Linear Discrete Population Models with Two Time Scales in Fast Changing Environments I: Autonomous...
-
Upload
angel-blasco -
Category
Documents
-
view
214 -
download
1
Transcript of Linear Discrete Population Models with Two Time Scales in Fast Changing Environments I: Autonomous...
��������������� ������ ��� ���������� ����������������������������� ������������ � � ����
������������ !��"#����$%!��#�&&���"��& !'���(��)�����&�*��(�������&&�
��+�&,�-��,�� (����,�-.,#���!���#*�&�#(�(� (�������.!� %//0 � �����.� (�� ����&��!1��(&#(2!�+�#�3��3-�#��������34�����5"�63���1��&&��+��(#����",6�&23%��+�&,�-��,�� (�� ��,�-.,#���!� �3�33�3� ��("�,&#����!� ��#*�&�#(�(� ���#,7��#��� (���(&#(!�8��7��",#7&&�$��4�����!�%!�%/99:���(&#(!�+�#�3'�3�3�3�3�3�33�;;;/!���#*�&�#,7���"(����&��&(��<��= !� >'���"�3� ���*�-4&� ? /!�:?:%%��#���"&4������(�@!��&����3
���������,6#��A�&B�A������#(�&����,&"�,"&�(�+�+"��,#���A#,6��&�"+����(��"4�&�"+���)�#�(#*#("���3
�6��#�,&�=�&�"+�(<��-#���#�����"-�(�,��4��)��,� #����-+�&#����A#,6�,6��#�,�&=�&�"+�(<��-#��3����,"(<��#���&�(#��&�,��-�(����A6�&��,6�����A�(<��-#���#��&�+&����,�(�4<����#�����-�,&#@���(,6�� )��,� (<��-#��� #�� (����(� 4<� -����� �)� ,6�� )#&�,� �� ,�&-�� �)� �� ���*�&�#��� ��C"����� �)(#))�&��,�-�,&#���3��6���"-4�&�������4��#�,�&+&�,�(����,6��&�,#��4�,A����,6��,A��,#-��������3
�6�� �#-� �)� ,6#�� A�&B� #�� ,�� �@,��(� ���&���,#��� ,��6�#C"��� ,�� ,6�� ����� �)� )��,� �6���#����*#&��-��,�3��6��-�#��#(����)����&���,#���#��,��4"#�(�"+�����A��<�,�-!�A#,6���A�&�(#-���#��!,6�,��"--�&#$���,6��#�)�&-�,#��������&�#���,6��)��,�+&�����3��6#��D���&���,�(E��<�,�-�+&�*#(�������,#���#�)�&-�,#������,6���&#�#�������3��,�#���6�A��,6�,�,6����<-+,�,#��4�6�*#�&��)�,6���&#�#����<�,�-�����4���++&�@#-�,�(�4<�,6����<-+,�,#��4�6�*#�&��)�,6�����&���,�(��<�,�-�A6���,6��&�,#�4�,A����,6��,A��,#-���������#����&������"�63
��� +&����,� ��� �@�-+��� �)� ��� ���� �,&"�,"&�(� +�+"��,#��� #�� �� +�,�6<� ��*#&��-��,3� �6�-#�&�,#���+&������#�����"-�(�,��4��)��,�#����-+�&#����A#,6�,6��(�-��&�+6#��+&�����3��"-�&#����#-"��,#���� #��"�,&�,�� ,6�,� ,6�� ��<-+,�,#�� �&�A,6� &�,�� ��(� ,6�� �,�4��� ���� (#�,",#��� �)� ,6�+�+"��,#���#��,6���&#�#������(�,6�����&���,�(��<�,�-���&����,,#��������&����,6��&�,#����#��&�����3
3����� ���� ���,6�-�,#���� -�(���� �-+��<�(� #�� ������<� "�"���<� #�*��*�� �� ��&��� �"-4�&� �)
*�&#�4���3���&� #��,����!� #�� �,&"�,"&�(�+�+"��,#���-�(����A��-�<������#)<� #�(#*#("���&���&(#��� ,6�#&� ���!� �#$�!� ��,#*#,<� �&� ����,#��� 1��A���!� %99 2!� &��"�,#��� #�� 6#�6(#-���#�����-�(����A6#�6� �&�� �#B��<� ,�� 4�� (#))#�"�,� ,�� �,"(<� ����<,#����<3� �6�� ���<�*�#��4��� ,��6�#C"�� )�&� ,6�� �,"(<� �)� ,6���� �<�,�-�� #�� ��-+",�&� �#-"��,#��!� A6#�6-�B��� #,� #-+���#4��� ,�� �*��"�,�� ,6�� &�4"�,����� �)� ,6�� &��"�,�3� ���,� �)� ,6�� �#-+��-�(���!� A6#�6� �&�� -�,6�-�,#����<� ,&��,�4��!� (�� ��,� ,�B�� #�,�� ����"�,� �����,#��#�)�&-�,#����4�",�,6��#�,�&�����,&"�,"&���)�,6��+�+"��,#��3��&�C"��,�<!�,6���#-+�#)<#�����"-+,#���!�"+���A6#�6�,6���<�,�-�#��4���(!��&����,��(�C"�,��<�F"�,#)#�(3
�6����=�����(����&���,#���-�,6�(��(���������&�����-+��@��<�,�-��,6�,�����4��,"(#�(� �++&�@#-�,��<� )&�-� �#-+��&� ����3� �6��A�&(�� ��-+��@� ��(� �#-+��� &�)�&� ,�
Acta Biotheoretica 49: 261–276, 2001.c©2001 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.
%:% ��� ������3
��&�����(��-�����"-4�&��)�*�&#�4���!�&��+��,#*��<3��6��+&�+�&,<��)�,6�����<�,�-��,6�,����A��,6�#&����&���,#���#��,6���@#�,������)�,A���&�-�&��(#))�&��,�,#-��������3
��,"&���))�&��-��<��@�-+�����)� �<�,�-��A6�&�� ��*�&��� �*��,�����"&� �,�(#))�&��,,#-�� ������3� �,� #�� ,6��� �� ��--��� +&��,#��� ,�� ����#(�&� ,6���� �*��,�� ���"&&#��� �,� ,6�)��,��,� ������ ��� 4�#��� #��,��,����"�� A#,6� &��+��,� ,�� ,6�� ���A�&� ����3� ��(�&� ��-���,"&��� ���"-+,#���� A�� A#��� 4�� �4��� ,�� (����� ,6�� �*��",#��� �)� ,6�� +�+"��,#��,6&�"�6���&�("��(��"-4�&��)�*�&#�4���3����"4��C"��,�#��"��#��,��(�,�&-#���6�A�)�&�,6�&��"�,�� �4,�#��(� )&�-� ,6�� &�("��(� �<�,�-� �&�� )&�-� ,6�� &���� ����3� ��,� "�� ,6#�B� �)� �6#�&�&�6#����<��,&"�,"&�(��<�,�-�(#*#(�(� #�,���"4�<�,�-�� ,6�,��&�����A�<���"+��(�4",�@6#4#,#��� �� )��,� #�,�&���� (<��-#��3� �6�� #(��� �)� ���&���,#��� #�� ,�� �6����� �� ���4��*�&#�4��!���-�,#-�������������(�-��&�*�&#�4��!� )�&����6��"4�<�,�-���(� ,��4"#�(�"+��&�("��(��<�,�-�)�&�,6�������4���*�&#�4���3��6��&�("��(��<�,�-!��&����&���,�(��<�,�-!-"�,�&�)���,�4�,6�(<��-#��!� ,6��������&&��+��(#���,��,6��)��,� ,#-����������(�,6�������&&��+��(#��� ,�� ,6�����A� ,#-�������3��6�����A�(<��-#����)� ,6������&��� �<�,�-!� ,6�#�#,#��� ��-+��@� ���!� "�"���<� ��&&��+��(�� ,�� ,6�� (<��-#��� �)� ,6�� &�("��(� �<�,�-!-���A6#��� ,6��)��,�(<��-#����)� ,6������&����<�,�-�#��&�)���,�(�#�� ,6�����))#�#��,���),6�� &�("��(� ���� #�� �"�6� �� A�<� ,6�,� #,� #�� +���#4��� ,�� �,"(<� #�)�"������ 4�,A���� ,6�(#))�&��,�6#�&�&�6#������*���3
���&���,#��� -�,6�(�� A�&�� #�#,#���<� �++�#�(� ��� *�&<� (#))�&��,� )#��(�� �"�6� ���",�-�,#�����,&����&������-<�1#-�����(���(�!� ?: 2���(!� ��,�&!�������<�1�A������3!� ?/023��)�,6������#�,���<�4�,A����,6��(<��-#����)�,6��*�&#�4����#��,6���&#�#������(,6�����&���,�(��<�,�-�#�����<��++&�@#-�,��A��&�)�&� ,��#,�����++&�@#-�,�����&���,#��1�A�������3!� ?/?23
