3a. Lista de Exercıcios de MAT 3110 - Calculo I

BMAC- 1o. semestre de 2010 - Noturno - Turma 54

Profa. Maria Izabel Ramalho Martins

I. Para recordar logarıtmos

1. Calcule:a. log10 100 b. log1/2

√2 c. log√

39

2. Determine o domınio de:a. y = log(x + 1) b. y = ln(x2 − 1) c. y = log x2 d. y = log3|x| e. y = ln(ln x).

3. Ache o domınio e esboce o grafico:a. f(x) = ln(−x) b. y = ln(x + 1) c. y = |lnx| d. y = ln|x|

4. Calcule os seguintes limites:

a. limx→+∞

(

1 +2

x

)x

b. limx→+∞

(

1 +1

x

)x+2

c. limx→∞

(

1 +1

2x

)x

d. limx→+∞

(

1 +2

x

)x+1

e. limx→+∞

(ln(2x + 1) − ln(x + 3)) f. limx→+∞

ln

(

x

3x + 1

)

g. Mostre que limh→0

ah − 1

h= ln a (a > 0, a 6= 1)

II. Sobre Derivadas

1. Associe cada um dos graficos de funcao, de (a) a (d), com os graficos de suas respectivas derivadas, de(i) a (iv).

1

2. Seja f e g funcoes derivaveis em um intervalo I e a ∈ I.

Considere a funcao h(x) =

{

f(x), se x ≥ a,

g(x), se x < a..

Prove que h e derivavel em x = a se, e somente se, f(a) = g(a) e f ′(a) = g′(a).

3. Encontre constantes a, b e c para que a funcao f(x) =

{

ax2 + bx + c, se x > 1,

x2 − 5x + 6, se x ≤ 1.

seja derivavel em IR e f ′(0) = 0.

4. Dadas as funcoes f abaixo, determine os pontos do Df em elas tem derivadas e nesses pontos determinef ′. Esboce o grafico de f e de f ′.

a. f(x) =

{

x2 + 3x, se x ≥ 1,

5x − 1, se x < 1.b. f(x) =

{

2x2 + 1, se x ≥ 0,

2x + 1, se x < 0.

c. f(x) =

{

−x + 3, se x 6= 1,

3, se x = 1.d. f(x) =

{

sen x se x ≤ 0,

x, se x > 0.

5. Considere a funcao f abaixo: f(x) =

x2 se x ≤ 0,x

x − 2se 0 < x < 2,

x + 1 se x ≥ 2.

Verifique se f e contınua em x = 0 e em x = 2; verifique se f e derivavel em x = 0 e em x = 2.

6. Verifique se f e derivavel no ponto p indicado; nos casos em que f e derivavel em p, determine f ′(p):

a. f(x) =

x sen1

xse x 6= 0,

0 se x = 0.p = 0. b. f(x) =

x2 sen1

xse x 6= 0,

0 se x = 0.p = 0.

c. f(x) =

x2 + sen x se x > 0

x5 + 4x3 se x < 0

0 se x = 0

p = 0. d. f(x) =

x3 − x√x − 1

se x > 1,

1 se x ≤ 1.

p = 1.

e. f(x) =

sen(x2)√x2 + x4

, se x 6= 0

0 se x = 0

p = 0

2

7. Seja f : IR → IR uma funcao tal que −x2 + 2x ≤ f(x) − 4 ≤ x2 − 2x + 2, para ∀x ∈ IR.a. Mostre que f e contınua em x = 1.b f e derivavel em x = 1? Por que?

