FISICA MODERNANelson Zamorano H.Departamento de FsicaFacultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasUniversidad de Chileversi on August 4, 2008ContentsV RELATIVIDAD ESPECIAL: CINEMATICA 3V.1 Introducci on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3V.2 Paradigma previo a la relatividad especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4V.2.1 El Principio de Relatividad de Galileo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5V.2.2 Las Ecuaciones de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7V.3 Diagramas EspacioTiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9V.4 Postulados de la Relatividad Especial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11V.5 Simultaneidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17V.5.1 Simultaneidad Absoluta (La velocidad de la luz es innita) . . . . . . . 18V.5.2 Simultaneidad relativa (La velocidad de la luz es nita) . . . . . . . . . 19V.6 Transformaciones de Lorentz: M etodo Analtico. . . . . . . . . . . . . . . . . . 23V.6.1 Transformaciones de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23V.6.2 El signicado de VER y MEDIR en la Relatividad de Einstein . . . . . . . 26V.7 El retorno de lo absoluto, los invariantes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30V.7.1 Composici on de velocidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31V.8 El Efecto Doppler Relativista . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35V.8.1 El Efecto Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36V.8.2 La funci on k: el factor Doppler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36V.8.3 Dilataci on del Tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39V.8.4 El tiempo transcurrido depende de la trayectoria . . . . . . . . . . . . . 41V.8.5 La contracci on del largo de una barra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43V.8.6 Las transformaciones de Lorentz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45V.9 Ejercicios Resueltos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48iV.9.1 Qu e es el tiempo? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54V.9.2 La medici on del tiempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55V.10El Sistema de Posicionamiento Global (GPS) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57V.11 Ejercicios Propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6312 versi on de August 4, 2008CONTENTS Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasChapter VRELATIVIDAD ESPECIAL:CINEMATICAV.1 Introducci onLa relatividad especial, de acuerdo a Sir E. Whittaker [1], fue introducida por H. Poincar e, H. A.Lorentz, G. F. FitzGerald, y puesta en su forma nal por A. Einstein en 1905.Lasecuacionesdelarelatividadespecial, ciertamentefueronintroducidasporLorentz, peroEinstein las reinvent o y les di o una interpretaci on fsica con el sello de su genialidad que resolvi ouno de los dilemas m as importantes de esa epoca. La interpretaci on propuesta por Lorentz, porotra parte, no encontr o respaldo experimental.La idea de un sistema de referencia universal,en reposo absoluto y con un tiempo absoluto,dominaba el pensamiento de esa epoca. El eter se identicaba con el sistema de referencia enreposo absoluto.En el libro citado, Whittaker describe el ingenio y los esfuerzos desplegados para determinar elmovimiento de la tierra con respecto al eter, el movimiento absoluto. Entre otros, cita a Fitzgerald(p ag. 29, [1]) y su idea de medir el desplazamiento de la tierra con respecto al eter a trav es de lafuerza entre las dos placas paralelas de un condensador. La idea era la siguiente, si las placas sedeslizan con el movimiento de la tierra, una de las placas genera una corriente positiva con respectoal eter y la otra una corriente negativa. Ambas, de acuerdo a las leyes de Maxwell v alidas en el eter, deben atraerse. Medir esta tenue fuerza permitira desenmascarar el movimiento de la tierracon respecto al eter. El experimento, ciertamente, fall o, como todos los otros que fueron dise nadospara determinar el movimiento absoluto.Poincar e, ante el fracaso de estos experimentos arm o en 1899: Considero como muy probableque los fen omenos opticos dependen s olo de los movimientos relativos entre los cuerpos materi-ales.... Al a no siguiente armaba su creencia en una nueva ley, semejante a la segunda ley de latermodin amica, que estableciera la imposibilidad de medir la velocidad de la tierra con respecto al34 versi on de August 4, 2008 eter. Finalmente, de acuerdo a Whittaker, en 1904 Poincar e sostena que las leyes fsicas deban serlas mismas para todos los observadores en movimiento relativo uniforme de traslaci on. Concluaque debera existir una nueva din amica en la cual la velocidad de la luz es un lmite superior.LagenialidaddeEinsteinconsisti oenabandonarlaideadeunespacioyuntiempoabso-luto, independientes y establecer una unidad espacio-tiempo, construido por cada observador in-ercial en base a un cierto protocolo claramente establecido y v alido en cada sistema inercial. Elespacio-tiempo constituye una especie de andamiaje que acompa na a cada observador inercial. Lasmediciones de longitud de una vara o la duraci on de un cierto fen omeno son propias y unicas delobservador inercial que realiza las mediciones.Einstein estableci o como un principio la velocidad de la luz es la misma para cualquier sistemade referencia inercial. La velocidad de la luz es as una constante universal.Este principio genera dos consecuencias inmediatas. La simultaneidad de dos eventos1es rel-ativa: esv alida unicamenteparaelobservadorinercialqueas loestableci o. Estomarcaunaprimera diferencia con las teoras previas y el sentido com un. No es f acil aceptar que dos eventosque ocurren simult aneamente, por ejemplo, para una persona en la estaci on del metro, no lo seanpara un pasajero que viaja en el metro.Otra consecuencia de este postulado es que relojes id enticos instalados en dos sistemas de re-ferencia inerciales en movimiento relativo, no pueden ser sincronizados. Uno de ellos siempre seadelanta con respecto al otro.Estos resultados est an muy lejos del acontecer diario debido a que la velocidad de la luz esmuchsimo m as r apida que cualquier otra velocidad (v/c A1B.c) La lnea de universo de los dos ruanes son rectas verticales en el diagrama de espacio-tiempojo en la tierra (S) .A y B se nalan la posici on de los ruanes. Esta distancia seg un un observador en el tren es laintersecci on entre la lnea de universo de B y la lnea de simultaneidad de un observador en el tren(por ejemplo : el punto C. La coordenada de C en el sistema (t

, x

) :x

c= [xc(tctB)v] ,xc= xB= xB0 = xBxA= L,x

c= x

cx

A= L

,L

= [L v(tctB)]pero t

ct

A= _(tctA) vc2(xcxA)_A y C son simult aneos en S, luego: _(tctA) vc2L_tB tA(simult aneo en S)xc xBen SV.6. TRANSFORMACIONES DE LORENTZ: METODO ANALITICO. Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 29L

= _L v2c2L_=1L.EjemploSean S y S, dos sistemas inerciales que coinciden en un instante. S se mueve con respecto a Sen la direcci on (x+), con una velocidad v = constante. En el origen de S existe una pantalla decine que proyecta una pelcula de t minutos, la cual es vista por un observador que se encuentraen el origen de S. Cu anto tiempo dura la pelcula para el observador en S? Suponer v= 0, 6 c.Utilizando las transformaciones de Lorentz, se obtiene:Para S: t

= (t vc2x),Para S: t = (t

+vc2x

).Sabemos lo que dura la pelcula en St

es conocido (con respecto a las mediciones que haceun observador en S). Adem as x

= 0 (la pantalla permanece ja en S). Luego t = t

. Sinembargo, debemos calcular el tiempo que demora en llegar a S el ultimo fot on de la pantalla.i.e. t=xcya que cuando en S termin o la pelcula, esta a un no ha nalizado en S.Por otra parte x = (x

+ v t

) = v t

t = t

+ t= t

_1 +vc_= 2 t

Universidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias30 versi on de August 4, 2008V.7 El retorno de lo absoluto, los invariantes.Se puede vericar, a trav es de las transformaciones de Lorentz, que la combinaci on(ct

)2x2= ct2x2es uninvariante: posee el mismo valor en todos los sistemas inerciales. Estadistancia la denom-inamos (s)2. Aqu hemos encontrado una cantidad que tiene un valor independiente del sistemade referencia, es el equivalente al tiempo absoluto en la teora de Galileo y Newton.s2=c2(t

)2(x

)2=c2(t)2(x)2Sabemos por experiencia lo importante que son las cantidades conservadas en mec anica, electrici-dad...etc.. El equivalente en relatividad especial son los invariantes.Figure V.21: .Como ejercicio, podemos reobtener la dilataci ondeltiempo(queelrelojenBfuncionam aslentoque un reloj, id entico, en A). O1Q y O2P son lneas(o planos en tres dimensiones) de simultaneidad conrespecto al observador A. Llamemos s = PQ.s2=c2T2, puesto que Py Q se ubican en lalnea de universo de B y por lo tanto x

P= x

Q.s2= PQ2= c2(tP tQ)2(xP xQ)2PQ2= c2T2(x)2.Hemos denido x = xP xQ.Como (s)2es un invariante,s2= c2T2=c2T2(x)2cT

=cT_1 (xcT)2_1/2,pero x/T= Vo, velocidad con que B se aleja de A.T

= T_1 2T= T

/_1 2.Si T=1 s,T1, el tiempo transcurre m as lentamente en elsistema S

.El hecho que el tiempo transcurre m as lentamente en el sistema que est a en movimiento, no de-termina si un sistema se encuentra en reposo absoluto con respecto a otro. La raz on es la siguiente:al comparar los tiempos t |S y t

|S para dos eventos simult aneos en S, estamos quebrando lasimetra entre los sistemas S y S

, y de esta forma obtenemos el resultado asim etrico ya se nalado.A continuaci on se demuestra que la expresi on para la dilataci on del tiempo es sim etrica: el ob-servador en reposo en S

, midiendo dos eventos simult aneos en su sistema de referencia encuentraque el tiempo transcurre m as lentamente en S.EjercicioRepetir el mismo procedimiento para comparar lo que marcan los relojes, pero ahora midiendoeventos simult aneos en S

. Obtenga:t |S=t

|S

_1 2.V.8. EL EFECTO DOPPLER RELATIVISTA Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 41Realmente se atrasa el tiempo para un observador en movimiento?La palabra realmente utilizada en la pregunta parece esperar una respuesta que traiga a escena eltiempo absoluto. Al formularla no se hace menci on al sistema de referencia que se considera.La respuesta es que este resultado s olo se nala que el sistema de relojes sincronizados por Sse atrasan con respecto a aquellos sincronizados por S. Pero este resultado, de acuerdo a S nopermite concluir nada puesto que,en su opini on,los relojes de S no est an sincronizados. Parailustrar esto,podemos ubicarnos en el sistema de S y considerar que S est a retrocediendo conrespecto a nosotros y repetir el mismo c alculo. Lo que obtenemos es que ahora el reloj de S seatrasa con respecto al de S.De aqu se desprende que este experimento no permite concluir que el tiempo transcurre difer-ente en ambos observadores.Para lograr una respuesta denitiva con respecto a la evoluci on del tiempo en dos sistemas dereferencia en movimiento relativo, debemos comparar los mismos relojes dos veces. Con esta con-sideraci on, ya no es posible refutar un resultado debido a la imposibilidad de sincronizar los relojesde los dos sistemas de referencia. En la siguiente secci on daremos una respuesta concluyente a esteproblema.V.8.4 El tiempo transcurrido depende de la trayectoriaA continuaci on demostraremos que el tiempo no es absoluto y por lo tanto transcurre de formadiferente para distintos observadores en movimiento relativo.Este problema tradicionalmente se conoce como la paradoja de los gemelos. Consiste lo sigu-iente: uno de los gemelos permanece en Tierra mientras el otro emprende un viaje interestelar yposteriormente, al volver, se compara con su hermano.La dicultad t ecnica que plantea este problema es la aceleraci on que experimenta el gemelo in-terestelar en el momento de invertir el sentido en la direcci on de su viaje con el objeto de retornar.Las expresiones que hemos usado no se pueden aplicar de acuerdo a los postulados, que excluyenlos sistemas acelerados. Para eliminar este problema usaremos tres sistemas inerciales sincroniza-dos y concluiremos que el tiempo, efectivamente transcurre m as lentamente en uno de los sistemasde referencia.Antes de plantear este problema hagamos un ejercicio cuyo resultado ser a de utilidad m as tarde.Encontramos la expresi on dek en funci on dev en las p aginas anteriores. Note quek(v)=1/k(v), es decir que cuando dos observadores se aproximan debemos usar (1/k) en lugar de k pararelacionar los intervalos correspondientes de tiempo. Para demostrar que el tiempo no es absolutoy depende del camino recorrido necesito 3 observadores (o relojes) A, B y C.Universidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias42 versi on de August 4, 2008Figure V.28: Nos ubicamos en A, sistema en reposo. B se aleja de A con una velocidad relativaV y C se aproxima hacia A con una velocidad V (seg un A). A la izquierda se indica el gr aco ctversus x y a la derecha el esquema habitual con la coordenada x en el eje horizontal.Figure V.29: El factor ky1/kaparecencuando los observadores se alejan y cuandose est an acercando, respectivamente.En el desarrollo del problema distinguimos 3eventos:A coincide con B denido como: ABB coincide con C denido como: BCC coincide con A denido como: CADenominamosTal tiempo indicado por el relojde B que transcurre entre el evento: [A coincide conB] y el otro evento [B coincide conC]. El inter-valo que transcurre entre el evento: [B coincide conC] y el evento [Ccoincide conA] es tambi enT,seg un el reloj de C. Esto se puede notar en la Figura,las lneas de universo de C y B son sim etricas conrespectoalavertical, porquelostrazosquevandesde [AB], hasta [BC] y desde [BC] hasta [CA],son id enticos y por lo tanto ambos toman el valor T.De acuerdo al algebra de los k el tramo entre los eventos [AB] y [AC] es [k T+ T/k] .Por otra parte, si en [BC], el observador B accion o el reloj de C y lo dej o marcando Tsegun-dos, cuando C llegue al encuentro con A marcar a un tiempo 2 T. Comparando ambas cantidades,podemos concluir:(k +1k) T 2 TEstas expresiones son iguales s olo si k = 1 v0= 0, o c = .V.8. EL EFECTO DOPPLER RELATIVISTA Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 43k +1k=2_1 22.De esta forma el tiempo que marca el relojCes menor que el indicado porA. El tiempo no esabsoluto, no transcurre igual para todos los observadores.En el caso de los gemelos la respuesta es similar a la obtenida aqu . El gemelo de viaje llegam as joven al encuentro con su hermano. La diferencia de edad no es la que obtuvimos, puesto quees necesario considerar la aceleraci on que experimenta durante parte del viaje. En este caso notiene sentido intentar utilizar el argumento de la simetra de los sistemas inerciales para invalidarel resultado. El gemelo que estuvo de viaja sabe perfectamente que su sistema de referencia, almenos por unos segundos, no fue inercial.Tambi en se puede objetar que en el caso propuesto no se comparan los mismos relojes en A,pero lo esencial aqu es que el reloj C al compararlo con el de A, traa informaci on acerca deltiempo empleado por un reloj B al recorrer el trayecto que le corresponda. Se demostr o entoncesque el tiempo contabilizado a lo largo del camino AB BC y CA, es m as corto que el tiempocontabilizado por S entre AB y CA.V.8.5 La contracci on del largo de una barraDenici on de longitudPara medir la longitud de una barra un observador en reposo con respecto a ella, se ubica en elmedio de la barra y mide el tiempo que demora un rayo de luz en viajar hacia un extremo y volveral punto de partida.C omo sabemos que estamos en el centro de la barra?Antesdeprocederamedirlalongituddelabarraelobservadorenvaenformasimult aneados rayos de luz hacia ambos extremos de la barra donde ser an reejados. Si recibe de vueltaambos simult aneamente entonces est a justo en el punto medio de la barra. De otra forma deber adesplazarse hasta lograrlo.Por qu e medir longitudes con un rayo de luz y no con un metro patr on?Porque la velocidad de la luz es una constante universal. De esta forma los resultadosobtenidos utilizando la luz son v alidos en cualquier sistema de referencia inercial.Universidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias44 versi on de August 4, 2008Contracci on del largoLa inclusi on del postulado # 3, indica que s olo est a denida la distancia espacial o el largo en-tre los extremos de una regla entre dos eventos que ocurren simult aneamente en un sistema dereferencia.Estudiaremos la contracci on del largo usando el algebra de los k.Por denici on la longitud es la distanciaespacial entre dos eventos simult aneos. Aqu vamos acomparar el largo L

de un barra en reposo en un sistema S

, con el largo de esta misma barra, peromedido en el sistema S, que lo denominamos L. La conguraci on se indica en la Figura adyacente.El m etodo que usaremos nos permitir a manipular coordenadas en distintos sistemas de referen-cia.FigureV.30: Qu emideel observadorSyqu e mide el observador S. Lneas de simul-taneidad en cada sistema de referencia.Calculemos las coordenadas del eventoNen elsistema S. De la Figura se desprende quec t+= (L + v t+), y quec t= (L v t).Este resultado se obtiene siguiendo la trayectoriadel punto Men la Figura. En t=0 su coordenadaespacial es L, en t+ es [L+v t+], puesto que seest a alejando de S.En t+, la barra est a representada por NN

seg un el observador S. En ese instante se enva unrayo de luz hacia el origen de la barra. Lo alcanzaen t segundos m as tarde y la distancia que deberecorrer es el largo de la barra menos lo que esta seacerca, en el intervalo de tiempo t, una distanciaLv t. Despejando (t+ + t) de estas dosexpresiones obtenemos:t+ + t=Lc + v+Lc v=2c Lc2v2. [i)]Comolos eventos marcados por AyBsonsi-mult aneos, utilizando los resultados del ultimo ejer-cicio, tenemos:t+ + t=t

+ + t

_1 2. [ii)]Finalmente, como en el sistema S

, el rayo de luz parte del origen de la barra en t0= 0 y vuelve aS

en B, desp ues de rebotar en el otro extremo de la barra, entonces tenemos:c [t

+ + t

] = 2 L

[iii)]V.8. EL EFECTO DOPPLER RELATIVISTA Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 45Despejando (t+ + t) de las ecuaciones [i)] y [ii)], e incluyendo el valor de (t

+ + t

)obtenido en [iii)], tenemos la relaci on deseada entre L y L

:L

=L_1 2Comprobamos queL (1 hH).En el gr aco que se acompa na se puede estimar el rango de valores posibles que puede tomar .b) Es claro que si la velocidad del avi on u aumenta, entonces el destello emitido en P, llega a Adespu es que el emitido desde C, puesto que el avi on viaja m as r apido y el iempo TPD se acorta.Si el avi on viaja con una velocidad u = u() que se ajusta a la ecuaci on V.15, la regi onAB seilumina en forma instant anea.Si1>uc>(1 hH1 sen) cos .entonces la zonaAB se ilumina desde B hacia A, siempre que no emita destellos cuando < 0, 6.Para > 0.6 no se cumple queuc< 1.EjemploLa Paradoja del GraneroUniversidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias52 versi on de August 4, 2008Figure V.35:Considere un atleta corriendo con una garrocha de largo propio 20 m. (La velocidad del atletacon respecto al granero es de3c2 ).Este sostiene la garrocha de modo que se mantiene paralela ala direcci on de movimiento del atleta. En su carrera, el deportista pasa por un granero de longitudpropia = 10 m. Sera posible cerrar los dos extremos del cobertizo de manera que el atleta y lagarrocha queden atrapados en su interior?Analice su respuesta desde el punto de vista del atleta y del observador en el interior del granero.Soluci onLa paradoja del granero.Soluci on:Sea Lg longitud propia del granero, Lg= 10 m.L longitud propia de la garrocha, L = 20 m.i)An alisis con respecto al atleta:El atleta opina que Lg sufre una contracci on puesto que ve aproximarse al granero con velocidad3c2luego L(A)g= Lg_1 (3c)2c2=Lg2=102= 5my como la longitud de su garrocha es L (largo propio)para el atleta es imposible quedar atrapado en el interior del granero puesto que: L > Lg/2ii)An alisis con respecto al observador parado en el granero.V.9. EJERCICIOS RESUELTOS Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 53El observador B ve aproximarse al atleta con32c, por lo tanto, la contracci on de la garrocha es:L(B)= L1 (32c)2c2=L2=202= 10my como Lg= 10m (largo propio del granero)entonces para observador B es perfectamente posibleque el atleta (A) quede atrapado en el granero, ya que:L(B)= LgL(B) long. medida por Bde la garrocha de AAlternativa # 2: Uso directo de las Transformaciones de Lorentz.sea x = x2 x1x

= x

2 x

1donde 1y 2eventosqueindicanlaentradaysalidadelgraneroparaan alisis(i)yelnycomienzo de la garrocha en an alisis (ii)Las transformaciones de Lorentz son:()x = (x

+ vt

)()t = (t

+vc2x

i) s

desea medir la longitud del granero t

= 0 en (*) x = x

x longitud granero medido porsx

= longitud granero medido pors

x

= L(A)g=Lg=Lg2< LPara s

es imposible quedar atrapadoii)Ahorax = x2x1= largo garrocha con respecto sx

= x

2x

1= largo garrocha con respecto s

S desea medir la longitud de la garrocha t = 0de() t

= vc2x

en() x =x

L(B)=L=L2= LgPara S es posible quedar atrapadoUniversidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias54 versi on de August 4, 2008*************************V.9.1 Qu e es el tiempo?El tiempo se dene en forma tal que la descripci on del movimiento resulte simple [8].De hecho,uno de los logros de Galileo en 1583, fue el convertir un p endulo en una m aquina conable pararegistrar el paso del tiempo. Otro de los aciertos de Galileo fue utilizar un reloj de agua paratabular el tiempo durante la cada libre de los cuerpos.Este fue tambi en el origen de la utilizaci onde planos inclinados y poleas, que surgieron como una forma de hacer la cada libre m as lentay por tanto m as f acil de tabular. Es tambi en, el origen de los ejercicios propuestos en los librosintroductorios de mec anica.Como lo se nala Penrose [9], los griegos lograron un entendimiento aceptable de los fen omenosest aticos, pero no as de los din amicos. Este hecho proviene, en parte, por la falta de una formaadecuada de cuanticar el cambio de posici on de un objeto.El n umero que se asocia a la duraci on de un fen omeno es lo que designamos tiempo. Esten umero se obtiene contando la cantidad de ciclos de otro fen omeno que consideramos peri odicohasta que no se demuestre lo contrario.As es que ya antes de la aparici on de la relatividad especial no exista un tiempo absoluto.El perodo del sol fue considerado por Arist oteles como un buen reloj. De acuerdo a la fsicaAristot elica la trayectoria del sol en el espacio est a descrita por una circunferencia perfecta, quees el unico movimiento que no se frena (como un bloque en una mesa) o que no se acelera (comoes el movimiento natural, la cada de un objeto hacia el centro de la tierra). Adem as es eterno.Era entonces un buen reloj. Ahora sabemos que el sol no gira entorno a la tierra y que adem as larotaci on de la tierra sufre alteraciones [15] debido a diversos fen omenos fsicos. Si uno necesitamejorar la precisi on debe comparar con otro fen omeno.V.9. EJERCICIOS RESUELTOS Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 55V.9.2 La medici on del tiempoFigure V.36: Este es un diagrama muy exagerado de la orbita de la Tierra alrededor del Sol. La orbita de la Tierra es muy cercana a una circunferencia. Se encuentra m as cerca del Sol durante elverano del hemisferio Sur.En la antig uedad, en una travesa martima la latitud de un barco se puede medir comparando laposici on del sol en el cenit (un angulo) con la del lugar de origen u otro tomado como referencia(otro angulo). Sin embargo la longitud, en aquellos tiempos s olo poda medirse por el desfase de,por ejemplo, el tiempo que marca un reloj al alcanzaer el cenit el sol con aquel que marcaba (en lamisma posici on del sol) en su punto de partida. En el barco un reloj era el unico medio por el cualpoda ubicar su longitud mar adentro.En este contexto podemos mencionar a Hooke, quien alrededor del siglo XVII reemplaz o elreloj de p endulo que utilizaban los barcos por uno con un resorte helicoidal. De este modo seaminoraba el efecto de los vaivenes del barco sobre el funcionamiento del reloj y la imprecisi onen la determinaci on de la longitud. Otro relojero John Harrison (16931776) utiliz o un resortebimet alico para disminuir los efectos debido a los cambios de temperatura y logr o construir unreloj que s olo se atrasaba 54 segundos despu es de una travesa martima de 156 das [12].Figure V.37: .El m as antiguodelos relojes loconstituyeelmovimiento de la Tierra alrededor del Sol. A me-dida que aument o la precisi on de los instrumentosutilizados, comenzaron a surgir dicultades debidoa que la tierra describe una elipse alrededor del soly, porlaconservaci ondel momentoangular, haytramosenloscualesviajam asr apido(verFiguraV.36) y el da solar, considerado como el intervalode tiempo que transcurre entre dos posiciones con-secutivas del sol en el cenit de un mismo lugar, sealargaenaproximadamente4,7segundosconre-specto al da promedio.Es posible detectar estos cambios?En1900losrelojesseajustabandeacuerdoalUniversidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias56 versi on de August 4, 2008tr ansito de las estrellas m as luminosas a trav es delos meridianos de los observatorios terrestres. Estose dene como un da sideral.En 1936 la construcci on de relojes de p endulo era t ecnicamente tan sosticada que en el insti-tuto BIH (Bureau International de lHeure) se logr o alcanzar una precisi on suciente para podercomparar la duraci on del da en dos fechas diferentes y asegurar que el largo de un da de Enerode dicho a no excedi o a uno de Julio en aproximadamente 2 milisegundos [15].En 1955 la precisi on de los relojes at omicos permitan medir el tiempo con una exactitud de unaparte en 1011y su tama no y peso permitan hacer comparaciones entre dos puntos separados.En la d ecimotercera Conferencia General de Pesas y Medidas, se adopt o una nueva denici onde la unidad de medida del tiempo. Se reemplaz o la denici on existente -basada en el movimientoorbitaldelaTierraalrededordelSol, comosedetallaenlasiguientesecci on-,porlamedidaat omica del tiempo. La nueva denici on es: El segundo se dene de la siguiente forma : un atomode Cesio 133, que al sufrir una transici on (hiperna) entre dos estados posibles, emite una onda;9.192.631.770 ciclos (oscilaciones) de esta onda, corresponden a un segundo [7]. Los diez dgitosque aparecen en la denici on fueron escogidos de manera que esta denici on coincidiera con ladel segundo efem erido.Hoy, la precisi on y estabilidad de los relojes at omicos permite una exactitud en su medida de 2partes en 1014. Este n umero da una idea de la complejida tecnologa involucrada en el proceso demedici on [16].Escalas de tiempoEl tiempo solar medio es la escala de tiempo obtenida mediante dos posiciones sucesivas del Sol,despu es de aplicar diversas correcciones para lograr una escala m as uniforme.El tiempo universal UTO, es el tiempo solar medio referido al meridiano de Greenwich (Green-wich Mean Time o GMT).Peque nas correcciones adicionales de la uniformidad del movimiento de la Tierra debido a uc-tuaciones en la direcci on del eje polar y otros movimientos peri odicos asociados a la atm osfera,las corrientes oce anicas , ...etc. lleva a otras escalas a un m as uniformes: UT1 y UT2.Numerosos laboratorios han cooperado para generar lo que se denomina el tiempo coordenadouniversal (UTC), que es un promedio de las escalas de tiempo at omico de cada uno de los labora-torios.Para mantener la equivalencia entre el UTC y el largo del da, es necesario a nadir o quitar, enforma ocasional, un segundo a la escala at omica. Este es el segundo bisiesto que se menciona enel recorte de un peri odico que se acompa na. Esta armona entre estas dos escalas es probable quellegue a su n. No es f acil ajustar los relojes at omicos del GPS. Adem as es interesante se nalar quesi se hubiese cambiado el 770 que aparece al nal de la denici on del segundo at omico en base alCs, por 990, s olo hubiese sido necesario ajustar estos relojes s olo 3 veces en lugar de las 23 en queV.9. EJERCICIOS RESUELTOS Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 57se ha debido realizar dese 1967 [16].Por un acuerdo internacional, la UTC es mantenida en coincidencia con la escala del naveganteUT1, dentro de un margen de 0.7 segundos.V.10 El Sistema de Posicionamiento Global (GPS)Resumen de un artculo de Neil Ashby, Universidad de Colorado.El artculo aparece en http : //www.phys.lsu.edu/mog/mog9/node9.htmlEl Sistema de Posicionamiento Global (GPS) consiste de 24 sat elites que orbitan la Tierra, V.38,cada uno llevando un reloj at omico estable y de gran exactitud. Cuatro sat elites est an en cadauno de los seis planos orbitales diferentes, cada uno con una inclinaci on de 55 con respecto alEcuador de la Tierra. El perodo orbital son 12 horas (siderales, tiempo medido con respecto a lasestrellas jas), as que la posici on aparente de un sat elite con el escenario de las estrellas se repitecada 12 horas. Transmisores activados por los relojes envan se nales de tiempo sincr onicas, conla informaci on de la posici on y el tiempo de transmisi on. De esta forma el receptor en la Tierrapuede determinar su posici on y tiempo mediante la decodicaci on del mensaje enviado por cuatrosat elites diferentes. El sat elite tambi en lleva detectores de rayos gamma. Los sat elites puedendeterminar las coordenadas espacio tiempo de un evento nuclear midiendo los tiempos de arrivode la se nal y resolviendo de nuevo cuatro ecuaciones de propagaci on simult aneas.Figure V.38:Sin considerar los aceleradores de alta energa, nohay