�++�#��,#�����)��++&�@#-�,�����&���,#���,��������<�6�*��4����A#(��<��,"(#�(�)�&4�,6� �#���&���(�(���#,<�(�+��(��,�-�(���� #�� ,6�����,�@,��)����,#�"�"�� ,#-���<�,�-�1�"��&���(���"���&#�!� ??>G�����#������(��"��&!� ??;G��"��&���(�����#���!� ??:�! ??:4G��"��&���(��&�*��(�������&&�!�%9992���(�(#��&�,���<�,�-��1.��6�$����3!� ??;G�&�*��(�������&&����(�.��6�$!� ??/G���$���(��&�*��(�������&&�!� ??/!� ???!�%999!%99 G��&�*��(�������&&�����3!� ???23
���,6#��A�&B�A��(�*���+����&���,#���-�,6�(��)�&�,#-��(�+��(��,�(#��&�,���<�,�-����,#�"#���,6��A�&B�#�#,#�,�(�4<���$���(��&�*��(�������&&��1 ??/!�%99 23��6���,"(<�)� ���� �",���-�"�� �#���&� (#��&�,�� �<�,�-�� �&#���� #�� +�+"��,#��� (<��-#���A6��� ,6�,#-��(�+��(������)�(�-��&�+6#���&�-#�&�,#���+�&�-�,�&��#������#(�&�(G�)��,�&���)�,6��@,�&������*#&��-��,�A6#�6��))��,��"&*#*��!�)��"�(#,<��&�(#�+�&����-�<�*�&<��*�&�,#-�16�&���A�&,6!� ??>G���A���!�%99 23
�6��,#-��(�+��(��,�(#��&�,���<�,�-��,&��,�(�4<���$���(��&�*��(�������&&��1 ??/!%99 2� #���"(�� ,A�� +&�������� ,�B#��� +����� �,� (#))�&��,� ,#-�� ������� ��(� ,6���*#&��-��,���*�&#�,#����)�,6��-�(���+�&�-�,�&����,���,�,6�����A�,#-�������!�#3�3�#,�A������#(�&�(�,6�,�("&#��������A�,#-��"�#,�,6��+�&�-�,�&��(�)#�#���,6��)��,�+&������(����,�6����3� �6�� �#-� �)� ,6#�� A�&B� #�� ,�� �@,��(� ,6#�� )&�-�A�&B� #�� �&(�&� ,�� #���&+�&�,���*#&��-��,���*�&#�,#����)�,6��)��,�+&�������,�#,���A��,#-�������3
�6�� #(��� �)� #�,&�("�#��� ,A�� ,#-�� ������� #�� �� (#��&�,��-�(��� #�� ,�� ��,�4�#�6� ,6��<�,�-�,#-��"�#,����,6�����������#�,�(�A#,6�,6�����A�+&�����3��!�#�����6�,#-��"�#,!�,6����A�+&��������,�������A6#���,6��)��,�+&��������,������&,�#���"-4�&��)�,#-��3��,�&�"�6�<&�+&����,��,6��&�,#��4�,A����,6��,A��,#-��������3� "&�-�(�������A��,6��)��,�+&������,�*�&<����6�,#-��#,���,�������������A�,#-��"�#,3��6��+�+�&�#��(#*#(�(�#�,��,A��+�&,���,6�
��������������� ������ ��� ��� %:'
)#&�,� ���� #�� (�*�,�(� ,�� ,6�� ����<�#�� �)� ,6�� �",���-�"�� ����� ��(� ,6�� �����(!� ,�� 4�+"4�#�6�(�#������@,�#��"���)�,6#��F�"&���!�A#���(����A#,6���-�����=�",���-�"�������3
��� ��,#���%� A�� #�,&�("��� ,6�� �&#�#���� -�(��3� �,� #�� �� ����&��� ,#-�� (�+��(��,(#��&�,���<�,�-� #���"(#��� ,A��+&�������� ,6�,� ,�B��+������,�(#))�&��,� ,#-��������3��6����A�(<��-#��� #��(����(�4<�-������)�������&������=����,#*��-�,&#@3���&� ,6�� )��,(<��-#��!� #,� #�� �������&<� ,�� -�B�� ��&,�#�� ���"-+,#���� #�� �&(�&� ,�� ��&&<� �",� ,6�&�("�,#��� �)� ,6�� �<�,�-3��6�� (�,�#��� �)� ,6�� +&���("&�� �&�� �",�#��(� #����,#���'G� ,6����&���,�(�-�(���#����&�("��(�,#-��(�+��(��,�(#��&�,���<�,�-��*��*#����,������A�,#-������3������,#���;�A���,"(<�,6��&���,#���6#+��4�,A����,6�����&���,�(���(�,6���&#�#����<�,�-��#��,6���",���-�"������!�#3�3!�A6���,6��*#,���&�,����)�,6��-�(����&������,��,�#�,#-�3���,#���;�#��(�*�,�(�,��,6��#��"�,&�,#����)�,6��-�,6�(�4<�����@�-+���A#,6�,A���������������(�,A��+�,�6��3
%3����� ��������� ������(����A#,6��� �#���&�(#��&�,���",���-�"���,���=�,&"�,"&�(�-�(��3���+"��,#��� #�
�����#)#�(� #�,�� �,����� �&� �&�"+�� #�� ,�&-�� �)� ��<� �6�&��,�&#�,#�� �)� ,6�� �#)�� �<���3��&��*�&!����6��)�,6�����&�"+��#��(#*#(�(�#�,����*�&����"4�&�"+��,6�,�������&&��+��(,��(#))�&��,��+�,#���+�,�6��!�(#))�&��,�#�(#*#("�����,#*#,#��!��,�3
��� ����#(�&��� �&�"+�3� ��,�� � 4�� ,6�� �"-4�&� �)� �"4�&�"+�� A#,6#�� �&�"+� 3���(�)#���,6���,�,��*�&#�4������
������,6���"-4�&��)�#�(#*#("����#��,6�� �=,6��"4�&�"+��)�,6� =,6� �&�"+� �,� ,#-�� �!� �H� !333!�G� � �H� !333!� G� ��H�9! !%!333� �6�&�)�&�!� ,6��+�+"��,#��� #�(����(�4<�,6��*��,�&
x x x x x x xt t tN
t tN
tq
tq N Tq= ∈( , ..., , , ..., , ..., , ..., ), , , , , ,1 1 1 2 1 2 11 2 ��� 1 2
A6�&����H�� �I�J�I����1,6���"+�&��&#+,���(���,���,&���+��#,#��23���,6���*��",#����)�,6��+�+"��,#���A������#(�&�,A��+&��������A6������&&��+��(#��
�6�&��,�&#�,#�� ,#-�� ������!� ��(� �����C"��,�<� ,6�#&� +&�F��,#��� #�,�&*���!� �&�� *�&<(#))�&��,� )&�-� ���6� �,6�&3� ��� �&(�&� ,�� #���"(�� 4�,6� ,#-�� ������� #�� �"&� -�(��� A�(�����,6����,A��+&�������!�A6#�6�A�������)��,���(����A�(<��-#��!�4<�-������)�,A�(#))�&��,�-�,&#���3
��� ,6��+&�F��,#��� #�,�&*��� �)��"&�-�(���A���6����� ,6������ ��&&��+��(#��� ,�� ,6����A�(<��-#��!�#3�3!�,6��,#-�����+��(�4�,A����,#-�������(� ��I� !�A6#�6�A��A#����������1,6#��#��,6��+&�F��,#���#�,�&*����)�,6�����A�+&�����23
��� -�B�� ��� �+��#��� ���"-+,#���� &���&(#��� ,6�� �6�&��,�&#�,#��� �)� ,6�� ���A(<��-#��3��6"�!�,6�����A�(<��-#���#��&�+&����,�(�4<����������,#*��+&�F��,#���-�,&#@��∈����A6#�6�A������#(�&����(#*#(�(�#�,��4���B����
�!� �K� !���K��3����,6���6�*�
��
M
M M M
M M M
M M M
q
q
q q qq
=
11 12 1
21 22 2
1 2
�
�
� � � �
�
A6�&�� ���6�4���B��� ��H�L� �
�M�6��� (#-���#����� ����� ��(� �6�&��,�&#$��� ,6�� &�,����),&���)�&������)� #�(#*#("���� )&�-� ,6���"4�&�"+���)��&�"+� �� ,�� ,6�����)��&�"+� 3� ��&��+��#)#����<!�)�&����6���H� !%!333!� � ��(� ���6� �H� !%!333!���!�� �
��&�+&����,��,6��&�,���),&���)�&����� �)� #�(#*#("���!� ("�� ,�� ,6�� ���A�+&�����!� )&�-� �"4�&�"+� � �)� �&�"+� �� ,�
%:> ��� ������3
�"4�&�"+����)��&�"+� �#������,#-���,�+3��6#��#��������&#��-�(��G�#����+�&,#�"��&���������"�(����,�#��-�&,��#,<���(�&�+&�("�,#���*��"���)�&�,6��(#))�&��,��,����3
