long de curva y recta tangente

7/26/2019 long de curva y recta tangente

1/19

LONGITUD DE CURVAY RECTA TANGENTE

La longitud de arco de la porcin de curva que va

desde el punto P ( t a ), hasta el punto Q ( t b ), se calcula con:

( ) ,b

aL f t dt a t b

1. EX2 14-1)

Dada la curva2 22( 2) 8

:

4

x z

x y

. Hallar:

a)

La longitud de arco de desde el punto

4,0,0P hasta el punto (2,2,2 2)Q

b) La curvatura k(t) y la torsin t de la curva

en todo punto de la curva .

2. EX2 14-1)

Si : ( )P F t , t es una curva regular enn y v es un vector fijo. Si para todo t ,( )F t y v son ortogonales y (0)F es tambin

ortogonal a v . Probar que ( )F t es ortogonal

a v , para todo t .

3. EX2 14-0)

Dada la parametrizacin de la curva :3

22 2

( ) 2 ( )3

F t tu t v t u v

, 0,t ;

donde u y v son dos vectores unitarios fijos en

3que forman un ngulo de

3

radianes.

Analizar si F es una parametrizacin

regular.

4. EX2 13-2)

Dada la parametrizacin de la curva :

( ) (cos , ,1 (cos ))F t t sent n t , 0,2

t

.

a) Encontrar la longitud de arco de la curva que

se inicia en el punto (1,0,0) hasta el punto

1 3, , 1 2

2 2

n

.

b) Hallar la ecuacin vectorial de la recta

tangente a la curva en el punto Q donde el

plano :P x y interseca a la curva

5. EX2 12-1)

Sea la curva : ( ) ( , cos , lnsec )F t sent t t ,

0, / 2t . Hallar la ecuacin de la recta

tangente en el punto 0( )F t si la longitud de la

curva entre los puntos (0)F y 0( )F t es

ln(2 3) .Nota:

Recordar que: sec ln sec tanu du u u C

6. EX2 11-1)

Considere la curva con parametrizacin

2 21( ) ( , ), .

4

F t t t t t t R

a) Hallar la funcin longitud de arco de , definidadesde el punto donde la recta tangente a esparalela a la recta y = x.

b) Encontrar la longitud del arco que une el punto

donde la recta tangente a es horizontal, con elpunto hallado en la parte a). Determinar los

extremos de dicho arco.

Observacin:2

2 2 2 2 2 2ln( ) .

2 2

u aa u du a u u a u c


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2

7. EX2 10-2)

Sea: ( ) 1 cos ,1 cos , 2F t t t sent , 0,2t una parametrizacin de una curva

halle el punto Q de de modo que la longitud dearco medida desde su punto inicial hasta el punto

Q sea

3 2

4 unidades.

8. EX1 10-1)

Halle la longitud de la curva definida por la

parametrizacin ( ) ln(cos ), ln( ), 2F t t sent t ,

,6 4

t

9. EX1 10-0)

a) Sea

3

1 2

,1 ,1 , 0( )

, , 1 , 0

t t t t F t

t e t t t

EsFuna parametrizacin regular? Justifique su

respuesta.

b) Calcular la longitud de la curva

2 2 2 2 22:

x y z x y

y x

; 0x ,y

10. EX1 02-0)

a) Sea2

21( ) ln( 1), , 2 21

tF t t t

t

i) Dar el dominio de la funcin F.

ii) Hallar el punto o los puntos de la curva

descrita por F donde la recta que pasa por el

punto (-2,-1,-6) es tangente a la curva en

b) Dada la curva : ( ) ( , ln(sec ), 3)t t t ,

02

t

hallar la longitud de la curva

comprendida entre el punto R(0,0,3), y el punto.

, ln 2,3 .4

Q

11. EX1 02-0)

Sea la curva descrita por la parametrizacin:

3/22 2( ) ( cos , , )3t t t tsent t , 0,t .

Sea AO el segmento que une A(-3,0,0)con el

origen de coordenadas. Llamaremos C a la unin

del segmento AO con la curva .

a) Analizar si C es una curva regular.

b) Hallar la longitud de C.

VECTORES UNITARIOS

Sea una curva , definida por la funcin

parametrizada ( ) ( ) ( )( ) ( , , )t t tf t x y z , se definenlos vectores unitarios, curvatura y torsin como:

VECTOR TANGENTE: ( )( )

( )

f tT t

f t

VECTOR NORMAL: ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )

f t x f t x f t

N t

f t x f t x f t

VECTOR BINORMAL: ( ) ( )( )

( ) ( )

f t x f tB t

f t x f t

CURVATURA:3

( ) ( )

( )

f t x f t

t

f

TORSIN:2

( ) ( ) ( )

( )

( )( )

f t x f t f t

t

f tf t x

12. EX2 14-0)

Dadas las curvas:

:F( )t =(1+t, et+1, t2+1), t 0, y

C: G(r)= ( 3

,1 r

e4r, 1+ 2r), r 0, .

a) Encontrarla ecuacin del plano osculador de

la curva en Q , punto interseccin de lascurvas y

b) Calcular la curvatura y la torsin de en el

punto Q

13. EX2 13-2)

Considere la curva

parametrizada por

2 33 1( ) , ,4 4

F t t t t t

, t .

a)

Probar que la curvatura k(t) de es diferentede cero en todo punto ( )F t

b) Si dado t , ( )t denota el ngulo queforma el vector v=(0,0,1) con el vector


3/19

3

binomial B(t) a la curva en todo punto

( )F t , probar que la torsin es2( ) cos ( )t t

14. EX2 13-1)

Sea la curva parametrizada por2

2( ) , ,2 1 2 1

t tF t tt t

, 3 ,

4t

a) Hallar la ecuacin cartesiana del plano osculador

a la curva en el punto. Q=(1,1,2).b) Calcular la curvatura y la torsin de en el

punto Q.

15. EX2 13-0)

Sea la curva2 2: ( ) ( 2 , 2, 1 2 )

F t sent t t sent

,[0, ]t . Hallar los vectores unitarios T(t), B(t),

N(t), la curvatura k(t) y torsin ( )t de la curva

en el punto Q, donde el vector tangente a esparalelo al plano YZ.

16.

EX2 12-2)

La parametrizacin 2 2( ) , , 2t tF t e e t ,0t describe a una curva .

a)

Calcular la curvatura k(t) en cualquier punto de

b) La curva interseca al plano XY en el punto Q.Hallar la ecuacin cartesiana del plano osculador

y el vector normal principal unitario N en el punto

Q.

