Linear Discrete Population Models with Two Time Scales in Fast Changing Environments I: Autonomous...

16
Acta Biotheoretica 49: 261–276, 2001. c 2001 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

Transcript of Linear Discrete Population Models with Two Time Scales in Fast Changing Environments I: Autonomous...

��������������� ������ ��� ���������� ����������������������������� ������������ � � ����

������������ !��"#����$%!��#�&&���"��& !'���(��)�����&�*��(�������&&�

��+�&,�-��,�� (����,�-.,#���!���#*�&�#(�(� (�������.!� %//0 � �����.� (�� ����&��!1��(&#(2!�+�#�3��3-�#��������34�����5"�63���1��&&��+��(#����",6�&23%��+�&,�-��,�� (�� ��,�-.,#���!� �3�33�3� ��("�,&#����!� ��#*�&�#(�(� ���#,7��#��� (���(&#(!�8��7��",#7&&�$��4�����!�%!�%/99:���(&#(!�+�#�3'�3�3�3�3�3�33�;;;/!���#*�&�#,7���"(����&��&(��<��= !� >'���"�3� ���*�-4&� ? /!�:?:%%��#���"&4������(�@!��&����3

���������,6#��A�&B�A������#(�&����,&"�,"&�(�+�+"��,#���A#,6��&�"+����(��"4�&�"+���)�#�(#*#("���3

�6��#�,&�=�&�"+�(<��-#���#�����"-�(�,��4��)��,� #����-+�&#����A#,6�,6��#�,�&=�&�"+�(<��-#��3����,"(<��#���&�(#��&�,��-�(����A6�&��,6�����A�(<��-#���#��&�+&����,�(�4<����#�����-�,&#@���(,6�� )��,� (<��-#��� #�� (���&#4�(� 4<� -����� �)� ,6�� )#&�,� �� ,�&-�� �)� �� ���*�&�#��� ��C"����� �)(#))�&��,�-�,&#���3��6���"-4�&�������4��#�,�&+&�,�(����,6��&�,#��4�,A����,6��,A��,#-��������3

�6�� �#-� �)� ,6#�� A�&B� #�� ,�� �@,��(� ���&���,#��� ,��6�#C"��� ,�� ,6�� ����� �)� )��,� �6���#����*#&��-��,�3��6��-�#��#(����)����&���,#���#��,��4"#�(�"+�����A��<�,�-!�A#,6���A�&�(#-���#��!,6�,��"--�&#$���,6��#�)�&-�,#��������&�#���,6��)��,�+&�����3��6#��D���&���,�(E��<�,�-�+&�*#(�������,#���#�)�&-�,#������,6���&#�#�������3��,�#���6�A��,6�,�,6����<-+,�,#��4�6�*#�&��)�,6���&#�#����<�,�-�����4���++&�@#-�,�(�4<�,6����<-+,�,#��4�6�*#�&��)�,6�����&���,�(��<�,�-�A6���,6��&�,#�4�,A����,6��,A��,#-���������#����&������"�63

��� +&����,� ��� �@�-+��� �)� ��� ���� �,&"�,"&�(� +�+"��,#��� #�� �� +�,�6<� ��*#&��-��,3� �6�-#�&�,#���+&������#�����"-�(�,��4��)��,�#����-+�&#����A#,6�,6��(�-��&�+6#��+&�����3��"-�&#����#-"��,#���� #��"�,&�,�� ,6�,� ,6�� ��<-+,�,#�� �&�A,6� &�,�� ��(� ,6�� �,�4��� ���� (#�,&#4",#��� �)� ,6�+�+"��,#���#��,6���&#�#������(�,6�����&���,�(��<�,�-���&����,,#��������&����,6��&�,#����#��&�����3

3����� ���� ���,6�-�,#���� -�(���� �-+��<�(� #�� ������<� "�"���<� #�*��*�� �� ��&��� �"-4�&� �)

*�&#�4���3���&� #��,����!� #�� �,&"�,"&�(�+�+"��,#���-�(����A��-�<������#)<� #�(#*#("���&���&(#��� ,6�#&� ���!� �#$�!� ��,#*#,<� �&� ����,#��� 1��A���!� %99 2!� &��"�,#��� #�� 6#�6(#-���#�����-�(����A6#�6� �&�� �#B��<� ,�� 4�� (#))#�"�,� ,�� �,"(<� ����<,#����<3� �6�� ���<�*�#��4��� ,��6�#C"�� )�&� ,6�� �,"(<� �)� ,6���� �<�,�-�� #�� ��-+",�&� �#-"��,#��!� A6#�6-�B��� #,� #-+���#4��� ,�� �*��"�,�� ,6�� &�4"�,����� �)� ,6�� &��"�,�3� ���,� �)� ,6�� �#-+��-�(���!� A6#�6� �&�� -�,6�-�,#����<� ,&��,�4��!� (�� ��,� ,�B�� #�,�� ����"�,� �����,#��#�)�&-�,#����4�",�,6��#�,�&�����,&"�,"&���)�,6��+�+"��,#��3��&�C"��,�<!�,6���#-+�#)<#�����"-+,#���!�"+���A6#�6�,6���<�,�-�#��4���(!��&����,��(�C"�,��<�F"�,#)#�(3

�6����=�����(����&���,#���-�,6�(��(���&#4������&�����-+��@��<�,�-��,6�,�����4��,"(#�(� �++&�@#-�,��<� )&�-� �#-+��&� ����3� �6��A�&(�� ��-+��@� ��(� �#-+��� &�)�&� ,�

Acta Biotheoretica 49: 261–276, 2001.c©2001 Kluwer Academic Publishers. Printed in the Netherlands.

%:% ��� ������3

��&�����(��-�����"-4�&��)�*�&#�4���!�&��+��,#*��<3��6��+&�+�&,<��)�,6�����<�,�-��,6�,����A��,6�#&����&���,#���#��,6���@#�,������)�,A���&�-�&��(#))�&��,�,#-��������3

��,"&���))�&��-��<��@�-+�����)� �<�,�-��A6�&�� ��*�&��� �*��,�����"&� �,�(#))�&��,,#-�� ������3� �,� #�� ,6��� �� ��--��� +&��,#��� ,�� ����#(�&� ,6���� �*��,�� ���"&&#��� �,� ,6�)��,��,� ������ ��� 4�#��� #��,��,����"�� A#,6� &��+��,� ,�� ,6�� ���A�&� ����3� ��(�&� ��-���,"&��� ���"-+,#���� A�� A#��� 4�� �4��� ,�� (���&#4�� ,6�� �*��",#��� �)� ,6�� +�+"��,#��,6&�"�6���&�("��(��"-4�&��)�*�&#�4���3����"4��C"��,�#��"��#��,��(�,�&-#���6�A�)�&�,6�&��"�,�� �4,�#��(� )&�-� ,6�� &�("��(� �<�,�-� �&�� )&�-� ,6�� &���� ����3� ��,� "�� ,6#�B� �)� �6#�&�&�6#����<��,&"�,"&�(��<�,�-�(#*#(�(� #�,���"4�<�,�-�� ,6�,��&�����A�<���"+��(�4",�@6#4#,#��� �� )��,� #�,�&���� (<��-#��3� �6�� #(��� �)� ���&���,#��� #�� ,�� �6����� �� ���4��*�&#�4��!���-�,#-�������������(�-��&�*�&#�4��!� )�&����6��"4�<�,�-���(� ,��4"#�(�"+��&�("��(��<�,�-�)�&�,6�������4���*�&#�4���3��6��&�("��(��<�,�-!��&����&���,�(��<�,�-!-"�,�&�)���,�4�,6�(<��-#��!� ,6��������&&��+��(#���,��,6��)��,� ,#-����������(�,6�������&&��+��(#��� ,�� ,6�����A� ,#-�������3��6�����A�(<��-#����)� ,6������&��� �<�,�-!� ,6�#�#,#��� ��-+��@� ���!� "�"���<� ��&&��+��(�� ,�� ,6�� (<��-#��� �)� ,6�� &�("��(� �<�,�-!-���A6#��� ,6��)��,�(<��-#����)� ,6������&����<�,�-�#��&�)���,�(�#�� ,6�����))#�#��,���),6�� &�("��(� ���� #�� �"�6� �� A�<� ,6�,� #,� #�� +���#4��� ,�� �,"(<� #�)�"������ 4�,A���� ,6�(#))�&��,�6#�&�&�6#������*���3

���&���,#��� -�,6�(�� A�&�� #�#,#���<� �++�#�(� ��� *�&<� (#))�&��,� )#��(�� �"�6� ���",�-�,#�����,&����&������-<�1#-�����(���(�!� ?: 2���(!� ��,�&!�������<�1�A������3!� ?/023��)�,6������#�,���<�4�,A����,6��(<��-#����)�,6��*�&#�4����#��,6���&#�#������(,6�����&���,�(��<�,�-�#�����<��++&�@#-�,��A��&�)�&� ,��#,�����++&�@#-�,�����&���,#��1�A�������3!� ?/?23

