant: (1+2i)(x+iy)-4(x-iy)=2-3i

x-2y+i(2x+y)-4x+4iy=2-3i

-3x-2y+i(-2x+5y)=2-3y

3 x 2 y 2 6 x 4 y 4

2 x 5 y 3 6 x 15 y 9

5y

11 y 5 11

2 x 5 y 3 252 x 3

11

5y

11

8x

22

donc z= 8 5

i22 11

et SC= {

8 5i

22 11

}.


4 ére Sc Solutions

2010-2011


3/

z 3i1 i ; z i

z i

z 3 i ( 1 i )( z i )

z ( 1 ( 1 i ) i ( 1 i ) 3 i

z ( i ) 1 2 i

1 2 iz 2 i

i

z 2 i

donc SC={2+i}

4/ 4z²+8|z|²-3=0 (E) ; on pose z=x+iy

(E) devient 4(x²-y²+2ixy)+8(x²+y²)-3=0

12x²+4y²-3+2ixy=0

12 x ² 4 y ² 3 0

xy 0

12 x ² 4 y ² 3 0 12 x ² 4 y ² 3 0ou

x 0 y 0

13xy

ou 22

y 0x 0

SC ={3 1

i , }2 2

Exercice 3:

1/ si z est solution de (E) z4-2z

3+3z²-2z+2=0

4 3

4 3 2

2 3 z ² 2 z 2 0 0z z

2 3 2 z 2 0z z z

z est solution de (E).

2/ i4-2i

3+3i²-2i+2=1+2i-3-2i+2=0 i est solution de (E).

(1+i)4-2(1+i)

3+3(1+i)²-2(1+i)+2=(2i)(2i)-2(-2+2i)+6i-2-2i+2

= -4+4-4i+6i-2-2i+2=0 (1+i) est solution de (E).


4 ére Sc Solutions

2010-2011


b) i est solution de (E) i i est solution de (E).

(1+i) est solution de (E) 1 i 1 i est solution de (E).

c) P(z)= (z-i)(z+i)(z-(1+i))(z-(1-i))=(z²+1)(z²-2z+2).

Exercice 4:

1/

( 3 4 i )1 2 i 4 8 i ( 3 4 i )( 1 2 i ) 4 8 if ( 1 2 i )

5 5

15 10 i3 2 i

5

donc A'(3,-2).

2/ soit z=x+iy;

( 3 4 i )( x iy ) 4 8 i 3 x 4 y 4 4 x 3 y 8f ( z ) i

5 5 5

3 x 4 y 4 4 x 3 y 8Re( f ( z )) et Im( f ( z ))

5 5

soit M(z=x+iy) tel que f(z)=z

f(z)=z

3 x 4 y 4x

Re( f ( z )) x 52 x 4 y 4 0

Im( f ( z )) y 4 x 3 y 8y

5

d’où M décrit la droite ∆: -x+2y+2=0.

3/ M(z=x+iy) med[AA'] MA=MA' |1+2i-z|=|3-2i-z|

|1-x+i(2-y)|=|3-x-i(2+y)|

(1-x)²+(2-y)²=(3-x)²+(2-y)²

1-2x+x²+4-4y+y²=9-6xx²+4+4y+y²

-8+4x-8y=0

M ∆. Exercice 5:

1/ M(z=x+iy)D |z-3i|=|z+2-i|

|x+i(y-3|=|x+2+i(y-2)|

x²+(y-3)²=(x+2)²+(y-1)²

x²+y²-6y+9=x²+4x+4+y²-2y+1

4x+4y-4=0


4 ére Sc Solutions

2010-2011


x+y-1=0

d’où D est la droite d'équation x+y-1=0.

2/ |z-3i|=AM ; |z-(-2+i)|=BM

MD AM=BM M décrit la médiatrice de [AB].