17. EX2 12-1)

Los puntos (x, y, z) de la curva satisfacen la

ecuacin de 2x y . Hallar una

parametrizacin de sabiendo que todos susplanos osculadores son perpendiculares al plano

: 0P x z y que los puntos ( 1, 1,0)R ,( 1,1,0)S pertenecen a .

18. EX2 12-0)

Dada la curva

2 4:

x y

x y z

a) Parametrizar , indicando el dominio de laparametrizacin.

b) Hallar los vectores unitarios T y B en el punto

Q , donde la recta tangente es perpendicularal eje Y.

c) Hallar la curvatura ( )k t en cualquier punto de la

curva .

19. EX2 11-1)

Desde el punto A (0,4,-2) se trazan rectas que

intersecan a la recta : 2, 0.L x y z Dichasrectas estn contenidas en un plano P. La

interseccin del plano P con el cilindro2 2: 4L x y determina una curva .

a) Parametrizar la curva indicando el dominio de

la parametrizacin.

b) Hallar la ecuacin del plano osculador en el

plano (0,2,0).

20. EX2 10-2)

Sea la curva3 3

2: ( ) , , , .3 3t tF t t t t t R

a) Halle la curvatura k (t) de la curva en unpunto genrico P = F(t) de .

b) Halle la ecuacin del plano osculador de enel punto donde la curvatura tiene el valor 1.

21. EX1 10-1)

Dada la curva :

4

yz x e

z y

, 0y . Halle la

curvatura de en el punto 3,3,1Q e .

22. EX1 10-1)

Sea2 2

3: , 0

9

a y bxabc

cxy abz

a) Parametrizar . b) Hallar la ecuacin cartesiana del plano osculador

en cualquier punto de .c)

Hallar la curvatura de en el punto donde elvector tangente a es paralelo al plano2 7 0.bx ay

23. EX1 08-1)

Dada la curva2 2 2

2

1:

2 1

x y z

y x z

que pasa

por el punto (1,1,1) .

a) Demuestre que la curva es regular.b) Halle la curvatura de en el punto (1,1,1) .


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4

24. EX1 07-2)

Sea la curva parametrizada por

2 33 , 3 ,F t t t t , t1.a) Hallar las ecuaciones paramtricas de la curva

cuyos puntos son las intersecciones de las rectas

tangentes a con el plano osculador a en el

punto (3, 3, 1)

b) Hallar la curvatura de en el punto (3,3,1).

25. EX1 02-0)

La curva es descrita por la funcin vectorial F

definida por:

cos( ),sin 2( ), , 0,2 2

: (0, 0, 0)

3 3( 2cos( ),sin 2( ), ), , 22 2

z t t t t

C

t t t t

i. Hallar ( )F t indicando su dominio.ii. Analizar si f es una parametrizacin regular en

0,2 iii. Hallar el plano osculador de la curva en el

punto 2,1,4

26. EX1 02-0)

Dada la curva2 2

1:

1z

x y

xe

; 0 ln 2z

a) Hallar la longitud de

b) Hallar la curvatura de en el punto Q tal que lalongitud del arco comprendido entre el punto de

interseccin de con el plano XY y el punto Q ,

es igual a ln( 2 ) 1

27. EX1 02-0)

Una partcula se mueve en 3 segn la

trayectoria : ( ) ( ), ( ), ( )C F t x t y t z t ,

partiendo del punto 0 (1,1,0)P en el instante t =

0. En cada instante 0t la velocidad de la

partcula es: ( ) ( , , 2)t tV t e e a) Hallar la trayectoria F(t) .

b) Calcular la curvatura k(t) en el instante cuando

t=0.

c) Hallar las componentes tangenciales ( )ta t y

normal ( )na t de la aceleracin en el punto F(0).

28. EX1 02-0)

Sea F(t) la parametrizacin de la curva C que

describe una partcula que parte del origen en el

instante t=0 y tiene vector velocidad (2,3,4) en el

instante t=1 . Si el vector aceleracin de la

partcula es:

( ) (0,2,6 ), 0.A t t t a) Hallar la funcin vectorial

( ) ( ) ( )( ) ( , , )t t tF t x y z

b) Hallar la ecuacin cartesiana del plano osculador

a la curva C de la parte (a) en el punto F(1)

29. EX1 02-0)

La curva es parametrizada por la funcin:

( ) ( ,cos ,ln(sec ))F t sent t t , ,2 2

t

Hallar:

a) La curvatura k(t) en cualquier punto F(t) de la

curva.

b) La longitud del arco de ,la curva comprendido

entre el punto3

F

y el punto donde la

curvatura tiene el valor 2

CURVAS DE NIVEL30. EX2 12-2)

Sea la funcin2 2

2( , )

1

x yf x y

y

a) Las intersecciones de la grfica de f con los

planos XY, XZ.

b) Dibujar las curvas de nivel k para valores de

1

0, ,1,22k c) Hacer un esbozo de la grfica de f

LMITES

Definicin:

El lmite0 0( , ) ( , )

lim ( , )x y x y

f x y L

se define:

0 , 0 , tal que si:

o o

2 2(x x ) (y y )o o

0 (x, y) (x , y ) f (x, y) L


5/19

5

31. EX2 06-1)

Demostrar, usando la definicin del lmite que :2

(x,y) (1,2) Lim x -y - 1

CONTINUIDAD

Se dice que una funcin ( , )f x y es continua en elpunto ( , )o ox y , si cumple:

i) ( , )o of x y existe

ii)( , ) ( , )

lim ( , )o ox y x y

f x y

existe

iii)( , ) ( , )

lim ( , ) ( , )o o

o ox y x y

f x y f x y

Caso contrario se dice que es discontinua en

TEOREMA DEL SANDWICH

32. EX2 12-1)

Demostrar que la funcin3

4 2 , ( , ) (0, 0)

( , )

0 , ( , ) (0,0)

x yx y

f x y x y

x y

es

continua en (0,0)

33. EX2 12-0)

Sea

2 2 2 2 2 2

1 1cos , ( , ) (0,0)

( , )

0 , ( , ) (0,0)

xxsen si x y

f x y x y x y x y

si x y

Analizar la continuidad de f en (0,0)

34. EX2 06-1)

Dada la funcin2 2

2 2, ( , ) (0,0)( , )

0 , ( , ) (0,0)

x y

x yf x y x xy y

x y

Demostrar que 0y),f(xLim0),(0y),(x

35. EX2 06-1)

Dada la funcin2 2

2 2, ( , ) (0,0)

( , )

0 , ( , ) (0,0)

x yx y

f x y x xy y

x y

Demostrar que 0y),f(xLim

0),(0y),(x

Sugerencia : puede usar la desigualdad : xy x2 + xy + y 2 2(x 2 + y 2)

36. EX2 05-1)

Analizar la continuidad en 2R de la siguiente

funcin

3 3

2 28 , , 0,04( , ) .

