Los two-point sets son cero dimensionales
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1 Cero dimensionalidad En Open Problems in Topology (1990) R. D. Mauldin enlista 3 problemas abiertos que in- volucran a los 2-point sets, el segundo Teorema responde al segundo problema de la lista: ¿Cualquier 2-point set debe ser cero-dimensional?, Mauldin menciona que un 2-point set debe ser totalmente disconexo (las ´ unicas componentes conexas son los puntos), sin embargo existen ejemplos de conjuntos totalmente disconexos que nos son cero-dimensionales. Si X es un espacio topol´ ogico y x ∈ X , entonces X es cero-dimensional en x, denotado por ind(X, x) = 0, si cuando O es un conjunto abierto que contiene a x entonces existe un conjunto O 0 que es cerrado y abierto a la vez de modo que x ∈ O 0 ⊂ O; X es llamado cero-dimensional, denotado por ind(X ) = 0, si es cero-dimensional en cada x ∈ X ; para nuestros prop´ ositos un arco es un conjunto homeomorfo a [0, 1]. Lema 1.1 Suponga que X es un 2-point set parcial, p y q distintos puntos del plano, p ∈ cl(X ∩ C (l i pq )) para cada i ∈{0, 1} y q ∈ cl(X ). Si x ∈ (l pq ∩ X ) \{p, q} entonces ind(X, x)=0. Lema 1.2 Si X es un 2-point set parcial con ind(X ) > 0, entonces cl(X ) no contiene seg- mentos de recta. Teorema 1.3 Si X es un 2-point set parcial entonces ind(X ) > 0 si y s´ olo si X contiene arcos. Lema 1.4 Un 2-point set no puede contener arcos. Teorema 1.5 Si X es un 2-point set, entonces X es cero dimensional. Demostraci´ on: Basta aplicar el Teorema 1.3 y el Lema 1.4. 1
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Demostración de que los two-point sets son cero dimensionales. (esbozo)
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1 Cero dimensionalidad
En Open Problems in Topology (1990) R. D. Mauldin enlista 3 problemas abiertos que in-volucran a los 2-point sets, el segundo Teorema responde al segundo problema de la lista:¿Cualquier 2-point set debe ser cero-dimensional?, Mauldin menciona que un 2-point set debeser totalmente disconexo (las unicas componentes conexas son los puntos), sin embargo existenejemplos de conjuntos totalmente disconexos que nos son cero-dimensionales.
Si X es un espacio topologico y x ∈ X, entonces X es cero-dimensional en x, denotado porind(X, x) = 0, si cuando O es un conjunto abierto que contiene a x entonces existe un conjuntoO′ que es cerrado y abierto a la vez de modo que x ∈ O′ ⊂ O; X es llamado cero-dimensional,denotado por ind(X) = 0, si es cero-dimensional en cada x ∈ X; para nuestros propositos unarco es un conjunto homeomorfo a [0, 1].
Lema 1.1 Suponga que X es un 2-point set parcial, p y q distintos puntos del plano, p ∈cl(X∩C(lipq)) para cada i ∈ {0, 1} y q ∈ cl(X). Si x ∈ (lpq∩X)\{p, q} entonces ind(X, x) = 0.
Lema 1.2 Si X es un 2-point set parcial con ind(X) > 0, entonces cl(X) no contiene seg-mentos de recta.
Teorema 1.3 Si X es un 2-point set parcial entonces ind(X) > 0 si y solo si X contienearcos.
Lema 1.4 Un 2-point set no puede contener arcos.
Teorema 1.5 Si X es un 2-point set, entonces X es cero dimensional.
Demostracion: Basta aplicar el Teorema 1.3 y el Lema 1.4. �
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