8. Calcule a funcao derivada das funcoes indicadas abaixo, simplificando o resultado:

1. f(x) =x − 1

1 + 2x2. f(x) =

2x3 + 1

x + 23. f(x) =

1

x3 + 2

4. f(x) = x2√

x +3

x2− x2

35. f(x) = x sen x cos x 6. f(x) = xe − ex

7. f(x) = x2ln x − x ex 8. f(x) =

√x

x + 29. f(x) =

ln x

x+ e3

10. f(x) =4x

3− 4

3x+

ex

x211. f(t) =

t2 + 1

t+

t

t2 + 112. f(x) = x sen(

√x5 − x2)

13. f(x) = cotg(3x2 + 5) 14. y = x2 ln x 15. y = sen x2 + sen2 x

16. y = sec(√

x2 + 1)

17. y = sen 3√

x 18. y = xπ2 − πx2

19. y = ln(cos x) 20. y = e√

x

+ e2 21. y = sen(x − sen x)

22. y = ln(x2 − 2x) 23. y = ln(ln x) 24. y =1

2

(

ex − e−x)

25. y = x e−x2

26. y =

√

x +√

x 27. y = sen( 1

4√

x3

)

28. y = esen 2x + π2 29. y =

√

sen x

x30. y(t) = t2 + x − xt + 1

9. Considere a funcao f(x) = x|x|.

a. Determine f ′(x), para x > 0. Qual a taxa de variacao de f em x = 3?

b. Determine f ′(x), para x < 0? Qual a inclinacao da reta tangente ao grafico de f no ponto (−1, f(−1))?

c. A funcao f e derivavel em x = 0? Justifique.

10. Seja f : IR → IR uma funcao que e derivavel em x = 0 e tal que f(0) = f ′(0) = 0. Considereg uma funcao definida em IR, limitada e que nao e derivavel em x = 0. Calcule a derivada da funcaoh(x) = f(x)g(x) no ponto p = 0.

11. Seja g(x) = 3√

x3 − x2 sen( 3√

x).

a. Calcule g′(3). b. Calcule g′(0). c. Calcule f ′(0), onde f(x) =(5 + g(x))(2x + 3 sec x)

x = tg x + 4

3

12. Considere a curva y = x2 − 3x.a. Determine a equacao de sua reta tangente no ponto (1,−2).b. Quantas sao as retas que passam por (0,−2) e sao tangentes a curva dada? Em que pontos tais retastocam a curva? Esboce a curva e as retas.

13. a. Ache os pontos sobre a curva y = 4x3 + 6x2 − 24x + 10 nos quais a reta tangente e horizontal.b. Determine uma reta que e tangente a curva y = x3 + 3x e paralela a reta y − 6x − 1 = 0.c. Determine todos os pontos (xo, yo) sobre a curva y = 4x4 − 8x2 + 16x + 7 tais que a reta tangente

a curva em (xo, yo) e paralela a reta 16x − y + 5 = 0.

14. Seja f(x) =3x + 1

x − 1. Determine todas as retas tangentes ao grafico de f que passam pela origem.

III. Mais sobre derivadas

1. Seja f : IR → IR uma funcao derivavel e tal que a reta tangente ao seu grafico no ponto de abscissa3 e x + 2y = 6. Seja g(x) dada por g(x) =

(

f (√

9 + 4x ))2

. Determine g′(0).

2. Sejam f e g funcoes derivaveis em IR e tais que f(g(x)) = x, para todo x ∈ IR. Sabendo-se que f ′(1) = 2e g(0) = 1, calcule o valor de g′(0).

3. Seja f : IR → IR uma funcao derivavel ate a 2a ordem. Considere a funcao g : IR → IR dadapor g(x) = x f(x + 1 + sen 2x), para todo x ∈ IR.a. Calcule g′′(x). b. Calcule g′′(0), supondo que f(1) = −1, f ′(1) = 3 e f ′′(1) = 7.

4. Suponha que f e uma funcao injetora, derivavel, e que sua inversa f−1 seja tambem derivavel. Use aregra da cadeia para mostrar que

(f−1)′(x) =1

f ′(f−1(x)), desde que o denominador seja nao nulo.

5. Usando o exercıcio anterior, encontre (f−1)′(5), sabendo-se que f(4) = 5 e que f ′(4) = 2/3.

6. Calcule a derivada de cada uma das funcoes abaixo:

a. g(x) = arccos x b. g(x) = cos(arctg x) c. g(x) = x2 arctg x

d. g(x) = arcsen(x2) e. g(x) =√

1 − x2 arcsen x f. g(x) = x arctg(x2 − x)

4