Aljabar Linier Mohammad Dokhi, Ph. D

Textbooks

[1] Howard Anton,Elementary Linear Algebra 9th

Edition, Wiley, 2005.

[2] Gilbert Strang,Introduction to Linear Algebra 3rd

Edition, Wellesley Cambridge Press, 2003

Pokok Bahasan

Persamaan Linier (PL) & Sistem Linear (SL)

Aljabar Matrix untuk penyelesaian SL

Ruang Vektor (Euclid dan Umum)

Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Transformasi Linier

Beberapa aplikasi

Scoring dan komponennya

No Komponen Bobot (%)

1 PR 30

2 Quiz

3 UTS 35

4 UAS 35

Total 100

Apa aljabar linier?

Definisi Cabang matematika yang bermanfaat untuk

mendapatkan solusi simultan bagi Sistem Linear (SL) melalui aljabar matrik

Tujuan utama aljabar linier Untuk menemukan metode-metode sistematis

dalam penyelesaian SL

1.1 Persamaan Linear (PL)

1. Apa yang dimaksud dengan PL? 2. Bagaimana menyelesaikan suatu PL?

Persamaan Linier (PL)

Persamaan dan

adalah linier.

Ciri persamaan linier

(1) tidak mengandung perkalian antar variabel atau akar

suatu variabel.

(2) Semua variabel berpangkat satu dan tidak mengandung

argumen fungsi trigonometri, fungsi logaritma, atau

fungsi exponensial.

Persamaan

bersifat tidak linier.

13 7, 3 1

2x y y x z 732 4321 xxxx

3 5, 3 2 4 dan sinx y x y z xz y x

Solusi Persamaan Linier (PL)

Suatu solusi dari persamaan linier adalah n barisan

bilangan sedemikian hingga persamaan

tersebut memenuhi syarat atau benar secara matematis

Himpunan seluruh solusi yang mungkin bagi suatu

persamaan disebut himpunan penyelesaian atau solusi

umum dari persamaan tersebut.

nsss ,...,, 21

Menemukan sebuah himpunan solusi bagi persamaan linier (1/2)

Tentukan penyelesaian bagi

Solusi (a)

kita dapat memberi nilai berapa saja untuk x lalu menghitung nilai y, atau pilih sebarang nilai untuk y lalu menghitung nilai x

Sebarang bilangan disebut parameter

Contoh

x dan y disebut variabel

124 )a( yx

1 1 2 2

1 1 1 2 atau

2 2 4x t y t y t x t

1 2,t t

1 2

11Jika 3 3,

2t x y t

Temukan solusi bagi

Solusi (b)

Kita dapat memberi sebarang nilai bagi dua variabel dan menghitung nilai variabel yg ketiga

contoh

Dimana s, t sebarang nilai yg disebut parameter

1 2 3 (b) 4 7 5.x x x

2 3 1Jika dan maka 5 4 7x s x t x s t

1 2 3 , dan disebut variabelx x x

Menemukan sebuah himpunan solusi bagi persamaan linier (2/2)

Bentuk umum persamaan linier

Bentuk umum persamaan linier dua variabel:

Bentuk umum persamaan linier tiga variabel

Bentuk umum persamaan linier n variabel

dimana dan b adalah konstanta.

Variabel dalam suatu persamaan linier kadang-kadang disebut juga unknown.

byaxa 21

bxaxaxa nn ...2211

1 2, ,...,

na a a

1 1 2 2 3 3a x a x a x b

Latihan (1)

Tentukan apakah persamaan berikut linier atau non linier

Latihan (2)

Tunjukkan bahwa dimana

adalah sebuah solusi bagi persamaan:

1.1 Sistem Linier (SL)

1. Apa yang dimaksud dengan Sistem Linier (SL)? 2. Bagaimana menyelesaikan Sistem Linier (SL)?

Sistim Linier

Banyak permasalahan kehidupan nyata yang solusinya mengarah kepada penyelesaian beberapa persamaan linier secara simultan.

Sistim persamaan linier atau sering disingkat

sistim linier (SL) : beberapa persamaan linier yang membentuk suatu sistem sehingga penyelesaianya harus dilakukan secara simultan

SL dari dua variabel (1/5) Ada 27 butir apel dan jeruk dalam suatu keranjang. Diketahui bahwa jeruk dua kali lebih banyak dibanding apel. Berapa banyaknya apel dan banyaknya jeruk dalam keranjang tersebut? Misalkan, x : bayaknya apel dan y : banyaknya jeruk

Secara matematik, kita punya

27 PL

2 PL

x y

y x

SL yg mengarah ke solusi simultan

Contoh 1

Sehingga permasalahan menjadi bagaimana menemukan nilai x dan nilai y yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

SL dari dua variabel (2/5)

Contoh 1

Solusi intuitif matematika: Subtitusi (2) ke (1) didapat dari persamaan (2) kita dapat Sehingga didapat 9 apel dan 18 jeruk.

27 ...... (1)

2 ....... (2)

x y

y x

2 27 3 27 9x x x x

2 2 9 18y x

Metode subtitusi

SL dari dua variabel (3/5)

Contoh 1

Persamaan (2) Jadi ada 9 apel da 18 jeruk.