#���� ,6��+&�F��,#���#�,�&*����)� ,6��-�(��� #�� ,6�,��)� ,6�����A�+&�����!�A�����"-�,6�,!�("&#�����,#-��"�#,!�,6��)��,�+&���������"&����,#-���4�)�&��,6�����A�+&������1A6�&��� #�� ��� #�,���&� ,6�,� ���� 4�� #�,�&+&�,�(� ��� ,6�� &�,#�� 4�,A���� ,6�� +&�F��,#��� #�,�&*�����&&��+��(#���,��,6�����A���(�,6��)��,�(<��-#��23� "&�-�(�������A��,6��)��,�+&������,���,� (#))�&��,�<� #�� ���6� �)� ,6�� �� �����#���3� �!� )�&� �� ,#-�� "�#,!� ,6�� )��,� +&������ #�&�+&����,�(�4<�,6��)����A#���+&�("�,��)���-�,&#����
���N����NNN��
���������������������������� �� �� ���!���"!�� ��#!"�$%
�6#�� ���"-+,#���-����� ,6�,� ,6�� )��,� (<��-#��� (���� ��,� +&�("��� ,&���)�&����� �)#�(#*#("���� �-���� (#))�&��,� �&�"+�3�����C"��,�<!� �*�&<�-�,&#@��� 1�H� !J!�2� #�� �4���B=(#�������-�,&#@!�A6����4���B��A��������
�1 �H� !J!�2�
��H�� #�O��!J!�
�P 1%2
&��������������������������� �� "���!'����������(�!�"�� �� ' ����"��� �
#!"�$%
�6#��6<+�,6��#��#��#���"(�(�#��,6��-�(���4<����"-#������6�4���B�� �,��4�������"-�
�,��6��,#��-�,&#@!�#3�3!���-�,&#@�A6�������"-����&��+&�4�4#�#,<�*��,�&�3�6�&�)�&��,6��+&�+���(�-�(���A#�������#�,��)�,6��)����A#���(#��&�,���<�,�-�,6�,�A�
A#��������D-#�&��<�,�-E��&�D�&#�#�����<�,�-E�
��I �H����NJN�� �� 1'2
��� �� +&�*#�"�� A�&B� 1.��6�$� ��� 3!� ??;2!� ���&���,#��� ,��6�#C"��� 6�*�� 4����++�#�(�,��,6��)����A#���-�(���
��I �H������ 1>2
A6�&��,6��-�,&#������&&��+��(#���,��,6��)��,�(<��-#����&������,��,3����,6����@,����,#��A������,&"�,���&�("��(��<�,�-!�,6����=�����(����&���,�(��<�,�-3
'3���������� �� ������� ������&���,#�������#�,���)�(�)#�#������-�����"-4�&��)����4���*�&#�4���!�)"��,#�����)
,6�� �,�,�� *�&#�4���� ��(� 4"#�(#��� "+� �� �<�,�-� (���#��� ,6�#&� (<��-#��3��6��� ,6����&���,�(�(<��-#����&�� ����#�,��,�A#,6� ,6���&#�#����(<��-#��� #�� ,6�� ������ ,6�,� ,6����4���*�&#�4����4�6�*��#(��,#����<�4�,6�#��,6��#�#,#����<�,�-���(�#��,6�����&���,�(����!#,� #�� �����(� +�&)��,� ���&���,#��� 1�A���� ��� 3!� ?/023� ��&)��,� ���&���,#��� #�� &�&��<+���#4�����(�-�,6�(��)�&��++&�@#-�,�����&���,#���6�*��4����(�*���+�(�1�A�������3! ?/?23� �<� �++&�@#-�,�� ���&���,#��� A�� -���� ,6�� B#�(� �)� ���&���,#��� A6�&�� ,6�����#�,���<� 4�,A���� ,6�� (<��-#��� �)� ,6�� ���4��� *�&#�4���� #�� ,6�� �&#�#���� ��(� ,6����&���,�(��<�,�-�#�����<��++&�@#-�,�3
�++&�@#-�,�� ���&���,#����)� ,6���&#�#���� �<�,�-��++�#���A6��� ,6�� )��,� (<��-#��-�B�� ,6�� )&�C"���#��� �)� �,�,�� *�&#�4���� #�� ���6� �&�"+� �++&���6� ��&,�#�� �C"#�#4&#"-*��"���("&#����� ,#-��"�#,3����"))#�#��,����(#,#���)�&� ,6��+&�*#�"��+&�+�&,<� ,��6��(� #�,6����@,����"-+,#���
)�� ���� ������ �� *�� +� �������,���� ��→ �∞�� �"� � �!� �� -�� ���! �� ��" ��� �
$! � � '����! ��� %
�����)�&,6�A���"++����,6��,6&������"-+,#�������)��,�(<��-#���1�!�&���(�)2��6��(3
��������������� ������ ��� ��� %:;
�������,&"�,�,6�����&���,�(��<�,�-�A�����(�,��-�B��"����)�,6��)����A#���&��"�,3
�!"$"� � "��.%�
����*��+�(��������� ��"�� "������" ��� ���! ������� "�'�!#����"��$! � � '�
��! ���%�����'�(�� ����! #���$!"(( ����"!����� #��'� �"!�"������" ����, ������
� #��'����%�����
lim ...k
kP P v→∞
⋅ ⋅ =1 ��
,��!���� �� ���� "����'� �"!�"�� ����$$!"$! ���� ���� "��, ���� ������! ������
�"��%
�!""�3�1����++��(#@23�&�-����"-+,#����� !�&� ��(�)�A�������++�<��&�+��#,#���'3 � ,�� ,6��4���B���)� ,6�
)��,�(<��-#��3�������#,�)����A��,6�,!�)�&����6� �H� !333!��
lim ...k
ki i iP P v
→∞⋅ ⋅ =1 �
� 1;2
A6�&�� ' � #�� ,6�� &#�6,� +&�4�4#�#,<� ��&-�(� �#���*��,�&� �)� ,6�� -�,&#@� � � �#,�(� #����"-+,#���)3
��A!� #)� A�� (�)#��!� P vi i= �� !� P diag P P q= ( , ..., )1 !� /�H�� #O�!J!�P� ��(
0�H�� #O' !J!'�P�,6���A��6�*�
P P P VUk
kT= ⋅ ⋅ =
→∞lim ... 1 1:2
������,6���&#�#�����<�,�-�1'2�����4������#(�&�(������+�&,"&4�,#����)�,6��)����A#���
X MPXt t+ =1 102
�6#�� ��A� �<�,�-!� �����(� ,6�� D�"@#�#�&<� �<�,�-E!� ���� 4�� #�,�&+&�,�(� ��� ,6�-#�&��<�,�-�A6���A���"4�,#,",��,6��)��,�+&��������&&��+��(#���,�����6�#�,�&*������ 4<,6�� �C"#�#4&#"-� )&�C"���#��� �)� ,6�� )��,� +&������ #�� ��3� ��� �,6�&�A�&(�!�A�� �&�� ��,,#����→�∞� #�� ,6�� �@+&���#��� �)� ,6��-#�&��<�,�-!� �"++��#��� ,6�,� ��� #�� ����� ���"�6�A#,6&��+��,� ,�� ,6�� +&�F��,#��� #�,�&*��� �)� ,6�� )��,� +&������ )�&� ,6�� )��,� (<��-#��� ,�� &���6�C"#�#4&#"-� )&�C"���#��3���,�� ,6�,�A��"�����+#,��� ��,,�&��A6��� &�)�&&#��� ,��*�&#�4��������#�,�(�A#,6�,6���"@#�#�&<��<�,�-3
���A#�������,6�,�,6�����&���,�(��<�,�-�����4��+�&)��,�<����&���,�(3�����&(�&�,��(���!�A��(�)#���,6�����4���*�&#�4���!�)�&����6�,#-���!�#��,6��)����A#���A�<�
y y yt t tq= ( , ..., )1 1/2
A6�&�� y X Xti
ti
ti Ni= + +, ,...1 !�#3�3���
�&�+&����,��,6��,�,����"-4�&��)�#�(#*#("����#���&�"+ ��,�,#-�������"-#���,6�,�,6��)��,�(<��-#���&���6���#,���C"#�#4&#"-�)&�C"���#���#�����6,#-��"�#,3
��,��,6�,�,6�������4���*�&#�4��������4���4,�#��(�)&�-�,6��*�&#�4�����)�,6���"@#�#�&<�<�,�-����)����A��
���H�/�1� 1?2
�6�&�)�&�!�#)�A��+&�-"�,#+�<��C"�,#���102�4<�-�,&#@�/��!�A���4,�#��
U X U MPX U MVU XTt
Tt
T Tt+ = =1
�6#��#��,6�����&���,�(��<�,�-!�A6#�6�����4���@+&����(�#��,6��)����A#���A�<� ��
%:: ��� ������3
y Myt t+ =1 1 92
A6�&�� M U MVT= 3� ��� 6�*�� &�("��(� ,6�� (#-���#��� �)� ,6�� -�(��� )&�-��H�� �I�J�I��� ,��� !� �#���!� #�� ,6�� ���&���,�(� �<�,�-!� ���6��&�"+� #�� &�+&����,�(�4<�����#�����*�&#�4��3
��� ��@,� ���,#���A��A#��� �6�A� 6�A� ,6#�� ��A� �<�,�-�+&�*#(��� #�)�&-�,#������ ,6���<-+,�,#��4�6�*#�&��)�,6��+�+"��,#���&�+&����,�(�4<�,6��-#�&��<�,�-3
>3������� ����������������������������������� ��������Q���
�6#�� ���,#��� #�� (�*�,�(� ,�� ,6�� �,"(<��)� ,6�� &���,#���6#+��4�,A���� ,6�� ���&���,�(�<�,�-�1 92���(�,6���&#�#�����<�,�-�1'2�(�)#��(�#����,#���'3
