ANALISIS SENSITIVITAS

Dr Auditya Purwandini Sutarto,

Manfaat Analisis Sensitivitas

Ketika memecahkan model LP kitamengasumsikan semua faktor yang relevandiketahui dengan pasti.

Namun, secara riil unsur kepastian jarangterjadi, sehingga analisis sensitivitas membantumengevaluasi seberapa robust suatu solusi

Analisis Sensitivitas membantu menjawabpertanyaan bagaimana perubahan pada solusioptimum jika input di-variasi-kan.

• Koefisien Fungsi Obyektif• Koefisien Fungsi Obyektif

• Konstanta Ruas Kanan

• Penambahan atau pengurangan variabelkeputusan

Kasus Reddy Mikks

• Perusahaan Reddy Mikks merupakan suatu pabrik cat yang memproduksi cat rumah baik eksterior maupun interior untuk dipasarkan secara grosir. Dua bahan baku dasar A dan B digunakan untuk memproduksi cat. Bahan baku A yang tersedia maksimum sebanyak 6 ton per hari, danyang tersedia maksimum sebanyak 6 ton per hari, danbahan B 8 ton per hari. Untuk memproduksi cat eksteriordiperlukan 1 ton bahan A dan 2 ton bahan B, sedangkanuntuk cat interior diperlukan 2 ton bahan A dan 1 ton bahan B. Riset pasar menunjukkan selisih permintaan cat interior dan eksterior tidak lebih dari 1 ton, dan permintaancat interior maksimum 2 ton per hari. Harga grosir untukcat eksterior per ton $3000 dan $2000 untuk cat interior

Formulasi Kasus Reddy Mikks

Maksimasi Z = 3x1 + 2x2

s.t

x + 2x ≤ 6x1 + 2x2 ≤ 6

2x1 + x2 ≤ 8

-x1 + x2 ≤ 1

x2 ≤ 2

x1, x2 0

Post-Optimal Analysis

1. Departemen Produksi mengurangi 2 ton/hari penggunaanmaterial B ke proses produk lain namun material A dinaikkan 3 ton/hari

2. Departemen Marketing memprediksi setelah 6 bulan terjadiperubahan pasar dimana pangsa pasar cat interior naik dari2 ton menjadi 3.5 ton/hari

3. Departemen Litbang menemukan proses baru yang mengurangi penggunaan material A dan B untuk produksicat eksterior dari 1 ton menjadi 0.8 ton dan 2 ton menjadi1.7 ton

4. Departemen keuangan mengantisiapis kompetisi ketat akanmengurangi marginal profit untuk cat eksterior dan interior menjadi $2.500 dan $1.500/ton

Analisis Sensitivitas dari Post-Optimal Analysis

Solusi Optimal Berubah?

1. Solusi menjadi tidak layak (infeasible)

2. Solusi menjadi tidak optimum

Bagaimana jika situasi diatas akanmengubah solusi optimum sekarnag?

Analisis Sensitivitas dari Post-Optimal Analysis (Ctd.)

• Infeasibility dapat terjadi jika adaperubahan ketersediaan sumber daya (ruaskanan konstrain) dan atau penambahankanan konstrain) dan atau penambahankonstrain baru

• Nonoptimality perubahan pada fungsiobyektif dan atau ruas kiri elemen konstrain

Langkah Pemecahan

1. Pecahkan masalah LP awal, cari tabel simpleksoptimum-nya

2. Untuk tiap perubahan pada LP awal, hitung ulangelemen yang baru pada tabel optimum sekarangelemen yang baru pada tabel optimum sekarangmenggunakan metode primal-dual

3. Jika tabel baru tidak optimum, lanjut ke step 4. Jika tidak layak, lanjut ke step 5. Jika keduanyatercapai, nyatakan tabel baru sebagai solusioptimum baru

Langkah Pemecahan (Ctd.)