Donc M est la médiatrice de [AB].

c) M(z=x+iy)D MA=MB x+y-1=0

donc D: x+y-1=0 Exercice 6:

1/ soit A(-1+i); |z+1+i|=4 AM=4 M décrit le cercle de centre A et de

rayon 4.

2/ |(1+i)z-2i|=2 |(1+i)(z-2 i

1 i)|=2

|1+i||z-2i (1 i )

(1 i )(1 i )

|=2

2|z-(1+i)|=2 |z-(1+i)|=1

soit B(1+i); |z-(1+i)|=1 BM=1 M décrit le cercle de centre B et de

rayon 1.

3/ soit A(3-2i) , B(-2+i)

|z-(3-2i)|=|z-(-2+i)| AM=BM M décrit la médiatrice de [AB].

4/ soit z=x+iy;

|z+1|=| z -1| |x+1+iy| =|x-1-iy|

(x+1)²+y²=(x-1)²+y²

x²+2x+1+y²=x²-2x+1+y²

x=0

M décrit la droite d'équation x=0.

5/ z0 ; |z|=1

z=|z-1|

1z

z

z z 1

z 1

z z 1

OM 1

OM AM ; A( 1 )

donc M est sur l'intersection du cercle de centre O , de rayon 1 et la médiatrice de

[OA]. Exercice 7:

1/ a) f(A) d'affixe: -i(1-2i)+(1+i)(1+2i)= -3+2i.

b) soit C(z=x+iy) tel que f(B)=C;


4 ére Sc Solutions

2010-2011


-1+3i= -iz+(1+i) z -1+3i= -i(x+iy)+(1+i)(x-iy)

-1+3i= -ix+y+x-iy+ix+y

-1+3i =2y+x+-iy

x 2 y 1 x 5

y 3 y 3

2/ M(z=x+iy) invariant par f f(M)=M

z= -iz+(1+i) z x+iy=(x+2y)-iy

x 2 y x

y 0y y

z= ix ; xIR.

E={ix; xIR}. Exercice 8:

1/ a)

2x iy 2 [( x 2 ) iy ]

Zx iy 2 [( x 2 ) iy ][( x 2 ) iy ]

( x 2 )² y ² 2 iy ( x 2 )

( x 2 )² y ²

( x 2 )² y ² 2 y ( x 2 )i

( x 2 )² y ² ( x 2 )² y ²

2 y ( x 2 )donc Im Z

( x 2 )² y ²

( x 2 )² y ²b ) Re Z

( x 2 )² y ²

2/ Z imaginaire pur ReZ=0

(x+2)²-y²=0 ; (x,y) (-2,0)

(x+2-y)(x+2+y)= 0 ; (x,y) (-2,0)

x+2+y= ou x+2-y=0 ; (x,y)0

E=∆U∆' / {A(-2,0)} avec ∆: x+2+y=0 et ∆': x+2-y=0. Exercice 9:

1/ soit z=x+iy;


4 ére Sc Solutions

2010-2011


f ( z ) z z ² z ( x iy )² x iy x ² y ² 2 ixy x iy

x ² y ² x x ² x y ² 0

2 xy y y ( 2 x 1 ) 0

x ² x y ² 0x ² x y ² 0

ou 1y 0 x

2

3y ²

x ( x 1 ) 0 4ou

y 0 1x

2

3 3y yx 0 x 1 2 2ou ou ou

y 0 y 0 1 1x x

2

2

z{0,1, 1 3

2 2

}

2/ soit z=x+iy ; f(z)=x²-y²-2ixy ;

x x ² y ²MOM ' rec tan gle en O OM .OM ' 0 ;M O avec OM etOM '

y 2 xy

x ( x ² y ²) y ( 2 xy ) 0 ; ( x , y ) ( 0 ,0 )

x ( x ² 3 y ²) 0 ; ( x , y ) ( 0 ,0 )

x 0 ou ( x 3 y )( x 3 y ) 0 ;( x , y ) ( 0 ,0 )

x 0 ou x 3 y 0 ou x 3 y 0 ;( x , y ) (

0 ,0 )