2 - 2 0y x x y

Metode Eliminasi

27 ...... (1)

-2 0 ...... (2)

x y

x y

-

3 0 27

9

18

x

x

y

SL dari dua variabel (4/5)

Contoh 1

Jika kedua persamaan digambar pada bidang-XY

Y (jeruk)

Solusinya adalah koordinat titik potong antara garis 1 dan garis 2

X (apel) 27

9

18

27

Kemungkinan solusi lain (5/5)

Kemungkinan solusi untuk sistem linier:

(i) terdapat tepat satu solusi

(ii) terdapat solusi yang banyak tak berhingga

(iii) tidak memiliki solusi.

Bentuk umum SL dua variabel :

Kedua garis paralel tidak ada solusi

Kedua garis beririsan di satu titik satu solusi (unique)

Kedua garis berimpit solusi banyak tak berhingga

1 1 1 1 1

2 2 2 2 2

( , tidak nol keduanya)

( , tidak nol keduanya)

a x b y c a b

a x b y c a b

Tidak ada solusi

Tepat satu solusi

Solusi banyak tak berhingga

1 2dan l l

Contoh (1): Konsisten independen

Tentukan solusi umum dari sistem linear berikut

Contoh (2): Tak konsisten

Selesaikan sistem Grafik kedua garis tersebut sejajar Jadi sistem tidak konsisten (tidak ada solusi)

Contoh (3): Konsisten dependen

Selesaikan sistem

Perhatikan bahwa kedua persamaan pada dasarnya sama (gambar berimpit), jadi solusinya menggunakan parameter sbb:

36misalkan

9

ty t x

SL tiga variabel (1/2)

Pada sebuah restoran pizza tersedia: Paket I dengan 3 potong pizza, 4 stik, and 2 soft drinks harganya $13.35. Paket II dengan 5 potong pizza, 2 stik , and 3 soft drinks harganya $19.50. Jika 4 buah stik dan sekaleng soda harganya $0.30 lebih mahal dari sepotong pizza Berapakah harga masing-masing item? Misalkan, Maka secara matematika dapat kita ekspresikan sebagai berikut

Contoh 2

1

2

3

: harga sepotong pizza

: harga sepotong stik

: harga soft drink

x

x

x

LS of three variables (2/2)

Contoh 2

atau

Masalahnya adalah bagaimana menemukan nilai yang memenuhi ketiga persamaan linier di atas

1 2 3, dan x x x

Sistem Linier Secara Umum Suatu himpunan berhingga dari

persamaan linear dengan variabel

disebut sistem persamaan linier atau sistem linier.

Barisan bilangan solusi untuk

disebut solusi dari sitem. Sistem yang tidak memiliki solusi

disebut inconsistent ; Jika paling sedikit ada satu solusi, maka sistem tersebut dikatakan consistent.

nxxx ,...,, 21

nsss ,...,, 21

mnmnmm

nn

nn

bxaxaxa

bxaxaxa

bxaxaxa

...

...

...

2211

22222121

11212111

Sebuah sistem linier dengan m persamaan linier dalam n variabel

nxxx ,...,, 21

Tipe Sistim Linier (SL)

LS

Konsisten (Ada solusi)

Tak Konsisten (Tidak punya solusi)

Solusi tunggal (sistem independent)

Solusi banyak tak berhingga (Sistem dependent)

Metode Eliminasi

Metode dasar dalam menyelesaiakan suatu sistem linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem baru yang memiliki solusi sama tetapi lebih mudah untuk diselesaikan.

Sistem baru tersebut biasanya didapat dengan menerapkan serangkaian tiga tipe operasi dasar berikut untuk mengeliminir variabel secara sistematis:

1. Mengalikan suatu persamaan dengan konstanta bukan nol.

2. Menukar dua persamaan.

3. Tambahkan hasil kali suatu persamaan ke persamaan lainnya.

Metode ini disebut metode eliminasi

Metode eliminasi: contoh 1 (1/2)

0 563

7 172

9 2

zyx

zy

zyxtambahkan -2 kali persamaan pertamake pers ke dua

0563

1342

92

zyx

zyx

zyx

0 113

9 2

217

27

zy

zy

zyx

kalikan pers 1

kedua dg 227113

177 2

9 2

zy

zy

zyx tambahkan -3 kali pers kedua ke pers ketiga

tambahkan -3 kali persamaan pertamake pers ke tiga

Metode eliminasi: contoh 1 (2/2)

3

9 2

217

27

z

zy

zyx

kalikan persketiga dg -2

23

21

217

27

9 2

z

zy

zyx

Tambahkan -1 kali pers kedua ke pers pertama

3

2

1

z

y

x11Tambahkan - kali2

pers ketiga ke pers pertama 7dan kali pers ketiga 2

ke pers kedua

3

217

27

235

211

z

zy

zx

Solusi x=1,y=2,z=3

Metode Eliminasi: Contoh 2 (1/2)

Metode Eliminasi: Contoh 2 (2/2)

Metode Eliminasi: Contoh 2 (1/2)

Metode Eliminasi: Contoh 2 (2/2)

Metode Eliminasi: Contoh 4

Homework-1

1).

Homework-1

2).

3).

Homework-1

4).

Homework-1

5).