0 , , 0,0

x y si x yx yf x y

si x y

MTODO DE LOS CAMINOS

37. EX2 10-2)

Demuestre que no existe el siguiente lmite6

4 4( , ) ( 0, 2)

( 2)lim .

( 2)x y

y

x y x

38. EX2 06-1)

Analizar la existencia de cada uno de los siguientes

lmites:

a)2 2

2 2 2( , ) (0,0 ) ( )x y

x ylm

x y x y

b)

2

4 4( , ) ( 0,0 )

cos 1 2x y

x

xlm

x y

c)2 2( , ) ( 0,0 )

cos( ) 1

x y

xylm

x y

Sugerencia para (c):2

4

1

1cos 1 cos ,

2 24

tt R t t donde

se encuentra entre 0 y t.

39. EX2 03-1)

Dada la funcin4 2

2

( ), ( , ) (0,0)

( , ) ( )

0 , ( , ) (0,0)

x x yx y

f x y x y

x y

Demostrar que f no es continua en (0, 0)

( , )o o

x y


6/19

6

DERIVADAS

A.

DERIVADAS PARCIALES

Sea la funcin 2:f , se definen lasderivadas parciales de f en el punto:

0 0 0 0x 0 0 1 0 0

h 0

f (x h, y ) f (x , y )f (x , y ) D f (x , y ) lim

h

0 0 0 0y 0 0 2 0 0

h 0

f (x , y h) f (x , y )f (x , y ) D f (x , y ) lim

h

40. EX2 10-1)

a) Dada la funcin

2

3( , )

x

yu x y y e

, 0y ; halle

( , )f x y , ( , )g x y tales que:

2

( , )

x

yu f x y ex

,

2

( , )

x

yu

g x y ey

b) Analice la existencia de la derivada parcial con

respecto a y de la funcin

2 2

sin( )( , ) (0,0)

( , )

0 ( , ) (0,0)

yx y

f x y x y

x y

.

Segn valores .R

41. EX2 09-2)

Sea1

( , )2

x yf x y y x . Calcule

(3,2) (2,3)f f

x y

.

42.PC3 07-1)

La funcin:

2 2( , ) arctan ln( )x

f x y x y x yy

Satisface la ecuacin

( , ) ( , ) ( , )f f

x x y y x y f x y Ayx y

,donde y > 0.Hallar el valor de la constante. A

.

43. EX2 05-2)

Sea la funcin definida por3

2 2 ( , ) (0,0)( , )

0 ( , ) (0,0)

xysi x yf x y x y

si x y

a) Calcular ( , )x

x y

para (x, y) (0, 0).

b) Calcular (0,0).x

c) Es la funcinx

continua en el punto (0, 0)?

Justificar su respuesta.

B.

DIFERENCIABILIDAD

Decimos que una funcin ( , )f x y es

diferenciable en el punto ( , )o ox y , si se cumple

que:

i) ( , )

y o of x y y ( , )x o of x y existen.

ii)2 2( , ) ( 0, 0)

( , ) ( , ) ( , ) ( , )lim 0

o o o o x o o y o o

h k

f x h y k f x y h f x y kf x y

h k

Obs:Si f es diferenciable entonces se define el vector

gradiente como: ( , ) ( , )

( , ) ,x y x y

x y

f ff

x y

44.EX2

Dada la funcin 2:f , analizar la

diferenciabilidad de f en (0,0)

a)

14-0)

3( , ) .f x y xy

b) 13-2) ( , )f x y xy

,1

2

c) 11-1) 2 2, ( , ) (0,0).

( , )

0 , ( , ) (0,0).

xyx y

f x y x y

x y

d) 10-0) ( , ) 2 1g x y x y xy

e)

06-1)

2

2 2 , ( , ) (0,0)( , )

0 , ( , ) (0,0)

x y

si x yf x y x y

si x y

45. EX2 13-0)

Dada la funcin

2 2

( ), ( , ) (0,0)

( , )

0 , ( , ) (0,0)

nx y

si x yf x y x y

si x y

.

Analizar la diferenciabilidad de f en (0,0), segn

los valores de n .


7/19

7

46. EX2 12-2)

Sea2 ( )

( , ) (0,0)( , )

0 ( , ) (0,0)

sen x ysi x y

x yf x y

si x y

a) Analizar la continuidad de f en 2

b)

Analizar la diferenciabilidad de f en (0,0).

47. EX2 12-1)

Analizar la diferenciabilidad de

2 2, ln ( 1)h x y x x y en (0,0) yhallar (0,0)h .

48. EX2 10-2)

Analice la diferenciabilidad de la funcin.

2 2 ( , ) (0,0)

( )( , )

0, ( , ) (0,0)

xyx y

x yf x y

x y

en

el punto (0,0).

i. Para1

.2

a

ii. Para1

.2

a

49.

PC3 10-1)

Analizar la diferenciabilidad de la funcin:3 3

2 2, ( , ) (0,0)

( , )

0 , ( , ) (0,0)

x ysi x y

f x y x y

si x y

a) En 2 (0,0)

b) En el punto (0,0)

50. EX2 09-0)

Dada la funcin( 1) ,

( , )0 ,

x ye si x yf x y

si x y

.

Analizar la existencia de (1,1)f

x

51. EX2 07-1)

Sea la funcin2 2

4 2 2/3

2, ( , ) (0, 0)( , ) (2 )

0 , ( , ) (0, 0)

x ysi x yf x y x y

si x y

a) Demostrar que f es continua en el origen.

b) Usando la definicin demostrar que f es

diferenciable en el origen.