4. Gunakan metode simpleks reguler untuktabel baru agar diperoleh memperolehsolusi optimum yang baru (atausolusi optimum yang baru (atauindikasikan jika solusi tidak terbatas). Stop

5. Gunakan metode dual simpleks untuk tabelbaru untuk me-recover kelayakan (atauindikasikan jika solusi layak tidak ada). Stop

Bentuk Primal Dual Kasus Reddy Mikks

Maksimasi Z = 3x1 + 2x2

s.t

Minimasi W = 6y1 + 8y2 + y3 + 2y4

s.t

Primal Dual

s.t

x1 + 2x2 ≤ 6

2x1 + x2 ≤ 8

-x1 + x2 ≤ 1

x2 ≤ 2

x1, x2 0

s.t

y1 + 2y2 - y3 ≥ 3

2y1 + y2 +y3 + y4 ≥ 2

y1, y2 , y3 , y4 0

Tabel Awal Primal

BasisBasis xx11 xx22 s1 s2 s3 s4 RuasRuasKananKanan

ZZ --33 --22 00 00 00 00 00

s1 11 22 11 00 00 00 66s1 11 22 11 00 00 00 66

s2 22 11 00 11 00 00 88

s3 --11 11 00 00 11 00 11

s4 00 11 00 00 00 11 22

Tabel Optimum Primal

BasisBasis xx11 xx22 s1 s2 s3 s4 RuasRuasKananKanan

ZZ 00 00 1/31/3 4/34/3 00 00 38/338/3

x2 00 11 2/32/3 --1/31/3 00 00 4/34/3x2 00 11 2/32/3 --1/31/3 00 00 4/34/3

x1 11 00 --1/31/3 2/32/3 00 00 10/310/3

s3 00 00 --11 11 11 00 33

s4 00 00 --2/32/3 1/31/3 00 11 2/32/3

PERUBAHAN YANG BERPENGARUH PADA

KELAYAKAN

Perubahan Ruas Kanan dariKonstrain

• Material A naik kapasitasnya dari 6 ton menjadi 7 ton

• Dari perhitungan primal dual perubahan ruas kanankonstrain hanya berpengaruh pada ruas kanan tabeloptimal (pengaruh pada kelayakan saja). Oleh karenaoptimal (pengaruh pada kelayakan saja). Oleh karenaitu perlu menghitung ulang ruas kanan dengan rumusdalam komputasi primal dual

• Dimana xi dalam kasus ini adalah kolom ruas kanan

original

model dalam

Kolom

iterasi

dalam Invers

iterasi

dalam

Kolom

ii

xi

• Solusi basis yang baru untuk masalah ini

0

2

3

2

2

1

8

7

103132

0111

003231

003132

4

3

1

2

s

s

x

xRuas kanan

yang baru padatabel

021031324s

• Karena elemen ruas kanan seluruhnya non negatif,variabel basis tidak berubah, hanya nilanya berubahmenjadi x1 = 3, x2 = 2, s3 = 2, s4 = s5 = s6 = 0. NilaiZ yang baru menjadi 3(3)+2(2) = 13

• Bagaimana jika variabel basis berubahmenjadi tidak layak?

• Misalkan ketersediaan material A dan B berubah menjadi 7 dan 4 ton dari semula 6 dan 8 ton

• Ruas kanan tabel yang baru menjadi• Ruas kanan tabel yang baru menjadi

34

2

31

310

2

1

4

7

103132

0111

003231

003132

4

3

1

2

s

s

x

xRuas kanan

yang baru padatabel

BasisBasis xx11 xx22 s1 s2 s3 s4 RuasRuasKananKanan

ZZ 00 00 1/31/3 4/34/3 00 00 23/323/3

x2 00 11 2/32/3 --1/31/3 00 00 10/310/3

x1 11 00 --1/31/3 2/32/3 00 00 1/31/3

s3 00 00 --11 11 11 00 --22

s4 00 00 --2/32/3 1/31/3 00 11 --4/34/3

• Walaupun nilai Z baru 3(1/3)+2(10/3)= 23/3 adalahoptimal namun karena s3 dan s4 negatif maka solusimenjadi tidak layak. Untuk memecahkan masalah inigunakan metode simpleks dual.

• Dengan mengaplikasikan simpleks dual, variabels3 dan s1 masing-masing menjadi variabel keluardan masuk. Tabel baru yang terbentuk adalah

BasisBasis xx11 xx22 s1 s2 s3 s4 RuasRuasKananKanan

ZZ 00 00 00 5/35/3 1/31/3 00 77

x2 00 11 00 1/31/3 2/32/3 00 22x2 00 11 00 1/31/3 2/32/3 00 22

x1 11 00 00 1/31/3 --1/31/3 00 11

s1 00 00 11 --11 --11 00 22

s4 00 00 00 --1/31/3 --2/32/3 11 00

• Tabel ini telah optimal dan layak. Solusi yang baru adalah x1 = 1, x2 = 2 dan Z = 7

Penambahan Konstrain Baru

• Penambahan konstrain yang baru akanmenghasilkan salah satu dari dua kondisi berikut