�,� ,6#�� �,���!� ��,� "�� #�,&�("��� ��-�� �����+,�� ��(���,�,#��� ,6�,�A#��� 4��"��)"�� #�)"&,6�&� (�*���+-��,��� ��� (���,�� RRSRR� ��� ,6�� =��&-� #�� �� !� #3�3!� �#*����H�1� !�%!333!��2��∈��� !� ,6��� RR� RR�H�R� R�I�R�%R�I�333�I�R�� R3� �)� A�� �&�� -�(���#��� ,6�(<��-#����)����,���=�,&"�,"&�(�+�+"��,#�����(����#��,6��+�+"��,#���*��,�&��,�,#-���!�,6��
,6�� ,�,���+�+"��,#���#���#*���4<� RR��RR���(� ,6��+�+"��,#����,&"�,"&�� #���#*���4<�xxt
t|| || 3��
�<�,�-� #�� ��#(� ,�� 4�� �,&����<� �&��(#�� 1�6��!� ?0?2� #)� ,6�� +�+"��,#��� �,&"�,"&���<-+,�,#����<�4���-��� )#@�(���(� ,6#�� D�C"#�#4&#"-��,&"�,"&�E� #�� #�(�+��(��,��)� ,6�#�#,#���+�+"��,#��!�#3�3!���*��,�&�'��@#�,���"�6�,6�,�)�&���<����=����,#*�!����=$�&��#�#,#��
���(#,#����9�A��6�*�� lim || ||t
xxt
tv
→∞= 3
���-�B��,6��)����A#������"-+,#������,6�����&���,�(�-�,&#@�2�3���! ��M � ��$! � � '�%
��,�λ�4��,6��(�-#���,��#���*��"���)�-�,&#@� M !�!�#,����&&��+��(#���+��#,#*��&#�6,�#���*��,�&��"�6�,6�,�RR!RR�H� ���(�� #,����&&��+��(#���+��#,#*����),��#���*��,�&���&-�(#���"�6���A�<�,6�,��!�H� 3��6���#��,6�������,�&-�)�&��*�&<�#�#,#����,�,��A��6�*��
= ,6��+�+"��,#����#$���&�A���@+����,#���<��,���&�,��λ3= ,6��+�+"��,#���&���6������,�4����,&"�,"&���#*���4<�,6��*��,�&�!3= ,6��&�+&�("�,#*��*��"���1��A���!�%99 2������#�,�(�A#,6����6��&�"+��&���#*��
4<�*��,�&�3
����,#���6#+��4�,A����,6�����&���,�(���(�,6���"@#�#�&<��<�,�-��6��&�-�>3 �1.��6�$����3!� ??;2�&���,���,6��+&�F��,#���-�,&#�����)�4�,6��<�,�-�3
���"!���4%�
��! ����� P ����M �'�! ��3
�% det( ) det( )λ λ λI MP I MNN q
q− = −− %� ���!��"!�� ���� �"��5�!"� � #��'���� "�
��! ���� P ���M � " � ��%
6% ����!�(���! #���� #��'� �"!�"�� M ���" ����, �������� #��'���λ�≠�7%������0!�≠�7� ���! #���� #��'� �"!�"��� P ���" ����, ������������ #��'���λ%
.% ���� � (�� � ���� � #��'� �"!� "�� M ��" ����, ��� ���� � #��'���λ�≠�7%� ����/�≠�7� �������� #��'� �"!�"��� P ���" ����, ������������ #��'���λ%
��������-�B��,6��)����A#������"-+,#���
��������������� ������ ��� ��� %:0
263���! ���� ��!",�",(�%
��-�,&#@� #�� �����(� &�A=����A�4��� 1��F���!� ?0:2� #)� #,� 6��!� �,� ����,!� ���� +��#,#*���,&<� #�� ���6� &�A3���,�� ,6�,�26� ����4�� #�,�&+&�,�(�4<� ��<#��� ,6�,� ,6�� ���A�+&�����*�&#)#���,6�,�)�&����� �H� !%!333!����(���H� !%!333!� !��,�����,���������A�(�,&���#,#���,�A�&(��"4�&�"+����)��&�"+� ��@#�,�3
��(�&����"-+,#����2����(�26�A���4,�#��,6��)����A#���&��"�,�
�!"$"� � "��4%6
���� ��� ��$$"��� ���� ���� $!"�� � "�� ��! �� "�� ���� ##!�#���� �������� M �� �
$! � � '�� -2��%� ����λ� (�� ��� �"� ���� � #��'���� !� ��� "!!��$"�� �#�$"� � '�� ! #��
� #��'� �"!��� ������88!88�9������� ��� "!!��$"�� �#�$"� � '������� #��'� �"!��"!���
�� �� �� � ,�� ���� �!�9��%� ���� ��� ��$$"��� ������! �����,� �� #"'�!��� ���� �",
���� �� �� ����"! # ���������� ��!",�",(��-26�%�:"!� ������ !���������,�
������'�3
�% ��� ����!"�#���!#"� %
6% ����$"$�� "��� 5��#!",����$"���� �����!���λ%.% :"!� ��� � � � "�� � "��17� ���� $"$�� "�� ��!� ��!�� ������ �"� � � �� '� �"!
# '���(�� MVrMVr|| || %
4% ����!�$!"�� � '��'������" ����, ���� ��#!"�$�!��# '���(��'� �"!�/%
�!""�3��&�-��6��&�-�>3 A��6�*��= �6�����=$�&���#���*��"����)� M � ��(�� P ���#��#(�3������!�λ� #�� �� �#-+�����(
�,&#�,�<�(�-#���,��#���*��"���)�� P 3= �6�� &#�6,� ��(� ��),� �#���*��,�&���)�� P � �����#�,�(�A#,6�λ� �&�� � !T�H��0!���(
T�H�/!�&��+��,#*��<3�<+�,6��#�� 2 � � ��<�� ,6�,� � � #�� �� &�A=����A�4��� -�,&#@3� ��&��*�&!
0�H�� #O' !333!'�P�A6�&��' �#����+��#,#*��*��,�&�)�&����� �H� !333!�!����#,�#��&�A=����A�4��3�����,#���'�A��(�)#��(�/�A6#�6�#�������&�A=����A�4��3���B#���#�,������"�,�,6�,� ,6�+&�("�,��)���&�A=����A�4���-�,&#@���(���+��#,#*��*��,�&�#���������+��#,#*��*��,�&!���(,6�,�!���(���&��+��#,#*��*��,�&��A��6�*��!T�H��0!���(�T�H�/��&��4�,6�+��#,#*��*��,�&�3
��A�A��-�B��"����)���,6��&�-�#����&-�����(����--����1 ?0?!�++3�>%2�,��(�("��,6�,�� P � #�� ��� #&&�("�#4��� -�,&#@3� ��&��*�&!� �#���� A�� B��A� ,6�,� λ� #�� �� �,&#�,�<(�-#���,� �#���*��"�� A�� (�("��� ,6�,� ,6#�� -�,&#@� #�� +&#-#,#*�� ��(!� ,6�&�)�&�!� ,6��"@#�#�&<��<�,�-�-"�,�4���,&����<��&��(#�3
����,#���6#+��4�,A����,6���"@#�#�&<���(�,6���&#�#�����<�,�-��6���&#�#�����<�,�-�-�<�4������#(�&�(������+�&,"&4�,#����)�,6���"@#�#�&<�����
MP P MP M P P Pk k⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ −1 1( ) 1 2
A6�&��,6��-�,&#@� P P Pk ⋅ ⋅ −... 1 ����*�&����,��$�&�������,��(��,��#�)#�#,<3�6�&�)�&�!�,6��6#�6�&�,6��*��"���)��!�,6�������&�,6���#���*��"�����(��#���*��,�&���)
���⋅⋅⋅� � ��(�� P � �&�3��6"�!� #)��� #�� ��&��� ���"�6� A�� B��A� �4�",� ,6�� ��<-+,�,#�4�6�*#�&��)�,6���&#�#�����<�,�-�)&�-�,6�,��)�,6���"@#�#�&<�������(!�,6�&�)�&�!�#�(#&��,�<!)&�-�,6�,��)�,6�����&���,�(����3
����,6�&�A�&(�!� )&�-� ,6�����&���,�(� �<�,�-�A���++&�@#-�,�� ,6�����-��,��A6#�6�6�&��,�&#��� ,6�� ��<-+,�,#�� 4�6�*#�&� �)� ,6�� �&#�#���� �<�,�-� ��(� ,6�� ��&��&��� #�!� ,6�
%:/ ��� ������3
-�&�����"&�,��,6�����++&�@#-�,#����4���-�3����,6��&�-�#�(�&��)�,6#�����,#���A���,"(<6�A�,6�����++&�@#-�,#����#-+&�*��A6�����#��&�����3
�����+&�*#�"��A�&B�(���#���A#,6��<�,�-�>�#,�#��+&�*�(�,6�,�,6��+&�F��,#���-�,&#@��),6���&#�#�����<�,�-����*�&�������-�,&#����<�,��,6�,��)�,6���"@#�#�&<��<�,�-�1.��6�$���3!� ??;!� �&�+3� '3%23� ��(�&� ��-�� ���(#,#���� ��� ,6�� ��C"����� O��P� A�� �4,�#�� ���������"��&��"�,�
���"!���4%.