52.PC3 07-1)

Dada la funcin 2:f , definida por:

4 3

2 2

sin, ( , ) (0, 0)

( )

0 , ( , ) (0, 0)

x y ysi x y

f x x y

si x y

a) Demostrar que f es diferenciable en

2 (0, 0) b) Aplicando la definicin, demuestre que f es

diferenciable en (0, 0)

53. EX2 04-2)

Sea la funcin

2 2 , 0,0( , ) .

0 , 0,0

xysi x y

x yf x y

si x y

a) Es f diferenciable en (0,0)? Justifique su

respuesta.

b) Calcular en qu puntos de la circunferencia2 2 1x y , el mdulo del gradiente de f es

mximo.

54.

PC3 04-2)

Usando la definicin de funcin diferenciable,

demostrar que la funcin

2 2

, , 0 , 0,

0 , , 0 , 0

x ysi x y

x yf x y

si x y

es diferenciable en (0,0).

55. EX2 03-2)

Sea 2:f R R una funcin de clase2C . Se

define la funcin2

:g R R por la condicin

2 2( , ) ( , ).g x y f x y Si ( , ) ( , ).g

h x y x yx

Hallar el gradiente de , ( , )h h x y en trminosde las derivadas parciales de .f

56. EX2 03-1)

Mediante la definicin de funcin diferenciable

demostrar que ( , )f x y xy es diferenciable en

el punto 2(1,1)


8/19

8

C.

DERIVADA DIRECCIONAL

Se define la derivada direccional de la funcin f

en el punto ( , )x y en la direccin del vector

unitario 1 2( , )u u u :

1 2

0

( , ) ( , )( , ) lim

uh

f x hu y hu f x yD f x y

h

Obs:

Si f es una funcin diferenciable en ( , )x y ,

entonces la derivada direccional se puede calcular

como:( , ) ( , )u x y x yD f f u

Si se conoce el ngulo que forma el vector

unitario, se tiene (cos , )u sen , adems:

0

( cos , ) ( , )( , ) limu

h

f x h y h sen f x yD f x y

h

Direccin de la mxima derivada direccional, o

mxima razn de cambio: ( , )x yf Valor de la mxima derivada direccional:

( , )x yf

57. EX2 14-1)

Dada la funcin2 2

2 2

1, ( , ) (0,0)

( , )

1 , ( , ) (0,0)

x ye

si x yf x y x y

si x y

.

Hallar los vectores unitarios 2( , )u a b tales que (0,0)

uD f existe.

58. EX2 14-1)

Dada la funcin 2:f definida por

3

34 2 2

, ( , ) (0,0)( , ) ( )

0 , ( , ) (0,0)

rx y

si x yf x y x y

si x y

a) Analizar la diferenciabilidad de f en el

punto (0,0) para r = 2.

b)

Para r = 1, hallar la derivada direccional de f

en el punto (0,0) en todas las direcciones

unitarias 2( , )u a b donde existan.

59. EX2 14-0)

a) Dada la funcin 2: ,f definida

por1 , 0, 0

( , ), 0 0

si x yf x y

x y si x y

i. Analizar si existe la derivada direccional de

f en (0,0) en las direcciones unitarias2( , )u a b con 0a y 0.b

ii. Analizar la diferenciabilidad de f en

(0,0).

60. EX2 13-1)

Sea la funcin2 2

2 2 , ( , ) (0, 0)

( , )

0 , ( , ) (0,0)

x ysi x y

f x y x y

si x y

a) Analizar si f es diferenciable en todo 2 .

b) Hallar todos los vectores unitarios U tales que

(0,0)U

D f existe

c) Hallar todos los vectores unitarios tales que

(1, 1) 0U

D f

61. EX2 13-0)

Dada la funcin

1, 0, 0( , )

1 , 0 0

xye si x yf x y xy

si x y

a) Analizar la existencia de ( , )uD f x y si x 0, y

0, para todo vector unitario 2( , )u a b .

En caso afirmativo, calcular el valor de (1,1)uD f

b) Hallar ( ,0)uD f x , 0x , (0,1)u

c) Hallar ( ,0)u

D f x , 0x , (1,0)u

62. EX2 12-1)

Sea la funcin5 5( , ) x yg x y e seny e senx .

Hallar los vectores unitarios U tales que .

+

63. EX2 12-1)

Sea la funcin

5

52 2 2

, ( , ) (0, 0)

( , )

0 , ( , ) (0, 0)

x ysi x y

f x y x y

si x y

a) Analizar si (0,0)f es diferenciable en (0,0)


9/19

9

b) Hallar todos los vectores unitarios U tales que

(0,0)UD f existe

64. EX2 12-0)

Sea

2 2, ( , ) (0,0)

( , )0 , ( , ) (0,0)

xysi x y

f x y x ysi x y

a) Analizar la diferenciabilidad de f en (0,0)

b) Calcular (1,1)uD f , para1 1

,2 2

u

65. EX2 12-0)

Sea 2:f definida por

( , ) (2 3 )(1 )f x y x y xy

; 0 .

Analizar segn los valores de :

a) La diferenciabilidad de f en (0,0)

b) La existencia de (0,0)uD f en toda direccin

unitaria2( , )u a b

66. EX2 10-2)

Sean2 2

2( . , ) 1

4 9

x yf x y z z y

0(1,0,0)P En qu direccin U = (a,b,c) se obtiene

la derivada direccional mxima de f en y cul es

su valor?

67. EX2 10-1)

Sean : nf R R una funcin diferenciable en

: ,nR y g R R una funcin diferenciable enR, tales que g es estrictamente creciente en R;

demuestre que las derivadas direccionalesmximas de f y ng f en P R se alcanzan enla direccin del mismo vector unitario U.

68. EX2 10-0)

Sean2:f diferenciable en 2 y

2P . Si ( ) 1UD f P , ( ) 2VD f P con

(0, 1)U y ( 1,0)V , hallar ( )Df P

69.

EX2 09-2)

Sea f una funcin tal que sus derivadas parciales

de primer orden existen y son continuas sobre un

conjunto abierto A de 2 , demuestre que en

cada punto 0 0( , )x y A , existe al menos una

direccin U tal que la derivada direccional de f

en 0 0( , )x y segn la direccin U , es nula.

70. EX2 09-0)

Dada la funcin:

2 22 2

1( ) , ( , ) (0,0).( , ) ( )

0 ( , ) (0,0).

x y sen si x yf x y x y

si x y

a) Hallar de manera que existan

(0,0), (0,0).f f

x y

b) Hallar de manera que f sea diferenciable en

el punto (0,0).

c)

Sea2 2

( , ) ( ). ( , )g x y x y f x y y1

2 . Hallar todos los valores unitarios

2

1 2( , )u u u R tales que (0,0)uD g

existen.

