Los términos indefinidos en la lógica categórica y la idea...

128

Notae Philosophicae Scientiae Formalis, vol. 2, n. 2, p. 128 - 139, outubro 2013.

Los términos indefinidos en la lógica categórica y la idea de consecuencia lógica

Manuel Correia Instituto de Filosofía - Pontificia Universidad Católica de Chile

[email protected]

Abstract: In this article, the logical role of indefinite terms within the categorical proposition is analysed. The existence of these technicalities comes from Aristotle, but their logical behaviour had not been accurately determined. However, by following the Axiom of Quantity and the Axiom of Linkage, as defined in a recent article, this task has been made. As a result, categorical logic can now offer an intrinsic theoretical unity and all the conclusive processes, with or without indefinite terms, can be easily corroborated. Key words: indefinite terms, categorical logic, propositional quantity, conclusiveness.

Resumen: en este artículo, se analiza el rol lógico que los términos indefinidos tienen en la lógica categórica. La existencia de estos tecnicismos viene desde Aristóteles, pero su comportamiento lógico no había sido determinado com precisión. Sin embargo, al seguir las indicaciones dadas por el Axioma de Cantidad y el axioma del Vínculo, tal como son definidos en un artículo reciente, esta tarea puede ser completada. Como resultado, la lógica categórica puede hoy exhibir una unidad teórica y todos los procesos conclusivos, con o sin términos indefinidos, pueden ser fácilmente corroborados. Palabras claves: términos indefinidos, lógica categórica, cantidad proposicional, conclusividad.

mailto:[email protected]

129


En Alvarez & Correia (2012), pp. 297-306,1 se ha presentado un conjunto de

tres axiomas que permite establecer un nuevo procedimiento para evaluar los

procesos conclusivos de la lógica categórica en general. Este conjunto de axiomas

permite a la vez unificar la lógica categórica estableciendo una unidad entre las así

llamadas inferencias inmediatas y las inferencias mediatas o silogismos. Como

resultado, la lógica categórica adquiere una unidad profunda, formal y no

agregativa, basada en la manera como se obtienen las consecuencias o conclusiones

válidas en esta teoría.

En este conjunto de tres axiomas hay una referencia a la manera como se

comportan los términos indefinidos en las proposiciones categóricas que resulta

fundamental para la formulación de dos de los axiomas mencionados, razón por la

cual en este artículo he querido llamar la atención sobre el particular

comportamiento de los términos indefinidos en la lógica categórica y en particular

en los procesos deductivos que operan al interior de esta teoría.

El orden de la presentación será el siguiente: 1. Los tres axiomas de la lógica

categórica. 2. Los términos indefinidos y su rol en los tres axiomas. 3. Consecuencia

lógica y Axioma del Vínculo en la lógica categórica.

1. Los tres axiomas de la lógica categórica

En Alvarez & Correia (2012), p. 300, se listan los tres siguientes axiomas

como capaces de controlar no sólo todos los procesos conclusivos que la silogística

de Aristóteles posee para los 48 modos silogísticos corrientes y conocidos que

ocupan solo términos definidos, sino también para todos los procesos conclusivos

que la silogística realiza con términos indefinidos, una extensión que no había sido

posible realizar hasta la aplicación de estos tres axiomas. Los axiomas son los

siguientes:

1 “Syllogistic with indefinite terms”, en: History and Philosophy of Logic 33 (2012), pp. 297-306.

130


Axiom of Quantity: the predicate of a negative premise is universally taken

and the predicate of an affirmative premise is particularly taken. Hence, to

take universally a term T in a proposition (i.e. even if this term is the

subject term) is equivalent to take particularly its correspondent

conjugate term non-T, and to take particularly a term T is equivalent to

take universally its correspondent conjugate term non-T.

Axiom of Particularity: from two particular premises no conclusion

follows, and the conclusion of a syllogism is particular if and only if this

characteristic is present in one of the premises.