���� 88⋅88� (�� � �"!�� �� ���� �$ �� "�� !�� ��! ��� ��×�� ��� ��$$"��� � '��
7�;�α�;��� �� ���� �� �� ���� 88����88�9�"-α��� -���� "�'�!#�� ��%� ����� �"���!� '��
α�;�δ�;����� ������ ������88�-��⋅<⋅��� P �88�9"-δ��%
�!""�3�1����++��(#@23���+&�*#�"��<��,�,�(�,6�����-��,��(�)#�#���,6����<-+,�,#��4�6�*#�&��)�,6���&#�#���
�<�,�-�,��(�,��,6�����++&�@#-�,#�����#*���4<�,6�����&���,�(��<�,�-������→�∞3���AA�� -�B�� "��� �)� ��-�� &��"�,�� ��� +�&,"&4�,#��� ,6��&<� ,�� (�,�&-#��� ,6�� �+��(� �)���*�&�������)�,6�����6�&��,�&#�,#��3
�!"$"� � "��4%4
=�$$"�����$"�������� �����%�!��'�! � ���������,�� �� "� ����������"!���!#�
��"�#��� ���� "! # �� ������� �� ��!"�#�� �!#"� %� �"!�"'�!�� �� � ���(�!� 7�;�α�;��
�� ������ ������88���>��88�9�"-α����������"���!����(�!�α�;�δ�;����� ������ �����
�� �����$"$�� "��� 5��#!",����$"���� �����!����9���"-�@
6� ���� $"$�� "�� '� �"!� !� ���� � ��(�� ��!� ��!�� # '��� (�� '� �"!
!��9� MVrMVr|| || �?�"-δ�
�@
.� ����!�$!"�� � '��'����"��� ��#!"�$�!��# '���(��'� �"!���9�/�?�"-�%
�!""�%��&�-��&�+��#,#���'3 �A��6�*�
MP P MPkk
⋅ ⋅ →→∞
... 1
�&�+��#,#���>3%���,�4�#�6���,6�,�-�,&#@�� P ������#�,�(�A#,6�,6���"@#�#�&<��<�,�-�#�+&#-#,#*�3��6��!�)�&�����&������"�6!����⋅J⋅� �6��!��,�����,!�,6����-��+��#,#*����,&#������ P �A6#�6�#-+�#���,6�,����⋅J⋅� �A#��������4��+&#-#,#*�3
�&�+��#,#���>3%��������,�4�#�6�(�,6�,��2�,6����<-+,�,#���&�A,6�&�,���)�,6���"@#�#�&<�<�,�-� #��λG� 42� #,�� ��<-+,�,#�� �,�4��� �,&"�,"&�� #�� �#*��� 4<� *��,�&� MVr
MVr|| || G� ��(� �2� #,�
&�+&�("�,#*��*��"����&���#*���4<�*��,�&�/3#���!� )&�-� 1 2!�A��-�<� ����#(�&�-�,&#@����⋅J⋅� � ��� �� +�&,"&4�,#��� �)�� P !
"�#����1,�A�&,���(�"�!� ??9!�++3� /'���(�%>92�A��6�*�
λ λk
T TkT T k
k k
k k
l U M P P P MVr
l U MVrO M P P P
rMVr
MVrO M P P P
l Ul O M P P P
= + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −
= + ⋅ ⋅ −
= + ⋅ ⋅ −
( ... )(|| ( ... ) || )
|| ||(|| ( ... ) ||)
(|| ( ... ) ||)
11
2
1
1
1 %2
��A!�-�B#���"����)��6��&�-�>3'!� 2!�%2���(�'2�)����A3��,��,6�,�A��6�*��"��(�,6�����,#�"#,<��)�,6��(�,�+&�("�,�,��(�("���,6�,�
��������������� ������ ��� ��� %:?
l U M P P P MVr
l U MVro
T TkT T
k( ... )( )
⋅ ⋅ − =1 δ
����6�A�!�A�������4,�#�������,#��� #�)�&-�,#������,6����<-+,�,#��4�6�*#�&��)� ,6��&#�#���� �<�,�-� 1�&�A,6� &�,�!� �,�4��� (#�,",#��!� &�+&�("�,#*�� *��"��2� ,6&�"�6� ,6��,"(<� �)� ,6�� ���&���,�(� �<�,�-3� ��A� A�� #��"�,&�,�� ,6���� &��"�,�� A#,6� �� �"-�&#����@�-+��������������,&"�,"&�(�+�+"��,#���#����+�,�6<���*#&��-��,3
;3������������������ ������ �����������Q����� �����
�������#(�&���+�+"��,#���(#*#(�(�#�,��,A����������������(�(#�,",�(�4�,A����,A��+�,#���+�,�6��3��6��!�,6��+�+"��,#���*��,�&�#��
x x x x xt t t t tT= ( , , , ), , , ,1 1 1 2 2 1 2 2
A6�&���� ���#��,6���"-4�&��)�#�(#*#("�����)����� �,6�,��#*��#��+�,�6����,�,#-���3
��� ����#(�&� ,A�� +&�������� #�*��*�(� #�� ,6#�� -�(���� �� (�-��&�+6#�� ���!� ,6�,(�,�&-#����,6���"-4�&��)�4#&,6����(�(��,6��#�����6�,#-��#�,�&*��!���(���-#�&�,�&<����!,6�,�(�,�&-#���� ,6�� ,&���)�&������)� #�(#*#("����4�,A���� ,6�� ,A�� �+�,#��� +�,�6��3������"-��,6�,�-#�&�,#���#��)��,���-+�&�(�A#,6�(�-��&�+6<���(�A���6�����,6��+&�F��,#��#�,�&*��� �)� ,6��-�(��� ,�� 4�� ,6�� ���� �����#�,�(�A#,6� (�-��&�+6<3���� �"++���� ,6�,-#�&�,#�����,����,#-���4�)�&��(�-��&�+6<�(���3��!�(���,#���∆�����,6��,#-���,�+��)�,6�-#�&�,#���+&�����!�A����������#(�&� ,6�,����6�+&�F��,#��� #�,�&*����)� ,6��(�-��&�+6#�+&�����!� ���H�L�!�I 2!� #�� (#*#(�(� #�,�� � � �"4#�,�&*���� �)� ,6�� )�&-� ��!�H�L,�I�1�=� 2∆,!,�I�∆,2G��H� !333!�3
����"++����,6�,�-#�&�,#�����,�������#�����6�#�,�&*�����!���(�,6�,�#,�(�+��(������4",��,�����3��6��(�-��&�+6#��&�,����&������,��,� #�� ,#-�3���&����6�+�,�6!�(�-��&�+6<�#�(����(�4<�-�,&#����
Mf
s sM
f
s s1
2 1
1 1 2 1 2
2 2
1 2 2 2
0 0=
=
,
, ,
,
, ,;
A6�&���� ���#��,6��-�����"-4�&��)��))�+&#���+&�("��(�4<����#�(#*#("����)����� ��#*#����,+�,�6� �� 1,6�&�� #�� �� �#����� &�+&�("�,#*�� ���2� ��(� � ��� #�� ,6�� �"&*#*��� &�,�� )�&� ,6�#�(#*#("�����)����� ��#*#����,�+�,�6���3
�#�&�,#���4�,A����+�,�6��� ���(�%�#��(�+#�,�(�4<�,6��-�,&#���
Pp q
p qP
p q
p ql kl
l l
l ll
l l
l l
11 1
1 12
2 2
2 2
1
1
1
11=
−−
=
−−
=; ; , ...,
A6�&��$ �&�+&����,��,6��+&�+�&,#����)�#�(#*#("�����)����� �,6�,�-#�&�,��)&�-�+�,�6� �,�
+�,�6� %� ("&#��� ,6�� =,6� -#�&�,�&<� +�&#�(� 1��!23� �������"��<!� � � &�+&����,�� ,6�
+&�+�&,#����)�#�(#*#("�����)����� �,6�,�-#�&�,��)&�-�+�,�6�%�,��+�,�6� �("&#�����!3��,&#@���#��4���B=(#�������4���"���,6��-#�&�,#���+&������#������#(�&�(�#�,�&���!�#�
,6��������,6�,�#�(#*#("����(����,��6�����,6�#&�����������A6#���-�*#���)&�-�����+�,�6,�����,6�&3���&��*�&!�,6��4���B���)����&�����"-���,��6��,#��-�,&#���3��6#��#��("��,�,6��)��,�,6�,�,6��-#�&�,#���+&������#�������&*�,#*���)�,6��,�,����"-4�&��)�#�(#*#("���3