�++�#��,#�����)��++&�@#-�,�����&���,#���,��������<�6�*��4����A#(��<��,"(#�(�)�&4�,6� �#���&���(�(���#,<�(�+��(��,�-�(���� #�� ,6�����,�@,��)����,#�"�"�� ,#-���<�,�-�1�"��&���(���"���&#�!� ??>G�����#������(��"��&!� ??;G��"��&���(�����#���!� ??:�! ??:4G��"��&���(��&�*��(�������&&�!�%9992���(�(#��&�,���<�,�-��1.��6�$����3!� ??;G�&�*��(�������&&����(�.��6�$!� ??/G���$���(��&�*��(�������&&�!� ??/!� ???!�%999!%99 G��&�*��(�������&&�����3!� ???23

���,6#��A�&B�A��(�*���+����&���,#���-�,6�(��)�&�,#-��(�+��(��,�(#��&�,���<�,�-����,#�"#���,6��A�&B�#�#,#�,�(�4<���$���(��&�*��(�������&&��1 ??/!�%99 23��6���,"(<�)� ���� �",���-�"�� �#���&� (#��&�,�� �<�,�-�� �&#���� #�� +�+"��,#��� (<��-#���A6��� ,6�,#-��(�+��(������)�(�-��&�+6#���&�-#�&�,#���+�&�-�,�&��#������#(�&�(G�)��,�&���)�,6��@,�&������*#&��-��,�A6#�6��))��,��"&*#*��!�)��"�(#,<��&�(#�+�&����-�<�*�&<��*�&�,#-�16�&���A�&,6!� ??>G���A���!�%99 23

�6��,#-��(�+��(��,�(#��&�,���<�,�-��,&��,�(�4<���$���(��&�*��(�������&&��1 ??/!%99 2� #���"(�� ,A�� +&�������� ,�B#��� +����� �,� (#))�&��,� ,#-�� ������� ��(� ,6���*#&��-��,���*�&#�,#����)�,6��-�(���+�&�-�,�&����,���,�,6�����A�,#-�������!�#3�3�#,�A������#(�&�(�,6�,�("&#��������A�,#-��"�#,�,6��+�&�-�,�&��(�)#�#���,6��)��,�+&������(����,�6����3� �6�� �#-� �)� ,6#�� A�&B� #�� ,�� �@,��(� ,6#�� )&�-�A�&B� #�� �&(�&� ,�� #���&+�&�,���*#&��-��,���*�&#�,#����)�,6��)��,�+&�������,�#,���A��,#-�������3

�6�� #(��� �)� #�,&�("�#��� ,A�� ,#-�� ������� #�� �� (#��&�,��-�(��� #�� ,�� ��,�4�#�6� ,6��<�,�-�,#-��"�#,����,6�����������#�,�(�A#,6�,6�����A�+&�����3��!�#�����6�,#-��"�#,!�,6����A�+&��������,�������A6#���,6��)��,�+&��������,������&,�#���"-4�&��)�,#-��3��,�&�"�6�<&�+&����,��,6��&�,#��4�,A����,6��,A��,#-��������3� "&�-�(�������A��,6��)��,�+&������,�*�&<����6�,#-��#,���,�������������A�,#-��"�#,3��6��+�+�&�#��(#*#(�(�#�,��,A��+�&,���,6�

��������������� ������ ��� ��� %:'

)#&�,� ���� #�� (�*�,�(� ,�� ,6�� ����<�#�� �)� ,6�� �",���-�"�� ����� ��(� ,6�� �����(!� ,�� 4�+"4�#�6�(�#������@,�#��"���)�,6#��F�"&���!�A#���(����A#,6���-�����=�",���-�"�������3

��� ��,#���%� A�� #�,&�("��� ,6�� �&#�#���� -�(��3� �,� #�� �� ����&��� ,#-�� (�+��(��,(#��&�,���<�,�-� #���"(#��� ,A��+&�������� ,6�,� ,�B��+������,�(#))�&��,� ,#-��������3��6����A�(<��-#��� #��(���&#4�(�4<�-������)�������&������=����,#*��-�,&#@3���&� ,6�� )��,(<��-#��!� #,� #�� �������&<� ,�� -�B�� ��&,�#�� ���"-+,#���� #�� �&(�&� ,�� ��&&<� �",� ,6�&�("�,#��� �)� ,6�� �<�,�-3��6�� (�,�#��� �)� ,6�� +&���("&�� �&�� �",�#��(� #����,#���'G� ,6����&���,�(�-�(���#����&�("��(�,#-��(�+��(��,�(#��&�,���<�,�-��*��*#����,������A�,#-������3������,#���;�A���,"(<�,6��&���,#���6#+��4�,A����,6�����&���,�(���(�,6���&#�#����<�,�-��#��,6���",���-�"������!�#3�3!�A6���,6��*#,���&�,����)�,6��-�(����&������,��,�#�,#-�3���,#���;�#��(�*�,�(�,��,6��#��"�,&�,#����)�,6��-�,6�(�4<�����@�-+���A#,6�,A���������������(�,A��+�,�6��3

%3����� ��������� ������(����A#,6��� �#���&�(#��&�,���",���-�"���,���=�,&"�,"&�(�-�(��3���+"��,#��� #�

�����#)#�(� #�,�� �,����� �&� �&�"+�� #�� ,�&-�� �)� ��<� �6�&��,�&#�,#�� �)� ,6�� �#)�� �<���3��&��*�&!����6��)�,6�����&�"+��#��(#*#(�(�#�,����*�&����"4�&�"+��,6�,�������&&��+��(,��(#))�&��,��+�,#���+�,�6��!�(#))�&��,�#�(#*#("�����,#*#,#��!��,�3

��� ����#(�&��� �&�"+�3� ��,�� � 4�� ,6�� �"-4�&� �)� �"4�&�"+�� A#,6#�� �&�"+� 3���(�)#���,6���,�,��*�&#�4������

������,6���"-4�&��)�#�(#*#("����#��,6�� �=,6��"4�&�"+��)�,6� =,6� �&�"+� �,� ,#-�� �!� �H� !333!�G� � �H� !333!� G� ��H�9! !%!333� �6�&�)�&�!� ,6��+�+"��,#��� #�(���&#4�(�4<�,6��*��,�&

x x x x x x xt t tN

t tN

tq

tq N Tq= ∈( , ..., , , ..., , ..., , ..., ), , , , , ,1 1 1 2 1 2 11 2 ��� 1 2

A6�&����H�� �I�J�I����1,6���"+�&��&#+,���(���,���,&���+��#,#��23���,6���*��",#����)�,6��+�+"��,#���A������#(�&�,A��+&��������A6������&&��+��(#��

�6�&��,�&#�,#�� ,#-�� ������!� ��(� �����C"��,�<� ,6�#&� +&�F��,#��� #�,�&*���!� �&�� *�&<(#))�&��,� )&�-� ���6� �,6�&3� ��� �&(�&� ,�� #���"(�� 4�,6� ,#-�� ������� #�� �"&� -�(��� A�(���&#4��,6����,A��+&�������!�A6#�6�A�������)��,���(����A�(<��-#��!�4<�-������)�,A�(#))�&��,�-�,&#���3

��� ,6��+&�F��,#��� #�,�&*��� �)��"&�-�(���A���6����� ,6������ ��&&��+��(#��� ,�� ,6����A�(<��-#��!�#3�3!�,6��,#-�����+��(�4�,A����,#-�������(� ��I� !�A6#�6�A��A#����������1,6#��#��,6��+&�F��,#���#�,�&*����)�,6�����A�+&�����23

��� -�B�� ��� �+��#��� ���"-+,#���� &���&(#��� ,6�� �6�&��,�&#�,#��� �)� ,6�� ���A(<��-#��3��6"�!�,6�����A�(<��-#���#��&�+&����,�(�4<����������,#*��+&�F��,#���-�,&#@��∈����A6#�6�A������#(�&����(#*#(�(�#�,��4���B����

�!� �K� !���K��3����,6���6�*�

��

M

M M M

M M M

M M M

q

q

q q qq

=

11 12 1

21 22 2

1 2

� � � �

A6�&�� ���6�4���B��� ��H�L� �

�M�6��� (#-���#����� ����� ��(� �6�&��,�&#$��� ,6�� &�,����),&���)�&������)� #�(#*#("���� )&�-� ,6���"4�&�"+���)��&�"+� �� ,�� ,6�����)��&�"+� 3� ��&��+��#)#����<!�)�&����6���H� !%!333!� � ��(� ���6� �H� !%!333!���!�� �

��&�+&����,��,6��&�,���),&���)�&����� �)� #�(#*#("���!� ("�� ,�� ,6�� ���A�+&�����!� )&�-� �"4�&�"+� � �)� �&�"+� �� ,�

%:> ��� ������3

�"4�&�"+����)��&�"+� �#������,#-���,�+3��6#��#��������&#��-�(��G�#����+�&,#�"��&���������"�(����,�#��-�&,��#,<���(�&�+&�("�,#���*��"���)�&�,6��(#))�&��,��,����3

#���� ,6��+&�F��,#���#�,�&*����)� ,6��-�(��� #�� ,6�,��)� ,6�����A�+&�����!�A�����"-�,6�,!�("&#�����,#-��"�#,!�,6��)��,�+&���������"&����,#-���4�)�&��,6�����A�+&������1A6�&��� #�� ��� #�,���&� ,6�,� ���� 4�� #�,�&+&�,�(� ��� ,6�� &�,#�� 4�,A���� ,6�� +&�F��,#��� #�,�&*�����&&��+��(#���,��,6�����A���(�,6��)��,�(<��-#��23� "&�-�(�������A��,6��)��,�+&������,���,� (#))�&��,�<� #�� ���6� �)� ,6�� �� �����#���3� �!� )�&� �� ,#-�� "�#,!� ,6�� )��,� +&������ #�&�+&����,�(�4<�,6��)����A#���+&�("�,��)���-�,&#����

���N����NNN��

���������������������������� �� �� ���!���"!�� ��#!"�$%

�6#�� ���"-+,#���-����� ,6�,� ,6�� )��,� (<��-#��� (���� ��,� +&�("��� ,&���)�&����� �)#�(#*#("���� �-���� (#))�&��,� �&�"+�3�����C"��,�<!� �*�&<�-�,&#@��� 1�H� !J!�2� #�� �4���B=(#�������-�,&#@!�A6����4���B��A��������

�1 �H� !J!�2�

��H�� #�O��!J!�

�P 1%2

&��������������������������� �� "���!'����������(�!�"�� �� ' ����"��� �

#!"�$%

�6#��6<+�,6��#��#��#���"(�(�#��,6��-�(���4<����"-#������6�4���B�� �,��4�������"-�

�,��6��,#��-�,&#@!�#3�3!���-�,&#@�A6�������"-����&��+&�4�4#�#,<�*��,�&�3�6�&�)�&��,6��+&�+���(�-�(���A#�������#�,��)�,6��)����A#���(#��&�,���<�,�-�,6�,�A�

A#��������D-#�&��<�,�-E��&�D�&#�#�����<�,�-E�

��I �H����NJN�� �� 1'2

��� �� +&�*#�"�� A�&B� 1.��6�$� ��� 3!� ??;2!� ���&���,#��� ,��6�#C"��� 6�*�� 4����++�#�(�,��,6��)����A#���-�(���

��I �H������ 1>2

A6�&��,6��-�,&#������&&��+��(#���,��,6��)��,�(<��-#����&������,��,3����,6����@,����,#��A������,&"�,���&�("��(��<�,�-!�,6����=�����(����&���,�(��<�,�-3

'3���������� �� ������� ������&���,#�������#�,���)�(�)#�#������-�����"-4�&��)����4���*�&#�4���!�)"��,#�����)

,6�� �,�,�� *�&#�4���� ��(� 4"#�(#��� "+� �� �<�,�-� (���&#4#��� ,6�#&� (<��-#��3��6��� ,6����&���,�(�(<��-#����&�� ����#�,��,�A#,6� ,6���&#�#����(<��-#��� #�� ,6�� ������ ,6�,� ,6����4���*�&#�4����4�6�*��#(��,#����<�4�,6�#��,6��#�#,#����<�,�-���(�#��,6�����&���,�(����!#,� #�� �����(� +�&)��,� ���&���,#��� 1�A���� ��� 3!� ?/023� ��&)��,� ���&���,#��� #�� &�&��<+���#4�����(�-�,6�(��)�&��++&�@#-�,�����&���,#���6�*��4����(�*���+�(�1�A�������3! ?/?23� �<� �++&�@#-�,�� ���&���,#��� A�� -���� ,6�� B#�(� �)� ���&���,#��� A6�&�� ,6�����#�,���<� 4�,A���� ,6�� (<��-#��� �)� ,6�� ���4��� *�&#�4���� #�� ,6�� �&#�#���� ��(� ,6����&���,�(��<�,�-�#�����<��++&�@#-�,�3

�++&�@#-�,�� ���&���,#����)� ,6���&#�#���� �<�,�-��++�#���A6��� ,6�� )��,� (<��-#��-�B�� ,6�� )&�C"���#��� �)� �,�,�� *�&#�4���� #�� ���6� �&�"+� �++&���6� ��&,�#�� �C"#�#4&#"-*��"���("&#����� ,#-��"�#,3����"))#�#��,����(#,#���)�&� ,6��+&�*#�"��+&�+�&,<� ,��6��(� #�,6����@,����"-+,#���

)�� ���� ������ �� *�� +� �������,���� ��→ �∞�� �"� � �!� �� -�� ���! �� ��" ��� �

$! � � '����! ��� %

�����)�&,6�A���"++����,6��,6&������"-+,#�������)��,�(<��-#���1�!�&���(�)2��6��(3

��������������� ������ ��� ��� %:;

�������,&"�,�,6�����&���,�(��<�,�-�A�����(�,��-�B��"����)�,6��)����A#���&��"�,3

�!"$"� � "��.%�

����*��+�(��������� ��"�� "������" ��� ���! ������� "�'�!#����"��$! � � '�

��! ���%�����'�(�� ����! #���$!"(( ����"!����� #��'� �"!�"������" ����, ������

� #��'����%�����

lim ...k

kP P v→∞

⋅ ⋅ =1 ��

,��!���� �� ���� "����'� �"!�"�� ����$$!"$! ���� ���� "��, ���� ������! ������

�"��%

�!""�3�1����++��(#@23�&�-����"-+,#����� !�&� ��(�)�A�������++�<��&�+��#,#���'3 � ,�� ,6��4���B���)� ,6�

)��,�(<��-#��3�������#,�)����A��,6�,!�)�&����6� �H� !333!��

lim ...k

ki i iP P v

→∞⋅ ⋅ =1 �

� 1;2

A6�&�� ' � #�� ,6�� &#�6,� +&�4�4#�#,<� ��&-�(� �#���*��,�&� �)� ,6�� -�,&#@� � � �#,�(� #����"-+,#���)3

��A!� #)� A�� (�)#��!� P vi i= �� !� P diag P P q= ( , ..., )1 !� /�H�� #O�!J!�P� ��(

0�H�� #O' !J!'�P�,6���A��6�*�

P P P VUk

kT= ⋅ ⋅ =

→∞lim ... 1 1:2

������,6���&#�#�����<�,�-�1'2�����4������#(�&�(������+�&,"&4�,#����)�,6��)����A#���

X MPXt t+ =1 102

�6#�� ��A� �<�,�-!� �����(� ,6�� D�"@#�#�&<� �<�,�-E!� ���� 4�� #�,�&+&�,�(� ��� ,6�-#�&��<�,�-�A6���A���"4�,#,",��,6��)��,�+&��������&&��+��(#���,�����6�#�,�&*������ 4<,6�� �C"#�#4&#"-� )&�C"���#��� �)� ,6�� )��,� +&������ #�� ��3� ��� �,6�&�A�&(�!�A�� �&�� ��,,#����→�∞� #�� ,6�� �@+&���#��� �)� ,6��-#�&��<�,�-!� �"++��#��� ,6�,� ��� #�� ����� ���"�6�A#,6&��+��,� ,�� ,6�� +&�F��,#��� #�,�&*��� �)� ,6�� )��,� +&������ )�&� ,6�� )��,� (<��-#��� ,�� &���6�C"#�#4&#"-� )&�C"���#��3���,�� ,6�,�A��"�����+#,��� ��,,�&��A6��� &�)�&&#��� ,��*�&#�4��������#�,�(�A#,6�,6���"@#�#�&<��<�,�-3

���A#�������,6�,�,6�����&���,�(��<�,�-�����4��+�&)��,�<����&���,�(3�����&(�&�,��(���!�A��(�)#���,6�����4���*�&#�4���!�)�&����6�,#-���!�#��,6��)����A#���A�<�

y y yt t tq= ( , ..., )1 1/2

A6�&�� y X Xti

ti

ti Ni= + +, ,...1 !�#3�3���

�&�+&����,��,6��,�,����"-4�&��)�#�(#*#("����#���&�"+ ��,�,#-�������"-#���,6�,�,6��)��,�(<��-#���&���6���#,���C"#�#4&#"-�)&�C"���#���#�����6,#-��"�#,3

��,��,6�,�,6�������4���*�&#�4��������4���4,�#��(�)&�-�,6��*�&#�4�����)�,6���"@#�#�&<�<�,�-����)����A��

���H�/�1� 1?2

�6�&�)�&�!�#)�A��+&�-"�,#+�<��C"�,#���102�4<�-�,&#@�/��!�A���4,�#��

U X U MPX U MVU XTt

Tt

T Tt+ = =1

�6#��#��,6�����&���,�(��<�,�-!�A6#�6�����4���@+&����(�#��,6��)����A#���A�<� ��

%:: ��� ������3

y Myt t+ =1 1 92

A6�&�� M U MVT= 3� ��� 6�*�� &�("��(� ,6�� (#-���#��� �)� ,6�� -�(��� )&�-��H�� �I�J�I��� ,��� !� �#���!� #�� ,6�� ���&���,�(� �<�,�-!� ���6��&�"+� #�� &�+&����,�(�4<�����#�����*�&#�4��3

��� ��@,� ���,#���A��A#��� �6�A� 6�A� ,6#�� ��A� �<�,�-�+&�*#(��� #�)�&-�,#������ ,6���<-+,�,#��4�6�*#�&��)�,6��+�+"��,#���&�+&����,�(�4<�,6��-#�&��<�,�-3

>3������� ����������������������������������� ��������Q���

�6#�� ���,#��� #�� (�*�,�(� ,�� ,6�� �,"(<��)� ,6�� &���,#���6#+��4�,A���� ,6�� ���&���,�(�<�,�-�1 92���(�,6���&#�#�����<�,�-�1'2�(�)#��(�#����,#���'3

�,� ,6#�� �,���!� ��,� "�� #�,&�("��� ��-�� �����+,�� ��(���,�,#��� ,6�,�A#��� 4��"��)"�� #�)"&,6�&� (�*���+-��,��� ��� (���,�� RRSRR� ��� ,6�� =��&-� #�� �� !� #3�3!� �#*����H�1� !�%!333!��2��∈��� !� ,6��� RR� RR�H�R� R�I�R�%R�I�333�I�R�� R3� �)� A�� �&�� -�(���#��� ,6�(<��-#����)����,���=�,&"�,"&�(�+�+"��,#�����(����#��,6��+�+"��,#���*��,�&��,�,#-���!�,6��

,6�� ,�,���+�+"��,#���#���#*���4<� RR��RR���(� ,6��+�+"��,#����,&"�,"&�� #���#*���4<�xxt

t|| || 3��

�<�,�-� #�� ��#(� ,�� 4�� �,&����<� �&��(#�� 1�6��!� ?0?2� #)� ,6�� +�+"��,#��� �,&"�,"&���<-+,�,#����<�4���-��� )#@�(���(� ,6#�� D�C"#�#4&#"-��,&"�,"&�E� #�� #�(�+��(��,��)� ,6�#�#,#���+�+"��,#��!�#3�3!���*��,�&�'��@#�,���"�6�,6�,�)�&���<����=����,#*�!����=$�&��#�#,#��

���(#,#����9�A��6�*�� lim || ||t

xxt

tv

→∞= 3

���-�B��,6��)����A#������"-+,#������,6�����&���,�(�-�,&#@�2�3���! ��M � ��$! � � '�%

��,�λ�4��,6��(�-#���,��#���*��"���)�-�,&#@� M !�!�#,����&&��+��(#���+��#,#*��&#�6,�#���*��,�&��"�6�,6�,�RR!RR�H� ���(�� #,����&&��+��(#���+��#,#*����),��#���*��,�&���&-�(#���"�6���A�<�,6�,��!�H� 3��6���#��,6�������,�&-�)�&��*�&<�#�#,#����,�,��A��6�*��

= ,6��+�+"��,#����#$���&�A���@+����,#���<��,���&�,��λ3= ,6��+�+"��,#���&���6������,�4����,&"�,"&���#*���4<�,6��*��,�&�!3= ,6��&�+&�("�,#*��*��"���1��A���!�%99 2������#�,�(�A#,6����6��&�"+��&���#*��

4<�*��,�&�3

����,#���6#+��4�,A����,6�����&���,�(���(�,6���"@#�#�&<��<�,�-��6��&�-�>3 �1.��6�$����3!� ??;2�&���,���,6��+&�F��,#���-�,&#�����)�4�,6��<�,�-�3

���"!���4%�

��! ����� P ����M �'�! ��3

�% det( ) det( )λ λ λI MP I MNN q

q− = −− %� ���!��"!�� ���� �"��5�!"� � #��'���� "�

��! ���� P ���M � " � ��%

6% ����!�(���! #���� #��'� �"!�"�� M ���" ����, �������� #��'���λ�≠�7%������0!�≠�7� ���! #���� #��'� �"!�"��� P ���" ����, ������������ #��'���λ%

.% ���� � (�� � ���� � #��'� �"!� "�� M ��" ����, ��� ���� � #��'���λ�≠�7%� ����/�≠�7� �������� #��'� �"!�"��� P ���" ����, ������������ #��'���λ%

��������-�B��,6��)����A#������"-+,#���

��������������� ������ ��� ��� %:0

263���! ���� ��!",�",(�%

��-�,&#@� #�� �����(� &�A=����A�4��� 1��F���!� ?0:2� #)� #,� 6��!� �,� ����,!� ���� +��#,#*���,&<� #�� ���6� &�A3���,�� ,6�,�26� ����4�� #�,�&+&�,�(�4<� ��<#��� ,6�,� ,6�� ���A�+&�����*�&#)#���,6�,�)�&����� �H� !%!333!����(���H� !%!333!� !��,�����,���������A�(�,&���#,#���,�A�&(��"4�&�"+����)��&�"+� ��@#�,�3

��(�&����"-+,#����2����(�26�A���4,�#��,6��)����A#���&��"�,�

�!"$"� � "��4%6

���� ��� ��$$"��� ���� ���� $!"�� � "�� ��! �� "�� ���� ##!�#���� �������� M �� �

$! � � '�� -2��%� ����λ� (�� ��� �"� ���� � #��'���� !� ��� "!!��$"�� �#�$"� � '�� ! #��

� #��'� �"!��� ������88!88�9������� ��� "!!��$"�� �#�$"� � '������� #��'� �"!��"!���

�� �� �� � ,�� ���� �!�9��%� ���� ��� ��$$"��� ������! �����,� �� #"'�!��� ���� �",

���� �� �� ����"! # ���������� ��!",�",(��-26�%�:"!� ������ !���������,�

������'�3

�% ��� ����!"�#���!#"� %

6% ����$"$�� "��� 5��#!",����$"���� �����!���λ%.% :"!� ��� � � � "�� � "��17� ���� $"$�� "�� ��!� ��!�� ������ �"� � � �� '� �"!

# '���(�� MVrMVr|| || %

4% ����!�$!"�� � '��'������" ����, ���� ��#!"�$�!��# '���(��'� �"!�/%

�!""�3��&�-��6��&�-�>3 A��6�*��= �6�����=$�&���#���*��"����)� M � ��(�� P ���#��#(�3������!�λ� #�� �� �#-+�����(

�,&#�,�<�(�-#���,��#���*��"���)�� P 3= �6�� &#�6,� ��(� ��),� �#���*��,�&���)�� P � �����#�,�(�A#,6�λ� �&�� � !T�H��0!���(

T�H�/!�&��+��,#*��<3�<+�,6��#�� 2 � � ��<�� ,6�,� � � #�� �� &�A=����A�4��� -�,&#@3� ��&��*�&!

0�H�� #O' !333!'�P�A6�&��' �#����+��#,#*��*��,�&�)�&����� �H� !333!�!����#,�#��&�A=����A�4��3�����,#���'�A��(�)#��(�/�A6#�6�#�������&�A=����A�4��3���B#���#�,������"�,�,6�,� ,6�+&�("�,��)���&�A=����A�4���-�,&#@���(���+��#,#*��*��,�&�#���������+��#,#*��*��,�&!���(,6�,�!���(���&��+��#,#*��*��,�&��A��6�*��!T�H��0!���(�T�H�/��&��4�,6�+��#,#*��*��,�&�3

��A�A��-�B��"����)���,6��&�-�#����&-�����(����--����1 ?0?!�++3�>%2�,��(�("��,6�,�� P � #�� ��� #&&�("�#4��� -�,&#@3� ��&��*�&!� �#���� A�� B��A� ,6�,� λ� #�� �� �,&#�,�<(�-#���,� �#���*��"�� A�� (�("��� ,6�,� ,6#�� -�,&#@� #�� +&#-#,#*�� ��(!� ,6�&�)�&�!� ,6��"@#�#�&<��<�,�-�-"�,�4���,&����<��&��(#�3

����,#���6#+��4�,A����,6���"@#�#�&<���(�,6���&#�#�����<�,�-��6���&#�#�����<�,�-�-�<�4������#(�&�(������+�&,"&4�,#����)�,6���"@#�#�&<�����

MP P MP M P P Pk k⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ ⋅ ⋅ −1 1( ) 1 2

A6�&��,6��-�,&#@� P P Pk ⋅ ⋅ −... 1 ����*�&����,��$�&�������,��(��,��#�)#�#,<3�6�&�)�&�!�,6��6#�6�&�,6��*��"���)��!�,6�������&�,6���#���*��"�����(��#���*��,�&���)

���⋅⋅⋅� � ��(�� P � �&�3��6"�!� #)��� #�� ��&��� ���"�6� A�� B��A� �4�",� ,6�� ��<-+,�,#�4�6�*#�&��)�,6���&#�#�����<�,�-�)&�-�,6�,��)�,6���"@#�#�&<�������(!�,6�&�)�&�!�#�(#&��,�<!)&�-�,6�,��)�,6�����&���,�(����3

����,6�&�A�&(�!� )&�-� ,6�����&���,�(� �<�,�-�A���++&�@#-�,�� ,6�����-��,��A6#�6�6�&��,�&#��� ,6�� ��<-+,�,#�� 4�6�*#�&� �)� ,6�� �&#�#���� �<�,�-� ��(� ,6�� ��&��&��� #�!� ,6�

%:/ ��� ������3

-�&�����"&�,��,6�����++&�@#-�,#����4���-�3����,6��&�-�#�(�&��)�,6#�����,#���A���,"(<6�A�,6�����++&�@#-�,#����#-+&�*��A6�����#��&�����3

�����+&�*#�"��A�&B�(���#���A#,6��<�,�-�>�#,�#��+&�*�(�,6�,�,6��+&�F��,#���-�,&#@��),6���&#�#�����<�,�-����*�&�������-�,&#����<�,��,6�,��)�,6���"@#�#�&<��<�,�-�1.��6�$���3!� ??;!� �&�+3� '3%23� ��(�&� ��-�� ���(#,#���� ��� ,6�� ��C"����� O��P� A�� �4,�#�� ���������"��&��"�,�

���"!���4%.

���� 88⋅88� (�� � �"!�� �� ���� �$ �� "�� !�� ��! ��� ��×�� ��� ��$$"��� � '��

7�;�α�;��� �� ���� �� �� ���� 88����88�9�"-α��� -���� "�'�!#�� ��%� ����� �"���!� '��

α�;�δ�;����� ������ ������88�-��⋅<⋅��� P �88�9"-δ��%

�!""�3�1����++��(#@23���+&�*#�"��<��,�,�(�,6�����-��,��(�)#�#���,6����<-+,�,#��4�6�*#�&��)�,6���&#�#���

�<�,�-�,��(�,��,6�����++&�@#-�,#�����#*���4<�,6�����&���,�(��<�,�-������→�∞3���AA�� -�B�� "��� �)� ��-�� &��"�,�� ��� +�&,"&4�,#��� ,6��&<� ,�� (�,�&-#��� ,6�� �+��(� �)���*�&�������)�,6�����6�&��,�&#�,#��3

�!"$"� � "��4%4

=�$$"�����$"�������� �����%�!��'�! � ���������,�� �� "� ����������"!���!#�

��"�#��� ���� "! # �� ������� �� ��!"�#�� �!#"� %� �"!�"'�!�� �� � ���(�!� 7�;�α�;��

�� ������ ������88���>��88�9�"-α����������"���!����(�!�α�;�δ�;����� ������ �����

�� �����$"$�� "��� 5��#!",����$"���� �����!����9���"-�@

6� ���� $"$�� "�� '� �"!� !� ���� � ��(�� ��!� ��!�� # '��� (�� '� �"!

!��9� MVrMVr|| || �?�"-δ�

�@

.� ����!�$!"�� � '��'����"��� ��#!"�$�!��# '���(��'� �"!���9�/�?�"-�%

�!""�%��&�-��&�+��#,#���'3 �A��6�*�

MP P MPkk

⋅ ⋅ →→∞

... 1

�&�+��#,#���>3%���,�4�#�6���,6�,�-�,&#@�� P ������#�,�(�A#,6�,6���"@#�#�&<��<�,�-�#�+&#-#,#*�3��6��!�)�&�����&������"�6!����⋅J⋅� �6��!��,�����,!�,6����-��+��#,#*����,&#������ P �A6#�6�#-+�#���,6�,����⋅J⋅� �A#��������4��+&#-#,#*�3

�&�+��#,#���>3%��������,�4�#�6�(�,6�,��2�,6����<-+,�,#���&�A,6�&�,���)�,6���"@#�#�&<�<�,�-� #��λG� 42� #,�� ��<-+,�,#�� �,�4��� �,&"�,"&�� #�� �#*��� 4<� *��,�&� MVr

MVr|| || G� ��(� �2� #,�

&�+&�("�,#*��*��"����&���#*���4<�*��,�&�/3#���!� )&�-� 1 2!�A��-�<� ����#(�&�-�,&#@����⋅J⋅� � ��� �� +�&,"&4�,#��� �)�� P !

"�#����1,�A�&,���(�"�!� ??9!�++3� /'���(�%>92�A��6�*�

λ λk

T TkT T k

k k

k k

l U M P P P MVr

l U MVrO M P P P

rMVr

MVrO M P P P

l Ul O M P P P

= + ⋅ ⋅ − + ⋅ ⋅ −

= + ⋅ ⋅ −

= + ⋅ ⋅ −

( ... )(|| ( ... ) || )

|| ||(|| ( ... ) ||)

(|| ( ... ) ||)

11

2

1

1

1 %2

��A!�-�B#���"����)��6��&�-�>3'!� 2!�%2���(�'2�)����A3��,��,6�,�A��6�*��"��(�,6�����,#�"#,<��)�,6��(�,�+&�("�,�,��(�("���,6�,�

��������������� ������ ��� ��� %:?

l U M P P P MVr

l U MVro

T TkT T

k( ... )( )

⋅ ⋅ − =1 δ

����6�A�!�A�������4,�#�������,#��� #�)�&-�,#������,6����<-+,�,#��4�6�*#�&��)� ,6��&#�#���� �<�,�-� 1�&�A,6� &�,�!� �,�4��� (#�,&#4",#��!� &�+&�("�,#*�� *��"��2� ,6&�"�6� ,6��,"(<� �)� ,6�� ���&���,�(� �<�,�-3� ��A� A�� #��"�,&�,�� ,6���� &��"�,�� A#,6� �� �"-�&#����@�-+��������������,&"�,"&�(�+�+"��,#���#����+�,�6<���*#&��-��,3

;3������������������ ������ �����������Q����� �����

�������#(�&���+�+"��,#���(#*#(�(�#�,��,A����������������(�(#�,&#4",�(�4�,A����,A��+�,#���+�,�6��3��6��!�,6��+�+"��,#���*��,�&�#��

x x x x xt t t t tT= ( , , , ), , , ,1 1 1 2 2 1 2 2

A6�&���� ���#��,6���"-4�&��)�#�(#*#("�����)����� �,6�,��#*��#��+�,�6����,�,#-���3

��� ����#(�&� ,A�� +&�������� #�*��*�(� #�� ,6#�� -�(���� �� (�-��&�+6#�� ���!� ,6�,(�,�&-#����,6���"-4�&��)�4#&,6����(�(��,6��#�����6�,#-��#�,�&*��!���(���-#�&�,�&<����!,6�,�(�,�&-#���� ,6�� ,&���)�&������)� #�(#*#("����4�,A���� ,6�� ,A�� �+�,#��� +�,�6��3������"-��,6�,�-#�&�,#���#��)��,���-+�&�(�A#,6�(�-��&�+6<���(�A���6�����,6��+&�F��,#��#�,�&*��� �)� ,6��-�(��� ,�� 4�� ,6�� ���� �����#�,�(�A#,6� (�-��&�+6<3���� �"++���� ,6�,-#�&�,#�����,����,#-���4�)�&��(�-��&�+6<�(���3��!�(���,#���∆�����,6��,#-���,�+��)�,6�-#�&�,#���+&�����!�A����������#(�&� ,6�,����6�+&�F��,#��� #�,�&*����)� ,6��(�-��&�+6#�+&�����!� ���H�L�!�I 2!� #�� (#*#(�(� #�,�� � � �"4#�,�&*���� �)� ,6�� )�&-� ��!�H�L,�I�1�=� 2∆,!,�I�∆,2G��H� !333!�3

����"++����,6�,�-#�&�,#�����,�������#�����6�#�,�&*�����!���(�,6�,�#,�(�+��(������4",��,�����3��6��(�-��&�+6#��&�,����&������,��,� #�� ,#-�3���&����6�+�,�6!�(�-��&�+6<�#�(���&#4�(�4<�-�,&#����

Mf

s sM

f

s s1

2 1

1 1 2 1 2

2 2

1 2 2 2

0 0=

=

,

, ,

,

, ,;

A6�&���� ���#��,6��-�����"-4�&��)��))�+&#���+&�("��(�4<����#�(#*#("����)����� ��#*#����,+�,�6� �� 1,6�&�� #�� �� �#����� &�+&�("�,#*�� ���2� ��(� � ��� #�� ,6�� �"&*#*��� &�,�� )�&� ,6�#�(#*#("�����)����� ��#*#����,�+�,�6���3

�#�&�,#���4�,A����+�,�6��� ���(�%�#��(�+#�,�(�4<�,6��-�,&#���

Pp q

p qP

p q

p ql kl

l l

l ll

l l

l l

11 1

1 12

2 2

2 2

1

1

1

11=

−−

=

−−

=; ; , ...,

A6�&��$ �&�+&����,��,6��+&�+�&,#����)�#�(#*#("�����)����� �,6�,�-#�&�,��)&�-�+�,�6� �,�

+�,�6� %� ("&#��� ,6�� =,6� -#�&�,�&<� +�&#�(� 1��!23� �������"��<!� � � &�+&����,�� ,6�

+&�+�&,#����)�#�(#*#("�����)����� �,6�,�-#�&�,��)&�-�+�,�6�%�,��+�,�6� �("&#�����!3��,&#@���#��4���B=(#�������4���"���,6��-#�&�,#���+&������#������#(�&�(�#�,�&���!�#�

,6��������,6�,�#�(#*#("����(����,��6�����,6�#&�����������A6#���-�*#���)&�-�����+�,�6,�����,6�&3���&��*�&!�,6��4���B���)����&�����"-���,��6��,#��-�,&#���3��6#��#��("��,�,6��)��,�,6�,�,6��-#�&�,#���+&������#�������&*�,#*���)�,6��,�,����"-4�&��)�#�(#*#("���3

�6��!�,6��-�,&#����,6�,�(���&#4��,6��(�-��&�+6#����(�,6��-#�&�,#���+&��������)�&,6��A6����+�+"��,#����&�!�&��+��,#*��<�

%09 ��� ������3

M

f

f

s s

s s

=

0 0 0

0 0 0

0 0

0 0

2 1

2 2

1 1 2 1

1 2 2 2

,

,

, ,

, ,

���(� P

p q

p q

p q

p q

l kl

l l

l l

l l

l l

=

−−

−−

=

1 0 0

1 0 0

0 0 1

0 0 1

1

1 1

1 1

2 2

2 2

; , ...,

�6����-+��,���&#�#�����<�,�-�&��(�����)����A��

��I �H����⋅J⋅� ��3

��� ���"-�� ,6�,� ,6�� ��C"����� �)� -#�&�,#��� -�,&#���� ���*�&��� ,�� ,6�� )����A#��-�,&#@�

P

p q

p q

p q

p q

=

−−

−−

1 0 0

1 0 0

0 0 1

0 0 1

1 1

1 1

2 2

2 2

�)� ,6�� #�,�&*���� ��!� �&�� �-���� #�� ��-+�&#���� ,�� ��� 1#3�3!� #)� �� #�� ��&��2!� ,6�� �+�,#��(#�,&#4",#����)�,6�� =���(�#�(#*#("����4�,A����,6��+�,�6��!�����4���++&�@#-�,�(�4<�,6�+&�4�4#�#,<���&-�(�&#�6,���&&��=�&�4��#"���#���*��,�&��)�4���B� �#���!�#3�3�

viq

p q

p

p q

Ti

i i

i

i i=+ +

( , )

������&���,��,6���<�,�-�A��(���,��,6�����4���*�&#�4����#��,6��)����A#���A�<�

y y yt t t= ( , )1 2

A6�&���� �&�+&����,��,6��,�,����"-4�&��)�#�(#*#("����#���&�"+� ��,�,#-���3

��� ,6�����&���,�(� �<�,�-�A���&�����"-#��� ,6�,� ,6��-#�&�,#���+&������ &���6��� #,��C"#�#4&#"-�)&�C"���#���A#,6#�����6�+&�F��,#���#�,�&*����)�,6���&#�#�����<�,�-���(!���!,6���+�,#���(#�,&#4",#����)� =���(�#�(#*#("����#���#*���4<�*��,�&�' 3

�6�����&���,�(��<�,�-�&��(��

y Myt t+ =1 �A6�&��M

f q f p

p qs q s p

p q

s q s p

p q

=

++

++

++

02 1 2 2 2 2

2 2

1 1 1 1 2 1

1 1

2 1 2 2 2 2

2 2

, ,

, , , ,

��,��,6�,�A���*�&���(��*�&�,6���+�,#����,&"�,"&�!����A���4,�#����-�,&#@�A#,6����4��)�&,#�#,<���(��"&*#*���&�,���)�&����6����������3��6�����4���)�&,#�#,<���(��"&*#*���&�,����&�A�#�6,�(�-������)�,6��)�&,#�#,<���(��"&*#*���&�,���#�����6�+�,�6�A6�&��,6��A�#�6,���&�,6���C"#�#4&#"-�)&�C"���#����)�,6��-#�&�,#���+&�����3

��� ��*�� ��-�� �"-�&#���� *��"��� ,�� ,6�� +�&�-�,�&�� �)� ,6��-�(��� ��(� ��-+",�(��-�� �)� #,�� -�#�� �6�&��,�&#�,#��!� �"�6� ��� �&�A,6� &�,�� �&� ��<-+,�,#�� +�+"��,#���,&"�,"&�3� ��� ����� 4"#�,� ,6�� ���&���,�(� �<�,�-� ��(� �4,�#��(� ,6�� ��&&��+��(#���++&�@#-�,#���3����A�&��+�&,#�"��&�<� #�,�&��,�(� #�� #��"�,&�,#��� ,6�����"&��<��)� ,6����++&�@#-�,#����#��&���,#���,��,6��*��"���)��3

�#&�,!�A���"++���(�,6�,�,6��+&�+�&,#����)� =���(�#�(#*#("����-#�&�,#���)&�-�+�,�6�%,��+�,�6� ��6������#�����6�-#�&�,�&<�+�&#�(�������(�,��(�!�A6����→�∞!�,��930;�

� �H�930;�U� V1 �I�2

��������������� ������ ��� ��� %0

�#�"&�� ��6�A��6�A�,6���&�A,6�&�,���)�,6���&#�#�����<�,�-�1�2����*�&����,��,6�,��),6�����&���,�(��<�,�-�1I2�A6�����#��&�����3

������ �3� ��*�&������)� ,6�� �&�A,6� &�,�3��&�-�,�&� *��"��� �&����% � H � 9 3 ; ! � � �

%%�H�%!� �H�93?!� �

% � H � 9 3 : !�% �H�93;!� �

% % � H � 9 3 !$ �H �9 30 ! � �

�H�930;= V 1 I 2!� $

%�H�93>!�%�H�93;;3� �6�� �<-4���

�-+��<�(� �&�� WIX� )�&� ,6��&�A,6� &�,���#*���4<� ,6����&���,�(� �<�,�-� ��(W�X�)�&�,6�,���&&��+��(#��,��,6���&#�#�����<�,�-�)�&���6�*��"���)��3

����(�<!�A������#(�&�,6�������A6�&��

� �H�930;�U� V%

)�&�A6#�6!�� �,��(��,��930;�-"�6�)��,�&�,6���#��,6��+&�*#�"������3��#�"&��%��6�A��,6�,

A����6#�*�����(��++&�@#-�,#���� �*��� )�&� ��A�*��"����)��3� �6��&�-�>3'� +&�*#(��� �,6��&�,#�����@+����,#����)�,6#��)��,3

������ 3� ��*�&������)� ,6�� �&�A,6� &�,�3<-4���� WIX� ��(� W�X� �&�"��(����#���#�"&�� 3

�#�"&��'�(�+#�,�!� #�� ,6#�� ��,,�&�����!� ,6���*��",#����)� ,6��+�+"��,#����,&"�,"&���*�&,#-�3� �,��6�A�� ,6�,� ,6����<-+,�,#��+&�+�&,#�����)� #�(#*#("���� #�� ,6��(#))�&��,��&�"+�!��-+",�(�4<�"����)�,6���&#�#�����<�,�-�1�2�4���-�������&���(������&�,��,6��������)�,6����&���,�(��<�,�-�1I2������#��&�����3

%0% ��� ������3

������ �3� ��*�&������) � ,6� � +�+"��, #���,&"�,"&�3� �6�� �"-�&#���*��"��� �&�� ,6���� �)�#�"&�� 3������������ ,6�+&�+�&,#��� �)� <�"��� #�+�,�6� � 1Q 2!� <�"��� #�+�,�6�%� 1Q%2!� �("�,� #�+�,�6� �1� 2���(��("�,�#�+�,�6� %� 1�%23� �6��<-4���� �-+��<�(� �&�WIX� )�&� ,6�� ���&���,�(�<�,�-� ��(� W�X� )�&� ,6��&#�#�������3

:3� ���� ��6�� ���&���,#���-�,6�(� +&����,�(� 6�&�� ����A�� ���� ,�� &�("��� �� ��-+��@� �<�,�-

A#,6�,A��+&����������,#����,�(#))�&��,�,#-���������,�����<�,�-�A#,6�����A�&�(#-���#��3�6�� *�&#�4���� A6#�6� ��*�&�� ,6�� ���&���,�(� �<�,�-� �"--�&#$�� ,6�� #�)�&-�,#��

���,�#��(� #�� ,6�� �,�,�� *�&#�4���� �)� ,6�� �&#�#���� �<�,�-3� �6�� +�&�-�,�&�� �)� ,6����&���,�(��<�,�-��������#�<�4���@+&����(����)"��,#�����)�,6��+�&�-�,�&���)�,6�����A(<��-#�����(�,6���C"#�#4&#"-�)&�C"���#����)�,6��)��,�+&�����3

�6��-�#��+�#�,��)�#�,�&��,��)�,6#��,��6�#C"��#��,���4,�#�����(��++&�@#-�,#�����)�,6����-��,�� ��*�&�#��� ,6�� ��<-+,�,#�� 4�6�*#�&� �)� ,6�� �&#�#���� �<�,�-!� �"�6� ��� ,6���<-+,�,#�� �&�A,6� &�,�� �&� ,6�� �,�4��� +�+"��,#��� �,&"�,"&�!� )&�-� ,6�� �,"(<� �)� ,6����&���,�(��<�,�-3��6�����"&��<��)�,6���++&�@#-�,#����(�+��(�����,6��&�,#��4�,A���,6���6�&��,�&#�,#��,#-����������)�,6�����A���(�,6��)��,�+&�������3

"&����,&#4",#���#��������&��#$�,#����)�+&�*#�"��A�&B��1.��6�$����3!� ??;2�,��,6������A6�&��)��,�(<��-#��� #������A�(�,��*�&<����6� ,#-�� #,����"&�3�������&���,�� ,6���-�(���� A�� 6�*�� -�(�� ,6�� +�&�-�,�&�� (�)#�#��� ,6�� )��,� +&������ ,��(� ,�� ��-��C"#�#4&#"-�*��"��!� #3�3!�A�����(���*#&��-��,������(#,#����&���,�(�,��,6��)��,�+&�����,6�,� 4���-�� �,�4��� #�� ,6�� ����=,�&-3� ��� �,"(#�(� ,6�� &���,#���6#+�� 4�,A���� ,6����&���,�(� ��(� ,6�� �&#�#���� �<�,�-�� #�� ,6�� �",���-�"�� ����!� A6�&�� +�+"��,#��+�&�-�,�&�� (�� ��,� (�+��(� ��� ,#-�!� ��(� A�� ����<$�(� �� �"-�&#���� �@�-+��� �)� �-"�,#&��#��������=�,&"�,"&�(�-�(��3��������&��!�#)�,6��-#�&�,#���+&������#���"))#�#��,�<)��,� #�� ��-+�&#���� ,�� ,6�� (�-��&�+6#�� +&�����!� ,6�� ���&���,�(� �<�,�-� �#*��� ���(�++&�@#-�,#�����)� ,6����<-+,�,#��4�6�*#�"&��)� ,6��-#�&��<�,�-!� ,6�����"&��<��)� ,6��++&���6� 4�#��� (�+��(��,� ��� ,6�� �+��(� A#,6� A6#�6� ,6�� )��,� +&������ &���6��� #,��C"#�#4&#"-3

���,6�������(�+�&,��)�,6#��+�+�&�A��A#���(����A#,6�,6�����=�",���-�"�������A6�&�4�,6!�,6�����A�(<��-#�����(�,6��)��,�(<��-#��!��&������A�(�,��*�&<�A#,6�,#-�3����,6�)#&�,�+����!�A��+&����,������=�",���-�"��-�(���A#,6�,A��,#-�����������(�+&����(��,,6#��&�("�,#��3���&��*�&!�A���,"(<�,6��&���,#���6#+��4�,A����,6���&#�#�����<�,�-���(,6�����&���,�(��<�,�-�#��,A��������&���&(#���,6��B#�(��)���*#&��-��,���*�&#�,#����#�,6��)#&�,�����A���6�������"-��,6�,�+�+"��,#���#���))��,�(�4<���*�&#�4�����*#&��-��,�,6�,

��������������� ������ ��� ��� %0'

,��(�� ,�� ��� �C"#�#4&#"-� ��(� �,"(<� ,6�� &���,#���6#+�� 4�,A���� ,6�� +&�+�&,<� �)� �,&����&��(#�#,<�)�&�,6���&#�#������(�,6�,�+&�+�&,<�)�&�,6��&�("��(��<�,�-3����,6�������(����!A���6��������#(�&�,6��������)�������&���,�-+�&���*�&#�,#�����(�"�(�&,�B��,6���,"(<��),6��&���,#���6#+��4�,A����,6��A��B��&��(#�#,<��)�4�,6��<�,�-�3

�������Y

�!""��"���!"$"� � "��.%�

��,�"������#(�&�,6��)����A#����<�,�-�

���H�����=

�6�� ��C"����� O��P� ���*�&���� ,�� �� +&#-#,#*��-�,&#@� ��(� ���6�-�,&#@� #�� ���"-�=����A�4��� 1#,� 6��!� �,� ����,!� ���� +��#,#*�� ��,&<� #�� ���6� ���"-�23��&�-� 1���,�!� ?/ !++3�?:2�A��(�("��� ,6�,� ,6�� �<�,�-� #�� �,&����<��&��(#�3��6���A��6�*�� )�&� ��<� #�#,#��*��,�&��9�

lim || ||k

xxk

kv

→∞=

A6�&��RR'88�≡� �'�9��3

#����,6��-�,&#�����&���,��6��,#��A��6�*��RR��RR�H�RR�9RR�)�&����6��!����lim limk k→∞ →∞

⋅ ⋅ = =P P x x v xk k... || ||1 0 0

A6�,�*�&��9�#�3�#����<!���,��,6�,�

lim lim limk k k→∞ →∞ →∞

⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅P P P Pe P Pek k k p... ( ... | | ... )1 1 1 1

A6�&��O� !J!�$P��&��,6��*��,�&���)�,6�������#����4�����)��$3���A�

lim k→∞

⋅ ⋅ = = ⋅ ⋅ ⋅ =P P v e v e v vk p... ( || || | ... | || ||) ( | | )1 1 '��%

�!""��"�����"!���4%.

#���� ����-�,&#@���&-�� �&�� �C"#*����,�A�� ����"��� ��<��)� ,6�-3����A#��� "��� ,6�

=-�,&#@���&-!� #3�3!� || || max | |,...,

A aj n

iji

n =

= =∑1 13���� 6�*�� ,6�,� || ( ... ) ||M P P Pk ⋅ ⋅ −1 � K

|| || ( ... )M P P Pk ⋅ ⋅ −1 ���(� ( ... )P P Pk ⋅ ⋅ −1 �K� || ( ... ) || || ||P P P P Pkk k⋅ ⋅ − + −1 3

��� .��6�$� ��� 3!� 1 ??;2� ,6�� �",6�&�� +&�*�(� ,6�,� #)�λ%�K�γ�K� !� A6�&��λ%� #�� ,6��"4(�-#���,� �#���*��"�� �)� ,6�� -�,&#@� � !� || || ( )P P ok k− = γ � ��� A�� ���<� ���(

(�-���,&�,�����-�,&#�����*�&������ || ... ||P P Pkk⋅ ⋅ −1 3

#���� ���� ,6��-�,&#���� �&�� 4���B�(#������� ��(� ,6�� (#-���#��� �)� ,6�� =,6� 4���B� #���A�<��� ��� !�A������&��,&#�,��"&��,"(<�,��,6�����*�&�������)����#�����4���B3���,�A��(�A��4��,6�� =,6�4���B���)�����(��!�&��+��,#*��<3����A��,�,���,"(<�,6�����*�&������)� || ... ||Q Q Qk

k⋅ ⋅ −1 3���6�*�� ,6�,�A� #�� +&#-#,#*�!� ��� ,6�� �&��(#�#,<����))#�#��,�1�#&B6�))T�����,&��,#��

���))#�#��,!�����1���,�!� ?/ 22��)�#,��+�A�&��*�&#)#��� τ BkQ( ) → 0 3��6�&�)�&��A�����

�6��������"-4�&��9��"�6�,6�,

%0> ��� ������3

τ β αBkQ( )0 = < 1 '2

�6#��6�++����)�&�����4���B���)������A�������6������9��"�6�,6�,�1 '2�#��*�&#)#�(�4<�*�&<� 4���B3� ��� (�)#��� εk kQ Q≡ − || || 3 � ���&�<� ε αk

ko= ( ) !� �#���

|| || ( )P P okk− = α 3

��A!�,�B#���#�,������"�,�,6�,�RRA88�9� �1�#������#�����"-���,��6��,#�2�

d Q Q Q Q Q QQ Q

QQ Q Q

Q Q Q Q Q Q Q Q

Q Q Q

k kk

k k

kk

k k kk

k k

≡ ⋅ ⋅ − ≤ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ −

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −

≤ + ⋅ ⋅

− −−

=

|| ... || || ... ... ||

|| ... ||

|| || || || ... || || || ( ... ) ||

|| ( ...

1 1 1 1

1 1

1 1 1 11

1ε 11 2 1 2 11

1 2 1

22 1

2

1 10

− ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ −+ − ⋅ ⋅ +

⋅ ⋅ −

≤ ⋅ ⋅⋅ ≤ + + ⋅ ⋅ ⋅ + +

− −−

− −

−−

− − +

QQ Q Q QQ Q Q

Q Q Q Q Q

Q Q Q Q

k kk

k k k

kk

k k k k

... ) || || ( ... ) ||

|| || || || || || ... || ||

|| ( ... ) ||

||

=

ε

ε ε ε QQ Q Q Qkk k

k k0

0

01( ... ) || .−

−⋅ ⋅ −

1 >2

��,� �� ��(��� 4�� +&�4�4#�#,<� *��,�&�3� ��� ���,�� 1 ?/ 2� #,� #�� +&�*��� ,6�,!� #)�A� #�� ����"-���,��6��,#��-�,&#@!�,6��� || ( ) || ( ) || ||Q x y Q x yB− ≤ − τ 3���A!� #)�����(�&��&�4�,6��,��6��,#��-�,&#����

|| ( ) || max || ( ) ||,...,

Q A B Q a bi p

i i− ≤ −=

1

A6�&�� ���(�( ��&��,6�� =,6����"-����)�����(�&!�&��+��,#*��<3���6���|| ( ) || ( ) max || || ( ) || ||

,...,Q A B Q a b Q A BB

i pi i B− ≤ − = −

= τ τ

1

��� �� +&�("�,� �)� ���"-�� �,��6��,#��-�,&#���� #�����,6�&����"-���,��6��,#��-�,&#@!Q Qk k− ⋅ ⋅

0 1... ���(�Qk k− 0 ��&��4�,6����"-���,��6��,#��-�,&#���3��6���

|| ( ... ) || ( ) || ... ||Q Q Q Q Q Q Q Q dkk k

k kB

kk k

k kk k

0

0

0 0

0

0

01 1−−

−−

−⋅ ⋅ − ≤ ⋅ ⋅ − =τ β

��&��*�&�

ε εl kl k k

k

k≤ ⋅= − +∑ 0

10

*

A6�&� ε εk l l k k k* max{ : ,..., }= = − +0 1 !����A��6�*�!�)&�-�1 >2�

d k dk k k k≤ ⋅ + −0 0ε β* 1 ;2

��������@+&������#��,6��)����A#���)�&-����H�$�9�I���A6�&��$�#������*����"-4�&���( �K���K�%�9�1��,"���<�������4������#(�&�(������-�("�"��%�93