L'ensemble des points M est la réunion des droites ∆, ∆', ∆'' d'équations respectives

x=0, x-3y=0, x+3y=0 privées du point O(0,0). Exercice 10:

1 / ( z ) ( z j )( z j ) z ² j z jz j j

2z ² z ( j j ) j ² z ² z ( 2 cos ) 1

3

z ² z 1

2/ soit z=x+iy;

a)(z)=z²+z+1=(x+iy)²+(x+iy)+1=(x²-y²+x+1)+i(2xy+y).

(z) réel Im((z))=0 y(2x+1)=0 y=0 ou 2x+1=0.

E= ∆U ∆' avec ∆:y=0 et ∆':2x+1=0

b) (z) imaginaire pur Re((z))=0 x²-y²+x+1=0

F={M(x,y), x²-y²+x+1=0}


4 ére Sc Solutions

2010-2011


3/ M(x,y)EF

1y 0 x

ou 2x ² y ² x 1 0

x ² y ² x 1 0

1x

y 0 2ou

x ² x 1 0 impossible 3y

2

EF={A(1 3 1 3

, ),B( , )2 2 2 2

}

Exercice 11:

1/a) i ( 3 2 i ) 1 1 i 3 2 3 2i 3 1

( 3 2i ) i4 2 23 2i i 3 i

.

b) z=x+iy i ;

i z 11 i i z 1 ( 1 i )( z i )

z i

i ( x iy ) 1 ( 1 i )( x iy 1 )

y 1 ix x y 1 i ( y x 1 )

y 1 x y 1 x 0z i ce qui est impossible

x y x 1 y 1

SC =

2/ z=x+iy; i ( x iy ) 1 ( y 1 ) ix [( y 1 ) ix )][ x i ( y 1 )]

( z )x iy i x i ( y 1 ) x ² ( y 1 )²

x ( y 1 ) x ( y 1 ) i ( x ² ( y 1 )²]

x ² ( y 1 )²

x ² ( y 1 )²Im( ( z ))

x ² ( y 1 )²

(z) reel Im((z))=0 x²-(y-1)²=0 ; (x,y)(0,1)

(x-y+1)(x+y-1)=0 (x,y)(0,1)

x-y+1=0 ou x+y-1= ; (x,y)(0,1)

F=∆U ∆' / {A(0,1)} avec ∆:x-y+1=0 et ∆': x+y-1=0. Exercice12:

1/ a) l'affixe de f(M1) est i 2 i 1

i ( ) ii i 2

.


4 ére Sc Solutions

2010-2011


L'affixe de f(M2) est

3 1i 2 i

3 5 i 1 4 i2 2i ( ) i ( )3 1 3( 1 i ) 3

i i2 2

b) soit M(z); z 2 i z 2 i

2 i i ( ) 2 i 1 ( 2 i 1 )( z i ) z 2 iz i z i

z ( 2 i 1 ) 2 i z 2 i z ( 2 i 2 ) i 2

2 i ( 2 i )( 1 i ) 3 iz

2 2 i 4 4

2/ soit z=x+iy; x iy 2 i [ x i ( y 2 )][ x i ( y 1 )]

Z i ( ) i (x iy i [ x i ( y 1 )][ x i ( y 1 )]

x ² ( y 2 )( y 1 ) x ( y 2 ) x ( y 1 )i ( i )

x ² ( y 1 )² x ² ( y 1 )²

3 x x ² y ² y 2i

x ² ( y 1 )² x ² ( y 1 )²

a) Z imaginaire pur Re(Z)=0 x=0 ; (x,y) (0,-1)

E est la droite d'équation x=0 privée du point de coordonnées (0,-1).

b) Z réel Im(Z)=0 x²+y²-y-2=0 ; (x,y) (0,-1)

x²+(y-1 3

)² ²2 2

; (x,y) (0,-1)

