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Sachverzeichnis

Aufgenommen wurden auch einige (englische) Ausdriicke aus dem Original sowie sol­che, die bei anderen Autoren vorkommen. Abkiirzungen: Gr = Grothendieck, Ehr = Ehresmann, Mit = Mitchell, E-M = Eilenberg-Mac Lane, G-Z = Gabriel-Zisman. Der Zusatz "manchmal" deutet an, daB einige Autoren den betreffenden Begriff in einem anderen Sinne verwenden. * besagt, daB der Begriff in einer Aufgabe vorkommt; (Anm.) bezieht sich auf die Anmerkungen.

Abbildung (s. auch "Pfeil") 1, 8 ,abgeschlossene 170

anti tone 100 ,homotope 12

identische 10 induzierte 35

, injektive monotone 192 isotone 15*, 100, 148 kanonische 183, 216*, 235, 272*, 273 kleine 23 monotone 190

,ordnungstreue 11 ,stetige 12, 170, 202 , surjektive monotone 192

- von Adjunktionen 105 Abbildungsgrad 13 abelian bicategory 230(Anm.) abelsche Gruppen 25, 71 --, freie 131 - Kategorie 217ff. abgeleiteter Operator 130 abgeschlossene Kategorie 103, 201 --, kartesisch 103 Ab-Kan-Erweiterung, rechtsseitige 268 Ab-Kategorie 29, 30, 212 -, freie 217~~

-, graduierte 269 absolute Kan-Erweiterung 277 absoluter Colimes 160 - Differenzcokern 160 - Limes 160 abzahlbare Coprodukte 187 additive Kan-Erweiterung 268 - Kategorie 215 --, freie 217* additiver Funktor 30, 89, 215, 268 adjoint (Mit) = Rechtsadjungierter adjoint (manchmal) = Linksadjungierter adjoint equivalence 98

- functor theorem 130 - on the right 93 - square 109* adjunction morphism (G- Z) =

Einheit einer Adjunktion adjungiert, rechtsseitig 93 Adjungierte einer linear en Transfor-

mation 111~~

-, formales Existenzkriterium 258 Adjungierter 84, 92, 259~~ adjungiertes Paar 10 1 - Quadrat 109 Adjunkt 84 Adjunktion 83, 86 - mit Parameter 108, 243 Adjunktionen, Kategorie 107, 110 -, Komposition 110 Adjunktionsraume 69 affines Simplex 194 Algebra, auBere 61~~ -, universelle 131 Algebren, Kategorie 135 algebraisches System 130 allgemeines assoziatives Gesetz

185, 186, 191 Allquantor 102 amalgamiertes Produkt 70 Aneinanderheften von Raurnen 142 antitone Abbildung 100 aquivalente Kategorien 98 Aquivalenz, natiirliche 16 - von Kategorien 18, 93, 98 Aquivalenz-Adjunktion 98 arrow 6 assoziatives Gesetz, allgemeines

185, 186, 191 -- fUr eine Monade 147

monoidale Kategorien 180 --- eine T-Algebra 149

286

Assoziativitat 6 Assoziativitatsaxiom 7, 28 atomare Aussage 32 Auflosung 198ff. -, freie 199 aufspalten 160 aufspaltende Gabel 160 aufspaltender Differenzcokern 161 - epimorpher Pfeil 20 - idempotenter Pfeil 20 - monomorpher Pfeil 20 aufspannender Pfeil 134 augmentation 48 Augmentation 195 augmented simplicial object 195 .ausgezeichneter Grundpunkt 12 Aussage, atomare 32 -, duale 32, 33 auBereAIgebra 61* auBernattirliche Transformation 241 Auswahlaxiom 24 Auswertungsabbildung 19*, 104, 242 Auswertungsfunktor 64 Automat 93 Axiom der Einheit (Identitiit) 7 --- fUr eine T-Algebra 149

Linkseinheit fUr eine Monade 147 -- Rechtseinheit fUr eine Monade 147

back adjunction 86 baryzentrische Koordinaten 194 based category 201 Basis 58 Basisgraph 180 Basispfeil 180 Beck's precise tripleability theorem 166 behavior 94 Belegungsmenge 42 bereicherte Kategorie 201 besitzt endliche Produkte 77 Bidual-Raum 18 Bifunktor 38, 214, 235 Bild 101, 219 Bildkategorie 275* bilinear 4 bilineare Komposition 29 biniires Wort 179 biproduct diagram 213 Biprodukt 213ff. Biproduktdiagramm 213 B-Kategorie 201 Boolesche Algebra 102, 130 - Operationen 102 Bouquet 66, 206, 241 -, universelles 245

cartesian square = Pullback 75 chain complex 222 Charaktergruppe 17, 100 closed category 201