1. Konstrain itu dipenuhi oleh solusi saat ini, dalamkasus dimana konstrain tersebut berlebihan(binding /redundant) dan penambahannya tidak(binding /redundant) dan penambahannya tidakmengubah solusi

2. Konstrain tersebut tidak dipenuhi oleh solusi saatini, sehingga menjadi terbatas (binding) dansolusi yang baru diperoleh menggunakan metodesimpleks dual

• Sebagai contoh anggaplah permintaan harian cat eksterior tidak melebihi 4 ton. Sebuah konstrainbaru dalam bentuk x1 ≤ 4 harus ditambahkan kedalam model

• Karena solusi yang sekarang telah (x1 = 10/3, x2 = 4/3) memenuhi konstrain yang baru maka4/3) memenuhi konstrain yang baru makakonstrain baru dapat dinyatakan berlebihansehingga solusi sekarang tidak berubah

• Jika nilai konstrain baru tersebut diubah menjadi 3 ton maka konstrain baru x1 ≤ 3 tidak dipenuhi olehpemecahan telah (x1 = 10/3, x2 = 4/3)

• Yang perlu dilakukan adalah mendapatkankembali solusi yang layak.

• Pertama-tama tambahkan variabel slack atausurplus ke dalam bentuk standar untuk konstrainbaru tersebut. Lalu substitusi keluar setiap variabelbass saat ini dalam batasan tersebut dalam bentukvariabel non basis (saat ini). Langkah terakhirvariabel non basis (saat ini). Langkah terakhiradalah menambahkan konstrain yang “dimodifikasi” ke tabel optimum saat ini danmenerapkan simpleks dual untuk mendapatkankembali kelayakan

• Menggunakan s5 sebagai variabel slack, untuk bentuk standar x1

≤ 3 maka

• Dalam solusi saat ini, x1 adalah variabel basis dan kita harusmensubstitusi keluar variabel ini dalam bentuk variabel non basis. Dalam persamaan x1 dari tabel optimal saat ini, kitamemiliki

x1 – (1/3)s1 + (2/3) s2 = 10/3 x1 = 10/3 +(1/3)s1 - (2/3) s2

• Jadi konstrain baru tersebut yang diekspresikan dalam bentuk• Jadi konstrain baru tersebut yang diekspresikan dalam bentukvariabel non basis menjadi

(10/3) + (1/3) s1 - (2/3) s2 + s5 = 3 atau

(1/3) s1 - (2/3) s2 + s5 = -1/3

• Sisi kanan negatif menunjukkan ketidaklayakan karena dengans1+ s2 =0, maka + s5 = -1/3 melanggar syarat s5 ≥ 0

• Batasan yang dimodifikasi ini lalu ditambahkan ke tabeloptimal saat ini. Penambahan ke dalam tabel diperlihatkandengan highlight. Elemen-elemen selebihnya diambil secaralangsung dari tabel optimum saat ini

BasisBasis xx11 xx22 s1 s2 s3 s4 s5 RuasRuasKananKanan

ZZ 00 00 1/31/3 4/34/3 00 00 00 38/338/3ZZ 00 00 1/31/3 4/34/3 00 00 00 38/338/3

x2 00 11 2/32/3 --1/31/3 00 00 00 4/34/3

x1 11 00 --1/31/3 2/32/3 00 00 00 10/310/3

s3 00 00 --11 11 11 00 00 33

s4 00 00 --2/32/3 1/31/3 00 11 00 2/32/3

s5 00 00 1/31/3 --2/32/3 00 00 11 --1/31/3

• Dengan simpleks dual s5 meninggalkan pemecahan dan s2

sebagai entering variable. Tabel optimum yang baru

BasisBasis xx11 xx22 s1 s2 s3 s4 s5 RuasRuasKananKanan

ZZ 00 00 11 00 00 00 22 1212

x2 00 11 ½½ 00 00 00 --1/21/2 3/23/2

x1 11 00 00 00 00 00 11 33

s3 00 00 --1/21/2 00 11 00 3/23/2 5/25/2

s4 00 00 --1/21/2 00 00 11 1/2 1/2 1/21/2

s2 00 00 --1/21/2 11 00 00 --3/23/2 1/21/2

• Nilai optimum Z lebih buruk dari sebelum konstrain baruditambahkan. Hal ini dapat diperkirakan karena penambahansebuah konstrain baru yang tidak berlebihan tidak akan pernahmemperbaiki nilai Z