Axiom of Linkage: the quantity of both terms in the conclusion should be

the same as that they offer in the premises. The premises common term

must be universally taken in one premise and particularly taken in the

other premise.

El Axiom of Particularity dice que nunca desde dos proposiciones particulares

se obtendrá una conclusión. El axioma permite que una conclusión lógica pueda ser

obtenida a partir de una sola proposición particular, pero elimina la posibilidad de

que ésta se pueda obtener correctamente desde solas proposiciones particulares.

De este modo, al impedir una excepción, no es un axioma cuya discusión esté

directamente relacionada con el tema de este artículo. Pero los otros dos axiomas,

el de Cantidad (Quantity) y el del Vínculo (Linkage) deben ser discutidos ahora.

El Axioma de la Cantidad establece a nivel descriptivo cómo deben ser

evaluados los términos sujeto y predicado al interior de una proposición categórica.

El Axioma como tal es un reforzamiento del axioma tradicional de la silogística que

dice que en una categórica afirmativa el predicado está tomado particularmente y

en una negativa el predicado está tomado universalmente. En efecto, si se acepta

esto y, a la vez, se acepta que un término cualquiera de una proposición categórica

está tomado universalmente si es indefinido (por ejemplo, no-X), entonces se puede

obtener la regla de que todos los términos en una categórica, sean sujetos o

131


predicados, tendrán asociados una cantidad y ésta puede ser determinada de

manera efectiva con la ayuda de este Axioma. Para hacer esta exposición lo más

general posible, podemos convenir inmediatamente en la siguiente convención: A,

E, I y O son los signos de la cantidad proposicional y la calidad proposicional tomadas

juntas. Si s y p son los signos de los términos sujeto y predicado, entonces –s y –p

son los términos indefinidos correspondientes. Si es así, tendremos 32 especies de

proposición categórica, que son todas las formas proposicionales (no modales) que

se pueden obtener y que se ven en la siguiente tabla:

A (s, p) A (s, -p) A (-s, p) A (-s, -p)

E (s, p) E (s, -p) E (-s, p) E (-s, -p)

I (s, p) I (s, -p) I (-s, p) I (-s, -p)

O (s, p) O (s, -p) O (-s, p) O (-s, -p)

A (p, s) A (p, -s) A (-p, s) A (-p, -s)

E (p, s) E (p, -s) E (-p, s) E (-p, -s)

I (p, s) I (p, -s) I (-p, s) I (-p, -s)

O (p, s) O (p, -s) O (-p, s) O (-p, -s)

Entonces, el Axioma de Cantidad se ve aplicado en los siguientes dos ejemplos:

A(-s,-p): dado que el cuantificador es ‘todo’, la cantidad proposicional es

universal, lo que implica que el término -s se encuentra tomado

universalmente, lo que es equivalente, según el Axioma de la Cantidad, a

tomar el término s particularmente. Finalmente, como la proposición es

afirmativa, el término -p se encuentra tomado particularmente, lo que es

equivalente, según el Axioma de la Cantidad, a tomar el término p

universalmente.

O(s,-p): dado que el cuantificador es ‘algún’, la cantidad proposicional es

particular, lo que implica que el término s se encuentra tomado

particularmente. Finalmente, como la proposición es negativa, el término

-p se encuentra tomado universalmente, lo que es equivalente, según el

Axioma de la Cantidad, a tomar el término p particularmente.