coadjoint (Mit) = Linksadjungierter coadjoint (manchmal) = Rechts-

adjungierter Coadjungierter 84 Cobild 219 cocartesian square 69 co- cone = cone (from a functor) codense functor 273 Codiagonale 215 codichte Unterkategorie 273 codichter Funktor 270 Codichtheitsmonade 278* codomain 6 Coegalisator 68 coegalisierender Pfeil 68 Coeinheit 86, 92, 242 coend 249 Coende 249, 266 coequalizer 68 coerzeugende Menge 134 Cogenerator 134 Cogeneratormenge 134 coimage 219 cokartesisches Quadrat 69 Cokern 67 Cokernpaar 70 Coketten-Komplex 199 Cokomponente einer Abbildung 78 Colimes 70, 232ff., 235, 257, 267, 275 -, absoluter 160 -, filtrierender 232, 237 Colimesdiagramm 70 Colimeskegel 71, 235 Colimites, Reflexion 166 -, Vertauschbarkeit 235 coli mit 70 comeet = Pushout Comonade 148, 197 Comonoid, universelles 197 compactly generated topological space

202 cone 71, 72 connected sequence of functors 268 connecting homorphism 227 contractible (parallel pair) 162* Copotenz 67, 109, 267 Coprodukt 66, 78, 233

,abzahlbares 187 -, endltches 232 -, schwaches 260 -, unendliches 67, 233 Coproduktdiagramm 65 Coproduktobjekt 66, 67 coreflektive Unterkategorie 96, 202 Cotensor 268 counit 86 co-well-powered category 138 Co- Yoneda-Lemma 65 crossed homomorphism 197 CTT = crude tripleability theorem

166, 168* CW-Komplexe 27, 196

darstellbarer Funktor 63ff., 259*, 265* Darstellbarkeit, formales Kriterium

259* Darstellbarkeitssatz 129 darstellendes Objekt 63 Darstellung 42, 63ff. -, linke regulare 189 degeneracy 195 dense subcategory 272 derivierter Funktor 268, 279(Anm.) Determinante 16 Diagonalabbildung 3, 77, 78, 215 Diagonalfunktor 65, 70, 92, 102 diagonal-nattirliche Transformation 240 Diagonal- Paar 2 Diagonalpfeil 91*, 211 Diagramm Hf., 7, 54, 75, 220 -, kommutatives 7, 179 Diagrammjagd 80, 85, 222, 224, 225 Diagrammkategorie 56 Diagrammschema 9, 51 diagram scheme (Mit) = Graph dichte Unterkategorie 272ff. dichter Funktor 273 difference kernel = Differenzkern Differential-Tensoralgebra, graduierte

188 Differenzcokern 68, 160 -, absoluter 160 -, aufspaltender 161 Differenzcokerne, Erzeugung 162, 167 Differenz- "Element" 228 Differenzkern 74, 76*, 117, 141 dinatural transformation 240 dinattirliche Transformation 240 direct limit = Colimes - sum (in Ab-Kategorien) = Biprodukt direkte Summe 67 direkter Limes 70 direktes Produkt 73 disjunkte Hom-Mengen 28 - Vereinigung 66, 67, 142 diskrete Kategorie 10, 73 domain 6 Doppelende 254 Doppelintegral 254 Doppelkategorie 46 Dreiecksgleichungen 89 3 X 3- Diagramm 229* 3 X 3-Lemma 229* -, mittleres 229* dual = opposite duale Aussage 32, 33, 95 - Kategorie 34 - Relation 27 - Standardkonstruktion 147 dualer Graph 54* - Vektorraum 35 Dualisierung 32 Dualitatsprinzip 33 Dual-Raum 242 Durchschnitt 118, 133

Ecke 7,51 Egalisator 74

287

Eigenschaft, universelle 1, 2, 38, 59 eigentliche Klasse 24 Einbettung 15 Eilenberg-Mac Lane-Raume 196, 200 Eilenberg- Mooresche Monadenkategorie

149 Eilenberg-Steenrodsche Homologieaxiome

13 Einhangung, reduzierte 206 Einheit 10 - einer Adjunktion 86, 91, 92 -- Erweiterung 267 -- Monade 147 Einselement 10 Einsetzungsabbildung 8 "Element" 224 Element, universelles 59 Element-Beziehung 22, 23 end 245 Ende 245 - einer nattirlichen Transformation 252 -, Respektierung 248 Endenbouquet 245 ending wedge 245 endliche Coprodukte 232 - Ordinalzahl 11 endlicher Limes 118, 237 endlich-vollstandige Kategorie 117* Endofunktor 146 enriched category 201 Entartungsoperator 195 epi 20 epic = epimorpher Pfeil epi-monomorphe Faktorisierung 212,218 epimorpher Pfeil 20, 21* epimorphism = epimorpher Pfeil Epimorphismus 20 e quasi-inverse to 'Tl (G-Z) = Dreiecks-

gleichungen equalizer 74 erganztes simpliziales Objekt 195 Erganzung 48, 195 Ersetzung 24 Ersetzungsaxiom 24 Erweiterungen 257 Erzeugende einer Kategorie 54, 55 erzeugende Menge 137 erzeugendes Objekt 137 erzeugt (Funktor) 116 Erzeugung von Enden 249 -- Differenzcokernen 162, 167 -- Limites 116 ETAK 32 euklidischer Vektorraum 242 exact composable pair 220 - functor 220 exaktes zusammensetzbares Paar 219 Existenzkriterium fUr Adjungierte 276 EXistenzquantor 102 Extensionalitatsaxiom 23