F est le cercle de centre I(0,1

2) et de rayon

3

2 privé du point de coordonnées (0,-1)

c)z -i; f(M) (O,1) |Z|=1

z 2 ii 1

z i

z 2 ii 1

z i

z 2 i z i

AM BM avec A( 2 i ) et B ( i )

G est la médiatrice de [AB]. Exercice 13:

1/ z=(1-i)(1+2i)=3+i


4 ére Sc Solutions

2010-2011


2 6 i ( 2 6 i )( 3 i )z ' 2 i

3 i 10

4 i 4 i ( i 1 )z '' 2 2 i

i 1 2

2/ a) z '' z 1 3i ( 1 3i )( 3 i )

iz ' z 3 i 10

z '' zi 1

z ' z

z '' z MM ''et

z ' z MM '

donc MM '' MM '

par suite MM'M'' est un triangle isocèle de sommet principale M.

b) on a: M(3,1), M'(0,2) , M''(2,-2), 3 1

MM ' et MM ''1 3

.

MM '.MM '' 3 3 0 donc MM'M'' est triangle rectangle en M.

3/ G est le centre de gravité de MM'M'' GM GM ' GM '' O

z-zG+z'-zG+z''-zG=0 5+i-3zG=0

zG=5 i

3

4/ le triangle MM'M'' rectangle isocèle en M; pour que MM'M'''M'' soit un carré il

suffit qu'il soit un parallélogramme.

MM ' M '' M ''' z'-z=zM''' -z'' zM'''=-1-i Exercice 14:

1/ a) z i; M=M' z=z' z(z-i)=iz

z²-iz= iz z(z-2i)=0 z=0 ou z=2i.

E={M1(0),M2(2i)}

b) le point B' d'affixe: i i ( i 1 ) 1 1

ii 1 2 2 2

c) soit z i l'affixe de C;

iz2

z i

2(z-i)=iz z(2-i)=2i

2 i 2 i ( 2 i ) 2 4z i

2 i 5 5 5

2/ a) z=x+iyi ;


4 ére Sc Solutions

2010-2011


iz i ( x iy ) y ix [ y ix ][ x i ( y 1 )]

z i x iy i x i ( y 1 ) x ² ( y 1 )²

yx x ( y 1 ) x ² y ( y 1 )i

x ² ( y 1 )² x ² ( y 1 )²

x x ² y ² yi

x ² ( y 1 )² x ² ( y 1 )²

x x² y² yx ' et y '

x² ( y 1 )² x² ( y 1 )²

b) z i;

z'iIR x'=0 x=0

=D –{A(i)}.

z' IR+ y'=0 et x' ≥ 0 x²+(y-1 1

)² ( )²2 2

et x ≥0

' est l'arc OA du cercle d'équation : x²+(y-1 1

)² ( )²2 2

privé du point A(i).

3/ a) zi; iz iz iz 1 1

z ' i iz i z i z i

b) si M(A,1) AM=1 |z-i|=1

mais zi; |z-i||z'-i|=|-1|=1

|z'-i|=1 AM'=1

M' (A,1) Exercice 15:

z=1+i;

r 1² 1² 2

1 2cos

22[ 2 ]

41 2sin

22

z [ 2 , ] 2 (cos i sin )4 4 4

1 [1,0 ] 1 2[ , ] (cos i sin )

z 4 2 4 42[ 2 , ]4


4 ére Sc Solutions

2010-2011


z [ 2 , ] 2 (cos i sin )4 4 4

.

33 3 3

[ 2 2 ,3 ] 2 2 (cos i sin )[ 2 , ]z4 4 44

.