�6��!�,6��-�,&#����,6�,�(�����,6��(�-��&�+6#����(�,6��-#�&�,#���+&��������)�&,6��A6����+�+"��,#����&�!�&��+��,#*��<�
%09 ��� ������3
M
f
f
s s
s s
=
0 0 0
0 0 0
0 0
0 0
2 1
2 2
1 1 2 1
1 2 2 2
,
,
, ,
, ,
���(� P
p q
p q
p q
p q
l kl
l l
l l
l l
l l
=
−−
−−
=
1 0 0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
1
1 1
1 1
2 2
2 2
; , ...,
�6����-+��,���&#�#�����<�,�-�&��(�����)����A��
��I �H����⋅J⋅� ��3
��� ���"-�� ,6�,� ,6�� ��C"����� �)� -#�&�,#��� -�,&#���� ���*�&��� ,�� ,6�� )����A#��-�,&#@�
P
p q
p q
p q
p q
=
−−
−−
1 0 0
1 0 0
0 0 1
0 0 1
1 1
1 1
2 2
2 2
�)� ,6�� #�,�&*���� ��!� �&�� �-���� #�� ��-+�&#���� ,�� ��� 1#3�3!� #)� �� #�� ��&��2!� ,6�� �+�,#��(#�,",#����)�,6�� =���(�#�(#*#("����4�,A����,6��+�,�6��!�����4���++&�@#-�,�(�4<�,6�+&�4�4#�#,<���&-�(�&#�6,���&&��=�&�4��#"���#���*��,�&��)�4���B� �#���!�#3�3�
viq
p q
p
p q
Ti
i i
i
i i=+ +
( , )
������&���,��,6���<�,�-�A��(���,��,6�����4���*�&#�4����#��,6��)����A#���A�<�
y y yt t t= ( , )1 2
A6�&���� �&�+&����,��,6��,�,����"-4�&��)�#�(#*#("����#���&�"+� ��,�,#-���3
��� ,6�����&���,�(� �<�,�-�A���&�����"-#��� ,6�,� ,6��-#�&�,#���+&������ &���6��� #,��C"#�#4&#"-�)&�C"���#���A#,6#�����6�+&�F��,#���#�,�&*����)�,6���&#�#�����<�,�-���(!���!,6���+�,#���(#�,",#����)� =���(�#�(#*#("����#���#*���4<�*��,�&�' 3
�6�����&���,�(��<�,�-�&��(��
y Myt t+ =1 �A6�&��M
f q f p
p qs q s p
p q
s q s p
p q
=
++
++
++
02 1 2 2 2 2
2 2
1 1 1 1 2 1
1 1
2 1 2 2 2 2
2 2
, ,
, , , ,
��,��,6�,�A���*�&���(��*�&�,6���+�,#����,&"�,"&�!����A���4,�#����-�,&#@�A#,6����4��)�&,#�#,<���(��"&*#*���&�,���)�&����6����������3��6�����4���)�&,#�#,<���(��"&*#*���&�,����&�A�#�6,�(�-������)�,6��)�&,#�#,<���(��"&*#*���&�,���#�����6�+�,�6�A6�&��,6��A�#�6,���&�,6���C"#�#4&#"-�)&�C"���#����)�,6��-#�&�,#���+&�����3
��� ��*�� ��-�� �"-�&#���� *��"��� ,�� ,6�� +�&�-�,�&�� �)� ,6��-�(��� ��(� ��-+",�(��-�� �)� #,�� -�#�� �6�&��,�&#�,#��!� �"�6� ��� �&�A,6� &�,�� �&� ��<-+,�,#�� +�+"��,#���,&"�,"&�3� ��� ����� 4"#�,� ,6�� ���&���,�(� �<�,�-� ��(� �4,�#��(� ,6�� ��&&��+��(#���++&�@#-�,#���3����A�&��+�&,#�"��&�<� #�,�&��,�(� #�� #��"�,&�,#��� ,6�����"&��<��)� ,6����++&�@#-�,#����#��&���,#���,��,6��*��"���)��3
�#&�,!�A���"++���(�,6�,�,6��+&�+�&,#����)� =���(�#�(#*#("����-#�&�,#���)&�-�+�,�6�%,��+�,�6� ��6������#�����6�-#�&�,�&<�+�&#�(�������(�,��(�!�A6����→�∞!�,��930;�
� �H�930;�U� V1 �I�2
��������������� ������ ��� ��� %0
�#�"&�� ��6�A��6�A�,6���&�A,6�&�,���)�,6���&#�#�����<�,�-�1�2����*�&����,��,6�,��),6�����&���,�(��<�,�-�1I2�A6�����#��&�����3
������ �3� ��*�&������)� ,6�� �&�A,6� &�,�3��&�-�,�&� *��"��� �&����% � H � 9 3 ; ! � � �
%%�H�%!� �H�93?!� �
% � H � 9 3 : !�% �H�93;!� �
% % � H � 9 3 !$ �H �9 30 ! � �
�H�930;= V 1 I 2!� $
%�H�93>!�%�H�93;;3� �6�� �<-4���
�-+��<�(� �&�� WIX� )�&� ,6��&�A,6� &�,���#*���4<� ,6����&���,�(� �<�,�-� ��(W�X�)�&�,6�,���&&��+��(#��,��,6���&#�#�����<�,�-�)�&���6�*��"���)��3
����(�<!�A������#(�&�,6�������A6�&��
� �H�930;�U� V%
)�&�A6#�6!�� �,��(��,��930;�-"�6�)��,�&�,6���#��,6��+&�*#�"������3��#�"&��%��6�A��,6�,
A����6#�*�����(��++&�@#-�,#���� �*��� )�&� ��A�*��"����)��3� �6��&�-�>3'� +&�*#(��� �,6��&�,#�����@+����,#����)�,6#��)��,3
������ 3� ��*�&������)� ,6�� �&�A,6� &�,�3<-4���� WIX� ��(� W�X� �&�"��(����#���#�"&�� 3
�#�"&��'�(�+#�,�!� #�� ,6#�� ��,,�&�����!� ,6���*��",#����)� ,6��+�+"��,#����,&"�,"&���*�&,#-�3� �,��6�A�� ,6�,� ,6����<-+,�,#��+&�+�&,#�����)� #�(#*#("���� #�� ,6��(#))�&��,��&�"+�!��-+",�(�4<�"����)�,6���&#�#�����<�,�-�1�2�4���-�������&���(������&�,��,6��������)�,6����&���,�(��<�,�-�1I2������#��&�����3
%0% ��� ������3
������ �3� ��*�&������) � ,6� � +�+"��, #���,&"�,"&�3� �6�� �"-�&#���*��"��� �&�� ,6���� �)�#�"&�� 3������������ ,6�+&�+�&,#��� �)� <�"��� #�+�,�6� � 1Q 2!� <�"��� #�+�,�6�%� 1Q%2!� �("�,� #�+�,�6� �1� 2���(��("�,�#�+�,�6� %� 1�%23� �6��<-4���� �-+��<�(� �&�WIX� )�&� ,6�� ���&���,�(�<�,�-� ��(� W�X� )�&� ,6��&#�#�������3
:3� ���� ��6�� ���&���,#���-�,6�(� +&����,�(� 6�&�� ����A�� ���� ,�� &�("��� �� ��-+��@� �<�,�-
A#,6�,A��+&����������,#����,�(#))�&��,�,#-���������,�����<�,�-�A#,6�����A�&�(#-���#��3�6�� *�&#�4���� A6#�6� ��*�&�� ,6�� ���&���,�(� �<�,�-� �"--�&#$�� ,6�� #�)�&-�,#��
���,�#��(� #�� ,6�� �,�,�� *�&#�4���� �)� ,6�� �&#�#���� �<�,�-3� �6�� +�&�-�,�&�� �)� ,6����&���,�(��<�,�-��������#�<�4���@+&����(����)"��,#�����)�,6��+�&�-�,�&���)�,6�����A(<��-#�����(�,6���C"#�#4&#"-�)&�C"���#����)�,6��)��,�+&�����3
