UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE FILOSOFÍA Y LETRAS

LICENCIATURA EN FILOSOFÍA

ASIGNATURA: LÓGICA 3 Teoría de Conjuntos

TERCER SEMESTRE

CICLO: BÁSICO

ÁREA: LÓGICA

CLAVE HORAS/SEMANA/SEMESTRE TOTAL DE CRÉDITOSTEORÍCAS PRÁCTICAS HORAS

No se pone 32 32 8

Carácter: OPTATIVA RESTRINGIDA

Tipo: TEÓRICO-PRÁCTICO

Modalidad: CURSO

Asignatura precedente: LÓGICA 2

Asignatura subsecuente:

Profesor: Mtro. Cristian Alejandro Gutiérrez Ramírez

Introducción

La teoría de conjuntos nació como teoría matemática con los trabajos de Georg Cantor a finales del siglo XIX. Él utilizaba dos axiomas para determinar e identificar a los conjuntos, el axioma de extensionalidad y el axioma de comprensión. Con ellos, Cantor demostró una gran cantidad de teoremas de gran relevancia para la fundamentación de las Matemáticas. El problema surgió pronto

cuando Russell, el mismo Cantor y otros notaron que al utilizar estos axiomas o principios se generaban paradojas. Las más famosas de estas paradojas fueron la de Russell, la de Cantor y la de Buralli-Forti. Esto puso el estatus de las Matemáticas en cuestión. Como posibles respuestas ante las paradojas surgieron el programa logicista de Frege y Russell, el programa intuicionista de Brower y la aximatización de la teoría de conjuntos dentro del programa formalista de Hilbert. Cada una de estas respuestas generó diferentes fundamentaciones de las Matemáticas. En particular, el programa formalista creó la teoría axiomática de conjuntos, que tiene diferentes presentaciones, las más famosas son la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel + Axioma de Elección (ZFC), los New Foundations de Quine, la teoría de clases de Morse-Kelley y la teoría de clases de Von Neumann-Bernays-Gödel (NBG). ZFC fue la más popular de entre ellas.

Con la adopción de estos sistemas formales se eliminaron las paradojas. Sin embargo, la teoría de conjuntos aún tiene mucho que aportar para el análisis filosófico, en especial a partir de las proposiciones indecidibles como la Hipótesis del Continuo y la necesidad de ampliar los sistemas axiomáticos existentes.

OBJETIVO(S):

El objetivo de este curso es ofrecer al alumno una introducción a la teoría de conjuntos y a los problemas filosóficos relacionados con ella. Al finalizar el curso el alumno debe:

1. conocer las nociones básicas de pertenencia y conjunto,2. manejar y conocer los axiomas de ZFC, 3. conocer algunos aspectos relevantes de la historia de la teoría de

conjuntos,4. identificar las paradojas de Russell y Cantor,5. comprender el problema del continuo.

EVALUACIÓN:

Tareas (20%): Se realizará una tarea por semana. Las tareas serán calificadas, pero sólo contarán como entregadas o no entregadas. No se aceptarán tareas fuera de tiempo, ni incompletas. Por cada 2 tareas habrá un examen, por cada tarea que no se entregue se impondrá una penalización de 1 punto para el examen correspondiente. Si en las dos tareas correspondientes a un examen se promedia 9 de calificación, se dará un punto extra para el examen. Todas las tareas serán subidas al grupo de yahoo del grupo.

Exámenes (70%): Cada 2 semanas aproximadamente se aplicará un examen (en total 7 exámenes), el valor de cada examen será de 10% sobre la calificación final. Es requisito para aprobar el curso pasar todos los exámenes. Se podrán reponer hasta 2 exámenes al final del semestre. En caso de reprobar 3 o más exámenes parciales (incluso si su promedio de exámenes es aprobatorio) el alumno tendrá que hacer un examen final que tendrá un valor del 70% de la calificación final.

Trabajo final (10%): El trabajo es condición de posibilidad para aprobar el curso. El trabajo será sobre algunos de los temas filosóficos cubiertos en clase relacionados con la Teoría de Conjuntos. Su extensión será de aproximadamente 5 cuartillas.

Asesorías.

Si bien el curso no cuenta con un programa propio de asesorías, se recomienda la asistencia a las asesorías que imparten los miembros del grupo ALEF (Asesores de Lógica para Estudiantes de Filosofía). Este grupo ofrece asesorías a cualquier alumno del Colegio de Filosofía que tenga alguna duda o problema con el contenido de las asignaturas Lógica 1, Lógica 2 y Lógica 3. El grupo está conformado por alumnos de semestres más avanzados que sin pedir ningún tipo de remuneración económica han decidido ayudar a los alumnos que tiene problemas con estas materias. Para solicitar asesorías tienen que entrar a su página y mandarles un correo. La página es https://www.facebook.com/pages/Asesor%C3%ADas-de-L%C3%B3gica-FFyL/232700696816483.