Exercice 16:

6 4 i ( 2 4 i )( 5 i ) 26 26 iz 1 i

5 i 26 26

=[2, ] 2 (cos i sin )

4 4 4

5

5 5 5[4 2 ,5 ] 4 2 (cos i sin )[ 2 , ]z

4 4 44

3

1 [1,0 ] 1 2 3 3[ , 3 ] (cos i sin )

4 4 4 42 2z [ 2 2 ,3 ]4

Exercice 17:

z1=1+i=[2, ] 2 (cos i sin )4 4 4

.

z2=3+i;

2

r 3 1 4 2

3cos

2 [ 2 ]61

sin2

[ 2 , ] 2(cos i sin )z6 6 6

z3=1-3i;

3

r 3 1 4 2

1cos

2[ 2 ]

33sin

2

[ 2 , ] 2(cos i sin )z3 3 3


4 ére Sc Solutions

2010-2011


1 2 3

1 3

2

[ 2 , ][ 2 , ][ 2 , ] [ 4 2 , ]z z z4 6 3 12

[ 2 , ][ 2 , ] [ 2 2 , ]z z 4 3 12 [ 2 , ]

4z [ 2 , ] [ 2 , ]6 6

332 [8 , ][ 2 , ] [16 , ]z z

2 3 6

Exercice 18:

a) 2

z 2 i [ 2 , ]i 2

b)3 3 3 3

z i ( 1 i 3 )2 2 2

=3

u2

u= -1+3i;

r 3 1 4 2

1cos

22[ 2 ]

33sin

2

2 2 2u [ 2 , ] 2(cos i sin )

3 3 3

3 2 2 2 2z [ ,0 ][ 2 , ] [ 3 , ] 3(cos i sin )

2 3 3 3 3

c) xIR; z= - 3(cosx-i sinx)= -3( cos(-x)+isin(-x))=3(cos(-x)+isin(-x)).

d) 4 4 4

42 i 2 1 i ( 1 i )²z 2 2 2i 2

1 i 1 i 2

Exercice 19:

1/ z=1+i=[2, ] 2 (cos i sin )4 4 4

.


4 ére Sc Solutions

2010-2011


z'=3+i;

r 3 1 4 2

3cos

2 [ 2 ]61

sin2

z ' [ 2 , ] 2(cos i sin )6 6 6

[ 2 , ]z ' 6 [ 2 , ] 2 (cos i sin )z 12 12 12

[ 2 , ]4

2/ z 1 1 1 1

[ , ] (cos i sin )z 'z ' 12 12 122 2[ 2 , ]z 12

.

z 1 i ( 1 i )( 3 i ) ( 3 1 ) i ( 3 1 )

z ' 4 43 i

3/

1 3 1 3 1(cos i sin ) i

12 12 4 42

6 2 6 2cos i sin i

12 12 4 4

6 2 6 2cos et sin

12 4 12 4

Exercice 20:

1/

u=-3+3i;

r 18 3 2

3 2cos

2 33 2[ 2 ]

43 2sin

23 2

3 3 3u [ 3 2 , ] 3 2 (cos i sin )

4 4 4

2/


4 ére Sc Solutions

2010-2011


7 7 3 7uz 6 2 (cos i sin ) [ 3 2 , ] z [6 2 , ]

12 12 4 12

7[6 2 , ]

12z [ 2 , ] 2(cos i sin )3 6 6 6

[ 3 2 , ]4

3 1z 2( i sin ) 3 i

2 2

b) uz= (-3+3i)(3-i)=(-33+3)+i(33+3)

(-33+3)+i(33+3)=7 7

( 6 2 cos ) i ( 6 2 sin )12 12

7 76 2 cos 3 3 3 et 6 2 sin 3 3 3

12 12

7 3 3 3 6 2 7 6 2cos et sin

12 4 12 46 2

Exercice 21:

a=1+cos2+isin2=2cos²+2isincos=2cos(cos+isin)

]0,/2[ cos >0

par suite |a|=2cos et Arga=[2].

b=1+cos2 -isin2=2cos² -2isincos=2cos(cos-isin)

=2cos[cos(-)+isin(-)]

par suite |b|=2cos et Argb= -[2].

c=

sin1 i

1 itg cos i sin [1 , ]cos [1 ,2 ]sin1 itg cos i sin [1 , ]

1 icos

Exercice 22:

1/ A(0,2).

b=-3+i;

r 3 1 4 2

3cos

52 [ 2 ]61

sin2

5b [ 2 , ]

6


4 ére Sc Solutions

2010-2011


on a:

|b|=2 OB=2 le point B est sur le cercle de centre O et de rayon 2.