�6��-�#��+�#�,��)�#�,�&��,��)�,6#��,��6�#C"��#��,���4,�#�����(��++&�@#-�,#�����)�,6����-��,�� ��*�&�#��� ,6�� ��<-+,�,#�� 4�6�*#�&� �)� ,6�� �&#�#���� �<�,�-!� �"�6� ��� ,6���<-+,�,#�� �&�A,6� &�,�� �&� ,6�� �,�4��� +�+"��,#��� �,&"�,"&�!� )&�-� ,6�� �,"(<� �)� ,6����&���,�(��<�,�-3��6�����"&��<��)�,6���++&�@#-�,#����(�+��(�����,6��&�,#��4�,A���,6���6�&��,�&#�,#��,#-����������)�,6�����A���(�,6��)��,�+&�������3
"&����,",#���#��������&��#$�,#����)�+&�*#�"��A�&B��1.��6�$����3!� ??;2�,��,6������A6�&��)��,�(<��-#��� #������A�(�,��*�&<����6� ,#-�� #,����"&�3�������&���,�� ,6���-�(���� A�� 6�*�� -�(�� ,6�� +�&�-�,�&�� (�)#�#��� ,6�� )��,� +&������ ,��(� ,�� ��-��C"#�#4&#"-�*��"��!� #3�3!�A�����(���*#&��-��,������(#,#����&���,�(�,��,6��)��,�+&�����,6�,� 4���-�� �,�4��� #�� ,6�� ����=,�&-3� ��� �,"(#�(� ,6�� &���,#���6#+�� 4�,A���� ,6����&���,�(� ��(� ,6�� �&#�#���� �<�,�-�� #�� ,6�� �",���-�"�� ����!� A6�&�� +�+"��,#��+�&�-�,�&�� (�� ��,� (�+��(� ��� ,#-�!� ��(� A�� ����<$�(� �� �"-�&#���� �@�-+��� �)� �-"�,#&��#��������=�,&"�,"&�(�-�(��3��������&��!�#)�,6��-#�&�,#���+&������#���"))#�#��,�<)��,� #�� ��-+�&#���� ,�� ,6�� (�-��&�+6#�� +&�����!� ,6�� ���&���,�(� �<�,�-� �#*��� ���(�++&�@#-�,#�����)� ,6����<-+,�,#��4�6�*#�"&��)� ,6��-#�&��<�,�-!� ,6�����"&��<��)� ,6��++&���6� 4�#��� (�+��(��,� ��� ,6�� �+��(� A#,6� A6#�6� ,6�� )��,� +&������ &���6��� #,��C"#�#4&#"-3
���,6�������(�+�&,��)�,6#��+�+�&�A��A#���(����A#,6�,6�����=�",���-�"�������A6�&�4�,6!�,6�����A�(<��-#�����(�,6��)��,�(<��-#��!��&������A�(�,��*�&<�A#,6�,#-�3����,6�)#&�,�+����!�A��+&����,������=�",���-�"��-�(���A#,6�,A��,#-�����������(�+&����(��,,6#��&�("�,#��3���&��*�&!�A���,"(<�,6��&���,#���6#+��4�,A����,6���&#�#�����<�,�-���(,6�����&���,�(��<�,�-�#��,A��������&���&(#���,6��B#�(��)���*#&��-��,���*�&#�,#����#�,6��)#&�,�����A���6�������"-��,6�,�+�+"��,#���#���))��,�(�4<���*�&#�4�����*#&��-��,�,6�,
��������������� ������ ��� ��� %0'
,��(�� ,�� ��� �C"#�#4&#"-� ��(� �,"(<� ,6�� &���,#���6#+�� 4�,A���� ,6�� +&�+�&,<� �)� �,&����&��(#�#,<�)�&�,6���&#�#������(�,6�,�+&�+�&,<�)�&�,6��&�("��(��<�,�-3����,6�������(����!A���6��������#(�&�,6��������)�������&���,�-+�&���*�&#�,#�����(�"�(�&,�B��,6���,"(<��),6��&���,#���6#+��4�,A����,6��A��B��&��(#�#,<��)�4�,6��<�,�-�3
�������Y
�!""��"���!"$"� � "��.%�
��,�"������#(�&�,6��)����A#����<�,�-�
���H�����=
�6�� ��C"����� O��P� ���*�&���� ,�� �� +&#-#,#*��-�,&#@� ��(� ���6�-�,&#@� #�� ���"-�=����A�4��� 1#,� 6��!� �,� ����,!� ���� +��#,#*�� ��,&<� #�� ���6� ���"-�23��&�-� 1���,�!� ?/ !++3�?:2�A��(�("��� ,6�,� ,6�� �<�,�-� #�� �,&����<��&��(#�3��6���A��6�*�� )�&� ��<� #�#,#��*��,�&��9�
lim || ||k
xxk
kv
→∞=
A6�&��RR'88�≡� �'�9��3
#����,6��-�,&#�����&���,��6��,#��A��6�*��RR��RR�H�RR�9RR�)�&����6��!����lim limk k→∞ →∞
⋅ ⋅ = =P P x x v xk k... || ||1 0 0
A6�,�*�&��9�#�3�#����<!���,��,6�,�
lim lim limk k k→∞ →∞ →∞
⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅P P P Pe P Pek k k p... ( ... | | ... )1 1 1 1
A6�&��O� !J!�$P��&��,6��*��,�&���)�,6�������#����4�����)��$3���A�
lim k→∞
⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ =P P v e v e v vk p... ( || || | ... | || ||) ( | | )1 1 '��%
�!""��"�����"!���4%.
#���� ����-�,&#@���&-�� �&�� �C"#*����,�A�� ����"��� ��<��)� ,6�-3����A#��� "��� ,6�
=-�,&#@���&-!� #3�3!� || || max | |,...,
A aj n
iji
n =
= =∑1 13���� 6�*�� ,6�,� || ( ... ) ||M P P Pk ⋅ ⋅ −1 � K
|| || ( ... )M P P Pk ⋅ ⋅ −1 ���(� ( ... )P P Pk ⋅ ⋅ −1 �K� || ( ... ) || || ||P P P P Pkk k⋅ ⋅ − + −1 3
��� .��6�$� ��� 3!� 1 ??;2� ,6�� �",6�&�� +&�*�(� ,6�,� #)�λ%�K�γ�K� !� A6�&��λ%� #�� ,6��"4(�-#���,� �#���*��"�� �)� ,6�� -�,&#@� � !� || || ( )P P ok k− = γ � ��� A�� ���<� ���(
(�-���,&�,�����-�,&#�����*�&������ || ... ||P P Pkk⋅ ⋅ −1 3
#���� ���� ,6��-�,&#���� �&�� 4���B�(#������� ��(� ,6�� (#-���#��� �)� ,6�� =,6� 4���B� #���A�<��� ��� !�A������&��,&#�,��"&��,"(<�,��,6�����*�&�������)����#�����4���B3���,�A��(�A��4��,6�� =,6�4���B���)�����(��!�&��+��,#*��<3����A��,�,���,"(<�,6�����*�&������)� || ... ||Q Q Qk
k⋅ ⋅ −1 3���6�*�� ,6�,�A� #�� +&#-#,#*�!� ��� ,6�� �&��(#�#,<����))#�#��,�1�#&B6�))T�����,&��,#��
���))#�#��,!�����1���,�!� ?/ 22��)�#,��+�A�&��*�&#)#��� τ BkQ( ) → 0 3��6�&�)�&��A�����
�6��������"-4�&��9��"�6�,6�,
%0> ��� ������3
τ β αBkQ( )0 = < 1 '2
�6#��6�++����)�&�����4���B���)������A�������6������9��"�6�,6�,�1 '2�#��*�&#)#�(�4<�*�&<� 4���B3� ��� (�)#��� εk kQ Q≡ − || || 3 � ���&�<� ε αk
ko= ( ) !� �#���
|| || ( )P P okk− = α 3
��A!�,�B#���#�,������"�,�,6�,�RRA88�9� �1�#������#�����"-���,��6��,#�2�
d Q Q Q Q Q QQ Q
QQ Q Q
Q Q Q Q Q Q Q Q
Q Q Q
k kk
k k
kk
k k kk
k k
≡ ⋅ ⋅ − ≤ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ −
− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −
≤ + ⋅ ⋅
−
−
− −−
−
=
|| ... || || ... ... ||
|| ... ||
|| || || || ... || || || ( ... ) ||
|| ( ...