288

face operator 195 Faktorgruppe 60, 134 faktorisierender Pfeil 210 Faktorisierung, epi-monomorphe

212, 218 -, kanonische - von Pfeil en Faserprodukt Fasersumme Faserung 75

211 211 75 69

-, induzierte 75 fibered product (Gr) filtered category 231 - coli mit 232

Pullback

filtrierende Kategorie 231 - Menge 231 filtrierender Colimes 232, 237 final functor 238 finale Unterkategorie 238 finaler Funktor 238, 263 Folge, kurze exakte 220 -, rechtsexakte 220 - von Funktoren, verbundene 268 forgetful functor 14 fork 159 formale Linearkombination 82 formales Darstellbarkeitskriterium 259* - Existenzkriterium fUr Adjungierte

258, 276 -- fUr universelle Pfeile 259* free resolution 199 freie abelsche Gruppe 131 - Ab-Kategorie 217* - additive Kategorie 217* - Aufiosung 199 - Gruppe 54i~, 58 - Halbgruppe 154 - Kategorie 52, 55 - monoidale Kategorie 179, 184* - T-Algebra 150 - Variable 32 Freie-Gruppen-Monade 148, 173(Anm.) freier Modul 251* - Ring 131 - R-Modul 131 freies Gruppoid 54i~

- Monoid 53, 58, 186, 188 - Objekt 157 - Produkt 67, 135i<, 234 - topologisches Monoid 188 Freyd's Existenzsatz fUr initiale Objekte

126, 260 - Hauptsatz fUr adjungierte Funktoren

127, 260 front adjunction 86 Fubini, Satz von 254, 267 functorial map (G- Z) = nattirliche Trans-

formation Fundamentalgruppe 21, 47i< Fundamentalgruppoid 20, 21 Ftinferlemma 226, 229i< -, kurzes 222 Funktor 2, 12, 18, 31

additiver 30, 89, 215, 268 codichter 273 darstellbarer 63ff., 259*, 265* derivierter 268 dichter 273, 279(Anm.) exakter 220 finaler 238, 263 i denti scher 14, 45, 183, 277 konstanter 70 kontravarianter 17, 34, 36 kovarianter 35, 151 leerer 257

, links- adaquater 279 (Anm. ) links- derivierter 268 links- exakter 221 monadischer 153 stetiger 122 treuer 15, 22-1<

,unterliegender 14 ,voller 14

-, zusammengesetzter 44 funktorielle Semantik 278(Anm.) funktorieller Morphismus 16 Funktorkategorie 42, 43, 46, 125 Funktorprodukt 38

Gabel 159 -, aufspaltende 160 Galois connection 101 Galois-V erbindung 101, 211 ganzzahliger Gruppenring 61* Garbe 36 gebundene Variable 32, 246, 249 gedrehte Pfeilkategorie 251* gefaserte Kategorie 37 Gelfand-Neumark, Satz von 100 Generator (Objekt) 134 Generatormenge 134 gentigen (einer Identitat) 131 geometrische Realisierung 250 gerichtete Menge 231 - Vorordnung 231 gerichteter Graph 9, 51 - Weg 180 gleichungsdefinierte Klasse 131 Godel- Bernayssche Axiome 31 graduierte abelsche Gruppe 44* - Ab-Kategorie 269 - Differential-Tensoralgebra 188 - Menge 130 graph 9 Graph, dualer 54* -, gerichteter 9, 51 -, kleiner 51 groBe Kategorie 12, 24 - Kategorien, Kategorie 24 groBte untere Schranke 118, 133 Grothendiecksches Axiom 25 Grundpunkt 27, 205 Gruppe 3, 10, 79 ,freie 54i~, 58

-, kleine 23

-, lineare 13 - mit Operatorenbereich 42 -, topologische 3 Gruppen, abelsche 25, 71 Gruppenerweiterung 200 Gruppenring, ganzzahliger 61i~ Gruppoid 20

freies 54* ,zusammenhiingendes 21

Halbgruppe 153, 196* -, freie 154 Halbordnung 11 Hauptsatz fUr adjungierte Funktoren

127, 260 Hausdorffsche Riiume 26, 132, 139, 143 -, kompakte 132, 139, 170 -, kompakt erzeugte 202ff. Hindernis- Probleme 200 Hom-Funktor 36, 216 -, innerer 201 -, kontravarianter 35 -, kovarianter 35 Hom-Menge 10, 15, 28, 201 Hom-Mengen, disjunkte 28 Hom-Objekt 201 Homologie 197ff. -, singuliire 13, 195, 196 Homologiegruppe 13 Homologie- Objekt 195, 222 homology object 222 Homomorphismus (s. auch "Morphis-

mus") 4 -, prinzipaler verschriinkter 200 -, verschriinkter 200 homotope Abbildung 12 - Wege 20 Homotopiegruppe 13 Homotopieklasse 20, 26 horizontales Kompositum 44, 45, 46,