Arg(b)=5 5

[ 2 ] ( i ,OB ) [ 2 ]6 12

.

D’où une construction du point B.

On a: c=b donc C est le symétrique de B par rapport à l'axe des abscisses.

2/

a ba b BAZ

c b c b BC

a bArg ( Z ) Arg ( ) [ 2 ]

c b

Arg ( a b ) Arg ( c b ) [ 2 ]

( i ,BA ) ( i ,BC ) [ 2 ]

( BC ,i ) ( i ,BA ) [ 2 ]

( BC ,BA ) [ 2 ]

b) 2i ( 3 i ) 3 i 1 3

Z i2 i 2 2( 3 i ) ( 3 i )

Z=1 3

i2 2

1 3r 1

4 4

1cos

22[ 2 ]

33sin

2

2 2 2Z [1 , ] cos i sin

3 3 3

c) BA

Z 1 BA BC ABC est isocèle en BBC

2 2A rg Z [ 2 ] ( BC ,BA ) [ 2 ]

3 3

Exercice 23:

1/ z1=-1-i= -1(1+i)=[1,][5

2 , ] [ 2 , ]4 4


4 ére Sc Solutions

2010-2011


z2=-1+i3;

2

r 3 1 4 2

1cos

22[ 2 ]

33sin

2

2 2 2[ 2 , ] 2(cos i sin )z

3 3 3

2/

1

2

52 ,

2 7 2 7 74zZ , (cos i sin )

2 2 12 2 12 12z 2 ,3

1 i ( 1 i )( 1 i 3 ) 1 3 1 3Z i

4 4 41 i 3

3/

2 7 7 1 3 1 3(cos i sin ) i

2 12 12 4 4

1 7 1 3 1 7 1 3cos et sin

12 4 12 42 2

7 2 6 7 2 6cos et sin

12 4 12 4

Exercice 24:

A/ 1/

z0=i3-i;

0

r 3 1 4 2

1cos

22[ 2 ]

33sin

2

2 2 2[ 2 , ] 2(cos i sin )z

3 3 3


4 ére Sc Solutions

2010-2011


4

4 40

n

n n0

822 , ,z 2

3 3

2 n22 , ,z 2

3 3

2/ z0n reel

2 n

3

2k; kZ n=3k, kZ.

le plus petit entier nIN* est 3.

B/ 1/ z1=-z=-r(cos+isin)=r(cos(+)+isin(+))=[r,+].

z2= z =[r,-]=r(cos(-)+isin(-))

2/ |z|=[z1|=|z2|=r OM=OM1=OM2 M, M1 , M2 sont sur le cercle de centre

O et de rayon 2, c'est le cercle de diamètre [MM1] et par suite MM1M2 est

rectangle en M.

3/ M2M =M2M1 |z-z2| =|z1-z2| (2rcos)²+(2rsin)²=(2rcos)²

sin =0 =k; kZ.

C/ z²=[r²,2]=r²(cos2+isin2)

(i3-1) z =[2,2 2

][ r , ] [ 2 r , ]3 3

2/ a) si z est solution de (E) |z²|=|(i3-1) z | r²=2r r(r-2)=0 r=0 ou

r=2 mais r>0 donc r=|z|=2.

b) si z est solution de (E) arg(z²)=arg((i3-1) z ) [2]

2 =2

3

- [2]

3 =2

3

[2]

Exercice 25:

1) a) M(z) invariant par f f(M)=M z=(1-i)z-1 z=i

le point A est le seul point invariant par f.

b)


4 ére Sc Solutions

2010-2011


i i( )i i4 4

4 4 4 i( )i( ) i( ) i( )2 82 2 2

3i( ) i( )

2 8 2 2 8

1 iz' e 1 e e 1 e 1

2

e e e e 2i sin( )2 8

2 sin( )e 2 sin( )e2 8 2 8

3ona : sin( ) 0

2 4 2 2 8 2 8 8 2 8

.