71. EX2 07-2)

Considerar la funcin2 2ln( ) ( , ) (0,0)

( , )0 ( , ) (0,0)

xy x y si x yf x y

si x y

a) Demostrar que f es diferenciable en todo 2

Sugerencia: Recordar que0

lim ln 0.t

t t

b) Calcular (0, ),Df e donde e es la base de los

logaritmos naturales.

72. EX2 07-2)

Dados la funcin2 2( , , ) ( )f x y z x sen x y z y el punto

(1, 1, 0)Q . Calcular:a) La derivada direccional de la funcin f en el

punto Q en la direccin del vector tangente

unitario a la curva2 2

0: .

2 1

x y zC

x z

b) La direccin en la cual la funcin f tiene en el

punto Q el mayor decrecimiento. Cul es su

valor?


10/19

1

73. EX2 07-2)

Sea la funcin ( , ) .f x y x x y a) Estando en el origen del sistema hallar las

direcciones unitarias 1 2( , )v v v en las cuales

existe la derivada direccional.

b) Estando en el punto (2, 2) hallar la direccin de

mximo crecimiento de la funcin y la tasa demximo decrecimiento.

74. EX2 06-1)

Hallar las direcciones unitarias 1 2( , )V v v para

las cuales existe la derivada direccional en el

origen para la funcin:

2 2 , ( , ) (0,0)

( , ) .

0 , ( , ) (0,0)

x xysi x y

x yf x y

si x y

75. EX2 05-2)

Hallar la mxima derivada direccional de la

funcin definida por

2( , ) ln(2 )f x y x y y x , en el punto

0 (1,5).P

76. EX2 05-2)

Dada una funcin diferenciable , sean

z=(x,y), cosx r , y rsen . Expresar

( , )f x y en trminos de las coord. polares r ,

y las derivadas parciales ,z z

r

.

77. EX2 04-1)

Sea la funcin 2 1/3( , , ) ( ) .f x y z xy z

Demostrar que si2

0xy z entonces

( , , )uD f x y z existe 3u R vector unitarioPara qu puntos 0 0 0( , , )x y z tales que

2

0 0 0 0x y z existe 0 0 0( , , )?f

x y zx

Hallar

todos los 1 2( , 0)U u u unitarios para los cuales

existe (0,0,0)uD f

78. EX2 04-1)

Hallar las constantes a y b para que la derivada

direccional mxima de la funcin

( , ) cos( )ax byf x y e x y en el punto ( 0 , 0 )

sea 3 2 , en la direccin de x, y crecientes sobre

la bisectriz del primer cuadrante.

79. EX2 04-0)

Sea2 2

2

3 2 0:

2 3 0

x y y z

x z x y

. Hallar la

derivada direccional de 2 2( , , )f x y z x y z en el punto 0 (1, 1,1) ,P segn la direccin

paralela a la tangente a 0.en P

80. EX2 04-0)

Sea 3:F R R una funcin diferenciable tal

que: , , , 0.F x y h x y x y donde h

es una funcin diferenciable en todo 2.R Hallar el

gradiente de h en (1, 1) sabiendo quey (2,1,0) (1,1, 1).F

81. EX2 03-2)

Sea 2:f R R diferenciable en el punto (0, 0)

tal que (0,0) (0,0)f . Si ( , )v a b

es un

vector unitario tal que (0,0) 2D f . Analizarel valor de verdad de las siguientes afirmaciones,

justificando en cada caso su respuesta.

i) (0,0)v y f son ortogonales.

ii)

0

( , ) ( , )2.

t

f ta tb f a bLim

t

iii) (0,0) 2.f

iv) Existe el( , ) ( 0,0 )

( , ) .x y

Lim f x y

82. EX2 03-2)

Dada la funcin ( , ) .f x y x x y

a)

Graficar su dominiob) Si ( , )a b satisface ( ) 0a a b , hallar todos los

vectores unitarios 1 2( , )U u u para los cuales

existe ( , ) .UD f a b

83. EX2 03-1)

Dada la funcin2 2( , , ) cos ( ) .f x y z x x y z Hallar la

derivada direccional de f en el punto Q =(1, -1,

1) y en la direccin de una normal al plano

tangente en Q de la correspondiente superficie de

nivel de .f

(1,1) 1h


11/19

11

84. EX2 03-1)

Sea 2:f R R una funcin diferenciable tal

que 20 , ( , ) 0 ( , ) .f f

f x y x y Rx y

Considere la funcin 2:F R R dada por

( , )

( , )

xF x y

f x y

. Demostrar que:

( , )( , ) ( , )

F F F x yx y x y

x y x

D.

REGLA DE LA CADENA

85. EX2 13-1)

Dada una funcin f de clase 2C en 2 , sea

( , )z f x y , donde 2 2x v u , y v u .Hallar el valor de la constante A, y las funciones

( , )h u v , ( , )k u v tales que2 2 2 2

2 2( , ) ( , v)

z z z z zA h u v k u

u v u x x x y

86. EX2 13-0)

Sean ( , )z f x y , secvx e u , tanvy e udonde f es una funcin de clase C2. Hallar las

funciones ( )g u , ( , )h x y y ( , )k x y tales que2 2 2 2

2 2( ) ( , ) ( , )

z

z z z zg u h x y k x yu v u x y x y

87. EX2 10-1)

Sea z = f(x,y) una funcin de clase 2C en 2.R El

cambio de variables

1(2 )

3.

1( )

3

x u v

y u v

Establece la

relacin2 2 2 2 2

2 2 2.

z z z z zA B C

u v v x x y y

Encuentre las constantes reales A, B y C

88. EX2 09-0)

Calcular2 2w wx y

x y

en el punto (1, 1) si

x yw f

xy

, donde f es una funcin

continua de clase 1C verificando (0) 2f .

89. EX2 08-1)

Sea u = f(x,y) una funcin diferenciable.

cos , .x r y rsen Demuestre que1

(cos ) ( ) ,

1( ) (cos ) .

u u usen

x r r

u u usen

y r r

90. EX2 07-2)

Sean ( , ) ,z C x y f de clase 2C en todo2, cos ,x a r y brsen donde0, 0a b son constantes.

a) Hallar las funciones polinmicas ( , )P x y ,

( , )Q x y y ( , )R x y tales que:2 2 2 2

2

2 2 2( , ) ( , ) ( , ) .

z z z zr P x y Q x y R x y

r x x y y

b) Si ( , ) ,xyf x y e calcular2

2 1, .