111, 147 Hiillenoperation 148, 150, 171

idempotent 20 idempotenter Pfeil 20 Identifizierung 143, 203 Identifizierungstopologie 142 identische Abbildung 8 - natiirliche Transformation 45 identischer Funktor 14, 45, 183, 277 - Pfeil 6, 7, 8, 214 Identitiit 6, 7, 8, 9, 25 - einer Monade 153 Identitiiten (Algebren) 163, 164 Identitiitsaxiom 7 image 219 - category 275* Indexkategorie 70 inductive cone 71 - limit ::: Colimes

induktiver Limes 70 induzierte Abbildung 35 - F aserung 75 - Topologie 140, 141 initialer Funktor 239 initiales Objekt 20, 257

289

__ , Freyd r s Existenzsatz 126, 260 --, schwach 261 Injektion 15, 20 - eines Coproduktes 66 injektive monotone Abbildung 192 injektives Objekt 124, 139 Inklusion 8, 15 Inklusionsfunktor 15, 144 innerer Hom-Funktor 201 Integral 245 -, iteriertes 254, 255 Integrationsvariable 246 Integritiitsbereich 58 intertwining operator 42 inverse cone (G-Z) ::: cone (to a functor) - limit::: Limes inverser Limes 72 Inverses, zweiseitiges 14 invertierbarer Pfeil 19 isomorphe Objekte 19 Isomorphismen, Reflexion Isomorphismus, natiirlicher - von Kategorien 14, 97

166 16, 242

- von Objekten 19 isotone Abbildung iterierte Produkte iteriertes Integral

11, 15i~, 100, 148 191, 196 254, 255

Kan-Erweiterung 257ff. -, absolute 277 -, additive 268 - als Coende 266 -- punktweiser Limes 262

,linksseitige 265, 267, 275 -, punktweise 270 -, rechtsseitige 261ff., 264, 267 kanonische Abbildung 183, 216*, 235,

272*, 273 - Faktorisierung 211 - Priisentation 164 kanonischer Kegel 273 - Pfeil 78, 183, 237 Kansche Komplexe 27 Kante 7, 51 kartesisches Produkt 1, 2, 22 - Quadrat 75 Kategorie 9, 18, 31 -, abelsche 217ff. -, abgeschlossene 103, 201 -, additive 215 - aller groBen Kategorien 24

,bereicherte 201 -, diskrete 10, 73 -, duale 34 - der Adjunktionen 107, 110

290

-- Algebren 135 -- kleinen Gruppen 23 __ kleinen Mengen 12, 23, 65

Pfeile 42 __ kleinen topologisehen Raume 1, 12,

26, 140 - eines Diagramms 52 _, endlieh-vollstandige 117* -, filtrierende 231 -, freie 52, 55 -,- additive 217* -,- monoidale 179, 184* -, gefaserte 37

,groBe 12, 24 -, kartesiseh abgesehlossene 103, 204 -, kleine 23

,klein-vollstandige 113 konkrete 27 leere 10, 257

, lokal eo-kleine 138 - ,- kleine 138

,monoidale 174, 175, 183, 185, 196 -, praadditive 29 -, pseudofiltrierende 237* -, reduzierte 98 -, relative 201 - relativ zu B 201

,simpliziale 11, 190 -, symmetrisehe monoidale 200 -, vollstandige 113 -, zusammenhangende 92 Kategorien, aquivalente 98 Kegel 70, 72, 75, 114 -, kanoniseher 273 -, universeller 71 Kelleyseher Raum Kelleysehmaehen Ker-eoker-Sequenz Kern 209 kernel 209

202 202ff.

227

kernel (manehmal) = Differenzkern Kernpaar 75, 76* Kettenkomplex 222 -, singularer 196 Klasse 24 -, eigentliehe 24 -, gleiehungsdefinierte 131 Klassen, Kategorie 24 Klassenkorpertheorie 200 klassifizierender Raum eines topologi-

sehen Monoids 250 kleine Abbildung 23 - Gruppen 23 --, Kategorie 23 - Kategorien 18 --, Kategorie 23 - Mengen 12, 23, 24, 25, 65 --, Kategorie 12, 23, 65 - punktierte Menge 27 - topologisehe Raume 140 kleiner Graph 51 - Ring 26 - topologiseher Raum 26

kleinste obere Schranke 67, 118, 133 klein-vollstandige Kategorie 113 Kleisli-Kategorie einer Monade 158 kofinale Teilmenge 238 Koharenzsatz 179ff., 183 Kohomologie von Gruppen 173(Anm.),

198 Kohomologieoperation 196 Komma-Kategorie 49, 56 kommutatives Diagramm 1, 7, 179 Kommutator 14 Kommutator-Faktorgruppe 14, 17 Kommutatorgruppe 14 kompakt erzeugter Raum 144, 202ff. Kompaktifizierung 132, 139 kompakt-offene Topologie 202 Komponente 240 - einer Abbildung 73 - eines Bouquets 245 - einer nattirliehen Transformation 16 - eines Pfeils 73, 215 Komponentenmatrix 215 Komposition 6, 9, 28 -, bilineare 29 - von Adjunktionen 110 Kompositum, horizontales 44, 45, 46,

111, 147 -, vertikales 44, - von Abbildungen -- Funktoren 14, -- Wegen 20

45, 46, 107, 110 6, 8, 14

25, 44

Komprehension 22 Komprehensionsaxiom 24 konfinale Teilmenge 238 Kongruenz 55 Konjugation 19*, 21 konjugierte nattirliehe Transformation

105, 111 konjugiertes Paar 110 konkrete Kategorie 27 konstanter Funktor 70 Konstruktion, universelle 57, 260 kontravarianter Funktor 17, 34, 36 - Hom-Funktor 35 Koordinaten, baryzentrisehe 194 kovarianter Funktor 35, 151 - Hom-Funktor 35 - Potenzmengenfunktor 151 *, 171 kurze exakte Folge 220 kurzes Ftinferlemma 222

Lange (von Wort en) 179 leere Kategorie 10, 257 - Menge 24 leerer Funktor 257 left action 189 - adequate functor 279(Anm.) - adjoint 84 - liberty map (G- Z) = universeller Pfeil Lemma von Urysohn 139, 140~~ Lie-Gruppe 4

Limes 72, 75, 81(Anm.), 117, 235, 257, 262, 276

-, absoluter 157 -, direkter 72 - einer naturlichen Transformation 252 -, endlicher 118, 237 -, induktiver 70 -, inverser 72 - mit Parameter 120 -, projektiver 72 -, punktweiser 121, 262 -, schwacher 260 Limesdiagramm 73, 74 Limeskegel 71, 72, 75, 122, 214, 262 Lim esobj ekt 72 Limites, Vertauschbarkeit 235 limiting cone 71 limit is representable (Gr) = Limes

existiert linear geordnete Menge 196 lineare Gruppe 13 - Ordnung 11 Linearkombination, formale 82 linke reguHire Darstellung 189 links kurzbar 22 links-adaquater Funktor 279(Anm.) Linksadjungierte 2, 257 Linksadjungierter (Funktor) 40, 84,

90, 92, 276 linksadjungiert-linksinvers 100 linksadjungiert-rechtsinvers 142 Linksadjunkt 258 links-derivierter Funktor 268 linksexakter Funktor 221 Linksinverser 20 linksinverser Pfeil 20 Linksmodul 5 links-noetherscher Ring 221* Linksoperation 189 linksseitig adjungiert 93 linksseitige Kan-Erweiterung 265, 267,

275 -- als Coende 266 locally connected 144 lokal cokleine Kategorie 138 - kleine Kategorie 138 - zusammenhangender Raum 144 loop space 206 LOsungsmengen 126ff., 260ff.

map (E-M) = Pfeil Matrixdarstellung 16 Matrizen 11, 13, 78, 215 Matrizenprodukt 215 Menge 24 ,coerzeugende 134 ,erzeugende 134 ,filtrierende 231 ,gerichtete 231

graduierte 130 kleine 12, 23, 24, 25, 65

- ,- punktierte 27

,leere 24 -, linear geordnete 196 - mit Grundpunkt 27 -, punktierte 27 -, simpliziale 27, 194 -, unterliegende 27, 131 Mengen, Kategorie 11 -, Metakategorie 8 Metagraph 6 Metakategorie 6, 8 - aller Kategorien 14 - der Gruppen 8 -- Mengen 8 -, objektfreie 8 metrischer Raum 59 --, vollstandiger 59 minimal realization 94 mittleres 3 x 3-Lemma 229 Modul, freier 251* Moduln 12, 29, 151 monad 146 Monade 146, 147, 197

291

-, durch eine Adjunktion definierte 148 monadic 153 monadisch 153 monic 20 Monoid 2, 3, 4, 10, 52, 55, 79, 147,

174, 185 -, freies 53, 58, 186, 188 - ,- topologisches 188 -, universelles 174, 191, 197 monoidale Kategorie 174, 175, 185, 196 --, freie 179, 184* --, strikte 175, 183, 189, 190 --, symmetrische 200 monomorpher Pfeil 20, 21*, 211 monomorphism = monomorpher Pfeil monotone Abbildung 190 --, injektive 192 --, surjektive 192 morphism (Gr) = Pfeil morphism of functors (Gr) = naturliche

Transformation 16 Morphismus 4, 8, 107 - kurzer exakter Folgen 222 - monoidaler Kategorien 177 - simplizialer Objekte 194 -, universeller 53 - von Graphen 51 -- Kategorien 12 -- Linksoperationen 189 -- T-Algebren 149 Multiplikation in Monaden 147 -- monoidalen Kategorien 175

natural equivalence 16 - isomorphism 16 - transformation 16 naturlich (Abbildung) 40, 240 naturliche Aquivalenz 16 - Bijektion 2 - Transformation 16, 18, 107,240,243, 263

292

Ende 252 identische 45 konjugierte 105, 111 Limes 252 objektfreie Beschreibung 19*

,universelle 41 nattirlicher Isomorphismus 16, 242 Nullmorphismus 210 Nullobjekt 20, 209, 212, 217 Nullpfeil 20, 78, 209, 210, 212

Obj ekt 6, 8, 10, 25, 51, 201 darstellendes 63

, erganztes simpliziales 195 ,erzeugendes 134

freies 157 initiales 20, 257

,injektives 124, 139 projektives 123 schwach initiales 261

,simpliziales 194 ,terminales 20, 77

- tiber 48 - unter 48 -, unterliegendes 149 Objekt-Abbildung 12 Objekte, isomorphe 19 objektfreie Metakategorie 8 obstruction problems 200 O-Graph 51 Operation 5, 130 - einer Gruppe 151 Operator 130 -, abgeleiteter 130 opposite category 34 Ordinalzahl 11 -, endliche 11, 18, 190 Ordinalzahlen, kleine 129 Ordnung, lineare 11 ordnungstreue Abbildung 11

Paar, adjungiertes 101 -, konjugiertes 110 -, zusammensetzbares 8, 51 p-adische Zahlen 115 p- adisches Solenoid 115 parallele Pfeile 10, 70, 74 paralleles Paar, zusammenziehbares

162* Parameter 120, 243 Parametersatz ftir Enden und Limites

252, 253 Permutationsdarstellung 44* Pfeil 1, 6, 10, 25, 27 -, aufspaltender epimorpher 20 - ,- idempotenter 20 - ,- monomorpher 20

,aufspannender 134 ,coegalisierender 68 ,epimorpher 20, 21*

faktorisierender 210

,identischer 6, 8 ,invertierbarer 19 ,kanonischer 78, 183, 237 ,linksinverser 20

monomorpher 20, 21*, 211 rechtsinverser 20

,regularer 21 * schwach universeller 260 universeller 57, 60, 62, 259 verbindender 228

,zusammengesetzter 41 Pfeil-Abbildung 12 Pfeiladdition 216* Pfeile, parallele 10, 70, 74 Pfeilkategorie, gedrehte 251* pointwise Kan extension 270 Pontrjaginsche Dualitat 56, 100 Potenz 74 Potenzmenge 13, 22 Potenzmengenfunktor 13, 35 - kovarianter 151*, 171 praadditive Kategorie 29 Prakategorie 51 Prasentation, kanonische 164 precategory = Graph precise tripleability theorem 166 principal crossed homomorphism 200 prinzipaler verschrankter Homomor-

phismus 200 Produkt 73ff.

,amalgamiertes 70 direktes 73

,endliches 77 freies 67, 135*, 234 kartesisches 1, 2, 22 schwaches 260

,semidirektes 161 - topologischer Raume 140, 141 - tiber einem Objekt 75 -- 0 9 -, unendliches 73 - von Funktoren 38 -- Objekten 123 - zweier Abbildungen 2 -- Graphen 54* Produktdiagramm 73 Produkte, iterierte 191, 196 Produktkategorie 37, 40 Produkttopologie 132 projective cone = cone (to a functor) 72 - limit = Limes 72 projector (Gr) = idempotenter Pfeil Projektion 1 - der Komma-Kategorie 52 - eines kartesischen Produktes 1 -- Produktes 73ff. - einer Produktkategorie 37 projektiver Limes 72 projektives Objekt 123 pseudofiltered category 237* pseudofiltrierende Kategorie 237* PTI = precise tripleability theorem 166 Pullback 75

Pullback-Quadrat 75, 223 punktierte Menge 27 --, kleine 27 punktierter topologischer Raum 27 punktierte Kan-Erweiterung 270 punktweiser Limes 121, 262 Pushout 69

Quadrat, adjungiertes 109* -, cokartesisches 69 -, kartesisches 75 Quasi-Inverse 89 quasitopologischer Raum 207(Anm.) Quelle 6, 8, 12, 25 Quotientenkategorie 55 Quotientenk6rper 48 Quotientenmenge 59 Quotientenobjekt 134, 221 Quotiententopologie 142, 172*

Rand eines Tetraeders 194 Randhomomorphismus 186 Randmorphismus 198 Rang eines Wortes 180 Raum, Kelleyscher 202