2) a) 1

arg( z') arg((1 i )z 1)[ 2 ] arg((1 i )( z ))[ 2 ]1 i

1 iarg(1 i ) arg( z )[ 2 ] ( i,BM )[ 2 ]

2 4

b)

*z' arg z' [ 2 ] ( i,BM ) [ 2 ]4

5( i,BM ) [ 2 ]

4

par suite E=[BA)\{B}.

3) z'=z-iz-1 z'-z=i(i-z)

|z'-z|=|i||i-z| |z'-z|=|i-z| MM' =MA donc MAM' est isocèle en M.

z' z

arg( ) arg i[ 2 ] ( MA,MM ' ) [ 2 ]i z 2

d'ou MAM' est rectangle en M.

b)

Étant donnée un point M , on place le point M' tel que MAM' est un triangle

direct rectangle isocèle en M. ( ( M , )

2

M ' r ( A ) )

z''= z' par suite M'' =( O,i )

S (M').

étant donnée un point M, on place le point M' puis le point M''=( O,i )

S (M')


4 ére Sc Solutions

2010-2011


Exercice 26:

a) soit z=x+iy i;

z'=i ( x iy ) y ix [ y ix ][ x i ( 1 y )] xy x ( 1 y ) i [ x ² y ( 1 y )]

x iy i x i ( 1 y ) x ² ( 1 y )² x ² ( 1 y )²

d'ou x x ² y ( 1 y )

Re( z ') et Im( z ')x ² ( 1 y )² x ² ( 1 y )²

z'IR Im(z')=0 x²+y²-y=0 x²+(y-1

2)²=

1

4

E est le cercle de centre I(0,1

2), de rayon

1

2 privé du point A(0,

1

2).

b) zi, |z'|=|i ziz OM

z ' |z i z i AM

.

|z'|=1 OM=AM

F est la médiatrice de [OA]. Exercice 27:

A/ 1/

z0=i3-i;

0

r 3 1 4 2

1cos

22[ 2 ]

33sin

2

2 2 2[ 2 , ] 2(cos i sin )z

3 3 3

4

4 40

n

n n0

822 , ,z 2

3 3

2 n22 , ,z 2

3 3

2/ z0n reel

2 n

3

2k; kZ n=3k, kZ.

le plus petit entier nIN* est 3.

B/ 1/ z1=-z=-r(cos+isin)=r(cos(+)+isin(+))=[r,+].

z2= z =[r,-]=r(cos(-)+isin(-))

2/ |z|=[z1|=|z2|=r OM=OM1=OM2 M, M1 , M2 sont sur le cercle de centre

O et de rayon 2, c'est le cercle de diamètre [MM1] et par suite MM1M2 est

rectangle en M.


4 ére Sc Solutions

2010-2011


3/ M2M =M2M1 |z-z2| =|z1-z2| (2rcos)²+(2rsin)²=(2rcos)²

sin =0 =k; kZ.