NÚM. DE HRS.

POR UNIDAD

TEMARIO

1 UNIDAD 1 Introducción1 UNIDAD 2 Origen histórico de TC4 UNIDAD 3 Nociones básicas de TC

Nociones idefinidas: pertenencia y conjunto. Subconjuntos y productos cartesianos. Conjunto vacío y conjunto potencia. Álgebra básica de conjuntos. Conjunto Universal. Paradoja de Russell. Paradoja de Cantor.

7 UNIDAD 4 Estructuras, funciones y relaciones

Pares ordenados. Relaciones. Conjuntos Parcialmente Ordenados, Conjuntos Totalmente

ordenados, Conjuntos Bien Ordenados. Conjuntos bien fundados e inducción matemática. Particiones. Funciones.

7 UNIDAD 5 Números naturales, inducción matemática y recursión.

Construcción de los números naturales. Teorema de la recursión para naturales. Sistemas de Peano. Aritmética de los números naturales.

4 UNIDAD 6 Cardinalidad

Equipolencia. Finitud. Dominancia. Aritmética cardinal.

4 UNIDAD 7 Axioma de Elección

Axioma de elección. Aplicaciones del Axioma de Elección.

6 UNIDAD 8 Filosofía de la Teoría de Conjuntos

El papel de la Teoría de Conjuntos en la Fundamentación de las Matemáticas.

Límites de la Fundamentación. Problemas con el Axioma de Elección. Incompleción: El caso de la Hipótesis del Continuo.

34 TOTAL DE HORAS SUGERIDAS

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA

ÁLVAREZ, Ana. “La teoría de conjuntos antes de Cohen”, Aportaciones Matemáticas, Serie Comunicaciones, 35 (2005) 61–69.

AMOR y Montaño, José Alfredo. “La teoría de conjuntos después de Cohen”, Aportaciones Matemáticas, Serie Comunicaciones, 35 (2005) 87–96

__________________________. “Aclaración de la paradoja de Russell” en La Razón Comunicada, México D.F., Torres Asociados, 2004.

__________________________. Teoría de conjuntos para estudiantes de ciencias, México D.F., UNAM-FC, 2005.

__________________________. “¿Necesita la teoría de conjuntos nuevos axiomas?”, manuscrito.

CASSINI, Alejandro. El juego de los principios, Buenos Aires, A-Z Editores, 2006.

ENDERTON, Herbert. Elements of Set Theory, New York, Academic, 1977.

HRBACEK, Karel y Thomas Jech. Introduction to Set Theory, New York, Marcel Dekker, 1999.

BIBLIOGRAFÍA COMPLEMENTARIA

AMOR, José Alfredo, (et. al.) Teoría de Conjuntos Intermedia, México D.F., FC-UNAM, 2011.

BADESA, Calixto, (et. al.) Elementos de lógica formal, Barcelona, Ariel, 1998.

ENDERTON, Herbert. Una introducción matemática a la lógica (Tr. José Alfredo Amor), México D.F., UNAM-IIFs, 2006.

FITTING, Melvin y Raymond Smullyan. Set Theory and the Continnum Problem, Oxford, Oxford University Press, 1996.

JECH, Thomas. Set Theory: Third Millennium Edition, revisited and expanded, New York, Springer-Verlag, 2006.

LEVY, Azriel. Basic Set Theory, New York, Dover, 1979.

POTTER, Michael. Set Theory and Its Philosophy, Oxford, Oxford University Press, 2004.

QUINE, W.V.O. Set Theory and Its Logic, Cambridge, Harvard University Press, 1969.

SUPPES, Patrick. Teoría axiomática de conjuntos (Tr. Hernando Alfonso Castillo), Calí, Norma, 1968.

TILES, Mary. The Philosophy of Set Theory, Oxford, Basil Blackwell, 1989.

ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA APRENDIZAJE

MECANISMOS DE EVALUACIÓN

Exposición oral si no Exámenes parciales si no Exposición audiovisual si no Exámenes finales si no Ejercicios dentro del aula si no Trabajos y tareas fuera

del aula si no

Ejercicios fuera del aula si no Participación en clase si no Seminario si no Asistencia a prácticas si no Lecturas obligatorias si no Informe de investigación si no Trabajos de investigación si no Otros:      

     Prácticas de campo si no Otros: