Montage d’electronique, FeSup-PA

Ecole Normale Superieure de Cachan

Lignes en regime impulsionnel, transmissionnumerique en bande de base : adaptation, codage,

occupation spectrale.

Auteurs:Valentin Marcel & Kevin Malleron

January 27, 2014

Contents

1 Introduction 1

2 Illustration de l’adaptation 12.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2 Manipulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3 Resultats et interpretations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

3 Codage en bande de base 53.1 Principe, caracteristiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Mise en equation, occupation spectrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63.3 Differents codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

4 Signal recu 104.1 Influence du canal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104.2 Le diagramme de l’œil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4.2.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.2.2 Pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1 Introduction

L’augmentation consequente des puissances de calcul des micro-processeurs a entraine un developpementaccru des transmissions numeriques. Elles sont aujourd’hui presentes dans notre quotidien et l’onpeut tres facilement definir ce terme de transmission numerique : l’envoi de donnees binaires.Dans les transmissions numeriques, on parlera de transmissions de symboles, un symbole pou-vant representer plusieurs bits. Cependant le message a envoyer reste un mot binaire, on pourraitdonc representer le signal information numerique (ou donnees numeriques) par une suite de ”1”et de ”0” logiques, le ”1” etant represente par une tension positive 5V, le ”0” lui une tensionnulle ou opposee -5V selon le type de transmission utilise. On voit donc qu’il reste un parametrea fixer pour une transmission numerique, c’est bien sur cette vitesse de transmission, appeleedebit binaire, elle sera fonction de la duree d’un seul bit Tb.

Nous allons ici etudier les lignes de transmissions numeriques, et donc la transmission parcable. Notre canal sera donc un cable, tantot coaxial tantot une modelisation d’un cable pourfaire apparaitre les limitations associees particulierement le fait que ce canal soit de bandepassante limitee (type passe-bas).

On va donc etudier ces lignes en regime impulsionnel, ceci se deduit du fait que la transmissionsoit celle de bits d’une duree faible, et donc d’un signal compose d’une suite de portes dont laduree Tb est faible devant le temps de transmission du signal dans le canal.

On peut enfin citer plusieurs exemples de transmission numerique par cable : la connexionUSB, ethernet ou encore GPIB qui est la connectique des oscilloscopes et des GBF avec unordinateur.

2 Illustration de l’adaptation

On s’interesse ici a l’adaptation d’impedance, un point crucial de la transmission. L’adaptationd’impedance permet de transmettre le maximum de puissance emise par une source a la charge.

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Figure 1: Montage simple, association d’une source parfaite, d’une ligne d’impedance Zl et d’unecharge.

Figure 2: Montage du point de vu regime impulsionnel.

2.1 Theorie

Dans la theorie, nous considererons une ligne sans pertes. On sait que pour un circuit simple(figure 1), on aura le maximum de puissance delivre pour

Zl = Zcharge∗ (1)

On defini l’impedance caracteristique d’une ligne comme l’impedance a mettre en charge afin detransmettre le maximum de puissance. Pour un cable coaxial, l’impedance caracteristique estZcaracteristique = 50Ω, ainsi une charge est dit adapte si elle vaut Zcharge = 50Ω, et on aura ainsila puissance P

P =E2

4Zcharge(2)

On prend maintenant le cas ou la charge n’est pas adapte, on aura donc pas la puissancemaximum delivre dans la charge, mais ce n’est pas la seule consequence, si on prend la visionligne en regime impulsionnel, on peut represente notre montage comme sur la figure 2. Ainsi onpeut poser l’onde incidente

Oinci = Aej(ωt+βx)

Orefl = Bej(ωt−βx) (3)

On introduit le coefficient de reflexion note Γ tel que

Γ(x) =Ondereflechie

Ondeincidente=B

Ae−2jβx (4)

En x=0, on peut calculer l’impedance telle que

Zcharge =U(x = 0)

I(x = 0)= Zcarac

A+B

A−B= Zcarac

AB + 1AB − 1

(5)

2

Figure 3: Schema synthetique de la manipulation en vue d’etudier l’adaptation d’impedance.

D’ou

Γ(x) =Zcharge − ZcaracZcharge + Zcarac

e−2jβx

Γ(x = 0) =Zcharge − ZcaracZcharge + Zcarac

(6)

2.2 Manipulation

On va donc faire la manipulation en figure 3. On va placer en charge trois etats extremes : chargeadaptee, circuit ouvert et court-circuit. Enfin on pourra releve certains etats intermediaires,verifier si la ligne est sans pertes, etudie l’influence de la longueur du cable...

2.3 Resultats et interpretations

On commence notre analyse par la figure 4, ou l’on voit que pour une charge adapte, on al’impulsion (en bleu) qui arrive sur la voie 2 de l’oscilloscope (en rose) avec une nette attenuation,notre ligne n’est donc pas sans pertes, pour une amplitude de 500mV , on retrouve 410mVapres 12m de cable soit 18% d’attenuation. On retrouve d’autre part un temps de parcours del’impulsion qui vaut 63ns.

Sur la figure 5, on voit qu’au bout de 2 × 62ns on a l’onde qui est revenue a l’entree avecune nouvelle attenuation de 18% et elle est inverse, logique car nous sommes en court-circuit, iln’y a de plus pas d’onde dans la voie 2 de l’oscilloscope.

En figure ?? on retrouve l’essai circuit ouvert, ainsi on retrouve l’onde reflechie, et sur lacharge on a deux fois l’onde incidente. L’ensemble de ces trois tests nous permettent de verifierl’equation du coefficient de reflexion Γ(si la ligne etait sans pertes). En figure ?? et 8, on apris pris respectivement une charge 2 fois plus faible et 2 fois plus elevee, on obtient des valeursintermediaire de Γ.

En figure 9 on voit que la longueur du cable va evidement influence le temps de propagationet sur l’attenuation, on aura ici 160mV d’attenuation pour 24m de cable coaxiale soit 32%d’attenuation.

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Figure 4: Releve pour une charge adaptee. Figure 5: Releve pour un Court-circuit.

Figure 6: Releve pour un circuit ouvert. Figure 7: Releve pour une charge de 25Ω.

Figure 8: Releve pour une charge de 97Ω. Figure 9: Charge adaptee et cable 24m.

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3 Codage en bande de base

Figure 10: Chaıne de transmission en bande de base.

L’emetteur transforme un signal a temps discret (lettres de l’alphabet, chiffres, etc.) issu d’unesource. Le signal est alors equivalent a un signal aleatoire. Le codage source permet ensuite decompresser l’information contenue dans le signal et le code en k elements binaires (ex: Huffman,Morse). Cette compression augmentant la fragilite (oppose de robustesse) du signal, on realiseun codage canal qui exploite les proprietes du canal de transmission pour apporter la robustessevoulue au signal en essayant d’optimiser le compromis debit/robustesse. Vient ensuite le codageen bande de base ou codage en ligne.

3.1 Principe, caracteristiques

Figure 11: Chaine de transmission en bande de base.

Le codage en bande de base utilise des formes d’impulsion (rectangulaire, Nyquist) pour trans-former le signal (filtre d’emission), on passe du temps discret en temps continu. Il donne alorsune realite physique au message (tension, energie), il peut permettre d’ameliorer le rapport sig-nal sur bruit en adaptant le signal au canal de transmission. ”Bande de base” signifie que lesignal n’est pas transpose en frequence, il aura donc des composantes plutot basses frequencesvoire continues. Ce codage intervient toujours avant la transposition frequentielle (modulation).Il permet aussi de donner au signal des proprietes ”utiles” (bande occupee, presence de raie ala frequence d’horloge).

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Les principales caracteristiques des codes en ligne sont les suivantes :

• L’occupation spectrale : la largeur de la bande de frequence occupee est fonction ducode utilise. Par ailleurs, le spectre de certains codes n’a pas de composante a la frequencenulle et ses composantes bases frequences sont fortement attenuees, ce qui est interessantdans certaines applications.

• la densite de transistions dans le signal emis : propriete primordioale pour restituerune horloge a la frequence 1

T dans le recepteur en vue d’echantilloner le signal et de restituerl’information emise.

• L’immunite au bruit : le milieu de transmission est toujours bruite et le codage utiliseinflue sur le taux d’erreur binaire qui constitue la principale mesure de qualite des liaisonsnumeriques.

3.2 Mise en equation, occupation spectrale

Objectif : transmettre un mot de code dn consistue d’une suite de bits βn.On emet e(t) :

e(t) =∑k

ak · g(t− kT )

• ak est la tension prise dans A0, A1, ..., AM−1 dans le cas d’un codage a M niveaux detensions.

• g(t) est la forme de l’impulsion (rectangulaire, Nyquist) de duree T .

• T est la duree du symbole transmis avec T = n · Tb (transmission d’un n-uplet d’elementsbinaires choisi parmis M = 2n elements possibles).

On en deduit directement le debit binaire :

R =1

T=

1

nTb=

D

log2(M)

On peut ecrire e(t) sous le forme d’un produit de convolution ;

e(t) = g(t) ? a(t)

avec a(t) =∑

k ak · δ(t− kT ). On considerera a(t) et ak comme des signaux aleatoires. On peutainsi, par la formule des interferences ecrire la densite spectrale de puissance (DSP) du signalemis.

φee(f) = |G(f)|2 · φaa(f)

Ou G(f) est la transformee de fourier (TF) de g(t) et φaa(f) est la DSP de a(t) (en V 2/Hz).On donne pour un code a symboles correles a(t) la formule de Bennett :

φaa(f) =σ2a

T+

2σ2a

T

∞∑k=1

Raa(k)cos(2πkfT ) +m2a

T 2

+∞∑k=−∞

δ(f − k

T)

Ou ma et σ2a sont respectivement la moyenne et la variance de b(t) et Raa(k) est la fonction

d’autocovariance normalisee des symboles :

Rbb(k) =E[(an −ma)(an−k −ma)]

σ2a

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3.3 Differents codes

Nous etudierons dans ce montages differents types de codage :

• Codage NRZ (Non Retour a Zero) bipolaire et unipolaire. (RS 232)

• Codage RZ 1/2 (Retour a Zero apres un demi temps de bit)

• Codage RZ bipolaire (RZ 1/2 avec tension -V pour le bit 0)

• Codage Manchester (NRZ avec inversion de polarite au milieu du bit)

• Codage Miller (codage avec memoire

Figure 12: Chronogrammes des differentscodages.

Figure 13: Densite spectrale de puissancedes differents codes.

Determinons l’occupation spectrale de chacun des codes, cette occupation est directementdonnee par la densite spectrale de puissance (DSP) puisque nous choisirons des signaux aleatoires.

• Codage NRZ unipolaire : on a ak = +1 si βk = 1ak = 0 si βk = 0alors ma = +V/2, σ2

a = V 4

Pour une forme d’impulsion rectangulaire :

φee(f) =V 2T

4· sinc(πfTb)2 +

V 2

4δ(f)

Composante continue non nulle, composante a f = 1T nulle ⇒ Il se pose un probleme

si le canal est passe-bande et ne laisse pas passer la composante continue, de meme il

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existe aussi un probleme pour la recuperation de l’horloge et synchronisation si le signalcomporte des suites de bits identiques trop longue (pas de transitions tous les T secon-des). Pour les codages qui possedent ce genre de problemes, soit on ajoute un fil pourtransmettre l’horloge soit l’on utilise un embrouilleur (codage canal) qui va coder le signalpour avoir le maximum de transitions et donc la possibilite de recuperer le signal d’horlogegraces aux fronts du signal emis. Le desembrouilleur devra donc connaıtre la sequence del’embrouilleur dans l’emetteur pour bien decoder le signal.

• Codage RZ 1/2 unipolaire :On ne change pas la loi de ak mais on change la porte g(t) :

g(t) = +V ∀t ∈ [0,T

2] (7)

= 0 ∀t ∈ [T

2, 0] (8)

(9)

On a alors

φee(f) =V 2T

16· sinc(2πfT )2 +

V 2T

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+∞∑k=−∞

sinc(kπ

2)δ(f − k

T)

On voit alors que la dsp possede une composante frequentielle en f = 1/T ce qui permetl’extraction de la frequence d’horloge (par PLL ou boucle de Costas).

On peut aussi calculer les DSP de chaque code par simulation sous Simulink :

Figure 14: Densite spectrale de puissance de differents codage. En noir : NRZ unipolaire, enrouge : NRZ bipolaire, en bleu : RZ 1/2 unipolaire, en vert : RZ 1/2 bipolaire, en rose :Manchester.

On peut observer sur l’oscilloscope une approximation de la DSP.

DSP ≈ |TF (a(t))|2

T

8

Ou |TF (a(t))|2T est le periodogramme de a(t).

Figure 15: Transformee de Fourier : NRZ unipolaire

Figure 16: Transformee de Fourier : RZ 1/2 unipolaire

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Figure 17: Transformee de Fourier : Manchester

4 Signal recu

4.1 Influence du canal

Figure 18: Canal de transmission modelise.

Etudion l’influence de la bande passante du canal sur la transmission du signal.

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Figure 19: Influence de la bande passante du canal. Fc=31kHz. Codage RZ 1/2

Figure 20: Influence de la bande passante du canal. Fc=128kHz. Codage RZ 1/2

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Figure 21: Influence de la bande passante du canal. Fc=128kHz. Codage RZ 1/2 bipolaire

Figure 22: Influence de la bande passante du canal. Fc=31kHz. Codage Miller

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Figure 23: Influence de la bande passante du canal. Fc=128kHz. Codage Miller

On remarque que plus on augmente le debit binaire, ce qui se ramene a augmenter l’occupationspectrale du signal (cf TF d’une porte temporelle de duree T) et plus le signal va etre attenuepar la bande passante du canal et donc etre deforme. Cette deformation est plus ou moins im-portante suivant les types de codes utilises. Ainsi on observe des distorsions importantes pour lecodage de Miller qui possede une energie repartie dans les frequences plus elevees que les autrescodes (donc plus sensible a l’attenuation du canal). De meme pour le codage RZ 1/2 unipolaireou les transition par zero sont trop attenuee par le canal.

Le critere principal sur lequel on peut baser une etudes du codage en bande de base est lamesure du taux d’erreur binaire :TEB = Nb d’erreurs/s

Debit . On mesure le taux d’erreur binaire surle montage.

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Remarque : dans le montage, on a utilise un compteur d’impulsion pour le signal d’erreur,or plusieurs erreurs a la suite n’entraınent pas plusieurs fronts. On mesure donc une approxi-mation du nombre d’erreurs.

Figure 24: Visualisation des erreurs de transmission. En bleu : signal source binaire code, enrose : signal en sortie du canal, en cyan : signal binaire en entree du XOR, en jaune : signalbinaire en sortie du XOR (1=erreur, 0=pas d’erreur). Vseuil bascule D = 2.5V

.

Taux d’erreur binaire en fonction du debit de transmission :

- 0 a fs=570Hz ≈ 190kbit/s ou fs est la frequence d’horloge externe (directement reglableau GBF).

- premieres erreur a fs=572Hz

- On monte a 1000 erreurs a fs=580Hz ⇒ taux d’erreur binaire = 5, 1, .10−3.

Etudions l’influence de la puissance du bruit sur la transmission du signal.

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Figure 25: Influence du rapport signal/bruit sur le taux d’erreur binaire. Fc=31kHz. CodageNRZ unipolaire

On retrouve la forme theorique de la fonction log(√

(erfc)) qui represente le taux d’erreurbinaire theorique en fonction du RSB.

4.2 Le diagramme de l’œil

4.2.1 Theorie

Le diagramme de l’œil est une methode visuelle qui permet de determiner le degre de separabilitedes deux niveaux d’une transmission numerique. Le principe est d’observer le signal en sortiedu recepteur de l’information, c’est a dire superposer une suite de transitions 0-¿1 et 1-¿0. Pourobtenir cette superposition, la base de temps d’observation est faible devant le debit binaire,ainsi on va, grace a la persistance de l’oscilloscope, observer cette forme d’œil qui caracterise cediagramme. Pour l’observer on doit se mettre dans des conditions precises, on doit se synchro-niser sur l’horloge de cadencement de la transmission, et observer durant un temps legerementsuperieur au temps de montee (de descente) du signal transmis. Ainsi on peut deduire dudiagramme de l’œil les informations donnees sur la figure 26.

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Figure 26: interpretations du diagramme.

Ce diagramme sert essentiellement a caracteriser le canal de transmission, sa bande passanteva influencer le temps de montee et de descente (largeur de l’œil) et son niveau de bruit vadiminuer la hauteur de la fenetre de detection (hauteur de l’œil). De plus, ce diagramme nouspermet de choisir une donnee importante qu’est l’instant de decision, la transmission etantnumerique, nous allons prelever un echantillon de maniere synchrone avec le signal d’horloge(d’ou l’interet de recuperer cette horloge) et l’analyser (generalement par un seuillage) pourensuite decider s’il s’agit d’un 1 ou d’un 0. Si l’instant de decision se trouve a l’un des coinsde l’œil, on sera confronte a deux niveaux proches, il est plus optimal de se placer a l’ouverturemaximale de l’œil. Cette instant de decision optimal se trouve aux transitions (fronts montants)de l’horloge de codage. La presence du signal d’horloge dans la transmission numerique prenddonc tout son sens car lors de la reconstruction il faudra qu’elle ne soit pas dephase par rapporta l’horloge reelle afin de conserver un instant de decision optimal.

4.2.2 Pratique

On retrouve en figure 27 et 28, le diagramme de l’oeil pour un code Manchester sans, puisavec bruit. On remarque qu’il ressemble de pres au diagramme que l’on attendait et que lebruit va diminuer l’ouverture de l’oeil, cependant au niveau de la transition de l’horloge, on vapouvoir theoriquement trouver la valeur du bit sans erreurs. Sur les figures 29 et 30, on a uncodage Miller, on retrouve les meme caracteristiques que pour le codage Manchester cependantl’influence du bruit va etre plus importante.

Sur les figures 31 et 32, on a un codage RZ 1/2 (l’inversion est du a l’observation). On peutvoir que du faite que ce codage soit non bipolaire, on a un œil deux fois plus ferme que pour leManchester ou le Miller, cependant l’avantage de ce code vient du faite que l’horloge est presentedans sa DSP. Ainsi on va avoir un instant de decision tres precis et tres simple a trouver. Onvoit sur les figures 33 et 34 le codage RZ 1/2 bipolaire. Ce codage etant bipolaire ne permetpas de transmettre l’horloge, de plus, on remarque 3 niveaux sur le diagramme de l’œil : +1, 0et -1. Ceci va donc rendre tres difficile le decodage, essentiellement dans le choix de l’instant dedecision. Ce codage est autant sensible au bruit que le RZ 1/2, et donc bien plus sensible quele Miller ou le Manchester.

Remarque : Il est prealablement realise un decodage avant d’observer le diagramme de l’oeilpour les codes par transitions (Miller, Manchester, RZ 1/2), en effet la prise de decision se feraa partir du signal decode, sinon le diagramme de l’oeil sans decodage n’est pas interpretable.

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Figure 27: Diagramme de l’œil pour le codeManchester.

Figure 28: Diagramme de l’œil pour le codeManchester bruite.

Figure 29: Diagramme de l’œil pour le codeMiller.

Figure 30: Diagramme de l’œil pour le codeMiller bruite.

C’est pour cela que nous nous interesserons au codage NRZ unipolaire dans notre montage.

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Figure 31: Diagramme de l’œil pour le codeRZ 1/2.

Figure 32: Diagramme de l’œil pour le codeRZ 1/2 bruite.

Figure 33: Diagramme de l’œil pour le codeRZ 1/2 bipolaire.

Figure 34: Diagramme de l’œil pour le codeRZ 1/2 bipolaire bruite.

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