1 1 1 1
1 1
1 1 1 11
1ε 11 2 1 2 11
1 2 1
22 1
2
1 10
− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −+ − ⋅ ⋅ +
⋅ ⋅ −
≤ ⋅ ⋅⋅ ≤ + + ⋅ ⋅ ⋅ + +
− −−
− −
−−
− − +
QQ Q Q QQ Q Q
Q Q Q Q Q
Q Q Q Q
k kk
k k k
kk
k k k k
... ) || || ( ... ) ||
|| || || || || || ... || ||
|| ( ... ) ||
||
=
ε
ε ε ε QQ Q Q Qkk k
k k0
0
01( ... ) || .−
−⋅ ⋅ −
1 >2
��,� �� ��(��� 4�� +&�4�4#�#,<� *��,�&�3� ��� ���,�� 1 ?/ 2� #,� #�� +&�*��� ,6�,!� #)�A� #�� ����"-���,��6��,#��-�,&#@!�,6��� || ( ) || ( ) || ||Q x y Q x yB− ≤ − τ 3���A!� #)�����(�&��&�4�,6��,��6��,#��-�,&#����
|| ( ) || max || ( ) ||,...,
Q A B Q a bi p
i i− ≤ −=
1
A6�&�� ���(�( ��&��,6�� =,6����"-����)�����(�&!�&��+��,#*��<3���6���|| ( ) || ( ) max || || ( ) || ||
,...,Q A B Q a b Q A BB
i pi i B− ≤ − = −
= τ τ
1
��� �� +&�("�,� �)� ���"-�� �,��6��,#��-�,&#���� #�����,6�&����"-���,��6��,#��-�,&#@!Q Qk k− ⋅ ⋅
0 1... ���(�Qk k− 0 ��&��4�,6����"-���,��6��,#��-�,&#���3��6���
|| ( ... ) || ( ) || ... ||Q Q Q Q Q Q Q Q dkk k
k kB
kk k
k kk k
0
0
0 0
0
0
01 1−−
−−
−⋅ ⋅ − ≤ ⋅ ⋅ − =τ β
��&��*�&�
ε εl kl k k
k
k≤ ⋅= − +∑ 0
10
*
A6�&� ε εk l l k k k* max{ : ,..., }= = − +0 1 !����A��6�*�!�)&�-�1 >2�
d k dk k k k≤ ⋅ + −0 0ε β* 1 ;2
��������@+&������#��,6��)����A#���)�&-����H�$�9�I���A6�&��$�#������*����"-4�&���( �K���K�%�9�1��,"���<�������4������#(�&�(������-�("�"��%�93
�6��!��++�<#���1 ;2�&��"&�#*��<�A���4,�#��
d k dk k k k k k k p kp p
q≤ + + + ⋅ ⋅ ⋅ + +− − − −−
0 22
11
0 0 0( )* * *
( )*ε ε β ε β ε β β 1 :2
���6�*�����K��S�≡�-�@O�����H� !%!333!%�9�U� P���(� pk qk= −
03��6���
��������������� ������ ��� ��� %0;
βα
ββα
pq
kk
qk
dd
kk
qk
0
0 0 0= →−
→∞( )
���,6�����,�,�&-��)�1 :2�#��1αkk0 23
��A�A��)��"�����,6��)#&�,�,�&-3��,�����4���@+&����(�#��,6��)����A#���A�<�
k pk q p k q p k q k qp
0 1 22 1
0 0 0 0( )*
( )*
( )* *ε ε β ε β ε β+ − + − + +
−+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 02
���6�*�!�4<�6<+�,6��#�!� ε αkko= ( ) 3��6��!�"�#�����--��:3 !� ε ε αk
i ki
ko* sup ( )≡ =≥
��(� ,6#�� #�� �� -���,���� ���=#��&���#��� ��C"����� ��� ��<� �"4��C"����� εkl* � *�&#)#��
ε αkl
lo* ( )= 3� �6��!� )�&� �#-+�#�#,<� A�� A#��� (���,�� η εl lk q= +0
* � ��(� A�� B��A� ,6�,
η αllo= ( )3� ��A� 1 02� ���� 4�� �@+&����(� ��� k p p p
p0 1 2
21
1( )η η β η β η β+ + + ⋅ ⋅ ⋅ +− −−
A6#�6�����4���+�#,�#�,��,A��,�&-��
k
k
k
p pp
p
p
p
p
p
pp
p
k qk
k qk k q
k
0 1 1
11
1
0 1 1
0 1 1
2
2
2
2
2
22
2
2 0
2 02 0
1
1
1
1
1
1
1
( )
( )
(
η η β η β η β η β
η ββ
η β ββ
η ββ
η β
+ + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ +
≤ −−
+ −−
= −−
+ −
− +− −
+
+−
−− ββ
βα
k qk k
ko
−
−=
2 02 0
1) ( )
��A�������"(��� d ok
kk= ( )α 2 0 3�#���� ,6#�� #�� ,&"��)�&� ,6�� =,6�4���B!�A6�,�*�&� �#�!
A�� (�("��� ,6�,� || ... || ( )P P P okk
kk⋅ ⋅ − =1
2 0 α 3� �#����<!� #)� δ� #�� �� �"-4�&� �"�6� ,6�,
max{ , }α λ δ1
2 02 1k ≤ < !�,6���
|| ( ... ) || || ... || || ||M P P P P P P P Pkk
kk
k
k
k k
⋅ ⋅ − ≤ ⋅ ⋅ − + − →→∞
1 1 0δ δ δ
��#,�6���4����+&�*���,6�,� || ( ... ) || ( )M P P P okk⋅ ⋅ − =1 δ 3
�����B%�
������(��������� ��"���"���#� '�����(�!�����7�;�γ�;��%�����3
aa
kk k
ll kkγ γ
→ ⇒ →→∞
≥0 0sup
�&��)3
��&�����ε�Z�9!��9��@#�,���"�6�,6�,!�#)� k kakk≥ <0 ,
γε 3��6�&�)�&�!�#)���Z��9�
supsup{ , , , ...} sup{ , , , ...}
sup{ , , , ...}a
a a all kk
k k kk
k k k
k≥ + +
+ += ≤ = =
γ γεγ εγ εγ
γε εγ εγ ε1 2
1 22 3
%0: ��� ������3
�[� �����������-�� �)� ,6�� �",6�&�� �&�� +�&,#���<� �"++�&,�(� 4<� �&�<��,�� (�� ��*��,#���#\�
��?/=909%�1+��#�6��3�3323
���������"��&!��3���(��3��&�*��(�� �����&&��1%99923���,6�(���)����&���,#����)�*�&#�4����#��+�+"��,#��
(<��-#��3��-+,������("��(���X���(7-#��(����#�����!��#������(�����*#��'%'��::;=:0>3�"��&!��3� ��(� 833�����#����1 ??:�23��-�&�������)�+�+"��,#����&�A,6�-�(�����)��,�-#�&�,#��
��(����A��&�A,63�8�"&�����)��6��&�,#�����#����<� /%��??= 9/3�"��&!� �3� ��(� 833� ����#���� 1 ??:423����&���,#�����(��-�&������ #��6#�&�&�6#����<��&���#$�(
�<�,�-���+�+"��,#���(<��-#��3���,���#�,6��&�,#���>>��'9 =' :3�"��&!��3���(��3���"���&#�� 1 ??>23��-+��@�������#����-�(����A#,6� �#-+���(<��-#�����&�-
#�(#*#("����,��+�+"��,#���3���,���#�,6��&�,#���>%�� = ':3��&-��!� �3� ��(� �383� ���--���� 1 ?0?23��������,#*��-�,&#���� #�� ,6��-�,6�-�,#���� ��#�����3
���(�-#���&���!�����#���3�&�*�� (�� ��� ��&&�!��3� ��(��3� .��6�$� 1 ??/23����&���,#���-�,6�(�� #�� +�+"��,#��� (<��-#��
(#��&�,��-�(���3���,6�-�,#������(��-+",�&���(���#���%0��%'='?3�&�*��(�������&&�!��3!��3�.��6�$!� 3��&#�����(��3��"��&�1 ???23��#��&�,��-�(���A#,6�(���#,<
(�+��(��,�)��,�-#�&�,#��3���,6�-�,#�����#���#������ ;0��? = 9?3��A���!� �3� 1%99 23� ��,&#@� +�+"��,#��� -�(���3� #��"�&� �����#�,��� ���3� "�(�&���(!
������6"��,,�36�&���A�&,6!��3�1 ??>23��*��",#���#�����=�,&"�,"&�(�+�+"��,#���3��-4&#(�����#*�&�#,<��&���!
�-4&#(��3�'9:++3�6��!�83�3�1 ?0?23��&��(#��,6��&�-��#��(�-��&�+6<3��"���,#���)� ,6���-�&#������,6�-�,#���
��#�,<� ��%0;=%?;3��F���!� 83� 1 ?0:23� �� +&�("�,�� �)� ���=����,#*�� -�,&#���3���,6�-�,#���� �&����(#���� �)� ,6�
�-4&#(����6#����+6#������#�,<�0?��;% =;'93�A���!�Q3!��3���(&��������(�3�3���*#�� 1 ?/023����&���,#��� #��-�(�������<�,�-���3���&)��,
���&���,#��3�������#������(���#���'0��%/0='9%3�A���!� Q3!� 3�3� ��*#�� ��(� �3� ��(&������ 1 ?/?23� ���&���,#��� #�� -�(��� ����<�,�-�� ��3
�++&�@#-�,�����&���,#��3�����8�"&�����)���,6�-�,#����++�#�(�#����(#�#�����(��#����<�:� =%'3
����#���!� 833!� ��(� �3� �"��&!� 1 ??;23� ���,� ���#���,#���-#�&�,#���� #�� �� +&�<=+&�(�,�&� -�(��!��,6�-�,#������(������(���,6�(��#���++�#�(��#������:��% 0=%%:3
.��6�$!��3!��3��&�*����(��3��"��&�1 ??;23��#���&�(#��&�,��-�(����A#,6�(#))�&��,�,#-��������3��,���#�,6��&�,#���>'��>:;=>0?3
��$!� �3� ��(� �3� �&�*�� (�� ��� ��&&�� 1 ??/23���&#�4���� ���&���,#��� #�� ,#-�� *�&<#��� (#��&�,��<�,�-�3���,���#�,6��&�,#���>:��%0'=%?03
��$!��3���(��3��&�*��(�������&&��1 ???23���&#�4�������&���,#���#����,#-��(#��&�,���#���&�-�(��3��,6�-�,#�����#���#������ ;0�� = >:3
��$!� �3� ��(� �3� �&�*�� (�� ��� ��&&�� 1%99923� �#-�� ������� #�� �,��6��,#�� -"�,#&��#�����-�(���3����#���&�����<�#����������&�(��++�#��,#���� ��/?= %%3
��$!� �3� ��(� �3� �&�*�� (�� ��� ��&&�� 1%99 23��#-�� ������� #�� �� ���� �",���-�"�� �#���&� (#��&�,�-�(��3���,6�-�,#������(������(���,6�(��#���++�#�(��#�����3�1����+,�(2
���,�!��3�1 ?/ 23����=����,#*��-�,&#������(���&B�*��6�#��3�+&#���&���&���!���A�Q�&B3#-��!��3��3���(��3���(��1 ?: 23����&���,#����)�*�&#�4����#��(<��-#���<�,�-�3������-�,&#��
%?�� = ';3,�A�&,!� �3�3� ��(� 83�=�"���� "�� 1 ??923���,&#@� +�&,"&4�,#��� ,6��&<3� ���(�-#�� �&���!� ��
�#���3