4

z

r

91. EX2 07-2)

Sea ( , )z f x y una funcin de clase 2C en2.R El cambio de variables

2 2,x u v y u v transforma la

funcin ( , )z f x y en una funcin

( , ) .z g u v

a) Hallar (simplificando)2

.z

v u

b) Calcular el valor de2

(1, 5)z

x y

conociendo

que2 2

2 2(1,5) 2 , (1, 5) 50

z z

y x

y

adems2

(2,1) 232z

v u

.

92. EX2 07-2)

Dados: 1 1

( , ) , ,u v

z f x y x yv u

Hallar2

2

z

u

(en funcin de las derivadas parciales

de z con respecto a x e y).

Si2 2 2

2 23, 6, 3, 2, 0;

z z z z z

x y x y y x

u = 1, v = 2. Calcular2

2(1 , 2).

z

u


12/19

12

93. EX2 06-2)

Sea 2:f R R , ( , )z f u v tal que 2u x y ,2v y x .Sea 2 2( , ) ( , )g x y x y y x ,

f y gfunciones de clase2 2.C en R Definamos

la funcin compuesta: 0( , ) ( )( , ).h x y f g x y

a)

Hallar ( , ) .h x y

b) Si se sabe que h(2, 3) = 37, 3, 14z z

u v

Hallar la ecuacin del plano tangente a la

grfica de 0( , ) ( )( , )h x y f g x y en el punto

(2 , 3).

94. EX2 06-1)

Considerar la funcin z = f(x, y) con derivadas de

segundo orden continuas y tal quex uv ,2 .y u v Verificar que z satisface la ecuacin.2 2(4 ) 4 2uu xx xy yy yz v z uv z u z z

95. EX2 03-2)

Sea2:f R R una funcin de clase 2C . Se

define la funcin 2:g R R por la condicin

2 2( , ) ( , ).g x y f x y Si ( , ) ( , ).g

h x y x yx

Hallar el gradiente de , ( , )h h x y en trminosde las derivadas parciales de .f

96. EX2 03-1)

Si ( , )z f x y donde cossx e t ,sy e sent , entonces

22 2 2

( , ) .z z z z

A s tx y s t

Calcular A (s, t).

PLANO TANGENTE

Sea una funcin 2:f definida por

( , )z f x y , entonces construimos una funcin3:F , tal que: ( , , ) ( , )F x y z f x y z .

Luego la ecuacin del plano tangente a la superficie f

est dado por: 0( ) 0P P n , con 0( )n F P

97. EX2 14-1)

Dada la superficie 2 2:S z x y

a) Hallar la ecuacin cartesiana del plano

tangente P a la superficie S en el punto2 2( , , ).Q a b a b

b) Sea ( , , )P u v w la proyeccin ortogonal del

origen de coordenadas sobre el plano tangenteP a S en el punto Q. Sabiendo que

2 2 2 ( , )u v w f a b , hallar ( , )f a b

98. EX2 14-1)

Hallar la ecuacin cartesiana del plano tangente P

a la superficie 2

: 0y zS arctan x y e ,

0y que contiene a la recta : 2, 0L x y 99. EX2 14-0)

Dada la superficie 3 2 2( , , ) :S x y z z x y . Hallar la

ecuacin cartesiana del plano tangente P a la

superficie S que contiene al punto

(0,3,4)M y es perpendicular al plano

: 2 2 0x y z .

100. EX2 13-2)

Los planos tangentes a la grfica de la funcin2 2( , ) 2 2 1f x y x x y en el punto

0 ( , ,1)P a b son perpendiculares al plano

: 2 1P x y z . Hallar los valores de a , b

y las ecuaciones cartesianas de dichos planos

tangentes.

101. EX2 13-1)

a) Hallar todos los puntos de la superficie

( , , ) : ( )x yS x y z z e sen x y cuyo

plano tangente es paralelo al plano P:x+y-z=0.

b) Dada la superficie

3( , , ) : 1, , , 0S x y z xyz donde x y z demostrar que los planos tangentes en cualquier

punto de S forman con los tres planos

coordenados un tetraedro de volumen constante.

102. EX2 12-2)

Sea la superficie3

2 2 2 2 2: ( ) 0S x y x y z

a) Hallar la ecuacin cartesiana del plano P tangente

a S en un punto genrico ( , , ) (0,0,0)h k l


13/19

13

b) Sea el ngulo entre los vectores normales al

plano P y al plano XY respetivamente.

c) Calcular( , ) ( 0, 0)

lim cosh k

.

103. EX2 12-1)

Considere la superficie :( , )

xS z

f x y , donde

2:f una funcin no nula ydiferenciable en todo 2 . Si (6,5) 3f y

(6,5) (1,3)f , halle la ecuacin cartesianadel plano tangente a la superficie S en el punto

(6,5,2) .

104. EX2 12-0)

Sea la superficie : arctan 0y

S z xx

.

Demostrar que todos los planos tangentes a Sseintersecan en un punto y hallar dicho punto

105. EX2 11-1)

Sea:2

2

1( , ) .

1

xf x y

y

Hallar la ecuacin cartesiana del plano P tangente

a la grfica de f, sabiendo que es perpendicular al

plano : 2 0M x z y que adems la

coordenada y del punto de tangencia es igual a 1.

106. EX2 11-1)

Dada una funcin ( , )z f x y diferenciable en

todo2

, se sabe que el plano tangente a la

grfica de f en el punto (1,2) es: 2x+3y+4z = 1. Se

puede calcular con estos datos la derivada

direccional de f en (1,2) en la direccin de la recta

que une dicho punto (1,2) con el punto (3,4)? Si la

respuesta es afirmativa, calcular dicha derivada

direccional.

107. EX2 10-2)

Sean 2 2 2: 4S y x z una superficie en 3R

y el plano tangente a S en el punto 0 ( , ,2).P a b

Si se sabe que es perpendicular al plano

: 8,P x y z determine la ecuacincartesiana del plano .

108. EX2 10-0)

Sea la superficie : 1 arctan x

S z yy

.