,metrischer 59 -, quasitopologischer 207 (Anm. ) -, topologischer 170 Realisierung, geometrische 250 rechts ktirzbar 20 rechtsadjungiert-rechtsinvers 141 Rechtsadjungierte 2, 257 Rechtsadjungierter (Funktor) 84, 92 Rechtsadjunkt 84 rechtsexakte Folge 220 rechtsinverser Pfeil 20 Rechtsinverses 20 Rechtsoperation 189 rechtsseitig adjungiert 93 rechtsseitige Ab-Kan-Erweiterung 268 - Kan-Erweiterung 261ff., 264, 267 reduzierte Einhangung 206 reflektive Unterkategorie 96 Reflektor 96 Reflexion 93, 96 - von Coli mites 166 -- Isomorphismen 166 regulare Darstellung, linke 189 regularer Pfeil 21* Regularitatsaxiom 23. 24 Relation 27, 55 -, duale 27 -, zusammengesetzte 27 Relationen 196, 210 Respektierung eines Endes 248 - von Coprodukten 186 -- Kan-Erweiterungen 269, 270 -- Limites 122, 124* respektiert 5, 27 Retraktion 20 right Ab-Kan extension 268

- adjoint 84 - Kan extension 261 Ring 80 ,freier 131

-, kleiner 26 -, links-noetherscher 221* R-Modul, freier 131

SAFT 138 Satz 32

293

- (spezieller) ftir adjungierte Funktoren 136

- (spezieller) tiber die Existenz eines initialen Objektes 136

- von Beck 162 -- Freyd ftir adjungierte Funktoren 127 -- Fubini 254, 267 -- Gelfand-Neumark 100 -- Watt 140 scheinbare Variable 251 Schleife 206 Schleifenraum 206 Schnitt 20 schwach initiales Objekt 261 - universeller Pfeil 260 schwacher Limes 260 schwaches Coprodukt 260 - Produkt 260 Seitenoperator 195 Semantik, funktorielle 278(Anm.) semidirektes Produkt 161 semi group 153 short exact sequence 220 Simplex 194ff. -, affines 194 -, singulares 196 simpliCial object 194 simpliziale Kategorie 11, 190 - Menge 27, 194 simpliziales Objekt 194 --, erganztes 195 singulare Homologie 13, 195, 196 singularer Kettenkomplex 196 singulares Simplex 196 skeletal 98 Skelett 98 Smash-Produkt 206 snake lemma 227 Solenoid, p-adisches 115 source (Ehr) = Quelle 6 spaltet auf 20 special adjoint functor theorem 138 spezieller Hauptsatz ftir adjungierte

Funktoren 136 - Satz tiber die Existenz eines initialen

Objektes 136 split coequalizer 161 - fork 160 Stellenzahl 130 stetige Abbildung 12, 170, 202 stetiger Funktor 122 Stone-6ech-Kompaktifizierung 97, 132

294

strict monoidal category 175 strikt monoidale Kategorie 175, 183,

189, 190 strikter Morphismus von monoidalen

Kategorien 187 Strukturabbildung einer Algebra 149,

152, 163 subdivision category 247 sum = Coprodukt Summe, direkte 67, 214 Super-Komma-Kategorie 120* Surjektion 20 surjektiv 20 surjektive monotone Abbildung 192 suspension 206 symmetrische monoidale Kategorie 200

T-Algebra 149, 151 -, freie 150 target (Ehr) = Ziel 6 Teilmenge, kofinale 238 -, konfinale 238 Tensoralgebra 61*, 188 Tensorprodukt 60, 67, 135, 176, 190*,

216, 249, 250 terminales Obj ekt 20, 77 Topologie, induzierte 140, 141 -, kompakt-offene 202 -, universelle 141 topologische Gruppe 3 - Raume, Kategorie 1, 12, 26, 140 topologischer Raum 140, 170

,kleiner 26 --, kompakt erzeugter 144, 202 --, lokal zusammenhangender 144 --, punktierter 27, 205 topologisches Monoid, freies 188 --, klassifizierender Raum 250 Torsionsgruppe 97 Torsionsprodukt 216 Transformation (von Adjunktionen) 107

,auBernattirliche 241 ,diagonal-nattirliche 240 ,dinattirliche 240 , konjugierte nattirliche 105, 111 ,nattirliche 16, 18, 107, 240, 243,

263 -, identische nattirliche 45 -, tibernattirliche 241 -, universelle nattirliche 41 Treppenfigur 228 treuer Funktor 15, 22* triad 146 Triade 147 Tripel 147 triple = Monade 146 tripleable 153 twisted arrow category 251* Typ eines algebraischen Systems 130 -- Diagramms 54

tibernattirliche Transformation 241 underlying functor 14 unendliches Coprodukt 67 - Produkt 73 Unendlichkeitsaxiom 24 unit 86 universal arrow 57 - wedge 245 universell 2, 38 universelle Algebra 131 - Eigenschaft 1, 2, 38, 59 - Konstruktion 57, 260 - nattirliche Transformation 41 - Topologie 141 universeller Kegel 71 - Morphismus 53 - Pfeil 57,60,62,259 --, formales Existenzkriterium 259* --, schwach 260 universelles Bouquet 245 - Comonoid 197 - Element 59 - Monoid 174, 191, 197 Universum 12, 22, 25* Untergruppe 133 Unterkategorie 15

codichte 273 coreflektive 96 dichte 272ff. finale 238 reflektive 96

-, volle 15 Unterkorper 133 unterliegende Menge 27, 131 unterliegender Funktor 14 unterliegendes Objekt 149 Unterobjekt 133 Unterraum 133 Unterring 133 Unterteilungskategorie 247 Urbild 101 Urysohnsches Lemma 139, 140*