132


Como dijimos, el Axioma de la Cantidad es solamente descriptivo y no

normativo, no obstante para evaluar los procesos de conclusión entre categóricas,

sean silogísticos o inmediatos, se requiere del Axioma del Vínculo, que es

ciertamente normativo y da la forma de cualquier conclusión válida en la lógica

categórica. En efecto, el Axioma del Vínculo establece que la cantidad de ambos

términos en la conclusión no puede ser distinta a la cantidad de los términos en las

premisas. Si en la conclusión son universales, en las premisas deben serlo también, y

si son particulares los términos en la conclusión, en las premisas deben serlo

también ambos. Además, el término medio en las premisas debe aparecer una vez

tomado universalmente y otra vez particularmente. Si estas condiciones se cumplen,

no es necesario hacer una demostración por absurdo o utilizar ningún otro medio

probatorio para establecer con absoluta certeza la validez de la conclusión. Por

ejemplo, tomemos el siguiente silogismo:

Todo S es no-P A(s, -p)

Algún H es S I(h, s)

Luego: Algún H no es P O(h,p)

Es fácil ver por un lado que el modo AI-O no se halla en ninguna tabla de

modos válidos de la silogística categórica (ni en Aristóteles ni en sus comentaristas

incluidos los del siglo XX), no obstante el silogismo es válido de acuerdo con Alvarez

& Correia (2012), ya que por el Axioma de Cantidad se comprueba que los términos

en la conclusión tienen la misma cantidad que en las premisas (h es particular en la

conclusión y también en la premisa menor; p es universal en la conclusión y también

en la premisa mayor); además, el término medio s es universal en la premisa mayor

y particular en la premisa menor. Ahora bien, esta descripción cuantitativa de los

términos del silogismo se corresponde con lo que es exigido obligatoriamente por el

Axioma del Vínculo: que la cantidad de ambos términos en la conclusión sea la

misma que los mismos términos ofrecen en las premisas y que el término medio

133


aparezca en una premisa universalmente tomado y en la otra particularmente

tomado.

Desde luego, se puede confirmar que todos los silogismos que son dados por

válidos por Aristóteles y la tradición consecuente de comentarios cumplen también

con lo que describe el Axioma de Cantidad y lo que norma el Axioma del Vínculo,

aunque hay que notar que aquellos que tienen problemas de importe existencial,

como Darapti, Felapton, etc., cumplen parcialmente el Axioma del Vínculo, porque o

bien el término medio está en las premisas todas las veces tomado de manera

universal o bien porque los términos en la conclusión tienen menos (nunca más)

extensión que en las premisas.2 Conviene comentar aquí, aunque esto no lo

profundizaremos, ya que está tratado en Alvarez & Correia (2012), pp. 303-304, que

la condición de que ambos términos en la conclusión tengan la misma cantidad que

la que muestran en las premisas se puede tomar como una condición estricta o no

estricta, dependiendo este uso de si queremos permitir o no que se incorporen

silogismos cuya presuposición existencial sea discutible.

Es cómodo utilizar el Axioma de la Cantidad y el Axioma del Vínculo para

evaluar cualquier proceso conclusivo de la lógica categórica, sea mediato o

inmediato; no obstante, el asunto de interés es que este medio es suficiente en

todos los casos para detectar la validez de cualquier conclusión, sea silogística o no

silogística (es decir, las que se proponen como conclusiones de inferencias

inmediatas). Por ejemplo, tomemos la siguiente:

2 Al respecto, en Alvarez & Correia (2012), p. 304, se dice: “The problem of existential import in a

syllogism arises when one of the following situations occurs: (i) either the major or the minor term, or any of their correspondent conjugated forms, appears universally taken in the premises and particularly taken in the conclusion, or (ii) the middle term or its conjugated form always appears universally taken in the premises. Now, in order to avoid the existential-import problem, one should assume that the term whose existence is not explicit does exist. Thus, if the problem relates to the term x, one should assume that the premise ‘There exists an x’ is true.We are to call this assumption the Aristotelian proviso. Now, by following the Axiom of Particularity and the Aristotelian proviso, the conclusion of the syllogism will necessarily be particular. This solution is also applicable to arguments.”

134


Todo S es P Ningún no-P es S A(s,p) E(-p, s)

Es fácil notar que –p en la conclusión es universal por ser un término

indefinido, pero como está universalizado por el cuantificador universal de la

universal negativa (=E), el término p es particularmente tomado allí: pero también

en la premisa, ya que es el predicado de una afirmativa (Axioma de Cantidad). Y s en

la conclusión es universal, por ser el predicado de una negativa (Axioma de

Cantidad), y en la premisa s es también universal, ya que está bajo el alcance de un

cuantificador universal (la proposición en efecto es universal afirmativa). Por lo

tanto, el Axioma del Vínculo constata que su condición se cumple, a saber, que la

cantidad de los términos en la conclusión es la misma que los mismos términos

exhiben en la premisa. De este modo, ellos exhiben a la vez una perfecta simetría en

la cantidad de los términos, que es la manera como ellos están tomados conforme a

lo que describe el Axioma de la Cantidad. Conviene observar que, a diferencia de los

procesos silogísticos o mediatos, en las inferencias inmediatas no hay término

medio, por lo que éste no se considera en la evaluación de la validez conclusiva.

El resultado más notable de estos 3 Axiomas es que ellos por si mismos son

capaces de unificar todo proceso conclusivo al interior de la lógica categórica, sin

distinción de que los procesos sean mediatos o silogísticos o inmediatos o

inferencias. De este modo, los 3 axiomas vienen a dar unidad formal intrínseca a la

teoría, ya que el mismo conjunto de axiomas controla los procesos conclusivos de

toda la lógica categórica, sin necesidad de hacer distinciones didácticas como

silogismos e inferencias inmediatas.

2. Los términos indefinidos y su rol en los nuevos axiomas de la lógica

categórica

Como ya se deja ver en lo que anteriormente dijimos, el Axioma de Cantidad

es fundamental para la aplicación del Axioma del Vínculo, el cual a su vez es

135


fundamental para la validación de los procesos conclusivos de la lógica categórica en

general. Ahora bien, la tesis que tratamos de probar en este apartado es que en el

Axioma de la Cantidad se controla el comportamiento de los términos indefinidos en

las proposiciones categóricas. En efecto, la lógica categórica contiene términos

indefinidos como partes de las proposiciones simples o categóricas. Ellos son, pues,

o sujetos o predicados, y por esta razón el sujeto o el predicado de una proposición

categórica puede ser o bien un término definido (por ejemplo, ‘hombre’ o ‘justo’) o

bien un término indefinido (por ejemplo, ‘no hombre’, ‘no justo’). De esta definición

se siguen las combinaciones que hemos mencionado arriba en la Figura 1, las cuales

fueron ya reconocidas por Aristóteles en su De Interpretatione 10.

Ahora bien, la importancia de estos tecnicismos ha sido reconocida por los

antiguos comentaristas de este tratado de Aristóteles, siendo el comentario de

Boecio la fuente textual principal para informarse sobre el uso de los términos

indefinidos en lógica categórica. (Cf. De Rijk (1964), p 19. Barnes (1981), p. 82. Ver

también Correia (1997), p. 195, n. 679 y 680).

El reporte de Boecio contiene puntos de interés, siendo el más profundo y, a

la vez, interesante, aquel que se refiere a la diferencia que hay entre una

proposición afirmativa y una negativa y a la consecuente reducción de esta

diferencia a la inclusión de términos indefinidos en la proposición categórica. Tal

como se dijo en Correia (2001), pp. 166-170, esta tesis tiene importantes

consecuencias, en particular en lo que respecta a la aceptación de la regla que de

solo premisas negativas no se obtiene conclusión (Aristóteles Analíticos Primeros I,

4. 41b7-9). Boecio es el único comentarista antiguo que reporta que según el

comentarista peripatético Alejandro de Afrodisias, Platón en su diálogo Teeteto

186e33-4 concluye correctamente desde dos premisas negativas. Dice allí que los

sentidos no captan la esencia. Lo que no capta la esencia tampoco capta la verdad.