Demostrar que todos los planos tangentes a S

tienen un punto en comn. Hallar dicho punto

109. EX2 09-2)

Halle la ecuacin del plano tangente a la superficie2 2 2

: 2 14 332S x y z en el punto

0 0 0 0( , , )P x y z sabiendo que la recta tangente a la

curva2 2

2 2

2 ; 0:

2 3 1

z x y y

z x y

. En el punto

(2,1,6) es perpendicular a dicho plano

110. EX2 09-0)

Hallar el punto 0P sobre la superficie3 2 2: 2 27S x y z donde el plano tangente

a S es perpendicular a la recta

5 7 1: .

3 2 2

x y zL

Adems hallar la

ecuacin cartesiana del plano tangente a S en 0.P

111. EX2 08-1)

Dada la funcin ( , , ) cos .3xz

f x y z e xy

Calcule el valor de c para que el punto

P = (1, 21, -1) pertenezca a la superficie

3( , , ) : ( , , ) .S x y z f x y z c Asimismo,halle la ecuacin del plano tangente a S en P.

112. EX2 07-2)

El plano tangente a la grfica de la funcin2

2

( , ) 3 4

y

f x y x en el punto (2, a, b) es

ortogonal al plano y + z = 0.Hallar a, b y la

ecuacin cartesiana de dicho plano tangente.

113. EX2 07-2)

Sea : 1S x y z

a) Hallar la ecuacin cartesiana del plano tangente a

S en cada punto 1( , , )4

b c de S

b) Hallar la ecuacin cartesiana de la superficie

formada por las rectas que pasan por el origen y

son perpendiculares a los planos tangentes a S

obtenidos en la parte a).


14/19

14

114. EX2 06-1)

Sea el plano tangente a la superficie2 2 2: 3 4 8S x y z en el punto( , ,1)Q a b S y sea L: 2x + 3y = 8; z = 0 recta

de interseccin de con el plano coordenado XY.

Hallar dicho punto Q y la ecuacin cartesiana del

plano .

115. EX2 05-2)

Si una curva C es interseccin de dos superficies,

su recta tangente en cada punto0P C , es la

interseccin de los respectivos planos tangentes a

las superficies en el punto0.P Usar este hecho

para hallar las dos ecuaciones cartesianas de la

recta tangente a la curva de interseccin de las

superficies 2 2 2 2 2, 4 9,x x y x y z en el

punto (-1, 1, 2).

116. EX2 05-1)

Sea la funcin 2 2( , ) 3 3 ( 2) .f x y x y Hallar los puntos de tangencia en la grfica de f

donde los planos tangentes contienen a la recta

: 1, 0.L x z

117. EX2 04-2)

Hallar la ecuacin del plano tangente a lasuperficie 3xyz a (a es una constante positiva)

en cualquier punto 0 0 0( )x y z de la misma.

Demostrar que el volumen del tetraedro limitado

por dicho plano y los planos coordenados es una

constante que no depende de 0 0 0.x y z Hallar el

valor de dicha constante.

118. EX2 04-1)

Hallar la ecuacin del plano tangente a la

superficie2 2: ,S z x y si este plano contiene

a la recta L : P = (1 , 0 , 2 ) + t( 1 , 1 , 0 ) , .t R

119. EX2 03-2)

Sea la superficie : ( ).S z Ln xyz Hallar laecuacin cartesiana del plano tangente a la

superficie S en el punto (e, 1, 1)

120. EX2 03-1)

Dada la funcin2 2( , , ) cos ( ) .f x y z x x y z Hallar la

derivada direccional de f en el punto Q =(1, -1,

1) y en la direccin de una normal al plano

tangente en Q de la correspondiente superficie de

nivel de .f

121. EX2 03-1)

Sea 2:f R R una funcin diferenciable tal

que 20 , ( , ) 0 ( , ) .f f

f x y x y Rx y

Considere la funcin 2:F R R dada por

( , )( , )

xF x y

f x y . Si (7,4) 9f y

(7,4) 6f

x

, hallar la ecuacin cartesiana del

plano tangente a la grfica de ( , )F x y en el

punto (7, 4, F (7, 4)).

EXTREMOS RELATIVOS

MXIMOS Y MNIMOS

A. MTODO DEL HESSIANO

Proc:

i) Puntos Crticos:

0xf , 0yf

ii)

Matriz Hessiana:

xx xy

yx yy

f f

f f

iii) Criterio:

Si 0 y 0xxf Punto de Mximo

Si 0 y 0xxf Punto de Mnimo

Si 0 y Punto de Silla

Si 0 y No se afirma nada

122. EX2

Hallar los puntos crticos de f y determinar su

naturaleza.

a) 14-1)3 2 2( , ) 5 3f x y x y x y x y

b) 13-1) 3 2 2( , ) 5f x y x y xy x y

c) 12-0)3 2 2( , ) 25f x y x y xy x y

d) 11-1/ 11-0) 4 4 2 2( , ) 4 2 2f x y x y xy x y

e) 10-1)3 2 2( , )f x y x y xy x y

f) 10-0) 4 2 2 3( , ) 2 2 3f x y x x xy y


15/19

15

g) 09-2) 5 2 31 1 8

( , )5 2 3

f x y x x y y

h) 07-2) 2 2( , ) 2f x y xy xy x y

i) 05-2) 2 3 3( , ) 6 2 3 6f x y x x y xy

j) 05-1) 3 2( , ) 3 15 12f x y x xy x y

123.

EX2

Hallar los puntos crticos de f y analizar su

naturaleza segn los valores de la constante ( a k

).

a) 14-0) f (x,y) = x3+y3-3axy

b) 13-2) 4 4( , )f x y ax y x y , 0;a

c) 13-0) 3 2 2( , )f x y x y k x y x y , 1k .

d) 12-2) 3 2 2( , )f x y xy x y ax y , 0a

e) 12-1) 3 2 2( , ) 5f x y x y k x y x y , 0k

124. EX2 10-2)

Dada la funcin: ( , ) ( )( ).f x y xy x a y b Donde a y b son constantes fijas y diferentes de 0.

a) Halle una relacin entre a y b, de modo que f

tenga 3 puntos crticos ubicados en la

semirecta , 0.y x y b) Determine la naturaleza de los puntos crticos

hallados en a).