Variable, freie 32 -, gebundene 32, 246, 249 -, scheinbare 251 Varietat 131 Vektorraum 26 -, dualer 35 -, e.uklidischer 242 Vektorraume 19, 26, 29, 58, 82, 92 Verband 80 verbindender Pfeil 228 Verbindungshomomorphismus 227,

229*, 268 verbundene Folge von Funktoren 268 Vereinigung 22, 118, 133 -, disjunkte 66, 67, 142 VergiB-Funktor 14, 91, 130, 144, 153,

168, 233

Vergleichsfunktor 153, 159, 165 Vergleichssatz fUr Algebren 152 -- die Kleisli-Konstruktion 159 V erkniipfungen , logische 22 verschrankter Homomorphismus 200 --, prinzipaler 200 Vertauschbarkeit von Colimites 235 -- Enden 254, 267 -- Limites 235 Vertauschungsgesetz 45, 46, 147 vertikales Kompositum 44, 45, 46, 107,

110 Vervollstandigung 59 volle Unterkategorie 15 voller Funktor 14 vollstandige Kategorie 113 vollstandiger metrischer Raum 59 Vorordnung 11, 67, 100, 210, 231

Wattscher Satz 140 weak tripleability theorem 167 weak universal arrow 260 wedge 241 - product 66 Weg 20 -, gerichteter 180 Wege, homotope 20 Wegeraumfunktor 207*

well powered category 138 Wort 154 -, binares 179 Wort-Monade 155 Wurzel 81(Anm.)

Yoneda-Einbettung 274 Yoneda-Funktor 64 Yoneda-Lemma 64, 278

Zentrum 14 Zermelo-Fraenkelsche Axiome 23 zero arrow 209 Ziel 6, 8, 12, 25 zusammengesetzte Relation 27 zusammengesetzter Funktor 44 - Pfeil 41

295

zusammenhangende Kategorie 92 zusammenhangendes Gruppoid 21 Zusammenhangskomponente 94* zusammensetzbares Paar 8, 51, 219 --, exaktes 220 zusammenziehbares paralleles Paar 162* zweidimensionale Kategorie 46, 111 2-Kategorie 46 zweiseitiges Inverses 16 zweistellige Relation 27

Hochschultext

Innerhalb der Hochschultexte werden auf dem Gebiet der Mathematik wichtige Vorlesungsaus¥beitu~gen und Lehrbucher publiziert. Ebenfalls Aufnahme in die Hochschultexte finden Ubersetzungen bewahrter Lehrbucher; wir glauben, auf diese Weise dem Studierenden der Anfangs- und mittleren Semester Bucher zuganglich machen zu k6nnen, die in Form und Inhalt im wahrsten Sinn des W ortes brauchbare Arbeitsmittel sind. Hochschultexte ist auf dem Gebiet der Mathematik V orstufe und Erganzung der Lehrbuchreihe Graduate Texts in Mathematics, einer Reihe, die (ausschlieBlich in englischer S prache) es sich zum Ziel gesetzt hat, in knappen Leitfaden den Studierenden unmittelbar an den heutigen Stand der Wissenschaft heranzufiihren.

H. Werner, Praktische Mathematik 1. 1970. DM 14,- (Urspriinglich erschienen als ,,Mathematica Scripta, Band 1")

M. Gross und A. Lentin, Mathematische Linguistik. 1971. DM 28,-

J. C. Oxtoby, Ma£ und Kategorie. 1971. DM 16,­

G. Owen, Spieltheorie. 1971. DM 28,-

S. Mac Lane, Kategorien - Begriffssprache und mathematische Theorie. 1972. DM 34,-

G. Kreisel undJ.-L. Krivine, Modelltheorie - Eine Einfiihrung in die mathematische Logik. 1972. DM 28,-

Graduate Texts in Mathematics

Vol. 1 TakeutilZaring: Introduction to Axiomatic Set Theory. VII, 250 pages. DM 35,­

Vol. 2 Oxtoby: Measure and Category. VIII, 95 pages. DM 28,-

Vol. 3 Schaefer: Topological Vector Spaces. XI, 294 pages. DM 35,-

Vol. 4 HiltoniStammbach: A Course in Homological Algebra. IX, 338 pages. DM 44,40

Vol. 5 Mac Lane: Categories. For the Working Mathematican. In preparation.