C/ z²=[r²,2]=r²(cos2+isin2)

(i3-1) z =[2,2 2

][ r , ] [ 2 r , ]3 3

2/ a) si z est solution de (E) |z²|=|(i3-1) z | r²=2r r(r-2)=0 r=0 ou

r=2 mais r>0 donc r=|z|=2.

b) si z est solution de (E) arg(z²)=arg((i3-1) z ) [2]

2 =2

3

- [2]

3 =2

3

[2]

Exercice 28:

a) z 2i;

z' imaginaire pure

z ' z '

2 z 2 z

z 2 i z 2 i

2 z z 4 iz 2 z z 4 i z

z z 4 i ( z z ) 0 posons z x iy

x ² y ² 4 i ( 2 iy ) 0

x ² y ² 8 y 0

x ² ( y 4 )² 16

E est le cercle de centre I(0,4) et de rayon 4..

b) z2i; 2 z OM

z ' 2z 2 i AM

|z'|=2 OM=AM

F est la médiatrice de [OA]. Exercice 29:

1/ a) z=3+4i i ( 3 4 i ) i ( 3 4 i )² i ( 7 24 i ) 24 7 i

z '( 3 4 i ) 25 25 25

b) z'= -1 iz= - z posons z=x+iy

i(x+iy)= -(x-iy) -y+ix= -x+iy x=y


4 ére Sc Solutions

2010-2011


donc z=x+ix, xIR

2/ |z'|=i z

1 ( z zz

)

|z'|=1 OM'=1

don M' décrit le cercle de centre O et de rayon1.

3/ i i

i ( 2 )22i

iz rz '

z r

e ee

e

.

4/ z0;

z' imaginaire pur Arg(z') k2

2+ k2 2

, kZ

=k2

, kZ

E est la réunion des droites (O, j ) et(O, i ) privée de O.

Deuxième méthode

z' imaginaire pur z'= - z '

iz i z

zz

iz ² i z ²

z ² z ²

z z ou z z

E est la réunion des droites (O, j ) et(O, i ) privée de O.

z' réel z'= z '

iz i z

zz

iz ² i z ²

z ² z ² posons z x iy

x ² y ² 2 ixy x ² y ² 2 ixy

x ² y ² 0

x y ou x y

F est la réunions des droites :y=x et ':y=-x privée de O . Exercice 30:


4 ére Sc Solutions

2010-2011


1/ zA=3 1 5 5

i cos i sin2 2 6 6

zB=1 3

1 i 3 2( i ) 2(cos i sin )2 2 3 3

2/ zA'= -2izA=1+i3

zB'= -2izB=23-2i

3/ z'-(1+i3)= -2iz-(1+i3)= -2i(z+1 i 3 3 i

) 2 i ( z )2 i 2

b) |z'-(1+i3)|=|2i||z-3 i

2

| BM'=2AM

c) M(A,1) AM=1 donc BM'=2

par suite M' décrit le cercle de centre B et de rayon 2.

4/ a) z'= -2ire i

=2r i i i ( )2 22 re e e

b)

Argz ' [ 2 ] [ 2 ]4 2 4

3[ 2 ]

4

3[ 2 ]; M O

4( i ,OM )

d'ou M décrit la demie droite d'origine O faisant avec l'axe des abscisses un

angle de 3

4

privée du point O.

Exercice 31:

1/ a) z -i; |f(z)|=z i1 iz i ( z i ) AM

1 iz i ( z i ) z i BM

b) BM ; |f(z)|=1 AM=BM

D'ou E est la médiatrice de [AB]

2/ z i, z -i;


4 ére Sc Solutions

2010-2011


z iArg ( f ( z )) Arg ( )[ 2 ]

z i

Arg ( 1 ) Arg( z i ) Arg ( z i )[ 2 ]

[ 2 ]

[ 2 ]

[ 2 ]

( i ,AM ) ( i ,BM )

( BM ,AM )

( MA ,MB )

f(z)IR-* Arg(f(z)) [ 2 ]

0 [ 2 ]( MA ,MB )

E est la droite (AB) privée du segment [AB].

L.S.El Riadh Mr Zribi - sbb59c43dfc5ef98a.jimcontent.com...L.S.El Riadh Nombres complexes 2 Mr Zribi...

Documents

Transcript of L.S.El Riadh Mr Zribi - sbb59c43dfc5ef98a.jimcontent.com...L.S.El Riadh Nombres complexes 2 Mr Zribi...