otro sistema de ingeniera en existencia hoy daen el cual la relatividad general y la especial tengantantas aplicaciones. El Sistema se basa en el prin-cipio de la constancia de la velocidad de la luz enun sistema de referencia inercial: el sistema inercialcentrado en la Tierra o como lo denominaremos: sis-tema ECI (Earth Centered Inertial ). La dilataci ondel tiempo, el fen omeno de la relatividad especial,es signicativa para los relojes en movimiento tantopara los relojes ubicados en los sat elites como paralos relojes en reposo en la Tierra. El principio deequivalenciaencuentrasuexpresi onenlapresen-cia de varias fuentes de corrimientos de las frecuen-ciasdelasse nalesdebidoalcampogravitacional.Tambi en, debido a que la Tierra y sus sat elites est anen cada libre en el campo gravitacional del Sol, se generan corrimientos en la frecuencia de origenUniversidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias58 versi on de August 4, 2008gravitacional nacen debido al potencial gravitacional de la Luna y el Sol, sin embargo estos afectanen una pocas partes en 1016y por tanto pueden ser despreciados.El efecto Sagnac tiene una gran inuencia en este sistema de medici on. Ya que la mayora de losusuarios de GPS est an en reposo (o casi) sobre la supercie de la Tierra, sera altamente deseablesincronizar los relojes en un sistema de referencia que estuviera rotando jo a la Tierra (un sistemajo Earth Fixed, Earth Center Frame o sistema ECEF). Sin embargo, debido a que la Tierra rota,esta sincronizaci on no es posible. Este es el efecto Sagnac. Es sucientemente importante en losGPS para que deba ser considerado. Inconsistencias que ocurriran en procesos de sincronizaci onrealizados en la supercie de la Tierra mediante rayos de luz, o con relojes portables que se muevanlentamente, dependen del camino recorrido y pueden llegar a ser del orden de varias docenas denanosegundos, (unamilmillon esimadesegundo: 109segundos)demasiadograndesparasertolerados en el sistema del GPS. De esta forma el efecto Sagnac obliga a dise nar una convenci ondiferente para la sincronizaci on de los relojes. Tambi en, el campo de una se nal en el ECEF noes una lnea recta. En el GPS, la sincronizaci on es realizada en el sistema ECI; esto soluciona elproblema de la inconsistencia debido a la dependencia del camino.Varias fuentes de efectos relativistas se introducen al determinar la unidad de tiempo, el segundoSI (Sistema Internacional) est a denido por el Observatorio Naval de Estados Unidos (USNO).Para un reloj que permanece jo sobre la Tierra, la dilataci on del tiempo generada por el movimientode rotaci on de la Tierra puede ser visto alternativamente como una contribuci on, en el sistemaECEF, alpotencialefectivogravitacionalelcualincluyelascontribucionesprovenientesdelano esfericidad de la Tierra. Relojes jos a la Tierra ubicados en la misma supercie equipoten-cial de este campo gravitacional, marcan el tiempo con la misma rapidez. Considerando tiemposgeol ogicos, laformadelaTierrasehadistorsionadoas queseacercaaunadeestasgurasequipotenciales - la geod esica de la tierra al nivel promedio del mar. El segundo SI est a denidopor la rapidez de los relojes at omicos ubicados sobre la geodesia. Esta rapidez esta determinadacon una suciente exactitud, relativa a relojes en innito, teniendo en consideraci on tres efectos:- la dilataci on del tiempo debido a la rotaci on de la Tierra- los cambios de frecuencia debido al monopolo gravitacional- y al potencial cuadrupolar debido a la deformaci on de la Tierra.En relatividad general (GR), el tiempo coordenado se expresa en forma aproximada suponiendoun movimiento lento de la tierra y que el sistema solar es un campo gravitacional d ebil. El tiempopropio transcurrido en un reloj que est a en movimiento depende de la posici on de los relojes y lavelocidad de los objetos masivos cercanos, y puede ser calculado si las velocidades y posiciones yla masa de estos objetos son conocidos.Los efectos relativistas en los relojes de los sat elites pueden ser combinados de forma tal quesolo dos correcciones necesitan ser consideradas. Primera, el corrimiento, en promedio de la fre-cuencia de los relojes en orbita es corregido en frecuencia por algo as como 446, 47 partes enV.10. EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL (GPS) Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 591012. Esta es una combinaci on de 5 fuentes distintas de efectos relativistas: corrimiento gravita-cional de la frecuencia de los relojes en la Tierra debido al monopolo de la Tierra y a su momentumcuadrupolar, corrimiento de la frecuencia de origen gravitacional del reloj del sat elite, y corrim-ientos del tipo del efecto Doppler de segundo orden debido al movimiento del sat elite y los relojesjos en la Tierra.Segundo, si la orbita es exc entrica, una correcci on adicional aparece de las combinaciones delcampo gravitacional que vara y el corrimiento de la frecuencia debido al movimiento debido aque las distancias del sat elite con respecto a la Tierra cambia. Esta correcci on es peri odica y esproporcional a la excentricidad de la orbita. Para una excentricidad de .01 la amplitud de estet ermino es del orden de 23 nanosegundos. Debido a una falta de computadores en los sat elites enlos primero das del GPS, se decidi o que esta ultima correcci on era de responsabilidad del softwareen los GPS de los recibidores (aquellos ubicados en la Tierra).Para el lanzamiento del primer sat elite NTS-2 (Junio de 1977), el cual transportaba el primerreloj de cesio que se pondra en orbita, haba algunos que dudaban que los efectos relativistasfueran efectivos. Se construy o un sintetizador de frecuencia en el sistema de relojera del sat elitede forma que despu es del lanzamiento, si llegara a ocurrir que la rapidez del reloj en su orbitanal era la que efectivamente predeca la relatividad general, entonces el sintetizador debera seractivado para poner al reloj coordenado con la rapidez necesaria para una operaci on efectiva delinstrumento.El reloj at omico funcion o por alrededor de 20 das para poder medir su rapidez antes de iniciarel sintetizador. La frecuencia medida durante esos 20 das, fue de 442,5 partes en 1012, m as r apidoque los relojes en el piso; si esta se nal permaneciera sin corregirse habra resultado en errores enlos tiempos de alrededor de 38.000 nanosegundos por da. La diferencia entre la predicci on de larelatividad general acerca de la frecuencia y la observada en el sat elite en orbita distaba solamenteen 3,97 partes en 1012de lo que se observ o. Un valor adecuado a la precisi on del reloj que est a en orbita. Esto entonces dio una aproximaci on al 1% considerando el movimiento combinado y loscorrimientos gravitacionales para un reloj que orbita alrededor de la tierra en un radio de 4,2 vecesel radios de la Tierra.Varios efectos relativistas son demasiados peque nos para afectar el sistema a la precisi on actualde este, pero pueden llegar a ser importantes a medida que el sistema es mejorado; estos incluyenretardos del tiempo de origen gravitacional, cambio de la frecuencia de los relojes en sat elitesdebido al momentum cuadrupolar de la tierra y curvatura especial. Este sistema fue conseguidoinicialmenteparaalg unusodenavegaci onmilitarteniendoaccesoatransmisionescodicadasde los sat elites las cuales no est an disponibles para los usuarios civiles. La incertidumbre en laoposici on en tiempo real usando el c odigo de posicionamiento preciso es ahora del orden de 2,4metros. Promediando sobre el tiempo y sobre muchos sat elites reduce esta incertidumbre al puntodonde algunos usuarios est an actualmente interesados modelar muchos efectos hasta el nivel delmilmetro. A un sin estos mpetus, el GPS provee una fuente muy f ertil para las aplicaciones delconcepto de relatividad.Nuevas y sorprendentes aplicaciones de la determinaci on de la posici on y en la transferencia delUniversidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias60 versi on de August 4, 2008tiempo basada en sistemas GPS est an siendo continuamente inventadas. Aplicaciones civiles in-cluye por ejemplo: registro del movimiento de los elefantes enAfrica, estudio de los movimientosde las placas, exploraci on, mapeo, salvamentos en el oc eano abierto, bit acora de vehculos de ete,falla en lnea de alto poder y sincronizaci on de los nodos telecomunicacionales. Alrededor de 60f abrica producen sobre 350 aparatos comerciales GPS. Millones de recibidores son hechos cadaa no, el precio del receptor local debe ser de alrededor de US$ 200.Ejemplo: Esquema del funcionamiento de un GPSPara formarse una idea del funcionamiento del GPS (Global Positioning System), considere elsiguiente ejemplo simplicado.Figure V.39:Dos sat elites, con sus respectivos relojes at omicos,viajan a una alturaHsobre el nivel del piso. Es-tos relojes est an sincronizados en el sistema de re-ferenciaenqueambosest anenreposo. Susepa-raci on, medida en este mismo sistema de referenciaes L

. Estos sat elites envian se nales peri odicamenteaTierra. Estase naltraecodicadoelinstanteenque fue enviada, de acuerdo al reloj de la nave y laposici on con respecto a la Tierra de dicho reloj. Siel observador en Tierra recibe simult aneamente unase nal de ambos sat elites, se pide:a.- Utilizando un diagrama de espacio - tiempo,muestre que el observador debe encontrarse ubicado entre los dos sat elites.b.- De acuerdo al observador en Tierra, de cu aldelos relojes sali o la se nal antes que la otra.Cu al es la diferencia t, que tarda cada unode los st elites en enviar la se nal un extremo aotro?.c.- Cu al es la posici on (coordenada x) del obser-vador en tierra con respecto a las posicionesde ambos sat elites? (En otras palabras, qu e sedebe calcular para encontrar la posici on x delobservador).d.- Si en el espacio existen 24 sat elites orbitandoa 27.000 km de altura, muestre que las correc-ciones relativistas calculadas aqu , son rele-vantes si queremos una precisi on de 2 - 5 met-ros.V.10. EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL (GPS) Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 61a) Observador en Tierrab) Dado que ambos relojes emiten la se nal simult aneamente en su sistema de referencia, ten-emos que:t

Bt

A t

= 0 = [(tBtA) vc2(xBxA)] = [t vc2x]. ec.1Por otra partex

Bx

A L

= [(xBxA) v(tBtA)]= [x vt] ec.2Tenemos dos ecuaciones para dos inc ognitas t y x. Despejando, obtenemosDe la ecuaci on [ec.1]t =vc2xDe la ecuaci on [ec.2],x =L

= v t.Reemplazando x en la ecuaci on, tenemosx =c2tv=L

+ vt, obtenemos(c2v2)t = L

_1 v2/c2t =L

c2.Tambi en: x =L

v.Vemos que tBtA=L

c2, tB= tA +L

c2.De acuerdo al observador en Tierra, el reloj A dispar o primero.c) Para calcular la coordenada xPdel observador todo esto referido al sistema del observadortenemos las siguientes ecuaciones(xP xB)2+ H2= c2(tP tB)2(xP xA)2+ H2= c2(tP tA)2,Universidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias62 versi on de August 4, 2008Figure V.40:Estas dos ecuaciones indican que el eventoA (yB) est an en el cono de luz del evento Pque corre-sponde al instante en que el observador recibe lospulsos de A y B. Note que estas ecuaciones3Tenemos 6 inc ognitasxP, tP, xB, xA, tB, tA. Serequieren 4 ecuaciones adicionales.Estas son:xBxA= L

,tBtA= vc2L

,xP= 0,tA= 0.En las dos ultimas ecuaciones, instalamos el ori-gen del sistema de coordenadas junto al observadorP. En la ultima ecuaci ontA=0,los relojes parten cuando el sat eliteA emite el destello quealcanza al observador P. Estas coordenadas hacen m as f acil los c alculos. Sera m as fsico ponerxA= tA= 0, establecer el origen de coordenadas epaciales junto con el destello que alcanza a P,pero las ecuaciones son un poco m as complejas.Con esta elecci on, las ecuaciones quedan:x2B + H2= (c tP vcL

)2x2A + H2= (c tP)2xB= xAL

La ecuaci on para xA es(L

+ xA)2+ H2= [(x2A + H2)1/2vcL

]2La ecuaci on para tPes:[((c tP)2H2)1/2+ L

]2+ H2= (c tP vcL

)2Las dos soluciones que aparecen se deben a la ecuaci on del como la luz que no distingue elpresente del pasado.Como ejemplo, Ud., puede resolver el caso H= 0 y obtenerc tP= xA(tP> 0)3no distinguen el presente del pasado, por tanot en alg un momento debemos escoger el signo correcto de la variable.V.10. EL SISTEMA DE POSICIONAMIENTO GLOBAL (GPS) Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 63V.11 Ejercicios Propuestos1.Un vag on de tren se mueve sobre una va a velocidad constante v. Ay Best an en los extremosdel vag on y los observadores C y D est an de pie junto a la va. Denimos el evento AC comoocurrencia de A al pasar frente a C, y los otros similarmente.(a) De los cuatro eventos BD, BC, AD, AC, cu ales sirven para que los observadores queest an sobre la va midan el paso de un reloj llevado por A?(b) Sea t el intervalo de tiempo entre estos dos eventos para los observadores que est an aun lado de la va. Qu e intervalo de tiempo marca el reloj en movimiento?(c) Sup ongase que los eventos BC y AD son simult aneos en el sistema de referencia de lava. Son simult aneos en el sistema de referencia del vag on?. Si no, cu al es primero?2.Determine el desplazamiento de longitud de onda por efecto Doppler relativista para la lnea6563Adel Hidr ogeno H, emitida por una estrella que se aleja de la Tierra a una velocidadrelativa de 103c, 102c, y 101c. Es una buena aproximaci on el resultado a primer orden?3.Un aeroplano de 40 m de longitud en su sistema de reposo se mueve a velocidad uniformede 630mseg, con respecto a la Tierra.(a) Qu e fracci on de su longitud de reposo parecer a acortarse, con respecto a un observadorsobre la Tierra?(b) Cu anto tiempo tardar a, seg un los relojes en tierra, para que el reloj del aeroplano seretrase un microsegundo? (Suponga que unicamente es v alida la relatividad especial).4.El radio de reposo de la Tierra puede considerarse como de 6400 km, y la velocidad a quegira alrededor del Sol, como de 30 km/seg. Cu anto parecera acortarse el di ametro de laTierra con respecto a un observador en el Sol, por el movimiento orbital de aquella?5.Se mide la longitud de una nave espacial y se encuentra un valor exactamente igual a la mitadde su longitud propia.(a) Cu al es la velocidad de la nave con respecto al sistema del observador? Cu al es ladilataci on del tiempo unitario de la nave?6.Dos naves espaciales tienen una longitud de 100 m cada una, medidos en su sistema propio.Se desplazan en sentidos opuestos, cruz andose en el vuelo. El astronauta que va en la narizde una nave, que la designamos por A, mide el tiempo que transcurre entre el paso de la narizy la cola de la otra nave (B) desde su puesto de observaci on. Encuentra que este intervalo es2, 50 106segundos. A partir de este dato, encuentre:(a) Cu al es la velocidad relativa de las naves?Universidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias64 versi on de August 4, 2008Figure V.41:(b) Cu al sera el intervalo medido en la primera nave (A), si ahora registrara el intervaloque transcurre entre que la nariz de la nave (B) pasa frente a la nariz de (A) y la cola de (B)pasa frente a la cola de (A)?Acompa ne ambas respuestas con un gr aco espacio-tiempo.7.(a) Si la vida (propia) promedio de un mes on es2.3 106segundos,qu e distanciapromedio viajara este en el vaco antes de morir, de acuerdo con mediciones en diferentessistemas de referencia, donde su velocidad es de 0.00c, 0.60c, 0.90c, y0.99c respectivamente.(b) Compare cada una de estas distancias con la distancia que el mismo mes on medira.8.A 200 km sobre el nivel del mar, una partcula de rayo c osmico primario choca contra laatm osfera de la Tierra; en esta colisi on de alta energa se produce un mes on+, el cualdesciendeverticalmenteaunavelocidadde0.99cy, ensusistemapropio, sedesintegra2.5 108seg despu es de producido. Seg un se ve desde la Tierra, a qu e altura sobre elnivel del mar se desintegra el mes on?9.En la Figura, A y B son los puntos de intersecci on del eje x (varilla estacionaria) con unavarilla inclinada (varilla en movimiento) en dos instantes diferentes. La varilla inclinada seest a moviendo en la direcci on +y (sin cambiar de inclinaci on) a una velocidad v.(a) Demuestre que el punto de intersecci on de las varillas tiene una velocidadu=v cot hacia la izquierda.(b) Sea =30oy v=23c. Demuestre que, en este caso, u excede a c y explique porqu eno existe ninguna contradicci on con la relatividad.V.11. EJERCICIOS PROPUESTOS Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 6510.Un observador en un sistema inercial S informa que dos proyectiles se est an moviendo enlnea recta, paralelamente uno respecto del otro;el primero a una velocidad de 0,9 c y elsegundo a una velocidad de 0,7 c. Encuentre la velocidad de un proyectil con respecto alotro.11.UnobservadorsobrelaTierraquellamamosA, mandaunase nalconunalinternacadaseis minutos. Otro observador, B est a en una estaci on espacial estacionaria con respectoa la Tierra. Designamos con C a un astronauta que viaja en un cohete de A a B, con unavelocidad constante de 0,6 c, con respecto a A.(a) A qu e intervalos recibe B las se nales de A?(b)A qu e intervalos recibe C las se nales de A?(c) A qu e intervalos recibe B los destellos de C?12.Considere la existencia de partculas que tienen vida nita y cuyo n umero en funci on deltiempo est a dado por:N(t) = Noexptln 2.Siendo No el n umero de partculas que existen en t=0 y es la llamada vida media de laspartculas, ya que en el tiempo t = el n umero inicial se ha reducido a la mitad:N(0) = No, N() =No2.Los mesones +, por ejemplo, se producen en colisiones de alta energa entre una partculade rayo c osmico primario y la atm osfera terrestre. Su vida mediapropia es o= 2, 6 108Universidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias66 versi on de August 4, 2008s. Suponiendo que No mesones +se han formado a la altura h de la tierra y que desciendenhacia ella con rapidez 0.9999 c llegando solamente el 1 %:(i) Determine la altura h a la cual se han formado los mesones.(ii) Para esa altura, comente sobre el porcentaje que llegara a la supercie terrestre si no sehicieran correcciones relativistas.13.Dos misiles de igual largo propio pasan en sentido contrario a velocidades relativistas. Elobservador O tiene un ca n on en la cola de su nave apuntando en direcci on perpendicular almovimiento relativo.Como indica la gura, O dispara cuando la punta A coincide con A. En el sistema de ref-erencia de O, el otro misil sufre una contracci on de Lorentz. En consecuencia O sospechaque su bala no dar a en el blanco. Pero en el sistema de referencia de O, es el misil O el queaparece contrado y por lo tanto, cuando A y A coinciden el observador ve lo que apareceen la tercera gura.(a) Uno de los diagramas contiene un error. Desc ubralo.(b) Usando las transformaciones de Lorentz descubra lo que realmente sucede en este en-cuentro.Nota: L largo propio de los misiles. u velocidad del misil O con respecto a O.14.Se tiene una barra de largo L que se desplaza con velocidad v. En los extremos de esta barrase ubican dos espejos como se muestra en la gura. Suponga que un fot on se encuentraentre ellos. Si en t=0 el espejo de la izquierda coincide con el punto x=0 y justo en eseinstante el fot on est a siendo reejado en ese mismo espejo, dibuje la trayectoria del fot on yde la barra en un diagrama espacio-tiempo c = 1.15.En el sistema S