PERUBAHAN YANG BERPENGARUH PADA BERPENGARUH PADA

OPTIMALITAS

Perubahan Fungsi Obyektif

• Tinjau kembali perhitungan primal-dual dimana nilai dual dihitung menggunakan koefisien dari variabel basis dalamfungsi obyektif. Nilai-nilai dual ini selanjutnya disubstitusidalam konstrain dual untuk menghitung koefisien-z. Dua halpenting yang dapat terjadi

1. Jika perubahan dalam fungsi obyektif melibatkan koefisiendari variabel basis saat ini, tentukan nilai dual yang barudan gunakan untuk menghitung ulang koefisien-z

2. Jika perubahan melibatkan hanya variabel non basis, gunakan nilai dual saat ini (langsung dari tabel simplekssaat ini) dan hitung ulang koefisien-z hanya dari variabelnon basis saja. Perubahan lain tidak terjadi dalam tabel

• Sebagai ilustrasi, anggaplah kasus diatas fungsitujuan diubah dari

z = 3x1 + 2x2 menjadi z = 5x1 + 4x2 .

• Perubahan ini melibatkan variabel yang merupakanbasis untuk solusi saat ini

• Sekanjutnya kita tentukan nilai dual. Perhatikanurutan variabel basis dari tabel saat ini adalah (x , xurutan variabel basis dari tabel saat ini adalah (x2, x1,

s3, s4)

0,0,2,1

103132

0111

003231

003132

0,0,,, 4321

4,5,yyyy

• Langkah selanjutnya menghitung koefisien-z dengan mencariperbedaan sisi kiri dan sisi kanan konstrain dual yang terkait. Hal ini dilakukan sebagai berikut (Perhatikan bawha sisi kanandual sekarang harus sama dengan koefisien fungsi obyektifyang baru)

Koefisien x1 = y1 + 2y2 – y3 - 5 = 1(1) 2(2) – 0(0) – 5 = 0

Koefisien x2 = 2y1 + y2 + y3 + y4 – 4 = 2(1) + 2 + 0 + 0 – 4 = 0

Koefisien s1 = y1 – 0 = 1 – 0 = 1 Minimasi W = 100y1 + 90y2 + 1 1

Koefisien s2 = y2 – 0 = 2 – 0 = 1

Koefisien s3 = y3 - 0 = 0 – 0 = 0

Koefisien s4 = y4 - 0 = 0 – 0 = 0

• Karena koefisien z ≥ 0 (maksimasi) maka nilai variabeloptimum tidak berubah, nilai Z berubah menjadi 5 x (10/3) + 4 x (4/3) = 22

Minimasi W = 100y1 + 90y2 + y3 + 2y4

s.t

y1 + 2y2 - y3 ≥ 3

2y1 + y2 +y3 + y4 ≥ 2

y1, y2 , y3 , y4 0

• Sekarang pandang kasus lain dimana fungsiobyektif berakibat pada ketidakoptimalan. Misalfungsi tujuan berubah menjadi z= 4x1 + x2 maka

103132

0111

003231

003132

0,0,4,1,,, 4321

yyyy

• Tabel z yang baru berubah menjadi

0,0,37,32

103132

BasisBasis xx11 xx22 s1 s2 s3 s4 RuasRuasKananKanan

ZZ 00 00 --2/32/3 7/37/3 00 00 44/344/3

• Karena koefisien s1 negatif maka s1 menjadientering variable dan optimalitas diperolehkembali dengan menerapkan metode simpleksreguler. Tabel berikut menunjukkan optimum yang baru dicapai dalam satu iterasi. Iterasipertama sama dengan iterasi optimum solusi saatini hanya berbeda pada persamaan z

IterasiIterasi BasisBasis xx11 xx22 s1 s2 s3 s4 RuasRuasKananKanan

11 ZZ 00 00 --2/32/3 7/37/3 00 00 44/344/3

x2 00 11 2/32/3 --1/31/3 00 00 4/34/3

x1 11 00 --1/31/3 2/32/3 00 00 10/310/3

s3 00 00 --11 11 11 00 33

s4 00 00 --2/32/3 1/31/3 00 11 2/32/3

IterasiIterasi BasisBasis xx11 xx22 s1 s2 s3 s4 RuasRuasKananKanan

22 ZZ 00 11 00 22 00 00 1616

s1 00 3/23/2 11 --1/21/2 00 00 22

x1 11 1/21/2 00 1/21/2 00 00 44

s3 00 3/23/2 00 1/21/2 11 00 55

s4 00 11 00 00 00 11 22