�6��!��++�<#���1 ;2�&��"&�#*��<�A���4,�#��

d k dk k k k k k k p kp p

q≤ + + + ⋅ ⋅ ⋅ + +− − − −−

0 22

11

0 0 0( )* * *

( )*ε ε β ε β ε β β 1 :2

���6�*�����K��S�≡�-�@O�����H� !%!333!%�9�U� P���(� pk qk= −

03��6���

��������������� ������ ��� ��� %0;

βα

ββα

pq

kk

qk

dd

kk

qk

0

0 0 0= →−

→∞( )

���,6�����,�,�&-��)�1 :2�#��1αkk0 23

��A�A��)��"�����,6��)#&�,�,�&-3��,�����4���@+&����(�#��,6��)����A#���A�<�

k pk q p k q p k q k qp

0 1 22 1

0 0 0 0( )*

( )*

( )* *ε ε β ε β ε β+ − + − + +

−+ + + ⋅ ⋅ ⋅ + 1 02

���6�*�!�4<�6<+�,6��#�!� ε αkko= ( ) 3��6��!�"�#�����--��:3 !� ε ε αk

i ki

ko* sup ( )≡ =≥

��(� ,6#�� #�� �� -���,���� ���=#��&���#��� ��C"����� ��� ��<� �"4��C"����� εkl* � *�&#)#��

ε αkl

lo* ( )= 3� �6��!� )�&� �#-+�#�#,<� A�� A#��� (���,�� η εl lk q= +0

* � ��(� A�� B��A� ,6�,

η αllo= ( )3� ��A� 1 02� ���� 4�� �@+&����(� ��� k p p p

p0 1 2

21

1( )η η β η β η β+ + + ⋅ ⋅ ⋅ +− −−

A6#�6�����4���+�#,�#�,��,A��,�&-��

k

k

k

p pp

p

p

p

p

p

pp

p

k qk

k qk k q

k

0 1 1

11

1

0 1 1

0 1 1

2

2

2

2

2

22

2

2 0

2 02 0

1

1

1

1

1

1

1

( )

( )

(

η η β η β η β η β

η ββ

η β ββ

η ββ

η β

+ + ⋅ ⋅ ⋅ + + + ⋅ ⋅ ⋅ +

≤ −−

+ −−

= −−

+ −

− +− −

+

+−

−− ββ

βα

k qk k

ko

−=

2 02 0

1) ( )

��A�������"(��� d ok

kk= ( )α 2 0 3�#���� ,6#�� #�� ,&"��)�&� ,6�� =,6�4���B!�A6�,�*�&� �#�!

A�� (�("��� ,6�,� || ... || ( )P P P okk

kk⋅ ⋅ − =1

2 0 α 3� �#����<!� #)� δ� #�� �� �"-4�&� �"�6� ,6�,

max{ , }α λ δ1

2 02 1k ≤ < !�,6���

|| ( ... ) || || ... || || ||M P P P P P P P Pkk

kk

k

k

k k

⋅ ⋅ − ≤ ⋅ ⋅ − + − →→∞

1 1 0δ δ δ

��#,�6���4����+&�*���,6�,� || ( ... ) || ( )M P P P okk⋅ ⋅ − =1 δ 3

�����B%�

������(��������� ��"���"���#� '�����(�!�����7�;�γ�;��%�����3

aa

kk k

ll kkγ γ

→ ⇒ →→∞

≥0 0sup

�&��)3

��&�����ε�Z�9!��9��@#�,���"�6�,6�,!�#)� k kakk≥ <0 ,

γε 3��6�&�)�&�!�#)���Z��9�

supsup{ , , , ...} sup{ , , , ...}

sup{ , , , ...}a

a a all kk

k k kk

k k k

k≥ + +

+ += ≤ = =

γ γεγ εγ εγ

γε εγ εγ ε1 2

1 22 3

%0: ��� ������3

�[� �����������-�� �)� ,6�� �",6�&�� �&�� +�&,#���<� �"++�&,�(� 4<� �&�<��,�� (�� ��*��,#���#\�

��?/=909%�1+��#�6��3�3323

���������"��&!��3���(��3��&�*��(�� �����&&��1%99923���,6�(���)����&���,#����)�*�&#�4����#��+�+"��,#��

(<��-#��3��-+,������("��(���X���(7-#��(����#�����!��#������(�����*#��'%'��::;=:0>3�"��&!��3� ��(� 833�����#����1 ??:�23��-�&�������)�+�+"��,#����&�A,6�-�(�����)��,�-#�&�,#��

��(����A��&�A,63�8�"&�����)��6��&�,#�����#����<� /%��??= 9/3�"��&!� �3� ��(� 833� ����#���� 1 ??:423����&���,#�����(��-�&������ #��6#�&�&�6#����<��&���#$�(

�<�,�-���+�+"��,#���(<��-#��3���,���#�,6��&�,#���>>��'9 =' :3�"��&!��3���(��3���"���&#�� 1 ??>23��-+��@�������#����-�(����A#,6� �#-+���(<��-#�����&�-

#�(#*#("����,��+�+"��,#���3���,���#�,6��&�,#���>%�� = ':3��&-��!� �3� ��(� �383� ���--���� 1 ?0?23��������,#*��-�,&#���� #�� ,6��-�,6�-�,#���� ��#�����3

���(�-#���&���!�����#���3�&�*�� (�� ��� ��&&�!��3� ��(��3� .��6�$� 1 ??/23����&���,#���-�,6�(�� #�� +�+"��,#��� (<��-#��

(#��&�,��-�(���3���,6�-�,#������(��-+",�&���(���#���%0��%'='?3�&�*��(�������&&�!��3!��3�.��6�$!� 3��&#�����(��3��"��&�1 ???23��#��&�,��-�(���A#,6�(���#,<

(�+��(��,�)��,�-#�&�,#��3���,6�-�,#�����#���#������ ;0��? = 9?3��A���!� �3� 1%99 23� ��,&#@� +�+"��,#��� -�(���3� #��"�&� �����#�,��� ���3� "�(�&���(!

������6"��,,�36�&���A�&,6!��3�1 ??>23��*��",#���#�����=�,&"�,"&�(�+�+"��,#���3��-4&#(�����#*�&�#,<��&���!

�-4&#(��3�'9:++3�6��!�83�3�1 ?0?23��&��(#��,6��&�-��#��(�-��&�+6<3��"���,#���)� ,6���-�&#������,6�-�,#���

��#�,<� ��%0;=%?;3��F���!� 83� 1 ?0:23� �� +&�("�,�� �)� ���=����,#*�� -�,&#���3���,6�-�,#���� �&����(#���� �)� ,6�

�-4&#(����6#����+6#������#�,<�0?��;% =;'93�A���!�Q3!��3���(&��������(�3�3���*#�� 1 ?/023����&���,#��� #��-�(�������<�,�-���3���&)��,

���&���,#��3�������#������(���#���'0��%/0='9%3�A���!� Q3!� 3�3� ��*#�� ��(� �3� ��(&������ 1 ?/?23� ���&���,#��� #�� -�(��� ����<�,�-�� ��3

�++&�@#-�,�����&���,#��3�����8�"&�����)���,6�-�,#����++�#�(�#����(#�#�����(��#����<�:� =%'3

����#���!� 833!� ��(� �3� �"��&!� 1 ??;23� ���,� ���#���,#���-#�&�,#���� #�� �� +&�<=+&�(�,�&� -�(��!��,6�-�,#������(������(���,6�(��#���++�#�(��#������:��% 0=%%:3

.��6�$!��3!��3��&�*����(��3��"��&�1 ??;23��#���&�(#��&�,��-�(����A#,6�(#))�&��,�,#-��������3��,���#�,6��&�,#���>'��>:;=>0?3

��$!� �3� ��(� �3� �&�*�� (�� ��� ��&&�� 1 ??/23���&#�4���� ���&���,#��� #�� ,#-�� *�&<#��� (#��&�,��<�,�-�3���,���#�,6��&�,#���>:��%0'=%?03

��$!��3���(��3��&�*��(�������&&��1 ???23���&#�4�������&���,#���#����,#-��(#��&�,���#���&�-�(��3��,6�-�,#�����#���#������ ;0�� = >:3

��$!� �3� ��(� �3� �&�*�� (�� ��� ��&&�� 1%99923� �#-�� ������� #�� �,��6��,#�� -"�,#&��#�����-�(���3����#���&�����<�#����������&�(��++�#��,#���� ��/?= %%3

��$!� �3� ��(� �3� �&�*�� (�� ��� ��&&�� 1%99 23��#-�� ������� #�� �� ���� �",���-�"�� �#���&� (#��&�,�-�(��3���,6�-�,#������(������(���,6�(��#���++�#�(��#�����3�1����+,�(2

���,�!��3�1 ?/ 23����=����,#*��-�,&#������(���&B�*��6�#��3�+&#���&���&���!���A�Q�&B3#-��!��3��3���(��3���(��1 ?: 23����&���,#����)�*�&#�4����#��(<��-#���<�,�-�3������-�,&#��

%?�� = ';3,�A�&,!� �3�3� ��(� 83�=�"���� "�� 1 ??923���,&#@� +�&,"&4�,#��� ,6��&<3� ���(�-#�� �&���!� ��

�#���3