125. EX2 10-0)

Sean 2:f diferenciable en 2 y

:g diferenciable en ,

0 ( )P Dom g f . Demostrar que si 0P es un

punto crtico de f entonces 0P tambin es punto

crtico de g f

126. EX2 09-0)

Sea :g R R una funcin de clase 1C verificando (0) 0g y '(0) 0g . Sea

2

2

( , ) ( )

x y

y x

f x y g t dt

.Demostrar que (0,0) es un

punto crtico de f y determinar su naturaleza.

127. EX2 08-1)

Dada la funcin2 2( , ) y x y xf x y y e mx e

halle todos los valores de m para los cuales f tieneun punto de silla en (0,0) y todos los valores de m

para los cuales f alcanza un mnimo relativo en

(0,0).

128. EX2 07-2)

Dada la funcin 2 ,IR IR definida por2 2( , ) .f x y x kxy y

i) Hallar todos los valores de k para los cuales f tiene

un punto de silla en (0,0).

ii) Hallar todos os valores de k para los cuales f tiene

un mnimo relativo en (0,0).

129. EX2 03-1)

Dada la funcin2 3 2 2( , ) 2 .f x y x y x y x y

a) Hallar todos los puntos crticos de .f

b) Demostrar que

i) 1(1, )2

es un punto de mximo relativo de .f

ii)

(0, 0) es un punto de silla de .f

B. MULTIPLICADORES DE LAGRANGE

130. EX2 14-1)

Usando el mtodo de Multiplicadores de

Lagrange, encontrar los extremos relativos de

la funcin , ,f x y z x yz sujeta2 2 2 2

x y z a , donde a es una constante

positiva. Adems indicar los puntos donde se

alcanzan dichos extremos

131. EX2 14-0)

Dada la superficie

2 2 2

3{(x, y, z) : 1

4 25 5

x y zS . Hallar

las dimensiones del tetraedro de menor

volumen que se puede formar con los tres

planos coordenados y un plano tangente a la

superficie S en un punto del primer octante.

132. EX2 13-2)

Sea la funcin 2 2( , , )f x y z x y bx y az

donde a , b son constantes reales tales que

2a b . Hallar los valores de a y b demanera que f tenga un extremo relativo en

el punto (1,1,1) sujeta a la restriccin2 2 2

3x y z .


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133. EX2 13-1)

Usando el mtodo de Multiplicadores de Lagrange,

encontrar el punto de la superficie

2 2 2 11

, , :4

S x y z x y z

ms

cercano al punto Q=(3,1,-1)

134.

EX2 13-0)


hallar la mnima distancia del origen de

coordenadas a la superficie 2: 2S xy z

135. EX2 12-2)

Hallar los puntos del elipsoide2 2 22 3 1x y z tal que la suma de sus

coordenadas sea mxima y aquellos donde la suma

sea mnima. Calcular dichas sumas mximas ymnimas.

136. EX2 12-1)

Usando Multiplicadores de Lagrange calcular los

puntos de la superficie 2 2 2: 27S x y z mscercanos al origen.

137. EX2 12-0)


hallar los puntos de la superficie

2 2 2 1:9

S x y z que estn ms cerca del

punto (1,2, 2)

138. EX2 11-1)

Usando multiplicadores de Lagrange, determinar

todos los puntos de la superficie2: 4L y xz

que estn ms cercanos del origen de coordenadas.

139. EX2 10-2)

Un tringulo cuyo lados tienen longitudes x,y,z;

tiene un permetro fijo 2s. Demuestre que de todos

los tringulos con dicho permetro fijo, el de

mayor rea es el equiltero.

Sugerencia:

rea del tringulo= ( )( )( )s s x s y s z

140. EX2 10-1)

Dada la superficie : 1,S xyz sea f(x,y,z) elcuadrado de la distancia del origen al plano

tangente a la superficie en el punto ( , , ) .x y z S

Use el mtodo de los multiplicadores de Lagrange

para hallar los puntos de s donde f es mnimo.

Sugerencia: Use (u,v,w) para designar a un punto

variable del plano tangente.

141. EX2 10-0)

Sea ( , , ) n n nf x y z x y z , donde n es unentero par positivo. Hallar 0a si se sabe queun valor extremo relativo de la funcin f , sujeta

a la restriccin x y z a , es igual a 3 .

142. EX2 09-2)

Use el mtodo de los Multiplicadores de Lagrange

para encontrar los valores mximo y mnimo de la

funcin 2 2( , ) 50 4 4f x y x xy y , sujeta a

la restriccin 2 2 25x y .

143. EX2 09-0)

Halle los extremos relativos de2 2 2( , , ) ( 1)f x y z x y z sujeto a las

restricciones: 2 2 2 , 2.x y z x y z

144. EX2 08-1)

Encuentre los extremos relativos de la funcin:( , , )f x y z x z en la esfera

3 2 2 2( , , ) : 1 .S x y z x y z

145. EX2 07-2)

Hallar el punto de la esfera 2 2 2 2x y z a cuya suma de coordenadas sea mxima.

146. EX2 07-2)

Calcular el volumen mximo de un paraleleppedotal que el rea total (rea lateral ms el rea de las

bases) es 72 unidades cuadradas y el cuadrado de

la longitud de sus diagonales es de 72 unidades.

147. EX2 06-1)

Dada la curva2 2

2

6 8 0: ,

0

x x yC

x z

usar el mtodo de los multiplicadores de Lagrange

para hallar el punto de C ms cercano al origen,sabiendo que para cada punto (x, y, z) de C, la

primera coordenada es negativa. Sea f es una

funcin de dos variables diferenciable en P y sean


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U y V dos vectores unitarios ortogonales de 2.R

Demostrar que:

22 2

( ) ( ) ( ) .U V

D f P D f P f P

148. EX2 05-2)

Hallar los valores mximos y mnimos de la

funcin ( , , )f x y z x yz , sujetos a lasrestricciones 2 2 23, 9.x y z x y z

149. EX2 04-2)

Sea 2 2( , , ) ,f x y z x y bxy az en donde a y

b son constantes reales tales que 2 2 8.a b Hallar a y b de manera que el punto (1, 1, 1) sea

un extremo relativo de f sujeta a la restriccin2 2 2 3.x y z

150. EX2 04-1)

El plano x y + z 2 = 0 corta al cilindro2 2 8 0x y en una elipse E. Hallar los puntos

de E ms cercanos al origen y el punto de E ms

alejado del origen.

151. EX2 04-0)

Hallar los puntos sobre la superficie2 3 2x y z

que sean ms cercano al origen.


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long de curva y recta tangente

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