Por lo tanto, los sentidos no captan la verdad. El reporte de Boecio sostiene que

estas premisas negativas son equivalentes a afirmaciones de predicado indefinido

136


(‘no capta’ = ‘es no captador’), por lo que se sugiere inmediatamente que Aristóteles

aceptaría la equivalencia o la equipolencia entre proposiciones categóricas

cuantificadas de distinta calidad (y los mismos términos), o sea que aceptaría la

obversión o el Canon de Proclo y, en consecuencia, equivalencias formales en su

lógica.

Se ha explicado en Correia (2001), pp. 171-172 y en Correia (2002), pp. 71-72,

la importancia de la regla neoplatónica llamada Canon de Proclo para explicar la

existencia de equivalencias en la lógica de Aristóteles y el fondo de este reporte de

Alejandro de Afrodisias, aunque Boecio nunca mencione el nombre de Proclo ni en

este comentario al De Interpretatione ni en sus tratados silogísticos. El Canon

permite que una proposición negativa sea transformada en una afirmativa y

viceversa por la sola manipulación sintáctica de la cantidad proposicional y la

cantidad de los términos en una proposición categórica, asuntos que trata

directamente el Axioma de la Cantidad. Así ‘Todo S es P’ es equipolente o

equivalente con ‘Ningún S es no-P’, pero la primera es afirmativa y la segunda

negativa. Si Proclo está yendo ilícitamente más allá de Aristóteles también ha sido

tratado por estos artículos y si, finalmente, el Canon es una manera de interpretar la

lógica de Aristóteles ha sido discutido en Correia (2002), pp. 82-83 y Correia (2004),

pp. 255-257, sobre la base de que también existe la posición contraria de que

Aristóteles siempre propone una afirmativa para concluir una negativa y nunca al

contrario. Así Kneale (1978), p. 57 y Soreth (1972), pp. 389-424. En apoyo a Kneale y

Soreth hay que consignar también que Aristóteles en las Refutaciones Sofísticas

167b10 critica la falacia del consecuente entendiendo que aquí, si una cosa implica a

otra, no necesariamente ésta implicará a la primera, pues los adúlteros se perfuman,

pero los que se perfuman no son necesariamente adúlteros.

Los términos indefinidos, que a través del Canon de Proclo llegan a ser

esenciales para la interpretación de la lógica categórica, resultan también esenciales

para la unidad de ésta, ya que a través del estudio de su comportamiento lógico se

137


consigue integrar a la lógica categórica los silogismos con términos indefinidos y

unificar todos los procesos conclusivos de la teoría, sea inmediatos o mediatos. Se

trata entonces de ver que el axioma tradicional de la silogística (el predicado de una

negativa es universalmente tomado y el de una afirmativa particularmente tomado)

en unión con el canon de Proclo son equivalentes al Axioma de la Cantidad en lo que

respecta a describir el comportamiento de los términos indefinidos en las

proposiciones categóricas. Este resultado es lo que permitió establecer en Álvarez &

Correia (2012) las siguientes verdades. Sea –p un término indefinido, entonces:

1º s es –p = s no es p. Donde –p implica que p es universalmente tomada.

2º s es p = s no es –p = s es no –p, donde no –p implica que p es

particularmente tomada.

Este resultado ha sido muy significativo porque permitió incorporar, como

hemos dicho ya, por primera vez, los términos indefinidos en la silogística

categórica. Como se sabe, éste fue un resultado que autores de la talla de Bochenski

(1948), Thomas (1949) y Prior (1953) buscaron infructuosamente. El haber logrado

incorporar los términos indefinidos en la silogística categórica significa a la vez la

posibilidad de presentar a la lógica categórica como una unidad, un todo sin

extensiones, en que las reglas de deducción para las inferencias inmediatas y las

mediatas (=el silogismo) sean las mismas, de modo que no haya que diferenciar un

tipo de deducción de otro.

3. Consecuencia lógica y Axioma del Vínculo

En relación a lo anterior, se puede sostener que hay consecuencia lógica en

todo proceso conclusivo donde se cumpla el Axioma del Vínculo, el cual se apoya en

el Axioma de la Cantidad. En otras palabras, hay conclusión lógica cuando los

términos de la conclusión tienen la misma cantidad que los mismos términos

ofrecen en las premisas y el término medio que comunica la conclusión aparece una

138


vez universalmente tomado y otra vez particularmente tomado en las premisas. Solo

basta, pues, detectar la manera como está tomado un término para dar respuesta a

la validez lógica. Todos los procesos silogísticos que no cumplen con este Axioma

son inválidos. En las así llamadas inferencias inmediatas no consideramos el estado

del término medio porque éste no existe, pero sí el Axioma del Vínculo, que en este

caso exigirá igualmente que los términos de la conclusión no tengan más extensión

que en la premisa o antecedente. Si los términos de la conclusión tienen menos

extensión que la que tienen en las premisas, se generarán los conocidos problemas

de importe existencial.

Esta es desde luego una idea nueva en el sentido de que no había sido

presentada antes, pero no en cuanto modifica nuestra idea intuitiva de lo que es

una conclusión lógicamente válida. Lo nuevo radica, pues, en sostener que nuestra

idea clásica de conclusión lógicamente válida depende de la manera como se vincula

la cantidad de los términos en una proposición en relación con la cantidad que

tienen los mismos términos en la o las premisas: y ello es precisamente lo que

detecta la unión de los dos axiomas mencionados. En otras palabras, los dos axiomas

mencionados permiten detectar la simetría cuantificacional de los términos de la

conclusión y los términos de las premisas, lo cual no podría haberse detectado con

precisión, a menos que el rol de los términos indefinidos en la proposición

categórica hubiese sido definido a partir de la manera como se comportan en ella.

Bibliografía

ALVAREZ, E. & CORREIA, M. (2012): “Syllogistic with Indefinite Terms”, History and

Philosophy of Logic 33 (2012), pp. 297-306.

BARNES, J. (1981): “Boethius and the Study of Logic”, en Boethius His Life, Thought

and Influence, M. Gibson (Ed.), Oxford 1981, pp. 73-89.

139


BOCHENSKI, I.M. (1948): “On the categorical syllogism”, en Dominican Studies, vol.

I, 1, 1948, pp. 35-37.

CORREIA, M. (1997): The Nature and Logic of the Indefinite Name and Verb in

Boethius’ In Librum Aristotelis Peri Hermeneias Commentarii I et II. Ph. D.

Thesis. No publicada.

CORREIA, M. (2001): “Boethius on Syllogisms with Negative Premisses”, Ancient

Philosophy, 21 (2001), pp. 161-174.

CORREIA, M. (2002): “El Canon de Proclo y la idea de lógica en Aristóteles”, en

Méthexis xv (2002), pp. 71-84.

CORREIA, M. (2004): “Philoponus on the nature of logic”, Apeiron. A Journal for

ancient Philosophy and Science, vol. 37, 3, pp. 247-258.

DE RIJK, L. (1964): “On the Chronology of Boethius' works on Logic (I and II)”, en

Vivarium, vol. 2, partes 1 & 2, 1964, pp. 1-49 y 122-162.

KNEALE M. & W.(1978): The Development of Logic, Oxford 1978.

PRIOR (1953): Prior, A.N., “The Logic of the Negative Terms in Boethius”, en

Franciscan Studies, 13 (1953), vol. I, pp. 1-16.

SORETH, M. (1972): “Zum infiniten Prädikat im zehnten Kapitel der aristotelischen

Hermeneutik”, en Islamic Philosophy and the Classical Tradition. S.M. Stern,

A. Hourani and V. Brown (Eds.), Oxford 1972, pp. 389-424.

THOMAS, I. (1949): “CS(n): An Extention of CS”, en Dominican Studies (1949), pp.

145-160.

Los términos indefinidos en la lógica categórica y la idea...

Documents

Transcript of Los términos indefinidos en la lógica categórica y la idea...