, un sujeto corre en la direcci on del eje y

con velocidad constante V=L

T

,donde L

es la distancia propia con respecto a S

y T

es el tiempo que marca un reloj est aticocon respecto a S

.V.11. EJERCICIOS PROPUESTOS Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 67A su vez, S

se mueve con una velocidad U con respecto a otro sistema de referencia inercialS.a) De acuerdo a un observador en reposo en el sistema S, calcule las dos componentes de lavelocidad de este sujeto y a partir de este resultado encuentre la tangente del angulo con que este se aproxima.b) Suponga que en el sistema S

hay una serie de interruptores separados por una distanciapropia L

. A medida que el sujeto avanza los va encendiendo. Al ser activados, estos envanun fot on (o un pulso de luz, si Ud. lo preere) queviaja directamente hacia S en la direcci ondel eje x del sistema S.Calcule la velocidad y con que los detectores se encienden en el sistema S, a medida quevan recibiendo la se nal luminosa proveniente de S

.Suponga, si le ayuda utilizar este dato,que inicialmente el sistema S

se encontraba a una altura H sobre S. Recuerde que la dis-tancias perpendiculares al movimiento relativo no sufren alteraciones.Figure V.42: Ejercicio # 19c) Si el observador enS, U=V cos, V =Vsen, representan las componentes dela velocidadVcon la cual se aproxima el sujeto,demuestre que la velocidad con que seencienden los detectores en el sistema S es:wy=Vsen 1 V coscd) Demuestre que si Vc (es decir, 1) y el angulo es muy peque no, la velocidadwy toma su m aximo valor para 2= 2 (1 ) (1 + )(1 ) 1/.16.Un observador en un sistema inercial S informa que dos proyectiles se est an moviendo enlnea recta, en forma paralela y en el mismo sentido. Si denominamos uno de los proyectilespor O1 y le asociamos la velocidad V1= 0.9 c y al otro, O2 la velocidad V2= 0.7 c:Universidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias68 versi on de August 4, 2008a) Encuentre la velocidad de O1 con respecto a O2.b) Si los largos propios sonL1yL2respectivamente, cu al es el largo del coheteL2, deacuerdo a O1.Figure V.43: Ejercicio # 2017.Una barra de largoL

con respecto a su sistema en reposo, se aleja con una velocidadVode un observador en reposo. Si desde cada uno de los extremos de la barra se envan dosdestellos en forma simult anea con respecto al sistema jo en la barra, calcule la diferenciade tiempo t con la cual arriba cada uno de los destellos al observador S.heightheightNota: El intervalo t, no depende de la distancia a la cual se ubica la barra del origen deS. Ud. puede posicionarla donde m as le acomode, respetando las condiciones impuestas enel enunciado del problema.18.Dos cohetes que viajan en la misma direcci on pero en sentido opuesto, se cruzan, como sese nala en la Figura. En el sistema S, que corresponde a la Tierra, ambos cohetes tienenrapidez u y largo .V.11. EJERCICIOS PROPUESTOS Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 69i) Calcule el intervalo medido por un observador en Tierra, que transcurre entre el instanteque sus respectivas narices se cruzan y el instante en que comienzan a separarse.ii) Calcule el intervalo medido por un pasajero de uno de las naves sistemaS

, entre elinstante que sus respectivas narices se cruzan y el instante en que las naves comienzan asepararse.19.Una varilla de un metro de longitud en su sistema propio, se aproxima a un observador enreposo con una velocidad2425 c, como se indica en la Figura.a) Cu al es el largo de esta varilla en el sistema del observador?b) Suponga ahora que la varilla est a inclinada en un angulo

= arcos(5/6), en el sistema dereferencia que viaja con la varilla. Calcule el angulo de inclinaci on de la varilla medido enel sistema de referencia del observador jo en tierra.c) Calcule el largo de la varilla en el sistema de referencia del observador en reposo, paraesta segunda conguraci on.20.La estructura de la izquierda (remache) tiene una protuberancia de largo L que al insertarseen el objeto con forma de U a la derecha alcanza justo a tocar el interruptor B ubicado alfondo de la cavidad. Esto ocurre cuando ambos objetos est an en reposo (primera gura). Bes un interruptor que, al ser tocado, gatilla la bomba de TNT se nalada. Note que la cabezadel remache (por ejemplo el borde A) se apoya en los bordes del objeto en U al ser insertado.i.- Suponga que el mismo remache se acerca con una rapidez V, con respecto a un ob-servador en reposo en la estructura en U, como aparece en la gura. Explique cuan-titativamente qu e sucede con el extremo del remache cuando A toca el borde de U:Universidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias70 versi on de August 4, 2008tambi en toca B, lo toc o antes, a qu e distancia se encuentra seg un qu e observador Ex-plota la bomba?Debe acompa nar un gr aco espacio-tiempo de la situaci on donde seespecique qu e midi o y su valor.ii.- Considere las mismas preguntas, pero ahora desde el punto de vista de un observador enreposo con respecto al remache que ve acercarse al objeto en U. Siendo un observadorsistema inercial, opina que la estructura en U se acerca con rapidez V. Explota o nola bomba, de acuerdo a este observador?iii.- En denitiva, si la bomba explota NO puede depender del observador. C omo resuelveUd. esta paradoja?iv.- En el caso i.- suponga que se conect o un dispositivo al punto A del remache tal que siA es presionado dispara un laser que corta el cable que une B con la bomba. En estenuevo escenario: Explota esta o no?21.El diagramarepresentaunpolicamidiendolavelocidaddeunautomedianteel efectoDoppler. Nosinstalamosenelsistemadereferenciadelaautoridad. Delautos oloin-dicamos la echa del tiempo para no complicar el dibujo. Se indica la trayectoria de dosnodos separados por una longitud de onda () emitida por la pistola del polica y la recibidadespu es de reejarse en el auto unos instantes m as tarde. (recuerde que los largos, como lalongitud de onda, se miden en intervalos tipo espacio).i.- De la gura, demuestre (no s olo arme, explique por qu e) que:ct = vt + reejado,y que ct = incidentevt, donde v es la velocidad del auto c/r al polica.ii.- A partir del resultado anterior obtenga (f frecuencia), freejada=kfincidente , conk =1+V/c1V/c.iii.- Suponiendo que el cambio de frecuencia es peque no debido a que V/c es muy peque no,muestre que (f/f) 2V/c . Verique cu an peque no es si V=120 km/h.V.11. EJERCICIOS PROPUESTOS Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasFsica Moderna 71iv.- El radar de la polica de Santiago, opera con una frecuencia de10.525 109ciclos/s.Cu antos ciclos por segundo cambia el haz reejado comparado con el incidente (o enviado)?v.-Qu eresoluci ondebetenerlamaquinitadelapolicaparapoderdistinguirentreunautomovilista que viaja a 120 km/h y otro, infractor, que gua a 121 km/h?Universidad de Chile Escuela de Ingeniera y Ciencias72 versi on de August 4, 2008V.11. EJERCICIOS PROPUESTOS Facultad de Ciencias Fsicas y Matem aticasBibliography[1] A History of the theories of Aether and Electricity, Sir Edmund Whittaker,1954,TomashPublishers, Vol VII.[2] Spacetime Physics,1966, R. Taylor and J. A. Wheeler,W. H. Freeman and Company.[3] Introduction to the Structure of Matter, J. J. Brehm and W. J. Mullin, John Wiley andSon, 1989.[4] Conceptos de Relatividad y Teora Cu antica, R. Resnik. 1976, Ed. 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