Universidad Alas Peruanas
SEDE FILIAL - CHICLAYO

LGICA

LIC. MAT. EDWIN RAFAEL VALLEJOS MENDO

LGICA MATEMTICA

La lgica proposicional a utilizando una representacin primitiva del lenguaje, permite representar y manipular aserciones sobre el mundo que nos rodea. La lgica proposicional permite el estudio del razonamiento, a travs de un mecanismo que primero evala enunciados simples y luego enunciados complejos, formados mediante el uso de conectivos proposicionales.

Enunciado: Es cualquier frase u oracin.

*Jos es deportista

* viva el Per!

*Cmo te llamas?

* 3x + 12 = 10

Proposicin: Es un enunciado que tiene la propiedad de ser verdadero (V) o falso (F), pero nunca verdadero y falso a la vez. Se representa con letras minsculas que denominamos variables.

Ejemplo:

p : El nmero 343 es divisible por 5. ( F )

q : Miguel Grau naci en Piura. ( V )

Cules de los siguientes enunciados son proposiciones?Todos los hombres son mortales

II. 4 > 7

III. Hola! Cmo estas?

IV. x +2 = 5

V. El nmero uno no es primo.

a) Todosb) I , II y V c) I y II d) III y V

Ejercicios :

2. De las sgtes expresiones

Cules no son proposiciones?

I. 2 +

>1

II. Gracias!

III. Un metro cbico equivale a 100 litros.

IV. 3x + y = 12

Todos b) I y IIc) II y II

d) II y IV e) N.A

PROPOSICIN SIMPLE: Llamada tambin atmica o elemental, expresa una sola idea y se representa por una sola variable (tienen un solo sujeto y un solo predicado).

Por ejemplo:

p: "15 es divisible por 3 " es una proposicin simple o atmica.

q: "Francisco Bolognesi Muri el 7 de Junio" es una proposicin simple o atmica

PROPOSICIONES SIMPLES Y COMPUESTAS

PROPOSICIN COMPUESTA: Llamada tambin molecular o coligativa, esta formadas por dos o mas proposiciones simples unidas por conjunciones gramaticales (conectivos) o afectados por el adverbio de negacin NO. As, por ejemplo:

CONECTIVO

Encontramos dos enunciados. El primero (p) nos afirma que Pitgoras era griego y el segundo (q) que

Pitgoras era gemetra.

b. No es el caso que todo impar sea primo.

Es tambin una proposicin compuesta.

a.

NOTACIN Y CONECTIVOS LGICOS

A partir de proposiciones simples es posible generar otras, Es decir que se puede operar con proposiciones, y para ello se utilizan ciertos smbolos llamados conectivos lgicos.

NombreSmboloSe leeNegacin~No../ no es ciertoConjunciny..DisyuncinoCondicionalSi. entoncesBicondicionalsi y solo si

1. Indica si las siguientes son simples (S) o

compuestas (C ).

I. Alfonso Ugarte se lanz del morro.

II. Sporting Cristal es el nuevo campen del ftbol peruano.

III.

IV. Grau fue piurano y peruano.

a)SSSCb)SSCSc)SCSCd)SSCC

Ejercicio :

Tablas de verdad de los conectivos lgicos

PQVVVVVVVFFVFFFVFVVFFFFFVV

(TVV) la tabla de valores de verdad debe consignar todas las combinaciones posibles. i.e

2 n , donde

n = # de proposiciones.

Un esquema lgico puede ser:

Contingente: verdadero al menos una sola vez.

Contradictorio: Siempre falso.

Tautolgico: Siempre verdadero

Ejemplo: Si analizamos la proposicin

t: (pq) (~ p q) realizando su tabla de verdad:

Matriz principal

Es una Tautologa

Pq (p q) ( ~ p q) VV VV F V VVF FV F F FFV VV V V FFF VV V V F

EQUIVALENCIAS Y LEYES LGICAS.

Existen varias equivalencias de la lgica proposicional, las cuales se conocen como leyes de equivalencia.

Dos formulas F1 y F2 son equivalentes si: F1 F2 resulta ser una tautologa. Y se denota F1 F2

Ejemplo.

Las proposiciones p q y ~ (p ~ q) son equivalentes, como vemos realizando la tabla de valores correspondientes:

p q p q (p ~ q) p q ~(p ~ q) VVFF VFVF VFVV FVFF VFVV V V V V

Podemos concluir entonces que: ( p q ) y ~ ( p ~ q) son equivalentes.

( p q ) ~ ( p ~ q)

La siguiente tabla muestra estas leyes.

Ley de equivalencia FrmulaLey de equivalencia FrmulaConmutacinpq = q p pq = q p Distribucin p(q r) = (p q) (p r) p (q r) = (pq) ( p r) Asociacin(p q) r = p (q r)(p q) r = p (qr)Complementacinp p = F p p = VIdempotenciap p = p p p = p Identidadp F = p p V = pInvolucinImplicacin p = pp q = p qAbsorcinp (p q) = pp(pq) = pp ( pq) = pqDoble Implicacinp q = (p q) (q p)De Morgan ( p q) = p q (p q) = p q

Ley de equivalencia FrmulaConmutacinpq = q p pq = q p Asociacin(p q) r = p (q r)(p q) r = p (qr)Idempotenciap p = p p p = p InvolucinImplicacin p = pp q = p qDoble Implicacinp q = (p q) (q p)

Ley de equivalencia FrmulaDistribucin p(q r) = (p q) (p r) p (q r) = (pq) ( p r) Complementacinp p = F p p = VIdentidadp F = p p V = pAbsorcinp (p q) = pp(pq) = pp ( pq) = pqDe Morgan ( p q) = p q (p q) = p q

Las leyes lgicas nos ayudan a simplificar expresiones simblicas , las cuales representan enunciados

Por ejemplo:

Simplificar { [ (p q) p ] p }

Solucin

{ [ (p q) p ] p }

{ [ p (p q)] p } ley conmutativa

{ [ p (p q)] p } ley implicacin

{ [ p (p q)] p } ley absorcin

{ [ p ] p } ley absorcin

{ F } ley complementacin

V

9

2

3

q

p

q

p

q

p

q

p